APPUNTI INTEGRATIVI PER IL CORSO DI TEORIA DEI CIRCUITI

Filtro Passivo Passa Basso
Se prendiamo il segnale sul condensatore C, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente
funzione di trasferimento in tensione:
dove chiaramente si è posto:
1
H() s =
sC
1
sL + R +
sC
1 1
= =
2
sLC+ sRC+
1 2 R
LC( s + s +
L
1
)
2
ω0
2 2
+ + ω0
⇒ H() s =
( s Bs )
B
R
L
= e 0
1
ω = .
LC
LC (1)
La funzione di rete relativa ad un filtro passa basso del secondo ordine non presenta zeri.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
Si vede dalla (3) che
lim H( jω)
= 0 mentre
ω→∞
ω→0
2
0
ω
H( jω)
= (2)
2
2
( − ω + Bjω+
ω )
H( jω)
=
ω
2
0
0
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
ω ⎡ ω ω ω ⎤
H( jω) = = H( jω) e
2
0 − jB
⎣
+ (
2
0 −
2
)
⎦
jϕ
( ω)
2 2 2 2
( Bω)
+ ( ω0−ω )
⎛ −Bω
⎞
⇒ ϕω ( ) = arctg ⎜
⎟ 2 2
ω0−ω ⎟
⎝ ⎠
lim H( jω)
= 1,
dunque, la funzione di trasferimento (1) descrive un filtro
passa basso, in quanto solo un insieme di “basse” frequenze porterà al superamento del modulo
della H(jω) del valore 1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
2
( B )
2
0
2 2 2 2
t + 0 − t
( Bω
) ( ω ω )
2 2 2 2 4
t 0 t
0
⇒ ( Bω
) + ( ω − ω ) = 2ω
2 4 2 2 2
t 2 0 ( 0 t )
( )
2 2 2 4 2
t
0 0
posto x = ω ⇒ B −2ω x − ω + x = 0
( B ) ( B )
2
2 2 2 2 4
2ω0 2ω0 4ω0
( B ) ( B )
1
2
− − ± − +
⇒ x =
2
dovendo essere ωt
sicuramente positivo
t
ω
⇒ ω = ω − ω −ω
⇒ ω =
=
2
2 2 2 2 4
2ω0 2ω0 4ω0
− − + − +
2
(3)
(4)
(5)