fondamenti di automatica - Dipartimento di Sistemi e Informatica

FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi
22 novembre 2006

Indice
1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 5
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Analisi armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Diagramma di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist 36
1.7 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3

4 Indice

Capitolo 1
Analisi in frequenza di sistemi
LTI
1.1 Introduzione
Questo capitolo integra l’analisi di sistemi LTI nel dominio del tempo svolta nel
capitolo 3 con l’analisi nel dominio della frequenza. Quest’ultima costituisce un
mezzo potente ed intuitivo per lo studio e la comprensione del comportamento
di tali sistemi, nonché per l’analisi di alcune loro proprietà fondamentali particolarmente
in riferimento ai sistemi retroazionati (vedi capitolo 7). Inoltre,
come si vedrà nei capitoli 9 e 10, l’analisi in frequenza fornisce strumenti utili
per la formulazione delle specifiche e per la sintesi di sistemi di controllo a retroazione.
L’analisi in frequenza si basa sullo studio della risposta del sistema
ad un ingresso di tipo sinusoidale (analisi armonica). Sfruttando il principio di
sovrapposizione degli effetti e l’analisi di Fourier, che permette di sviluppare
segnali come combinazioni lineari di un numero finito o infinito (numerabile o
continuo) di sinusoidi di diverse pulsazioni (componenti armoniche), l’analisi
armonica è estendibile ad una ampia classe di segnali comprendente di fatto
tutti i segnali di interesse pratico nelle applicazioni ingegneristiche.
Il capitolo tratterà in dettaglio i seguenti argomenti.
• Determinazione della risposta ad un ingresso sinusoidale e teorema fondamentale
dell’analisi armonica.
• Definizione della risposta in frequenza, suoi legami con la funzione di
trasferimento, sue proprietà e determinazione sperimentale.
• Rappresentazione grafica della risposta in frequenza tramite diagrammi
di Bode e di Nyquist e metodi per il tracciamento qualitativo di tali
diagrammi.
5

6 Analisi armonica
1.2 Analisi armonica
Si vuole determinare la risposta di un sistema LTI, con funzione di trasferimento
G(s) = b(s)/a(s), ad un segnale di ingresso sinusoidale
u(t) = Au sin(ωt + ϕu) (1.2.1)
di pulsazione ω > 0, ampiezza Au > 0 e fase ϕu ∈ [−π, π). Ampiezza e
fase della sinusoide possono essere rappresentate in modo più compatto da un
unico numero complesso U △ = Aue jϕu , detto fasore della sinusoide (1.2.1), nel
seguente modo:
u(t) = Au sin(ωt + ϕu) = Im Au ej(ωt+ϕu) = Im Auejϕu ejωt = Im U ejωt = 1
Uejωt − Ue−jωt 2j
(1.2.2)
Da (1.2.2) si deduce la trasformata di Laplace dell’ingresso
U(s) = 1
2j
= 1
2j
U
s − jω −
U
s + jω
(U − U)s + j(U + U)ω
s 2 + ω 2
= 1
2j
= Im U s + Re U ω
U(s + jω) − U(s − jω)
(s − jω)(s + jω)
s 2 + ω 2
La trasformata di Laplace della risposta cercata è quindi:
Y (s) = G(s)U(s) + p(s)
a(s)
= G(s) (Im U s + Re U ω)
s 2 + ω 2
+ p(s)
a(s)
(1.2.3)
= b(s)(Im U s + Re U ω) + p(s) (s2 + ω2 )
a(s) (s2 + ω2 )
(1.2.4)
dove p(s) è un polinomio i cui coefficienti dipendono dalle condizioni iniziali.
Si noti che (1.2.4) è una funzione razionale di denominatore a(s) (s2 + ω2 ) e,
pertanto, i suoi poli coincidono con:
• i poli del sistema, cioè le radici del polinomio caratteristico a(s);
• i poli dell’ingresso, cioè le radici ±jω del polinomio s 2 + ω 2 a denominatore
di U(s).
Se ±jω sono poli semplici di Y (s) in (1.2.4), vale a dire se è soddisfatta la
seguente ipotesi
a(jω) = 0 (1.2.5)

Analisi in frequenza di sistemi LTI 7
la (1.2.4) può essere posta nella forma
dove
Y (s) = K
s − jω
+ K
s + jω
+ q(s)
a(s)
K = [(s − jω)Y (s) ] s=jω
Im U s + Re U ω
= (s − jω)G(s) + (s − jω)p(s)
(s − jω)(s + jω) a(s)
= G(jω)U
2j
s=jω
(1.2.6)
(1.2.7)
è il residuo di Y (s) associato al polo s = jω mentre q(s) è un polinomio dello
stesso grado di p(s). Antitrasformando (1.2.6) ed utilizzando (1.2.7):
y(t) = Kejωt + Ke−jωt + L−1
q(s)
= 2 Re
a(s)
Kejωt + yT(t)
dove si è posto:
G(jω)U
= Re
j
= yR(t) + yT(t)
ejωt
+ yT(t) = Im G(jω)Uejωt + yT(t)
(1.2.8)
yR(t) △ = Im G(jω)Ue jωt = |G(jω)|Au sin (ωt + ϕu + ∠G(jω))(1.2.9)
yT(t) △ = L −1
q(s)
(1.2.10)
a(s)
Pertanto la risposta y(t) in (1.2.8) risulta somma di due termini. Il termine
yR(t), definito in (1.2.9), prende il nome di risposta a regime; è un segnale
sinusoidale, della stessa pulsazione dell’ingresso, caratterizzato dal fasore
Y = G(jω) U (1.2.11)
o, equivalentemente, da ampiezza Ay e fase ϕy legate ad ampiezza Au e fase
ϕu dell’ingresso dalle seguenti relazioni
Ay = |G(jω)| Au (1.2.12)
ϕy = ϕu + ∠G(jω) (1.2.13)
Il termine yT(t), definito in (1.2.10), prende il nome di risposta transitoria ed
è una combinazione lineare dei modi naturali del sistema. In particolare, se il
sistema è stabile la risposta transitoria tende asintoticamente a zero, cioè
lim
t→∞ yT(t) = 0,

8 Analisi armonica
qualunque siano le condizioni iniziali.
Riassumendo i precedenti sviluppi, vale il seguente risultato noto come teorema
fondamentale dell’analisi armonica.
Teorema 5.1 - Se si applica ad un sistema LTI stabile con funzione
di trasferimento G(s) un ingresso sinusoidale u(t) = Im(Ue jωt ), l’uscita y(t)
tende asintoticamente, indipendentemente dalle condizioni iniziali, alla risposta
di regime
yR(t) = Im(Y e jωt )
dove il fasore Y è legato al fasore U dell’ingresso dalla relazione (1.2.11). Più
precisamente,
jωt
lim y(t) − Im(Y e ) = 0,
t→∞
qualunque siano le condizioni iniziali.
Osservazioni
• Nel caso in cui il sistema sia instabile, cioè G(s) abbia poli con parte
reale non negativa, non è più vero in generale che la risposta y(t) tende
alla soluzione sinusoidale di regime yR(t) in quanto, in tal caso, la risposta
transitoria yT(t) non converge necessariamente a zero. Tuttavia si
dimostra che, nell’ipotesi (1.2.5), esiste un valore delle condizioni iniziali
per cui il polinomio q(s) in (1.2.10) è nullo e, di conseguenza, la risposta
transitoria yT(t) è nulla per ogni t ≥ 0. Questo permette di estendere i
risultati dell’analisi a regime anche ad un sistema instabile purché inserito
in un anello di retroazione che lo stabilizzi (vedi successivo capitolo
7); in tal caso, infatti, la relazione a regime fra l’ingresso e l’uscita del
sistema, in presenza di un’eccitazione sinusoidale esterna, continua ad
essere quella del teorema 5.1.
• Se la condizione (1.2.5) non è soddisfatta, cioè a(jω) = 0, la sinusoide
in ingresso al sistema coincide con un modo naturale del sistema ed il
sistema stesso va in risonanza. Assumendo, per esempio, che jω è un
polo semplice di G(s), si ha infatti
Y (s) = K1 K1
+
s − jω s + jω +
K2 K2
+ + · · ·
(s − jω) 2 (s + jω) 2
dove · · · rappresentano i termini dello sviluppo di Heaviside relativi ai
rimanenti poli di G(s). Quindi, antitrasformando, si ottiene un’uscita
della forma
y(t) = A1 sin(ωt + ϕ1) + A2 t sin(ωt + ϕ2) + · · ·

Analisi in frequenza di sistemi LTI 9
dove A1, ϕ1, A2, ϕ2 sono opportune costanti e · · · rappresenta una combinazione
dei rimanenti modi naturali del sistema. Quindi l’ingresso sinusoidale
u(t) di pulsazione ω produce in uscita una sinusoide di ampiezza
crescente linearmente (fenomeno di risonanza).
• L’analisi armonica è estendibile, mediante il principio di sovrapposizione
degli effetti, a tutti i segnali esprimibili come combinazioni lineari di
sinusoidi, quali ad esempio:
– i segnali periodici sviluppabili in serie di Fourier;
– i segnali dotati di trasformata di Fourier.
Si consideri un ingresso periodico u(t) di periodo T, cioè tale che u(t +
T) = u(t) per ogni t ≥ 0, sviluppabile in serie di Fourier tramite
u(t) =
∞
k=0
jkωt
Im Uk e , ω = 2π
T .
Nelle stesse ipotesi del teorema 5.1, sfruttando il principio di sovrapposizione
degli effetti ed applicando il teorema 5.1 ad ogni componente
armonica, l’uscita del sistema tende alla risposta a regime periodica
con
yR(t) =
∞
k=0
jkωt
Im Yk e ,
Yk = G(jkω) Uk.
Analogamente si consideri l’ingresso u(t) dotato di trasformata di Fourier
u(t) =
∞
0
Im U(ω) e jωt dω
Ragionando nello stesso modo, si può concludere che, nelle ipotesi del
teorema 5.1, la risposta al suddetto ingresso tende alla risposta di regime
con
yR(t) =
∞
0
Im Y (ω) e jωt dω
Y (ω) = G(jω) U(ω)

10 Risposta in frequenza
1.3 Risposta in frequenza
L’analisi armonica ha messo in evidenza l’importanza della funzione G(jω) che
caratterizza completamente il comportamento in frequenza del sistema. Per
questo motivo tale funzione, complessa di variabile reale ω, prende il nome di
risposta in frequenza del sistema. Si indichi con U(ω) il fasore della componente
armonica di pulsazione ω in ingresso e con Y (ω) il fasore della corrispondente
componente armonica (in condizioni di regime) in uscita. In virtù dei risultati
del precedente paragrafo, vale la relazione
Y (ω) = G(jω) U(ω) (1.3.1)
che esprime il fatto che per ogni pulsazione ω il fasore dell’uscita Y (ω) è uguale
al prodotto del fasore di ingresso U(ω) per la risposta in frequenza G(jω);
quest’ultima rappresenta pertanto il guadagno fasoriale del sistema. Da (1.3.1)
si deducono le relazioni
Ay(ω) = |G(jω)| Au(ω) (1.3.2)
ϕy(ω) = ϕu(ω) + ∠G(jω) (1.3.3)
che legano ampiezza Au(ω) e fase ϕu(ω) della componente armonica di pulsazione
ω in ingresso ad ampiezza Ay(ω) e fase ϕy(ω) della corrispondente
componente a regime in uscita. Si noti da (1.3.2) che il modulo |G(jω)| della
risposta in frequenza rappresenta il guadagno - amplificazione se |G(jω)| > 1
oppure attenuazione se |G(jω)| < 1 - del sistema alla pulsazione ω. Viceversa
da (1.3.3) si evince che l’argomento ∠G(jω) della risposta in frequenza
rappresenta lo sfasamento - in anticipo se ∠G(jω) > 0 oppure in ritardo se
∠G(jω) < 0 - del sistema alla pulsazione ω.
Proprietà della risposta in frequenza
Poiché G(s) è una funzione razionale a coefficienti reali, risulta banalmente che
da cui si deducono le seguenti proprietà
In altri termini:
G(−jω) = G(jω) = G(jω) (1.3.4)
|G(jω)| = |G(−jω)|, ∠G(jω) = −∠G(−jω),
Re G(jω) = Re G(−jω), Im G(jω) = −Im G(−jω)
• modulo e parte reale della risposta in frequenza sono funzioni pari di ω;
• argomento e parte immaginaria sono funzioni dispari di ω.

Analisi in frequenza di sistemi LTI 11
A y
A u
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Tempo
Figura 1.1 - Determinazione sperimentale della risposta in frequenza: ingresso di pulsazione
ω = 2π
(linea tratteggiata) e uscita corrispondente (linea continua). Lo sfasamento misurato
T
è ϕy − ϕu = −ωτ .
Determinazione sperimentale della risposta in frequenza
Le relazioni (1.3.2)-(1.3.3) suggeriscono un metodo per la determinazione sperimentale
della risposta in frequenza G(jω), da usarsi nei casi in cui la funzione
di trasferimento G(s) del sistema non sia nota a-priori. Infatti, per determinare
il valore G(jω) ad un certo valore ω della pulsazione, si può procedere nel modo
seguente (vedi fig. 1.1):
• si applica al sistema un ingresso sinusoidale u(t) = Au sin(ωt + ϕu);
• atteso un intervallo di tempo sufficientemente lungo affinché si possa
considerare esaurito il transitorio, si misurano l’ampiezza Ay e la fase ϕy
della sinusoide in uscita;
T
τ

12 Risposta in frequenza
• si calcola il modulo della risposta in frequenza come rapporto fra l’ampiezza
della sinusoide di uscita e di quella di ingresso, cioè
|G(jω)| = Ay
; (1.3.5)
• si calcola l’argomento della risposta in frequenza come differenza fra la
fase della sinusoide di uscita e di quella di ingresso, cioè
Au
∠G(jω) = ϕy − ϕu
(1.3.6)
Si noti che la suddetta procedura va ripetuta per tutte le pulsazioni ω di
interesse. In pratica è possibile ridurre il numero di esperimenti utilizzando
segnali di ingresso costituiti da più armoniche che consentono la valutazione
simultanea di più valori della risposta in frequenza.
Si osservi, inoltre, che la determinazione sperimentale della risposta in frequenza
richiede che il sistema vada a regime. Pertanto, tale determinazione
può essere effettuata in anello aperto, secondo lo schema di fig. ??, solo se il
sistema di interesse è stabile. Se, viceversa, il sistema non è stabile lo si può
stabilizzare secondo lo schema a retroazione di fig. ?? (vedi capitolo 7) per poi
procedere nel seguente modo:
• si applica all’ingresso esogeno del sistema a retroazione un segnale sinusoidale
r(t) di pulsazione ω;
• a regime, si misurano ampiezze e fasi (Au, Ay, ϕu e ϕu) di u(t) e y(t);
• si calcolano |G(jω)| e ∠G(jω) mediante (1.3.5)-(1.3.6).
Risposta in frequenza dell’elemento di ritardo
Molti sistemi reali di interesse presentano un ritardo temporale dovuto a fenomeni
di trasporto di materia. Si ricorda che tali sistemi sono LTI ma non a
dimensione finita, pertanto non sono caratterizzati da una funzione di trasferimento
G(s) razionale. Nel seguito si vuole estendere il concetto di risposta in
frequenza a sistemi con ritardo temporale. L’elemento di ritardo è descritto
dall’equazione ingresso-uscita
y(t) = u(t − τ)
dove τ > 0 è il ritardo. È immediato, pertanto, constatare che se u(t) =
Au sin(ωt + ϕu), allora risulta
y(t) = Au sin(ω(t − τ) + ϕu) = Ay(ω) sin(ωt + ϕy(ω))

Analisi in frequenza di sistemi LTI 13
con Ay(ω) = Au e ϕy(ω) = ϕu − ωτ, per ogni pulsazione ω. Quindi, definendo
la risposta in frequenza come rapporto fasoriale uscita/ingresso, per l’elemento
di ritardo si ha
G(jω) =
Y (ω)
U(ω)
= Ay(ω)e jϕy(ω)
Aue jϕu
= Aue j(ϕu−ωτ)
Aue jϕu
= e −jωτ
Questa definizione di risposta in frequenza è, peraltro, compatibile con la
funzione di trasferimento G(s) = e −τs dell’elemento di ritardo, definita come
rapporto fra le trasformate di Laplace dell’uscita e dell’ingresso. Si noti
che la risposta in frequenza dell’elemento di ritardo ha modulo unitario per
ogni pulsazione ω e argomento negativo, −ωτ, linearmente decrescente con la
pulsazione ω.
Rappresentazione grafica della risposta in frequenza
Data l’importanza della risposta in frequenza sia per evidenziare le proprietà
filtranti del sistema che, come si vedrà nei capitoli successivi, per l’analisi e la
sintesi di sistemi di controllo a retroazione, risulta fondamentale studiarne la
rappresentazione grafica. A tale proposito, vengono utilizzati essenzialmente
due tipi di rappresentazione:
• i diagrammi cartesiani, o di Bode, che riportano
– l’andamento del modulo |G(jω)| in funzione della pulsazione ω (diagramma
di ampiezza);
– l’andamento dell’argomento ∠G(jω) in funzione di ω (diagramma
di fase).
• il diagramma polare, o di Nyquist, che descrive nel piano complesso il
luogo dei punti G(jω) al variare di ω.
Per quanto riguarda i diagrammi di Bode, la convenzione è di rappresentare il
valore del modulo in decibel (dB), vale a dire
|G(jω)|dB
△
= 20 log10 |G(jω)|
In questo modo valori di |G(jω)| minori, uguali o maggiori di 1 corrispondono
a valori di |G(jω)|dB negativi, nulli o, rispettivamente, positivi (vedasi tabella
di conversione 1.3). La scelta di misurare il guadagno in unità logaritmiche, come
si vedrà in seguito, consente una agevole determinazione del diagramma di
ampiezza di un sistema costituito dal collegamento in serie di vari sottosistemi
a partire dai diagrammi di ampiezza dei sottosistemi. Il valore dell’argomento

14 Diagrammi di Bode
viene convenzionalmente indicato in gradi. Infine, una caratteristica fondamentale
dei diagrammi di Bode è quella di utilizzare una scala delle pulsazioni
logaritmica, in base 10. In questo modo, la distanza fra due punti relativi alle
pulsazioni ω1 e ω2 > ω1 risulta proporzionale al loro rapporto ω2/ω1. In particolare
viene indicato con il termine decade un intervallo tra due pulsazioni
che stanno fra loro in un rapporto 1 : 10. La scala logaritmica consente di
rappresentare intervalli in frequenza ampi (diverse decadi) con la stessa risoluzione
sia alle basse frequenze che alle alte frequenze. Si noti, inoltre, che nella
scala logaritmica la pulsazione ω = 0 (continua) non ammette rappresentazione
al finito. I diagrammi di Bode vengono tracciati su carta semi-logaritmica
(logaritmica sulle ascisse e lineare sulle ordinate). Nel successivo paragrafo
verrà illustrato in dettaglio come tracciare in modo sistematico e qualitativo i
diagrammi di Bode per una arbitraria funzione di trasferimento G(s).
|KB| |KB|dB
0.01 −40
0.1 −20
1/ √ 2 −3
1 0
√ 2 3
2 6
10 20
100 40
Tabella 1.1 - Tabella di conversione in decibel di |G(jω)| = |KB|
Per quanto riguarda il diagramma di Nyquist, esso descrive il luogo dei
punti G(jω) al variare di ω ≥ 0. Su tale diagramma viene indicato con una
freccia il verso di percorrenza per ω che va da zero all’infinito e, inoltre, per
completare l’informazione sulla risposta in frequenza vengono riportati i valori
di ω corrispondenti ai punti del diagramma. Il tracciamento del diagramma di
Nyquist verrà trattato nel paragrafo 1.5.
1.4 Diagrammi di Bode
Per tracciare i diagrammi di Bode della risposta in frequenza G(jω) risulta
conveniente porre la funzione di trasferimento G(s) nella seguente forma di

Analisi in frequenza di sistemi LTI 15
Bode:
dove:
G(s) =
KB
i
sh i
(1 + τis)
i
(1 + τis)
i
1 + 2δi
s
1 + 2δi
s
+
ωni
s2
ω2 ni
ωni
+ s2
ω 2 ni
(1.4.1)
• h ∈ Z, detto tipo del sistema, è il numero di poli/zeri nell’origine di G(s)
a seconda che h > 0 / h < 0;
• KB ∈ IR \{0}, detto guadagno di Bode del sistema, coincide in generale
con il guadagno in continua della funzione di trasferimento s h G(s), in
particolare con il guadagno in continua G(0) se h = 0;
• τi ∈ IR e τi ∈ IR sono le costanti di tempo dei poli e, rispettivamente,
zeri reali;
• δi ∈ (−1, 1) e δi ∈ (−1, 1) sono i fattori di smorzamento delle coppie di
poli e, rispettivamente, zeri complessi coniugati;
• ωni > 0 e ωni > 0 sono le pulsazioni naturali delle coppie di poli e,
rispettivamente, zeri complessi coniugati.
Sostituendo s con jω in (1.4.1) si ricava la forma di Bode della risposta in
frequenza:
ω
KB i (1 + jωτi) i 1 + 2j δi −
ωni
G(jω) =
ω2
ω2
ni
(1.4.2)
h ω
(jω) i (1 + jωτi) i 1 + 2j δi
ωni
− ω2
ω 2 ni
Si noti che (1.4.2) esprime la risposta in frequenza G(jω) come il prodotto di
fattori elementari Gi(jω) appartenenti ad una delle seguenti quattro possibili
tipologie:
(1) Fattore elementare costante Gi(jω) = KB
(2) Integratore/Derivatore Gi(jω) = (jω) ±1
(3) Fattore elementare del 1 o ordine Gi(jω) = (1 + jωτ) ±1
(4) Fattore elementare del 2 o ordine Gi(jω) =
1 + 2jδ ω
ωn
− ω2
In particolare i fattori elementari dei tipi (2), (3) e (4) possono avere esponente
ω 2 n
±1

16 Diagrammi di Bode
+1 o −1 a seconda che si riferiscano a zeri o poli della funzione di trasferimento.
Le proprietà di seguito elencate permettono di costruire i diagrammi di
Bode di una arbitraria G(jω) sulla base dei diagrammi di Bode dei suddetti
fattori elementari.
1. Diagrammi di Bode del prodotto
G(jω) =
Gi(jω) =⇒
i
⎧
⎪⎨
⎪⎩
|G(jω)|dB =
|Gi(jω)|dB
∠G(jω) =
∠Gi(jω)
i
i
(1.4.3)
La (1.4.3) afferma che i diagrammi di Bode del prodotto possono essere
costruiti sommando i diagrammi di Bode dei vari fattori.
2. Diagrammi di Bode del reciproco
1
G(jω)
∠ 1
G(jω)
dB
= − |G(jω)|dB
= − ∠G(jω)
(1.4.4)
La (1.4.4) afferma che i diagrammi di Bode della funzione 1/G(jω) possono
essere ottenuti ribaltando, rispetto all’asse delle ascisse, i diagrammi
di Bode della funzione G(jω).
3. Cambiamento di segno della costante di tempo e del fattore di
smorzamento
|1 − jωτ| dB
= |1 + jωτ| dB
∠1 − jωτ = − ∠1 − jωτ
ω
1 − 2jδ − ω2
=
ω
1 + 2jδ − ω2
ωn
∠1 − 2jδ ω
ωn
ω2
n dB
− ω2
ω 2 n
ωn
= − ∠1 + 2jδ ω
ωn
ω2
n dB
− ω2
ω 2 n
(1.4.5)
La (1.4.5) afferma che cambiando il segno della costante di tempo τ nei
fattori elementari del primo ordine oppure del fattore di smorzamento
δ nei fattori elementari del secondo ordine, il diagramma di ampiezza
rimane inalterato mentre il diagramma di fase viene ribaltato rispetto
all’asse delle ascisse.

Analisi in frequenza di sistemi LTI 17
In virtù delle proprietà (1.4.3)-(1.4.5) e della fattorizzazione (1.4.2) si possono
quindi costruire i diagrammi di Bode di una arbitraria risposta in frequenza
G(jω) disponendo dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari:
Ga(jω) = KB; (1.4.6)
Gb(jω) = 1
;
jω
(1.4.7)
Gc(jω) =
1
, τ > 0;
1 + jωτ
(1.4.8)
Gd(jω) =
1
1 + 2jδ ω
ωn
− ω2
ω2 , δ ∈ [0, 1). (1.4.9)
n
Di seguito si esaminano in dettaglio i diagrammi di Bode (ampiezza e fase) dei
quattro fattori elementari (1.4.6)-(1.4.9).
Fattore elementare costante
Da (1.4.6) si deducono il modulo
e l’argomento
|Ga(jω)|dB = 20 log 10 |KB| (1.4.10)
∠Ga(jω) =
0 ◦ , KB ≥ 0
−180 ◦ , KB < 0
(1.4.11)
I corrispondenti diagrammi di Bode del fattore elementare costante sono tracciati
in fig. 1.2. Si noti che:
• il diagramma di ampiezza è una retta orizzontale di ordinata 20 log 10 |KB|
positiva, nulla o negativa a seconda che |KB| > 1, KB = ±1 o |KB| < 1;
• il diagramma di fase è una retta orizzontale di ordinata 0 ◦ oppure −180 ◦
a seconda che KB ≥ 0 oppure KB < 0.
Integratore
In questo caso, da (1.4.7) risulta
|Gb(jω)|dB = 20 log 10
∠Gb(jω) = ∠ 1
jω
1
ω = −20 log 10 ω (1.4.12)
= − 90◦
(1.4.13)

18 Diagrammi di Bode
| G a (jω) | dB
Fase (gradi) Modulo (dB)
0
∠ G (jω)
a 0
−45
−90
−135
−180
10 −1
10
Pulsazione (rad/sec)
0
10 1
K B > 1
K B < 1
K B ≥ 0
K B < 0
Figura 1.2 - Diagrammi di Bode del fattore
elementare costante
10 2
Modulo (dB)
20
|G b (jω)| dB
0
10 −1
−20
0
∠G (jω)
b
−45
Fase (gradi)
−90
−135
10 −1
−180
10 0
10 0
Pulsazione (rad/sec)
Figura 1.3 - Diagrammi di Bode
dell’integratore
Poiché |Gb(jω)| è una funzione lineare di log 10 ω e la scala delle ascisse è
logaritmica, il diagramma di ampiezza risultante sarà una retta di pendenza
pari a −20 dB/decade. Per tracciare tale retta, occorre quindi determinarne un
punto di passaggio. A tale proposito si osserva che per ω = 1 si ha |Gb(jω)|dB =
0, cioè la retta attraversa l’asse orizzontale a 0 dB in corrispondenza della
pulsazione ω = 1. I diagrammi di Bode dell’integratore sono tracciati in fig.
1.3. Si noti che:
• il diagramma di ampiezza è una retta obliqua di pendenza −20 dB/decade
che attraversa l’asse a 0 dB in corrispondenza della pulsazione ω = 1;
• il diagramma di fase è una retta orizzontale di ordinata −90 ◦ .
Più in generale, per la funzione di trasferimento G(s) = 1/s h , il diagramma
di ampiezza è una retta con pendenza di −20h dB/decade passante per 0 dB
alla pulsazione ω = 1 mentre il diagramma di fase è una retta orizzontale a
−h 90 ◦ .
Fattore elementare del primo ordine
Da (1.4.8) segue che
|Gc(jω)|dB = 20 log10
1
√ 1 + ω 2 τ 2
= −20 log10
10 1
10 1
1 + ω 2 τ 2 (1.4.14)
∠Gc(jω) = −∠ (1 + jωτ) (1.4.15)
I diagrammi di Bode esatti, in funzione della pulsazione normalizzata ωτ,
sono riportati in fig. 1.4 (linea tratteggiata). Si noti come, a differenza dei

Analisi in frequenza di sistemi LTI 19
0
|G (jω)|
c dB
Modulo (dB)
−20
−40
10 −2
∠ G (jω)
c
0
Fase (gradi)
−45
−90
10 −2
10 −1
10 −1
10 0
10 0
− 45 o /decade
Pulsazione normalizzata ωτ
−20 dB/decade
Figura 1.4 - Diagrammi di Bode del fattore elementare del primo ordine
10 1
10 1
10 2
10 2

20 Diagrammi di Bode
precedenti casi (a) e (b), i diagrammi di Bode risultano in questo caso curvilinei
anziché rettilinei. Per un tracciamento qualitativo, approssimato, dei diagrammi
di Bode risulta conveniente analizzare il comportamento di (1.4.14)-(1.4.15)
alle basse frequenze (ωτ ≪ 1) e alle alte frequenze (ωτ ≫ 1).
Comportamento alle basse frequenze - Per ωτ ≪ 1, cioè per valori
di pulsazione molto inferiori al valore 1/τ, si possono trascurare ω 2 τ 2 e jωτ
rispetto all’unità in (1.4.14)-(1.4.15); si ottengono così le approssimazioni
|Gc(jω)|dB ≈
∠Gc(jω) ≈
0
0◦
per ω ≪ 1
τ
(1.4.16)
Comportamento alle alte frequenze - Per ωτ ≫ 1, cioè per valori di
pulsazione molto superiori al valore 1/τ, si può trascurare l’unità rispetto a
ω 2 τ 2 e jωτ in (1.4.14)-(1.4.15); si ottengono così le approssimazioni
|Gc(jω)|dB ≈ −20 log 10 ωτ
∠Gc(jω) ≈ −90 ◦
per ω ≫ 1
τ
(1.4.17)
Si noti, inoltre, che alla pulsazione ω = 1/τ (ωτ = 1) ampiezza e fase assumono
i valori (esatti)
√
|Gc(jω)|dB = −20 log10 2 ≈ −3 dB
∠Gc(jω) = −∠(1 + j) = −45◦
per ω = 1
(1.4.18)
τ
Le relazioni (1.4.16)-(1.4.18) suggeriscono di approssimare il modulo |Gc(jω)|dB
con una funzione lineare a tratti costituita da una retta orizzontale di ordinata
0 dB fino alla pulsazione ω = 1/τ raccordata con una retta obliqua con pendenza
di −20 dB/decade a partire dalla medesima pulsazione. La pulsazione
1/τ, in cui il grafico approssimato del modulo sopra descritto cambia pendenza,
prende il nome di pulsazione di rottura. Per quanto riguarda la fase, si
riscontra che essa varia monotonicamente da 0◦ a −90◦ per ω che varia da 0 a
+∞ ed assume i seguenti valori approssimati:
∠Gc(jω) ≈
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−6 ◦ , ω = 0.1
τ
−84 ◦ , ω = 10
τ
Quindi è ragionevole raccordare linearmente i tratti orizzontali a 0 ◦ e a −90 ◦
corrispondenti al comportamento approssimato alle basse e, rispettivamente,
alte frequenze fra due pulsazioni di rottura, 0.1/τ e 10/τ, collocate rispettivamente
una decade prima ed una decade dopo la pulsazione di rottura del

Analisi in frequenza di sistemi LTI 21
modulo. Il confronto fra diagrammi di Bode esatti (linea tratteggiata) e i diagrammi
di Bode approssimati con funzioni lineari a tratti sopra descritti, detti
diagrammi asintotici (linea continua), è illustrato in fig. 1.4. In particolare
si riscontra che l’errore sul modulo è al massimo di 3 dB in corrispondenza
della pulsazione di rottura del modulo 1/τ mentre l’errore sulla fase risulta
compreso fra ±6 ◦ circa ed è massimo, in valore assoluto, in corrispondenza
delle pulsazioni di rottura della fase 0.1/τ e 10/τ. Indicati con | Gc(jω)|dB e
con ∠ G (jω) gli andamenti asintotici di modulo e fase, gli errori di modulo e
fase soddisfano, pertanto, le seguenti disuguaglianze:
0 ≤ | Gc(jω)|dB − |Gc(jω)|dB ≤ 3
−6 ◦ ≤ ∠ Gc(jω) − ∠Gc(jω) ≤ 6 ◦
(1.4.19)
L’andamento degli errori di modulo e di fase è riportato in fig. 1.5. Si può
Modulo (dB)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
10 −2
−0.5
10 −1
10 0
Pulsazione normalizzata ωτ
(a) Andamento dell’errore di modulo
10 1
10 2
Fase (gradi)
6
4
2
0
−2
−4
−6
10 −2
10 −1
10 0
Pulsazione normalizzata ωτ
10 1
(b) Andamento dell’errore di fase
Figura 1.5 - Andamento dell’errore per il fattore elementare del primo ordine
concludere che, data la ridotta entità di tali errori rispetto alle escursioni di
ampiezza e di fase, l’uso dei diagrammi asintotici al posto di quelli esatti è
spesso accettabile. D’altro canto, i diagrammi asintotici catturano i principali
aspetti qualitativi di quelli esatti.
Riassumendo, i diagrammi asintotici del fattore elementare del primo ordine
sono tracciati nel seguente modo:
• il diagramma di ampiezza asintotico è costituito da una retta orizzontale
di ordinata 0 dB fino alla pulsazione di rottura 1/τ seguita da una retta
obliqua di pendenza −20 dB/decade;
10 2

22 Diagrammi di Bode
|G (jω)|
d dB
10
Modulo (dB)
0
−10
−20
−30
−40
10 −1
δ=1
10 0
δ=0.1
Pulsazione normalizzata (ω/ω n )
Figura 1.6 - Diagrammi di Bode del modulo del fattore elementare del secondo ordine
• il diagramma di fase asintotico è costituito da una retta orizzontale di
ordinata 0 ◦ fino alla prima pulsazione di rottura 1/τ, seguito da una retta
obliqua di pendenza −45 ◦ /decade fino alla seconda pulsazione di rottura
10/τ e da una retta orizzontale di ordinata −90 ◦ .
Fattore elementare del secondo ordine
Da (1.4.9) segue che:
|Gd(jω)|dB = −20 log10 1 + (4δ2 2 ω
− 2)
ωn
2 ω
∠Gd(jω) = − ∠ 1 − + 2 j δ ω
ωn
ωn
10 1
4 ω
+ (1.4.20)
ωn
(1.4.21)
I diagrammi di Bode esatti, in funzione della pulsazione normalizzata ω/ωn
e per vari valori di δ, sono riportati in fig. 1.6,1.7 . Anche in questo caso, come

Analisi in frequenza di sistemi LTI 23
∠G d (jω)
Fase (gradi)
0
−45
−90
−135
−180
10 −1
δ=1
10 0
δ=0.1
Pulsazione normalizzata (ω/ω n )
Figura 1.7 - Diagrammi di Bode della fase del fattore elementare del secondo ordine
10 1

24 Diagrammi di Bode
nel caso (c), i diagrammi risultano curvilinei; inoltre, il loro andamento dipende
fortemente dal valore di δ soprattutto per valori di ω nell’intorno di ωn. Si nota
che per alcuni valori di δ il grafico del modulo presenta un massimo (picco di
risonanza). Più precisamente, attraverso uno studio della funzione |Gd(jω)|
lasciato al lettore per esercizio, si vede che se δ < 1/ √ 2 ≈ 0.7 tale modulo
presenta un picco di risonanza
Mr
△
= max
ω |Gd(jω)| = |G(jωr)| =
in corrispondenza della pulsazione di risonanza
ωr = ωn
1
2δ √ 1 − δ 2
(1.4.22)
1 − 2δ 2 (1.4.23)
Si noti che per δ → 0: ωr → ωn e Mr → ∞; quindi per sistemi poco smorzati
il fenomeno di risonanza è molto accentuato e la pulsazione di risonanza tende
a coincidere con la pulsazione naturale. Viceversa, per δ → 1/ √ 2: ωr → 0 e
Mr → 1. Quindi il fenomeno di risonanza tende a svanire quando il fattore
di smorzamento si avvicina al valore 1/ √ 2; in particolare, se δ ≥ 1/ √ 2 il
modulo ha un andamento monotonicamente decrescente all’aumentare di ω
con un valore massimo unitario in corrispondenza della continua (ω = 0). La
dipendenza di Mr e ωr/ωn da δ è illustrata nei grafici di fig. 1.8. Un’altra
caratteristica di interesse del sistema è la banda passante a −3 dB ovvero la
pulsazione ωb alla quale |Gd(jωb)| = 1/ √ 2. Con semplici calcoli si ottiene:
ωb = ωn
1 − 2δ 2 + 2 + 4δ 4 − 4δ 2 (1.4.24)
La fig. 1.9 riporta il grafico di ωb/ωn in funzione di δ.
Anche in questo caso, per un tracciamento qualitativo dei diagrammi di
Bode risulta conveniente analizzare il comportamento di (1.4.20)-(1.4.21) alle
basse frequenze (ω/ωn ≪ 1) e alle alte frequenze (ω/ωn ≫ 1).
Comportamento alle basse frequenze - Per ω/ωn ≪ 1, cioè per valori
di pulsazione molto inferiori al valore ωn, da (1.4.20)-(1.4.21) si ottengono
le approssimazioni
|Gd(jω)|dB ≈ 0
∠Gd(jω) ≈ 0 ◦
per ω ≪ ωn
(1.4.25)
Comportamento alle alte frequenze - Per ω/ωn ≫ 1, cioè per valori
di pulsazione molto superiori al valore ωn, da (1.4.20)-(1.4.21) si ottengono

Analisi in frequenza di sistemi LTI 25
M r
5
4
3
2
1
ω /ω
r n
0.8
Picco di risonanza
1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.6
0.4
0.2
Pulsazione di risonanza
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
δ
0.5 0.6 0.7 0.8
Figura 1.8 - Picco di risonanza e pulsazione di risonanza del fattore elementare del secondo
ordine

26 Diagrammi di Bode
ω b /ω n
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
Banda passante
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
δ
Figura 1.9 - Banda passante del fattore elementare del secondo ordine

Analisi in frequenza di sistemi LTI 27
viceversa le approssimazioni
|Gd(jω)|dB ≈ − 40 log 10
∠Gd(jω) ≈ −180 ◦
ω
ωn
⎫
⎬
⎭
per ω ≫ ωn
(1.4.26)
Le relazioni (1.4.25)-(1.4.26) suggeriscono di approssimare il modulo |Gd(jω)|dB
con una funzione lineare e continua a tratti costituita da un tratto orizzontale
di ordinata 0 dB per ω ≤ ωn e da un tratto obliquo con pendenza di
−40 dB/decade per ω > ωn. Per quanto riguarda la fase, si riscontra che essa
varia monotonicamente da 0 ◦ a −180 ◦ , assumendo il valore di −90 ◦ per ω = ωn.
Essa può essere ragionevolmente approssimata con il valore 0 ◦ per ω < 0.1 ωn
e con il valore −180 ◦ per ω > 10 ωn. Per valori intermedi 0.1 ωn ≤ ω ≤ 10 ωn
l’andamento della fase è qualitativamente diverso a seconda che il fattore di
smorzamento δ assuma valori piccoli oppure no. In particolare,
• se δ < 0.1 è conveniente approssimare la fase con una variazione a gradino
di −180 ◦ in corrispondenza della pulsazione ω = ωn;
• se δ ≥ 0.1 conviene, viceversa, raccordare la fase, fra le pulsazioni di
rottura 0.1ωn e 10ωn, con un tratto rettilineo di pendenza −90 ◦ per
decade.
Riassumendo, per il fattore elementare del secondo ordine, si suggerisce il
tracciamento dei seguenti diagrammi asintotici (vedi fig. 1.10).
• Per il modulo, una retta orizzontale di ordinata 0 dB fino alla pulsazione
di rottura ωn seguita da una retta obliqua di pendenza −40 dB/decade.
• Per la fase:
se δ > 0.1 , una retta orizzontale di ordinata 0 ◦ fino alla prima pulsazione
di rottura ω1 = ωn/10, seguito da una retta obliqua di pendenza
−90 ◦ /decade fino alla seconda pulsazione di rottura ω2 = 10 ωn e
da una retta orizzontale di ordinata −180 ◦ ;
se δ ≤ 0.1 , un gradino di −180 ◦ alla pulsazione di rottura ωn.
Si noti che i diagrammi di Bode asintotici risultano lineari a tratti e, pertanto,
sono facilmente tracciabili e sommabili. Questo ne permette una agevole
determinazione grafica manuale, su carta semi-logaritmica, dei diagrammi di
Bode asintotici di una generica risposta in frequenza G(jω). Tali diagrammi
forniscono, in genere, una buona rappresentazione qualitativa dei diagrammi
esatti che, viceversa, hanno un andamento curvilineo e possono essere tracciati
mediante l’ausilio di un calcolatore. Per effettuare un tracciamento qualitativo

28 Diagrammi di Bode
20
|G (jω)|
d dB
0
Modulo (dB)
∠G d (jω)
Fase (gradi)
−20
−40
−60
−80
10 −2
0
−45
−90
−135
−180
10 −2
10 −1
10 −1
0.1 ≤ δ ≤ 1
δ=0.9
10 0
10 0
δ=0.05
0 ≤ δ < 0.1
Pulsazione normalizzata (ω/ω n )
Figura 1.10 - Diagrammi di Bode approssimati del fattore elementare del secondo ordine
10 1
10 1
10 2
10 2

Analisi in frequenza di sistemi LTI 29
dei diagrammi di Bode di G(jω) si può procedere in modo sistematico come
segue.
1. Si scompone G(jω) in fattori elementari mediante la forma di Bode.
2. Si tracciano i diagrammi di Bode asintotici dei fattori elementari determinati
al punto precedente.
3. Si tracciano i diagrammi di Bode di G(jω) sommando i diagrammi di
Bode del punto precedente.
Acquisita una certa familiarità, si potrà passare direttamente dal punto 1 al
punto 3 della suddetta procedura tracciando direttamente i diagrammi di Bode
complessivi senza tracciare i diagrammi dei fattori elementari.
Si considerano di seguito e nel paragrafo 1.7 vari esempi di tracciamento dei
diagrammi di Bode al duplice scopo di esemplificare il procedimento di costruzione
dei diagrammi asintotici e di esaminare gli scostamenti di tali diagrammi
approssimati da quelli esatti.
Esempio 1.1 - Si traccino i diagrammi di Bode di un sistema con funzione
di trasferimento
k
G(s) = k > 0, τ > 0 (1.4.27)
s(1 + τs)
La risposta in frequenza associata G(jω) è il prodotto dei seguenti tre fattori
elementari:
G1(jω) = k, G2(jω) = 1
jω , G3(jω) =
1
1 + jωτ
I diagrammi di Bode asintotici dei tre fattori elementari e quelli complessivi
sono riportati in fig. 1.18(a), insieme ai diagrammi esatti. Si noti che il
diagramma asintotico di ampiezza presenta una unica pulsazione di rottura in
ω = 1/τ, dovuta al fattore elementare del 1◦ ordine G3(jω). In corrispondenza
di tale pulsazione il diagramma asintotico di ampiezza cambia pendenza, da
−20 dB/decade a −40 dB/decade, ed assume il valore 20 log10(kτ). Viceversa
il diagramma asintotico di fase presenta due pulsazioni di rottura in 1 e in
10τ
10
τ dove il grafico cambia pendenza (inizialmente nulla, poi di −45◦ /decade e,
infine, di nuovo nulla) e assume i valori −90◦ e, rispettivamente, −180◦ . Si
noti che, in questo esempio, l’unica approssimazione dei diagrammi asintotici
è dovuta al fattore G3(jω). Pertanto l’errore dei diagrammi asintotici resta
confinato ad un massimo di 3 dB per l’ampiezza, alla pulsazione ω = 1/τ, e di

30 Diagrammi di Bode
±6◦ per la fase, alle pulsazioni ω = 1
10τ τ . Si vedrà negli esempi successivi
che gli errori di approssimazione diventano più consistenti in presenza
di fattori multipli del 1◦ e 2◦ ordine e, in particolare, se le relative pulsazioni
di rottura sono vicine fra loro. Si noti, infine, che la variazione del valore di
k comporta solo una traslazione verticale del diagramma di ampiezza (verso
l’alto se k viene aumentato o verso il basso se k viene diminuito) mentre la
variazione del valore di τ comporta una traslazione orizzontale di entrambi i
diagrammi, di ampiezza e di fase, verso sinistra se τ aumenta o verso destra se
diminuisce. Il cambiamento di segno di k implica, invece, solo uno sfasamento
di −180◦ .
Elemento di ritardo
e ω = 10
Come visto in precedenza, l’elemento di ritardo temporale τ ha risposta in
frequenza G(jω) = e −jωτ da cui
|G(jω)| = 1 e ∠G(jω) = −ωτ, ∀ω (1.4.28)
Il diagramma di ampiezza è pertanto una retta orizzontale di valore 0 dB,
mentre il diagramma di fase ha l’andamento riportato in fig. 1.11 in funzione
della pulsazione normalizzata ωτ. Si noti che, poiché la fase ha un andamento
lineare in ω, l’andamento in scala logaritmica, cioè in log10(ω), risulta esponenziale.
Alla luce di quanto sopra, un sistema con ritardo di funzione di
trasferimento G(s) = e −τs G ′ (s), dove G ′ (s) è una funzione razionale, presenta
lo stesso diagramma di ampiezza di G ′ (s), tracciabile mediante la procedura
sopra esposta, ed un diagramma di fase ottenuto sommando al diagramma di
fase di G ′ (s) il contributo, in ◦ , −180ωτ/π dovuto al ritardo.
Effetto di poli/zeri sulla risposta in frequenza
Lo studio dei diagrammi di Bode ha messo in evidenza come le proprietà filtranti
del sistema dipendano dalla configurazione poli-zeri della sua funzione
di trasferimento. In particolare:
1. un polo introduce un’attenuazione alle alte frequenze che, in buona approssimazione,
è di 20 dB per ogni decade di frequenza oltre la pulsazione
di rottura del polo;
2. uno zero fornisce un’amplificazione alle alte frequenze che, in buona approssimazione,
è di 20 dB per ogni decade di frequenza oltre la pulsazione
di rottura dello zero;

Analisi in frequenza di sistemi LTI 31
Fase (gradi)
0
−1000
−2000
−3000
−4000
−5000
−6000
10 −1
10 0
10 1
Pulsazione normalizzata ωτ
Figura 1.11 - Diagramma di Bode della fase dell’elemento di ritardo
10 2

32 Diagrammi di Bode
3. la pulsazione di rottura del polo/zero coincide con il reciproco della costante
di tempo 1/τ per un polo/zero reale oppure con la pulsazione
naturale ωn per una coppia di poli/zeri complessi coniugati;
4. un polo (zero) immaginario jωo introduce un contributo di −90 ◦ (+90 ◦ )
alla fase a partire dalla pulsazione |ωo|;
5. una coppia di poli immaginari ±jωo introduce una risonanza alla pulsazione
ωo, ovvero l’esaltazione di componenti armoniche in ingresso di
pulsazione ωo;
6. una coppia di zeri immaginari ±jωo introduce un nullo alla pulsazione
ωo, ovvero la reiezione di componenti armoniche in ingresso di pulsazione
ωo;
7. un polo con parte reale negativa/zero con parte reale positiva comporta
uno sfasamento negativo variabile fra 0 ◦ (basse frequenze) e −90 ◦ (alte
frequenze);
8. un polo con parte reale positiva/zero con parte reale negativa comporta
uno sfasamento positivo variabile fra 0 ◦ (basse frequenze) e +90 ◦ (alte
frequenze);
9. lo sfasamento introdotto da un polo/zero non immaginario è localizzato
fra due pulsazioni poste una decade prima e una decade dopo la
pulsazione di rottura del polo/zero.
Le suddette considerazioni 1-9 non solo consentono di analizzare le proprietà
filtranti del sistema conoscendone la configurazione poli/zeri, ma soprattutto
sono utili in fase progettuale per realizzare sistemi con desiderate proprietà
filtranti imponendo a questi una appropriata configurazione poli-zeri. In molte
applicazioni di elaborazione del segnale si richiede di progettare un filtro
che abbia una desiderata risposta in frequenza (ad esempio passa-basso, passabanda,
elimina-banda, etc.); a tale scopo, la conoscenza degli effetti di poli/zeri
sull’andamento del modulo e del’argomento della risposta in frequenza permette
di selezionare in modo appropriato i poli/zeri della funzione di trasferimento
in modo di approssimare al meglio la risposta in frequenza desiderata. Nel capitolo
10 si vedrà che una tecnica molto efficace e comunemente impiegata per
la sintesi di sistemi di controllo consiste nel sagomare opportunamente la risposta
in frequenza del sistema ad anello aperto introducendo appropriati poli
e/o zeri aggiuntivi.

Analisi in frequenza di sistemi LTI 33
Im[G(jω)]
θ
ρ
Re[G(jω)]
Figura 1.12 - Diagramma di Nyquist dove ρ = |G(jˆω)| e θ = ∠G(jˆω) per ˆω assegnato
1.5 Diagramma di Nyquist
Nonostante i diagrammi di Bode siano molto usati per la semplicità con cui
si determina la loro approssimazione asintotica, essi presentano lo svantaggio
di associare alla funzione di trasferimento G(s) due grafici distinti. In molte
situazioni è preferibile lavorare con un solo diagramma che contenga tutte le
informazioni. Un diagramma che possiede questa caratteristica è il diagramma
polare o diagramma di Nyquist. Il diagramma di Nyquist riporta nel piano
complesso la curva descritta da G(jω) al variare di ω da 0 a +∞. Pertanto,
per tracciare tale diagramma è necessario valutare G(jω) per un numero sufficientemente
elevato di valori di ω, riportare tali valori nel piano complesso
e congiungerli con una curva come mostrato in fig. 1.12. A tale proposito è
possibile ricavare il modulo e l’argomento di G(jω) dai diagrammi di Bode e
riportare i corrispondenti punti sul piano immagine. Questa osservazione mette
in evidenza come sia possibile determinare i diagrammi di Bode da quello
di Nyquist e viceversa. Poiché, come visto in precedenza, i diagrammi di Bode
possono essere determinati in modo agevole, essi vengono frequentemente
utilizzati come punto di partenza per il tracciamento del diagrama di Nyquist.
Inoltre, come sarà chiarito nei prossimi capitoli, è utile far riferimento al diagramma
di Nyquist esteso, che riporta il valore di G(jω) nel piano complesso
al variare di ω da −∞ a +∞. Si osserva che, utilizzando la proprietà (1.3.4),
il diagramma di G(jω) per ω ∈ (−∞, 0] è ottenibile da quello per ω ∈ [0, +∞)
semplicemente per ribaltamento attorno all’asse reale. Per aumentare la leggibilità
si adotta la convenzione di riportare l’andamento per ω ∈ (−∞, 0] con
una linea tratteggiata e quello per ω ∈ [0, +∞) con una linea continua. Infine
su tale diagramma viene indicato con una freccia il verso di percorrenza per ω
che va −∞ a +∞ e, talvolta, vengono etichettati alcuni punti con i corrispet-

34 Diagramma di Nyquist
tivi valori di ω. Di seguito si esamina in dettaglio il diagramma di Nyquist di
alcuni sistemi elementari
Fattore costante
Il diagramma di Nyquist del fattore elementare costante G(s) = k, k ∈ IR, è
costituito da un punto sull’asse reale come illustrato in figura 1.13.
Im[G(jω)]
k
Re[G(jω)]
(a) Diagamma per k > 0
k
Im[G(jω)]
Re[G(jω)]
(b) Diagramma per k < 0
Figura 1.13 Diagramma di Nyquist del fattore elementare costante
Integratore/Derivatore
Si consideri la funzione di trasferimento dell’integratore (1.4.7) che, moltiplicando
numeratore e denominatore per j, assume la forma
G(jω) = − j
. (1.5.1)
ω
Da (1.5.1) si vede che Re[G(jω)] = 0 per ogni ω ∈ IR e che, inoltre, per ω che
varia da 0 + a +∞, Im[G(jω)] varia da −∞ a 0 − . Quindi il diagramma di
Nyquist dell’integratore coincide con l’asse immaginario percorso, al variare di
ω da −∞ a +∞, come indicato in fig. 1.14(a).
Per il derivatore G(s) = s si osserva che G(jω) = jω, per ω da −∞ a +∞, si
sposta sull’asse immaginario da −j∞ a +j∞ come illustrato in figura 1.14(b).
Sistema del primo ordine
Si consideri il sistema del 1 ◦ ordine
G(s) =
1 + τs
. (1.5.2)
1 + τs

Analisi in frequenza di sistemi LTI 35
0 −
0 +
Im[G(jω)]
−∞
+∞
(a) Integratore
Re[G(jω)]
+∞
0 +
0 −
−∞
Im[G(jω)]
(b) Derivatore
Figura 1.14 - Diagrammi di Nyquist dell’integratore e del derivatore
Re[G(jω)]
Posto s = jω, si analizza il comportamento per ω = 0 e per ω → ∞. Si ha:
G(jω) =
1 + jτω
1 + jτω
τ
=⇒ G(j0) = 1, lim G(jω) =
ω→+∞ τ
(1.5.3)
Infine, con semplici passaggi si può verificareche il diagramma
di Nyquist è
τ + τ
una circonferenza centrata in di raggio
τ − τ
2τ 2τ . Infatti
τ + τ
G(jω) −
2τ =
1 + jτω τ + τ
−
1 + jτω 2τ =
2τ(1 + jτω) − (τ + τ)(1 + jτω)
2τ(1 + jτω) =
τ − τ + jωτ(τ − τ)
2τ(1 + jτω) =
τ − τ
1 − jτω
2τ 1
+ jτω =
τ − τ
2τ
(1.5.4)
Dall’equazione (1.5.4) si conclude che il numero G(jω)
dista dal numero reale
τ + τ
di una distanza costante pari a
τ − τ
2τ
2τ . In altri termini, il vettore
τ + τ
G(jω) descrive nel piano complesso una circonferenza centrata in di
2τ
raggio
τ − τ
2τ come illustrato in figura 1.5 per τ < τ.

36 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist
Im[G(jω)]
−∞
+∞
τ
τ
τ + τ
2τ
< 1
1
Re[G(jω)]
Figura 1.15 - Diagramma di Nyquist del sistema G(s) =
L’elemento di ritardo
1 + τs
con τ > τ > 0
1 + τs
Si consideri l’elemento di ritardo con risposta in frequenza G(jω) = e −jωτ ,
dove τ > 0 è il ritardo. Per tale elemento il modulo |G(jω)| risulta unitario
a qualsiasi pulsazione ω mentre l’argomento, ∠G(jω) = −ωτ, diminuisce in
modo proporzionale a ω. Pertanto il diagramma di Nyquist coincide con il
cerchio unitario percorso in senso orario a partire dal punto 1 corrispondente
alla pulsazione ω = 0, come illustrato in figura 1.5.
Im[G(jω)]
ω = 0
1
τ > 0
Re[G(jω)]
Figura 1.16 - Diagramma di Nyquist dell’elemento di ritardo
1.6 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi
di Nyquist
Nel paragrafo precedente si è visto come il tracciamento esatto del diagramma
di Nyquist richieda la valutazione numerica di G(jω) per un numero molto

Analisi in frequenza di sistemi LTI 37
elevato di valori di ω oppure la determinazione analitica della curva, nel piano
xy con x = Re G(jω) e y = Im G(jω), descritta da G(jω). Il primo approccio
risulta laborioso da effettuare manualmente e richiede l’ausilio di un calcolatore
elettronico. Viceversa il secondo approccio è applicabile solo in alcuni casi
elementari quali quelli esaminati in precedenza. Nella maggior parte dei casi,
tuttavia, è sufficiente un tracciamento qualitativo del diagramma di Nyquist
come si vedrà nei capitoli successivi in relazione all’uso del diagramma di Nyquist
per l’analisi di stabilità ed il progetto di sistemi di controllo a retroazione.
Di seguito si elencano e discutono alcune regole che, eventualmente con l’ausilio
dei diagrammi di Bode, consentono in molti casi un tracciamento manuale
qualitativo sufficientemente accurato del diagramma di Nyquist.
1. Simmetria rispetto all’asse reale - L’andamento del diagramma di
Nyquist relativo a ω ∈ (−∞, 0] può essere ottenuto da quello relativo
ω ∈ [0, ∞) per simmetria rispetto all’asse reale, in quanto
Re[G(jω)] = Re[G(−jω)], Im[G(jω)] = −Im[G(−jω)]
2. Comportamento alle basse frequenze - Il comportamento di G(jω)
per ω → 0 dipende dalla presenza o meno di poli nell’origine. Infatti, in
un intorno di ω = 0 si ha G(jω) ∼ = KB
e quindi
(jω) h
KB, se h = 0
lim G(jω) =
ω→0 ∞, se h > 0
Pertanto si distinguono i seguenti due casi:
(1.6.1)
• Se non sono presenti poli nell’origine (h = 0), il diagramma di
Nyquist parte dall’asse reale con fase:
△
φ0
= lim ∠G(jω) =
ω→0 +
0 ◦ , se KB ≥ 0
−180 ◦ , se KB < 0
(1.6.2)
• Se ci sono h > 0 poli nell’origine, il diagramma di Nyquist parte dal
punto all’∞ con fase
φ0 = lim
ω→0 + ∠G(jω) = ∠KB−h 90 ◦
−h 90◦ , se KB ≥ 0
=
−(h + 2) 90◦ , se KB < 0
(1.6.3)
Meritano particolare attenzione i casi di polo semplice (h = 1) e polo
doppio (h = 2).

38 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist
• Asintoto verticale - Se h = 1 il diagramma parte dal punto
all’infinito parallelamente all’asse immaginario e Re[G(jω)] tende
ad un valore costante per ω → 0. Infatti
G(jω) =
b0(jω) n + · · · + bn−1(jω) + bn
(jω) n + a1(jω) n−1 + · · · + an−2(jω) 2 + an−1(jω)
(1.6.4)
può essere approssimato, per ω → 0, nel seguente modo
G(jω) ∼ = (bn−1jω+bn)(an−1−an−2jω)
jω(a 2 n−1 +a2 n−2 ω2 )
∼= jω(bn−1an−1−bnan−2)+bnan−1
jωa 2 n−1
Da (1.6.5) si determina il valore asintotico di Re[G(jω)]
lim
ω→0 Re[G(jω)] = bn−1an−1 − bnan−2
a2 n−1
e si osserva la divergenza di Im[G(jω)]:
lim Im[G(jω)] =
ω→0 +
−∞, se bnan−1 > 0
+∞, se nnan−1 < 0
(1.6.5)
< ∞ (1.6.6)
• Asintoto parabolico - Se h = 2 si ha divergenza sia della parte
immaginaria che della parte reale di G(jω). In questo caso si può
riscrivere G(s) nella seguente forma
G(s) = 1
s 2 ˆ G(s) (1.6.7)
dove ˆ G(s) è una funzione analitica e quindi sviluppabile in serie di
Taylor nell’intorno dell’origine, da cui
G(s) = c0 c1
+
s2 s + c2 + c3s + · · · (1.6.8)
Quindi per s = jω → 0 si può considerare la seguente approssimazione
di G(jω)
G(jω) = − c0 jc1
− + c2
ω2 ω
(1.6.9)
L’equazione (1.6.9) descrive una curva con la seguente rappresentazione
parametrica ⎧
⎨ x = c2 −
⎩
c0
ω2 y = − c1
ω
(1.6.10)

Analisi in frequenza di sistemi LTI 39
Ricavando ω = − c1
e sostituendolo nella prima delle equazioni
y
(1.6.10) si ottiene la seguente equazione di una parabola
x = c2 − c0
c2y 1
2
(1.6.11)
a cui tende il diagramma di Nyquist per ω → 0 nel caso di polo
doppio nell’origine.
3. Singolarità sull’asse immaginario (asintoto obliquo) - Dopo aver
considerato le singolarità in zero si considerano quelle per una pulsazione
ωo generica. In questo caso G(s) è esprimibile nella seguente forma
G(s) =
1
s 2 + ω 2 o
ˆG(s)
1
= G
s − jωo
′ (s) (1.6.12)
dove G ′ (s) è una funzione a coefficienti complessi e analitica in un intorno
di s = jωo e quindi sviluppabile in serie di Taylor
G(s) = c0
+ c1 + c2(s − jωo) + · · · (1.6.13)
s − jωo
Quindi per s → jωo si può considerare la seguente approssimazione di
G(jω)
G(jω) ∼ = G(jω) = c0
+ c1
jǫ
(1.6.14)
dove ǫ △ = ω − ωo. Sviluppando x = Re[G(jω)] e y = Im[G(jω)] in
(1.6.14), si verifica facilmente che la curva descritta nel piano complesso
da G(jω) ammette la seguente rappresentazione parametrica
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = Re[c1] + 1
ǫ Im[c0]
y = Im[c1] − 1
ǫ Re[c0]
(1.6.15)
Moltiplicando la prima equazione di (1.6.15) per Re[c0] e la seconda per
Im[c0] e sommando ambo i membri, si ottiene la seguente equazione di
una retta
Re[c0] x + Im[c0] y = Re[c1]Re[c0] + Im[c1]Im[c0] (1.6.16)
che rappresenta l’asintoto obliquo a cui tende il diagramma di Nyquist
per ω → ω0. L’asintoto relativo al polo immaginario coniugato −jω0 può
essere ovviamente determinato per simmetria.

40 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist
4. Comportamento alle alte frequenze - Per quanto riguarda il comportamento
del diagramma di Nyquist alle alte frequenze si osserva che,
essendo G(s) una funzione propria, G(jω) converge ad un valore costante
per ω → ∞. In particolare,
0, se G(s) è strettamente propria
lim G(jω) =
(1.6.17)
ω→+∞ b0 = 0, se G(s) è bipropria
Per quanto riguarda la fase asintotica, essa può essere determinata mediante
la seguente relazione
φ∞
△
= lim
ω→+∞ ∠G(jω) = ∠KB − 90 ◦ (np − nz − np+ + nz+) (1.6.18)
dove: np e nz indicano il numero di poli e, rispettivamente, di zeri con
parte reale ≤ 0; np+ e nz+ il numero di poli e, rispettivamente, di zeri
con parte reale positiva.
Infine per terminare il tracciamento qualitativo del diagramma di Nyquist si
può far ricorso agli andamenti dei diagrammi di Bode. Nel caso in cui la funzione
di trasferimento presenti un elemento di ritardo conviene prima disegnare il
diagramma di Nyquist del sistema ignorando il ritardo e successivamente introdurre
il contributo del ritardo. Infatti, poiché esso influenza solo l’andamento
della fase, ogni punto del diagramma di Nyquist rimane alla stessa distanza
dall’origine ma viene ruotato in senso orario di un angolo pari a ωτ.
Sistema del secondo ordine
Si consideri il sistema elementare del secondo ordine (1.4.9) i cui diagrammi di
Bode sono riportati in figura 1.6 e 1.7. Da tali diagrammi si osserva che
- La fase è sempre decrescente e varia da 0 ◦ a −180 ◦ .
- Il modulo è sempre decrescente se 1
√ 2 ≤ δ < 1.
- Il modulo ha un massimo di valore superiore ad uno se 0 < δ < 1
√ 2 .
- Il diagramma di Nyquist intercetta l’asse immaginario per ω = ωn con
un valore Gd(jωn) = −j 1
2δ di argomento −90◦ .
- Quando δ = 0 la funzione G(jω) è sempre reale ed è positiva se ω < ωn
e negativa se ω > ωn.

Analisi in frequenza di sistemi LTI 41
ω → ω + n
+∞
Im[G(jω)]
ω = 0
1
ρ < 1 √ 2
ρ = 0
Re[G(jω)]
ω → ω − n
Figura 1.17 - Diagramma di Nyquist di un sistema elementare del secondo ordine
Quindi, tenendo conto che
lim
ω → 0 Gd(jω) = 1 lim
ω → +∞ Gd(jω) = 0e −jπ
(1.6.19)
si tracciano i diagrammi qualitativi di Nyquist riportati in figura (1.6) per
δ = 0 (linea tratteggiata), 0 < δ < 1/ √ 2 (linea tratto-punto) e 1/ √ 2 < δ < 1
(linea continua).
Esempio 1.2 Si tracci il diagramma di Nyquist del sistema con funzione di
trasferimento (1.4.27)
Come primo passo si studia il comportamento del sistema alle basse e alle alte
frequenze. Poiché il sistema ha un polo semplice nell’origine, il diagramma di
Nyquist presenta un asintoto verticale. Si sostituisce s = jω e si calcolano
parte reale ed immaginaria della risposta in frequenza
G(jω) =
k
jω(1 + jωτ) =
−jk(1 − jωτ)
ω(1 + jωτ)(1 − jωτ)
(1.6.20)
Quindi, passando al limite per ω → 0 si deducono le seguenti caratteristiche
dell’asintoto
lim Re[G(jω)] = lim
ω→0 ω→0
lim Im[G(jω)] = −∞
ω→0 +
− kτ
1 + ωτ
= −kτ
(1.6.21)
Si osservi che a tale risultato si giunge anche applicando direttamente la formula
(1.6.6) e osservando dai diagrammi di Bode che la fase iniziale è −90 ◦ .
Quando ω → ∞, poiché G(s) è strettamente propria, il modulo tende a zero

42 Esempi
Fase (gradi)
Modulo (dB)
0
0
−45
−90
−135
−180
|G 3 (jω)| dB
|G 1 (jω)| dB
∠G 2 (jω)
1/τ
|G 2 (jω)| dB
∠G 3 (jω)
1/(10τ) 1/τ
Pulsazione (rad/sec)
(a) Diagrammi di Bode
10/τ
∠G 1 (jω)
Figura 1.18 - Sistema G(s) =
Asse immaginario
80
0
−80
−kτ
Asse reale
(b) Diagramma di Nyquist
k
con k > 0 e τ > 0
s(1 + τs)
con una fase di −180 ◦ . Il sistema non presenta altre singolarità sull’asse immaginario
oltre al polo nell’origine, e dai diagrammi di Bode si osserva che il
modulo e la fase sono sempre decrescenti. Da queste informazioni si traccia il
diagramma di figura 1.18(b) dove l’andamento per ω ∈ (−∞, 0], riportato in
linea tratteggiata, è ottenuto da quello per ω ∈ [0, ∞) attraverso la simmetria
rispetto all’asse reale.
1.7 Esempi
Allo scopo di esemplificare i procedimenti precedentemente esposti per la determinazione
dei diagrammi di Bode e di Nyquist si considerano di seguito
alcuni esempi.
Esempio 1.3 Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema con
funzione di trasferimento
G(s) =
1
(s + 1)(s 2 + 1)
0
(1.7.1)
La funzione di trasferimento (1.7.1) è composta da due fattori elementari e in
particolare ha un polo reale in −1 e due poli immaginari in ±j. Il diagramma
asintotico di ampiezza presenta un’unica pulsazione di rottura in 1, in corrispondenza
della quale cambia pendenza da 0 dB/decade a −60 dB/decade.

Analisi in frequenza di sistemi LTI 43
Modulo (dB)
Fase (gradi)
50
0
−50
10 −1
−100
0
−45
−90
−135
−180
−225
−270
10 −1
10 0
10 0
Pulsazione (rad/sec)
(a) Diagrammi di Bode
10 1
10 1
10 2
10 2
Asse immaginario
Figura 1.19 - Sistema G(s) =
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−3
ω → 1 +
−2
ω → +∞
ω = 0
−1 0 1 2
Asse reale
(b) Diagramma di Nyquist
1
(s + 1)(s 2 + 1)
Viceversa il diagramma asintotico di fase presenta tre pulsazioni di rottura in
1
10 , 1 e in 10 dove il grafico cambia pendenza. La fase, inizialmente nulla,
comincia a decrescere di −45◦ /decade in corrispondenza di ω = 1 per l’in-
10
fluenza del polo reale negativo, poi subisce una caduta di −180◦ in ω = 1 a
causa della coppia di poli complessi con fattore di smorzamento δ = 0 e poi
continua ancora a decrescere fino a ω = 10 dove assume il valore di −270◦ .
I diagrammi di Bode asintotici complessivi (linea continua) sono riportati in
fig. 1.19(a), insieme ai diagrammi esatti (linea tratteggiata). Si noti come il
diagramma asintotico di ampiezza presenti un errore infinito in corrispondenza
della pulsazione di rottura ω = 1, mentre quello della fase rimane limitato
ed è dovuto solo al fattore elementare del 1◦ ordine. Per quanto riguarda il
diagramma di Nyquist si deve studiare cosa succede per ω = 1 poiché per
tale valore si ha una singolarità dovuta ad un polo sull’asse immaginario e il
diagramma tende asintoticamente ad una retta (1.6.16). Si riscrive il sistema
(1.7.1) nella seguente forma
ω → 1 −
G(s) = 1
s − j G′ (s) (1.7.2)
dove G ′ 1
(s) = . L’asintoto obliquo (1.6.16) si determina calco-
(s + 1)(s + j)
lando i coefficienti co e c1 dei primi termini dello sviluppo di Taylor di G ′ (s),
cioè
c0 = G ′ 1 + j
(j) = −
4 , c1 == d
ds G′
(s) = 3 − j
(1.7.3)
8
s=j
3
4

44 Esempi
Il diagramma di Nyquist è riportato in fig. 1.19(b) e l’asintoto (retta trattopunto)
soddisfa l’equazione 4x + 4y = 1. Il diagramma parte da G(0) =
1 e si schiaccia sull’asintoto per ω → 1 − con fase sempre decrescente. In
corrispondenza di tale asintoto la fase subisce un decremento di −180 ◦ e quindi
il grafico per ω → 1 + si trova dall’altra parte dell’asintoto. All’aumentare della
frequenza il modulo e la fase decrescono ed, in particolare, il modulo tende a
zero e la fase a −270 ◦ .
Esempio 1.4 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema
con funzione di trasferimento
Modulo (dB)
Fase (gradi)
100
50
0
−50
−180
−225
−270
G(s) =
1/τ
1/(10τ) 10/τ
Pulsazione (rad/sec)
(a) Diagrammi di Bode
Figura 1.20 - Sistema G(s) =
k
s2 , k > 0, τ > 0 (1.7.4)
(1 + τs)
Asse immaginario
800
0
−800
−14000 −7000
Asse reale
0
(b) Diagramma di Nyquist
k
s2 con k > 0 e τ > 0
(1 + τs)
La funzione di trasferimento (1.7.4) ha un polo doppio in s = 0 ed un polo
semplice in s = − 1
τ . I diagrammi di Bode sono illustrati in fig. 1.20(a). Il
diagramma asintotico del modulo inizialmente decresce di −40 dB/decade e
successivamente, a partire dal punto di rottura 1,
decresce di −60 dB/decade.
τ
Il diagramma asintotico della fase è costantemente a −180◦ fino alla pulsazione
1
10τ , poi decresce di −45◦ /decade fino al valore −270◦ raggiunto alla pulsazione
ω = 10
τ , per poi rimanere nuovamente costante. Il diagramma di Nyquist è
riportato in fig. 1.20(b). Per disegnarlo con precisione, si dovrebbe calcolare
l’asintoto parabolico in corrispondenza del polo doppio nell’origine; viceversa,
per un tracciamento qualitativo si può ragionare come segue. Il polo doppio in

Analisi in frequenza di sistemi LTI 45
s = 0 fornisce un contributo di fase di −180 ◦ ; il guadagno k, essendo positivo,
dà un contributo nullo; il polo reale negativo in −1/τ fornisce un contributo di
fase negativo variabile da 0 ◦ a −90 ◦ . Complessivamente la fase -vedi diagrammi
di Bode in fig. 1.20(a))- subisce, per ω da 0 a +∞, una variazione da −180 ◦
a −270 ◦ ; quindi il diagramma di Nyquist rimane nel secondo quadrante del
piano complesso, ovvero
lim Re[G(jω)] = −∞ lim Im[G(jω)] = +∞. (1.7.5)
ω→0 ω→0 +
Esempio 1.5 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema
con funzione di trasferimento
Modulo (dB)
Fase (gradi)
60
40
20
0
−20
−45
−90
G(s) = k
_
1/ τ
1/τ
Pulsazione (rad/sec)
(a) Diagrammi di Bode
1 + τs
s(1 + τs)
Figura 1.21 - Sistema G(s) = k
k > 0, τ = 10τ > τ > 0 (1.7.6)
Asse immaginario
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Asse reale
(b) Diagramma di Nyquist
1 + τs
con k > 0 e τ = 10τ > 0
s(1 + τs)
La funzione di trasferimento ha poli semplici in s = 0 e s = − 1
τ nonché
uno zero in s = − 1
τ . Dalla condizione τ > τ > 0, il punto di rottura dello
zero precede quello del polo. Quindi, il diagramma asintotico del modulo
inizialmente decresce di −20dB/decade fino al punto di rottura 1
τ dello zero
da dove il contributo dello zero e quello del polo nullo si cancellano e fanno
sì che la fase rimanga costante fino alla pulsazione di rottura 1
τ del polo reale
negativo. A partire dalla pulsazione 1
τ , il modulo decresce con pendenza di
−20dB/decade. Viceversa la fase parte da −90◦ per il contributo del polo

46 Esempi
nell’origine (k > 0), poi cresce di +45◦ /decade per effetto dello zero negativo
1 1
fra le pulsazioni 10τ e τ , poi rimane costante nell’intervallo fra le pulsazioni
1 1 1
τ = 10τ e τ dove il contributo dello zero e del polo si elidono, poi decresce di
−45◦ /decade per effetto del polo reale negativo fra le pulsazioni 1 10
τ e τ , infine
rimane costante al valore di −90◦ a partire dalla pulsazione 10
τ . I diagrammi
di Bode asintotici (linea continua) e esatti (linea tratteggiata) sono riportati in
figura 1.21(a). Il diagramma di Nyquist è illustrato in figura 1.21(b). Il valore
asintotico della parte reale per ω → 0 si ottiene dalla (1.6.6); risulta
lim Re[G(jω)] = k(τ − τ) (1.7.7)
ω→0
mentre la parte immaginaria parte parallela all’asse immaginario da −∞ (il
polo in s = 0 dà un contributo di −90 ◦ ). Qualora non si fosse interessati al
valore esatto della parte reale dell’asintoto ma solo al segno, si osserva che a
basse frequenze domina l’effetto dello zero in −1/τ su quello del polo in −1/τ
per cui la fase esatta a basse frequenze sarà maggiore di −90 ◦ e quindi si avrà
Re[G(jω)] > 0 e Im[G(jω)] < 0.
Esempio 1.6 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema
con funzione di trasferimento
G(s) =
s + 1
(s + 2)(s 2 + 4s + 5)
(1.7.8)
Il primo passo da eseguire per disegnare i diagrammi di Bode è riscrivere la
funzione (1.7.8) in forma di Bode
G(s) = 0.1
(1 + s)
(1 + 0.5s) (1 + 0.8s + 0.2s 2 )
(1.7.9)
Dall’espressione (1.7.9) si vede che il guadagno di Bode è KB = 0.1. La
funzione di trasferimento possiede: un polo reale in s = −2 con costante di
tempo τ = 0.5; una coppia di poli complessi con pulsazione naturale ωn = √ 5
e fattore di smorzamento δ = 0.4 √ 5; uno zero reale in s = −1 con costante
di tempo τ = 1. Dopo aver riportato su carta logaritmica tutti i punti di
rottura, si disegnano i diagrammi di Bode asintotici sommando i contributi di
tutti i fattori elementari partendo dal valore |G(j0)|dB = 20 log 10 0.1 dB =
−20 dB per ω = 0. I diagrammi di Bode asintotici e esatti sono riportati
in figura 1.22. Si osservi che, poiché i poli complessi hanno un coefficiente
di smorzamento δ maggiore di 0.1, il loro contributo di fase nell’intervallo
[ωn/10, 10ωn] è stato approssimato con una retta che decresce di −90 ◦ /decade.
Il diagramma di Nyquist è invece riportato in figura 1.22(b). Per ω = 0 si ha
|G(j0)| = 0.1 con ∠G(j0) = 0 ◦ mentre per ω → ∞, |G(jω)| → 0 e ∠G(jω) →

Analisi in frequenza di sistemi LTI 47
−180 ◦ . Per tracciare il diagramma di Nyquist complessivo si ricorre, infine,
ai diagrammi di Bode. In questo caso si osserva che il diagramma asintotico
della fase inizialmente cresce e successivamente decresce. Tale andamento ci
porterebbe a concludere che inizialmente il diagramma di Nyquist abbia fase
crescente e che successivamente, quando la fase decresce, attraversi l’asse reale
positivo per un valore di pulsazione ω = 0. In realtà questa situazione non si
verifica poiché la fase esatta decresce sempre. Per accertarsi di questo fatto si
può verificare che non esiste alcun valore ω > 0 finito per cui Im[G(jω)] = 0.
Modulo (dB)
Fase (gradi)
−20
−40
−60
−80
−45
−90
−135
−180
10 −2
0
10 −1
+20 dB/dec
+45 o /dec 0o /dec
−1
0.1τ
z
−1
0.1τ
p
10 0
0 dB/dec
Pulsazione (rad/sec)
−90 o /dec
o xx
0.1ω
n
−1
τ
z
−1
τ ω
p n
(a) Diagrammi di Bode
10 1
−1
10τ
z
−40 dB/dec
−135 o /dec
−90 o /dec
−1
10τ
p
10ω n
10 2
Figura 1.22 - Sistema G(s) =
Asse Immaginario
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.05 0 0.05
Asse reale
0.1 0.15
(b) Diagramma di Nyquist
s + 1
(s + 2)(s 2 + 4s + 5)
Esempio 1.7 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema
con funzione di trasferimento
G(s) =
s 2 + 1
(s − 2)(s + 2)(s + 4)
La forma di Bode della funzione di trasferimento (1.7.10) è
G(s) = −0.0625
(1 + s 2 )
(1 + 0.25s)(1 + 0.5s)(1 − 0.5s)
(1.7.10)
(1.7.11)
Si osserva che, in questo esempio, il guadagno di Bode KB = −0.0625 comporta
un contributo di −180 ◦ all’andamento della fase. Il sistema ha due poli reali

48 Esempi
stabili con punti di rottura 1/τ1 = 2 e 1/τ2 = 4, un polo reale instabile con
1/τ3 = 2 e due zeri immaginari puri (δ = 0) con ωn = 1. I diagrammi di
Bode asintotici complessivi e esatti sono riportati in figura 1.23(a) mentre il
diagramma di Nyquist è in figura 1.23(b). Quest’ultimo parte dall’asse reale
negativo (KB < 0) e decresce passando per l’origine degli assi in corrispondenza
del punto di rottura degli zeri immaginari subendo una variazione di fase di
+180 ◦ . Quindi il modulo inizia a crescere e poi decresce fino a tendere a zero
per ω → ∞ mentre la fase decresce fino ad un valore di −90 ◦ .
Modulo (dB)
Fase (gradi)
−10
−20
−30
−40
10 −2
−50
0
−50
−100
−150
−200
10 −1
+40 dB/dec
0 dB/dec
−45 o /dec
10 0
o x x
ω
nz −1 −1 −1
τ =τ3 τ2
1
(a) Diagrammi di Bode
10 1
−20 dB/dec
−45 o /dec
10 2
Pulsazione (rad/sec)
Figura 1.23 - Sistema G(s) =
Asse immaginario
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15 −0.1 −0.05 0
Asse reale
0.05 0.1 0.15
(b) Diagramma di Nyquist
s 2 + 1
(s − 2)(s + 2)(s + 4)
Esempio 1.8 - Si traccino i diagrammi di Bode e di Nyquist di un sistema
con funzione di trasferimento
G(s) =
8(s 2 + s + 15)
s 3 + 9s 2 + 15s + 120
Si riscrive la funzione (1.7.12) in forma di Bode
G(s) =
s 3
120
1 + s s2
15 + 15
+ 3s2
40
+ s
8
+ 1
(1.7.12)
(1.7.13)
e si determinano i punti di rottura. Sono presenti: due poli complessi a parte
reale negativa con ωn ∼ = 3.685 e δ ∼ = 0.022; un polo reale negativo con punto
di rottura 1/τ ∼ = 8.839; due zeri complessi a parte reale negativa caratterizzati

Analisi in frequenza di sistemi LTI 49
da ωn ∼ = 3.873 e δ ∼ = 0.129. Il guadagno di Bode è uguale ad 1. In questo caso
si hanno punti di rottura molto vicini fra loro e con coefficienti di smorzamento
molto piccoli; ne consegue che gli errori di approssimazione dei diagrammi
asintotici non sono trascurabili come illustrato in figura 1.24(a). Osservando
l’andamento esatto del modulo si nota che la coppia di poli complessi ha
un effetto dominante sulla coppia di zeri e che, inoltre, la fase presenta delle
oscillazioni che l’andamento asintotico non prevede. In questa situazione,
quindi, risulta utile la valutazione numerica esatta dei diagrammi di Bode. Per
quanto riguarda il diagramma di Nyquist, lo si può ricavare dalla conoscenza
dei diagrammi di Bode; tuttavia, basandosi sul diagramma asintotico, si
ottengono degli andamenti qualitativi non corretti. Per avere delle informazioni
più precise si potrebbe verificare l’esistenza di attraversamenti degli assi
cercando l’esistenza di pulsazioni diverse da zero per cui si ha Re[G(jω)] = 0
e/o Im[G(jω)] = 0; tale procedura, in genere, risulta computazionalmente
laboriosa.
Modulo (dB)
Fase (gradi)
20
10
0
−10
−20
−30
10 −1
−40
90
45
0
−45
−90
10 −1
−135
10 0
10 0
10 1
10 1
ω
np
xo 1/τ
p
x
ω
nz
Pulsazione (rad/sec)
(a) Diagrammi di Bode
1.8 Conclusioni
10 2
10 2
Figura 1.24 - Sistema G(s) =
10 3
10 3
Asse Immaginario
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−1 0 1 2 3 4 5
Asse reale
(b) Diagramma di Nyquist
8(s 2 + s + 15)
s 3 + 9s 2 + 15s + 120
In questo capitolo è stata trattata l’analisi in frequenza di sistemi LTI introducendo
la nozione fondamentale di risposta in frequenza. I principali punti
emersi da questa analisi, che saranno largamente impiegati negli sviluppi dei
capitoli successivi, sono riassunti di seguito.
1. Un segnale sinusoidale di frequenza assegnata può essere univocamen-

50 Conclusioni
te rappresentato da un numero complesso, detto fasore, il cui modulo
coincide con l’ampiezza del segnale e l’argomento con la fase.
2. La risposta di un sistema LTI ad un ingresso sinusoidale, se tale ingresso
non coincide con un modo naturale del sistema, è costituito dalla somma
di una componente transitoria, che è combinazione lineare dei modi del
sistema, e di una componente a regime. Quest’ultima è una sinusoide
della stessa pulsazione ω dell’ingresso, con fasore uguale al prodotto del
fasore dell’ingresso per la risposta in frequenza in ω che coincide con
il valore della funzione di trasferimento G(s) in corrispondenza di s =
jω. Questo risultato, nel suo complesso, va sotto il nome di Teorema
fondamentale dell’analisi armonica ed è alla base dell’analisi in frequenza.
3. La risposta in frequenza G(jω) è una funzione complessa nella variabile
reale ω che caratterizza completamente le proprietà filtranti del sistema.
In particolare, il modulo |G(jω)| rappresenta il guadagno del sistema
alla pulsazione ω, ovvero l’amplificazione (se |G(jω)| > 1) oppure l’attenuazione
(se |G(jω)| < 1) subita da una sinusoide di pulsazione ω
nel suo passaggio attraverso il sistema dall’ingresso all’uscita. Viceversa
l’argomento ∠G(jω) rappresenta lo sfasamento del sistema alla pulsazione
ω, ovvero il ritardo di fase (se ∠G(jω) < 0) oppure l’anticipo di
fase (se ∠G(jω) > 0) subito da una sinusoide di pulsazione ω nel suo
trasferimento dall’ingresso all’uscita del sistema.
4. La risposta in frequenza di un sistema può essere determinata sperimentalmente
applicando in ingresso al sistema segnali sinusoidali (armoniche)
o segnali costituiti dalla sovrapposizione di più sinusoidi di diverse frequenze
(multiarmoniche) e misurando, a regime, ampiezza e fase delle
armoniche in uscita. La riuscita della rilevazione sperimentale richiede
che il sistema operi in condizioni di stabilità, cioè sia stabile in anello
aperto oppure venga stabilizzato in anello chiuso.
5. La risposta in frequenza viene di norma rappresentata graficamente con
due diagrammi cartesiani per il modulo e per la fase (diagrammi di Bode)
oppure con un solo diagramma polare (diagramma di Nyquist). Dato il
largo impiego di questi diagrammi nelle procedure di analisi e di sintesi
di sistemi di controllo a retroazione, sono stati presentati in dettaglio
metodi per il loro tracciamento qualitativo. In particolare, la costruzione
dei diagrammi di Bode ha posto in evidenza come le proprietà filtranti del
sistema dipendano dalla configurazione dei poli e degli zeri della funzione
di trasferimento e, più specificamente, quale sia il contributo di ciascun

Analisi in frequenza di sistemi LTI 51
polo/zero e coppia di poli/zeri, in termini di modulo e fase, all’andamento
complessivo della risposta in frequenza.