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350 15. Richiami di microeconomia Teorema 15.2.1 (dell’utilità attesa) Se le preferenze sulle lotterie sono razionali (cioè complete, riflessive e transitive), continue e soddisfano l’assioma di indipendenza, alloraesisteunasolafunzionediutilitàcontinua U : R n + → R (a meno di una trasformazione affine crescente) tale che S1 º S2 ⇔ nX πjU (S1,j) ≥ j=1 nX πjU (S2,j) . Che cos’è l’assioma di indipendenza (esso è anche detto «assioma di indipendenza dalle alternative irrilevanti»)? La definizione è quella che segue. Assioma 15.2.1 (indipendenza dalle alternative irrilevanti) Dati tre titoli S1, S2 e S3 eunnumerorealeα ∈ (0, 1) vale j=1 S1 % S2 ⇔ αS1 +(1− α) S3 % αS2 +(1− α) S3. Questo assioma chiede che un soggetto basi le sue scelte solo sulle parti diverse di due lotterie. Nei seguenti paragrafi mostro alcuni importanti risultati riguardanti l’attendibilità dell’assioma dell’indipendenza. 15.3 Il paradosso di Allais Allais propose a Von-Neumann e Morgenstern il seguente gioco per mettere alla prova la loro teoria dell’utilità attesa. Si considerino queste due lotterie: ½ ½ A1 =1 B1 =5 B2 =1 B3 =0 A = B = π1 =1 π1 =0.1 π2 =0.89 π3 =0.01 quale si sceglie? Secondo la teoria dell’utilità attesa si preferisce A rispetto a B se vale A % B ⇔ U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.89U (1) + 0.01U (0) ⇔ 0.11U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.01U (0) .
15.3. Il paradosso di Allais 351 Il giocatore, poi, viene messo di fronte a un’altra scelta (questa volta tra due lotterie vere e proprie e non degeneri) ½ ½ A1 =1 A2 =0 D1 =5 D2 =0 C = D = π1 =0.11 π2 =0.89 π1 =0.1 π2 =0.9 da cui C è preferito a D se vale C % D ⇔ 0.11U (1) + 0.89U (0) ≥ 0.1U (5) + 0.9U (0) ⇔ 0.11U (1) ≥ 0.1U (5) + 0.01U (0) . La teoria dell’utilità attesa ci fa dunque concludere che la lotteria A è preferita a B seesoloselalotteriaC èpreferitaaD. Una tale scelta, tuttavia, non è molto comune. Infatti i soggetti sottoposti a esperimento tendono a scegliere A rispetto a B ma, posti di fronte a C e D, tendono a preferire D. Il principale problema che sorge nella percezione delle due coppie di lotterie si deve alla presenza di un guadagno certo nella prima. Questo altera significativamente il comportamento dei soggetti. La «certezza», infatti, risulta sempre assai preferita da coloro che sono avversi al rischio. Una possibile soluzione al paradosso di Allais è stata trovata indebolendo l’assioma di indipendenza. L’assioma che viene suggerito al suo posto è quello detto betweenness (che potremmo tradurre con «via di mezzo»). Assioma 15.3.1 (betweenness) Dati due titoli S1, S2 eunnumeroreale α ∈ (0, 1) vale S1 ∼ S2 ⇔ αS1 +(1− α) S2 ∼ S1. L’assioma richiede che, mischiando due lotterie indifferenti attraverso una combinazione lineare, si ottenga una lotteria anch’essa indifferente a quelle iniziali. Appare evidente come questo assioma sia un caso particolare di quello di indipendenza (basta porre z = y in quello e assumere x ∼ y). Tuttavia l’assioma dell’indipendenza non può essere tratto da quest’ultimo (il quale, evidentemente, pone delle condizioni meno restrittive). Vedremo successivamente come il meccanismo dei mercati finanziari possa contribuire a eliminare gli operatori le cui preferenze non rispettano l’assioma di indipendenza.
Page 1 and 2: Capitolo 15 Richiami di microeconom
Page 3: 15.2. Preferenze sui titoli-lotteri
Page 7 and 8: 15.6. Il paradosso di S. Pietroburg
Page 9: 15.8. I mercati finanziari: uno spr

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