Tracciamento dei Diagrammi di Bode - Dipartimento di Ingegneria ...

Tracciamento dei
Diagrammi di Bode
L. Lanari, G. Oriolo
Dipartimento di Informatica e Sistemistica
Università di Roma “La Sapienza”
October 27, 2009

diagrammi di Bode
• rappresentazioni grafiche separate del modulo |W (jω)| e della fase
W (jω) del numero complesso W (jω) al variare di ω ∈ (0, +∞)
• essendo
Im[W(j!) ]
Im
W(j!)
W(j!)
W(j!)
Re[ W(j!) ]
Re
(1/W (jω)) = − W (jω) (∗)
le fasi di 1/W (jω) si ottengono ribaltando quelle di W (jω)
• sia W (s) = W1(s) · W2(s); essendo
(W1(jω) · W2(jω)) = W1(jω) + W2(jω) (∗∗)
le fasi di W (jω) si ottengono sommando quelle di W1(jω) e W2(jω)
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 1

• il modulo |W (jω)| non gode di proprietà come le (∗),(∗∗) ⇒ si passa al
logaritmo; in particolare, il modulo si esprime in decibel (dB)
• essendo
|W (jω)| dB = 20 log10 |W (jω)|
|1/W (jω)| dB = − |W (jω)| dB
i moduli in dB di 1/W (jω) si ottengono ribaltando quelli di W (jω)
• sia W (s) = W1(s) · W2(s); essendo
(⋄)
|W1(jω) · W2(jω)| dB = |W1(jω)| dB + |W2(jω)| dB
(⋄⋄)
i moduli in dB di W (jω) si ottengono sommando quelli di W1(jω) e
W2(jω)
• alcuni valori notevoli
|0.1| dB = −20, |1| dB = 0, |10| dB = 20, |100| dB = 40,
√
2
≈ 3
dB
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 2

• le pulsazioni vengono riportate sull’asse delle ascisse usando una scala
logaritmica in base 10
0.01 0.1 0.2 0.3 1 2 3 4 5 6 10
100
decade
decade
• la funzione log10(x) è lineare in tale scala
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
10 -2
-2
10 -1
10 0
x (scala logaritmica)
• i diagrammi di alcune funzioni elementari (fattori monomio, binomio e
trinomio, vedi più avanti) assumono una forma particolarmente semplice
• un altro vantaggio derivante dall’adozione delle scale logaritmiche (in
ascissa per le pulsazioni, e in ordinata per i moduli) è ovviamente la
possibilità di rappresentare ampi intervalli di variazione delle grandezze
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 3
log (x)
10
10 1
!
10 2

forma di Bode della risposta armonica
W (jω) = costante
contiene 4 tipi di fattori elementari
• costante k
monomi binomi trinomi
monomi binomi trinomi
• monomio jω
proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore)
in s = 0
• binomio 1 + jωτ
proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore)
reale in −1/τ
• trinomio 1 + 2ζjω/ωn + (jω) 2 /ω2 n
proviene da una coppia di zeri (se a numeratore) o di poli (se a denomi-
natore) complessi coniugati in a ± jb, con ωn =
a 2 + b 2 e ζ = −a/ωn
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 4

fattore costante k
sul piano complesso (e.g., k = 10 e k = −0.31)
modulo
fase
Fase (deg)
Modulo (dB)
25
20
15
10
-5
-10
-15
10 -2
0
5
0
- 50
-100
-150
-180
10 -2
10 -1
- 1
10
10 0
k >1
k 0
k < 0
k0
10 2
10 2
Re

sul piano complesso
modulo
fase
fattore monomio a numeratore jω
Im
!
j
90 o
Modulo (dB)
Fase (deg)
40
20
0
- 20
- 40
100
90
80
60
40
20
Re
10 -2
0
10 -2
e si ha |jω| dB = 20 log10 ω
- 1
10
- 1
10
10 0
Pulsazione (rad/s)
10 0
Pulsazione (rad/s)
10 1
10 1
20 dB/dec
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 6
10 2
10 2

dalle (⋄), (∗) si ha
modulo
fase
fattore monomio a denominatore 1/jω
Modulo (dB)
Fase (deg)
40
20
0
- 20
- 40
10 -2
0
- 20
- 40
- 60
- 80
- 90
- 100
10 -2
- 1
10
- 1
10
-20 dB/dec
10 0
Pulsazione (rad/s)
10 0
Pulsazione (rad/s)
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 7
10 1
10 1
10 2
10 2

sul piano complesso
fattore binomio a numeratore 1 + jωτ
!
j ¿
Im
¿ >0
• modulo: |1 + jωτ| dB = 20 log10
si ha
|1 + jωτ| dB
1 + ω 2 τ 2 ≈
≈
⎧
⎨
⎩
1
Re
oppure
1 + ω 2 τ 2 ; essendo
⎧
⎨
⎩
!
j ¿
Im
1 se ω ≪ 1/|τ|
ω|τ| se ω ≫ 1/|τ|
¿

• fase: procedendo in modo analogo si ha
1 + jωτ ≈
⎧
⎨
⎩
0 ◦ se ω ≪ 1/|τ|
90 ◦ (−90 ◦ ) se ω ≫ 1/|τ| e τ > 0 (τ < 0)
questi due asintoti vengono raccordati da un segmento che parte da
0.1/|τ| e termina in 10/|τ| ; il diagramma asintotico della fase è quindi
costituito da una spezzata a tre lati
nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha in corrispon-
denza alle pulsazioni 0.1/|τ| e 10/|τ, e vale circa ±6 ◦
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 9

modulo
fase
per τ > 0
fase
per τ < 0
fattore binomio a numeratore 1 + jωτ
Modulo (dB)
Fase (deg)
Fase (deg)
40
30
20
10
3
0
90
84
63
45
27
6
0
0
-6
-27
-45
-63
-84
-90
0.1
¿
0.1
¿
1
¿
Pulsazione (rad/sec)
0.5
1 2
10
¿ ¿ ¿ ¿
Pulsazione (rad/sec)
1
¿
Pulsazione (rad/sec)
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 10
0.5
¿
2
¿
10
¿

dalle (⋄), (∗) si ha
modulo
fase
per τ > 0
fase
per τ < 0
fattore binomio a denominatore 1/(1 + jωτ)
Modulo (dB)
Fase (deg)
Fase (deg)
0
-3
-10
-20
-30
-40
0
-6
-27
-45
-63
-84
-90
90
84
63
45
27
6
0
0.1
¿
0.1
¿
1
¿
Pulsazione (rad/sec)
0.5
¿
1
¿
2
¿
Pulsazione (rad/sec)
0.5
10
¿
1 2
10
¿ ¿ ¿ ¿
Pulsazione (rad/sec)
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 11

fattore trinomio a numeratore 1 + 2ζjω/ωn + (jω) 2 /ω 2 n
sul piano complesso
• modulo: essendo
si ha
1 + 2 ζ
ωn
(jω) + (jω)2
ω 2 n
1 + 2 ζ
ωn
=
1 − ω2
(jω) + (jω)2
ω 2 n
ω 2 n
³ 3
³
³
2
1
+ j2ζ ω
≈
³
ωn
⎧
⎪⎨
⎪⎩
=
³
>0
Im
1
-1 0
1 − ω2
ω2 2 n
1 se ω ≪ ωn
ω 2
ω 2 n
se ω ≫ ωn
³ ³ ³
> >
3 2 1
1
Re
+ 4ζ 2ω2
ω 2 n
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 12

da cui
1 + 2 ζ
ωn
(jω) + (jω)2
ω 2 n
dB
≈
⎧
⎨
⎩
0 se ω ≪ ωn
40 log10 ω − 40 log10 ωn se ω ≫ ωn
queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo
nota: lo scostamento tra il diagramma reale e quello asintotico in corrispondenza alla
pulsazione naturale ωn vale 20 log 10 2|ζ|
– dipende da |ζ|! e.g., per |ζ| = 0 lo scostamento in dB vale −∞, per |ζ| = 0.5 vale
0, per |ζ| = 1 vale 6
– se |ζ| < 1/ √ 2 ≈ 0.707, il modulo di un fattore trinomio a numeratore ha un ‘picco’
negativo (antirisonanza) in prossimità della pulsazione naturale, tanto più accentuato
quanto minore è |ζ|
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 13

• fase: procedendo in modo analogo si ha
1 + 2 ζ
ωn
(jω) + (jω)2
ω2
n
≈
⎧
⎨
⎩
0 ◦ se ω ≪ ωn
180 ◦ (−180 ◦ ) se ω ≫ ωn e ζ > 0 (ζ < 0)
la transizione tra questi due valori avviene in modo simmetrico rispetto
alla pulsazione naturale ωn, e tanto più bruscamente quanto minore
è |ζ|; in particolare, per ζ = 0 si ha una discontinuità nel diagramma
delle fasi in corrispondenza a ωn
nota: non esiste un diagramma asintotico per la fase del termine trinomio
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 14

modulo
al variare di |ζ|
(antirisonanza per |ζ| < 0.707)
fase
al variare di ζ ≥ 0
fase
al variare di ζ ≤ 0
fattore trinomio a numeratore
Modulo (dB)
Fase (deg)
Fase (deg)
60
40
20
0
-20
-40
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
0.1! n
0.1! n
0
0.7
0.3
0.1
0.5
! n
Pulsazione (rad/sec)
1 0
1
0.1 0.3
0.7
0.5
! n
Pulsazione (rad/sec)
! n
Pulsazione (rad/sec)
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 15
0.1! n
-1
-0.3
-0.7
-0.5
0
-0.1
10 ! n
10 ! n
10 ! n

dalle (⋄), (∗) si ha
modulo
al variare di |ζ|
(risonanza per |ζ| < 0.707)
fase
al variare di ζ ≥ 0
fase
al variare di ζ ≤ 0
fattore trinomio a denominatore
Modulo (dB)
Fase (deg)
Fase (deg)
60
40
20
0
-20
-40
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
0.1! n
0.1! n
0.5
0.7
0
1
0.1
0.3
0.5
! n
Pulsazione (rad/sec)
0.7
1
0.1
! n
Pulsazione (rad/sec)
-1 0
0
0.3
-0.1 -0.3
-0.7
-0.5
! n
Pulsazione (rad/sec)
Lanari, Oriolo: Tracciamento dei Diagrammi di Bode 16
0.1! n
10 ! n
10 ! n
10 ! n