pdf1 - Economia
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350 15. Richiami di microeconomia<br />
Teorema 15.2.1 (dell’utilità attesa) Se le preferenze sulle lotterie sono<br />
razionali (cioè complete, riflessive e transitive), continue e soddisfano l’assioma<br />
di indipendenza, alloraesisteunasolafunzionediutilitàcontinua<br />
U : R n + → R (a meno di una trasformazione affine crescente) tale che<br />
S1 º S2 ⇔<br />
nX<br />
πjU (S1,j) ≥<br />
j=1<br />
nX<br />
πjU (S2,j) .<br />
Che cos’è l’assioma di indipendenza (esso è anche detto «assioma di<br />
indipendenza dalle alternative irrilevanti»)? La definizione è quella<br />
che segue.<br />
Assioma 15.2.1 (indipendenza dalle alternative irrilevanti) Dati<br />
tre titoli S1, S2 e S3 eunnumerorealeα ∈ (0, 1) vale<br />
j=1<br />
S1 % S2 ⇔ αS1 +(1− α) S3 % αS2 +(1− α) S3.<br />
Questo assioma chiede che un soggetto basi le sue scelte solo sulle parti<br />
diverse di due lotterie. Nei seguenti paragrafi mostro alcuni importanti<br />
risultati riguardanti l’attendibilità dell’assioma dell’indipendenza.<br />
15.3 Il paradosso di Allais<br />
Allais propose a Von-Neumann e Morgenstern il seguente gioco per mettere<br />
alla prova la loro teoria dell’utilità attesa. Si considerino queste due lotterie:<br />
½ ½<br />
A1 =1<br />
B1 =5 B2 =1 B3 =0<br />
A =<br />
B =<br />
π1 =1<br />
π1 =0.1 π2 =0.89 π3 =0.01<br />
quale si sceglie?<br />
Secondo la teoria dell’utilità attesa si preferisce A rispetto a B se vale<br />
A % B ⇔ U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.89U (1) + 0.01U (0)<br />
⇔ 0.11U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.01U (0) .