pdf1 - Economia
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354 15. Richiami di microeconomia<br />
Il primo studio fatto su questo tipo di lotteria (nel 1738) risale a Daniel<br />
Bernoulli il quale ne aveva studiato la versione in cui la vincita è xn =2 n .<br />
Il valore atteso della lotteria è<br />
E [X] =<br />
∞X<br />
i=1<br />
2 i<br />
µ i<br />
1<br />
=<br />
2<br />
∞X<br />
1=∞,<br />
e quindi Bernoulli concludeva che, in teoria, qualsiasi prezzo finito avrebbe<br />
reso la lotteria un gioco vantaggioso. Tuttavia la pratica gli dava torto.<br />
I marinai di S. Pietroburgo, che giocavano veramente a questo gioco, non<br />
erano disposti a pagare cifre troppo elevate per partecipare a questa lotteria.<br />
La risposta si trova proprio nella forma della funzione di utilità U (x).<br />
Mettiamoci nel caso di Bernoulli con xn =2n e supponiamo che l’utilità sia<br />
data dalla radice quadrata del suo argomento U (x) = √ x. In questo caso<br />
l’utilitàattesaè<br />
³ ´ i<br />
∞X √<br />
µ i<br />
1√2<br />
1 1 1 −<br />
U (x) = 2i =lim√<br />
2 i=∞ 2 1 −<br />
i=1<br />
1 √<br />
2<br />
=<br />
√ 2 −<br />
2<br />
√ =2. 414 2.<br />
2<br />
Ecco che, in questo caso, il paradosso si risolve perché un soggetto la cui<br />
utilità sia descritta da una radice quadrata non è disposto a pagare più di<br />
2.41 unità monetarie per partecipare al gioco.<br />
15.7 Il paradosso del quadrato magico<br />
Si definisce «magico» qualunque quadrato di dimensione n × n formato dai<br />
primi n 2 numerinaturalienelqualesianocostantilesommedituttele<br />
righe, di tutte le colonne e delle due diagonali 1 . Prendiamo, per semplicità,<br />
il più piccolo dei quadrati magici:<br />
4 9 2<br />
3 5 7<br />
8 1 6<br />
Il gioco che viene proposto su questo quadrato è il seguente: due giocatori<br />
estraggono a sorte un numero da una riga del quadrato a loro scelta e il<br />
1 Ricordo, per il lettore curioso, che la somma costante in un quadrato magico che<br />
contenga i primi n 2 numeri è data da n n 2 +1 /2.<br />
i=1