pdf1 - Economia

354 15. Richiami di microeconomia
Il primo studio fatto su questo tipo di lotteria (nel 1738) risale a Daniel
Bernoulli il quale ne aveva studiato la versione in cui la vincita è xn =2 n .
Il valore atteso della lotteria è
E [X] =
∞X
i=1
2 i
µ i
1
=
2
∞X
1=∞,
e quindi Bernoulli concludeva che, in teoria, qualsiasi prezzo finito avrebbe
reso la lotteria un gioco vantaggioso. Tuttavia la pratica gli dava torto.
I marinai di S. Pietroburgo, che giocavano veramente a questo gioco, non
erano disposti a pagare cifre troppo elevate per partecipare a questa lotteria.
La risposta si trova proprio nella forma della funzione di utilità U (x).
Mettiamoci nel caso di Bernoulli con xn =2n e supponiamo che l’utilità sia
data dalla radice quadrata del suo argomento U (x) = √ x. In questo caso
l’utilitàattesaè
³ ´ i
∞X √
µ i
1√2
1 1 1 −
U (x) = 2i =lim√
2 i=∞ 2 1 −
i=1
1 √
2
=
√ 2 −
2
√ =2. 414 2.
2
Ecco che, in questo caso, il paradosso si risolve perché un soggetto la cui
utilità sia descritta da una radice quadrata non è disposto a pagare più di
2.41 unità monetarie per partecipare al gioco.
15.7 Il paradosso del quadrato magico
Si definisce «magico» qualunque quadrato di dimensione n × n formato dai
primi n 2 numerinaturalienelqualesianocostantilesommedituttele
righe, di tutte le colonne e delle due diagonali 1 . Prendiamo, per semplicità,
il più piccolo dei quadrati magici:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Il gioco che viene proposto su questo quadrato è il seguente: due giocatori
estraggono a sorte un numero da una riga del quadrato a loro scelta e il
1 Ricordo, per il lettore curioso, che la somma costante in un quadrato magico che
contenga i primi n 2 numeri è data da n n 2 +1 /2.
i=1