Dinamica dei sistemi vibranti
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Giovanni Incerti<br />
Università degli Studi di Brescia<br />
Facoltà di Ingegneria<br />
<strong>Dinamica</strong> <strong>dei</strong> <strong>sistemi</strong> <strong>vibranti</strong><br />
Esercizi<br />
Dispensa fuori commercio<br />
ad uso degli studenti <strong>dei</strong> corsi di:<br />
Fondamenti di Vibrazioni Meccaniche, Complementi di Vibrazioni<br />
e Controllo delle Vibrazioni<br />
f<br />
Rev. 8 ottobre 2008
Giovanni Incerti<br />
Università degli Studi di Brescia<br />
Facoltà di Ingegneria<br />
<strong>Dinamica</strong> <strong>dei</strong> <strong>sistemi</strong> <strong>vibranti</strong><br />
Esercizi<br />
Dispensa fuori commercio<br />
ad uso degli studenti <strong>dei</strong> corsi di:<br />
Fondamenti di Vibrazioni Meccaniche, Complementi di Vibrazioni<br />
e Controllo delle Vibrazioni<br />
Rev. 8 ottobre 2008
Indice<br />
I Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà 4<br />
II Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà 77<br />
III Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui 166<br />
1
Prefazione<br />
Il presente testo contiene una raccolta di esercizi riguardanti la teoria elementare delle vibrazioni meccaniche.<br />
Il materiale didattico è stato raggruppato nelle parti sotto elencate:<br />
• Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà: si analizzano <strong>sistemi</strong> lineari ad un grado di libertà, con<br />
particolare riferimento ai casi di moto libero e di moto soggetto all’azione di una forzante armonica.<br />
• Parte II - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà: si affronta il problema delle vibrazioni di <strong>sistemi</strong><br />
lineari a molti gradi di libertà, ponendo particolare attenzione al calcolo delle pulsazioni proprie e <strong>dei</strong> modi<br />
principali di vibrare; vengono inoltre presentati alcuni esempi di studio del moto a regime in presenza di<br />
forzante armonica.<br />
• Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui: si effettua il calcolo delle pulsazioni proprie e <strong>dei</strong> modi principali<br />
di vibrare per <strong>sistemi</strong> con massa ed elasticità distribuite.<br />
Come si potrà facilmente verificare, la deduzione delle equazioni di moto può essere effettuata sia mediante il<br />
metodo degli equilibri dinamici, sia mediante l’approccio energetico (conservazione dell’energia, equazioni di<br />
Lagrange); pertanto, al fine di acquisire maggiore familiarità con le tecniche di calcolo, si suggerisce al lettore<br />
di risolvere uno stesso problema con metodi diversi: in tal modo egli potrà individuare, per ciascun caso,<br />
l’approccio più conveniente alla risoluzione del problema.<br />
Concludo questa premessa con la speranza che la presente raccolta di esercizi possa essere di valido aiuto a tutti<br />
coloro che si accingono ad affrontare lo studio della teoria elementare delle vibrazioni meccaniche. Ringrazio<br />
anticipatamente tutti coloro che vorranno comunicarmi i loro suggerimenti al fine di migliorare le edizioni future<br />
del testo ed auguro a tutti buon lavoro.<br />
L’Autore
Parte I<br />
Vibrazioni di <strong>sistemi</strong><br />
ad un grado di libertà
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 5<br />
Esercizio 1.1 - Cod. VIB-001<br />
Determinare la pulsazione propria dell’oscillatore armonico rappresentato in Figura 1, dotato di molla avente<br />
massa non trascurabile.<br />
Dati<br />
mm<br />
k<br />
l<br />
Figura 1<br />
• Massa dell’oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M<br />
• Massa della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .mm<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
• Lunghezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l<br />
Soluzione<br />
Indichiamo con l la lunghezza totale della molla e con y la distanza dal punto di ancoraggio di un elemento<br />
infinitesimo della molla di lunghezza pari a dy (vedi Figura 2).<br />
v(y)<br />
y<br />
dy<br />
l<br />
x<br />
Figura 2<br />
L’estremo sinistro della molla è fissato a terra e pertanto il suo spostamento e la sua velocità sono nulli; al<br />
contrario, l’estremo destro della molla è fissato alla massa M e quindi avrà spostamento e velocità pari a quelli<br />
di tale massa (x ed ˙x rispettivamente); supponendo che la velocità vari linearmente lungo la molla, possiamo<br />
ricavare immediatamente la velocità v(y) dell’elemento infinitesimo dy:<br />
M<br />
M<br />
x<br />
x<br />
v(y) = ˙x<br />
y (1)<br />
l<br />
Se la massa della molla è uniformemente distribuita, la massa dm dell’elemento infinitesimo vale:<br />
La sua energia cinetica vale pertanto:<br />
dm = mm<br />
l<br />
dy (2)<br />
dTm(y) = 1<br />
2 dm [v(y)]2 = 1<br />
<br />
mm ˙x<br />
2 l l y<br />
2 dy (3)
6 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Integrando lungo y da 0 al l si ottiene l’energia cinetica associata all’intera molla:<br />
Tm =<br />
l<br />
0<br />
<br />
1 mm ˙x<br />
2 l l y<br />
2 L’energia cinetica complessiva risulta quindi:<br />
dy = 1 mm<br />
˙x2<br />
2 l3 l<br />
0<br />
y 2 dy = 1 mm<br />
2 3 ˙x2<br />
T = 1<br />
2 M ˙x2 + 1 mm<br />
2 3 ˙x2 = 1<br />
<br />
M +<br />
2<br />
mm<br />
<br />
˙x<br />
3<br />
2<br />
L’energia potenziale del sistema si calcola immediatamente con la relazione:<br />
V = 1<br />
2 kx2<br />
Per determinare la pulsazione propria applichiamo il metodo energetico di Rayleigh, in base al quale è possibile<br />
affermare che, per un sistema conservativo, il valore dell’energia cinetica massima uguaglia quello dell’energia<br />
potenziale massima:<br />
(7)<br />
Tmax = Vmax<br />
Poiché il sistema si muove di moto armonico con pulsazione ω, possiamo scrivere:<br />
x(t) = X sin ωt<br />
˙x(t) = ωX cos ωt<br />
⇒<br />
xmax = X<br />
˙xmax = ωX<br />
L’energia cinetica massima e l’energia potenziale massima assumono pertanto le espressioni seguenti:<br />
Tmax = 1<br />
<br />
2<br />
M + mm<br />
3<br />
<br />
X 2 ω 2<br />
Vmax = 1<br />
2 kX2<br />
Sostituendo nella (7) le equazioni (9) si ottiene con semplici passaggi, il valore della pulsazione propria del<br />
sistema:<br />
<br />
<br />
<br />
ω = <br />
k<br />
M + mm<br />
3<br />
(10)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(8)<br />
(9)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 7<br />
Esercizio 1.2 - Cod. VIB-002<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 si chiede di:<br />
• scrivere l’equazione di moto e calcolare la pulsazione propria;<br />
• determinare la legge di moto, essendo note le condizioni iniziali:<br />
x(0) = x0 ˙x(0) = 0<br />
dove x indica lo spostamento del baricentro del rullo rispetto alla posizione di equilibrio statico.<br />
• determinare il minimo valore del coefficiente di aderenza fra rullo e terreno che garantisce il non slittamento<br />
del rullo stesso.<br />
Dati<br />
k<br />
Figura 1<br />
• Massa del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R<br />
• Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(0) = x0 ˙x(0) = 0<br />
Soluzione<br />
L’equazione di moto del sistema verrà ricavata utilizzando sia il metodo degli equilibri dinamici sia il metodo<br />
energetico.<br />
Metodo degli equilibri dinamici<br />
Per risolvere il problema con il metodo degli equilibri dinamici occorre in primo luogo disegnare il diagramma<br />
di corpo libero del sistema rullo-carrello, mettendo in evidenza le forze che agiscono durante il moto.<br />
La coppia d’inerzia sul rullo vale Ci = JG ¨ ϑ , dove ϑ indica la rotazione del rullo stesso; se si ipotizza l’assenza<br />
di strisciamento fra rullo e terreno, è possibile correlare lo spostamento x del baricentro e la rotazione ϑ tramite<br />
la relazione:<br />
x = Rϑ (1)<br />
A questo punto si possono scrivere le seguenti tre equazioni di equilibrio dinamico:<br />
Equilibrio alla traslazione verticale per l’intero sistema:<br />
Equilibrio alla traslazione orizzontale per l’intero sistema:<br />
x<br />
R<br />
ΦN = (m1 + m2)g (2)<br />
(m1 + m2)¨x + kx + ΦT = 0 (3)<br />
m<br />
2<br />
,<br />
J G<br />
m1
8 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
kx<br />
( 1 2 +<br />
m m ) x<br />
Φ N<br />
Figura 2<br />
JGϑ<br />
Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro per il solo rullo:<br />
( 1 2 +<br />
m m ) g<br />
Da quest’ultima equazione si può ricavare l’espressione della forza ΦT :<br />
ΦT<br />
ΦT R − JG ¨ ϑ = 0 (4)<br />
ΦT = JG<br />
R ¨ ϑ = JG<br />
¨x (5)<br />
R2 Sostituendo ora il valore di ΦT così calcolato nell’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale, si perviene<br />
all’equazione di moto: <br />
m1 + m2 + JG<br />
R2 <br />
¨x + kx = 0 (6)<br />
La pulsazione propria del sistema risulta quindi:<br />
<br />
<br />
ω =<br />
k<br />
<br />
m1 + m2 + JG<br />
R2 dove meq = m1 + m2 + JG/R 2 rappresenta la massa equivalente del sistema.<br />
Metodo energetico<br />
La risoluzione con il metodo energetico consiste nell’esprimere la conservazione dell’energia meccanica totale<br />
(cinetica e potenziale) del sistema. Poiché sono verificate le seguenti ipotesi:<br />
• assenza di forzanti esterne;<br />
• assenza di attriti nel perno di collegamento del rullo al carrello;<br />
• sistema soggetto a vincoli non dissipativi (fra il rullo ed il terreno vi è un vincolo di puro rotolamento,<br />
mantenuto tramite attrito statico);<br />
l’energia totale del sistema si mantiene costante, quindi:<br />
T + V = cost. ⇒<br />
=<br />
<br />
k<br />
meq<br />
(7)<br />
d<br />
(T + V ) = 0 (8)<br />
dt<br />
Esprimendo l’energia cinetica e potenziale in funzione della coordinata libera x otteniamo:<br />
T = 1<br />
2 (m1 ˙x 2 + m2 ˙x 2 + JG ˙ ϑ 2 ) = 1<br />
<br />
m1 + m2 +<br />
2<br />
JG<br />
R2 <br />
˙x 2<br />
V = 1<br />
2 kx2<br />
Derivando ora rispetto al tempo l’energia totale si ha:<br />
(10)<br />
<br />
d<br />
(T + V ) = ˙x m1 + m2 +<br />
dt JG<br />
R2 <br />
¨x + kx = 0 (11)<br />
(9)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 9<br />
da cui,essendo ˙x = 0 , si ricava nuovamente l’equazione di moto<br />
<br />
m1 + m2 + JG<br />
R2 <br />
¨x + kx = 0 (12)<br />
Risoluzione dell’equazione di moto<br />
L’equazione di moto ottenuta è un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti; essa descrive<br />
le vibrazioni libere del sistema la sua soluzione è del tipo:<br />
x(t) = A cos ωt + B sin ωt (13)<br />
dove A e B rappresentano due opportune costanti.<br />
Derivando la soluzione x(t) si ha:<br />
˙x(t) = −ωA sin ωt + ωB cos ωt (14)<br />
Come è noto, le costanti A e B si determinano imponendo le condizioni iniziali assegnate dal testo:<br />
Dalla prima condizione si ricava:<br />
mentre dalla seconda si ottiene:<br />
Pertanto la legge di moto è espressa dall’equazione:<br />
x(0) = x0 ˙x(0) = 0 (15)<br />
x(0) = A = x0<br />
(16)<br />
˙x(0)ωB = 0 B = 0 (17)<br />
x(t) = x0 cos ωt (18)<br />
Calcolo del minimo valore del coefficiente di aderenza che impedisce lo slittamento<br />
del rullo<br />
Affinché non vi sia slittamento fra rullo e terreno deve essere verificata la disequazione di Coulomb:<br />
<br />
ΦT <br />
µ ≥ <br />
<br />
dove µ indica il coefficiente di aderenza (o di attrito statico) fra rullo e terreno.<br />
La reazione normale ΦN rimane costante nel tempo ed il suo valore è pari al peso del sistema rullo-carrello; al<br />
contrario, la reazione tangenziale ΦT varia nel tempo secondo la legge:<br />
ΦN<br />
(19)<br />
ΦT (t) = JG<br />
¨x(t) = −JG<br />
R2 R2 ω2x0 cos ωt (20)<br />
La condizione più sfavorevole per lo slittamento si verifica quando il modulo della forza tangenziale raggiunge<br />
il suo valore massimo:<br />
Quindi dovrà risultare:<br />
<br />
<br />
µ ≥ <br />
<br />
ΦT max<br />
ΦN<br />
ΦT max = JG<br />
R 2 ω2 x0<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
JG<br />
R2 ω2x0 = µmin<br />
(22)<br />
(m1 + m2)g<br />
(21)
10 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.3 - Cod. VIB-003<br />
Il pendolo semplice in Figura 1 è incernierato nel punto O; a tale punto viene impresso un moto orizzontale con<br />
legge x(t) = X sin Ωt; determinare:<br />
1. lo spostamento angolare ϑ(t) del pendolo per Ω/ω > 1 e per Ω/ω < 1 (ω indica la pulsazione propria del<br />
pendolo);<br />
2. la forza richiesta per imprimere il moto orizzontale al punto O.<br />
Dati<br />
Figura 1<br />
• Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m<br />
• Lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L<br />
• Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X<br />
• Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω<br />
Soluzione<br />
1. Calcolo dello spostamento angolare ϑ(t)<br />
Per risolvere il problema assegnato occorre in primo luogo mettere in evidenza le forze agenti sul sistema<br />
durante il moto (vedi Figura 2). Si osservi che la forza d’inerzia agente sulla massa m è stata scomposta nelle<br />
sue componenti generate dal moto di trascinamento (traslatorio in direzione orizzontale) e dal moto relativo<br />
(rotatorio attorno al punto O).<br />
Per l’equilibrio dinamico alla rotazione attorno al punto O possiamo scrivere:<br />
x(t)<br />
O<br />
ϑ<br />
m<br />
m¨xL cos ϑ + mL 2 ¨ ϑ + mgL sin ϑ = 0 (1)<br />
Se si ritiene valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ, cos ϑ ∼ = 1),<br />
si ottiene, con semplici passaggi:<br />
¨ϑ + g ¨x<br />
ϑ = − (2)<br />
L L<br />
ovvero, essendo ¨x = −Ω 2 X sin Ωt:<br />
¨ϑ + g<br />
L ϑ = Ω2X sin Ωt (3)<br />
L<br />
L
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 11<br />
Fx<br />
La pulsazione propria del sistema risulta pertanto:<br />
Figura 2<br />
ω =<br />
g<br />
L<br />
x(t)<br />
mLϑ<br />
ϑ<br />
O<br />
mx<br />
mg<br />
2<br />
mLϑ<br />
Poiché il sistema in esame è lineare (nell’ipotesi di piccole oscillazioni) ed è eccitato da una forzante armonica di<br />
pulsazione Ω, il moto a regime risulterà ancora armonico, con pulsazione uguale a quella della forzante; quindi,<br />
indicando con ϑ(t) la soluzione a regime, si può scrivere:<br />
ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ) (5)<br />
Non essendo presenti elementi smorzanti nel sistema, lo sfasamento ϕ è nullo per per Ω/ω < 1 mentre vale π<br />
radianti per Ω/ω > 1.<br />
L’ampiezza delle oscillazioni a regime si calcola sostituendo la funzione ϑ(t) e la sua derivata seconda nell’equazione<br />
di moto e risolvendo il tutto rispetto a Θ; dopo semplici passaggi si ottiene:<br />
In definitiva si ha:<br />
2 X Ω<br />
L ω<br />
Θ = <br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
2 X Ω<br />
L ω<br />
⎛<br />
1−⎝<br />
ϑ(t) =<br />
⎪⎩<br />
Ω<br />
⎞2<br />
sin Ωt<br />
⎠<br />
ω<br />
per Ω<br />
< 1<br />
ω<br />
2 X Ω<br />
L ω<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1−<br />
⎛<br />
⎝ Ω<br />
⎞2<br />
⎠<br />
ω<br />
sin(Ωt − π)<br />
<br />
per Ω<br />
> 1<br />
ω<br />
Nel diagramma seguente è riportato l’andamento dell’ampiezza di vibrazione adimensionalizzata ΘL/X in<br />
funzione del rapporto di frequenza Ω/ω; si osserva che, avendo trascurato lo smorzamento, l’ampiezza delle<br />
vibrazioni tende all’infinito in condizioni di risonanza (Ω/ω = 1).<br />
(4)<br />
(6)<br />
(7)
12 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
ΘL<br />
X<br />
,<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Ω/ω<br />
Figura 3<br />
2. Calcolo della forza richiesta per imprimere il moto orizzontale al punto O<br />
Indicando con Fx la forza incognita, l’equilibrio alla traslazione orizzontale per l’intero sistema (asta orizzontale<br />
+ pendolo) fornisce l’equazione seguente:<br />
Per piccole oscillazioni si ha:<br />
Fx + m¨x + mL ¨ ϑ cos ϑ − mL ˙ ϑ 2 sin ϑ = 0 (8)<br />
Fx + m¨x + mL ¨ ϑ − mL ˙ ϑ 2 ϑ = 0 (9)<br />
Trascurando, per semplicità, l’ultimo termine al primo membro e risolvendo rispetto ad Fx si ottiene:<br />
Dall’equazione di moto risulta:<br />
Per cui:<br />
Fx = −(m¨x + mL ¨ ϑ) (10)<br />
mgϑ = −(m¨x + mL ¨ ϑ) (11)<br />
⎧ 2 X Ω<br />
L ω<br />
mg ⎛<br />
1−⎝<br />
⎪⎨<br />
Fx = mg ϑ(t) =<br />
⎪⎩<br />
Ω<br />
⎞2<br />
sin Ωt<br />
⎠<br />
ω<br />
per Ω<br />
< 1<br />
ω<br />
2 X Ω<br />
L ω<br />
mg <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1−<br />
⎛<br />
⎝ Ω<br />
⎞2<br />
⎠<br />
ω<br />
sin(Ωt − π)<br />
<br />
per Ω<br />
> 1<br />
ω<br />
(12)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 13<br />
Esercizio 1.4 - Cod. VIB-004<br />
Nel sistema in Figura 1, collocato in un piano verticale, l’asta scorrevole all’interno del manicotto si muove nella<br />
direzione indicata con legge armonica y(t) = Y sin Ωt.<br />
Scrivere l’espressione analitica del moto a regime e determinarne l’ampiezza e la fase, assumendo l’ipotesi di<br />
piccole oscillazioni dell’asta AB attorno al punto O.<br />
Nota. Per semplicità si supponga che l’asta AB (di massa trascurabile) sia in equilibrio statico in posizione<br />
orizzontale, con y = 0 e con la molla che esercita un tiro Ts.<br />
Dati<br />
A<br />
k<br />
a<br />
O<br />
y(t)<br />
Figura 1<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.2 m b = 0.3 m<br />
• Massa concentrata nell’estremo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 500 N/m<br />
• Pulsazione del movimento armonico dell’asta scorrevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 40 rad/s<br />
• Ampiezza del movimento armonico dell’asta scorrevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 10 mm<br />
Soluzione<br />
Il testo afferma che la posizione di equilibrio del sistema si ha per ϑ = 0, con y = 0 e con la molla che esercita<br />
un tiro Ts (vedi Figura 2). Pertanto dovrà essere verificata la relazione:<br />
da cui:<br />
A<br />
a<br />
O<br />
Ts mg<br />
b<br />
b<br />
ϑ<br />
B<br />
m<br />
Segni di riferimento<br />
coincidenti<br />
Figura 2<br />
B<br />
( y =<br />
Tsa = mgb (1)<br />
Ts = mg b<br />
= 29.43 N (2)<br />
a<br />
0)
14 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
L’allungamento statico δst della molla all’equilibrio risulta:<br />
δst = Ts<br />
k<br />
= 0.058 m = 58 mm (3)<br />
Per ricavare l’equazione di moto occorre disegnare il sistema in una generica posizione, mettendo in evidenza le<br />
forze agenti su di esso durante il movimento.<br />
a sin ϑ<br />
a<br />
O<br />
T = k ∆l<br />
y(t)<br />
Figura 3<br />
b<br />
ϑ mg<br />
my<br />
mbϑ<br />
2<br />
mbϑ<br />
b sin ϑ<br />
Si osservi che la forza d’inerzia agente sulla massa m è stata scomposta nelle sue componenti generate dal moto<br />
di trascinamento (traslatorio in direzione verticale) e dal moto relativo (rotatorio attorno al punto O).<br />
L’allungamento totale ∆l della molla vale:<br />
e la corrispondente forza elastica:<br />
∆l = δst + y − a sin ϑ (4)<br />
T = k∆l = k(δst + y − a sin ϑ) = Ts + k(y − a sin ϑ) (5)<br />
L’equilibrio dinamico alla rotazione attorno al punto O fornisce la seguente equazione:<br />
(mb ¨ ϑ)b + (mg + m¨y)b cos ϑ − T a cos ϑ = 0 (6)<br />
Sostituendo in tale equazione il valore della forza elastica T precedentemente calcolata e ritenendo valida l’ipotesi<br />
di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ, cos ϑ ∼ = 1), si perviene con semplici<br />
passaggi alla seguente equazione:<br />
¨ϑ + ka2 ka 1<br />
ϑ = y − ¨y (7)<br />
mb2 mb2 b<br />
Poiché il moto dell’asta verticale scorrevole y(t) è di tipo armonico si può scrivere:<br />
y(t) = Y sin Ωt<br />
¨y(t) = −Ω 2 Y sin Ωt<br />
Pertanto l’equazione di moto può essere riscritta nella forma:<br />
La pulsazione propria del sistema risulta:<br />
La soluzione a regime vale:<br />
¨ϑ + ka2<br />
ϑ =<br />
mb2 <br />
kaY<br />
mb2 + Ω2Y b<br />
(8)<br />
<br />
sin Ωt (9)<br />
ω = a<br />
<br />
k<br />
= 10.54 rad/s (10)<br />
b m<br />
ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ) (11)<br />
Poiché nel sistema non compaiono elementi smorzanti, lo sfasamento ϕ è nullo per Ω/ω < 1, mentre vale π<br />
radianti per Ω/ω > 1; nel nostro caso:<br />
Ω/ω = 3.795 > 1 ⇒ ϕ = π (12)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 15<br />
L’ampiezza delle oscillazioni a regime si ricava, come è noto, sostituendo la funzione ϑ(t) e la sua derivata<br />
seconda nell’equazione di moto, semplificando i termini sinusoidali e risolvendo il tutto rispetto a Θ; dopo<br />
semplici passaggi si ottiene:<br />
2 1 1 Ω<br />
+<br />
a b ω<br />
Θ = <br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
Y = 0.0396 rad = 2.27<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
◦<br />
(13)<br />
Come si può osservare, l’ampiezza delle vibrazioni a regime è dell’ordine di qualche grado: è quindi verificata<br />
l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio. L’espressione del moto a regime risulta,<br />
in definitiva:<br />
ϑ(t) = 0.0396 sin(40t − π) (14)<br />
dove t è espresso in secondi e ϑ in radianti.
16 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.5 - Cod. VIB-005<br />
Per il sistema in Figura 1 determinare:<br />
1. la pulsazione propria;<br />
2. l’ampiezza delle oscillazioni a regime, quando alla puleggia viene applicata una coppia variabile nel tempo<br />
secondo la legge Cm = C0 sin Ωt.<br />
Nota. Si ritenga trascurabile l’attrito fra il corpo di massa m ed il piano inclinato.<br />
Dati<br />
k<br />
JO<br />
Cm<br />
r R<br />
O<br />
k<br />
Figura 1<br />
• Massa del carico trascinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 15 kg<br />
• Momento d’inerzia del gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J0 = 1 kg m 2<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 40 kN/m<br />
• Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 0.2 m<br />
• Raggio del tamburo di avvolgimento della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.1 m<br />
• Pendenza del piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α = 20 ◦<br />
• Ampiezza della coppia applicata al gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 400 Nm<br />
• Pulsazione della coppia applicata al gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s<br />
Soluzione<br />
Poiché la fune è inestensibile, il sistema ha un solo grado di libertà; per descrivere il moto utilizziamo come<br />
coordinata libera la rotazione ϑ del tamburo (positiva antioraria), misurata a partire dalla posizione di equilibrio<br />
statico; in corrispondenza di tale rotazione la massa m trasla lungo il piano inclinato di una quantità x = rϑ.<br />
Le forze agenti sul sistema durante il moto libero (cioè in assenza della coppia forzante Cm) sono evidenziate<br />
nella Figura 2, nella quale si è indicata con il simbolo δ la deformazione statica subita dalle molle per effetto<br />
della forza peso.<br />
Da semplici considerazioni di equilibrio si ricava per tale deformazione il valore:<br />
δ =<br />
Le equazioni di equilibrio dinamico sono le seguenti:<br />
mgr sin α<br />
2kR<br />
m<br />
α<br />
(1)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 17<br />
JOϑ<br />
O<br />
k(<br />
Rϑ<br />
+ δ)<br />
ϑ<br />
k(<br />
Rϑ<br />
+ δ)<br />
T<br />
Figura 2<br />
• Equilibrio alla rotazione attorno ad O per il tamburo:<br />
• Equilibrio alla traslazione della massa m lungo il piano inclinato:<br />
T<br />
mx<br />
x<br />
N mg α<br />
JO ¨ ϑ + 2Rk(Rϑ + δ) − T r = 0 (2)<br />
m¨x + T − mg sin α = 0 (3)<br />
Da quest’ultima equazione è possibile ricavare il valore della tensione T della fune:<br />
T = m(g sin α − ¨x) = m(g sin α − r ¨ ϑ) (4)<br />
Sostituendo il valore di T fornito dalla (4) nell’equazione (2) e tenendo conto della (1) si ottiene l’equazione di<br />
moto relativa alle vibrazioni libere del sistema:<br />
(JO + mr 2 ) ¨ ϑ + 2kR 2 ϑ = 0 (5)<br />
Come si può notare, avendo assunto come origine per la coordinata libera la posizione di equilibrio statico,<br />
nell’equazione (5) non compare il termine gravitazionale. La pulsazione propria vale:<br />
<br />
2kR<br />
ω =<br />
2<br />
= 52.75 rad/s (6)<br />
JO + mr2 Nel caso in cui venga applicata al tamburo una coppia esterna variabile nel tempo con legge armonica, l’equazione<br />
di moto diventa:<br />
(JO + mr 2 ) ¨ ϑ + 2kR 2 ϑ = C0 sin Ωt (7)<br />
e la soluzione a regime si può scrivere nella forma:<br />
ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ) (8)<br />
dove ϕ = 0 se Ω/ω < 1 e ϕ = π se Ω/ω > 1. Nel nostro caso, essendo Ω/ω = 0.379 < 1 lo sfasamento ϕ risulta<br />
nullo.<br />
L’ampiezza di vibrazione a regime si ricava sostituendo la soluzione ϑ(t) data dalla (8) e la sua derivata seconda<br />
nell’equazione di moto (7), semplificando i termini armonici e risolvendo il tutto rispetto a Θ; con semplici<br />
passaggi si ottiene:<br />
La soluzione a regime è quindi:<br />
Θ =<br />
dove t è espresso in secondi e ϑ in radianti.<br />
C0<br />
2kR2 − Ω2 (JO + mr2 = 0.146 rad = 8.36◦<br />
)<br />
θ(t) = 0.146 sin 20t (10)<br />
(9)
18 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Nota. Affinché il sistema assegnato possa funzionare, occorre che nella fune sia sempre presente una forza di<br />
trazione (infatti una fune non può resistere a compressione); utilizzando la relazione (4) si può calcolare la legge<br />
con cui varia il tiro della fune durante il moto:<br />
Il valore minimo di tale tensione si ha per sin Ωt = −1, ovvero:<br />
T = mg sin α + mrΩ 2 Θ sin Ωt (11)<br />
Tmin = mg sin α − mrΩ 2 Θ = −37.2 N (12)<br />
Poiché tale valore risulta negativo la fune non è sempre in grado di trasmettere il movimento alla massa traslante<br />
lungo il piano inclinato.<br />
Occorre allora sostituire la fune con un elemento in grado di resistere anche a compressione; a tale scopo<br />
si potrebbe utilizzare un’asta a cremagliera, opportunamente guidata, in grado di accoppiarsi con una ruota<br />
dentata di raggio primitivo r, montata in sostituzione del tamburo di avvolgimento della fune; in alternativa,<br />
si potrebbe continuare ad utilizzare la fune, incrementando però la parte statica del tiro mediante un adeguato<br />
aumento dell’angolo α (ad esempio, se si impone un’inclinazione α = 60 ◦ si ottiene Tmin = 39.8 N > 0).
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 19<br />
Esercizio 1.6 - Cod. VIB-006<br />
Determinare il valore minimo del coefficiente di aderenza µ che consente al rullo di rotolare senza strisciare sul<br />
piano di appoggio, quando il carrello si muove con legge di moto y(t) = Y sin Ωt.<br />
Nota. Si consideri soltanto la soluzione a regime, trascurando il transitorio.<br />
Dati<br />
y(t)<br />
k<br />
m, JG<br />
Figura 1<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R<br />
• Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y<br />
• Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω<br />
• Coefficiente di aderenza fra rullo e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ<br />
Soluzione<br />
Metodo n.1<br />
Indichiamo con ϑ la rotazione del rullo e con z la posizione del suo baricentro, misurata relativamente al carrello<br />
(vedi Figura 2).<br />
k<br />
G'<br />
y (t)<br />
z(t)<br />
G<br />
R<br />
µ<br />
Posizione del rullo con molla indeformata<br />
ϑ<br />
G<br />
Figura 2<br />
Se il rullo rotola senza strisciare sul piano del carrello, la relazione cinematica fra z e ϑ è la seguente:<br />
ϑ = z<br />
R<br />
(1)
20 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
m ( z + y)<br />
kz<br />
mg<br />
N<br />
Figura 3<br />
Durante il moto agiscono sul rullo le forze e coppie indicate nel diagramma di corpo libero rappresentato in<br />
Figura 3:<br />
A questo punto è immediato ricavare le equazioni di equilibrio dinamico del rullo:<br />
Equilibrio alla traslazione orizzontale:<br />
m(¨z + ¨y) + kz + T = 0 (2)<br />
Equilibrio alla traslazione verticale:<br />
Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro:<br />
JGϑ<br />
G<br />
T<br />
N = mg (3)<br />
T R = JG ¨ ϑ (4)<br />
Ricavando dalla (4) la reazione T e tenendo conto della relazione cinematica (1) si ha:<br />
T = JG<br />
¨z (5)<br />
R2 Sostituendo tale valore nella (2) si ricava, con semplici passaggi, l’equazione di moto:<br />
<br />
m + JG<br />
R2 <br />
¨z + kz = −m¨y (6)<br />
La pulsazione propria vale:<br />
<br />
<br />
ω =<br />
<br />
<br />
k<br />
m + JG<br />
R2 avendo posto meq = m + JG/R 2 .<br />
Poiché la causa eccitatrice è di natura armonica con pulsazione Ω, la soluzione a regime della (6) sarà del tipo:<br />
=<br />
<br />
k<br />
meq<br />
z(t) = Z sin(Ωt − ϕ) (8)<br />
La fase ϕ è nulla se Ω/ω < 1, mentre vale π radianti se Ω/ω > 1.<br />
L’ampiezza di vibrazione Z si calcola sostituendo la (8) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (6);<br />
dopo alcune semplificazioni si ricava:<br />
Z =<br />
L’accelerazione relativa ¨z del baricentro del rullo risulta:<br />
ed il suo valore massimo è:<br />
mΩ2 Y<br />
|k − meqΩ 2 |<br />
¨z(t) = −Ω 2 z(t) = − mΩ4Y |k − meqΩ2 sin(Ωt − ϕ) (10)<br />
|<br />
|¨zmax| =<br />
mΩ4 Y<br />
|k − meqΩ 2 |<br />
(7)<br />
(9)<br />
(11)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 21<br />
Affinché il rullo non slitti sul piano del carrello occorre che, nella situazione più sfavorevole (ovvero quando<br />
T = Tmax), risulti comunque verificata la relazione di Coulomb:<br />
µ ≥ |Tmax|<br />
|N|<br />
Il valore della reazione tangenziale massima Tmax si ricava facilmente dalla (5) e dalla (11):<br />
per cui, dalla (12), si ha:<br />
Metodo n.2<br />
|Tmax| = JG<br />
R2 |¨zmax| = JG<br />
R2 mΩ4Y |k − meqΩ2 |<br />
µ ≥<br />
JGΩ4Y gR2 |k − meqΩ2 = µmin<br />
(14)<br />
|<br />
Anziché utilizzare la coordinata relativa z, individuiamo la posizione del baricentro G mediante la coordinata<br />
assoluta x (vedi Figura 4).<br />
k<br />
y(t)<br />
G'<br />
x(t)<br />
Posizione del rullo con molla indeformata<br />
ϑ<br />
G<br />
Figura 4<br />
La relazione cinematica fra x e ϑ, nell’ipotesi di non strisciamento, è:<br />
Le azioni sul rullo sono evidenziate in Figura 5:<br />
ϑ =<br />
x − y<br />
R<br />
J<br />
m x k( x − y)<br />
G<br />
mg<br />
N<br />
Figura 5<br />
ϑ<br />
G<br />
T<br />
(12)<br />
(13)<br />
(15)
22 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Le equazioni di equilibrio dinamico si possono allora scrivere nella forma sotto riportata:<br />
Equilibrio alla traslazione orizzontale:<br />
m¨x + k(x − y) + T = 0 (16)<br />
Equilibrio alla traslazione orizzontale:<br />
Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro:<br />
Procedendo in modo analogo al caso precedente si ricavano le seguenti relazioni:<br />
N = mg (17)<br />
T R = JG ¨ ϑ (18)<br />
T = JG<br />
(¨x − ¨y) (19)<br />
R2 meq ¨x + kx = ky + JG<br />
¨y (20)<br />
R2 Sostituendo nel secondo membro della (20) l’espressione di y(t) e della sua derivata seconda si ottiene:<br />
<br />
meq ¨x + kx =<br />
<br />
avendo posto, per semplicità di scrittura, F0 =<br />
La soluzione a regime è:<br />
k − JG<br />
Ω2<br />
R2 k − JG<br />
Ω2<br />
R2 <br />
Y sin Ωt = F0 sin Ωt (21)<br />
<br />
Y .<br />
x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (22)<br />
dove ϕ assume gli stessi valori visti nel caso precedente, mentre l’ampiezza X vale:<br />
X =<br />
L’accelerazione assoluta ¨x del baricentro del rullo risulta:<br />
¨x(t) = −Ω 2 x(t) = −<br />
F0<br />
|k − meqΩ 2 |<br />
Ω2F0 |k − meqΩ2 |<br />
(23)<br />
sin(Ωt − ϕ) (24)<br />
Dalla (19) si può dedurre la legge con cui varia la reazione tangenziale T durante il movimento:<br />
T (t) = JG<br />
R<br />
JG<br />
(¨x(t) − ¨y(t)) = 2 R2 Ω2 (−X + Y ) sin(Ωt − ϕ)<br />
= JG<br />
Ω2<br />
R2 <br />
−<br />
F0<br />
|k − meqΩ2 |<br />
+ Y<br />
<br />
sin(Ωt − ϕ)<br />
Ricordando la definizione di F0, si può ottenere della (25) il valore massimo Tmax della reazione tangenziale:<br />
|Tmax| = JG<br />
⎛ <br />
⎜<br />
k −<br />
Ω2 ⎜<br />
R2 ⎝Y −<br />
JG<br />
<br />
Ω2 Y<br />
R2 |k − meqΩ2 ⎞<br />
⎟ JG ⎟<br />
| ⎠ =<br />
R2 mΩ4Y |k − meqΩ2 (26)<br />
|<br />
Come si può notare, il valore di Tmax calcolato mediante la (26) è uguale a quello ricavato precedentemente<br />
(vedi equazione (13)); tutto questo conferma la correttezza <strong>dei</strong> calcoli svolti.<br />
(25)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 23<br />
Esercizio 1.7 - Cod. VIB-007<br />
Il sistema in Figura 1, collocato in un piano verticale, è eccitato mediante uno spostamento di tipo armonico<br />
y(t) = Y sin Ωt impresso all’estremo A della molla.<br />
Supponendo che il rullo non slitti sul piano di rotolamento, determinare il valore massimo dell’ampiezza Y per<br />
cui, in condizioni di vibrazioni a regime, il tiro della fune non si annulla.<br />
Dati<br />
y(t) A k<br />
B<br />
2R<br />
R G<br />
M , JG<br />
Figura 1<br />
Fune inestensibile<br />
• Massa <strong>dei</strong> rulli coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M<br />
• Momento d’inerzia baricentrico <strong>dei</strong> rulli coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG<br />
• Massa traslante in direzione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
• Raggio del rullo piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R<br />
• Raggio del rullo grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2R<br />
• Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y<br />
• Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω<br />
Soluzione<br />
Indichiamo con ϑ la rotazione del rullo e con x lo spostamento della massa m; entrambe le coordinate sono<br />
misurate a partire dalla posizione di equilibrio statico. Risolviamo l’esercizio con il metodo degli equilibri<br />
dinamici; a tale scopo evidenziamo le forze agenti sui componenti del sistema:<br />
Nella Figura 2 si è indicata con δ la deformazione statica subita dalla molla per effetto del peso mg; con semplici<br />
considerazioni di equilibrio si può verificare che tale deformazione vale:<br />
δ = 3mg<br />
4k<br />
A questo punto è possibile scrivere le seguenti equazioni di equilibrio dinamico:<br />
Equilibrio alla rotazione per il rullo attorno al punto C (centro di istantanea rotazione):<br />
T · 3R − k(4Rϑ − y + δ) · 4R − JG ¨ ϑ − 2MR ¨ ϑ · 2R = 0 (2)<br />
m<br />
(1)
24 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
4R<br />
k(<br />
4Rϑ<br />
− y + δ)<br />
2MRϑ<br />
ϑ<br />
2R Mg<br />
C<br />
Φ N<br />
J Gϑ<br />
T T<br />
G<br />
ΦT<br />
Equilibrio alla traslazione verticale per la massa m:<br />
Figura 2<br />
x<br />
T<br />
T<br />
mg<br />
mx<br />
T + m¨x = mg (3)<br />
Poiché il rullo rotola senza strisciare e la fune è inestensibile, l’abbassamento verticale x della massa m e la<br />
rotazione ϑ del rullo sono legati dalla seguente relazione cinematica:<br />
x = 3Rϑ (4)<br />
Pertanto il sistema ha un solo grado di libertà: ciò significa che è sufficiente una sola coordinata per descrivere<br />
il suo moto.<br />
Dalla (3) è possibile ricavare la tensione T della fune; sostituendo il valore di T così calcolato nell’equazione (2)<br />
e tenendo conto delle relazioni (1) e (4) si perviene, dopo semplici passaggi, all’equazione di moto del sistema:<br />
La pulsazione propria è:<br />
(JG + 4MR 2 + 9mR 2 ) ¨ ϑ + 16kR 2 ϑ = 4kRy (5)<br />
ω =<br />
<br />
16kR 2<br />
JG + 4MR2 =<br />
+ 9mR2 <br />
16kR 2<br />
avendo posto Jeq = JG + 4MR 2 + 9mR 2 .<br />
Poiché il sistema è eccitato da uno spostamento armonico del vincolo y(t) = Y sin Ωt, la soluzione a regime ϑ(t)<br />
sarà ancora di tipo armonico, con pulsazione pari a quella della causa eccitatrice; possiamo quindi scrivere:<br />
Jeq<br />
ϑ(t) = Θ sin Ωt (7)<br />
Sostituendo la (7) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (5) e semplificando i termini armonici si<br />
ottiene per l’ampiezza a regime Θ il valore sotto riportato:<br />
Θ =<br />
4kRY<br />
|16kR 2 − Ω 2 Jeq|<br />
L’espressione del tiro della fune in condizioni di regime risulta:<br />
T (t) = mg − 3mR ¨ ϑ(t) = mg + 3mRΩ 2 ϑ(t)<br />
= mg + 3mRΩ 2<br />
<br />
<br />
sin Ωt<br />
4kRY<br />
|16kR 2 − Ω 2 Jeq|<br />
= mg + 12mR2Ω2kY |16kR2 − Ω2 sin Ωt<br />
Jeq|<br />
(6)<br />
(8)<br />
(9)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 25<br />
Dalla (9) si deduce che il valore minimo del tiro si ha per sin Ωt = −1; quindi, per ricavare il valore massimo<br />
dell’ampiezza Y che in condizioni di regime rende non nullo il tiro della fune, è sufficiente imporre la condizione:<br />
e risolvere la disequazione rispetto a Y ; con semplici passaggi si ottiene:<br />
Tmin = mg − 12mR2Ω2kY |16kR2 − Ω2 ≥ 0 (10)<br />
Jeq|<br />
Y ≤ g|16kR2 − JeqΩ 2 |<br />
12kR 2 Ω 2 = Ymax (11)
26 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.8 - Cod. VIB-008<br />
Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano verticale ed è costituito dai seguenti<br />
elementi:<br />
• una coppia di dischi (1) e (2) aventi raggio r1 ed r2 e momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione J1 e J2<br />
rispettivamente;<br />
• un’asta O2P, solidale con il disco (2), avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile;<br />
• una massa puntiforme m collocata in corrispondenza del punto P;<br />
• una molla di rigidezza k, che risulta scarica quando l’asta O2P si trova in posizione verticale.<br />
Assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione differenziale relativa alle oscillazioni libere del sistema e determinare la pulsazione<br />
propria;<br />
2. determinare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime, quando si applica al disco (1) una coppia<br />
esterna con andamento sinusoidale di ampiezza M0 e frequenza f; si effettui il calcolo: a) nell’ipotesi di<br />
smorzamento nullo; b) in presenza di uno smorzatore viscoso (visibile nel riquadro tratteggiato) avente una<br />
costante di smorzamento c assegnata.<br />
Nota. Si supponga assenza di slittamento fra i due dischi.<br />
Dati<br />
c 90°<br />
M r1<br />
O<br />
r2<br />
1<br />
O2<br />
m<br />
90°<br />
Figura 1<br />
• Raggio del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r1 = 0.1 m<br />
• Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r2 = 0.2 m<br />
• Momento d’inerzia del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J1 = 5 × 10 −3 kgm 2<br />
• Momento d’inerzia del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 4 × 10 −2 kgm 2<br />
• Lunghezza dell’asta O2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m<br />
• Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 20000 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 1000 Nm −1 s<br />
• Ampiezza della coppia applicata al disco (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M0 = 18 Nm<br />
• Frequenza della coppia applicata al disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 2 Hz<br />
P<br />
l<br />
1<br />
2<br />
k
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 27<br />
Soluzione<br />
Risolviamo il problema con il metodo degli equilibri dinamici, mettendo in evidenza le forze e le coppie agenti<br />
durante il moto sui singoli componenti del sistema; indichiamo con ϑ1 la rotazione del disco (1) (positiva in<br />
senso orario) e con ϑ2 la rotazione del disco (2) (positiva in senso antiorario).<br />
Nel caso di vibrazioni libere in assenza di smorzamento si ha la situazione riportata nella Figura 2:<br />
Moto libero<br />
T<br />
J 2ϑ2<br />
1 1 ϑ J<br />
mlϑ2<br />
ϑ1<br />
O1<br />
N<br />
N T<br />
O2<br />
ϑ2<br />
mg 2<br />
mlϑ2<br />
Figura 2<br />
kr2ϑ<br />
2<br />
Le equazioni di equilibrio alla rotazione attorno ai perni O1 e O2 sono:<br />
⎧<br />
⎨ T r1 + J1 ¨ ϑ1 = 0<br />
⎩<br />
J2 ¨ ϑ2 + kr 2 2ϑ2 + ml 2 ¨ ϑ2 + mgl sin ϑ2 − T r2 = 0<br />
Ricavando T dalla prima equazione e sostituendo il valore così ottenuto nella seconda si ha:<br />
(J2 + ml 2 ) ¨ ϑ2 + kr 2 ϑ2 + mgl sin ϑ2 − r2<br />
J1<br />
r1<br />
¨ ϑ1 = 0 (2)<br />
Per piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (pendolo verticale) si ha sin ϑ ∼ = ϑ; inoltre,<br />
ipotizzando assenza di slittamento fra i due dischi, è possibile definire il rapporto di trasmissione τ nel modo<br />
seguente:<br />
τ = ϑ2<br />
=<br />
ϑ1<br />
r1<br />
= 0.5 (3)<br />
r2<br />
(1)
28 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Tenendo conto della (3) l’equazione di moto (2) diventa:<br />
<br />
J1<br />
τ 2 + J2 + ml 2<br />
<br />
¨ϑ2 + (kr 2 2 + mgl)ϑ2 = 0 (4)<br />
La pulsazione propria risulta:<br />
<br />
<br />
ω =<br />
<br />
kr2 2 + mgl<br />
J1<br />
τ 2 + J2 + ml 2<br />
Moto forzato (in assenza di smorzamento)<br />
= 19.95 rad/s (5)<br />
Nel caso di moto forzato in assenza di smorzamento le equazioni di equilibrio alla rotazione diventano:<br />
⎧<br />
⎨ T r1 + J1 ¨ ϑ1 − M0 sin Ωt = 0<br />
dove Ω = 2πf = 12.56 rad/s.<br />
Procedendo come nel caso precedente si ottiene:<br />
<br />
J1<br />
τ 2 + J2 + ml 2<br />
<br />
⎩<br />
Per semplicità di scrittura poniamo:<br />
Con queste definizioni la (7) diviene:<br />
La soluzione a regime è del tipo:<br />
J2 ¨ ϑ2 + kr 2 2ϑ5 + ml 2 ¨ ϑ2 + mgl sin ϑ2 − T r8 = 0<br />
¨ϑ2 + (kr 2 2 + mgl)ϑ2 = M0<br />
τ<br />
Jeq = J1<br />
τ 2 + J2 + ml 2 = 2.06 kgm 2<br />
keq = kr 2 8 + mgl = 819.02 Nm<br />
Meq = M0<br />
τ<br />
= 36 Nm<br />
In assenza di smorzamento l’ampiezza di oscillazione risulta:<br />
Θ2 =<br />
mentre la fase ϕ risulta nulla in quanto Ω/ω = 0.60 < 1.<br />
(6)<br />
sin Ωt (7)<br />
Jeq ¨ ϑ2 + keqϑ2 = Meq sin Ωt (9)<br />
ϑ2(t) = Θ2 sin(Ωt − ϕ) (10)<br />
Meq<br />
|keq − Ω2 = 0.0728 rad = 4.17◦<br />
Jeq|<br />
Moto forzato (in presenza di smorzamento)<br />
Inserendo nel sistema uno smorzatore viscoso nella posizione indicata dal testo, occorre considerare nell’equilibrio<br />
alla rotazione della puleggia maggiore una coppia smorzante Msw di valore:<br />
Se si pone:<br />
Msm = Fsm · r2 = c · r2 ˙ ϑ2 · r2 = cr 2 2 ˙ ϑ2<br />
l’equazione di moto per vibrazioni forzate in presenza di smorzamento risulta:<br />
(8)<br />
(11)<br />
(12)<br />
ceq = cr 1 0 = 40 Nms (13)<br />
Jeq ¨ ϑ2 + ceq ˙ ϑ2 + keqϑ1 = Meq sin Ωt (14)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 29<br />
La soluzione a regime di tale equazione si può ancora scrivere nella forma (80), ma l’ampiezza e la fase valgono<br />
ora:<br />
tan ϕ =<br />
Θ2 =<br />
Meq<br />
<br />
(keq − Ω2Jeq) 2 = 0.051 rad = 2.9◦<br />
+ (ceqΩ) 2<br />
ceqΩ<br />
keq − Ω 2 Jeq<br />
= 1.017 ⇒ ϕ = 0.794 rad = 45.5 ◦<br />
Confrontando i valori dell’ampiezza a regime nei due casi, si osserva che in presenza di smorzamento l’ampiezza<br />
a regime risulta ridotta di circa il 30%.<br />
Nei grafici di Figura 3 viene riportato, in funzione della pulsazione della forzante, l’andamento dell’ampiezza e<br />
della fase per il moto a regime in assenza di smorzamento (linea tratteggiata) ed in presenza di smorzamento<br />
(linea continua).<br />
gradi<br />
gradi<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
Modulo<br />
0<br />
0 10 20 30 40 50<br />
rad/s<br />
60 70 80 90 100<br />
200<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Fase<br />
20<br />
0 10 20 30 40 50<br />
rad/s<br />
60 70 80 90 100<br />
Figura 3<br />
(15)<br />
(16)
30 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.9 - Cod. VIB-009<br />
Un’autovettura in marcia lungo una strada liscia incontra improvvisamente un tratto di carreggiata sconnesso<br />
con profilo approssimativamente sinusoidale.<br />
Si schematizzi l’automobile come una massa m collegata al terreno con una molla verticale di rigidezza k e<br />
l’andamento della strada con un profilo sinusoidale di ampiezza Y e lunghezza d’onda l.<br />
Assumendo che la costante di smorzamento sia pari a c, si richiede di determinare:<br />
1. l’espressione analitica in transitorio e a regime del moto oscillatorio dell’autovettura, supponendo che essa<br />
viaggi alla velocità v = 72 km/h;<br />
2. il tempo approssimativamente necessario affinché il sistema giunga a regime;<br />
3. la velocità per cui la vettura entra in risonanza;<br />
4. i valori di velocità in corrispondenza <strong>dei</strong> quali l’ampiezza massima delle oscillazioni a regime risulti inferiore<br />
a 4 cm.<br />
Dati<br />
v<br />
Y<br />
l<br />
Figura 1<br />
• Massa dell’autovettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1200 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 90 kN/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 2000 Ns/m<br />
• Ampiezza del profilo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Y = 3 cm<br />
• Lunghezza d’onda del profilo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 5 m<br />
Soluzione<br />
Determinazione dell’espressione analitica del moto oscillatorio dell’autovettura<br />
Per lo studio delle oscillazioni verticali dell’autovettura il testo suggerisce di schematizzare il veicolo mediante<br />
il modello riportato nella Figura 2.<br />
v<br />
m<br />
k c<br />
x(t)<br />
y(t) Y<br />
l<br />
Figura 2
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 31<br />
Misurando lo spostamento verticale x a partire dalla posizione di equilibrio statico (molla deformata sotto<br />
l’azione del peso P = mg), l’equazione di moto risulta:<br />
m¨x + c( ˙x − ˙y) + k(x − y) = 0 (1)<br />
Il profilo della strada y(t) può essere schematizzato mediante una sinusoide di ampiezza Y e di pulsazione Ω, il<br />
cui valore risulta funzione della lunghezza d’onda l del profilo e della velocità v del veicolo; infatti, nell’ipotesi<br />
che l’automobile mantenga costante la sua velocità, il tempo T (detto periodo della sinusoide) impiegato a<br />
percorrere un tratto di strada sconnesso di lunghezza l sarà pari a l/v; la pulsazione risulterà pertanto:<br />
Ω = 2π<br />
T<br />
L’espressione analitica del profilo stradale sarà quindi:<br />
Con i dati del problema si ha:<br />
Derivando la (3) si ottiene:<br />
= 2πv<br />
l<br />
y(t) = Y sin Ωt (3)<br />
v = 72 km/h = 20 m/s<br />
Ω = 2πv<br />
l<br />
T = l<br />
= 0.25 s<br />
v<br />
= 25.13 rad/s<br />
˙y(t) = ΩY cos Ωt (5)<br />
Tenendo conto delle relazioni (3) e (5) l’equazione di moto (1) può essere riscritta nella forma:<br />
m¨x + c ˙x + kx = kY sin Ωt + cΩY cos Ωt (6)<br />
La soluzione x(t) di tale equazione, come è noto, è data dalla somma di due termini: l’integrale generale xgen(t)<br />
dell’omogenea associata e l’integrale particolare xpart(t) dell’equazione completa.<br />
Calcolo dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata<br />
Per determinare l’espressione analitica dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata occorre in primo<br />
luogo verificare se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni di smorzamento critico;<br />
calcoliamo pertanto il fattore di smorzamento ξ:<br />
ξ = c<br />
ccr<br />
= c<br />
2mω<br />
dove ccr indica lo smorzamento critico ed ω la pulsazione propria del sistema.<br />
Con i valori numerici assegnati si ricava:<br />
<br />
k<br />
c<br />
ω = = 8.66 rad/s ξ = = 0.096 (8)<br />
m 2mω<br />
Poiché risulta xi < 1 il sistema è sottosmorzato; definendo ora la pulsazione propria smorzata nel modo seguente:<br />
ωs = ω 1 − ξ 2 = 8.62 rad/s (9)<br />
l’integrale generale dell’equazione omogenea associata si può scrivere nella forma:<br />
xgen(t) = e −ξωt (A cos ωst + B sin ωst) (10)<br />
dove A e B rappresentano due costanti ricavabili mediante le condizioni iniziali.<br />
(2)<br />
(4)<br />
(7)
32 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Calcolo dell’integrale particolare dell’equazione completa<br />
L’integrale particolare dell’equazione completa fornisce la soluzione dell’equazione di moto in condizioni di<br />
regime sinusoidale permanente; per il caso in esame (moto forzato dovuto allo spostamento del vincolo) tale<br />
soluzione è del tipo:<br />
xpart(t) = X sin(Ωt − ϕ) (11)<br />
dove<br />
tan ϕ =<br />
X = Y<br />
Pertanto la soluzione dell’equazione di moto è:<br />
<br />
k 2 + (cΩ) 2<br />
(k − mΩ 2 ) 2 + (cΩ) 2 = 4.62 × 10−3 m (12)<br />
mcΩ3 k(k − mΩ2 = −0.662 ⇒ ϕ = 2.557 rad = 146.5◦<br />
) + (cΩ) 2<br />
(13)<br />
x(t) = e −ξωt (A cos ωst + B sin ωst) + X sin(Ωt − ϕ) (14)<br />
Come si è detto, per ricavare le costanti di integrazione A e B occorre conoscere le condizioni iniziali; a tale<br />
scopo supponiamo che, nell’istante t = 0 in cui l’autovettura incontra il profilo di strada sconnesso, la massa<br />
oscillante (scocca del veicolo) si trovi nella posizione di equilibrio con velocità nulla in direzione verticale; con<br />
tale ipotesi le condizioni iniziali si possono esprimere nella forma sotto riportata:<br />
Per poter imporre la seconda delle (15) occorre derivare la (14):<br />
x(0) = 0 ˙x(0) = 0 (15)<br />
˙x(t) = e −ξωt [(Bωs − ξωA) cos ωst − (Aωs + ξωB) sin ωst] + ΩX cos(Ωt − ϕ) (16)<br />
Dalle (15), tenendo conto delle espressioni (14) e (16) si ricava il seguente sistema di equazioni:<br />
A + X sin(−ϕ) = 0<br />
(Bωs − ξωA) + ΩX cos(−ϕ) = 0<br />
La soluzione di tale sistema è:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
A = X sin ϕ = 2.55 × 10−3 m<br />
B = 1<br />
(ξωA − ΩX cos ϕ) = 11.47 × 10 −3 m<br />
In definitiva l’equazione (14) può essere riscritta nella forma:<br />
ωs<br />
x(t) = 10 −3 [e −0.833t (2.55 cos 8.62 t + 11.47 sin 8.62 t) + 4.62 sin(25.13 t − 2.557)] (19)<br />
dove x è espresso in metri e t in secondi.<br />
Nei grafici seguenti sono riportati gli andamenti delle funzioni xgen(t), xpart(t) e x(t); come si può osservare, il<br />
contributo del termine xgen(t) tende ad annullarsi con il trascorrere del tempo.<br />
Calcolo del tempo approssimativamente necessario affinché il sistema giunga a<br />
regime<br />
La condizione di regime per il sistema si ha quando si annulla nella (14) il termine corrispondente all’integrale<br />
generale dell’equazione omogenea associata xgen(t); ciò si verifica, da un punto di vista strettamente teorico, in<br />
un tempo infinito, in quanto, per la presenza del termine esponenziale decrescente, risulta:<br />
(17)<br />
(18)<br />
lim<br />
t→+∞ xgen(t) = 0 (20)<br />
Tuttavia, da un punto di vista pratico, si può ritenere che il sistema abbia raggiunto la condizione di regime quando<br />
xgen(t) risulta trascurabile rispetto al contributo dell’integrale particolare dell’equazione completa xpart(t);
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 33<br />
spostamento [m]<br />
spostamento [m]<br />
spostamento [m]<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
0.01<br />
0.02<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
0.01<br />
tempo [s]<br />
0.02<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
0.01<br />
tempo [s]<br />
0.02<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br />
tempo [s]<br />
Figura 3 a) Integrale generale dell’equazione omogenea associata xgen(t); b) Integrale particolare dell’equazione<br />
completa xpart(t); c) Integrale generale dell’equazione completa x(t) = xgen(t) + xpart(t).
34 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
pertanto, fissata arbitrariamente una soglia γ ≪ 1, si considera esaurito il transitorio quando è verificata la<br />
seguente condizione:<br />
Ampiezza di xgen(t)<br />
≤ γ (21)<br />
Ampiezza di xpart(t)<br />
L’ampiezza di xpart(t) è data dalla (12), mentre l’ampiezza di xgen(t) si può ricavare riscrivendo la (10) nella<br />
forma:<br />
xgen(t) = Ce −ξωt sin(ωst + α) (22)<br />
dove si è posto:<br />
C = A2 + B2 tan α = A<br />
(23)<br />
B<br />
L’equazione (22) può essere interpretata come l’espressione analitica di una sinusoide con ampiezza Ce−ξωt decrescente nel tempo con legge esponenziale; dalla (21) si ricava pertanto:<br />
ovvero, risolvendo rispetto al tempo:<br />
Ce −ξωt ≤ γX (24)<br />
t ≥ 1<br />
ξω ln<br />
<br />
C<br />
= treg<br />
γX<br />
Sostituendo nella prima delle (23) i valori di A e B dati dalle (18) si ottiene C = 11.75 × 10 −3 m; ponendo<br />
infine γ = 1/100, la disequazione (25) fornisce treg ≥ 6.65 s: ciò significa che occorrono poco meno di 7 secondi<br />
per raggiungere la condizione di regime 1 .<br />
Calcolo della velocità per cui la vettura entra in risonanza<br />
Per calcolare la velocità del veicolo che porta la sospensione in condizioni di risonanza è sufficiente imporre che<br />
la pulsazione propria del sistema sia uguale alla pulsazione della forzante:<br />
Risolvendo rispetto a v si ottiene:<br />
Ω = ω ⇒<br />
2πv<br />
l<br />
(25)<br />
= ω (26)<br />
v = ωl<br />
= 6.89 m/s = 24.8 km/h (27)<br />
2π<br />
Occorre tuttavia precisare che per “risonanza” non si deve intendere soltanto la condizione espressa dalla (26),<br />
bensì tutto il campo di frequenze prossime a quella della forzante; infatti, anche per frequenze della forzante<br />
poco differenti da quella propria del sistema, si verifica un’amplificazione dell’ampiezza delle vibrazioni a regime,<br />
tanto più evidente quanto minore è lo smorzamento.<br />
Di conseguenza, per evitare l’insorgere di vibrazioni con ampiezza eccessiva, è necessario fissare una soglia<br />
massima consentita per l’ampiezza delle vibrazioni e verificare che la pulsazione della forzante non sia tale da<br />
determinare il superamento del limite imposto (vedi punto successivo).<br />
Calcolo <strong>dei</strong> valori di velocità per i quali l’ampiezza massima delle oscillazioni a<br />
regime risulta inferiore al limite imposto<br />
Per rispondere a questa domanda consideriamo l’equazione (12), che fornisce l’ampiezza delle oscillazioni a<br />
regime in funzione della pulsazione Ω della forzante; con semplici passaggi possiamo riscrivere tale equazione<br />
della forma:<br />
<br />
dove si è posto r = Ω/ω<br />
X = Y<br />
1 + (2ξr) 2<br />
(1 − r 2 ) 2 + (2ξr) 2<br />
Imponendo la condizione X ≤ Xmax e definendo α = (Xmax/Y ) 2 si ricava dalla (28) la seguente disequazione:<br />
r 4 + 2r 2<br />
<br />
2ξ 2 − 1 − 2ξ2<br />
α<br />
<br />
+<br />
<br />
1 − 1<br />
α<br />
(28)<br />
<br />
≥ 0 (29)<br />
1 Ovviamente il valore di treg dipende dal valore di γ (arbitrario) che viene inserito nella (25); pertanto quando si determina il<br />
tempo necessario per raggiungere la condizione di regime è bene specificare il valore di γ utilizzato per il calcolo.
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 35<br />
Utilizzando i dati assegnati si ricava α = 1.778, mentre il valore di ξ è già noto dalla seconda delle (8); effettuando<br />
il calcolo numerico <strong>dei</strong> coefficienti della (29) si perviene alla seguente disequazione:<br />
r 4 − 1.984 r 2 + 0.438 ≥ 0 (30)<br />
Poiché il rapporto r deve risultare necessariamente positivo (si tratta infatti del rapporto fra due pulsazioni),<br />
gli intervalli per i quali la disequazione è verificata sono i seguenti:<br />
0 ≤ r ≤ 0.503 r ≥ 1.316 (31)<br />
A questo punto, tenendo conto della (2) e della definizione di r, è immediato calcolare i corrispondenti valori<br />
della velocità v del veicolo:<br />
lω<br />
r = r1 = 0.503 ⇒ v1 = r1 = 3.46 m/s = 12.5 km/h<br />
2π<br />
lω<br />
r = r2 = 1.316 ⇒ v2 = r2 = 9.07 m/s = 32.6 km/h<br />
2π<br />
In definitiva gli intervalli di velocità in corrispondenza <strong>dei</strong> quali l’ampiezza della vibrazione a regime non supera<br />
il limite imposto sono quindi:<br />
0 ≤ v ≤ v1 v ≥ v2 (33)<br />
I risultati ottenuti sono riassunti nel diagramma di Figura 4, che fornisce l’ampiezza delle vibrazioni a regime<br />
in funzione della velocità del veicolo.<br />
[cm]<br />
20<br />
17.5<br />
15<br />
12.5<br />
10<br />
7.5<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
Ampiezza oscillazioni a regime<br />
0 5 10 15 20 25 30 35<br />
velocità dell' autoveicolo [m/s]<br />
Figura 4<br />
(32)
36 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.10 - Cod. VIB-010<br />
Il meccanismo rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano verticale ed è costituito dai seguenti elementi:<br />
• una ruota dentata di raggio primitivo r e momento d’inerzia baricentrico J ruotante attorno al punto O2;<br />
• una slitta di massa M, dotata di cremagliera, che si accoppia alla ruota dentata scorrendo in una guida<br />
orizzontale;<br />
• un’asta O2P, solidale con la ruota dentata, avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile;<br />
• una massa puntiforme m collocata all’estremità inferiore dell’asta;<br />
• un meccanismo a glifo, la cui manovella O1A ruota a velocità costante Ω;<br />
• una molla di rigidezza k;<br />
• uno smorzatore viscoso con costante di smorzamento pari a c<br />
Il sistema è in equilibrio quando la manovella O1A e l’asta O2P si trovano in posizione verticale. Assumendo<br />
l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione differenziale di moto del sistema;<br />
2. determinare la pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ;<br />
3. calcolare l’ampiezza e la fase delle vibrazioni in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
Ω<br />
Y<br />
A<br />
k<br />
O M<br />
1<br />
l<br />
Figura 1<br />
• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.2 m<br />
• Momento d’inerzia della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.03 kg m 2<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1 kg<br />
• Lunghezza dell’asta O2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 0.75 m<br />
• Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 0.2 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5000 N/m<br />
• Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 80 Ns/m<br />
• Lunghezza della manovella O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m<br />
• Velocità angolare della manovella O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 70 rad/s<br />
P<br />
r<br />
O2<br />
J<br />
m<br />
c
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 37<br />
Soluzione<br />
Per risolvere il problema applichiamo il metodo degli equilibri dinamici; indicando con x lo spostamento della<br />
slitta e con ϑ la rotazione del pendolo, il sistema di forze e coppie agente sul meccanismo durante il movimento<br />
è quello indicato nella Figura 2.<br />
k( x − y)<br />
m l<br />
2<br />
ϑ& x<br />
T<br />
mg<br />
N<br />
ϑ & J<br />
ϑ<br />
N<br />
M&x &<br />
T<br />
O2<br />
mϑl &<br />
Figura 2<br />
L’equilibrio alla traslazione orizzontale della slitta fornisce l’equazione:<br />
c& x<br />
M ¨x + c ˙x + k(x − y) + T = 0 (1)<br />
mentre l’equilibrio alla rotazione per il sistema pendolo-ruota dentata dà luogo all’equazione:<br />
T r − J ¨ ϑ − ml 2 ¨ ϑ − mgl sin ϑ = 0 (2)<br />
Si osservi che, nell’equazione (1) si è indicato con y il movimento impresso all’estremo sinistro della molla tramite<br />
il manovellismo a croce; poiché la manovella O1A ruota a velocità angolare Ω costante, risulta y(t) = Y sin Ωt.<br />
Dalla (2), ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ ),<br />
è possibile ricavare l’azione tangenziale T :<br />
T = 1<br />
r [(J + ml2 ) ¨ ϑ + mglϑ] (3)<br />
La relazione cinematica che lega la traslazione x della slitta con la rotazione ϑ della ruota dentata è la seguente:<br />
dove r indica il raggio primitivo della ruota dentata.<br />
ϑ = x<br />
r<br />
(4)
38 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
A questo punto è immediato ricavare l’equazione di moto del sistema: basta infatti sostituire nella (1) il valore<br />
di T fornito dalla (3) e tenere conto della relazione (4); con semplici passaggi si ottiene:<br />
<br />
M + J<br />
<br />
2 <br />
l<br />
+ m ¨x + c ˙x + k +<br />
r2 r<br />
mgl<br />
r2 <br />
= kY sin Ωt (5)<br />
Per semplicità di scrittura poniamo:<br />
La (5) può quindi essere riscritta nella forma:<br />
Meq = M + J<br />
2 l<br />
+ m = 4.563 kg<br />
r2 r<br />
ceq = c = 80 Ns/m<br />
keq = k + mgl<br />
= 5036.8 N/m<br />
r2 Feq = kY = 250 N<br />
Meq ¨x + ceq ˙x + keqx = Feq sin Ωt (7)<br />
La pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ valgono rispettivamente:<br />
<br />
ω =<br />
keq<br />
Meq<br />
L’espressione analitica del moto a regime risulta:<br />
dove l’ampiezza X e la fase ϕ si ricavano con le seguenti relazioni:<br />
tan ϕ =<br />
X =<br />
ceqΩ<br />
L’ampiezza a regime delle oscillazioni del pendolo risulta:<br />
= 33.2 rad/s ξ = ceq<br />
= 0.264 (8)<br />
2Meqω<br />
x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (9)<br />
Feq<br />
<br />
(keq − MeqΩ2 ) 2 = 0.0137 m (10)<br />
+ (ceqΩ) 2<br />
= −0.323 ⇒ ϕ = 2.829 rad = 162◦<br />
keq − MeqΩ2 Θ = X<br />
r<br />
= 0.0687 rad = 3.93◦<br />
(6)<br />
(11)<br />
(12)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 39<br />
Esercizio 1.11 - Cod. VIB-050<br />
Si deve installare in un laboratorio una macchina per prove di fatica cha ha tutte le masse in movimento<br />
equilibrate, tranne la massa in moto alterno, che si muove verticalmente con legge pressoché sinusoidale.<br />
La macchina, rappresentata schematicamente in Figura 1, è costituita da un telaio di massa MT sul quale è<br />
montato un meccanismo biella-manovella, di massa trascurabile, che aziona una testa oscillante di massa m;<br />
mediante un opportuno sistema di fissaggio, la testa oscillante è collegata al provino in modo tale da generare<br />
una sollecitazione di flessione alternata.<br />
Utilizzando i dati assegnati ed i diagrammi di Figura 2 si chiede di progettare la fondazione (basamento di<br />
cemento sul quale viene installata la macchina) in modo che la forza alternata trasmessa al pavimento risulti<br />
inferiore al valore Fmax = 100 N e che l’ampiezza delle vibrazioni della fondazione non superi il valore Xmax =<br />
0.1 mm.<br />
Si chiede inoltre di verificare che, per ragioni pratiche, la massa totale Mtot (somma della massa della macchina<br />
e di quella della fondazione) non superi il limite di 10000 kg.<br />
Dati<br />
provino sollecitato<br />
a flessione alternata<br />
Ω<br />
sospensione elastica<br />
Figura 1<br />
testa oscillante<br />
fondazione<br />
(basamento di cemento)<br />
• Massa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 200 kg<br />
• Massa complessiva della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = MT + m = 1500 kg<br />
• Corsa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 8 mm<br />
• Velocità di rotazione della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 300 giri/min
40 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Nomenclatura<br />
ω Pulsazione propria<br />
Ω Pulsazione della forzante<br />
r = c/2 Raggio di manovella<br />
Fecc Forza eccitatrice<br />
Ftr Forza trasmessa<br />
X Ampiezza delle oscillazioni a regime<br />
Soluzione<br />
5<br />
4.5<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
X M tot<br />
mr<br />
F<br />
F<br />
0<br />
0 0.5 1 1.5 2<br />
Ω/ω<br />
2.5 3 3.5 4<br />
Figura 2<br />
tr<br />
ecc<br />
Fecc = mrΩ 2<br />
Ftr<br />
Fecc<br />
=<br />
XMtot<br />
mr<br />
1<br />
|1 − (Ω/ω) 2 |<br />
= (Ω/ω)2<br />
|1 − (Ω/ω) 2 |<br />
Il progetto della fondazione consiste nel determinare i parametri del sistema vibrante (massa e rigidezza) in<br />
modo tale da mantenere i valori della forza trasmessa al terreno e dell’ampiezza di oscillazione entro i limiti<br />
assegnati. Per risolvere il problema faremo riferimento allo schema di Figura 3, in cui sono rappresentate la<br />
macchina per prove di fatica e la relativa fondazione.<br />
Indichiamo con z(t) lo spostamento della testa oscillante relativo alla macchina e con x(t) lo spostamento<br />
assoluto del gruppo macchina-fondazione; poiché la testa oscillante si muove con legge pressoché sinusoidale2 possiamo scrivere:<br />
z(t) ∼ = r sin Ωt = c<br />
sin Ωt (1)<br />
2<br />
dove Ω indica la velocità angolare della manovella (coincidente con la pulsazione del moto armonico della testa<br />
oscillante) ed r = c/2 il raggio di manovella.<br />
Poiché ad ogni oscillazione della massa m corrisponde una rotazione completa della manovella, si ha:<br />
Per le masse in gioco adottiamo i seguenti simboli:<br />
Ω = 2πn<br />
60<br />
• Massa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m<br />
• Massa del telaio della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MT<br />
2 Indicando rispettivamente con r ed l le lunghezze della manovella e della biella, si può ritenere che la testa oscillante si muova<br />
con legge pressoché sinusoidale se il parametro λ = r/l (detto rapporto caratteristico del manovellismo) risulta molto minore<br />
dell’unità.<br />
(2)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 41<br />
Ω<br />
Figura 3<br />
• Massa complessiva della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = MT + m<br />
• Massa della fondazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MF<br />
• Massa totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtot = M + MF = MT + m + MF<br />
Le forze agenti sul sistema durante il movimento sono evidenziate in Figura 4.<br />
Si noti che:<br />
• la forza esercitata dalla sospensione elastica si ottiene moltiplicando la rigidezza equivalente k per lo spostamento<br />
verticale x del gruppo “macchina-fondazione”; poiché le molle sono in parallelo (ovvero sono soggette<br />
alla stessa deformazione) la rigidezza k è data dalla somma delle rigidezze delle singole molle;<br />
• la forza d’inerzia agente sulla massa oscillante è data dal prodotto della massa m per la sua accelerazione<br />
assoluta (che si ottiene sommando l’accelerazione relativa ¨z con l’accelerazione di trascinamento ¨x);<br />
• in Figura 4 sono state omesse le forze peso, in quanto tali forze risultano in ogni istante equilibrate dalle forze<br />
elastiche che si generano a causa delle deformazioni statiche delle molle);<br />
• lo spostamento x viene misurato a partire dalla posizione di equilibrio statico.<br />
L’equazione di moto per il sistema in esame si ottiene scrivendo la condizione di equilibrio dinamico alla<br />
traslazione verticale:<br />
(MT + MF )¨x + m(¨x + ¨z) + kx = 0 (3)<br />
ovvero, raccogliendo ¨x e tenendo conto della definizione di massa totale Mtot:<br />
z(t)<br />
Mtot¨x + kx = −m¨z (4)<br />
Derivando due volte rispetto al tempo la (1) e sostituendo nella (4) il valore di ¨z così determinato, si ricava,<br />
dopo semplici passaggi:<br />
Mtot¨x + kx = mrΩ 2 sin Ωt (5)<br />
Dalla (5), ponendo ω = k/Mtot e dividendo tutti i termini per Mtot , si perviene all’equazione sotto riportata:<br />
¨x + ω 2 x = m<br />
Mtot<br />
x(t)<br />
rΩ 2 sin Ωt (6)<br />
La (6) è un’equazione differenziale del 2 ◦ ordine che descrive il moto di un sistema vibrante ad un grado di libertà<br />
(non smorzato) eccitato da una forzante armonica; come è noto, la soluzione a regime (integrale particolare) di<br />
tale equazione è del tipo<br />
x(t) = X sin Ωt (7)
42 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
m ( x + z)<br />
M F<br />
z(t)<br />
( + M ) x<br />
M T F<br />
kx<br />
Ω<br />
Figura 4<br />
dove X (ampiezza delle oscillazioni a regime) si ricava sostituendo la (7) e la sua derivata seconda nella (6) e<br />
semplificando i termini armonici; con semplici passaggi si ottiene:<br />
X = mr<br />
Mtot<br />
2 Ω<br />
ω<br />
<br />
Ω<br />
1 −<br />
ω<br />
Dalla (8) si deduce che l’ampiezza X è positiva per Ω/ω < 1, è negativa per Ω/ω > 1 e tende all’infinito 3<br />
per Ω/ω = 1; spesso l’ampiezza X viene considerata in valore assoluto e, per tenere conto del suo segno, si<br />
introduce uno sfasamento ϕ rispetto alla causa eccitatrice, rappresentata dal termine al secondo membro nella<br />
(6); in questo caso possiamo scrivere:<br />
x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (9)<br />
dove<br />
La funzione<br />
X = mr<br />
Mtot<br />
2<br />
<br />
Ω<br />
ω<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
X<br />
µr =<br />
ϕ =<br />
2<br />
2<br />
<br />
Ω<br />
ω<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
m<br />
M T<br />
0 per Ω/ω < 1<br />
π per Ω/ω > 1<br />
in cui si è posto µ = m/Mtot rappresenta l’ampiezza di oscillazione adimensionalizzata ed il suo grafico è<br />
riportato con linea tratteggiata in Figura 2; come risulta evidente, tale funzione dipende dal rapporto fra la<br />
pulsazione della causa eccitatrice e la pulsazione propria del sistema.<br />
Per quanto riguarda la forza Ftr trasmessa al terreno, possiamo affermare che il suo valore risulta pari a quello<br />
della forza elastica (infatti, come risulta evidente dalla Figura 3, il collegamento tra il sistema vibrante ed il<br />
3 Nella realtà l’ampiezza delle oscillazioni non tende all’infinito in condizioni di risonanza (Ω/ω = 1), poiché intervengono i<br />
fenomeni di attrito a limitare l’ampiezza stessa delle vibrazioni (si veda a questo proposito la trattazione delle vibrazioni forzate in<br />
presenza di smorzamento).<br />
x(t)<br />
(8)<br />
(10)<br />
(11)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 43<br />
terreno avviene esclusivamente tramite le molle); si ha pertanto:<br />
Ftr = kX = k mr<br />
Mtot<br />
2 Ω<br />
ω<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
= mrω<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
2<br />
2 Ω<br />
ω<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
=<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
mrΩ2<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
Il termine mrΩ2 rappresenta il valore massimo della forza d’inerzia agente sulla testa oscillante per effetto del<br />
moto armonico z(t); tale forza rappresenta la causa eccitatrice che genera le vibrazioni del sistema; dalla (12),<br />
ponendo Fecc = mrΩ2 , si ha:<br />
Ftr 1<br />
= <br />
Fecc 2<br />
Ω<br />
<br />
(13)<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
Il grafico della funzione (13) è riportato con linea continua in Figura 2 anche in questo caso si può osservare<br />
che il rapporto fra la forza trasmessa e la forza eccitatrice dipende dal rapporto fra la pulsazione della forzante<br />
e la pulsazione propria del sistema.<br />
Osservando i due diagrammi si nota che, per Ω/ω ≪ 1 si hanno elevati valori di forza trasmessa e piccoli valori<br />
dell’ampiezza di oscillazione: in questo caso la pulsazione propria del sistema è elevata rispetto alla pulsazione<br />
della forzante (fondazione rigida); viceversa, per Ω/ω ≫ 1 la forza trasmessa è di bassa entità, mentre l’ampiezza<br />
di oscillazione risulta elevata: in questo caso la pulsazione propria del sistema è piccola rispetto alla pulsazione<br />
della forzante (fondazione sospesa).<br />
In altri termini, la fondazione rigida è caratterizzata da elevati valori della costante elastica e da bassi valori<br />
della massa, mentre per la fondazione sospesa si hanno basse rigidezze e masse elevate. Le considerazioni sopra<br />
riportate sono riassunte schematicamente in Figura 5, nella quale sono riportati qualitativamente i diagrammi<br />
di Figura 2 e sono evidenziati gli intervalli del rapporto Ω/ω per i quali una fondazione può considerarsi rigida<br />
oppure sospesa.<br />
1<br />
fond.<br />
rigida<br />
1<br />
Figura 5<br />
X<br />
µ r<br />
fond.<br />
sospesa<br />
Giunti a questo punto possiamo effettuare il dimensionamento della fondazione utilizzando i dati ed i diagrammi<br />
assegnati.<br />
Procediamo innanzitutto con il calcolo della pulsazione della forzante, facilmente calcolabile mediante la relazione<br />
(2):<br />
Ω = 2πn 2 × π × 300<br />
= = 31.4 rad/s (14)<br />
60 60<br />
F<br />
F<br />
tr<br />
ecc<br />
Ω / ω<br />
(12)
44 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
La forza eccitatrice risulta:<br />
Fecc = mrΩ 2 = 200 × 4 × 10 −3 × 31.4 2 = 789 N (15)<br />
Il rapporto tra forza trasmessa ammissibile e la forza eccitatrice vale pertanto:<br />
Fmax<br />
Fecc<br />
= 100<br />
= 0.127 (16)<br />
789<br />
Affinché non venga superato il limite imposto sulla forza trasmessa al pavimento, dovrà essere verificata la<br />
seguente disequazione:<br />
Fmax 1<br />
= <br />
Fecc 2<br />
Ω<br />
<br />
≤ 0.127 (17)<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
Per quanto concerne l’ampiezza di oscillazione, possiamo procedere in modo analogo: dapprima si calcola il<br />
rapporto X/µr e successivamente si impone la limitazione richiesta dal testo del problema. Assumendo per la<br />
massa totale un valore pari al 95% del valore massimo ammissibile si ha:<br />
Mtot = 0.95 × 10000 = 9500 kg (18)<br />
XmaxMtot<br />
mr<br />
XMtot<br />
mr =<br />
= 0.1 × 10−3 × 9500<br />
= 1.188<br />
200 × 4 × 10−3 2 Ω<br />
(19)<br />
ω<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
≤ 1.188<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
(20)<br />
Le disequazioni (17) e (20) possono essere agevolmente risolte per via grafica con l’ausilio <strong>dei</strong> diagrammi di<br />
Figura 2, disegnati separatamente in Figura 6 per motivi di chiarezza.<br />
Dai grafici si ricava che la limitazione sulla forza trasmessa è soddisfatta per Ω/ω > 3, mentre la limitazione<br />
sull’ampiezza massima di oscillazione è soddisfatta per Ω/ω < 0.7 oppure per Ω/ω > 2.5; pertanto entrambe le<br />
condizioni risultano verificate se assumiamo Ω/ω = 3.5.<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0.127<br />
0<br />
Forza trasmessa al terreno<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1.188<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
Ampiezza di oscillazione<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />
Ω/ω Ω/ω<br />
Figura 6<br />
Conoscendo ora il rapporto Ω/ω possiamo calcolare immediatamente la rigidezza equivalente k da assegnare<br />
alla sospensione elastica; si ha:<br />
k = Mtotω 2<br />
(21)
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 45<br />
dove<br />
ω = Ω 31.4<br />
= = 8.97 rad/s (22)<br />
3.5 3.5<br />
Con i dati assegnati si ottiene k = 765.4 kN/m.<br />
La massa della fondazione sulla quale dovrà essere montata la macchina si ottiene come differenza fra la massa<br />
totale e la massa propria della macchina:<br />
La forza trasmessa al terreno risulta:<br />
e l’ampiezza di oscillazione:<br />
X = mr<br />
Mtot<br />
2 Ω<br />
ω<br />
<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
=<br />
1<br />
−<br />
ω<br />
200 × 4 × 10−3<br />
MF = Mtot − M = 9500 − 1500 = 8000 kg (23)<br />
Ftr = <br />
<br />
<br />
1<br />
−<br />
<br />
Fecc<br />
2<br />
Ω<br />
<br />
ω<br />
9500<br />
= 789<br />
= 70 N (24)<br />
1 − 3.52 × 3.52<br />
1 − 3.5 2 = 9.2 × 10−5 m = 0.092 mm (25)<br />
Come si può notare, tutte le limitazioni richieste dal progetto risultano soddisfatte; infatti la forza trasmessa<br />
risulta minore di 100 N, l’ampiezza di oscillazione è inferiore a 0.1 mm e la massa totale non supera i 10000 kg.
Esercizi proposti
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 47<br />
Esercizio 1.12 - Cod. VIB-052<br />
k 2<br />
c 2<br />
4<br />
J O<br />
5<br />
O<br />
3<br />
a<br />
a<br />
8<br />
Il sistema rappresentato in figura è costituito da un motore elettrico (1) montato sopra una slitta (2), scorrevole<br />
senza attrito all’interno di una guida rettilinea; l’asta (3), di massa trascurabile, collega la slitta alla leva (4),<br />
incernierata nel punto O; il sistema è vincolato a terra mediante i supporti elastici (5) e (6), schematizzati<br />
mediante una molla lineare in parallelo con uno smorzatore viscoso.<br />
La slitta può essere bloccata mediante il chiavistello (7).<br />
A causa di un errore di montaggio il rotore (8), calettato sull’asse del motore elettrico, presenta un’eccentricità<br />
pari ad Re.<br />
Il motore viene avviato e viene portato alla velocità di regime n, mantenendo il chiavistello nella posizione<br />
di bloccaggio, al fine di impedire qualsiasi movimento della slitta e degli organi ad essa collegati; una volta<br />
raggiunta la velocità di regime, il chiavistello viene sfilato: il sistema può allora vibrare sotto l’effetto della<br />
forzante causata dallo squilibrio del rotore.<br />
Domande<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema, supponendo che l’asta (4) compia piccole oscillazioni;<br />
2. determinare la legge di moto della slitta (in transitorio e a regime);<br />
3. calcolare il tempo approssimativamente necessario per raggiungere la condizione di regime;<br />
4. determinare l’andamento temporale delle sollecitazioni nell’asta (in condizioni di regime);<br />
5. nell’ipotesi che lo smorzamento <strong>dei</strong> supporti sia trascurabile e che la velocità di rotazione del motore coincida<br />
con la pulsazione propria del sistema (condizione di risonanza), si determini l’andamento temporale delle<br />
vibrazioni della slitta.<br />
Dati<br />
• Massa del sistema slitta-motore (escluso rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg<br />
• Massa del rotore squilibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 5 kg<br />
• Momento d’inerzia della leva (4) rispetto al punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J0 = 0.15 kg m 2<br />
• Costanti elastiche <strong>dei</strong> supporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 10 kN/m k2 = 15 kN/m<br />
• Costanti di smorzamento <strong>dei</strong> supporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c1 = 80 Ns/m c2 = 100 Ns/m<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Re = 5 mm<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> bracci della leva (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 300 mm<br />
• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1000 giri/min<br />
M<br />
7<br />
m<br />
Re<br />
1<br />
2<br />
6<br />
k1<br />
c 1
48 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.13 - Cod. VIB-059<br />
k1<br />
r1<br />
J1<br />
1<br />
2<br />
J R J R<br />
Il carrello rappresentato in figura viene azionato da un manovellismo a croce, la cui manovella OP ruota a<br />
velocità angolare Ω costante.<br />
La trasmissione del moto fra il manovellismo ed il carrello avviene mediante una molla di rigidezza k2 ed uno<br />
smorzatore avente costante di smorzamento pari a c.<br />
Sul carrello è montata una ruota (1) di raggio r1 che viene messa in movimento dalla ruota (2) del carrello; si<br />
supponga che la trasmissione del moto fra le ruote (1) e (2) avvenga senza slittamenti.<br />
La ruota (1) è collegata al telaio del carrello da una molla di rigidezza k1; si noti che l’estremità destra della<br />
molla si avvolge sulla circonferenza della ruota (1).<br />
Nell’ipotesi che le ruote (2) e (3) rotolino senza strisciare sul terreno, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema;<br />
2. calcolare il valore della pulsazione propria ω e del fattore di smorzamento ξ;<br />
3. determinare l’espressione analitica del moto a regime del carrello.<br />
Dati<br />
• Massa del carrello (comprensiva della massa di tutte le ruote) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 50 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico della ruota (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.04 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia baricentrico delle ruote (2) e (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kgm 2<br />
• Raggio della ruota (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 0.15 m<br />
• Raggio delle ruote (2) e (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 0.25 m<br />
• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.1 m<br />
• Rigidezza della prima molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1000 N/m<br />
• Rigidezza della seconda molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 14000 N/m<br />
• Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 600 Ns/m<br />
• Velocità angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 15 rad/s<br />
3<br />
k2<br />
c<br />
P<br />
y(t)<br />
Y<br />
O<br />
ΩΩΩΩ
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 49<br />
Esercizio 1.14 - Cod. VIB-061<br />
A<br />
Asta omogenea<br />
a<br />
Fune inestensibile<br />
c<br />
Ω<br />
G<br />
O 1<br />
k<br />
Y<br />
P<br />
Il sistema ad un grado di libertà rappresentato in figura giace in un piano verticale e si trova in equilibrio quando<br />
la manovella O1P e l’asta AB sono entrambe in posizione orizzontale.<br />
Supponendo che l’asta possa compiere soltanto piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si<br />
chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema;<br />
2. calcolare la pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ;<br />
3. determinare l’ampiezza e la fase delle oscillazioni a regime della massa M quando la manovella O1P ruota<br />
con velocità angolare costante Ω.<br />
Dati<br />
• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 5 kg<br />
• Massa traslante in direzione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg<br />
• Momento d’inerzia della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.09 kg m 2<br />
• Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.1 m<br />
• Semi lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.25 m<br />
• Lunghezza della manovella O1P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m<br />
• Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 60 Ns/m<br />
• Velocità angolare della manovella O1P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s<br />
a<br />
y(t)<br />
m<br />
B<br />
r<br />
J<br />
O 2<br />
M
50 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.15 - Cod. VIB-074<br />
M<br />
Ω<br />
A<br />
r<br />
k c<br />
In figura è rappresentata schematicamente una pressa per operazioni di stampaggio.<br />
Come risulta evidente dal disegno, il meccanismo che muove la massa m è un manovellismo a croce azionato da<br />
una manovella di raggio r che ruota a velocità angolare costante Ω.<br />
La massa della macchina (esclusa la massa azionata dal manovellismo) è pari ad M.<br />
Nella parte superiore la macchina è vincolata, tramite una cerniera A, ad un’asta omogenea di lunghezza L e<br />
massa m1, collegata a terra tramite un supporto elastico B di rigidezza torsionale kT .<br />
Nella parte inferiore la macchina è vincolata al suolo mediante un supporto elastico schematizzato mediante<br />
una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante c.<br />
Domande<br />
1. Scrivere l’equazione di moto del sistema, supponendo che l’asta AB compia piccole oscillazioni nell’intorno<br />
della posizione orizzontale.<br />
2. Determinare la costante di smorzamento c in modo che l’ampiezza di vibrazione a regime della macchina<br />
risulti ≤ 5 mm quando il sistema opera in condizioni di risonanza.<br />
Dati<br />
• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1500 kg<br />
• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 100 kg<br />
• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m1 = 48 kg<br />
• Lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L = 1.5 m<br />
• Rigidezza torsionale del supporto B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 80 kNm/rad<br />
• Rigidezza del supporto inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 180 kN/m<br />
• Raggio di manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 200 mm<br />
L<br />
m<br />
m1<br />
kT<br />
B
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 51<br />
Esercizio 1.16 - Cod. VIB-076<br />
k<br />
c<br />
re<br />
M1<br />
ΩΩΩΩ<br />
me<br />
rullo<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in figura si chiede di:<br />
slitta<br />
R<br />
M2 , JG<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema, nell’ipotesi che il rullo rotoli senza strisciare sul terreno e che la<br />
slitta scorra senza attrito sui supporti;<br />
2. calcolare la frequenza propria ed il fattore di smorzamento;<br />
3. determinare ampiezza e fase delle oscillazioni della slitta in condizioni di regime, supponendo costante la<br />
velocità angolare del rotore eccentrico;<br />
4. determinare il minimo valore del coefficiente di aderenza µ, che garantisce assenza di slittamento del rullo,<br />
quando il sistema vibra in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
• Massa del gruppo slitta-motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 20 kg<br />
• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . me = 7 kg<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 10 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.08 kg m 2<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re = 6 mm<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1000 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 90 Ns/m<br />
• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 13 rad/s<br />
k
52 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.17 - Cod. VIB-078<br />
Slitta con<br />
cremagliera<br />
A B<br />
O<br />
M<br />
p(t)=p0+p1 sin Ω t<br />
d<br />
Settore dentato<br />
m<br />
a R a<br />
J O<br />
Stantuffo<br />
Si consideri il sistema meccanico rappresentato in figura.<br />
Nella posizione di equilibrio l’asta AB è orizzontale, le molle sono scariche ed il peso dello stantuffo è completamente<br />
equilibrato dalla pressione p0 del gas contenuto nel recipiente.<br />
Si supponga che la pressione subisca una variazione temporale attorno al valore medio p0, con legge sinusoidale<br />
di ampiezza p1 e pulsazione Ω.<br />
Supponendo trascurabili tutti gli attriti e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno<br />
della posizione orizzontale, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema;<br />
2. determinare il valore della costante α in modo che la frequenza propria del sistema sia tripla rispetto a quella<br />
della causa eccitatrice;<br />
3. calcolare il fattore di smorzamento e dire se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni<br />
di smorzamento critico;<br />
4. calcolare la legge di moto della slitta in condizioni di regime;<br />
5. nell’ipotesi di smorzamento trascurabile, dire per quali valori di frequenza della forzante l’accelerazione<br />
massima della slitta risulta inferiore a 5 m/s 2 .<br />
Dati<br />
• Massa dello stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg<br />
• Mom. d’inerzia dell’asta AB rispetto ad O (compreso il settore dentato) . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.04 kg m 2<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 6 kg<br />
• Rigidezza della molla verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 2000 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 20 Ns/m<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 120 mm<br />
• Raggio primitivo del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 80 mm<br />
• Ampiezza della variazione di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p1 = 6000 Pa<br />
• Pulsazione della variazione di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 6 rad/s<br />
• Diametro dello stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 100 mm<br />
Asta<br />
k<br />
α k<br />
c
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 53<br />
Esercizio 1.18 - Cod. VIB-086<br />
k<br />
c<br />
Un carrello scorrevole su rotaia urta con velocità v0 contro un respingente al quale rimane agganciato.<br />
Si schematizzi il respingente mediante una molla ed uno smorzatore viscoso (entrambi di massa trascurabile<br />
rispetto alla massa del carrello).<br />
Supponendo che non vi sia strisciamento fra la rotaia e le ruote, si chiede di determinare:<br />
• la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento del sistema;<br />
• la legge di moto del carrello, l’ampiezza massima di vibrazione e l’istante di tempo in cui tale massimo viene<br />
raggiunto;<br />
• l’andamento temporale della forza trasmessa dal respingente al carrello, il massimo valore di tale forza e<br />
l’istante di tempo in cui il massimo viene raggiunto;<br />
• il tempo necessario per dissipare i 3/4 dell’energia posseduta dal carrello all’istante iniziale (si calcoli tale<br />
tempo a partire dall’istante in cui avviene l’urto fra respingente e carrello).<br />
Se il carrello non rimanesse agganciato al respingente, calcolare l’istante di tempo in cui avviene il distacco e la<br />
velocità del carrello in tale istante.<br />
Nota. Si ritenga trascurabile l’attrito volvente fra le ruote e la rotaia.<br />
Dati<br />
• Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 1200 kg<br />
• Momento d’inerzia di ogni ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 2 kg m 2<br />
• Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm<br />
• Costante elastica del respingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 120 kN/m<br />
• Costante di smorzamento del respingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 6700 Ns/m<br />
• Velocità del carrello all’istante iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v0 = 18 km/h<br />
R<br />
J<br />
M<br />
v 0<br />
R<br />
J
54 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.19 - Cod. VIB-088<br />
c<br />
k1<br />
n<br />
M<br />
O<br />
a<br />
P<br />
m<br />
A<br />
C<br />
L<br />
k2 k3<br />
L<br />
R<br />
R<br />
L<br />
L<br />
J<br />
J<br />
B<br />
D<br />
Asta a cremagliera<br />
Una macchina di massa M, che può compiere oscillazioni in direzione orizzontale, è fissata a terra mediante un<br />
supporto deformabile, schematizzato mediante una molla di rigidezza k1 ed uno smorzatore viscoso di costante<br />
pari a c.<br />
Grazie alla presenza di corpi volventi, interposti fra la macchina ed il piano orizzontale, si possono ritenere<br />
trascurabili i fenomeni di attrito.<br />
All’interno della macchina è presente un manovellismo a croce che aziona un pistone di massa m; il manovellismo<br />
è azionato da un motore elettrico ruotante a velocità costante.<br />
Un’asta a cremagliera, solidale alla macchina, muove due settori dentati, aventi massa trascurabile e raggio<br />
primitivo R, sui quali sono montate due aste AB e CD di lunghezza 2L.<br />
Le estremità delle aste sono collegate a due molle di rigidezza k2 e k3, disposte come in figura; le molle risultano<br />
scariche quando le due aste si trovano in posizione orizzontale. Supponendo che le oscillazioni del sistema siano<br />
di ampiezza limitata (cosicché le aste AB e CD compiano piccole rotazioni attorno alla posizione orizzontale) si<br />
chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema;<br />
2. calcolare la pulsazione propria, il fattore di smorzamento e la pulsazione propria smorzata;<br />
3. calcolare l’ampiezza e la fase delle oscillazioni a regime supponendo che la manovella OP ruoti a velocità<br />
angolare costante.<br />
Dati<br />
• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 200 kg<br />
• Massa in moto alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 20 kg<br />
• Momento d’inerzia delle aste AB e CD attorno all’asse di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.5 kg m 2<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 10000 N/m k2 = 5000 N/m k3 = 2500 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 4000 Ns/m<br />
• Semi lunghezza delle aste AB e CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 300 mm<br />
• Raggio <strong>dei</strong> settori dentati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm<br />
• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 60 mm<br />
• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 250 giri/min
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 55<br />
Esercizio 1.20 - Cod. VIB-094<br />
m<br />
l<br />
Utilizzando il metodo di Rayleigh si calcoli la pulsazione propria del sistema rappresentato in figura, costituito da<br />
una trave a mensola di massa m (uniformemente distribuita), sulla quale è fissata una massa M in corrispondenza<br />
dell’estremità libera.<br />
Dati<br />
• Massa della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m<br />
• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Momento d’inerzia della sezione traversale della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I<br />
M
56 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.21 - Cod. VIB-095<br />
l /2<br />
M<br />
Utilizzando il metodo di Rayleigh si calcoli la pulsazione propria del sistema rappresentato in figura, costituito<br />
da una trave di massa m (uniformemente distribuita), vincolata mediante due appoggi, sulla quale è fissata una<br />
massa M in corrispondenza del punto medio.<br />
Dati<br />
• Massa della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m<br />
• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Momento d’inerzia della sezione traversale della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I<br />
l /2<br />
m
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 57<br />
Esercizio 1.22 - Cod. VIB-099<br />
n<br />
τ<br />
Y<br />
3<br />
10 k<br />
c<br />
4<br />
M<br />
Il sistema in figura è costituito da un carrello (1), traslante in direzione orizzontale e collegato al bilanciere<br />
(2) tramite la cerniera O. L’estremo inferiore del bilanciere è vincolato al telaio tramite una molla di costante<br />
elastica k. Il carrello riceve il movimento da un manovellismo a croce (3), attraverso un elemento deformabile<br />
(4), schematizzato mediante una molla di rigidezza 10k in parallelo ad uno smorzatore viscoso di costante c. La<br />
manovella viene azionata a velocità angolare costante da un motore elettrico attraverso un riduttore di velocità<br />
avente rapporto di trasmissione τ.<br />
Nell’ipotesi che:<br />
• tutti gli attriti siano trascurabili;<br />
• la ruota del carrello rotoli senza strisciare sul piano sottostante;<br />
• il bilanciere compia piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio (verticale);<br />
si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema;<br />
2. calcolare la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento;<br />
3. determinare ampiezza e fase delle vibrazioni del sistema in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
• Massa del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico della ruota del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .JG = 0.15 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia del bilanciere attorno al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.08 kg m 2<br />
• Lunghezza del bilanciere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 360 mm<br />
• Raggio della ruota del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2500 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 700 Ns/m<br />
• Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 60 mm<br />
• Velocità angolare del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 5000 giri/min<br />
• Rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ = 1/4<br />
J G<br />
G<br />
R<br />
2<br />
1<br />
J O<br />
k<br />
O<br />
a /2<br />
a /2
58 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.23 - Cod. VIB-100<br />
M<br />
k<br />
c<br />
G<br />
m s , J O<br />
R<br />
a b<br />
O<br />
Si studino le vibrazioni libere del sistema in figura (posto in un piano verticale), conseguenti ad uno spostamento<br />
x0 (verso il basso) della massa M rispetto alla posizione di equilibrio statico.<br />
Si risolva l’esercizio nell’ipotesi che:<br />
• il sistema sia in quiete all’istante t = 0;<br />
• l’asta OP (di massa trascurabile) compia piccole oscillazioni attorno alla posizione orizzontale di equilibrio.<br />
• la trasmissione del moto fra il settore e la massa traslante sia affidata ad una dentatura (non rappresentata<br />
in figura).<br />
Dopo aver ricavato l’espressione analitica della legge di moto del sistema, se ne dia una rappresentazione grafica<br />
a livello qualitativo.<br />
Nota. Si tenga presente che nella posizione di equilibrio, la molla torsionale è scarica, mentre la molla collegata<br />
alla massa M esercita una forza tale da mantenere in equilibrio il sistema con l’asta OP orizzontale.<br />
Dati<br />
• Massa traslante verticalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 10 kg<br />
• Massa posta all’estremità dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 2 kg<br />
• Massa del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ms = 3 kg<br />
• Momento d’inerzia del settore dentato attorno al punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.08 kg m 2<br />
• Distanza del baricentro G del settore dal punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 120 mm<br />
• Distanza della massa m dal punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b = 400 mm<br />
• Raggio primitivo del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 250 mm<br />
• Rigidezza della molla collegata alla massa M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2500 N/m<br />
• Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 30 Nm/rad<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 120 Ns/m<br />
• Spostamento iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x0 = 15 mm<br />
k T<br />
m<br />
P
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 59<br />
Esercizio 1.24 - Cod. VIB-103<br />
D<br />
p<br />
J<br />
m2<br />
k2 c<br />
p(t)<br />
p0<br />
Figura 1<br />
Figura 2<br />
Il sistema rappresentato in Figura 1 è costituito dai seguenti elementi:<br />
• due slitte dotate di cremagliera, scorrevoli senza attrito all’interno di guide rettilinee;<br />
• una ruota dentata di raggio primitivo R;<br />
• una cilindro idraulico di diametro D;<br />
• due molle collegate alle slitte come in figura;<br />
• uno smorzatore collegato alla slitta inferiore.<br />
Per semplicità di rappresentazione non sono state rappresentate le dentature delle cremagliere e della ruota.<br />
Domande<br />
1. ricavare l’equazione di moto del sistema;<br />
2. calcolare la pulsazione propria ω;<br />
3. calcolare il fattore di smorzamento ξ e dire se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni<br />
di smorzamento critico;<br />
4. nell’ipotesi che all’istante iniziale il sistema sia fermo nella posizione di equilibrio, determinare l’andamento<br />
delle vibrazioni del sistema quando la pressione nel cilindro idraulico subisce una variazione a gradino (come<br />
indicato in Figura 2).<br />
Dati<br />
• Masse delle slitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 5 kg m2 = 8 kg<br />
• Momento d’inerzia della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2<br />
• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 120 mm<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 1500 N/m k2 = 3000 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 100 Ns/m<br />
• Pressione nel cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p0 = 70 kPa<br />
• Diametro del cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 80 mm<br />
m1<br />
R<br />
t<br />
k1
60 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.25 - Cod. VIB-105<br />
l1<br />
d1<br />
d2<br />
l2<br />
k<br />
Figura 1<br />
In Figura 1 è rappresentata una barra di torsione di acciaio sulla quale è fissato un disco di raggio R e momento<br />
d’inerzia J in corrispondenza dell’estremità libera.<br />
I due tratti della barra hanno diametri e lunghezze differenti.<br />
Al disco sono applicati una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c.<br />
Domande<br />
1. calcolare la rigidezza torsionale della barra;<br />
2. scrivere l’equazione di moto del disco;<br />
3. calcolare la pulsazione propria del sistema;<br />
4. determinare il valore della costante di smorzamento in modo tale che il sistema si trovi in condizioni di<br />
smorzamento critico;<br />
5. utilizzando il valore di c precedentemente calcolato, determinare la legge di moto del disco quando vengono<br />
assegnate le condizioni iniziali sotto indicate.<br />
Dati<br />
• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.1 kg m 2<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 9000 N/m<br />
• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm<br />
• Diametri <strong>dei</strong> due tratti della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 15 mm d2 = 10 mm<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> due tratti della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l1 = 200 mm l2 = 300 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
• Condizioni iniziali (ϕ indica la rotazione del disco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϕ(0) = 60 ◦ ˙ϕ(0) = 0<br />
R<br />
J<br />
c
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 61<br />
Esercizio 1.26 - Cod. VIB-107<br />
k2<br />
JO<br />
r<br />
O<br />
R<br />
Figura 1<br />
Il sistema in Figura 1 è costituito dai seguenti elementi:<br />
m<br />
k c<br />
1<br />
F t)<br />
= F sin Ωt<br />
( 0<br />
• due pulegge coassiali di raggio r ed R con perno del punto O;<br />
• una massa m traslante in direzione verticale lungo una guida priva di attrito;<br />
• due molle di rigidezza k1 e k2 disposte come in figura;<br />
• una fune inestensibile che si avvolge sulla puleggia di raggio maggiore, collegata alla massa traslante.<br />
Il sistema è soggetto all’azione di una forza esterna, applicata alla massa m e variabile nel tempo con legge<br />
sinusoidale; il valore di picco e la pulsazione della forzante sono assegnati.<br />
Domande<br />
• Scrivere l’equazione di moto del sistema e calcolarne la pulsazione propria.<br />
• Determinare la legge di moto della massa m in condizioni di regime, nell’ipotesi che non vi siano fenomeni<br />
di smorzamento;<br />
• Supponendo di applicare alla massa m uno smorzatore viscoso (vedi figura), calcolare il valore della costante<br />
di smorzamento c per il quale l’ampiezza di vibrazione della massa traslante risulta dimezzata rispetto al<br />
caso non smorzato.<br />
Dati<br />
• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg<br />
• Momento d’inerzia totale delle due pulegge coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.5 kg m 2<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 1000 N/m k2 = 2500 N/m<br />
• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 120 mm R = 240 mm<br />
• Valore di picco della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 80 N<br />
• Pulsazione della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 6 rad/s
62 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.27 - Cod. VIB-109<br />
barra di torsione<br />
d<br />
L<br />
supporto<br />
λ a<br />
Figura 1<br />
c<br />
a<br />
asse z<br />
In Figura 1 è rappresentato un sistema vibrante costituito dai seguenti elementi:<br />
asta rigida<br />
• un’asta rigida di lunghezza a e massa trascurabile;<br />
• una barra di torsione di acciaio di lunghezza L e diametro d, fissata al telaio ad un estremo e collegata all’asta<br />
come in figura;<br />
• una massa m, collocata all’estremità dell’asta;<br />
• uno smorzatore viscoso di costante pari a c, collegato all’asta ad una distanza λa (λ < 1) dall’asse z.<br />
L’asta è in grado di compiere piccole rotazioni attorno all’asse z, grazie alla deformabilità torsionale della barra.<br />
Il supporto indicato in figura è fissato al telaio ed impedisce l’inflessione della barra.<br />
Utilizzando i dati assegnati si chiede di:<br />
1. calcolare la rigidezza torsionale della barra;<br />
2. scrivere l’equazione di moto dell’asta e calcolare la frequenza propria delle piccole oscillazioni;<br />
3. determinare il valore di λ per il quale il sistema ha un fattore di smorzamento ξ = 0.1;<br />
4. supponendo che all’istante iniziale l’asta sia ruotata di 5 ◦ rispetto all’orizzontale ed abbia velocità nulla,<br />
determinare la legge di moto dell’asta e tracciarne un grafico qualitativo.<br />
Dati<br />
• Massa fissata all’estremità dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 20 kg<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 180 mm<br />
• Lunghezza della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 120 mm<br />
• Diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 15 mm<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 1000 Ns/m<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80000 MPa<br />
m
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 63<br />
Esercizio 1.28 - Cod. VIB-110<br />
L<br />
Figura 1<br />
W<br />
e<br />
m<br />
M<br />
h<br />
Sezione trasv.<br />
della trave<br />
Si consideri il sistema in Figura 1, costituito da una trave a mensola in acciaio sulla quale è montato un motore<br />
elettrico in corrispondenza dell’estremità.<br />
Sul motore, di massa M, è calettato un rotore di massa m che presenta un’eccentricità e.<br />
Dopo aver calcolato la rigidezza equivalente della mensola, si studi il comportamento vibratorio del motore nella<br />
direzione verticale scrivendone l’equazione di moto (si ipotizzi smorzamento trascurabile).<br />
Si determini poi la pulsazione propria del sistema e si individuino, per via grafica o analitica, gli intervalli di<br />
velocità del motore per cui l’ampiezza di vibrazione a regime risulti inferiore a 2 mm.<br />
Nota. Si supponga trascurabile la massa della mensola.<br />
Dati<br />
• Massa del motore (escluso il rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 45 kg<br />
• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 15 mm<br />
• Lunghezza della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 300 mm<br />
• Dimensioni della sezione trasversale della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b = 100 mm h = 15 mm<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 MPa<br />
b
64 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.29 - Cod. VIB-112<br />
Il sistema rappresentato in Figura 1 è costituito dai seguenti elementi:<br />
• un disco di raggio r e momento d’inerzia baricentrico J, ruotante attorno al punto O;<br />
• una slitta di massa M, scorrevole in una guida orizzontale, che trasmette il movimento al disco per attrito.<br />
• due molle di rigidezza k disposte come in figura;<br />
• uno smorzatore viscoso con costante di smorzamento pari a c, collegato alla slitta.<br />
Si ipotizzi assenza di strisciamento fra il disco e la slitta.<br />
Domande<br />
1. Scrivere l’equazione differenziale di moto del sistema.<br />
2. Determinare la costante di smorzamento c in modo che il sistema sia in condizioni di smorzamento critico.<br />
3. Studiare il movimento del sistema quando la slitta viene spostata di 80 mm dalla sua posizione di equilibrio<br />
statico (si ipotizzi il sistema in quiete all’istante t = 0).<br />
4. Rappresentare in funzione del tempo la soluzione dell’equazione di moto, tracciandone un grafico qualitativo.<br />
Dati<br />
k<br />
r<br />
Figura 1<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 2 kg<br />
• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.04 kg m 2<br />
• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.25 m<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m<br />
O<br />
J<br />
M<br />
k<br />
c
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 65<br />
Esercizio 1.30 - Cod. VIB-113<br />
k r<br />
r<br />
c<br />
M<br />
J<br />
Il sistema rappresentato in figura è costituito da un carrello di massa M, dotato di quattro ruote aventi raggio<br />
r e momento d’inerzia baricentrico pari a J.<br />
Sul carrello è montata una massa m avente eccentricità e rispetto al perno di rotazione e ruotante con velocità<br />
angolare costante Ω.<br />
Il carrello è collegato a terra tramite una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c.<br />
Domande<br />
1. Scrivere l’equazione di moto del carrello.<br />
2. Calcolare la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento.<br />
3. Studiare le vibrazioni forzate in condizioni di regime.<br />
Nota. Si supponga che non vi sia strisciamento fra le ruote ed il terreno.<br />
Dati<br />
• Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg<br />
• Momento d’inerzia delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2<br />
• Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m<br />
• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 80 Ns/m<br />
• Eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 30 mm<br />
• Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 160 mm<br />
• Velocità angolare della massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s<br />
e<br />
W<br />
m<br />
J
66 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.31 - Cod. VIB-114<br />
c<br />
k1<br />
R<br />
Figura 1<br />
Si studi il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, ritenendo valide le seguenti ipotesi:<br />
• puleggia di rinvio con inerzia trascurabile;<br />
• attrito trascurabile nei supporti che sostengono la slitta di massa m;<br />
• assenza di slittamento fra il disco di raggio R e la slitta.<br />
Domande<br />
1. Calcolare la rigidezza equivalente delle due molle.<br />
2. Scrivere l’equazione di moto del sistema.<br />
3. Calcolare la pulsazione propria nell’ipotesi di smorzamento nullo.<br />
4. Determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che, dopo 5 cicli, l’ampiezza di vibrazione risulti<br />
il 10% di quella iniziale.<br />
5. Studiare le vibrazioni libere smorzate del sistema derivanti dalle condizioni iniziali assegnate.<br />
6. Tracciare un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento delle vibrazioni nel tempo.<br />
Dati<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg<br />
• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.045 kg m 2<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m<br />
• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm<br />
• Spostamento iniziale della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0 = 6 cm<br />
• Velocità iniziale della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˙x0 = 0<br />
J<br />
m<br />
k2
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 67<br />
Esercizio 1.32 - Cod. VIB-117<br />
α k<br />
k<br />
2<br />
J<br />
Ms<br />
Jr r<br />
Jr r<br />
R<br />
Mc<br />
1<br />
c<br />
3<br />
Figura 1<br />
Il sistema rappresentato in Figura 1a è costituito dai seguenti elementi:<br />
• una slitta (1) dotata di cremagliera nella parte inferiore, scorrevole senza attrito all’interno di una guida<br />
rettilinea;<br />
• una ruota dentata (2) di raggio primitivo R;<br />
• un carrello (3) con quattro ruote di raggio r, dotato di cremagliera nella parte superiore, che riceve il moto<br />
dalla ruota dentata;<br />
• un cilindro idraulico in cui scorre un pistone collegato alla slitta (1);<br />
• due molle ed uno smorzatore viscoso disposti come in figura;<br />
Per semplicità non sono state rappresentate le dentature delle cremagliere e della ruota.<br />
La molla collegata alla slitta (1) ha una rigidezza pari ad α volte quella della molla collegata al carrello.<br />
Si supponga che le ruote del carrello rotolino senza strisciare sul terreno e che l’attrito volvente sia trascurabile.<br />
Domande<br />
1. ricavare l’equazione di moto del sistema;<br />
2. calcolare la costante α in modo che la frequenza propria (non smorzata) del sistema sia pari a 2 Hz;<br />
3. calcolare la costante dello smorzatore in modo che il fattore di smorzamento del sistema risulti pari al 70%;<br />
4. nell’ipotesi che all’istante iniziale il sistema sia fermo nella posizione di equilibrio, determinare il moto<br />
del carrello quando la pressione nel cilindro idraulico subisce una variazione a gradino (come indicato in<br />
Figura 1b);<br />
5. tracciare un grafico qualitativo che rappresenti lo spostamento del carrello in funzione del tempo.<br />
Dati<br />
• Massa della slitta (1) (pistone compreso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ms = 35 kg<br />
• Massa del carrello (3) (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mc = 50 kg<br />
• Momento d’inerzia della ruota dentata (2) rispetto all’asse di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.025 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia baricentrico delle ruote del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jr = 2 × 10 −3 kg m 2<br />
• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 80 mm<br />
• Raggio delle ruote del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 30 mm<br />
• Rigidezza della molla collegata al carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 10000 N/m<br />
• Pressione nel cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p0 = 160 kPa<br />
• Diametro del cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 65 mm<br />
p<br />
D<br />
a)<br />
p(t)<br />
p0<br />
t<br />
b)
68 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.33 - Cod. VIB-118<br />
L<br />
d<br />
r2<br />
r1<br />
αL<br />
Figura 1<br />
M<br />
J 2<br />
J1<br />
r2<br />
r1<br />
1<br />
2<br />
F t)<br />
= F sin Ωt<br />
( 0<br />
In Figura 1 è rappresentato un sistema meccanico costituito da due ruote dentate che trasmettono il movimento<br />
ad una slitta scorrevole senza attrito in una guida orizzontale.<br />
La ruota dentata (1) è vincolata al telaio tramite due barre di torsione di acciaio, aventi uguale diametro e<br />
differente lunghezza, mentre la ruota (2) è libera di ruotare attorno al proprio asse.<br />
Supponendo trascurabili tutti gli attriti e le masse delle barre di torsione, si chiede di:<br />
1. ricavare l’equazione di moto del sistema utilizzando il metodo di Lagrange;<br />
2. calcolare la costante α in modo che la pulsazione propria del sistema sia pari a ω = 40 rad/s;<br />
3. nel caso in cui al carrello venga applicata una forza variabile con legge sinusoidale F (t) = F0 sin Ωt, determinare<br />
per quali valori della pulsazione Ω l’ampiezza di oscillazione della slitta risulta inferiore a 5<br />
mm.<br />
Dati<br />
• Momento d’inerzia delle ruota dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.02 kg m 2 J2 = 0.25 kg m 2<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 35 kg<br />
• Raggi primitivi delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r1 = 70 mm r2 = 180 mm<br />
• Diametro delle barre di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm<br />
• Lunghezza delle barra di torsione di sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 800 mm<br />
• Intensità della forza sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F0 = 600 N<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 69<br />
Esercizio 1.34 - Cod. VIB-119<br />
L/2<br />
e<br />
Ω<br />
c<br />
m<br />
M<br />
Figura 1<br />
L/2<br />
h<br />
Sezione trasv.<br />
della trave<br />
Si consideri il sistema in Figura 1, costituito da una trave di acciaio, incastrata ad entrambi gli estremi, sulla<br />
quale è montato un motore elettrico in corrispondenza del punto medio.<br />
Sul motore, di massa M, è calettato un rotore di massa m che presenta un’eccentricità e.<br />
Il motore deve funzionare ad una velocità angolare costante assegnata.<br />
Domande<br />
1. Determinare la lunghezza L della trave in modo che sia pari a 3 il rapporto fra la frequenza di rotazione<br />
del motore e la frequenza propria del sistema vibrante costituito dal motore e dalla trave elastica (si ritenga<br />
trascurabile la massa propria della trave);<br />
2. calcolare l’ampiezza delle oscillazioni del motore per la velocità di rotazione assegnata;<br />
3. supponendo ora di dimezzare la velocità di rotazione del motore, calcolare la costante c dello smorzatore (da<br />
inserire nella posizione indicata in figura), in modo che l’ampiezza delle vibrazioni rimanga uguale al valore<br />
calcolato al punto 2.<br />
Dati<br />
• Massa del motore (escluso il rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 80 kg<br />
• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 0.8 kg<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 12 mm<br />
• Dimensioni della sezione trasversale della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b = 100 mm h = 10 mm<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 MPa<br />
• Velocità angolare del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 300 rad/s<br />
b
70 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.35 - Cod. VIB-120<br />
c<br />
k<br />
J<br />
R<br />
M<br />
r<br />
Figura 1<br />
In Figura 1 è rappresentato un sistema vibrante costituito dagli elementi sotto indicati:<br />
• una coppia di ruote coassiali di raggio r ed R collegate a due molle come in figura;<br />
• una slitta di massa M scorrevole in direzione orizzontale su due supporti;<br />
• un manovellismo a croce che trasmette il moto alla slitta tramite una molla;<br />
• uno smorzatore viscoso, collegato alla slitta come in figura.<br />
Si supponga che l’attrito <strong>dei</strong> supporti sia trascurabile, che la trasmissione del moto fra la slitta e la ruota di<br />
raggio maggiore avvenga in assenza di slittamento e che la manovella OP ruoti a velocità angolare costante Ω.<br />
Domande<br />
1. Scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante;<br />
2. calcolare la frequenza propria (non smorzata) del sistema;<br />
3. determinare la costante c dello smorzatore in modo che, in condizioni di regime, l’ampiezza delle vibrazioni<br />
<strong>dei</strong> dischi coassiali sia di 5 ◦ ;<br />
4. calcolare il fattore adimensionale di smorzamento del sistema, utilizzando il valore di c ricavato al punto<br />
precedente;<br />
5. calcolare i valori massimi della velocità e dell’accelerazione della slitta in condizioni di regime (sempre per il<br />
valore di smorzamento precedentemente determinato).<br />
Dati<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg<br />
• Momento d’inerzia della coppia di ruote coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.2 kg m 2<br />
• Rigidezza di una delle tre molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 800 N/m<br />
• Raggi delle ruote coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 100 mm R = 200 mm<br />
• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Y = 120 mm<br />
• Velocità di rotazione della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 30 rad/s<br />
2k<br />
3k<br />
P<br />
y(t)<br />
Y<br />
O<br />
Ω
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 71<br />
Esercizio 1.36 - Cod. VIB-121<br />
D<br />
p<br />
MP<br />
a<br />
kT<br />
A<br />
a<br />
Jasta<br />
B G<br />
Figura 1<br />
p(t)<br />
p0<br />
R c<br />
MR ,JG<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni attorno<br />
alla posizione verticale ed il rullo rotoli senza strisciare sul piano di appoggio, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto;<br />
2. calcolare la frequenza propria (non smorzata);<br />
3. determinare la costante c dello smorzatore in modo che il grado di smorzamento risulti pari al 30%;<br />
4. studiare le oscillazioni libere del sistema, quando l’asta viene ruotata di 5 ◦ in senso orario rispetto alla<br />
verticale (si utilizzi il valore di c precedentemente calcolato e si ritenga nulla la pressione del fluido nel<br />
cilindro);<br />
5. determinare l’andamento temporale delle oscillazioni dell’asta AB, quando la pressione del fluido nel cilindro<br />
subisce una variazione a gradino (si supponga che il sistema sia in quiete all’istante iniziale, con l’asta AB<br />
in posizione verticale).<br />
Dati<br />
• Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 5 kg<br />
• Momento d’inerzia dell’asta AB rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jasta = 0.12 kg m 2<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 12 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.15 kg m 2<br />
• Rigidezza della molla a spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 400 Nm/rad<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm<br />
• Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 250 mm<br />
• Pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p0 = 50 kPa<br />
• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 50 mm<br />
t
72 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.37 - Cod. VIB-125<br />
k<br />
JO<br />
R2<br />
O R1<br />
Figura 1<br />
Si consideri il sistema in Figura 1, costituito dai seguenti elementi:<br />
• una coppia di pulegge coassiali, ruotanti attorno al perno O, aventi raggio R1 ed R2 rispettivamente;<br />
• un rullo omogeneo di raggio R3 che rotola senza strisciare sul terreno sottostante;<br />
• due molle di rigidezza k e 2k disposte come in figura;<br />
• uno smorzatore viscoso collegato alla puleggia di raggio R1;<br />
• una tratto di fune inestensibile che collega la puleggia di raggio R2 al centro del rullo.<br />
Si supponga che alle molle venga assegnato un opportuno precarico, in modo tale che il tratto di fune risulti<br />
sempre in trazione.<br />
Domande<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante;<br />
2. calcolare il valore della rigidezza k in modo che la frequenza propria (non smorzata) del sistema sia pari a 2<br />
Hz;<br />
3. determinare il valore della costante c dello smorzatore in modo che il fattore di smorzamento del sistema<br />
risulti dell’ 8%;<br />
4. utilizzando i valori di k e c precedentemente calcolati, determinare la legge di moto del centro del rullo,<br />
quando questo viene spostato di 50 mm verso destra rispetto alla posizione di equilibrio e successivamente<br />
rilasciato (si ritenga nulla la velocità iniziale del rullo).<br />
5. tracciare un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento delle vibrazioni in funzione del tempo;<br />
6. calcolare la riduzione percentuale dell’ampiezza di vibrazione dopo 3 cicli completi.<br />
Dati<br />
• Momento d’inerzia complessivo delle due pulegge coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.5 kg m 2<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 25 kg<br />
• Raggio della puleggia piccola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R1 = 80 mm<br />
• Raggio della puleggia grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R2 = 160 mm<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R3 = 110 mm<br />
c<br />
G<br />
R3<br />
m<br />
2k
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 73<br />
Esercizio 1.38 - Cod. VIB-126<br />
k<br />
3<br />
M<br />
m<br />
e<br />
k k k<br />
c<br />
Figura 1<br />
Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è costituito da una piattaforma (1) sulla quale è montato un<br />
motore elettrico (2) dotato di un rotore (3) con eccentricità pari ad e.<br />
La piattaforma è vincolata tramite guide rettilinee e pertanto può effettuare spostamenti soltanto in direzione<br />
verticale.<br />
Il collegamento tra la piattaforma ed il telaio è costituito da quattro molle elicoidali, aventi ciascuna ns spire<br />
utili di diametro D; ogni molla è realizzata con un filo di acciaio di diametro d.<br />
Supponendo trascurabili tutti i fenomeni di smorzamento dovuti agli effetti dell’attrito, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante;<br />
2. determinare la rigidezza equivalente della sospensione elastica;<br />
3. calcolare la frequenza propria del sistema;<br />
4. calcolare, per via grafica o analitica, gli intervalli di velocità di rotazione del motore per cui l’ampiezza di<br />
vibrazione risulta inferiore a 2 mm;<br />
5. supponendo di introdurre nel sistema uno smorzatore viscoso (disposto come in figura), determinare il valore<br />
della costante di smorzamento c in modo che l’ampiezza di vibrazione risulti sempre pari a 2 mm quando il<br />
sistema opera in condizioni di risonanza.<br />
Dati<br />
• Massa traslante (piattaforma e motore - rotore escluso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 3 kg<br />
• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 0.6 kg<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 8 mm<br />
• Numero di spire utili di ogni molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ns = 5<br />
• Diametro delle spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 15 mm<br />
• Diametro del filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 1.5 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
Nota. Per il calcolo della rigidezza di una molla elicoidale si utilizzi la formula sotto riportata:<br />
k = Gd4<br />
8 nsD 3<br />
2<br />
1
74 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.39 - Cod. VIB-127<br />
p(t)<br />
T<br />
pmax<br />
t<br />
JL<br />
c<br />
a<br />
A<br />
Figura 1<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni ed il rullo<br />
rotoli senza strisciare, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto;<br />
2. determinare la rigidezza k della molla in modo che la pulsazione propria non smorzata del sistema risulti<br />
uguale a 30 rad/s;<br />
3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del<br />
sistema risulti pari al 20%;<br />
4. supponendo nulla la pressione nel cilindro, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene<br />
spostata di 25 mm verso destra e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale);<br />
tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta;<br />
5. supponendo che la variazione nel tempo della pressione nel cilindro sia approssimabile mediante la legge<br />
sinusoidale 4 rappresentata in Figura 1, determinare l’andamento delle oscillazioni della slitta in condizioni<br />
di regime.<br />
Dati<br />
• Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 4 kg<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MS = 12 kg<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 6 kg<br />
• Momento d’inerzia della leva rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JL = 0.2 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JR = 0.075 kg m 2<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm<br />
• Semi-lunghezza della leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 300 mm<br />
• Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 40000 Pa<br />
• Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 2 s<br />
• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 130 mm<br />
4 I valori negativi indicano una depressione nel cilindro.<br />
B<br />
a<br />
MP<br />
MS<br />
p<br />
D<br />
R<br />
k<br />
MR ,JR
Parte I - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 75<br />
Esercizio 1.40 - Cod. VIB-130<br />
3k<br />
r r<br />
R R<br />
M<br />
J J<br />
k<br />
k<br />
mr<br />
e<br />
Figura 1<br />
Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, è costituito da una piattaforma traslante di massa M che può<br />
muoversi soltanto in direzione verticale grazie alla presenza di due guide.<br />
Le guide presentano attrito trascurabile e sulla loro parte esterna sono ricavate due cremagliere che permettono<br />
la trasmissione del moto senza slittamenti alle due ruote dentate laterali (per semplicità di rappresentazione<br />
non sono state disegnate le dentature delle cremagliere e delle ruote).<br />
Sulla piattaforma è montato un motore elettrico, il cui rotore, di massa mr, ha un’eccentricità pari ad e. La<br />
piattaforma è fissata a due supporti elastici schematizzati mediante molle di uguale costante elastica k.<br />
Coassialmente alle ruote dentate sono montate due pulegge di raggio r. La puleggia di sinistra è collegata ad<br />
una molla di rigidezza 3k, mentre quella di destra è collegata ad uno smorzatore viscoso di costante c.<br />
Domande<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante;<br />
2. determinare la rigidezza k <strong>dei</strong> supporti elastici in modo che la frequenza propria non smorzata del sistema<br />
risulti uguale a 8 Hz;<br />
3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del<br />
sistema risulti pari al 20%;<br />
4. nell’ipotesi che il motore sia fermo, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata<br />
di 50 mm verso l’alto e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale);<br />
5. tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta<br />
durante la vibrazione libera;<br />
6. calcolare la riduzione percentuale dell’ampiezza di vibrazione dopo 2 cicli di vibrazione libera;<br />
7. supponendo che il motore venga azionato a velocità angolare costante, determinare ampiezza e fase della<br />
legge di moto della piattaforma in condizioni di regime;<br />
8. nell’ipotesi che lo smorzatore viscoso venga scollegato, dire per quali valori di velocità angolare del motore<br />
l’accelerazione della piattaforma (a regime) risulta superiore a 1.5 m/s 2 .<br />
Dati<br />
• Massa della piattaforma (motore compreso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg<br />
• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mr = 0.5 kg<br />
• Momento d’inerzia <strong>dei</strong> gruppi laterali ruota dentata-puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kg m 2<br />
• Raggio primitivo delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm<br />
• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 6 mm<br />
• Velocità angolare del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1200 giri/min<br />
c
76 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 1.41 - Cod. VIB-131<br />
αk<br />
a<br />
a<br />
Jasta<br />
m<br />
c<br />
r<br />
R<br />
J<br />
k<br />
Figura 1<br />
Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è azionato da un manovellismo a croce tramite un motore elettrico<br />
ed un riduttore di velocità avente rapporto di trasmissione τ. Il manovellismo a croce trasmette il moto ad<br />
una coppia di dischi coassiali tramite un elemento elastico di rigidezza k. Sul disco di raggio maggiore agisce<br />
uno smorzatore viscoso di costante c. Una slitta di massa m, scorrevole in direzione verticale, riceve il moto<br />
per attrito dal disco di raggio R (si ipotizzi assenza di slittamento fra il disco e la slitta). La slitta è collegata<br />
ad un’asta di lunghezza 2a incernierata nel punto medio; una molla di rigidezza αk è fissata all’estremo destro<br />
dell’asta.<br />
Si ipotizzi che i supporti della slitta abbiano attrito trascurabile e che l’asta compia piccole oscillazioni.<br />
Domande<br />
1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante;<br />
2. calcolare il valore della costante α in modo che la frequenza propria non smorzata del sistema risulti uguale<br />
a 3 Hz;<br />
3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il sistema sia in condizioni di smorzamento<br />
critico;<br />
4. nell’ipotesi che il motore sia fermo, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata<br />
di 35 mm verso l’alto e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale);<br />
5. rappresentare in forma grafica l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta durante la vibrazione<br />
libera;<br />
6. calcolare la velocità massima (in valore assoluto) della slitta durante la fase di moto libero;<br />
7. supponendo che il motore venga azionato a velocità angolare costante, determinare ampiezza e fase della<br />
legge di moto della slitta in condizioni di regime;<br />
8. calcolare l’aumento percentuale dell’ampiezza di vibrazione a regime quando lo smorzatore viene scollegato.<br />
Dati<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 3 kg<br />
• Momento d’inerzia della coppia di dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.015 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia dell’asta oscillante rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jasta = 0.04 kg m 2<br />
• Rigidezza della molla collegata al manovellismo a croce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1200 N/m<br />
• Semi-lunghezza dell’asta oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 200 mm<br />
• Raggio del disco maggiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm<br />
• Raggio del disco minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm<br />
• Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 80 mm<br />
• Rapporto di trasmissione del riduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ = 1/20<br />
• Velocità angolare del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1440 giri/min<br />
Y<br />
y(t)<br />
τ<br />
n
Parte II<br />
Vibrazioni di <strong>sistemi</strong><br />
a più gradi di libertà
78 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.1 - Cod. VIB-025<br />
Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1,<br />
nell’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio.<br />
Dati<br />
l 1<br />
θ<br />
O 1<br />
1<br />
G 1<br />
m<br />
1<br />
A<br />
k<br />
Figura 1<br />
• Massa dell’asta O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 2m = 14 kg<br />
• Massa dell’asta O2B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m2 = m = 7 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1500 N/m<br />
• Lunghezza dell’asta O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 2l = 1.8 m<br />
• Lunghezza dell’asta O1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l2 = l = 0.9 m<br />
Soluzione<br />
Il problema può essere facilmente risolto mediante le equazioni di Lagrange:<br />
L’energia cinetica del sistema risulta:<br />
O<br />
2<br />
θ<br />
2<br />
G 2<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂<br />
⎪⎩<br />
˙ <br />
−<br />
ϑ1<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ1<br />
∂V<br />
∂ϑ1<br />
= 0<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
−<br />
ϑ2<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ2<br />
∂V<br />
∂ϑ2<br />
= 0<br />
m<br />
2<br />
B<br />
l 2<br />
T = 1<br />
2 (J1 ˙ ϑ 2 1 + J2 ˙ ϑ 2 2) (2)<br />
dove J1 e J2 indicano rispettivamente i momenti d’inerzia delle due aste rispetto ai centri di rotazione O1 ed<br />
O2; trattandosi di aste omogenee si ha:<br />
J1 = m1l 2 1<br />
3<br />
J2 = m2l 2 2<br />
3<br />
= 2m · (2l)2<br />
3<br />
= ml2<br />
3<br />
= 8<br />
3 ml2<br />
(1)<br />
(3)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 79<br />
L’energia potenziale è costituita da due termini legati al peso proprio delle aste e da un termine dipendente<br />
dalla rigidezza della molla di collegamento; assumendo come riferimento per l’energia potenziale gravitazionale<br />
la retta orizzontale passante per le cerniere O1 ed O2 possiamo scrivere:<br />
V = −m1g l1<br />
2 cos ϑ1 − m2g l2<br />
2 cos ϑ2 + 1<br />
2 k<br />
<br />
<br />
= −mgl 2 cos ϑ1 + 1<br />
<br />
cos ϑ2 +<br />
2 1<br />
2 kl2 (sin ϑ2 − sin ϑ1) 2<br />
l2 sin ϑ2 − l1<br />
sin ϑ1<br />
2<br />
Nell’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (aste verticali), è possibile approssimare<br />
le funzioni seno e coseno con i rispettivi sviluppi in serie arrestati al 2 ◦ ordine; si ha pertanto:<br />
sin ϑ ∼ = ϑ cos ϑ ∼ = 1 − ϑ2<br />
2<br />
Utilizzando le espressioni approssimate (5) l’energia potenziale assume la forma seguente:<br />
<br />
V = mgl ϑ 2 1 + 1<br />
4 ϑ2 <br />
2 + 1<br />
2 kl2 (ϑ2 − ϑ1) 2 + cost. (6)<br />
A questo punto è possibile calcolare i vari termini che compaiono nelle equazioni di Lagrange:<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
=<br />
ϑ1<br />
8<br />
3 ml2ϑ1 ¨<br />
∂T<br />
∂ϑ1<br />
= 0<br />
∂V<br />
∂ϑ1<br />
= (kl 2 + 2mgl)ϑ1 − kl 2 ϑ2<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
=<br />
ϑ2<br />
ml2<br />
3 ¨ ϑ2<br />
∂T<br />
∂ϑ2<br />
= 0<br />
∂V<br />
∂ϑ2<br />
= 1<br />
2 mgl ϑ2 + kl 2 (ϑ2 − ϑ1)<br />
Sostituendo le relazioni sopra riportate nel sistema (1) si ottiene:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
8<br />
3 ml2 ¨ ϑ1 + (kl 2 + 2mgl)ϑ1 − kl 2 ϑ2 = 0<br />
ml 2<br />
In forma matriciale possiamo scrivere 5 :<br />
dove:<br />
[J] =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
8<br />
3 ml2<br />
0<br />
0<br />
ml 2<br />
3<br />
⎤<br />
3 ¨ ϑ2 − kl 2 ϑ1 +<br />
⎥<br />
⎦ [K] =<br />
<br />
kl 2 + 1<br />
2 mgl<br />
<br />
ϑ2 = 0<br />
[J]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (9)<br />
kl 2 + 2mgl −kl 2<br />
−kl 2 kl 2 + 1<br />
2 mgl<br />
<br />
2<br />
{ϑ} =<br />
Il calcolo delle pulsazioni proprie si effettua ponendo uguale a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [J]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
<br />
[J]| = <br />
<br />
<br />
(kl2 2 8<br />
+ 2mgl) − ω<br />
3 ml2<br />
−kl 2<br />
−kl2 <br />
kl2 + 1<br />
2 mgl<br />
<br />
2 ml2<br />
− ω<br />
3<br />
ϑ1<br />
ϑ2<br />
<br />
(4)<br />
(5)<br />
(7)<br />
(8)<br />
(10)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0 (11)<br />
<br />
<br />
Dividendo per l tutti gli elementi della matrice [∆] e sviluppando il determinante, si ricava la seguente equazione<br />
caratteristica:<br />
8<br />
9 m2l 2 ω 4 − (3kl 2 m + 2m 2 gl)ω 2 <br />
5<br />
+<br />
2 klmg + m2g 2<br />
<br />
= 0 (12)<br />
Con i dati del problema si ha:<br />
35.3 ω 4 − 26380.2 ω 2 + 236476.8 = 0 (13)<br />
5 Il simbolo 0 indica il vettore nullo, ovvero un vettore colonna i cui elementi sono tutti nulli; ovviamente la dimensione del<br />
vettore coincide con il numero <strong>dei</strong> gradi di libertà del sistema.
80 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
ω1 = 3.012 rad/s ω2 = 27.178 rad/s (14)<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare algebrico:<br />
⎧ <br />
⎪⎨<br />
kl2 2 8<br />
+ 2mgl − ω<br />
3 ml2<br />
<br />
Θ1 − kl2Θ2 = 0<br />
⎪⎩<br />
−kl2 <br />
Θ1 +<br />
kl2 + 1 ml2<br />
mgl − ω2<br />
2 3<br />
<br />
Θ2 = 0<br />
in cui i simboli Θ1 e Θ2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna asta; da una qualsiasi delle due equazioni<br />
è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione.<br />
Utilizzando, ad esempio, la prima equazione si ricava:<br />
<br />
Θ1<br />
kl<br />
=<br />
Θ2 ω=ω1 kl + 2mg − ω2 8<br />
1<br />
3 ml<br />
= 1.011<br />
<br />
Θ1<br />
kl<br />
=<br />
Θ2 ω=ω2 kl + 2mg − ω2 8<br />
2<br />
3 ml<br />
(16)<br />
= −0.124<br />
I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 3.012 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 27.178 rad/s):<br />
<br />
Θ1<br />
Φ1 =<br />
Θ2<br />
<br />
Θ1<br />
Φ2 =<br />
Θ2<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
1.011<br />
1<br />
−0.124<br />
1<br />
<br />
<br />
(15)<br />
(17)<br />
(18)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 81<br />
Esercizio 2.2 - Cod. VIB-026<br />
Nel sistema in Figura 1 le due aste rigide ed uniformi hanno uguale lunghezza e differenti masse.<br />
Scrivere le equazioni di moto del sistema e determinarne le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare.<br />
Dati<br />
O 1<br />
m 1<br />
l/2<br />
G 1<br />
l/4 l/4<br />
k 1<br />
k 2<br />
G 2<br />
O 2<br />
l/4 l/4 l/4 l/4<br />
Figura 1<br />
• Masse delle aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 1 kg m2 = 5 kg<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1600 N/m k2 = 2000 N/m<br />
Nota. Il momento d’inerzia baricentrico di un’asta omogenea di massa m e lunghezza l risulta pari a JG = ml 2 /12.<br />
Soluzione<br />
Il problema si può risolvere agevolmente mediante le equazioni di Lagrange.<br />
Indichiamo con ϑ1 e ϑ2 gli spostamenti angolari delle due aste, misurati a partire dalla posizione di equilibrio<br />
del sistema (vedi Figura 2).<br />
O 1<br />
L’energia cinetica risulta:<br />
θ 1<br />
G 1<br />
k 1<br />
Figura 2<br />
k 2<br />
θ 2<br />
G 2<br />
T = 1<br />
(J1ϑ˙ 2 2 1 + ˙ J2ϑ2 2 ) (1)<br />
dove J1 e J2 indicano i momenti d’inerzia delle due aste calcolati rispetto ai centri di rotazione O1 e O2; poiché<br />
si tratta di aste omogenee di uguale lunghezza e di massa differente si ha:<br />
2 m1l l<br />
J1 = + m1<br />
12 2<br />
2 m2l l<br />
J2 = + m2<br />
12 4<br />
2<br />
2<br />
= 1 2<br />
m1l<br />
3<br />
= 7 2<br />
m2l<br />
48<br />
O 2<br />
m 2<br />
(2)
82 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
L’energia potenziale, nell’ipotesi di piccole vibrazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si può scrivere<br />
nella forma sotto riportata:<br />
V = 1<br />
2 k1<br />
<br />
3<br />
4 lϑ1 − 3<br />
4 lϑ2<br />
2 + 1<br />
2 k2<br />
<br />
l<br />
2 ϑ2<br />
2 = 9<br />
32 k1l 2 (ϑ1 − ϑ2) 2 + 1<br />
8 k2l 2 ϑ 2 2<br />
Le equazioni di Lagrange per il sistema in esame sono le seguenti:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂<br />
⎪⎩<br />
˙ <br />
−<br />
ϑ1<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ1<br />
∂V<br />
∂ϑ1<br />
= 0<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
−<br />
ϑ2<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ2<br />
∂V<br />
∂ϑ2<br />
= 0<br />
in cui:<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
ϑ1<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
ϑ2<br />
= J1 ¨ ϑ1 = 1<br />
3 m1l 2 ¨ ϑ1<br />
= J2 ¨ ϑ2 = 7<br />
48 m2l 2 ¨ ϑ2<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ1<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ2<br />
∂V<br />
∂ϑ1<br />
∂V<br />
∂ϑ2<br />
= 9<br />
16 k1l 2 (ϑ1 − ϑ2)<br />
= − 9<br />
16 k1l 2 <br />
1<br />
ϑ1 +<br />
4 k2l 2 + 9<br />
<br />
2<br />
k1l ϑ2<br />
16<br />
Sostituendo tali espressioni nel sistema di equazioni (4) e semplificando rispetto ad l2 , si ottengono le equazioni<br />
di moto sotto riportate:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
1<br />
3 m1 ¨ ϑ1 + 9<br />
16 k1ϑ1 − 9<br />
16 k1ϑ2 = 0<br />
7<br />
48 m2 ¨ ϑ2 − 9<br />
16 k1ϑ1 +<br />
1<br />
4 k2 + 9<br />
16 k1<br />
<br />
ϑ2 = 0<br />
Come si può notare, tali equazioni risultano indipendenti dalla lunghezza delle aste.<br />
Passando alla notazione matriciale si ha:<br />
dove:<br />
[M] =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
3 m1<br />
0<br />
0<br />
7<br />
48 m2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ [K] =<br />
[M]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (7)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
9<br />
16 k1<br />
− 9<br />
16 k1<br />
− 9<br />
16 k1<br />
1<br />
4 k2 + 9<br />
16 k1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
{ϑ} =<br />
Le pulsazioni proprie del sistema si calcolano uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K]−ω 2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
<br />
L’equazione caratteristica è la seguente:<br />
avendo posto:<br />
9<br />
16 k1<br />
2 1<br />
− ω<br />
3 m1<br />
− 9<br />
16 k1<br />
− 9<br />
16 k1<br />
1<br />
4 k2 + 9<br />
16 k1<br />
<br />
2 7<br />
− ω<br />
48 m2<br />
ϑ1<br />
ϑ2<br />
<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(8)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0 (9)<br />
<br />
<br />
<br />
Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (10)<br />
A = 7<br />
144 m1m2 = 0.243 kg 2<br />
<br />
21<br />
B = −<br />
256 k1m2 + 1<br />
12 k2m1 + 3<br />
16 k1m1<br />
<br />
C = 9<br />
64 k1k2 = 450000 kg 2 s −4<br />
= −1122.9 kg 2 s −2<br />
(11)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 83<br />
Risolvendo l’equazione caratteristica si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori:<br />
⎪⎩<br />
ω1 = 21.05 rad/s ω2 = 64.63 rad/s (12)<br />
I modi principali di vibrare si calcolano utilizzando una delle due equazioni del sistema:<br />
⎧ <br />
9<br />
⎪⎨ 16 k1<br />
2 1<br />
− ω<br />
3 m1<br />
<br />
Θ1 − 9<br />
16 k1Θ2 = 0<br />
nelle incognite Θ1 e Θ2 (ampiezze di oscillazione).<br />
Utilizzando ad esempio la prima equazione, si ottiene:<br />
− 9<br />
16 k1Θ1<br />
<br />
1<br />
+<br />
4 k2 + 9<br />
16 k1<br />
2 7<br />
− ω<br />
48 m2<br />
<br />
= 0<br />
Θ1<br />
Θ2<br />
Θ1<br />
Θ2<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
9<br />
9<br />
16 k1<br />
16 k1 − ω 2 1<br />
9<br />
9<br />
16 k1<br />
16 k1 − ω 2 2<br />
1<br />
3 m1<br />
= 1.196<br />
1<br />
3 m1<br />
= −1.828<br />
I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 21.05 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 64.63 rad/s):<br />
<br />
Θ1<br />
Φ1 =<br />
Θ2<br />
<br />
Θ1<br />
Φ2 =<br />
Θ2<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
1.196<br />
1<br />
−1.828<br />
1<br />
<br />
<br />
(13)<br />
(14)<br />
(15)<br />
(16)
84 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.3 - Cod. VIB-027<br />
Il sistema in Figura 1 è costituito da due pulegge collegate da una cinghia di cui si evidenzia la costante elastica<br />
k; alla puleggia di diametro maggiore è collegato un pendolo costituito da un’asta di massa trascurabile e da<br />
una massa m concentrata all’estremità.<br />
Nell’ipotesi che la cinghia non slitti sulle pulegge, si richiede di:<br />
1. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema;<br />
2. calcolare l’ampiezza delle oscillazioni <strong>dei</strong> due dischi in condizioni di regime, quando al disco (1) viene applicata<br />
una coppia Cm variabile nel tempo secondo la legge Cm = C0 sin Ωt.<br />
Nota. Si assuma l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (pendolo verticale).<br />
Dati<br />
C (t)<br />
m<br />
1<br />
r<br />
k<br />
O1 2<br />
J1 k<br />
Figura 1<br />
• Momento d’inerzia delle due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 1 kg m 2 J2 = 3 kg m 2<br />
• Raggi delle due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.4 m R = 0.8 m<br />
• Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 5 kg<br />
• Lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.5 m<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> due rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m<br />
• Ampiezza della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 50 Nm<br />
• Pulsazione della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s<br />
Soluzione<br />
Calcolo delle pulsazioni proprie e <strong>dei</strong> modi principali di vibrare<br />
Per ricavare le pulsazioni proprie del sistema occorre scrivere le equazioni di moto relative alle vibrazioni libere:<br />
quindi, in questa prima fase dello studio non si considererà l’effetto della forzante esterna. Se si adotta il metodo<br />
degli equilibri dinamici, occorre in primo luogo evidenziare le forze e le coppie che agiscono sugli elementi del<br />
sistema durante il moto (vedi Figura 2).<br />
Le equazioni di equilibrio dinamico alla rotazione attorno ai perni sono le seguenti:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
J1 ¨ ϑ1 + kr(rϑ1 − Rϑ2) − kr(Rϑ2 − rϑ1) = 0<br />
J2 ¨ ϑ2 + kR(Rϑ2 − rϑ1) − kR(rϑ1 − Rϑ2) + ml 2 ¨ ϑ2 + mgl sin ϑ2 = 0<br />
R<br />
O<br />
J 2<br />
2<br />
(1)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 85<br />
k(r<br />
θ1- R θ )<br />
1<br />
2<br />
k(R<br />
θ 2 - r θ )<br />
J 1 θ ..<br />
θ 1<br />
1<br />
k(R<br />
θ 2 - r θ )<br />
1<br />
Figura 2<br />
..<br />
mlθ 2<br />
θ 2<br />
mg<br />
k (r θ1- R θ )<br />
J θ ..<br />
2<br />
2<br />
.<br />
2<br />
mlθ 2<br />
Ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ) e semplificando<br />
opportunamente, si ottiene:<br />
⎧<br />
⎨ J1<br />
⎩<br />
¨ ϑ1 + 2kr2ϑ1 − 2krR ϑ2 = 0<br />
(2)<br />
Utilizzando ora le seguenti definizioni:<br />
<br />
J1<br />
[J] =<br />
0<br />
0<br />
J2 + ml2 <br />
(J2 + ml 2 ) ¨ ϑ2 − 2krR ϑ1 + (2kR 2 + mgl)ϑ2 = 0<br />
[K] =<br />
2kr 2 −2krR<br />
−2krR 2kR 2 + mgl<br />
il sistema delle equazioni di moto può essere riscritto nella forma matriciale:<br />
<br />
2<br />
{ϑ} =<br />
ϑ1<br />
[J]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (4)<br />
Osservando le matrici [J] e [K] si osserva che il sistema presenta accoppiamento elastico (matrice [K] non<br />
diagonale), mentre risulta disaccoppiato dal punto di vista inerziale (matrice [J] diagonale).<br />
Le pulsazioni proprie si calcolano ponendo uguale a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [J]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
[J]| = <br />
2kr2 − ω2 <br />
J1<br />
−2krR<br />
<br />
<br />
= 0 (5)<br />
−2krR (2kR 2 + mgl) − ω 2 (J2 + ml 2 )<br />
L’equazione caratteristica che si ottiene sviluppando il determinante è la seguente:<br />
avendo posto:<br />
A = J1(J2 + ml 2 ) = 14.25 kg 2 m 4<br />
Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (6)<br />
B = −2kr 2 (J2 + ml 2 ) − J1(2kR 2 + mgl) = −11753.575 kg 2 m 4 s −2<br />
C = 2kr 2 mgl = 47088 kg 2 m 4 s −4<br />
ϑ2<br />
<br />
(3)<br />
(7)
86 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Con i dati assegnati dal problema si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori sotto riportati:<br />
ω1 = 2.006 rad/s ω2 = 28.649 rad/s (8)<br />
Calcoliamo ora i modi principali di vibrare, considerando il sistema lineare algebrico omogeneo avente come<br />
matrice <strong>dei</strong> coefficienti la matrice [∆]; le incognite T heta1 e T heta2 di tale sistema rappresentano le ampiezze<br />
di vibrazione delle due pulegge.<br />
⎧<br />
⎨ (2kr<br />
⎩<br />
2 − ω2J1)Θ1 − 2krR Θ2 = 0<br />
(9)<br />
−2krR Θ1 + [(2kR 2 + mgl) − ω 2 (J2 + ml 2 )]Θ2 = 0<br />
Avendo posto uguale a zero il determinante della matrice <strong>dei</strong> coefficienti, le due equazioni risultano equivalenti;<br />
pertanto possiamo ricavare il rapporto fra le ampiezze da una qualsiasi di esse.<br />
Utilizzando, ad esempio, la prima equazione si ha:<br />
<br />
Θ1<br />
2krR<br />
=<br />
= 2.013<br />
Θ2<br />
Θ1<br />
Θ2<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
2kr 2 − ω 2 1 J1<br />
2krR<br />
2kr 2 − ω 2 2 J1<br />
= −7.080<br />
I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 2.006 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 28.649 rad/s):<br />
Moto forzato<br />
<br />
Θ1<br />
Φ1 =<br />
Θ2<br />
<br />
Θ1<br />
Φ2 =<br />
Θ2<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
2.013<br />
1<br />
−7.080<br />
1<br />
Inserendo nelle equazioni di moto il contributo della forzante esterna si ottiene:<br />
⎧<br />
⎨ J1 ¨ ϑ1 + 2kr2ϑ1 − 2krR ϑ2 = Cm(t)<br />
⎩<br />
(J2 + ml 2 ) ¨ ϑ2 − 2krR ϑ1 + (2kR 2 + mgl)ϑ2 = 0<br />
Poiché Cm = C0 sin Ωt, ed il sistema è lineare, la soluzione a regime sarà del tipo:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
ϑ1(t) = Θ1 sin Ωt<br />
ϑ2(t) = Θ2 sin Ωt<br />
dove ora i simboli Θ1 e Θ2 indicano ora l’ampiezza delle vibrazioni nel moto forzato in condizioni di regime.<br />
Sostituendo tale soluzione nel sistema di equazioni e semplificando i termini armonici si ottiene:<br />
⎧<br />
⎨ (2kr<br />
⎩<br />
2 − Ω2J1)Θ1 − 2krR Θ2 = C0<br />
(15)<br />
−2krR Θ1 + [(2kR 2 + mgl) − Ω 2 (J2 + ml 2 )]Θ2 = 0<br />
Si tratta di un sistema lineare algebrico non omogeneo nelle incognite Θ1 e Θ2.<br />
Con i dati del problema si ha: ⎧<br />
⎨ 240 Θ1 − 1280 Θ2 = 50<br />
⎩<br />
−1280 Θ1 − 3066.425 Θ2 = 0<br />
<br />
<br />
(10)<br />
(11)<br />
(12)<br />
(13)<br />
(14)<br />
(16)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 87<br />
Risolvendo il sistema si ricava: ⎧ ⎨<br />
⎩<br />
Θ1 = 0.0646 rad = 3.7 ◦<br />
Θ2 = −0.027 rad = −1.54 ◦<br />
Come si può osservare, le vibrazioni a regime avvengono in opposizione di fase, poiché le ampiezze hanno segno<br />
discorde; pertanto: ⎧<br />
⎨ ϑ1(t) = 0.0646 sin 20 t<br />
⎩<br />
ϑ2(t) = −0.027 sin 20 t = 0.027 sin(20 t − π)<br />
(18)<br />
(17)
88 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.4 - Cod. VIB-028<br />
Per il sistema vibrante a due gradi di libertà rappresentato in Figura 1 si chiede di calcolare:<br />
1. le pulsazioni proprie;<br />
2. i modi principali di vibrare;<br />
3. l’ampiezza delle vibrazioni a regime per effetto dello spostamento impresso al punto A.<br />
Dati<br />
Ω<br />
Y<br />
k1<br />
A B<br />
Figura 1<br />
G<br />
m , J G<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 4 kg<br />
• Massa del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.02 kgm 2<br />
• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 100 kN/m k2 = 10 kN/m k3 = 20 kN/m<br />
• Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 10 mm<br />
• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 100 rad/s<br />
Soluzione<br />
Risolviamo il problema con il metodo degli equilibri dinamici.<br />
Per descrivere il moto del sistema utilizziamo come coordinate libere la traslazione della slitta x e la rotazione<br />
della puleggia ϑ; il manovellismo a croce imprime al punto A uno spostamento armonico esprimibile mediante<br />
l’equazione y(t) = Y sin Ωt (vedi Figura 2).<br />
y(t)<br />
Ωt<br />
Y<br />
k1<br />
A B<br />
Figura 2<br />
x<br />
R<br />
θ<br />
G<br />
R<br />
m , J G<br />
k<br />
M<br />
k<br />
k<br />
k<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 89<br />
Per lo studio delle vibrazioni libere occorre annullare gli effetti delle forzanti esterne; pertanto porremo y(t) = 0.<br />
In Figura 3 sono evidenziate le forze e le coppie agenti sul sistema in condizioni di moto libero:<br />
k x<br />
1<br />
J θ G<br />
x<br />
..<br />
(M+m) x ..<br />
Figura 3<br />
θ<br />
G<br />
R<br />
k 2(x<br />
+ R θ)<br />
k 3(x<br />
- R θ )<br />
L’equazione di equilibrio alla traslazione per il sistema slitta-puleggia è la seguente:<br />
(M + m)¨x + k1x + k2(x + Rϑ) + k3(x − Rϑ) = 0 (1)<br />
Per l’equilibrio alla rotazione della puleggia attorno al punto G si ha:<br />
JG ¨ ϑ + k2R(x + Rϑ) − k3R(x − Rϑ) = 0 (2)<br />
Riordinando i vari termini si perviene al sistema di equazioni differenziali:<br />
⎧<br />
⎨ (M + m)¨x + (k1 + k2 + k3)x + (k2 − k3)Rϑ = 0<br />
⎩<br />
Utilizzando ora le seguenti definizioni:<br />
<br />
M + m<br />
[M] =<br />
0<br />
0<br />
JG<br />
<br />
JG ¨ ϑ + (k2 − k3)Rx + (k2 + k3)R 2 ϑ = 0<br />
[K] =<br />
(k1 + k2 + k3) (k2 − k3)R<br />
(k2 − k3)R (k2 + k3)R 2<br />
<br />
{x} =<br />
il sistema delle equazioni di moto può essere riscritto nella forma matriciale sotto riportata:<br />
x<br />
ϑ<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = 0 (5)<br />
A questo punto possiamo calcolare le pulsazioni proprie del sistema, annullando il determinante della matrice<br />
[∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
[M]| = <br />
(k1 + k2 + k3) − ω2 <br />
(M + m) (k2 − k3)R <br />
<br />
= 0 (6)<br />
(k2 − k3)R (k2 + k3)R 2 − ω 2 JG<br />
Con semplici passaggi algebrici si perviene all’equazione caratteristica:<br />
in cui:<br />
A = (M + m)JG = 0.1 kg 2 m 2<br />
Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (7)<br />
B = −[(M + m)(k2 + k3)R 2 + (k1 + k2 + k3)JG] = −8600 kg 2 m 2 s −2<br />
C = (k1k2 + k1k3 + 4 k2k3)R 2 = 1.52 × 10 8 kg 2 m 2 s −4<br />
Risolvendo l’equazione caratteristica si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori sotto riportati:<br />
ω1 = 157.7 rad/s ω2 = 247.3 rad/s (9)<br />
<br />
(3)<br />
(4)<br />
(8)
90 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Calcoliamo ora i modi principali di vibrare considerando il sistema lineare omogeneo, avente come incognite le<br />
ampiezze di oscillazione X e Θ e come matrice <strong>dei</strong> coefficienti la matrice [∆].<br />
⎧<br />
⎨ [(k1 + k2 + k3) − ω<br />
⎩<br />
2 (M + m)] X + (k2 − k3)R Θ = 0<br />
(10)<br />
(k2 − k3)R X + [(k2 + k3)R 2 − ω 2 JG] Θ = 0<br />
Da una qualsiasi delle due equazioni è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; ad esempio<br />
dalla seconda si ricava: <br />
X<br />
Θ<br />
= (k2 + k3)R2 − ω2 1JG<br />
= 0.351 m/rad<br />
(k3 − k2)R<br />
ω=ω1<br />
<br />
X<br />
=<br />
Θ ω=ω2<br />
(k2 + k3)R2 − ω2 2JG<br />
= −0.011 m/rad<br />
(k3 − k2)R<br />
I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 157.7 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 247.3 rad/s):<br />
Moto forzato<br />
Φ1 =<br />
Φ2 =<br />
X<br />
Θ<br />
X<br />
Θ<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
0.351<br />
1<br />
−0.011<br />
1<br />
Per il calcolo delle ampiezze di oscillazione in condizioni di regime sinusoidale permanente occorre considerare<br />
nelle equazioni di moto il contributo della forzante armonica; a tale scopo basta osservare che, a causa dello<br />
spostamento del punto A, la forza esercitata dalla molla di rigidezza k1 vale k1(x − y); il sistema delle equazioni<br />
di moto diviene pertanto:<br />
⎧<br />
⎨ (M + m)¨x + (k1 + k2 + k3)x + (k2 − k3)Rϑ = k1Y sin Ωt<br />
⎩<br />
JG ¨ ϑ + (k2 − k3)Rx + (k2 + k3)R2 (14)<br />
ϑ = 0<br />
La soluzione a regime sarà: ⎧ ⎨<br />
⎩<br />
x(t) = X sin Ωt<br />
ϑ(t) = Θ sin Ωt<br />
in cui i simboli X e Θ indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime.<br />
Sostituendo le espressioni di x(t) e ϑ(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto e semplificando i<br />
termini armonici si ricava:<br />
⎧<br />
⎨ [(k1 + k2 + k3) − Ω<br />
⎩<br />
2 (M + m)] X + (k2 − k3)R Θ = k1Y<br />
(16)<br />
Con i dati del problema si ottiene: ⎧ ⎨<br />
da cui: ⎧ ⎨<br />
(k2 − k3)R X + [(k2 + k3)R 2 − Ω 2 JG] Θ = 0<br />
⎩<br />
⎩<br />
80 X − 2 Θ = 1<br />
−2 X + Θ = 0<br />
X = 0.0132 m = 13.2 mm<br />
Θ = 0.0263 rad = 1.51 ◦<br />
<br />
<br />
(11)<br />
(12)<br />
(13)<br />
(15)<br />
(17)<br />
(18)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 91<br />
Esercizio 2.5 - Cod. VIB-029<br />
Il meccanismo rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano orizzontale ed è costituito dai seguenti elementi:<br />
• una puleggia di raggio R e momento d’inerzia J1 rotante attorno al punto O1;<br />
• una puleggia di raggio 2R e momento d’inerzia J2 rotante attorno al punto O2;<br />
• un’asta AB di massa m, che costituisce la biella del parallelogramma articolato O2ABO3;<br />
• un’asta O3C, di massa trascurabile e lunghezza l = 3R, alla cui estremità superiore è fissata una massa<br />
puntiforme M;<br />
• una cinghia di trasmissione i cui rami presentano una rigidezza k assegnata;<br />
• una molla torsionale, avente rigidezza kt, che esercita un richiamo elastico sull’asta O3C.<br />
Supponendo che le manovelle O2A e O3B abbiano lunghezza pari ad R, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema in assenza di forzanti esterne;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie e i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno <strong>dei</strong> modi principali di<br />
vibrare;<br />
3. determinare le ampiezze di oscillazione in condizioni di regime quando alla puleggia di raggio minore viene<br />
applicata una coppia C(t) variabile del tempo secondo la legge C(t) = C0 sin Ωt.<br />
C(t)<br />
Dati<br />
R<br />
O 1<br />
J 1<br />
k<br />
k<br />
2R<br />
R<br />
A m B<br />
O O<br />
2<br />
3<br />
k<br />
Figura 1<br />
• Raggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.1 m<br />
• Momento d’inerzia della puleggia di raggio minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 × 10 −3 kgm 2<br />
• Momento d’inerzia della puleggia di raggio maggiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 6 × 10 −2 kgm 2<br />
• Massa della biella AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg<br />
• Massa concentrata nel punto C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 2 kg<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> due rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m<br />
• Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kt = 50 Nm<br />
• Ampiezza della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 5 Nm<br />
• Pulsazione della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s<br />
Soluzione<br />
Il sistema è collocato in un piano orizzontale, quindi non intervengono le forze peso. Alla puleggia di diametro<br />
maggiore è collegata, tramite il perno A, una biella AB che trasmette il movimento all’asta O3C; poiché il<br />
quadrilatero O2ABO3 è un parallelogramma articolato, la biella AB si muove di moto traslatorio curvilineo<br />
J 2<br />
t<br />
R<br />
C<br />
3R<br />
M
92 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
con velocità pari a quella del punto A, mentre l’asta O3C si muove esattamente come la puleggia di diametro<br />
maggiore; da tali considerazioni si deduce che, per descrivere il moto del sistema, bastano due sole coordinate<br />
angolari, che indichiamo con ϑ1 e ϑ2 (vedi Figura 2).<br />
J 1<br />
k<br />
k<br />
A m B<br />
θ1 θ2 θ2<br />
J 2<br />
Figura 2<br />
Sulla base delle considerazioni cinematiche sopra riportate possiamo scrivere<br />
k<br />
t<br />
v = R ˙ ϑ2 vC = 3R ˙ ϑ2 (1)<br />
dove v e vC indicano rispettivamente la velocità di traslazione della biella e la velocità del punto C. Pertanto<br />
l’energia cinetica del sistema risulta:<br />
L’energia potenziale vale:<br />
T = 1<br />
= 1<br />
2<br />
2 (J1 ˙ ϑ 2 1 + J2 ˙ ϑ 2 2 + mv 2 + Mv 2 C)<br />
<br />
J1 ˙ ϑ 2 1 + (J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ˙ ϑ 2 2<br />
V = 2 · 1<br />
2 k(2Rϑ2 − Rϑ1) 2 + 1<br />
2 ktϑ 2 2<br />
= kR 2 (2ϑ2 − ϑ1) 2 + 1<br />
2 ktϑ 2 2<br />
Nel caso di vibrazioni libere le equazioni di Lagrange assumono la forma seguente:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂<br />
⎪⎩<br />
˙ <br />
−<br />
ϑ1<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ1<br />
∂V<br />
∂ϑ1<br />
= 0<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
−<br />
ϑ2<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ2<br />
∂V<br />
∂ϑ2<br />
= 0<br />
in cui:<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
ϑ1<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
ϑ2<br />
= J1 ¨ ϑ1<br />
= (J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ¨ ϑ2<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ1<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ2<br />
Sostituendo tali espressioni nelle equazioni () e riordinando i termini si ha:<br />
⎧<br />
⎨ J1 ¨ ϑ1 + 2kR2ϑ1 − 4kR2ϑ2 = 0<br />
⎩<br />
<br />
C<br />
∂V<br />
= −2kR<br />
∂ϑ1<br />
2 (2ϑ2 − ϑ1)<br />
(J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ¨ ϑ2 − 4kR 2 ϑ1 + (8kR 2 + kt)ϑ2 = 0<br />
M<br />
∂V<br />
= 4kR<br />
∂ϑ2<br />
2 (2ϑ2 − ϑ1) + ktϑ2<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 93<br />
Passando alla notazione matriciale si ha:<br />
dove<br />
[J] =<br />
<br />
J1 0<br />
0 J2 + (m + 9M)R2 <br />
[J]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (7)<br />
<br />
2 2kR −4kR<br />
[K] =<br />
2<br />
−4kR 2 8kR 2 + kt<br />
<br />
{ϑ} =<br />
Calcoliamo le pulsazioni proprie del sistema uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [J]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
[J]| = <br />
2kR2 − ω2J1 −4kR2 <br />
<br />
<br />
= 0 (9)<br />
Per semplicità di scrittura poniamo:<br />
−4kR 2 (8kR 2 + kt) − ω 2 [J2 + (m + 9M)R 2 ]<br />
keq = 8kR 2 + kt = 290 Nm<br />
Jeq = J2 + (m + 9M)R 2 = 0.25 kgm 2<br />
Sviluppando il determinante si ottiene l’equazione caratteristica, le cui soluzioni, come è noto, forniscono le<br />
pulsazioni proprie del sistema:<br />
Posto<br />
le pulsazioni proprie risultano:<br />
ϑ1<br />
J1Jeqω 4 − (J1keq + 2kR 2 Jeq)ω 2 + (2kR 2 keq − 16k 2 R 4 ) = 0 (11)<br />
A = J1Jeq = 0.00125 kg 2 m 4<br />
B = −(J1keq + 2kR 2 Jeq) = −16.45 kg 2 m 4 s −2<br />
C = 2kR 2 keq − 16k 2 R 4 = 3000 kg 2 m 4 s −4<br />
ϑ2<br />
<br />
(8)<br />
(10)<br />
(12)<br />
ω1 = 13.6 rad/s ω2 = 113.9 rad/s (13)<br />
Per il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare, consideriamo il sistema lineare algebrico omogeneo nelle incognite<br />
Θ1 e Θ2 (ampiezze di vibrazione), avente come matrice <strong>dei</strong> coefficienti la matrice [∆]:<br />
⎧<br />
⎨ (2kR<br />
⎩<br />
2 − ω2J1)Θ1 − 4kR2Θ2 = 0<br />
(14)<br />
−4kR 2 Θ1 + (keq − ω 2 Jeq)Θ2 = 0<br />
Da una qualsiasi delle due equazioni è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando,<br />
ad esempio, la prima si ricava:<br />
<br />
Θ1<br />
4kR<br />
=<br />
2<br />
= 2.031<br />
Θ2<br />
Θ1<br />
Θ2<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
2kR 2 − ω 2 1 J1<br />
4kR 2<br />
2kR 2 − ω 2 2 J1<br />
= −24.615<br />
I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 13.6 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 113.9 rad/s):<br />
<br />
Θ1<br />
Φ1 =<br />
Θ2<br />
Φ2 =<br />
ϑ<br />
ϑ<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
2.031<br />
1<br />
−24.615<br />
1<br />
<br />
<br />
(15)<br />
(16)<br />
(17)
94 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Moto forzato<br />
Per quanto riguarda il moto forzato, si possono riscrivere le equazioni di Lagrange nella forma seguente:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂<br />
⎪⎩<br />
˙ <br />
−<br />
ϑ1<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ1<br />
∂V<br />
∂ϑ1<br />
= δL<br />
δϑ1<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
−<br />
ϑ2<br />
∂T<br />
+<br />
∂ϑ2<br />
∂V<br />
∂ϑ2<br />
= δL<br />
δϑ2<br />
in cui δL indica il lavoro virtuale delle azioni (forze e coppie) che non ammettono potenziale; nel nostro caso<br />
l’unica azione di questo tipo è la coppia C(t) applicata alla puleggia di diametro minore; si ha pertanto:<br />
δL<br />
= C(t) = C0 sin Ωt<br />
δϑ1<br />
Le equazioni relative al moto forzato sono quindi le seguenti:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
J1 ¨ ϑ1 + 2kR 2 ϑ1 − 4kR 2 ϑ2 = C0 sin Ωt<br />
(J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ¨ ϑ2 − 4kR 2 ϑ1 + (8kR 2 + kt)ϑ2 = 0<br />
La soluzione a regime per tale sistema si può scrivere nella forma:<br />
⎧<br />
⎨ ϑ1(t) = Θ1 sin Ωt<br />
⎩<br />
ϑ2(t) = Θ2 sin Ωt<br />
(18)<br />
δL<br />
= 0 (19)<br />
δϑ2<br />
in cui Θ1 e Θ2 indicano ora le ampiezze di vibrazione nel moto a regime.<br />
Sostituendo le espressioni di ϑ1(t) e ϑ2(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto e semplificando i<br />
termini armonici si ricava: ⎧<br />
⎨ (2kR<br />
⎩<br />
2 − Ω2J1)Θ1 − 4kR2Θ2 = C0<br />
(22)<br />
Con i dati del problema si ottiene: ⎧ ⎨<br />
Risolvendo il sistema lineare si ha: ⎧ ⎨<br />
La soluzione a regime risulta pertanto:<br />
−4kR 2 Θ1 + (keq − Ω 2 Jeq)Θ2 = 0<br />
⎩<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
59.5 Θ1 − 120 Θ2 = 5<br />
−120 Θ1 + 265 Θ2 = 0<br />
Θ1 = 0.969 rad = 55.5 ◦<br />
Θ2 = 0.439 rad = 25.1 ◦<br />
ϑ1(t) = 0.969 sin 10 t<br />
ϑ2(t) = 0.439 sin 10 t<br />
(20)<br />
(21)<br />
(23)<br />
(24)<br />
(25)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 95<br />
Esercizio 2.6 - Cod. VIB-030<br />
Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare per il sistema vibrante riportato in Figura 1.<br />
Nota. Si osservi che il corpo rigido costituito dai due dischi coassiali è sospeso (quindi non è incernierato nel<br />
punto G).<br />
Dati<br />
k<br />
3<br />
k 2<br />
m<br />
2<br />
M , JG R<br />
G<br />
r<br />
Figura 1<br />
• Masse traslanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m1 = 2 kg m2 = 3.6 kg<br />
• Massa <strong>dei</strong> due dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 25 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico <strong>dei</strong> due dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.6 kgm 2<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 900 N/m k2 = 350 N/m k3 = 500 N/m<br />
• Raggi <strong>dei</strong> dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.25 m r = 0.15 m<br />
Soluzione<br />
Per descrivere il moto del sistema utilizziamo le seguenti coordinate (misurate a partire dalla posizione di equilibrio<br />
statico):<br />
x1: spostamento verticale della massa m1;<br />
x2: spostamento verticale della massa m2;<br />
x3: spostamento verticale del punto G (baricentro del corpo rigido);<br />
ϑ: rotazione del corpo rigido.<br />
Volendo utilizzare le equazioni di Lagrange per risolvere il problema, è necessario calcolare l’energia cinetica e<br />
potenziale del sistema.<br />
m<br />
1<br />
k<br />
1
96 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
x 2<br />
k3<br />
k 2<br />
m2<br />
B<br />
ϑ<br />
M , JG R<br />
x 3<br />
G<br />
r<br />
x 1<br />
Figura 2<br />
Poiché le masse m1 ed m2 si muovono di moto traslatorio, mentre il corpo rigido compie un moto rototraslatorio,<br />
l’energia cinetica assume la seguente espressione:<br />
T = 1<br />
2 (m1 ˙x 2 1 + m2 ˙x 2 2 + M ˙x 2 3 + JG ˙ ϑ 2 ) (1)<br />
Misurando le coordinate a partire dalla posizione di equilibrio statico, i termini gravitazionali non compaiono<br />
nell’espressione dell’energia potenziale complessiva; sia ha pertanto:<br />
V = 1<br />
2 [k1x 2 1 + k2(xB − x2) 2 + k3x 2 2] (2)<br />
dove xB indica lo spostamento verticale del punto B, assunto positivo verso il basso.<br />
Per il sistema in esame valgono inoltre le seguenti relazioni cinematiche:<br />
m<br />
1<br />
k1<br />
A<br />
xB = x1 + (R + r)ϑ x3 = x1 + Rϑ (3)<br />
Poiché è possibile esprimere x3 in funzione di x1 e ϑ, la coordinata x3 risulta ridondante; il sistema ha pertanto<br />
tre gradi di libertà e le coordinate x1, x2 e ϑ sono sufficienti a descriverne il movimento. L’energia cinetica e<br />
l’energia potenziale possono quindi essere riscritte nella forma seguente:<br />
T = 1<br />
<br />
m1 ˙x<br />
2<br />
2 1 + m2 ˙x 2 2 + M( ˙x1 + R ˙ ϑ) 2 + JG ˙ ϑ 2<br />
(4)<br />
V = 1 <br />
k1x<br />
2<br />
2 1 + k2[x1 + (R + r)ϑ − x2] 2 + k3x 2 2<br />
Scriviamo ora le equazioni di Lagrange per il sistema:<br />
(5)<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙x1<br />
∂T<br />
+<br />
∂x1<br />
∂V<br />
= 0<br />
∂x1<br />
<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙x2<br />
∂T<br />
+<br />
∂x2<br />
∂V<br />
= 0<br />
∂x2<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
−<br />
ϑ<br />
∂T ∂V<br />
+ = 0<br />
∂ϑ ∂ϑ<br />
(6)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 97<br />
I singoli termini valgono:<br />
<br />
d ∂T<br />
= (m1 + M)¨x1 + MR<br />
dt ∂ ˙x1<br />
¨ ϑ<br />
<br />
d ∂T<br />
= m2¨x2<br />
dt ∂ ˙x2<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
= MR¨x1 + (JG + MR<br />
ϑ<br />
2 ) ¨ ϑ<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂x1<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂x2<br />
∂T<br />
∂ϑ<br />
= 0<br />
∂V<br />
= (k1 + k2)x1 + k2(R + r)ϑ − k2x2<br />
∂x1<br />
∂V<br />
= −k2x1 + (k2 + k3)x2 − k2(R + r)ϑ<br />
∂x2<br />
Sostituendo le espressioni precedenti nelle equazioni di Lagrange si ottiene:<br />
⎧<br />
(m1 + M)¨x1 + MR<br />
⎪⎨<br />
¨ ϑ + (k1 + k2)x1 − k2x2 + k2(R + r)ϑ = 0<br />
m2¨x2 − k2x1 + (k2 + k3)x2 − k2(R + r)ϑ = 0<br />
⎪⎩<br />
In forma matriciale possiamo scrivere:<br />
∂V<br />
∂ϑ = k2(R + r)x1 + k2(R + r) 2 ϑ − k2(R + r)x2<br />
MR¨x1 + (JG + MR 2 ) ¨ ϑ + k2(R + r)x1 − k2(R + r)x2 + k2(R + r) 2 ϑ = 0<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = 0 (9)<br />
dove {x} = {x1 x2 ϑ} T indica il vettore delle coordinate libere, mentre le matrici [M] e [K] sono definite dalle<br />
espressioni seguenti:<br />
⎡<br />
(m1 + M) 0 MR<br />
[M] = ⎣ 0 m2 0<br />
MR 0 (JG + MR2 ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
27 0 6.25<br />
⎦ = ⎣ 0 3.6 0 ⎦ (10)<br />
) 6.25 0 2.1625<br />
⎡<br />
(k1 + k2) −k2 k2(R + r)<br />
[K] = ⎣ −k2 (k2 + k3) −k2(R + r)<br />
k2(R + r) −k2(R + r) k2(R + r) 2<br />
⎤ ⎡<br />
⎤<br />
1250 −350 140<br />
⎦ = ⎣ −350 850 −140 ⎦ (11)<br />
140 −140 56<br />
Le pulsazioni proprie del sistema si ricavano uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K]−ω 2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
(12)<br />
1250 − 27 ω 2 −350 140 − 6.25 ω 2<br />
−350 850 − 3.6 ω 2 −140<br />
140 − 6.25 ω 2 −140 56 − 2.1625 ω 2<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
in cui:<br />
Aω 6 + Bω 4 + Cω 2 + D = 0 (13)<br />
A = −69.57<br />
B = 25300.7<br />
C = −2095190<br />
D = 25200000<br />
Le soluzioni dell’equazione caratteristica forniscono le pulsazioni proprie del sistema; nel nostro caso si ottengono<br />
i seguenti valori:<br />
ω1 = 3.801 rad/s ω2 = 10.05 rad/s ω3 = 15.755 rad/s (15)<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare algebrico omogeneo:<br />
ovvero: ⎡<br />
⎣<br />
1250 − 27 ω 2 −350 140 − 6.25 ω 2<br />
−350 850 − 3.6 ω 2 −140<br />
140 − 6.25 ω 2 −140 56 − 2.1625 ω 2<br />
(7)<br />
(8)<br />
(14)<br />
[∆]{x} = 0 (16)<br />
in cui i simboli X1, X2 e Θ indicano le ampiezze di vibrazione relative a ciascun grado di libertà; da tale<br />
sistema, ponendo ω = ωi (i = 1.2.3), è possibile ricavare le ampiezze di oscillazione corrispondenti a ciascun<br />
modo principale di vibrare.<br />
Con i dati del problema si ottiene:<br />
⎤ ⎧<br />
⎨<br />
⎦<br />
⎩<br />
X1<br />
X2<br />
Θ<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(17)
98 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 3.801 rad/s):<br />
Φ1 =<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 10.05 rad/s):<br />
• Terzo modo (ω = ω3 = 15.755 rad/s):<br />
Φ2 =<br />
Φ3 =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
X1<br />
X2<br />
Θ<br />
X1<br />
X2<br />
Θ<br />
X1<br />
X2<br />
Θ<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω1<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω3<br />
⎧<br />
⎨ 0.0166<br />
⎫<br />
⎬<br />
= 0.1827<br />
⎩<br />
1<br />
⎭<br />
⎧<br />
⎨<br />
=<br />
⎩<br />
−0.3424<br />
0.0414<br />
1<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ −0.1089 ⎬<br />
= −2.3365<br />
⎩ ⎭<br />
1<br />
(18)<br />
(19)<br />
(20)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 99<br />
Esercizio 2.7 - Cod. VIB-031<br />
Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano verticale ed è costituito dai seguenti<br />
elementi:<br />
• un disco (1) di raggio r1 e momento d’inerzia baricentrico J1 ruotante attorno al punto fisso O1;<br />
• un disco (2) di raggio r2, massa m2 e momento d’inerzia baricentrico J2, che rotola senza strisciare sul piano<br />
d’appoggio;<br />
• un’asta O1P, solidale con il disco (1), avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile;<br />
• una massa puntiforme M collocata in corrispondenza del punto P;<br />
• un manovellismo a croce, la cui manovella O3A ruota a velocità costante Ω;<br />
• una fune di collegamento fra gli elementi del sistema (di massa trascurabile);<br />
• tre molle di rigidezza k1, k2 e k3.<br />
Il sistema è in equilibrio quando la manovella O3A e l’asta O1P si trovano in posizione verticale. Assumendo<br />
l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. calcolare le ampiezze di oscillazione in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
l<br />
P<br />
J 1<br />
O<br />
1<br />
ϑ<br />
r1<br />
M<br />
1<br />
k 2<br />
k 1<br />
m 2 J2 2<br />
r 2<br />
O 2<br />
Figura 1<br />
x<br />
k<br />
3<br />
y<br />
A Ω Y<br />
• Raggio del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r1 = 0.2 m<br />
• Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r2 = 0.15 m<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.03 kgm 2<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 0.018 kgm 2<br />
• Massa del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m2 = 1 kg<br />
• Lunghezza dell’asta O1P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.9 m<br />
• Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 0.5 kg<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 6000 N/m<br />
• Lunghezza della manovella O3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m<br />
• Velocità angolare della manovella O3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 60 rad/s<br />
O 3
100 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Soluzione<br />
Risolviamo il problema con il metodo delle equazioni di Lagrange, assumendo come coordinate libere la rotazione<br />
ϑ del disco (1) e lo spostamento x del baricentro del disco (2); il moto della proiezione del punto A in direzione<br />
orizzontale è descritto dalla coordinata y(t) = Y sin Ωt e viene imposto al sistema mediante il manovellismo a<br />
croce.<br />
Le equazioni di Lagrange risultano:<br />
⎧ <br />
d ∂T<br />
⎪⎨ dt ∂<br />
⎪⎩<br />
˙ <br />
−<br />
ϑ<br />
∂T ∂V<br />
+ = 0<br />
∂ϑ ∂ϑ<br />
<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙x<br />
∂T<br />
(1)<br />
∂V<br />
+ = 0<br />
∂x ∂x<br />
L’energia cinetica e l’energia potenziale assumono la forma seguente:<br />
T = 1<br />
<br />
(J1 + Ml<br />
2<br />
2 ) ˙ ϑ 2 <br />
+<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
V = 1 <br />
k1(r1ϑ)<br />
2<br />
2 + k2(r1ϑ − x) 2 + k3(x − y) 2 − Mgl cos ϑ (3)<br />
Il calcolo delle derivate parziali che compaiono nelle equazioni (1) fornisce i risultati sotto riportati:<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
= (J1 + Ml<br />
ϑ<br />
2 ) ¨ ϑ<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ<br />
∂V<br />
∂ϑ = k1r 2 1ϑ + k2r1(r1ϑ − x) + Mgl sin ϑ<br />
<br />
d ∂T<br />
=<br />
dt ∂ ˙x<br />
<br />
¨x<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂x<br />
∂V<br />
∂x = −k2(r1ϑ − x) + k3(x − y)<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
Sostituendo le espressioni (4) nelle equazioni (1) e assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta O1P<br />
nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ), si perviene, dopo semplici passaggi, alle equazioni di moto<br />
del sistema: ⎧⎪ (J1 + Ml<br />
⎨<br />
2 ) ¨ ϑ + [(k1 + k2)r2 1 + Mgl]ϑ − k2r1x = 0<br />
⎪⎩<br />
<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
In forma matriciale possiamo scrivere:<br />
<br />
<br />
¨x − k2r1ϑ + (k2 + k3)x = k3y<br />
˙x 2<br />
<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {F } (6)<br />
dove {x} = {ϑ x} T è il vettore delle coordinate libere, {F } = {0 k3y} T il vettore delle azioni forzanti, [M]<br />
la matrice d’inerzia e [K] la matrice di rigidezza; queste ultime sono definite dalle espressioni seguenti:<br />
⎡<br />
(J1 + Ml<br />
[M] = ⎣<br />
2 ) 0<br />
0<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
<br />
[(k1 + k2)r<br />
[K] =<br />
2 <br />
1 + Mgl] −k2r1<br />
=<br />
−k2r1 (k2 + k3)<br />
0.435 0<br />
0 1.8<br />
<br />
284.4 −800<br />
−800 10000<br />
Per effettuare il calcolo delle pulsazioni proprie poniamo {F } = 0 (moto libero) ed uguagliamo a zero il<br />
determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
[M]| = <br />
284.4 − 0.435 ω2 −800<br />
−800 10000 − 1.8 ω2 <br />
<br />
<br />
= 0 (9)<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (10)<br />
<br />
(2)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(7)<br />
(8)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 101<br />
in cui:<br />
Le pulsazioni proprie valgono:<br />
A = 0.783<br />
B = −4861.9<br />
C = 2204145<br />
(11)<br />
ω1 = 22.19 rad/s ω2 = 75.61 rad/s (12)<br />
Per il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare, consideriamo il sistema lineare algebrico omogeneo nelle incognite<br />
Θ ed X (ampiezze di vibrazione), avente come matrice <strong>dei</strong> coefficienti la matrice [∆]:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(k1 + k2)r 2 1 + Mgl − ω 2 (J1 + Ml 2 ) Θ − k2r1X = 0<br />
<br />
−k2r1Θ + (k2 + k3) − ω2 <br />
m2 + J2<br />
r2 <br />
X = 0<br />
2<br />
Da una qualsiasi delle due equazioni è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando,<br />
ad esempio, la seconda si ricava:<br />
Quindi:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 22.19 rad/s):<br />
k2 + k3 − ω<br />
Θ<br />
=<br />
X ω=ω1<br />
2 1<br />
<br />
k2r1<br />
k2 + k3 − ω<br />
Θ<br />
=<br />
X ω=ω2<br />
2 2<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 75.61 rad/s):<br />
Moto forzato<br />
Φ1 =<br />
Φ2 =<br />
Θ<br />
X<br />
Θ<br />
X<br />
<br />
k2r1<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
11.392<br />
1<br />
−0.363<br />
1<br />
= 11.392 rad/m<br />
= −0.363 rad/m<br />
Per lo studio del moto forzato riscriviamo le equazioni di moto (5), mettendo in evidenza il termine armonico<br />
y(t) che eccita il sistema:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(J1 + Ml 2 ) ¨ ϑ + [(k1 + k2)r 2 1 + Mgl]ϑ − k2r1x = 0<br />
<br />
m2 + J2<br />
r 2 2<br />
<br />
¨x − k2r1ϑ + (k2 + k3)x = k3Y sin Ωt<br />
La soluzione a regime del sistema (17) si può esprimere nella forma:<br />
⎧<br />
⎨ ϑ(t) = Θ sin Ωt<br />
⎩<br />
x(t) = X sin Ωt<br />
in cui i simboli Θ ed X indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime.<br />
<br />
<br />
(13)<br />
(14)<br />
(15)<br />
(16)<br />
(17)<br />
(18)
102 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Sostituendo le espressioni di ϑ(t) e x(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto (17) e semplificando<br />
i termini armonici si ricava:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
Con i dati del problema si ottiene: ⎧ ⎨<br />
da cui: ⎧ ⎨<br />
⎪⎩<br />
(k1 + k2)r 2 1 + Mgl − Ω 2 (J1 + Ml 2 ) Θ − k2r1X = 0<br />
<br />
−k2r1Θ + (k2 + k3) − Ω2 <br />
m2 + J2<br />
r2 <br />
X = k3Y<br />
2<br />
⎩<br />
⎩<br />
−1281.6 Θ − 800 X = 0<br />
−800 Θ + 3520 X = 300<br />
Θ = 0.0466 rad = −2.67 ◦<br />
X = 0.0746 m = 74.6 mm<br />
(19)<br />
(20)<br />
(21)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 103<br />
Esercizio 2.8 - Cod. VIB-032<br />
Il sistema rappresentato in Figura 1 risulta costituito dai seguenti elementi:<br />
• un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 2a;<br />
• un manovellismo a croce che imprime un movimento armonico y(t) = Y sin Ωt in direzione orizzontale al<br />
baricentro G dell’asta;<br />
• un rullo di massa M, raggio R e momento d’inerzia baricentrico J, che rotola senza strisciare su un piano<br />
orizzontale;<br />
• due molle di rigidezza k disposte come in figura.<br />
Supponendo che, per y = 0 e rullo fermo, l’asta AB sia in posizione verticale e le due molle siano scariche, si<br />
chiede di determinare:<br />
1. le equazioni di moto del sistema nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni nell’intorno della<br />
posizione verticale;<br />
2. le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. l’ampiezza delle oscillazioni dell’asta AB e del rullo in condizioni di regime.<br />
O<br />
y(t)<br />
Ω<br />
Y<br />
P<br />
k<br />
m<br />
G<br />
B<br />
A<br />
ϑ<br />
Figura 1<br />
Nota. Il momento d’inerzia baricentrico di un’asta omogenea di massa m e lunghezza 2a vale:<br />
Dati<br />
a<br />
a<br />
Jasta = 1<br />
3 ma2<br />
• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 2 kg<br />
• Semi lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.45 m<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 5 kg<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.15 m<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.06 kgm 2<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 30000 N/m<br />
• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.08 m<br />
• Velocità angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 90 rad/s<br />
k<br />
x(t)<br />
M , J<br />
R
104 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Soluzione<br />
Il problema presenta due gradi di libertà e può quindi essere facilmente risolto mediante le equazioni di Lagrange;<br />
indicando con ϑ la rotazione del’asta attorno al punto G e con x lo spostamento del centro del rullo, si ottiene:<br />
⎧ <br />
d ∂T<br />
⎪⎨ dt ∂<br />
⎪⎩<br />
˙ <br />
−<br />
ϑ<br />
∂T ∂V<br />
+ = 0<br />
∂ϑ ∂ϑ<br />
<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙x<br />
∂T<br />
(1)<br />
∂V<br />
+ = 0<br />
∂x ∂x<br />
L’energia cinetica del sistema risulta:<br />
T = 1<br />
2 m<br />
<br />
˙y 2 + a2<br />
3 ˙ ϑ 2<br />
<br />
+ 1<br />
<br />
M +<br />
2<br />
J<br />
R2 <br />
˙x 2<br />
Per il calcolo dell’energia potenziale occorre valutare correttamente la deformazione delle due molle; con le<br />
convenzioni assunte e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno della posizione<br />
verticale, la molla superiore subisce un allungamento y per effetto dello spostamento verso destra del punto<br />
G ed un accorciamento aϑ per effetto della rotazione antioraria ϑ * dell’asta AB; la deformazione complessiva<br />
risulta pertanto pari a y − aϑ; ragionando in modo analogo si può osservare che la molla inferiore subisce una<br />
deformazione pari a x − (y + aϑ).<br />
L’energia potenziale del sistema assume quindi la seguente espressione:<br />
V = 1<br />
2 k [x − (y + aϑ)]2 + 1<br />
k(y − aϑ)2<br />
2<br />
Il calcolo delle derivate parziali che costituiscono i singoli termini delle equazioni di Lagrange fornisce i seguenti<br />
risultati:<br />
<br />
d ∂T<br />
dt ∂ ˙ <br />
=<br />
ϑ<br />
1<br />
3 ma2ϑ¨ ∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ<br />
∂V<br />
∂ϑ = 2ka2 <br />
d ∂T<br />
= M +<br />
dt ∂ ˙x<br />
ϑ − kax<br />
J<br />
R2 <br />
¨x<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂x<br />
∂V<br />
= k(x − y − aϑ)<br />
∂x<br />
(4)<br />
Sostituendo nelle equazioni di Lagrange le relazioni (4) e riordinando i termini si ottengono le equazioni di moto<br />
sotto riportate: ⎧<br />
⎪⎨ 1<br />
3<br />
⎪⎩<br />
ma2ϑ ¨ 2<br />
+ 2ka ϑ − kax = 0<br />
<br />
M + J<br />
R2 <br />
¨x − kaϑ + kx = ky<br />
(5)<br />
In forma matriciale il sistema (5) assume la forma:<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {F } (6)<br />
dove {x} = {ϑ x} T è il vettore delle coordinate libere, {F } = {0 ky} T il vettore delle azioni forzanti, [M] la<br />
matrice d’inerzia e [K] la matrice di rigidezza; queste ultime sono definite dalle espressioni seguenti:<br />
⎡<br />
⎢<br />
[M] = ⎣<br />
1<br />
3 ma2<br />
0<br />
0<br />
<br />
M + J<br />
R2 <br />
⎤<br />
<br />
⎥ 0.135<br />
⎦ =<br />
0<br />
<br />
0<br />
7.667<br />
<br />
2 2ka<br />
[K] =<br />
−ka<br />
<br />
−ka 12150<br />
=<br />
k −13500<br />
<br />
−13500<br />
30000<br />
Per effettuare il calcolo delle pulsazioni proprie poniamo (moto libero) ed uguagliamo a zero il determinante<br />
della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]; con semplici passaggi si ottiene:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
2ka<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
2 2 1<br />
− ω<br />
3 ma2 −ka<br />
−ka k − ω2 <br />
M + J<br />
R2 <br />
<br />
<br />
<br />
= 0 (9)<br />
<br />
<br />
(2)<br />
(3)<br />
(7)<br />
(8)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 105<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
in cui:<br />
Le pulsazioni proprie valgono:<br />
Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (10)<br />
A = 1<br />
3 ma2<br />
<br />
M + J<br />
R2 <br />
= 1.035<br />
B = −ka2 <br />
m + 2 M + J<br />
R2 <br />
= −97200<br />
C = k 2 a 2 = 1.8225 × 10 8<br />
(11)<br />
ω1 = 43.7 rad/s ω2 = 303.3 rad/s (12)<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua, come di consueto, considerando il sistema lineare omogeneo<br />
avente come incognite le ampiezze di oscillazione Θ ed X e come matrice <strong>dei</strong> coefficienti la matrice [∆].<br />
⎧ <br />
⎪⎨<br />
2ka<br />
⎪⎩<br />
2 2 1<br />
− ω<br />
3 ma2<br />
<br />
Θ − kaX = 0<br />
<br />
−kaΘ + k − ω2 <br />
M + J<br />
R2 <br />
(13)<br />
X = 0<br />
Da una qualsiasi delle due equazioni è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando,<br />
ad esempio, la seconda equazione si ha:<br />
k − ω<br />
Θ<br />
=<br />
X ω=ω1<br />
2 <br />
1 M + J<br />
R2 <br />
= 1.135 rad/m<br />
ka<br />
k − ω<br />
Θ<br />
=<br />
X ω=ω2<br />
2 <br />
2 M + J<br />
R2 <br />
(14)<br />
= −50.024 rad/m<br />
ka<br />
Quindi:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 43.7 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 303.3 rad/s):<br />
Moto forzato<br />
Φ1 =<br />
Φ2 =<br />
Θ<br />
X<br />
Θ<br />
X<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
1.135<br />
1<br />
−50.024<br />
1<br />
Il calcolo delle ampiezze di oscillazione in condizioni di regime sinusoidale permanente si effettua considerando<br />
nelle equazioni di moto il contributo della forzante armonica; riscriviamo pertanto il sistema (5) mettendo in<br />
evidenza tale contributo: ⎧<br />
⎪⎨ 1<br />
⎪⎩<br />
3 ma2 ¨ ϑ + 2ka 2 ϑ − kax = 0<br />
<br />
M + J<br />
R 2<br />
<br />
<br />
<br />
¨x − kaϑ + kx = kY sin Ωt<br />
La soluzione a regime di tale sistema si può esprimere nella forma:<br />
⎧<br />
⎨ ϑ(t) = Θ sin Ωt<br />
⎩<br />
x(t) = X sin Ωt<br />
(15)<br />
(16)<br />
(17)<br />
(18)
106 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
in cui i simboli Θ ed X indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime.<br />
Sostituendo le espressioni di ϑ(t) e x(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto (17) e semplificando<br />
i termini armonici si ricava: ⎧⎪<br />
<br />
2ka<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
2 2 1<br />
− Ω<br />
3 ma2<br />
<br />
Θ − kaX = 0<br />
<br />
−kaΘ + k − Ω2 <br />
M + J<br />
R2 <br />
(19)<br />
X = kY<br />
Con i dati assegnati si ottiene: ⎧ ⎨<br />
da cui: ⎧ ⎨<br />
⎩<br />
⎩<br />
11056.5 Θ − 13500 X = 0<br />
−13500 Θ − 32100 X = 2400<br />
Θ = −0.0603 rad = −3.45 ◦<br />
X = −0.0494 m = −49.4 mm<br />
(20)<br />
(21)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 107<br />
Esercizio 2.9 - Cod. VIB-033<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, costituito<br />
da una trave elastica di massa trascurabile, appoggiata alle due estremità, sulla quale sono fissate, ad intervalli<br />
regolari, tre masse puntiformi di uguale valore.<br />
Dati<br />
EJ<br />
l/4<br />
m<br />
l/4<br />
m<br />
Figura 1<br />
• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l<br />
• Lunghezza di ogni campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l/4<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave (rispetto all’asse neutro della flessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J<br />
Soluzione<br />
Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a tre gradi di libertà. Per descrivere il moto di tale sistema è<br />
sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle tre masse concentrate, assunti positivi<br />
verso il basso (vedi Figura 2).<br />
l/4<br />
m m m<br />
x1 1 x2 2 x3 3<br />
Figura 2<br />
Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni.<br />
In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3:<br />
P 1 P 2 P 3<br />
1 2 3<br />
Figura 3<br />
Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con tre forze P1, P2 e P3 applicate nei<br />
punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di<br />
cedevolezza possiamo scrivere:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x1 = α11P1 + α12P2 + α13P3<br />
x2 = α21P1 + α22P2 + α23P3<br />
x3 = α31P1 + α32P2 + α33P3<br />
m<br />
l/4<br />
(1)
108 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2, 3) viene espresso come somma di contributi generati dai<br />
singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalle<br />
forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata.<br />
Per la determinazione <strong>dei</strong> coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono<br />
riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo<br />
e di carico.<br />
Ad esempio, a pagina D-63 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave su<br />
due appoggi con carico concentrato applicato in un generico punto C (vedi Figura 4):<br />
• Freccia nel punto C:<br />
• Freccia in un punto generico del tratto AC:<br />
• Freccia in un punto generico del tratto CB:<br />
αL βL<br />
P<br />
A B<br />
C<br />
ξ L ζL<br />
L<br />
Figura 4<br />
νc = 1 P L<br />
3<br />
3<br />
EJ α2β 2<br />
ν = 1 P L<br />
6<br />
3<br />
EJ βξ(1 − β2 − ξ 2 ) (3)<br />
ν = 1 P L<br />
6<br />
3<br />
EJ αζ(1 − α2 − ζ 2 ) (4)<br />
A questo punto è possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poiché la matrice di cedevolezza è<br />
simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto sei.<br />
1. Calcolo di α11: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) α = 1/4 e β = 3/4 si ottiene:<br />
α11 = 1 l3<br />
×<br />
3 EJ ×<br />
2 1<br />
×<br />
4<br />
2 3<br />
=<br />
4<br />
3<br />
256<br />
2. Calcolo di α22: freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) α = 1/2 e β = 1/2 si ottiene:<br />
α22 = 1 l3<br />
×<br />
3 EJ ×<br />
2 1<br />
×<br />
2<br />
2 1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
48<br />
3. Calcolo di α33: freccia nel punto (3) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) α = 3/4 e β = 1/4 si ottiene 6 :<br />
α33 = 1 l3<br />
×<br />
3 EJ ×<br />
2 3<br />
×<br />
4<br />
6 Ovviamente deve risultare, per ragioni di simmetria, α11 = α33.<br />
2 1<br />
=<br />
4<br />
3<br />
256<br />
l3 EJ<br />
l3 EJ<br />
l3 EJ<br />
(2)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 109<br />
l/4<br />
l/4<br />
1<br />
3/4 l<br />
1 2 3<br />
α 11<br />
1<br />
1<br />
α 13<br />
3/4 l l/4<br />
2<br />
1<br />
3<br />
α 33<br />
3/4 l l/4<br />
2<br />
3<br />
1<br />
a)<br />
c)<br />
e)<br />
Figura 5<br />
l/4<br />
l/2<br />
1<br />
l/2<br />
1 2 α 3<br />
22<br />
l/2<br />
1<br />
l/2<br />
α 1 2<br />
12<br />
3<br />
1<br />
l/2<br />
3/4 l l/4<br />
4. Calcolo di α12: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) α = 1/2, β = 1/2 e ξ = 1/4 si ottiene:<br />
α12 = 1 l3 1 1<br />
× × ×<br />
6 EJ 2 4 ×<br />
2 2<br />
1 1<br />
1 − − =<br />
2 4<br />
11 l<br />
768<br />
3<br />
(8)<br />
EJ<br />
5. Calcolo di α13: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) α = 3/4, β = 1/4 e ξ = 1/4 si ottiene:<br />
α13 = 1 l3 1 1<br />
× × ×<br />
6 EJ 4 4 ×<br />
2 2<br />
1 1<br />
1 − − =<br />
4 4<br />
7 l<br />
768<br />
3<br />
(9)<br />
EJ<br />
6. Calcolo di α23: freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) α = 3/4, β = 1/4 e ξ = 1/2 si ottiene:<br />
α23 = 1 l3 1 1<br />
× × ×<br />
6 EJ 4 2 ×<br />
2 2<br />
1 1<br />
1 − − =<br />
4 2<br />
11 l<br />
768<br />
3<br />
(10)<br />
EJ<br />
Poiché gli spostamenti x1, x2 ed x3 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni<br />
deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse<br />
concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6):<br />
..<br />
mx1 ..<br />
x1 ..<br />
mx2 ..<br />
..<br />
mx3 1 2 3<br />
x2 x3 Figura 6<br />
Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni le relazioni:<br />
..<br />
P1 = −m¨x1 P2 = −m¨x2 P3 = −m¨x3 (11)<br />
ed i valori <strong>dei</strong> coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:<br />
⎧<br />
x1 = −<br />
⎪⎨<br />
ml3<br />
768EJ (9¨x1 + 11¨x2 + 7¨x3)<br />
x2 = − ml3<br />
768EJ (11¨x1 + 16¨x2 + 11¨x3)<br />
⎪⎩<br />
x3 = − ml3<br />
768EJ (7¨x1 + 11¨x2 + 9¨x3)<br />
2<br />
α13 3<br />
1<br />
b)<br />
d)<br />
f)<br />
(12)
110 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Ponendo ora a = 768EJ/ml 3 e riordinando i termini si ha:<br />
In forma matriciale si può scrivere:<br />
avendo posto:<br />
⎡<br />
[M] = ⎣<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
9 11 7<br />
11 16 11<br />
7 11 9<br />
9¨x1 + 11¨x2 + 7¨x3 + ax1 = 0<br />
11¨x1 + 16¨x2 + 11¨x3 + ax2 = 0<br />
7¨x1 + 11¨x2 + 9¨x3 + ax3 = 0<br />
(13)<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (14)<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ [K] = ⎣<br />
a 0 0<br />
0 a 0<br />
0 0 a<br />
⎤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎦ {x} =<br />
⎩<br />
Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
(16)<br />
a − 9 ω 2 −11 ω 2 −7 ω 2<br />
−11 ω 2 a − 16 ω 2 −11 ω 2<br />
−7 ω 2 −11 ω 2 a − 9 ω 2<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
ovvero, scomponendo il polinomio al primo membro e ponendo λ = ω2 :<br />
<br />
λ − 1<br />
2 a<br />
<br />
Le soluzioni sono:<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(15)<br />
28 ω 6 − 78 a ω 4 + 34 a 2 ω 2 − a 3 = 0 (17)<br />
λ1 = 32a − √ 1024a 2 − 56a 2<br />
28<br />
λ2 = 1<br />
2 a<br />
λ3 = 32a + √ 1024a 2 − 56a 2<br />
28<br />
(28λ 2 − 64aλ + 2a 2 ) = 0 (18)<br />
= (16 − 11√ 2)a<br />
14<br />
= (16 + 11√ 2)a<br />
14<br />
Quindi le pulsazioni proprie risultano:<br />
√<br />
16 − 11 2<br />
ω1 =<br />
×<br />
14<br />
768EJ<br />
ml3 <br />
EJ<br />
= 4.93<br />
ml3 <br />
1 768EJ<br />
ω2 = ×<br />
2 ml3 <br />
EJ<br />
= 19.6<br />
ml3 √<br />
16 + 11 2<br />
ω3 =<br />
×<br />
14<br />
768EJ<br />
ml3 <br />
EJ<br />
= 41.6<br />
ml3 = 0.0317 a<br />
= 2.2540 a<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
(a − 9 ω2 )X1 − 11 ω2X2 − 7 ω2X3 = 0<br />
⎪⎩<br />
−11 ω 2 X1 + (a − 16 ω 2 )X2 − 11 ω 2 X3 = 0<br />
−7 ω 2 X1 − 11 ω 2 X2 + (a − 9 ω 2 )X3 = 0<br />
in cui i simboli X1, X2 e X3 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema,<br />
sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di<br />
vibrare della trave.<br />
Con semplici passaggi algebrici si ricava:<br />
(19)<br />
(20)<br />
(21)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 111<br />
• Primo modo: ω = ω1 =<br />
• Secondo modo: ω = ω2 =<br />
• Terzo modo: ω = ω3 =<br />
(16 − 11 √ 2)a<br />
1<br />
2 a<br />
14<br />
(16 + 11 √ 2)a<br />
14<br />
Φ1 =<br />
Φ2 =<br />
Φ3 =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω1<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω3<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ √<br />
1 ⎬<br />
= 2<br />
⎩ ⎭<br />
1<br />
⎧<br />
⎨<br />
=<br />
⎩<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
⎧<br />
⎨ 1<br />
= −<br />
⎩<br />
√ ⎫<br />
⎬<br />
2<br />
⎭<br />
1<br />
Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare:<br />
1<br />
1<br />
1 2 3<br />
1<br />
2<br />
Figura 7: Primo modo di vibrare.<br />
1<br />
1<br />
2 3<br />
Figura 8: Secondo modo di vibrare.<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
Figura 9: Terzo modo di vibrare.<br />
1<br />
3<br />
(22)<br />
(23)<br />
(24)
112 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.10 - Cod. VIB-034<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, costituito<br />
da una trave elastica di massa trascurabile, incastrata ad una estremità, sulla quale sono fissate, ad intervalli<br />
regolari, tre masse puntiformi di uguale valore.<br />
Dati<br />
EJ<br />
l/3<br />
m<br />
l/3<br />
Figura 1<br />
• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l<br />
• Lunghezza di ogni campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l/3<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave (rispetto all’asse neutro della flessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J<br />
Soluzione<br />
Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a tre gradi di libertà. Per descrivere il moto di tale sistema è<br />
sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle tre masse concentrate, assunti positivi<br />
verso il basso (vedi Figura 2).<br />
x 1<br />
1<br />
m<br />
l/3<br />
m<br />
m m m<br />
Figura 2<br />
2 3<br />
x2 x3 Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni.<br />
In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3:<br />
P 1 P 2 P 3<br />
1 2 3<br />
Figura 3<br />
Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con tre forze P1, P2 e P3 applicate nei<br />
punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di<br />
cedevolezza possiamo scrivere: ⎧<br />
⎨ x1 = α11P1 + α12P2 + α13P3<br />
⎩<br />
x2 = α21P1 + α22P2 + α23P3<br />
(1)<br />
x3 = α31P1 + α32P2 + α33P3<br />
Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2, 3) viene espresso come somma di contributi generati<br />
dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 113<br />
dalle forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. Per la determinazione <strong>dei</strong> coefficienti di influenza si<br />
ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni<br />
e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico.<br />
Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave<br />
incastrata ad una estremità con carico concentrato applicato all’estremità libera (vedi Figura 4):<br />
• Freccia nel punto B:<br />
• Freccia in un punto generico della trave:<br />
A B<br />
ξ L ζL<br />
L<br />
Figura 4<br />
νB = 1 P L<br />
3<br />
3<br />
EJ<br />
P<br />
ν = 1 P L<br />
6<br />
3<br />
EJ ξ2 (3 − ξ) (3)<br />
A questo punto è possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poiché la matrice di cedevolezza è<br />
simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto sei.<br />
1. Calcolo di α11: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) L = l/3 si ottiene:<br />
α11 = 1<br />
3EJ ×<br />
3 l<br />
=<br />
3<br />
1<br />
81<br />
2. Calcolo di α22: freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) L = 2l/3 si ottiene:<br />
α22 = 1<br />
3EJ ×<br />
<br />
2<br />
3 l<br />
3 = 8<br />
81<br />
3. Calcolo di α33: freccia nel punto (3) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) L = l si ottiene:<br />
α33 = l3<br />
3EJ<br />
4. Calcolo di α12: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) L = 2l/3 e ξ = 1/2 si ottiene:<br />
α12 = 1<br />
6EJ ×<br />
<br />
2<br />
3 l<br />
3 ×<br />
l3 EJ<br />
l3 EJ<br />
2 <br />
1<br />
× 3 −<br />
2<br />
1<br />
<br />
=<br />
2<br />
5<br />
162<br />
5. Calcolo di α13: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) L = l e ξ = 1/3 si ottiene:<br />
α13 = 1<br />
6EJ × l3 ×<br />
2 <br />
1<br />
× 3 −<br />
3<br />
1<br />
<br />
=<br />
3<br />
4<br />
81<br />
l3 EJ<br />
l3 EJ<br />
(2)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)
114 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
l/3<br />
l/3<br />
1<br />
1<br />
1 2 3<br />
α 11<br />
1<br />
α 13<br />
l<br />
l<br />
1<br />
2 3<br />
α 33<br />
1<br />
2 3<br />
a)<br />
e)<br />
c)<br />
Figura 5<br />
l/3<br />
2/3 l<br />
1<br />
1 2 3<br />
α22 1<br />
2/3 l<br />
2/3 l<br />
1<br />
α 12<br />
l<br />
1<br />
2 3<br />
1<br />
2 3<br />
α 23<br />
6. Calcolo di α23: freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (3). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) L = l e ξ = 2/3 si ottiene:<br />
α23 = 1<br />
6EJ × l3 ×<br />
2 <br />
2<br />
× 3 −<br />
3<br />
2<br />
<br />
3<br />
= 14 l<br />
81<br />
3<br />
EJ<br />
Poiché gli spostamenti x1, x2 ed x3 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni<br />
deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse<br />
concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6):<br />
..<br />
mx1 ..<br />
x1 ..<br />
mx2 ..<br />
..<br />
mx3 1 2 3<br />
x2 x3 Figura 6<br />
Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni:<br />
P1 = −m¨x1 P2 = −m¨x2 P3 = −m¨x3 (10)<br />
ed i valori <strong>dei</strong> coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:<br />
⎧<br />
x1 = −<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
ml3<br />
<br />
1<br />
27EJ 3 ¨x1 + 5<br />
6 ¨x2 + 4<br />
3 ¨x3<br />
<br />
x2 = − ml3<br />
<br />
5<br />
27EJ 6 ¨x1 + 8<br />
3 ¨x2 + 14<br />
3 ¨x3<br />
<br />
x3 = − ml3<br />
<br />
4<br />
27EJ 3 ¨x1 + 14<br />
3 ¨x2<br />
<br />
+ 9¨x3<br />
..<br />
b)<br />
f)<br />
d)<br />
(9)<br />
(11)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 115<br />
Ponendo ora a = 27EJ/ml 3 e riordinando i termini si ha:<br />
In forma matriciale si può scrivere:<br />
avendo posto:<br />
⎡<br />
1<br />
⎢ 3<br />
⎢ 5<br />
[M] = ⎢ 6<br />
⎢<br />
⎣ 4<br />
3<br />
5<br />
6<br />
8<br />
3<br />
14<br />
3<br />
⎧<br />
1<br />
⎪⎨<br />
3<br />
⎪⎩<br />
¨x1 + 5<br />
6 ¨x2 + 4<br />
3 ¨x3 + ax1 = 0<br />
5<br />
6 ¨x1 + 8<br />
3 ¨x2 + 14<br />
3 ¨x3 + ax2 = 0<br />
4<br />
3 ¨x1 + 14<br />
3 ¨x2 + 9¨x3 + ax3 = 0<br />
⎤<br />
4<br />
3 ⎥<br />
14 ⎥<br />
3<br />
⎥<br />
9<br />
⎦<br />
(12)<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (13)<br />
⎡<br />
[K] = ⎣<br />
a 0 0<br />
0 a 0<br />
0 0 a<br />
⎤<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎦ {x} =<br />
⎩<br />
Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a − 1<br />
3 ω2 − 5<br />
6 ω2 − 4<br />
3 ω2<br />
− 5<br />
6 ω2 a − 8<br />
3 ω2 − 14<br />
3 ω2<br />
− 4<br />
3 ω2 − 14<br />
3 ω2 a − 9 ω2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(15)<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(14)<br />
13<br />
108 ω6 − 131<br />
36 a ω4 + 12 a 2 ω 2 − a 3 = 0 (16)<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
ω1 = √ <br />
0.086 a = 0.086 × 27EJ<br />
<br />
EJ<br />
= 1.52<br />
ml3 ml3 ω2 = √ <br />
3.668 a = 3.668 × 27EJ<br />
<br />
EJ<br />
= 9.95<br />
ml3 ml3 ω3 = √ <br />
26.477 a = 26.477 × 27EJ<br />
<br />
EJ<br />
= 26.74<br />
ml3 ml3 Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:<br />
⎧ <br />
a −<br />
⎪⎨<br />
1<br />
3 ω2<br />
<br />
X1 − 5<br />
6 ω2X2 − 4<br />
3 ω2X3 = 0<br />
− 5<br />
6 ω2 <br />
X1 + a − 8<br />
3 ω2<br />
<br />
X2 − 14<br />
3 ω2X3 = 0<br />
⎪⎩<br />
− 4<br />
3 ω2 X1 − 14<br />
3 ω2 X2 + (a − 9 ω 2 )X3 = 0<br />
in cui i simboli X1, X2 e X3 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema,<br />
sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di<br />
vibrare della trave.<br />
Con semplici passaggi algebrici si ricava:<br />
(17)<br />
(18)
116 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
• Primo modo: ω = ω1 = √ 0.086 a<br />
• Secondo modo: ω = ω2 = √ 3.668 a<br />
• Terzo modo: ω = ω3 = √ 26.477 a<br />
Φ1 =<br />
Φ2 =<br />
Φ3 =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
X1<br />
X2<br />
X3<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω1<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω=ω3<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0.156 ⎬<br />
= 0.532<br />
⎩ ⎭<br />
1<br />
⎧<br />
⎨ −1.269<br />
⎫<br />
⎬<br />
= −1.508<br />
⎩<br />
1<br />
⎭<br />
⎧<br />
⎨ 4.647<br />
⎫<br />
⎬<br />
= −3.248<br />
⎩<br />
1<br />
⎭<br />
Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare:<br />
1 2 3<br />
0.156<br />
Figura 7: Primo modo di vibrare.<br />
1.269<br />
1 2<br />
0.532 1<br />
1.508<br />
Figura 8: Secondo modo di vibrare.<br />
1 2<br />
4.647<br />
Figura 9: Terzo modo di vibrare.<br />
3.248<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
(19)<br />
(20)<br />
(21)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 117<br />
Esercizio 2.11 - Cod. VIB-035<br />
Il sistema in Figura 1 è costituito da due masse puntiformi fissate ad una trave elastica di acciaio vincolata a<br />
terra mediante un incastro ed un appoggio. Nell’ipotesi che risulti trascurabile la massa della trave, si chiede<br />
di:<br />
• scrivere le equazioni di moto relative alle vibrazioni flessionali del sistema;<br />
• calcolare le pulsazioni proprie;<br />
• determinare i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno <strong>dei</strong> modi principali di vibrare.<br />
Dati<br />
EJ<br />
m<br />
1<br />
m<br />
l/3 l/3 l/3<br />
Figura 1<br />
• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 50 kg m2 = 2m1 = 100 kg<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 900 mm<br />
• Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 3000 mm 4<br />
Soluzione<br />
Prima di risolvere il problema è opportuno convertire i dati assegnati nelle unità di misura del Sistema<br />
Internazionale:<br />
- Lunghezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 900 mm = 0.9 m<br />
- Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm 2 = 2.06 × 10 11 N/m 2<br />
- Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 3000 mm 4 = 3 × 10 −9 m 4<br />
Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libertà.<br />
Per descrivere il moto di tale sistema è sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle<br />
due masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2).<br />
x 1<br />
1<br />
m<br />
1<br />
Figura 2<br />
Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni.<br />
In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata nella Figura 3 sotto riportata:<br />
Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con due forze P1 e P2 applicate nei punti in<br />
cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza<br />
possiamo scrivere: <br />
x1 = α11P1 + α12P2<br />
(1)<br />
x 2<br />
2<br />
x2 = α21P1 + α22P2<br />
m<br />
2<br />
2
118 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
P 1<br />
1<br />
Figura 3<br />
Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2) viene espresso come somma di contributi generati dai<br />
singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalle<br />
forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata.<br />
Per la determinazione <strong>dei</strong> coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono<br />
riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo<br />
e di carico.<br />
Ad esempio, a pagina D-65 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave<br />
iperstatica vincolata con incastro e appoggio alla quale è applicato un carico concentrato in un generico punto<br />
C (vedi Figura 4):<br />
• Freccia nel punto C:<br />
νC = 1<br />
12<br />
• Freccia in un punto generico del tratto AC:<br />
• Freccia in un punto generico del tratto CB:<br />
P 2<br />
αL βL<br />
P<br />
A B<br />
C<br />
ξ L ζL<br />
L<br />
Figura 4<br />
2<br />
P L 3<br />
EJ α2 β 3 (3 + α) (2)<br />
ν = 1 P L<br />
12<br />
3<br />
EJ ξβ2 3α − (2 + α)ξ 2<br />
ν = 1 P L<br />
12<br />
3<br />
EJ αζ2 3 1 − α 2 − 3 − α 2 ζ <br />
A questo punto è possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poiché la matrice di cedevolezza è<br />
simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto tre.<br />
1. Calcolo di α11: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) α = 1/3 e β = 2/3 si ottiene:<br />
α11 = 1 l3<br />
×<br />
12 EJ ×<br />
2 1<br />
×<br />
3<br />
3 <br />
2<br />
× 3 +<br />
3<br />
1<br />
<br />
=<br />
3<br />
20<br />
2187<br />
2. Calcolo di α22: freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) α = 2/3 e β = 1/3 si ottiene:<br />
α22 = 1 l3<br />
×<br />
12 EJ ×<br />
2 2<br />
×<br />
3<br />
3 <br />
1<br />
× 3 +<br />
3<br />
2<br />
<br />
=<br />
3<br />
11<br />
2187<br />
l3 EJ<br />
l3 EJ<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 119<br />
l/3<br />
1<br />
1<br />
α11 2/3 l<br />
2<br />
2/3 l l/3<br />
1<br />
1 2<br />
α22 a) b) c)<br />
Figura 5<br />
l/3<br />
2/3 l l/3<br />
1<br />
1 2<br />
α12 3. Calcolo di α12: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) α = 2/3, β = 1/3 e ξ = 1/3 si ottiene:<br />
α12 = 1 l3 1<br />
× ×<br />
12 EJ 3 ×<br />
<br />
2<br />
1<br />
× 3 ×<br />
3<br />
2<br />
3 −<br />
<br />
2 + 2<br />
2<br />
1<br />
× =<br />
3 3<br />
23 l<br />
4374<br />
3<br />
(7)<br />
EJ<br />
Poiché gli spostamenti x1, x2 ed x3, sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni<br />
deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse<br />
concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6):<br />
..<br />
m x<br />
1<br />
1 1<br />
..<br />
x1 Figura 6<br />
Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni:<br />
..<br />
m x<br />
2<br />
..<br />
x2 2<br />
2<br />
P1 = −m1¨x1 P2 = −m2¨x2 = −2m1¨x2 (8)<br />
ed i valori <strong>dei</strong> coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:<br />
⎧<br />
3 m1l<br />
⎪⎨<br />
x1 = −<br />
2187EJ<br />
⎪⎩<br />
(20 ¨x1 + 23 ¨x2)<br />
3 m1l 23<br />
x2 = −<br />
2187EJ 2 ¨x1<br />
(9)<br />
+ 22 ¨x2<br />
Ponendo ora a = 2187EJ/m1l 3 e riordinando i termini si ha:<br />
In forma matriciale si può scrivere:<br />
avendo posto:<br />
[M] =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
20 23<br />
23<br />
2<br />
22<br />
20 ¨x1 + 23 ¨x2 + ax1 = 0<br />
23<br />
2 ¨x1 + 22 ¨x2 + ax2 = 0<br />
(10)<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (11)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ [K] =<br />
a 0<br />
0 a<br />
<br />
{x} =<br />
Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
a − 20 ω2 −23 ω2 − 23<br />
2 ω2 a − 22 ω2 <br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
(13)<br />
x1<br />
x2<br />
<br />
(12)
120 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
Con i dati del problema si ha:<br />
a = 2187EJ<br />
m1l 3<br />
351<br />
2 ω4 − 42 aω 2 + a 2 = 0 (14)<br />
= 2187 × 2.06 × 1011 × 3 × 10 −9<br />
50 × 0.9 3<br />
Quindi l’equazione caratteristica può essere riscritta nella forma:<br />
Le pulsazioni proprie risultano:<br />
= 3.708 × 10 4 s −2<br />
(15)<br />
175.5 ω 4 − 1.557 × 10 6 ω 2 + 1.375 × 10 9 = 0 (16)<br />
ω1 = 31.53 rad/s ω2 = 88.77 rad/s (17)<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(a − 20 ω 2 )X1 − 23 ω 2 X2 = 0<br />
− 23<br />
2 ω2 X1 + (a − 22 ω 2 )X2 = 0<br />
in cui i simboli X1 e X2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema,<br />
sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i rapporti fra le<br />
ampiezze per ciascuno <strong>dei</strong> modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 31.53 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 88.77 rad/s):<br />
<br />
X1<br />
Φ1 =<br />
X2<br />
<br />
X1<br />
Φ2 =<br />
X2<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
1.33<br />
1<br />
−1.504<br />
1<br />
Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare:<br />
1<br />
1.33<br />
Figura 7: Primo modo di vibrare.<br />
1<br />
- 1.504<br />
Figura 8: Secondo modo di vibrare.<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
(18)<br />
(19)<br />
(20)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 121<br />
Esercizio 2.12 - Cod. VIB-036<br />
Il sistema in Figura 1 è costituito da una trave elastica di acciaio, incastrata ad una estremità, sulla quale è<br />
fissato, in corrispondenza dell’estremo libero, un corpo rigido di massa m e momento d’inerzia baricentrico JG.<br />
Nell’ipotesi che risulti trascurabile la massa della trave, si chiede di:<br />
• scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
• calcolare le pulsazioni proprie;<br />
• determinare i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno <strong>dei</strong> modi principali di vibrare.<br />
Dati<br />
EJ<br />
l<br />
Figura 1<br />
m , J G<br />
• Massa del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 20 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 5 kg m 2<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m<br />
• Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 5000 mm 4<br />
Soluzione<br />
Prima di risolvere il problema è opportuno convertire i dati assegnati nelle unità di misura del Sistema<br />
Internazionale:<br />
- Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm 2 = 2.06 × 10 11 N/m 2<br />
- Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 5000 mm 4 = 5 × 10 −9 m 4<br />
Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libertà. Per descrivere il moto di tale sistema<br />
è sufficiente utilizzare come coordinate libere lo spostamento verticale e la rotazione del corpo rigido (vedi<br />
Figura 2).<br />
EJ<br />
l<br />
Figura 2<br />
θ<br />
m , J G<br />
y
122 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni.<br />
In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3:<br />
EJ<br />
Figura 3<br />
Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con una forza P ed una coppia M applicate<br />
nel punto in cui è fissato il corpo rigido. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di<br />
cedevolezza possiamo scrivere:<br />
<br />
y = α11P + α12M<br />
ϑ = α21P + α22M<br />
(1)<br />
Come si può notare, lo spostamento y e la rotazione ϑ vengono espressi come somma di contributi generati dai<br />
singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalla<br />
forza d’inerzia e dalla coppia d’inerzia agenti sul corpo rigido.<br />
Per la determinazione <strong>dei</strong> coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono<br />
riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo<br />
e di carico.<br />
Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave<br />
incastrata ad una estremità nelle condizioni di carico sotto riportate:<br />
1. Forza applicata all’estremo libero:<br />
• Freccia nel punto B:<br />
• Rotazione nel punto B:<br />
2. Coppia applicata all’estremo libero:<br />
• Freccia nel punto B:<br />
• Rotazione nel punto B:<br />
A B<br />
L<br />
Figura 4<br />
νB = 1 P L<br />
3<br />
3<br />
EJ<br />
ϕB = 1 P L<br />
2<br />
2<br />
EJ<br />
A B M<br />
L<br />
Figura 5<br />
νB = 1 ML<br />
2<br />
2<br />
EJ<br />
ϕB = ML<br />
EJ<br />
P<br />
P<br />
M<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 123<br />
A questo punto è possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poiché la matrice di cedevolezza è<br />
simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto tre 7 .<br />
1. Calcolo di α11 (freccia all’estremità libera prodotta da una forza unitaria ivi applicata).<br />
Dalla (2) si ha:<br />
l<br />
Figura 6<br />
α11 = l3<br />
3EJ<br />
2. Calcolo di α22 (rotazione all’estremità libera prodotta da una coppia unitaria ivi applicata).<br />
Dalla (5) si ha:<br />
l<br />
Figura 7<br />
α22 = l<br />
EJ<br />
3. Calcolo di α12 (freccia all’estremità libera prodotta da una coppia unitaria ivi applicata).<br />
Dalla (4) si ha:<br />
l<br />
Figura 8<br />
α12 = l2<br />
2EJ<br />
7Come è noto, la simmetria della matrice di cedevolezza implica che la freccia nel punto B dovuta ad una coppia unitaria ivi<br />
applicata risulti uguale alla rotazione nel punto B generata da una forza unitaria ivi applicata; infatti, ponendo P = 1 nella (3) ed<br />
<br />
L2 <br />
M = 1 nella (4) si ottiene sempre lo stesso risultato .<br />
2EJ<br />
1<br />
α 12<br />
α 22<br />
α 11<br />
1<br />
1<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)
124 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Con le convenzioni di segno utilizzate, lo spostamento y risulta positivo verso il basso mentre la rotazione ϑ<br />
risulta positiva in senso orario; poiché tali convenzioni valgono anche per le rispettive accelerazioni ¨y e ¨ ϑ, le<br />
azioni d’inerzia (forza e coppia) agenti sul corpo rigido saranno dirette come in Figura 9.<br />
EJ<br />
l<br />
Figura 9<br />
Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni:<br />
my ..<br />
J G θ ..<br />
P = −m¨y M = −JG ¨ ϑ (9)<br />
ed i valori <strong>dei</strong> coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
y = −<br />
⎪⎩<br />
l<br />
2 ml JGl<br />
¨y +<br />
EJ 3 2 ¨ <br />
ϑ<br />
ϑ = − l<br />
<br />
ml<br />
EJ 2 ¨y + JG ¨ (10)<br />
ϑ<br />
Ponendo ora a = EJ/l e riordinando i termini si ha:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
ml<br />
⎪⎩<br />
2 JGl<br />
¨y +<br />
3 2 ¨ ϑ + ay = 0<br />
ml<br />
2 ¨y + JG ¨ ϑ + aϑ = 0<br />
In forma matriciale si può scrivere:<br />
avendo posto:<br />
⎡<br />
ml<br />
⎢<br />
[M] = ⎢<br />
⎣<br />
2<br />
3<br />
ml<br />
2<br />
JGl<br />
2<br />
JG<br />
(11)<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (12)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
[K] =<br />
a 0<br />
0 a<br />
<br />
{x} =<br />
Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[M]| = <br />
<br />
<br />
<br />
a − ml2<br />
3 ω2 − JGl<br />
2 ω2<br />
− ml<br />
2 ω2 a − JGω2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
<br />
(14)<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
y<br />
ϑ<br />
<br />
(13)<br />
ml2JG 12 ω4 <br />
− aJG + ml2 <br />
a<br />
ω<br />
3<br />
2 + a 2 = 0 (15)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 125<br />
Con i dati del problema si ha:<br />
a = EJ<br />
l = 2.06 × 1011 × 5 × 10−9 = 1030 Nm (16)<br />
1<br />
Quindi l’equazione caratteristica può essere riscritta nella forma:<br />
Le pulsazioni proprie risultano:<br />
8.333 ω 4 − 1.202 × 10 4 ω 2 + 1.061 × 10 6 = 0 (17)<br />
ω1 = 9.72 rad/s ω2 = 36.709 rad/s (18)<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:<br />
⎧ <br />
⎪⎨<br />
a − ml2<br />
3 ω2<br />
<br />
Y − JGl<br />
2 ω2Θ = 0<br />
⎪⎩<br />
− ml<br />
2 ω2 Y + (a − JG ω 2 )Θ = 0<br />
in cui i simboli Y e Θ indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema,<br />
sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i rapporti fra le<br />
ampiezze per ciascuno <strong>dei</strong> modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 9.72 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 36.709 rad/s):<br />
Φ1 =<br />
Φ2 =<br />
Y<br />
Θ<br />
Y<br />
Θ<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
0.59<br />
1<br />
−0.424<br />
1<br />
Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare:<br />
1<br />
<br />
<br />
0.59<br />
Figura 10: Primo modo di vibrare.<br />
1<br />
- 0.424<br />
Figura 11: Secondo modo di vibrare.<br />
(19)<br />
(20)<br />
(21)
126 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.13 - Cod. VIB-037<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema in Figura 1, costituito da una trave<br />
a mensola in acciaio di massa trascurabile, da due masse concentrate m1 ed m2 collocate rispettivamente a<br />
distanza l e 2l dall’incastro e da una molla di rigidezza k, collegata come in figura alla massa m2.<br />
Dati<br />
EJ<br />
l<br />
m<br />
Figura 1<br />
l<br />
m<br />
1 2<br />
• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 50 kg m2 = 30 kg<br />
• Semi-lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 700 mm<br />
• Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 2000 mm 4<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5000 N/m<br />
Soluzione<br />
Prima di risolvere il problema è opportuno convertire i dati assegnati nelle unità di misura del Sistema<br />
Internazionale:<br />
- Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 700 mm = 0.7 m<br />
- Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm 2 = 2.06 × 10 11 N/m 2<br />
- Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 2000 mm 4 = 2 × 10 −9 m 4<br />
Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libertà.<br />
Per descrivere il moto di tale sistema è sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle<br />
due masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2).<br />
x 1<br />
m 1 m 2<br />
1<br />
Figura 2<br />
Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni.<br />
In primo luogo occorre studiare la trave a mensola schematizzata nella Figura 3: si tratta della stessa trave<br />
descritta nel testo del problema, caricata con due forze P1 e P2 applicate nei punti in cui sono fissate le masse<br />
concentrate.<br />
k<br />
2<br />
k<br />
x 2
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 127<br />
P 1<br />
1<br />
Figura 3<br />
Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza possiamo scrivere:<br />
x1 = α11P1 + α12P2<br />
x2 = α21P1 + α22P2<br />
Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1, 2) viene espresso come somma di contributi generati dai<br />
singoli carichi applicati nei vari punti della trave; nel punto 1 il carico è rappresentato dalla forza d’inerzia<br />
agente sulla massa m1, mentre nel punto 2 il carico è dato dalla somma di due forze: la forza d’inerzia agente<br />
sulla massa m2 e la forza elastica esercitata dalla molla.<br />
Per la determinazione <strong>dei</strong> coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono<br />
riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo<br />
e di carico.<br />
Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave<br />
incastrata ad una estremità con carico concentrato applicato all’estremità libera (vedi Figura 4):<br />
• Freccia nel punto B:<br />
• Freccia in un punto generico della trave:<br />
A B<br />
ξ L ζL<br />
L<br />
Figura 4<br />
νB = 1 P L<br />
3<br />
3<br />
EJ<br />
P<br />
P 2<br />
2<br />
ν = 1 P L<br />
6<br />
3<br />
EJ ξ2 (3 − ξ) (3)<br />
A questo punto è possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poiché la matrice di cedevolezza è<br />
simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto tre.<br />
1. Calcolo di α11: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) L = l si ottiene:<br />
(4)<br />
3EJ<br />
2. Calcolo di α22: freccia nel punto (2) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (2) L = 2l si ottiene:<br />
α22 = (2l)3 8 l<br />
=<br />
3EJ 3<br />
3<br />
(5)<br />
EJ<br />
3. Calcolo di α12: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo<br />
nell’equazione (3) L = 2l e ξ = 1/2 si ottiene:<br />
α12 = 1 (2l)3<br />
×<br />
6 EJ ×<br />
2 <br />
1<br />
× 3 −<br />
2<br />
1<br />
<br />
=<br />
2<br />
5 l<br />
6<br />
3<br />
(6)<br />
EJ<br />
α11 = l3<br />
(1)<br />
(2)
128 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
l<br />
1<br />
1 2<br />
α 11<br />
a)<br />
2l<br />
1<br />
1 2<br />
Figura 5<br />
Poiché gli spostamenti x1 ed x2 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni<br />
deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse<br />
concentrate risultano dirette verso l’alto: un discorso analogo vale per la forza elastica esercitata dalla molla: lo<br />
spostamento x2 produce infatti una compressione della molla stessa, la quale genera una spinta kx2 verso l’alto<br />
che si somma alla forza d’inerzia m2¨x2 (vedi Figura 6).<br />
..<br />
x 1 , x1 ..<br />
mx1 1<br />
Figura 6<br />
Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni le relazioni:<br />
α 22<br />
..<br />
mx2 2<br />
kx<br />
2<br />
b)<br />
..<br />
x 2 , x2 l<br />
2l<br />
1<br />
α 12<br />
P1 = −m¨x1 P2 = −(m¨x2 + kx2) (7)<br />
ed i valori <strong>dei</strong> coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi:<br />
⎧<br />
⎪⎨ x1 = − l3<br />
6EJ (2 m1¨x1 + 5 m2¨x2 + 5kx2)<br />
Ponendo ora a = 6EJ/l 3 e riordinando i termini si ha:<br />
⎪⎩<br />
In forma matriciale si può scrivere:<br />
avendo posto:<br />
<br />
2 m1 5 m2<br />
[M] =<br />
x2 = − l3<br />
6EJ (5 m1¨x1 + 16 m2¨x2 + 16kx2)<br />
2 m1¨x1 + 5 m2¨x2 + ax1 + 5kx2 = 0<br />
5 m1¨x1 + 16 m2¨x2 + (a + 16k)x2 = 0<br />
5 m1 16 m2<br />
<br />
[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (10)<br />
[K] =<br />
a 5k<br />
0 a + 16k<br />
<br />
{x} =<br />
Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]:<br />
|[∆]| = |[K] − ω 2 <br />
<br />
[M]| = <br />
a − 2 m1ω2 5k − 5 m2ω2 <br />
<br />
<br />
= 0 (12)<br />
−5 m1ω 2 a + 16k − 16 m2ω 2<br />
Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica:<br />
x1<br />
x2<br />
<br />
1<br />
2<br />
c)<br />
(8)<br />
(9)<br />
(11)<br />
Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (13)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 129<br />
in cui:<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
A = 7 m1m2 = 1.05 × 10 4<br />
B = −(16 am2 + 2 am1 + 7 km1) = −5.93 × 10 6<br />
C = a 2 + 16 ak = 6.29 × 10 8<br />
(14)<br />
ω1 = 11.89 rad/s ω2 = 20.576 rad/s (15)<br />
Il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo:<br />
(a − 2 m1ω 2 )X1 + (5 k − 5 m2 ω 2 )X2 = 0<br />
−5 m1ω 2 X1 + (a + 16 k − 16 m2 ω 2 )X2 = 0<br />
in cui i simboli X1 e X2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema,<br />
sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di<br />
vibrare della trave.<br />
Con semplici passaggi algebrici si ricava:<br />
• Primo modo (ω = ω1 = 11.89 rad/s):<br />
• Secondo modo (ω = ω2 = 20.576 rad/s):<br />
<br />
X1<br />
Φ1 =<br />
X2<br />
<br />
X1<br />
Φ2 =<br />
X2<br />
<br />
<br />
ω=ω1<br />
ω=ω2<br />
=<br />
=<br />
0.5474<br />
1<br />
−1.0961<br />
1<br />
Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare:<br />
<br />
<br />
1 2<br />
0.5474<br />
Figura 7: Primo modo di vibrare.<br />
1.0961<br />
1 2<br />
Figura 8: Secondo modo di vibrare.<br />
1<br />
1<br />
(16)<br />
(17)<br />
(18)
130 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.14 - Cod. VIB-038<br />
Un gruppo motore-generatore è stato progettato per funzionare nel campo di velocità compreso fra i 2000 e i<br />
4000 giri/min; si nota però che il sistema vibra violentemente alla velocità di 3000 giri/min, a causa di una<br />
imperfetta equilibratura del rotore.<br />
Per eliminare il problema si propone di montare un assorbitore dinamico, costituito da una trave a mensola con<br />
massa concentrata.<br />
Come primo tentativo, si applica al gruppo motore-generatore una trave a mensola, dotata di una massa di<br />
prova di 2 kg, sintonizzata a 3000 giri/min: le frequenze proprie risultanti del sistema sono di 2500 e 3600<br />
giri/min;<br />
Sulla base di questi dati, si chiede di progettare l’assorbitore dinamico da applicare al gruppo motore-generatore<br />
(specificando la sua massa e la sua rigidezza) in modo che le frequenze naturali del sistema complessivo cadano<br />
all’esterno del campo di velocità operative del sistema.<br />
Soluzione<br />
assorbitore<br />
di vibrazioni<br />
motore generatore<br />
Figura 1<br />
Consideriamo il gruppo motore-generatore e l’assorbitore dinamico di vibrazioni come due <strong>sistemi</strong> separati ad<br />
un solo grado di libertà; indicando con il pedice “1” i parametri del gruppo motore-generatore e con il pedice<br />
“2” i corrispondenti parametri dell’assorbitore, le pulsazioni proprie risultano:<br />
ω1 =<br />
k1<br />
m1<br />
Per calcolare le pulsazioni proprie Ω1 e Ω2 del sistema complessivo a due gradi di libertà (risultante dall’abbinamento<br />
del gruppo motore-generatore con l’assorbitore dinamico) occorre invece utilizzare le espressioni<br />
seguenti:<br />
2 Ω1<br />
ω2<br />
2 Ω1<br />
ω2<br />
ω2 =<br />
k2<br />
m2<br />
= [1 + (1 + µ)λ2 ] − [1 + (1 + µ)λ 2 ] 2 − 4λ 2<br />
2λ 2<br />
= [1 + (1 + µ)λ2 ] + [1 + (1 + µ)λ 2 ] 2 − 4λ 2<br />
2λ 2<br />
dove si è posto µ = m2/m1 e λ = ω2/ω1.<br />
L’assorbitore di prova che viene applicato al sistema è sintonizzato per una velocità n = 3000 giri/min;<br />
trasformando tale valore in rad/s si ottiene:<br />
Ω = 2πn<br />
60<br />
La condizione di sintonizzazione è la seguente:<br />
= 2π × 3000<br />
60<br />
(1)<br />
(2)<br />
= 314.16 rad/s (3)<br />
ω1 = ω2 = Ω (4)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 131<br />
Posto ora r1 = Ω1/ω2 e r2 = Ω2/ω2 e tenendo presente che, per la (4), risulta λ = 1, possiamo riscrivere le<br />
relazioni (2) nella forma sotto riportata:<br />
r2 1 = 2 + µ − (2 + µ) 2 − 4<br />
= 1 +<br />
2<br />
µ<br />
2 −<br />
<br />
<br />
1 + µ<br />
2 − 1<br />
2<br />
(5)<br />
r 2 2 = 2 + µ + (2 + µ) 2 − 4<br />
2<br />
= 1 + µ<br />
2 +<br />
<br />
<br />
1 + µ<br />
2<br />
I valori di Ω1 e Ω2 sono noti, in quanto corrispondono alle velocità n1 = 2500 giri/min ed n2 = 3600 giri/min<br />
assegnate dal testo; si ha pertanto:<br />
Ω1 = 2πn1<br />
60<br />
= 2π × 2500<br />
60<br />
È ora possibile calcolare i valori <strong>dei</strong> rapporti r1 ed r2:<br />
r1 = Ω1<br />
ω2<br />
= 261.8 rad/s Ω2 = 2πn2<br />
60<br />
= 261.8<br />
314.16 = 0.8333 r2 = Ω2<br />
ω2<br />
2<br />
− 1<br />
= 2π × 3600<br />
60<br />
= 377 rad/s (6)<br />
= 377<br />
= 1.2 (7)<br />
314.16<br />
A questo punto, essendo noto r1, possiamo ricavare il valore del rapporto µ fra le masse dalla prima delle (5):<br />
con semplici passaggi si ottiene 8 :<br />
µ = r4 1 + 1<br />
r 2 1<br />
− 2 = 0.83334 + 1<br />
− 2 = 0.1344 (8)<br />
0.83332 Ricordando ora la definizione di µ e tenendo presente che la massa dell’assorbitore vale m2 = 2 kg è possibile<br />
ricavare il valore della massa m1 del gruppo motore-generatore:<br />
m1 = m2<br />
µ = 2<br />
= 14.88 kg (9)<br />
0.1344<br />
Siamo ora in grado di progettare nuovamente l’assorbitore in modo che le pulsazioni proprie del sistema<br />
complessivo cadano all’esterno del campo di velocità operative del sistema (2000 ÷ 4000 giri/min).<br />
Se fissiamo la prima pulsazione propria in corrispondenza della velocità n1 = 1900 giri/min (che risulta minore<br />
di 2000 giri/min) otteniamo:<br />
Ω1 = 2πn1 2π × 1900<br />
= = 198.97 rad/s (10)<br />
60 60<br />
r1 = Ω1<br />
ω2<br />
Con il valore di r1 fornito dalla (11) si ottiene per µ il valore:<br />
µ = r4 1 + 1<br />
r 2 1<br />
La massa m2 dell’assorbitore dovrà quindi essere pari a:<br />
= 198.97<br />
= 0.6333 (11)<br />
314.16<br />
− 2 = 0.63334 + 1<br />
− 2 = 0.8942 (12)<br />
0.63332 m2 = µ m1 = 0.8942 × 14.88 = 13.3 kg (13)<br />
Essendo ora noto µ, è possibile calcolare il valore di r2, corrispondente alla seconda pulsazione propria del<br />
sistema; si ha infatti:<br />
<br />
r2 = 1 + µ<br />
2 +<br />
<br />
<br />
1 + µ<br />
<br />
<br />
2 <br />
0.8942<br />
− 1 = 1 +<br />
2<br />
2 +<br />
<br />
<br />
1 + 0.8942<br />
2 − 1 = 1.58 (14)<br />
2<br />
8 In alternativa, essendo noto anche il valore di r2, si può utilizzare la seconda delle (5) per calcolare il rapporto µ; il risultato<br />
che si ottiene è il medesimo; infatti:<br />
µ = r4 2 + 1<br />
r2 2<br />
− 2 = 1.24 + 1<br />
1.2 2<br />
− 2 = 0.1344
132 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Ω2 = r2ω2 = 1.58 × 314.16 = 496 rad/s (15)<br />
n2 = 60Ω2<br />
2π<br />
= 30<br />
π<br />
× 496 = 4737 giri/min (16)<br />
Essendo n2 > 4000 giri/min, risultano soddisfatte le specifiche di progetto.<br />
La rigidezza k2 della molla dell’assorbitore (trave a mensola) si calcola con la relazione:<br />
k2 = m2ω 2 2 = 13.3 × 314.16 2 = 1.31 × 10 6 N/m (17)
Esercizi proposti
134 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.15 - Cod. VIB-053<br />
Cilindro n.1<br />
Cilindro n.2<br />
Cilindro n.3<br />
J1<br />
J2<br />
J3<br />
k1<br />
k2<br />
k3<br />
r2<br />
r1<br />
r1<br />
r1<br />
k4<br />
J6<br />
r3<br />
Inerzia del volano<br />
+<br />
inerzia del motore<br />
Si calcolino le frequenze proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali della macchina<br />
da stampa offset rappresentata in figura.<br />
Si schematizzino gli alberi come molle torsionali prive di massa ed i cilindri come corpi rigidi privi di contatto<br />
reciproco.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = J2 = J3 = 2.6 kg m 2<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J4 = 0.5 kg m 2<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J5 = 1.8 kg m 2<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J6 = 1.1 kg m 2<br />
• Rapporti di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r4/r3 = 5<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1/r2 = 2<br />
• Rigidezza torsionale degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = k3 = 8.4 × 10 5 Nm<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 6.3 × 10 5 Nm<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k4 = 2.5 × 10 5 Nm<br />
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k5 = 4.6 × 10 5 Nm<br />
k5<br />
r4<br />
J5<br />
J4
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 135<br />
Esercizio 2.16 - Cod. VIB-054<br />
1<br />
y(t)<br />
P’<br />
k1<br />
a b<br />
M<br />
A C<br />
B<br />
Il sistema vibrante rappresentato in figura è costituito dai seguenti elementi:<br />
P<br />
r<br />
• un manovellismo a croce (1), la cui manovella ruota con velocità angolare costante Ω;<br />
• un bilanciere (2) realizzato mediante un’asta omogenea di massa M;<br />
• una massa traslante (3) scorrevole senza attrito nella guida verticale;<br />
• tre molle di costante elastica k1, k2 e k3 rispettivamente;<br />
• uno smorzatore viscoso avente costante di smorzamento pari a c.<br />
O<br />
Ω<br />
Nell’ipotesi che il bilanciere compia piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio (orizzontale) si<br />
chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni differenziali di moto per il sistema in esame;<br />
2. calcolare le leggi di moto del bilanciere e della massa traslante in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
• Massa traslante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 6 kg<br />
• Massa del bilanciere: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 8 kg<br />
• Costante di smorzamento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 20 Ns/m<br />
• Raggio della manovella: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 50 mm<br />
• Velocità angolare della manovella: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 25 rad/s<br />
• Rigidezza delle molle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
• Distanza <strong>dei</strong> punti A e B dal perno C: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
2<br />
k3<br />
m<br />
k2<br />
c<br />
3<br />
k1 = 4000 N/m<br />
k2 = 2000 N/m<br />
k3 = 1500 N/m<br />
a = 150 mm<br />
b = 250 mm
136 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.17 - Cod. VIB-056<br />
O<br />
Y<br />
Ω<br />
k<br />
m, J r m, J<br />
5k r<br />
Per il sistema in figura, nell’ipotesi che i dischi rotolino senza strisciare sul carrello, si chiede di:<br />
1. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
2. calcolare le ampiezze di vibrazione a regime, quando la manovella ruota con velocità angolare Ω costante.<br />
Dati<br />
• Massa <strong>dei</strong> dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 10 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico <strong>dei</strong> dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2<br />
• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1000 N/m<br />
• Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 80 mm<br />
• Raggio <strong>dei</strong> dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 100 mm<br />
• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 40 rad/s
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 137<br />
Esercizio 2.18 - Cod. VIB-057<br />
Cm<br />
J1<br />
1<br />
l1<br />
zA<br />
d<br />
zB<br />
2<br />
l2<br />
d<br />
k<br />
J2<br />
J3<br />
R<br />
k k<br />
Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura; nell’ipotesi che la cinghia di trasmissione e gli<br />
alberi (1) e (2) abbiano comportamento elastico, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. determinare l’ampiezza delle vibrazioni <strong>dei</strong> tre dischi in condizioni di regime quando al sistema viene applicata<br />
una coppia variabile nel tempo con legge sinusoidale Cm = C0 sin Ωt.<br />
Nota. Si consideri trascurabile l’inerzia delle due ruote dentate.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia <strong>dei</strong> dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 kg m 2 J2 = 3 kg m 2 J3 = 2 kg m 2<br />
• Numero di denti delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zA = 20 zB = 60<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
• Lunghezze degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 1 m l2 = 0.5 m<br />
• Diametro degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 40 mm<br />
• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm r = 80 mm<br />
• Costante elastica della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3 × 10 5 N/m<br />
• Dati relativi alla forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C0 = 80 Nm Ω = 20 rad/s<br />
r
138 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.19 - Cod. VIB-063<br />
L3<br />
L2<br />
L1<br />
zA<br />
Cm<br />
J2<br />
d2<br />
d1<br />
1<br />
J1<br />
d3<br />
2<br />
zB<br />
Il sistema rappresentato in figura è costituito dai componenti sotto elencati:<br />
k<br />
• due dischi aventi momento d’inerzia J1 e J2;<br />
• due alberi di acciaio montati su cuscinetti;<br />
• una coppia di ruote dentate che permettono la trasmissione del moto fra i due alberi;<br />
• un elemento elastico di rigidezza k;<br />
• una massa M collegata all’elemento elastico e scorrevole senza attrito lungo una guida orizzontale.<br />
Nell’ipotesi che risultino trascurabili le masse degli alberi ed il momento d’inerzia delle ruote dentate, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime quando al disco (1) viene applicata una coppia motrice Cm<br />
variabile nel tempo con legge armonica Cm = Cmax sin Ωt.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia <strong>dei</strong> dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J1 = 5kg m 2 J2 = 2 kg m 2<br />
• Massa del corpo traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg<br />
• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 10000 N/m<br />
• Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm<br />
• Numero di denti delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zA = 20 zB = 60<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
• Lunghezze degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L1 = 300 mm L2 = 250 mm L3 = 200 mm<br />
• Diametri degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 30 mm d2 = 20 mm d3 = 15 mm<br />
• Dati relativi alla forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cmax = 100 Nm Ω = 25 rad/s<br />
R<br />
M<br />
k<br />
M
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 139<br />
Esercizio 2.20 - Cod. VIB-066<br />
k<br />
M1<br />
ΩΩΩΩ<br />
e<br />
O<br />
m<br />
P<br />
Per il sistema rappresentato in figura, nell’ipotesi che non vi sia strisciamento fra il rullo ed il terreno e fra il<br />
rullo e la slitta, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. determinare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime, quando l’asta OP ruota a velocità angolare<br />
Ω costante.<br />
Nota. Si ricordi che, per il rullo omogeneo di massa M2 e raggio R, il momento d’inerzia baricentrico vale:<br />
Dati<br />
k<br />
k<br />
2 M2R<br />
J =<br />
2<br />
• Massa del corpo su cui è montato il rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 50 kg<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 15 kg<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M3 = 10 kg<br />
• Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg<br />
• Eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 25 mm<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 200 mm<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m<br />
• Velocità angolare dell’asta OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s<br />
M2<br />
R<br />
M3<br />
slitta<br />
k<br />
rullo
140 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.21 - Cod. VIB-067<br />
EI<br />
l/4<br />
m1 k<br />
m2<br />
l/4 l/4 l/4<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali della trave in<br />
figura, nell’ipotesi che la massa della trave sia trascurabile.<br />
Si imposti poi il calcolo suddetto nel caso in cui la massa della trave non risulti trascurabile (si indichino con ϱ<br />
la densità del materiale costituente la trave e con A l’area della sua sezione trasversale).<br />
Dati<br />
• Massa n.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 30 kg<br />
• Massa n.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 = 15 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 8000 N/m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . I = 2500 mm 4
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 141<br />
Esercizio 2.22 - Cod. VIB-068<br />
4k<br />
r<br />
M<br />
J<br />
e<br />
G<br />
Ω t<br />
2 2<br />
Il sistema rappresentato in figura giace in un piano verticale ed è costituito da un carrello (1) di massa M,<br />
dotato di due ruote (2) aventi entrambe raggio r e momento d’inerzia baricentrico pari a J.<br />
Sul carrello è montata una massa m avente eccentricità e rispetto al perno di rotazione.<br />
Il carrello è collegato a terra tramite una molla di rigidezza 4k, disposta come in figura; un’altra molla, di<br />
rigidezza k, collega il carrello ad un’asta (3) di massa trascurabile, incernierata in O, sulla cui estremità inferiore<br />
è fissata una massa di valore pari ad mB.<br />
Domande<br />
1. Scrivere le equazioni di moto per il sistema in esame nei due casi seguenti:<br />
a) rotore fermo (bloccato sul proprio perno in modo da risultare solidale con il carrello);<br />
b) rotore azionato a velocità angolare costante Ω.<br />
2. Nell’ipotesi che il rotore sia bloccato sul proprio perno calcolare:<br />
a) le pulsazioni proprie del sistema;<br />
b) i modi principali di vibrare;<br />
c) la legge di movimento del sistema quando vengono assegnate le seguenti condizioni iniziali:<br />
- carrello spostato di x0 = 5 mm verso destra rispetto alla sua posizione di equilibrio statico;<br />
- asta (3) verticale;<br />
- velocità nulle.<br />
3. Nel caso di funzionamento a regime (rotore azionato a velocità angolare costante Ω) determinare:<br />
a) l’ampiezza delle vibrazioni orizzontali del carrello;<br />
b) l’ampiezza delle oscillazioni angolari dell’asta (3).<br />
Nota. Per la scrittura delle equazioni di moto si ritengano valide le seguenti ipotesi:<br />
• assenza di strisciamento fra ruote e terreno;<br />
• piccole oscillazioni dell’asta (3).<br />
Dati<br />
• Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg<br />
• Momento d’inerzia delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2<br />
• Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 3 kg<br />
• Massa fissata all’estremità B dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mB = 2 kg<br />
• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 800 N/m<br />
• Eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 30 mm<br />
• Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 180 mm<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> due bracci dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .OA = a = 100 mm OB = 3a = 300 mm<br />
• Velocità angolare della massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s<br />
m<br />
r<br />
J<br />
1<br />
3<br />
m B<br />
k<br />
B<br />
O<br />
A<br />
a<br />
3a
142 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.23 - Cod. VIB-069<br />
d<br />
l<br />
k<br />
1<br />
m<br />
1<br />
k<br />
2<br />
m<br />
l l<br />
Si consideri il sistema in figura, costituito da un albero di acciaio di diametro d, montato su due supporti, sul<br />
quale sono fissate due masse m1 ed m2, vincolate a terra mediante due molle di rigidezza k1 e k2.<br />
Domande<br />
1. Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali del sistema,<br />
supponendo trascurabile la massa dell’albero rispetto a quella delle due masse concentrate.<br />
2. Nell’ipotesi che la massa dell’albero non sia trascurabile, scrivere le condizioni al contorno che permettono<br />
di calcolare le pulsazioni proprie del sistema (si indichi con ϱ la densità del materiale costituente l’albero).<br />
Dati<br />
• Masse concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 40 kg m2 = 15 kg<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 5000 N/m k2 = 10000 N/m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Lunghezza di ciascun tratto dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 800 mm<br />
• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm<br />
• Momento d’inerzia della sezione dell’albero rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I = πd 4 /64<br />
2<br />
EI
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 143<br />
Esercizio 2.24 - Cod. VIB-070<br />
k1<br />
M<br />
3<br />
4<br />
1 2<br />
J13<br />
a O1<br />
a<br />
n<br />
e<br />
R<br />
La slitta (4) scorre in direzione orizzontale ed è vincolata a terra mediante una molla di rigidezza k1.<br />
Nella parte inferiore della slitta è montata una massa eccentrica rotante a velocità angolare costante; nella parte<br />
superiore la slitta è dotata di una cremagliera che permette la trasmissione del moto alla ruota dentata (3), di<br />
massa trascurabile e solidale con la puleggia (1); quest’ultima trasmette il movimento alla puleggia (2) mediante<br />
una cinghia elastica i cui rami hanno rigidezza pari a k2.<br />
L’asta O2P, di massa trascurabile e lunghezza L, è solidale con la puleggia (2) e porta all’estremità inferiore<br />
una massa mP .<br />
Nell’ipotesi che il pendolo compia piccole oscillazioni nell’intorno della posizione verticale si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni del pendolo e della slitta in condizioni di regime.<br />
Nota. Si assuma che tutte le molle siano scariche quando l’asta O2P è in posizione verticale e che tutti gli<br />
attriti siano trascurabili.<br />
Dati<br />
• Massa della slitta (esclusa la massa eccentrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg<br />
• Momento d’inerzia totale della puleggia (1) e della ruota dentata (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J13 = 0.08 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.02 kg m 2<br />
• Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 3 kg<br />
• Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mP = 6 kg<br />
• Eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 40 mm<br />
• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 120 mm<br />
• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 90 mm<br />
• Lunghezza dell’asta O2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 200 mm<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 3000 N/m k2 = 6000 N/m<br />
• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 giri/min<br />
m<br />
k2<br />
k2<br />
mP<br />
O2<br />
P<br />
J2<br />
L
144 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.25 - Cod. VIB-072<br />
mA<br />
a a<br />
A B<br />
M<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in figura, nell’ipotesi che l’asta AB (di massa trascurabile) compia piccole<br />
oscillazioni attorno alla posizione orizzontale, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime supponendo che il rotore eccentrico ruoti a velocità angolare<br />
costante.<br />
Nota. Per semplicità si supponga che l’asta AB sia in equilibrio in posizione orizzontale.<br />
Dati<br />
• Massa del corpo traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 60 kg<br />
• Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg<br />
• Massa applicata all’estremità A dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mA = 8 kg<br />
• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 10000 N/m<br />
• Lunghezza di ciascun braccio dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.5 m<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 50 mm<br />
• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 500 giri/min<br />
e<br />
ΩΩΩΩ<br />
5k<br />
m<br />
k
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 145<br />
Esercizio 2.26 - Cod. VIB-081<br />
R R<br />
k<br />
J1<br />
l<br />
k<br />
J2<br />
J3<br />
J2<br />
d1<br />
d2<br />
a b<br />
Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare della trasmissione meccanica indicata in figura,<br />
considerando nei calcoli la rigidezza torsionale dell’albero e la deformabilità della cinghia.<br />
Si tenga presente che le pulegge (1) e (2), pur essendo geometricamente identiche, sono realizzate in materiali<br />
diversi e pertanto il loro momento d’inerzia assume valori differenti.<br />
Dati<br />
• Momento di’inerzia della puleggia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.005 kg m 2<br />
• Momento di’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.008 kg m 2<br />
• Momento di’inerzia del disco (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J3 = 0.02 kg m 2<br />
• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 50 mm<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 7.5 kN/mm 2<br />
• Area della sezione trasversale della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = 400 mm 2<br />
• Lunghezza di ciascun ramo della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 800 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale del materiale costituente l’albero (acciaio) . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 400 mm b = 600 mm<br />
• Diametri <strong>dei</strong> due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 20 mm d2 = 30 mm<br />
Nota. Si osservi che i rami della cinghia sono stati schematizzati mediante due molle di rigidezza k, calcolabile<br />
mediante i dati assegnati.<br />
J3
146 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.27 - Cod. VIB-082<br />
k 1<br />
M1<br />
M 2 , J G<br />
P<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in figura, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni attorno alla<br />
posizione verticale, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime supponendo che la manovella OP ruoti a velocità angolare<br />
costante.<br />
Dati<br />
• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 150 kg<br />
• Massa in moto alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 15 kg<br />
• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 30 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 2 kg m 2<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 8000 N/m k2 = 5000 N/m k3 = 1000 N/m<br />
• Semi lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 400 mm<br />
• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 80 mm<br />
• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 150 giri/min<br />
m<br />
R<br />
O<br />
n<br />
a<br />
a<br />
A<br />
B<br />
k 2<br />
k 3
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 147<br />
Esercizio 2.28 - Cod. VIB-083<br />
EI<br />
L/3 L/3 L/3<br />
k1<br />
m1<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare per il sistema in figura, costituito da una trave<br />
elastica in acciaio, di massa trascurabile, incastrata alle estremità, alla quale sono collegate due masse m1 ed<br />
m2 mediante due molle di rigidezza pari a k1 e k2.<br />
Dati<br />
• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 70 kg m2 = 30 kg<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 50000 N/m k2 = 20000 N/m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 1 m<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . .I = 500 mm 4<br />
k2<br />
m2
148 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.29 - Cod. VIB-084<br />
J 1<br />
d<br />
l 1<br />
Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali dell’albero<br />
rappresentato in figura.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia <strong>dei</strong> tre dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J1 = 3 kg m 2 J2 = 4 kg m 2 J3 = 5 kg m 2<br />
• Lunghezze <strong>dei</strong> due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l1 = 400 mm l2 = 700 mm<br />
• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 40 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale del materiale costituente l’albero (acciaio) . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
J 2<br />
l 2<br />
J 3
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 149<br />
Esercizio 2.30 - Cod. VIB-090<br />
F(t)=F 0 sin 2πf t<br />
M<br />
R<br />
Il sistema meccanico rappresentato in figura, posto in un piano verticale, è costituito da una massa traslante in<br />
direzione orizzontale e soggetta all’azione di una forza esterna variabile nel tempo con legge sinusoidale.<br />
Tramite un’asta a cremagliera il movimento viene trasmesso ad una ruota dentata di raggio primitivo R, montata<br />
coassialmente con una puleggia di raggio r.<br />
Mediante una trasmissione a cinghia viene azionata un’altra puleggia di raggio r, solidale ad un’asta AB, di<br />
massa trascurabile; all’estremo A dell’asta è fissata una massa m, mentre all’estremo B è collegata una molla<br />
di rigidezza k3.<br />
Un’altra molla, di rigidezza k2 è fissata fra il telaio e l’asta a cremagliera.<br />
L’elasticità <strong>dei</strong> rami della cinghia viene schematizzata mediante due molle di rigidezza k1.<br />
Nella posizione di equilibrio l’asta AB è verticale e tutte le molle sono scariche.<br />
Supponendo trascurabili gli attriti e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno<br />
della posizione verticale, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
r<br />
• Massa traslante (stantuffo e asta a cremagliera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 7 kg<br />
• Momento d’inerzia della ruota dentata e della puleggia sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.2 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia della puleggia destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 0.01 kg m 2<br />
• Massa solidale al punto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 500 N/m<br />
• Lunghezze <strong>dei</strong> bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm b = 150 mm<br />
• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm<br />
• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 80 mm<br />
• Valore massimo della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 100 N<br />
• Frequenza della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 5 Hz<br />
J 1<br />
k 1<br />
k 2<br />
k 1<br />
a<br />
b<br />
r<br />
B<br />
A<br />
J 2<br />
k 3<br />
m
150 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.31 - Cod. VIB-091<br />
d<br />
l l<br />
k1<br />
Una trave di sezione circolare è vincolata mediante un incastro all’estremità sinistra e mediante un appoggio<br />
cedevole (schematizzato tramite una molla di costante k1) nel punto intermedio.<br />
Una massa di valore pari ad m1 è fissata a metà della lunghezza, mentre una seconda massa, di valore pari ad<br />
m2, è fissata all’estremo destro, mediante un supporto elastico di rigidezza k2.<br />
Nell’ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile, si chiede di calcolare le pulsazioni proprie ed i<br />
modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali del sistema.<br />
Dati<br />
• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 25 kg m2 = 15 kg<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 32000 N/m k2 = 28000 N/m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Semi lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 400 mm<br />
• Diametro della sezione della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d = 12 mm<br />
m1<br />
k2<br />
m2
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 151<br />
Esercizio 2.32 - Cod. VIB-093<br />
k 1<br />
l1<br />
G<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare di un’automobile, schematizzata mediante il<br />
modello indicato in figura (corpo rigido su appoggi elastici).<br />
Dati<br />
• Massa del veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1000 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 810 kg m 2<br />
• Rigidezza della sospensione anteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1.8 × 10 4 N/m<br />
• Rigidezza della sospensione posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2.2 × 10 4 N/m<br />
• Distanza del baricentro dall’asse anteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 1 m<br />
• Distanza del baricentro dall’asse posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 = 1.5 m<br />
l2<br />
m, J G<br />
k2
152 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.33 - Cod. VIB-096<br />
k1 k2 k3<br />
m1 m2<br />
x1<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in figura si chiede di determinare:<br />
1. le pulsazioni proprie;<br />
2. i modi principali di vibrare;<br />
3. le leggi di moto delle due masse, quando vengono assegnate le condizioni iniziali sotto riportate.<br />
Dati<br />
• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 1.6 kg m2 = 2.5 kg<br />
• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 2000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 3000 N/m<br />
<br />
x1(0) = 0.3 m<br />
• Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
x1(0) ˙ = 1 m/s<br />
x2<br />
<br />
x2(0) = 0.2 m<br />
x2(0) ˙ = 6 m/s
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 153<br />
Esercizio 2.34 - Cod. VIB-101<br />
l l<br />
1<br />
2<br />
d1<br />
r2<br />
J1<br />
J 2<br />
Il sistema rappresentato in figura è costituito dai seguenti elementi:<br />
r1<br />
d2<br />
J 3<br />
r3<br />
r2<br />
r1<br />
r3<br />
M k k<br />
• una coppia di ruote dentate aventi raggio primitivo r1 ed r2 rispettivamente;<br />
• una barra di torsione in acciaio avente lunghezza l1 e diametro d1;<br />
• un albero in acciaio di lunghezza l2 e diametro d2;<br />
• una slitta di massa M scorrevole all’interno di una guida rettilinea;<br />
• una ruota dentata di raggio primitivo r3 che trasmette il moto alla slitta tramite una cremagliera (non<br />
rappresentata in figura);<br />
• due molle di uguale rigidezza k collegate alla slitta come in figura.<br />
Nell’ipotesi che tutte le dissipazioni energetiche dovute ai fenomeni di attrito siano trascurabili, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . J1 = 0.01 kg m 2 J2 = 0.35 kg m 2 J3 = 3.2 kg m 2<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 40 kg<br />
• Raggi primitivi delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 80 mm r2 = 200 mm r3 = 350 mm<br />
• Lunghezza e diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l1 = 750 mm d1 = 20 mm<br />
• Lunghezza e diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 = 700 mm d2 = 30 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
• Rigidezza delle molle collegate alla slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 12000 N/m
154 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.35 - Cod. VIB-102<br />
k1 k1<br />
k2<br />
e<br />
R<br />
m<br />
m d , J d<br />
n<br />
M<br />
k1 1 k<br />
k k<br />
a) b)<br />
Il sistema rappresentato in Figura a) è costituito da una macchina di massa M, vincolata a terra mediante due<br />
supporti elastici di rigidezza k1.<br />
Sulla macchina è montato un disco di massa md, momento d’inerzia baricentrico Jd e raggio R, al quale è fissata<br />
una molla di rigidezza k2, disposta come in figura.<br />
La macchina è sottoposta ad una eccitazione armonica generata da un rotore eccentrico di massa m ed<br />
eccentricità e, rotante a velocità angolare costante n.<br />
Nell’ipotesi che tutti i fenomeni di smorzamento siano trascurabili, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema di Figura a);<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. determinare l’ampiezza delle oscillazioni in condizioni di regime;<br />
4. nel caso in cui al disco venga aggiunta una seconda molla (sempre di rigidezza k2), come rappresentato in<br />
Figura b), dire come si modificano le equazioni di moto e commentare il risultato ottenuto.<br />
Dati<br />
• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 100 kg<br />
• Massa del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . md = 40 kg<br />
• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jd = 0.6 kg m 2<br />
• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 15 kg<br />
• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 8 mm<br />
• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 180 mm<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> supporti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 8500 N/m<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> rami della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2500 N/m<br />
• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 100 giri/min<br />
2<br />
e<br />
R<br />
m<br />
m d , J d<br />
2<br />
n<br />
M
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 155<br />
Esercizio 2.36 - Cod. VIB-104<br />
J1<br />
J2<br />
a b<br />
Figura 1<br />
In Figura 1 è rappresentata una barra di torsione di acciaio sulla quale sono montate due masse aventi momento<br />
d’inerzia pari a J1 e J2.<br />
I due tratti della barra hanno lo stesso diametro d e differenti lunghezze (indicate con i simboli a e b in figura).<br />
Domande<br />
1. calcolare le rigidezze torsionali <strong>dei</strong> due tratti della barra;<br />
2. scrivere le equazioni di moto delle due masse;<br />
3. calcolare le pulsazioni proprie del sistema;<br />
4. calcolare i modi principali di vibrare e disegnare i grafici delle forme modali.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia delle due masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 6 kg m 2 J2 = 4 kg m 2<br />
• Diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm<br />
• Lunghezza <strong>dei</strong> due tratti della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.6 m b = 1 m<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
d
156 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.37 - Cod. VIB-106<br />
k1<br />
JG<br />
G<br />
L<br />
L<br />
k2<br />
Figura 1<br />
Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è costituito da un’asta incernierata nel baricentro e collegata ad<br />
una molla di rigidezza k1 in corrispondenza dell’estremità superiore.<br />
Una seconda molla, di rigidezza k2, collega l’estremo inferiore dell’asta ad una massa M, che può scorrere<br />
orizzontalmente all’interno di una guida rettilinea.<br />
Nell’ipotesi che l’asta compia piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale (di equilibrio statico) e che la<br />
massa M scorra senza attrito all’interno della guida, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
3. determinare, in condizioni di regime, l’ampiezza delle oscillazioni dell’asta e della massa traslante, quando<br />
quest’ultima è sottoposta all’azione di una forzante armonica F (t) di intensità e frequenza assegnate.<br />
Dati<br />
• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 10 kg<br />
• Momento d’inerzia baricentrico dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.5 kg m 2<br />
• Semi-lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 600 mm<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 1000 N/m k2 = 2500 N/m<br />
• Valore massimo della forza applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F0 = 50 N<br />
• Frequenza della forza applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 2 Hz<br />
M<br />
F(t)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 157<br />
Esercizio 2.38 - Cod. VIB-108<br />
J<br />
kt<br />
R<br />
y t)<br />
= Y sin Ωt<br />
( 0<br />
Figura 1<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che la fune sia inestensibile e che la puleggia di<br />
rinvio abbia inerzia trascurabile, si chiede di:<br />
• scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
• calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare;<br />
• studiare le vibrazioni forzate del sistema, quando l’estremo inferiore della molla di rigidezza k2 si muove con<br />
legge sinusoidale y(t) = Y0 sin Ωt.<br />
Dati<br />
• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg<br />
• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.04 kg m 2<br />
• Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kt = 50 Nm/rad<br />
• Rigidezza delle molle collegate alla massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 4000 N/m k2 = 2000 N/m<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 100 mm<br />
• Ampiezza del moto armonico imposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y0 = 100 mm<br />
• Pulsazione del moto armonico imposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 10 rad/s<br />
m<br />
k1<br />
k2
158 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.39 - Cod. VIB-115<br />
a<br />
d1<br />
J<br />
2<br />
, z<br />
2<br />
J<br />
d2<br />
1<br />
, z<br />
1<br />
J 3<br />
d3<br />
b b c<br />
Figura 1<br />
Per il sistema rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che siano trascurabili dissipazioni di energia dovute ai<br />
fenomeni di attrito e la massa degli elementi deformabili a torsione, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto;<br />
2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
J1 = 0.03 kg m 2<br />
J2 = 2.4 kg m 2<br />
J3 = 3.5 kg m 2<br />
• Numero di denti delle ruote dentate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z1 = 40<br />
z2 = 120<br />
• Lunghezza degli elementi deformabili a torsione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
• Diametro degli elementi deformabili a torsione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
a = 400 mm<br />
b = 230 mm<br />
c = 350 mm<br />
d1 = 15 mm<br />
d2 = 18 mm<br />
d3 = 24 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 159<br />
Esercizio 2.40 - Cod. VIB-116<br />
EJ<br />
L1 L2 L1 Sezione trasv.<br />
della trave<br />
m1<br />
Figura 1<br />
Si determinino le frequenze proprie di vibrazione flessionale e le corrispondenti deformate modali della trave<br />
di acciaio rappresentata in Figura 1, nell’ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile rispetto a<br />
quella delle masse applicate su di essa.<br />
Dati<br />
• Masse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 20 kg<br />
m2 = 35 kg<br />
• Lunghezze: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L1 = 250 mm<br />
L2 = 700 mm<br />
b = 50 mm<br />
• Dimensioni della sezione trasversale della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
h = 15 mm<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206 kN/mm2 m2<br />
h<br />
b
160 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.41 - Cod. VIB-122<br />
J1<br />
r<br />
k3<br />
k1<br />
k1<br />
R<br />
Figura 1<br />
Calcolare le pulsazioni proprie e i modi principali di vibrare per il sistema in Figura 1, nell’ipotesi che:<br />
a) l’asta AB compia piccole oscillazioni;<br />
b) la trasmissione del moto fra la ruota di frizione di raggio R e la slitta sottostante avvenga in assenza di<br />
slittamento.<br />
Dati<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 40 kg<br />
• Momento d’inerzia della puleggia sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.015 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia complessivo della puleggia destra e della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.16 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia del’asta rispetto al perno O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.25 kg m 2<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 5 × 10 4 N/m<br />
• Rigidezza della molla collegata al punto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2.5 × 10 4 N/m<br />
• Rigidezza della molla collegata alla slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k3 = 10 4 N/m<br />
• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 80 mm<br />
• Raggio della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 160 mm<br />
• Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 200 mm<br />
r<br />
J2<br />
M<br />
a<br />
B<br />
A<br />
a<br />
k2<br />
JO
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 161<br />
Esercizio 2.42 - Cod. VIB-123<br />
k1<br />
a<br />
a<br />
C<br />
A<br />
B<br />
k2<br />
Jasta<br />
M<br />
J<br />
r<br />
Figura 1<br />
Si consideri il sistema vibrante rappresentato in Figura 1; nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni<br />
e che l’attrito tra la slitta ed i supporti sia trascurabile, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le frequenze proprie di vibrazione;<br />
3. calcolare i vettori modali;<br />
4. studiare il moto a regime quando la manovella OP ruota a velocità angolare costante.<br />
Dati<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 50 kg<br />
• Momento d’inerzia complessivo della puleggia e della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.015 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia dell’asta rispetto al perno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jasta = 0.35 kg m 2<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 15 kN/m k2 = 10 kN/m k3 = 12 kN/m<br />
• Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm<br />
• Raggio della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm<br />
• Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 250 mm<br />
• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 50 mm<br />
• Velocità angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 50 giri/min<br />
R<br />
k3<br />
P<br />
n<br />
Y<br />
y(t)<br />
O<br />
P’
162 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.43 - Cod. VIB-124<br />
A<br />
Cm<br />
J1<br />
B<br />
L<br />
d<br />
k<br />
J3<br />
J2<br />
Cr<br />
Figura 1<br />
C<br />
D<br />
R<br />
k k<br />
La macchina rappresentata schematicamente in Figura 1 è costituita da un motore (A), un albero di trasmissione<br />
di acciaio (B), una cinghia (C) e un dispositivo utilizzatore (D).<br />
La coppia motrice e la coppia resistente sono indicate in figura con i simboli Cm e Cr rispettivamente, mentre<br />
i momenti d’inerzia delle masse rotanti sono indicati con il simbolo J seguito da un pedice numerico.<br />
Sia kt la rigidezza torsionale dell’albero di trasmissione e k la rigidezza di ciascun ramo della cinghia.<br />
Supponendo trascurabili tutti gli effetti di smorzamento, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie;<br />
3. calcolare i vettori modali.<br />
Dati<br />
• Momenti d’inerzia delle masse rotanti . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 2 kg m 2 J2 = 0.4 kg m 2 J3 = 0.12 kg m 2<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 4 × 10 6 N/m<br />
• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 150 mm R = 200 mm<br />
• Lunghezza dell’albero di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L = 1 m<br />
• Diametro dell’albero di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 30 mm<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2<br />
r
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 163<br />
Esercizio 2.44 - Cod. VIB-128<br />
1<br />
2<br />
k<br />
r1<br />
J2<br />
Cm<br />
r2<br />
k<br />
R<br />
J1<br />
3<br />
J<br />
Figura 1<br />
In Figura 1 è rappresentato schematicamente un nastro trasportatore azionato da un motore elettrico tramite<br />
una trasmissione a cinghia. I rami della cinghia presentano un certo grado di cedevolezza e vengono pertanto<br />
schematizzati mediante due molle di uguale rigidezza k. Utilizzando i dati sotto indicati e ritenendo trascurabili<br />
i fenomeni di smorzamento, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto del sistema;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie;<br />
3. calcolare i modi principali di vibrare.<br />
Dati<br />
• Massa della cassa trasportata dal nastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 60 kg<br />
• Momento d’inerzia della puleggia motrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.013 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 1 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia delle pulegge (3) e (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.01 kg m 2<br />
• Raggio della puleggia motrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 80 mm<br />
• Raggio della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r2 = 240 mm<br />
• Raggio delle pulegge (3) e (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 75 mm<br />
• Rigidezza <strong>dei</strong> rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5 × 10 6 N/m<br />
M<br />
R<br />
J<br />
4
164 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 2.45 - Cod. VIB-129<br />
mS<br />
J2<br />
R<br />
kc<br />
k k<br />
r2<br />
O<br />
Figura 1<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni ed il rullo<br />
rotoli senza strisciare, si chiede di:<br />
1. scrivere l’equazione di moto;<br />
2. determinare la rigidezza k della molla in modo che la pulsazione propria non smorzata del sistema risulti<br />
uguale a 30 rad/s;<br />
3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del<br />
sistema risulti pari al 20%;<br />
4. supponendo nulla la pressione nel cilindro, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene<br />
spostata di 25 mm verso destra e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale);<br />
tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta;<br />
5. supponendo che la variazione nel tempo della pressione nel cilindro sia approssimabile mediante la legge<br />
sinusoidale 9 rappresentata in Figura 1, determinare l’andamento delle oscillazioni della slitta in condizioni<br />
di regime.<br />
Dati<br />
• Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 4 kg<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MS = 12 kg<br />
• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 6 kg<br />
• Momento d’inerzia della leva rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JL = 0.2 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JR = 0.075 kg m 2<br />
• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm<br />
• Semi-lunghezza della leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 300 mm<br />
• Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 40000 Pa<br />
• Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 2 s<br />
• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 130 mm<br />
9 I valori negativi indicano una depressione nel cilindro.<br />
kc<br />
a<br />
b<br />
A<br />
B<br />
mP<br />
r1<br />
d<br />
J1<br />
p(t)
Parte III - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 165<br />
Esercizio 2.46 - Cod. VIB-132<br />
p(t)<br />
T<br />
pmax<br />
t<br />
J1<br />
2k<br />
a<br />
Figura 1<br />
Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che le aste compiano piccole oscillazioni e la<br />
trasmissione del moto tra la slitta e il disco avvenga in assenza di strisciamento, si chiede di:<br />
1. scrivere le equazioni di moto;<br />
2. calcolare le pulsazioni proprie e i modi principali di vibrare;<br />
3. supponendo che la pressione nel cilindro oscilli secondo la legge sinusoidale 10 rappresentata in figura, determinare<br />
il movimento del pistone e della slitta in condizioni di regime.<br />
Dati<br />
• Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 2 kg<br />
• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 6 kg<br />
• Momenti d’inerzia delle aste oscillanti rispetto ai perni . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.2 kg m 2 J2 = 0.04 kg m 2<br />
• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J3 = 0.03 kg m 2<br />
• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 90 mm<br />
• Semi-lunghezza delle aste oscillanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm b = 150 mm<br />
• Rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m<br />
• Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 6 × 10 4 Pa<br />
• Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 1 s<br />
• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 50 mm<br />
10 I valori negativi indicano una depressione nel cilindro.<br />
k<br />
a<br />
M2<br />
k<br />
r<br />
3k<br />
M1<br />
p<br />
D<br />
J2<br />
J3<br />
b<br />
b
Parte III<br />
Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 167<br />
Esercizio 3.1 - Cod. VIB-039<br />
Determinare la legge di movimento di una corda uniforme di lunghezza l, fissata ad entrambe le estremità, che<br />
viene pizzicata in corrispondenza del suo punto medio, come indicato in Figura 1, e successivamente rilasciata.<br />
Soluzione<br />
w (x) = w(x,0)<br />
0<br />
l/2 l/2<br />
Figura 1<br />
Indichiamo con T il tiro, supposto costante, a cui è soggetta la corda e con ϱ la densità lineare (massa per unità<br />
di lunghezza) della corda stessa.<br />
La velocità c di propagazione dell’onda lungo la corda risulta:<br />
c =<br />
<br />
T<br />
ϱ<br />
mentre l’equazione di moto è data dalla seguente espressione:<br />
w(x, t) = W (x)f(t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
+ B sin ωx<br />
c<br />
h<br />
x<br />
(1)<br />
<br />
(C cos ωt + D sin ωt) (2)<br />
Poiché la corda è fissata ad entrambe le estremità, possiamo scrivere le condizioni ad contorno sotto riportate:<br />
<br />
w(0, t) = 0<br />
(3)<br />
w(l, t) = 0<br />
Poiché la funzione f(t) risulta, in generale, diversa da zero, le condizioni (3) si trasformano nelle seguenti:<br />
W (0) = 0<br />
W (l) = 0<br />
Dalla prima delle (4) si ricava A = 0, mentre dalla seconda delle (4) si ha:<br />
sin ωl<br />
c<br />
dovendo risultare B = 0, al fine di non ottenere una soluzione identicamente nulla.<br />
Risolvendo la (5) si ottengono i valori delle pulsazioni proprie:<br />
ωnl<br />
c = nπ ⇒ ωn = nπc<br />
l<br />
(4)<br />
= 0 (5)<br />
L’n-esimo modo di vibrare risulta pertanto definito dall’equazione:<br />
wn(x, t) = Wn(x)fn(t) = sin nπx<br />
<br />
Cn cos<br />
l<br />
nπc<br />
t + Dn sin<br />
l<br />
nπc<br />
<br />
t<br />
l<br />
n=1<br />
n=1<br />
(n = 1, 2, . . .) (6)<br />
La legge di movimento della corda si ottiene per sovrapposizione degli infiniti modi di vibrare wn(x, t); si ha<br />
pertanto:<br />
∞<br />
∞<br />
w(x, t) = wn(x, t) = sin nπx<br />
<br />
Cn cos<br />
l<br />
nπc<br />
t + Dn sin<br />
l<br />
nπc<br />
<br />
t<br />
l<br />
(8)<br />
(7)
168 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Derivando la (8) si ricava l’espressione della velocità per i vari punti della corda:<br />
˙w(x, t) =<br />
∞<br />
n=1<br />
sin nπx<br />
l<br />
<br />
− nπc<br />
l Cn sin nπc<br />
l<br />
Indichiamo ora con w0(x) la configurazione iniziale deformata della corda:<br />
Poiché la corda è in quiete all’istante iniziale si ha:<br />
t + nπc<br />
l Dn cos nπc<br />
<br />
t<br />
l<br />
w0(x) = w(x, 0) (10)<br />
˙w0(x) = ˙w(x, 0) = 0 (11)<br />
Applicando le condizioni iniziali (10) e (11) alle (8) e (9) si ricavano le seguenti relazioni:<br />
∞<br />
n=1<br />
Cn sin nπx<br />
l<br />
= w0(x)<br />
∞<br />
n=1<br />
Dalla seconda delle (12) si deduce immediatamente che deve essere:<br />
(9)<br />
nπc<br />
l Dn sin nπx<br />
= 0 (12)<br />
l<br />
Dn = 0 per n = 1, 2, 3, . . . (13)<br />
l calcolo <strong>dei</strong> coefficienti Cn si può effettuare moltiplicando la prima delle (12) per sin mπx<br />
ed integrando rispetto<br />
l<br />
ad x da 0 ad l; il risultato che si ottiene è il seguente11 :<br />
Cn = 2<br />
l<br />
l<br />
0<br />
w0(x) sin nπx<br />
dx (14)<br />
l<br />
L’espressione analitica della deformata iniziale, necessaria per il calcolo dell’integrale al secondo membro della<br />
(14), si deduce dalla Figura 1:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
w0(x) =<br />
⎪⎩<br />
2h<br />
x<br />
l<br />
2h<br />
(l − x)<br />
l<br />
l<br />
per 0 ≤ x ≤<br />
2<br />
l<br />
per < x ≤ l<br />
2<br />
(15)<br />
Dalla (14), tenendo conto della (15), si ricava:<br />
Cn = 2<br />
l/2<br />
l<br />
2h nπx 2h nπx<br />
x sin dx + (l − x) sin<br />
l 0 l l l/2 l l dx<br />
<br />
= 4h<br />
n2π2 <br />
2 sin nπ<br />
<br />
− sin nπ<br />
2<br />
(16)<br />
11Illustriamo nel dettaglio i passaggi da effettuare per ricavare i coefficienti Cn a partire dalla prima delle (12):<br />
• moltiplichiamo la prima delle (12) per sin mπx<br />
:<br />
l<br />
sin mπx<br />
<br />
∞<br />
Cn sin<br />
l<br />
n=1<br />
nπx<br />
<br />
= w0(x) sin<br />
l<br />
mπx<br />
l<br />
⇒<br />
∞<br />
Cn sin<br />
n=1<br />
nπx<br />
sin<br />
l<br />
mπx<br />
l = w0(x) sin mπx<br />
l<br />
• integriamo fra 0 ed l:<br />
<br />
l ∞<br />
0<br />
n=1<br />
Cn sin nπx<br />
l<br />
sin mπx<br />
<br />
dx =<br />
l<br />
l<br />
0<br />
w0(x) sin mπx<br />
l dx<br />
• applichiamo la proprietà di linearità degli integrali (l’integrale di un sommatoria di funzioni è uguale alla sommatoria degli<br />
integrali delle singole funzioni):<br />
∞<br />
l<br />
Cn sin<br />
n=1 0<br />
nπx<br />
sin<br />
l<br />
mπx<br />
l<br />
dx = w0(x) sin<br />
l<br />
0<br />
mπx<br />
l dx<br />
• si osserva che: l<br />
sin<br />
0<br />
nπx<br />
sin<br />
l<br />
mπx<br />
<br />
l/2<br />
dx =<br />
l 0<br />
per m = n<br />
per m = n<br />
• quindi, di tutti i termini della sommatoria, rimane solo quello corrispondente a m = n; in definitiva si ottiene:<br />
l<br />
Cn<br />
2 =<br />
l<br />
w0(x) sin<br />
0<br />
nπx<br />
dx<br />
l<br />
⇒<br />
<br />
2 l<br />
Cn = w0(x) sin<br />
l 0<br />
nπx<br />
l dx
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 169<br />
Poiché risulta sin nπ = 0 per n = 1, 2, 3, . . ., si ha:<br />
Osservando ora che:<br />
possiamo scrivere:<br />
Cn = 8h<br />
n2 nπ<br />
sin<br />
π2 2<br />
sin nπ<br />
2 =<br />
<br />
(n−1)/2 (−1) per n = 1, 3, 5, . . .<br />
0 per n = 2, 4, 6, . . .<br />
Cn =<br />
<br />
(n−1)/2 8h<br />
(−1)<br />
n 2 π 2<br />
per n = 1, 2, 3, . . . (17)<br />
per n = 1, 3, 5, . . .<br />
0 per n = 2, 4, 6, . . .<br />
In definitiva, tenendo conto della (13) e della (19), l’equazione (8) può essere riscritta nella forma:<br />
w(x, t) = C1 sin πx<br />
l<br />
= 8h<br />
π2 <br />
sin πx<br />
l<br />
πc<br />
cos<br />
l t + C3 sin 3πx<br />
l<br />
πc 1 3πx<br />
cos t − sin<br />
l 9 l<br />
cos 3πc<br />
t + C5 sin<br />
l<br />
5πx<br />
l<br />
cos 3πc<br />
t +<br />
l<br />
1 5πx<br />
sin<br />
25 l<br />
cos 5πc<br />
t + . . .<br />
l<br />
cos 5πc<br />
t − . . .<br />
l<br />
(18)<br />
(19)<br />
(20)
170 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.2 - Cod. VIB-040<br />
Si considerino le vibrazioni assiali di un’asta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme di<br />
area As, vincolata nei modi indicati in Figura 1:<br />
Figura 1 Condizioni di vincolo: a) incastro - estremo libero; b) estremo libero - estremo libero;<br />
c) incastro - incastro.<br />
Siano ϱ ed E rispettivamente la densità ed il modulo di Young del materiale costituente l’asta; per ciascuna<br />
delle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare:<br />
• le condizioni al contorno;<br />
• l’equazione delle frequenze;<br />
• le pulsazioni proprie;<br />
• i modi principali di vibrare.<br />
Soluzione<br />
Indicando con u(x, t) lo spostamento assiale di una generica sezione dell’asta, l’equazione delle vibrazioni assiali<br />
risulta:<br />
<br />
u(x, t) = U(x)f(t) = A cos ωx ωx<br />
<br />
+ B sin (C cos ωt + D sin ωt)<br />
c c<br />
(1)<br />
dove<br />
<br />
c =<br />
E<br />
ϱ<br />
(2)<br />
rappresenta la velocità di propagazione dell’onda lungo l’asta.<br />
Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate.<br />
Caso a): Incastro - estremo libero<br />
• Condizioni al contorno<br />
In x = 0 lo spostamento è nullo, quindi:<br />
In x = l la forza assiale N è nulla, quindi:<br />
x<br />
l<br />
Figura 2<br />
∂u<br />
N(l, t) = EAs (l, t) = 0 ⇒<br />
∂x<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
u(0.t) = 0 (3)<br />
∂u<br />
(l, t) = 0 (4)<br />
∂x
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 171<br />
• Equazione delle frequenze<br />
Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:<br />
∂u<br />
<br />
(x, t) =<br />
∂x<br />
u(x, t) =<br />
− ω<br />
c<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
A sin ωx<br />
c<br />
+ ω<br />
c<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin f(t) ⇒ u(0.t) = Af(t) = 0 (5)<br />
c<br />
<br />
<br />
∂u ω ωl<br />
f(t) ⇒ (l, t) = B cos f(t) = 0 (6)<br />
∂x c c<br />
B cos ωx<br />
c<br />
Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava l’equazione delle frequenze:<br />
cos ωl<br />
c<br />
= 0 (7)<br />
• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (7) rispetto ad ω:<br />
ωl<br />
c<br />
= (2n + 1)π<br />
2<br />
⇒ ω =<br />
(2n + 1)πc<br />
2l<br />
n = 0.1.2.3. . . . (8)<br />
• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’nesimo<br />
modo principale di vibrare Un(x) risulta:<br />
dove Cn rappresenta una generica costante.<br />
Un(x) = Cn sin<br />
Caso b): Estremo libero - estremo libero<br />
• Condizioni al contorno<br />
In x = 0 la forza assiale N è nulla, quindi:<br />
In x = l la forza assiale N è nulla, quindi:<br />
• Equazione delle frequenze<br />
x<br />
l<br />
Figura 3<br />
(2n + 1)πx<br />
2l<br />
∂u<br />
N(0.t) = EAs (0.t) = 0 ⇒<br />
∂x<br />
∂u<br />
N(l, t) = EAs (l, t) = 0 ⇒<br />
∂x<br />
(9)<br />
∂u<br />
(0.t) = 0 (10)<br />
∂x<br />
∂u<br />
(l, t) = 0 (11)<br />
∂x<br />
Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:<br />
∂u<br />
<br />
(x, t) = −<br />
∂x ω ωx ω ωx<br />
<br />
A sin + B cos f(t)<br />
c c c c<br />
⇒<br />
∂u ω<br />
(0.t) = Bf(t) = 0<br />
∂x c<br />
<br />
∂u<br />
(l, t) = −<br />
∂x ω<br />
<br />
ωl ω ωl<br />
A sin + B cos f(t) = 0<br />
c c c c<br />
(12)<br />
Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze:<br />
sin ωl<br />
c<br />
= 0 (13)
172 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
• Pulsazioni proprie<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (13) rispetto ad ω:<br />
• Modi principali di vibrare<br />
ωl<br />
c<br />
= nπ ⇒ ω = nπc<br />
l<br />
n = 1.2.3. . . . (14)<br />
Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di<br />
vibrare Un(x) risulta:<br />
Un(x) = Cn cos nπx<br />
dove Cn rappresenta una generica costante.<br />
l<br />
(15)<br />
Caso c): Incastro - incastro<br />
• Condizioni al contorno<br />
In x = 0 lo spostamento è nullo, quindi:<br />
In x = l lo spostamento è nullo, quindi:<br />
• Equazione delle frequenze<br />
x<br />
l<br />
Figura 4<br />
u(0.t) = 0 (16)<br />
u(l, t) = 0 (17)<br />
Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:<br />
u(x, t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin f(t) ⇒<br />
c<br />
u(0.t) = Af(t) = 0<br />
u(l, t) =<br />
<br />
A cos ωl<br />
<br />
ωl<br />
+ B sin f(t) = 0<br />
c c<br />
Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze:<br />
• Pulsazioni proprie<br />
sin ωl<br />
c<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (19) rispetto ad ω:<br />
• Modi principali di vibrare<br />
ωl<br />
c<br />
= nπ ⇒ ω = nπc<br />
l<br />
(18)<br />
= 0 (19)<br />
n = 1.2.3. . . . (20)<br />
Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di<br />
vibrare Un(x) risulta:<br />
Un(x) = Cn sin nπx<br />
dove Cn rappresenta una generica costante.<br />
l<br />
(21)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 173<br />
Esercizio 3.3 - Cod. VIB-041<br />
Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni longitudinali delle aste di acciaio riportate nelle<br />
figure seguenti:<br />
Caso a)<br />
Caso b)<br />
Dati<br />
x<br />
l<br />
Figura 1<br />
k x<br />
k<br />
1 2<br />
l<br />
Figura 2<br />
• Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.5 m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ = 7800 kg/m 3<br />
• Diametro della sezione trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 3 × 10 7 N/m k1 = 5 × 10 7 N/m k2 = 8 × 10 7 N/m<br />
Soluzione<br />
Assumiamo per convenzione lo spostamento assiale u positivo verso destra e l’azione assiale N positiva a trazione<br />
(vedi Figura 3).<br />
L’equazione delle vibrazioni assiali è la seguente:<br />
dove<br />
u<br />
+<br />
u(x, t) = U(x)f(t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
rappresenta la velocità di propagazione delle onde.<br />
Esaminiamo ora separatamente i due casi.<br />
N N<br />
+<br />
Figura 3<br />
c =<br />
k<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin (C cos ωt + D sin ωt) (1)<br />
c<br />
<br />
E<br />
ϱ<br />
(2)
174 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Caso a)<br />
x<br />
l<br />
Figura 4<br />
La condizione al contorno relativa all’estremo sinistro (x = 0) è:<br />
Imponendo tale condizione si ricava:<br />
k<br />
u(0.t) = 0 (3)<br />
u(0.t) = Af(t) = 0 ⇒ A = 0 (4)<br />
La condizione sull’estremo destro (x = l) si può ottenere esprimendo l’equilibrio delle forze agenti sull’elemento<br />
terminale dell’asta: tali forze sono rappresentate dall’azione assiale N(l, t) e dalla forza elastica ku(l, t) esercitata<br />
dalla molla (vedi Figura 5).<br />
∂u(l,t)<br />
N(l,t) = EA<br />
______<br />
s ∂x<br />
Figura 5 Estremo destro dell’asta<br />
k u(l,t)<br />
Se As indica l’area della sezione trasversale dell’asta, la condizione di equilibrio suddetta risulta:<br />
∂u<br />
EAs (l, t) + ku(l, t) = 0 (5)<br />
∂x<br />
Tenendo conto della (4), la funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano:<br />
<br />
u(x, t) = B sin ωx<br />
<br />
f(t)<br />
c<br />
∂u<br />
(x, t) =<br />
∂x<br />
ω<br />
c<br />
ωx<br />
<br />
B cos f(t) (6)<br />
c<br />
Sostituendo le espressioni (6), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando il termine Bf(t) si ricava l’equazione<br />
delle frequenze per il sistema in esame:<br />
Ponendo ora<br />
l’equazione (7) può essere riscritta nella forma:<br />
ω ωl ωl<br />
EAs cos + k sin = 0 (7)<br />
c c c<br />
β = ωl<br />
c<br />
<br />
ϱ<br />
= ωl<br />
E<br />
tan β = − EAs<br />
β (9)<br />
kl<br />
L’equazione (9), risolta per via numerica, consente di ricavare i valori di corrispondenti alle pulsazioni proprie<br />
del sistema; per localizzare le soluzioni è conveniente rappresentare in forma grafica i due membri della (9):<br />
Si osservi che, essendo β > 0, si considera solo il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con β1, β2 e β3 le prime tre soluzioni della (9): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
π<br />
2 < β1 < π<br />
3<br />
2 π < β2 < 2π<br />
Con i dati numerici forniti dal testo si ottengono i seguenti risultati:<br />
(8)<br />
5<br />
2 π < β3 < 3π (10)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 175<br />
β1 β β 2 3<br />
0 π 2π 3π β<br />
• Area della sezione trasversale dell’asta:<br />
• Coefficiente angolare della retta:<br />
As = πd2<br />
4<br />
Figura 6<br />
= π × 0.012<br />
4<br />
= 7.85 × 10 −5 m 2<br />
(11)<br />
b = − EAs<br />
kl = −206000 × 106 × 7.85 × 10−5 3 × 107 = 0.36 (12)<br />
× 1.5<br />
Risolvendo numericamente la (9) si ottengono i valori di β sotto riportati:<br />
La velocità di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2):<br />
β1 = 2.425 β2 = 5.203 β3 = 8.182 (13)<br />
c =<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
<br />
E<br />
ϱ =<br />
<br />
206000 × 106 = 5139 m/s (14)<br />
7800<br />
c<br />
ω1 = β1<br />
ω2 = β2<br />
ω3 = β3<br />
l<br />
c<br />
l<br />
c<br />
l<br />
= 2.425 × 5139<br />
1.5<br />
= 5.203 × 5139<br />
1.5<br />
= 8.182 × 5139<br />
1.5<br />
= 8307 rad/s<br />
= 17827 rad/s<br />
= 28031 rad/s<br />
(15)
176 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
e le corrispondenti frequenze:<br />
Caso b)<br />
f1 = ω1 8307<br />
= = 1322 Hz<br />
2π 2π<br />
f2 = ω2 17827<br />
= = 2837 Hz<br />
2π 2π<br />
f3 = ω3 28031<br />
= = 4461 Hz<br />
2π 2π<br />
k1 x<br />
k2<br />
l<br />
Figura 7<br />
Le condizioni al contorno si ottengono mediante considerazioni di equilibrio per entrambi gli estremi; le forze in<br />
gioco sono evidenziate nelle figure seguenti:<br />
Si ha pertanto:<br />
k u(0,t)<br />
1<br />
______ ∂u(0,t)<br />
N(0,t) = EAs ∂x<br />
Figura 8 Estremo sinistro dell’asta.<br />
∂u(l,t)<br />
N(l,t) = EA<br />
______<br />
s ∂x<br />
Figura 9 Estremo destro dell’asta.<br />
∂u<br />
EAs<br />
∂x (0.t) − k1u(0.t) = 0<br />
∂u<br />
EAs<br />
∂x (l, t) + k2u(l, t) = 0<br />
La funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano:<br />
u(x, t) =<br />
∂u<br />
<br />
(x, t) =<br />
∂x<br />
<br />
A cos ωx<br />
− ω<br />
c<br />
c<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin f(t)<br />
c<br />
A sin ωx<br />
c<br />
+ ω<br />
c<br />
B cos ωx<br />
c<br />
k u(l,t)<br />
2<br />
<br />
f(t)<br />
Dalle (17) e (18), semplificando il termine f(t), si ottiene il seguente sistema di equazioni:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
ω<br />
EAs<br />
c B − k1A = 0<br />
EAs<br />
<br />
− ω ωl<br />
A sin<br />
c c<br />
ω ωl<br />
+ B cos<br />
c c<br />
<br />
+ k2 A cos ωl<br />
<br />
ωl<br />
+ B sin = 0<br />
c c<br />
(16)<br />
(17)<br />
(18)<br />
(19)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 177<br />
Per determinare l’equazione delle frequenze si può ricavare la costante A dalla prima delle (19) e sostituire il<br />
valore così ottenuto nella seconda equazione; dopo alcuni passaggi algebrici si perviene al seguente risultato:<br />
<br />
a 1 +<br />
tan β = −<br />
k2<br />
<br />
β<br />
k1<br />
k2 − a2<br />
β 2<br />
in cui β è dato dalla (8), mentre la costante a è definita dalla relazione:<br />
a = EAs<br />
l<br />
Possiamo osservare subito che, per k1 → ∞ e k2 = k, l’equazione (20) si trasforma nella (9); ciò era prevedibile,<br />
dal momento che una molla di rigidezza infinita impedisce qualsiasi spostamento assiale e risulta pertanto<br />
equivalente ad un incastro.<br />
Anche in questo caso l’equazione delle frequenze (20) deve essere risolta per via numerica; per localizzare le<br />
soluzioni rappresentiamo graficamente i due membri dell’equazione suddetta:<br />
β<br />
β<br />
1 2<br />
0 π 2π β<br />
3π<br />
Figura 10<br />
Indichiamo con β1, β2 e β3 le prime tre soluzioni della (20): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
π<br />
2 < β1 < π<br />
Con i dati numerici forniti dal testo la (20) assume la seguente espressione:<br />
k1<br />
3<br />
β<br />
(20)<br />
(21)<br />
3<br />
2 π < β2 < 2π 2π < β3 < 5<br />
π (22)<br />
2<br />
2.804 β<br />
tan β = −<br />
8 − 0.233 β2 Risolvendo numericamente la (20) si ottengono i valori di β sotto riportati:<br />
(23)<br />
β1 = 2.362 β2 = 4.888 β3 = 7.604 (24)
178 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
e le corrispondenti frequenze:<br />
c<br />
ω1 = β1<br />
ω2 = β2<br />
ω3 = β3<br />
l<br />
c<br />
l<br />
c<br />
l<br />
= 2.362 × 5139<br />
1.5<br />
= 4.888 × 5139<br />
1.5<br />
= 7.604 × 5139<br />
1.5<br />
= 8092 rad/s<br />
= 16748 rad/s<br />
= 26051 rad/s<br />
f1 = ω1 8092<br />
= = 1288 Hz<br />
2π 2π<br />
f2 = ω2 16748<br />
= = 2666 Hz<br />
2π 2π<br />
f3 = ω3 26051<br />
= = 4146 Hz<br />
2π 2π<br />
Confrontando i valori delle frequenze proprie ottenuti nei due casi, si osserva che i valori relativi al caso b)<br />
sono più bassi rispetto ai corrispondenti valori dal caso a); questo risultato era prevedibile, dal momento che<br />
la rigidezza del sistema diminuisce, passando dal caso a) al caso b), in seguito all’introduzione della seconda<br />
molla.<br />
(25)<br />
(26)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 179<br />
Esercizio 3.4 - Cod. VIB-042<br />
Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali di un’asta di acciaio con un estremo<br />
incastrato, alla quale è fissata una massa concentrata M in corrispondenza dell’estremo libero.<br />
Dati<br />
x<br />
l<br />
Figura 1<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.75 m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ = 7800 kg/m 3<br />
• Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm<br />
• Massa applicata all’estremità destra dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1.5 kg<br />
Soluzione<br />
Assumiamo per convenzione lo spostamento assiale u positivo verso destra e l’azione assiale N positiva a trazione<br />
(vedi Figura 2).<br />
L’equazione delle vibrazioni assiali è la seguente:<br />
dove<br />
u<br />
+<br />
u(x, t) = U(x)f(t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
N N<br />
+<br />
Figura 2<br />
c =<br />
M<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin (C cos ωt + D sin ωt) (1)<br />
c<br />
<br />
E<br />
ϱ<br />
rappresenta la velocità di propagazione delle onde.<br />
La condizione al contorno relativa all’estremo sinistro (x = 0) è:<br />
Imponendo tale condizione si ricava:<br />
u(0.t) = 0 (3)<br />
u(0.t) = Af(t) = 0 ⇒ A = 0 (4)<br />
La condizione sull’estremo destro (x = l) si può ottenere esprimendo l’equilibrio delle forze agenti sulla massa<br />
concentrata; tali forze sono rappresentate dall’azione assiale N(l, t) e dalla forza d’inerzia Fi(l, t) generata dalla<br />
massa stessa (vedi Figura 3).<br />
Si ha pertanto:<br />
∂u<br />
EAs<br />
∂x (l, t) + M ∂2u (l, t) = 0 (5)<br />
∂t2 (2)
180 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
______ ∂u(l,t)<br />
N(l,t) = EAs ∂x<br />
Figura 3<br />
∂2 F (l,t) =<br />
_______ u(l,t)<br />
i M 2 ∂t<br />
dove As indica l’area della sezione trasversale del’asta.<br />
Poiché la costante A è nulla (vedi equazione (4)), la derivata parziale rispetto ad x della funzione u(x, t) risulta:<br />
∂u<br />
∂x<br />
dU(x)<br />
(x, t) = f(t) =<br />
dx<br />
Per quanto riguarda la derivata parziale seconda rispetto al tempo possiamo scrivere:<br />
ω<br />
c<br />
ωx<br />
<br />
B cos f(t) (6)<br />
c<br />
∂2u ∂t2 (x, t) = U(x)d2 f(t)<br />
dt2 = −ω2 <br />
2<br />
U(x)f(t) = −ω B sin ωx<br />
<br />
f(t) (7)<br />
c<br />
Sostituendo le (6) e (7), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando, si ottiene l’equazione seguente:<br />
EAs<br />
c<br />
cos ωl<br />
c<br />
− Mω sin ωl<br />
c<br />
Poiché risulta E = ϱc 2 (vedi equazione (2)) possiamo riscrivere la (8) nella forma:<br />
ϱAsl<br />
M<br />
cos ωl<br />
c<br />
= ωl<br />
c<br />
sin ωl<br />
c<br />
Si osservi che il prodotto m = ϱAsl rappresenta la massa propria dell’asta.<br />
Definendo ora le costanti<br />
h = ϱAsl m<br />
=<br />
M M<br />
β = ωl<br />
<br />
ϱ<br />
= ωl<br />
c E<br />
l’equazione (9) diventa:<br />
tan β = h<br />
β<br />
= 0 (8)<br />
L’equazione (11), risolta per via numerica, fornisce i valori di β corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema<br />
in esame; la rappresentazione grafica <strong>dei</strong> due membri della (11) è riportata nella Figura 4:<br />
Si noti che, essendo β > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con β1, β2 e β3 le prime tre soluzioni della (11): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
0 < β1 < π<br />
2<br />
Con i dati numerici assegnati dal problema si ha:<br />
As = πd2<br />
4<br />
(9)<br />
(10)<br />
(11)<br />
π < β2 < 3<br />
2 π 2π < β3 < 5<br />
π (12)<br />
2<br />
= π × 0.012<br />
4<br />
= 7.85 × 10 −5 m 2<br />
(13)<br />
h = ϱAsl<br />
M = 7800 × 7.85 × 10−5 × 0.75<br />
= 0.306<br />
1.5<br />
(14)<br />
β1 = 0.527 β2 = 3.236 β3 = 6.332 (15)<br />
La velocità di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2):<br />
<br />
E<br />
c =<br />
ϱ =<br />
<br />
206000 × 106 = 5139 m/s (16)<br />
7800
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 181<br />
β 1<br />
β 2<br />
0 π 2π 3π β<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
e le corrispondenti frequenze:<br />
c<br />
ω1 = β1<br />
ω2 = β2<br />
ω3 = β3<br />
l<br />
c<br />
l<br />
c<br />
l<br />
Figura 4<br />
= 0.527 × 5139<br />
0.75<br />
= 3.236 × 5139<br />
0.75<br />
= 6.332 × 5139<br />
0.75<br />
β 3<br />
= 3609 rad/s<br />
= 22173 rad/s<br />
= 43384 rad/s<br />
f1 = ω1 3609<br />
= = 574 Hz<br />
2π 2π<br />
f2 = ω2 22173<br />
= = 3529 Hz<br />
2π 2π<br />
f3 = ω3 43384<br />
= = 6905 Hz<br />
2π 2π<br />
Se si trascura la massa dell’asta, si ottiene un sistema ad un solo grado di libertà del tipo illustrato in Figura 5:<br />
k<br />
Figura 5<br />
La costante elastica k rappresenta la rigidezza assiale dell’asta e vale:<br />
k = EAs<br />
l<br />
M<br />
(17)<br />
(18)<br />
(19)
182 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
La pulsazione propria è pertanto:<br />
ω =<br />
k<br />
M =<br />
<br />
EAs<br />
Ml =<br />
<br />
206000 × 106 × 7.85 × 10−5 = 3792 rad/s (20)<br />
1.5 × 0.75<br />
L’errore percentuale commesso sul calcolo della prima frequenza propria è:<br />
ω − ω1<br />
ε = × 100 ==<br />
ω1<br />
3792 − 3609<br />
3609<br />
× 100 ∼ = 5% (21)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 183<br />
Esercizio 3.5 - Cod. VIB-043<br />
Si considerino le vibrazioni torsionali di un’asta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme<br />
con momento d’inerzia polare Jp, vincolata nei modi indicati in Figura 1:<br />
Figura 1 Condizioni di vincolo: a) incastro - estremo libero; b)estremo libero - estremo libero;<br />
c) incastro - incastro.<br />
Siano ϱ e G rispettivamente la densità ed il modulo di elasticità tangenziale del materiale costituente l’asta; per<br />
ciascuna delle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare:<br />
• le condizioni al contorno;<br />
• l’equazione delle frequenze;<br />
• le pulsazioni proprie;<br />
• i modi principali di vibrare.<br />
Soluzione<br />
Indicando con ϑ(x, t) la rotazione di una generica sezione dell’asta, l’equazione delle vibrazioni torsionali risulta:<br />
dove<br />
ϑ(x, t) = Θ(x)f(t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
c =<br />
+ B sin ωx<br />
c<br />
<br />
G<br />
ϱ<br />
rappresenta la velocità di propagazione dell’onda lungo l’asta.<br />
Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate.<br />
Caso a): Incastro - estremo libero<br />
• Condizioni al contorno<br />
In x = 0 la rotazione è nulla, quindi:<br />
In x = l il momento torcente Mt è nullo, quindi:<br />
x<br />
l<br />
Figura 2<br />
∂ϑ<br />
Mt(l, t) = GJp (l, t) = 0 ⇒<br />
∂x<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
<br />
(C cos ωt + D sin ωt) (1)<br />
ϑ(0.t) = 0 (3)<br />
(2)<br />
∂ϑ<br />
(l, t) = 0 (4)<br />
∂x
184 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
• Equazione delle frequenze<br />
Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:<br />
<br />
ϑ(x, t) = A cos ωx ωx<br />
<br />
+ B sin f(t)<br />
c c<br />
∂ϑ<br />
<br />
(x, t) = −<br />
∂x<br />
⇒ ϑ(0.t) = Af(t) = 0 (5)<br />
ω ωx ω ωx<br />
<br />
A sin + B cos f(t)<br />
c c c c<br />
⇒<br />
<br />
∂ϑ ω ωl<br />
(l, t) = B cos f(t) = 0<br />
∂x c c<br />
(6)<br />
Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava l’equazione delle frequenze:<br />
• Pulsazioni proprie<br />
cos ωl<br />
c<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (7) rispetto ad ω:<br />
ωl<br />
c<br />
• Modi principali di vibrare<br />
= (2n + 1)π<br />
2<br />
⇒ ω =<br />
= 0 (7)<br />
(2n + 1)πc<br />
2l<br />
n = 0.1.2.3. . . . (8)<br />
Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’ n-esimo modo principale di<br />
vibrare Θn(x) risulta:<br />
(2n + 1)πx<br />
Θn(x) = Cn sin (9)<br />
2l<br />
dove Cn rappresenta una generica costante.<br />
Caso b): Estremo libero - estremo libero<br />
• Condizioni al contorno<br />
In x = 0 il momento torcente Mt è nullo, quindi:<br />
x<br />
l<br />
Figura 3<br />
∂ϑ<br />
Mt(0.t) = GJp (0.t) = 0 ⇒<br />
∂x<br />
In x = l il momento torcente Mt è nullo, quindi:<br />
• Equazione delle frequenze<br />
∂ϑ<br />
Mt(l, t) = GJp (l, t) = 0 ⇒<br />
∂x<br />
∂ϑ<br />
(0.t) = 0 (10)<br />
∂x<br />
∂ϑ<br />
(l, t) = 0 (11)<br />
∂x<br />
Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:<br />
∂ϑ<br />
<br />
(x, t) = −<br />
∂x ω ωx ω ωx<br />
<br />
A sin + B cos f(t)<br />
c c c c<br />
⇒<br />
∂ϑ ω<br />
(0.t) = Bf(t) = 0<br />
∂x c<br />
<br />
∂ϑ<br />
(l, t) = −<br />
∂x ω<br />
<br />
ωl ω ωl<br />
A sin + B cos f(t) = 0<br />
c c c c<br />
(12)<br />
Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze:<br />
sin ωl<br />
c<br />
= 0 (13)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 185<br />
• Pulsazioni proprie<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (13) rispetto ad ω:<br />
• Modi principali di vibrare<br />
ωl<br />
c<br />
= nπ ⇒ ω = nπc<br />
l<br />
n = 1.2.3. . . . (14)<br />
Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’ n-esimo modo principale di<br />
vibrare Θn(x) risulta:<br />
Θn(x) = Cn cos nπx<br />
dove Cn rappresenta una generica costante.<br />
l<br />
(15)<br />
Caso c): Incastro - incastro<br />
• Condizioni al contorno<br />
In x = 0 lo spostamento è nullo, quindi:<br />
In x = l lo spostamento è nullo, quindi:<br />
• Equazione delle frequenze<br />
x<br />
l<br />
Figura 4<br />
ϑ(0.t) = 0 (16)<br />
ϑ(l, t) = 0 (17)<br />
Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate:<br />
ϑ(x, t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin f(t) ⇒<br />
c<br />
ϑ(0.t) = Af(t) = 0<br />
ϑ(l, t) =<br />
<br />
A cos ωl<br />
<br />
ωl<br />
+ B sin f(t) = 0<br />
c c<br />
Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze:<br />
• Pulsazioni proprie<br />
sin ωl<br />
c<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (19) rispetto ad ω:<br />
• Modi principali di vibrare<br />
ωl<br />
c<br />
= nπ ⇒ ω = nπc<br />
l<br />
(18)<br />
= 0 (19)<br />
n = 1.2.3. . . . (20)<br />
Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di<br />
vibrare Θn(x) risulta:<br />
Θn(x) = Cn sin nπx<br />
dove Cn rappresenta una generica costante.<br />
l<br />
(21)
186 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.6 - Cod. VIB-044<br />
Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni torsionali di un’asta di acciaio con un estremo<br />
incastrato, alla quale è fissato un disco di momento d’inerzia JD in corrispondenza dell’estremo libero.<br />
Dati<br />
x<br />
d<br />
l<br />
G ρ<br />
Figura 1<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.2 m<br />
• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80000 N/mm 2<br />
• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ = 7800 kg/m 3<br />
• Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm<br />
• Momento d’inerzia del disco applicato all’estremità libera dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . JD = 2.25 × 10 −4 kg m 2<br />
Soluzione<br />
Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate nella Figura 2:<br />
θ<br />
+<br />
M t<br />
L’equazione delle vibrazioni torsionali è la seguente:<br />
dove<br />
ϑ(x, t) = Θ(x)f(t) =<br />
<br />
A cos ωx<br />
c<br />
+<br />
Figura 2<br />
c =<br />
M t<br />
J D<br />
ωx<br />
<br />
+ B sin (C cos ωt + D sin ωt) (1)<br />
c<br />
<br />
G<br />
ϱ<br />
rappresenta la velocità di propagazione delle onde.<br />
La condizione al contorno relativa all’estremo incastrato (x = 0) è:<br />
ϑ(0.t) = 0 (3)<br />
(2)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 187<br />
Imponendo tale condizione si ricava:<br />
ϑ(0.t) = Af(t) = 0 ⇒ A = 0 (4)<br />
La condizione sull’altro estremo (x = l) si può ottenere esprimendo l’equilibrio delle coppie agenti sul disco;<br />
tali coppie sono rappresentate dal momento torcente Mt(l, t) e dalla coppia d’inerzia Ci(l, t) generata dal disco<br />
stesso (vedi Figura 3).<br />
x<br />
d<br />
l<br />
C (l,t) =<br />
i<br />
2<br />
∂_______<br />
J<br />
∂t 2<br />
θ(l,t)<br />
D<br />
Figura 3<br />
θ<br />
M (l,t) = GJ<br />
t<br />
M (l,t)<br />
t<br />
P<br />
_______ ∂ ∂ θ θ (l,t)<br />
∂ x<br />
Si ha pertanto:<br />
∂ϑ ∂<br />
GJp (l, t) + JD<br />
∂x 2ϑ (l, t) = 0 (5)<br />
∂t2 dove Jp indica il momento d’inerzia polare della sezione trasversale del’asta.<br />
Poiché la costante A è nulla (vedi equazione (4)), la derivata parziale rispetto ad x della funzione ϑ(x, t) risulta:<br />
∂ϑ dΘ(x)<br />
<br />
ω ωx<br />
<br />
(x, t) = f(t) = B cos f(t) (6)<br />
∂x dx c c<br />
Per quanto riguarda la derivata parziale seconda rispetto al tempo possiamo scrivere:<br />
∂2ϑ ∂t2 (x, t) = Θ(x)d2 f(t)<br />
dt2 = −ω2 <br />
2<br />
Θ(x)f(t) = −ω B sin ωx<br />
<br />
f(t) (7)<br />
c<br />
Sostituendo le (6) e (7), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando, si ottiene l’equazione seguente:<br />
GJp<br />
c<br />
M (l,t)<br />
t<br />
C (l,t)<br />
i<br />
cos ωl<br />
c − JDω sin ωl<br />
= 0 (8)<br />
c<br />
Poiché risulta G = ϱc 2 (vedi equazione (2)) possiamo riscrivere la (8) nella forma:<br />
ϱJpl<br />
JD<br />
cos ωl<br />
c<br />
= ωl<br />
c<br />
sin ωl<br />
c<br />
Si osservi che il momento d’inerzia di massa dell’asta attorno al proprio asse risulta pari a 12 :<br />
12Applicando la definizione, il momento d’inerzia polare della sezione dell’asta vale:<br />
<br />
Jp = r<br />
A<br />
2 dA [m 4 ]<br />
Sempre applicando la definizione, il momento d’inerzia di massa dell’asta vale:<br />
<br />
Jasta = r<br />
m<br />
2 <br />
dm = ϱl r<br />
A<br />
2 dA = ϱlJp [kg m 2 ]<br />
essendo dm = ϱ dV = ϱl dA (m = massa, V = volume, A = area).<br />
Per una sezione circolare di diametro d il momento d’inerzia polare vale:<br />
<br />
Jp = r<br />
A<br />
2 d/2<br />
dA = r<br />
0<br />
2 2πr dr = πd4<br />
32<br />
Jasta = ϱJpl (10)<br />
(9)
188 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Ponendo:<br />
l’equazione (9) diventa:<br />
h = ϱJpl<br />
JD<br />
= Jasta<br />
JD<br />
tan β = h<br />
β<br />
β = ωl<br />
c<br />
<br />
ϱ<br />
= ωl<br />
G<br />
L’equazione (12), risolta per via numerica, fornisce i valori di β corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema<br />
in esame; la rappresentazione grafica <strong>dei</strong> due membri della (12) è riportata nella Figura 4:<br />
β 1<br />
β 2<br />
0 π 2π 3π β<br />
Figura 4<br />
Si noti che, essendo β > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con β1, β2 e β3 le prime tre soluzioni della (12): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
0 < β1 < π<br />
2<br />
Con i dati numerici assegnati dal problema si ha:<br />
Jp = πd4<br />
32<br />
h = ϱJpl<br />
JD<br />
β 3<br />
(11)<br />
(12)<br />
π < β2 < 3<br />
2 π 2π < β3 < 5<br />
π (13)<br />
2<br />
= π × 0.022<br />
32<br />
La velocità di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2):<br />
= 1.571 × 10 −8 m 4<br />
(14)<br />
= 7800 × 1.571 × 10−8 × 1.2<br />
2.25 × 10 −4 = 0.653 (15)<br />
β1 = 0.730 β2 = 3.335 β3 = 6.385 (16)<br />
c =<br />
<br />
G<br />
ϱ =<br />
<br />
80000 × 106 = 3203 m/s (17)<br />
7800
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 189<br />
Le pulsazioni proprie risultano pertanto:<br />
e le corrispondenti frequenze:<br />
c<br />
ω1 = β1<br />
ω2 = β2<br />
ω3 = β3<br />
l<br />
c<br />
l<br />
c<br />
l<br />
= 0.730 × 3203<br />
1.2<br />
= 3.335 × 3203<br />
1.2<br />
= 6.385 × 3203<br />
1.2<br />
= 1948 rad/s<br />
= 8901 rad/s<br />
= 17041 rad/s<br />
f1 = ω1 1948<br />
= = 310 Hz<br />
2π 2π<br />
f2 = ω2 8901<br />
= = 1417 Hz<br />
2π 2π<br />
f3 = ω3 17041<br />
= = 2712 Hz<br />
2π 2π<br />
Se si trascura la massa dell’asta, si ottiene un sistema ad un solo grado di libertà del tipo illustrato in Figura 5<br />
(disco incernierato a terra soggetto alla coppia generata da una molla torsionale).<br />
k t<br />
Figura 5<br />
La costante elastica kt rappresenta la rigidezza torsionale dell’asta e vale:<br />
La pulsazione propria è pertanto:<br />
ω =<br />
kt<br />
JD<br />
=<br />
k = GJp<br />
l<br />
J D<br />
(18)<br />
(19)<br />
(20)<br />
<br />
GJp<br />
JDl =<br />
<br />
80000 × 106 × 1.571 × 10−8 2.25 × 10−4 = 2157 rad/s (21)<br />
× 1.2<br />
L’errore percentuale commesso sul calcolo della prima frequenza propria è:<br />
ω − ω1<br />
ε = × 100 =<br />
ω1<br />
2157 − 1948<br />
1948<br />
× 100 ∼ = 10.7% (22)
190 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.7 - Cod. VIB-045<br />
Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della<br />
trave sotto riportata.<br />
Soluzione<br />
Indichiamo con:<br />
x<br />
l<br />
Figura 1<br />
EJ ρA s<br />
y(x, t) lo spostamento verticale di una generica sezione della trave;<br />
ϕ(x, t) la rotazione di una generica sezione della trave;<br />
M(x, t) il momento flettente agente in una generica sezione della trave;<br />
T (x, t) la forza di taglio in una generica sezione della trave.<br />
Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:<br />
L’equazione delle vibrazioni trasversali è la seguente:<br />
ϕ<br />
w + + M T + T M<br />
Figura 2<br />
y(x, t) = Y (x)f(t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) (1)<br />
dove:<br />
β = 4<br />
<br />
ω2ϱAs EJ<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo incastrato (x = 0) sono:<br />
⎧<br />
⎨ y(0.t) = 0<br />
⎩ ϕ(0.t) = ∂y<br />
(0.t) = 0<br />
∂x<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo appoggiato (x = l) sono invece:<br />
⎧<br />
⎨<br />
M(l, t) = EJ<br />
⎩<br />
∂2y (l, t) = 0<br />
∂x2 y(l, t) = 0<br />
Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali rispetto ad x (prima e<br />
seconda) della funzione y(x, t):<br />
∂y<br />
(x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (5)<br />
∂x<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 (x, t) = β2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f(t) (6)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 191<br />
Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo<br />
opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A + C = 0<br />
B + D = 0<br />
−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0<br />
A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0<br />
Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (7) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti<br />
equazioni, si perviene al seguente sistema:<br />
<br />
A(cos βl + cosh βl) + B(sin βl + sinh βl) = 0<br />
(8)<br />
A(cos βl − cosh βl) + B(sin βl − sinh βl) = 0<br />
Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sia nullo il determinante della matrice <strong>dei</strong><br />
coefficienti: <br />
(cos βl + cosh βl)<br />
(cos βl − cosh βl)<br />
<br />
(sin βl + sinh βl) <br />
<br />
(sin βl − sinh βl) = 0 (9)<br />
Ponendo, per semplicità α = βl e sviluppando il determinante, si ricava, dopo semplici passaggi, l’equazione<br />
delle frequenze sotto riportata:<br />
cos α sinh α − sin α cosh α = 0 (10)<br />
ovvero:<br />
tanh α = tan α (11)<br />
L’equazione (11), risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema<br />
in esame; la rappresentazione grafica <strong>dei</strong> due membri della (11) è riportata in Figura 3:<br />
0 π α1 2π α2 3π α3 4π α<br />
Figura 3<br />
Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con α1, α2 e α3 le prime tre soluzioni della (11): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
π < α1 < 3<br />
2 π 2π < α2 < 5<br />
2 π 3π < α3 < 7<br />
π (12)<br />
2<br />
(7)
192 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
La soluzione numerica della (11) fornisce i seguenti risultati:<br />
α1 = β1l = 3.927<br />
α2 = β2l = 7.069<br />
α3 = β3l = 10.21<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω:<br />
ωn = β 2 <br />
EJ<br />
n n = 1.2.3. . . . (14)<br />
ϱAs<br />
Per il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare possiamo procedere come segue:<br />
• ricaviamo la costante B dalla seconda delle (8):<br />
B = −A<br />
<br />
cos βl − cosh βl<br />
sin βl − sinh βl<br />
• riscriviamo l’espressione di Y (x) tenendo presente che C = −A e D = −B:<br />
• sostituiamo la (15) nella (16):<br />
Y (x) = A<br />
(13)<br />
(15)<br />
Y (x) = A(cos βx − cosh βx) + B(sin βx − sinh βx) (16)<br />
<br />
(cos βx − cosh βx) −<br />
Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare potremo quindi scrivere:<br />
Yn(x) = An<br />
<br />
(cos βnx − cosh βnx) −<br />
<br />
<br />
cos βl − cosh βl<br />
(sin βx − sinh βx)<br />
sin βl − sinh βl<br />
cos βnl − cosh βnl<br />
sin βnl − sinh βnl<br />
<br />
<br />
(sin βnx − sinh βnx)<br />
yn(x, t) = Yn(x)fn(t) = Yn(x)(En cos ωnt + Fn sin ωnt) (19)<br />
Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare.<br />
Figura 4: Primo modo di vibrare.<br />
Figura 5: Secondo modo di vibrare.<br />
Figura 6: Terzo modo di vibrare.<br />
(17)<br />
(18)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 193<br />
Esercizio 3.8 - Cod. VIB-046<br />
Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della<br />
trave sotto riportata.<br />
Soluzione<br />
Indichiamo con:<br />
x<br />
l<br />
Figura 1<br />
EJ ρ A s<br />
y(x, t) lo spostamento verticale di una generica sezione della trave;<br />
ϕ(x, t) la rotazione di una generica sezione della trave;<br />
M(x, t) il momento flettente agente in una generica sezione della trave;<br />
T (x, t) la forza di taglio in una generica sezione della trave.<br />
Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:<br />
L’equazione delle vibrazioni trasversali è la seguente:<br />
ϕ<br />
w + + M T + T M<br />
Figura 2<br />
y(x, t) = Y (x)f(t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) (1)<br />
dove:<br />
β = 4<br />
<br />
ω2ϱAs EJ<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo incastrato (x = 0) sono:<br />
⎧<br />
⎨ y(0.t) = 0<br />
⎩ ϕ(0.t) = ∂y<br />
(0.t) = 0<br />
∂x<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo libero (x = l) sono invece:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0<br />
∂x2 T (l, t) = EJ ∂3y (l, t) = 0<br />
∂x3 Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali rispetto ad x (prima,<br />
seconda e terza) della funzione y(x, t):<br />
∂y<br />
(x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (5)<br />
∂x<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 (x, t) = β2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f(t) (6)<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)
194 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
∂ 3 y<br />
∂x 3 (x, t) = β3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (7)<br />
Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo<br />
opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A + C = 0<br />
B + D = 0<br />
−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0<br />
A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl = 0<br />
Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (8) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti<br />
equazioni, si perviene al seguente sistema:<br />
<br />
A(cos βl + cosh βl) + B(sin βl + sinh βl) = 0<br />
(9)<br />
A(sin βl − sinh βl) − B(cos βl + cosh βl) = 0<br />
Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sia nullo il determinante della matrice <strong>dei</strong><br />
coefficienti: <br />
(cos βl + cosh βl)<br />
(sin βl − sinh βl)<br />
<br />
(sin βl + sinh βl) <br />
<br />
−(cos βl + cosh βl) = 0 (10)<br />
Ponendo, per semplicità α = βl e sviluppando il determinante, si ricava, dopo semplici passaggi, l’equazione<br />
delle frequenze sotto riportata:<br />
1 + cos α cosh α = 0 (11)<br />
ovvero:<br />
cos α = − 1<br />
cosh α<br />
L’equazione (12), risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema<br />
in esame; la rappresentazione grafica <strong>dei</strong> due membri della (12) è riportata in Figura 3:<br />
α1 π α2 2π α3 0 π / 2<br />
3π / 2<br />
5π / 2<br />
Figura 3<br />
3π<br />
7π / 2 α<br />
Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con α1, α2 e α3 le prime tre soluzioni della (12): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
(8)<br />
(12)<br />
π<br />
2 < α1 < π α2 ∼ = 3<br />
2 π α3 ∼ = 5<br />
π (13)<br />
2
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 195<br />
La soluzione numerica della (12) fornisce i seguenti risultati:<br />
α1 = β1l = 1.875<br />
α2 = β2l = 4.694<br />
α3 = β3l = 7.854<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω:<br />
ωn = β 2 <br />
EJ<br />
n n = 1.2.3. . . . (15)<br />
ϱAs<br />
Per il calcolo <strong>dei</strong> modi principali di vibrare possiamo procedere come segue:<br />
• ricaviamo la costante B dalla seconda delle (9):<br />
B = A<br />
<br />
sin βl − sinh βl<br />
cos βl + cosh βl<br />
• riscriviamo l’espressione di Y (x) tenendo presente che C = −A e D = −B:<br />
• sostituiamo la (16) nella (17):<br />
Y (x) = A<br />
(14)<br />
(16)<br />
Y (x) = A(cos βx − cosh βx) + B(sin βx − sinh βx) (17)<br />
<br />
(cos βx − cosh βx) +<br />
Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare potremo quindi scrivere:<br />
Yn(x) = An<br />
<br />
(cos βnx − cosh βnx) +<br />
<br />
<br />
sin βl − sinh βl<br />
(sin βx − sinh βx)<br />
cos βl + cosh βl<br />
sin βnl − sinh βnl<br />
cos βnl + cosh βnl<br />
<br />
<br />
(sin βnx − sinh βnx)<br />
yn(x, t) = Yn(x)fn(t) = Yn(x)(En cos ωnt + Fn sin ωnt) (20)<br />
Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare.<br />
Figura 4: Primo modo di vibrare.<br />
Figura 5: Secondo modo di vibrare.<br />
Figura 6: Terzo modo di vibrare.<br />
(18)<br />
(19)
196 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.9 - Cod. VIB-047<br />
Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto<br />
riportata.<br />
Soluzione<br />
x<br />
l<br />
Figura 1<br />
EJ ρ A s<br />
Indichiamo con: Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:<br />
y(x, t) lo spostamento verticale di una generica sezione della trave;<br />
ϕ(x, t) la rotazione di una generica sezione della trave;<br />
M(x, t) il momento flettente agente in una generica sezione della trave;<br />
T (x, t) la forza di taglio in una generica sezione della trave.<br />
L’equazione delle vibrazioni trasversali è la seguente:<br />
ϕ<br />
w + + M T + T M<br />
Figura 2<br />
y(x, t) = Y (x)f(t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) (1)<br />
dove:<br />
β = 4<br />
<br />
ω2ϱAs EJ<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono:<br />
⎧<br />
⎨ y(0.t) = 0<br />
⎩ M(0.t) = EJ ∂2y (0.t) = 0<br />
∂x2 Analogamente, per l’estremo destro (x = l) si ha:<br />
⎧<br />
⎨ y(l, t) = 0<br />
⎩ M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0<br />
∂x2 Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo della derivata parziale seconda rispetto ad x della<br />
funzione y(x, t):<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 (x, t) = β2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f(t) (5)<br />
Utilizzando ora le equazioni (1) e (5) nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo opportune semplificazioni,<br />
il seguente sistema di equazioni:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A + C = 0<br />
−A + C = 0<br />
A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0<br />
−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(6)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 197<br />
Dalle prime due equazioni del sistema (6) si deduce che A = C = 0; le rimanenti equazioni possono quindi<br />
essere riscritte nella forma: <br />
B sin βl + D sinh βl = 0<br />
−B sin βl + D sinh βl = 0<br />
(7)<br />
Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sia nullo il determinante della matrice <strong>dei</strong><br />
coefficienti: <br />
sin βl<br />
− sin βl<br />
sinh βl<br />
sinh βl<br />
<br />
<br />
<br />
= 0 (8)<br />
Sviluppando il determinante e semplificando si ottiene:<br />
sin βl sinh βl = 0 (9)<br />
Poiché risulta sinh βl = 0 per βl = 0, la (11) dà luogo all’equazione delle frequenze sotto riportata:<br />
I valori di β che soddisfano la (10) sono:<br />
βn = nπ<br />
l<br />
sin βl = 0 (10)<br />
n = 1.2.3. . . . (11)<br />
Come si può notare, l’equazione delle frequenze risulta in questo caso particolarmente semplice: non è quindi<br />
necessario ricorrere a metodi numerici per la determinazione delle sue radici.<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω:<br />
ωn = β 2 <br />
EJ<br />
n n = 1.2.3. . . . (12)<br />
ϱAs<br />
Sommando membro a membro le due equazioni del sistema (7) si può immediatamente verificare che la costante<br />
D deve essere nulla; Poiché anche le costanti A e C risultano nulle, possiamo scrivere:<br />
Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare si ha pertanto:<br />
Y (x) = B sin βx (13)<br />
Yn(x) = Bn sin βnx (14)<br />
yn(x, t) = Yn(x)fn(t) = Yn(x)(En cos ωnt + Fn sin ωnt) (15)<br />
Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare.<br />
Figura 3: Primo modo di vibrare.<br />
Figura 4: Secondo modo di vibrare.<br />
Figura 5: Terzo modo di vibrare.
198 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.10 - Cod. VIB-048<br />
Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della<br />
trave sotto riportata.<br />
Dati<br />
x<br />
d<br />
l<br />
Figura 1<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ = 7800 kg/m 3<br />
• Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 20000 N/m<br />
Soluzione<br />
Indichiamo con:<br />
ρ E<br />
y(x, t) lo spostamento verticale di una generica sezione della trave;<br />
ϕ(x, t) la rotazione di una generica sezione della trave;<br />
M(x, t) il momento flettente agente in una generica sezione della trave;<br />
T (x, t) la forza di taglio in una generica sezione della trave.<br />
Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:<br />
L’equazione delle vibrazioni trasversali è la seguente:<br />
dove:<br />
ϕ<br />
w + + M T + T M<br />
Figura 2<br />
y(x, t) = Y (x)f(t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) (1)<br />
β = 4<br />
<br />
ω2ϱAs EJ<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono:<br />
⎧<br />
⎨ y(0.t) = 0<br />
⎩ ϕ(0.t) = ∂y<br />
(0.t) = 0<br />
∂x<br />
k<br />
(2)<br />
(3)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 199<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo destro (x = l) sono invece:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0<br />
∂x2 T (l, t) = EJ ∂3y (l, t) = ky(l, t)<br />
∂x3 Si osservi che la seconda delle (4) esprime la condizione di equilibrio delle forze agenti in corrispondenza dell’estremo<br />
destro della trave; tali forze, come risulta evidente dalla Figura 3, sono rappresentate dall’azione della<br />
molla k y(l, t) e dalla forza di taglio T (l, t).<br />
T(l,t) = EJ _______ ∂ w(l,t)<br />
∂x<br />
3<br />
3<br />
k w(l,t)<br />
Figura 3 Estremo destro della trave.<br />
Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali (prima, seconda e terza)<br />
rispetto ad x della funzione y(x, t):<br />
∂y<br />
(x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (5)<br />
∂x<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 (x, t) = β2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f(t) (6)<br />
∂ 3 y<br />
∂x 3 (x, t) = β3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (7)<br />
Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo<br />
opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A + C = 0<br />
B + D = 0<br />
−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0<br />
EJβ 3 (A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl) = k(A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl)<br />
Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (8) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti<br />
equazioni, si perviene al sistema:<br />
⎧<br />
⎨ A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0<br />
⎩<br />
α3 [A(sin α − sinh α) − B(cos α + cosh α)] = kl3<br />
[A(cos α − cosh α) + B(sin α − sinh α)]<br />
EJ<br />
dove si è posto, per semplicità di scrittura, α = βl.<br />
Definendo ora λ = kl3<br />
e riordinando i termini, il sistema (9) può essere riscritto nella forma:<br />
EJ<br />
<br />
A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0<br />
A[α3 (sin α − sinh α) − λ(cos α − cosh α)] − B[α3 (cos α + cosh α) + λ(sin α − sinh α)] = 0<br />
Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sia nullo il determinante della matrice <strong>dei</strong><br />
coefficienti:<br />
<br />
<br />
<br />
(cos α + cosh α) (sin α + sinh α)<br />
<br />
<br />
3 3 α (sin α − sinh α) − λ(cos α − cosh α) − α (cos α + cosh α) + λ(sin α − sinh α) = 0 (11)<br />
Sviluppando il determinante, si ricava, dopo alcuni passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata:<br />
(4)<br />
(8)<br />
(9)<br />
(10)<br />
λ cos α sinh α − α3 = α<br />
cosh α<br />
3 cos α + λ sin α (12)
200 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Tale equazione, risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema<br />
in esame; per risolvere la (12) occorre dapprima calcolare il valore del coefficiente λ, che risulta funzione di k<br />
(rigidezza della molla), l (lunghezza della trave), E (modulo di Young) e J (momento d’inerzia della sezione<br />
della trave rispetto all’asse neutro della flessione).<br />
Con i dati forniti dal problema si ottengono i seguenti valori:<br />
J = πd4<br />
64 = π × (20 × 10−3 ) 4<br />
= 7.854 × 10<br />
64<br />
−9 m 4<br />
λ = kl3<br />
EJ =<br />
(13)<br />
20000 × 13 206000 × 106 = 12.362 (14)<br />
× 7.854 × 10−9 La rappresentazione grafica <strong>dei</strong> due membri della (12) è riportata in Figura 4:<br />
300<br />
240<br />
180<br />
120<br />
60<br />
60<br />
α 1<br />
α 2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Figura 4<br />
Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con α1, α2 e α3 le prime tre soluzioni della (12): dal grafico sopra riportato si deduce che:<br />
La soluzione numerica fornisce i seguenti risultati:<br />
2 < α1 < 3 4 < α2 < 5 7 < α3 < 8 (15)<br />
α1 = β1l = 2.735<br />
α2 = β2l = 4.818<br />
α3 = β3l = 7.881<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω:<br />
ωn = β 2 <br />
EJ<br />
n<br />
ϱAs<br />
<br />
αn<br />
2<br />
= K<br />
l<br />
n = 1.2.3. . . . (17)<br />
avendo posto K = EJ/ϱAs.<br />
Con i dati assegnati l’area della sezione trasversale As e la costante K risultano rispettivamente:<br />
As = πd2<br />
4 = π × (20 × 10−3 ) 2<br />
= 3.142 × 10<br />
4<br />
−4 m 2<br />
<br />
EJ 2.06 × 1011 × 7.854 × 10−9 K = =<br />
ϱAs<br />
α 3<br />
10<br />
(16)<br />
(18)<br />
7800 × 3.142 × 10 −4 = 25.7 m 2 /s (19)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 201<br />
Le prime tre pulsazioni proprie assumono pertanto i valori sotto indicati:<br />
<br />
α1<br />
2 2.735<br />
ω1 = K = 25.7<br />
l<br />
1<br />
<br />
α2<br />
2 4.818<br />
ω2 = K = 25.7<br />
l<br />
1<br />
<br />
α3<br />
2 7.881<br />
ω3 = K = 25.7<br />
l<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 192 rad/s<br />
= 596 rad/s<br />
= 1596 rad/s<br />
(20)
202 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.11 - Cod. VIB-049<br />
Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della<br />
trave sotto riportata.<br />
Dati<br />
x<br />
d<br />
l<br />
Figura 1<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.8 m<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2<br />
• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ = 7800 kg/m 3<br />
• Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 25 mm<br />
• Massa applicata all’estremità destra dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M1 = 15 kg<br />
Soluzione<br />
Indichiamo con:<br />
ρ E<br />
y(x, t) lo spostamento verticale di una generica sezione della trave;<br />
ϕ(x, t) la rotazione di una generica sezione della trave;<br />
M(x, t) il momento flettente agente in una generica sezione della trave;<br />
T (x, t) la forza di taglio in una generica sezione della trave.<br />
Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2:<br />
L’equazione delle vibrazioni trasversali è la seguente:<br />
dove:<br />
ϕ<br />
w + + M T + T M<br />
Figura 2<br />
y(x, t) = Y (x)f(t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) (1)<br />
β = 4<br />
<br />
ω2ϱAs EJ<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono:<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
y(0.t) = 0<br />
ϕ(0.t) = ∂y<br />
(0.t) = 0<br />
∂x<br />
M1<br />
(2)<br />
(3)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 203<br />
Le condizioni al contorno relative all’estremo destro (x = l) sono invece:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0<br />
∂x2 T (l, t) = EJ ∂3y (l, t) = M1<br />
∂x3 ∂2y (l, t)<br />
∂t2 Si osservi che la seconda delle (4) esprime la condizione di equilibrio delle forze agenti in corrispondenza dell’<br />
estremo destro della trave; tali forze, come risulta evidente dalla Figura 3 sotto riportata, sono rappresentate<br />
dalla forza d’inerzia M1<br />
T(l,t) = EJ<br />
∂2y (l, t) generata dalla massa concentrata e dalla forza di taglio T (l, t).<br />
∂t2 ______ ∂ 3w(l,t)<br />
∂ x 3<br />
Figura 3<br />
F (l,t) =<br />
i<br />
M1<br />
∂_______ 2w(l,t)<br />
∂ t2<br />
Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali (prima, seconda e terza)<br />
rispetto ad x della funzione y(x, t):<br />
∂y<br />
(x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (5)<br />
∂x<br />
∂ 2 y<br />
∂x 2 (x, t) = β2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f(t) (6)<br />
∂ 3 y<br />
∂x 3 (x, t) = β3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (7)<br />
Le condizioni (3), relative all’estremo incastrato, forniscono le seguenti equazioni:<br />
La prima delle (4) dà luogo all’equazione:<br />
A + C = 0<br />
B + D = 0<br />
⇒<br />
C = −A<br />
D = −B<br />
−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 (9)<br />
La seconda delle (4) richiede alcune considerazioni preliminari, Poiché contiene una derivata parziale calcolata<br />
rispetto al tempo; ricordando che y(x, t) = Y (x)f(t) e che f(t) = E cos ωt + F sin ωt, si può scrivere:<br />
∂ 3 y(x, t)<br />
∂x 3<br />
(4)<br />
(8)<br />
= d3Y (x)<br />
f(t) (10)<br />
dx3 ∂2y(x, t)<br />
∂t2 = Y (x) d2f(t) dt2 = −ω2Y (x)f(t) (11)<br />
Semplificando il termine f(t), presente in ambo i membri dell’equazione, la seconda delle (4) diviene:<br />
ovvero:<br />
EJ d3 Y (l)<br />
dx 3 = −M1ω 2 Y (l) (12)<br />
β 3 (A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl) = − M1<br />
EJ ω2 (A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) (13)<br />
Risolvendo la (2) rispetto ad ω 2 si ha:<br />
ω 2 4 EJ<br />
= β<br />
ϱAs<br />
(14)
204 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Sostituendo nella (13) l’espressione di ω 2 fornita dalla (14) e semplificando opportunamente si ottiene:<br />
A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl = − M1β<br />
(A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) (15)<br />
ϱAs<br />
Per semplicità possiamo porre α = βl e riscrivere la (15) nella forma seguente:<br />
A sin α − B cos α + C sinh α + D cosh α = − M1<br />
α(A cos α + B sin α + C cosh α + D sinh α) (16)<br />
ϱAsl<br />
Si osservi che il termine M1<br />
che compare al secondo membro dell’equazione rappresenta il rapporto fra il<br />
ϱAsl<br />
valore della massa M1, applicata all’estremo libero, ed il valore della massa propria della trave m = ϱAsl; posto<br />
λ = M1/m e tenendo conto delle relazioni (8), le equazioni (9) e (16) assumono la forma sotto riportata:<br />
<br />
A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0<br />
(17)<br />
A[(sin α − sinh α) + λα(cos α − cosh α)] − B[(cos α + cosh α) − λα(sin α − sinh α)] = 0<br />
Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sfa nullo il determinante della matrice <strong>dei</strong><br />
coefficienti:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(cos α + cosh α) (sin α + sinh α)<br />
<br />
<br />
[(sin α − sinh α) + λα(cos α − cosh α)] − [(cos α + cosh α) − λα(sin α − sinh α)] = 0 (18)<br />
Sviluppando il determinante si ricava, dopo alcuni passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata:<br />
1 + λα cos α sinh α<br />
cosh α<br />
= λα sin α − cos α (19)<br />
Tale equazione, risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema<br />
in esame; per risolvere la (19) occorre dapprima calcolare il valore del coefficiente λ, che risulta funzione di<br />
M1 (massa concentrata), ϱ (densità del materiale costituente la trave), As (area della sezione trasversale della<br />
trave), ed l (lunghezza della trave).<br />
Con i dati forniti dal problema si ottengono i valori sotto riportati:<br />
As = πd2<br />
4 = π × (25 × 10−3 ) 2<br />
= 4.909 × 10<br />
4<br />
−4 m 2<br />
(20)<br />
m = ϱAsl = 7800 × 4.909 × 10 −4 × 0.8 = 3.063 kg (21)<br />
λ = M1<br />
m<br />
15<br />
= = 4.897 (22)<br />
3.063<br />
La rappresentazione grafica <strong>dei</strong> due membri della (19) è riportata in Figura 4:<br />
Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo.<br />
Indichiamo con α1, α2 e α3 le prime tre soluzioni della (19): dal grafico si deduce che:<br />
La soluzione numerica fornisce i seguenti risultati:<br />
α1 ∼ = 1 α2 ∼ = 4 α3 ∼ = 7 (23)<br />
α1 = β1l = 0.874<br />
α2 = β2l = 3.950<br />
α3 = β3l = 7.083<br />
Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (2) rispetto ad ω:<br />
ωn = β 2 <br />
EJ<br />
n<br />
ϱAs<br />
<br />
αn<br />
2<br />
= K<br />
l<br />
n = 1.2.3. . . . (25)<br />
avendo posto K = EJ/ϱAs.<br />
(24)
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 205<br />
40<br />
20<br />
20<br />
40<br />
α 1<br />
α 2<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Figura 4<br />
Con i dati assegnati il momento d’inerzia J e la costante K risultano rispettivamente:<br />
J = πd4<br />
64 = π × (25 × 10−3 ) 4<br />
= 1.917 × 10<br />
64<br />
−8 m 4<br />
<br />
EJ 2.06 × 1011 × 1.917 × 10−8 K = =<br />
ϱAs<br />
α 3<br />
(26)<br />
7800 × 4.909 × 10 −4 = 32.12 m 2 /s (27)<br />
Le prime tre pulsazioni proprie assumono pertanto i valori sotto indicati:<br />
<br />
α1<br />
2<br />
2<br />
0.874<br />
ω1 = K = 32.12 = 38.4 rad/s<br />
l<br />
0.8<br />
<br />
α2<br />
2<br />
2<br />
3.950<br />
ω2 = K = 32.12 = 783.2 rad/s<br />
l<br />
0.8<br />
<br />
α3<br />
2<br />
2<br />
7.083<br />
ω3 = K = 32.12 = 2517.7 rad/s<br />
l<br />
0.8<br />
Se avessimo trascurato la massa distribuita con continuità lungo l’asta, avremmo ottenuto un semplice modello<br />
ad un grado di libertà del tipo indicato in Figura 5:<br />
M1<br />
k eq<br />
Figura 5<br />
La costante elastica keq è data dalla rigidezza flessionale della trave a mensola:<br />
keq = 3EJ<br />
l 3 = 3 × 2.06 × 1011 × 1.917 × 10 −8<br />
0.8 3 = 23144 N/m (29)<br />
(28)
206 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
La pulsazione propria vale quindi:<br />
ω ∗ =<br />
ω1<br />
keq<br />
M1<br />
<br />
23144<br />
= = 39.3 rad/s (30)<br />
15<br />
Come si può notare, il valore della pulsazione propria calcolato mediante il modello approssimato risulta molto<br />
vicino al valore della prima pulsazione propria del modello a parametri distribuiti; ciò è dovuto al fatto che<br />
la massa della trave è piccola rispetto alla massa concentrata nell’estremo libero (λ = M1/m ∼ = 5); l’errore<br />
percentuale ∆% che si commette utilizzando il modello semplificato vale:<br />
<br />
∗ ω − ω1<br />
39.3 − 38.4<br />
∆% =<br />
× 100 =<br />
× 100 = 2.38% (31)<br />
38.4<br />
Chiaramente, l’impiego del modello semplificato (ad un solo grado di libertà) non consente di ricavare le altre<br />
pulsazioni proprie del sistema.
Esercizi proposti
208 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.12 - Cod. VIB-058<br />
d<br />
m 2m<br />
l<br />
Il sistema vibrante rappresentato in figura è costituito da due masse collocate alle estremità di una barra di<br />
acciaio scorrevole senza attrito su due supporti.<br />
a) Nell’ipotesi che la barra abbia massa trascurabile, si calcolino le frequenze proprie relative alle vibrazioni<br />
assiali del sistema.<br />
b) Supponendo che la massa della barra non sia trascurabile, si imposti il procedimento di calcolo che permette<br />
di determinare le frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali.<br />
Dati<br />
• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m 2m<br />
• Lunghezza della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l<br />
• Diametro della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d<br />
• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ϱ
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 209<br />
Esercizio 3.13 - Cod. VIB-065<br />
M<br />
E, A, ρρρρ<br />
Si ricavi l’equazione delle frequenze relativa alle vibrazioni assiali dell’asta rappresentata in figura.<br />
l<br />
k
210 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.14 - Cod. VIB-071<br />
J1<br />
d<br />
L<br />
J2<br />
k<br />
R<br />
k k<br />
Si imposti il calcolo delle pulsazioni proprie relative alle vibrazioni torsionali del sistema in figura, nell’ipotesi<br />
che la massa dell’albero che collega i due dischi non sia trascurabile.<br />
Dati<br />
• Momento d’inerzia del disco all’estremità sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1<br />
• Momento d’inerzia del disco all’estremità destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2<br />
• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k<br />
• Raggio di avvolgimento delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R<br />
• Modulo elastico tangenziale del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G<br />
• Densità del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ<br />
• Lunghezza dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L<br />
• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 211<br />
Esercizio 3.15 - Cod. VIB-085<br />
E I ρρρρ A<br />
l/4<br />
M, J<br />
l/4<br />
k<br />
Si considerino le vibrazioni flessionali della trave elastica rappresentata in figura e si imposti il calcolo che<br />
permette di ricavare le pulsazioni proprie del sistema (scrittura delle condizioni al contorno relative ad ogni<br />
tronco).<br />
Dati<br />
• Massa del corpo rigido fissato alla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M<br />
• Momento d’inerzia baricentrico del corpo rigido fissato alla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J<br />
• Densità del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I<br />
• Area della sezione trasversale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
l/2
212 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.16 - Cod. VIB-087<br />
l/2<br />
k<br />
m<br />
l/2<br />
ρA<br />
EI<br />
Si consideri il sistema in figura, costituito da una trave montata su due supporti, sulla quale è fissata una<br />
massa m, vincolata a terra mediante una molla di rigidezza k.<br />
Domande<br />
1. Si supponga in prima approssimazione che la massa della trave sia trascurabile rispetto alla massa concentrata<br />
m e si calcoli la pulsazione propria del sistema.<br />
2. Si consideri ora il caso in cui la massa della trave non sia trascurabile e si imposti il calcolo che permette di<br />
determinare le pulsazioni proprie del sistema.<br />
Dati<br />
• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
• Densità del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ<br />
• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E<br />
• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I<br />
• Area della sezione trasversale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A<br />
• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 213<br />
Esercizio 3.17 - Cod. VIB-092<br />
x<br />
l<br />
Si imposti il calcolo delle pulsazioni proprie relative alle vibrazioni assiali del sistema in figura, nell’ipotesi che<br />
la massa dell’asta non sia trascurabile.<br />
Dati<br />
• Massa fissata all’estremità destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M<br />
• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k<br />
• Modulo di Young del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E<br />
• Densità del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ<br />
• Lunghezza dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L<br />
• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d<br />
M<br />
k
214 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008<br />
Esercizio 3.18 - Cod. VIB-097<br />
E ρρρρ<br />
Supponendo di conoscere la distribuzione degli spostamenti assiali u0(x) e la distribuzione delle velocità ˙u0(x)<br />
per una trave incastro-estremo libero, determinare l’espressione analitica delle vibrazioni u(x, t).<br />
Dati<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l<br />
• Modulo di Young del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E<br />
• Densità del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ<br />
l
Parte IV - Vibrazioni di <strong>sistemi</strong> continui - Rev. 8 ottobre 2008 215<br />
Esercizio 3.19 - Cod. VIB-098<br />
EA ρρρρ<br />
l<br />
Un’asta avente sezione trasversale di area costante A, densità ϱ, modulo elastico E e lunghezza l è fissata ad<br />
una estremità ed è libera all’altra. L’asta è soggetta ad una forza assiale F0 applicata al suo estremo libero,<br />
come mostrato in figura.<br />
Studiare le vibrazioni assiali che si manifestano nell’asta quando la forza F0 viene improvvisamente rimossa.<br />
Dati<br />
• Area della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A<br />
• Densità del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ<br />
• Modulo di Young del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E<br />
• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l<br />
• Forza applicata all’estremo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0<br />
δδδδ0<br />
F0
Questo testo è stato composto dall’autore con l’ausilio del programma L ATEX