Dinamica dei sistemi vibranti

Giovanni Incerti 

Università degli Studi di Brescia 

Facoltà di Ingegneria 

Dinamica dei sistemi vibranti 

Esercizi 

Dispensa fuori commercio 

ad uso degli studenti dei corsi di: 

Fondamenti di Vibrazioni Meccaniche, Complementi di Vibrazioni 

e Controllo delle Vibrazioni 

f 

Rev. 8 ottobre 2008

Giovanni Incerti 

Università degli Studi di Brescia 

Facoltà di Ingegneria 

Dinamica dei sistemi vibranti 

Esercizi 

Dispensa fuori commercio 

ad uso degli studenti dei corsi di: 

Fondamenti di Vibrazioni Meccaniche, Complementi di Vibrazioni 

e Controllo delle Vibrazioni 

Rev. 8 ottobre 2008

Indice 

I Vibrazioni di sistemi ad un grado di libertà 4 

II Vibrazioni di sistemi a più gradi di libertà 77 

III Vibrazioni di sistemi continui 166 

1

Prefazione 

Il presente testo contiene una raccolta di esercizi riguardanti la teoria elementare delle vibrazioni meccaniche. 

Il materiale didattico è stato raggruppato nelle parti sotto elencate: 

• Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libertà: si analizzano sistemi lineari ad un grado di libertà, con 

particolare riferimento ai casi di moto libero e di moto soggetto all’azione di una forzante armonica. 

• Parte II - Vibrazioni di sistemi a più gradi di libertà: si affronta il problema delle vibrazioni di sistemi 

lineari a molti gradi di libertà, ponendo particolare attenzione al calcolo delle pulsazioni proprie e dei modi 

principali di vibrare; vengono inoltre presentati alcuni esempi di studio del moto a regime in presenza di 

forzante armonica. 

• Parte III - Vibrazioni di sistemi continui: si effettua il calcolo delle pulsazioni proprie e dei modi principali 

di vibrare per sistemi con massa ed elasticità distribuite. 

Come si potrà facilmente verificare, la deduzione delle equazioni di moto può essere effettuata sia mediante il 

metodo degli equilibri dinamici, sia mediante l’approccio energetico (conservazione dell’energia, equazioni di 

Lagrange); pertanto, al fine di acquisire maggiore familiarità con le tecniche di calcolo, si suggerisce al lettore 

di risolvere uno stesso problema con metodi diversi: in tal modo egli potrà individuare, per ciascun caso, 

l’approccio più conveniente alla risoluzione del problema. 

Concludo questa premessa con la speranza che la presente raccolta di esercizi possa essere di valido aiuto a tutti 

coloro che si accingono ad affrontare lo studio della teoria elementare delle vibrazioni meccaniche. Ringrazio 

anticipatamente tutti coloro che vorranno comunicarmi i loro suggerimenti al fine di migliorare le edizioni future 

del testo ed auguro a tutti buon lavoro. 

L’Autore

Parte I 

Vibrazioni di sistemi 

ad un grado di libertà

Parte I - Vibrazioni di sistemi ad un grado di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 5 

Esercizio 1.1 - Cod. VIB-001 

Determinare la pulsazione propria dell’oscillatore armonico rappresentato in Figura 1, dotato di molla avente 

massa non trascurabile. 

Dati 

mm 

k 

l 

Figura 1 

• Massa dell’oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M 

• Massa della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .mm 

• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k 

• Lunghezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 

Soluzione 

Indichiamo con l la lunghezza totale della molla e con y la distanza dal punto di ancoraggio di un elemento 

infinitesimo della molla di lunghezza pari a dy (vedi Figura 2). 

v(y) 

y 

dy 

l 

x 

Figura 2 

L’estremo sinistro della molla è fissato a terra e pertanto il suo spostamento e la sua velocità sono nulli; al 

contrario, l’estremo destro della molla è fissato alla massa M e quindi avrà spostamento e velocità pari a quelli 

di tale massa (x ed ˙x rispettivamente); supponendo che la velocità vari linearmente lungo la molla, possiamo 

ricavare immediatamente la velocità v(y) dell’elemento infinitesimo dy: 

M 

M 

x 

x 

v(y) = ˙x 

y (1) 

l 

Se la massa della molla è uniformemente distribuita, la massa dm dell’elemento infinitesimo vale: 

La sua energia cinetica vale pertanto: 

dm = mm 

l 

dy (2) 

dTm(y) = 1 

2 dm [v(y)]2 = 1 

 

mm ˙x 

2 l l y 

2 dy (3)

6 G. Incerti - Rev. 8 ottobre 2008 

Integrando lungo y da 0 al l si ottiene l’energia cinetica associata all’intera molla: 

Tm = 

l 

0 

 

1 mm ˙x 

2 l l y 

2 L’energia cinetica complessiva risulta quindi: 

dy = 1 mm 

˙x2 

2 l3 l 

0 

y 2 dy = 1 mm 

2 3 ˙x2 

T = 1 

2 M ˙x2 + 1 mm 

2 3 ˙x2 = 1 

 

M + 

2 

mm 

 

˙x 

3 

2 

L’energia potenziale del sistema si calcola immediatamente con la relazione: 

V = 1 

2 kx2 

Per determinare la pulsazione propria applichiamo il metodo energetico di Rayleigh, in base al quale è possibile 

affermare che, per un sistema conservativo, il valore dell’energia cinetica massima uguaglia quello dell’energia 

potenziale massima: 

(7) 

Tmax = Vmax 

Poiché il sistema si muove di moto armonico con pulsazione ω, possiamo scrivere: 

x(t) = X sin ωt 

˙x(t) = ωX cos ωt 

⇒ 

xmax = X 

˙xmax = ωX 

L’energia cinetica massima e l’energia potenziale massima assumono pertanto le espressioni seguenti: 

Tmax = 1 

 

2 

M + mm 

3 

 

X 2 ω 2 

Vmax = 1 

2 kX2 

Sostituendo nella (7) le equazioni (9) si ottiene con semplici passaggi, il valore della pulsazione propria del 

sistema: 

 

 

 

ω = 

k 

M + mm 

3 

(10) 

(4) 

(5) 

(6) 

(8) 

(9)



Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 si chiede di: 

• scrivere l’equazione di moto e calcolare la pulsazione propria; 

• determinare la legge di moto, essendo note le condizioni iniziali: 

x(0) = x0 ˙x(0) = 0 

dove x indica lo spostamento del baricentro del rullo rispetto alla posizione di equilibrio statico. 

• determinare il minimo valore del coefficiente di aderenza fra rullo e terreno che garantisce il non slittamento 

del rullo stesso. 

Dati 

k 

Figura 1 

• Massa del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG 


• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R 

• Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(0) = x0 ˙x(0) = 0 

Soluzione 

L’equazione di moto del sistema verrà ricavata utilizzando sia il metodo degli equilibri dinamici sia il metodo 

energetico. 

Metodo degli equilibri dinamici 

Per risolvere il problema con il metodo degli equilibri dinamici occorre in primo luogo disegnare il diagramma 

di corpo libero del sistema rullo-carrello, mettendo in evidenza le forze che agiscono durante il moto. 

La coppia d’inerzia sul rullo vale Ci = JG ¨ ϑ , dove ϑ indica la rotazione del rullo stesso; se si ipotizza l’assenza 

di strisciamento fra rullo e terreno, è possibile correlare lo spostamento x del baricentro e la rotazione ϑ tramite 

la relazione: 

x = Rϑ (1) 

A questo punto si possono scrivere le seguenti tre equazioni di equilibrio dinamico: 

Equilibrio alla traslazione verticale per l’intero sistema: 

Equilibrio alla traslazione orizzontale per l’intero sistema: 

x 

R 

ΦN = (m1 + m2)g (2) 

(m1 + m2)¨x + kx + ΦT = 0 (3) 

m 

2 

, 

J G 

m1


kx 

( 1 2 + 

m m ) x 

Φ N 

Figura 2 

JGϑ 

Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro per il solo rullo: 

( 1 2 + 

m m ) g 

Da quest’ultima equazione si può ricavare l’espressione della forza ΦT : 

ΦT 

ΦT R − JG ¨ ϑ = 0 (4) 

ΦT = JG 

R ¨ ϑ = JG 

¨x (5) 

R2 Sostituendo ora il valore di ΦT così calcolato nell’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale, si perviene 

all’equazione di moto: 

m1 + m2 + JG 

R2 

¨x + kx = 0 (6) 

La pulsazione propria del sistema risulta quindi: 

 

 

ω = 

k 

 

m1 + m2 + JG 

R2 dove meq = m1 + m2 + JG/R 2 rappresenta la massa equivalente del sistema. 

Metodo energetico 

La risoluzione con il metodo energetico consiste nell’esprimere la conservazione dell’energia meccanica totale 

(cinetica e potenziale) del sistema. Poiché sono verificate le seguenti ipotesi: 

• assenza di forzanti esterne; 

• assenza di attriti nel perno di collegamento del rullo al carrello; 

• sistema soggetto a vincoli non dissipativi (fra il rullo ed il terreno vi è un vincolo di puro rotolamento, 

mantenuto tramite attrito statico); 

l’energia totale del sistema si mantiene costante, quindi: 

T + V = cost. ⇒ 

= 

 

k 

meq 

(7) 

d 

(T + V ) = 0 (8) 

dt 

Esprimendo l’energia cinetica e potenziale in funzione della coordinata libera x otteniamo: 

T = 1 

2 (m1 ˙x 2 + m2 ˙x 2 + JG ˙ ϑ 2 ) = 1 

 

m1 + m2 + 

2 

JG 

R2 

˙x 2 

V = 1 

2 kx2 

Derivando ora rispetto al tempo l’energia totale si ha: 

(10) 

 

d 

(T + V ) = ˙x m1 + m2 + 

dt JG 

R2 

¨x + kx = 0 (11) 

(9)


da cui,essendo ˙x = 0 , si ricava nuovamente l’equazione di moto 

 

m1 + m2 + JG 

R2 

¨x + kx = 0 (12) 

Risoluzione dell’equazione di moto 

L’equazione di moto ottenuta è un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti; essa descrive 

le vibrazioni libere del sistema la sua soluzione è del tipo: 

x(t) = A cos ωt + B sin ωt (13) 

dove A e B rappresentano due opportune costanti. 

Derivando la soluzione x(t) si ha: 

˙x(t) = −ωA sin ωt + ωB cos ωt (14) 

Come è noto, le costanti A e B si determinano imponendo le condizioni iniziali assegnate dal testo: 

Dalla prima condizione si ricava: 

mentre dalla seconda si ottiene: 

Pertanto la legge di moto è espressa dall’equazione: 

x(0) = x0 ˙x(0) = 0 (15) 

x(0) = A = x0 

(16) 

˙x(0)ωB = 0 B = 0 (17) 

x(t) = x0 cos ωt (18) 

Calcolo del minimo valore del coefficiente di aderenza che impedisce lo slittamento 

del rullo 

Affinché non vi sia slittamento fra rullo e terreno deve essere verificata la disequazione di Coulomb: 

 

ΦT 

µ ≥ 

 

dove µ indica il coefficiente di aderenza (o di attrito statico) fra rullo e terreno. 

La reazione normale ΦN rimane costante nel tempo ed il suo valore è pari al peso del sistema rullo-carrello; al 

contrario, la reazione tangenziale ΦT varia nel tempo secondo la legge: 

ΦN 

(19) 

ΦT (t) = JG 

¨x(t) = −JG 

R2 R2 ω2x0 cos ωt (20) 

La condizione più sfavorevole per lo slittamento si verifica quando il modulo della forza tangenziale raggiunge 

il suo valore massimo: 

Quindi dovrà risultare: 

 

 

µ ≥ 

 

ΦT max 

ΦN 

ΦT max = JG 

R 2 ω2 x0 

 

 

 

= 

JG 

R2 ω2x0 = µmin 

(22) 

(m1 + m2)g 

(21)



Il pendolo semplice in Figura 1 è incernierato nel punto O; a tale punto viene impresso un moto orizzontale con 

legge x(t) = X sin Ωt; determinare: 

1. lo spostamento angolare ϑ(t) del pendolo per Ω/ω > 1 e per Ω/ω < 1 (ω indica la pulsazione propria del 

pendolo); 

2. la forza richiesta per imprimere il moto orizzontale al punto O. 

Dati 

Figura 1 

• Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m 

• Lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 

• Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 

• Pulsazione dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω 

Soluzione 

1. Calcolo dello spostamento angolare ϑ(t) 

Per risolvere il problema assegnato occorre in primo luogo mettere in evidenza le forze agenti sul sistema 

durante il moto (vedi Figura 2). Si osservi che la forza d’inerzia agente sulla massa m è stata scomposta nelle 

sue componenti generate dal moto di trascinamento (traslatorio in direzione orizzontale) e dal moto relativo 

(rotatorio attorno al punto O). 

Per l’equilibrio dinamico alla rotazione attorno al punto O possiamo scrivere: 

x(t) 

O 

ϑ 

m 

m¨xL cos ϑ + mL 2 ¨ ϑ + mgL sin ϑ = 0 (1) 

Se si ritiene valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ, cos ϑ ∼ = 1), 

si ottiene, con semplici passaggi: 

¨ϑ + g ¨x 

ϑ = − (2) 

L L 

ovvero, essendo ¨x = −Ω 2 X sin Ωt: 

¨ϑ + g 

L ϑ = Ω2X sin Ωt (3) 

L 

L


Fx 

La pulsazione propria del sistema risulta pertanto: 

Figura 2 

ω = 

g 

L 

x(t) 

mLϑ 

ϑ 

O 

mx 

mg 

2 

mLϑ 

Poiché il sistema in esame è lineare (nell’ipotesi di piccole oscillazioni) ed è eccitato da una forzante armonica di 

pulsazione Ω, il moto a regime risulterà ancora armonico, con pulsazione uguale a quella della forzante; quindi, 

indicando con ϑ(t) la soluzione a regime, si può scrivere: 

ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ) (5) 

Non essendo presenti elementi smorzanti nel sistema, lo sfasamento ϕ è nullo per per Ω/ω < 1 mentre vale π 

radianti per Ω/ω > 1. 

L’ampiezza delle oscillazioni a regime si calcola sostituendo la funzione ϑ(t) e la sua derivata seconda nell’equazione 

di moto e risolvendo il tutto rispetto a Θ; dopo semplici passaggi si ottiene: 

In definitiva si ha: 

2 X Ω 

L ω 

Θ = 

 

2 

Ω 

 

1 

− 

ω 

⎧ 

⎪⎨ 

2 X Ω 

L ω 

⎛ 

1−⎝ 

ϑ(t) = 

⎪⎩ 

Ω 

⎞2 

sin Ωt 

⎠ 

ω 

per Ω 

< 1 

ω 

2 X Ω 

L ω 

 

 

 

 

 

1− 

⎛ 

⎝ Ω 

⎞2 

⎠ 

ω 

sin(Ωt − π) 

 

per Ω 

> 1 

ω 

Nel diagramma seguente è riportato l’andamento dell’ampiezza di vibrazione adimensionalizzata ΘL/X in 

funzione del rapporto di frequenza Ω/ω; si osserva che, avendo trascurato lo smorzamento, l’ampiezza delle 

vibrazioni tende all’infinito in condizioni di risonanza (Ω/ω = 1). 

(4) 

(6) 

(7)


ΘL 

X 

, 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 

Ω/ω 

Figura 3 

2. Calcolo della forza richiesta per imprimere il moto orizzontale al punto O 

Indicando con Fx la forza incognita, l’equilibrio alla traslazione orizzontale per l’intero sistema (asta orizzontale 

+ pendolo) fornisce l’equazione seguente: 

Per piccole oscillazioni si ha: 

Fx + m¨x + mL ¨ ϑ cos ϑ − mL ˙ ϑ 2 sin ϑ = 0 (8) 

Fx + m¨x + mL ¨ ϑ − mL ˙ ϑ 2 ϑ = 0 (9) 

Trascurando, per semplicità, l’ultimo termine al primo membro e risolvendo rispetto ad Fx si ottiene: 

Dall’equazione di moto risulta: 

Per cui: 

Fx = −(m¨x + mL ¨ ϑ) (10) 

mgϑ = −(m¨x + mL ¨ ϑ) (11) 

⎧ 2 X Ω 

L ω 

mg ⎛ 

1−⎝ 

⎪⎨ 

Fx = mg ϑ(t) = 

⎪⎩ 

Ω 

⎞2 

sin Ωt 

⎠ 

ω 

per Ω 

< 1 

ω 

2 X Ω 

L ω 

mg 

 

 

 

 

1− 

⎛ 

⎝ Ω 

⎞2 

⎠ 

ω 

sin(Ωt − π) 

 

per Ω 

> 1 

ω 

(12)



Nel sistema in Figura 1, collocato in un piano verticale, l’asta scorrevole all’interno del manicotto si muove nella 

direzione indicata con legge armonica y(t) = Y sin Ωt. 

Scrivere l’espressione analitica del moto a regime e determinarne l’ampiezza e la fase, assumendo l’ipotesi di 

piccole oscillazioni dell’asta AB attorno al punto O. 

Nota. Per semplicità si supponga che l’asta AB (di massa trascurabile) sia in equilibrio statico in posizione 

orizzontale, con y = 0 e con la molla che esercita un tiro Ts. 

Dati 

A 

k 

a 

O 

y(t) 

Figura 1 

• Lunghezza dei bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.2 m b = 0.3 m 

• Massa concentrata nell’estremo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg 

• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 500 N/m 

• Pulsazione del movimento armonico dell’asta scorrevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 40 rad/s 

• Ampiezza del movimento armonico dell’asta scorrevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 10 mm 

Soluzione 

Il testo afferma che la posizione di equilibrio del sistema si ha per ϑ = 0, con y = 0 e con la molla che esercita 

un tiro Ts (vedi Figura 2). Pertanto dovrà essere verificata la relazione: 

da cui: 

A 

a 

O 

Ts mg 

b 

b 

ϑ 

B 

m 

Segni di riferimento 

coincidenti 

Figura 2 

B 

( y = 

Tsa = mgb (1) 

Ts = mg b 

= 29.43 N (2) 

a 

0)


L’allungamento statico δst della molla all’equilibrio risulta: 

δst = Ts 

k 

= 0.058 m = 58 mm (3) 

Per ricavare l’equazione di moto occorre disegnare il sistema in una generica posizione, mettendo in evidenza le 

forze agenti su di esso durante il movimento. 

a sin ϑ 

a 

O 

T = k ∆l 

y(t) 

Figura 3 

b 

ϑ mg 

my 

mbϑ 

2 

mbϑ 

b sin ϑ 

Si osservi che la forza d’inerzia agente sulla massa m è stata scomposta nelle sue componenti generate dal moto 

di trascinamento (traslatorio in direzione verticale) e dal moto relativo (rotatorio attorno al punto O). 

L’allungamento totale ∆l della molla vale: 

e la corrispondente forza elastica: 

∆l = δst + y − a sin ϑ (4) 

T = k∆l = k(δst + y − a sin ϑ) = Ts + k(y − a sin ϑ) (5) 

L’equilibrio dinamico alla rotazione attorno al punto O fornisce la seguente equazione: 

(mb ¨ ϑ)b + (mg + mÿ)b cos ϑ − T a cos ϑ = 0 (6) 

Sostituendo in tale equazione il valore della forza elastica T precedentemente calcolata e ritenendo valida l’ipotesi 

di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ, cos ϑ ∼ = 1), si perviene con semplici 

passaggi alla seguente equazione: 

¨ϑ + ka2 ka 1 

ϑ = y − ÿ (7) 

mb2 mb2 b 

Poiché il moto dell’asta verticale scorrevole y(t) è di tipo armonico si può scrivere: 

y(t) = Y sin Ωt 

ÿ(t) = −Ω 2 Y sin Ωt 

Pertanto l’equazione di moto può essere riscritta nella forma: 

La pulsazione propria del sistema risulta: 

La soluzione a regime vale: 

¨ϑ + ka2 

ϑ = 

mb2 

kaY 

mb2 + Ω2Y b 

(8) 

 

sin Ωt (9) 

ω = a 

 

k 

= 10.54 rad/s (10) 

b m 

ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ) (11) 

Poiché nel sistema non compaiono elementi smorzanti, lo sfasamento ϕ è nullo per Ω/ω < 1, mentre vale π 

radianti per Ω/ω > 1; nel nostro caso: 

Ω/ω = 3.795 > 1 ⇒ ϕ = π (12)


L’ampiezza delle oscillazioni a regime si ricava, come è noto, sostituendo la funzione ϑ(t) e la sua derivata 

seconda nell’equazione di moto, semplificando i termini sinusoidali e risolvendo il tutto rispetto a Θ; dopo 

semplici passaggi si ottiene: 

2 1 1 Ω 

+ 

a b ω 

Θ = 

 

2 

Ω 

 

Y = 0.0396 rad = 2.27 

1 

− 

ω 

◦ 

(13) 

Come si può osservare, l’ampiezza delle vibrazioni a regime è dell’ordine di qualche grado: è quindi verificata 

l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio. L’espressione del moto a regime risulta, 

in definitiva: 

ϑ(t) = 0.0396 sin(40t − π) (14) 

dove t è espresso in secondi e ϑ in radianti.



Per il sistema in Figura 1 determinare: 

1. la pulsazione propria; 

2. l’ampiezza delle oscillazioni a regime, quando alla puleggia viene applicata una coppia variabile nel tempo 

secondo la legge Cm = C0 sin Ωt. 

Nota. Si ritenga trascurabile l’attrito fra il corpo di massa m ed il piano inclinato. 

Dati 

k 

JO 

Cm 

r R 

O 

k 

Figura 1 

• Massa del carico trascinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 15 kg 

• Momento d’inerzia del gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J0 = 1 kg m 2 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 40 kN/m 

• Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 0.2 m 

• Raggio del tamburo di avvolgimento della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.1 m 

• Pendenza del piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α = 20 ◦ 

• Ampiezza della coppia applicata al gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 400 Nm 

• Pulsazione della coppia applicata al gruppo puleggia-tamburo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s 

Soluzione 

Poiché la fune è inestensibile, il sistema ha un solo grado di libertà; per descrivere il moto utilizziamo come 

coordinata libera la rotazione ϑ del tamburo (positiva antioraria), misurata a partire dalla posizione di equilibrio 

statico; in corrispondenza di tale rotazione la massa m trasla lungo il piano inclinato di una quantità x = rϑ. 

Le forze agenti sul sistema durante il moto libero (cioè in assenza della coppia forzante Cm) sono evidenziate 

nella Figura 2, nella quale si è indicata con il simbolo δ la deformazione statica subita dalle molle per effetto 

della forza peso. 

Da semplici considerazioni di equilibrio si ricava per tale deformazione il valore: 

δ = 

Le equazioni di equilibrio dinamico sono le seguenti: 

mgr sin α 

2kR 

m 

α 

(1)


JOϑ 

O 

k( 

Rϑ 

+ δ) 

ϑ 

k( 

Rϑ 

+ δ) 

T 

Figura 2 

• Equilibrio alla rotazione attorno ad O per il tamburo: 

• Equilibrio alla traslazione della massa m lungo il piano inclinato: 

T 

mx 

x 

N mg α 

JO ¨ ϑ + 2Rk(Rϑ + δ) − T r = 0 (2) 

m¨x + T − mg sin α = 0 (3) 

Da quest’ultima equazione è possibile ricavare il valore della tensione T della fune: 

T = m(g sin α − ¨x) = m(g sin α − r ¨ ϑ) (4) 

Sostituendo il valore di T fornito dalla (4) nell’equazione (2) e tenendo conto della (1) si ottiene l’equazione di 

moto relativa alle vibrazioni libere del sistema: 

(JO + mr 2 ) ¨ ϑ + 2kR 2 ϑ = 0 (5) 

Come si può notare, avendo assunto come origine per la coordinata libera la posizione di equilibrio statico, 

nell’equazione (5) non compare il termine gravitazionale. La pulsazione propria vale: 

 

2kR 

ω = 

2 

= 52.75 rad/s (6) 

JO + mr2 Nel caso in cui venga applicata al tamburo una coppia esterna variabile nel tempo con legge armonica, l’equazione 

di moto diventa: 

(JO + mr 2 ) ¨ ϑ + 2kR 2 ϑ = C0 sin Ωt (7) 

e la soluzione a regime si può scrivere nella forma: 

ϑ(t) = Θ sin(Ωt − ϕ) (8) 

dove ϕ = 0 se Ω/ω < 1 e ϕ = π se Ω/ω > 1. Nel nostro caso, essendo Ω/ω = 0.379 < 1 lo sfasamento ϕ risulta 

nullo. 

L’ampiezza di vibrazione a regime si ricava sostituendo la soluzione ϑ(t) data dalla (8) e la sua derivata seconda 

nell’equazione di moto (7), semplificando i termini armonici e risolvendo il tutto rispetto a Θ; con semplici 

passaggi si ottiene: 

La soluzione a regime è quindi: 

Θ = 

dove t è espresso in secondi e ϑ in radianti. 

C0 

2kR2 − Ω2 (JO + mr2 = 0.146 rad = 8.36◦ 

) 

θ(t) = 0.146 sin 20t (10) 

(9)


Nota. Affinché il sistema assegnato possa funzionare, occorre che nella fune sia sempre presente una forza di 

trazione (infatti una fune non può resistere a compressione); utilizzando la relazione (4) si può calcolare la legge 

con cui varia il tiro della fune durante il moto: 

Il valore minimo di tale tensione si ha per sin Ωt = −1, ovvero: 

T = mg sin α + mrΩ 2 Θ sin Ωt (11) 

Tmin = mg sin α − mrΩ 2 Θ = −37.2 N (12) 

Poiché tale valore risulta negativo la fune non è sempre in grado di trasmettere il movimento alla massa traslante 

lungo il piano inclinato. 

Occorre allora sostituire la fune con un elemento in grado di resistere anche a compressione; a tale scopo 

si potrebbe utilizzare un’asta a cremagliera, opportunamente guidata, in grado di accoppiarsi con una ruota 

dentata di raggio primitivo r, montata in sostituzione del tamburo di avvolgimento della fune; in alternativa, 

si potrebbe continuare ad utilizzare la fune, incrementando però la parte statica del tiro mediante un adeguato 

aumento dell’angolo α (ad esempio, se si impone un’inclinazione α = 60 ◦ si ottiene Tmin = 39.8 N > 0).



Determinare il valore minimo del coefficiente di aderenza µ che consente al rullo di rotolare senza strisciare sul 

piano di appoggio, quando il carrello si muove con legge di moto y(t) = Y sin Ωt. 

Nota. Si consideri soltanto la soluzione a regime, trascurando il transitorio. 

Dati 

y(t) 

k 

m, JG 

Figura 1 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG 


• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R 

• Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 


• Coefficiente di aderenza fra rullo e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ 

Soluzione 

Metodo n.1 

Indichiamo con ϑ la rotazione del rullo e con z la posizione del suo baricentro, misurata relativamente al carrello 

(vedi Figura 2). 

k 

G' 

y (t) 

z(t) 

G 

R 

µ 

Posizione del rullo con molla indeformata 

ϑ 

G 

Figura 2 

Se il rullo rotola senza strisciare sul piano del carrello, la relazione cinematica fra z e ϑ è la seguente: 

ϑ = z 

R 

(1)


m ( z + y) 

kz 

mg 

N 

Figura 3 

Durante il moto agiscono sul rullo le forze e coppie indicate nel diagramma di corpo libero rappresentato in 

Figura 3: 

A questo punto è immediato ricavare le equazioni di equilibrio dinamico del rullo: 

Equilibrio alla traslazione orizzontale: 

m(¨z + ÿ) + kz + T = 0 (2) 

Equilibrio alla traslazione verticale: 

Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro: 

JGϑ 

G 

T 

N = mg (3) 

T R = JG ¨ ϑ (4) 

Ricavando dalla (4) la reazione T e tenendo conto della relazione cinematica (1) si ha: 

T = JG 

¨z (5) 

R2 Sostituendo tale valore nella (2) si ricava, con semplici passaggi, l’equazione di moto: 

 

m + JG 

R2 

¨z + kz = −mÿ (6) 

La pulsazione propria vale: 

 

 

ω = 

 

 

k 

m + JG 

R2 avendo posto meq = m + JG/R 2 . 

Poiché la causa eccitatrice è di natura armonica con pulsazione Ω, la soluzione a regime della (6) sarà del tipo: 

= 

 

k 

meq 

z(t) = Z sin(Ωt − ϕ) (8) 

La fase ϕ è nulla se Ω/ω < 1, mentre vale π radianti se Ω/ω > 1. 

L’ampiezza di vibrazione Z si calcola sostituendo la (8) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (6); 

dopo alcune semplificazioni si ricava: 

Z = 

L’accelerazione relativa ¨z del baricentro del rullo risulta: 

ed il suo valore massimo è: 

mΩ2 Y 

|k − meqΩ 2 | 

¨z(t) = −Ω 2 z(t) = − mΩ4Y |k − meqΩ2 sin(Ωt − ϕ) (10) 

| 

|¨zmax| = 

mΩ4 Y 

|k − meqΩ 2 | 

(7) 

(9) 

(11)


Affinché il rullo non slitti sul piano del carrello occorre che, nella situazione più sfavorevole (ovvero quando 

T = Tmax), risulti comunque verificata la relazione di Coulomb: 

µ ≥ |Tmax| 

|N| 

Il valore della reazione tangenziale massima Tmax si ricava facilmente dalla (5) e dalla (11): 

per cui, dalla (12), si ha: 

Metodo n.2 

|Tmax| = JG 

R2 |¨zmax| = JG 

R2 mΩ4Y |k − meqΩ2 | 

µ ≥ 

JGΩ4Y gR2 |k − meqΩ2 = µmin 

(14) 

| 

Anziché utilizzare la coordinata relativa z, individuiamo la posizione del baricentro G mediante la coordinata 

assoluta x (vedi Figura 4). 

k 

y(t) 

G' 

x(t) 

Posizione del rullo con molla indeformata 

ϑ 

G 

Figura 4 

La relazione cinematica fra x e ϑ, nell’ipotesi di non strisciamento, è: 

Le azioni sul rullo sono evidenziate in Figura 5: 

ϑ = 

x − y 

R 

J 

m x k( x − y) 

G 

mg 

N 

Figura 5 

ϑ 

G 

T 

(12) 

(13) 

(15)


Le equazioni di equilibrio dinamico si possono allora scrivere nella forma sotto riportata: 


m¨x + k(x − y) + T = 0 (16) 


Equilibrio alla rotazione attorno al baricentro: 

Procedendo in modo analogo al caso precedente si ricavano le seguenti relazioni: 

N = mg (17) 

T R = JG ¨ ϑ (18) 

T = JG 

(¨x − ÿ) (19) 

R2 meq ¨x + kx = ky + JG 

ÿ (20) 

R2 Sostituendo nel secondo membro della (20) l’espressione di y(t) e della sua derivata seconda si ottiene: 

 

meq ¨x + kx = 

 

avendo posto, per semplicità di scrittura, F0 = 

La soluzione a regime è: 

k − JG 

Ω2 

R2 k − JG 

Ω2 

R2 

Y sin Ωt = F0 sin Ωt (21) 

 

Y . 

x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (22) 

dove ϕ assume gli stessi valori visti nel caso precedente, mentre l’ampiezza X vale: 

X = 

L’accelerazione assoluta ¨x del baricentro del rullo risulta: 

¨x(t) = −Ω 2 x(t) = − 

F0 

|k − meqΩ 2 | 

Ω2F0 |k − meqΩ2 | 

(23) 

sin(Ωt − ϕ) (24) 

Dalla (19) si può dedurre la legge con cui varia la reazione tangenziale T durante il movimento: 

T (t) = JG 

R 

JG 

(¨x(t) − ÿ(t)) = 2 R2 Ω2 (−X + Y ) sin(Ωt − ϕ) 

= JG 

Ω2 

R2 

− 

F0 

|k − meqΩ2 | 

+ Y 

 

sin(Ωt − ϕ) 

Ricordando la definizione di F0, si può ottenere della (25) il valore massimo Tmax della reazione tangenziale: 

|Tmax| = JG 

⎛ 

⎜ 

k − 

Ω2 ⎜ 

R2 ⎝Y − 

JG 

 

Ω2 Y 

R2 |k − meqΩ2 ⎞ 

⎟ JG ⎟ 

| ⎠ = 

R2 mΩ4Y |k − meqΩ2 (26) 

| 

Come si può notare, il valore di Tmax calcolato mediante la (26) è uguale a quello ricavato precedentemente 

(vedi equazione (13)); tutto questo conferma la correttezza dei calcoli svolti. 

(25)



Il sistema in Figura 1, collocato in un piano verticale, è eccitato mediante uno spostamento di tipo armonico 

y(t) = Y sin Ωt impresso all’estremo A della molla. 

Supponendo che il rullo non slitti sul piano di rotolamento, determinare il valore massimo dell’ampiezza Y per 

cui, in condizioni di vibrazioni a regime, il tiro della fune non si annulla. 

Dati 

y(t) A k 

B 

2R 

R G 

M , JG 

Figura 1 

Fune inestensibile 

• Massa dei rulli coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 

• Momento d’inerzia baricentrico dei rulli coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG 

• Massa traslante in direzione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m 


• Raggio del rullo piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 

• Raggio del rullo grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2R 

• Ampiezza dello spostamento armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y 


Soluzione 

Indichiamo con ϑ la rotazione del rullo e con x lo spostamento della massa m; entrambe le coordinate sono 

misurate a partire dalla posizione di equilibrio statico. Risolviamo l’esercizio con il metodo degli equilibri 

dinamici; a tale scopo evidenziamo le forze agenti sui componenti del sistema: 

Nella Figura 2 si è indicata con δ la deformazione statica subita dalla molla per effetto del peso mg; con semplici 

considerazioni di equilibrio si può verificare che tale deformazione vale: 

δ = 3mg 

4k 

A questo punto è possibile scrivere le seguenti equazioni di equilibrio dinamico: 

Equilibrio alla rotazione per il rullo attorno al punto C (centro di istantanea rotazione): 

T · 3R − k(4Rϑ − y + δ) · 4R − JG ¨ ϑ − 2MR ¨ ϑ · 2R = 0 (2) 

m 

(1)


4R 

k( 

4Rϑ 

− y + δ) 

2MRϑ 

ϑ 

2R Mg 

C 

Φ N 

J Gϑ 

T T 

G 

ΦT 

Equilibrio alla traslazione verticale per la massa m: 

Figura 2 

x 

T 

T 

mg 

mx 

T + m¨x = mg (3) 

Poiché il rullo rotola senza strisciare e la fune è inestensibile, l’abbassamento verticale x della massa m e la 

rotazione ϑ del rullo sono legati dalla seguente relazione cinematica: 

x = 3Rϑ (4) 

Pertanto il sistema ha un solo grado di libertà: ciò significa che è sufficiente una sola coordinata per descrivere 

il suo moto. 

Dalla (3) è possibile ricavare la tensione T della fune; sostituendo il valore di T così calcolato nell’equazione (2) 

e tenendo conto delle relazioni (1) e (4) si perviene, dopo semplici passaggi, all’equazione di moto del sistema: 

La pulsazione propria è: 

(JG + 4MR 2 + 9mR 2 ) ¨ ϑ + 16kR 2 ϑ = 4kRy (5) 

ω = 

 

16kR 2 

JG + 4MR2 = 

+ 9mR2 

16kR 2 

avendo posto Jeq = JG + 4MR 2 + 9mR 2 . 

Poiché il sistema è eccitato da uno spostamento armonico del vincolo y(t) = Y sin Ωt, la soluzione a regime ϑ(t) 

sarà ancora di tipo armonico, con pulsazione pari a quella della causa eccitatrice; possiamo quindi scrivere: 

Jeq 

ϑ(t) = Θ sin Ωt (7) 

Sostituendo la (7) e la sua derivata seconda nell’equazione di moto (5) e semplificando i termini armonici si 

ottiene per l’ampiezza a regime Θ il valore sotto riportato: 

Θ = 

4kRY 

|16kR 2 − Ω 2 Jeq| 

L’espressione del tiro della fune in condizioni di regime risulta: 

T (t) = mg − 3mR ¨ ϑ(t) = mg + 3mRΩ 2 ϑ(t) 

= mg + 3mRΩ 2 

 

 

sin Ωt 

4kRY 

|16kR 2 − Ω 2 Jeq| 

= mg + 12mR2Ω2kY |16kR2 − Ω2 sin Ωt 

Jeq| 

(6) 

(8) 

(9)


Dalla (9) si deduce che il valore minimo del tiro si ha per sin Ωt = −1; quindi, per ricavare il valore massimo 

dell’ampiezza Y che in condizioni di regime rende non nullo il tiro della fune, è sufficiente imporre la condizione: 

e risolvere la disequazione rispetto a Y ; con semplici passaggi si ottiene: 

Tmin = mg − 12mR2Ω2kY |16kR2 − Ω2 ≥ 0 (10) 

Jeq| 

Y ≤ g|16kR2 − JeqΩ 2 | 

12kR 2 Ω 2 = Ymax (11)



Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano verticale ed è costituito dai seguenti 

elementi: 

• una coppia di dischi (1) e (2) aventi raggio r1 ed r2 e momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione J1 e J2 

rispettivamente; 

• un’asta O2P, solidale con il disco (2), avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile; 

• una massa puntiforme m collocata in corrispondenza del punto P; 

• una molla di rigidezza k, che risulta scarica quando l’asta O2P si trova in posizione verticale. 

Assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 

1. scrivere l’equazione differenziale relativa alle oscillazioni libere del sistema e determinare la pulsazione 

propria; 

2. determinare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime, quando si applica al disco (1) una coppia 

esterna con andamento sinusoidale di ampiezza M0 e frequenza f; si effettui il calcolo: a) nell’ipotesi di 

smorzamento nullo; b) in presenza di uno smorzatore viscoso (visibile nel riquadro tratteggiato) avente una 

costante di smorzamento c assegnata. 

Nota. Si supponga assenza di slittamento fra i due dischi. 

Dati 

c 90° 

M r1 

O 

r2 

1 

O2 

m 

90° 

Figura 1 

• Raggio del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r1 = 0.1 m 


• Momento d’inerzia del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J1 = 5 × 10 −3 kgm 2 

• Momento d’inerzia del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 4 × 10 −2 kgm 2 

• Lunghezza dell’asta O2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m 

• Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg 

• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 20000 N/m 

• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 1000 Nm −1 s 

• Ampiezza della coppia applicata al disco (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M0 = 18 Nm 

• Frequenza della coppia applicata al disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 2 Hz 

P 

l 

1 

2 

k


Soluzione 

Risolviamo il problema con il metodo degli equilibri dinamici, mettendo in evidenza le forze e le coppie agenti 

durante il moto sui singoli componenti del sistema; indichiamo con ϑ1 la rotazione del disco (1) (positiva in 

senso orario) e con ϑ2 la rotazione del disco (2) (positiva in senso antiorario). 

Nel caso di vibrazioni libere in assenza di smorzamento si ha la situazione riportata nella Figura 2: 

Moto libero 

T 

J 2ϑ2 

1 1 ϑ J 

mlϑ2 

ϑ1 

O1 

N 

N T 

O2 

ϑ2 

mg 2 

mlϑ2 

Figura 2 

kr2ϑ 

2 

Le equazioni di equilibrio alla rotazione attorno ai perni O1 e O2 sono: 

⎧ 

⎨ T r1 + J1 ¨ ϑ1 = 0 

⎩ 

J2 ¨ ϑ2 + kr 2 2ϑ2 + ml 2 ¨ ϑ2 + mgl sin ϑ2 − T r2 = 0 

Ricavando T dalla prima equazione e sostituendo il valore così ottenuto nella seconda si ha: 

(J2 + ml 2 ) ¨ ϑ2 + kr 2 ϑ2 + mgl sin ϑ2 − r2 

J1 

r1 

¨ ϑ1 = 0 (2) 

Per piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (pendolo verticale) si ha sin ϑ ∼ = ϑ; inoltre, 

ipotizzando assenza di slittamento fra i due dischi, è possibile definire il rapporto di trasmissione τ nel modo 

seguente: 

τ = ϑ2 

= 

ϑ1 

r1 

= 0.5 (3) 

r2 

(1)


Tenendo conto della (3) l’equazione di moto (2) diventa: 

 

J1 

τ 2 + J2 + ml 2 

 

¨ϑ2 + (kr 2 2 + mgl)ϑ2 = 0 (4) 

La pulsazione propria risulta: 

 

 

ω = 

 

kr2 2 + mgl 

J1 

τ 2 + J2 + ml 2 

Moto forzato (in assenza di smorzamento) 

= 19.95 rad/s (5) 

Nel caso di moto forzato in assenza di smorzamento le equazioni di equilibrio alla rotazione diventano: 

⎧ 

⎨ T r1 + J1 ¨ ϑ1 − M0 sin Ωt = 0 

dove Ω = 2πf = 12.56 rad/s. 

Procedendo come nel caso precedente si ottiene: 

 

J1 

τ 2 + J2 + ml 2 

 

⎩ 

Per semplicità di scrittura poniamo: 

Con queste definizioni la (7) diviene: 

La soluzione a regime è del tipo: 

J2 ¨ ϑ2 + kr 2 2ϑ5 + ml 2 ¨ ϑ2 + mgl sin ϑ2 − T r8 = 0 

¨ϑ2 + (kr 2 2 + mgl)ϑ2 = M0 

τ 

Jeq = J1 

τ 2 + J2 + ml 2 = 2.06 kgm 2 

keq = kr 2 8 + mgl = 819.02 Nm 

Meq = M0 

τ 

= 36 Nm 

In assenza di smorzamento l’ampiezza di oscillazione risulta: 

Θ2 = 

mentre la fase ϕ risulta nulla in quanto Ω/ω = 0.60 < 1. 

(6) 

sin Ωt (7) 

Jeq ¨ ϑ2 + keqϑ2 = Meq sin Ωt (9) 

ϑ2(t) = Θ2 sin(Ωt − ϕ) (10) 

Meq 

|keq − Ω2 = 0.0728 rad = 4.17◦ 

Jeq| 

Moto forzato (in presenza di smorzamento) 

Inserendo nel sistema uno smorzatore viscoso nella posizione indicata dal testo, occorre considerare nell’equilibrio 

alla rotazione della puleggia maggiore una coppia smorzante Msw di valore: 

Se si pone: 

Msm = Fsm · r2 = c · r2 ˙ ϑ2 · r2 = cr 2 2 ˙ ϑ2 

l’equazione di moto per vibrazioni forzate in presenza di smorzamento risulta: 

(8) 

(11) 

(12) 

ceq = cr 1 0 = 40 Nms (13) 

Jeq ¨ ϑ2 + ceq ˙ ϑ2 + keqϑ1 = Meq sin Ωt (14)


La soluzione a regime di tale equazione si può ancora scrivere nella forma (80), ma l’ampiezza e la fase valgono 

ora: 

tan ϕ = 

Θ2 = 

Meq 

 

(keq − Ω2Jeq) 2 = 0.051 rad = 2.9◦ 

+ (ceqΩ) 2 

ceqΩ 

keq − Ω 2 Jeq 

= 1.017 ⇒ ϕ = 0.794 rad = 45.5 ◦ 

Confrontando i valori dell’ampiezza a regime nei due casi, si osserva che in presenza di smorzamento l’ampiezza 

a regime risulta ridotta di circa il 30%. 

Nei grafici di Figura 3 viene riportato, in funzione della pulsazione della forzante, l’andamento dell’ampiezza e 

della fase per il moto a regime in assenza di smorzamento (linea tratteggiata) ed in presenza di smorzamento 

(linea continua). 

gradi 

gradi 

10 

8 

6 

4 

2 

Modulo 

0 

0 10 20 30 40 50 

rad/s 

60 70 80 90 100 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Fase 

20 

0 10 20 30 40 50 

rad/s 

60 70 80 90 100 

Figura 3 

(15) 

(16)



Un’autovettura in marcia lungo una strada liscia incontra improvvisamente un tratto di carreggiata sconnesso 

con profilo approssimativamente sinusoidale. 

Si schematizzi l’automobile come una massa m collegata al terreno con una molla verticale di rigidezza k e 

l’andamento della strada con un profilo sinusoidale di ampiezza Y e lunghezza d’onda l. 

Assumendo che la costante di smorzamento sia pari a c, si richiede di determinare: 

1. l’espressione analitica in transitorio e a regime del moto oscillatorio dell’autovettura, supponendo che essa 

viaggi alla velocità v = 72 km/h; 

2. il tempo approssimativamente necessario affinché il sistema giunga a regime; 

3. la velocità per cui la vettura entra in risonanza; 

4. i valori di velocità in corrispondenza dei quali l’ampiezza massima delle oscillazioni a regime risulti inferiore 

a 4 cm. 

Dati 

v 

Y 

l 

Figura 1 

• Massa dell’autovettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1200 kg 

• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 90 kN/m 

• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 2000 Ns/m 

• Ampiezza del profilo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Y = 3 cm 

• Lunghezza d’onda del profilo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 5 m 

Soluzione 

Determinazione dell’espressione analitica del moto oscillatorio dell’autovettura 

Per lo studio delle oscillazioni verticali dell’autovettura il testo suggerisce di schematizzare il veicolo mediante 

il modello riportato nella Figura 2. 

v 

m 

k c 

x(t) 

y(t) Y 

l 

Figura 2


Misurando lo spostamento verticale x a partire dalla posizione di equilibrio statico (molla deformata sotto 

l’azione del peso P = mg), l’equazione di moto risulta: 

m¨x + c( ˙x − ˙y) + k(x − y) = 0 (1) 

Il profilo della strada y(t) può essere schematizzato mediante una sinusoide di ampiezza Y e di pulsazione Ω, il 

cui valore risulta funzione della lunghezza d’onda l del profilo e della velocità v del veicolo; infatti, nell’ipotesi 

che l’automobile mantenga costante la sua velocità, il tempo T (detto periodo della sinusoide) impiegato a 

percorrere un tratto di strada sconnesso di lunghezza l sarà pari a l/v; la pulsazione risulterà pertanto: 

Ω = 2π 

T 

L’espressione analitica del profilo stradale sarà quindi: 

Con i dati del problema si ha: 

Derivando la (3) si ottiene: 

= 2πv 

l 

y(t) = Y sin Ωt (3) 

v = 72 km/h = 20 m/s 

Ω = 2πv 

l 

T = l 

= 0.25 s 

v 

= 25.13 rad/s 

˙y(t) = ΩY cos Ωt (5) 

Tenendo conto delle relazioni (3) e (5) l’equazione di moto (1) può essere riscritta nella forma: 

m¨x + c ˙x + kx = kY sin Ωt + cΩY cos Ωt (6) 

La soluzione x(t) di tale equazione, come è noto, è data dalla somma di due termini: l’integrale generale xgen(t) 

dell’omogenea associata e l’integrale particolare xpart(t) dell’equazione completa. 

Calcolo dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata 

Per determinare l’espressione analitica dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata occorre in primo 

luogo verificare se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni di smorzamento critico; 

calcoliamo pertanto il fattore di smorzamento ξ: 

ξ = c 

ccr 

= c 

2mω 

dove ccr indica lo smorzamento critico ed ω la pulsazione propria del sistema. 

Con i valori numerici assegnati si ricava: 

 

k 

c 

ω = = 8.66 rad/s ξ = = 0.096 (8) 

m 2mω 

Poiché risulta xi < 1 il sistema è sottosmorzato; definendo ora la pulsazione propria smorzata nel modo seguente: 

ωs = ω 1 − ξ 2 = 8.62 rad/s (9) 

l’integrale generale dell’equazione omogenea associata si può scrivere nella forma: 

xgen(t) = e −ξωt (A cos ωst + B sin ωst) (10) 

dove A e B rappresentano due costanti ricavabili mediante le condizioni iniziali. 

(2) 

(4) 

(7)


Calcolo dell’integrale particolare dell’equazione completa 

L’integrale particolare dell’equazione completa fornisce la soluzione dell’equazione di moto in condizioni di 

regime sinusoidale permanente; per il caso in esame (moto forzato dovuto allo spostamento del vincolo) tale 

soluzione è del tipo: 

xpart(t) = X sin(Ωt − ϕ) (11) 

dove 

tan ϕ = 

X = Y 

Pertanto la soluzione dell’equazione di moto è: 

 

k 2 + (cΩ) 2 

(k − mΩ 2 ) 2 + (cΩ) 2 = 4.62 × 10−3 m (12) 

mcΩ3 k(k − mΩ2 = −0.662 ⇒ ϕ = 2.557 rad = 146.5◦ 

) + (cΩ) 2 

(13) 

x(t) = e −ξωt (A cos ωst + B sin ωst) + X sin(Ωt − ϕ) (14) 

Come si è detto, per ricavare le costanti di integrazione A e B occorre conoscere le condizioni iniziali; a tale 

scopo supponiamo che, nell’istante t = 0 in cui l’autovettura incontra il profilo di strada sconnesso, la massa 

oscillante (scocca del veicolo) si trovi nella posizione di equilibrio con velocità nulla in direzione verticale; con 

tale ipotesi le condizioni iniziali si possono esprimere nella forma sotto riportata: 

Per poter imporre la seconda delle (15) occorre derivare la (14): 

x(0) = 0 ˙x(0) = 0 (15) 

˙x(t) = e −ξωt [(Bωs − ξωA) cos ωst − (Aωs + ξωB) sin ωst] + ΩX cos(Ωt − ϕ) (16) 

Dalle (15), tenendo conto delle espressioni (14) e (16) si ricava il seguente sistema di equazioni: 

A + X sin(−ϕ) = 0 

(Bωs − ξωA) + ΩX cos(−ϕ) = 0 

La soluzione di tale sistema è: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

A = X sin ϕ = 2.55 × 10−3 m 

B = 1 

(ξωA − ΩX cos ϕ) = 11.47 × 10 −3 m 

In definitiva l’equazione (14) può essere riscritta nella forma: 

ωs 

x(t) = 10 −3 [e −0.833t (2.55 cos 8.62 t + 11.47 sin 8.62 t) + 4.62 sin(25.13 t − 2.557)] (19) 

dove x è espresso in metri e t in secondi. 

Nei grafici seguenti sono riportati gli andamenti delle funzioni xgen(t), xpart(t) e x(t); come si può osservare, il 

contributo del termine xgen(t) tende ad annullarsi con il trascorrere del tempo. 

Calcolo del tempo approssimativamente necessario affinché il sistema giunga a 

regime 

La condizione di regime per il sistema si ha quando si annulla nella (14) il termine corrispondente all’integrale 

generale dell’equazione omogenea associata xgen(t); ciò si verifica, da un punto di vista strettamente teorico, in 

un tempo infinito, in quanto, per la presenza del termine esponenziale decrescente, risulta: 

(17) 

(18) 

lim 

t→+∞ xgen(t) = 0 (20) 

Tuttavia, da un punto di vista pratico, si può ritenere che il sistema abbia raggiunto la condizione di regime quando 

xgen(t) risulta trascurabile rispetto al contributo dell’integrale particolare dell’equazione completa xpart(t);


spostamento [m] 



0.02 

0.01 

0 

0.01 

0.02 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

0.02 

0.01 

0 

0.01 

tempo [s] 

0.02 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

0.02 

0.01 

0 

0.01 

tempo [s] 

0.02 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

tempo [s] 

Figura 3 a) Integrale generale dell’equazione omogenea associata xgen(t); b) Integrale particolare dell’equazione 

completa xpart(t); c) Integrale generale dell’equazione completa x(t) = xgen(t) + xpart(t).


pertanto, fissata arbitrariamente una soglia γ ≪ 1, si considera esaurito il transitorio quando è verificata la 

seguente condizione: 

Ampiezza di xgen(t) 

≤ γ (21) 

Ampiezza di xpart(t) 

L’ampiezza di xpart(t) è data dalla (12), mentre l’ampiezza di xgen(t) si può ricavare riscrivendo la (10) nella 

forma: 

xgen(t) = Ce −ξωt sin(ωst + α) (22) 

dove si è posto: 

C = A2 + B2 tan α = A 

(23) 

B 

L’equazione (22) può essere interpretata come l’espressione analitica di una sinusoide con ampiezza Ce−ξωt decrescente nel tempo con legge esponenziale; dalla (21) si ricava pertanto: 

ovvero, risolvendo rispetto al tempo: 

Ce −ξωt ≤ γX (24) 

t ≥ 1 

ξω ln 

 

C 

= treg 

γX 

Sostituendo nella prima delle (23) i valori di A e B dati dalle (18) si ottiene C = 11.75 × 10 −3 m; ponendo 

infine γ = 1/100, la disequazione (25) fornisce treg ≥ 6.65 s: ciò significa che occorrono poco meno di 7 secondi 

per raggiungere la condizione di regime 1 . 

Calcolo della velocità per cui la vettura entra in risonanza 

Per calcolare la velocità del veicolo che porta la sospensione in condizioni di risonanza è sufficiente imporre che 

la pulsazione propria del sistema sia uguale alla pulsazione della forzante: 

Risolvendo rispetto a v si ottiene: 

Ω = ω ⇒ 

2πv 

l 

(25) 

= ω (26) 

v = ωl 

= 6.89 m/s = 24.8 km/h (27) 

2π 

Occorre tuttavia precisare che per “risonanza” non si deve intendere soltanto la condizione espressa dalla (26), 

bensì tutto il campo di frequenze prossime a quella della forzante; infatti, anche per frequenze della forzante 

poco differenti da quella propria del sistema, si verifica un’amplificazione dell’ampiezza delle vibrazioni a regime, 

tanto più evidente quanto minore è lo smorzamento. 

Di conseguenza, per evitare l’insorgere di vibrazioni con ampiezza eccessiva, è necessario fissare una soglia 

massima consentita per l’ampiezza delle vibrazioni e verificare che la pulsazione della forzante non sia tale da 

determinare il superamento del limite imposto (vedi punto successivo). 

Calcolo dei valori di velocità per i quali l’ampiezza massima delle oscillazioni a 

regime risulta inferiore al limite imposto 

Per rispondere a questa domanda consideriamo l’equazione (12), che fornisce l’ampiezza delle oscillazioni a 

regime in funzione della pulsazione Ω della forzante; con semplici passaggi possiamo riscrivere tale equazione 

della forma: 

 

dove si è posto r = Ω/ω 

X = Y 

1 + (2ξr) 2 

(1 − r 2 ) 2 + (2ξr) 2 

Imponendo la condizione X ≤ Xmax e definendo α = (Xmax/Y ) 2 si ricava dalla (28) la seguente disequazione: 

r 4 + 2r 2 

 

2ξ 2 − 1 − 2ξ2 

α 

 

+ 

 

1 − 1 

α 

(28) 

 

≥ 0 (29) 

1 Ovviamente il valore di treg dipende dal valore di γ (arbitrario) che viene inserito nella (25); pertanto quando si determina il 

tempo necessario per raggiungere la condizione di regime è bene specificare il valore di γ utilizzato per il calcolo.


Utilizzando i dati assegnati si ricava α = 1.778, mentre il valore di ξ è già noto dalla seconda delle (8); effettuando 

il calcolo numerico dei coefficienti della (29) si perviene alla seguente disequazione: 

r 4 − 1.984 r 2 + 0.438 ≥ 0 (30) 

Poiché il rapporto r deve risultare necessariamente positivo (si tratta infatti del rapporto fra due pulsazioni), 

gli intervalli per i quali la disequazione è verificata sono i seguenti: 

0 ≤ r ≤ 0.503 r ≥ 1.316 (31) 

A questo punto, tenendo conto della (2) e della definizione di r, è immediato calcolare i corrispondenti valori 

della velocità v del veicolo: 

lω 

r = r1 = 0.503 ⇒ v1 = r1 = 3.46 m/s = 12.5 km/h 

2π 

lω 

r = r2 = 1.316 ⇒ v2 = r2 = 9.07 m/s = 32.6 km/h 

2π 

In definitiva gli intervalli di velocità in corrispondenza dei quali l’ampiezza della vibrazione a regime non supera 

il limite imposto sono quindi: 

0 ≤ v ≤ v1 v ≥ v2 (33) 

I risultati ottenuti sono riassunti nel diagramma di Figura 4, che fornisce l’ampiezza delle vibrazioni a regime 

in funzione della velocità del veicolo. 

[cm] 

20 

17.5 

15 

12.5 

10 

7.5 

5 

2.5 

0 

Ampiezza oscillazioni a regime 

0 5 10 15 20 25 30 35 

velocità dell' autoveicolo [m/s] 

Figura 4 

(32)



Il meccanismo rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano verticale ed è costituito dai seguenti elementi: 

• una ruota dentata di raggio primitivo r e momento d’inerzia baricentrico J ruotante attorno al punto O2; 

• una slitta di massa M, dotata di cremagliera, che si accoppia alla ruota dentata scorrendo in una guida 

orizzontale; 

• un’asta O2P, solidale con la ruota dentata, avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile; 

• una massa puntiforme m collocata all’estremità inferiore dell’asta; 

• un meccanismo a glifo, la cui manovella O1A ruota a velocità costante Ω; 

• una molla di rigidezza k; 

• uno smorzatore viscoso con costante di smorzamento pari a c 

Il sistema è in equilibrio quando la manovella O1A e l’asta O2P si trovano in posizione verticale. Assumendo 

l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 

1. scrivere l’equazione differenziale di moto del sistema; 

2. determinare la pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ; 

3. calcolare l’ampiezza e la fase delle vibrazioni in condizioni di regime. 

Dati 

Ω 

Y 

A 

k 

O M 

1 

l 

Figura 1 

• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.2 m 

• Momento d’inerzia della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.03 kg m 2 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1 kg 

• Lunghezza dell’asta O2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 0.75 m 

• Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 0.2 kg 

• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5000 N/m 

• Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 80 Ns/m 

• Lunghezza della manovella O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m 

• Velocità angolare della manovella O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 70 rad/s 

P 

r 

O2 

J 

m 

c


Soluzione 

Per risolvere il problema applichiamo il metodo degli equilibri dinamici; indicando con x lo spostamento della 

slitta e con ϑ la rotazione del pendolo, il sistema di forze e coppie agente sul meccanismo durante il movimento 

è quello indicato nella Figura 2. 

k( x − y) 

m l 

2 

ϑ& x 

T 

mg 

N 

ϑ & J 

ϑ 

N 

M&x & 

T 

O2 

mϑl & 

Figura 2 

L’equilibrio alla traslazione orizzontale della slitta fornisce l’equazione: 

c& x 

M ¨x + c ˙x + k(x − y) + T = 0 (1) 

mentre l’equilibrio alla rotazione per il sistema pendolo-ruota dentata dà luogo all’equazione: 

T r − J ¨ ϑ − ml 2 ¨ ϑ − mgl sin ϑ = 0 (2) 

Si osservi che, nell’equazione (1) si è indicato con y il movimento impresso all’estremo sinistro della molla tramite 

il manovellismo a croce; poiché la manovella O1A ruota a velocità angolare Ω costante, risulta y(t) = Y sin Ωt. 

Dalla (2), ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ ), 

è possibile ricavare l’azione tangenziale T : 

T = 1 

r [(J + ml2 ) ¨ ϑ + mglϑ] (3) 

La relazione cinematica che lega la traslazione x della slitta con la rotazione ϑ della ruota dentata è la seguente: 

dove r indica il raggio primitivo della ruota dentata. 

ϑ = x 

r 

(4)


A questo punto è immediato ricavare l’equazione di moto del sistema: basta infatti sostituire nella (1) il valore 

di T fornito dalla (3) e tenere conto della relazione (4); con semplici passaggi si ottiene: 

 

M + J 

 

2 

l 

+ m ¨x + c ˙x + k + 

r2 r 

mgl 

r2 

= kY sin Ωt (5) 


La (5) può quindi essere riscritta nella forma: 

Meq = M + J 

2 l 

+ m = 4.563 kg 

r2 r 

ceq = c = 80 Ns/m 

keq = k + mgl 

= 5036.8 N/m 

r2 Feq = kY = 250 N 

Meq ¨x + ceq ˙x + keqx = Feq sin Ωt (7) 

La pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ valgono rispettivamente: 

 

ω = 

keq 

Meq 

L’espressione analitica del moto a regime risulta: 

dove l’ampiezza X e la fase ϕ si ricavano con le seguenti relazioni: 

tan ϕ = 

X = 

ceqΩ 

L’ampiezza a regime delle oscillazioni del pendolo risulta: 

= 33.2 rad/s ξ = ceq 

= 0.264 (8) 

2Meqω 

x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (9) 

Feq 

 

(keq − MeqΩ2 ) 2 = 0.0137 m (10) 

+ (ceqΩ) 2 

= −0.323 ⇒ ϕ = 2.829 rad = 162◦ 

keq − MeqΩ2 Θ = X 

r 

= 0.0687 rad = 3.93◦ 

(6) 

(11) 

(12)



Si deve installare in un laboratorio una macchina per prove di fatica cha ha tutte le masse in movimento 

equilibrate, tranne la massa in moto alterno, che si muove verticalmente con legge pressoché sinusoidale. 

La macchina, rappresentata schematicamente in Figura 1, è costituita da un telaio di massa MT sul quale è 

montato un meccanismo biella-manovella, di massa trascurabile, che aziona una testa oscillante di massa m; 

mediante un opportuno sistema di fissaggio, la testa oscillante è collegata al provino in modo tale da generare 

una sollecitazione di flessione alternata. 

Utilizzando i dati assegnati ed i diagrammi di Figura 2 si chiede di progettare la fondazione (basamento di 

cemento sul quale viene installata la macchina) in modo che la forza alternata trasmessa al pavimento risulti 

inferiore al valore Fmax = 100 N e che l’ampiezza delle vibrazioni della fondazione non superi il valore Xmax = 

0.1 mm. 

Si chiede inoltre di verificare che, per ragioni pratiche, la massa totale Mtot (somma della massa della macchina 

e di quella della fondazione) non superi il limite di 10000 kg. 

Dati 

provino sollecitato 

a flessione alternata 

Ω 

sospensione elastica 

Figura 1 

testa oscillante 

fondazione 

(basamento di cemento) 

• Massa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 200 kg 

• Massa complessiva della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = MT + m = 1500 kg 

• Corsa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 8 mm 

• Velocità di rotazione della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 300 giri/min


Nomenclatura 

ω Pulsazione propria 

Ω Pulsazione della forzante 

r = c/2 Raggio di manovella 

Fecc Forza eccitatrice 

Ftr Forza trasmessa 

X Ampiezza delle oscillazioni a regime 

Soluzione 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

X M tot 

mr 

F 

F 

0 

0 0.5 1 1.5 2 

Ω/ω 

2.5 3 3.5 4 

Figura 2 

tr 

ecc 

Fecc = mrΩ 2 

Ftr 

Fecc 

= 

XMtot 

mr 

1 

|1 − (Ω/ω) 2 | 

= (Ω/ω)2 

|1 − (Ω/ω) 2 | 

Il progetto della fondazione consiste nel determinare i parametri del sistema vibrante (massa e rigidezza) in 

modo tale da mantenere i valori della forza trasmessa al terreno e dell’ampiezza di oscillazione entro i limiti 

assegnati. Per risolvere il problema faremo riferimento allo schema di Figura 3, in cui sono rappresentate la 

macchina per prove di fatica e la relativa fondazione. 

Indichiamo con z(t) lo spostamento della testa oscillante relativo alla macchina e con x(t) lo spostamento 

assoluto del gruppo macchina-fondazione; poiché la testa oscillante si muove con legge pressoché sinusoidale2 possiamo scrivere: 

z(t) ∼ = r sin Ωt = c 

sin Ωt (1) 

2 

dove Ω indica la velocità angolare della manovella (coincidente con la pulsazione del moto armonico della testa 

oscillante) ed r = c/2 il raggio di manovella. 

Poiché ad ogni oscillazione della massa m corrisponde una rotazione completa della manovella, si ha: 

Per le masse in gioco adottiamo i seguenti simboli: 

Ω = 2πn 

60 

• Massa della testa oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m 

• Massa del telaio della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MT 

2 Indicando rispettivamente con r ed l le lunghezze della manovella e della biella, si può ritenere che la testa oscillante si muova 

con legge pressoché sinusoidale se il parametro λ = r/l (detto rapporto caratteristico del manovellismo) risulta molto minore 

dell’unità. 

(2)


Ω 

Figura 3 

• Massa complessiva della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = MT + m 

• Massa della fondazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MF 

• Massa totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtot = M + MF = MT + m + MF 

Le forze agenti sul sistema durante il movimento sono evidenziate in Figura 4. 

Si noti che: 

• la forza esercitata dalla sospensione elastica si ottiene moltiplicando la rigidezza equivalente k per lo spostamento 

verticale x del gruppo “macchina-fondazione”; poiché le molle sono in parallelo (ovvero sono soggette 

alla stessa deformazione) la rigidezza k è data dalla somma delle rigidezze delle singole molle; 

• la forza d’inerzia agente sulla massa oscillante è data dal prodotto della massa m per la sua accelerazione 

assoluta (che si ottiene sommando l’accelerazione relativa ¨z con l’accelerazione di trascinamento ¨x); 

• in Figura 4 sono state omesse le forze peso, in quanto tali forze risultano in ogni istante equilibrate dalle forze 

elastiche che si generano a causa delle deformazioni statiche delle molle); 

• lo spostamento x viene misurato a partire dalla posizione di equilibrio statico. 

L’equazione di moto per il sistema in esame si ottiene scrivendo la condizione di equilibrio dinamico alla 

traslazione verticale: 

(MT + MF )¨x + m(¨x + ¨z) + kx = 0 (3) 

ovvero, raccogliendo ¨x e tenendo conto della definizione di massa totale Mtot: 

z(t) 

Mtot¨x + kx = −m¨z (4) 

Derivando due volte rispetto al tempo la (1) e sostituendo nella (4) il valore di ¨z così determinato, si ricava, 

dopo semplici passaggi: 

Mtot¨x + kx = mrΩ 2 sin Ωt (5) 

Dalla (5), ponendo ω = k/Mtot e dividendo tutti i termini per Mtot , si perviene all’equazione sotto riportata: 

¨x + ω 2 x = m 

Mtot 

x(t) 

rΩ 2 sin Ωt (6) 

La (6) è un’equazione differenziale del 2 ◦ ordine che descrive il moto di un sistema vibrante ad un grado di libertà 

(non smorzato) eccitato da una forzante armonica; come è noto, la soluzione a regime (integrale particolare) di 

tale equazione è del tipo 

x(t) = X sin Ωt (7)


m ( x + z) 

M F 

z(t) 

( + M ) x 

M T F 

kx 

Ω 

Figura 4 

dove X (ampiezza delle oscillazioni a regime) si ricava sostituendo la (7) e la sua derivata seconda nella (6) e 

semplificando i termini armonici; con semplici passaggi si ottiene: 

X = mr 

Mtot 

2 Ω 

ω 

 

Ω 

1 − 

ω 

Dalla (8) si deduce che l’ampiezza X è positiva per Ω/ω < 1, è negativa per Ω/ω > 1 e tende all’infinito 3 

per Ω/ω = 1; spesso l’ampiezza X viene considerata in valore assoluto e, per tenere conto del suo segno, si 

introduce uno sfasamento ϕ rispetto alla causa eccitatrice, rappresentata dal termine al secondo membro nella 

(6); in questo caso possiamo scrivere: 

x(t) = X sin(Ωt − ϕ) (9) 

dove 

La funzione 

X = mr 

Mtot 

2 

 

Ω 

ω 

 

2 

Ω 

 

1 

− 

ω 

X 

µr = 

ϕ = 

2 

2 

 

Ω 

ω 

 

2 

Ω 

 

1 

− 

ω 

m 

M T 

0 per Ω/ω < 1 

π per Ω/ω > 1 

in cui si è posto µ = m/Mtot rappresenta l’ampiezza di oscillazione adimensionalizzata ed il suo grafico è 

riportato con linea tratteggiata in Figura 2; come risulta evidente, tale funzione dipende dal rapporto fra la 

pulsazione della causa eccitatrice e la pulsazione propria del sistema. 

Per quanto riguarda la forza Ftr trasmessa al terreno, possiamo affermare che il suo valore risulta pari a quello 

della forza elastica (infatti, come risulta evidente dalla Figura 3, il collegamento tra il sistema vibrante ed il 

3 Nella realtà l’ampiezza delle oscillazioni non tende all’infinito in condizioni di risonanza (Ω/ω = 1), poiché intervengono i 

fenomeni di attrito a limitare l’ampiezza stessa delle vibrazioni (si veda a questo proposito la trattazione delle vibrazioni forzate in 

presenza di smorzamento). 

x(t) 

(8) 

(10) 

(11)


terreno avviene esclusivamente tramite le molle); si ha pertanto: 

Ftr = kX = k mr 

Mtot 

2 Ω 

ω 

 

2 

Ω 

 

= mrω 

1 

− 

ω 

2 

2 Ω 

ω 

 

2 

Ω 

 

= 

1 

− 

ω 

mrΩ2 

 

2 

Ω 

 

1 

− 

ω 

Il termine mrΩ2 rappresenta il valore massimo della forza d’inerzia agente sulla testa oscillante per effetto del 

moto armonico z(t); tale forza rappresenta la causa eccitatrice che genera le vibrazioni del sistema; dalla (12), 

ponendo Fecc = mrΩ2 , si ha: 

Ftr 1 

= 

Fecc 2 

Ω 

 

(13) 

1 

− 

ω 

Il grafico della funzione (13) è riportato con linea continua in Figura 2 anche in questo caso si può osservare 

che il rapporto fra la forza trasmessa e la forza eccitatrice dipende dal rapporto fra la pulsazione della forzante 

e la pulsazione propria del sistema. 

Osservando i due diagrammi si nota che, per Ω/ω ≪ 1 si hanno elevati valori di forza trasmessa e piccoli valori 

dell’ampiezza di oscillazione: in questo caso la pulsazione propria del sistema è elevata rispetto alla pulsazione 

della forzante (fondazione rigida); viceversa, per Ω/ω ≫ 1 la forza trasmessa è di bassa entità, mentre l’ampiezza 

di oscillazione risulta elevata: in questo caso la pulsazione propria del sistema è piccola rispetto alla pulsazione 

della forzante (fondazione sospesa). 

In altri termini, la fondazione rigida è caratterizzata da elevati valori della costante elastica e da bassi valori 

della massa, mentre per la fondazione sospesa si hanno basse rigidezze e masse elevate. Le considerazioni sopra 

riportate sono riassunte schematicamente in Figura 5, nella quale sono riportati qualitativamente i diagrammi 

di Figura 2 e sono evidenziati gli intervalli del rapporto Ω/ω per i quali una fondazione può considerarsi rigida 

oppure sospesa. 

1 

fond. 

rigida 

1 

Figura 5 

X 

µ r 

fond. 

sospesa 

Giunti a questo punto possiamo effettuare il dimensionamento della fondazione utilizzando i dati ed i diagrammi 

assegnati. 

Procediamo innanzitutto con il calcolo della pulsazione della forzante, facilmente calcolabile mediante la relazione 

(2): 

Ω = 2πn 2 × π × 300 

= = 31.4 rad/s (14) 

60 60 

F 

F 

tr 

ecc 

Ω / ω 

(12)


La forza eccitatrice risulta: 

Fecc = mrΩ 2 = 200 × 4 × 10 −3 × 31.4 2 = 789 N (15) 

Il rapporto tra forza trasmessa ammissibile e la forza eccitatrice vale pertanto: 

Fmax 

Fecc 

= 100 

= 0.127 (16) 

789 

Affinché non venga superato il limite imposto sulla forza trasmessa al pavimento, dovrà essere verificata la 

seguente disequazione: 

Fmax 1 

= 

Fecc 2 

Ω 

 

≤ 0.127 (17) 

1 

− 

ω 

Per quanto concerne l’ampiezza di oscillazione, possiamo procedere in modo analogo: dapprima si calcola il 

rapporto X/µr e successivamente si impone la limitazione richiesta dal testo del problema. Assumendo per la 

massa totale un valore pari al 95% del valore massimo ammissibile si ha: 

Mtot = 0.95 × 10000 = 9500 kg (18) 

XmaxMtot 

mr 

XMtot 

mr = 

= 0.1 × 10−3 × 9500 

= 1.188 

200 × 4 × 10−3 2 Ω 

(19) 

ω 

 

2 

Ω 

 

≤ 1.188 

1 

− 

ω 

(20) 

Le disequazioni (17) e (20) possono essere agevolmente risolte per via grafica con l’ausilio dei diagrammi di 

Figura 2, disegnati separatamente in Figura 6 per motivi di chiarezza. 

Dai grafici si ricava che la limitazione sulla forza trasmessa è soddisfatta per Ω/ω > 3, mentre la limitazione 

sull’ampiezza massima di oscillazione è soddisfatta per Ω/ω < 0.7 oppure per Ω/ω > 2.5; pertanto entrambe le 

condizioni risultano verificate se assumiamo Ω/ω = 3.5. 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0.127 

0 

Forza trasmessa al terreno 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 

3 

2.5 

2 

1.5 

1.188 

1 

0.5 

0 

Ampiezza di oscillazione 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 

Ω/ω Ω/ω 

Figura 6 

Conoscendo ora il rapporto Ω/ω possiamo calcolare immediatamente la rigidezza equivalente k da assegnare 

alla sospensione elastica; si ha: 

k = Mtotω 2 

(21)


dove 

ω = Ω 31.4 

= = 8.97 rad/s (22) 

3.5 3.5 

Con i dati assegnati si ottiene k = 765.4 kN/m. 

La massa della fondazione sulla quale dovrà essere montata la macchina si ottiene come differenza fra la massa 

totale e la massa propria della macchina: 

La forza trasmessa al terreno risulta: 

e l’ampiezza di oscillazione: 

X = mr 

Mtot 

2 Ω 

ω 

 

2 

Ω 

 

= 

1 

− 

ω 

200 × 4 × 10−3 

MF = Mtot − M = 9500 − 1500 = 8000 kg (23) 

Ftr = 

 

 

1 

− 

 

Fecc 

2 

Ω 

 

ω 

9500 

= 789 

= 70 N (24) 

1 − 3.52 × 3.52 

1 − 3.5 2 = 9.2 × 10−5 m = 0.092 mm (25) 

Come si può notare, tutte le limitazioni richieste dal progetto risultano soddisfatte; infatti la forza trasmessa 

risulta minore di 100 N, l’ampiezza di oscillazione è inferiore a 0.1 mm e la massa totale non supera i 10000 kg.

Esercizi proposti



k 2 

c 2 

4 

J O 

5 

O 

3 

a 

a 

8 

Il sistema rappresentato in figura è costituito da un motore elettrico (1) montato sopra una slitta (2), scorrevole 

senza attrito all’interno di una guida rettilinea; l’asta (3), di massa trascurabile, collega la slitta alla leva (4), 

incernierata nel punto O; il sistema è vincolato a terra mediante i supporti elastici (5) e (6), schematizzati 

mediante una molla lineare in parallelo con uno smorzatore viscoso. 

La slitta può essere bloccata mediante il chiavistello (7). 

A causa di un errore di montaggio il rotore (8), calettato sull’asse del motore elettrico, presenta un’eccentricità 

pari ad Re. 

Il motore viene avviato e viene portato alla velocità di regime n, mantenendo il chiavistello nella posizione 

di bloccaggio, al fine di impedire qualsiasi movimento della slitta e degli organi ad essa collegati; una volta 

raggiunta la velocità di regime, il chiavistello viene sfilato: il sistema può allora vibrare sotto l’effetto della 

forzante causata dallo squilibrio del rotore. 

Domande 

1. scrivere l’equazione di moto del sistema, supponendo che l’asta (4) compia piccole oscillazioni; 

2. determinare la legge di moto della slitta (in transitorio e a regime); 

3. calcolare il tempo approssimativamente necessario per raggiungere la condizione di regime; 

4. determinare l’andamento temporale delle sollecitazioni nell’asta (in condizioni di regime); 

5. nell’ipotesi che lo smorzamento dei supporti sia trascurabile e che la velocità di rotazione del motore coincida 

con la pulsazione propria del sistema (condizione di risonanza), si determini l’andamento temporale delle 

vibrazioni della slitta. 

Dati 

• Massa del sistema slitta-motore (escluso rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg 

• Massa del rotore squilibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 5 kg 

• Momento d’inerzia della leva (4) rispetto al punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J0 = 0.15 kg m 2 

• Costanti elastiche dei supporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 10 kN/m k2 = 15 kN/m 

• Costanti di smorzamento dei supporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c1 = 80 Ns/m c2 = 100 Ns/m 

• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Re = 5 mm 

• Lunghezza dei bracci della leva (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 300 mm 

• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1000 giri/min 

M 

7 

m 

Re 

1 

2 

6 

k1 

c 1



k1 

r1 

J1 

1 

2 

J R J R 

Il carrello rappresentato in figura viene azionato da un manovellismo a croce, la cui manovella OP ruota a 

velocità angolare Ω costante. 

La trasmissione del moto fra il manovellismo ed il carrello avviene mediante una molla di rigidezza k2 ed uno 

smorzatore avente costante di smorzamento pari a c. 

Sul carrello è montata una ruota (1) di raggio r1 che viene messa in movimento dalla ruota (2) del carrello; si 

supponga che la trasmissione del moto fra le ruote (1) e (2) avvenga senza slittamenti. 

La ruota (1) è collegata al telaio del carrello da una molla di rigidezza k1; si noti che l’estremità destra della 

molla si avvolge sulla circonferenza della ruota (1). 

Nell’ipotesi che le ruote (2) e (3) rotolino senza strisciare sul terreno, si chiede di: 

1. scrivere l’equazione di moto del sistema; 

2. calcolare il valore della pulsazione propria ω e del fattore di smorzamento ξ; 

3. determinare l’espressione analitica del moto a regime del carrello. 

Dati 

• Massa del carrello (comprensiva della massa di tutte le ruote) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 50 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico della ruota (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.04 kg m 2 

• Momento d’inerzia baricentrico delle ruote (2) e (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kgm 2 

• Raggio della ruota (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 0.15 m 

• Raggio delle ruote (2) e (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 0.25 m 

• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.1 m 

• Rigidezza della prima molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1000 N/m 

• Rigidezza della seconda molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 14000 N/m 

• Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 600 Ns/m 

• Velocità angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 15 rad/s 

3 

k2 

c 

P 

y(t) 

Y 

O 

ΩΩΩΩ



A 

Asta omogenea 

a 

Fune inestensibile 

c 

Ω 

G 

O 1 

k 

Y 

P 

Il sistema ad un grado di libertà rappresentato in figura giace in un piano verticale e si trova in equilibrio quando 

la manovella O1P e l’asta AB sono entrambe in posizione orizzontale. 

Supponendo che l’asta possa compiere soltanto piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si 

chiede di: 


2. calcolare la pulsazione propria ω ed il fattore di smorzamento ξ; 

3. determinare l’ampiezza e la fase delle oscillazioni a regime della massa M quando la manovella O1P ruota 

con velocità angolare costante Ω. 

Dati 

• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 5 kg 

• Massa traslante in direzione verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg 

• Momento d’inerzia della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.09 kg m 2 

• Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.1 m 

• Semi lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.25 m 

• Lunghezza della manovella O1P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m 


• Costante di smorzamento dello smorzatore viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c = 60 Ns/m 

• Velocità angolare della manovella O1P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s 

a 

y(t) 

m 

B 

r 

J 

O 2 

M



M 

Ω 

A 

r 

k c 

In figura è rappresentata schematicamente una pressa per operazioni di stampaggio. 

Come risulta evidente dal disegno, il meccanismo che muove la massa m è un manovellismo a croce azionato da 

una manovella di raggio r che ruota a velocità angolare costante Ω. 

La massa della macchina (esclusa la massa azionata dal manovellismo) è pari ad M. 

Nella parte superiore la macchina è vincolata, tramite una cerniera A, ad un’asta omogenea di lunghezza L e 

massa m1, collegata a terra tramite un supporto elastico B di rigidezza torsionale kT . 

Nella parte inferiore la macchina è vincolata al suolo mediante un supporto elastico schematizzato mediante 

una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante c. 

Domande 

1. Scrivere l’equazione di moto del sistema, supponendo che l’asta AB compia piccole oscillazioni nell’intorno 

della posizione orizzontale. 

2. Determinare la costante di smorzamento c in modo che l’ampiezza di vibrazione a regime della macchina 

risulti ≤ 5 mm quando il sistema opera in condizioni di risonanza. 

Dati 

• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1500 kg 

• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 100 kg 

• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m1 = 48 kg 

• Lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L = 1.5 m 

• Rigidezza torsionale del supporto B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 80 kNm/rad 

• Rigidezza del supporto inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 180 kN/m 

• Raggio di manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 200 mm 

L 

m 

m1 

kT 

B



k 

c 

re 

M1 

ΩΩΩΩ 

me 

rullo 

Per il sistema vibrante rappresentato in figura si chiede di: 

slitta 

R 

M2 , JG 

1. scrivere l’equazione di moto del sistema, nell’ipotesi che il rullo rotoli senza strisciare sul terreno e che la 

slitta scorra senza attrito sui supporti; 

2. calcolare la frequenza propria ed il fattore di smorzamento; 

3. determinare ampiezza e fase delle oscillazioni della slitta in condizioni di regime, supponendo costante la 

velocità angolare del rotore eccentrico; 

4. determinare il minimo valore del coefficiente di aderenza µ, che garantisce assenza di slittamento del rullo, 

quando il sistema vibra in condizioni di regime. 

Dati 

• Massa del gruppo slitta-motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 20 kg 

• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . me = 7 kg 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 10 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.08 kg m 2 

• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re = 6 mm 

• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm 


• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 90 Ns/m 

• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 13 rad/s 

k



Slitta con 

cremagliera 

A B 

O 

M 

p(t)=p0+p1 sin Ω t 

d 

Settore dentato 

m 

a R a 

J O 

Stantuffo 

Si consideri il sistema meccanico rappresentato in figura. 

Nella posizione di equilibrio l’asta AB è orizzontale, le molle sono scariche ed il peso dello stantuffo è completamente 

equilibrato dalla pressione p0 del gas contenuto nel recipiente. 

Si supponga che la pressione subisca una variazione temporale attorno al valore medio p0, con legge sinusoidale 

di ampiezza p1 e pulsazione Ω. 

Supponendo trascurabili tutti gli attriti e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno 

della posizione orizzontale, si chiede di: 


2. determinare il valore della costante α in modo che la frequenza propria del sistema sia tripla rispetto a quella 

della causa eccitatrice; 

3. calcolare il fattore di smorzamento e dire se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni 

di smorzamento critico; 

4. calcolare la legge di moto della slitta in condizioni di regime; 

5. nell’ipotesi di smorzamento trascurabile, dire per quali valori di frequenza della forzante l’accelerazione 

massima della slitta risulta inferiore a 5 m/s 2 . 

Dati 

• Massa dello stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg 

• Mom. d’inerzia dell’asta AB rispetto ad O (compreso il settore dentato) . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.04 kg m 2 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 6 kg 

• Rigidezza della molla verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 2000 N/m 


• Lunghezza dei bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 120 mm 

• Raggio primitivo del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 80 mm 

• Ampiezza della variazione di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p1 = 6000 Pa 

• Pulsazione della variazione di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 6 rad/s 

• Diametro dello stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 100 mm 

Asta 

k 

α k 

c



k 

c 

Un carrello scorrevole su rotaia urta con velocità v0 contro un respingente al quale rimane agganciato. 

Si schematizzi il respingente mediante una molla ed uno smorzatore viscoso (entrambi di massa trascurabile 

rispetto alla massa del carrello). 

Supponendo che non vi sia strisciamento fra la rotaia e le ruote, si chiede di determinare: 

• la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento del sistema; 

• la legge di moto del carrello, l’ampiezza massima di vibrazione e l’istante di tempo in cui tale massimo viene 

raggiunto; 

• l’andamento temporale della forza trasmessa dal respingente al carrello, il massimo valore di tale forza e 

l’istante di tempo in cui il massimo viene raggiunto; 

• il tempo necessario per dissipare i 3/4 dell’energia posseduta dal carrello all’istante iniziale (si calcoli tale 

tempo a partire dall’istante in cui avviene l’urto fra respingente e carrello). 

Se il carrello non rimanesse agganciato al respingente, calcolare l’istante di tempo in cui avviene il distacco e la 

velocità del carrello in tale istante. 

Nota. Si ritenga trascurabile l’attrito volvente fra le ruote e la rotaia. 

Dati 

• Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 1200 kg 

• Momento d’inerzia di ogni ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 2 kg m 2 

• Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 200 mm 

• Costante elastica del respingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 120 kN/m 

• Costante di smorzamento del respingente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 6700 Ns/m 

• Velocità del carrello all’istante iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .v0 = 18 km/h 

R 

J 

M 

v 0 

R 

J



c 

k1 

n 

M 

O 

a 

P 

m 

A 

C 

L 

k2 k3 

L 

R 

R 

L 

L 

J 

J 

B 

D 

Asta a cremagliera 

Una macchina di massa M, che può compiere oscillazioni in direzione orizzontale, è fissata a terra mediante un 

supporto deformabile, schematizzato mediante una molla di rigidezza k1 ed uno smorzatore viscoso di costante 

pari a c. 

Grazie alla presenza di corpi volventi, interposti fra la macchina ed il piano orizzontale, si possono ritenere 

trascurabili i fenomeni di attrito. 

All’interno della macchina è presente un manovellismo a croce che aziona un pistone di massa m; il manovellismo 

è azionato da un motore elettrico ruotante a velocità costante. 

Un’asta a cremagliera, solidale alla macchina, muove due settori dentati, aventi massa trascurabile e raggio 

primitivo R, sui quali sono montate due aste AB e CD di lunghezza 2L. 

Le estremità delle aste sono collegate a due molle di rigidezza k2 e k3, disposte come in figura; le molle risultano 

scariche quando le due aste si trovano in posizione orizzontale. Supponendo che le oscillazioni del sistema siano 

di ampiezza limitata (cosicché le aste AB e CD compiano piccole rotazioni attorno alla posizione orizzontale) si 

chiede di: 


2. calcolare la pulsazione propria, il fattore di smorzamento e la pulsazione propria smorzata; 

3. calcolare l’ampiezza e la fase delle oscillazioni a regime supponendo che la manovella OP ruoti a velocità 

angolare costante. 

Dati 

• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 200 kg 

• Massa in moto alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 20 kg 

• Momento d’inerzia delle aste AB e CD attorno all’asse di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.5 kg m 2 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 10000 N/m k2 = 5000 N/m k3 = 2500 N/m 


• Semi lunghezza delle aste AB e CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 300 mm 

• Raggio dei settori dentati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm 

• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 60 mm 

• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 250 giri/min



m 

l 

Utilizzando il metodo di Rayleigh si calcoli la pulsazione propria del sistema rappresentato in figura, costituito da 

una trave a mensola di massa m (uniformemente distribuita), sulla quale è fissata una massa M in corrispondenza 

dell’estremità libera. 

Dati 

• Massa della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m 

• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 

• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l 

• Modulo di Young del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 

• Momento d’inerzia della sezione traversale della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I 

M



l /2 

M 

Utilizzando il metodo di Rayleigh si calcoli la pulsazione propria del sistema rappresentato in figura, costituito 

da una trave di massa m (uniformemente distribuita), vincolata mediante due appoggi, sulla quale è fissata una 

massa M in corrispondenza del punto medio. 

Dati 

• Massa della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m 

• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 



• Momento d’inerzia della sezione traversale della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I 

l /2 

m



n 

τ 

Y 

3 

10 k 

c 

4 

M 

Il sistema in figura è costituito da un carrello (1), traslante in direzione orizzontale e collegato al bilanciere 

(2) tramite la cerniera O. L’estremo inferiore del bilanciere è vincolato al telaio tramite una molla di costante 

elastica k. Il carrello riceve il movimento da un manovellismo a croce (3), attraverso un elemento deformabile 

(4), schematizzato mediante una molla di rigidezza 10k in parallelo ad uno smorzatore viscoso di costante c. La 

manovella viene azionata a velocità angolare costante da un motore elettrico attraverso un riduttore di velocità 

avente rapporto di trasmissione τ. 

Nell’ipotesi che: 

• tutti gli attriti siano trascurabili; 

• la ruota del carrello rotoli senza strisciare sul piano sottostante; 

• il bilanciere compia piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio (verticale); 

si chiede di: 


2. calcolare la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento; 

3. determinare ampiezza e fase delle vibrazioni del sistema in condizioni di regime. 

Dati 

• Massa del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico della ruota del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .JG = 0.15 kg m 2 

• Momento d’inerzia del bilanciere attorno al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.08 kg m 2 

• Lunghezza del bilanciere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 360 mm 

• Raggio della ruota del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm 


• Costante di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 700 Ns/m 

• Lunghezza della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 60 mm 

• Velocità angolare del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 5000 giri/min 

• Rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ = 1/4 

J G 

G 

R 

2 

1 

J O 

k 

O 

a /2 

a /2



M 

k 

c 

G 

m s , J O 

R 

a b 

O 

Si studino le vibrazioni libere del sistema in figura (posto in un piano verticale), conseguenti ad uno spostamento 

x0 (verso il basso) della massa M rispetto alla posizione di equilibrio statico. 

Si risolva l’esercizio nell’ipotesi che: 

• il sistema sia in quiete all’istante t = 0; 

• l’asta OP (di massa trascurabile) compia piccole oscillazioni attorno alla posizione orizzontale di equilibrio. 

• la trasmissione del moto fra il settore e la massa traslante sia affidata ad una dentatura (non rappresentata 

in figura). 

Dopo aver ricavato l’espressione analitica della legge di moto del sistema, se ne dia una rappresentazione grafica 

a livello qualitativo. 

Nota. Si tenga presente che nella posizione di equilibrio, la molla torsionale è scarica, mentre la molla collegata 

alla massa M esercita una forza tale da mantenere in equilibrio il sistema con l’asta OP orizzontale. 

Dati 

• Massa traslante verticalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 10 kg 

• Massa posta all’estremità dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 2 kg 

• Massa del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ms = 3 kg 

• Momento d’inerzia del settore dentato attorno al punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.08 kg m 2 

• Distanza del baricentro G del settore dal punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 120 mm 

• Distanza della massa m dal punto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b = 400 mm 

• Raggio primitivo del settore dentato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 250 mm 

• Rigidezza della molla collegata alla massa M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2500 N/m 

• Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 30 Nm/rad 


• Spostamento iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x0 = 15 mm 

k T 

m 

P



D 

p 

J 

m2 

k2 c 

p(t) 

p0 

Figura 1 

Figura 2 

Il sistema rappresentato in Figura 1 è costituito dai seguenti elementi: 

• due slitte dotate di cremagliera, scorrevoli senza attrito all’interno di guide rettilinee; 

• una ruota dentata di raggio primitivo R; 

• una cilindro idraulico di diametro D; 

• due molle collegate alle slitte come in figura; 

• uno smorzatore collegato alla slitta inferiore. 

Per semplicità di rappresentazione non sono state rappresentate le dentature delle cremagliere e della ruota. 

Domande 

1. ricavare l’equazione di moto del sistema; 

2. calcolare la pulsazione propria ω; 

3. calcolare il fattore di smorzamento ξ e dire se il sistema risulta sottosmorzato, sovrasmorzato o in condizioni 

di smorzamento critico; 

4. nell’ipotesi che all’istante iniziale il sistema sia fermo nella posizione di equilibrio, determinare l’andamento 

delle vibrazioni del sistema quando la pressione nel cilindro idraulico subisce una variazione a gradino (come 

indicato in Figura 2). 

Dati 

• Masse delle slitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 5 kg m2 = 8 kg 

• Momento d’inerzia della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2 

• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 120 mm 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 1500 N/m k2 = 3000 N/m 


• Pressione nel cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p0 = 70 kPa 

• Diametro del cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 80 mm 

m1 

R 

t 

k1



l1 

d1 

d2 

l2 

k 

Figura 1 

In Figura 1 è rappresentata una barra di torsione di acciaio sulla quale è fissato un disco di raggio R e momento 

d’inerzia J in corrispondenza dell’estremità libera. 

I due tratti della barra hanno diametri e lunghezze differenti. 

Al disco sono applicati una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c. 

Domande 

1. calcolare la rigidezza torsionale della barra; 

2. scrivere l’equazione di moto del disco; 

3. calcolare la pulsazione propria del sistema; 

4. determinare il valore della costante di smorzamento in modo tale che il sistema si trovi in condizioni di 

smorzamento critico; 

5. utilizzando il valore di c precedentemente calcolato, determinare la legge di moto del disco quando vengono 

assegnate le condizioni iniziali sotto indicate. 

Dati 

• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.1 kg m 2 


• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm 

• Diametri dei due tratti della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 15 mm d2 = 10 mm 

• Lunghezza dei due tratti della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l1 = 200 mm l2 = 300 mm 

• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2 

• Condizioni iniziali (ϕ indica la rotazione del disco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϕ(0) = 60 ◦ ˙ϕ(0) = 0 

R 

J 

c



k2 

JO 

r 

O 

R 

Figura 1 

Il sistema in Figura 1 è costituito dai seguenti elementi: 

m 

k c 

1 

F t) 

= F sin Ωt 

( 0 

• due pulegge coassiali di raggio r ed R con perno del punto O; 

• una massa m traslante in direzione verticale lungo una guida priva di attrito; 

• due molle di rigidezza k1 e k2 disposte come in figura; 

• una fune inestensibile che si avvolge sulla puleggia di raggio maggiore, collegata alla massa traslante. 

Il sistema è soggetto all’azione di una forza esterna, applicata alla massa m e variabile nel tempo con legge 

sinusoidale; il valore di picco e la pulsazione della forzante sono assegnati. 

Domande 

• Scrivere l’equazione di moto del sistema e calcolarne la pulsazione propria. 

• Determinare la legge di moto della massa m in condizioni di regime, nell’ipotesi che non vi siano fenomeni 

di smorzamento; 

• Supponendo di applicare alla massa m uno smorzatore viscoso (vedi figura), calcolare il valore della costante 

di smorzamento c per il quale l’ampiezza di vibrazione della massa traslante risulta dimezzata rispetto al 

caso non smorzato. 

Dati 

• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg 

• Momento d’inerzia totale delle due pulegge coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.5 kg m 2 


• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 120 mm R = 240 mm 

• Valore di picco della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 80 N 

• Pulsazione della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 6 rad/s



barra di torsione 

d 

L 

supporto 

λ a 

Figura 1 

c 

a 

asse z 

In Figura 1 è rappresentato un sistema vibrante costituito dai seguenti elementi: 

asta rigida 

• un’asta rigida di lunghezza a e massa trascurabile; 

• una barra di torsione di acciaio di lunghezza L e diametro d, fissata al telaio ad un estremo e collegata all’asta 

come in figura; 

• una massa m, collocata all’estremità dell’asta; 

• uno smorzatore viscoso di costante pari a c, collegato all’asta ad una distanza λa (λ < 1) dall’asse z. 

L’asta è in grado di compiere piccole rotazioni attorno all’asse z, grazie alla deformabilità torsionale della barra. 

Il supporto indicato in figura è fissato al telaio ed impedisce l’inflessione della barra. 

Utilizzando i dati assegnati si chiede di: 

1. calcolare la rigidezza torsionale della barra; 

2. scrivere l’equazione di moto dell’asta e calcolare la frequenza propria delle piccole oscillazioni; 

3. determinare il valore di λ per il quale il sistema ha un fattore di smorzamento ξ = 0.1; 

4. supponendo che all’istante iniziale l’asta sia ruotata di 5 ◦ rispetto all’orizzontale ed abbia velocità nulla, 

determinare la legge di moto dell’asta e tracciarne un grafico qualitativo. 

Dati 

• Massa fissata all’estremità dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 20 kg 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 180 mm 

• Lunghezza della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 120 mm 

• Diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 15 mm 


• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80000 MPa 

m



L 

Figura 1 

W 

e 

m 

M 

h 

Sezione trasv. 

della trave 

Si consideri il sistema in Figura 1, costituito da una trave a mensola in acciaio sulla quale è montato un motore 

elettrico in corrispondenza dell’estremità. 

Sul motore, di massa M, è calettato un rotore di massa m che presenta un’eccentricità e. 

Dopo aver calcolato la rigidezza equivalente della mensola, si studi il comportamento vibratorio del motore nella 

direzione verticale scrivendone l’equazione di moto (si ipotizzi smorzamento trascurabile). 

Si determini poi la pulsazione propria del sistema e si individuino, per via grafica o analitica, gli intervalli di 

velocità del motore per cui l’ampiezza di vibrazione a regime risulti inferiore a 2 mm. 

Nota. Si supponga trascurabile la massa della mensola. 

Dati 

• Massa del motore (escluso il rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 45 kg 

• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg 

• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 15 mm 

• Lunghezza della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 300 mm 

• Dimensioni della sezione trasversale della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b = 100 mm h = 15 mm 

• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 MPa 

b



Il sistema rappresentato in Figura 1 è costituito dai seguenti elementi: 

• un disco di raggio r e momento d’inerzia baricentrico J, ruotante attorno al punto O; 

• una slitta di massa M, scorrevole in una guida orizzontale, che trasmette il movimento al disco per attrito. 

• due molle di rigidezza k disposte come in figura; 

• uno smorzatore viscoso con costante di smorzamento pari a c, collegato alla slitta. 

Si ipotizzi assenza di strisciamento fra il disco e la slitta. 

Domande 

1. Scrivere l’equazione differenziale di moto del sistema. 

2. Determinare la costante di smorzamento c in modo che il sistema sia in condizioni di smorzamento critico. 

3. Studiare il movimento del sistema quando la slitta viene spostata di 80 mm dalla sua posizione di equilibrio 

statico (si ipotizzi il sistema in quiete all’istante t = 0). 

4. Rappresentare in funzione del tempo la soluzione dell’equazione di moto, tracciandone un grafico qualitativo. 

Dati 

k 

r 

Figura 1 


• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.04 kg m 2 

• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.25 m 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m 

O 

J 

M 

k 

c



k r 

r 

c 

M 

J 

Il sistema rappresentato in figura è costituito da un carrello di massa M, dotato di quattro ruote aventi raggio 

r e momento d’inerzia baricentrico pari a J. 

Sul carrello è montata una massa m avente eccentricità e rispetto al perno di rotazione e ruotante con velocità 

angolare costante Ω. 

Il carrello è collegato a terra tramite una molla di rigidezza k ed uno smorzatore viscoso di costante pari a c. 

Domande 

1. Scrivere l’equazione di moto del carrello. 

2. Calcolare la pulsazione propria ed il fattore di smorzamento. 

3. Studiare le vibrazioni forzate in condizioni di regime. 

Nota. Si supponga che non vi sia strisciamento fra le ruote ed il terreno. 

Dati 

• Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 15 kg 

• Momento d’inerzia delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2 

• Massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg 



• Eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 30 mm 

• Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 160 mm 

• Velocità angolare della massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s 

e 

W 

m 

J



c 

k1 

R 

Figura 1 

Si studi il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, ritenendo valide le seguenti ipotesi: 

• puleggia di rinvio con inerzia trascurabile; 

• attrito trascurabile nei supporti che sostengono la slitta di massa m; 

• assenza di slittamento fra il disco di raggio R e la slitta. 

Domande 

1. Calcolare la rigidezza equivalente delle due molle. 

2. Scrivere l’equazione di moto del sistema. 

3. Calcolare la pulsazione propria nell’ipotesi di smorzamento nullo. 

4. Determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che, dopo 5 cicli, l’ampiezza di vibrazione risulti 

il 10% di quella iniziale. 

5. Studiare le vibrazioni libere smorzate del sistema derivanti dalle condizioni iniziali assegnate. 

6. Tracciare un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento delle vibrazioni nel tempo. 

Dati 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 10 kg 

• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.045 kg m 2 



• Spostamento iniziale della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0 = 6 cm 

• Velocità iniziale della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˙x0 = 0 

J 

m 

k2



α k 

k 

2 

J 

Ms 

Jr r 

Jr r 

R 

Mc 

1 

c 

3 

Figura 1 

Il sistema rappresentato in Figura 1a è costituito dai seguenti elementi: 

• una slitta (1) dotata di cremagliera nella parte inferiore, scorrevole senza attrito all’interno di una guida 

rettilinea; 

• una ruota dentata (2) di raggio primitivo R; 

• un carrello (3) con quattro ruote di raggio r, dotato di cremagliera nella parte superiore, che riceve il moto 

dalla ruota dentata; 

• un cilindro idraulico in cui scorre un pistone collegato alla slitta (1); 

• due molle ed uno smorzatore viscoso disposti come in figura; 

Per semplicità non sono state rappresentate le dentature delle cremagliere e della ruota. 

La molla collegata alla slitta (1) ha una rigidezza pari ad α volte quella della molla collegata al carrello. 

Si supponga che le ruote del carrello rotolino senza strisciare sul terreno e che l’attrito volvente sia trascurabile. 

Domande 

1. ricavare l’equazione di moto del sistema; 

2. calcolare la costante α in modo che la frequenza propria (non smorzata) del sistema sia pari a 2 Hz; 

3. calcolare la costante dello smorzatore in modo che il fattore di smorzamento del sistema risulti pari al 70%; 

4. nell’ipotesi che all’istante iniziale il sistema sia fermo nella posizione di equilibrio, determinare il moto 

del carrello quando la pressione nel cilindro idraulico subisce una variazione a gradino (come indicato in 

Figura 1b); 

5. tracciare un grafico qualitativo che rappresenti lo spostamento del carrello in funzione del tempo. 

Dati 

• Massa della slitta (1) (pistone compreso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ms = 35 kg 

• Massa del carrello (3) (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mc = 50 kg 

• Momento d’inerzia della ruota dentata (2) rispetto all’asse di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.025 kg m 2 

• Momento d’inerzia baricentrico delle ruote del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jr = 2 × 10 −3 kg m 2 

• Raggio primitivo della ruota dentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 80 mm 

• Raggio delle ruote del carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 30 mm 

• Rigidezza della molla collegata al carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 10000 N/m 

• Pressione nel cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p0 = 160 kPa 

• Diametro del cilindro idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 65 mm 

p 

D 

a) 

p(t) 

p0 

t 

b)



L 

d 

r2 

r1 

αL 

Figura 1 

M 

J 2 

J1 

r2 

r1 

1 

2 

F t) 

= F sin Ωt 

( 0 

In Figura 1 è rappresentato un sistema meccanico costituito da due ruote dentate che trasmettono il movimento 

ad una slitta scorrevole senza attrito in una guida orizzontale. 

La ruota dentata (1) è vincolata al telaio tramite due barre di torsione di acciaio, aventi uguale diametro e 

differente lunghezza, mentre la ruota (2) è libera di ruotare attorno al proprio asse. 

Supponendo trascurabili tutti gli attriti e le masse delle barre di torsione, si chiede di: 

1. ricavare l’equazione di moto del sistema utilizzando il metodo di Lagrange; 

2. calcolare la costante α in modo che la pulsazione propria del sistema sia pari a ω = 40 rad/s; 

3. nel caso in cui al carrello venga applicata una forza variabile con legge sinusoidale F (t) = F0 sin Ωt, determinare 

per quali valori della pulsazione Ω l’ampiezza di oscillazione della slitta risulta inferiore a 5 

mm. 

Dati 

• Momento d’inerzia delle ruota dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.02 kg m 2 J2 = 0.25 kg m 2 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 35 kg 

• Raggi primitivi delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r1 = 70 mm r2 = 180 mm 

• Diametro delle barre di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm 

• Lunghezza delle barra di torsione di sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 800 mm 

• Intensità della forza sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F0 = 600 N 

• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2



L/2 

e 

Ω 

c 

m 

M 

Figura 1 

L/2 

h 

Sezione trasv. 

della trave 

Si consideri il sistema in Figura 1, costituito da una trave di acciaio, incastrata ad entrambi gli estremi, sulla 

quale è montato un motore elettrico in corrispondenza del punto medio. 

Sul motore, di massa M, è calettato un rotore di massa m che presenta un’eccentricità e. 

Il motore deve funzionare ad una velocità angolare costante assegnata. 

Domande 

1. Determinare la lunghezza L della trave in modo che sia pari a 3 il rapporto fra la frequenza di rotazione 

del motore e la frequenza propria del sistema vibrante costituito dal motore e dalla trave elastica (si ritenga 

trascurabile la massa propria della trave); 

2. calcolare l’ampiezza delle oscillazioni del motore per la velocità di rotazione assegnata; 

3. supponendo ora di dimezzare la velocità di rotazione del motore, calcolare la costante c dello smorzatore (da 

inserire nella posizione indicata in figura), in modo che l’ampiezza delle vibrazioni rimanga uguale al valore 

calcolato al punto 2. 

Dati 

• Massa del motore (escluso il rotore) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 80 kg 

• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 0.8 kg 


• Dimensioni della sezione trasversale della mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b = 100 mm h = 10 mm 

• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 MPa 

• Velocità angolare del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 300 rad/s 

b



c 

k 

J 

R 

M 

r 

Figura 1 

In Figura 1 è rappresentato un sistema vibrante costituito dagli elementi sotto indicati: 

• una coppia di ruote coassiali di raggio r ed R collegate a due molle come in figura; 

• una slitta di massa M scorrevole in direzione orizzontale su due supporti; 

• un manovellismo a croce che trasmette il moto alla slitta tramite una molla; 

• uno smorzatore viscoso, collegato alla slitta come in figura. 

Si supponga che l’attrito dei supporti sia trascurabile, che la trasmissione del moto fra la slitta e la ruota di 

raggio maggiore avvenga in assenza di slittamento e che la manovella OP ruoti a velocità angolare costante Ω. 

Domande 

1. Scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; 

2. calcolare la frequenza propria (non smorzata) del sistema; 

3. determinare la costante c dello smorzatore in modo che, in condizioni di regime, l’ampiezza delle vibrazioni 

dei dischi coassiali sia di 5 ◦ ; 

4. calcolare il fattore adimensionale di smorzamento del sistema, utilizzando il valore di c ricavato al punto 

precedente; 

5. calcolare i valori massimi della velocità e dell’accelerazione della slitta in condizioni di regime (sempre per il 

valore di smorzamento precedentemente determinato). 

Dati 


• Momento d’inerzia della coppia di ruote coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.2 kg m 2 

• Rigidezza di una delle tre molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 800 N/m 

• Raggi delle ruote coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 100 mm R = 200 mm 

• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Y = 120 mm 

• Velocità di rotazione della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 30 rad/s 

2k 

3k 

P 

y(t) 

Y 

O 

Ω



D 

p 

MP 

a 

kT 

A 

a 

Jasta 

B G 

Figura 1 

p(t) 

p0 

R c 

MR ,JG 

Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni attorno 

alla posizione verticale ed il rullo rotoli senza strisciare sul piano di appoggio, si chiede di: 

1. scrivere l’equazione di moto; 

2. calcolare la frequenza propria (non smorzata); 

3. determinare la costante c dello smorzatore in modo che il grado di smorzamento risulti pari al 30%; 

4. studiare le oscillazioni libere del sistema, quando l’asta viene ruotata di 5 ◦ in senso orario rispetto alla 

verticale (si utilizzi il valore di c precedentemente calcolato e si ritenga nulla la pressione del fluido nel 

cilindro); 

5. determinare l’andamento temporale delle oscillazioni dell’asta AB, quando la pressione del fluido nel cilindro 

subisce una variazione a gradino (si supponga che il sistema sia in quiete all’istante iniziale, con l’asta AB 

in posizione verticale). 

Dati 

• Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MP = 5 kg 

• Momento d’inerzia dell’asta AB rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jasta = 0.12 kg m 2 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 12 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.15 kg m 2 

• Rigidezza della molla a spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kT = 400 Nm/rad 


• Semi-lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 250 mm 

• Pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p0 = 50 kPa 

• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 50 mm 

t



k 

JO 

R2 

O R1 

Figura 1 

Si consideri il sistema in Figura 1, costituito dai seguenti elementi: 

• una coppia di pulegge coassiali, ruotanti attorno al perno O, aventi raggio R1 ed R2 rispettivamente; 

• un rullo omogeneo di raggio R3 che rotola senza strisciare sul terreno sottostante; 

• due molle di rigidezza k e 2k disposte come in figura; 

• uno smorzatore viscoso collegato alla puleggia di raggio R1; 

• una tratto di fune inestensibile che collega la puleggia di raggio R2 al centro del rullo. 

Si supponga che alle molle venga assegnato un opportuno precarico, in modo tale che il tratto di fune risulti 

sempre in trazione. 

Domande 

1. scrivere l’equazione di moto del sistema vibrante; 

2. calcolare il valore della rigidezza k in modo che la frequenza propria (non smorzata) del sistema sia pari a 2 

Hz; 

3. determinare il valore della costante c dello smorzatore in modo che il fattore di smorzamento del sistema 

risulti dell’ 8%; 

4. utilizzando i valori di k e c precedentemente calcolati, determinare la legge di moto del centro del rullo, 

quando questo viene spostato di 50 mm verso destra rispetto alla posizione di equilibrio e successivamente 

rilasciato (si ritenga nulla la velocità iniziale del rullo). 

5. tracciare un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento delle vibrazioni in funzione del tempo; 

6. calcolare la riduzione percentuale dell’ampiezza di vibrazione dopo 3 cicli completi. 

Dati 

• Momento d’inerzia complessivo delle due pulegge coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.5 kg m 2 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 25 kg 

• Raggio della puleggia piccola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R1 = 80 mm 

• Raggio della puleggia grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R2 = 160 mm 

• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R3 = 110 mm 

c 

G 

R3 

m 

2k



k 

3 

M 

m 

e 

k k k 

c 

Figura 1 

Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è costituito da una piattaforma (1) sulla quale è montato un 

motore elettrico (2) dotato di un rotore (3) con eccentricità pari ad e. 

La piattaforma è vincolata tramite guide rettilinee e pertanto può effettuare spostamenti soltanto in direzione 

verticale. 

Il collegamento tra la piattaforma ed il telaio è costituito da quattro molle elicoidali, aventi ciascuna ns spire 

utili di diametro D; ogni molla è realizzata con un filo di acciaio di diametro d. 

Supponendo trascurabili tutti i fenomeni di smorzamento dovuti agli effetti dell’attrito, si chiede di: 


2. determinare la rigidezza equivalente della sospensione elastica; 

3. calcolare la frequenza propria del sistema; 

4. calcolare, per via grafica o analitica, gli intervalli di velocità di rotazione del motore per cui l’ampiezza di 

vibrazione risulta inferiore a 2 mm; 

5. supponendo di introdurre nel sistema uno smorzatore viscoso (disposto come in figura), determinare il valore 

della costante di smorzamento c in modo che l’ampiezza di vibrazione risulti sempre pari a 2 mm quando il 

sistema opera in condizioni di risonanza. 

Dati 

• Massa traslante (piattaforma e motore - rotore escluso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 3 kg 

• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 0.6 kg 

• Eccentricità del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e = 8 mm 

• Numero di spire utili di ogni molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ns = 5 

• Diametro delle spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 15 mm 

• Diametro del filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 1.5 mm 


Nota. Per il calcolo della rigidezza di una molla elicoidale si utilizzi la formula sotto riportata: 

k = Gd4 

8 nsD 3 

2 

1



p(t) 

T 

pmax 

t 

JL 

c 

a 

A 

Figura 1 

Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni ed il rullo 

rotoli senza strisciare, si chiede di: 


2. determinare la rigidezza k della molla in modo che la pulsazione propria non smorzata del sistema risulti 

uguale a 30 rad/s; 

3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il fattore di smorzamento adimensionale del 

sistema risulti pari al 20%; 

4. supponendo nulla la pressione nel cilindro, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene 

spostata di 25 mm verso destra e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale); 

tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta; 

5. supponendo che la variazione nel tempo della pressione nel cilindro sia approssimabile mediante la legge 

sinusoidale 4 rappresentata in Figura 1, determinare l’andamento delle oscillazioni della slitta in condizioni 

di regime. 

Dati 


• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MS = 12 kg 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 6 kg 

• Momento d’inerzia della leva rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JL = 0.2 kg m 2 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JR = 0.075 kg m 2 


• Semi-lunghezza della leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 300 mm 

• Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 40000 Pa 

• Periodo con cui varia la pressione nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .T = 2 s 

• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 130 mm 

4 I valori negativi indicano una depressione nel cilindro. 

B 

a 

MP 

MS 

p 

D 

R 

k 

MR ,JR



3k 

r r 

R R 

M 

J J 

k 

k 

mr 

e 

Figura 1 

Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, è costituito da una piattaforma traslante di massa M che può 

muoversi soltanto in direzione verticale grazie alla presenza di due guide. 

Le guide presentano attrito trascurabile e sulla loro parte esterna sono ricavate due cremagliere che permettono 

la trasmissione del moto senza slittamenti alle due ruote dentate laterali (per semplicità di rappresentazione 

non sono state disegnate le dentature delle cremagliere e delle ruote). 

Sulla piattaforma è montato un motore elettrico, il cui rotore, di massa mr, ha un’eccentricità pari ad e. La 

piattaforma è fissata a due supporti elastici schematizzati mediante molle di uguale costante elastica k. 

Coassialmente alle ruote dentate sono montate due pulegge di raggio r. La puleggia di sinistra è collegata ad 

una molla di rigidezza 3k, mentre quella di destra è collegata ad uno smorzatore viscoso di costante c. 

Domande 


2. determinare la rigidezza k dei supporti elastici in modo che la frequenza propria non smorzata del sistema 

risulti uguale a 8 Hz; 



4. nell’ipotesi che il motore sia fermo, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata 

di 50 mm verso l’alto e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale); 

5. tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta 

durante la vibrazione libera; 

6. calcolare la riduzione percentuale dell’ampiezza di vibrazione dopo 2 cicli di vibrazione libera; 

7. supponendo che il motore venga azionato a velocità angolare costante, determinare ampiezza e fase della 

legge di moto della piattaforma in condizioni di regime; 

8. nell’ipotesi che lo smorzatore viscoso venga scollegato, dire per quali valori di velocità angolare del motore 

l’accelerazione della piattaforma (a regime) risulta superiore a 1.5 m/s 2 . 

Dati 

• Massa della piattaforma (motore compreso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg 

• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mr = 0.5 kg 

• Momento d’inerzia dei gruppi laterali ruota dentata-puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.2 kg m 2 

• Raggio primitivo delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm 

• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm 


• Velocità angolare del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1200 giri/min 

c



αk 

a 

a 

Jasta 

m 

c 

r 

R 

J 

k 

Figura 1 

Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è azionato da un manovellismo a croce tramite un motore elettrico 

ed un riduttore di velocità avente rapporto di trasmissione τ. Il manovellismo a croce trasmette il moto ad 

una coppia di dischi coassiali tramite un elemento elastico di rigidezza k. Sul disco di raggio maggiore agisce 

uno smorzatore viscoso di costante c. Una slitta di massa m, scorrevole in direzione verticale, riceve il moto 

per attrito dal disco di raggio R (si ipotizzi assenza di slittamento fra il disco e la slitta). La slitta è collegata 

ad un’asta di lunghezza 2a incernierata nel punto medio; una molla di rigidezza αk è fissata all’estremo destro 

dell’asta. 

Si ipotizzi che i supporti della slitta abbiano attrito trascurabile e che l’asta compia piccole oscillazioni. 

Domande 


2. calcolare il valore della costante α in modo che la frequenza propria non smorzata del sistema risulti uguale 

a 3 Hz; 

3. determinare la costante c dello smorzatore viscoso in modo che il sistema sia in condizioni di smorzamento 

critico; 

4. nell’ipotesi che il motore sia fermo, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene spostata 

di 35 mm verso l’alto e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale); 

5. rappresentare in forma grafica l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta durante la vibrazione 

libera; 

6. calcolare la velocità massima (in valore assoluto) della slitta durante la fase di moto libero; 

7. supponendo che il motore venga azionato a velocità angolare costante, determinare ampiezza e fase della 

legge di moto della slitta in condizioni di regime; 

8. calcolare l’aumento percentuale dell’ampiezza di vibrazione a regime quando lo smorzatore viene scollegato. 

Dati 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 3 kg 

• Momento d’inerzia della coppia di dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.015 kg m 2 

• Momento d’inerzia dell’asta oscillante rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jasta = 0.04 kg m 2 

• Rigidezza della molla collegata al manovellismo a croce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1200 N/m 

• Semi-lunghezza dell’asta oscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 200 mm 

• Raggio del disco maggiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm 

• Raggio del disco minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm 


• Rapporto di trasmissione del riduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . τ = 1/20 

• Velocità angolare del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 1440 giri/min 

Y 

y(t) 

τ 

n

Parte II 

Vibrazioni di sistemi 

a più gradi di libertà



Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, 

nell’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio. 

Dati 

l 1 

θ 

O 1 

1 

G 1 

m 

1 

A 

k 

Figura 1 

• Massa dell’asta O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 2m = 14 kg 

• Massa dell’asta O2B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m2 = m = 7 kg 


• Lunghezza dell’asta O1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 2l = 1.8 m 

• Lunghezza dell’asta O1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l2 = l = 0.9 m 

Soluzione 

Il problema può essere facilmente risolto mediante le equazioni di Lagrange: 

L’energia cinetica del sistema risulta: 

O 

2 

θ 

2 

G 2 

⎧ 

⎪⎨ 

 

d ∂T 

dt ∂ 

⎪⎩ 

˙ 

− 

ϑ1 

∂T 

+ 

∂ϑ1 

∂V 

∂ϑ1 

= 0 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

− 

ϑ2 

∂T 

+ 

∂ϑ2 

∂V 

∂ϑ2 

= 0 

m 

2 

B 

l 2 

T = 1 

2 (J1 ˙ ϑ 2 1 + J2 ˙ ϑ 2 2) (2) 

dove J1 e J2 indicano rispettivamente i momenti d’inerzia delle due aste rispetto ai centri di rotazione O1 ed 

O2; trattandosi di aste omogenee si ha: 

J1 = m1l 2 1 

3 

J2 = m2l 2 2 

3 

= 2m · (2l)2 

3 

= ml2 

3 

= 8 

3 ml2 

(1) 

(3)

Parte III - Vibrazioni di sistemi a più gradi di libertà - Rev. 8 ottobre 2008 79 

L’energia potenziale è costituita da due termini legati al peso proprio delle aste e da un termine dipendente 

dalla rigidezza della molla di collegamento; assumendo come riferimento per l’energia potenziale gravitazionale 

la retta orizzontale passante per le cerniere O1 ed O2 possiamo scrivere: 

V = −m1g l1 

2 cos ϑ1 − m2g l2 

2 cos ϑ2 + 1 

2 k 

 

 

= −mgl 2 cos ϑ1 + 1 

 

cos ϑ2 + 

2 1 

2 kl2 (sin ϑ2 − sin ϑ1) 2 

l2 sin ϑ2 − l1 

sin ϑ1 

2 

Nell’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (aste verticali), è possibile approssimare 

le funzioni seno e coseno con i rispettivi sviluppi in serie arrestati al 2 ◦ ordine; si ha pertanto: 

sin ϑ ∼ = ϑ cos ϑ ∼ = 1 − ϑ2 

2 

Utilizzando le espressioni approssimate (5) l’energia potenziale assume la forma seguente: 

 

V = mgl ϑ 2 1 + 1 

4 ϑ2 

2 + 1 

2 kl2 (ϑ2 − ϑ1) 2 + cost. (6) 

A questo punto è possibile calcolare i vari termini che compaiono nelle equazioni di Lagrange: 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

= 

ϑ1 

8 

3 ml2ϑ1 ¨ 

∂T 

∂ϑ1 

= 0 

∂V 

∂ϑ1 

= (kl 2 + 2mgl)ϑ1 − kl 2 ϑ2 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

= 

ϑ2 

ml2 

3 ¨ ϑ2 

∂T 

∂ϑ2 

= 0 

∂V 

∂ϑ2 

= 1 

2 mgl ϑ2 + kl 2 (ϑ2 − ϑ1) 

Sostituendo le relazioni sopra riportate nel sistema (1) si ottiene: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

8 

3 ml2 ¨ ϑ1 + (kl 2 + 2mgl)ϑ1 − kl 2 ϑ2 = 0 

ml 2 

In forma matriciale possiamo scrivere 5 : 

dove: 

[J] = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

8 

3 ml2 

0 

0 

ml 2 

3 

⎤ 

3 ¨ ϑ2 − kl 2 ϑ1 + 

⎥ 

⎦ [K] = 

 

kl 2 + 1 

2 mgl 

 

ϑ2 = 0 

[J]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (9) 

kl 2 + 2mgl −kl 2 

−kl 2 kl 2 + 1 

2 mgl 

 

2 

{ϑ} = 

Il calcolo delle pulsazioni proprie si effettua ponendo uguale a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω 2 [J]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

 

[J]| = 

 

 

(kl2 2 8 

+ 2mgl) − ω 

3 ml2 

−kl 2 

−kl2 

kl2 + 1 

2 mgl 

 

2 ml2 

− ω 

3 

ϑ1 

ϑ2 

 

(4) 

(5) 

(7) 

(8) 

(10) 

 

 

 

 

= 0 (11) 

 

 

Dividendo per l tutti gli elementi della matrice [∆] e sviluppando il determinante, si ricava la seguente equazione 

caratteristica: 

8 

9 m2l 2 ω 4 − (3kl 2 m + 2m 2 gl)ω 2 

5 

+ 

2 klmg + m2g 2 

 

= 0 (12) 


35.3 ω 4 − 26380.2 ω 2 + 236476.8 = 0 (13) 

5 Il simbolo 0 indica il vettore nullo, ovvero un vettore colonna i cui elementi sono tutti nulli; ovviamente la dimensione del 

vettore coincide con il numero dei gradi di libertà del sistema.


Le pulsazioni proprie risultano pertanto: 

ω1 = 3.012 rad/s ω2 = 27.178 rad/s (14) 

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare algebrico: 

⎧ 

⎪⎨ 

kl2 2 8 

+ 2mgl − ω 

3 ml2 

 

Θ1 − kl2Θ2 = 0 

⎪⎩ 

−kl2 

Θ1 + 

kl2 + 1 ml2 

mgl − ω2 

2 3 

 

Θ2 = 0 

in cui i simboli Θ1 e Θ2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna asta; da una qualsiasi delle due equazioni 

è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione. 

Utilizzando, ad esempio, la prima equazione si ricava: 

 

Θ1 

kl 

= 

Θ2 ω=ω1 kl + 2mg − ω2 8 

1 

3 ml 

= 1.011 

 

Θ1 

kl 

= 

Θ2 ω=ω2 kl + 2mg − ω2 8 

2 

3 ml 

(16) 

= −0.124 

I modi principali di vibrare risultano pertanto espressi dai seguenti vettori modali: 

• Primo modo (ω = ω1 = 3.012 rad/s): 

• Secondo modo (ω = ω2 = 27.178 rad/s): 

 

Θ1 

Φ1 = 

Θ2 

 

Θ1 

Φ2 = 

Θ2 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

1.011 

1 

−0.124 

1 

 

 

(15) 

(17) 

(18)



Nel sistema in Figura 1 le due aste rigide ed uniformi hanno uguale lunghezza e differenti masse. 

Scrivere le equazioni di moto del sistema e determinarne le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare. 

Dati 

O 1 

m 1 

l/2 

G 1 

l/4 l/4 

k 1 

k 2 

G 2 

O 2 

l/4 l/4 l/4 l/4 

Figura 1 

• Masse delle aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 1 kg m2 = 5 kg 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1600 N/m k2 = 2000 N/m 

Nota. Il momento d’inerzia baricentrico di un’asta omogenea di massa m e lunghezza l risulta pari a JG = ml 2 /12. 

Soluzione 

Il problema si può risolvere agevolmente mediante le equazioni di Lagrange. 

Indichiamo con ϑ1 e ϑ2 gli spostamenti angolari delle due aste, misurati a partire dalla posizione di equilibrio 

del sistema (vedi Figura 2). 

O 1 

L’energia cinetica risulta: 

θ 1 

G 1 

k 1 

Figura 2 

k 2 

θ 2 

G 2 

T = 1 

(J1ϑ˙ 2 2 1 + ˙ J2ϑ2 2 ) (1) 

dove J1 e J2 indicano i momenti d’inerzia delle due aste calcolati rispetto ai centri di rotazione O1 e O2; poiché 

si tratta di aste omogenee di uguale lunghezza e di massa differente si ha: 

2 m1l l 

J1 = + m1 

12 2 

2 m2l l 

J2 = + m2 

12 4 

2 

2 

= 1 2 

m1l 

3 

= 7 2 

m2l 

48 

O 2 

m 2 

(2)


L’energia potenziale, nell’ipotesi di piccole vibrazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si può scrivere 

nella forma sotto riportata: 

V = 1 

2 k1 

 

3 

4 lϑ1 − 3 

4 lϑ2 

2 + 1 

2 k2 

 

l 

2 ϑ2 

2 = 9 

32 k1l 2 (ϑ1 − ϑ2) 2 + 1 

8 k2l 2 ϑ 2 2 

Le equazioni di Lagrange per il sistema in esame sono le seguenti: 

⎧ 

⎪⎨ 

 

d ∂T 

dt ∂ 

⎪⎩ 

˙ 

− 

ϑ1 

∂T 

+ 

∂ϑ1 

∂V 

∂ϑ1 

= 0 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

− 

ϑ2 

∂T 

+ 

∂ϑ2 

∂V 

∂ϑ2 

= 0 

in cui: 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

ϑ1 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

ϑ2 

= J1 ¨ ϑ1 = 1 

3 m1l 2 ¨ ϑ1 

= J2 ¨ ϑ2 = 7 

48 m2l 2 ¨ ϑ2 

∂T 

= 0 

∂ϑ1 

∂T 

= 0 

∂ϑ2 

∂V 

∂ϑ1 

∂V 

∂ϑ2 

= 9 

16 k1l 2 (ϑ1 − ϑ2) 

= − 9 

16 k1l 2 

1 

ϑ1 + 

4 k2l 2 + 9 

 

2 

k1l ϑ2 

16 

Sostituendo tali espressioni nel sistema di equazioni (4) e semplificando rispetto ad l2 , si ottengono le equazioni 

di moto sotto riportate: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

1 

3 m1 ¨ ϑ1 + 9 

16 k1ϑ1 − 9 

16 k1ϑ2 = 0 

7 

48 m2 ¨ ϑ2 − 9 

16 k1ϑ1 + 

1 

4 k2 + 9 

16 k1 

 

ϑ2 = 0 

Come si può notare, tali equazioni risultano indipendenti dalla lunghezza delle aste. 

Passando alla notazione matriciale si ha: 

dove: 

[M] = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 

3 m1 

0 

0 

7 

48 m2 

⎤ 

⎥ 

⎦ [K] = 

[M]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (7) 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

9 

16 k1 

− 9 

16 k1 

− 9 

16 k1 

1 

4 k2 + 9 

16 k1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

{ϑ} = 

Le pulsazioni proprie del sistema si calcolano uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K]−ω 2 [M]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

 

 

[M]| = 

 

 

 

L’equazione caratteristica è la seguente: 

avendo posto: 

9 

16 k1 

2 1 

− ω 

3 m1 

− 9 

16 k1 

− 9 

16 k1 

1 

4 k2 + 9 

16 k1 

 

2 7 

− ω 

48 m2 

ϑ1 

ϑ2 

 

(3) 

(4) 

(5) 

(6) 

(8) 

 

 

 

 

 

= 0 (9) 

 

 

 

Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (10) 

A = 7 

144 m1m2 = 0.243 kg 2 

 

21 

B = − 

256 k1m2 + 1 

12 k2m1 + 3 

16 k1m1 

 

C = 9 

64 k1k2 = 450000 kg 2 s −4 

= −1122.9 kg 2 s −2 

(11)


Risolvendo l’equazione caratteristica si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori: 

⎪⎩ 

ω1 = 21.05 rad/s ω2 = 64.63 rad/s (12) 

I modi principali di vibrare si calcolano utilizzando una delle due equazioni del sistema: 

⎧ 

9 

⎪⎨ 16 k1 

2 1 

− ω 

3 m1 

 

Θ1 − 9 

16 k1Θ2 = 0 

nelle incognite Θ1 e Θ2 (ampiezze di oscillazione). 

Utilizzando ad esempio la prima equazione, si ottiene: 

− 9 

16 k1Θ1 

 

1 

+ 

4 k2 + 9 

16 k1 

2 7 

− ω 

48 m2 

 

= 0 

Θ1 

Θ2 

Θ1 

Θ2 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

9 

9 

16 k1 

16 k1 − ω 2 1 

9 

9 

16 k1 

16 k1 − ω 2 2 

1 

3 m1 

= 1.196 

1 

3 m1 

= −1.828 




 

Θ1 

Φ1 = 

Θ2 

 

Θ1 

Φ2 = 

Θ2 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

1.196 

1 

−1.828 

1 

 

 

(13) 

(14) 

(15) 

(16)



Il sistema in Figura 1 è costituito da due pulegge collegate da una cinghia di cui si evidenzia la costante elastica 

k; alla puleggia di diametro maggiore è collegato un pendolo costituito da un’asta di massa trascurabile e da 

una massa m concentrata all’estremità. 

Nell’ipotesi che la cinghia non slitti sulle pulegge, si richiede di: 

1. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema; 

2. calcolare l’ampiezza delle oscillazioni dei due dischi in condizioni di regime, quando al disco (1) viene applicata 

una coppia Cm variabile nel tempo secondo la legge Cm = C0 sin Ωt. 

Nota. Si assuma l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (pendolo verticale). 

Dati 

C (t) 

m 

1 

r 

k 

O1 2 

J1 k 

Figura 1 

• Momento d’inerzia delle due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 1 kg m 2 J2 = 3 kg m 2 

• Raggi delle due pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 0.4 m R = 0.8 m 

• Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 5 kg 

• Lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.5 m 

• Rigidezza dei due rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m 

• Ampiezza della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 50 Nm 

• Pulsazione della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s 

Soluzione 

Calcolo delle pulsazioni proprie e dei modi principali di vibrare 

Per ricavare le pulsazioni proprie del sistema occorre scrivere le equazioni di moto relative alle vibrazioni libere: 

quindi, in questa prima fase dello studio non si considererà l’effetto della forzante esterna. Se si adotta il metodo 

degli equilibri dinamici, occorre in primo luogo evidenziare le forze e le coppie che agiscono sugli elementi del 

sistema durante il moto (vedi Figura 2). 

Le equazioni di equilibrio dinamico alla rotazione attorno ai perni sono le seguenti: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

J1 ¨ ϑ1 + kr(rϑ1 − Rϑ2) − kr(Rϑ2 − rϑ1) = 0 

J2 ¨ ϑ2 + kR(Rϑ2 − rϑ1) − kR(rϑ1 − Rϑ2) + ml 2 ¨ ϑ2 + mgl sin ϑ2 = 0 

R 

O 

J 2 

2 

(1)


k(r 

θ1- R θ ) 

1 

2 

k(R 

θ 2 - r θ ) 

J 1 θ .. 

θ 1 

1 

k(R 

θ 2 - r θ ) 

1 

Figura 2 

.. 

mlθ 2 

θ 2 

mg 

k (r θ1- R θ ) 

J θ .. 

2 

2 

. 

2 

mlθ 2 

Ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ) e semplificando 

opportunamente, si ottiene: 

⎧ 

⎨ J1 

⎩ 

¨ ϑ1 + 2kr2ϑ1 − 2krR ϑ2 = 0 

(2) 

Utilizzando ora le seguenti definizioni: 

 

J1 

[J] = 

0 

0 

J2 + ml2 

(J2 + ml 2 ) ¨ ϑ2 − 2krR ϑ1 + (2kR 2 + mgl)ϑ2 = 0 

[K] = 

2kr 2 −2krR 

−2krR 2kR 2 + mgl 

il sistema delle equazioni di moto può essere riscritto nella forma matriciale: 

 

2 

{ϑ} = 

ϑ1 

[J]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (4) 

Osservando le matrici [J] e [K] si osserva che il sistema presenta accoppiamento elastico (matrice [K] non 

diagonale), mentre risulta disaccoppiato dal punto di vista inerziale (matrice [J] diagonale). 

Le pulsazioni proprie si calcolano ponendo uguale a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [J]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

[J]| = 

2kr2 − ω2 

J1 

−2krR 

 

 

= 0 (5) 

−2krR (2kR 2 + mgl) − ω 2 (J2 + ml 2 ) 

L’equazione caratteristica che si ottiene sviluppando il determinante è la seguente: 

avendo posto: 

A = J1(J2 + ml 2 ) = 14.25 kg 2 m 4 

Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (6) 

B = −2kr 2 (J2 + ml 2 ) − J1(2kR 2 + mgl) = −11753.575 kg 2 m 4 s −2 

C = 2kr 2 mgl = 47088 kg 2 m 4 s −4 

ϑ2 

 

(3) 

(7)


Con i dati assegnati dal problema si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori sotto riportati: 

ω1 = 2.006 rad/s ω2 = 28.649 rad/s (8) 

Calcoliamo ora i modi principali di vibrare, considerando il sistema lineare algebrico omogeneo avente come 

matrice dei coefficienti la matrice [∆]; le incognite T heta1 e T heta2 di tale sistema rappresentano le ampiezze 

di vibrazione delle due pulegge. 

⎧ 

⎨ (2kr 

⎩ 

2 − ω2J1)Θ1 − 2krR Θ2 = 0 

(9) 

−2krR Θ1 + [(2kR 2 + mgl) − ω 2 (J2 + ml 2 )]Θ2 = 0 

Avendo posto uguale a zero il determinante della matrice dei coefficienti, le due equazioni risultano equivalenti; 

pertanto possiamo ricavare il rapporto fra le ampiezze da una qualsiasi di esse. 

Utilizzando, ad esempio, la prima equazione si ha: 

 

Θ1 

2krR 

= 

= 2.013 

Θ2 

Θ1 

Θ2 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

2kr 2 − ω 2 1 J1 

2krR 

2kr 2 − ω 2 2 J1 

= −7.080 




Moto forzato 

 

Θ1 

Φ1 = 

Θ2 

 

Θ1 

Φ2 = 

Θ2 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

2.013 

1 

−7.080 

1 

Inserendo nelle equazioni di moto il contributo della forzante esterna si ottiene: 

⎧ 

⎨ J1 ¨ ϑ1 + 2kr2ϑ1 − 2krR ϑ2 = Cm(t) 

⎩ 

(J2 + ml 2 ) ¨ ϑ2 − 2krR ϑ1 + (2kR 2 + mgl)ϑ2 = 0 

Poiché Cm = C0 sin Ωt, ed il sistema è lineare, la soluzione a regime sarà del tipo: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

ϑ1(t) = Θ1 sin Ωt 


dove ora i simboli Θ1 e Θ2 indicano ora l’ampiezza delle vibrazioni nel moto forzato in condizioni di regime. 

Sostituendo tale soluzione nel sistema di equazioni e semplificando i termini armonici si ottiene: 

⎧ 

⎨ (2kr 

⎩ 

2 − Ω2J1)Θ1 − 2krR Θ2 = C0 

(15) 

−2krR Θ1 + [(2kR 2 + mgl) − Ω 2 (J2 + ml 2 )]Θ2 = 0 

Si tratta di un sistema lineare algebrico non omogeneo nelle incognite Θ1 e Θ2. 

Con i dati del problema si ha: ⎧ 

⎨ 240 Θ1 − 1280 Θ2 = 50 

⎩ 

−1280 Θ1 − 3066.425 Θ2 = 0 

 

 

(10) 

(11) 

(12) 

(13) 

(14) 

(16)


Risolvendo il sistema si ricava: ⎧ ⎨ 

⎩ 

Θ1 = 0.0646 rad = 3.7 ◦ 

Θ2 = −0.027 rad = −1.54 ◦ 

Come si può osservare, le vibrazioni a regime avvengono in opposizione di fase, poiché le ampiezze hanno segno 

discorde; pertanto: ⎧ 

⎨ ϑ1(t) = 0.0646 sin 20 t 

⎩ 

ϑ2(t) = −0.027 sin 20 t = 0.027 sin(20 t − π) 

(18) 

(17)



Per il sistema vibrante a due gradi di libertà rappresentato in Figura 1 si chiede di calcolare: 

1. le pulsazioni proprie; 

2. i modi principali di vibrare; 

3. l’ampiezza delle vibrazioni a regime per effetto dello spostamento impresso al punto A. 

Dati 

Ω 

Y 

k1 

A B 

Figura 1 

G 

m , J G 


• Massa del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.02 kgm 2 


• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 100 kN/m k2 = 10 kN/m k3 = 20 kN/m 


• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 100 rad/s 

Soluzione 

Risolviamo il problema con il metodo degli equilibri dinamici. 

Per descrivere il moto del sistema utilizziamo come coordinate libere la traslazione della slitta x e la rotazione 

della puleggia ϑ; il manovellismo a croce imprime al punto A uno spostamento armonico esprimibile mediante 

l’equazione y(t) = Y sin Ωt (vedi Figura 2). 

y(t) 

Ωt 

Y 

k1 

A B 

Figura 2 

x 

R 

θ 

G 

R 

m , J G 

k 

M 

k 

k 

k 

2 

3 

2 

3


Per lo studio delle vibrazioni libere occorre annullare gli effetti delle forzanti esterne; pertanto porremo y(t) = 0. 

In Figura 3 sono evidenziate le forze e le coppie agenti sul sistema in condizioni di moto libero: 

k x 

1 

J θ G 

x 

.. 

(M+m) x .. 

Figura 3 

θ 

G 

R 

k 2(x 

+ R θ) 

k 3(x 

- R θ ) 

L’equazione di equilibrio alla traslazione per il sistema slitta-puleggia è la seguente: 

(M + m)¨x + k1x + k2(x + Rϑ) + k3(x − Rϑ) = 0 (1) 

Per l’equilibrio alla rotazione della puleggia attorno al punto G si ha: 

JG ¨ ϑ + k2R(x + Rϑ) − k3R(x − Rϑ) = 0 (2) 

Riordinando i vari termini si perviene al sistema di equazioni differenziali: 

⎧ 

⎨ (M + m)¨x + (k1 + k2 + k3)x + (k2 − k3)Rϑ = 0 

⎩ 

Utilizzando ora le seguenti definizioni: 

 

M + m 

[M] = 

0 

0 

JG 

 

JG ¨ ϑ + (k2 − k3)Rx + (k2 + k3)R 2 ϑ = 0 

[K] = 

(k1 + k2 + k3) (k2 − k3)R 

(k2 − k3)R (k2 + k3)R 2 

 

{x} = 

il sistema delle equazioni di moto può essere riscritto nella forma matriciale sotto riportata: 

x 

ϑ 

[M]{¨x} + [K]{x} = 0 (5) 

A questo punto possiamo calcolare le pulsazioni proprie del sistema, annullando il determinante della matrice 

[∆] = [K] − ω2 [M]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

[M]| = 

(k1 + k2 + k3) − ω2 

(M + m) (k2 − k3)R 

 

= 0 (6) 

(k2 − k3)R (k2 + k3)R 2 − ω 2 JG 

Con semplici passaggi algebrici si perviene all’equazione caratteristica: 

in cui: 

A = (M + m)JG = 0.1 kg 2 m 2 

Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (7) 

B = −[(M + m)(k2 + k3)R 2 + (k1 + k2 + k3)JG] = −8600 kg 2 m 2 s −2 

C = (k1k2 + k1k3 + 4 k2k3)R 2 = 1.52 × 10 8 kg 2 m 2 s −4 

Risolvendo l’equazione caratteristica si ottengono, per le pulsazioni proprie, i valori sotto riportati: 

ω1 = 157.7 rad/s ω2 = 247.3 rad/s (9) 

 

(3) 

(4) 

(8)


Calcoliamo ora i modi principali di vibrare considerando il sistema lineare omogeneo, avente come incognite le 

ampiezze di oscillazione X e Θ e come matrice dei coefficienti la matrice [∆]. 

⎧ 

⎨ [(k1 + k2 + k3) − ω 

⎩ 

2 (M + m)] X + (k2 − k3)R Θ = 0 

(10) 

(k2 − k3)R X + [(k2 + k3)R 2 − ω 2 JG] Θ = 0 

Da una qualsiasi delle due equazioni è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; ad esempio 

dalla seconda si ricava: 

X 

Θ 

= (k2 + k3)R2 − ω2 1JG 

= 0.351 m/rad 

(k3 − k2)R 

ω=ω1 

 

X 

= 

Θ ω=ω2 

(k2 + k3)R2 − ω2 2JG 

= −0.011 m/rad 

(k3 − k2)R 




Moto forzato 

Φ1 = 

Φ2 = 

X 

Θ 

X 

Θ 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

0.351 

1 

−0.011 

1 

Per il calcolo delle ampiezze di oscillazione in condizioni di regime sinusoidale permanente occorre considerare 

nelle equazioni di moto il contributo della forzante armonica; a tale scopo basta osservare che, a causa dello 

spostamento del punto A, la forza esercitata dalla molla di rigidezza k1 vale k1(x − y); il sistema delle equazioni 

di moto diviene pertanto: 

⎧ 

⎨ (M + m)¨x + (k1 + k2 + k3)x + (k2 − k3)Rϑ = k1Y sin Ωt 

⎩ 

JG ¨ ϑ + (k2 − k3)Rx + (k2 + k3)R2 (14) 

ϑ = 0 

La soluzione a regime sarà: ⎧ ⎨ 

⎩ 

x(t) = X sin Ωt 

ϑ(t) = Θ sin Ωt 

in cui i simboli X e Θ indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime. 

Sostituendo le espressioni di x(t) e ϑ(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto e semplificando i 

termini armonici si ricava: 

⎧ 

⎨ [(k1 + k2 + k3) − Ω 

⎩ 

2 (M + m)] X + (k2 − k3)R Θ = k1Y 

(16) 

Con i dati del problema si ottiene: ⎧ ⎨ 

da cui: ⎧ ⎨ 

(k2 − k3)R X + [(k2 + k3)R 2 − Ω 2 JG] Θ = 0 

⎩ 

⎩ 

80 X − 2 Θ = 1 

−2 X + Θ = 0 

X = 0.0132 m = 13.2 mm 

Θ = 0.0263 rad = 1.51 ◦ 

 

 

(11) 

(12) 

(13) 

(15) 

(17) 

(18)



Il meccanismo rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano orizzontale ed è costituito dai seguenti elementi: 

• una puleggia di raggio R e momento d’inerzia J1 rotante attorno al punto O1; 

• una puleggia di raggio 2R e momento d’inerzia J2 rotante attorno al punto O2; 

• un’asta AB di massa m, che costituisce la biella del parallelogramma articolato O2ABO3; 

• un’asta O3C, di massa trascurabile e lunghezza l = 3R, alla cui estremità superiore è fissata una massa 

puntiforme M; 

• una cinghia di trasmissione i cui rami presentano una rigidezza k assegnata; 

• una molla torsionale, avente rigidezza kt, che esercita un richiamo elastico sull’asta O3C. 

Supponendo che le manovelle O2A e O3B abbiano lunghezza pari ad R, si chiede di: 

1. scrivere le equazioni di moto del sistema in assenza di forzanti esterne; 

2. calcolare le pulsazioni proprie e i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno dei modi principali di 

vibrare; 

3. determinare le ampiezze di oscillazione in condizioni di regime quando alla puleggia di raggio minore viene 

applicata una coppia C(t) variabile del tempo secondo la legge C(t) = C0 sin Ωt. 

C(t) 

Dati 

R 

O 1 

J 1 

k 

k 

2R 

R 

A m B 

O O 

2 

3 

k 

Figura 1 

• Raggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.1 m 

• Momento d’inerzia della puleggia di raggio minore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 × 10 −3 kgm 2 

• Momento d’inerzia della puleggia di raggio maggiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 6 × 10 −2 kgm 2 

• Massa della biella AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1 kg 

• Massa concentrata nel punto C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 2 kg 

• Rigidezza dei due rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m 

• Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kt = 50 Nm 

• Ampiezza della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C0 = 5 Nm 

• Pulsazione della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s 

Soluzione 

Il sistema è collocato in un piano orizzontale, quindi non intervengono le forze peso. Alla puleggia di diametro 

maggiore è collegata, tramite il perno A, una biella AB che trasmette il movimento all’asta O3C; poiché il 

quadrilatero O2ABO3 è un parallelogramma articolato, la biella AB si muove di moto traslatorio curvilineo 

J 2 

t 

R 

C 

3R 

M


con velocità pari a quella del punto A, mentre l’asta O3C si muove esattamente come la puleggia di diametro 

maggiore; da tali considerazioni si deduce che, per descrivere il moto del sistema, bastano due sole coordinate 

angolari, che indichiamo con ϑ1 e ϑ2 (vedi Figura 2). 

J 1 

k 

k 

A m B 

θ1 θ2 θ2 

J 2 

Figura 2 

Sulla base delle considerazioni cinematiche sopra riportate possiamo scrivere 

k 

t 

v = R ˙ ϑ2 vC = 3R ˙ ϑ2 (1) 

dove v e vC indicano rispettivamente la velocità di traslazione della biella e la velocità del punto C. Pertanto 

l’energia cinetica del sistema risulta: 

L’energia potenziale vale: 

T = 1 

= 1 

2 

2 (J1 ˙ ϑ 2 1 + J2 ˙ ϑ 2 2 + mv 2 + Mv 2 C) 

 

J1 ˙ ϑ 2 1 + (J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ˙ ϑ 2 2 

V = 2 · 1 

2 k(2Rϑ2 − Rϑ1) 2 + 1 

2 ktϑ 2 2 

= kR 2 (2ϑ2 − ϑ1) 2 + 1 

2 ktϑ 2 2 

Nel caso di vibrazioni libere le equazioni di Lagrange assumono la forma seguente: 

⎧ 

⎪⎨ 

 

d ∂T 

dt ∂ 

⎪⎩ 

˙ 

− 

ϑ1 

∂T 

+ 

∂ϑ1 

∂V 

∂ϑ1 

= 0 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

− 

ϑ2 

∂T 

+ 

∂ϑ2 

∂V 

∂ϑ2 

= 0 

in cui: 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

ϑ1 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

ϑ2 

= J1 ¨ ϑ1 

= (J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ¨ ϑ2 

∂T 

= 0 

∂ϑ1 

∂T 

= 0 

∂ϑ2 

Sostituendo tali espressioni nelle equazioni () e riordinando i termini si ha: 

⎧ 

⎨ J1 ¨ ϑ1 + 2kR2ϑ1 − 4kR2ϑ2 = 0 

⎩ 

 

C 

∂V 

= −2kR 

∂ϑ1 

2 (2ϑ2 − ϑ1) 

(J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ¨ ϑ2 − 4kR 2 ϑ1 + (8kR 2 + kt)ϑ2 = 0 

M 

∂V 

= 4kR 

∂ϑ2 

2 (2ϑ2 − ϑ1) + ktϑ2 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

(6)


Passando alla notazione matriciale si ha: 

dove 

[J] = 

 

J1 0 

0 J2 + (m + 9M)R2 

[J]{ ¨ ϑ} + [K]{ϑ} = 0 (7) 

 

2 2kR −4kR 

[K] = 

2 

−4kR 2 8kR 2 + kt 

 

{ϑ} = 

Calcoliamo le pulsazioni proprie del sistema uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [J]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

[J]| = 

2kR2 − ω2J1 −4kR2 

 

 

= 0 (9) 


−4kR 2 (8kR 2 + kt) − ω 2 [J2 + (m + 9M)R 2 ] 

keq = 8kR 2 + kt = 290 Nm 

Jeq = J2 + (m + 9M)R 2 = 0.25 kgm 2 

Sviluppando il determinante si ottiene l’equazione caratteristica, le cui soluzioni, come è noto, forniscono le 

pulsazioni proprie del sistema: 

Posto 

le pulsazioni proprie risultano: 

ϑ1 

J1Jeqω 4 − (J1keq + 2kR 2 Jeq)ω 2 + (2kR 2 keq − 16k 2 R 4 ) = 0 (11) 

A = J1Jeq = 0.00125 kg 2 m 4 

B = −(J1keq + 2kR 2 Jeq) = −16.45 kg 2 m 4 s −2 

C = 2kR 2 keq − 16k 2 R 4 = 3000 kg 2 m 4 s −4 

ϑ2 

 

(8) 

(10) 

(12) 

ω1 = 13.6 rad/s ω2 = 113.9 rad/s (13) 

Per il calcolo dei modi principali di vibrare, consideriamo il sistema lineare algebrico omogeneo nelle incognite 

Θ1 e Θ2 (ampiezze di vibrazione), avente come matrice dei coefficienti la matrice [∆]: 

⎧ 

⎨ (2kR 

⎩ 

2 − ω2J1)Θ1 − 4kR2Θ2 = 0 

(14) 

−4kR 2 Θ1 + (keq − ω 2 Jeq)Θ2 = 0 

Da una qualsiasi delle due equazioni è possibile ricavare il rapporto fra le ampiezze di oscillazione; utilizzando, 

ad esempio, la prima si ricava: 

 

Θ1 

4kR 

= 

2 

= 2.031 

Θ2 

Θ1 

Θ2 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

2kR 2 − ω 2 1 J1 

4kR 2 

2kR 2 − ω 2 2 J1 

= −24.615 




 

Θ1 

Φ1 = 

Θ2 

Φ2 = 

ϑ 

ϑ 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

2.031 

1 

−24.615 

1 

 

 

(15) 

(16) 

(17)


Moto forzato 

Per quanto riguarda il moto forzato, si possono riscrivere le equazioni di Lagrange nella forma seguente: 

⎧ 

⎪⎨ 

 

d ∂T 

dt ∂ 

⎪⎩ 

˙ 

− 

ϑ1 

∂T 

+ 

∂ϑ1 

∂V 

∂ϑ1 

= δL 

δϑ1 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

− 

ϑ2 

∂T 

+ 

∂ϑ2 

∂V 

∂ϑ2 

= δL 

δϑ2 

in cui δL indica il lavoro virtuale delle azioni (forze e coppie) che non ammettono potenziale; nel nostro caso 

l’unica azione di questo tipo è la coppia C(t) applicata alla puleggia di diametro minore; si ha pertanto: 

δL 

= C(t) = C0 sin Ωt 

δϑ1 

Le equazioni relative al moto forzato sono quindi le seguenti: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

J1 ¨ ϑ1 + 2kR 2 ϑ1 − 4kR 2 ϑ2 = C0 sin Ωt 

(J2 + mR 2 + 9MR 2 ) ¨ ϑ2 − 4kR 2 ϑ1 + (8kR 2 + kt)ϑ2 = 0 

La soluzione a regime per tale sistema si può scrivere nella forma: 

⎧ 

⎨ ϑ1(t) = Θ1 sin Ωt 

⎩ 


(18) 

δL 

= 0 (19) 

δϑ2 

in cui Θ1 e Θ2 indicano ora le ampiezze di vibrazione nel moto a regime. 

Sostituendo le espressioni di ϑ1(t) e ϑ2(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto e semplificando i 

termini armonici si ricava: ⎧ 

⎨ (2kR 

⎩ 

2 − Ω2J1)Θ1 − 4kR2Θ2 = C0 

(22) 


Risolvendo il sistema lineare si ha: ⎧ ⎨ 

La soluzione a regime risulta pertanto: 

−4kR 2 Θ1 + (keq − Ω 2 Jeq)Θ2 = 0 

⎩ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

59.5 Θ1 − 120 Θ2 = 5 

−120 Θ1 + 265 Θ2 = 0 

Θ1 = 0.969 rad = 55.5 ◦ 

Θ2 = 0.439 rad = 25.1 ◦ 

ϑ1(t) = 0.969 sin 10 t 

ϑ2(t) = 0.439 sin 10 t 

(20) 

(21) 

(23) 

(24) 

(25)



Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare per il sistema vibrante riportato in Figura 1. 

Nota. Si osservi che il corpo rigido costituito dai due dischi coassiali è sospeso (quindi non è incernierato nel 

punto G). 

Dati 

k 

3 

k 2 

m 

2 

M , JG R 

G 

r 

Figura 1 

• Masse traslanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m1 = 2 kg m2 = 3.6 kg 

• Massa dei due dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 25 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico dei due dischi coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.6 kgm 2 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 900 N/m k2 = 350 N/m k3 = 500 N/m 

• Raggi dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.25 m r = 0.15 m 

Soluzione 

Per descrivere il moto del sistema utilizziamo le seguenti coordinate (misurate a partire dalla posizione di equilibrio 

statico): 

x1: spostamento verticale della massa m1; 

x2: spostamento verticale della massa m2; 

x3: spostamento verticale del punto G (baricentro del corpo rigido); 

ϑ: rotazione del corpo rigido. 

Volendo utilizzare le equazioni di Lagrange per risolvere il problema, è necessario calcolare l’energia cinetica e 

potenziale del sistema. 

m 

1 

k 

1


x 2 

k3 

k 2 

m2 

B 

ϑ 

M , JG R 

x 3 

G 

r 

x 1 

Figura 2 

Poiché le masse m1 ed m2 si muovono di moto traslatorio, mentre il corpo rigido compie un moto rototraslatorio, 

l’energia cinetica assume la seguente espressione: 

T = 1 

2 (m1 ˙x 2 1 + m2 ˙x 2 2 + M ˙x 2 3 + JG ˙ ϑ 2 ) (1) 

Misurando le coordinate a partire dalla posizione di equilibrio statico, i termini gravitazionali non compaiono 

nell’espressione dell’energia potenziale complessiva; sia ha pertanto: 

V = 1 

2 [k1x 2 1 + k2(xB − x2) 2 + k3x 2 2] (2) 

dove xB indica lo spostamento verticale del punto B, assunto positivo verso il basso. 

Per il sistema in esame valgono inoltre le seguenti relazioni cinematiche: 

m 

1 

k1 

A 

xB = x1 + (R + r)ϑ x3 = x1 + Rϑ (3) 

Poiché è possibile esprimere x3 in funzione di x1 e ϑ, la coordinata x3 risulta ridondante; il sistema ha pertanto 

tre gradi di libertà e le coordinate x1, x2 e ϑ sono sufficienti a descriverne il movimento. L’energia cinetica e 

l’energia potenziale possono quindi essere riscritte nella forma seguente: 

T = 1 

 

m1 ˙x 

2 

2 1 + m2 ˙x 2 2 + M( ˙x1 + R ˙ ϑ) 2 + JG ˙ ϑ 2 

(4) 

V = 1 

k1x 

2 

2 1 + k2[x1 + (R + r)ϑ − x2] 2 + k3x 2 2 

Scriviamo ora le equazioni di Lagrange per il sistema: 

(5) 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

 

d ∂T 

− 

dt ∂ ˙x1 

∂T 

+ 

∂x1 

∂V 

= 0 

∂x1 

 

d ∂T 

− 

dt ∂ ˙x2 

∂T 

+ 

∂x2 

∂V 

= 0 

∂x2 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

− 

ϑ 

∂T ∂V 

+ = 0 

∂ϑ ∂ϑ 

(6)


I singoli termini valgono: 

 

d ∂T 

= (m1 + M)¨x1 + MR 

dt ∂ ˙x1 

¨ ϑ 

 

d ∂T 

= m2¨x2 

dt ∂ ˙x2 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

= MR¨x1 + (JG + MR 

ϑ 

2 ) ¨ ϑ 

∂T 

= 0 

∂x1 

∂T 

= 0 

∂x2 

∂T 

∂ϑ 

= 0 

∂V 

= (k1 + k2)x1 + k2(R + r)ϑ − k2x2 

∂x1 

∂V 

= −k2x1 + (k2 + k3)x2 − k2(R + r)ϑ 

∂x2 

Sostituendo le espressioni precedenti nelle equazioni di Lagrange si ottiene: 

⎧ 

(m1 + M)¨x1 + MR 

⎪⎨ 

¨ ϑ + (k1 + k2)x1 − k2x2 + k2(R + r)ϑ = 0 

m2¨x2 − k2x1 + (k2 + k3)x2 − k2(R + r)ϑ = 0 

⎪⎩ 

In forma matriciale possiamo scrivere: 

∂V 

∂ϑ = k2(R + r)x1 + k2(R + r) 2 ϑ − k2(R + r)x2 

MR¨x1 + (JG + MR 2 ) ¨ ϑ + k2(R + r)x1 − k2(R + r)x2 + k2(R + r) 2 ϑ = 0 

[M]{¨x} + [K]{x} = 0 (9) 

dove {x} = {x1 x2 ϑ} T indica il vettore delle coordinate libere, mentre le matrici [M] e [K] sono definite dalle 

espressioni seguenti: 

⎡ 

(m1 + M) 0 MR 

[M] = ⎣ 0 m2 0 

MR 0 (JG + MR2 ⎤ ⎡ 

⎤ 

27 0 6.25 

⎦ = ⎣ 0 3.6 0 ⎦ (10) 

) 6.25 0 2.1625 

⎡ 

(k1 + k2) −k2 k2(R + r) 

[K] = ⎣ −k2 (k2 + k3) −k2(R + r) 

k2(R + r) −k2(R + r) k2(R + r) 2 

⎤ ⎡ 

⎤ 

1250 −350 140 

⎦ = ⎣ −350 850 −140 ⎦ (11) 

140 −140 56 

Le pulsazioni proprie del sistema si ricavano uguagliando a zero il determinante della matrice [∆] = [K]−ω 2 [M]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

[M]| = 

 

 

 

 

 

 

= 0 

 

(12) 

1250 − 27 ω 2 −350 140 − 6.25 ω 2 

−350 850 − 3.6 ω 2 −140 

140 − 6.25 ω 2 −140 56 − 2.1625 ω 2 

Sviluppando il determinante si ottiene la seguente equazione caratteristica: 

in cui: 

Aω 6 + Bω 4 + Cω 2 + D = 0 (13) 

A = −69.57 

B = 25300.7 

C = −2095190 

D = 25200000 

Le soluzioni dell’equazione caratteristica forniscono le pulsazioni proprie del sistema; nel nostro caso si ottengono 

i seguenti valori: 

ω1 = 3.801 rad/s ω2 = 10.05 rad/s ω3 = 15.755 rad/s (15) 

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare algebrico omogeneo: 

ovvero: ⎡ 

⎣ 

1250 − 27 ω 2 −350 140 − 6.25 ω 2 

−350 850 − 3.6 ω 2 −140 

140 − 6.25 ω 2 −140 56 − 2.1625 ω 2 

(7) 

(8) 

(14) 

[∆]{x} = 0 (16) 

in cui i simboli X1, X2 e Θ indicano le ampiezze di vibrazione relative a ciascun grado di libertà; da tale 

sistema, ponendo ω = ωi (i = 1.2.3), è possibile ricavare le ampiezze di oscillazione corrispondenti a ciascun 

modo principale di vibrare. 

Con i dati del problema si ottiene: 

⎤ ⎧ 

⎨ 

⎦ 

⎩ 

X1 

X2 

Θ 

⎫ 

⎬ 

⎭ = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

0 

0 

0 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

(17)



Φ1 = 


• Terzo modo (ω = ω3 = 15.755 rad/s): 

Φ2 = 

Φ3 = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

X1 

X2 

Θ 

X1 

X2 

Θ 

X1 

X2 

Θ 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω1 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω2 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω3 

⎧ 

⎨ 0.0166 

⎫ 

⎬ 

= 0.1827 

⎩ 

1 

⎭ 

⎧ 

⎨ 

= 

⎩ 

−0.3424 

0.0414 

1 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

⎧ ⎫ 

⎨ −0.1089 ⎬ 

= −2.3365 

⎩ ⎭ 

1 

(18) 

(19) 

(20)



Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è collocato in un piano verticale ed è costituito dai seguenti 

elementi: 

• un disco (1) di raggio r1 e momento d’inerzia baricentrico J1 ruotante attorno al punto fisso O1; 

• un disco (2) di raggio r2, massa m2 e momento d’inerzia baricentrico J2, che rotola senza strisciare sul piano 

d’appoggio; 

• un’asta O1P, solidale con il disco (1), avente lunghezza pari ad l e massa trascurabile; 

• una massa puntiforme M collocata in corrispondenza del punto P; 

• un manovellismo a croce, la cui manovella O3A ruota a velocità costante Ω; 

• una fune di collegamento fra gli elementi del sistema (di massa trascurabile); 

• tre molle di rigidezza k1, k2 e k3. 

Il sistema è in equilibrio quando la manovella O3A e l’asta O1P si trovano in posizione verticale. Assumendo 

l’ipotesi di piccole oscillazioni nell’intorno della posizione di equilibrio, si chiede di: 

1. scrivere le equazioni di moto del sistema; 

2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 

3. calcolare le ampiezze di oscillazione in condizioni di regime. 

Dati 

l 

P 

J 1 

O 

1 

ϑ 

r1 

M 

1 

k 2 

k 1 

m 2 J2 2 

r 2 

O 2 

Figura 1 

x 

k 

3 

y 

A Ω Y 


• Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r2 = 0.15 m 

• Momento d’inerzia baricentrico del disco (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.03 kgm 2 

• Momento d’inerzia baricentrico del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 0.018 kgm 2 

• Massa del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m2 = 1 kg 

• Lunghezza dell’asta O1P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.9 m 

• Massa del punto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 0.5 kg 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 6000 N/m 

• Lunghezza della manovella O3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.05 m 

• Velocità angolare della manovella O3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 60 rad/s 

O 3


Soluzione 

Risolviamo il problema con il metodo delle equazioni di Lagrange, assumendo come coordinate libere la rotazione 

ϑ del disco (1) e lo spostamento x del baricentro del disco (2); il moto della proiezione del punto A in direzione 

orizzontale è descritto dalla coordinata y(t) = Y sin Ωt e viene imposto al sistema mediante il manovellismo a 

croce. 

Le equazioni di Lagrange risultano: 

⎧ 

d ∂T 

⎪⎨ dt ∂ 

⎪⎩ 

˙ 

− 

ϑ 

∂T ∂V 

+ = 0 

∂ϑ ∂ϑ 

 

d ∂T 

− 

dt ∂ ˙x 

∂T 

(1) 

∂V 

+ = 0 

∂x ∂x 

L’energia cinetica e l’energia potenziale assumono la forma seguente: 

T = 1 

 

(J1 + Ml 

2 

2 ) ˙ ϑ 2 

+ 

m2 + J2 

r 2 2 

V = 1 

k1(r1ϑ) 

2 

2 + k2(r1ϑ − x) 2 + k3(x − y) 2 − Mgl cos ϑ (3) 

Il calcolo delle derivate parziali che compaiono nelle equazioni (1) fornisce i risultati sotto riportati: 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

= (J1 + Ml 

ϑ 

2 ) ¨ ϑ 

∂T 

= 0 

∂ϑ 

∂V 

∂ϑ = k1r 2 1ϑ + k2r1(r1ϑ − x) + Mgl sin ϑ 

 

d ∂T 

= 

dt ∂ ˙x 

 

¨x 

∂T 

= 0 

∂x 

∂V 

∂x = −k2(r1ϑ − x) + k3(x − y) 

m2 + J2 

r 2 2 

Sostituendo le espressioni (4) nelle equazioni (1) e assumendo l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta O1P 

nell’intorno della posizione di equilibrio (sin ϑ ∼ = ϑ), si perviene, dopo semplici passaggi, alle equazioni di moto 

del sistema: ⎧⎪ (J1 + Ml 

⎨ 

2 ) ¨ ϑ + [(k1 + k2)r2 1 + Mgl]ϑ − k2r1x = 0 

⎪⎩ 

 

m2 + J2 

r 2 2 

In forma matriciale possiamo scrivere: 

 

 

¨x − k2r1ϑ + (k2 + k3)x = k3y 

˙x 2 

 

[M]{¨x} + [K]{x} = {F } (6) 

dove {x} = {ϑ x} T è il vettore delle coordinate libere, {F } = {0 k3y} T il vettore delle azioni forzanti, [M] 

la matrice d’inerzia e [K] la matrice di rigidezza; queste ultime sono definite dalle espressioni seguenti: 

⎡ 

(J1 + Ml 

[M] = ⎣ 

2 ) 0 

0 

m2 + J2 

r 2 2 

 

⎤ 

⎦ = 

 

[(k1 + k2)r 

[K] = 

2 

1 + Mgl] −k2r1 

= 

−k2r1 (k2 + k3) 

0.435 0 

0 1.8 

 

284.4 −800 

−800 10000 

Per effettuare il calcolo delle pulsazioni proprie poniamo {F } = 0 (moto libero) ed uguagliamo a zero il 

determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

[M]| = 

284.4 − 0.435 ω2 −800 

−800 10000 − 1.8 ω2 

 

 

= 0 (9) 


Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (10) 

 

(2) 

(4) 

(5) 

(7) 

(8)


in cui: 

Le pulsazioni proprie valgono: 

A = 0.783 

B = −4861.9 

C = 2204145 

(11) 

ω1 = 22.19 rad/s ω2 = 75.61 rad/s (12) 

Per il calcolo dei modi principali di vibrare, consideriamo il sistema lineare algebrico omogeneo nelle incognite 

Θ ed X (ampiezze di vibrazione), avente come matrice dei coefficienti la matrice [∆]: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

(k1 + k2)r 2 1 + Mgl − ω 2 (J1 + Ml 2 ) Θ − k2r1X = 0 

 

−k2r1Θ + (k2 + k3) − ω2 

m2 + J2 

r2 

X = 0 

2 


ad esempio, la seconda si ricava: 

Quindi: 


k2 + k3 − ω 

Θ 

= 

X ω=ω1 

2 1 

 

k2r1 

k2 + k3 − ω 

Θ 

= 

X ω=ω2 

2 2 


Moto forzato 

Φ1 = 

Φ2 = 

Θ 

X 

Θ 

X 

 

k2r1 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

m2 + J2 

r 2 2 

m2 + J2 

r 2 2 

= 

= 

 

 

11.392 

1 

−0.363 

1 

= 11.392 rad/m 

= −0.363 rad/m 

Per lo studio del moto forzato riscriviamo le equazioni di moto (5), mettendo in evidenza il termine armonico 

y(t) che eccita il sistema: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

(J1 + Ml 2 ) ¨ ϑ + [(k1 + k2)r 2 1 + Mgl]ϑ − k2r1x = 0 

 

m2 + J2 

r 2 2 

 

¨x − k2r1ϑ + (k2 + k3)x = k3Y sin Ωt 

La soluzione a regime del sistema (17) si può esprimere nella forma: 

⎧ 

⎨ ϑ(t) = Θ sin Ωt 

⎩ 


in cui i simboli Θ ed X indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime. 

 

 

(13) 

(14) 

(15) 

(16) 

(17) 

(18)


Sostituendo le espressioni di ϑ(t) e x(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto (17) e semplificando 

i termini armonici si ricava: 

⎧ 

⎪⎨ 



⎪⎩ 

(k1 + k2)r 2 1 + Mgl − Ω 2 (J1 + Ml 2 ) Θ − k2r1X = 0 

 

−k2r1Θ + (k2 + k3) − Ω2 

m2 + J2 

r2 

X = k3Y 

2 

⎩ 

⎩ 

−1281.6 Θ − 800 X = 0 

−800 Θ + 3520 X = 300 

Θ = 0.0466 rad = −2.67 ◦ 

X = 0.0746 m = 74.6 mm 

(19) 

(20) 

(21)



Il sistema rappresentato in Figura 1 risulta costituito dai seguenti elementi: 

• un’asta omogenea AB di massa m e lunghezza 2a; 

• un manovellismo a croce che imprime un movimento armonico y(t) = Y sin Ωt in direzione orizzontale al 

baricentro G dell’asta; 

• un rullo di massa M, raggio R e momento d’inerzia baricentrico J, che rotola senza strisciare su un piano 

orizzontale; 

• due molle di rigidezza k disposte come in figura. 

Supponendo che, per y = 0 e rullo fermo, l’asta AB sia in posizione verticale e le due molle siano scariche, si 

chiede di determinare: 

1. le equazioni di moto del sistema nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni nell’intorno della 

posizione verticale; 

2. le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 

3. l’ampiezza delle oscillazioni dell’asta AB e del rullo in condizioni di regime. 

O 

y(t) 

Ω 

Y 

P 

k 

m 

G 

B 

A 

ϑ 

Figura 1 

Nota. Il momento d’inerzia baricentrico di un’asta omogenea di massa m e lunghezza 2a vale: 

Dati 

a 

a 

Jasta = 1 

3 ma2 

• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 2 kg 

• Semi lunghezza dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.45 m 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 5 kg 

• Raggio del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 0.15 m 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 0.06 kgm 2 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 30000 N/m 

• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 0.08 m 

• Velocità angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 90 rad/s 

k 

x(t) 

M , J 

R


Soluzione 

Il problema presenta due gradi di libertà e può quindi essere facilmente risolto mediante le equazioni di Lagrange; 

indicando con ϑ la rotazione del’asta attorno al punto G e con x lo spostamento del centro del rullo, si ottiene: 

⎧ 

d ∂T 

⎪⎨ dt ∂ 

⎪⎩ 

˙ 

− 

ϑ 

∂T ∂V 

+ = 0 

∂ϑ ∂ϑ 

 

d ∂T 

− 

dt ∂ ˙x 

∂T 

(1) 

∂V 

+ = 0 

∂x ∂x 

L’energia cinetica del sistema risulta: 

T = 1 

2 m 

 

˙y 2 + a2 

3 ˙ ϑ 2 

 

+ 1 

 

M + 

2 

J 

R2 

˙x 2 

Per il calcolo dell’energia potenziale occorre valutare correttamente la deformazione delle due molle; con le 

convenzioni assunte e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno della posizione 

verticale, la molla superiore subisce un allungamento y per effetto dello spostamento verso destra del punto 

G ed un accorciamento aϑ per effetto della rotazione antioraria ϑ * dell’asta AB; la deformazione complessiva 

risulta pertanto pari a y − aϑ; ragionando in modo analogo si può osservare che la molla inferiore subisce una 

deformazione pari a x − (y + aϑ). 

L’energia potenziale del sistema assume quindi la seguente espressione: 

V = 1 

2 k [x − (y + aϑ)]2 + 1 

k(y − aϑ)2 

2 

Il calcolo delle derivate parziali che costituiscono i singoli termini delle equazioni di Lagrange fornisce i seguenti 

risultati: 

 

d ∂T 

dt ∂ ˙ 

= 

ϑ 

1 

3 ma2ϑ¨ ∂T 

= 0 

∂ϑ 

∂V 

∂ϑ = 2ka2 

d ∂T 

= M + 

dt ∂ ˙x 

ϑ − kax 

J 

R2 

¨x 

∂T 

= 0 

∂x 

∂V 

= k(x − y − aϑ) 

∂x 

(4) 

Sostituendo nelle equazioni di Lagrange le relazioni (4) e riordinando i termini si ottengono le equazioni di moto 

sotto riportate: ⎧ 

⎪⎨ 1 

3 

⎪⎩ 

ma2ϑ ¨ 2 

+ 2ka ϑ − kax = 0 

 

M + J 

R2 

¨x − kaϑ + kx = ky 

(5) 

In forma matriciale il sistema (5) assume la forma: 

[M]{¨x} + [K]{x} = {F } (6) 

dove {x} = {ϑ x} T è il vettore delle coordinate libere, {F } = {0 ky} T il vettore delle azioni forzanti, [M] la 

matrice d’inerzia e [K] la matrice di rigidezza; queste ultime sono definite dalle espressioni seguenti: 

⎡ 

⎢ 

[M] = ⎣ 

1 

3 ma2 

0 

0 

 

M + J 

R2 

⎤ 

 

⎥ 0.135 

⎦ = 

0 

 

0 

7.667 

 

2 2ka 

[K] = 

−ka 

 

−ka 12150 

= 

k −13500 

 

−13500 

30000 

Per effettuare il calcolo delle pulsazioni proprie poniamo (moto libero) ed uguagliamo a zero il determinante 

della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]; con semplici passaggi si ottiene: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

2ka 

 

[M]| = 

 

 

2 2 1 

− ω 

3 ma2 −ka 

−ka k − ω2 

M + J 

R2 

 

 

 

= 0 (9) 

 

 

(2) 

(3) 

(7) 

(8)



in cui: 

Le pulsazioni proprie valgono: 

Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (10) 

A = 1 

3 ma2 

 

M + J 

R2 

= 1.035 

B = −ka2 

m + 2 M + J 

R2 

= −97200 

C = k 2 a 2 = 1.8225 × 10 8 

(11) 

ω1 = 43.7 rad/s ω2 = 303.3 rad/s (12) 

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua, come di consueto, considerando il sistema lineare omogeneo 

avente come incognite le ampiezze di oscillazione Θ ed X e come matrice dei coefficienti la matrice [∆]. 

⎧ 

⎪⎨ 

2ka 

⎪⎩ 

2 2 1 

− ω 

3 ma2 

 

Θ − kaX = 0 

 

−kaΘ + k − ω2 

M + J 

R2 

(13) 

X = 0 


ad esempio, la seconda equazione si ha: 

k − ω 

Θ 

= 

X ω=ω1 

2 

1 M + J 

R2 

= 1.135 rad/m 

ka 

k − ω 

Θ 

= 

X ω=ω2 

2 

2 M + J 

R2 

(14) 

= −50.024 rad/m 

ka 

Quindi: 



Moto forzato 

Φ1 = 

Φ2 = 

Θ 

X 

Θ 

X 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

1.135 

1 

−50.024 

1 

Il calcolo delle ampiezze di oscillazione in condizioni di regime sinusoidale permanente si effettua considerando 

nelle equazioni di moto il contributo della forzante armonica; riscriviamo pertanto il sistema (5) mettendo in 

evidenza tale contributo: ⎧ 

⎪⎨ 1 

⎪⎩ 

3 ma2 ¨ ϑ + 2ka 2 ϑ − kax = 0 

 

M + J 

R 2 

 

 

 

¨x − kaϑ + kx = kY sin Ωt 

La soluzione a regime di tale sistema si può esprimere nella forma: 

⎧ 

⎨ ϑ(t) = Θ sin Ωt 

⎩ 


(15) 

(16) 

(17) 

(18)


in cui i simboli Θ ed X indicano ora le ampiezze di vibrazione in condizioni di regime. 

Sostituendo le espressioni di ϑ(t) e x(t) con le loro derivate seconde nelle equazioni di moto (17) e semplificando 

i termini armonici si ricava: ⎧⎪ 

 

2ka 

⎨ 

⎪⎩ 

2 2 1 

− Ω 

3 ma2 

 

Θ − kaX = 0 

 

−kaΘ + k − Ω2 

M + J 

R2 

(19) 

X = kY 

Con i dati assegnati si ottiene: ⎧ ⎨ 


⎩ 

⎩ 

11056.5 Θ − 13500 X = 0 

−13500 Θ − 32100 X = 2400 

Θ = −0.0603 rad = −3.45 ◦ 

X = −0.0494 m = −49.4 mm 

(20) 

(21)



Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, costituito 

da una trave elastica di massa trascurabile, appoggiata alle due estremità, sulla quale sono fissate, ad intervalli 

regolari, tre masse puntiformi di uguale valore. 

Dati 

EJ 

l/4 

m 

l/4 

m 

Figura 1 

• Massa concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m 


• Lunghezza di ogni campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l/4 


• Momento d’inerzia della sezione della trave (rispetto all’asse neutro della flessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J 

Soluzione 

Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a tre gradi di libertà. Per descrivere il moto di tale sistema è 

sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle tre masse concentrate, assunti positivi 

verso il basso (vedi Figura 2). 

l/4 

m m m 

x1 1 x2 2 x3 3 

Figura 2 

Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. 

In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata in Figura 3: 

P 1 P 2 P 3 

1 2 3 

Figura 3 

Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con tre forze P1, P2 e P3 applicate nei 

punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di 

cedevolezza possiamo scrivere: 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x1 = α11P1 + α12P2 + α13P3 

x2 = α21P1 + α22P2 + α23P3 

x3 = α31P1 + α32P2 + α33P3 

m 

l/4 

(1)


Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2, 3) viene espresso come somma di contributi generati dai 

singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalle 

forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. 

Per la determinazione dei coefficienti di influenza si ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono 

riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo 

e di carico. 

Ad esempio, a pagina D-63 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave su 

due appoggi con carico concentrato applicato in un generico punto C (vedi Figura 4): 

• Freccia nel punto C: 

• Freccia in un punto generico del tratto AC: 

• Freccia in un punto generico del tratto CB: 

αL βL 

P 

A B 

C 

ξ L ζL 

L 

Figura 4 

νc = 1 P L 

3 

3 

EJ α2β 2 

ν = 1 P L 

6 

3 

EJ βξ(1 − β2 − ξ 2 ) (3) 

ν = 1 P L 

6 

3 

EJ αζ(1 − α2 − ζ 2 ) (4) 

A questo punto è possibile calcolare i coefficienti di influenza; si osservi che, poiché la matrice di cedevolezza è 

simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto sei. 

1. Calcolo di α11: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (1). Sostituendo 

nell’equazione (2) α = 1/4 e β = 3/4 si ottiene: 

α11 = 1 l3 

× 

3 EJ × 

2 1 

× 

4 

2 3 

= 

4 

3 

256 



α22 = 1 l3 

× 

3 EJ × 

2 1 

× 

2 

2 1 

= 

2 

1 

48 


nell’equazione (2) α = 3/4 e β = 1/4 si ottiene 6 : 

α33 = 1 l3 

× 

3 EJ × 

2 3 

× 

4 

6 Ovviamente deve risultare, per ragioni di simmetria, α11 = α33. 

2 1 

= 

4 

3 

256 

l3 EJ 

l3 EJ 

l3 EJ 

(2) 

(5) 

(6) 

(7)


l/4 

l/4 

1 

3/4 l 

1 2 3 

α 11 

1 

1 

α 13 

3/4 l l/4 

2 

1 

3 

α 33 

3/4 l l/4 

2 

3 

1 

a) 

c) 

e) 

Figura 5 

l/4 

l/2 

1 

l/2 

1 2 α 3 

22 

l/2 

1 

l/2 

α 1 2 

12 

3 

1 

l/2 

3/4 l l/4 


nell’equazione (3) α = 1/2, β = 1/2 e ξ = 1/4 si ottiene: 

α12 = 1 l3 1 1 

× × × 

6 EJ 2 4 × 

2 2 

1 1 

1 − − = 

2 4 

11 l 

768 

3 

(8) 

EJ 



α13 = 1 l3 1 1 

× × × 

6 EJ 4 4 × 

2 2 

1 1 

1 − − = 

4 4 

7 l 

768 

3 

(9) 

EJ 



α23 = 1 l3 1 1 

× × × 

6 EJ 4 2 × 

2 2 

1 1 

1 − − = 

4 2 

11 l 

768 

3 

(10) 

EJ 

Poiché gli spostamenti x1, x2 ed x3 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni 

deve valere la stessa convenzione di segno; da questo fatto si deduce che le forze d’inerzia agenti sulle masse 

concentrate risultano dirette verso l’alto (vedi Figura 6): 

.. 

mx1 .. 

x1 .. 

mx2 .. 

.. 

mx3 1 2 3 

x2 x3 Figura 6 

Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni le relazioni: 

.. 

P1 = −m¨x1 P2 = −m¨x2 P3 = −m¨x3 (11) 

ed i valori dei coefficienti di influenza precedentemente calcolati, si ottiene, dopo semplici passaggi: 

⎧ 

x1 = − 

⎪⎨ 

ml3 

768EJ (9¨x1 + 11¨x2 + 7¨x3) 

x2 = − ml3 

768EJ (11¨x1 + 16¨x2 + 11¨x3) 

⎪⎩ 

x3 = − ml3 

768EJ (7¨x1 + 11¨x2 + 9¨x3) 

2 

α13 3 

1 

b) 

d) 

f) 

(12)


Ponendo ora a = 768EJ/ml 3 e riordinando i termini si ha: 

In forma matriciale si può scrivere: 

avendo posto: 

⎡ 

[M] = ⎣ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

9 11 7 

11 16 11 

7 11 9 

9¨x1 + 11¨x2 + 7¨x3 + ax1 = 0 

11¨x1 + 16¨x2 + 11¨x3 + ax2 = 0 

7¨x1 + 11¨x2 + 9¨x3 + ax3 = 0 

(13) 

[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (14) 

⎤ 

⎡ 

⎦ [K] = ⎣ 

a 0 0 

0 a 0 

0 0 a 

⎤ 

⎧ 

⎨ 

⎦ {x} = 

⎩ 

Per il calcolo delle pulsazioni proprie uguagliamo a zero il determinante della matrice [∆] = [K] − ω2 [M]: 

|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

[M]| = 

 

 

 

 

 

 

= 0 

 

(16) 

a − 9 ω 2 −11 ω 2 −7 ω 2 

−11 ω 2 a − 16 ω 2 −11 ω 2 

−7 ω 2 −11 ω 2 a − 9 ω 2 


ovvero, scomponendo il polinomio al primo membro e ponendo λ = ω2 : 

 

λ − 1 

2 a 

 

Le soluzioni sono: 

x1 

x2 

x3 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

(15) 

28 ω 6 − 78 a ω 4 + 34 a 2 ω 2 − a 3 = 0 (17) 

λ1 = 32a − √ 1024a 2 − 56a 2 

28 

λ2 = 1 

2 a 

λ3 = 32a + √ 1024a 2 − 56a 2 

28 

(28λ 2 − 64aλ + 2a 2 ) = 0 (18) 

= (16 − 11√ 2)a 

14 

= (16 + 11√ 2)a 

14 

Quindi le pulsazioni proprie risultano: 

√ 

16 − 11 2 

ω1 = 

× 

14 

768EJ 

ml3 

EJ 

= 4.93 

ml3 

1 768EJ 

ω2 = × 

2 ml3 

EJ 

= 19.6 

ml3 √ 

16 + 11 2 

ω3 = 

× 

14 

768EJ 

ml3 

EJ 

= 41.6 

ml3 = 0.0317 a 

= 2.2540 a 

Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo: 

⎧ 

⎪⎨ 

(a − 9 ω2 )X1 − 11 ω2X2 − 7 ω2X3 = 0 

⎪⎩ 

−11 ω 2 X1 + (a − 16 ω 2 )X2 − 11 ω 2 X3 = 0 

−7 ω 2 X1 − 11 ω 2 X2 + (a − 9 ω 2 )X3 = 0 

in cui i simboli X1, X2 e X3 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, 

sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i modi principali di 

vibrare della trave. 

Con semplici passaggi algebrici si ricava: 

(19) 

(20) 

(21)


• Primo modo: ω = ω1 = 

• Secondo modo: ω = ω2 = 

• Terzo modo: ω = ω3 = 

(16 − 11 √ 2)a 

1 

2 a 

14 

(16 + 11 √ 2)a 

14 

Φ1 = 

Φ2 = 

Φ3 = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

X1 

X2 

X3 

X1 

X2 

X3 

X1 

X2 

X3 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω1 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω2 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω3 

⎧ ⎫ 

⎨ √ 

1 ⎬ 

= 2 

⎩ ⎭ 

1 

⎧ 

⎨ 

= 

⎩ 

−1 

0 

1 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

⎧ 

⎨ 1 

= − 

⎩ 

√ ⎫ 

⎬ 

2 

⎭ 

1 

Nelle figure seguenti sono riportate le configurazioni deformate della trave relative a ciascun modo di vibrare: 

1 

1 

1 2 3 

1 

2 

Figura 7: Primo modo di vibrare. 

1 

1 

2 3 

Figura 8: Secondo modo di vibrare. 

2 

2 

1 1 

Figura 9: Terzo modo di vibrare. 

1 

3 

(22) 

(23) 

(24)



Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema vibrante riportato in Figura 1, costituito 

da una trave elastica di massa trascurabile, incastrata ad una estremità, sulla quale sono fissate, ad intervalli 

regolari, tre masse puntiformi di uguale valore. 

Dati 

EJ 

l/3 

m 

l/3 

Figura 1 



• Lunghezza di ogni campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l/3 


• Momento d’inerzia della sezione della trave (rispetto all’asse neutro della flessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J 

Soluzione 

Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a tre gradi di libertà. Per descrivere il moto di tale sistema è 

sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle tre masse concentrate, assunti positivi 

verso il basso (vedi Figura 2). 

x 1 

1 

m 

l/3 

m 

m m m 

Figura 2 

2 3 

x2 x3 Il problema assegnato si risolve agevolmente applicando il metodo delle forze, noto dalla Scienza delle Costruzioni. 


P 1 P 2 P 3 

1 2 3 

Figura 3 

Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con tre forze P1, P2 e P3 applicate nei 

punti in cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di 

cedevolezza possiamo scrivere: ⎧ 

⎨ x1 = α11P1 + α12P2 + α13P3 

⎩ 

x2 = α21P1 + α22P2 + α23P3 

(1) 

x3 = α31P1 + α32P2 + α33P3 

Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2, 3) viene espresso come somma di contributi generati 

dai singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati


dalle forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. Per la determinazione dei coefficienti di influenza si 

ricorre solitamente ad apposite tabelle nelle quali vengono riportate le formule generali per il calcolo di rotazioni 

e spostamenti di travi con particolari condizioni di vincolo e di carico. 

Ad esempio, a pagina D-62 del Manuale Colombo (82-esima edizione) vengono date le formule per una trave 

incastrata ad una estremità con carico concentrato applicato all’estremità libera (vedi Figura 4): 

• Freccia nel punto B: 

• Freccia in un punto generico della trave: 

A B 

ξ L ζL 

L 

Figura 4 

νB = 1 P L 

3 

3 

EJ 

P 

ν = 1 P L 

6 

3 

EJ ξ2 (3 − ξ) (3) 


simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto sei. 


nell’equazione (2) L = l/3 si ottiene: 

α11 = 1 

3EJ × 

3 l 

= 

3 

1 

81 


nell’equazione (2) L = 2l/3 si ottiene: 

α22 = 1 

3EJ × 

 

2 

3 l 

3 = 8 

81 


nell’equazione (2) L = l si ottiene: 

α33 = l3 

3EJ 


nell’equazione (3) L = 2l/3 e ξ = 1/2 si ottiene: 

α12 = 1 

6EJ × 

 

2 

3 l 

3 × 

l3 EJ 

l3 EJ 

2 

1 

× 3 − 

2 

1 

 

= 

2 

5 

162 


nell’equazione (3) L = l e ξ = 1/3 si ottiene: 

α13 = 1 

6EJ × l3 × 

2 

1 

× 3 − 

3 

1 

 

= 

3 

4 

81 

l3 EJ 

l3 EJ 

(2) 

(4) 

(5) 

(6) 

(7) 

(8)


l/3 

l/3 

1 

1 

1 2 3 

α 11 

1 

α 13 

l 

l 

1 

2 3 

α 33 

1 

2 3 

a) 

e) 

c) 

Figura 5 

l/3 

2/3 l 

1 

1 2 3 

α22 1 

2/3 l 

2/3 l 

1 

α 12 

l 

1 

2 3 

1 

2 3 

α 23 


nell’equazione (3) L = l e ξ = 2/3 si ottiene: 

α23 = 1 

6EJ × l3 × 

2 

2 

× 3 − 

3 

2 

 

3 

= 14 l 

81 

3 

EJ 

Poiché gli spostamenti x1, x2 ed x3 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni 



.. 

mx1 .. 

x1 .. 

mx2 .. 

.. 

mx3 1 2 3 

x2 x3 Figura 6 

Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni, le relazioni: 

P1 = −m¨x1 P2 = −m¨x2 P3 = −m¨x3 (10) 


⎧ 

x1 = − 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ml3 

 

1 

27EJ 3 ¨x1 + 5 

6 ¨x2 + 4 

3 ¨x3 

 

x2 = − ml3 

 

5 

27EJ 6 ¨x1 + 8 

3 ¨x2 + 14 

3 ¨x3 

 

x3 = − ml3 

 

4 

27EJ 3 ¨x1 + 14 

3 ¨x2 

 

+ 9¨x3 

.. 

b) 

f) 

d) 

(9) 

(11)


Ponendo ora a = 27EJ/ml 3 e riordinando i termini si ha: 


avendo posto: 

⎡ 

1 

⎢ 3 

⎢ 5 

[M] = ⎢ 6 

⎢ 

⎣ 4 

3 

5 

6 

8 

3 

14 

3 

⎧ 

1 

⎪⎨ 

3 

⎪⎩ 

¨x1 + 5 

6 ¨x2 + 4 

3 ¨x3 + ax1 = 0 

5 

6 ¨x1 + 8 

3 ¨x2 + 14 

3 ¨x3 + ax2 = 0 

4 

3 ¨x1 + 14 

3 ¨x2 + 9¨x3 + ax3 = 0 

⎤ 

4 

3 ⎥ 

14 ⎥ 

3 

⎥ 

9 

⎦ 

(12) 

[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (13) 

⎡ 

[K] = ⎣ 

a 0 0 

0 a 0 

0 0 a 

⎤ 

⎧ 

⎨ 

⎦ {x} = 

⎩ 


|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

 

 

 

 

[M]| = 

 

 

 

 

 

a − 1 

3 ω2 − 5 

6 ω2 − 4 

3 ω2 

− 5 

6 ω2 a − 8 

3 ω2 − 14 

3 ω2 

− 4 

3 ω2 − 14 

3 ω2 a − 9 ω2 

 

 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

 

 

(15) 


x1 

x2 

x3 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

(14) 

13 

108 ω6 − 131 

36 a ω4 + 12 a 2 ω 2 − a 3 = 0 (16) 


ω1 = √ 

0.086 a = 0.086 × 27EJ 

 

EJ 

= 1.52 

ml3 ml3 ω2 = √ 

3.668 a = 3.668 × 27EJ 

 

EJ 

= 9.95 

ml3 ml3 ω3 = √ 

26.477 a = 26.477 × 27EJ 

 

EJ 

= 26.74 

ml3 ml3 Il calcolo dei modi principali di vibrare si effettua considerando il sistema lineare omogeneo: 

⎧ 

a − 

⎪⎨ 

1 

3 ω2 

 

X1 − 5 

6 ω2X2 − 4 

3 ω2X3 = 0 

− 5 

6 ω2 

X1 + a − 8 

3 ω2 

 

X2 − 14 

3 ω2X3 = 0 

⎪⎩ 

− 4 

3 ω2 X1 − 14 

3 ω2 X2 + (a − 9 ω 2 )X3 = 0 

in cui i simboli X1, X2 e X3 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, 




(17) 

(18)


• Primo modo: ω = ω1 = √ 0.086 a 

• Secondo modo: ω = ω2 = √ 3.668 a 

• Terzo modo: ω = ω3 = √ 26.477 a 

Φ1 = 

Φ2 = 

Φ3 = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

X1 

X2 

X3 

X1 

X2 

X3 

X1 

X2 

X3 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω1 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω2 

⎫ 

⎬ 

⎭ ω=ω3 

⎧ ⎫ 

⎨ 0.156 ⎬ 

= 0.532 

⎩ ⎭ 

1 

⎧ 

⎨ −1.269 

⎫ 

⎬ 

= −1.508 

⎩ 

1 

⎭ 

⎧ 

⎨ 4.647 

⎫ 

⎬ 

= −3.248 

⎩ 

1 

⎭ 


1 2 3 

0.156 


1.269 

1 2 

0.532 1 

1.508 


1 2 

4.647 


3.248 

3 

3 

1 

1 

(19) 

(20) 

(21)



Il sistema in Figura 1 è costituito da due masse puntiformi fissate ad una trave elastica di acciaio vincolata a 

terra mediante un incastro ed un appoggio. Nell’ipotesi che risulti trascurabile la massa della trave, si chiede 

di: 

• scrivere le equazioni di moto relative alle vibrazioni flessionali del sistema; 

• calcolare le pulsazioni proprie; 

• determinare i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno dei modi principali di vibrare. 

Dati 

EJ 

m 

1 

m 

l/3 l/3 l/3 

Figura 1 

• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 50 kg m2 = 2m1 = 100 kg 

• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 900 mm 

• Modulo elastico dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2 

• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . J = 3000 mm 4 

Soluzione 

Prima di risolvere il problema è opportuno convertire i dati assegnati nelle unità di misura del Sistema 

Internazionale: 

- Lunghezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 900 mm = 0.9 m 

- Modulo elastico dell’acciaio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E = 206000 N/mm 2 = 2.06 × 10 11 N/m 2 

- Momento d’inerzia della sezione della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J = 3000 mm 4 = 3 × 10 −9 m 4 

Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libertà. 

Per descrivere il moto di tale sistema è sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle 

due masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2). 

x 1 

1 

m 

1 

Figura 2 


In primo luogo occorre studiare la trave schematizzata nella Figura 3 sotto riportata: 

Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con due forze P1 e P2 applicate nei punti in 

cui sono fissate le masse concentrate. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza 

possiamo scrivere: 

x1 = α11P1 + α12P2 

(1) 

x 2 

2 

x2 = α21P1 + α22P2 

m 

2 

2


P 1 

1 

Figura 3 

Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1.2) viene espresso come somma di contributi generati dai 

singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalle 

forze d’inerzia agenti su ciascuna massa concentrata. 



e di carico. 


iperstatica vincolata con incastro e appoggio alla quale è applicato un carico concentrato in un generico punto 

C (vedi Figura 4): 

• Freccia nel punto C: 

νC = 1 

12 

• Freccia in un punto generico del tratto AC: 

• Freccia in un punto generico del tratto CB: 

P 2 

αL βL 

P 

A B 

C 

ξ L ζL 

L 

Figura 4 

2 

P L 3 

EJ α2 β 3 (3 + α) (2) 

ν = 1 P L 

12 

3 

EJ ξβ2 3α − (2 + α)ξ 2 

ν = 1 P L 

12 

3 

EJ αζ2 3 1 − α 2 − 3 − α 2 ζ 


simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto tre. 



α11 = 1 l3 

× 

12 EJ × 

2 1 

× 

3 

3 

2 

× 3 + 

3 

1 

 

= 

3 

20 

2187 



α22 = 1 l3 

× 

12 EJ × 

2 2 

× 

3 

3 

1 

× 3 + 

3 

2 

 

= 

3 

11 

2187 

l3 EJ 

l3 EJ 

(3) 

(4) 

(5) 

(6)


l/3 

1 

1 

α11 2/3 l 

2 

2/3 l l/3 

1 

1 2 

α22 a) b) c) 

Figura 5 

l/3 

2/3 l l/3 

1 

1 2 

α12 3. Calcolo di α12: freccia nel punto (1) prodotta da un carico unitario applicato nel punto (2). Sostituendo 


α12 = 1 l3 1 

× × 

12 EJ 3 × 

 

2 

1 

× 3 × 

3 

2 

3 − 

 

2 + 2 

2 

1 

× = 

3 3 

23 l 

4374 

3 

(7) 

EJ 

Poiché gli spostamenti x1, x2 ed x3, sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni 



.. 

m x 

1 

1 1 

.. 

x1 Figura 6 


.. 

m x 

2 

.. 

x2 2 

2 

P1 = −m1¨x1 P2 = −m2¨x2 = −2m1¨x2 (8) 


⎧ 

3 m1l 

⎪⎨ 

x1 = − 

2187EJ 

⎪⎩ 

(20 ¨x1 + 23 ¨x2) 

3 m1l 23 

x2 = − 

2187EJ 2 ¨x1 

(9) 

+ 22 ¨x2 

Ponendo ora a = 2187EJ/m1l 3 e riordinando i termini si ha: 


avendo posto: 

[M] = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

20 23 

23 

2 

22 

20 ¨x1 + 23 ¨x2 + ax1 = 0 

23 

2 ¨x1 + 22 ¨x2 + ax2 = 0 

(10) 

[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (11) 

⎤ 

⎥ 

⎦ [K] = 

a 0 

0 a 

 

{x} = 


|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

 

[M]| = 

 

 

a − 20 ω2 −23 ω2 − 23 

2 ω2 a − 22 ω2 

 

 

 

= 0 

 

 

(13) 

x1 

x2 

 

(12)




a = 2187EJ 

m1l 3 

351 

2 ω4 − 42 aω 2 + a 2 = 0 (14) 

= 2187 × 2.06 × 1011 × 3 × 10 −9 

50 × 0.9 3 

Quindi l’equazione caratteristica può essere riscritta nella forma: 

Le pulsazioni proprie risultano: 

= 3.708 × 10 4 s −2 

(15) 

175.5 ω 4 − 1.557 × 10 6 ω 2 + 1.375 × 10 9 = 0 (16) 

ω1 = 31.53 rad/s ω2 = 88.77 rad/s (17) 


⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

(a − 20 ω 2 )X1 − 23 ω 2 X2 = 0 

− 23 

2 ω2 X1 + (a − 22 ω 2 )X2 = 0 

in cui i simboli X1 e X2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, 

sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i rapporti fra le 

ampiezze per ciascuno dei modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava: 



 

X1 

Φ1 = 

X2 

 

X1 

Φ2 = 

X2 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

1.33 

1 

−1.504 

1 


1 

1.33 


1 

- 1.504 


2 

2 

1 

1 

 

 

(18) 

(19) 

(20)



Il sistema in Figura 1 è costituito da una trave elastica di acciaio, incastrata ad una estremità, sulla quale è 

fissato, in corrispondenza dell’estremo libero, un corpo rigido di massa m e momento d’inerzia baricentrico JG. 

Nell’ipotesi che risulti trascurabile la massa della trave, si chiede di: 

• scrivere le equazioni di moto del sistema; 

• calcolare le pulsazioni proprie; 

• determinare i rapporti fra le ampiezze di oscillazione per ciascuno dei modi principali di vibrare. 

Dati 

EJ 

l 

Figura 1 

m , J G 

• Massa del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 20 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 5 kg m 2 

• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m 



Soluzione 





Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libertà. Per descrivere il moto di tale sistema 

è sufficiente utilizzare come coordinate libere lo spostamento verticale e la rotazione del corpo rigido (vedi 

Figura 2). 

EJ 

l 

Figura 2 

θ 

m , J G 

y




EJ 

Figura 3 

Si tratta della stessa trave descritta nel testo del problema, caricata con una forza P ed una coppia M applicate 

nel punto in cui è fissato il corpo rigido. Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di 

cedevolezza possiamo scrivere: 

 

y = α11P + α12M 

ϑ = α21P + α22M 

(1) 

Come si può notare, lo spostamento y e la rotazione ϑ vengono espressi come somma di contributi generati dai 

singoli carichi applicati nei vari punti della trave; vedremo nel seguito che tali carichi sono rappresentati dalla 

forza d’inerzia e dalla coppia d’inerzia agenti sul corpo rigido. 



e di carico. 


incastrata ad una estremità nelle condizioni di carico sotto riportate: 

1. Forza applicata all’estremo libero: 


• Rotazione nel punto B: 

2. Coppia applicata all’estremo libero: 


• Rotazione nel punto B: 

A B 

L 

Figura 4 

νB = 1 P L 

3 

3 

EJ 

ϕB = 1 P L 

2 

2 

EJ 

A B M 

L 

Figura 5 

νB = 1 ML 

2 

2 

EJ 

ϕB = ML 

EJ 

P 

P 

M 

(2) 

(3) 

(4) 

(5)



simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto tre 7 . 

1. Calcolo di α11 (freccia all’estremità libera prodotta da una forza unitaria ivi applicata). 

Dalla (2) si ha: 

l 

Figura 6 

α11 = l3 

3EJ 

2. Calcolo di α22 (rotazione all’estremità libera prodotta da una coppia unitaria ivi applicata). 


l 

Figura 7 

α22 = l 

EJ 

3. Calcolo di α12 (freccia all’estremità libera prodotta da una coppia unitaria ivi applicata). 


l 

Figura 8 

α12 = l2 

2EJ 

7Come è noto, la simmetria della matrice di cedevolezza implica che la freccia nel punto B dovuta ad una coppia unitaria ivi 

applicata risulti uguale alla rotazione nel punto B generata da una forza unitaria ivi applicata; infatti, ponendo P = 1 nella (3) ed 

 

L2 

M = 1 nella (4) si ottiene sempre lo stesso risultato . 

2EJ 

1 

α 12 

α 22 

α 11 

1 

1 

(6) 

(7) 

(8)


Con le convenzioni di segno utilizzate, lo spostamento y risulta positivo verso il basso mentre la rotazione ϑ 

risulta positiva in senso orario; poiché tali convenzioni valgono anche per le rispettive accelerazioni ÿ e ¨ ϑ, le 

azioni d’inerzia (forza e coppia) agenti sul corpo rigido saranno dirette come in Figura 9. 

EJ 

l 

Figura 9 


my .. 

J G θ .. 

P = −mÿ M = −JG ¨ ϑ (9) 


⎧ 

⎪⎨ 

y = − 

⎪⎩ 

l 

2 ml JGl 

ÿ + 

EJ 3 2 ¨ 

ϑ 

ϑ = − l 

 

ml 

EJ 2 ÿ + JG ¨ (10) 

ϑ 

Ponendo ora a = EJ/l e riordinando i termini si ha: 

⎧ 

⎪⎨ 

ml 

⎪⎩ 

2 JGl 

ÿ + 

3 2 ¨ ϑ + ay = 0 

ml 

2 ÿ + JG ¨ ϑ + aϑ = 0 


avendo posto: 

⎡ 

ml 

⎢ 

[M] = ⎢ 

⎣ 

2 

3 

ml 

2 

JGl 

2 

JG 

(11) 

[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (12) 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

[K] = 

a 0 

0 a 

 

{x} = 


|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

 

 

 

[M]| = 

 

 

 

a − ml2 

3 ω2 − JGl 

2 ω2 

− ml 

2 ω2 a − JGω2 

 

 

 

 

= 0 

 

 

 

(14) 


y 

ϑ 

 

(13) 

ml2JG 12 ω4 

− aJG + ml2 

a 

ω 

3 

2 + a 2 = 0 (15)



a = EJ 

l = 2.06 × 1011 × 5 × 10−9 = 1030 Nm (16) 

1 

Quindi l’equazione caratteristica può essere riscritta nella forma: 

Le pulsazioni proprie risultano: 

8.333 ω 4 − 1.202 × 10 4 ω 2 + 1.061 × 10 6 = 0 (17) 

ω1 = 9.72 rad/s ω2 = 36.709 rad/s (18) 


⎧ 

⎪⎨ 

a − ml2 

3 ω2 

 

Y − JGl 

2 ω2Θ = 0 

⎪⎩ 

− ml 

2 ω2 Y + (a − JG ω 2 )Θ = 0 

in cui i simboli Y e Θ indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, 

sostituendo i valori delle pulsazioni proprie precedentemente calcolati, si possono ricavare i rapporti fra le 

ampiezze per ciascuno dei modi principali di vibrare della trave. Con semplici passaggi algebrici si ricava: 



Φ1 = 

Φ2 = 

Y 

Θ 

Y 

Θ 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

0.59 

1 

−0.424 

1 


1 

 

 

0.59 


1 

- 0.424 


(19) 

(20) 

(21)



Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare del sistema in Figura 1, costituito da una trave 

a mensola in acciaio di massa trascurabile, da due masse concentrate m1 ed m2 collocate rispettivamente a 

distanza l e 2l dall’incastro e da una molla di rigidezza k, collegata come in figura alla massa m2. 

Dati 

EJ 

l 

m 

Figura 1 

l 

m 

1 2 

• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 50 kg m2 = 30 kg 

• Semi-lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 700 mm 




Soluzione 



- Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 700 mm = 0.7 m 



Trascurando la massa dell’asta, si ha un sistema a due gradi di libertà. 

Per descrivere il moto di tale sistema è sufficiente utilizzare come coordinate libere gli spostamenti verticali delle 

due masse concentrate, assunti positivi verso il basso (vedi Figura 2). 

x 1 

m 1 m 2 

1 

Figura 2 


In primo luogo occorre studiare la trave a mensola schematizzata nella Figura 3: si tratta della stessa trave 

descritta nel testo del problema, caricata con due forze P1 e P2 applicate nei punti in cui sono fissate le masse 

concentrate. 

k 

2 

k 

x 2


P 1 

1 

Figura 3 

Supponendo noti i coefficienti di influenza αij della matrice di cedevolezza possiamo scrivere: 

x1 = α11P1 + α12P2 

x2 = α21P1 + α22P2 

Come si può notare, ciascuno spostamento xi (i = 1, 2) viene espresso come somma di contributi generati dai 

singoli carichi applicati nei vari punti della trave; nel punto 1 il carico è rappresentato dalla forza d’inerzia 

agente sulla massa m1, mentre nel punto 2 il carico è dato dalla somma di due forze: la forza d’inerzia agente 

sulla massa m2 e la forza elastica esercitata dalla molla. 



e di carico. 


incastrata ad una estremità con carico concentrato applicato all’estremità libera (vedi Figura 4): 


• Freccia in un punto generico della trave: 

A B 

ξ L ζL 

L 

Figura 4 

νB = 1 P L 

3 

3 

EJ 

P 

P 2 

2 

ν = 1 P L 

6 

3 

EJ ξ2 (3 − ξ) (3) 


simmetrica (αij = αji), i coefficienti incogniti sono soltanto tre. 


nell’equazione (2) L = l si ottiene: 

(4) 

3EJ 


nell’equazione (2) L = 2l si ottiene: 

α22 = (2l)3 8 l 

= 

3EJ 3 

3 

(5) 

EJ 


nell’equazione (3) L = 2l e ξ = 1/2 si ottiene: 

α12 = 1 (2l)3 

× 

6 EJ × 

2 

1 

× 3 − 

2 

1 

 

= 

2 

5 l 

6 

3 

(6) 

EJ 

α11 = l3 

(1) 

(2)


l 

1 

1 2 

α 11 

a) 

2l 

1 

1 2 

Figura 5 

Poiché gli spostamenti x1 ed x2 sono assunti positivi verso il basso, anche per le corrispondenti accelerazioni 


concentrate risultano dirette verso l’alto: un discorso analogo vale per la forza elastica esercitata dalla molla: lo 

spostamento x2 produce infatti una compressione della molla stessa, la quale genera una spinta kx2 verso l’alto 

che si somma alla forza d’inerzia m2¨x2 (vedi Figura 6). 

.. 

x 1 , x1 .. 

mx1 1 

Figura 6 

Pertanto, sostituendo nel sistema di equazioni le relazioni: 

α 22 

.. 

mx2 2 

kx 

2 

b) 

.. 

x 2 , x2 l 

2l 

1 

α 12 

P1 = −m¨x1 P2 = −(m¨x2 + kx2) (7) 


⎧ 

⎪⎨ x1 = − l3 

6EJ (2 m1¨x1 + 5 m2¨x2 + 5kx2) 

Ponendo ora a = 6EJ/l 3 e riordinando i termini si ha: 

⎪⎩ 


avendo posto: 

 

2 m1 5 m2 

[M] = 

x2 = − l3 

6EJ (5 m1¨x1 + 16 m2¨x2 + 16kx2) 

2 m1¨x1 + 5 m2¨x2 + ax1 + 5kx2 = 0 

5 m1¨x1 + 16 m2¨x2 + (a + 16k)x2 = 0 

5 m1 16 m2 

 

[M]{¨x} + [K]{x} = {0} (10) 

[K] = 

a 5k 

0 a + 16k 

 

{x} = 


|[∆]| = |[K] − ω 2 

 

[M]| = 

a − 2 m1ω2 5k − 5 m2ω2 

 

 

= 0 (12) 

−5 m1ω 2 a + 16k − 16 m2ω 2 


x1 

x2 

 

1 

2 

c) 

(8) 

(9) 

(11) 

Aω 4 + Bω 2 + C = 0 (13)


in cui: 


A = 7 m1m2 = 1.05 × 10 4 

B = −(16 am2 + 2 am1 + 7 km1) = −5.93 × 10 6 

C = a 2 + 16 ak = 6.29 × 10 8 

(14) 

ω1 = 11.89 rad/s ω2 = 20.576 rad/s (15) 


(a − 2 m1ω 2 )X1 + (5 k − 5 m2 ω 2 )X2 = 0 

−5 m1ω 2 X1 + (a + 16 k − 16 m2 ω 2 )X2 = 0 

in cui i simboli X1 e X2 indicano le ampiezze di vibrazione di ciascuna massa concentrata; da tale sistema, 






 

X1 

Φ1 = 

X2 

 

X1 

Φ2 = 

X2 

 

 

ω=ω1 

ω=ω2 

= 

= 

0.5474 

1 

−1.0961 

1 


 

 

1 2 

0.5474 


1.0961 

1 2 


1 

1 

(16) 

(17) 

(18)



Un gruppo motore-generatore è stato progettato per funzionare nel campo di velocità compreso fra i 2000 e i 

4000 giri/min; si nota però che il sistema vibra violentemente alla velocità di 3000 giri/min, a causa di una 

imperfetta equilibratura del rotore. 

Per eliminare il problema si propone di montare un assorbitore dinamico, costituito da una trave a mensola con 

massa concentrata. 

Come primo tentativo, si applica al gruppo motore-generatore una trave a mensola, dotata di una massa di 

prova di 2 kg, sintonizzata a 3000 giri/min: le frequenze proprie risultanti del sistema sono di 2500 e 3600 

giri/min; 

Sulla base di questi dati, si chiede di progettare l’assorbitore dinamico da applicare al gruppo motore-generatore 

(specificando la sua massa e la sua rigidezza) in modo che le frequenze naturali del sistema complessivo cadano 

all’esterno del campo di velocità operative del sistema. 

Soluzione 

assorbitore 

di vibrazioni 

motore generatore 

Figura 1 

Consideriamo il gruppo motore-generatore e l’assorbitore dinamico di vibrazioni come due sistemi separati ad 

un solo grado di libertà; indicando con il pedice “1” i parametri del gruppo motore-generatore e con il pedice 

“2” i corrispondenti parametri dell’assorbitore, le pulsazioni proprie risultano: 

ω1 = 

k1 

m1 

Per calcolare le pulsazioni proprie Ω1 e Ω2 del sistema complessivo a due gradi di libertà (risultante dall’abbinamento 

del gruppo motore-generatore con l’assorbitore dinamico) occorre invece utilizzare le espressioni 

seguenti: 

2 Ω1 

ω2 

2 Ω1 

ω2 

ω2 = 

k2 

m2 

= [1 + (1 + µ)λ2 ] − [1 + (1 + µ)λ 2 ] 2 − 4λ 2 

2λ 2 

= [1 + (1 + µ)λ2 ] + [1 + (1 + µ)λ 2 ] 2 − 4λ 2 

2λ 2 

dove si è posto µ = m2/m1 e λ = ω2/ω1. 

L’assorbitore di prova che viene applicato al sistema è sintonizzato per una velocità n = 3000 giri/min; 

trasformando tale valore in rad/s si ottiene: 

Ω = 2πn 

60 

La condizione di sintonizzazione è la seguente: 

= 2π × 3000 

60 

(1) 

(2) 

= 314.16 rad/s (3) 

ω1 = ω2 = Ω (4)


Posto ora r1 = Ω1/ω2 e r2 = Ω2/ω2 e tenendo presente che, per la (4), risulta λ = 1, possiamo riscrivere le 

relazioni (2) nella forma sotto riportata: 

r2 1 = 2 + µ − (2 + µ) 2 − 4 

= 1 + 

2 

µ 

2 − 

 

 

1 + µ 

2 − 1 

2 

(5) 

r 2 2 = 2 + µ + (2 + µ) 2 − 4 

2 

= 1 + µ 

2 + 

 

 

1 + µ 

2 

I valori di Ω1 e Ω2 sono noti, in quanto corrispondono alle velocità n1 = 2500 giri/min ed n2 = 3600 giri/min 

assegnate dal testo; si ha pertanto: 

Ω1 = 2πn1 

60 

= 2π × 2500 

60 

È ora possibile calcolare i valori dei rapporti r1 ed r2: 

r1 = Ω1 

ω2 

= 261.8 rad/s Ω2 = 2πn2 

60 

= 261.8 

314.16 = 0.8333 r2 = Ω2 

ω2 

2 

− 1 

= 2π × 3600 

60 

= 377 rad/s (6) 

= 377 

= 1.2 (7) 

314.16 

A questo punto, essendo noto r1, possiamo ricavare il valore del rapporto µ fra le masse dalla prima delle (5): 

con semplici passaggi si ottiene 8 : 

µ = r4 1 + 1 

r 2 1 

− 2 = 0.83334 + 1 

− 2 = 0.1344 (8) 

0.83332 Ricordando ora la definizione di µ e tenendo presente che la massa dell’assorbitore vale m2 = 2 kg è possibile 

ricavare il valore della massa m1 del gruppo motore-generatore: 

m1 = m2 

µ = 2 

= 14.88 kg (9) 

0.1344 

Siamo ora in grado di progettare nuovamente l’assorbitore in modo che le pulsazioni proprie del sistema 

complessivo cadano all’esterno del campo di velocità operative del sistema (2000 ÷ 4000 giri/min). 

Se fissiamo la prima pulsazione propria in corrispondenza della velocità n1 = 1900 giri/min (che risulta minore 

di 2000 giri/min) otteniamo: 

Ω1 = 2πn1 2π × 1900 

= = 198.97 rad/s (10) 

60 60 

r1 = Ω1 

ω2 

Con il valore di r1 fornito dalla (11) si ottiene per µ il valore: 

µ = r4 1 + 1 

r 2 1 

La massa m2 dell’assorbitore dovrà quindi essere pari a: 

= 198.97 

= 0.6333 (11) 

314.16 

− 2 = 0.63334 + 1 

− 2 = 0.8942 (12) 

0.63332 m2 = µ m1 = 0.8942 × 14.88 = 13.3 kg (13) 

Essendo ora noto µ, è possibile calcolare il valore di r2, corrispondente alla seconda pulsazione propria del 

sistema; si ha infatti: 

 

r2 = 1 + µ 

2 + 

 

 

1 + µ 

 

 

2 

0.8942 

− 1 = 1 + 

2 

2 + 

 

 

1 + 0.8942 

2 − 1 = 1.58 (14) 

2 

8 In alternativa, essendo noto anche il valore di r2, si può utilizzare la seconda delle (5) per calcolare il rapporto µ; il risultato 

che si ottiene è il medesimo; infatti: 

µ = r4 2 + 1 

r2 2 

− 2 = 1.24 + 1 

1.2 2 

− 2 = 0.1344


Ω2 = r2ω2 = 1.58 × 314.16 = 496 rad/s (15) 

n2 = 60Ω2 

2π 

= 30 

π 

× 496 = 4737 giri/min (16) 

Essendo n2 > 4000 giri/min, risultano soddisfatte le specifiche di progetto. 

La rigidezza k2 della molla dell’assorbitore (trave a mensola) si calcola con la relazione: 

k2 = m2ω 2 2 = 13.3 × 314.16 2 = 1.31 × 10 6 N/m (17)

Esercizi proposti



Cilindro n.1 

Cilindro n.2 

Cilindro n.3 

J1 

J2 

J3 

k1 

k2 

k3 

r2 

r1 

r1 

r1 

k4 

J6 

r3 

Inerzia del volano 

+ 

inerzia del motore 

Si calcolino le frequenze proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali della macchina 

da stampa offset rappresentata in figura. 

Si schematizzino gli alberi come molle torsionali prive di massa ed i cilindri come corpi rigidi privi di contatto 

reciproco. 

Dati 

• Momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = J2 = J3 = 2.6 kg m 2 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J4 = 0.5 kg m 2 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J5 = 1.8 kg m 2 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J6 = 1.1 kg m 2 

• Rapporti di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r4/r3 = 5 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1/r2 = 2 

• Rigidezza torsionale degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = k3 = 8.4 × 10 5 Nm 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 6.3 × 10 5 Nm 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k4 = 2.5 × 10 5 Nm 

• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k5 = 4.6 × 10 5 Nm 

k5 

r4 

J5 

J4



1 

y(t) 

P’ 

k1 

a b 

M 

A C 

B 

Il sistema vibrante rappresentato in figura è costituito dai seguenti elementi: 

P 

r 

• un manovellismo a croce (1), la cui manovella ruota con velocità angolare costante Ω; 

• un bilanciere (2) realizzato mediante un’asta omogenea di massa M; 

• una massa traslante (3) scorrevole senza attrito nella guida verticale; 

• tre molle di costante elastica k1, k2 e k3 rispettivamente; 

• uno smorzatore viscoso avente costante di smorzamento pari a c. 

O 

Ω 

Nell’ipotesi che il bilanciere compia piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio (orizzontale) si 

chiede di: 

1. scrivere le equazioni differenziali di moto per il sistema in esame; 

2. calcolare le leggi di moto del bilanciere e della massa traslante in condizioni di regime. 

Dati 

• Massa traslante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 6 kg 

• Massa del bilanciere: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 8 kg 

• Costante di smorzamento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c = 20 Ns/m 

• Raggio della manovella: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 50 mm 

• Velocità angolare della manovella: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 25 rad/s 

• Rigidezza delle molle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

• Distanza dei punti A e B dal perno C: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2 

k3 

m 

k2 

c 

3 

k1 = 4000 N/m 

k2 = 2000 N/m 

k3 = 1500 N/m 

a = 150 mm 

b = 250 mm



O 

Y 

Ω 

k 

m, J r m, J 

5k r 

Per il sistema in figura, nell’ipotesi che i dischi rotolino senza strisciare sul carrello, si chiede di: 

1. calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 

2. calcolare le ampiezze di vibrazione a regime, quando la manovella ruota con velocità angolare Ω costante. 

Dati 

• Massa dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 10 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2 

• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 1000 N/m 


• Raggio dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 100 mm 

• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 40 rad/s



Cm 

J1 

1 

l1 

zA 

d 

zB 

2 

l2 

d 

k 

J2 

J3 

R 

k k 

Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura; nell’ipotesi che la cinghia di trasmissione e gli 

alberi (1) e (2) abbiano comportamento elastico, si chiede di: 



3. determinare l’ampiezza delle vibrazioni dei tre dischi in condizioni di regime quando al sistema viene applicata 

una coppia variabile nel tempo con legge sinusoidale Cm = C0 sin Ωt. 

Nota. Si consideri trascurabile l’inerzia delle due ruote dentate. 

Dati 

• Momenti d’inerzia dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 5 kg m 2 J2 = 3 kg m 2 J3 = 2 kg m 2 

• Numero di denti delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zA = 20 zB = 60 


• Lunghezze degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 1 m l2 = 0.5 m 

• Diametro degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 40 mm 

• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 100 mm r = 80 mm 

• Costante elastica della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3 × 10 5 N/m 

• Dati relativi alla forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C0 = 80 Nm Ω = 20 rad/s 

r



L3 

L2 

L1 

zA 

Cm 

J2 

d2 

d1 

1 

J1 

d3 

2 

zB 

Il sistema rappresentato in figura è costituito dai componenti sotto elencati: 

k 

• due dischi aventi momento d’inerzia J1 e J2; 

• due alberi di acciaio montati su cuscinetti; 

• una coppia di ruote dentate che permettono la trasmissione del moto fra i due alberi; 

• un elemento elastico di rigidezza k; 

• una massa M collegata all’elemento elastico e scorrevole senza attrito lungo una guida orizzontale. 

Nell’ipotesi che risultino trascurabili le masse degli alberi ed il momento d’inerzia delle ruote dentate, si chiede di: 

1. scrivere le equazioni di moto; 


3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime quando al disco (1) viene applicata una coppia motrice Cm 

variabile nel tempo con legge armonica Cm = Cmax sin Ωt. 

Dati 

• Momenti d’inerzia dei dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J1 = 5kg m 2 J2 = 2 kg m 2 

• Massa del corpo traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 10 kg 

• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 10000 N/m 

• Raggio del disco (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R = 150 mm 

• Numero di denti delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zA = 20 zB = 60 


• Lunghezze degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L1 = 300 mm L2 = 250 mm L3 = 200 mm 

• Diametri degli alberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 30 mm d2 = 20 mm d3 = 15 mm 

• Dati relativi alla forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cmax = 100 Nm Ω = 25 rad/s 

R 

M 

k 

M



k 

M1 

ΩΩΩΩ 

e 

O 

m 

P 

Per il sistema rappresentato in figura, nell’ipotesi che non vi sia strisciamento fra il rullo ed il terreno e fra il 

rullo e la slitta, si chiede di: 



3. determinare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime, quando l’asta OP ruota a velocità angolare 

Ω costante. 

Nota. Si ricordi che, per il rullo omogeneo di massa M2 e raggio R, il momento d’inerzia baricentrico vale: 

Dati 

k 

k 

2 M2R 

J = 

2 

• Massa del corpo su cui è montato il rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 50 kg 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 15 kg 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M3 = 10 kg 




• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 2000 N/m 

• Velocità angolare dell’asta OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 20 rad/s 

M2 

R 

M3 

slitta 

k 

rullo



EI 

l/4 

m1 k 

m2 

l/4 l/4 l/4 

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali della trave in 

figura, nell’ipotesi che la massa della trave sia trascurabile. 

Si imposti poi il calcolo suddetto nel caso in cui la massa della trave non risulti trascurabile (si indichino con ϱ 

la densità del materiale costituente la trave e con A l’area della sua sezione trasversale). 

Dati 

• Massa n.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 30 kg 

• Massa n.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2 = 15 kg 


• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206000 N/mm 2 

• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m 

• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . I = 2500 mm 4



4k 

r 

M 

J 

e 

G 

Ω t 

2 2 

Il sistema rappresentato in figura giace in un piano verticale ed è costituito da un carrello (1) di massa M, 

dotato di due ruote (2) aventi entrambe raggio r e momento d’inerzia baricentrico pari a J. 

Sul carrello è montata una massa m avente eccentricità e rispetto al perno di rotazione. 

Il carrello è collegato a terra tramite una molla di rigidezza 4k, disposta come in figura; un’altra molla, di 

rigidezza k, collega il carrello ad un’asta (3) di massa trascurabile, incernierata in O, sulla cui estremità inferiore 

è fissata una massa di valore pari ad mB. 

Domande 

1. Scrivere le equazioni di moto per il sistema in esame nei due casi seguenti: 

a) rotore fermo (bloccato sul proprio perno in modo da risultare solidale con il carrello); 

b) rotore azionato a velocità angolare costante Ω. 

2. Nell’ipotesi che il rotore sia bloccato sul proprio perno calcolare: 

a) le pulsazioni proprie del sistema; 

b) i modi principali di vibrare; 

c) la legge di movimento del sistema quando vengono assegnate le seguenti condizioni iniziali: 

- carrello spostato di x0 = 5 mm verso destra rispetto alla sua posizione di equilibrio statico; 

- asta (3) verticale; 

- velocità nulle. 

3. Nel caso di funzionamento a regime (rotore azionato a velocità angolare costante Ω) determinare: 

a) l’ampiezza delle vibrazioni orizzontali del carrello; 

b) l’ampiezza delle oscillazioni angolari dell’asta (3). 

Nota. Per la scrittura delle equazioni di moto si ritengano valide le seguenti ipotesi: 

• assenza di strisciamento fra ruote e terreno; 

• piccole oscillazioni dell’asta (3). 

Dati 

• Massa del carrello (ruote comprese) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg 

• Momento d’inerzia delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.05 kg m 2 


• Massa fissata all’estremità B dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mB = 2 kg 

• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 800 N/m 


• Raggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 180 mm 

• Lunghezza dei due bracci dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .OA = a = 100 mm OB = 3a = 300 mm 

• Velocità angolare della massa eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ω = 10 rad/s 

m 

r 

J 

1 

3 

m B 

k 

B 

O 

A 

a 

3a



d 

l 

k 

1 

m 

1 

k 

2 

m 

l l 

Si consideri il sistema in figura, costituito da un albero di acciaio di diametro d, montato su due supporti, sul 

quale sono fissate due masse m1 ed m2, vincolate a terra mediante due molle di rigidezza k1 e k2. 

Domande 

1. Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali del sistema, 

supponendo trascurabile la massa dell’albero rispetto a quella delle due masse concentrate. 

2. Nell’ipotesi che la massa dell’albero non sia trascurabile, scrivere le condizioni al contorno che permettono 

di calcolare le pulsazioni proprie del sistema (si indichi con ϱ la densità del materiale costituente l’albero). 

Dati 

• Masse concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 40 kg m2 = 15 kg 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 5000 N/m k2 = 10000 N/m 


• Lunghezza di ciascun tratto dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l = 800 mm 

• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm 

• Momento d’inerzia della sezione dell’albero rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . I = πd 4 /64 

2 

EI



k1 

M 

3 

4 

1 2 

J13 

a O1 

a 

n 

e 

R 

La slitta (4) scorre in direzione orizzontale ed è vincolata a terra mediante una molla di rigidezza k1. 

Nella parte inferiore della slitta è montata una massa eccentrica rotante a velocità angolare costante; nella parte 

superiore la slitta è dotata di una cremagliera che permette la trasmissione del moto alla ruota dentata (3), di 

massa trascurabile e solidale con la puleggia (1); quest’ultima trasmette il movimento alla puleggia (2) mediante 

una cinghia elastica i cui rami hanno rigidezza pari a k2. 

L’asta O2P, di massa trascurabile e lunghezza L, è solidale con la puleggia (2) e porta all’estremità inferiore 

una massa mP . 

Nell’ipotesi che il pendolo compia piccole oscillazioni nell’intorno della posizione verticale si chiede di: 



3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni del pendolo e della slitta in condizioni di regime. 

Nota. Si assuma che tutte le molle siano scariche quando l’asta O2P è in posizione verticale e che tutti gli 

attriti siano trascurabili. 

Dati 

• Massa della slitta (esclusa la massa eccentrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 20 kg 

• Momento d’inerzia totale della puleggia (1) e della ruota dentata (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J13 = 0.08 kg m 2 

• Momento d’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.02 kg m 2 


• Massa del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mP = 6 kg 



• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 90 mm 

• Lunghezza dell’asta O2P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 200 mm 


• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 giri/min 

m 

k2 

k2 

mP 

O2 

P 

J2 

L



mA 

a a 

A B 

M 

Per il sistema vibrante rappresentato in figura, nell’ipotesi che l’asta AB (di massa trascurabile) compia piccole 

oscillazioni attorno alla posizione orizzontale, si chiede di: 



3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime supponendo che il rotore eccentrico ruoti a velocità angolare 

costante. 

Nota. Per semplicità si supponga che l’asta AB sia in equilibrio in posizione orizzontale. 

Dati 

• Massa del corpo traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 60 kg 


• Massa applicata all’estremità A dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mA = 8 kg 

• Costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 10000 N/m 

• Lunghezza di ciascun braccio dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.5 m 


• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 500 giri/min 

e 

ΩΩΩΩ 

5k 

m 

k



R R 

k 

J1 

l 

k 

J2 

J3 

J2 

d1 

d2 

a b 

Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare della trasmissione meccanica indicata in figura, 

considerando nei calcoli la rigidezza torsionale dell’albero e la deformabilità della cinghia. 

Si tenga presente che le pulegge (1) e (2), pur essendo geometricamente identiche, sono realizzate in materiali 

diversi e pertanto il loro momento d’inerzia assume valori differenti. 

Dati 

• Momento di’inerzia della puleggia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.005 kg m 2 

• Momento di’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.008 kg m 2 

• Momento di’inerzia del disco (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J3 = 0.02 kg m 2 

• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 50 mm 

• Modulo di Young del materiale costituente la cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 7.5 kN/mm 2 

• Area della sezione trasversale della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = 400 mm 2 

• Lunghezza di ciascun ramo della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 800 mm 

• Modulo di elasticità tangenziale del materiale costituente l’albero (acciaio) . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2 

• Lunghezza dei due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 400 mm b = 600 mm 

• Diametri dei due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d1 = 20 mm d2 = 30 mm 

Nota. Si osservi che i rami della cinghia sono stati schematizzati mediante due molle di rigidezza k, calcolabile 

mediante i dati assegnati. 

J3



k 1 

M1 

M 2 , J G 

P 

Per il sistema vibrante rappresentato in figura, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni attorno alla 

posizione verticale, si chiede di: 



3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni a regime supponendo che la manovella OP ruoti a velocità angolare 

costante. 

Dati 

• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 150 kg 

• Massa in moto alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 15 kg 

• Massa dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 30 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 2 kg m 2 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 8000 N/m k2 = 5000 N/m k3 = 1000 N/m 

• Semi lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 400 mm 

• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 80 mm 

• Velocità angolare della manovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 150 giri/min 

m 

R 

O 

n 

a 

a 

A 

B 

k 2 

k 3



EI 

L/3 L/3 L/3 

k1 

m1 

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare per il sistema in figura, costituito da una trave 

elastica in acciaio, di massa trascurabile, incastrata alle estremità, alla quale sono collegate due masse m1 ed 

m2 mediante due molle di rigidezza pari a k1 e k2. 

Dati 

• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 70 kg m2 = 30 kg 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 50000 N/m k2 = 20000 N/m 


• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 1 m 

• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . .I = 500 mm 4 

k2 

m2



J 1 

d 

l 1 

Determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali dell’albero 

rappresentato in figura. 

Dati 

• Momenti d’inerzia dei tre dischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J1 = 3 kg m 2 J2 = 4 kg m 2 J3 = 5 kg m 2 

• Lunghezze dei due tratti di albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l1 = 400 mm l2 = 700 mm 

• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 40 mm 

• Modulo di elasticità tangenziale del materiale costituente l’albero (acciaio) . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2 

J 2 

l 2 

J 3



F(t)=F 0 sin 2πf t 

M 

R 

Il sistema meccanico rappresentato in figura, posto in un piano verticale, è costituito da una massa traslante in 

direzione orizzontale e soggetta all’azione di una forza esterna variabile nel tempo con legge sinusoidale. 

Tramite un’asta a cremagliera il movimento viene trasmesso ad una ruota dentata di raggio primitivo R, montata 

coassialmente con una puleggia di raggio r. 

Mediante una trasmissione a cinghia viene azionata un’altra puleggia di raggio r, solidale ad un’asta AB, di 

massa trascurabile; all’estremo A dell’asta è fissata una massa m, mentre all’estremo B è collegata una molla 

di rigidezza k3. 

Un’altra molla, di rigidezza k2 è fissata fra il telaio e l’asta a cremagliera. 

L’elasticità dei rami della cinghia viene schematizzata mediante due molle di rigidezza k1. 

Nella posizione di equilibrio l’asta AB è verticale e tutte le molle sono scariche. 

Supponendo trascurabili gli attriti e ritenendo valida l’ipotesi di piccole oscillazioni dell’asta AB nell’intorno 

della posizione verticale, si chiede di: 



3. calcolare l’ampiezza delle vibrazioni in condizioni di regime. 

Dati 

r 

• Massa traslante (stantuffo e asta a cremagliera) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 7 kg 

• Momento d’inerzia della ruota dentata e della puleggia sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.2 kg m 2 

• Momento d’inerzia della puleggia destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 0.01 kg m 2 

• Massa solidale al punto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 2 kg 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 3000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 500 N/m 

• Lunghezze dei bracci dell’asta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm b = 150 mm 


• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 80 mm 

• Valore massimo della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 = 100 N 

• Frequenza della forzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 5 Hz 

J 1 

k 1 

k 2 

k 1 

a 

b 

r 

B 

A 

J 2 

k 3 

m



d 

l l 

k1 

Una trave di sezione circolare è vincolata mediante un incastro all’estremità sinistra e mediante un appoggio 

cedevole (schematizzato tramite una molla di costante k1) nel punto intermedio. 

Una massa di valore pari ad m1 è fissata a metà della lunghezza, mentre una seconda massa, di valore pari ad 

m2, è fissata all’estremo destro, mediante un supporto elastico di rigidezza k2. 

Nell’ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile, si chiede di calcolare le pulsazioni proprie ed i 

modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni flessionali del sistema. 

Dati 

• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 25 kg m2 = 15 kg 

• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 32000 N/m k2 = 28000 N/m 


• Semi lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 400 mm 

• Diametro della sezione della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d = 12 mm 

m1 

k2 

m2



k 1 

l1 

G 

Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare di un’automobile, schematizzata mediante il 

modello indicato in figura (corpo rigido su appoggi elastici). 

Dati 

• Massa del veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 1000 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico del veicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 810 kg m 2 

• Rigidezza della sospensione anteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 1.8 × 10 4 N/m 

• Rigidezza della sospensione posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2.2 × 10 4 N/m 

• Distanza del baricentro dall’asse anteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l1 = 1 m 

• Distanza del baricentro dall’asse posteriore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 = 1.5 m 

l2 

m, J G 

k2



k1 k2 k3 

m1 m2 

x1 

Per il sistema vibrante rappresentato in figura si chiede di determinare: 

1. le pulsazioni proprie; 

2. i modi principali di vibrare; 

3. le leggi di moto delle due masse, quando vengono assegnate le condizioni iniziali sotto riportate. 

Dati 

• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 1.6 kg m2 = 2.5 kg 

• Rigidezze delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 2000 N/m k2 = 4000 N/m k3 = 3000 N/m 

 

x1(0) = 0.3 m 

• Condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

x1(0) ˙ = 1 m/s 

x2 

 

x2(0) = 0.2 m 

x2(0) ˙ = 6 m/s



l l 

1 

2 

d1 

r2 

J1 

J 2 

Il sistema rappresentato in figura è costituito dai seguenti elementi: 

r1 

d2 

J 3 

r3 

r2 

r1 

r3 

M k k 

• una coppia di ruote dentate aventi raggio primitivo r1 ed r2 rispettivamente; 

• una barra di torsione in acciaio avente lunghezza l1 e diametro d1; 

• un albero in acciaio di lunghezza l2 e diametro d2; 

• una slitta di massa M scorrevole all’interno di una guida rettilinea; 

• una ruota dentata di raggio primitivo r3 che trasmette il moto alla slitta tramite una cremagliera (non 

rappresentata in figura); 

• due molle di uguale rigidezza k collegate alla slitta come in figura. 

Nell’ipotesi che tutte le dissipazioni energetiche dovute ai fenomeni di attrito siano trascurabili, si chiede di: 


2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare. 

Dati 

• Momenti d’inerzia delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . J1 = 0.01 kg m 2 J2 = 0.35 kg m 2 J3 = 3.2 kg m 2 


• Raggi primitivi delle ruote dentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 80 mm r2 = 200 mm r3 = 350 mm 

• Lunghezza e diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l1 = 750 mm d1 = 20 mm 

• Lunghezza e diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l2 = 700 mm d2 = 30 mm 


• Rigidezza delle molle collegate alla slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 12000 N/m



k1 k1 

k2 

e 

R 

m 

m d , J d 

n 

M 

k1 1 k 

k k 

a) b) 

Il sistema rappresentato in Figura a) è costituito da una macchina di massa M, vincolata a terra mediante due 

supporti elastici di rigidezza k1. 

Sulla macchina è montato un disco di massa md, momento d’inerzia baricentrico Jd e raggio R, al quale è fissata 

una molla di rigidezza k2, disposta come in figura. 

La macchina è sottoposta ad una eccitazione armonica generata da un rotore eccentrico di massa m ed 

eccentricità e, rotante a velocità angolare costante n. 

Nell’ipotesi che tutti i fenomeni di smorzamento siano trascurabili, si chiede di: 

1. scrivere le equazioni di moto del sistema di Figura a); 


3. determinare l’ampiezza delle oscillazioni in condizioni di regime; 

4. nel caso in cui al disco venga aggiunta una seconda molla (sempre di rigidezza k2), come rappresentato in 

Figura b), dire come si modificano le equazioni di moto e commentare il risultato ottenuto. 

Dati 

• Massa della macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 100 kg 

• Massa del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . md = 40 kg 

• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jd = 0.6 kg m 2 

• Massa del rotore eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m = 15 kg 



• Rigidezza dei supporti elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 8500 N/m 

• Rigidezza dei rami della fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2500 N/m 

• Velocità angolare del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 100 giri/min 

2 

e 

R 

m 

m d , J d 

2 

n 

M



J1 

J2 

a b 

Figura 1 

In Figura 1 è rappresentata una barra di torsione di acciaio sulla quale sono montate due masse aventi momento 

d’inerzia pari a J1 e J2. 

I due tratti della barra hanno lo stesso diametro d e differenti lunghezze (indicate con i simboli a e b in figura). 

Domande 

1. calcolare le rigidezze torsionali dei due tratti della barra; 

2. scrivere le equazioni di moto delle due masse; 

3. calcolare le pulsazioni proprie del sistema; 

4. calcolare i modi principali di vibrare e disegnare i grafici delle forme modali. 

Dati 

• Momenti d’inerzia delle due masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 6 kg m 2 J2 = 4 kg m 2 

• Diametro della barra di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 20 mm 

• Lunghezza dei due tratti della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 0.6 m b = 1 m 


d



k1 

JG 

G 

L 

L 

k2 

Figura 1 

Il sistema vibrante rappresentato in Figura 1 è costituito da un’asta incernierata nel baricentro e collegata ad 

una molla di rigidezza k1 in corrispondenza dell’estremità superiore. 

Una seconda molla, di rigidezza k2, collega l’estremo inferiore dell’asta ad una massa M, che può scorrere 

orizzontalmente all’interno di una guida rettilinea. 

Nell’ipotesi che l’asta compia piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale (di equilibrio statico) e che la 

massa M scorra senza attrito all’interno della guida, si chiede di: 



3. determinare, in condizioni di regime, l’ampiezza delle oscillazioni dell’asta e della massa traslante, quando 

quest’ultima è sottoposta all’azione di una forzante armonica F (t) di intensità e frequenza assegnate. 

Dati 

• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M = 10 kg 

• Momento d’inerzia baricentrico dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JG = 0.5 kg m 2 

• Semi-lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L = 600 mm 


• Valore massimo della forza applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F0 = 50 N 

• Frequenza della forza applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f = 2 Hz 

M 

F(t)



J 

kt 

R 

y t) 

= Y sin Ωt 

( 0 

Figura 1 

Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che la fune sia inestensibile e che la puleggia di 

rinvio abbia inerzia trascurabile, si chiede di: 

• scrivere le equazioni di moto del sistema; 

• calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare; 

• studiare le vibrazioni forzate del sistema, quando l’estremo inferiore della molla di rigidezza k2 si muove con 

legge sinusoidale y(t) = Y0 sin Ωt. 

Dati 

• Massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m = 4 kg 

• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.04 kg m 2 

• Rigidezza della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kt = 50 Nm/rad 

• Rigidezza delle molle collegate alla massa traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 4000 N/m k2 = 2000 N/m 


• Ampiezza del moto armonico imposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y0 = 100 mm 

• Pulsazione del moto armonico imposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ω = 10 rad/s 

m 

k1 

k2



a 

d1 

J 

2 

, z 

2 

J 

d2 

1 

, z 

1 

J 3 

d3 

b b c 

Figura 1 

Per il sistema rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che siano trascurabili dissipazioni di energia dovute ai 

fenomeni di attrito e la massa degli elementi deformabili a torsione, si chiede di: 


2. determinare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni torsionali. 

Dati 

• Momenti d’inerzia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

J1 = 0.03 kg m 2 

J2 = 2.4 kg m 2 

J3 = 3.5 kg m 2 

• Numero di denti delle ruote dentate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z1 = 40 

z2 = 120 

• Lunghezza degli elementi deformabili a torsione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

• Diametro degli elementi deformabili a torsione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

a = 400 mm 

b = 230 mm 

c = 350 mm 

d1 = 15 mm 

d2 = 18 mm 

d3 = 24 mm 

• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80 kN/mm 2



EJ 

L1 L2 L1 Sezione trasv. 

della trave 

m1 

Figura 1 

Si determinino le frequenze proprie di vibrazione flessionale e le corrispondenti deformate modali della trave 

di acciaio rappresentata in Figura 1, nell’ipotesi che la massa propria della trave risulti trascurabile rispetto a 

quella delle masse applicate su di essa. 

Dati 

• Masse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m1 = 20 kg 

m2 = 35 kg 

• Lunghezze: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L1 = 250 mm 

L2 = 700 mm 

b = 50 mm 

• Dimensioni della sezione trasversale della trave: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

h = 15 mm 

• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 206 kN/mm2 m2 

h 

b



J1 

r 

k3 

k1 

k1 

R 

Figura 1 

Calcolare le pulsazioni proprie e i modi principali di vibrare per il sistema in Figura 1, nell’ipotesi che: 

a) l’asta AB compia piccole oscillazioni; 

b) la trasmissione del moto fra la ruota di frizione di raggio R e la slitta sottostante avvenga in assenza di 

slittamento. 

Dati 


• Momento d’inerzia della puleggia sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.015 kg m 2 

• Momento d’inerzia complessivo della puleggia destra e della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . J2 = 0.16 kg m 2 

• Momento d’inerzia del’asta rispetto al perno O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JO = 0.25 kg m 2 

• Rigidezza dei rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k1 = 5 × 10 4 N/m 

• Rigidezza della molla collegata al punto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 = 2.5 × 10 4 N/m 

• Rigidezza della molla collegata alla slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k3 = 10 4 N/m 

• Raggio delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 80 mm 

• Raggio della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 160 mm 


r 

J2 

M 

a 

B 

A 

a 

k2 

JO



k1 

a 

a 

C 

A 

B 

k2 

Jasta 

M 

J 

r 

Figura 1 

Si consideri il sistema vibrante rappresentato in Figura 1; nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni 

e che l’attrito tra la slitta ed i supporti sia trascurabile, si chiede di: 


2. calcolare le frequenze proprie di vibrazione; 

3. calcolare i vettori modali; 

4. studiare il moto a regime quando la manovella OP ruota a velocità angolare costante. 

Dati 


• Momento d’inerzia complessivo della puleggia e della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.015 kg m 2 

• Momento d’inerzia dell’asta rispetto al perno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jasta = 0.35 kg m 2 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k1 = 15 kN/m k2 = 10 kN/m k3 = 12 kN/m 

• Raggio della puleggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 75 mm 

• Raggio della ruota di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 150 mm 


• Lunghezza della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y = 50 mm 

• Velocità angolare della manovella OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n = 50 giri/min 

R 

k3 

P 

n 

Y 

y(t) 

O 

P’



A 

Cm 

J1 

B 

L 

d 

k 

J3 

J2 

Cr 

Figura 1 

C 

D 

R 

k k 

La macchina rappresentata schematicamente in Figura 1 è costituita da un motore (A), un albero di trasmissione 

di acciaio (B), una cinghia (C) e un dispositivo utilizzatore (D). 

La coppia motrice e la coppia resistente sono indicate in figura con i simboli Cm e Cr rispettivamente, mentre 

i momenti d’inerzia delle masse rotanti sono indicati con il simbolo J seguito da un pedice numerico. 

Sia kt la rigidezza torsionale dell’albero di trasmissione e k la rigidezza di ciascun ramo della cinghia. 

Supponendo trascurabili tutti gli effetti di smorzamento, si chiede di: 


2. calcolare le pulsazioni proprie; 

3. calcolare i vettori modali. 

Dati 

• Momenti d’inerzia delle masse rotanti . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 2 kg m 2 J2 = 0.4 kg m 2 J3 = 0.12 kg m 2 

• Rigidezza dei rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 4 × 10 6 N/m 

• Raggi delle pulegge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 150 mm R = 200 mm 

• Lunghezza dell’albero di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .L = 1 m 

• Diametro dell’albero di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 30 mm 


r



1 

2 

k 

r1 

J2 

Cm 

r2 

k 

R 

J1 

3 

J 

Figura 1 

In Figura 1 è rappresentato schematicamente un nastro trasportatore azionato da un motore elettrico tramite 

una trasmissione a cinghia. I rami della cinghia presentano un certo grado di cedevolezza e vengono pertanto 

schematizzati mediante due molle di uguale rigidezza k. Utilizzando i dati sotto indicati e ritenendo trascurabili 

i fenomeni di smorzamento, si chiede di: 


2. calcolare le pulsazioni proprie; 

3. calcolare i modi principali di vibrare. 

Dati 

• Massa della cassa trasportata dal nastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 60 kg 

• Momento d’inerzia della puleggia motrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.013 kg m 2 

• Momento d’inerzia della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J2 = 1 kg m 2 

• Momento d’inerzia delle pulegge (3) e (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = 0.01 kg m 2 

• Raggio della puleggia motrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r1 = 80 mm 

• Raggio della puleggia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r2 = 240 mm 

• Raggio delle pulegge (3) e (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R = 75 mm 

• Rigidezza dei rami della cinghia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 5 × 10 6 N/m 

M 

R 

J 

4



mS 

J2 

R 

kc 

k k 

r2 

O 

Figura 1 

Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che l’asta AB compia piccole oscillazioni ed il rullo 

rotoli senza strisciare, si chiede di: 


2. determinare la rigidezza k della molla in modo che la pulsazione propria non smorzata del sistema risulti 

uguale a 30 rad/s; 



4. supponendo nulla la pressione nel cilindro, studiare le vibrazioni libere del sistema quando la slitta viene 

spostata di 25 mm verso destra e successivamente rilasciata (si consideri pertanto nulla la velocità iniziale); 

tracciare inoltre un grafico qualitativo che rappresenti l’andamento nel tempo dello spostamento della slitta; 

5. supponendo che la variazione nel tempo della pressione nel cilindro sia approssimabile mediante la legge 

sinusoidale 9 rappresentata in Figura 1, determinare l’andamento delle oscillazioni della slitta in condizioni 

di regime. 

Dati 


• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MS = 12 kg 

• Massa del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MR = 6 kg 

• Momento d’inerzia della leva rispetto al perno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JL = 0.2 kg m 2 

• Momento d’inerzia baricentrico del rullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JR = 0.075 kg m 2 


• Semi-lunghezza della leva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a = 300 mm 

• Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 40000 Pa 


• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 130 mm 


kc 

a 

b 

A 

B 

mP 

r1 

d 

J1 

p(t)



p(t) 

T 

pmax 

t 

J1 

2k 

a 

Figura 1 

Per il sistema vibrante rappresentato in Figura 1, nell’ipotesi che le aste compiano piccole oscillazioni e la 

trasmissione del moto tra la slitta e il disco avvenga in assenza di strisciamento, si chiede di: 


2. calcolare le pulsazioni proprie e i modi principali di vibrare; 

3. supponendo che la pressione nel cilindro oscilli secondo la legge sinusoidale 10 rappresentata in figura, determinare 

il movimento del pistone e della slitta in condizioni di regime. 

Dati 

• Massa del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M1 = 2 kg 

• Massa della slitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M2 = 6 kg 

• Momenti d’inerzia delle aste oscillanti rispetto ai perni . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 = 0.2 kg m 2 J2 = 0.04 kg m 2 

• Momento d’inerzia del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J3 = 0.03 kg m 2 

• Raggio del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r = 90 mm 

• Semi-lunghezza delle aste oscillanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = 250 mm b = 150 mm 

• Rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k = 3000 N/m 

• Pressione massima nel cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pmax = 6 × 10 4 Pa 


• Diametro del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = 50 mm 


k 

a 

M2 

k 

r 

3k 

M1 

p 

D 

J2 

J3 

b 

b

Parte III 

Vibrazioni di sistemi continui

Parte IV - Vibrazioni di sistemi continui - Rev. 8 ottobre 2008 167 


Determinare la legge di movimento di una corda uniforme di lunghezza l, fissata ad entrambe le estremità, che 

viene pizzicata in corrispondenza del suo punto medio, come indicato in Figura 1, e successivamente rilasciata. 

Soluzione 

w (x) = w(x,0) 

0 

l/2 l/2 

Figura 1 

Indichiamo con T il tiro, supposto costante, a cui è soggetta la corda e con ϱ la densità lineare (massa per unità 

di lunghezza) della corda stessa. 

La velocità c di propagazione dell’onda lungo la corda risulta: 

c = 

 

T 

ϱ 

mentre l’equazione di moto è data dalla seguente espressione: 

w(x, t) = W (x)f(t) = 

 

A cos ωx 

c 

+ B sin ωx 

c 

h 

x 

(1) 

 

(C cos ωt + D sin ωt) (2) 

Poiché la corda è fissata ad entrambe le estremità, possiamo scrivere le condizioni ad contorno sotto riportate: 

 

w(0, t) = 0 

(3) 

w(l, t) = 0 

Poiché la funzione f(t) risulta, in generale, diversa da zero, le condizioni (3) si trasformano nelle seguenti: 

W (0) = 0 

W (l) = 0 

Dalla prima delle (4) si ricava A = 0, mentre dalla seconda delle (4) si ha: 

sin ωl 

c 

dovendo risultare B = 0, al fine di non ottenere una soluzione identicamente nulla. 

Risolvendo la (5) si ottengono i valori delle pulsazioni proprie: 

ωnl 

c = nπ ⇒ ωn = nπc 

l 

(4) 

= 0 (5) 

L’n-esimo modo di vibrare risulta pertanto definito dall’equazione: 

wn(x, t) = Wn(x)fn(t) = sin nπx 

 

Cn cos 

l 

nπc 

t + Dn sin 

l 

nπc 

 

t 

l 

n=1 

n=1 

(n = 1, 2, . . .) (6) 

La legge di movimento della corda si ottiene per sovrapposizione degli infiniti modi di vibrare wn(x, t); si ha 

pertanto: 

∞ 

∞ 

w(x, t) = wn(x, t) = sin nπx 

 

Cn cos 

l 

nπc 

t + Dn sin 

l 

nπc 

 

t 

l 

(8) 

(7)


Derivando la (8) si ricava l’espressione della velocità per i vari punti della corda: 

˙w(x, t) = 

∞ 

n=1 

sin nπx 

l 

 

− nπc 

l Cn sin nπc 

l 

Indichiamo ora con w0(x) la configurazione iniziale deformata della corda: 

Poiché la corda è in quiete all’istante iniziale si ha: 

t + nπc 

l Dn cos nπc 

 

t 

l 

w0(x) = w(x, 0) (10) 

˙w0(x) = ˙w(x, 0) = 0 (11) 

Applicando le condizioni iniziali (10) e (11) alle (8) e (9) si ricavano le seguenti relazioni: 

∞ 

n=1 

Cn sin nπx 

l 

= w0(x) 

∞ 

n=1 

Dalla seconda delle (12) si deduce immediatamente che deve essere: 

(9) 

nπc 

l Dn sin nπx 

= 0 (12) 

l 

Dn = 0 per n = 1, 2, 3, . . . (13) 

l calcolo dei coefficienti Cn si può effettuare moltiplicando la prima delle (12) per sin mπx 

ed integrando rispetto 

l 

ad x da 0 ad l; il risultato che si ottiene è il seguente11 : 

Cn = 2 

l 

l 

0 

w0(x) sin nπx 

dx (14) 

l 

L’espressione analitica della deformata iniziale, necessaria per il calcolo dell’integrale al secondo membro della 

(14), si deduce dalla Figura 1: 

⎧ 

⎪⎨ 

w0(x) = 

⎪⎩ 

2h 

x 

l 

2h 

(l − x) 

l 

l 

per 0 ≤ x ≤ 

2 

l 

per < x ≤ l 

2 

(15) 

Dalla (14), tenendo conto della (15), si ricava: 

Cn = 2 

l/2 

l 

2h nπx 2h nπx 

x sin dx + (l − x) sin 

l 0 l l l/2 l l dx 

 

= 4h 

n2π2 

2 sin nπ 

 

− sin nπ 

2 

(16) 

11Illustriamo nel dettaglio i passaggi da effettuare per ricavare i coefficienti Cn a partire dalla prima delle (12): 

• moltiplichiamo la prima delle (12) per sin mπx 

: 

l 

sin mπx 

 

∞ 

Cn sin 

l 

n=1 

nπx 

 

= w0(x) sin 

l 

mπx 

l 

⇒ 

∞ 

Cn sin 

n=1 

nπx 

sin 

l 

mπx 

l = w0(x) sin mπx 

l 

• integriamo fra 0 ed l: 

 

l ∞ 

0 

n=1 

Cn sin nπx 

l 

sin mπx 

 

dx = 

l 

l 

0 

w0(x) sin mπx 

l dx 

• applichiamo la proprietà di linearità degli integrali (l’integrale di un sommatoria di funzioni è uguale alla sommatoria degli 

integrali delle singole funzioni): 

∞ 

l 

Cn sin 

n=1 0 

nπx 

sin 

l 

mπx 

l 

dx = w0(x) sin 

l 

0 

mπx 

l dx 

• si osserva che: l 

sin 

0 

nπx 

sin 

l 

mπx 

 

l/2 

dx = 

l 0 

per m = n 

per m = n 

• quindi, di tutti i termini della sommatoria, rimane solo quello corrispondente a m = n; in definitiva si ottiene: 

l 

Cn 

2 = 

l 

w0(x) sin 

0 

nπx 

dx 

l 

⇒ 

 

2 l 

Cn = w0(x) sin 

l 0 

nπx 

l dx


Poiché risulta sin nπ = 0 per n = 1, 2, 3, . . ., si ha: 

Osservando ora che: 

possiamo scrivere: 

Cn = 8h 

n2 nπ 

sin 

π2 2 

sin nπ 

2 = 

 

(n−1)/2 (−1) per n = 1, 3, 5, . . . 

0 per n = 2, 4, 6, . . . 

Cn = 

 

(n−1)/2 8h 

(−1) 

n 2 π 2 

per n = 1, 2, 3, . . . (17) 

per n = 1, 3, 5, . . . 

0 per n = 2, 4, 6, . . . 

In definitiva, tenendo conto della (13) e della (19), l’equazione (8) può essere riscritta nella forma: 

w(x, t) = C1 sin πx 

l 

= 8h 

π2 

sin πx 

l 

πc 

cos 

l t + C3 sin 3πx 

l 

πc 1 3πx 

cos t − sin 

l 9 l 

cos 3πc 

t + C5 sin 

l 

5πx 

l 

cos 3πc 

t + 

l 

1 5πx 

sin 

25 l 

cos 5πc 

t + . . . 

l 

cos 5πc 

t − . . . 

l 

(18) 

(19) 

(20)



Si considerino le vibrazioni assiali di un’asta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme di 

area As, vincolata nei modi indicati in Figura 1: 

Figura 1 Condizioni di vincolo: a) incastro - estremo libero; b) estremo libero - estremo libero; 

c) incastro - incastro. 

Siano ϱ ed E rispettivamente la densità ed il modulo di Young del materiale costituente l’asta; per ciascuna 

delle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare: 

• le condizioni al contorno; 

• l’equazione delle frequenze; 

• le pulsazioni proprie; 

• i modi principali di vibrare. 

Soluzione 

Indicando con u(x, t) lo spostamento assiale di una generica sezione dell’asta, l’equazione delle vibrazioni assiali 

risulta: 

 

u(x, t) = U(x)f(t) = A cos ωx ωx 

 

+ B sin (C cos ωt + D sin ωt) 

c c 

(1) 

dove 

 

c = 

E 

ϱ 

(2) 

rappresenta la velocità di propagazione dell’onda lungo l’asta. 

Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate. 

Caso a): Incastro - estremo libero 

• Condizioni al contorno 

In x = 0 lo spostamento è nullo, quindi: 

In x = l la forza assiale N è nulla, quindi: 

x 

l 

Figura 2 

∂u 

N(l, t) = EAs (l, t) = 0 ⇒ 

∂x 

a) 

b) 

c) 

u(0.t) = 0 (3) 

∂u 

(l, t) = 0 (4) 

∂x


• Equazione delle frequenze 

Per ricavare l’equazione delle frequenze applichiamo le condizioni al contorno sopra riportate: 

∂u 

 

(x, t) = 

∂x 

u(x, t) = 

− ω 

c 

 

A cos ωx 

c 

A sin ωx 

c 

+ ω 

c 

ωx 

 

+ B sin f(t) ⇒ u(0.t) = Af(t) = 0 (5) 

c 

 

 

∂u ω ωl 

f(t) ⇒ (l, t) = B cos f(t) = 0 (6) 

∂x c c 

B cos ωx 

c 

Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava l’equazione delle frequenze: 

cos ωl 

c 

= 0 (7) 

• Pulsazioni proprie Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (7) rispetto ad ω: 

ωl 

c 

= (2n + 1)π 

2 

⇒ ω = 

(2n + 1)πc 

2l 

n = 0.1.2.3. . . . (8) 

• Modi principali di vibrare Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’nesimo 

modo principale di vibrare Un(x) risulta: 

dove Cn rappresenta una generica costante. 

Un(x) = Cn sin 

Caso b): Estremo libero - estremo libero 


In x = 0 la forza assiale N è nulla, quindi: 

In x = l la forza assiale N è nulla, quindi: 


x 

l 

Figura 3 

(2n + 1)πx 

2l 

∂u 

N(0.t) = EAs (0.t) = 0 ⇒ 

∂x 

∂u 

N(l, t) = EAs (l, t) = 0 ⇒ 

∂x 

(9) 

∂u 

(0.t) = 0 (10) 

∂x 

∂u 

(l, t) = 0 (11) 

∂x 


∂u 

 

(x, t) = − 

∂x ω ωx ω ωx 

 

A sin + B cos f(t) 

c c c c 

⇒ 

∂u ω 

(0.t) = Bf(t) = 0 

∂x c 

 

∂u 

(l, t) = − 

∂x ω 

 

ωl ω ωl 

A sin + B cos f(t) = 0 

c c c c 

(12) 

Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: 

sin ωl 

c 

= 0 (13)


• Pulsazioni proprie 

Le pulsazioni proprie si ricavano risolvendo la (13) rispetto ad ω: 

• Modi principali di vibrare 

ωl 

c 

= nπ ⇒ ω = nπc 

l 

n = 1.2.3. . . . (14) 

Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’n-esimo modo principale di 

vibrare Un(x) risulta: 

Un(x) = Cn cos nπx 


l 

(15) 

Caso c): Incastro - incastro 



In x = l lo spostamento è nullo, quindi: 


x 

l 

Figura 4 

u(0.t) = 0 (16) 

u(l, t) = 0 (17) 


u(x, t) = 

 

A cos ωx 

c 

ωx 

 

+ B sin f(t) ⇒ 

c 

u(0.t) = Af(t) = 0 

u(l, t) = 

 

A cos ωl 

 

ωl 

+ B sin f(t) = 0 

c c 

Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: 


sin ωl 

c 



ωl 

c 


l 

(18) 

= 0 (19) 

n = 1.2.3. . . . (20) 


vibrare Un(x) risulta: 

Un(x) = Cn sin nπx 


l 

(21)



Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni longitudinali delle aste di acciaio riportate nelle 

figure seguenti: 

Caso a) 

Caso b) 

Dati 

x 

l 

Figura 1 

k x 

k 

1 2 

l 

Figura 2 

• Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.5 m 


• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ = 7800 kg/m 3 

• Diametro della sezione trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 3 × 10 7 N/m k1 = 5 × 10 7 N/m k2 = 8 × 10 7 N/m 

Soluzione 

Assumiamo per convenzione lo spostamento assiale u positivo verso destra e l’azione assiale N positiva a trazione 


L’equazione delle vibrazioni assiali è la seguente: 

dove 

u 

+ 

u(x, t) = U(x)f(t) = 

 

A cos ωx 

c 

rappresenta la velocità di propagazione delle onde. 

Esaminiamo ora separatamente i due casi. 

N N 

+ 

Figura 3 

c = 

k 

ωx 

 

+ B sin (C cos ωt + D sin ωt) (1) 

c 

 

E 

ϱ 

(2)


Caso a) 

x 

l 

Figura 4 

La condizione al contorno relativa all’estremo sinistro (x = 0) è: 

Imponendo tale condizione si ricava: 

k 

u(0.t) = 0 (3) 

u(0.t) = Af(t) = 0 ⇒ A = 0 (4) 

La condizione sull’estremo destro (x = l) si può ottenere esprimendo l’equilibrio delle forze agenti sull’elemento 

terminale dell’asta: tali forze sono rappresentate dall’azione assiale N(l, t) e dalla forza elastica ku(l, t) esercitata 

dalla molla (vedi Figura 5). 

∂u(l,t) 

N(l,t) = EA 

______ 

s ∂x 

Figura 5 Estremo destro dell’asta 

k u(l,t) 

Se As indica l’area della sezione trasversale dell’asta, la condizione di equilibrio suddetta risulta: 

∂u 

EAs (l, t) + ku(l, t) = 0 (5) 

∂x 

Tenendo conto della (4), la funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano: 

 

u(x, t) = B sin ωx 

 

f(t) 

c 

∂u 

(x, t) = 

∂x 

ω 

c 

ωx 

 

B cos f(t) (6) 

c 

Sostituendo le espressioni (6), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando il termine Bf(t) si ricava l’equazione 

delle frequenze per il sistema in esame: 

Ponendo ora 

l’equazione (7) può essere riscritta nella forma: 

ω ωl ωl 

EAs cos + k sin = 0 (7) 

c c c 

β = ωl 

c 

 

ϱ 

= ωl 

E 

tan β = − EAs 

β (9) 

kl 

L’equazione (9), risolta per via numerica, consente di ricavare i valori di corrispondenti alle pulsazioni proprie 

del sistema; per localizzare le soluzioni è conveniente rappresentare in forma grafica i due membri della (9): 

Si osservi che, essendo β > 0, si considera solo il semiasse orizzontale positivo. 

Indichiamo con β1, β2 e β3 le prime tre soluzioni della (9): dal grafico sopra riportato si deduce che: 

π 

2 < β1 < π 

3 

2 π < β2 < 2π 

Con i dati numerici forniti dal testo si ottengono i seguenti risultati: 

(8) 

5 

2 π < β3 < 3π (10)


β1 β β 2 3 

0 π 2π 3π β 

• Area della sezione trasversale dell’asta: 

• Coefficiente angolare della retta: 

As = πd2 

4 

Figura 6 

= π × 0.012 

4 

= 7.85 × 10 −5 m 2 

(11) 

b = − EAs 

kl = −206000 × 106 × 7.85 × 10−5 3 × 107 = 0.36 (12) 

× 1.5 

Risolvendo numericamente la (9) si ottengono i valori di β sotto riportati: 

La velocità di propagazione delle onde si ricava dalla relazione (2): 

β1 = 2.425 β2 = 5.203 β3 = 8.182 (13) 

c = 


 

E 

ϱ = 

 

206000 × 106 = 5139 m/s (14) 

7800 

c 

ω1 = β1 

ω2 = β2 

ω3 = β3 

l 

c 

l 

c 

l 

= 2.425 × 5139 

1.5 

= 5.203 × 5139 

1.5 

= 8.182 × 5139 

1.5 

= 8307 rad/s 

= 17827 rad/s 

= 28031 rad/s 

(15)


e le corrispondenti frequenze: 

Caso b) 

f1 = ω1 8307 

= = 1322 Hz 

2π 2π 

f2 = ω2 17827 

= = 2837 Hz 

2π 2π 

f3 = ω3 28031 

= = 4461 Hz 

2π 2π 

k1 x 

k2 

l 

Figura 7 

Le condizioni al contorno si ottengono mediante considerazioni di equilibrio per entrambi gli estremi; le forze in 

gioco sono evidenziate nelle figure seguenti: 

Si ha pertanto: 

k u(0,t) 

1 

______ ∂u(0,t) 

N(0,t) = EAs ∂x 

Figura 8 Estremo sinistro dell’asta. 

∂u(l,t) 

N(l,t) = EA 

______ 

s ∂x 

Figura 9 Estremo destro dell’asta. 

∂u 

EAs 

∂x (0.t) − k1u(0.t) = 0 

∂u 

EAs 

∂x (l, t) + k2u(l, t) = 0 

La funzione u(x, t) e la sua derivata parziale rispetto ad x risultano: 

u(x, t) = 

∂u 

 

(x, t) = 

∂x 

 

A cos ωx 

− ω 

c 

c 

ωx 

 

+ B sin f(t) 

c 

A sin ωx 

c 

+ ω 

c 

B cos ωx 

c 

k u(l,t) 

2 

 

f(t) 

Dalle (17) e (18), semplificando il termine f(t), si ottiene il seguente sistema di equazioni: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ω 

EAs 

c B − k1A = 0 

EAs 

 

− ω ωl 

A sin 

c c 

ω ωl 

+ B cos 

c c 

 

+ k2 A cos ωl 

 

ωl 

+ B sin = 0 

c c 

(16) 

(17) 

(18) 

(19)


Per determinare l’equazione delle frequenze si può ricavare la costante A dalla prima delle (19) e sostituire il 

valore così ottenuto nella seconda equazione; dopo alcuni passaggi algebrici si perviene al seguente risultato: 

 

a 1 + 

tan β = − 

k2 

 

β 

k1 

k2 − a2 

β 2 

in cui β è dato dalla (8), mentre la costante a è definita dalla relazione: 

a = EAs 

l 

Possiamo osservare subito che, per k1 → ∞ e k2 = k, l’equazione (20) si trasforma nella (9); ciò era prevedibile, 

dal momento che una molla di rigidezza infinita impedisce qualsiasi spostamento assiale e risulta pertanto 

equivalente ad un incastro. 

Anche in questo caso l’equazione delle frequenze (20) deve essere risolta per via numerica; per localizzare le 

soluzioni rappresentiamo graficamente i due membri dell’equazione suddetta: 

β 

β 

1 2 

0 π 2π β 

3π 

Figura 10 


π 

2 < β1 < π 

Con i dati numerici forniti dal testo la (20) assume la seguente espressione: 

k1 

3 

β 

(20) 

(21) 

3 

2 π < β2 < 2π 2π < β3 < 5 

π (22) 

2 

2.804 β 

tan β = − 

8 − 0.233 β2 Risolvendo numericamente la (20) si ottengono i valori di β sotto riportati: 

(23) 

β1 = 2.362 β2 = 4.888 β3 = 7.604 (24)




c 

ω1 = β1 

ω2 = β2 

ω3 = β3 

l 

c 

l 

c 

l 

= 2.362 × 5139 

1.5 

= 4.888 × 5139 

1.5 

= 7.604 × 5139 

1.5 

= 8092 rad/s 

= 16748 rad/s 

= 26051 rad/s 

f1 = ω1 8092 

= = 1288 Hz 

2π 2π 

f2 = ω2 16748 

= = 2666 Hz 

2π 2π 

f3 = ω3 26051 

= = 4146 Hz 

2π 2π 

Confrontando i valori delle frequenze proprie ottenuti nei due casi, si osserva che i valori relativi al caso b) 

sono più bassi rispetto ai corrispondenti valori dal caso a); questo risultato era prevedibile, dal momento che 

la rigidezza del sistema diminuisce, passando dal caso a) al caso b), in seguito all’introduzione della seconda 

molla. 

(25) 

(26)



Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali di un’asta di acciaio con un estremo 

incastrato, alla quale è fissata una massa concentrata M in corrispondenza dell’estremo libero. 

Dati 

x 

l 

Figura 1 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.75 m 



• Diametro della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d = 10 mm 

• Massa applicata all’estremità destra dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M = 1.5 kg 

Soluzione 

Assumiamo per convenzione lo spostamento assiale u positivo verso destra e l’azione assiale N positiva a trazione 


L’equazione delle vibrazioni assiali è la seguente: 

dove 

u 

+ 

u(x, t) = U(x)f(t) = 

 

A cos ωx 

c 

N N 

+ 

Figura 2 

c = 

M 

ωx 

 


c 

 

E 

ϱ 


La condizione al contorno relativa all’estremo sinistro (x = 0) è: 


u(0.t) = 0 (3) 

u(0.t) = Af(t) = 0 ⇒ A = 0 (4) 

La condizione sull’estremo destro (x = l) si può ottenere esprimendo l’equilibrio delle forze agenti sulla massa 

concentrata; tali forze sono rappresentate dall’azione assiale N(l, t) e dalla forza d’inerzia Fi(l, t) generata dalla 

massa stessa (vedi Figura 3). 


∂u 

EAs 

∂x (l, t) + M ∂2u (l, t) = 0 (5) 

∂t2 (2)


______ ∂u(l,t) 

N(l,t) = EAs ∂x 

Figura 3 

∂2 F (l,t) = 

_______ u(l,t) 

i M 2 ∂t 

dove As indica l’area della sezione trasversale del’asta. 

Poiché la costante A è nulla (vedi equazione (4)), la derivata parziale rispetto ad x della funzione u(x, t) risulta: 

∂u 

∂x 

dU(x) 

(x, t) = f(t) = 

dx 

Per quanto riguarda la derivata parziale seconda rispetto al tempo possiamo scrivere: 

ω 

c 

ωx 

 

B cos f(t) (6) 

c 

∂2u ∂t2 (x, t) = U(x)d2 f(t) 

dt2 = −ω2 

2 

U(x)f(t) = −ω B sin ωx 

 

f(t) (7) 

c 

Sostituendo le (6) e (7), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando, si ottiene l’equazione seguente: 

EAs 

c 

cos ωl 

c 

− Mω sin ωl 

c 

Poiché risulta E = ϱc 2 (vedi equazione (2)) possiamo riscrivere la (8) nella forma: 

ϱAsl 

M 

cos ωl 

c 

= ωl 

c 

sin ωl 

c 

Si osservi che il prodotto m = ϱAsl rappresenta la massa propria dell’asta. 

Definendo ora le costanti 

h = ϱAsl m 

= 

M M 

β = ωl 

 

ϱ 

= ωl 

c E 

l’equazione (9) diventa: 

tan β = h 

β 

= 0 (8) 

L’equazione (11), risolta per via numerica, fornisce i valori di β corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema 

in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (11) è riportata nella Figura 4: 

Si noti che, essendo β > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. 


0 < β1 < π 

2 

Con i dati numerici assegnati dal problema si ha: 

As = πd2 

4 

(9) 

(10) 

(11) 

π < β2 < 3 

2 π 2π < β3 < 5 

π (12) 

2 

= π × 0.012 

4 

= 7.85 × 10 −5 m 2 

(13) 

h = ϱAsl 

M = 7800 × 7.85 × 10−5 × 0.75 

= 0.306 

1.5 

(14) 

β1 = 0.527 β2 = 3.236 β3 = 6.332 (15) 


 

E 

c = 

ϱ = 

 

206000 × 106 = 5139 m/s (16) 

7800


β 1 

β 2 

0 π 2π 3π β 



c 

ω1 = β1 

ω2 = β2 

ω3 = β3 

l 

c 

l 

c 

l 

Figura 4 

= 0.527 × 5139 

0.75 

= 3.236 × 5139 

0.75 

= 6.332 × 5139 

0.75 

β 3 

= 3609 rad/s 

= 22173 rad/s 

= 43384 rad/s 

f1 = ω1 3609 

= = 574 Hz 

2π 2π 

f2 = ω2 22173 

= = 3529 Hz 

2π 2π 

f3 = ω3 43384 

= = 6905 Hz 

2π 2π 

Se si trascura la massa dell’asta, si ottiene un sistema ad un solo grado di libertà del tipo illustrato in Figura 5: 

k 

Figura 5 

La costante elastica k rappresenta la rigidezza assiale dell’asta e vale: 

k = EAs 

l 

M 

(17) 

(18) 

(19)


La pulsazione propria è pertanto: 

ω = 

k 

M = 

 

EAs 

Ml = 

 

206000 × 106 × 7.85 × 10−5 = 3792 rad/s (20) 

1.5 × 0.75 

L’errore percentuale commesso sul calcolo della prima frequenza propria è: 

ω − ω1 

ε = × 100 == 

ω1 

3792 − 3609 

3609 

× 100 ∼ = 5% (21)



Si considerino le vibrazioni torsionali di un’asta omogenea di lunghezza l, avente sezione trasversale uniforme 

con momento d’inerzia polare Jp, vincolata nei modi indicati in Figura 1: 

Figura 1 Condizioni di vincolo: a) incastro - estremo libero; b)estremo libero - estremo libero; 

c) incastro - incastro. 

Siano ϱ e G rispettivamente la densità ed il modulo di elasticità tangenziale del materiale costituente l’asta; per 

ciascuna delle condizioni di vincolo specificate si chiede di determinare: 

• le condizioni al contorno; 

• l’equazione delle frequenze; 

• le pulsazioni proprie; 

• i modi principali di vibrare. 

Soluzione 

Indicando con ϑ(x, t) la rotazione di una generica sezione dell’asta, l’equazione delle vibrazioni torsionali risulta: 

dove 

ϑ(x, t) = Θ(x)f(t) = 

 

A cos ωx 

c 

c = 

+ B sin ωx 

c 

 

G 

ϱ 

rappresenta la velocità di propagazione dell’onda lungo l’asta. 

Esaminiamo ora le condizioni di vincolo sopra riportate. 

Caso a): Incastro - estremo libero 


In x = 0 la rotazione è nulla, quindi: 

In x = l il momento torcente Mt è nullo, quindi: 

x 

l 

Figura 2 

∂ϑ 

Mt(l, t) = GJp (l, t) = 0 ⇒ 

∂x 

a) 

b) 

c) 

 

(C cos ωt + D sin ωt) (1) 

ϑ(0.t) = 0 (3) 

(2) 

∂ϑ 

(l, t) = 0 (4) 

∂x




 

ϑ(x, t) = A cos ωx ωx 

 

+ B sin f(t) 

c c 

∂ϑ 

 

(x, t) = − 

∂x 

⇒ ϑ(0.t) = Af(t) = 0 (5) 

ω ωx ω ωx 

 


c c c c 

⇒ 

 

∂ϑ ω ωl 

(l, t) = B cos f(t) = 0 

∂x c c 

(6) 

Dalla (5) si deduce che deve essere A = 0, mentre dalla (6) si ricava l’equazione delle frequenze: 


cos ωl 

c 


ωl 

c 


= (2n + 1)π 

2 

⇒ ω = 

= 0 (7) 

(2n + 1)πc 

2l 

n = 0.1.2.3. . . . (8) 

Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’ n-esimo modo principale di 

vibrare Θn(x) risulta: 

(2n + 1)πx 

Θn(x) = Cn sin (9) 

2l 


Caso b): Estremo libero - estremo libero 


In x = 0 il momento torcente Mt è nullo, quindi: 

x 

l 

Figura 3 

∂ϑ 

Mt(0.t) = GJp (0.t) = 0 ⇒ 

∂x 

In x = l il momento torcente Mt è nullo, quindi: 


∂ϑ 

Mt(l, t) = GJp (l, t) = 0 ⇒ 

∂x 

∂ϑ 

(0.t) = 0 (10) 

∂x 

∂ϑ 

(l, t) = 0 (11) 

∂x 


∂ϑ 

 

(x, t) = − 

∂x ω ωx ω ωx 

 


c c c c 

⇒ 

∂ϑ ω 

(0.t) = Bf(t) = 0 

∂x c 

 

∂ϑ 

(l, t) = − 

∂x ω 

 

ωl ω ωl 

A sin + B cos f(t) = 0 

c c c c 

(12) 

Dalla prima delle (12) si ottiene B = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: 

sin ωl 

c 

= 0 (13)





ωl 

c 


l 

n = 1.2.3. . . . (14) 

Tenendo presenti i risultati ottenuti in precedenza, l’espressione analitica dell’ n-esimo modo principale di 


Θn(x) = Cn cos nπx 


l 

(15) 

Caso c): Incastro - incastro 



In x = l lo spostamento è nullo, quindi: 


x 

l 

Figura 4 

ϑ(0.t) = 0 (16) 

ϑ(l, t) = 0 (17) 


ϑ(x, t) = 

 

A cos ωx 

c 

ωx 

 

+ B sin f(t) ⇒ 

c 

ϑ(0.t) = Af(t) = 0 

ϑ(l, t) = 

 

A cos ωl 

 

ωl 

+ B sin f(t) = 0 

c c 

Dalla prima delle (18) si ottiene A = 0, mentre dalla seconda si ricava l’equazione delle frequenze: 


sin ωl 

c 



ωl 

c 


l 

(18) 

= 0 (19) 

n = 1.2.3. . . . (20) 



Θn(x) = Cn sin nπx 


l 

(21)



Calcolare le prime tre frequenze proprie relative alle vibrazioni torsionali di un’asta di acciaio con un estremo 

incastrato, alla quale è fissato un disco di momento d’inerzia JD in corrispondenza dell’estremo libero. 

Dati 

x 

d 

l 

G ρ 

Figura 1 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1.2 m 

• Modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G = 80000 N/mm 2 



• Momento d’inerzia del disco applicato all’estremità libera dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . JD = 2.25 × 10 −4 kg m 2 

Soluzione 

Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate nella Figura 2: 

θ 

+ 

M t 

L’equazione delle vibrazioni torsionali è la seguente: 

dove 

ϑ(x, t) = Θ(x)f(t) = 

 

A cos ωx 

c 

+ 

Figura 2 

c = 

M t 

J D 

ωx 

 


c 

 

G 

ϱ 


La condizione al contorno relativa all’estremo incastrato (x = 0) è: 

ϑ(0.t) = 0 (3) 

(2)



ϑ(0.t) = Af(t) = 0 ⇒ A = 0 (4) 

La condizione sull’altro estremo (x = l) si può ottenere esprimendo l’equilibrio delle coppie agenti sul disco; 

tali coppie sono rappresentate dal momento torcente Mt(l, t) e dalla coppia d’inerzia Ci(l, t) generata dal disco 

stesso (vedi Figura 3). 

x 

d 

l 

C (l,t) = 

i 

2 

∂_______ 

J 

∂t 2 

θ(l,t) 

D 

Figura 3 

θ 

M (l,t) = GJ 

t 

M (l,t) 

t 

P 

_______ ∂ ∂ θ θ (l,t) 

∂ x 


∂ϑ ∂ 

GJp (l, t) + JD 

∂x 2ϑ (l, t) = 0 (5) 

∂t2 dove Jp indica il momento d’inerzia polare della sezione trasversale del’asta. 

Poiché la costante A è nulla (vedi equazione (4)), la derivata parziale rispetto ad x della funzione ϑ(x, t) risulta: 

∂ϑ dΘ(x) 

 

ω ωx 

 

(x, t) = f(t) = B cos f(t) (6) 

∂x dx c c 

Per quanto riguarda la derivata parziale seconda rispetto al tempo possiamo scrivere: 

∂2ϑ ∂t2 (x, t) = Θ(x)d2 f(t) 

dt2 = −ω2 

2 

Θ(x)f(t) = −ω B sin ωx 

 

f(t) (7) 

c 

Sostituendo le (6) e (7), calcolate in x = l, nella (5) e semplificando, si ottiene l’equazione seguente: 

GJp 

c 

M (l,t) 

t 

C (l,t) 

i 

cos ωl 

c − JDω sin ωl 

= 0 (8) 

c 

Poiché risulta G = ϱc 2 (vedi equazione (2)) possiamo riscrivere la (8) nella forma: 

ϱJpl 

JD 

cos ωl 

c 

= ωl 

c 

sin ωl 

c 

Si osservi che il momento d’inerzia di massa dell’asta attorno al proprio asse risulta pari a 12 : 

12Applicando la definizione, il momento d’inerzia polare della sezione dell’asta vale: 

 

Jp = r 

A 

2 dA [m 4 ] 

Sempre applicando la definizione, il momento d’inerzia di massa dell’asta vale: 

 

Jasta = r 

m 

2 

dm = ϱl r 

A 

2 dA = ϱlJp [kg m 2 ] 

essendo dm = ϱ dV = ϱl dA (m = massa, V = volume, A = area). 

Per una sezione circolare di diametro d il momento d’inerzia polare vale: 

 

Jp = r 

A 

2 d/2 

dA = r 

0 

2 2πr dr = πd4 

32 

Jasta = ϱJpl (10) 

(9)


Ponendo: 

l’equazione (9) diventa: 

h = ϱJpl 

JD 

= Jasta 

JD 

tan β = h 

β 

β = ωl 

c 

 

ϱ 

= ωl 

G 

L’equazione (12), risolta per via numerica, fornisce i valori di β corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema 

in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (12) è riportata nella Figura 4: 

β 1 

β 2 

0 π 2π 3π β 

Figura 4 

Si noti che, essendo β > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. 


0 < β1 < π 

2 

Con i dati numerici assegnati dal problema si ha: 

Jp = πd4 

32 

h = ϱJpl 

JD 

β 3 

(11) 

(12) 

π < β2 < 3 

2 π 2π < β3 < 5 

π (13) 

2 

= π × 0.022 

32 


= 1.571 × 10 −8 m 4 

(14) 

= 7800 × 1.571 × 10−8 × 1.2 

2.25 × 10 −4 = 0.653 (15) 

β1 = 0.730 β2 = 3.335 β3 = 6.385 (16) 

c = 

 

G 

ϱ = 

 

80000 × 106 = 3203 m/s (17) 

7800




c 

ω1 = β1 

ω2 = β2 

ω3 = β3 

l 

c 

l 

c 

l 

= 0.730 × 3203 

1.2 

= 3.335 × 3203 

1.2 

= 6.385 × 3203 

1.2 

= 1948 rad/s 

= 8901 rad/s 

= 17041 rad/s 

f1 = ω1 1948 

= = 310 Hz 

2π 2π 

f2 = ω2 8901 

= = 1417 Hz 

2π 2π 

f3 = ω3 17041 

= = 2712 Hz 

2π 2π 

Se si trascura la massa dell’asta, si ottiene un sistema ad un solo grado di libertà del tipo illustrato in Figura 5 

(disco incernierato a terra soggetto alla coppia generata da una molla torsionale). 

k t 

Figura 5 

La costante elastica kt rappresenta la rigidezza torsionale dell’asta e vale: 

La pulsazione propria è pertanto: 

ω = 

kt 

JD 

= 

k = GJp 

l 

J D 

(18) 

(19) 

(20) 

 

GJp 

JDl = 

 

80000 × 106 × 1.571 × 10−8 2.25 × 10−4 = 2157 rad/s (21) 

× 1.2 

L’errore percentuale commesso sul calcolo della prima frequenza propria è: 

ω − ω1 

ε = × 100 = 

ω1 

2157 − 1948 

1948 

× 100 ∼ = 10.7% (22)



Calcolare le prime tre pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della 

trave sotto riportata. 

Soluzione 

Indichiamo con: 

x 

l 

Figura 1 

EJ ρA s 

y(x, t) lo spostamento verticale di una generica sezione della trave; 

ϕ(x, t) la rotazione di una generica sezione della trave; 

M(x, t) il momento flettente agente in una generica sezione della trave; 

T (x, t) la forza di taglio in una generica sezione della trave. 

Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2: 

L’equazione delle vibrazioni trasversali è la seguente: 

ϕ 

w + + M T + T M 

Figura 2 

y(x, t) = Y (x)f(t) = (A cos βx + B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)(E cos ωt + F sin ωt) (1) 

dove: 

β = 4 

 

ω2ϱAs EJ 

Le condizioni al contorno relative all’estremo incastrato (x = 0) sono: 

⎧ 

⎨ y(0.t) = 0 

⎩ ϕ(0.t) = ∂y 

(0.t) = 0 

∂x 

Le condizioni al contorno relative all’estremo appoggiato (x = l) sono invece: 

⎧ 

⎨ 

M(l, t) = EJ 

⎩ 

∂2y (l, t) = 0 

∂x2 y(l, t) = 0 

Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali rispetto ad x (prima e 

seconda) della funzione y(x, t): 

∂y 

(x, t) = β(−A sin βx + B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (5) 

∂x 

∂ 2 y 

∂x 2 (x, t) = β2 (−A cos βx − B sin βx + C cosh βx + D sinh βx)f(t) (6) 

(2) 

(3) 

(4)


Utilizzando ora le espressioni di y(x, t) e delle sue derivate nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo 

opportune semplificazioni, il seguente sistema di equazioni: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A + C = 0 

B + D = 0 

−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 

A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 

Ricavando dalle prime due equazioni del sistema (7) i valori delle costanti C e D e sostituendoli nelle rimanenti 

equazioni, si perviene al seguente sistema: 

 

A(cos βl + cosh βl) + B(sin βl + sinh βl) = 0 

(8) 

A(cos βl − cosh βl) + B(sin βl − sinh βl) = 0 

Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sia nullo il determinante della matrice dei 

coefficienti: 

(cos βl + cosh βl) 

(cos βl − cosh βl) 

 

(sin βl + sinh βl) 

 

(sin βl − sinh βl) = 0 (9) 

Ponendo, per semplicità α = βl e sviluppando il determinante, si ricava, dopo semplici passaggi, l’equazione 

delle frequenze sotto riportata: 

cos α sinh α − sin α cosh α = 0 (10) 

ovvero: 

tanh α = tan α (11) 

L’equazione (11), risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema 

in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (11) è riportata in Figura 3: 

0 π α1 2π α2 3π α3 4π α 

Figura 3 

Si noti che, essendo α > 0, si considera soltanto il semiasse orizzontale positivo. 

Indichiamo con α1, α2 e α3 le prime tre soluzioni della (11): dal grafico sopra riportato si deduce che: 

π < α1 < 3 

2 π 2π < α2 < 5 

2 π 3π < α3 < 7 

π (12) 

2 

(7)


La soluzione numerica della (11) fornisce i seguenti risultati: 

α1 = β1l = 3.927 

α2 = β2l = 7.069 

α3 = β3l = 10.21 


ωn = β 2 

EJ 

n n = 1.2.3. . . . (14) 

ϱAs 

Per il calcolo dei modi principali di vibrare possiamo procedere come segue: 

• ricaviamo la costante B dalla seconda delle (8): 

B = −A 

 

cos βl − cosh βl 

sin βl − sinh βl 

• riscriviamo l’espressione di Y (x) tenendo presente che C = −A e D = −B: 

• sostituiamo la (15) nella (16): 

Y (x) = A 

(13) 

(15) 

Y (x) = A(cos βx − cosh βx) + B(sin βx − sinh βx) (16) 

 

(cos βx − cosh βx) − 

Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare potremo quindi scrivere: 

Yn(x) = An 

 

(cos βnx − cosh βnx) − 

 

 

cos βl − cosh βl 

(sin βx − sinh βx) 


cos βnl − cosh βnl 

sin βnl − sinh βnl 

 

 

(sin βnx − sinh βnx) 

yn(x, t) = Yn(x)fn(t) = Yn(x)(En cos ωnt + Fn sin ωnt) (19) 

Nelle figure seguenti sono rappresentate le deformate della trave relative ai primi tre modi di vibrare. 




(17) 

(18)





Soluzione 


x 

l 

Figura 1 

EJ ρ A s 







ϕ 

w + + M T + T M 

Figura 2 


dove: 

β = 4 

 

ω2ϱAs EJ 

Le condizioni al contorno relative all’estremo incastrato (x = 0) sono: 

⎧ 

⎨ y(0.t) = 0 

⎩ ϕ(0.t) = ∂y 

(0.t) = 0 

∂x 

Le condizioni al contorno relative all’estremo libero (x = l) sono invece: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0 

∂x2 T (l, t) = EJ ∂3y (l, t) = 0 

∂x3 Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali rispetto ad x (prima, 

seconda e terza) della funzione y(x, t): 

∂y 


∂x 

∂ 2 y 


(2) 

(3) 

(4)


∂ 3 y 

∂x 3 (x, t) = β3 (A sin βx − B cos βx + C sinh βx + D cosh βx)f(t) (7) 



⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A + C = 0 

B + D = 0 


A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl = 0 


equazioni, si perviene al seguente sistema: 

 

A(cos βl + cosh βl) + B(sin βl + sinh βl) = 0 

(9) 

A(sin βl − sinh βl) − B(cos βl + cosh βl) = 0 



(cos βl + cosh βl) 

(sin βl − sinh βl) 

 

(sin βl + sinh βl) 

 

−(cos βl + cosh βl) = 0 (10) 

Ponendo, per semplicità α = βl e sviluppando il determinante, si ricava, dopo semplici passaggi, l’equazione 

delle frequenze sotto riportata: 

1 + cos α cosh α = 0 (11) 

ovvero: 

cos α = − 1 

cosh α 

L’equazione (12), risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema 

in esame; la rappresentazione grafica dei due membri della (12) è riportata in Figura 3: 

α1 π α2 2π α3 0 π / 2 

3π / 2 

5π / 2 

Figura 3 

3π 

7π / 2 α 



(8) 

(12) 

π 

2 < α1 < π α2 ∼ = 3 

2 π α3 ∼ = 5 

π (13) 

2


La soluzione numerica della (12) fornisce i seguenti risultati: 

α1 = β1l = 1.875 

α2 = β2l = 4.694 

α3 = β3l = 7.854 


ωn = β 2 

EJ 

n n = 1.2.3. . . . (15) 

ϱAs 

Per il calcolo dei modi principali di vibrare possiamo procedere come segue: 

• ricaviamo la costante B dalla seconda delle (9): 

B = A 

 


cos βl + cosh βl 

• riscriviamo l’espressione di Y (x) tenendo presente che C = −A e D = −B: 

• sostituiamo la (16) nella (17): 

Y (x) = A 

(14) 

(16) 

Y (x) = A(cos βx − cosh βx) + B(sin βx − sinh βx) (17) 

 

(cos βx − cosh βx) + 

Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare potremo quindi scrivere: 

Yn(x) = An 

 

(cos βnx − cosh βnx) + 

 

 


(sin βx − sinh βx) 

cos βl + cosh βl 

sin βnl − sinh βnl 

cos βnl + cosh βnl 

 

 

(sin βnx − sinh βnx) 






(18) 

(19)



Calcolare le pulsazioni proprie ed i modi principali di vibrare relativi alle vibrazioni trasversali della trave sotto 

riportata. 

Soluzione 

x 

l 

Figura 1 

EJ ρ A s 

Indichiamo con: Per la risoluzione del problema adottiamo le convenzioni di segno indicate in Figura 2: 






ϕ 

w + + M T + T M 

Figura 2 


dove: 

β = 4 

 

ω2ϱAs EJ 

Le condizioni al contorno relative all’estremo sinistro (x = 0) sono: 

⎧ 

⎨ y(0.t) = 0 

⎩ M(0.t) = EJ ∂2y (0.t) = 0 

∂x2 Analogamente, per l’estremo destro (x = l) si ha: 

⎧ 

⎨ y(l, t) = 0 

⎩ M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0 

∂x2 Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo della derivata parziale seconda rispetto ad x della 

funzione y(x, t): 

∂ 2 y 


Utilizzando ora le equazioni (1) e (5) nelle condizioni al contorno (3) e (4), si ottiene, dopo opportune semplificazioni, 

il seguente sistema di equazioni: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A + C = 0 

−A + C = 0 

A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 


(2) 

(3) 

(4) 

(6)


Dalle prime due equazioni del sistema (6) si deduce che A = C = 0; le rimanenti equazioni possono quindi 

essere riscritte nella forma: 

B sin βl + D sinh βl = 0 

−B sin βl + D sinh βl = 0 

(7) 



sin βl 

− sin βl 

sinh βl 

sinh βl 

 

 

 

= 0 (8) 

Sviluppando il determinante e semplificando si ottiene: 

sin βl sinh βl = 0 (9) 

Poiché risulta sinh βl = 0 per βl = 0, la (11) dà luogo all’equazione delle frequenze sotto riportata: 

I valori di β che soddisfano la (10) sono: 

βn = nπ 

l 

sin βl = 0 (10) 

n = 1.2.3. . . . (11) 

Come si può notare, l’equazione delle frequenze risulta in questo caso particolarmente semplice: non è quindi 

necessario ricorrere a metodi numerici per la determinazione delle sue radici. 


ωn = β 2 

EJ 

n n = 1.2.3. . . . (12) 

ϱAs 

Sommando membro a membro le due equazioni del sistema (7) si può immediatamente verificare che la costante 

D deve essere nulla; Poiché anche le costanti A e C risultano nulle, possiamo scrivere: 

Con riferimento all’ n-esimo modo di vibrare si ha pertanto: 

Y (x) = B sin βx (13) 

Yn(x) = Bn sin βnx (14) 





Figura 5: Terzo modo di vibrare.





Dati 

x 

d 

l 

Figura 1 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 1 m 




• Rigidezza della molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k = 20000 N/m 

Soluzione 


ρ E 







dove: 

ϕ 

w + + M T + T M 

Figura 2 


β = 4 

 

ω2ϱAs EJ 


⎧ 

⎨ y(0.t) = 0 

⎩ ϕ(0.t) = ∂y 

(0.t) = 0 

∂x 

k 

(2) 

(3)


Le condizioni al contorno relative all’estremo destro (x = l) sono invece: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0 

∂x2 T (l, t) = EJ ∂3y (l, t) = ky(l, t) 

∂x3 Si osservi che la seconda delle (4) esprime la condizione di equilibrio delle forze agenti in corrispondenza dell’estremo 

destro della trave; tali forze, come risulta evidente dalla Figura 3, sono rappresentate dall’azione della 

molla k y(l, t) e dalla forza di taglio T (l, t). 

T(l,t) = EJ _______ ∂ w(l,t) 

∂x 

3 

3 

k w(l,t) 

Figura 3 Estremo destro della trave. 

Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali (prima, seconda e terza) 

rispetto ad x della funzione y(x, t): 

∂y 


∂x 

∂ 2 y 


∂ 3 y 




⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A + C = 0 

B + D = 0 


EJβ 3 (A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl) = k(A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) 


equazioni, si perviene al sistema: 

⎧ 

⎨ A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0 

⎩ 

α3 [A(sin α − sinh α) − B(cos α + cosh α)] = kl3 

[A(cos α − cosh α) + B(sin α − sinh α)] 

EJ 

dove si è posto, per semplicità di scrittura, α = βl. 

Definendo ora λ = kl3 

e riordinando i termini, il sistema (9) può essere riscritto nella forma: 

EJ 

 

A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0 

A[α3 (sin α − sinh α) − λ(cos α − cosh α)] − B[α3 (cos α + cosh α) + λ(sin α − sinh α)] = 0 


coefficienti: 

 

 

 

(cos α + cosh α) (sin α + sinh α) 

 

 

3 3 α (sin α − sinh α) − λ(cos α − cosh α) − α (cos α + cosh α) + λ(sin α − sinh α) = 0 (11) 

Sviluppando il determinante, si ricava, dopo alcuni passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata: 

(4) 

(8) 

(9) 

(10) 

λ cos α sinh α − α3 = α 

cosh α 

3 cos α + λ sin α (12)


Tale equazione, risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema 

in esame; per risolvere la (12) occorre dapprima calcolare il valore del coefficiente λ, che risulta funzione di k 

(rigidezza della molla), l (lunghezza della trave), E (modulo di Young) e J (momento d’inerzia della sezione 

della trave rispetto all’asse neutro della flessione). 

Con i dati forniti dal problema si ottengono i seguenti valori: 

J = πd4 

64 = π × (20 × 10−3 ) 4 

= 7.854 × 10 

64 

−9 m 4 

λ = kl3 

EJ = 

(13) 

20000 × 13 206000 × 106 = 12.362 (14) 

× 7.854 × 10−9 La rappresentazione grafica dei due membri della (12) è riportata in Figura 4: 

300 

240 

180 

120 

60 

60 

α 1 

α 2 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

Figura 4 



La soluzione numerica fornisce i seguenti risultati: 

2 < α1 < 3 4 < α2 < 5 7 < α3 < 8 (15) 

α1 = β1l = 2.735 

α2 = β2l = 4.818 

α3 = β3l = 7.881 


ωn = β 2 

EJ 

n 

ϱAs 

 

αn 

2 

= K 

l 

n = 1.2.3. . . . (17) 

avendo posto K = EJ/ϱAs. 

Con i dati assegnati l’area della sezione trasversale As e la costante K risultano rispettivamente: 

As = πd2 

4 = π × (20 × 10−3 ) 2 

= 3.142 × 10 

4 

−4 m 2 

 

EJ 2.06 × 1011 × 7.854 × 10−9 K = = 

ϱAs 

α 3 

10 

(16) 

(18) 

7800 × 3.142 × 10 −4 = 25.7 m 2 /s (19)


Le prime tre pulsazioni proprie assumono pertanto i valori sotto indicati: 

 

α1 

2 2.735 

ω1 = K = 25.7 

l 

1 

 

α2 

2 4.818 

ω2 = K = 25.7 

l 

1 

 

α3 

2 7.881 

ω3 = K = 25.7 

l 

1 

2 

2 

2 

= 192 rad/s 

= 596 rad/s 

= 1596 rad/s 

(20)





Dati 

x 

d 

l 

Figura 1 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l = 0.8 m 




• Massa applicata all’estremità destra dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M1 = 15 kg 

Soluzione 


ρ E 







dove: 

ϕ 

w + + M T + T M 

Figura 2 


β = 4 

 

ω2ϱAs EJ 


⎧ 

⎨ 

⎩ 

y(0.t) = 0 

ϕ(0.t) = ∂y 

(0.t) = 0 

∂x 

M1 

(2) 

(3)


Le condizioni al contorno relative all’estremo destro (x = l) sono invece: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

M(l, t) = EJ ∂2y (l, t) = 0 

∂x2 T (l, t) = EJ ∂3y (l, t) = M1 

∂x3 ∂2y (l, t) 

∂t2 Si osservi che la seconda delle (4) esprime la condizione di equilibrio delle forze agenti in corrispondenza dell’ 

estremo destro della trave; tali forze, come risulta evidente dalla Figura 3 sotto riportata, sono rappresentate 

dalla forza d’inerzia M1 

T(l,t) = EJ 

∂2y (l, t) generata dalla massa concentrata e dalla forza di taglio T (l, t). 

∂t2 ______ ∂ 3w(l,t) 

∂ x 3 

Figura 3 

F (l,t) = 

i 

M1 

∂_______ 2w(l,t) 

∂ t2 

Per imporre le condizioni suddette occorre effettuare il calcolo delle derivate parziali (prima, seconda e terza) 

rispetto ad x della funzione y(x, t): 

∂y 


∂x 

∂ 2 y 


∂ 3 y 


Le condizioni (3), relative all’estremo incastrato, forniscono le seguenti equazioni: 

La prima delle (4) dà luogo all’equazione: 

A + C = 0 

B + D = 0 

⇒ 

C = −A 

D = −B 

−A cos βl − B sin βl + C cosh βl + D sinh βl = 0 (9) 

La seconda delle (4) richiede alcune considerazioni preliminari, Poiché contiene una derivata parziale calcolata 

rispetto al tempo; ricordando che y(x, t) = Y (x)f(t) e che f(t) = E cos ωt + F sin ωt, si può scrivere: 

∂ 3 y(x, t) 

∂x 3 

(4) 

(8) 

= d3Y (x) 

f(t) (10) 

dx3 ∂2y(x, t) 

∂t2 = Y (x) d2f(t) dt2 = −ω2Y (x)f(t) (11) 

Semplificando il termine f(t), presente in ambo i membri dell’equazione, la seconda delle (4) diviene: 

ovvero: 

EJ d3 Y (l) 

dx 3 = −M1ω 2 Y (l) (12) 

β 3 (A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl) = − M1 

EJ ω2 (A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) (13) 

Risolvendo la (2) rispetto ad ω 2 si ha: 

ω 2 4 EJ 

= β 

ϱAs 

(14)


Sostituendo nella (13) l’espressione di ω 2 fornita dalla (14) e semplificando opportunamente si ottiene: 

A sin βl − B cos βl + C sinh βl + D cosh βl = − M1β 

(A cos βl + B sin βl + C cosh βl + D sinh βl) (15) 

ϱAs 

Per semplicità possiamo porre α = βl e riscrivere la (15) nella forma seguente: 

A sin α − B cos α + C sinh α + D cosh α = − M1 

α(A cos α + B sin α + C cosh α + D sinh α) (16) 

ϱAsl 

Si osservi che il termine M1 

che compare al secondo membro dell’equazione rappresenta il rapporto fra il 

ϱAsl 

valore della massa M1, applicata all’estremo libero, ed il valore della massa propria della trave m = ϱAsl; posto 

λ = M1/m e tenendo conto delle relazioni (8), le equazioni (9) e (16) assumono la forma sotto riportata: 

 

A(cos α + cosh α) + B(sin α + sinh α) = 0 

(17) 

A[(sin α − sinh α) + λα(cos α − cosh α)] − B[(cos α + cosh α) − λα(sin α − sinh α)] = 0 

Affinché tale sistema abbia una soluzione non banale è necessario che sfa nullo il determinante della matrice dei 

coefficienti: 

 

 

 

 

(cos α + cosh α) (sin α + sinh α) 

 

 

[(sin α − sinh α) + λα(cos α − cosh α)] − [(cos α + cosh α) − λα(sin α − sinh α)] = 0 (18) 

Sviluppando il determinante si ricava, dopo alcuni passaggi, l’equazione delle frequenze sotto riportata: 

1 + λα cos α sinh α 

cosh α 

= λα sin α − cos α (19) 

Tale equazione, risolta per via numerica, fornisce i valori di α corrispondenti alle pulsazioni proprie del sistema 

in esame; per risolvere la (19) occorre dapprima calcolare il valore del coefficiente λ, che risulta funzione di 

M1 (massa concentrata), ϱ (densità del materiale costituente la trave), As (area della sezione trasversale della 

trave), ed l (lunghezza della trave). 

Con i dati forniti dal problema si ottengono i valori sotto riportati: 

As = πd2 

4 = π × (25 × 10−3 ) 2 

= 4.909 × 10 

4 

−4 m 2 

(20) 

m = ϱAsl = 7800 × 4.909 × 10 −4 × 0.8 = 3.063 kg (21) 

λ = M1 

m 

15 

= = 4.897 (22) 

3.063 

La rappresentazione grafica dei due membri della (19) è riportata in Figura 4: 


Indichiamo con α1, α2 e α3 le prime tre soluzioni della (19): dal grafico si deduce che: 

La soluzione numerica fornisce i seguenti risultati: 

α1 ∼ = 1 α2 ∼ = 4 α3 ∼ = 7 (23) 

α1 = β1l = 0.874 

α2 = β2l = 3.950 

α3 = β3l = 7.083 


ωn = β 2 

EJ 

n 

ϱAs 

 

αn 

2 

= K 

l 

n = 1.2.3. . . . (25) 

avendo posto K = EJ/ϱAs. 

(24)


40 

20 

20 

40 

α 1 

α 2 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

Figura 4 

Con i dati assegnati il momento d’inerzia J e la costante K risultano rispettivamente: 

J = πd4 

64 = π × (25 × 10−3 ) 4 

= 1.917 × 10 

64 

−8 m 4 

 

EJ 2.06 × 1011 × 1.917 × 10−8 K = = 

ϱAs 

α 3 

(26) 

7800 × 4.909 × 10 −4 = 32.12 m 2 /s (27) 

Le prime tre pulsazioni proprie assumono pertanto i valori sotto indicati: 

 

α1 

2 

2 

0.874 

ω1 = K = 32.12 = 38.4 rad/s 

l 

0.8 

 

α2 

2 

2 

3.950 

ω2 = K = 32.12 = 783.2 rad/s 

l 

0.8 

 

α3 

2 

2 

7.083 

ω3 = K = 32.12 = 2517.7 rad/s 

l 

0.8 

Se avessimo trascurato la massa distribuita con continuità lungo l’asta, avremmo ottenuto un semplice modello 

ad un grado di libertà del tipo indicato in Figura 5: 

M1 

k eq 

Figura 5 

La costante elastica keq è data dalla rigidezza flessionale della trave a mensola: 

keq = 3EJ 

l 3 = 3 × 2.06 × 1011 × 1.917 × 10 −8 

0.8 3 = 23144 N/m (29) 

(28)


La pulsazione propria vale quindi: 

ω ∗ = 

ω1 

keq 

M1 

 

23144 

= = 39.3 rad/s (30) 

15 

Come si può notare, il valore della pulsazione propria calcolato mediante il modello approssimato risulta molto 

vicino al valore della prima pulsazione propria del modello a parametri distribuiti; ciò è dovuto al fatto che 

la massa della trave è piccola rispetto alla massa concentrata nell’estremo libero (λ = M1/m ∼ = 5); l’errore 

percentuale ∆% che si commette utilizzando il modello semplificato vale: 

 

∗ ω − ω1 

39.3 − 38.4 

∆% = 

× 100 = 

× 100 = 2.38% (31) 

38.4 

Chiaramente, l’impiego del modello semplificato (ad un solo grado di libertà) non consente di ricavare le altre 

pulsazioni proprie del sistema.

Esercizi proposti



d 

m 2m 

l 

Il sistema vibrante rappresentato in figura è costituito da due masse collocate alle estremità di una barra di 

acciaio scorrevole senza attrito su due supporti. 

a) Nell’ipotesi che la barra abbia massa trascurabile, si calcolino le frequenze proprie relative alle vibrazioni 

assiali del sistema. 

b) Supponendo che la massa della barra non sia trascurabile, si imposti il procedimento di calcolo che permette 

di determinare le frequenze proprie relative alle vibrazioni assiali. 

Dati 

• Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .m 2m 

• Lunghezza della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 

• Diametro della barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 

• Modulo di Young dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E 

• Densità dell’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ϱ



M 

E, A, ρρρρ 

Si ricavi l’equazione delle frequenze relativa alle vibrazioni assiali dell’asta rappresentata in figura. 

l 

k



J1 

d 

L 

J2 

k 

R 

k k 

Si imposti il calcolo delle pulsazioni proprie relative alle vibrazioni torsionali del sistema in figura, nell’ipotesi 

che la massa dell’albero che collega i due dischi non sia trascurabile. 

Dati 

• Momento d’inerzia del disco all’estremità sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1 

• Momento d’inerzia del disco all’estremità destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J2 

• Rigidezza delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k 

• Raggio di avvolgimento delle molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R 

• Modulo elastico tangenziale del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G 

• Densità del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ 

• Lunghezza dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 

• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d



E I ρρρρ A 

l/4 

M, J 

l/4 

k 

Si considerino le vibrazioni flessionali della trave elastica rappresentata in figura e si imposti il calcolo che 

permette di ricavare le pulsazioni proprie del sistema (scrittura delle condizioni al contorno relative ad ogni 

tronco). 

Dati 

• Massa del corpo rigido fissato alla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M 

• Momento d’inerzia baricentrico del corpo rigido fissato alla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J 

• Densità del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ 


• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 

• Area della sezione trasversale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 



l/2



l/2 

k 

m 

l/2 

ρA 

EI 

Si consideri il sistema in figura, costituito da una trave montata su due supporti, sulla quale è fissata una 

massa m, vincolata a terra mediante una molla di rigidezza k. 

Domande 

1. Si supponga in prima approssimazione che la massa della trave sia trascurabile rispetto alla massa concentrata 

m e si calcoli la pulsazione propria del sistema. 

2. Si consideri ora il caso in cui la massa della trave non sia trascurabile e si imposti il calcolo che permette di 

determinare le pulsazioni proprie del sistema. 

Dati 



• Densità del materiale costituente la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ 


• Momento d’inerzia della sezione della trave rispetto all’asse neutro della flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 

• Area della sezione trasversale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 

• Lunghezza della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l



x 

l 

Si imposti il calcolo delle pulsazioni proprie relative alle vibrazioni assiali del sistema in figura, nell’ipotesi che 

la massa dell’asta non sia trascurabile. 

Dati 

• Massa fissata all’estremità destra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M 


• Modulo di Young del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E 

• Densità del materiale costituente l’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ 

• Lunghezza dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 

• Diametro dell’albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d 

M 

k



E ρρρρ 

Supponendo di conoscere la distribuzione degli spostamenti assiali u0(x) e la distribuzione delle velocità ˙u0(x) 

per una trave incastro-estremo libero, determinare l’espressione analitica delle vibrazioni u(x, t). 

Dati 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 

• Modulo di Young del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E 

• Densità del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ 

l



EA ρρρρ 

l 

Un’asta avente sezione trasversale di area costante A, densità ϱ, modulo elastico E e lunghezza l è fissata ad 

una estremità ed è libera all’altra. L’asta è soggetta ad una forza assiale F0 applicata al suo estremo libero, 

come mostrato in figura. 

Studiare le vibrazioni assiali che si manifestano nell’asta quando la forza F0 viene improvvisamente rimossa. 

Dati 

• Area della sezione trasversale dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 

• Densità del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϱ 

• Modulo di Young del materiale costituente l’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E 

• Lunghezza dell’asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 

• Forza applicata all’estremo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F0 

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Questo testo è stato composto dall’autore con l’ausilio del programma L ATEX

Dinamica dei sistemi vibranti

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