APPUNTI INTEGRATIVI PER IL CORSO DI TEORIA DEI CIRCUITI

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dH( jω) d 1 d 1 = = = 0 dω dω 2 2 2 4 2 2 4 ( ω0 −ω ) dω ( ω0 − 2 ω0ω + ω ) 1+ 1+ 2 2 ( Bω) ( Bω) 4 2 2 4 4 4 d ⎡ ω0 2ω0 ω ⎤ 2ω0 2ω 2( ω0 −ω ) ⇒ ⎢ − + 0 2 2 2 ⎥ = − + =− = dω 2 3 2 2 3 ⎢⎣( Bω) ( B) ( B) ⎥⎦ B ( ω) ( B) B ( ω) ⇒ ω = ω max diH 0 Bω0 H( jω0) = Hmax = = 1 ( Bω ) ( ω ω ) ⎡ 2 2 ( ω0 −ω0 ) ⎤ ϕω ( 0 ) = arctg ⎢− = 0⎥ ⎢⎣ ( Bω ) ⎥⎦ 2 2 2 2 0 + 0 − 0 Quindi ω 0 rappresenta la pulsazione di risonanza, cioè quel valore della pulsazione che rende il circuito come fosse resistivo puro (si annullano le reattanze capacitiva ed induttiva). Mentre agli estremi del campo di definizione di H(jω) avremo: lim H( jω) 0 ω→∞ = e lim H( jω) 0 ω→0 = , dunque, per quanto detto, la funzione di trasferimento (1) descrive un filtro passa banda, in quanto solo un insieme (banda) di frequenze porterà al superamento del modulo della H(jω) del valore 1 . Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio: 2 2 2 2 t + 0 − t ( Bω ) ( ω ω ) ( ) ( B ) Bω t 2 2 2 2 2 t t 0 t ⇒ 2 Bω −( Bω ) −( ω − ω ) = 0 2 2 2 2 t ( 0 t ) ⇒ ω = ω −ω 2 2 t ( 0 t ) t = 1 2 ⇒ Bω = ± ω −ω essendo Bω sicuramente positivo ⎧ 2 2 B+ B + ⎪ per ωt > ω0 ⇒ Bωt = −( ω0 −ωt ) ⇒ ωt1 = ⎪ ⇒ 2 ⎨ ⎪ 2 2 − B+ B + ⎪ per ωt < ω0 ⇒ Bωt = ( ω0 −ωt ) ⇒ ωt2 = ⎩ 2 la differenza tra le due pulsazioni di taglio è 2 2 2 2 4ω0 4ω0 B+ B + − B+ B + ωt1− ωt2 = − = B 2 2 2 2 2 4ω0 2 2 4ω0 da ciò si evince che il valore di B è coincidente con l’ampiezza della banda passante. Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 µF e L = 1 mH. Al variare di R tra 0.5Ω e 10 Ω si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in tensione calcolata sul resistore: (6) (5)
Andamento del modulo della funzione di rete Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete Si definisce fattore di merito, Q, il rapporto tra il modulo della tensione sull’induttore (o sul condensatore) e il modulo della tensione sul resistore alla pulsazione di risonanza: 0L ω 1 Q = ovvero Q = . R ω CR 0 In base al’espressione della banda passante, si trova che: 0 = . Ciò comporta che ci si può Q B ω esprimere sia in termini di banda passante che di fattore di merito per descrivere il grado di selettività del filtro passa banda. E’ altresì chiaro che la selettività è tanto più alta quanto più piccola è il valore della resistenza.
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