Consigli di Meccanica Razionale - Dipartimento di Ingegneria e ...

1.2. SISTEMA MECCANICO 11
1.2.2 Coordinate libere
Per determinare la configurazione occorre fissare un sistema di riferimento e delle
coordinate. In linea di principio occorrerebbero le coordinate di tutti i punti del sistema:
ma l’esistenza di parti rigide diminuisce il numero di coordinate necessarie
per determinare la configurazione. Basti osservare che per individuare la configurazione
di un corpo rigido libero nello spazio, formato da un numero enorme di
molecole è sufficiente dare solamente 6 coordinate!
Definizione: si chiamano coordinate libere o lagrangiane o generalizzate
un insieme di variabili indipendenti sufficienti a definire la
configurazione di un sistema ad ogni istante. 4
Le coordinate libere si indicano con q k o con qk, essendo k = 1, 2, ..., n ed n il
numero dei gradi di libertà.
Osservazione. La posizione degli indici in alto è dovuta ad una convenzione generale
e non deve essere confusa con un esponente. Molti autori non se la sentono di mettere gli
indici in alto a motivo della possibile confusione con un esponente.
All’inizio di un problema occorre scegliere delle coordinate. Durante la fase
di impostazione del problema si può fare uso di coordinate sovrabbondanti ma
prima di iniziare la risoluzione sarà bene eliminare le coordinate sovrabbondanti
esprimendole in funzione delle coordinate libere mediante relazioni geometriche.
Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate libere sono in generale
espresse da equazioni non lineari: questo capita tutte le volte che si introducono
angoli. Ne viene che le coordinate libere introducono la non linearità nelle
equazioni della meccanica: si parla di non linearità geometriche.
Un’altra sorgente di non linearità sono le relazioni costitutive 5 cioè relazioni
fra le variabili statiche e dinamiche da una parte (quali forze, momenti, quantità
di moto, momenti delle quantità di moto, ecc.) e variabili geometriche e cinematiche
dall’altra (quali le coordinate, gli spostamenti, le velocità, le velocità angolari,
ecc.). Queste equazioni prendono il nome di costitutive perché precisano la
costituzione del sistema.
1.2.3 Spostamenti reali e virtuali
Definizione: si chiama spostamento virtuale del punto P e lo si indica
con δP, il vettore infinitesimo che congiunge la posizione occupata
4 Nocilla, p.122
5 Dette anche equazioni materiali o di comportamento.