Modelli di turbolenza - Ingegneria Nucleare - Università di Palermo

UIT – V Scuola Estiva di Termofluidodinamica
“Termofluidodinamica di Flussi Turbolenti”
Certosa di Pontignano, Siena, 4-10 Settembre 2005
Modelli di turbolenza
Michele Ciofalo
Dipartimento di Ingegneria Nucleare, Università degli Studi di Palermo
Viale delle Scienze, Parco d’Orleans, edificio 6, I-90128 Palermo, Italy
Tel. +39 091 232 225/228; Fax +39 091 232 215; Cell. +39 320 43 95 854
E-mail ciofalo@din.din.unipa.it
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• Equazioni di governo
Introduzione
• Equazioni di governo e turbolenza
• Simulazione diretta della turbolenza
• Modelli di turbolenza
• Filtraggio spaziale e filtraggio temporale
• Per approfondire
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∂ ∂
+
∂ ∂x
ρ
ρ
ϑ
∂
∂ϑ
∂
∂ϑ
Equazioni di governo
• Notazione tensoriale cartesiana + convenzione di Einstein (somma implicita su indici ripetuti)
• Forze di massa e generazione interna di calore arbitrarie
• Fluido newtoniano
continuità
quantità di moto
(Navier-Stokes)
energia
j
( u ) = 0
j
∂
∂x
i j
( ρu
i ) + ( ρuiu
j ) = − + ⎢μ⎜
+ ⎟⎥
+ Fi
j
∂p
∂x
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i
∂
∂x
j
⎡
⎢⎣
⎛ ∂u
⎜
⎝ ∂x
∂
∂ t
( c pt)
( c puit
) ⎜
∂
ρ + ρ = λ ⎟ + ST
∂x
i
∂x
j
⎛
⎜
⎝
∂x
j
⎞
⎟
⎠
j
∂u
∂x
i
⎞⎤
⎟
⎠⎥⎦
(1)
(2)
(3)
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Equazioni di governo e turbolenza
• Le (1) - (3), con appropriate condizioni al contorno, descrivono in modo praticamente
esatto il comportamento di un fluido sia in condizioni laminari che turbolente.
• La natura estremamente complessa e apparentemente stocastica della turbolenza non
nasce né da fonti esterne di “rumore” (fluttuazioni nelle condizioni al contorno) né da una
inadeguata formulazione matematica del problema.
• Essa è piuttosto una proprietà intrinseca di certe soluzioni delle equazioni stesse
[Lorenz 1963; Ruelle e Takens 1971].
• Nel linguaggio dei sistemi dinamici, l’esistenza di soluzioni turbolente è associata alla
presenza di un attrattore strano in un opportuno spazio delle fasi [Lanford 1981].
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Simulazione diretta della turbolenza
• Nelle condizioni in cui un sistema fisico presenta un comportamento turbolento, una
soluzione diretta delle (1) - (3), purchè sufficientemente accurata, manifesterà lo stesso
comportamento (e viceversa).
• Il problema sta nelle condizioni che devono essere soddisfatte perché la soluzione possa
considerarsi “accurata”.
• Come sarà discusso più avanti, il punto cruciale è la risoluzione spazio-temporale
necessaria perché il trasferimento di energia meccanica dalle scale più grandi alle scale
cosiddette dissipative del moto sia adeguatamente simulato.
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Modelli di turbolenza
• Poichè la risoluzione spazio-temporale necessaria per una simulazione diretta cresce
rapidamente con il numero di Reynolds, molti problemi di interesse pratico sfuggono e
sfuggiranno per molto tempo – nonostante il rapido incremento della potenza di calcolo –
alla possibilità di simulazioni dirette; ciò giustifica il ricorso a modelli di turbolenza.
• Applicare un modello di turbolenza allo studio di un problema fluidodinamico consiste nel
rinunciare a studiare nei dettagli l’effettivo comportamento del fluido dato, sostituendolo
con un fluido equivalente (generalmente non-newtoniano) descritto da opportune equazioni
costitutive, e tale da manifestare nelle condizioni del problema un comportamento spaziotemporale
a) sufficientemente regolare e predicibile, e b) sufficientemente rappresentativo,
in senso statistico, del comportamento del fluido reale dato.
• Da questo punto di vista, la modellazione della turbolenza presenta forti punti di contatto
con la meccanica dei fluidi non newtoniani [Speziale 1985, 1987].
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Filtraggio spaziale e filtraggio temporale
• Possono individuarsi due approcci fondamentali alla modellazione della turbolenza.
• Il primo si basa su un processo di filtraggio spaziale, e conduce alla cosiddetta “Large
Eddy Simulation” (simulazione a grandi vortici, LES).
• Il secondo si basa, concettualmente, su un analogo filtraggio temporale, ma si riduce di
norma alla media su tempo infinito, dando vita alla cosiddetta chiusura secondo Reynolds
(modelli RANS, o “Reynolds Averaged Navier Stokes”).
• I due approcci saranno discussi nel seguito. L’ordine di presentazione sarà invertito
rispetto a quello consueto, in cui i modelli RANS (i più antichi e tuttora i più diffusi)
precedono la LES.
• I vari problemi saranno illustrati con esempi tratti dall’esperienza personale dell’autore o
dalla letteratura più rilevante.
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Per approfondire
• La turbolenza idrodinamica è uno degli argomenti più complessi e affascinanti di tutte le
scienze fisiche.
• Molti problemi apparentemente banali eccedono di fatto le nostre attuali capacità di
predizione.
• Trattazioni approfondite possono trovarsi in testi e trattati quali Tennekes e Lumley
[1972], Hinze [1975] o Lesieur [1990].
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Parte 1 – Aspetti generali della turbolenza nei fluidi
• Strutture turbolente
• La cascata di Kolmogorov
• Analisi spettrale della turbolenza
• Spettro energetico della turbolenza sviluppata
• La turbolenza è essenzialmente tridimensionale
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Distribuzione di vorticità in un
piano in turbolenza isotropa.
Da Meneveau [2001].
Strutture turbolente – I
(si veda anche Banerjee [1992])
Vortici quasi-bidimensionali osservati all’interfaccia fra
getti piani turbolenti. Da Brown e Roshko [1974].
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Strutture della turbolenza di parete. Da Barrett [1990].
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Strutture turbolente - II
Turbolenza bidimensionale. Funzione di corrente a istanti successivi nella convezione naturale a
basso Pr con generazione interna di calore in una cavità rettangolare. Da Di Piazza e Ciofalo [2000].
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La cascata di Richardson - Kolmogorov
Nella teoria della turbolenza sviluppata da Richardson e Kolmogorov a partire dagli anni 1920-
1930, e tuttora in gran parte valida, l’energia meccanica, fornita al fluido alla scala integrale L
da processi esterni (come gradienti di pressione o agitazione meccanica), subisce una
progressiva degradazione attraverso una cascata di scale da L fino a η, quando è infine
degradata in energia termica dagli attriti viscosi.
• La scala integrale L corrisponde
alle dimensioni delle strutture
geometriche presenti nel dominio
di interesse.
• La scala dissipativa, o di
Kolmogorov, η caratterizza le più
piccole strutture spaziali che
possono esistere nel campo di
moto senza essere dissipate in
calore da effetti viscosi.
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Grandezza
turbolenta
=
+
+
+ ....
period in space or time
...in cui i vortici svolgono
un ruolo simile a quello dei
cicli ed epicicli del sistema
tolemaico.
M
T
La cascata di Richardson-
Kolmogorov è un costrutto
teorico...
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S
M’
T
Cicli ed epicicli
S
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+∞
∫
−∞
−i2πnx
ϕ( x)
= 2π
a(
n)
e dn
E ( n)
= a(
n)
ϕϕ
2
Analisi spettrale della turbolenza
Sia ϕ una generica grandezza (velocità, pressione, temperatura …) e x una direzione omogenea.
ϕ(x) può rappresentarsi come un integrale di Fourier del tipo:
in cui n èil numero d’onda (inverso di una lunghezza).
La funzione a(n), trasformata di Fourier di ϕ(x), è in genere complessa.
La densità spettrale E ϕϕ (n) relativa a ϕ è (a meno di fattori di normalizzazione):
In particolare, se ϕ = u (modulo della velocità), E uu (n) rappresenta l’energia cinetica della
turbolenza per unità di numero d’onda, che può indicarsi semplicemente con E(n).
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D ensità spettrale E(n) (scala log)
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Spettro energetico della turbolenza sviluppata
P
Subrange inerziale
…..
n−5/3
1/L 1/η
Numero d'onda n (scala log)
ρε
Trasferimento spettrale di energia
P = produzione di energia turbolenta p.u.v.
P = –τ ij 〈S ij 〉 = 2μ t 〈S ij 〉〈S ij 〉 (6)
(se τ ij = -2μ t 〈S ij 〉 con μ t =viscosità turbolenta);
ρε = dissipazione di energia turbolenta p.u.v.
ρε = 2μ 〈S ij ’S ij ’〉≈〈Φ〉 (7)
(Φ = funzione di dissipazione, 2μ S ij S ij )
Si notino:
• massimo ai numeri d’onda caratteristici dei termini forzanti (1/L);
• subrange inerziale E(n) ~ n −5/3 , in corrispondenza della cascata di strutture turbolente;
• taglio intorno a 1/η, in corrispondenza della scala dissipativa di Kolmogorov.
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La turbolenza è essenzialmente tridimensionale
La turbolenza è un fenomeno intrinsecamente tridimensionale [Bradshaw 1978].
La ragione è illustrata in figura. Il gradiente di velocità di grande scala, prevalente in una certa
regione del campo di moto, stira e assottiglia un tubo di vorticità che sia inizialmente presente.
U U
r
L
ω
• In prima approssimazione si deve conservare il momento angolare del vortice. L’energia
cinetica del vortice deve allora aumentare.
• Ciò avverrà a spese dell’energia del campo di moto di grande scala. Quindi lo stiramento dei
vortici (vortex stretching) trasferisce energia dalle grandi alle piccole scale e gioca un ruolo
fondamentale nella cascata di energia.
• Tale fenomeno è, per sua natura, strettamente 3-D, ed è del tutto assente in un problema
2-D, in cui la vorticità non può che essere ortogonale al piano del moto.
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r’
ω’
L’
Stretching L → L’ = sL
Massa ~ r 2 L = r’ 2 L’
→ r’ = r/s 1/2
Mom. angolare ~ r 4 Lω = r’ 4 L’ω’
→ω’= ωs
Energia cinetica E ~ r 4 Lω 2
→ E’ = sE
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Parte 2 – Simulazione diretta della turbolenza
(DNS, “Direct Numerical Simulation”)
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Simulazione diretta della turbolenza - I
• Canale indefinito limitato da pareti piane parallele (moto di Poiseuille turbolento).
• U = velocità media del fluido; Re δ =Uδ/ν (numero di Reynolds).
• Dominio di calcolo: un tratto di canale le cui caratteristiche si assumono ripetersi
periodicamente nello spazio.
• Devono essere trascurabili le correlazioni fra le variabili sui contorni opposti. Ciò equivale a
richiedere che il dominio sia molto più grande delle più grandi strutture turbolente.
Secondo gli studi di Comte-Bellot [1963]:
L x ≥ 4δ L z ≥ 2δ (L y = 2δ) (8)
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Simulazione diretta della turbolenza - II
Affinchè la simulazione sia rappresentativa di uno stato statisticamente stazionario del sistema,
la sua durata ϑ tot deve includere diverse volte la costante di tempo più lunga riscontrabile
nell’andamento temporale delle varie grandezze.
Tale costante di tempo è detta “Large Eddy TurnOver Time” (LETOT) e corrisponde alla vita
media delle più grandi strutture del moto. Per il moto di Pouiseille turbolento si può stimare:
1 LETOT ≈ δ/u τ
dove u τ (velocità di attrito e scala tipica delle fluttuazioni turbolente di velocità) = (τ w /ρ) 1/2
(τ w = sforzo tangenziale d’attrito alla parete, ρ = densità del fluido).
La velocità di attrito u τ è legata al coefficiente di attrito C f = τ w /(ρU 2 /2) da:
u τ = (C f /2) 1/2 U (10)
Se si assume C f dell’ordine di 10 -2 , dalle (9) - (10) si ottiene:
1LETOT ≈ 14 (δ 2 /ν) Re δ -1 (11)
e quindi, tenendo conto anche del necessario transitorio iniziale:
ϑ tot ≈ 10 2 (δ 2 /ν) Re δ -1 (12)
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numero di nodi /
passo temporale
Simulazione diretta della turbolenza - III
scale di Kolmogorov
dei vortici dissipativi
La dissipazione di energia cinetica turbolenta ε può identificarsi in pratica con la dissipazione
totale di energia meccanica, che si può calcolare dalla velocità U e dallo sforzo di parete τ w :
ρε = U τ w / δ (13)
Tenendo conto della definizione Re δ =Uδ/ν ne segue, per la scala delle lunghezze di
Kolmogorov η = (ν 3 /ε) 1/4 :
η ≈ 4 δ Re δ −3/4 (14)
Alla scala delle lunghezze di Kolmogorov η (minima dimensione delle strutture turbolente di
significativo contenuto energetico) corrisponde la frequenza di Kolmogorov f K ≈ U/η (massima
frequenza delle fluttuazioni turbolente di significativo contenuto energetico). Nel presente
caso questa diventa:
f K ≈ 0.25 ν δ −2 Re δ 7/4 (15)
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dissipazione ε
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Simulazione diretta della turbolenza - IV
Ora, è necessario che le dimensioni Δx , Δy, Δz delle maglie nelle tre direzioni siano al più
dell’ordine di η, e che il passo temporale Δϑ sia al più dell’ordine di ϑ K =1/f K .
Δx, Δy, Δz ≤ 4 δ Re δ -3/4 (16)
Δϑ ≤ 4 (δ 2 /ν) Re δ -7/4 (17)
Queste implicano al limite il criterio di Courant Δϑ < Δx/U [Roache 1972]; si noti che esso è
un requisito di stabilità solo se si adotta uno schema di avanzamento temporale esplicito,
ma rimane comunque un criterio di accuratezza anche se si adottano schemi impliciti
incondizionatamente stabili.
Dalle (8) e (16) si ottiene il numero minimo di punti di griglia:
N p = (L x /Δx) (L y /Δy) (L z /Δz) ≈ 0.25 Re δ 9/4 (18)
Dalle (12) e (17) si ottiene il numero minimo di passi temporali:
N ϑ = ϑ tot / Δϑ ≈ 25 Re δ 3/4 (19)
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Ipotesi (a): CPU time = 1 s per passo temporale con una griglia di 100,000 nodi.
Ipotesi (b): RAM = 25 variabili reali (100 bytes) per nodo.
Risorse
Simulazione diretta della turbolenza - V
1.E+12
1.E+10
1.E+08
1.E+06
1.E+04
1.E+02
Np Nt
RAM (Mb) CPU t (s)
1 giorno
1 mese
1 anno
RAM massima su workstation (2 Gbytes)
1.E+00
1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06
Numero di Reynolds basato sulla semialtezza del canale
Risorse computazionali necessarie per la simulazione diretta del moto turbolento
di Poiseuille in funzione del numero di Reynolds.
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Simulazione diretta della turbolenza - VI
Esempio: moto turbolento in un canale a sezione quadrata, Re δ =2200 [Gavrilakis 1992].
• Differenze finite. Time stepping esplicito sui termini convettivi.
• L x = 20πδ, L y = L z = 2δ, N x = 1000, N y = N z = 127 (oltre 16 milioni di nodi).
• ϑ tot = 24 LETOT’s; 1400 passi per LETOT (totale 33,600 passi).
• Statistiche (medie e fluttuazioni) prese sugli ultimi 10 LETOT’s.
• Numero di Courant massimo ≈ 0.3.
• Simulazioni condotte sul Cray-2 a quattro processori di Losanna.
• CPU time ≈ 85 s per passo temporale (CPU totale ≈ 1000 ore).
• RAM = 131 Mwords (1 word Cray = 64 bit) ≈ 1 Gbyte.
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Campo di moto medio
(a) insieme, con vettori (v, w)
e isoplete della velocità u;
(b) dettaglio del campo di
velocità (v, w) in un ottante.
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Parte 3 – Filtraggio
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Filtraggio - I
Struttura della turbolenza in un getto conico (fiamma) visualizzata mediante interferometria.
Da Schumann [1993].
media azimutale media temporale
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Filtraggio - II
L’operazione di media o di filtraggio può essere effettuata:
• lungo una o più direzioni spaziali omogenee;
• lungo il tempo.
L’operazione di media o filtraggio spaziale o temporale, comunque definita, introduce una
decomposizione della generica grandezza turbolenta:
F (x, ϑ) = 〈F (x, ϑ ) 〉 + F’ (x, ϑ) (20)
• 〈F〉 = valore medio (filtrato, risolto);
• F’ = valore fluttuante (non filtrato, irrisolto)
entrambi, in generale, ancora funzioni dello spazio e del tempo.
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Valgono in generale le seguenti osservazioni:
Filtraggio - III
• la media su una o più variabili indipendenti riduce la variabilità di una grandezza turbolenta
anche rispetto alle altre variabili. Questa proprietà, dovuta a ovvie ragioni statistiche, è di
fatto ciò che rende possibile e utile la modellazione della turbolenza.
• la struttura risultante – per quanto riguarda, ad esempio, il campo di temperatura – è simile
a quella che si osserverebbe in un moto laminare a numero di Reynolds molto più basso.
• sotto opportune ipotesi la media (filtraggio) spaziale e quella temporale danno risultati
analoghi.
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• Large Eddy Simulation
Parte 4 – Filtraggio spaziale (LES)
• Richiamo dimensionale: modello di Prandtl della viscosità turbolenta
• Modelli “sub-grid”
• Esempi di Large Eddy Simulation
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Large Eddy Simulation - I
LES = “Large Eddy Simulation” (“simulazione a grandi vortici” ??):
modellazione della turbolenza basata sul filtraggio spaziale.
Giustificazione teorica:
• i grandi vortici, principali responsabili del trasporto convettivo, non si prestano ad essere
modellati in forma generale in quanto altamente anisotropi e dipendenti dallo specifico
problema, e vanno quindi risolti in modo esplicito.
• le strutture di piccola scala, prossime alla soglia dissipativa di Kolmogorov, sono più isotrope
e universali e quindi si prestano ad essere modellate in modo semplificato.
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φ
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1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Large Eddy Simulation - II
unfiltered
filtered, half width=2
filtered, half width=5
0 20 40 60 80 100
x
Si introduce una funzione lineare filtro
spaziale G(x,y), spesso G(|x-y|).
L’applicazione di G alla generica
grandezza ϕ(x, ϑ) la scompone in:
componente filtrata, o risolta
ϕ(
, ϑ)
= G( x,
y)
ϕ(
y,
ϑ)
d
x ∫
•componente residua, o irrisolta
ϕ'( x, ϑ)
=
ϕ(
x,
ϑ)
− ϕ(
x,
ϑ)
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(21)
• (22)
3
y
30

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⎡ 1 ⎤ ⎡ 1
G(
x,
y)
= ⎢ ⎥ exp⎢−
( x − y)
3
⎣ π ⋅ Δ ⎦ ⎣ Δ
⎛
⎜
Δ
G( n)
= exp −
⎜
⎝ 4
Large Eddy Simulation - III
E’ opportuno considerare l’effetto di diverse funzioni G sia nello spazio fisico delle coordinate x
che nel corrispondente spazio trasformato (di Fourier) dei numeri d’onda n.
•a) Filtro a scatola (“box”, o “top-hat”), definito nello spazio fisico x come:
G(x, y) = 1/Δ 3 se |x i -y i |≤Δ/2 (i=1, 2, 3) (23.a)
G(x, y) = 0 altrimenti (23.b)
•b) Filtro passa-basso (“sharp cutoff”), definito in modo naturale nello spazio n come:
G(n) = 1 se |n i |≤π/Δ (i=1, 2, 3) (24.a)
G(n) = 0 altrimenti (24.b)
c) Filtro gaussiano, definito nello spazio fisico x come:
3
e nello spazio trasformato n dei numeri d’onda come:
2 2
n
⎞
⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎦
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(25.a)
(25.b)
31

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Certosa di Pontignano, Siena, 4-10 Settembre 2005
Large Eddy Simulation - IV
Filtri spaziali alternativi nello spazio fisico, o di configurazione, x (a sinistra) e nello spazio
trasformato, o di Fourier, n (a destra).
Scatola
Passa
basso
Gaussiano
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
Il filtro gaussiano è l’unico a
rimanere della stessa forma anche
nello spazio n.
I filtri a scatola e passa-basso
possono considerarsi filtri duali se
visti rispettivamente nello spazio
fisico e nello spazio trasformato.
La larghezza Δ del filtro spaziale
andrebbe scelta entro il subrange
inerziale:
• Valori di Δ < η corrisponderebbero,
in pratica, alla simulazione diretta.
• Valori di Δ troppo elevati, prossimi
alle grandi scale L, lascerebbero
irrisolti gli effetti dei grandi vortici.
32

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Large Eddy Simulation - V
Procedura generale per ottenere equazioni costitutive nelle grandezze filtrate [Leonard 1974]:
• Scrivere Φ = 〈Φ〉 + Φ’ (Φ = grandezza generica u i , t, p …);
• Sostituire nella generica equazione;
• Filtrare l’equazione così ottenuta e sviluppare tenendo conto della linearità della funzione
filtro e della conseguente commutatività fra derivata e filtro.
I problemi nascono dai termini non lineari del tipo ΦΨ. Si tenga conto che, in generale:
〈Φ Ψ〉 =
〈 ( 〈Φ〉 + Φ’ ) ( 〈Ψ〉 + Ψ’ ) 〉 =
〈〈Φ〉〈Ψ〉 + 〈Φ〉 Ψ’ + Φ’ 〈Ψ〉 + Φ’Ψ’ 〉 =
〈〈Φ〉〈Ψ〉〉 + 〈 〈Φ〉Ψ’+ Φ’ 〈Ψ〉 〉 + 〈Φ’Ψ’〉 =
〈Φ〉 〈Ψ〉 + [ 〈 〈Φ〉〈Ψ〉〉- 〈Φ〉 〈Ψ〉 ] +
〈〈Φ〉Ψ’+ Φ’ 〈Ψ〉 〉 + 〈Φ’Ψ’〉
L ΦΨ C ΦΨ R ΦΨ
termini “di Leonard” termini “incrociati” termini “irrisolti”
Soltanto se L ΦΨ = C ΦΨ = 0, si ha semplicemente: 〈ΦΨ〉 = 〈Φ〉 〈Ψ〉 + 〈Φ’Ψ’〉
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(26)
33

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Large Eddy Simulation – VI
Qui e nel seguito, assumiamo che il fluido abbia proprietà costanti (in particolare, densità costante)
Filtraggio dell’equazione di continuità (1):
∂
u
i
∂x
i
= 0
Filtraggio della generica equazione della quantità di moto (2):
∂ ∂
∂ p ∂
⎡ ⎛ ∂ u ∂ u ⎞⎤
∂
∂ϑ
∂x
j
∂xi
∂x
j ⎢
⎣
⎜
⎝
∂x
j ∂xi
⎟
⎠
⎥
⎦
∂x
i
j
( ρ ui ) + ( ρ ui
u j ) = − + ⎢μ⎜
+ ⎟⎥
− τ ij
Questa è formalmente uguale all’equazione primitiva di Navier-Stokes (2), salvo che:
•le funzioni incognite sono velocità e pressione filtrate;
•compaiono al membro destro i gradienti degli sforzi addizionali τ ij che nascono dalla nonlinearità
dell’equazione (2):
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
j
(27)
(28)
τ ij ≡ρ( 〈u i u j 〉 - 〈u i 〉〈u j 〉 ) = ρ (L ij + C ij + R ij ) (29)
• termini di Leonard L ij = 〈 〈u i 〉〈u j 〉〉- 〈u i 〉〈u j 〉
• termini incrociati C ij = 〈 〈u i 〉 u j ’ 〉 - 〈 u i ’ 〈u j 〉〉
• termini irrisolti R ij = 〈 u i ’ u j ’ 〉
34

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Large Eddy Simulation - VII
a) I termini di Leonard L ij contengono solo grandezze filtrate (risolte) e non richiedono alcuna
modellazione di termini irrisolti.
b) I termini incrociati C ij contengono sia grandezze risolte che grandezze irrisolte.
Usando il filtro gaussiano, i termini incrociati possono approssimarsi come [Leonard 1974]:
C ij ≈ (Δ 2 /24) 〈u i 〉∇ 2 〈u j 〉 + (Δ 2 /24) 〈u j 〉∇ 2 〈u i 〉 (30)
c) I termini R ij costituiscono i veri e propri sforzi irrisolti e danno luogo al problema di chiusura
delle equazioni LES.
La distinzione fra termini di Leonard, incrociati e irrisolti fa sorgere complessi problemi di
coerenza e invarianza [Speziale 1985].
Alcuni autori preferiscono modellare globalmente i termini addizionali L ij + C ij + R ij , o almeno le
somme C ij + R ij , piuttosto che i soli termini irrisolti R ij .
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
35

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Large Eddy Simulation - VIII
Nell’ambito dei metodi di calcolo ai volumi finiti, una notevole semplificazione si realizza
se si identifica il filtro spaziale con la media su ciascun volume, comunque inerente al
metodo numerico. In tal caso:
• i termini di Leonard e incrociati vanno a zero;
• gli sforzi addizionali si riducono ai soli termini irrisolti Rij .
Tuttavia:
• le funzioni filtrate cessano di essere funzioni continue e restano definite solo nei
centroidi dei singoli volumi finiti;
• il metodo è applicabile rigorosamente solo a griglie cartesiane uniformi;
• si introduce una mutua dipendenza fra operazione di filtraggio spaziale e risoluzione
numerica, dipendenza che concettualmente non è necessaria.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
36

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⎡ 1 ⎤ ⎡ 1
⎢τ
ij − δ ijτ
kk ⎥ = −2μ
s ⎢ Sij − δ ij S kk
⎣ 3 ⎦ ⎣ 3
∂
∂ϑ
∂
∂x
∂p
∂x
∂
∂x
*
( ρ u ) + ( ρ u u ) = − + ⎢(
μ + μ )
i
j
i
j
Modelli “sub-grid” - I
I termini addizionali sono chiamati, per consolidata abitudine, termini “sub-grid”.
Tuttavia, una dizione più esatta sarebbe quella di termini “sub-filter” (v. ultimo commento);
concettualmente, la griglia di calcolo può essere diversa (in particolare, più fine) del filtro.
Filtro e griglia coincidono solo se si adotta la media su volumi finiti come filtro “implicito”.
I modelli più diffusi sono quelli “a viscosità sub-grid”, o “a diffusione per gradiente”, basati
sulla ipotesi di Bousinnesq:
i
j
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
in cui δ ij è il delta di Kronecker; il termine μ s è detto “viscosità sub-grid” ed è, in generale,
funzione di 〈S ij 〉 o altre variabili del moto, secondo una legge da definire.
L’ipotesi è basata sulla analogia fra sforzi irrisolti e sforzi a livello molecolare, cioè sull’idea
che i vortici turbolenti si muovano di moto diffusivo (browniano) come, su scala minore, le
molecole del fluido.
La generica equazione di Navier-Stokes filtrata (28) diviene:
s
⎛
⎜
∂ u
⎜ ∂x
⎝
∂ u j
+
∂x
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
i
j
i
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠
⎥
⎦
(31)
(32)
37

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Modelli “sub-grid” - II
Pressione efficace
Nei modelli a viscosità “sub-grid”, il termine (1/3)τ kk (con somma implicita), traccia del
tensore degli sforzi irrisolti o “sub-grid”, è conglobato nella pressione efficace p*.
Poiché k = ½ 〈u k ’u k ’〉 = ½ τ kk /ρ (somma implicita) è la energia cinetica irrisolta, si ha:
p* = 〈p〉 + (2/3)ρk (33)
L’uso della pressione efficace p* in luogo della pressione risolta 〈p〉 è di solito ininfluente.
Ovviamente, nei modelli in cui k viene esplicitamente calcolata, si può sempre recuperare
〈p〉 a partire da p* e k se lo si desidera.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
38

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Richiamo dimensionale: modello di Prandtl per μ t
U
a) Strato limite laminare
τ = - μ dU/dy
τ
U(y)
dU/dy
y
b) Strato limite turbolento
ΔU ~ l × (dU/dy)
ΔP ~ ρ l 2 ×ΔU ~ ρ l 3 (dU/dy)
F ~ ΔP/Δϑ ~ ρ l 3 (dU/dy) / Δϑ
Δϑ ~ l /u
F ~ ρ ul 2 (dU/dy)
τ ~ F/S ~ F /( l×1) ~ ρ ul(dU/dy)
τ = μ t (dU/dy)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
U
τ
U(y)
viscosità turbolenta μ t ~ ρ l u
u
l
y
39

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Espressione alternativa della viscosità turbolenta
U
τ
u
U(y)
l
y
μ t ~ ρ l u
μ t = ρ l 2 u/l
μ t = ρ l 2 ∂U / ∂y
μ t = ρ l 2 S
u/l ~ ∂U / ∂y
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
Generalizzazione 3-D:
∂U / ∂y → S = (2S ij S ij ) 1/2
(alternative sono possibili)
40

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Smagorinsky [1963]:
Modello sub-grid di Smagorinsky-Lilly
• scala di lunghezza l → ampiezza Δ del filtro (scala dei vortici irrisolti più energetici);
• scala del gradiente S → gradiente medio di velocità risolto 〈S〉 = ( 2 〈Sij 〉〈Sij 〉 ) 1/2
→ Viscosità “sub-grid”:
μ s = ρ (C s Δ) 2 ( 2 〈S ij 〉〈S ij 〉 ) 1/2 (34)
C s ≈ 0.2 per turbolenza isotropa [Lilly 1966]. Valori più bassi (~0.1) sono opportuni in presenza
di gradienti di velocità di grande scala (“shear flows”).
Per tenere conto dell’attenuazione delle scale turbolente in vicinanza di pareti solide, si può
moltiplicare C s Δ per un fattore di smorzamento f μ , ad es. nella forma di Van Driest [1956]:
f μ = 1-exp(-y + /A + ) (35)
• y + = distanza dalla parete espressa in “unità di parete” ν/u τ (u τ = velocità di attrito);
• A + = costante dell’ordine di 25.
Modelli di turbolenza
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41

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∂
∂ϑ
q
i
α
s
∂
∂
∂
( ρc
p t ) + ( ρc
p ui
t ) = λ − qi
= −ρc
μs
=
ρσ
p
s
α
∂x
s
i
∂
t
∂x
i
Trasporto sub-grid di calore
Manipolazioni simili a quelle descritte per le equazioni di Navier-Stokes (2) possono essere
ripetute per l’equazione del calore (3). Si ottiene così:
∂x
i
⎡
⎢
⎣
∂
t
∂x
i
⎤
⎥
⎦
∂x
i
I termini q i rappresentano flussi termici sub-grid e (a parte contributi misti del tipo di L ij e C ij )
sono dati dalla correlazione di velocità e temperature irrisolte:
qi = ρc
p ui
't'
La consueta ipotesi di diffusione per gradiente (Boussinesq) porta a:
〈 t 〉 = temperatura risolta, o filtrata;
α s = diffusività termica sub-grid. Questa si può assumere proporzionale alla viscosità sub-grid μ s :
La costante σ s è detta numero di Prandtl sub-grid. Valori molto diversi, da ∼0.25 a ∼0.85, sono stati
proposti come ottimali in letteratura per σ s [Ciofalo 1994].
(36)
(37)
(38)
(39)
Modelli di turbolenza
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42

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Esempi di Large Eddy Simulation - I
Moto in canale a sezione quadrata a Re δ ≈2200 [Breuer e Rodi 1994];
LES, modello sub-grid di Smagorinsky; griglia 62×41×41 (x×y×z).
Stesso problema studiato da Gavrilakis [1992] mediante DNS con griglia 1000×127×127.
• (a sinistra) vettori della velocità secondaria (v, w) nella sezione yz;
• (a destra) linee di livello della velocità secondo principale u nella stessa sezione.
Si noti la sostanziale coincidenza dei risultati con Gavrilakis [1992].
Benchè il modello non consenta di distinguere fra i tre sforzi normali sub-grid, pure la
ricircolazione legata all’anisotropia degli sforzi normali turbolenti totali è correttamente
predetta, perchè le strutture turbolente fino alla scala della griglia sono risolte.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
43

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Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
Gavrilakis 1992 (DS)
Grid 1000 × 127 × 127
Breuer & Rodi 1994 (LES)
Grid 62 × 41 × 41
44

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Esempi di Large Eddy Simulation - II
Distribuzione del numero di Nusselt locale sulle pareti della cella unitaria di uno scambiatore
di calore rigenerativo a geometria corrugata [Ciofalo et al. 1993].
Numero di Reynolds (basato sul diametro idraulico e la velocità media) ∼ 3900.
• In alto: distribuzione sperimentale; in basso: LES con il modello di Smagorinsky e σ s =0.5.
• Inserto: schema della configurazione geometrica di una cella unitaria.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
45

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Il modello dinamico si basa sull’idea di usare le minime scale risolte per modellare le scale
irrisolte. Il concetto risale a Bardina et al. [1980] e si basa sull’ipotesi di similarità di scala.
Accanto al consueto filtro griglia G ( Φ → 〈Φ〉 ) di ampiezza Δ G si introduce un filtro test
F ( Φ → {Φ} ) di ampiezza maggiore Δ F = γ Δ G (γ>1).
Si possono allora costruire i distinti sforzi residui σ ij e L ij :
Filtro test {〈u i 〉}
Filtro griglia 〈u i 〉
Scale irrisolte u i
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
L ij = { 〈u i 〉〈u j 〉 } - { 〈u i 〉 } { 〈u j 〉 }
σ ij = 〈u i u j 〉 - 〈u i 〉〈u j 〉
σ ij = sforzo sub-grid (incognito): scale irrisolte al di sotto del filtro griglia F = 〈〉;
L ij = sforzo sub-test (noto): scale risolte tra filtro test F e filtro griglia G = {}
Si può inoltre definire un terzo sforzo residuo:
T ij = { 〈u i u j 〉 } - { 〈u i 〉 } { 〈u j 〉 }
Modello sub-grid “dinamico” - I
equivalente di σ ij ma per il filtro composto FG = {〈〉}
Δ F
Δ G
46

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Modello sub-grid “dinamico” - II
Si dimostra, sulla base delle rispettive definizioni, che fra i tre sforzi residui σ ij , L ij e T ij
sussiste la seguente identità (identità di Germano):
L ij = T ij –{σ ij } (40)
Si supponga ora di esprimere sia σ ij che T ij usando il modello di Smagorinsky con la stessa
costante C S ma, ovviamente, scale filtro opportunamente diverse:
1 2
⎡ 1 ⎤
[ ρ(
CSΔ G ) S ] ⋅
⎢
Sij
− δij
S
⎣ 3 ⎥
⎦
⎡ ⎤
⎢σ
ij − δijσ
kk ⎥
= −2
kk
⎣ 3 ⎦
1 2
⎡ 1 ⎤
[ ρ(
CSΔ
F ) { S } ] ⋅
⎢{
Sij
} − ij{
S } ⎥⎦
⎡ ⎤
⎢
Tij − δijTkk
⎥
= −2
δ kk
⎣ 3 ⎦
⎣ 3
Sostituendo tali espressioni nell’identità sopra si ha per flussi incomprimibili:
in cui:
L ij = - 2 (C S Δ G ) 2 M ij
(41)
(42)
(43)
M ij = γ 2 {〈S〉} {〈S ij 〉} – {〈S〉 〈S ij 〉} (44)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
dove
e
S
=
2
S
{ S } = 2{
S }{ S }
ij
ij
S
ij
ij
47

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La (43) può scriversi:
2 1
CS = − ⋅ 2
2Δ
G
Modello sub-grid “dinamico” - III
L
M
ij
ij
Sia L ij che M ij contengono esclusivamente quantità risolte (filtrate a livello griglia); quindi, la
“costante” C S può ricavarsi - in linea di principio - localmente e istantaneamente !
La (45) vale - sempre in linea di principio – per ogni scelta degli indici i,j. Si potrebbe quindi
calcolare C S in molti modi diversi, e in teoria si dovrebbe ottenere lo stesso valore.
In un caso reale, ovviamente, si otterrebbero valori diversi di C S . Per utilizzare in modo
ottimale l’informazione contenuta nei termini L ij e M ij , é opportuno contrarre tensorialmente
numeratore e denominatore della (45) con un tensore del 2° ordine, ad es. con lo stesso M ij ,
ottenendo:
2 1 LklM
CS = − ⋅ 2
2Δ
M M
G
ij
kl
ij
(45)
(46)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
48

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Modello sub-grid “dinamico” - IV
In realtà, anche la (46), se scritta per il generico nodo di calcolo e per il generico istante, non
garantisce che C S 2 assuma valori positivi e si comporti in modo “smooth”.
Ne potrebbero derivare instabilità nella simulazione numerica.
Risultati migliori si ottengono se numeratore e denominatore della (46) vengono mediati su
direzioni omogenee (se esistono) e/o su un opportuno intervallo di tempo.
La (46) diventa allora:
2 1 LklM
CS = − ⋅ 2
2Δ
M M
G
ij
kl
ij
La media può anche essere effettuata lungo la traiettoria lagrangiana della particella fluida che
all’istante finale ϑ occupa il generico nodo di calcolo P. Si hanno allora i modelli sub-grid
dinamici lagrangiani.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(47)
49

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Modello sub-grid “dinamico” - V
Una trattazione analoga si può condurre per i flussi termici. Più precisamente, i flussi
termici turbolenti risolti (analoghi dei termini L ij ) sono:
q i = {〈u i 〉〈t〉} - {〈u i 〉 } {〈t〉} (48)
Procedendo come per gli sforzi, i flussi termici q i possono esprimersi come:
( C Δ )
2
qi = − S G
σ S
⋅
N
i
in cui il tensore del 1° ordine N i , analogo a M ij introdotto in precedenza per gli sforzi, è:
N
i
2
= γ
{ S }
∂
{ t }
∂x
i
−
⎧
⎨
⎩
S
∂
t
∂x
i
⎫
⎬
⎭
Contraendo ambo i membri della (50) con lo stesso tensore del 1° ordine N i e mediando
su direzioni omogenee, sul tempo o sulla traiettoria, si ha il numero di Prandtl sub-grid:
( C Δ )
N
N
(49)
(50)
2 k k
σ S = −
(51)
S G
Q jN
j
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
50

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Modello sub-grid “dinamico” - V
Riassumendo, l’ipotesi di similarità di scala alla base del modello “dinamico” consiste
nell’assumere che:
lo sforzo sub-grid σ ij dipende dal tensore velocità di deformazione a livello griglia 〈S ij 〉
come
lo sforzo sub-test L ij dipende dal tensore velocità di deformazione a livello test {〈S ij 〉}.
Analoghe ipotesi si fanno per i flussi termici turbolenti.
Il modello è stato applicato quasi sempre all’interno del formalismo di Smagorinsky,
dove esso consente la determinazione sia della “costante” C s che del numero di Prandtl
sub-grid σ s a partire dagli stessi risultati della simulazione.
Si ottiene così un modello per “large eddy simulation” del tutto privo di parametri
empirici !
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
51

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simulazione diretta,
129×91×129 nodi
LES – Smagorinsky,
33×65×41 nodi
Modello sub-grid “dinamico” – VI
esempio di applicazione
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
simulazione “diretta”,
33×65×41 nodi
LES - dinamico,
33×65×41 nodi
Media azimutale istantanea della vorticità azimutale ω ϑ in un getto turbolento circolare
[Fatica et al. 1994].
52

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• Modelli RANS
Parte 5 – Filtraggio temporale (RANS)
• Modelli a viscosità turbolenta
• Modelli algebrici della viscosità turbolenta
• Modelli differenziali della viscosità turbolenta
• Il modello k-ε
• Il modello RNG k-ε
• Trattamento della regione di parete nei modelli k-ε
• Funzioni di parete
• Modelli k-ε per basso numero di Reynolds
• Modello k-ω
• Modelli degli sforzi / flussi di Reynolds
• Modelli algebrici degli sforzi e flussi di Reynolds (ASM)
• Modelli differenziali degli sforzi e flussi di Reynolds (DSM)
• DSM : Modello di chiusura di Hanjaliç e Launder [1972]
Modelli di turbolenza
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53

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Modelli RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) - I
Questi modelli sono basati sul filtraggio temporale. In pratica l’unico filtro usato è la media di
lungo periodo. La generica grandezza turbolenta Φ risulta decomposta in:
•componente media, o risolta:
ϑ+
Θ
1
Φ(
x , ϑ) = lim ∫ Φ(
x,
ϑ'
) dϑ'
Θ→∞
Θ
•componente fluttuante, o irrisolta:
Φ'(
x, ϑ) = Φ(
x,
ϑ)
− Φ(
x,
ϑ)
ϑ
(52)
(53)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
54

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Modelli RANS - II
Tutti i modelli di turbolenza sviluppati a partire dalla decomposizione di Reynolds valgono,
a stretto rigore, solo sotto l’ipotesi di stazionarietà del moto (in senso statistico):
〈ϕ(x, ϑ)〉 = 〈ϕ(x)〉, ϕ’(x, ϑ) = ϕ(x, ϑ) - 〈ϕ(x)〉 (54)
La loro applicazione a problemi per cui non esista il limite nella (52) (transitori) è
concettualmente malferma e può dar luogo a errori.
Un modello RANS può usarsi in transitorio solo se le scale temporali del transitorio sono
nettamente separate dalle scale temporali delle fluttuazioni turbolente vere e proprie.
La ricerca su filtri temporali finiti è solo agli inizi e pochi lavori sono stati presentati
sull’argomento [Collins et al. 1998].
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
55

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∂
u
i
∂x
i
= 0
∂ ∂
∂ p ∂
⎡ ⎛ ∂ u ∂ u ⎞⎤
∂
∂ϑ
i
∂x
j
i j
∂xi
∂x
j ⎢
⎣
⎜
⎝
∂x
j ∂xi
⎟
⎠
⎥
⎦
∂x
∂
∂ϑ
i
j
( ρ u ) + ( ρ u u ) = − + ⎢μ⎜
+ ⎟⎥
− τ ij
∂
∂ ⎡ ∂ t ⎤ ∂
( ρc
p t ) + ( ρc
p ui
t ) = λ − qi
∂x
i
∂x
i
⎢
⎣
Modelli RANS - III
Le equazioni di continuità, quantità di moto e calore filtrate sono formalmente identiche a
quelle già ricavate per la LES:
∂x
i
⎥
⎦
∂x
i
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
j
(27) ripetuta
(28) ripetuta
(36) ripetuta
56

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Modelli RANS - IV
Se il filtro 〈⋅〉 coincide con la media di lungo periodo, i termini “di Leonard” e “incrociati”
sono identicamente nulli.
Sforzi e flussi aggiuntivi si riducono allora ai soli termini irrisolti (o di Reynolds):
τ ij = ρ 〈u i ’u j ’〉 (55)
q i = ρc p 〈u i ’t’〉 (56)
Come nel caso della LES, il problema della chiusura si riconduce ad esprimere i termini τ ij ,
q i in funzione di quantità medie (risolte).
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
57

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Modelli
Modelli RANS – V (classificazione)
a viscosità turbolenta
(a diffusione per gradiente/
del primo ordine)
degli sforzi di Reynolds
(del secondo ordine)
algebrici
a 1 equazione (trasporto di k)
a 2 equazioni
algebrici (ASM)
differenziali (RSM, DSM)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
Prandtl
von Karman
van Driest
Cebeci-Smith
Baldwin-Lomax
...
k-l
k-ω
k-ε
Standard
RNG
low-Re
...
58

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Modelli a viscosità turbolenta
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
59

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⎡ 1 ⎤ ⎡ 1
⎢τ
ij − δ ijτ
kk ⎥
= −2μ
t ⎢ Sij − δ ij S kk
⎣ 3 ⎦ ⎣ 3
q
i
α
t
= −ρc
μt
=
ρσ
t
p
α
t
∂
t
∂x
i
Modelli a viscosità turbolenta - I
Questi sono basati sulla ipotesi di diffusione turbolenta per gradiente della quantità di
moto e del calore (ipotesi di Boussinesq).
Formalmente le espressioni per gli sforzi e i flussi irrisolti sono identiche a quelle già
discusse per la LES , eq. (31) e (38)-(39):
μt αt σt ⎤
⎥
⎦
= viscosità turbolenta
= diffusività turbolenta del calore
= numero di Prandtl turbolento
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(57)
(58)
(59)
60

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∂
∂ϑ
∂
∂ϑ
∂
∂x
∂p
∂x
∂
∂x
*
( ρ u ) + ( ρ u u ) = − + ⎢(
μ + μ )
i
j
Modelli a viscosità turbolenta - II
Le corrispondenti equazioni mediate della quantità di moto e del calore diventano:
i
j
i
j
⎡
⎢
⎣
t
⎛
⎜
∂ u
⎜ ∂x
⎝
∂
∂ ⎡⎛
μ ⎞ ∂ ⎤
( ) ( ) ⎢ ⎜ t t
ρc
p t + ρc
p ui
t = λ + c p ⎟ ⎥
∂xi
∂xi
⎣⎝
σt
⎠ ∂xi
⎦
μ+μ t
∂ u j
+
∂x
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
i
j
i
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠
⎥
⎦
= viscosità efficace (effettiva, totale)
λ + c p μ t /σ t = conducibilità efficace (effettiva, totale)
(60)
(61)
61

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Modelli a viscosità turbolenta - III
Pressione efficace
Nei modelli a viscosità turbolenta, il termine (1/3)τ kk (somma implicita), traccia del tensore
degli sforzi turbolenti, è conglobato nella pressione efficace p*.
Poiché k = ½ 〈u k ’u k ’〉 = ½ τ kk /ρ (somma implicita) è la energia cinetica turbolenta, si ha:
p* = 〈p〉 + (2/3)ρk (62)
L’uso della pressione efficace p* in luogo della pressione termodinamica 〈p〉 è di solito
ininfluente.
Ovviamente, nei modelli in cui k viene esplicitamente calcolata, si può sempre recuperare
〈p〉 a partire da p* e k se lo si desidera.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
62

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Modelli algebrici della viscosità turbolenta - I
Gli argomenti dimensionali già esposti nel caso della LES (v. modello “sub-grid” di
Smagorinsky) consentono di esprimere formalmente la viscosità turbolenta μ t come:
densità × lunghezza × velocità
ovvero come:
densità × quadrato di una lunghezza × gradiente di velocità
Nei modelli algebrici, le quantità di cui sopra sono espresse come funzioni algebriche delle
grandezze risolte (medie, filtrate).
In problemi di strato limite (applicazioni aeronautiche, turbomacchine …) è naturale
prendere a riferimento il gradiente della velocità media principale 〈u〉 nella direzione
normale alla parete y. Si ha quindi:
μ t = ρ l 2 ⎢∂〈u〉/∂y ⎢ (63)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
63

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Modelli algebrici della viscosità turbolenta - II
La quantità l (lunghezza di miscelamento di Prandtl) può pensarsi come la scala locale dei
vortici turbolenti.
• Prandtl [~1920]: l = costante × distanza y dalla parete
• Von Karman [~1940]: l = costante × ⎢(∂〈u〉/∂y) / (∂ 2 〈u〉/∂y 2 )
• Van Driest [1956]: l = costante × y×(f μ ) 1/2
essendo f μ il fattore di smorzamento:
f μ = 1-exp(-y + /A + )
(A + ≈ 25) già citato nel contesto della LES.
Modelli di turbolenza
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64

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Modelli algebrici della viscosità turbolenta – III
Esempio: modello di Cebeci-Smith [1974]
μ t = ρ ( κ y f μ ) 2 ⎢∂〈u〉 / ∂y ⎢ ( y ≤ y c ) (64.a)
μ t = ρ K γ δ * u e ( y > y c ) (64.b)
La prima delle (52) vale nella regione interna, o di parete; qui κ ≈ 0.4 è la costante di Von
Karman, y è la distanza dalla parete e f μ è il fattore di smorzamento di Van Driest.
La seconda vale invece nella regione esterna; qui K ≈ 0.0168 è la costante di Clauser,
γ = [ 1 + 5.5 (y / δ) 6 ] - 1 è il cosiddetto fattore di intermittenza di Klebanoff, δ e δ * sono
rispettivamente gli spessori cinematici e della quantità di moto dello strato limite, e u e èla
velocità al margine dello strato limite. Il valore di y c è quello per il quale le due (64) danno
risultati coincidenti.
Sono state proposte varie estensioni e riformulazioni del modello di Cebeci-Smith, quali ad
esempio il modello di Baldwin-Lomax [1978]. Si veda Chima et al. [1993] per una recente
applicazione alle turbomacchine.
Modelli di turbolenza
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65

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Modelli differenziali della viscosità turbolenta - I
In questi modelli, la viscosità turbolenta μ t è calcolata dopo aver risolto opportune
equazioni differenziali di trasporto per una o più grandezze caratteristiche della turbolenza
(energia cinetica turbolenta, scala dei vortici, tasso di dissipazione …) equivalenti, in ultima
analisi, alle necessarie scale di lunghezza e velocità.
I consueti argomenti dimensionali danno
μ t ≈ρl k 1/2 (65)
La teoria di Kolmogorov della turbolenza permette di esprimere la scala di lunghezza l
caratteristica dei vortici turbolenti (generalizzazione della lunghezza di miscelamento di
Prandtl) come:
l = C μ k 3/2 /ε (66)
in cui C μ è una costante dell’ordine di 0.1 [Landau e Lifschitz 1959].
Dalle (65) e (66) si ricava la relazione di Prandtl-Kolmogorov per la viscosità turbolenta:
μ t = ρ C μ k 2 /ε (67)
Modelli di turbolenza
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66

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Modelli differenziali della viscosità turbolenta - II
Nei modelli differenziali, una equazione di trasporto riguarda invariabilmente l’energia
cinetica turbolenta k = ½ 〈u i ’u i ’〉.
Sono ora possibili due alternative:
• (modelli ad una equazione) l’unica equazione differenziale di trasporto riguarda l’energia
cinetica turbolenta k. La dissipazione ε in (67) o direttamente la scala di lunghezza l in (65)
sono invece assegnate algebricamente in funzione delle caratteristiche del moto medio.
Questi modelli hanno trovato in passato ampia applicazione nell’ambito di problemi di
strato limite, ma sono stati estesi, con espressioni più o meno ad hoc per l o ε, anche a
problemi più complessi implicanti separazione e ricircolazione [Thomas et al. 1981].
Valgono, sia pure in misura più ridotta, gli stessi limiti dei modelli puramente algebrici.
• (modelli a due equazioni) In questi, oltre a k, anche un secondo scalare viene calcolato
risolvendo un’equazione di trasporto. Tale scalare può essere la dissipazione ε, la scala di
lunghezza l ~k 3/2 /ε, la frequenza caratteristica ω ~ ε/k, o altre quantità a queste riconducibili.
Si ottiene così una maggiore generalità e una minore dipendenza da assunzioni empiriche,
a prezzo di una maggiore complessità e di un maggior onere computazionale.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
67

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Modelli differenziali della viscosità turbolenta - III
L’equazione di trasporto per una generica quantità Φ (k, ε, l, ω ecc.) esprime il bilancio
fra i termini di generazione, distruzione, convezione, diffusione e accumulo (variazione
temporale – vedi osservazioni sull’applicazione di modelli di turbolenza a problemi
transitori).
∂
∂ϑ
∂
∂
∂
∂x
∂Φ
⎞
∂x
⎟
⎠
( ) ( ) Φ Φ − +
Φ + u Φ = ⎜Γ
⎟ P D
⎛
⎜
⎝
i
xi j j
(68)
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
68

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∂
∂ϑ
∂
∂
∂
∂x
t
( ρk)
+ ( ρ u k)
= ⎜ μ ⎟ + P − ρε
i
2
∂
∂ ⎡⎛
μ ⎞ t ∂ε
⎤ ε ε
i = ⎢ μ ⎥ + C1
P − C2ρ
xi x ⎜ +
i ⎣ σ ⎟
∂
∂ ⎝ ⎠ ∂xi
⎦ k k
( ρε ) + ( ρ u ε )
i
∂
∂x
⎡⎛
μ ⎞ ∂k
⎤
⎢⎜
+ ⎥
⎣ σ ⎟
⎝ k ⎠ ∂xi
⎦
ϑ ε
i
Il modello k-ε - I
• Di gran lunga il modello di turbolenza di maggior successo.
• Inizialmente proposto dal gruppo dell’Imperial College di Londra [Launder e Spalding 1972].
• Evolutosi negli anni successivi in una vasta famiglia di varianti e generalizzazioni
[Mohammadi e Pironneau 1994].
Nella versione base, le equazioni di trasporto per k ed ε sono scritte come segue:
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(69)
(70)
69

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Il modello k-ε -II
Il tasso di produzione di energia cinetica turbolenta p.u.v. è dato dal prodotto del tensore
degli sforzi turbolenti per il tensore della velocità di deformazione media :
P = –τ ij 〈S ij 〉 = 2μ t 〈S ij 〉〈S ij 〉 (71)
(il segno - è necessario per tenere conto dell’orientamento opposto delle due quantità).
Termini addizionali sono necessari se la generazione di turbolenza non è dovuta solo allo
“shear” ma anche all’azione di forze di massa, ad es. la “buoyancy” [Ciofalo e Taibi 1992].
Valori “di consenso” delle costanti:
C μ =0.09; C 1 =1.44; C 2 =1.92; σ k =1; σ e =1.3
ottenuti con considerazioni asintotiche + confronto con risultati sperimentali o soluzioni
esatte per un insieme molto vasto di problemi.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
70

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Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
Il modello k-ε - III
Esempio di applicazione
Cross-flow rispetto a un fascio
di tubi fra piastre piane parallele.
Sono presenti alette a 45° come
promotori di turbolenza.
Codice di calcolo usato : CFX4
(volumi finiti).
• L’energia cinetica turbolenta k
assume i valori più elevati nelle
regioni di elevato gradiente di
velocità (“shear rate”) per
effetto del termine di
generazione P = 2μ t 〈S ij 〉〈S ij 〉.
• La dissipazione ε è invece
massima nelle regioni di parete.
• La distribuzione della
viscosità turbolenta μ t è
conseguenza degli andamenti di
k ed ε; μ t tende a zero sulle
pareti solide.
71

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Il modello k-ε - IV
Validità e limiti
Nei trent’anni trascorsi dalla sua introduzione, il modello k-ε ha avuto un enorme successo
ed è oggi implementato in tutti i principali codici termofluidodinamici.
Il k-ε è probabilmente il miglior compromesso fra generalità, accuratezza dei risultati,
semplicità di implementazione e stabilità computazionale. Fra i limiti maggiori:
• si tratta comunque di un modello a viscosità turbolenta;
• è difficile coprire con un unico set di costanti l’intero arco dei problemi di turbolenza.
Alcuni problemi sono impossibili da eliminare con semplici aggiustamenti; fra questi, la
impossibilità di predire correttamente moti secondari legati alla anisotropia degli sforzi
turbolenti normali.
Altri problemi ben noti includono la sistematica sottostima della lunghezza di riattacco in
flussi separati (ad esempio nel classico problema del gradino rivolto a valle) e la sistematica
sovrastima del tasso di dispersione laterale di getti fluidi.
Problemi di questo tipo sembrano legati ad una insoddisfacente modellazione del termine di
produzione di ε nell’Eq. (58). Sono state proposte numerose correzioni al modello base,
molte delle quali si riducono a sostituire la costante C 1 con una funzione delle condizioni
locali del moto [Hanjaliç e Launder 1980; Chen e Kim 1987].
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
72

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C
1
= C
k
η =
ε
0
1
⎛ η ⎞
η
⎜
⎜1−
⎟
⎝ η0
−
⎠
3
1+
βη
P
μ
Il modello RNG k-ε - I
RNG = “Re-Normalization Group”.
Il modello ha radici nella complessa teoria del gruppo di rinormalizzazione [Yakhot e Orszag 1986].
Per fortuna, esso si riduce in pratica ad esprimere il fattore C 1 della eq. (70), che nel modello
standard è una costante pari a 1.44, come:
in cui il termine η èdefinito come:
Nel modello figurano le due nuove costanti β e η 0 , per le quali la teoria RNG fornisce valori di
~0.015 e ~4.4, rispettivamente.
La costante C 1 0 può assumersi pari alla costante C1 del modello standard (~1.44), mentre
modifiche minori rispetto ai valori standard sono usualmente adottate per le costanti C 2 e C μ .
(72)
(73)
Modelli di turbolenza
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73

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Il modello RNG k-ε - II
Esempio di applicazione
Separazione turbolenta su un ostacolo triangolare [Ciofalo e Palagonia 1996]:
La tabella riporta la lunghezza di riattacco a valle dell’ostacolo – normalizzata rispetto all’altezza
H - per tre diverse condizioni sperimentali di ingresso (“No BL”, “BL”, “Grid”). Sono inclusi:
• Risultati sperimentali LDA ottenuti in tunnel a vento presso il VKI;
• Predizioni ottenute usando
- il modello k-ε standard;
- il modello RNG k-ε;
- un modello di trasporto degli sforzi di Reynolds (DSM).
Modelli di turbolenza
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74

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Trattamento della regione di parete nei modelli k-ε
Le equazioni di trasporto di k ed ε (57) - (58) e la relazione di Prandtl-Kolmogorov (55) non
sono valide nelle regioni di parete, ed in particolare nel substrato viscoso/conduttivo.
Al problema sono state date due soluzioni radicalmente alternative:
• funzioni di parete;
• modelli a basso numero di Reynolds.
Modelli di turbolenza
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75

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Funzioni di parete - I
Le funzioni di parete traducono le classiche soluzioni approssimate per strati limite
turbolenti in equilibrio [Hinze 1975; Arpaci e Larsen 1984].
In prossimità di pareti solide esista un substrato viscoso/conduttivo in cui lo scambio di
quantità di moto, calore o altri scalari è controllato dalle rispettive diffusività molecolari e i
profili di velocità e temperatura sono funzioni lineari della distanza y dalla parete.
Tale strato è seguito da una regione esterna dello strato limite, caratterizzata da significativi
livelli di turbolenza e da profili che variano logaritmicamente con y.
Usando le cosiddette “scale interne” di parete:
• u τ =(τ w /ρ) 1/2 scala di velocità;
• ν/uτ scala di lunghezza;
• qw /(ρcpuτ ) scala di temperatura
restano definite le variabili adimensionali y + =yu τ /ν, u + =u/u τ , t + =(t-t w )ρc p u τ /q w che si assume
seguano certi “profili universali”.
Modelli di turbolenza
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76

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Funzioni di parete - II
Nel caso di pareti lisce, i profili “universali” di velocità sono:
u + = y + (y + ≤ y v + ) (74.a)
u + =(1/κ) ln(Ey + ) (y + > y v + ) (74.b)
• κ ≈ 0.42 è detta costante di von Karman;
• y v + ≈ 11 è lo spessore adimensionale del substrato viscoso;
• la costante E si ottiene raccordando i due profili (74) per y + = y +
v e risulta pari a ∼9.8.
50
y+
40
30
20
10
0
substrato viscoso
0 2 4 6 8 10 12 14 16
u+
Modelli di turbolenza
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77

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Funzioni di parete - III
I corrispondenti profili “universali” di temperatura sono:
t + = σ y + (y + ≤ y t + ) (75.a)
t + = (1/κ) ln(Fy + ) (y + > y t + ) (75.b)
• σ è il numero di Prandtl c p μ/λ;
• y t + (spessore adimensionale del substrato conduttivo) e la costante F dipendono in modo
complesso da σ [Jayatilleke 1969].
Le espressioni riportate vanno opportunamente modificate nel caso di pareti rugose.
Modelli di turbolenza
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78

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Funzioni di parete - IV
Si supponga per un momento nota la velocità u P parallela ad una parete solida in un nodo P
posto a distanza y P dalla parete stessa.
Le Eq. (74) possono allora riscriversi come equazioni in u τ :
u τ = (ν u P /y P ) 1/2 se u P y P ≤ν(y v + )2 (76.a)
u τ = κu P /ln(Ey P u τ /ν) se u P y P > ν(y v + )2 (76.b)
dalle quali può ricavarsi la velocità di attrito e quindi lo sforzo tangenziale di parete τ w = ρu τ 2 .
Se è verificata la condizione
y P + > yv + ≈11 (77)
sulla minima distanza dei nodi dalla parete, varrà la seconda delle (76), che è un’equazione
trascendente da risolversi iterativamente.
La relazione fra τ w e u P che si viene così a determinare sostituisce la relazione viscosa (74.a),
che può anche scriversi τ w = μu P /y P e traduce, nel caso di moto laminare o di nodi P ricadenti
nel substrato viscoso, la condizione di non-scorrimento (“no-slip”).
Considerazioni simili valgono per la relazione tra flusso termico di parete q w e temperatura t P .
Modelli di turbolenza
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79

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Funzioni di parete - V
In realtà, sia la velocità u P in P che il corrispondente sforzo tangenziale di parete τ w saranno
in generale incognite del problema complessivo termofluidodinamico.
La relazione non lineare fra τ w e u P espressa dalla (76.b) è poco adatta ad una soluzione
numerica, e obbligherebbe in pratica a ricorrere a tecniche di correzione ritardata (“deferred
correction”), in cui lo sforzo di parete all’iterazione generica verrebbe calcolato sulla base
della velocità all’iterazione precedente.
La difficoltà viene superata se si adotta come scala di velocità per la formulazione di profili
“universali” non la velocità di attrito u τ , ma la velocità fluttuante quadratica media nel nodo
P, k P 1/2 [Launder e Spalding 1974].
Apparentemente tale scelta è infelice perché fa dipendere una scala “universale” dalla
posizione di un nodo di griglia. La giustificazione risiede nel fatto che, negli strati limite in
equilibrio, esiste una regione abbastanza estesa (y + ≈ 20 - 60) in cui k si mantiene prossima a
τ w /(ρC μ 1/2 ).
Quindi, purchè il nodo P giaccia in tale regione,
sono scale equivalenti.
u τ =(τ w /ρ) 1/2 ÷ u * =C μ 1/4 kP 1/2
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
80

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Funzioni di parete - VI
I “profili universali” (74) vengono formalmente conservati, ma le quantità adimensionali y + , u +
vengono ridefinite come y + =yu * /ν, u + =uu * /(τ w /ρ), t + =(t-t w )ρc p u * /q w .
La relazione fra sforzo tangenziale di parete e velocità in P diviene:
τ w = [μ/y P ] u P se y P u * /ν≤y v + (78.a)
τ w = [ρκ u * /ln(Ey P u * /ν)] u P se y P u * /ν > y v + (78.b)
ed è quindi una relazione formalmente lineare anche se P giace nella regione logaritmica
(esterna) dello strato di parete.
Ciò semplifica grandemente la risoluzione numerica del sistema di equazioni algebriche che
traducono in forma discreta le equazioni di Navier-Stokes.
In modo analogo può ricavarsi la relazione intercorrente tra flusso termico di parete,
temperatura di parete e temperatura nel nodo P.
La trattazione si può estendere facilmente ad altri scalari passivi (ad esempio, concentrazioni).
Questo metodo è oggi usato nella maggioranza dei codici di calcolo basati sul modello k-ε o su
modelli simili.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
81

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Funzioni di parete – VII
L’uso di “funzioni di parete” e “profili universali” in problemi diversi dai semplici strati limite in
equilibrio locale (gradienti avversi di pressione; variazioni di sezione; moti complessi
tridimensionali) è discutibile.
Il problema più critico riguarda i moti con separazione e ricircolo, e in particolare le regioni di
riattacco di “shear layers” separati.
In tali regioni lo sforzo tangenziale di parete e la velocità media parallela alla parete si
annullano, mentre le velocità fluttuanti e l’energia cinetica turbolenta raggiungono valori elevati,
associati spesso a massimi locali del coefficiente di scambio termico.
In tali regioni, ovviamente, sia u τ che u * sono scale inadeguate dei profili di velocità.
Sono state quindi proposte in letteratura svariate modifiche e generalizzazioni del modello base
sopra descritto [Chieng e Launder 1980; Ciofalo e Collins 1989; Cruz e Silva-Freire 1998].
Sono state proposte anche funzioni di parete più complesse, basate su modelli a tre o più
regioni dello strato di parete.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
82

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Funzioni di parete - VIII
Esempio: numero di Nusselt locale Nu
sulla parete che segue un gradino
rivolto a valle [Ciofalo e Collins 1989]
Re=28,000
Numero di Reynolds Re e numero di
Nusselt Nu sono basati sull’altezza del
gradino.
• simboli: dati sperimentali [Vogel e Eaton 1985];
• curva “a”: modello k-ε con funzioni di parete standard;
• curva “b”: modello k-ε con funzioni di parete modificate
Ascissa = distanza dal gradino normalizzata rispetto alla lunghezza di riattacco.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(a)
(b)
Riattacco
Le funzioni di parete standard portano ad una grave sottostima del picco di Nu in
corrispondenza del riattacco (x * =0). Le predizioni migliorano usando funzioni modificate
che tengono conto della differenza fra l’intensità locale della turbolenza nella regione di
parete e l’intensità in uno strato limite in equilibrio.
83

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Modelli k-ε per basso numero di Reynolds - I
Questi modelli hanno la carateristica di rimanere validi anche in regioni a bassa intensità della
turbolenza, in particolare nelle regioni di parete. Essi sono quindi alternativi al metodo delle
“funzioni di parete”.
La relazione di Prandtl-Kolmogorov (67) viene riscritta come:
μ t = ρ f μ C μ k 2 /ε (79)
In cui il fattore di smorzamento f μ tiene conto della attenuazione delle scale della turbolenza in
prossimità di pareti solide.
L’equazione di trasporto per la dissipazione ε (70) viene riformulata usando la variabile ausiliaria
ε * = ε−D, e può scriversi ora come:
∂
∂ϑ
⎡
* ⎤ *
* 2
∂ * ∂ ⎛ μt
⎞ ∂ε
ε
ε
( ρε ) + ( ρ u ε ) = ⎢⎜μ
+ ⎟ ⎥ + f C G − f C ρ + ρE
*
i
x x ⎜ ⎟ 1 1 2 2
(80)
∂ i ∂ i ⎢⎣
⎝ σε
⎠ ∂xi
⎥⎦
k
k
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
84

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Modelli k-ε per basso numero di Reynolds - II
Le diverse versioni del modello k-ε per basso numero di Reynolds presentate in
letteratura differiscono per la forma delle funzioni f 1 , f 2 , f m , D ed E.
In tutti i modelli il substrato viscoso e conduttivo può e deve essere esplicitamente
risolto dalla griglia di calcolo.
Le condizioni al contorno di parete sulla velocità sono quelle di “no slip”:
τ w = μu P /y P
Possibili condizioni al contorno di parete per k ed ε (o meglio, ε * ) sono le semplici:
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(81)
k w =0 (82)
ε * w =0 (83)
85

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Modelli k-ε per basso numero di Reynolds - III
Le funzioni f 1 , f 2 , f μ , D ed E sono qui riassunte per i modelli di Lam-Bremhorst [1981], Launder-
Sharma [1974], Nagano-Hishida [1987].
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
I numeri di Reynolds R t , R k in f 2 ed
f μ sono definiti come:
R t = k 2 / (νε) (84)
R k = k 1/2 y / ν (85)
(y=distanza dalla più vicina parete).
La coordinata adimensionale y + è
definita al solito come y + = yu τ /ν.
86

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Modelli k-ε per basso numero di Reynolds - IV
Esistono in letteratura numerosi confronti fra modelli “low-Re” [Patel et al. 1985].
In problemi complessi e 3D varie considerazioni (robustezza, facilità di implementazione,
tempo di CPU) possono diventare determinanti oltre alla accuratezza.
Nell’esperienza dell’autore, buoni risultati sono stati ottenuti usando i modelli di Lam-
Bremhorst [1981] e Launder-Sharma [1974].
Esempio: numero di Nusselt nello scambio
termico fra aria in convezione forzata e una
parete piana orizzontale in presenza di una
seconda parete verticale recante nervature
trasversali (Re ≈ 10,000).
schema
risultati sperimentali con TLC [Tanda et al. 1995]
predizioni del modello di Launder e Sharma
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
87

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Modello k-ω
Il modello risale agli studi di Kolmogorov ma è di solito utilizzato nella forma proposta da Wilcox
(1988). In esso, oltre all’energia cinetica turbolenta k, viene calcolata risolvendo un’equazione di
trasporto la frequenza caratteristica della turbolenza ω, che può assumersi proporzionale al
rapporto ε/k (inverso della durata caratteristica delle strutture turbolente, ovvero del tempo che
intercorre fra la loro produzione e la loro dissipazione). La frequenza ω congloba il fattore C μ .
Le equazioni di trasporto di k e ω sono:
∂
∂ϑ
∂
∂
t
( ρk)
+ ( ρ u k)
= ⎜ μ ⎟ + P − β 'ρkω
ρk
μt
=
ω
∂
∂x
i
∂
i
∂
∂x
i
⎡⎛
μ ⎞ ∂k
⎤
⎢⎜
+ ⎥
⎣ σ ⎟
⎝ k ⎠ ∂xi
⎦
⎡⎛
μ ⎞ ∂ω
⎤
⎢⎜
+ ⎥
⎣ σ ⎟
⎝ ⎠ ∂x
⎦
t
2
( ρω)
+ ( ρ u ω)
= ⎜ μ ⎟ + P − βρω
i
ϑ ∂xi
∂xi
ω i
∂
Come nel modello k-ε, il termine di produzione P è pari a –τij 〈Sij 〉 = 2μt 〈Sij 〉〈Sij 〉, eq. (71).
I valori suggeriti da Wilcox per le costanti sono β=0.075; β’=Cμ =0.09; σk =σω =2.
Del modello esistono diverse varianti, fra cui la SST (Shear Stress Transport) di Menter [1993].
88
5 ω
9 k
mentre l’equazione di Prandtl-Kolmogorov (67) è sostituita da:
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(86)
(87)
(88)

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Modelli degli sforzi / flussi di Reynolds
Modelli di turbolenza
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89

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Modelli algebrici (ASM) - I
Nei modelli algebrici degli sforzi / flussi di Reynolds (ASM, Algebraic Stress Models) k ed ε sono
ottenute (come nel modello k-ε) risolvendo equazioni di trasporto simili alle (69) - (70). Le 6
componenti indipendenti del tensore degli sforzi turbolenti τ ij sono poi calcolate come funzioni
algebriche del campo di moto medio oltre che di k ed ε.
Il modello “k-ε non-lineare” di Speziale [1987] si distingue dagli altri ASM per la profondità e la
generalità della sua base teorica.
In esso si assume che il tensore τ ij degli sforzi turbolenti possa esprimersi come funzione del
gradiente medio di velocità, della sua derivata temporale totale e degli scalari k ed ε (nonché, nel
caso di flussi comprimibili, della densità ρ):
⎡∂
uk
D ∂ uk
⎤
τ ij = F ⎢ ; ; k;
ε;
ρ⎥
⎣ ∂xl
Dt ∂xl
⎦
Il modello k-ε standard può pensarsi come la espansione in serie di Taylor della (77) troncata al
primo termine (modello lineare).
Speziale sviluppa invece la (89) fino al secondo termine, imponendo al modello certe proprietà
molto generali (l’invarianza rispetto al sistema di riferimento, positività di k, corretto
comportamento asintotico per rapida rotazione).
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(89)
90

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2
3
1 k
2 k ⎡ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1
τ ij − δijτ
kk = Cρ Sij
+ C ρ ⎢CD
⎜ Sim
Smj
− δij
S ⎟ + CE
⎜ Dij
− δij
D
2
kk
3 ε
ε ⎣ ⎝
3 ⎠ ⎝ 3
D
ij
Modelli algebrici (ASM) - II
Lo sviluppo della (89) conduce allora alla espressione di τ ij :
• 〈S ij 〉 = tensore della velocità di deformazione media
• 〈S〉 2 = invariante quadratico di 〈S ij 〉
• 〈D ij 〉 = derivata di Oldroyd di 〈S ij 〉, (operatore tensoriale comunemente usato negli studi sulla
reologia di fluidi non newtoniani), definita come:
⎡ ∂
∂ ⎤ ⎡∂
u ∂ u ⎤
i
j
= ⎢ Sij
+ uk
Sij
⎥ − ⎢ Skj
+ Ski
⎥
⎣∂ϑ
∂xk
⎦ ⎢ ∂x
∂ ⎥
⎣ k xk
⎦
Il primo termine della (78) coincide (per fluidi incomprimibili) con la consueta relazione di
Prandtl-Kolmogorov usata nei modelli a viscosità turbolenta purchè sia C=2C μ . I rimanenti
termini sono i contributi non-lineari.
Per entrambe le costanti C D , C E Speziale suggerisce il valore di 1.68.
Il modello k-ε non lineare consente la corretta predizione:
• dei moti secondari nel deflusso turbolento sviluppato in canali rettangolari;
• della lunghezza di riattacco in problemi con ricircolazione (gradino rivolto a valle).
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
(90)
(91)
91

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q
q
i
i
= −ρc
p
α
t
∂
∂x
k
= −ρc
pCq
ui
'u
j '
ε
t
i
Modelli algebrici (ASM) - III
Trasporto di entalpia e altri scalari
Nell’ambito dei modelli ASM, la ipotesi di Boussinesq di diffusione per gradiente, eq. (38):
∂
t
∂x
j
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(38) ripetuta
può coerentemente essere sostituita dalla cosiddetta ipotesi di diffusione per gradiente
generalizzata, che può scriversi:
in cui la diffusività scalare α t è sostituita dalla grandezza tensoriale C q (k/ε) 〈u i ’u j ’〉.
La costante C q è generalmente assunta dell’ordine di 0.3 [Daly e Harlow 1970].
La (92) può utilizzarsi al posto della più semplice (38) anche nel contesto di modelli a
viscosità turbolenta come il k-ε, esprimendo ovviamente i momenti di secondo ordine delle
velocità fluttuanti come 2(μ t /ρ)〈S ij 〉. Ciò consente di modellare flussi termici turbolenti non
allineati con il gradiente medio di temperatura.
(92)
92

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Modelli differenziali (DSM) - I
Generalità
I modelli differenziali degli sforzi / flussi di Reynolds (DSM, Differential Stress Models, o
RSM, Reynolds Stress Models) sono basati su equazioni di trasporto separate per le sei
componenti indipendenti del tensore degli sforzi turbolenti τ ij = ρ 〈u i ’u j ’〉.
Nei problemi di scambio di calore (e, in generale, di trasporto di scalari) si scrivono
equazioni di trasporto anche per le tre componenti del vettore flusso termico turbolento
q i = ρc p 〈u i ’t’〉.
Un’equazione di trasporto formalmente esatta per 〈u i ’u j ’〉 si può costruire a partire dalle
equazioni di Navier-Stokes (2):
• sostituendo ui = 〈ui 〉 + ui ’ ecc.;
• moltiplicando la i-esima equazione per uj ’e la j-esima per ui ’;
• sommando;
• mediando rispetto al tempo.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
93

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Per fluidi incomprimibili si ottiene, tenendo conto della proprietà della media temporale:
〈〈u i 〉〈u j 〉〉 - 〈u i 〉〈u j 〉 = 0, 〈〈u i 〉 u j ’〉 - 〈u i ’〈u j 〉〉 = 0,
∂
+
'
i
u u
∂ϑ
'
j
+
u
Modelli differenziali (DSM) - II
Equazioni di trasporto degli sforzi di Reynolds
k
∂
'
i
u u
∂x
k
'
j
⎡
= −⎢
u
⎢
⎣
produzione distruzione
∂ ui
∂xk
+
' '
uiuk
∂ u j
∂xk
⎤
⎥ − 2ν
⎥
⎦
' '
∂u
∂u
i j
∂xk
∂xk
⎛ ' '
p'
⎞
⎜ ∂u
∂u
i j
+ ⎟
ρ ⎜ ∂x
∂ ⎟
⎝ j xi
⎠
⎡
∂
− ⎢ ' ' '
uiu
juk
∂xk
⎢
⎣
' '
∂ uiu
j
− ν
∂xk
+
p'
ρ
redistribuzione diffusione
(convenzione di Einstein - δ ij = delta di Kronecker).
'
j
u
'
k
' '
( δ u + δ u ) ⎥
⎥
Il sistema di 6 equazioni (93), unitamente alle equazioni di continuità e di Navier-Stokes per le
velocità medie, consentirebbe di ricavare le grandezze medie 〈u i 〉, 〈p〉 e i momenti 〈u i ’u j ’〉 se non
fosse per la (inevitabile) presenza di nuove incognite da modellare (problema di chiusura).
Si noti che i termini di accumulo, convezione e produzione (P ij ) contengono solo momenti del
primo e secondo ordine (medie e sforzi di Reynolds) e quindi non richiedono modellazione.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
jk
i
ik
j
⎤
⎦
(93)
94

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Modello DSM di Hanjaliç e Launder [1972] - I
Termine di distruzione
a) Termine di distruzione: assumendo che le scale dissipative del moto siano isotropiche,
questo si può modellare come:
'
∂u
∂u
i j 2
2ν
= δijε
∂x
∂x
3
k
'
k
Ciò equivale ad assumere che i termini di distruzione:
• agiscano solo sugli sforzi di Reynolds normali
• siano uguali nelle tre direzioni
• abbiano come somma il doppio della dissipazione ε
(il fattore 2 nasce dal fatto che la somma degli sforzi di Reynolds normali è - a meno della
densità - il doppio dell’energia cinetica turbolenta k).
L’introduzione di ε richiede, ovviamente, che sia aggiunta al sistema e risolta una
opportuna equazione di trasporto per tale variabile, simile a quella usata nei modelli k-ε, ma
opportunamente modificata per fare figurare esplicitamente i sei sforzi di Reynolds.
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(94)
95

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Certosa di Pontignano, Siena, 4-10 Settembre 2005
Modello DSM di Hanjaliç e Launder [1972] - II
Termine di diffusione
b) Termine di diffusione: la correlazione fra pressione e velocità fluttuanti viene trascurata.
L’unico termine da approssimare è allora la divergenza della correlazione tripla 〈u i ’u j ’u k ’〉.
Gli autori citati dimostrano che è lecito scrivere:
−
u
'
i
u
'
j
u
'
k
= c
s
k
⎡
⎢ '
uiu
ε ⎢
⎣
'
l
∂
u
j
∂x
u
l
k
+
u
'
j
u
'
l
∂x
∂x
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
∂
(c s = costante); il moltiplicatore k/ε può interpretarsi come la scala temporale delle strutture
turbolente responsabili della diffusione.
u
k
u
l
i
+
u
'
k
u
'
l
∂
u
i
u
l
j
⎤
⎥
⎥
⎦
(95)
96

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Modello DSM di Hanjaliç e Launder [1972] - III
Termine di redistribuzione
c) Termine di redistribuzione: nasce dalla correlazione fra le componenti fluttuanti di
pressione e gradiente di velocità e tende a ridurre la differenza fra i tre sforzi turbolenti
normali.
Sulla base degli studi di Chou [1945] e Rotta [1951], questo termine può esprimersi come
somma di tre contributi (Φ ij ) 1 , (Φ ij ) 2 , (Φ ij ) w :
• (Φ ij ) 1 è legato alla mutua interazione tra le velocità fluttuanti.
Possibile approssimazione semplice (C Φ1 ≈ 2.5 ~ 2.8):
ε ⎛ ' ' 2 ⎞
( Φij ) = −CΦ
⎜uiu
j − δijk
⎟
1 1
k ⎝ 3 ⎠
• (Φ ij ) 2 è legato all’interazione tra le velocità fluttuanti ed il gradiente di velocità medio.
Possibile approssimazione semplice:
⎛ 2 ⎞
( Φij ) = −γ⎜
Pij − δijP
⎟
2 ⎝ 3 ⎠
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(96)
(97)
(γ ≈0.6; P ij = termine di produzione di 〈u i ’u j ’〉, primo termine al LHS della (81); P=½P kk ).
97

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Modello DSM di Hanjaliç e Launder [1972] - IV
Termine di redistribuzione (cont.)
• (Φ ij ) w è il cosiddetto “termine di riflessione” che modella il contributo di pareti solide alla
anisotropia delle tensioni normali. Possibile approssimazione semplice:
⎡ ε ⎛ ' ' 2 ⎞
( Φ ) = ⎜ u u − δ k ⎟ + C ( P − B )
ij
w
⎢
⎣
C1w i j ij 2w
ij ij
k
⎝
(C 1w ≈0.125, C 2w ≈0.015). P ij definito sopra. B ij definito come:
B
ij
⎡
= −⎢
u
⎢⎣
'
j
u
'
k
∂
u
∂x
k
i
+
u
'
i
u
3
'
k
∂
u
∂x
essendo y la distanza dalla più vicina parete solida.
⎠
k
j
⎤
⎥
⎥⎦
3/
2
⎤ k
⎥
⎦ εy
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
(98)
(99)
98

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Modello DSM di Hanjaliç e Launder [1972] - V
Equazione risultante di trasporto degli sforzi di Reynolds in forma chiusa
Tenendo conto delle varie espressioni approssimate descritte sopra, l’equazione di trasporto
del generico sforzo di Reynolds 〈u i ’u j ’〉 può scriversi infine nella forma chiusa:
∂
− C
− c
'
i
u u
∂ϑ
Φ1
s
'
j
∂
∂x
+
ε ⎛ '
⎜uiu
k ⎝
k
u
k
'
j
−
∂
k
⎡
⎢ '
uiu
ε ⎢
⎣
'
l
'
i
u u
∂x
2
3
δ
∂
k
ij
'
j
⎞ ⎛
k ⎟ − γ⎜
P
⎠ ⎝
u
j
∂x
⎡
= −⎢
u
⎢
⎣
u
l
k
+
ij
'
j
u
u
−
'
j
'
k
2
3
u
'
l
∂
δ
∂x
ij
∂
u
i
k
⎞ ⎡
P⎟
+ ⎢C
⎠ ⎣
u
k
∂x
u
l
+
i
+
'
i
u u
'
k
1w
u
ε
k
'
k
∂
⎛
⎜
⎝
u
∂x
'
l
u
( P − B )
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
k
'
i
∂
j
u u
⎤
⎥ −
⎥
⎦
'
j
u u
i
∂x
l
−
j
δ
⎤
⎥
⎥
⎦
δ
ij
ij
ε
⎞
k ⎟ + C
⎠
In essa figurano numerose costanti (C Φ1 , C Φ2 , C 1w , C 2w , γ, c s ) i cui valori, in ultima analisi, vanno
ottimizzati attraverso il confronto con risultati analitici, asintotici e sperimentali.
2
3
2
3
2w
ij
ij
3 / 2
⎤ k
⎥
⎦ εy
(100)
99

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∂
∂ϑ
Modello DSM di Hanjaliç e Launder [1972] - VI
Equazione di trasporto della dissipazione
L’energia cinetica turbolenta k è ovviamente esprimibile a partire dagli sforzi di Reynolds come
k = ½〈u i ’u i ’〉.
Per quanto riguarda la dissipazione ε, come si è accennato sopra essa va ottenuta da una
ulteriore equazione di trasporto analoga a quella utilizzata nei modelli k-ε.
Una possibile forma di tale equazione è:
∂
∂x
ε
k
∂
( ) ( ) ⎟ ' ' i
ρε + ρ u ε = −C
u u − C + C ⎜ ' '
u u
i
i
ε1
i
j
u
∂x
j
ε2
∂
∂x
Modelli di turbolenza
(Michele Ciofalo - Università degli Studi di Palermo)
2
ε
k
ε
k
⎛
⎜
⎝
k
j
k ∂ε
ε ∂x
In questa figurano tre ulteriori costanti per le quali gli autori citati suggeriscono i valori
C ε1 =1.44, C ε2 =1.9, C ε =0.15.
j
⎞
⎠
(101)
100

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Modelli differenziali (DSM) - III
Esempio di applicazione
Campo di moto turbolento in un reattore cilindrico agitato senza setti frangiflutti [Ciofalo et al.
1996] con girante multipala a metà altezza.
• Simulazioni nel sistema di riferimento rotante della girante.
• Pareti esterne scorrevoli con appropriata velocità tangenziale.
• Opportuni termini per le forze inerziali (centrifuga e di Coriolis).
Risultati - profili radiali della velocità azimutale (mediata su 2π) a diverse quote:
Modello k-ε: i profili tendono a quelli di
moto rigido
Modello DSM (curve) e dati sperimentali
(simboli). Sono riportati anche i profili
sperimentale e calcolato del pelo libero.
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101

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Modelli differenziali (DSM) - IV
Vantaggi e svantaggi
I modelli di trasporto degli sforzi di Reynolds (modelli del secondo ordine DSM) danno luogo a
espressioni assai complesse e richiedono un grande numero di costanti di calibrazione.
Rispetto ai modelli k-ε, per problemi tridimensionali essi richiedono la soluzione di 6
equazioni di trasporto in luogo della singola equazione per k e sono quindi molto più
impegnativi in termini di memoria e di tempo di calcolo.
Poiché i termini diffusivi del modello k-ε a viscosità turbolenta sono sostituiti da termini non
diffusivi, questi modelli presentano spesso problemi di stabilità numerica. Pertanto, nei codici
di calcolo, la simulazione basata su modelli DSM viene spesso preceduta da un certo numero
di iterazioni preliminari in cui si usa un modello a viscosità turbolenta.
D’altra parte, i modelli del secondo ordine sono in grado, in linea di principio, di descrivere
correttamente problemi in cui la anisotropia degli sforzi di Reynolds e il mancato allineamento
fra i tensori degli sforzi turbolenti e della velocità di deformazione media giochino un ruolo.
Esempi spesso citati includono la predizione corretta della lunghezza di riattacco in flussi
separati, del tasso di allargamento di getti piani o circolari, della circolazione secondaria in
canali non circolari, e del campo di moto in problemi con rotazione (“swirl”).
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Conclusioni
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Conclusioni - I
La rassegna di modelli e applicazioni presentata basta appena a dare un’idea dello sforzo
teorico, sperimentale e computazionale finora dedicato alla modellazione della turbolenza.
Si sono completamente omessi importanti temi quali:
• turbolenza in fluidi comprimibili;
• turbolenza in convezione naturale;
• turbolenza in sistemi bifasici e polifasici.
Esistono tre grandi famiglie di metodi di simulazione di problemi di turbolenza:
• simulazioni dirette (DS, DNS);
• simulazioni RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), basate su medie temporali);
• simulazioni LES (Large-Eddy Simulation), basate sul filtraggio spaziale.
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Simulazioni dirette (DS, DNS):
Conclusioni - II
• Preziose come strumento di indagine sui meccanismi fondamentali della turbolenza.
• Si affiancano sempre più spesso alle ricerche sperimentali, rispetto alle quali offrono
l’enorme vantaggio di un accesso completo all’intero campo di moto e di temperatura.
• Praticamente inattuabili per valori del numero di Reynolds superiori a ∼10 4 e quindi
essenzialmente confinate a problemi transizionali e comunque a basso Re.
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Conclusioni - III
Simulazioni RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), basate su medie temporali:
• Storicamente le prime ad essere realizzate.
• Tuttora lo strumento più diffuso in applicazioni industriali.
• Grandi attese sollevate dai modelli RSM in parte deluse.
• Lunga vita per il modello k-ε, in una o nell’altra delle sue molteplici varianti.
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Conclusioni - IV
Simulazioni LES (Large-Eddy Simulation), basate sul filtraggio spaziale:
• Uscite ormai dagli anni ′80 dalla loro fase pionieristica.
• Hanno dimostrato ampiamente di poter diventare validi strumenti predittivi anche per
problemi complessi.
• La tendenza attuale è verso l’inclusione di modelli “sub-grid” per Large-Eddy
Simulation fra le opzioni standard dei più evoluti codici di calcolo termofluidodinamici.
• Modello più promettente: modello “dinamico”, che unisce la semplicità e stabilità dei
modelli a viscosità turbolenta alla generalità e all’assenza di parametri empirici.
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Avvertenze conclusive:
Conclusioni - V
• Qualsiasi modello di turbolenza è una approssimazione degli effetti che le scale
piccole e rapide del moto hanno sulle scale grandi e lentamente variabili, o
stazionarie.
• Scopo di un modello di turbolenza è la predizione del campo di moto medio, o
filtrato, piuttosto che la predizione delle grandezze turbolente in sé, ed è innanzitutto
su questa base che le valutazioni e i confronti andrebbero condotti.
• L’unico approccio rigoroso alla predizione delle grandezze turbolente fluttuanti,
della loro struttura spazio-temporale e dei loro parametri statistici rimane la
simulazione numerica diretta della turbolenza.
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LA PRESENTAZIONE E’ FINITA.
GRAZIE PER L’ATTENZIONE.
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Bibliografia
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