APPUNTI INTEGRATIVI PER IL CORSO DI TEORIA DEI CIRCUITI

Filtro Passivo Elimina Banda
Se prendiamo il segnale somma della tensione sull’induttore L e sul condensatore C, di un circuito
serie R-L-C otterremo la seguente funzione di trasferimento in tensione:
dove chiaramente si è posto:
1 2 1
+ sL 2
LC( s + )
1
()
sC + sLC
H s = = =
LC
1 2
sLCsRC1 2 R 1
sL + R + + + LC( s + s + )
sC L
2 2
s + ω0
2 2
+ + ω0
⇒ H() s =
( s Bs )
B
R
L
= e 0
1
ω = .
LC
LC (1)
La funzione di rete relativa ad un filtro elimina banda del secondo ordine presenta due zeri
immaginari coniugati per s =± jω0
.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
2 2
ω0−ω 2
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
Si vede dalla (3) che ( 0 )
H( jω)
= (2)
2
( − ω + Bjω+
ω )
H( jω)
=
0
2 2
0 −
ω ω
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
( ω ω ) ⎡ ω ( ω ω ) ⎤
H( jω) = = H( jω) e
2
0 −
2
− jB
⎣
+
2
0 −
2
⎦
jϕ
( ω)
2 2 2 2
( Bω)
+ ( ω0−ω )
⎛ −Bω
⎞
⇒ ϕω ( ) = arctg ⎜
⎟ 2 2
ω0−ω ⎟
⎝ ⎠
Espressione della fase uguale a quella del filtro passa-basso
H jω = 0mentre sia lim H( jω)
1
ω→∞
= , sia
lim H( jω)
1
ω→0
(3)
(4)
= , dunque, la funzione di
trasferimento (1) descrive un filtro elimina banda, in quanto solo un insieme di frequenze sarà al di
sotto del modulo della H(jω) del valore 1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di
taglio:
( B )
t1,2
2 2 ( ω0−ω )
2
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
t 0 t 0 t
⇒ ( Bω
) + ( ω − ω ) = 2 ω −ω
2 2 2 2
t ( 0 t )
⇒ ω = ω −ω
2 2 2 4 2
t
0 0
posto x = ω ⇒ − B + 2ω x + ω + x = 0
( B ) ( B )
2
2 2 2 2 4
+ 2ω0 ± + 2ω0 −4ω0
( B ) ( B )
1
2
2
2 2 2 2 4
+ 2ω0 ± + 2ω0 −4ω0
2
⇒ x =
dovendo essere ωt
sicuramente positivo
2
⇒ ω =
=
2
2
(5)