APPUNTI INTEGRATIVI PER IL CORSO DI TEORIA DEI CIRCUITI

APPUNTI INTEGRATIVI Provvisori circa:
Risposta in Frequenza: Introduzione ai Filtri Passivi e Attivi
Filtri del I ordine
1. Passa-Basso
Consideriamo la funzione di rete: Trasferimento in tensione ai capi di un condensatore ideale di
capacità C posto in serie ad un resistore ideale di resistenza R:
VC() s 1 1 1
H() s = = =
Es () sC 1
1
R+ RC( s+
)
sC RC
la corrispondente risposta in frequenza si ottiene sostituendo alla variabile s della funzione di rete,
la quantità immaginaria jω (dove, come noto ω = 2π f è la pulsazione [radianti/secondo] e f è la
frequenza [Hz]).
Si avrà dalla (1):
1
H( jω)
=
1
RC( jω
+ )
RC
La funzione di rete è, per la (2) un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso in
forma euleriana:
ϕ( ω)
H( jω)
= H( ω)
e (3)
dove la funzione:
H ( ω)
=
RC
1
2 ⎛ 1 ⎞
ω + ⎜
RC
⎟
⎝ ⎠
rappresenta il modulo della funzione di rete, mentre
ne rappresenta l’argomento, cioè la fase.
2
ϕ( ω) = arctg( − ωRC)
(5)
Si definisce pulsazione di taglio quel particolare valore della pulsazione, che indicheremo con ω t ,
tale che:
Si ottiene allora, in virtù della (4):
1
H ( ω t ) = 0.707
(6)
2
1 1 2 2 ⎛ 1 ⎞
H( ωt) = = ⇒ ( RC)
( ωt
+ ⎜ ) 2
2 2
2 1
RC
⎟ =
⎛ ⎞
⎝ ⎠
RC ωt
+ ⎜
RC
⎟
⎝ ⎠
2
2
⎛ ⎞
t 2 ⎜ ⎟ t
1 1 1
⇒ ω = 2 − ⇒ ω =
( RC)
⎝ RC ⎠ RC
2
(1)
(2)
(4)
(7)

In virtù della (7) la (1) si scrive:
ωt
H() s =
( s + ω )
t
(1.bis)
Ricordando che in un circuito serie R-C il prodotto RC è pari alla costante di tempo del circuito,
possiamo dire che la pulsazione di taglio è pari all’inverso della costante di tempo.
In corrispondenza della pulsazione di taglio la fase (5) assume il valore:
ϕ( ω) = arctg( − ω RC)
, che, in base alla (7) permette di ricavare:
t
RC
π
ϕω ( ) = arctg( − ωtRC)
= arctg( − ) = arctg(
− 1) =− (8)
RC
4
Si ritengono “passati” tutti quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relativo alla
pulsazione di taglio.
Quindi, per la (4) e la (6) si ha:
2 2
2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞
passate t +
1 1 1
≥ ⇒ ω + ⎜ 2 2
2 1 2 1
RC
⎟ ≤ω
⎜
RC
⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
RC ωpassate + ⎜ RC ωt+
RC
⎟ ⎜
RC
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ ω ≤ω
passate t
Dalla proprietà (9) si evince che il segnale prelevato sul condensatore di una serie R-C ha proprietà
filtranti di tipo Passa-Basso (“passano le pulsazioni più piccole della pulsazione di taglio).
In Figura 1, è riportato a titolo d’esempio l’andamento del modulo (4) della funzione di
trasferimento in tensione per un filtro passa-basso R-C con R = 1 kΩ e C = 0.159µF e relativa
frequenza di taglio di 1 kHz.
Hjω ( ⋅ )
1
2
1
0.5
0 2000 4000 6000
ω
2⋅π arg( H( j⋅ω ) )
⎛ ⎜⎝
⎛
⎜
⎝
arg H j⋅
1
RC ⋅
⎞⎞
⎠⎠
0
0.5
1
0 2000 4000 6000
Fig.1 Andamento del modulo Andamento della fase
ω
2⋅π (9)

Filtro Attivo
Una realizzazione di filtro attivo “passa basso” del I ordine è realizzabile attraverso il circuito in
Fig. 2.
Vi
A
Iu
Vu
Fig.2 Schema di un Filtro attivo passa basso del I ordine
Applicando il metodo dei nodi si ha, infatti:
⎛G1+ G2 + sC1 −G2 −sC1⎞⎛VA = 0⎞
⎛ViG1⎞
⎜ ⎟⎜
⎟= ⎜ ⎟⎠
⎝ −G2 − sC1 G2 + sC1
⎠⎝ Vu ⎠ ⎝ −Iu
⎛0 ⇒ ⎜
⎝1 −G2 −sC1⎞⎛Iu⎞ ⎛VG i 1 ⎞
⎟⎜ ⎟=
⎜ ⎟
G2 + sC1
⎠⎝Vu⎠ ⎝ 0 ⎠
Vu −G1 ⇒ =
V G + sC
=
−G1
G
ωt
=−
s+
ω
i 2 1
2 C1( s+ )
t
C1
G1
con ωt
= ponendo G = G
C
1
1 2
L’unica differenza tra la funzione di rete (10) e la (1.bis) è il segno. Ciò non altera, ovviamente,
l’andamento del modulo, mentre causerà un’opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnale
d’uscita dallo stadio filtrante fosse nuovamente usato come ingresso di un amplificatore invertente
ad amplificazione unitaria.
u
(10)

2. Passa-Alto
Consideriamo la funzione di rete: Trasferimento in tensione ai capi di un induttore ideale di
induttanza L posto in serie ad un resistore ideale di resistenza R:
VL() s sL s
H() s = = =
Es () R+ sL R
s +
L
la risposta in frequenza si ottiene sostituendo alla variabile s della funzione di rete, la quantità
immaginaria jω (dove, come noto ω = 2π f è la pulsazione [radianti/secondo] e f è la frequenza
[Hz]).
Si avrà dalla (1):
jω
H( jω)
=
(2)
R
jω
+
L
La funzione di rete è, per la (2) un numero complesso funzione della pulsazione che può espresso in
forma euleriana:
ϕ( ω)
H( jω)
= H( ω)
e (3)
dove la funzione:
H ( ω)
=
ω
2 ⎛ R ⎞
ω + ⎜
L
⎟
⎝ ⎠
rappresenta il modulo della funzione di rete, mentre
( ) ( )
L ω
arctg
R
ne rappresenta l’argomento, cioè la fase.
2
ϕω = (5)
Come detto, si definisce pulsazione di taglio quel particolare valore della pulsazione, che
indicheremo con ω t , tale che:
Si ottiene allora, in virtù della (4):
In virtù della (7) la (1) si scrive:
1
( t ) 0.707
2
H ω = (6)
2
ωt
1 2 ⎛ R ⎞ 2
t = = ⇒ t + ⎜ t
2 2 L
⎟ =
2 ⎛ R ⎞
⎝ ⎠
ωt
H ( ω ) ω 2ω
+ ⎜
L
⎟
⎝ ⎠
2
2 2 ⎛ ⎞
t 2 t 0 t
R R
⇒ω − ω + ⎜ = ⇒ ω =
L
⎟
⎝ ⎠
L
s
H() s =
( s + ω )
t
(1)
(4)
(7)
(1.bis)

Ricordando che in un circuito serie R-L il rapporto L/R è pari alla costante di tempo del circuito,
possiamo dire che la pulsazione di taglio è pari all’inverso della costante di tempo.
In corrispondenza della pulsazione di taglio la fase (5) assume il valore:
R
ϕω ( ) arctg(
ωt
)
L
= , che, in base alla (7) permette di ricavare:
ωt L RL
π
ϕω ( ) = arctg( ) = arctg( − ) = arctg(1)
= (8)
R LR
4
Si ritengono “passati” tutti quei segnali che possiedono un modulo superiore a quello relativo alla
pulsazione di taglio.
Quindi, per la (4) e la (6) si ha:
2
ω 2
passate ω ω
t passate ωt
≥ ⇒ ≥
2 2
2 2
2 ⎛ R⎞ 2 ⎛ R⎞
2 ⎛ R⎞ 2 ⎛ R⎞
ω
passate + t + passate + ⎜ ⎟ ωt+
⎜ ⎟
ω ⎜ ω
L
⎟ ⎜
L
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
2
⎛ R⎞ 2 2 2
2
⎛ R⎞
2
t passate passate t passate t
⇒ ω ω + ⎜ ω ≥ ω ω + ω
L
⎟ ⎜
L
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ω ≥ ω
passate t
⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
Dalla proprietà (9) si evince che il segnale prelevato sull’induttore di una serie R-L ha proprietà
filtranti di tipo Passa-Alto (“passano le pulsazioni più grandi della pulsazione di taglio).
In Figura 3, è riportato a titolo d’esempio l’andamento del modulo (4) della funzione di
trasferimento in tensione per un filtro passa-alto R-L con R = 1 kΩ e L = 159.155mH e relativa
frequenza di taglio di 1 kHz.
Hjω ( ⋅ )
1
2
0.5
0
0 2000 4000 6000
ω
2⋅π arg( H( j⋅ω ) )
arg H j R ⎛ ⎛
⎜ ⎜ ⋅
⎝ ⎝ ⋅
L
⎞
⎠
⎞
⎠
1.5
1
0.5
(9)
0 2000 4000 6000
Fig.3 Andamento del modulo Andamento della fase
ω
2⋅ π

Filtro Attivo
Una realizzazione di filtro attivo “passa alto” del I ordine è realizzabile attraverso il circuito in Fig.
2.
Vi
A
Vu
Fig.2 Schema di un Filtro attivo passa basso del I ordine
Applicando il metodo dei nodi si ha, infatti:
G9 s( C5 C6) ( G9 sC5) ( G9 G9 sC5)
sC5
⎛0( G sC ) ⎞
⎛ + + − + ⎞ ⎛VA = 0⎞
⎛Vs
i
⎜ =
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜
⎝ − + + ⎠⎝
V ⎠ ⎝ −I
⇒ ⎜
⎝1 − 9 + 5
G9 + sC5
⎛Iu⎞ ⎛VsC i 6 ⎞
⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎠⎝Vu⎠
⎝ 0 ⎠
Vu−sC6 ⇒ =
V G + sC
=
−sC6
G
s
=−
s+
ω
i 9 5
9 C5( s+ )
t
C5
G9
con ωt
= ponendo C = C
C
5
5 6
u u
L’unica differenza tra la funzione di rete (10) e la (1.bis) è il segno. Ciò non altera, ovviamente,
l’andamento del modulo, mentre causerà un’opposizione di fase, cosa eliminabile se il segnale
d’uscita dallo stadio filtrante fosse nuovamente usato come ingresso di un amplificatore invertente
ad amplificazione unitaria. Si noti come nella realizzazione attiva il filtro non ha induttori, cosa che
lo rende adatto a realizzazioni integrate.
u
C6⎞ ⎟⎠
(10)

Filtri del II ordine
Prendiamo ora in considerazione un circuito serie R-L-C e proponiamoci di considerare le tre
funzioni di trasferimento che si ottengono considerando di prelevare il segnale come tensione ai
capi del resistore, dell’induttore e del condensatore rispettivamente.
Filtro Passivo Passa Banda
Se prendiamo il segnale sul resistore R, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente funzione di
trasferimento in tensione:
dove chiaramente si è posto:
R sCR sCR
H() s = = =
1 2
1 2 R 1
sL + R + sLC+ sRC+
LC( s + s + )
sC
L LC
(1)
sR Bs
⇒ H() s = =
2 2
2 R 1
Ls ( + s+
)
( s + Bs+
ω0
)
L LC
B
R
L
= e 0
1
ω = ed il cui significato verrà presto evidenziato. La
LC
funzione di rete relativa ad un filtro passa banda del secondo ordine presenta uno zero per s = 0.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
H( jω)
jωR Bjω
= =
2
2 R 1 2
( − ω + Bjω+
ω0)
L( − ω + jω+
)
L LC
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
H( jω)
=
Bω
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
Bjω⎡jBω ( ω ω ) ⎤ ( B ) jB ( )
H( jω)
=
⎣ ⎦
=
( Bω) ( ω ω ) ( Bω)
( ω ω )
+
2
0 −
2
−
2
ω +
2 2
ωω0 −ω
2
+
2
0 −
2 2 2
+
2
0 −
2 2
⎡ 2 2 2 2
Bωω
( 0 −ω) ⎤ ⎡ ( ω0 −ω)
⎤
ϕω ( ) = arctg ⎢− ⎥ = arctg ⎢− ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
⎣
2
( Bω
) ⎦
( Bω
)
Considerando la (3) si vede che essa presenta un massimo per:
(2)
(3)
(4)

dH( jω) d 1 d
1
= =
= 0
dω dω 2 2 2 4 2 2 4
( ω0 −ω ) dω
( ω0 − 2 ω0ω + ω )
1+ 1+
2 2
( Bω) ( Bω)
4 2 2
4 4 4
d ⎡ ω0 2ω0 ω ⎤ 2ω0 2ω
2( ω0 −ω
)
⇒ ⎢ − + 0
2 2 2 ⎥ = − + =−
=
dω 2 3 2 2 3
⎢⎣( Bω) ( B) ( B) ⎥⎦
B ( ω)
( B) B ( ω)
⇒ ω = ω
max diH 0
Bω0
H( jω0) = Hmax
= = 1
( Bω
) ( ω ω )
⎡ 2 2
( ω0 −ω0
) ⎤
ϕω ( 0 ) = arctg ⎢− = 0⎥
⎢⎣ ( Bω
) ⎥⎦
2 2 2 2
0 + 0 − 0
Quindi ω 0 rappresenta la pulsazione di risonanza, cioè quel valore della pulsazione che rende il
circuito come fosse resistivo puro (si annullano le reattanze capacitiva ed induttiva).
Mentre agli estremi del campo di definizione di H(jω) avremo:
lim H( jω)
0
ω→∞
= e
lim H( jω)
0
ω→0
= , dunque, per quanto detto, la funzione di trasferimento (1) descrive
un filtro passa banda, in quanto solo un insieme (banda) di frequenze porterà al superamento del
modulo della H(jω) del valore 1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
2 2 2 2
t + 0 − t
( Bω
) ( ω ω )
( )
( B )
Bω
t
2 2 2 2 2
t t 0 t
⇒ 2 Bω −( Bω
) −( ω − ω ) = 0
2 2 2 2
t ( 0 t )
⇒ ω = ω −ω
2 2
t ( 0 t )
t
=
1
2
⇒ Bω = ± ω −ω
essendo Bω sicuramente positivo
⎧
2 2 B+ B +
⎪ per ωt > ω0 ⇒ Bωt
= −( ω0 −ωt ) ⇒ ωt1
=
⎪
⇒
2
⎨
⎪
2 2 − B+ B +
⎪ per ωt < ω0 ⇒ Bωt
= ( ω0 −ωt ) ⇒ ωt2
=
⎩
2
la differenza
tra le due pulsazioni di taglio è
2 2 2 2
4ω0 4ω0
B+ B + − B+ B +
ωt1− ωt2
= − = B
2 2
2
2 2
4ω0
2 2
4ω0
da ciò si evince che il valore di B è coincidente con l’ampiezza della banda passante.
Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 µF e L = 1 mH. Al variare di R tra
0.5Ω e 10 Ω si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento
in tensione calcolata sul resistore:
(6)
(5)

Andamento del modulo della funzione di rete
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete
Si definisce fattore di merito, Q, il rapporto tra il modulo della tensione sull’induttore (o sul
condensatore) e il modulo della tensione sul resistore alla pulsazione di risonanza:
0L ω
1
Q = ovvero Q = .
R
ω CR
0
In base al’espressione della banda passante, si trova che:
0 = . Ciò comporta che ci si può
Q
B
ω
esprimere sia in termini di banda passante che di fattore di merito per descrivere il grado di
selettività del filtro passa banda. E’ altresì chiaro che la selettività è tanto più alta quanto più piccola
è il valore della resistenza.

Filtro Passivo Passa Basso
Se prendiamo il segnale sul condensatore C, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente
funzione di trasferimento in tensione:
dove chiaramente si è posto:
1
H() s =
sC
1
sL + R +
sC
1 1
= =
2
sLC+ sRC+
1 2 R
LC( s + s +
L
1
)
2
ω0
2 2
+ + ω0
⇒ H() s =
( s Bs )
B
R
L
= e 0
1
ω = .
LC
LC (1)
La funzione di rete relativa ad un filtro passa basso del secondo ordine non presenta zeri.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
Si vede dalla (3) che
lim H( jω)
= 0 mentre
ω→∞
ω→0
2
0
ω
H( jω)
= (2)
2
2
( − ω + Bjω+
ω )
H( jω)
=
ω
2
0
0
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
ω ⎡ ω ω ω ⎤
H( jω) = = H( jω) e
2
0 − jB
⎣
+ (
2
0 −
2
)
⎦
jϕ
( ω)
2 2 2 2
( Bω)
+ ( ω0−ω )
⎛ −Bω
⎞
⇒ ϕω ( ) = arctg ⎜
⎟ 2 2
ω0−ω ⎟
⎝ ⎠
lim H( jω)
= 1,
dunque, la funzione di trasferimento (1) descrive un filtro
passa basso, in quanto solo un insieme di “basse” frequenze porterà al superamento del modulo
della H(jω) del valore 1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
2
( B )
2
0
2 2 2 2
t + 0 − t
( Bω
) ( ω ω )
2 2 2 2 4
t 0 t
0
⇒ ( Bω
) + ( ω − ω ) = 2ω
2 4 2 2 2
t 2 0 ( 0 t )
( )
2 2 2 4 2
t
0 0
posto x = ω ⇒ B −2ω x − ω + x = 0
( B ) ( B )
2
2 2 2 2 4
2ω0 2ω0 4ω0
( B ) ( B )
1
2
− − ± − +
⇒ x =
2
dovendo essere ωt
sicuramente positivo
t
ω
⇒ ω = ω − ω −ω
⇒ ω =
=
2
2 2 2 2 4
2ω0 2ω0 4ω0
− − + − +
2
(3)
(4)
(5)

Ovviamente la funzione (3) possiede un punto di massimo calcolabile, nel caso presente,
semplicemente eguagliando a zero la derivata del suo denominatore:
d
⎡ 2 2 2 2
( Bω)
+ ( ω0− ω ) ⎤ = 0
dω
⎣ ⎦
⇒ 2B− 4 ( − ) = 0
(6)
2 2 2
ω ω ω0ω 2 2
0 − B
4ω2 ⇒ ωm
=
4
Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di rete nel punto
ω = 0 , allora si trova che deve essere:
m
B ω
= (7)
Ciò comporta che, in tal caso, la pulsazione di taglio, in base alla (5), diviene:
t
0 2
ω = ω
(8)
Ovviamente la (7) implica che la resistenza sia unicamente determinata una volta che si sia fissato il
valore di L:
0
*
R = ω L 2
(9)
Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 µF e L = 1 mH, cioè una frequenza di
*
risonanza di 1 kHz e una resistenza R = 8.886 Ω , calcolata tramite la (9). Al variare di R intorno al
* valore R . Si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in
tensione calcolata sul condensatore:
Andamento del modulo della funzione di rete
0

Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete
Filtro Passivo Passa Alto
Se prendiamo il segnale sull’induttore L, di un circuito serie R-L-C otterremo la seguente funzione
di trasferimento in tensione:
2
2 2
+ + 0
2 2
sL s LC s
H() s = = =
1 2
sLCsRC1 2 R 1
sL + R +
+ +
( s + s + )
sC
L LC (1)
s
⇒ H() s =
( s Bs ω )
dove chiaramente si è sempre posto:
B
R
L
= e 0
1
ω = .
La funzione di rete relativa ad un filtro passa alto del secondo ordine possiede uno zero di
molteplicità 2 in s = 0 .
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
LC
2
−ω
H( jω)
= (2)
2
2
( − ω + Bjω+
ω )
H( jω)
=
ω
2 2 2
( Bω)
+ ( ω0−ω )
2
0
2
(3)

−ω ⎡− ω+ ω −ω
⎤
H( jω) = = H( jω) e
2
⎣
jB (
2
0
2
)
⎦
jϕ
( ω)
2 2 2 2
( Bω)
+ ( ω0−ω )
⎛ −Bω
⎞
⇒ ϕω ( ) = arctg ⎜ + π
⎜
⎟ 2 2
ω0−ω ⎟
⎝ ⎠
Si vede dalla (3) che lim H( jω)
= 1 mentre
ω→∞
lim H( jω)
0
ω→0
(4)
= , dunque, la funzione di trasferimento (1)
descrive un filtro passa alto, in quanto solo un insieme di “alte” frequenze porterà al superamento
del modulo della H(jω) del valore 1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di taglio:
2 2 2
( Bωt)
+ ( ω0−ωt )
( B )
2
2 2 2 2 4
t 0 t t
⇒ ( Bω
) + ( ω − ω ) = 2ω
2 4 2 2 2
t 2 t ( 0 t )
( )
( B ) ( B )
2
2 2 2 4 2
t
0 0
posto x = ω ⇒ − B + 2ω x − ω + x = 0
2
2 2 2 2 4
− 2ω0 ± − 2ω0 + 4ω0
( B ) ( B )
1
2
⇒ x =
dovendo essere ωt
sicuramente positivo
2
t
ω
⇒ ω = ω − ω −ω
⇒ ω =
=
2
2 2 2 2 4
− 2ω0 + − 2ω0 + 4ω0
2
2
Ovviamente la funzione (3) possiede un punto di massimo calcolabile, nel caso presente,
semplicemente eguagliando a zero la derivata del suo denominatore:
2 2 4 2 2 4
d ⎡B ω ω0 ω0ω ω ⎤
⎢ + − 2 + 0
4 4 4 4 ⎥ =
dω
⎢⎣ ω ω ω ω ⎥⎦
2 4
ω04 2
ω0
3 5 3
2B
⇒− − + 4 = 0
ω ω ω
( B )
2 2 2 4
0 0
⇒ 4ω −2 ω − 4ω = 0
⇒ ω =
m
4
0
4ω
2 2 ( 4ω0−2B) Se, in base alla (6), si desidera avere il massimo valore del modulo della funzione di rete per
ω →∞, allora si trova che deve essere nullo il denominatore dell’ultima delle (6), da cui:
m
0 2
(5)
(6)
B = ω
(7)
Ciò comporta che, in tal caso, la pulsazione di taglio, in base alla (5), diviene:

ω = ω
(8)
t
0
come già trovato per il passa basso.
Ovviamente la (7) implica che la resistenza sia unicamente determinata una volta che si sia fissato il
valore di L:
*
R = ω L 2
(9)
Consideriamo, a titolo d’esempio un caso in cui sia C = 25.33 µF e L = 1 mH, cioè una frequenza di
*
risonanza di 1 kHz e una resistenza R = 8.886 Ω,
calcolata tramite la (9), . Al variare di R intorno al
* valore R . Si avranno gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in
tensione calcolata sull’induttore:
Andamento del modulo della funzione di rete
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete
0

Filtro Passivo Elimina Banda
Se prendiamo il segnale somma della tensione sull’induttore L e sul condensatore C, di un circuito
serie R-L-C otterremo la seguente funzione di trasferimento in tensione:
dove chiaramente si è posto:
1 2 1
+ sL 2
LC( s + )
1
()
sC + sLC
H s = = =
LC
1 2
sLCsRC1 2 R 1
sL + R + + + LC( s + s + )
sC L
2 2
s + ω0
2 2
+ + ω0
⇒ H() s =
( s Bs )
B
R
L
= e 0
1
ω = .
LC
LC (1)
La funzione di rete relativa ad un filtro elimina banda del secondo ordine presenta due zeri
immaginari coniugati per s =± jω0
.
Vediamo dunque di capire le proprietà in frequenza della funzione di rete sostituendo, come di
consueto, alla variabile s la quantità jω. La (1) diviene:
2 2
ω0−ω 2
Calcoliamo rispettivamente il modulo e la fase della (2):
Si vede dalla (3) che ( 0 )
H( jω)
= (2)
2
( − ω + Bjω+
ω )
H( jω)
=
0
2 2
0 −
ω ω
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
( ω ω ) ⎡ ω ( ω ω ) ⎤
H( jω) = = H( jω) e
2
0 −
2
− jB
⎣
+
2
0 −
2
⎦
jϕ
( ω)
2 2 2 2
( Bω)
+ ( ω0−ω )
⎛ −Bω
⎞
⇒ ϕω ( ) = arctg ⎜
⎟ 2 2
ω0−ω ⎟
⎝ ⎠
Espressione della fase uguale a quella del filtro passa-basso
H jω = 0mentre sia lim H( jω)
1
ω→∞
= , sia
lim H( jω)
1
ω→0
(3)
(4)
= , dunque, la funzione di
trasferimento (1) descrive un filtro elimina banda, in quanto solo un insieme di frequenze sarà al di
sotto del modulo della H(jω) del valore 1
. Calcoliamo dunque il valore delle 2 pulsazioni di
taglio:
( B )
t1,2
2 2 ( ω0−ω )
2
2 2 2 2
+ 0 −
( Bω)
( ω ω )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
t 0 t 0 t
⇒ ( Bω
) + ( ω − ω ) = 2 ω −ω
2 2 2 2
t ( 0 t )
⇒ ω = ω −ω
2 2 2 4 2
t
0 0
posto x = ω ⇒ − B + 2ω x + ω + x = 0
( B ) ( B )
2
2 2 2 2 4
+ 2ω0 ± + 2ω0 −4ω0
( B ) ( B )
1
2
2
2 2 2 2 4
+ 2ω0 ± + 2ω0 −4ω0
2
⇒ x =
dovendo essere ωt
sicuramente positivo
2
⇒ ω =
=
2
2
(5)

Se operassimo una traslazione dell’asse delle ascisse in modo da definire un nuovo sistema di
pulsazioni fittizio tale che per il nuovo asse '
ω la propria origine coincida con la pulsazione di
risonanza, cioè '
ω 0 per ω ω0
sistemi di riferimento è la stessa, ma semplificheremmo notevolmente i calcoli perchè avremmo:
= = , avremo che l’ampiezza della banda eliminata misurata nei due
' '
t2 − t1 = t2 − t1
ω ω ω ω
( B ω0 ) ( B ω0 ) ω0 ( B ω0 ) ( B ω0
)
2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
+ 2 + + 2 − 4 + 2 − + 2 −4ω0 − =
2 2
2 2 2 2
( B ) + ( B ) ( B ) − ( B )
2 2
= − = B
2 2
Dalla (6) si evince che la banda eliminata vale proprio B che era il valore della banda passante nel
filtro passa banda.
Si riportano gli andamenti in Figura di modulo e di fase della funzione di trasferimento in tensione
calcolata sulla serie induttore-condensatore:
Andamento del modulo della funzione di rete Elimina Banda
(6)

Vi
Andamento dell’argomento (fase) della funzione di rete Elimina Banda
Si consideri il circuito in figura:
1 ()
Esempi di Filtri Attivi del II ordine
y s y2( s)
A
3 () y s
che risolviamo con il metodo dei nodi:
⎛( )
⎞
A y1+ y2 + y3 + y4 −y2 −y4 ⎛VA⎞ ⎛yV 1 i ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
B − y y + y − y V = 0
⎜ 2 2 5 5 ⎟⎜
B ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − 4 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
5 5 + ⎟
carico ⎝ u ⎠ ⎝−Iu⎠ u⎝ y y y G ⎠ V
vincolo operazionale : V = 0
B
B
4 () y s
5 () y s
Vu
u Gcarico
(1)

quindi riarrangiando il sistema si ha, immediatamente:
( )
A⎛ y1+ y2 + y3 + y4 −y2 −y4 ⎞⎛VA⎞
⎛yV
1 i ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
B⎜ − y2 y2 + y5 − y5
⎟⎜
0
⎟
=
⎜
0
⎟
u⎜ −y4 − y5 ( y5 + Gcarico ) ⎟⎜V
⎟ ⎜
⎝ ⎠⎝
u ⎠ ⎝−I
⎟
u ⎠
( )
⎛ y1+ y2 + y3 + y4 0 −y4 ⎞⎛VA⎞
⎛yV 1 i⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⇒ −y 0 − y ⎟ I = 0
⎜ 2 5 ⎜ u ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − y4 1 ( y5 + Gcarico ) ⎟⎜V
⎟ ⎜
u 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⇒ Cramer :
V
u
−yyV
1 2 i
=
( y + y + y + y ) y + y y
1 2
3 4 5 2 4
Se si vuole realizzare un filtro passa banda che abbia lo stesso comportamento di quello descritto
nel paragrafo dedicato al filtro passivo R-L-C passa banda si dovrà porre:
−yyV
Bs
1 2 i
u =
( y1+ y2 + y3 + y4) y5 + y2y4 =
2
s + Bs+ ω0
2 i V
V (3)
da cui si vede che, a meno del segno, che se si prende y4 = sC4
e quindi y1 = G1,
si dovrà e potrà
porre y sC e di conseguenza y G e y = G . Operando in tal modo si avrà:
i
2 = 2 5 = 5 3 3
Vu −GC
s Bs
= =
V G C s G C s G C C s s Bs
⇒
C C
1 2
1+ 2 + 3 + 4 5 + 2 4
2 2
+
2
+ ω0
( )
−GC
s
1 2
=
2 2
⎛( G1+ G3) G5 ( C2 + C4) G5 2 ⎞ s + Bs+
ω0
4 2 ⎜ + s+ s ⎟
⎝ CC 2 4 CC 2 4 ⎠
⎧ G1
⎪ = B
⎪ C4
⎪ ( C2 + C4) G5
⇒ ⎨
= B
⎪ CC 2 4
⎪ ( G1+ G3) G5
⎪
= ω
⎪⎩ CC 2 4
2
0
Bs
Così se si vuole realizzare un filtro corrispondente ad uno passivo dove C = 25.33 µF e L = 1 mH e
R = 0.628 Ω, cioè con ω0 = 2π1000 rad / s (frequenza di risonanza 1 kHz) e banda passante
B = 2π100 rad/ s si avrà:
⎧ G1
⎪ = 2π100 ⎪ C4
⎪ ( C2 + C4) G5
⎨
= 2π100 ⎪ CC 2 4
⎪ ( G1+ G3) G5
2 6
⎪
= 4π10 ⎪⎩ CC 2 4
vincoli di esistenza dei parametri:
(2)
(4)

G
1
2 +
B B CB 2 + G1 B
G1
2 1
G1 G5 GC 1 2 G G
5
1
C2( −1)
B
B G5
C
e
= ⇒ = ⇒ C = ⇒ deve essere G > G
CC CC
G G G
2 2 4 2 4
3 = ω0
− 1 ⇒ 1 < 0
G5 G5
2
ω
5 (5)
. (6)
−1
Assegnato, ad esempio il valore R = 750Ω⇒ G = 1.33mΩ
si ottiene che deve
G G
C = = = 2.122 µ F .
B 2π100 1 1
essere: 4
1 1
Preso allora R5 = 1kΩ⇒
G5 = 1mΩ
che soddisfa la disequazione della (5) dovuta al vincolo
d’esistenza dei parametri, si avrà che:
−3
1.33⋅10 C2= = 6.36 µ F
−3
1.33⋅10 ( −1)2π
100
−3
10
.
2 6 2 4
Non rimane ora che calcolare π
G −
G e verificare l’altra disequazione della (6) di
vincolo.
3 = 1
G5
4 10 CC
−1
Si trova che G = 0.532 Ω ⇒ R = 1.88 Ω.
3 3
Il filtro si presenta dunque:
Rcarico
e la risposta sul resistore di carico (il cui valore di resistenza non influenza mai le prestazioni del
filtro) è riportata in Figura:

Andamento della funzione di trasferimento del filtro passa banda attivo precedentemente
dimensionato