Consigli di Meccanica Razionale - Dipartimento di Ingegneria e ...

2.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 29
QUIZ: Su un piano inclinato liscio, una
particella, ad esempio un dado, soggetta
solo al proprio peso non può stare ovviamente
in equilibrio. Eppure per lo
spostameno virtuale indicato in figura
è w ∗ = 0 a causa della perpendicolarità.
Dovremmo concludere che l’equilibrio
c’è: cosa non funziona in questa
conclusione?
Osservazione. Molti autori ritengono che per indicare una quantità piccola o addirittura
infinitesima si debba premettere alla stessa il simbolo δ. Così δW per il lavoro, δQ
per il calore, ecc. Questo non lo ha stabilito nessuno: la matematica denota gli infinitesimi
con ɛ, η, ecc. e non con δɛ, δη, ecc.
Il simbolo δ davanti al punto P è essenziale in quanto indica la variazione di posizione
del punto. Ma davanti a W non è necessario in quanto l’espressione δ W dovrebbe
indicare la variazione del lavoro cosa che non ha senso in quanto non esiste una funzione
la cui variazione esprima il lavoro compiuto. Semmai si tratta di un lavoro infinitesimo
e nessun libro di matematica insegna che una quantità infinitesima debba essere preceduta
dal δ ! Basti osservare che in matematica un infinitesimo viene indicato con uno dei
simboli ɛ, η, ω, ....
Per indicare che una quantità è infinitesima (piccola a piacere) o semplicemente piccola
è tradizionale usare una lettera minuscola. Così si può indicare cone W un lavoro
finito e con w un lavoro piccolo o, addirittura, infinitesimo.
L’asterisco serve per indicare che si tratta di lavoro virtuale, non effettivo. Ricordiamo
che in ottica l’immagine virtuale si indica con l’asterisco.
2.2.1 Lavoro virtuale
Se q k sono coordinate (anche non libere) atte ad individuare la configurazione del
sistema, il principio dei lavori virtuali per vincoli bilaterali diviene:
w ∗ =
N
i=1
Fi · δPi =
n
k=1
δB
B
p
Qk δq k = 0. (2.6)
Se le q k sono libere le δq k non sono arbitrarie 1 le δq k sono arbitrarie e ne viene:
Qk(q 1 , q 2 , ..., q n ) = 0 (k = 1, 2, . . . , n). (2.7)
1 Vedremo in cinematica che per un sistema anolonomo (vedi pagina 68) le variazioni delle
coordinate libere non sono arbitrarie: ne viene che l’espressione del lavoro virtuale che stiamo
ottenendo vale per un sistema olonomo.