Consigli di Meccanica Razionale - Dipartimento di Ingegneria e ...

Consigli di Meccanica Razionale
Enzo Tonti
3 dicembre 2009

Indice
1 INTRODUZIONE 7
1.1 Alcune semplici verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Forma tipica di un problema di meccanica . . . . . . . . . 8
1.1.2 Le principali leggi della meccanica . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Configurazione di un sistema meccanico . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Coordinate libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Spostamenti reali e virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Come scegliere gli assi cartesiani . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Come scegliere gli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Classificazione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Osservazioni sui vincoli fissi . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Classificazione delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 STATICA 27
2.1 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Come si calcola il lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Statica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Punto materiale libero nel piano . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Punto materiale vincolato ad una linea liscia . . . . . . . . 31
2.4 Statica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3

4 INDICE
2.4.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Corpo rigido con 1 grado di libertà (nel piano) . . . . . . 34
2.4.3 Corpo rigido con 2 gradi di libertà (nel piano) . . . . . . . 34
2.4.4 Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio . . . . . . . . 35
2.4.5 Corpo rigido con asse fisso (nello spazio) . . . . . . . . . 36
2.5 Statica dei sistemi articolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 Arco a tre cerniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.3 Reazioni interne nelle cerniere . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.4 Azioni interne nelle aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.5 Diagramma delle azioni interne . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Statica dei fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Sollecitazione continua dei fili . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.2 Osservazione sui fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.3 Statica dei fili appoggiati su superficie liscia . . . . . . . . 48
2.7 Determinazione del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Calcolo dei momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 CINEMATICA 57
3.0.1 Il tempo: istanti ed intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.0.2 Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.0.3 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Velocità e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 Sistema di coordinate e base fisica . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Componenti della velocità e della accelerazione . . . . . . 62
3.1.4 Come orientare la normale ad una curva piana . . . . . . . 63
3.1.5 Alcune grandezze in coordinate polari . . . . . . . . . . . 63
3.1.6 Moto centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1 Atto di moto rototraslatorio . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Vincoli anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Dinamica 71
4.0.1 Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . 71
4.0.2 Calcolo del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.0.3 Teorema dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.0.4 Integrale dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.0.5 Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia . . . 76

INDICE 5
4.0.6 Calcolo dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.0.7 Relazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . . . 78
4.0.8 Principio di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.0.9 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.0.10 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.0.11 Particella vincolata a una linea fissa e liscia . . . . . . . . 82
4.0.12 Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia . . 83
4.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.2 Rotolamento nel moto piano . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.3 L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica . . . . 86
4.1.4 Corpo rigido con un punto fisso . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.5 Corpo rigido libero nello spazio . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.6 Angoli nautici e angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Dinamica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.1 Consigli introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.2 Osservazione sulla velocità angolare nei problemi piani . . 91
4.2.3 Osservazione sugli esseri animati e sui motori . . . . . . . 92
4.2.4 Osservazioni sui fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.5 Conservazione delle quantità meccaniche . . . . . . . . . 93
4.2.6 Calcolo delle Qk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Fattore di amplificazione dinamica . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.3 Modi normali di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.4 Sistemi con massa variabile . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.5 Dinamica impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Meccanica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.1 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.2 Dinamica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.3 Dinamica relativa della particella . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.4 Dinamica relativa del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . 106
4.4.5 Dinamica relativa dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5 Unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6 Come limitare gli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Equazioni differenziali di uso frequente . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8 Equazione differenziale lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9 Terna intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.10 funzioni circolari e iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 INDICE
5 Esercizi risolti e commentati 117
5.1 Consigli per risolvere gli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.1 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.3 Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.4 Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.5 Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.6 Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2.7 commiato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A Programmi in Matlab 149
A.1 AAA01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2 AAA02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.3 AAA03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.4 AAA04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.5 AAA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.6 AAA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B RIMASUGLI 159
B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia . . . . . 159
B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra . . . . 160
C Sistemi di forze 163
C.1 Forze su corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C.1.1 Sistemi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C.1.2 Riduzione di un sistema di forze . . . . . . . . . . . . . . 163
C.1.3 Come varia il momento al variare del polo. . . . . . . . . 165
C.1.4 Proprietà del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.1.6 Casi particolari: forze piane . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.1.7 Casi particolari: forze parallele . . . . . . . . . . . . . . . 169
D Le diverse meccaniche 171
D.1 Le diverse meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
E Dizionario 173
E.1 bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Capitolo 1
INTRODUZIONE
1.1 Alcune semplici verità
Facendo gli esercizi si capisce la teoria, si mette in evidenza ciò che si credeva di
aver capito, si fissano le nozioni, si impara come utilizzarle.
Un proverbio dice che tra il dire ed il fare c’è di mezzo il mare. Questo
proverbio si tocca con mano facendo gli esercizi. Le nozioni apprese a lezione o
da un libro sembrano chiare ma al momento di metterle in pratica sono ... appelli
o sessioni d’esame che passano!
Da qui discende che teoria e problemi non devono essere separati nello studio
di una materia, e tanto meno i problemi devono essere affrontati senza aver prima
studiato la corrispondente teoria. Qualunque procedimento diverso si risolve in
una devastante perdita di tempo, spreco di fatica e, fatto non trascurabile, porta
all’oblio di tutto: formule, procedimenti e concetti, nel giro di poche settimane.
Lo studio ideale consiste delle seguenti fasi: posizione di alcuni problemi,
studio della teoria corrispondente ed infine risoluzione dei problemi mediante la
teoria appresa.
Uno dei peccati capitali dell’insegnamento sta nello spiegare una teoria senza
aver prima dato alcuni esempi di problemi che potranno essere risolti. E’ bene
partire facendo un elenco di esempi, facendosi molte domande, creando la necessità
di una teoria. Quello di iniziare una esposizione con la classica parola
Consideriamo ... è altamente sconsigliabile. E’ bene dare una panoramica delle
problematiche, esaminare una serie di esempi, stuzzicare la curiosità dell’allievo
mostrandogli dove si vuole arrivare, quello che si sarà in grado di fare a fine corso,
mostrando immagini o fotografie o oggetti sui quali ci si pongono domande.
7

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
1.1.1 Forma tipica di un problema di meccanica
Gli ingredienti della meccanica sono essenzialmente tre:
1. un sistema meccanico 1 .
2. le forze che agiscono sul sistema cercando di metterlo in moto.
3. i vincoli a cui è sottoposto il sistema che ne ostacolano il movimento.
Se il sistema meccanico permane nella stessa configurazione il problema è
di statica. Se il sistema evolve da una configurazione ad un’altra, cioè è in
movimento, il problema è di dinamica.
Le domande tipiche che si pongono in un problema di meccanica sono:
• determinare la configurazione di equilibrio del sistema;
• determinare le reazioni vincolari nella posizione di equilibrio;
• determinare le azioni interne nella configurazione di equilibrio;
• determinare il moto del sistema;
• determinare le reazioni vincolari durante il moto;
• determinare una forza che mantenga il sistema in una configurazione di
equilibrio prefissata;
• determinare una forza che mantenga il sistema in un moto prefissato;
• determinare il periodo delle piccole oscilazioni di un sistema ad un grado
di libertà;
• determinare le frequenze naturali di un sistema oscillante a più gradi di
libertà;
• determinare il tempo che il sistema impiega a raggiunge una data configurazione;
• determinare il punto in cui un corpo in moto si distacca dal vincolo.
I problemi della meccanica razionale, come quelli di tutta la fisica e della
scienza in genere, sono semplificazioni di problemi reali. Noi ci facciamo un
modello del fenomeno o del problema e a questo modello applichiamo le leggi
della meccanica per studiarne il comportamento. Il modello è una semplificazione
del problema reale. E qui vale il principio:
Per comprendere occorre semplificare;
ogni semplificazione ci allontana dalla realtà.
1 ♣ SONO STATO FEDELE? Ogni volta che useremo un termine non ancora presentato lo
porremo fra virgolette: nel seguito esso sarà esplicitamente definito.

1.1. ALCUNE SEMPLICI VERITÀ 9
Sarebbe però ridicolo ritenere inutile, ad esempio, la meccanica dei corpi rigidi
per il solo fatto che nessun corpo in natura è rigido. La schematizzazione di
un corpo come rigido costituisce una prima fase nello studio di un problema di
statica o di dinamica. Successivamente si potrà tener conto della sua deformabilità.
Altrimenti il problema sarebbe di difficile soluzione. Anche nelle materie
più pratiche, più aderenti alla realtà, come nella Scienza delle Costruzioni, nella
Meccanica Applicata, lo stadio di corpo rigido costituisce la prima fase di ogni
studio successivo.
1.1.2 Le principali leggi della meccanica
Per poter studiare la quiete o il moto di un sistema meccanico, note che siano le
forze che agiscono su di esso ed i vincoli a cui è sottoposto, occorrono delle leggi
che mettano in relazione le forze, che sono causa del moto, con le grandezze che
determinano la configurazione del sistema.
Attraverso esperienze secolari si sono progressivamente scoperte le leggi del
movimento. Di ciascuna di queste leggi sono stati indagati i limiti di validità, si
è costruito un tessuto razionale fra di esse in modo che esse siano deducibili da
pochi principi indotti dalle esperienze: l’esposizione organica di queste leggi e
delle loro conseguenze costituisce la meccanica razionale 2 .
statica:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
le equazioni cardinali della statica
il principio dei lavori virtuali
il teorema del minimo dell’energia potenziale
⎧
le equazioni cardinali della dinamica
l’equazione simbolica della dinamica
⎪⎨ il teorema dell’energia
dinamica:
le equazioni di Lagrange
le equazioni canoniche di Hamilton
⎪⎩
l’equazione di Hamilton-Jacobi.
Degli ultimi due metodi non parleremo in questa dispensa in quanto sono
solitamente al di fuori di un corso di Meccanica Razionale.
Alla base di queste relazioni stanno i tre principi fondamentali dovuti a New-
2 Un giorno lo scrivente ha avuto un incontro con Abdus Salam, premio Nobel per la fisica.
Quando questi gli ha chiesto di cosa fosse docente la risposta è stata: docente di Meccanica razionale.
A questo punto il premio Nobel ha fatto una interminabile risata in quanto l’appellativo
razionale gli aveva scatenato l’ilarità. Salam, formatosi a Cambridge, non aveva mai sentito un tale
appellativo. Purtroppo solo più tardi lo scrivente ha saputo che il termine razionale è stato introdotto
da Newton che viveva a Cambridge @ qualche secolo prima[27, prefazione]. ♣

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
ton:
primo principio legge di inerzia
secondo principio legge di moto di una particella F = ma
terzo principio principio di azione e reazione
1.1.3 Particella
Definizione: si chiama particella qualunque corpo le cui dimensioni
siano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 3
Per quanto possa sembrare strano un aereo con 300 passeggeri a bordo può, in
un certo contesto, essere considerato come una particella. Basta chiederlo ad un
radarista: a lui è sufficiente la posizione del puntino luminoso che si rivela sullo
schermo radar. Anche la Terra, che ha un raggio di circa 6000 km, può essere
considerata come una particella nella determinazione dell’orbita: questo avviene
nello studio dei moti centrali. Quindi non è detto che la particella o particella debbano
avere estensione nulla. E’ sufficiente che le sue dimensioni siano trascurabili
nel contesto che si considera.
1.2 Sistema meccanico
Definizione: si chiama sistema meccanico un sistema fisico del quale
ci interessa solo lo studio del moto, in particolare la sua configurazione
in condizioni di quiete. Un sistema fisico viene chiamato
sistema termodinamico o chimico o elettrico a seconda che di esso ci
interessino gli aspetti termodinamici o chimici o elettrici.
1.2.1 Configurazione di un sistema meccanico
Determinare il moto del sistema meccanico o il suo stato di equilibrio, significa
conoscere la posizione di ogni punto del sistema ad un istante generico.
Definizione: si chiama configurazione di un sistema ad un dato
istante l’insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema in quell’istante.
3 Spesso si parla di punto materiale, ma il termine particella è più pertinente. L’opposto di punto
materiale sarebbe punto geometrico, ma non sembra il caso di aggiungere il termine geometrico ai
punti da sempre usati in geometria.

1.2. SISTEMA MECCANICO 11
1.2.2 Coordinate libere
Per determinare la configurazione occorre fissare un sistema di riferimento e delle
coordinate. In linea di principio occorrerebbero le coordinate di tutti i punti del sistema:
ma l’esistenza di parti rigide diminuisce il numero di coordinate necessarie
per determinare la configurazione. Basti osservare che per individuare la configurazione
di un corpo rigido libero nello spazio, formato da un numero enorme di
molecole è sufficiente dare solamente 6 coordinate!
Definizione: si chiamano coordinate libere o lagrangiane o generalizzate
un insieme di variabili indipendenti sufficienti a definire la
configurazione di un sistema ad ogni istante. 4
Le coordinate libere si indicano con q k o con qk, essendo k = 1, 2, ..., n ed n il
numero dei gradi di libertà.
Osservazione. La posizione degli indici in alto è dovuta ad una convenzione generale
e non deve essere confusa con un esponente. Molti autori non se la sentono di mettere gli
indici in alto a motivo della possibile confusione con un esponente.
All’inizio di un problema occorre scegliere delle coordinate. Durante la fase
di impostazione del problema si può fare uso di coordinate sovrabbondanti ma
prima di iniziare la risoluzione sarà bene eliminare le coordinate sovrabbondanti
esprimendole in funzione delle coordinate libere mediante relazioni geometriche.
Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate libere sono in generale
espresse da equazioni non lineari: questo capita tutte le volte che si introducono
angoli. Ne viene che le coordinate libere introducono la non linearità nelle
equazioni della meccanica: si parla di non linearità geometriche.
Un’altra sorgente di non linearità sono le relazioni costitutive 5 cioè relazioni
fra le variabili statiche e dinamiche da una parte (quali forze, momenti, quantità
di moto, momenti delle quantità di moto, ecc.) e variabili geometriche e cinematiche
dall’altra (quali le coordinate, gli spostamenti, le velocità, le velocità angolari,
ecc.). Queste equazioni prendono il nome di costitutive perché precisano la
costituzione del sistema.
1.2.3 Spostamenti reali e virtuali
Definizione: si chiama spostamento virtuale del punto P e lo si indica
con δP, il vettore infinitesimo che congiunge la posizione occupata
4 Nocilla, p.122
5 Dette anche equazioni materiali o di comportamento.

12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
dal punto P all’istante generico t con un’altra posizione, infinitamente
vicina, che il punto P potrebbe occupare al medesimo istante nel
rispetto dei vincoli, che, se mobili, si pensano congelati all’istante
considerato. 6
Lo spostamento virtuale è uno spostamento immaginato a titolo di prova, non
è effettivamente compiuto.
Definizione: si chiama spostamento effettivo infinitesimo del punto
P nel tempo dt lo spostamento dP(t) = ˙P(t) dt subito dal punto P in
conseguenza del suo movimento.
δP
δP
P
δP
dP
δP
P'
vincolo fisso vincolo mobile
Figura 1.1. Spostamenti virtuali e spostamento effettivo di una particella.
dP δP
P
vincolo fisso
spostamento
effettivo
P
t+dt
dP
δP
δP
δP
P
δP
vincolo mobile
t
δP
dP
δP
P'
P
δP
t+dt
t
irrev
δP
spostamento non virtuale
Figura 1.2. Esempi di spostamenti virtuali e reali
In dinamica si hanno dunque due categorie di spostamenti: quelli reali dovuti
al moto stesso del sistema e quelli virtuali che immaginiamo di far compiere ai
6 Sommerfeld, [30, p.53]; Lanczos, [20, pp.38-39]; Levi Civita-Amaldi, [48, v.I, p.299 ] precisano
che il tempo deve essere congelato. Goldstein. [15, p.14] compie l’errore di definire virtuale uno
spostamento compatibile con le forze ed i vincoli imposti al sistema ad un dato istante t. Le forze
non hanno nessun ruolo nella definizione di spostamento virtuale in quanto questo è un concetto
puramente geometrico.

1.2. SISTEMA MECCANICO 13
punti fissando i vincoli. Se i vincoli sono fissi, tra gli innumerevoli spostamenti
virtuali c’è quello effettivo.
In statica, in quanto non c’è moto del sistema, non vi sono spostamenti reali
compiuti dai suoi punti: gli unici spostamenti che hanno senso in statica sono
quelli virtuali.
Uno spostamento virtuale si dice reversibile se lo spostamento opposto è pure
esso virtuale; si dice irreversibile se il suo opposto non è virtuale.
dq k (t) = ˙q k (t) dt è la variazione effettiva subita dalle q k (t) per effetto del movimento
nell’intervallo dt. E’ il differenziale della funzione. Indica la differenza
tra i valori della q(t) in due istanti successivi.
δq k (t) = variazione virtuale della coordinata q k (t) al medesimo istante t
(detto sincrona).
Le δq k non hanno nulla a che fare con l’andamento effettivo del sistema, ma
vengono immaginate a titolo di prova 7 .
1.2.4 Gradi di libertà
Gli spostamenti di un sistema meccanico si possono pensare ottenuti per composizione
di un certo numero di spostamenti fondamentali indipendenti tra loro. Ogni
spostamento fondamentale costituisce un grado di libertà del sistema.
Definizione. Si chiama numero dei gradi di libertà di un sistema
meccanico il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti
del sistema.
Determinare il numero dei gradi di libertà di un sistema è fondamentale per fare il
bilancio tra il numero di incognite del problema ed il numero di equazioni necessarie.
Per determinare il numero dei gradi di libertà si può procedere in uno dei
modi seguenti 8 : [@ non ho ancora classificato i vincoli]
a) metodo dei congelamenti successivi. Si immagina di congelare successivamente
i movimenti possibili del sistema bloccando rotazioni, traslazioni
o punti del sistema. Ogni spostamento elementare impedito indica un grado
di libertà che aveva il sistema. Il minimo numero di congelamenti elementari
che porta il sistema al congelamento totale costituisce il numero dei
gradi di libertà del sistema.
7 Alcuni autori trovano utile introdurre un intervallo di tempo δt infinitesimo dello stesso ordine
di δP, peraltro arbitrario e introducono anche la nozione di velocità virtuale. L’autore ritiene che
questo sia certamente lecito, ma inopportuno.
8 Goldstein, [15, p.12] identifica i gradi di libertà con le coordinate libere, cosa non opportuna
in quanto sono due nozioni diverse: la differenza risulterà evidente trattando i sistemi anolonomi.

14 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
b) metodo del bilancio. Si assegna ad ogni vincolo un numero, che è il numero
dei gradi di libertà che esso toglie al sistema. Così ad un vincolo
semplice (appoggio, carrello) si assegna il numero 1; ad un vincolo doppio
(cerniera, semicerniera, pattino, manicotto) si associa il numero 2; ad un
vincolo triplo (incastro) il numero 3. Si sommano tutti i numeri relativi ai
diversi vincoli. Si sommano i gradi di libertà delle singole parti del sistema
supposte libere. Dal totale dei gradi di libertà si toglie la somma dei vincoli:
quello che rimane è il numero dei gradi di libertà del sistema
Ad esempio un’asta nel piano ha 3 gradi di libertà in quanto ammette tre spostamenti
indipendenti: le traslazioni lungo due direzioni prefissate e la rotazione.
Osservazione: questo secondo metodo è più rapido del precedente ma meno
sicuro: vi possono essere parti in cui c’è un eccesso di vincoli e parti in cui c’è un
difetto di vincoli. Inoltre nasconde eventuali labilità del sistema.
y
y
1 grado di libertà
Domanda: se il filo si avvolge sulle carrucole
senza scorrimenti e se i tratti pendenti si suppongono
sempre verticali, quanti gradi di libertà ha
il sistema?
Risposta: Se congeliamo la ruota di sinistra basta
abbassare il contrappeso di destra per far alzare
e ruotare la ruota centrale. Successivamente
se congeliamo la ruota di destra il sistema rimane
completamente congelato. Conclusione: il
sistema ha due gradi di libertà.
2 gradi di libertà
3 gradi di libertà
2 gradi di libertà
1 grado di libertà
Figura 1.3. Quando un moto si compone di diverse fasi, i gradi di libertà di un
corpo possono variare da una fase all’altra.

1.2. SISTEMA MECCANICO 15
1.2.5 Come scegliere gli assi cartesiani
Per impostare un problema è bene scegliere le coordinate più convenienti. Nel
caso che si scelgano coordinate cartesiane è consigliabile scegliere l’asse delle x
e quello delle y diretti nel modo tradizionale. Quando questo non sia opportuno
possono scegliersi comunque orientati, possibilmente in modo che il sistema venga
a trovarsi nel primo quadrante e che gli angoli siano coerenti con le coordinate,
cioé orientati da x ad y.
Gli assi cartesiani devono essere fissi, non mobili con il sistema, salvo quando
si studi un problema di meccanica relativa. Anche in tal caso gli assi devono
essere scelti solidali con una parte del sistema, quella che si vuole che costituisca
il sistema di riferimento.
y
O
A x O= A
assi fissi
y
assi mobili con il triangolo: conviene solo
se è noto il moto del triangolo
Figura 1.4. La scelta della figura di destra è valida se è noto il moto del piano
inclinato e si vuole usare la meccanica relativa
NO!
0
y
0
y
NO!
x
x
0
0
y
NO!
y
NO!
Figura 1.5. Scelte inopportune, gli assi devono essere fissi
x
x
x

16 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
y
0
scelta opportuna
ϑ
y
x
ϑ
scelta opportuna, ma x = -R ϑ
y
0
y
y
x
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ x
y
x
x
ϑ
y
0
x
y
x
ϑ
y
x
ϑ
0
x
ϑ
x
0
x
scelta inopportuna
(è bene che l'asse x vada verso destra)
y
y
x
scelta opportuna scelta inopportuna scelta opportuna
(è bene che l'asse x vada verso destra)
scelta inopportuna
scelta opportuna
0 (il cinematismo si trova
nella parte negativa
0
dell'asse y)
y
x
x
ϑ
y
ϑ
y
ϑ
scelta inopportuna
scelta opportuna
(l'asse y spesso si orienta
verso il basso)
Figura 1.6. (sopra) La terza scelta è lecita ma sconsigliata in quanto facilmente
si commettono errori di segno nella valutazione delle ascisse. (al centro)
Gli angoli devono essere presi in armonia con gli assi, positivi andando da x
ad y. (sotto) E’ opportuno che la figura si trovi nel primo quadrante degli assi
cartesiani.
1.2.6 Come scegliere gli angoli
Ricordare innanzi tutto che anche gli angoli hanno un verso. Le velocità angolari,
i momenti delle forze, i momenti angolari saranno positivi se concordi con il verso
positivo degli angoli. Se sono state scelte in precedenza coordinate cartesiane il
ϑ
ϑ
ϑ
y
y
x
x
x
ϑ
x
y
y
y
ϑ
x
x
y

1.3. VINCOLI 17
senso positivo degli angoli risulta automaticamente fissato come quello concorde
con l’asse z secondo la regola del cavatappi.
y SI !
NO !
ϑ x
ϑ
Figura 1.7. A sinistra una scelta opportuna degli assi, a destra una scelta non
opportuna.
E’ opportuno che l’angolo sia quello formato tra una direzione fissa nel riferimento
considerato ed una direzione solidale con il corpo mobile. Quando non
convenga sceglierli in tal modo, tener presente che la velocità angolare non è più
la derivata rispetto al tempo dell’angolo scelto.
O
x
y
O
z =
C
y
x
ϑ
y
O
y
C
B ϑ
B
ϑ
. asta AB ω φ.
asta BC ω z = ϑ
φ
z = . asta AB ω φ.
asta BC ω z = ϑ
attenzione: asse y
verso il basso
C
direzione mobile
ϑ
ω z =
.
ϑ
y
ϑ
ϑ
direzione mobile
x
x
x
y
O
y
C
x
direzione fissa
z = ϑ
.
ω
direzione fissa
Figura 1.8. Se l’angolo non è misurato a partire da una direzione fissa la
velocità angolare non è uguale alla derivata dell’angolo.
1.3 Vincoli
Definizione : si chiama vincolo tutto ciò che limita la libertà di moto
di un sistema. 9
9 Questa definizione è così generale che vi rientrano anche il vincolo contrattuale e il vincolo
x

18 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
I vincoli si classificano secondo quattro criterii:
• fissi o mobili;
• lisci o scabri; ♣
• unilateri o bilateri;
• olonomi o anolonomi.
Un vincolo si dice fisso se non varia la sua posizione nel tempo, in caso
contrario si dice mobile.
Un vincolo si dice scabro se esercita attrito, in caso contrario si dice liscio.
Un vincolo si dice unilatero se ha fra i suoi spostamenti ve ne sono alcuni
irreversibili, in caso contrario si dice bilatero. Per i vincoli olonomi e anolonomi
si veda pag. 68
P δP
q
vincolo unilatero:
l'unico spostamento virtuale
è irreversibile e il
lavoro virtuale è nullo
P
vincolo unilatero:
alcuni spostamenti virtuali
sono reversibili,
altri irreversibili
δP irrev δP irrev
δP
P
δP irrev
vincolo unilatero:
tutti gli spostamenti virtuali
sono irreversibili
Figura 1.9. Esempi di vincoli con spostamenti reversibili e irreversibili.
1.3.1 Reazioni vincolari
E’ chiaro che se tolgo un vincolo ad un sistema in equilibrio questo si muoverà e
se lo tolgo ad un sistema in moto questo si muoverà in modo diverso. Ci si chiede
allora quali forze sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di
moto che il sistema aveva in precedenza.
Definizione : si chiama reazioni vincolare di un vincolo la forza e
la coppia che occorre sostituire al vincolo per mantenere lo stesso
stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza.
Quando la reazione è costituita da una sola forza, interessa spesso sapere la
direzione della reazione. Nel caso che il vincolo sia liscio (cioé privo di attrito)
matrimoniale. Entrambi limitano la libertà di azione di una persona. Si potrebbe essere portati a
dire: abbasso i vincoli! Ma cosa è l’ingegneria se non l’arte di saper vincolare dei componenti al
fine di ottenere una macchina, un apparato, un dispositivo che debba perseguire un certo obiettivo?
E’ l’obiettivo da raggiungere che giustifica i vincoli, anche quello matrimoniale.

1.3. VINCOLI 19
l’intuizione dice che la direzione della forza è perpendicolare alla direzione degli
spostamenti concessi dal vincolo. Questo avviene nel caso di appoggio semplice,
di carrelli e di cerniere scorrevoli. Quando il vincolo è una cerniera interessa
sapere se la reazione ha una componente in una direzione assegnata, ad esempio
orizzontale o verticale o normale ad un’asta. In questo caso si sostituisce la cerniera
con un carrello che conceda lo spostamento nella direzione assegnata e si vede
se il sistema può muoversi in quella direzione. Poiché il compito di una reazione
è, per definizione, quello di impedire un movimento, se il sistema può muoversi in
quella direzione vuol dire che la reazione della cerniera ha una componente nella
direzione assegnata.
Mettere sempre le reazioni nei versi positivi, il loro giusto segno verrà da sè
dalle equazioni.
A
?
x
si muove !
O y O
HA y
A
ϑ
ϑ
p p p
durante il moto esiste
una componente
orizzontale della reazione in A?
proviamo a lasciare libero
lo spostamento orizzontale:
A si sposta orizzontalmente.
Figura 1.10. Come convincersi che esiste una reazione orizzontale
x
A
quindi per impedirlo occorre
mettere una forza orizzontale.
Dunque la componente orizzontale
esiste!
Grado di vincolo. Ad ogni vincolo si può assegnare un grado di vincolo costituito
dal numero di spostamenti indipendenti che toglie al sistema. Faremo
riferimento alla figura (1.11). I vincoli si distinguono dunque in:
• semplici quando tolgono un grado di libertà. Tali sono i carrelli, le cerniere
scorrevoli, gli appoggi.
• doppi quando tolgono due gradi di libertà. Tali sono le cerniere, i piattelli,
i manicotti.
• tripli quando tolgono tre gradi di libertà. Tali sono gli incastri a terra e le
saldature.
Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta,
non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion può strisciare: slitta e non
rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).

20 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
vincoli semplici
vincoli doppi
vincoli tripli
simbolo nome spostamenti concessi reazioni
appoggio a terra
carrello a terra
appoggio a terra
semicerniera scorrevole
cerniera scorrevole
cerniera a terra
cerniera interna
semicerniera
piattello
manicotto
incastro a terra
incastro interno
Figura 1.11. I simboli più usati per indicare i vincoli. Le frecce chiare indicano
gli spostamenti concessi, quelle scure le reazioni.

1.3. VINCOLI 21
A
B
vincolofisso
C
A
B
Figura 1.12. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili,
i vincoli sono fissi!
1.3.2 Classificazione dei vincoli
I vincoli si distinguono in due classi:
1. i vincoli di posizione od olonomi o geometrici;
2. vincoli di mobilità od anolonomi o cinematici.
C
A
vincolofisso
I vincoli finora presentati sono del primo tipo. I vincoli di mobilità si trovano a
pagina 68.
1.3.3 Osservazioni sui vincoli fissi
I carrelli e le semicerniere sono dispositivi che, da soli, non costituiscono il vincolo.
Così un carrello deve appoggiarsi su un piano: il vincolo è il piano. Se
questo è fisso il vincolo sarà fisso nonostante il fatto che il carrello sia mobile.
Per convincersi basta osservare la figura (??b) che è equivalente a (??c).
Così una semicerniera deve appoggiarsi ad una guida: se questa è fissa il
vincolo si dirà fisso nonostante la semicerniera sia mobile.
Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta,
non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion può strisciare: slitta e non
rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).
A
B
vincolofisso
C
A
B
Figura 1.13. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili,
i vincoli sono fissi!
C
A
B
vincolofisso
B

22 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
1.4 Forze
La scienza si caratterizza per il fatto di conferire un significato preciso ai suoi
termini. I termini servono a descrivere proprietà, attributi, qualità, ecc. Se i termini
non sono definiti, le proposizioni con esse formate possono risultare prive di
significato o equivoche o errate.
Consideriamo il termine lavoro. Nel linguaggio comune ha molti significati.
Ecco alcune espressioni di uso comune: un lavoro ben remunerato; un lavoro
pesante; un posto di lavoro; un lavoro poco pulito; un lavoro ben fatto; il lavoro
sommerso; il lavoro intellettuale e così via. In fisica il termine lavoro ha un significato
ben preciso: nel caso di una forza costante F che sposta un corpo per un
tratto di lunghezza s nella stessa direzione della forza si chiama lavoro il prodotto
della forza per lo spostamento: W = Fs. Se lo spostamento non ha la stessa
direzione della forza la definizione è estesa definendo il lavoro come il prodotto
scalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento: W = F · s. Se poi durante
lo spostamento la forza non si mantiene costante la definizione è ulteriormente
estesa facendo l’integrale W = F · dr.
Quanto detto per il lavoro vale per la nozione di forza. Nel linguaggio comune
il termine forza è usato con diversi significati. Si parla di forza muscolare, di forza
d’animo, di forza della disperazione, di forza e coraggio, di forza pubblica e così
via. In Fisica la forza ha un significato ben più ristretto. La forza è una grandezza
che esprime l’azione tra due corpi, siano essi a contatto o distanti. Questa azione
che tende a far muovere un corpo ha una natura direzionale e la sua intensità è
misurata con il dinamometro.
Quella che abbiamo dato non è una definizione nel senso matematico in quanto
è vaga. Ma questa è una caratteristica comune a tutti i concetti primitivi della
scienza. Proprio perchè sono primitivi è impossibile definirli. Infatti definire una
nozione vuol dire presentare la nozione in termini di altre nozioni più primitive,
più familiari, più semplici. È chiaro che questo non è possibile farlo per i concetti
primitivi. Si pensi alla nozione di spazio e a quella di tempo: nessuno può
pretendere di darne una definizione e di fatto una definizione non c’è. Mentre il
lavoro di una forza è definito (nel senso letterale del termine) in termini di forza e
spostamento, la nozione di forza non può essere definita con la stessa precisione.
Le forze sono le cause del moto. Una forza è caratterizzata da quattro attributi:
direzione, verso, intensità e punto di applicazione.
1.4.1 Classificazione delle forze
Le forze si possono classificare secondo diversi criteri.

1.4. FORZE 23
Forze di contatto e a distanza. Si chiamano forze di contatto quelle che agiscono
nel contatto fra due corpi. Tali sono le forze che esercitiamo con le mani e
con i piedi; spingendo con un bastone o tirando con una fune; le forze dovute all’urto
tra due corpi, come quella che provoca il rimbalzo di una biglia sulla sponda
del bigliardo. La forza del vento su una v ela è una forza a contatto (aria-vela).
Si chiamano forze a distanza quelle che agiscono su un corpo senza il contatto
con altri corpi. Tali sono la forza di gravità, la forza dovuta a cariche elettriche
in quiete o in moto.
Forze di superficie e di volume. Si chiamano forze di superficie quelle che
agiscono sulla superficie di un corpo. Esempi di forze di superficie sono:
• la forza che una mano esercita quando afferriamo un oggetto, ad esempio
quando sosteniamo un piatto o solleviamo una bottiglia;
• la forza che il mare esercita sulla carena di una nave;
• la forza del vento su una vela;
• la resistenza aerodinamica che si esercita su un’auto o un aeroplano.
Si chiamano forze di volume quelle che agiscono su ogni particella del corpo.
Esempi di forze di volume sono:
• il peso di un corpo;
• le forze elettriche e magnetiche;
• le forze apparenti presenti in un riferimento non inerziale.
Può sembrare, a prima vista, che le forze di superficie siano sempre forze a contatto
ma non è così. La repulsione o l’attrazione tra due conduttori carichi di
elettricità, come le due armature di un condensatore, sono forze a distanza eppure
sono forze di superficie in quanto le cariche elettriche si dispongono sulla
superficie dei conduttori.
Anche le forze di volume non sono necessariamente forze a distanza in quanto
possono essere sono dovute all’azione a distanza di altri corpi: questo è il caso
della forza centrifuga in un riferimento non inerziale.
Forze attive e reattive. Le forze attive sono quelle forze agenti sul sistema che
non sono dovute ai vincoli. Le forze reattive o reazioni vincolari sono quelle forze
che immaginiamo di sostituire ai vincoli per mantenere la stessa configurazione
di equilibrio (in statica) o lo stesso movimento (in dinamica).

24 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Forze interne ed esterne. Le forze interne sono quelle agenti sul sistema dovute
all’azione delle altre parti interne al sistema stesso. Tali sono le forze molecolari
tra le molecole del sistema, quelle dovute alle contrazioni muscolari in un
essere animato, quelle originate dal motore di un automobile. Le forze esterne
sono quelle agenti sul sistema dovute all’azione di corpi esterni al sistema. Tali
sono le forze peso, le forze elettriche dovute a cariche esterne, le forze esercitate
mediante fili ancorati all’esterno del sistema, le resistenze aerodinamiche, ecc.
Forze reali ed apparenti.
Definizione: si chiama inerzia la proprietà che ha un corpo di
mantenere il suo stato di quiete o di moto se non soggetto a forze.
L’inerzia si manifesta anche nella resistenza incontrata alla applicazione di una
forza. La grandezza fisica che caratterizza l’inerzia è la massa.
Per la meccanica razionale la classificazione più usata è quella esterne / interne
ed attive / reattive.
1
⎧
attive
⎪⎨
f orze
2
⎪⎩
reattive
interne
esterne
interne
esterne
Figura 1.14. I diversi tipi di forze agenti su un’auto.
1) forza attiva esterna (resistenza aerodinamica)
2-4) forze reattive esterne
3) forza attiva esterna (peso)
5) forza reattiva esterna dovuta all’aderenza
Molle reali e ideali.
3
5
4
(1.1)
• Molle reali: sono quei dispositivi che esercitano una forza di richiamo
quando vengono tese o repulsiva quando vengono compresse. Ogni molla

1.4. FORZE 25
ha una lunghezza a riposo e può subire, in generale, sia un allungamento se
sottoposta a trazione che un accorciamento se sottoposta a compressione.
Ovviamente se la molla è allungata essa tende a ritornare alla configurazione
di riposo e quindi esercita una forza di richiamo. L’opposto accade
quando la molla è compressa. In generale la forza che una molla esercita
è proporzionale alla variazione di lunghezza cioè alla differenza tra la
lunghezza attuale e quella a riposo.
• Molle ideali. Spesso è comodo considerare molle ideali cioé tali da:
1) avere lunghezza nulla a riposo;
2) agire solo a trazione;
3) esercitare una forza di richiamo proporzionale alla loro lunghezza;
4) essere prive di massa e quindi non avere inerzia.
Una forza di richiamo agente su un punto P e che sia proporzionale alla distanza
del punto P da un punto fisso O prende il nome di forza elastica. Una simile
forza si può ottenere senza avere necessariamente una molla ideale. Ad esempio
la forza di richiamo dell’estremità di un’asta metallica flessibile che sia incastrata
all’altro estremo, come mostrato in figura (1.16sinistra) è una forza elastica. In
un reticolo cristallino uno ione spostato dalla sua posizione di equilibrio viene
attratto verso quella posizione da un’azione combinata di attrazioni e repulsioni
da parte degli ioni del reticolo. Questo comporta che la forza totale di richiamo
sia elastica anche per spostamenti dell’ordine di un terzo della costante reticolare
(distanza tra due ioni contigui) (1.15destra).
F
s
ione spostato
Figura 1.15. Una forza elastica può essere causata da un dispositivo diverso
da una molla ideale. (sinistra) Una lama flessibile esercita una forza elastica
sull’estremo P. (destra) In un reticolo cristallino, ad esempio quello del cloruro
di sodio, uno ione allontanato dalla sua posizione di riposo viene richiamato da
una forza sensibilmente elastica.
F
s

26 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Occorre però tener presente che i problemi tecnici esigono la considerazione
di molle reali.
In generale si consiglia l’uso dell’energia potenziale. Se invece si vogliono
mettere in evidenza le forze, è bene seguire queste norme:
1. sostituire la molla con le due forze da essa esercitate, applicate ai due
estremi e di verso opposto indicando accanto alla forza solamente il suo
modulo;
2. non lasciarsi ingannare dal segno “meno” della formula f = −k(P−O) nella
esecuzione degli esercizi. Il segno “meno” di questa formula è già espresso
nel verso dato ai vettori nel disegno, ed è ovviamente errato tenerne conto
una seconda volta!
Seguendo scrupolosamente queste regole è impossibile sbagliare i segni.
O P x
O Kx Kx P
Figura 1.16. Una molla ideale può essere sostituita da due forze opposte e
proporzionali alla lunghezza della molla.

Capitolo 2
STATICA
L’oggetto della statica è la ricerca delle posizioni di equilibrio di un sistema e
quindi delle forze e dei vincoli che lo assicurano.
2.1 Equazioni cardinali della statica
Affinchè un sistema meccanico sia in equilibrio devono valere le due equazioni
vettoriali: ⎧⎪⎨⎪⎩
R + R ′ MA + M
= 0
′ A = 0
(2.1)
equivalenti alle 6 equazioni scalari
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Le grandezze in gioco sono:
Rx + R ′ x = 0 Ry + R ′ y = 0 Rz + R ′ z = 0
MAx + M ′ Ax = 0 MAy + M ′ Ay = 0 MAz + M ′ Az
• R risultante delle forze attive agenti sul sistema;
• R ′ risultante delle reazioni vincolari;
• MA momento delle forze attive;
• M ′ A momento delle reazioni vincolari
= 0
(2.2)
Le equazioni cardinali sono valide per qualunque sistema, per qualunque tipo di
vincolo, per qualunque tipo di forze, per qualunque polo A. Donde il meritato
attributo di equazioni cardinali della statica. Sono necessarie per l’equilibrio di
un sistema, ma sono in più sufficienti solo per un corpo rigido, che ha infatti al
massimo 6 gradi di libertà.
27

28 CAPITOLO 2. STATICA
Risultante e momento sono solo quelle delle forze esterne, sia attive R, MA
che reattive R ′ , M ′ A . Infatti le forze ed i momenti interni si fanno equilibrio a due
a due, per il principio d’azione e reazione, e pertanto la loro somma è nulla.
Le equazioni cardinali sono sempre compatibili e indipendenti salvo il caso
in cui il sistema si riduca ad un punto: in tal caso la seconda è combinazione
lineare della prima.
Nel caso di un sistema iperstatico, cioè con più vincoli di quelli sufficienti ad
assicurare l’equilibrio quando il sistema si concepisca rigido, le equazioni cardinali
non sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari neanche se applicate
ad ogni pezzo rigido in cui è decomponibile il sistema. In tal caso è necessario
tenere conto della deformabilità del materiale.
2.2 Principio dei lavori virtuali
Condizione necessaria cioè deve verificarsi
e sufficiente il solo verificarsi ci assicura l’equilibrio
per l’equilibrio
di un sistema soggetto a vincoli lisci cioè privi di attrito
è che il lavoro delle forze attive sia interne che esterne al sistema
per ogni e non solo per qualcuno
spostamento virtuale infinitesimo e conforme ai vincoli
non sia positivo sia nullo o negativo
Per definizione il lavoro virtuale è dato da
w ∗ def
=
N
Fi · δPi. (2.3)
i=1
Fi è la forza attiva che agisce sul punto Pi; l’asterisco indica virtuale, cioè non
effettivo. Il principio si esprime:
w ∗ ≤ 0 spostamenti virtuali generici (2.4)
Per gli spostamenti reversibili, quindi per vincoli bilaterali, il principio diviene:
w ∗ = 0 spostamenti virtuali reversibili (2.5)
Poiché in statica non esistono spostamenti reali, in quanto ci occupiamo di sistemi
in equilibrio, non ha senso usare il simbolo dPi.

2.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI 29
QUIZ: Su un piano inclinato liscio, una
particella, ad esempio un dado, soggetta
solo al proprio peso non può stare ovviamente
in equilibrio. Eppure per lo
spostameno virtuale indicato in figura
è w ∗ = 0 a causa della perpendicolarità.
Dovremmo concludere che l’equilibrio
c’è: cosa non funziona in questa
conclusione?
Osservazione. Molti autori ritengono che per indicare una quantità piccola o addirittura
infinitesima si debba premettere alla stessa il simbolo δ. Così δW per il lavoro, δQ
per il calore, ecc. Questo non lo ha stabilito nessuno: la matematica denota gli infinitesimi
con ɛ, η, ecc. e non con δɛ, δη, ecc.
Il simbolo δ davanti al punto P è essenziale in quanto indica la variazione di posizione
del punto. Ma davanti a W non è necessario in quanto l’espressione δ W dovrebbe
indicare la variazione del lavoro cosa che non ha senso in quanto non esiste una funzione
la cui variazione esprima il lavoro compiuto. Semmai si tratta di un lavoro infinitesimo
e nessun libro di matematica insegna che una quantità infinitesima debba essere preceduta
dal δ ! Basti osservare che in matematica un infinitesimo viene indicato con uno dei
simboli ɛ, η, ω, ....
Per indicare che una quantità è infinitesima (piccola a piacere) o semplicemente piccola
è tradizionale usare una lettera minuscola. Così si può indicare cone W un lavoro
finito e con w un lavoro piccolo o, addirittura, infinitesimo.
L’asterisco serve per indicare che si tratta di lavoro virtuale, non effettivo. Ricordiamo
che in ottica l’immagine virtuale si indica con l’asterisco.
2.2.1 Lavoro virtuale
Se q k sono coordinate (anche non libere) atte ad individuare la configurazione del
sistema, il principio dei lavori virtuali per vincoli bilaterali diviene:
w ∗ =
N
i=1
Fi · δPi =
n
k=1
δB
B
p
Qk δq k = 0. (2.6)
Se le q k sono libere le δq k non sono arbitrarie 1 le δq k sono arbitrarie e ne viene:
Qk(q 1 , q 2 , ..., q n ) = 0 (k = 1, 2, . . . , n). (2.7)
1 Vedremo in cinematica che per un sistema anolonomo (vedi pagina 68) le variazioni delle
coordinate libere non sono arbitrarie: ne viene che l’espressione del lavoro virtuale che stiamo
ottenendo vale per un sistema olonomo.

30 CAPITOLO 2. STATICA
Sono queste n equazioni nelle incognite q 1 , q 2 , ..., q n tante quanti i gradi di libertà.
Risolte forniscono le coordinate q k della posizione di equilibrio.
Per il calcolo delle Qk vedere la pagina [calcolo delle Qk] ♣.
2.2.2 Come si calcola il lavoro virtuale
Per calcolare il lavoro virtuale di una forza F applicata ad un punto P si può usare
sia l’espressione cartesiana
sia l’espressione
w ∗ = F · δP = Fxδxp + Fyδyp + Fzδzp
(2.8)
w ∗ = F · δP = F · |δP| cos(ϑ). (2.9)
In linea di massima, salvo casi molto semplici, è conveniente usare l’espressione
cartesiana.
a)
s
ϕ
p
B
δB
M
A
M
α b)
x
L
Figura 2.1.
Per calcolare il lavoro virtuale di una coppia di forze di momento M si deve
considerare l’angolo di rotazione ϕ del corpo rigido a cui è applicata (supponiamo
si tratti di spostamenti piani) e quindi il lavoro virtuale è dato da
ϕ
C
w ∗ = M δϕ (2.10)
essendo M il momento della coppia, positivo se concorde con l’angolo. Con
riferimento alla figura 2.10 si ha
w ∗ = −Mδϕ + (p sin α) δs
δs = +R δϕ
w ∗ = +M δϕ + Fδx
δx = δ (2 L cos ϕ) = −2 L sin ϕ δ ϕ
L
B
F
x
(2.11)

2.3. STATICA DEL PUNTO 31
2.2.3 Attrito
L’attrito è sempre a favore dell’equilibrio e pertanto è a sfavore del moto. Questo
comporta che, salvo problemi in cui l’attrito è essenziale per l’equilibrio, esso può
essere ignorato in statica. Una volta determinata la configurazione di equilibrio
ignorando l’attrito, la sua eventuale presenza non fa che favorire il mantenimento
dell’equilibrio.
○
2.3 Statica del punto
2.3.1 Punto materiale libero nel piano
Posto
Rx
def
=
N
k=1
Fkx
Ry
def
=
N
k=1
Fky
la condizione di equilibrio deve soddisfare le due equazioni
(2.12)
Rx(x, y) = 0 Ry(x, y) = 0. (2.13)
Risolvendo il sistema delle due equazioni si trova la posizione di equilibrio (x0, y0).
Si può usare il principio dei lavori virtuali.
Se le forze ammettono potenziale si può usare il teorema della stazionarietà
del potenziale:
∂U(x, y)
∂x
= 0
∂U(x, y)
∂y
2.3.2 Punto materiale vincolato ad una linea liscia
t
Φ
b
n
= 0. (2.14)
La reazione Φ giace nel piano normale alla linea.
Conviene far uso della prima equazione cardinale
proiettata sulla terna intrinseca:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Rt = 0
Rn + Φn = 0
Rb + Φb = 0
(2.15)

32 CAPITOLO 2. STATICA
Poiché il punto ha un solo grado di libertà la prima equazione è sufficiente a
determinare la posizione di equilibrio.
Le altre due servono per la determinazione della reazione. Si noti che la
reazione ha come modulo
Φ =
Φ2 n + Φ2 b . (2.16)
Per trovare le componenti del versore tangente t basta osservare che
tx = cos α ty = sin α nx = −sin α ny = cos α (2.17)
Dal momento che
tan α = y ′ (x) cos α =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
t =
n = ±
1
√ 1 + tan 2 α =
1
1 + (y ′ ) 2
sin α =
1
1 + y ′2 [i + y ′j] si mette il segno + se y ′′ > 0,
1
1 + y ′2 [−y′i + j] il segno − se y ′′ < 0.
y ′
1 + (y ′ ) 2
(2.18)
(2.19)
Per calcolare Rt e Rn nei problemi piani basta osservare che Rt = R · t e Rn = R · n
♣
La prima equazione Rt = 0 può essere sostituita dal principio dei lavori virtuali,
oppure, se le forze attive sono conservative, con il teorema della stazionarietà
del potenziale. In tal caso U deve essere espresso in funzione di una coordinata
libera.
Può convenire qualche volta usare le equazioni cardinali proiettate su una
terna
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Rx + Φx = 0
Ry + Φy = 0
Rz + Φz = 0
(2.20)
In tal caso per tener conto che la reazione è normale alla linea occorre legare
fra loro le componenti della reazione.
Se la linea è piana è Φx = −y ′ Φy.
Se la linea è sghemba, dette x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ) le sue equazioni
parametriche, essendo:
t =
1
x ′2 + y ′2 + z ′2
[x ′ (λ)i + y ′ (λ)j + z ′ (λ)k] (2.21)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO 33
ovvero
la condizione sulla reazione diviene:
Φ · t = 0 (2.22)
Φxx ′ (λ) + Φyy ′ (λ) + Φzz ′ (λ) = 0. (2.23)
Esprimendo Φx, Φy, Φz mediante le equazioni di equilibrio si ottiene la equazione
pura
Rxx ′ (λ) + Ryy ′ (λ) + Rzz ′ (λ) = 0. (2.24)
Da questa equazione e dalle equazioni parametriche della linea si ricava il
valore di λ all’equilibrio.
2.4 Statica del corpo rigido
2.4.1 Corpo rigido con asse fisso
A
y
’
F
Figura 2.2.
Indicato con A un punto dell’asse di rotazione si possono usare le equazioni
cardinali
Rx + HA = 0 Ry + VA = 0 MAz = 0. (2.25)
Se le forze attive sono conservative la terza equazione può essere sostituita da 2
dU
dϕ
= 0 equivalente a
x
dV
dϕ
A
C
p
= 0. (2.26)
2 ♣ Alcuni autori danno più importanza al potenziale U delle forze agenti sul sistema, altri
all’energia potenziale V del sistema. Per questa ragione di ogni formula che coinvolge le forze
conservative forniremo le due versioni: quella con il potenziale e quella con l’energia potenziale.

34 CAPITOLO 2. STATICA
Stabilità dell’equilibrio. Se le forze sono conservative, l’equilibrio è stabile
nella posizione di equilibrio ϕ = ϕ0 quando il potenziale U è massimo (derivata
seconda negativa) ovvero quando l’energia potenziale V è minima (derivata
seconda positiva):
d 2 U
dϕ 2
< 0 equivalente a
ϕ0
2.4.2 Corpo rigido con 1 grado di libertà (nel piano)
x
x
y
f
C
P
#
y
d 2 V
dϕ 2
> 0. (2.27)
ϕ0
Si possono usare le equazioni cardinali:
⎧
Rx + R
⎪⎨
′ x = 0
⎪⎩
Ry + R ′ y = 0
MQz + M ′ Qz
essendo Q un polo generico.
= 0
(2.28)
Nel caso di vincoli lisci si può scegliere come polo il punto di incontro delle
reazioni e scrivere l’equazione pura MCz = 0.
Se le forze attive sono conservative si può usare il teorema della stazionarietà
dell’energia potenziale o del potenziale. L’equilibrio è stabile se nella posizione
di equilibrio l’energia potenziale è minima ovvero se il potenziale è massimo.
Se i vincoli sono lisci si può usare il principio dei lavori virtuali, che conduce
alla relazione: Qϕ = 0 che coincide con la MCz = 0.
Se i vincoli sono scabri si aggiunge la condizione di attrito:
|Φt| ≤ µ |Φn| per ognuno dei vincoli scabri. (2.29)
2.4.3 Corpo rigido con 2 gradi di libertà (nel piano)
Per determinare la posizione di equilibrio si possono usare le equazioni cardinali.
Il polo conviene prenderlo nel punto di applicazione della reazione (ad esempio,
nella figura (2.3) in A).
Rx = 0 Ry + VA = 0 MAZ = 0. (2.30)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO 35
Se il vincolo è liscio si può usare il principio dei lavori virtuali. Ad es. essendo x
e ϕ due coordinate libere, ne viene
e quindi
w ∗ = Qx δ x + Qϕ δ ϕ (2.31)
Qx(x, ϕ) = 0 Qϕ(x, ϕ) = 0. (2.32)
Se le forze attive sono conservative conviene usare la stazionarietà dell’energia
potenziale:
∂V(x, ϕ) ∂V(x, ϕ)
= 0
= 0. (2.33)
∂x
∂ϕ
y
B B
x
ϕ
ky
A
G
P
A
C C
y
Figura 2.3. Togliere i vincoli e sostituirli con le reazioni.
L’equilibrio è stabile se l’energia potenziale V è minima nella posizione di
equilibrio. Poiché si tratta di un minimo per funzioni di due variabili, il minimo si
ha per i valori (x0, ϕ0) per i quali valgono contemporaneamente le due equazioni:
2
∂ V
∂x 2
> 0 e
x0,ϕ0
⎡
⎢⎣ ∂2 V
∂x 2
∂ 2 V
V B
ky
y
−
2
∂ϕ
2.4.4 Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio
ϕ
HA
G
P
2
2
∂ V
∂x ∂ϕ
⎤⎥⎦ > 0. (2.34)
x0,ϕ0
Il sistema ha tre gradi di libertà. Se il piano è liscio le reazioni sono perpendicolari
al piano. Si possono determinare le reazioni se i punti di appoggio sono tre.
Se i punti di appoggio sono più di tre, le reazioni sono indeterminate: per
determinarle occorre tenere conto della deformabilità del corpo.
x

36 CAPITOLO 2. STATICA
z
ΦA
A
Φ
B
a B
Φ
C
c
C
y
x
b
2.4.5 Corpo rigido con asse fisso (nello spazio)
Per calcolare le reazioni vincolari si usano le
equazioni
⎧
Rz + R
⎪⎨
′ z = 0
Ma + M ′ a = 0 (2.35)
⎪⎩
Mb + M ′ b
= 0
essendo a e b due rette passanti per due punti di
appoggio.
Supponiamo che l’asse fisso z sia verticale, passante per i punti A e B della figura
(2.4). Le due equazioni cardinali sono
⎧
⎪⎨
⎪⎩
R + ΦA + ΦB = 0
MA + (B − A) × ΦB = 0.
(2.36)
Moltiplicando scalarmente l’ultima equazione per il versore u e osservando che
(B − A) è parallelo ad u si ottiene
che è l’unica equazione pura.
φ B
MA · u = 0 ovvero MAu = 0 (2.37)
A
z
u
B
φ A
Figura 2.4. Il cancello è un esempio di corpo rigido con asse fisso.
Affinché le reazioni vincolari siano determinabili è necessario che vi sia ad
esempio in A una cerniera a snodo e in B una cerniera scorrevole: solo così i
gradi di libertà tolti al corpo sono 5, quante sono le equazioni di equilibrio che
rimangono.
p

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI 37
Se i vincoli sono in numero maggiore, le reazioni non si possono determinare
considerando il corpo come rigido, bensì è necessario tener conto della sua
deformabilità. Il problema si dirà allora iperstatico.
O
θ
z
2.5 Statica dei sistemi articolati
2.5.1 Considerazioni generali
Per calcolare le reazioni vincolari si usano le
equazioni
Rz = 0 Mz = 0. (2.38)
essendo a e b due rette passanti per due punti di
appoggio.
Per trovare la posizione di equilibrio, se i vincoli sono lisci è fondamentale il
principio dei lavori virtuali che ha il merito di non fare intervenire le reazioni
vincolari.
Per ogni tipo di vincoli, lisci o scabri, unilaterali o bilateri, per ogni tipo di
forze si possono usare le equazioni cardinali che devono essere applicate globalmente
all’intero sistema. Ciò tuttavia non basta a fornire il numero di equazioni
necessarie per la determinazione delle incognite: si devono quindi applicare anche
alle singole parti del sistema così da impedire che avvengano movimenti parziali,
vale a dire movimenti di una parte del sistema rispetto all’altra. Spesso è necessario
staccare una parte del sistema: si introducono così nuove reazioni nel punto
di distacco, ma si ottengono nuove equazioni di equilibrio applicando le equazioni
cardinali alle singole parti staccate: queste permettono di ottenere il pareggio
incognite-equazioni.
È bene seguire le seguenti norme:
1. Rompere il minimo numero di vincoli dando la precedenza ai vincoli semplici
(carrelli, cerniere scorrevoli, appoggi) poiché così facendo si introduce
il minimo numero di reazioni incognite.
2. Imporre l’annullarsi del momento delle forze agenti su un’asta rispetto alle
cerniere attorno a cui potrebbero avvenire delle rotazioni.

38 CAPITOLO 2. STATICA
q
C C
q q
A
s
molla ideale
B
A
p
q
ks ks
B
Figura 2.5. Togliere il minimo numero di vincoli, sostituire le molle con le
forze rispettive.
Per calcolare le reazioni a terra procedere così:
1. Rompere solo i vincoli a terra mettendo così in evidenza le reazioni incognite.
2. Scrivere le equazioni di equilibrio per l’intera struttura e se non bastano
queste tre equazioni, scrivere le equazioni di equilibrio alle rotazioni di una
parte rispetto ad un’altra.
Se mancano equazioni procedere alla successiva rottura di altre cerniere
(sempre il minor numero possibile): così facendo crescono le incognite, ma in
virtù del fatto che il sistema è isostatico procedendo per rotture si giungerà al
pareggio.
Se le forze attive, sia interne che esterne al sistema, sono conservative e
se i vincoli sono lisci e bilateri, si può usare il teorema della stazionarietà del
potenziale.
Se le forze attive sono solo pesi e i vincoli lisci, vale il teorema di Torricelli.
Se è assegnata la posizione di equilibrio e si devono trovare le reazioni vincolari
si devono usare le equazioni cardinali.
p

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI 39
?
?
Φ Ax Φ C x
Figura 2.6. Per sapere se esistono delle componenti orizzontali delle reazioni
a terra in un arco a tre cerniere è sufficiente sostituire le cerniere con dei carrelli,
osservare se il sistema si muove: in caso affermativo occorre mettere delle
reazioni orizzontali.
VA
A
H A
B
G G ′
p
R − 2
π R
R + 3 4 R
Figura 2.7. Le reazioni vincolari in un arco a tre cerniere.
2.5.2 Arco a tre cerniere
Si tratta del più semplice esempio di sistema articolato.
q
C
VC
H C
A
B
C

40 CAPITOLO 2. STATICA
A
M
C
F
B
Figura 2.8. Per trovare le reazioni a terra occorre togliere le cerniere a terra e
mettere in evidenza le reazioni vincolari.
Per trovare le reazioni in A e in B, osservato che nella figura indicata non vi
sono bielle 3 , si considerano le componenti orizzontali e verticali.
V
A
A
somma delle componenti orizzontali = 0
somma delle componenti verticali = 0
somma dei momenti di tutte le forze rispetto (ad es.) ad A = 0
somma dei momenti rispetto a C delle sole forze agenti su un’asta (ad es. CB) = 0
Queste quattro equazioni sono compatibili ed indipendenti e pertanto sufficienti
a determinare le 4 incognite. Per calcolare le reazioni usare la regola seguente:
togliere i vincoli e sostituire ad essi le reazioni.
Si chiama biella un’asta priva di peso, non caricata da forze sul suo corpo e
che ha come estremi due cerniere. La caratteristica che ne consegue è che essa
può essere tesa o compressa ma non inflessa. Quindi le reazioni ai suoi estremi
sono opposte e allineate con l’asta.
3 Un’asta scarica e priva di peso incernierata alle due estremità prende il nome di biella.
H
A
M
C
F
B
V
B
H
B

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI 41
NON E' BIELLA!
q
Φ Ay
Μ A
Φ Ax
F
F
Φ B
A
BIELLA
Figura 2.9. Le reazioni hanno le direzioni dei moti impediti.
2.5.3 Reazioni interne nelle cerniere
Φ A
F
B C
Figura 2.10. Togliere la cerniera, mettere in evidenza le reazioni interne,
scrivere l’equilibrio dei due pezzi.
2.5.4 Azioni interne nelle aste
♣ [ATTENZIONE AI SEGNI E ALLE INTENSITA’ Cosetta dice che ai geometri
si inverte ...] Si chiamano azioni interne di un’asta in un suo punto la forza
ed il momento che devono essere messi nel punto dell’asta una volta tagliata per
B
F
Φ Cy
Φ Cx

42 CAPITOLO 2. STATICA
mantenere l’equilibrio dei due tronchi con le medesime reazioni vincolari esistenti
prima del taglio. Esse sono:
1. l’azione assiale N
2. l’azione di taglio T
3. il momento flettente M
Per calcolare le azioni interne (dette anche sforzi interni, impropriamente
giacché non si tratta di sforzi, ma di una forza e di un momento) si può procedere
secondo questo schema:
Si consiglia di fare la somma delle forze secondo la tangente all’asta e secondo
la normale e di fare il momento rispetto al punto sezionato: così facendo si
ottengono tre equazioni in ciascuna delle quali compare una sola volta una azione
interna, con grande semplicità di soluzione.
Si osservi che N significa normale alla faccia della sezione e quindi diretta
secondo l’asse della trave; T significa taglio rispetto alla trave e quindi tangente
alla faccia della sezione.
Un errore frequente sta nel verso dei momenti da applicare ai due lembi della
sezione: per il principio di azione e reazione devono essere uguali ed opposti.
Figura 2.11. Errore!

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI 43
datalastruttura
B
calcolare prima
lereazioniesterne
B
poiaprirel’anello
chiuso.
B
A
V A
V A
H A
H A
C
C
C
sidebbono calcolare le
reazioninellecerniere
Figura 2.12. Il processo per calcolare le reazioni interne.
A
V A
D
B C
perdeterminarelereazioni
scrivereleequazionicardinali
e itreequilibri alle
rotazioni
Se vengono indicati così non sono opposti, come si vede esaminando il senso
della rotazione che è lo stesso per entrambi.
2.5.5 Diagramma delle azioni interne
Si chiama diagramma di una azione interna (N, T, M) un diagramma che indichi
in ogni punto di un’asta l’intensità di una sollecitazione con il rispettivo segno.
B
VD HD V C
H C

44 CAPITOLO 2. STATICA
Si riportano dei segmenti perpendicolari all’asta proporzionali (in una opportuna
scala) alla intensità dell’azione. ○ ○ Esempio: per determinare le azioni interne
e disegnare il loro diagramma nell’arco a tre cerniere seguente: ○ si devono
prima calcolare le reazioni vincolari
A
A
VA
H A
P
P
B
B
M
M
C
C
VC
H C
Figura 2.13. I tre diagrammi delle azioni interne.
Diagramma azione di taglio
Diagramma azione assiale
Diagramma momento
flettente
○ Il diagramma della N e della T subisce una brusca variazione dove vi sono
forze concentrate che hanno componente rispettivamente lungo la tangente e
lungo la normale.
Il diagramma del momento flettente M ha discontinuità dove incontra un
momento concentrato.
I momenti flettenti si annullano nelle cerniere, le azioni di taglio si annullano
nei pattini, le azioni assiali si annullano nei manicotti.
2.6 Statica dei fili
Definizione: Si chiama filo un corpo continuo che ha una dimensione
prevalente sulle altre due e che non ha rigidezza flessionale (ovvero

2.6. STATICA DEI FILI 45
che non resiste alla flessione).
Definizione: Si chiama asta o verga un corpo continuo che ha una dimensione
prevalente sulle altre due e che ha una rigidezza flessionale
(ovvero manifesta una resistenza alla flessione).
2.6.1 Sollecitazione continua dei fili
Si parla di sollecitazione discreta quando le forze agenti sul filo sono concentrate
in un numero finito di punti, di sollecitazione continua quando esse sono
distribuite con continuità. In questo secondo caso su ogni elemento infinitesimo
di lunghezza ds agisce una forza infinitesima d f proporzionale a ds:
d f = F(s) ds (2.39)
Per risolvere un problema sui fili è bene operare così:
1. definire un senso di percorso in cui si misura l’arco s;
2. disegnare la tangente t nel senso delgli archi crescenti;
3. disegnare la normale n verso la concavità;
4. disegnare la forza per unità di lunghezza del filo, F con il suo senso;
5. finalmente impostare le equazioni.
equazioni indefinite
di equilibrio
⎧
⎪⎨
condizioni al contorno ⎧⎪⎨⎪⎩
⎪⎩
F(s) + dT(s)
= 0
ds
T(s) = T(s)t(s)
¡ ~ T(0)
A
T(0) + fA = 0
−T(l) + fB = 0
s
P
Figura 2.14. dida
⎧
⎪⎨
⎪⎩
~T(l)
B
F(s) = forza per unità di lunghezza
T(s) = tensione del filo

46 CAPITOLO 2. STATICA
Componenti cartesiane
Componenti intrinseche
⎧
⎪⎨
⎪⎩
T
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A
T
P
P
Figura 2.15. dida
Fx + d
ds Tx = 0
Fy + d
ds Ty = 0
Fz + d
ds Tz = 0
Ft(s) + d
T(s) = 0
ds
Fn(s) + T(s)
r(s)
Fb(s) = 0
= 0
(2.40)
(2.41)
Casi particolari di sollecitazioni discrete: Casi particolari di sollecitazioni
continue:

2.6. STATICA DEI FILI 47
fi
y
catenaria
p
x
tiranti
y
parabola
Figura 2.16. (destra) Filo omogeneo soggetto al solo proprio peso (catenaria);
(centro) Filo che porta un peso uniforme ripartito sulla orizzontale (ponte sospeso);
(sinistra) Filo teso da forze normali al contorno di modulo costante (caso
della tensione superficiale).
y = α Ch x h
; α =
α p
p
x
(2.42)
p = peso per unità di lunghezza del filo h = componente orizzontale della tensione
(costante)
y = x2
2α
+ b; α = h
p
p = peso per unità di lunghezza del ponte
h = componente orizzontale della tensione (costante)
R = costante T = costante
2.6.2 Osservazione sui fili
(2.43)
I fili privi di peso proprio mantengono inalterato (in statica) il valore della tensione
tra il punto di applicazione di una forza e quello della successiva, anche
se si avvolgono su carrucole e su superfici liscie. Si può quindi tagliare il filo
e sostituire la tensione da esso esercitata considerando poi l’equilibrio dei due
pezzi in cui si è diviso il sistema. Questa rottura non è necessaria con l’uso del
principio dei lavori virtuali e del potenziale. Nel caso di anellini mobili sul filo,
sempre prescindendo dall’attrito, la tensione si trasmette immutata da una parte
all’altra dell’anellino. La posizione di equilibrio è quella in cui la linea d’azione
della risultante è bisettrice dell’angolo formato dai due rami del filo.
Nel piano un filo descritto dall’equazione y = f (x) con a ≤ x ≤ b, la
lunghezza del filo è data dalla formula:
l =
b
a
1 + y ′2 dx. (2.44)
Lamina liquida
R

48 CAPITOLO 2. STATICA
τ
P
Figura 2.17. dida
2.6.3 Statica dei fili appoggiati su superficie liscia
○
Figura 2.18. Equazioni intrinseche di equilibrio (sconsigliate in generale le
componenti cartesiane)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Ft(s) + d
T(s) = 0
ds
Fn(s) + Φn(s) + T(s)
r(s)
Fb(s) + Φb(s) = 0
τ
= 0
Φ è la reazione per unità di lunghezza ed è normale al vincolo.
Φ =
Φ 2 n + Φ 2 b
(2.45)
(2.46)
Un filo, in assenza di forze di massa, (ad es. senza peso), per effetto delle forze
applicate agli estremi ha tensione costante e si atteggia secondo la linea più breve
congiungente i due punti A e B sulla superficie. Tale linea si chiama geodetica.
Essa gode anche della proprietà di avere la sua normale principale, in ogni punto,
diretta come la normale alla superficie.

2.7. DETERMINAZIONE DEL BARICENTRO 49
T-
ϑ
T+
ϕ
Figura 2.19.
2.7 Determinazione del baricentro
Il baricentro di un sistema è il centro delle forze peso delle particelle che compongono
il sistema stesso.
Per un sistema discreto di masse è
RG =
N
1
N
1
k mk rk
k mk
Per un sistema continuo:
ovvero
⎧
⎪⎨
⎪⎩
xG =
yG =
zG =
N1 k mk xk
mk
N1 k mk yk
mk
N1 k mk zk
mk
T+
T-
(2.47)

50 CAPITOLO 2. STATICA
rG =
C
C
ρ r dC
ρ dC
ovvero
⎧
⎪⎨
⎪⎩
xG =
yG =
zG =
C
C
C
C
C
C
ρ x dC
ρ dC
ρ y dC
ρ dC
ρ z dC
ρ dC
(2.48)
avendo indicato con dC l’elemento di campo e con ρ la densità (lineare, superficie
o di volume rispettivamente se dC è un elemento di linea, di superficie o
di volume).
Se un corpo omogeneo ha un asse di simmetria o un piano di simmetria il
baricentro giace su di esso.
Per le linee materiali piane omogenee si può usare il I teorema di Pappo
Guldino:
Facendo notare una linea piana attorno ad un asse che non la intersechi, l’area
della superficie di rotazione così ottenuta è eguale alla lunghezza della linea per
la circonferenza descritta dal baricentro:
Per le lamine omogenee si può usare il II teorema di Pappo Guldino:
Facendo ruotare una lamina omogenea attorno ad un asse che non attraversa
la lamina, il volume del solido di rotazione è eguale all’area della lamina per la
circonferenza descritta dal baricentro:
Per calcolare il baricentro di una figura con buchi o comunque ottenuta per
sottrazione di due aree si può usare la forma additiva dei baricentri computando
la parte di area mancante come una massa negativa (naturalmente è solo un trucco
di calcolo).
- =
Figura 2.20. dida

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA 51
Se un corpo è decomponibile in parti di forma semplice il suo baricentro si
può ottenere trovando i baricentri delle singole parti in cui è decomponibile, sostituendo
in tali baricentri delle masse concentrate uguali a quelle delle singole parti
e quindi trovando il baricentro di questo sistema discreto di masse.
Esempio: lamina piana omogenea a forma di L.
Figura 2.21. Calcolo del baricentro per composizione.
2.8 Calcolo dei momenti d’inerzia
a) Assi paralleli
b) Assi concorrenti
particella sistema discreto sistema continuo
Ir = m r 2
N
Ir =
Ir = ρ r 2 dC
1
k mkr 2 k
Dato un corpo consideriamo un suo punto Q generico. Considerate le infinite
rette uscenti da Q la relazione tra i momenti di inerzia del corpo rispetto
a ciascuna di queste rette è espressa dalla formula:
Ir = Ix cos 2 α + Iy cos 2 (β) + 2Ixy cos α cos( β) (2.49)
Per ogni punto di un corpo rigido piano esistono sempre due rette rispetto alle
quali i prodotti di inerzia sono nulli e conseguentemente i momenti di inerzia sono
stazionari: queste due rette sono sempre ortogonali fra loro e prendono il nome
di assi principali di inerzia del corpo relativi al punto considerato.
Se su ogni retta uscente dal punto Q si riporta un segmento di lunghezza QP =
1/ √ Ir il luogo dei punti P è un ellisse d’inerzia.
Gli assi dell’ellisse sono assi principali di inerzia.
Lamine piane.
G
C

52 CAPITOLO 2. STATICA
b
1
ma2 3
1
4
mR 2
5
4
mR 2
1
6
a
G
m
b
m(a 2 +b 2 )
1
ma2 12
G
1
m(a2 +b2 1
m(a
)
3
2 +b2 )
12
1
mb2 1
ma
3
2 +
12
laminarettangolare omogenea
m
G
3
2
1
6
discoomogeneo
1
2
mR 2
mR 2
sferaomogenea
a
2
5
mb 2
mR 2
1
6
ma 2
h
mR 2
triangolo rettangolomogeneo
1
ml2 3
1
2
mR 2
mR 2
Figura 2.22. Momenti d’inerzia di uso frequente.
m
G
R
m
G
1
ml2 12
G
m
3
2
R
mR 2
3
2
3
mR 2
10
1
2
m,l
astaomogenea
1
mR2 1 2
+ mh
4 12
cilindromogeneo
circinferenza omogenea
mR 2
mR 2
cono omogenea

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA 53
C
` C y
` C x
F
F
F
`C x
`C y
QUIZ: la risultante ed il momento del-
a) caso in cui sulle cerniere non agiscano forze
concentrate.
Sopprimere le cerniere mettendo in evidenza
le reazioni su entrambi gli estremi
delle aste. Per il principio di azione e reazione
esse sono uguali ed opposte.
Si impone quindi l’equilibrio di ciascuna
asta.
b) caso in cui sulle cerniere agiscano forze
concentrate.
In questo caso le reazioni sono indeterminate.
Se interessa fare una sezione questa
deve essere fatta in prossimità della cerniera.
In tal caso il momento flettente è trascurabile
e le rimanenti azioni interne possono
ritenersi applicate direttamente sulla
cerniera. Nonostante esse si possano applicare
alla cerniera queste non sono le azioni
interne nella cerniera ma sono le azioni
interne in un punto infinitamente vicino.
(Isolare la cerniera mettendo in evidenza le
forze che l’asta di sinistra e quella di destra
esercitano)
le forze esterne sono nulle: quindi il
sistema è in equilibrio F F
δB
B
p

54 CAPITOLO 2. STATICA
y
P
2
y
P
2
y
O
θ 0
θ 0
s
θ 0
s
r
P
N M
T
R
M
M
T
L
L-s
T
N
G L
P L-s
L
N
P
2
P
2
x
k
x
x
1. Trovare la posizione di equilibrio (se
necessario).
2. Trovare le reazioni vincolari.
3. Disegnare le reazioni trovate con il loro
senso e il loro modulo.
4. Tagliare l’asta nel punto richiesto e mettere
in evidenza le componenti T e N
della forza ed il momento flettente M su
entrambi i lembi della sezione.
5. Distribuire il peso proprio nei due tronchi
concentrandoli poi, per comodità, nei
baricentri dei due pezzi in cui è divisa
l’asta.
6. Equilibrare uno qualunque dei due tronchi,
scrivendo che è nulla la somma delle forze
e dei momenti agenti sul tronco.
superficie laterale S = 2πrL

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA 55
x
z
R
R
y
r
d
r
volume solido rotazione: V = (2 π r)A
x xG = (ρπR2 ) · 0 + (−ρπr 2 )d
ρπR 2 + (−ρπr 2 )
=
r 2
R 2 − r 2
Per calcolare il momento di inerzia rispetto ad
un asse parallelo ad un asse baricentrico di cui
si conosca il momento di inerzia vale la formula:
Ir = Iā + md 2
Applicando due volte questa formula si passa da
un asse generico ad un altro parallelo.
Se x e y sono due assi ortogonali che giacciono
nel piano della lamina e z è ortogonale ad essi,
vale la relazione
Iz = Ix + Iy
y

56 CAPITOLO 2. STATICA

Capitolo 3
CINEMATICA
La cinematica è quella parte della meccanica che si occupa della descrizione del
movimento indipendentemente dalle cause che lo determinano. E’ stata definita
come la geometria del movimento o anche come la geometria dello spazio-tempo.
Quando ci si reca ad una riunione, ad una festa in una casa di qualcuno è buona
norma che ci vengano presentate le persone. Analogamente quando ci si accinge
a studiare un campo della scienza è buona norma presentare i personaggi di cui
si farà uso. Nel bellissimo libro di fisica sperimentale di Pohl è scritto: In fisica
nascono molte difficoltà non necessarie a causa dell’insufficiente definizione delle
parole usate [51, v.I, p.23]. Cominciamo con l’elencare le grandezze cinematiche
più comuni
istante di tempo t
intervallo di tempo τ, T
vettore raggio r
velocità di un punto v = dr/ dt
velocità areale in un moto piano A = dA/ dt
periodo di una oscillazione T
frequenza di una oscillazione f = 1/T
pulsazione di una oscillazione ω = 2π/T = 2π f
accelerazione di un punto a = dv/ dt
velocità angolare di un corpo rigido ω
accelerazione angolare di un corpo rigido α
Queste variabili saranno definite via via che ne avremo bisogno.
3.0.1 Il tempo: istanti ed intervalli
La variabile di base della cinematica è il tempo. Di esso si distinguono due enti
temporali: l’istante e l’intervallo. L’estensione dell’intervallo si chiama durata
57

58 CAPITOLO 3. CINEMATICA
o periodo. L’istante può essere interpretato come coordinata temporale in quanto
individua un evento rispetto ad un istante scelto come origine dei tempi. Si può
riguardare l’istante come una quarta coordinata e considerare la quaterna t, x, y, z
come coordinate di un punto dello spazio-tempo 1 . I punti dello spazio-tempo si
chiamano eventi.
E’ importante osservare che parlare genericamente di tempo e non distinguere
tra i due enti istanti ed intervalli porta a omettere distinzioni essenziali. Ad
esempio lo spostamento è, per sua definizione, associato ad un intervallo di tempo
mentre la posizione è associata ad un istante.
3.0.2 Moto
Uno dei concetti cinematici più importanti è quello di moto che qualcuno definisce
come una successione di istanti di quiete. Viene a proposito il paradosso
di Zenone. Questi avanza degli argomenti contro il movimento. Sentiamo quello
della freccia. La freccia, che appare in movimento, in realtà è immobile: difatti la
freccia non può occupare che uno spazio pari alla sua lunghezza ed è immobile
rispetto a questo spazio; e poiché il tempo è fatto di istanti, per tutto il tempo la
freccia sarà immobile. [34, v.I,p.39]
Gli errori contenuti in questa analisi sono conseguenza di una mancata definizione
della nozione di immobile e quindi della mancata distinzione tra istanti
ed intervalli. Per sapere se un corpo è immobile occorre lasciar decorrere un intervallo
di tempo, ancorché piccolo: un corpo è fermo in un intervallo di tempo
se mantiene la stessa posizione durante l’intervallo. L’istante è concepito come
il punto della geometria, non è dotato di estensione. Dire che un corpo è fermo
in un istante non ha senso. Zenone dice ...e poiché il tempo è fatto di istanti: è
vero semmai il contrario, e cioé che il tempo è fatto di intervalli, come ha rilevato
Aristotele [34, v.I, p.40]. Se la freccia fosse immobile in ogni sotto-intervallo è
chiaro che essa sarebbe immobile nell’intero intervallo. Ma poiché si suppone
che la freccia sia in moto essa risulta in moto in qualsivoglia sotto-intervallo. Il
paradosso di Zenone si rivela quindi... una fregnaccia!
3.0.3 Moto uniforme
Uno dei concetti fondamentali della cinematica è quello di moto uniforme. Esso
viene definito come il moto di un punto che percorre spazi uguali in tempi uguali.
1 L’ordine può essere t, x, y, z oppure x, y, z, t. Si consiglia la prima quaterna in quanto, nella
trattazione dello spazio-tempo dà luogo a formule più semplici che evitano l’unità immaginaria,
assolutamente inopportuna in questo contesto

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO 59
Già: in tempi uguali. Ma questo presuppone la misura dei tempi ovvero l’uso
di un orologio. E l’orologio campione procede di moto uniforme? Si vede che il
giudizio sulla uniformità di un moto ricade nell’assunzione che vi sia un orologio
che proceda ... con moto uniforme!
Il procedimento operativo è molto più sperimentale. Si considera un certo numero
di orologi candidati a diventare l’orologio campione. Si dispongono tutti con
le lancette sullo zero (con una tolleranza prestabilita) quindi si fanno partire tutti
contemporaneamente. Dopo qualche ora o giorno o mese o anno, dipende dalla
precisione che si vuole ottenere, si confrontano allo stesso istante. Alcuni sono
rimasti più indietro rispetto alla media, altri sono andati molto avanti. Si scartano
quegli orologi che si discostano molto dalla media: i rimanenti costituiscono i
campioni che considereremo come dotati di moto uniforme [51, v.1, p.5].
3.1 Cinematica del punto
3.1.1 Velocità e accelerazione
Su molti libri di fisica e di meccanica la velocità è definita come la derivata dello
spostamento. Questa definizione è equivoca e può condurre ad errori notevoli. Intanto
osserviamo che la posizione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento
è determinata dal raggio vettore r(t).
Definizione. Si chiama spostamento di un punto, relativamente
ad un intervallo di tempo τ, il vettore s che congiunge la posizione
iniziale con quella finale del punto nell’intervallo considerato.
E’ evidente che lo spostamento s(τ) non è relativo ad un istante ma ad un intervallo
di tempo e quindi non si può farne la derivata. Per cui si ha la definizione di
velocità
Definizione. Si chiama velocità di un punto ad un istante t il limite
del rapporto tra il vettore spostamento s subìto in un intervallo τ
contenente l’istante t e la durata dell’intervallo τ:
v def s
= lim
τ−→0 τ
(3.1)
Dal momento che lo spostamento è l’incremento del vettore raggio,
ovvero s = ∆r ne viene che
∆r dr
v = lim =
∆t−→0 ∆t dt
(3.2)
Quindi la velocità è uguale alla derivata del vettore raggio (non dello
spostamento!).

60 CAPITOLO 3. CINEMATICA
Osservazione. Una ragione della confusione che spesso viene fatta tra la derivata del
vettore raggio e la derivata dello spostamento sta nel fatto che qualora il punto sia passato
in qualche istante precedente per l’origine del sistema di riferimento, preso come istante
iniziale quello del passaggio per l’origine, il vettore raggio può interpretarsi come lo
spostamento iniziale.
Come si vede la nozione di velocità presuppone uno spostamento e quindi
un intervallo di tempo. Infatti nessuna misura di velocità può essere fatta senza
lasciar trascorrere un benché minimo intervallo temporale. Si pensi alla misura
della velocità fatta con due fotocellule poste ad una certa distanza o con due fotogrammi.
Questo indica che la nozione di velocità è riferita, per principio, ad un
intervallo di tempo. Il fatto è che noi siamo abituati ad usare la velocità istantanea,
valutata facendo il limite della velocità media quando l’estensione dell’intervallo
tende a zero. Così facendo la velocità istantanea risulta funzione dell’istante.
Senonché noi non misureremo mai una velocità istantanea ma sempre e solo una
velocità media su un intervallo molto piccolo ma mai infinitamente piccolo. Quindi
si può dire che la velocità, come nozione, è associata ad un intervallo, quello
usato per misurarla, mentre la velocità istantanea è, per sua definizione, funzione
dell’istante.
3.1.2 Sistema di coordinate e base fisica
Definizione. Un sistema di coordinate è una corrispondenza tra i
punti di una regione di spazio e le terne di numeri reali tale che la
corrispondenza sia biunivoca e bicontinua.
Per fare un esempio, nel sistema di coordinate polari la coordinata angolare
dell’origine ha un valore indefinito e quindi cade la corrispondenza biunivoca
punto-coordinate. Questo porta con sé che molte espressioni matematiche usate
nelle coordinate polari (ad esempio la divergenza di un vettore) abbia una
singolarità per ρ = 0.
Il sistema di coordinate cartesiane è privilegiato, rispetto a tutti gli altri sistemi
di coordinate, per diverse ragioni. La prima ragione è che le coordinate sono delle
lunghezze di segmenti; una seconda ragione è che le le linee coordinate sono
rette; una terza ragione è che i vettori della base fisica, i tradizionali versorii, j,k,
sono uniformi nello spazio, vale a dire si trasportano da un punto ad un altro per
traslazione 2 .
2 Il termine uniforme si deve usare per indicare l’invarianza per traslazione nello spazio, mentre
il termine costante si deve usare per indicare l’invarianza nel tempo.

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO 61
Definizione. Si chiama base fisica di un sistema di coordinate in
un punto l’insieme dei vettori di lunghezza unitaria (=versori) tangenti
alle linee coordinate nel punto e con il verso delle coordinate
crescenti.
raggio
vettore
O
polo
ρ
ϑ
P
anomalia
asse polare
a
Figura 3.1. Coordinate polari
linea ϑ
linea ρ
Il sistema di coordinate polari, che è il più usato dopo quello cartesiano, ha le
linee coordinate ove varia solo l’angolo θ che sono circonferenze e la coordinata
θ non è la lunghezza di un arco di circonferenza. Ne viene che i vettori della base
fisica, denotati con eρ,eθ, pur avendo modulo unitario, variano da un punto ad un
altro. Questo comporta che la differenza tra uno stesso vettore base, ad esempio
eρ, relativa a due punti non è nulla, come invece accade nel riferimento cartesiano.

62 CAPITOLO 3. CINEMATICA
3.1.3 Componenti della velocità e della accelerazione
coordinate cartesiane coordinate polari
r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k r(t) = ρ(t)eρ
⎧
vx(t) = ˙x(t)
⎪⎨
v vy(t) = ˙y(t)
⎪⎩ vz(t) = ˙z(t)
⎧
⎪⎨ vρ(t) = ˙ρ(t)
v ⎪⎩ vϑ(t) = ρ(t) ˙ϑ(t)
⎧
ax(t) = ¨x(t)
⎪⎨
a ay(t) = ¨y(t)
⎪⎩ az(t) = ¨z(t)
⎧
⎪⎨ aϑ(t) = 2 ˙ρ(t) ˙ϑ(t) + ρ(t) ¨ϑ(t)
a ⎪⎩ aρ(t) = ¨ρ(t) − ρ(t) ˙ϑ 2 (t)
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dϑ 2
v 2 =
O
ds
dt
2
= ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2
ϑ
ρ
v ϑ
v
v ρ
direttrice
v 2 =
O
Figura 3.2. dida ...
2 ds
= ˙ρ
dt
2 + ρ 2 ˙ϑ 2
a
ρ
ϑ
a ρ
a ϑ
direttrice
.
(3.3)
Le componenti vρ, vϑ, aρ, aϑ sono le proiezioni dei vettori v e a rispettivamente
sulle tangenti alle linee coordinate ρ = costante, ϑ = costante.
Invece di un sistema di coordinate si può far uso della terna intrinseca. Questa
è molto comoda quando si conosca la traettoria del punto, in particolare, denotando
con s la lunghezza dell’arco di traettoria tra un punto di riferimento ed
il punto attuale, quando si consoscano le equazioni parametriche della traettoria

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO 63
x(t), y(t), z(t) si ricava
v = ˙st a = ¨st + ˙s2
r
n. (3.4)
La velocità di un punto è tangente alla traiettoria; mentre l’accelerazione
giace nel piano osculatore.
3.1.4 Come orientare la normale ad una curva piana
Assegnata una curva piana, fissato un verso di percorso, il versore tangente t alla
curva in un suo punto generico ha il verso concorde al verso fissato sulla curva.
Per il versore normale n ci sono due scuole di ... pensiero. La maggior parte
degli autori orienta il versore normale verso il centro del cerchio osculatore ovvero
dalla parte della concavità.
Così facendo, qualora la curva abbia un tratto rettilineo il vettore normale in
quel tratto non si sa come orientarlo. Se la curva ha un flesso, come capita per una
sinusoidale, a cavallo del punto di flesso la normale salta improvvisamente da una
parte all’altra della curva, il che non è consigliabile.
punto di flesso
R = +7
R = +6
R = -7
R = +6
a) b)
Figura 3.3. Le due opposte convenzioni sul segno della normale ad una curva
piana. a) la normale dalla parte della concavità; b) la normale sempre da una
stessa parte.
La seconda scuola di pensiero mette la normale sempre dalla stessa parte della
curva, evitando così le discontinuità. Questo secondo modo ha l’apparente difetto
di comportare raggi di curvatura negativi quando la normale non è volta verso la
concavità. Ma questo non è un problema: nello studio delle superfici si usano le
curvature con segno e quindi un raggio di curvatura negativo può benissimo essere
accettato per una curva piana.
3.1.5 Alcune grandezze in coordinate polari
∂eρ
∂ρ
= 0 ;
∂eρ
∂θ = eθ ;
∂eθ
∂ρ
= 0 ;
∂eθ
∂θ
= −eρ
(3.5)

64 CAPITOLO 3. CINEMATICA
deρ
dt
= ˙ρ∂eρ
∂ρ + ˙θ ∂eρ
∂θ = ˙θ eθ
deθ
= ˙ρ∂eθ
dt ∂ρ + ˙θ ∂eθ
∂θ = −˙θ eρ (3.6)
r
v
=
=
ρ eρ
˙ρ eρ + ρ deρ
dt = ˙ρ eρ
a =
+ ρ ˙θ eθ
dv
dt = ¨ρeρ + ˙ρ deρ
dt + (˙ρ ˙θ + ρ¨θ)eθ + ρ˙θ deθ
=
dt
¨ρeρ + ˙ρ˙θeθ + (˙ρ ˙θ + ρ¨θ)eθ − ρ˙θ 2 =
eρ
(¨ρ − ρ˙θ 2 )eρ + (2˙ρ˙θ + ρ¨θ)eθ
(3.7)
A def
= 1
(P − S ) × v
=
2
1
2 ρ2 ˙θ velocità areale. (3.8)
3.1.6 Moto centrale
E’ il moto di un punto che ha sempre l’accelerazione diretta verso un punto fisso
detto centro. Il moto è piano e la velocità areale è costante. Essa è data da
A △ = dA(t)
dt
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1
2 ρ2 ˙ϑ in coordinate polari
1
2 (x˙y − ˙xy) in coordinate cartesiane
Lo studio di un moto centrale è facilitato dalla sostituzione 1
ρ = η. Così
formula di Binet aρ(θ) = d2 η2 [η(ϑ) + η(ϑ)]
legge di Newton Fρ(ρ) = G M m η 2 Fθ = 0
equazione conica η(θ) = 1
p
P
p
F
+ e
p cos(ϑ)
θ p θ
F 0
2a
2c
F ′
Figura 3.4. Coniche [MANCA LA PARABOLA] ♣
c
a
F ′
p
F=F ′
(3.9)
θ

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO 65
3.2 Cinematica del corpo rigido
3.2.1 Atto di moto rototraslatorio
a = semiasse maggiore
b = semiasse minore
c = semidistanza focale
e = eccentricità della conica = c/a
p = ordinata nel fuoco = b 2 /a
d = 2 ˙A
e > 1 = iperbole
e = 1 = parabola
e < 1 = ellisse
e = 0 = circonferenza
Definizione: Si dice atto di moto di un sistema ad un dato istante,
l’insieme delle velocità dei punti del sistema a quell’istante.
Per un corpo rigido la sola conoscenza della velocità di un suo punto generico
A (o di un punto solidale con esso) e della sua velocità angolare è sufficiente a
determinare la velocità di ogni altro punto B del corpo (o solidale con esso) al
medesimo istante secondo la formula:
vB = vA + ω × (B − A) (3.10)
B e A sono due punti del corpo rigido o solidali con esso.
vA, vB sono le velocità dei punti A e B.
ω è il vettore velocità angolare del corpo rigido.
Questa formula vale solo per un atto di moto rototraslatorio che è tipico,
ma non esclusivo, del corpo rigido: anche un corpo deformabile (ad esempio una
gomma per cancellare) può avere uno spostamento rototraslatorio.
Da questa formula si trae il fatto importante che le proiezioni delle velocità
dei due punti generici A e B sulla retta che li congiunge sono equali.
Figura 3.5. FARE UNA FIGURA

66 CAPITOLO 3. CINEMATICA
O
A
A
ω
~
V A
1
u
ω 2
B
B
~
V B
VA
ω1
x (A -O)
ω
1 x (B -A)
3.2.2 Centro di istantanea rotazione
V B
B
V A
vB · u = vA · u
ω × [B − A] · u ≡ 0
A e B sono due punti di uno stesso corpo rigido,
ω2 è la velocità angolare del medesimo corpo rigido.
vA = vB + ω2 × (B − A)
Definizione: Si dice moto piano il moto in cui le velocità di tutti i
punti di un sistema sono in ogni istante paralleli ad un piano fisso
detto piano direttore.
Definizione: Il centro di istantanea rotazione in un moto rigido
piano è quel punto del piano direttore rispetto al quale l’atto di moto
è rotatorio.
Il centro di istantanea rotazione, se pensato come solidale con il corpo rigido, ha
velocità nulla nell’istante considerato, ma non ha in genere accelerazione nulla.
Indicato con C potremo scrivere
vC = 0, aC 0. (3.11)
Il centro di istantanea rotazione si può trovare analiticamente scegliendolo come
polo C:
vP = ω · (P − C); vC = 0. (3.12)

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO 67
Y
~j
y
~i
a(t) P
b(t)
X C (t)
xC (t)
C
yC (t)
x
`(t)
YC (t)
X
Dette a(t) e b(t) le coordinate di un generico
punto P solidale con il corpo rigido preso come
origine del riferimento mobile si ha:
i j k
˙a(t)i+˙b(t)j =
0 0 ˙ϕ(t)
a(t) − XC(t) b(t) − YC(t) 0
da cui sviluppando ed eguagliando i coefficienti
si ottiene:
y
⎧
⎪⎨
⎪⎩
XC(t) = a(t) − ˙b(t)
˙ϕ(t)
YC(t) = b(t) + ˙a(t)
˙ϕ(t)
Figura 3.6. Base e rulletta di un’asta che scorre con i due estremi su due guide
ortogonali. La circonferenza grande è la base mentre le circonferenze piccole
sono le rullette.
L’equazione della polare fissa (o base) si ottiene eliminando t dalle due equazioni.
Spesso nelle equazioni non compare esplicitamente t ma solo ϕ : basta
allora eliminare ϕ dalle due equazioni per ottenere la polare fissa. Le coordinate
x

68 CAPITOLO 3. CINEMATICA
del centro relative al riferimento mobile P(x, y) sono
⎧
⎪⎨
⎪⎩
xC(t) = +(XC − a) cos(ϕ) + (YC − b) sin ϕ;
yC(t) = − (XC − a) sin ϕ + (YC − b) cos(ϕ)
da cui eliminando t si ottiene l’equazione della polare mobile (o rulletta).
3.3 Vincoli anolonomi
(3.13)
Un esempio classico è quello di un disco che rotola senza strisciare su un piano
(ad esempio una moneta sul tavolo): la posizione del disco (che supponiamo si
mantenga sempre perpendicolare al piano di rotolamento) è individuata da quattro
coordinate generalizzate (x, y, ϑ, ϕ in figura (3.3)). Ma il vincolo di rotolamento
impone un legame tra le variazioni delle coordinate, precisamente
R dϕ = dx 2 + dy 2 rotolamento senza trascinamento
dy = tgϑ dx moto trasversale impedito
(3.14)
Solo quando si precisa la traiettoria seguita dal disco, cioé si assegna la linea
y = y(x), la relazione tra le variazioni (vincolo di mobilità) si traduce in una
relazione tra le coordinate generalizzate:
y(x) =
x
0
1
1 + y
R
′ (x) 2 dx ϑ(x) = artg( y ′ (x)) (3.15)
Poiché in un problema di dinamica la traiettoria non è nota a priori ne viene
che tra le coordinate generalizzate rimane un legame espresso da equazioni
differenziali di cui si deve tener conto nella risoluzione del problema del moto.
y
’
R
x
y
R
d’
ds
dy
dx
Figura 3.7. [anolonomo] dida
x
rotazione (concessa)

3.3. VINCOLI ANOLONOMI 69
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 5 10 15 20 25 30
16
14
12
10
8
6
4
2
Figura 3.8. [biellaManovella] Nel meccanismo biella-manovella, se la biella è
corta il suo estremo non descrive un moto armonico.
0
0 5 10 15 20 25 30
Figura 3.9. [biellaManovella2] Nel meccanismo biella-manovella, se la biella
è lunga il suo estremo descrive un moto molto prossimo a quello armonico.

70 CAPITOLO 3. CINEMATICA
Figura 3.10. [scodella] La posizione di equilibrio di un’asta mobile entro un
circonferenza: un cucchiaio nella scodella.

Capitolo 4
Dinamica
4.0.1 Equazioni cardinali della dinamica
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dP
dt = R + R ′
dLA
dt + vA × P = MA + M ′ A
sono due equazioni vettoriali
pari a sei equazioni scalari
(4.1)
Sono valide per qualunque sistema di forze, per qualunque tipo di vincolo,
per qualunque polo A fisso o mobile mobile.
P = quantità di moto totale
R = risultante delle forze attive esterne
R ′ = risultante delle forze reattive esterne
LA = momento della quantità di moto rispetto ad A
vA = velocità del punto A
MA = momento delle forze attive esterne rispetto ad A
M ′ A = momento delle forze reattive esterne rispetto ad A.
Le equazioni cardinali sono necessarie, cioè devono valere durante il movimento,
per il moto di qualsiasi sistema, ma sono sufficienti, cioè bastano da sole
a determinare il movimento, solo per un corpo rigido, che ha infatti al massimo
6 gradi di libertà.
Esse sono compatibili tra loro e indipendenti, salvo il caso in cui il sistema
si riduce ad un solo punto: in questo caso le ultime tre coincidono con le prime
tre.
71

72 CAPITOLO 4. DINAMICA
Indicando con G il centro di massa, la prima equazione si può anche scrivere:
maG = R + R ′
(4.2)
forma particolarmente utile per il corpo rigido. Se il punto A lo si fa coincidere
con il centro di massa G la seconda equazione, si può scrivere:
forma utile particolarmente nel caso di un corpo rigido.
4.0.2 Calcolo del momento angolare
dLG
dt = MG + M ′ G (4.3)
Se A è un generico punto, anche mobile rispetto ad un riferimento inerziale, è per
definizione:
per un sistema discreto
per un sistema continuo
N
def LA = (ri − rA) × mivi (4.4)
def LA = (r − rA) × ρv dΩ (4.5)
i=1
Una volta calcolato il momento delle quantità di moto rispetto ad un polo A, per
calcolare rispetto ad un altro polo B si usa la formula di trasporto:
LB = LA + (rA − rB) × P (4.6)
Per calcolare il momento delle quantità di moto di un sistema è conveniente calcolare
separatamente il momento delle quantità di moto di ciascun corpo rigido e
di ciascuna particella di cui è composto il sistema e poi sommarli.
Dalla definizione del momento delle quantità di moto mediante l’uso della
relazione
vk = vG + ω × (rk − rG) (4.7)
si trova l’espressione generale del momento delle quantità di moto per un corpo
rigido:
LA = (rG − rA) × P + IGx ωx i + IGx ωy j + IGz ωz k (4.8)
essendo
ω(t) = ωx(t) i(t) + ωy(t) j(t) + ωz(t) k(t) (4.9)
cioè: il momento delle quantità di moto di un corpo rigido rispetto ad un polo generico
è la somma del momento della quantità che ha l’intera massa concentrata
nel baricentro e di quella relativa al baricentro.
Ω

A
V A
X
Z
G
k(t)
vedi riferimento pag 328 cdr
i(t)
j(t)
z
x
y
Y
73
G = baricentro
A = punto generico
P = quantità di moto totale
i, j,k = versori di una terna di assi
solidali con il corpo con origine
nel baricentro e diretti come gli assi
principali di inerzia
IGx, IGy, IGz = momenti principali di inerzia
(quindi rispetto agli assi x, y, z).
ωx, ωy, ωz = componenti della velocità angolare
rispetto alla terna principale di inerzia.
Dalle formule precedenti si ricavano le seguenti formule particolari.
moto piano.
♣
corpo rigido con asse fisso:
momento rispetto all’asse
momento rispetto ad un asse
baricentrico
momento rispetto ad un asse
passante per il centro di
istantanea rotazione C
momento rispetto ad un asse
passante per un punto generico
S
Moto dello spazio.
rispetto al centro di una massa G (assi
generici)
essendo
Ix = ρ(y
V
2 + z 2 ) dV, ecc.
Iyz = − ρyz dV, ecc.
V
rispetto ad un polo generico A
LAz = IAz ˙ϕ
LGz = IGz ˙ϕ
LCz = ICz(t) ˙ϕ
LS = LG + (G − S ) × P ovvero
LS z = IGz ˙ϕ + m
(xG − xS ) yG ˙ − (yG − yS ) ˙xG
LG = LGx i + LGy j + LGz k
LGx
LGy
LGz
=
IGx IGxy IGxz
IGyx IGy IGyz
IGzx IGzy IGz
LA = LG + (rG − rA) × mvG
ωx
ωy
ωz

74 CAPITOLO 4. DINAMICA
QUIZ: poichè sono verticali i carichi
sono verticali le reazioni
X
Z
y
4.0.3 Teorema dell’energia
G
x
z
Y
A
φ A
X
P Q
P Q
Figura 4.1. Assi principali baricentrici.
In un riferimento inerziale vale il teorema dell’energia
dT
dt
= P int
att + P est
att + P int
reatt + P est
reatt
Z
x
z
G
B
φ B
Y
y
(4.10)
cioè la derivata dell’energia cinetica rispetto al tempo è uguale alla potenza delle
forze attive e reattive, esterne ed interne agenti sul sistema. Questa equazione vale
per qualunque tipo di vincolo e per qualunque sistema di forze.

Se i vincoli interni ed esterni non sono dissipativi e sono fissi, il lavoro fatto
dalle reazioni è nullo:
P int
reatt = 0 P est
reatt = 0 vincoli non dissipativi e fissi. (4.11)
In questo secondo caso il teorema dell’ energia diventa:
dT
dt
75
= P int
att + P est
att vincoli non dissipativi e fissi (4.12)
che è una equazione pura. Se il sistema è un corpo rigido la potenza delle forze
interne è nulla:
P int
att = 0 corpo rigido (4.13)
per cui il teorema dell’energia si riduce a
dT
dt
= P est
att corpo rigido (4.14)
Il teorema dell’energia si usa anche nella forma integrata
∆T = W int
att
+ W est
att
+ W int
reatt + W est
reatt
(4.15)
La potenza di un sistema di forze applicate nei punti A1, A2, ..., AN, è data da
P def
N
= Fi · vi. (4.16)
i=1
Se il corpo su cui agiscono le forze è rigido, tenendo conto della relazione:
la precedente diviene:
essendo
vB = vA + ω × (B − A) (4.17)
P = R · vA + MA · ω corpo rigido (4.18)
R = risultante del sistema di forze agenti sul corpo rigido
B = punto generico del corpo rigido
MA = momento del sistema di forze rispetto a A
ω = velocità angolare del corpo rigido.
Nel caso in cui il corpo rigido si muova di moto piano la formula precedente
diviene:
P = Rx ˙xA + Ry ˙yA + MAz ˙ϕ. (4.19)
Per calcolare la potenza delle forze agenti su un sistema generico si sommano
le potenze relative ai singoli corpi rigidi e punti materiali di cui è composto il
sistema.

76 CAPITOLO 4. DINAMICA
4.0.4 Integrale dell’energia
Se i vincoli non sono dissipativi, se i vincoli esterni sono fissi (così che il sistema
non riceve energia tramite i vincoli) se le forze attive, sia interne che esterne,
sono conservative, vale l’integrale dell’energia:
T= energia cinetica del sistema
V= energia potenziale del sistema
E= energia totale (si determina con le condizioni iniziali)
T + V = E (4.20)
che ha il pregio di mettere in evidenza un bilancio energetico. Si osservi che
ponendo U △ = −V, denotando con U il potenziale delle forze attive, l’integrale
dell’energia acquista la forma:
T − U = E. (4.21)
4.0.5 Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia
Il teorema dell’energia può sostituire vantaggiosamente una delle equazioni cardinali
nel caso di un corpo rigido in quanto per un corpo rigido dalle equazioni
cardinali si può dedurre il teorema dell’energia.
Se invece le equazioni cardinali sono applicate ad un sistema non rigido, il
teorema dell’energia può aggiungersi ad esse in quanto contenendo il lavoro delle
forze interne non può essere conseguenza delle equazioni cardinali.
Se un sistema, in particolare un corpo rigido o un punto materiale, ha un solo
grado di libertà il teorema dell’energia è particolarmente conveniente. Questo è
vero, in particolare, quando è noto il moto del sistema e si desidera trovare il
valore di una forza o di un momento incogniti che mantengono il movimento.
Analoghe considerazioni valgono per l’integrale dell’energia. Esso però, pur
avendo una validità più ristretta perché esclude le forze dissipative e i vincoli mobili,
ha il vantaggio di essere costituito da una equazione differenziale del primo
ordine, e quindi risparmia una integrazione.
4.0.6 Calcolo dell’energia cinetica
L’energia cinetica di un sistema meccanico è per definizione
per un sistema discreto di particelle
T = 1
2
N
k=1
mk v 2 k
(4.22)
per un sistema continuo
T = 1
2
ρ v 2 dV (4.23)
V

Per un corpo rigido, valendo la relazione vk = vB + ω × (Pk − B) in cui B è un
generico punto del corpo rigido oppure solidale con esso, la formula precedente
diviene:
T = 1
2 m v2 B + mvB · ω × (rG − rB)+
+ 1
2 (Ixω 2 x + Iyω 2 y + Izω 2 z + 2Ixyωxωy + 2Ixzωxωz + 2Iyzωyωz)
77
(4.24)
(per i simboli si veda il paragrafo precedente).
Se in particolare si sceglie B coincidente con il baricentro e se per assi si
scelgono quelli principali di inerzia la formula precedente diventa:
T = 1
2 m v2 1
G +
2 (IGxω 2 x + IGyω 2 y + IGzω 2 z ) (4.25)
Per calcolare l’energia cinetica di un sistema non conviene, in generale, far
uso del teorema di König applicato all’intero sistema: è meglio calcolare separatamente
le energie cinetiche dei singoli corpi rigidi e punti materiali che
compongono il sistema e poi sommarle.
Dalle formule precedenti si ottengono le seguenti formule particolari:
Moto piano.
corpo rigido con asse fisso
T = 1
2 IAz ˙ϕ 2
corpo rigido genericamente mobile
T = 1
2 m v2 1
G + 2 IGz ˙ϕ 2
Si faccia attenzione che ICz, in generale, è una quantità variabile: dunque nelle
successive derivazioni (rispetto al tempo o rispetto alle coordinate) deve essere
trattata come variabile.
Per calcolare l’energia cinetica di una particella conviene, in generale, usare le
coordinate cartesiane x, y, z del punto in funzione delle coordinate libere, e quindi
derivarle rispetto al tempo e sommarne i quadrati.
In qualche semplice caso esprimendo la velocità assoluta mediante la velocità
relativa e quella di trascinamento può convenire far uso della formula
T = 1
2 m(vtrasc + vrel) 2 = 1
2 m v 2 trasc + v 2 rel + 2 vrel vtrasc cos(ϑ)
essendo ϑ l’angolo formato tra vrel e vtrasc. ♣ H6D Esempio.
(4.26)

78 CAPITOLO 4. DINAMICA
QUIZ: w ∗ = +F δxB − F δxA = 0
poiché xA = −L cos(ϑ) e xB = L cos(ϑ)
ne viene δxA = −δxB e quindi
w ∗ = 2 F δxB = 0
donde F = 0. Dove sta l’errore?
y
S
m
α
X
A X
A
x
y
F
L
ϑ
A y B
m
S vrel
vtrasc
Figura 4.2. Dado che scivola su un piano inclinato mobile. Le coordinate libere
scelte sono xA ed s.
x = xA + s cos α
y = s sen α
˙x = ˙xA + ˙s cos α
˙y = ˙s sen α
T = 1
2 m v2 = 1
2 m( ˙x2 + ˙y 2 ) = 1
2 m ˙x 2 A + ˙s2 + 2 ˙xA ˙s cos α
Facendo uso del secondo procedimento, essendo vtrasc = ˙xA, vrel = ˙s e l’angolo
tra vrel e vtrasc uguale ad α ne viene direttamente l’espressione precedente.
4.0.7 Relazione simbolica della dinamica
La disequazione:
N
( Fk − mk ak) · δrk ≤ 0 (4.27)
k=1
prende il nome di relazione simbolica della dinamica.
x
F
x

Fk = forza attiva agente sul punto Pk
mk = massa della particella Pk
ak = accelerazione della particella Pk
δPk = spostamento virtuale.
Osservazione. Si osservi l’uso del simbolo δ: esso è obbligatorio ! Qualora si
usasse il simbolod si intenderebbe con dri ≡ dPi lo spostamento effettivo e come
tale dri = vi dt. Ciò significa che considereremmo uno spostamento particolare,
quello effettivamente compiuto, nella direzione della velocità. L’essenza dell’equazione
simbolica, al contrario, è quella di affermare che una quantità è positiva
o nulla per qualunque spostamento virtuale non per uno specifico spostamento
(quello effettivo). Inoltre se i vincoli sono mobili lo spostamento effettivo non è
compreso nella famiglia degli spostamenti virtuali e la disuguaglianza risulterebbe
falsa in quanto lo spostamento effettivo non risulta, in generale, ortogonale alla
reazione vincolare.
La relazione simbolica vale in un riferimento inerziale e se i vincoli sono
lisci. Essa non è comoda per la determinazione del movimento e viene perciò
usata nelle sue forme più elaborate, come ad esempio le equazioni di Lagrange o
quelle di Hamilton.
Osservazione. Si ponga attenzione al fatto che nell’equazione simbolica della
dinamica compaiono le forze interne nonostante la somma delle forze interne sia
nulla. Infatti anche se la somma delle forze è nulla ciò non comporta che anche la
somma dei lavori sia nulla.
Se i vincoli sono bilateri la disequazione si trasforma in equazione e quindi
acquista la forma
79
N
( Fk − mk ak) · δrk = 0 vincoli bilateri (4.28)
k=1
E’ questa l’equazione simbolica della dinamica, punto di partenza per la deduzione
delle equazioni di Lagrange e di Hamilton quindi della meccanica analitica.
4.0.8 Principio di d’Alembert
Premesso che la quantità −mkak prende il nome di forza di inerzia, allora:
Principio di d’Alembert: si passa dalle equazioni della statica a
quelle della dinamica aggiungendo alle forze attive le forze di inerzia.

80 CAPITOLO 4. DINAMICA
Così si passa dalle equazioni cardinali della statica a quelle della dinamica:
⎧
N
( Fk + Φk) = 0
⎪⎨ k=1
N
rk ⎪⎩
× ( Fk + Φk) = 0
→
⎧
N
Fk + Φk − mk ak = 0
⎪⎨ k=1
N
rk ⎪⎩
×
Fk + Φk − mk ak = 0
(4.29)
k=1
e dal principio dei lavori virtuali alla relazione simbolica della dinamica:
N
k=1
Fk · δrk ≤ 0 −→
k=1
N
( Fk − mk ak) · δrk ≤ 0 (4.30)
Il principio di d’Alembert permette di ridurre l’impostazione di un problema di
dinamica alla impostazione di un corrispondente problema di statica tenendo conto
appunto delle forze di inerzia. Il procedimento risulta particolarmente utile
quando il moto del sistema è assegnato (e quindi le forze di inerzia sono note),
mentre risultano incognite le forze attive che mantengono il movimento. In
questo senso il principio di d’Alembert è particolarmente usato nella meccanica
applicata.
4.0.9 Equazioni di Lagrange
Se è dato il moto del sistema soggetto a vincoli olonomi, lisci e bilateri con n
gradi di libertà: se q 1 (t), q 2 (t), . . . , q n (t) sono n coordinate libere atte ad individuare
la configurazione del sistema ad un generico istante t, le equazioni pure di
movimento sono date dalle equazioni di Lagrange:
k=1
d ∂T ∂T
−
dt ∂˙q h ∂qh = Qh h = 1, 2, . . . , n (4.31)
valida per vincoli olonomi, lisci, bilateri.
T(q, ˙q, t) è l’energia cinetica del sistema e le Qh( q 1 , q 2 , ...; ˙q 1 ˙q 2 , ...t) sono le
forze generalizzate date dall’espressione differenziale lineare
w ∗ =
n
h=1
Qh δq h , (4.32)
che esprime il lavoro virtuale delle forze attive sia esterne che interne al sistema.
Se le forze generalizzate Qh ammettono potenziale, cioè Qh = ∂U ∂V
= −
∂qh ∂qh le equazioni di Lagrange divengono:

d
dt
∂L
∂˙q
∂L
− = 0 (4.33)
h ∂qh I pregi delle equazioni di Lagrange sono:
L def
= T − V
funzione di Lagrange o lagrangiana
81
(4.34)
a) di essere equazioni pure, cioè non contenere reazioni vincolari e quindi di
essere adatte al calcolo del movimento;
b) di essere in numero uguale al numero dei gradi di libertà e quindi sufficienti
per la determinazione del movimento;
c) di essere indipendenti ovvero nessuna è combinazione delle altre;
d) di valere anche se i vincoli sono mobili;
e) nel caso di forze conservative di far dipendere il moto del sistema dalla sola
conoscenza di due quantità: l’energia cinetica ed il potenziale.
I difetti sono:
a) di non permettere il calcolo delle reazioni vincolari (salvo eliminare i vincoli
e considerare le reazioni come forze attive);
b) di valere solo per sistemi olonomi e per vincoli lisci.
In linea di massima più complicato è il sistema e più vantaggioso è l’uso delle
equazioni di Lagrange.
○
4.0.10 Punto materiale libero
Esempi: il moto dei gravi nel vuoto, nell’aria, il moto di un elettrone in un campo
magnetico.
Le equazioni finite di movimento sono:
coordinate cartesiane
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
coordinate polari
ϑ = ϑ(t) ρ = ρ(t)
(4.35)
Si usa l’equazione fondamentale: F = m a che assume le seguenti forme:
⎧
coordinate cartesiane
⎪⎨ Fx = m ¨x(t)
Fy = m¨y(t)
⎪⎩ Fz = m¨z(t)
⎧
coordinate polari
⎪⎨
(nel piano)
Fρ = m(¨ρ − ρ ˙ϑ
⎪⎩
2 )
Fϑ = m(2˙ρ ˙ϑ + ρ ¨ϑ)
⎧
componenti
intrinseche
⎪⎨ Ft = m¨s(t)
Fn = m
⎪⎩
˙s2 (t)
r(s)
Fb = 0
(4.36)

82 CAPITOLO 4. DINAMICA
QUIZ: la risultante delle forze esterne è
nulla, dunque il sistema è in equilibrio.
F F
Una delle equazioni cartesiane o la prima delle intrinseche può essere sostituita
dal teorema dell’energia ∆T = W o, nel caso di forze attive conservative,
dall’integrale dell’energia T + V = E.
Per ottenere le equazioni della traiettoria si può esprimere l’arco di traettoria
s in funzione del tempo, quindi ricavare il tempo in funzione di s e infine sostituire
la funzione t = t(s) nelle equazioni di moto. Si ottiene
x = x(s) y = y(s) z = z(s). (4.37)
La funzione s(t) si ottiene mediante la formula
t
s(t) = s(0) + ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2 dt. (4.38)
0
Le tre equazioni differenziali del secondo ordine comportano, ad integrazione
avvenuta, la nascita di 6 costanti arbitrarie che possono essere determinate una
volta date le condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali).
4.0.11 Particella vincolata a una linea fissa e liscia
Esempio: il giro della morte (particella costretta a seguire una guida a forma di
circonferenza).
Consiglio: fare una figura chiara, possibilmente grande. Scegliere un verso
positivo per gli archi, adeguare ad esso il verso di un eventuale angolo scelto
come coordinata libera, disegnare il versore tangente alla linea nel verso degli
archi crescenti, disegnare la normale che giace nel piano osculatore scegliendola
sempre da una stessa parte percorrendo la curva e se necessario la binormale.
Un disegno ben fatto evita gli errori di segno.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
equazioni polari: equazioni intrinseche:
⎧
Ft = m¨s
⎪⎨
Fρ + Φρ = m(¨ρ − ρ ˙ϑ 2 )
Fϑ + Φϑ = m(2˙ρ ˙ϑ + ρ ¨ϑ)
⎪⎩
Fn + Φn = m ˙s2
r
Fb + Φb = 0
δB
(4.39)
La prima equazione può essere sostituita con ∆T = W o, per le forze conservative,
con T + V = E o anche da una equazione di Lagrange. Le equazioni
cartesiane sono sconsigliate.
B
p

O
piano osc.
t
b
piano normale
φ
n
F + Φ = m a
⎧
⎪⎨
⎪⎩
83
equazioni polari: equazioni intrinseche:
⎧
Ft = m¨s
⎪⎨
Fρ + Φρ = m(¨ρ − ρ ˙ϑ 2 )
Fϑ + Φϑ = m(2˙ρ ˙ϑ + ρ ¨ϑ)
Se il vincolo è unilatero il punto abbandona il vincolo quando Φ = 0.
Se la linea è piana può essere comodo usare le coordinate polari:
‰
P
F
'
' ‰
'
diretrice
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Fρ + Φρ = m (¨ρ − ρ ˙ϑ 2 )
Fϑ + Φϑ = m (2 ˙ρ ˙ϑ + ρ ¨ϑ)
4.0.12 Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia
⎪⎩
Fn + Φn = m ˙s2
r
Fb + Φb = 0
Se indichiamo con ϕ(x, y, z) = 0 l’equazione della superficie il vettore v = ∂ϕ
∂x i +
∂ϕ
∂y j + ∂ϕ
z è perpendicolare alla superficie. Le equazioni cartesiane di moto
∂z
sono: ⎧⎪⎨⎪⎩
m ¨x = Fx + λ(P) ∂ϕ
∂x
m¨y = Fy + λ(P) ∂ϕ
∂y
m¨z = Fz + λ(P) ∂ϕ
∂z
(4.40)
Eliminando λ tra le tre equazioni di moto si ottengono due equazioni pure
di tipo differenziale tra le coordinate x, y, z. Queste due equazioni aggiunte alla
equazione della superficie ϕ(x, y, z) = 0 forniscono, una volta risolte, le funzioni
x(t), y(t), z(t) che danno il moto del punto.
Noto il movimento la funzione λ(P) si può allora ottenere da una delle tre
equazioni di moto. Essa serve per calcolare la reazione.

84 CAPITOLO 4. DINAMICA
Qualora il vincolo sia unilatero il punto abbandona il vincolo quando Φ = 0,
cioè λ(P) = 0. [mettere qui la figura della particella che scivola su un disco fisso
@] Una delle tre equazioni può essere sostituita dal teorema dell’energia ∆ T = W
o, se le forze attive sono conservative, dall’integrale primo T + V = E.
Se F = 0 la traiettoria è una geodetica della superficie.
4.1 Dinamica del corpo rigido
4.1.1 Corpo rigido con asse fisso
♣ Esempi: una puleggia che ruota su un albero; il rotore di un motore elettrico.
M
’(t)
Figura 4.3.
Il sistema ha un solo grado di libertà. Indicata con ϕ la coordinata libera, in
assenza di attriti e di resistenze di altro tipo, l’equazione pura è:
Le due altre equazioni
IAz ¨ϕ = MAz
m ¨xG = Rx + Φx
m ¨yG = Ry + Φy
(4.41)
(4.42)
servono per determinare la reazione nella cerniera.
In assenza di attriti si può sostituire l’equazione pura (4.41) con il teorema
dell’energia nella forma differenziale dT
= P o nella forma finita ∆T = W. Se
dt
le forze sono conservative, si può sostituire la (4.41) con l’integrale dell’energia
T + V = E.
4.1.2 Rotolamento nel moto piano
Se si trascura l’attrito di rotolamento rimane l’attrito statico che realizza il vincolo.

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 85
Per il calcolo del movimento basta usare il teorema dell’energia o un’equazione
di Lagrange: quest’ultima è particolarmente consigliabile per lo studio
delle piccole oscillazioni. Le equazioni cardinali sono indicate soprattutto se
interessano anche le reazioni.
y
x c
C
G
ϕ
R
x c = -Rϕ
x
Figura 4.4. Due esempi di rotolamento.
y
x c
φ n
C
ϕ
G
φ t
x c = -Rϕ
Il punto di contatto C è il centro di istantanea rotazione. Conviene usare come
coordinata l’angolo ϕ. Tra xC e ϕ c’è il legame differenziale ˙xC = ±R ˙ϕ col segno
+ se xC e ϕ crescono entrambi, col segno − se l’aumento dell’uno comporta la
diminuzione dell’altro. E’ conveniente usare il baricentro come polo in quanto il
momento d’inerzia IGz è costante. Lo svantaggio è che compare il momento delle
forze reattive M ′ Gz .
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dLGz
= MGz + M ′ Gz
dt
m ¨xG = Tt + Φt
m¨yG = Rn + Φn
(4.43)
Se il baricentro è nel centro del disco allora è comodo usare come polo, per il
calcolo dei momenti il punto di contatto C. Infatti in questo caso il momento
d’inerzia rispetto a C è pure costante essendo IC = IG + mR 2 . In tal caso la
velocità del centro di istantanea rotazione C è parallela a quella del baricentro G.
In questo caso l’equazione di moto pura diventa:
ICz ¨ϕ(t) = MCz
(4.44)
Se le forze attive sono conservative il movimento si determina con il solo teorema
dell’energia o con l’integrale dell’energia o con l’equazione di Lagrange per il
caso conservativo.
x

86 CAPITOLO 4. DINAMICA
QUIZ: perché nel (puro) rotolamento si
può usare l’integrale dell’energia T +V =
E pur essendo il vincolo scabro?
La condizione che deve essere soddisfatta affinché il rotolamento puro abbia
luogo è
|Φt| ≤ µ|Φn| (4.45)
Quando essa cessa di essere soddisfatta inizia lo strisciamento.
Osservazione: l’equazione (4.44) esige che il momento d’inerzia Iz sia costante.
Se si volesse usare come polo della figura (4.4destra)il punto di contatto C
occorrerebbe tenere presente che esso è in moto, che la sua velocità non è parallela
a quella del baricentro e che il momento d’inerzia ripetto a C non è costante.
y
ruota ferma
G
a)
b)
V
A
H x
c)
F
V
G
A
C
H
Figura 4.5. dida ...
4.1.3 L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica
E’ importante osservare che il centro di istantanea rotazione si può determinare
solo quando si conosca almeno la direzione della velocità di due punti, non necessariamente
il loro modulo. Dunque salvo qualche caso particolare, come nei
corpi rigidi con un grado solo di libertà, in cui la direzione della velocità è nota,
in generale non si può sapere dove è il centro di istantanea rotazione prima di
conoscere il movimento del corpo.
y
F
V
A
C
H
x
x

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 87
Questo fatto impedisce di usare, in generale, il centro di istantanea rotazione
nella risoluzione di un problema di dinamica in cui il movimento sia da determinare.
Ma anche nei pochi casi in cui il centro di istantanea rotazione sia determinabile
non è conveniente usarlo nella dinamica perché esso non gode di nessun
privilegio dinamico. Il suo è un privilegio cinematico solamente. Esso è altrettanto
inutile in dinamica quanto il centro di massa è inutile in cinematica, in quanto
esso gode di un privilegio dinamico.
C
C
Figura 4.6. Centri d’istantanea rotazione di sistemi ad un grado di libertà.
Volendo a tutti i costi impiegare il centro di istantanea rotazione per risolvere
un problema di dinamica nei pochi casi in cui esso è determinabile prima di conoscere
il movimento, ad esempio per calcolare l’energia cinetica T = 1
2 I ˙ϑ 2 , allora
si tenga presente che il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di
istantanea rotazione è variabile (è costante solo in qualche caso speciale). Donde
se si deve applicare il teorema dell’energia si otterrà:
dT
dt
= 1
2
C
dI
dt ˙ϑ 2 + I ¨ϑ ˙ϑ (4.46)
Analoga attenzione se si usano le equazioni di Lagrange e se si calcola la derivata
del momento della quantità di moto. In quest’ultimo caso attenzione che il centro
di istantanea rotazione non è in generale, né il baricentro, né un punto fisso, né si
muove parallelamente al baricentro.
4.1.4 Corpo rigido con un punto fisso
Scelta una terna solidale col corpo (quindi mobile rispetto al riferimento inerziale),
con l’origine nel punto fisso e disposta secondo gli assi principali di inerzia,
l’equazione relativa al momento della quantità di moto proiettata sulla terna
mobile dà luogo alle equazioni di Eulero:
C
C

88 CAPITOLO 4. DINAMICA
con
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ω = ωx i + ωy j + ωz k
ω = Ωx I + Ωy J + Ωz K
M = Mx i + My j + Mz k
M = MX I + MY J + MZ K
(4.47)
Ix, Iy, Iz sono i momenti di inerzia rispetto agli assi x, y, z.
Per trovare la posizione del corpo ad un istante generico occorre precisare le
coordinate: se si scelgono le coordinate euleriane (§65) @ si devono usare le tre
relazioni:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ωx = ˙ϕ sen(ϕ) sen(ψ) + ˙ϕ cos(ψ)
ωy = ˙ϕ sen(ϕ) cos(ψ) − ˙ϕ sen(ψ)
ωz = ˙ϕ cos( ˙ψ).
(4.48)
Queste espressioni, sostituite nelle equazioni differenziali di Eulero danno
luogo a tre equazioni differenziali del secondo ordine nelle incognite ϕ, ϑ, ψ. Una
volta risolte (il che, in generale, è difficile) forniscono le equazioni finite di moto
ϕ = ϕ(t), ϑ = ϑ(t), ψ = ψ(t)
Per il calcolo della reazione nel punto fisso ci limiteremo, per semplicità, al
caso in cui l’asse uscente dal punto fisso e passante per il baricentro del corpo
sia un asse principale di inerzia. Sia esso l’asse z. In tal caso le coordinate del
baricentro rispetto alla terna fissa risultano[15, p.102,109]:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
XG = sen(ψ) cos(ϑ) zG
YG = cos(ψ) sen(ϑ) zG
ZG = cos(ϑ) zG
Le equazioni che determinano la reazione sono allora le seguenti:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Rx + Φx = m ¨XG
Ry + Φy = m ¨YG
Rz + Φz = m ¨ZG
(4.49)
(4.50)
Di qui si vede che se il punto fisso coincide con il baricentro le reazioni
dinamiche coincidono con quelle statiche.
Le equazioni di Eulero si potrebbero sostituire con tre equazioni di Lagrange.
Una delle tre equazioni di Eulero può vantaggiosamente sostituirsi con il teorema
dell’energia nella forma differenziale dT
= P o nella forma finita ∆T = W.
Se le forze sono conservative, si può sostituire la (??) con l’integrale dell’energia
T + V = E.
dt

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO 89
Figura 4.7. da commentare
4.1.5 Corpo rigido libero nello spazio
Scelto come polo il baricentro, le equazioni cardinali sono:
maG = R
dLG
dt = MG (4.51)
Considerando le componenti della prima equazione sugli assi X, Y, Z, e quelle
della seconda sugli assi x, y, z, baricentrici e principali di inerzia, si ottiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
m ¨XG = Rx
m ¨YG = Ry
m ¨ZG = Rz
⎧
⎪⎨
⎪⎩
IGx ˙ωx − (IGy − IGz)ωyωz = MGx
IGy ˙ωy − (IGz − IGx)ωzωx = MGy
IGz ˙ωz − (IGx − IGy)ωxωy = MGz
(4.52)
Il corpo ha sei gradi di libertà. Le prime tre equazioni danno, una volta risolte,
le tre coordinate del baricentro in funzione del tempo. Le tre rimanenti equazioni
di Eulero danno le ϕ(t), ϑ(t), ψ(t);
Si trovano così le sei coordinate del corpo in funzione del tempo.
Le tipiche fregnacce d’esame:
poiché la somma delle forze interne è nulla, ne viene che il lavoro delle forze interne è
pure nullo
poiché all’istante iniziale la velocità è nulla, ne viene l’accelerazione è nulla
poiché le forze applicate sono verticali anche le reazioni saranno verticali

90 CAPITOLO 4. DINAMICA
4.1.6 Angoli nautici e angoli di Eulero
angolo di nutazione ϑ = angolo formato dall’asse Z con l’asse z
angolo di precessione ϕ =
angolo formato dall’asse X con la linea dei nodi (retta
intersezione dei due piani)
angolo di rotazione propria ψ = angolo formato dall’asse dei nodi con l’asse x
Regole operative per determinare gli angoli di Eulero 1 :
1. si fissano due terne (destre) l’una fissa nello spazio (X, Y, Z) e l’altra solidale
con il corpo (x, y, z)
2. si misura l’angolo formato da Z e z (orientato da Z a z): questo è l’angolo
di nutazione
3. si determina la intersezione dei due piani XY e xy (retta dei nodi) e la si
orienta applicando la regola del cavatappi sull’angolo di rotazione (ottenendo
l’asse dei nodi N) (asse = retta orientata)
4. si misura l’angolo formato da X e N, orientato da X a N: questo è l’angolo
di precessione
5. si misura l’angolo tra N e x, orientato da N a x: questo è l’angolo di
rotazione propria.
Figura 4.8. : dovrebbe fare la figura di pagina 81 dell’eserciziario
Figura 4.9. : dovrebbe fare la figura di pagina 82 dell’eserciziario
angolo di rollio ϑ =
angolo di beccheggio ψ =
angolo di imbardata ϕ =
angolo formato dall’asse z (l’albero della nave) con il
piano verticale
angolo formato dall’asse X con la retta intersezione dei
due piani
angolo formato dalla retta intersezione dei piani con
l’asse x
1 Ulteriori dettagli e applicazioni si trovano in Lurié (vedi bibliografia) p. 40.

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI 91
4.2 Dinamica dei sistemi
4.2.1 Consigli introduttivi
Prima di tutto stabilire quanti gradi di libertà possiede il sistema. Poi scegliere
delle coordinate libere: è importante fare una buona scelta perché da essa dipende
la facilità di risoluzione delle equazioni di moto.
y
y
x
x
X
s
x
scelta opportuna scelta opportuna
scelta scomoda
x
y
y
O ϕ
O
θ
scelta scomoda
Figura 4.10. dida
θ
y
x
x
y
y
x
x
θ
scelta opportuna
θ
scelta scomoda
Esaminare il tipo di vincoli (lisci, scabri, fissi, mobili, ...) e la natura delle
forze (se conservative o no). In funzione di queste caratteristiche scegliere il procedimento
da usare avendo cura che il numero delle equazioni pure sia uguale al
numero dei gradi di libertà. Prima di iniziare i calcoli è bene scrivere in poche
righe il procedimento che si vuole usare.
In generale per calcolare il moto convengono le equazioni di Lagrange. Una
di esse può essere sostituita dal teorema dell’energia o dall’integrale dell’energia.
Talvolta conviene usare le equazioni cardinali applicandole all’intero sistema o
ai singoli pezzi rigidi in cui esso è decomponibile. Questo è obbligatorio per il
calcolo di reazioni vincolari rispettivamente esterne ed interne al sistema.
Le osservazioni che seguono servono ad evitare gli errori più comuni.
4.2.2 Osservazione sulla velocità angolare nei problemi piani
La velocità angolare di un corpo rigido è la derivata rispetto al tempo di un angolo
misurato da una direzione fissa nel riferimento inerziale ad una direzione solidale
con il corpo mobile.
x
x

92 CAPITOLO 4. DINAMICA
Esempi:.
4.2.3 Osservazione sugli esseri animati e sui motori
Quando il testo di un problema parla di un corpo che si muove con legge assegnata
ciò comporta che sul corpo (o nel suo interno) agisca un dispositivo capace di
trasformare energia interna in energia cinetica.
Così un’automobile, un aeroplano, un giocattolo funzionante a batteria o a
molla, un essere animato, un motore elettrico, ecc.
In generale non si conosce la potenza erogata dal dispositivo e quindi nemmeno
la forza che il corpo esercita sul resto del sistema.
Non si deve quindi far uso del potenziale perché quello delle forze che mantengono
il moto è a priori sconosciuto. Dunque non si deve usare l’integrale
dell’energia, e nemmeno le equazioni di Lagrange relative al caso conservativo.
Un errore frequente consiste proprio nell’applicare il teorema della energia
dimenticando che si ha una produzione di energia meccanica, cinetica o potenziale
(a scapito di energia chimica, elettrica, ecc.).
Se è richiesto di calcolare il movimento della rimanente parte del sistema
conviene far uso delle equazioni cardinali.
Se si desidera invece determinare la forza o il momento che il corpo in moto
esercita sulla rimanente parte del sistema, determinare prima il movimento dell’intero
sistema, quindi isolare il corpo mettendo in evidenza la forza (sconosciuta)
che il resto del sistema esercita sul corpo e poi applicare a quest’ultimo le equazioni
cardinali o il teorema dell’energia.
♣
O
ω(t)
4.2.4 Osservazioni sui fili
ρ
ω(t) = dato ρ(t) = ?
con la dinamica relativa della particella si trova
ρ(t). Se si desidera il momento del motore
M(t) = dL0z
dt
Se nel problema si presentano fili privi di peso proprio (e inestensibili) fare preferenzialmente
uso delle equazioni di Lagrange o del teorema dell’energia cinetica:
con ciò si evita di doverli rompere. Se viene richiesta la tensione di un filo

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI 93
durante il movimento, prima di tutto si calcoli il movimento e si ricordi che la
tensione non è in genere eguale a quella che si avrebbe in condizione statiche ed
inoltre che non è eguale in genere nei diversi tratti di filo.
Così nei due esempi che seguono la tensione è eguale nel tratto di sinistra e in
quello di destra nella prima figura, ma nella seconda figura la tensione nel tratto
di destra è maggiore di quella a sinistra.
Ciò si spiega fisicamente osservando che il tratto di destra è, per così dire,
impegnato a sollevare il peso p di sinistra tramite la carrucola ed inoltre a vincere
l’inerzia alla rotazione della carrucola stessa che ha una massa. Invece nella prima
figura la carrucola non aveva massa e questa differenza non c’era.
In casi dubbi è bene supporre diversa la tensione nei diversi tratti: ci penseranno
le equazioni una volta risolte a far vedere se eventualmente le tensioni sono
eguali.
p
q
T 1
T 1
T 1
T 1
selapuleggiae privadimassa
letensionia destr a e a sinistr a sonouguali
T
2
T
2
p p p
q > p
q q q
q > p
Figura 4.11. dida
4.2.5 Conservazione delle quantità meccaniche
T3
T3
selapuleggiaha massa,latensionedidestr a
e maggiore di queladisinistr a
Se è nulla la risultante delle forze esterne, attive e reattive, agenti su un sistema,
si conserva la quantità di moto (e quindi la velocità del baricentro):
P(t) = P(t0) (4.53)
Se è nulla solo una componente della risultante delle forze esterne (ad esempio
Rx + R ′ x = 0) allora si conserva la componente della quantità di moto secondo
quella direzione (nell’esempio Px = c).

94 CAPITOLO 4. DINAMICA
QUIZ: velocità angolare = ˙ϕ
Se questo lo si vede fin dall’inizio del problema conviene usare come coordinate
libere quelle del baricentro del sistema (solo la x se si conseva Px).
Se è nullo il momento delle forze esterne al sistema, sia attive che reattive,
qualora esso sia calcolato rispetto ad un punto fisso nel riferimento inerziale, o
rispetto al baricentro o rispetto ad un polo la cui velocità è in ogni istante parallela
al baricentro, allora si conserva il momento della quantità di moto:
ϕ
LA(t) = LA(t0) (4.54)
Se è nulla solo una componente del momento delle forze esterne allora si
conserva la corrispondente componente del momento della quantità di moto.
Se è nulla la potenza delle forze interne ed esterne ad un sistema (sia delle
forze attive che delle forze reattive), si conserva l’energia cinetica
4.2.6 Calcolo delle Qk
T(t) = T(t0) (4.55)
Per calcolare le forze generalizzate Qk si può procedere così: si fanno variare
le coordinate libere una alla volta facendole aumentare. Per ognuna di queste
variazioni si calcola il lavoro virtuale delle forze agenti sul sistema. Ciascuno di
questi lavori parziali ha la forma w ∗ = Qkδqk . Si perviene così al calcolo delle
singole Qk.
Durante il calcolo torna spesso comodo introdurre coordinate sovrabbondanti
(vedi esempi qui sotto): esse devono poi essere eliminate mediante relazioni
geometriche che le legano alle coordinate libere. Attenzione che le Qk devono
risultare funzione solo delle coordinate libere.

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI 95
y
O
h
x
A
s
k
Q
P
p
fi
piano liscio
Figura 4.12. @sinistra consideriamo il sistema ad un grado di libertà; destra
Sistema a due gradi di libertà
Esempio: con riferimento alla figura (??, sinistra) consideriamo un sistema
ad un grado di libertà. Scelta come coordinata libera ϑ, torna comodo fare uso
della coordinata sovrabbondante x. Infatti per l’equilibrio deve risultare
Poiché
ne viene:
da cui
e quindi:
x
w ∗ = 0 essendo w ∗ = F δx. (4.56)
x = a cos(ϑ) + b cos(π − ϕ) b sin(π − ϕ) = a sin(ϑ) (4.57)
⎡
x = a cos(ϑ) + b
1 −
y
O
a
B
#
a
2 sin
b
2 (ϑ) (4.58)
a
2 sin(ϑ) cos(ϑ)
δx = −a sin(ϑ) − b
⎢⎣
b
a
2 1 − sin
b
2 δϑ (4.59)
(ϑ)
⎥⎦
Qϑ = −F a sin(ϑ)
⎡
1 +
⎢⎣
a
b
cos(ϑ)
a
2 1 − sin
b
2 (ϑ)
⎥⎦
⎤
⎤
b
(4.60)
Esempio: @[controllare i passaggi] con riferimento alla figura (??, destra) consideriamo
un sistema a due gradi di libertà. Scelte le coordinate libere x e s
w ∗ = p sin α δs − k y δy + 0 δx. (4.61)
C
’
f(t)
x

96 CAPITOLO 4. DINAMICA
In questo caso ci è stato comodo introdurre la coordinata sovrabbondante y. Poiché
y = h − sin α s −→ δy = −sin α δs (4.62)
ne viene:
da cui
4.3 Oscillazioni
4.3.1 Piccole oscillazioni
w ∗ = p sin α + k h − s sin α sin α δs + 0 δx (4.63)
Qs = p sin α + k sin α h − s sin α
Qx = 0 (4.64)
Per calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni di un sistema soggetto a forze
conservative con un grado di libertà attorno alla posizione di equilibrio stabile si
procede così:
A) Si determina la posizione di equilibrio e si accerta che questa sia stabile. A
questo scopo
1. si calcola il potenziale delle forze attive U(q);
2. si determina la posizione di equilibrio q1 risolvendo l’equazione dU(q)
dq =
0;
3. si constata che sia d2 U(q)
dq 2
q1
< 0.
Nel caso in cui vi siano più soluzioni q1, q2, ... si devono prendere in esame
una alla volta e vedere per quali valori dei parametri è valida la disequazione
3).
B) Si calcola l’energia cinetica T che avrà la forma generale
T = 1
A(q) ˙q2
2
(4.65)
e si valuta la sua espressione approssimativa nell’intorno della posizione di
equilibrio stabile ponendo q1 al posto di q
T prox = 1
2 A(q1)˙q 2 ; (4.66)

4.3. OSCILLAZIONI 97
C) Si sviluppa in serie il potenziale arrestando lo sviluppo al termine quadratico
dU
U(q) = U(q1) + (q − q1) +
dq q1
1
d2U 2 dq2
(q − q1)
q1
2 + ..... (4.67)
Il primo termine è una costante addittiva e può essere ignorato. Il secondo
termine è nullo all’equilibrio (si veda punto 2), il terzo termine è già stato
valutato al punto 3) e i termini sucessivi si trascurano
Per considerare le piccole oscillazioni si effettua la posizione q(t) = q1+η(t)
e si riguarda η come quantità piccola.
L’energia cinetica diventa @
T prox = 1
A ˙η2
2
e il potenziale diventa
U prox (η) = 1
B η2
2
avendo posto A = A(q1) (4.68)
avendo posto B = d2 U
dq 2
Scritto il teorema dell’energia nella forma approssimata
si otterrà allora l’equazione dei moti armonici
q1
(4.69)
d
dt (T prox − U prox ) = A ¨η + B η = 0 (4.70)
¨η(t) + ω 2 η(t) = 0 (4.71)
che fa scaturire la pulsazione ω = √ B/A. [@ CONTROLLARE] Da questa si
ricava il periodo e la frequenza delle piccole oscillazioni con le relazioni
T = 2π
ω
f = 1
. (4.72)
T
L’unità di misura della frequenza è una oscillazione al secondo: questa unità
si chiama hertz, il simbolo è Hz.
Osservazione. I nomi ed i simboli delle unità di misura si devono scrivere secondo
regole precise dettate da norme internazionali: si veda [31], [41].
• i nomi delle unità di misura newton, joule, watt, pascal, hertz, che provengono dai
nomi dei fisici Newton, Joule, Watt, Pascal, Hertz, si scrivono in carattere normale
interamente in minuscolo;
• i simboli delle unità di misura si scrivono in carattere normale con l’iniziale maiuscola:
N, J, W, Pa, Hz e non devono essere seguiti da un punto: per indicare il
metro si scrive “m” non “m.”

98 CAPITOLO 4. DINAMICA
QUIZ: si può usare il punto A per la
formula
dLA
dt = MA ?
4.3.2 Fattore di amplificazione dinamica
4.3.3 Modi normali di vibrazione
[DA COMPLETARE ♣] Consideriamo un telaio a due piani, formato da due piedritti
flessibili di altezza h e di massa trascurabile e di due traversi rigidi di uguale
massa m e di uguale lunghezza, come in figura (5.16).
Figura 4.13. Un telaio oscillante: (sinistra) la configurazione indeformata;
(centro) mostra il primo modo fondamentale di vibrazione in cui i traversi vibrano
in concordanza di fase; (destra) il secondo modo fondamentale in cui i
traversi vibrano in opposizione di fase.
m1x1 ¨ = −c1x1 ˙ + c2( x2 ˙ − x1) ˙ − kx1 + k(x2 − x1) + f0 sin(ωt)
m2x2 ¨ = −c2( x2 ˙ − x1) ˙ − k(x2 − x1)
y
A
C
θ
G
x
(4.73)

4.3. OSCILLAZIONI 99
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
6
5
4
3
2
1
D (z,e)
β
e=0.1
e=0.2
e=0.3
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
e=1
e=0.1
e=0.1
e=1
-3.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
z z
Figura 4.14. Il fattore di amplificazione dinamica.
x1 = +A sin(ωt) + B cos(ωt)x2 = C sin(ωt) + D cos(ωt)
x1 ˙ = +A ωcos(ωt) − B ωsin(ωt) x2 ˙ = C ωcos(ωt) − D ωsin(ωt)
x1 ¨ = −A ω2sin(ωt) − B ω2cos(ωt) x2 ¨ = −C ω2sin(ωt) − D ω2cos(ωt)
m1x1 ¨ + (c1 + c2) x1 ˙ − c2x2 ˙ + 2kx1 − kx2 = f0 sin(ωt)
m2x2 ¨ + c2x2 ˙ − c2x1 ˙ + k x2 − k x1 = 0
(4.74)
(4.75)
[−m1A ω2]sin(ωt) + [−m1B ω2]cos(ωt) + +(c1 + c2) ωA cos(ωt) − (c1 + c2) ωB sin(ωt)
−c2 ωC cos(ωt) + c2 ωD sin(ωt) + +2k A sin(ωt) + 2k B cos(ωt)
−k C sin(ωt) − k D cos(ωt) = f0 sin(ωt)
−m2C ω2sin(ωt) − m2D ω2cos(ωt) + +c2C ωcos(ωt) − c2D ωsin(ωt)
−c2A ωcos(ωt) + c2B ωsin(ωt) + +k C sin(ωt) + k D cos(ωt)
−k A sin(ωt) − k B cos(ωt) = 0
[2k − m1ω2]A + [−(c1 + c2) ω]B + [−k ]C + [c2 ω]D = f0 sen(ωt)
(c1 + c2) ωA + [2k − m1ω2]B + [−c2 ω]C + [−k]D = 0 cos(ωt)
[−k]A + [c2 ω]B + [k − m2ω2]C + [−c2 ω]D = 0 sen(ωt)
(−c2 ω)A + [−k ]B + [c2 ω]C + [k − m2ω2]D = 0 cos(ωt)
4.3.4 Sistemi con massa variabile
Si consiglia di usare le equazioni cardinali.
(4.76)
(4.77)
(4.78)
(4.79)
a) emissione continua. Supponiamo dapprima che l’emissione di massa avvenga
con continuità. Sia vG la velocità del baricentro del corpo, aG la sua
accelerazione.

100 CAPITOLO 4. DINAMICA
Per applicare le equazioni cardinali occorre valutare la derivata della quantità
di moto e del momento della quantità di moto. Per le applicazioni è
spesso sufficiente considerare solo il moto del baricentro e pertanto non
scriveremo l’equazione del momento delle quantità di moto.
Essendo:
istante massa del massa quantità di moto quantità di moto
corpo espulsa del corpo della massa espulsa
t m(t) mvG
t + dt m − dm dm (m − dm) (vG + dvG) dm (vG + v)
si ricava:
dp
dt
= p(t + dt) − p(t)
dt
Sviluppando si ottiene:
= (m − dm)(vG + dvG) + dm(vG + v) − mvG
dt
(4.80)
m(t)aG(t) = R − ˙m(t)v(t). (4.81)
Questa è l’equazione fondamentale della dinamica dei corpi con massa
variabile.
b) emissione discreta. Se l’emissione avviene in modo repentino (esplosione,
getto di breve durata, ecc.) detto τ il tempo di tale emissione la prima
equazione cardinale diviene:
essendo
m − (v + G − v − G ) = R τ − µv +
(4.82)
m − = massa del corpo prima dell’espulsione;
v − G = velocità del baricentro del corpo immediatamente prima dell’espulsione;
v + G = velocità del baricentro immediatamente dopo l’espulsione;
τ = tempo di emissione;
µ = massa espulsa;
v + = velocità relativa di µ rispetto a m subito dopo l’emissione.

4.3. OSCILLAZIONI 101
4.3.5 Dinamica impulsiva
Si ha un moto impulsivo quando c’è una brusca variazione dell’atto di moto (urti,
colpi, brusche variazioni di vincoli, cattura di una massa, espulsione di una massa,
ecc.).
In dinamica impulsiva la domanda tipica che ci si pone è: noto l’atto di moto
un istante prima dell’urto trovare l’atto di moto immediatamente dopo.
Sia τ l’intervallo di tempo che decorre dall’inizio alla fine dell’impulso. Per
una particella di usa l’equazione fondamentale.
mv + − mv − = I [τ] essendo I [τ] =
t0+τ
t0
F(t) dt (4.83)
che esprime il teorema dell’impulso e della quantità di moto.
Per un sistema si usano le equazioni cardinali integrate sull’intervallo di tempo
τ:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
P + = P − + R [τ]
L + A = L − A + MA [τ]
⎧
⎪⎨
⎪⎩
R [τ] =
MA [τ] =
t0+τ
t0
t0+τ
t0
R(t) dt
MA(t) dt
(4.84)
P + e L + A sono valutate immediatamente dopo l’urto, alla fine del tempuscolo
τ mentre P − e L − A sono valutate immediatamente prima dell’urto.
L’energia cinetica di un corpo varia durante un moto impulsivo: la sua variazione
uguaglia il lavoro fatto dal vincolo per la cattura, o per l’urto.
Esempio:
m
A A
A
M
M
Figura 4.15. Asta che ruotando cattura una massa.
m
!¡
velocità angolare iniziale: ω − =
3g
L
! +
M + m
(4.85)

102 CAPITOLO 4. DINAMICA
L − Az
= mL2
3 ω−
L + Az = mL 2
3 + M L2 ω +
(4.86)
L + Az = L− Az + MA MA = 0 (4.87)
Si ricordi che MA è l’impulso del momento delle forze esterne. Ne viene
ω + =
mL 2
3
mL 2
4.4 Meccanica relativa
X
I
O
K
J
3
+ M L2
R(t)
s(t)
ω − 1
=
3 M
1 +
m
Z r(t)
z
k(t)
x
› (t)
O,X,Y,Z = assi fissi nel riferimento inerziale
ω −
P (t)
Y
j(t)
y
› ,x,y,z = assi mobili
i(t)
Figura 4.16. Relazione tra una terna inerziale ed una genericamente mobile
rispetto ad essa.
Raggio vettore
(4.88)
R(t) = r(t) + s(t) (4.89)
essendo
R(t) = raggio vettore del punto P rispetto ad O, X, Y, Z.
s(t) = raggio vettore di Ω rispetto a O, X, Y, Z
r(t) = raggio vettore di P rispetto a Ω, x, y, z
⎧
R(t) = X(t) I + Y(t) J + Z(t) K
⎪⎨
s(t) = a(t) I + b(t) J + c(t) K
⎪⎩
r(t) = x(t)i(t) + y(t) j(t) + z(t)k(t)
(4.90)

4.4. MECCANICA RELATIVA 103
Velocità
essendo
v = v trasc + v rel
(4.91)
v = velocità di P rispetto a O, X, Y, Z
v trasc v
=
velocità che P avrebbe rispetto a O, X, Y, Z se fosse congelato con la terna mobile
Ω, x, y, z (velocità di trascinamento)
rel = velocità di P rispetto a Ω, x, y, z (velocità relativa)
⎧
v = ˙X(t)I + ˙Y(t) J + ˙Z(t) K
⎪⎨
v
⎪⎩
trasc = vΩ(t) + ω(t) × r(t)
v rel = ˙x(t)i(t) + ˙y(t)j(t) + ˙z(t)k(t)
(4.92)
Accelerazione
A = A trasc + a rel + a cor
(4.93)
essendo
A = accelerazione di P rispetto a O, X, Y, Z
A trasc = accelerazione che P avrebbe rispetto a O, X, Y, Z se fosse congelato con la terna
mobile Ω, x, y, z.
a rel = accelerazione di P rispetto a Ω, x, y, z.
a cor = accelerazione di Coriolis
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A = ¨X(t) I + ¨Y(t) J + ¨Z(t) K
A trasc = aΩ(t) + ˙ ω(t) × r(t) − ω 2 (t)r ⊥(t)
a rel
a cor
4.4.1 Statica relativa
= ¨x(t)i(t) + ¨y(t) j(t) + ¨z(t)k(t)
= 2 ω(t) × v rel (t)
(4.94)
Un problema di statica relativa si risolve come un problema di statica assoluta
pur di aggiungere alle forze agenti sul sistema le forze di trascinamento. Per una
particella è:
F trasc = −m A trasc
(4.95)
essendo A trasc l’accelerazione che la particella possiede se lo immaginiamo congelato
(quindi trascinato) con il riferimento mobile.

104 CAPITOLO 4. DINAMICA
X
x
Z
z
ω = costante
r
r
P
y
F trasc.
Figura 4.17. In un riferimento rotante la forza di trascinamento è diretta
radialmente ed è quindi assifuga.
Per un riferimento in rotazione uniforme essendo A trasc = ω 2 r ⊥ risulta:
F trasc = m ω 2 r ⊥
Y
(4.96)
Si tratta di una forza assifuga 2 .
Per un corpo rigido interessa la risultante ed il momento delle forze di trasci-
namento:
M trasc
A
= −
R trasc = −
N
k=1
N
(Pk − A) × mk
k=1
mk A trasc
k
A trasc
k
−
C
A trasc ρ dC (4.97)
− (P − A) × A
C
trasc ρ dC (4.98)
essendo A un generico punto comunque mobile nel riferimento relativo e C il
campo di integrazione (linea, superficie, volume).
La risultante delle forze di trascinamento coincide con quella che avrebbe
l’intera massa se fosse concentrata nel baricentro. In particolare in un riferimento
uniformemente rotante è:
R trasc = m ω 2 r ⊥ G
(4.99)
Non è invece vera l’analoga proprietà per il momento delle forze di trascinamento.
Un tipico errore consiste appunto nel calcolare il momento delle forze di
trascinamento facendo il momento della risultante applicata nel barcicentro.
2 Chissà per quale ragione si parla tanto di forza centrifuga e non di forza assifuga, che è più
corretto.

4.4. MECCANICA RELATIVA 105
Pertanto nei problemi è consigliabile calcolare di volta in volta il momento
delle forze di trascinamento.
In un riferimento uniformemente rotante essendo A trasc = −ω2 r ⊥ ne viene:
M trasc
A
= ω 2
(P − A) × r ⊥ ρ dC (4.100)
C
Esempio: asta in un riferimento uniformemente rotante. NON VA
Per un sistema basta calcolare risultante e momento delle forze di trascinamento
per i diversi pezzi che compongono il sistema.
La forza di trascinamento ammette potenziale e questo dipende, in generale,
dalla velocità. Nel caso di un riferimento uniformemente rotante il potenziale
delle forze di trascinamento è dato da:
U trasc = 1
2 ω2
C
(r ⊥ ) 2 ρ d C = 1
I ω2
2
(4.101)
essendo I il momento di inerzia calcolato rispetto all’asse di rotazione. L’uso
del potenziale delle forze di trascinamento in questo caso permette di studiare la
stabilità dell’equilibrio se anche le forze attive sono conservative.
x
!z
z
O
y
x
Figura 4.18. Tre esempi di corpi rigidi in un riferimento rotante.
4.4.2 Dinamica relativa
Un problema di dinamica relativa si riconduce ad uno di dinamica assoluta operando
le seguenti modifiche:
a) alla velocità e accelerazione assoluta si sostituiscono la velocità e l’accelerazione
relative;
b) alla energia cinetica assoluta si sostituisce quella relativa;
c) alle forze attive e reattive si aggiungono le forze apparenti cioè quella di
trascinamento e quella di Coriolis.
!z
z
O
#
y
x
!z
z
O
#
y

106 CAPITOLO 4. DINAMICA
4.4.3 Dinamica relativa della particella
F(ω, ˙ω, P) = −mS Ω + m ω × R − m ω 2 r ⊥
F cor (ω, v rel ) = −2 m ω × v rel
particella libera: ma rel = F + F trasc + F cor
particella vincolata: ma rel = F + F trasc + F cor + Φ
@ (4.102)
(4.103)
(4.104)
Poiché la forza di Coriolis è ortogonale alla velocità relativa la sua potenza è
nulla. Dunque:
P apparenti = P trasc = F trasc · v rel
4.4.4 Dinamica relativa del corpo rigido
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
R trasc =
M trasc
A
=
R cor =
M cor
A =
P rel =
L rel
A =
N
k=1
N
k=1
N
k=1
N
k=1
N
k=1
N
k=1
F trasc
k
rk × F trasc
k
F cor
k
rk × F cor
k
mkv rel
k @
rk × mk v rel
k @
(4.106)
(4.107)
(4.108)
T rel = 1
2 m (v rel ) 2
F trasc
k
@ (4.105)
coincide con la forza di trascinamento
che avrebbe l’intera massa
se fosse concentrata nel baricentro
@
F cor
k
coincide con la forza di Coriolis
che avrebbe l’intera massa se
fosse concentrata nel baricentro @
P rel
k coincide con la quantità di moto
che avrebbe l’intera massa se fosse
concentrata nel baricentro @

4.4. MECCANICA RELATIVA 107
QUIZ: Essendo
w ∗ = Qϑ δϑ + Qϕ δϕ = 0
sembra di poter dedurre
E’ giusto?
Qϕ = 0 Qϑ = 0
Le equazioni cardinali divengono:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dP rel
p
dt = R + R trasc + R cor
dL rel
A
dt
4.4.5 Dinamica relativa dei sistemi
rel
+ v A × P rel = MA + M trasc
A + M cor
A
ϕ
θ
p
(4.109)
Su ogni corpo rigido e ogni particella che compongono il sistema si opera come
detto sopra.
Osservazione: un problema di dinamica relativa non è dunque molto più complicato
di un problema di dinamica assoluta, giacché l’unica @ difficoltà può essere
il calcolo del momento delle forze apparenti.
[@ FARE OSSERVAZIONI SULLA FORZA CENTRIFUGA. FAR VEDE-
RE CHE SI PORTA A DESTRA...] H66

108 CAPITOLO 4. DINAMICA
4.5 Unità di misura
Watt
W
joule
da abolire
1000
kgfm/s
J
newton
75
kilogrammetro
Kgfm
N
kilogrammo
hp
da abolire
1.36
kilogrammoforza
Kgf
secondo
cavallo
vapore
Kg
kw
kilowatt
q
kgfs 2 /m
s
Figura 4.19. dida
4.6 Come limitare gli integrali doppi
100
da abolire
10
3.7*10 5
quintale
secondo
m
t
tonellata
s
metro metro
Sistema
Internazionale
kwh
m
kilowatt
ora
Sistema
PRATICO
da abolire
questo sistema é da abolire
(la Comunitá Economica Europea ne ha vietato
l' impiego dopo il 31-12-1977. Si vrda: Gazzetta
ufficiale delle Comunitá europee del 29-10-1971)
Coordinate cartesiane: strisce orizzontali. Il primo integrale da eseguire (quello
a destra) ha come estremi il valore di entrata e e quello di uscita u della retta

4.6. COME LIMITARE GLI INTEGRALI DOPPI 109
R
Si debba calcolare il baricentro della lamina
semicircolare omogenea della figura accanto
(σ = densità superficiale, m = massa).
yG = 1
m C
parallela all’asse della corrispondente variabile.
y
e u
y
R R
y
xe
x
u
π R2
y σ dx dy m = σ
2
Diamo per scontato che il baricentro si
trova in mezzeria.
x
xe(y) = − R2 − y2
xu(y) = + R2 − y2 yG =
2
π R2
σ
xu(y)
σ y dy
xe(y)
Il secondo integrale da eseguire (quello a sinistra) ha come estremi il valore
minimo e massimo della corrispondente variabile.
y min
y max
y
ymin = 0 ymax = R
yG = 2
π R2 ymax xu(y)
y dy
ymin xe(y)
R
yG =
x
2
π R2 0
√
+ R2−y2 y dy
− √ R2−y2 dx
dx
dx = 4R
3π
Coordinate cartesiane: strisce verticali. Il primo integrale da eseguire (quello
a destra) ha come estremi il valore di entrata e e quello di uscita u della retta
parallela all’asse della corrispondente variabile.
Il secondo integrale da eseguire (quello a sinistra) ha come estremi il valore
minimo e massimo della corrispondente variabile.
Coordinate polari. L’equazione della circonferenza in coordinate polari è
ρ = 2Rcos(θ)

110 CAPITOLO 4. DINAMICA
x min
y
y
O
u
e
x max
x
x
ye = 0 yu(x) = R2 − x2 2
yG =
π R2 yu(x)
σ dx y dy
σ
ye(x)
xmin = −R xmax = R
xmax yu(x)
dx y dy
yG = 2
π R 2
L’ordinata di un punto espressa in funzione di ρ e di θ è
e
yG =
Divisione in settori.
ρ
Divisione in corone circolari..
θ
y
2
π R2
σ C
u
xmin
ye(x)
yG = 2
π R2 R
dx
−R
√ R2−x2 y dy =
0
4R
3π
y = ρ sin(θ)
ρ sin(θ) σ ρ dρ dθ
ρe = 0 ρu(θ) = 2 R cos(θ)
ρu(θ)
sin(θ) dθ ρ 2 dρ
yG = 2
π R 2
ρe

4.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI USO FREQUENTE 111
ρ
u
θ
e
yG = 2
π R 2
yG = 2
π R 2
θmin = 0 θmax = π/2
θmax
ρu(θ)
sin(θ) dθ ρ 2 dρ
θmin
π/2
sin(θ) dθ
0
ρe
2Rsin(θ)
ρ
θe = 0 θu(ρ) = arcos
0
ρ 2 dρ = 4R
3π
2 R
yG = 2
π R2 ρmax
ρ
ρmin
2 θu
dρ sin(θ) dθ
θe
4.7 Equazioni differenziali di uso frequente
Le equazioni di movimento sono equazioni differenziali ordinarie, al più del secondo
ordine. Spessissimo sono equazioni non lineari, tavolta di tipo risolubile
con separazione delle variabili, talaltra assai complicate.
Prima di accingersi ad integrare una equazione differenziale domandarsi sempre:
devo risolverla? Si dà spesso il caso che il testo del problema ponga una
domanda cui si dà risposta senza integrare l’equazione (così quando il moto è
in parte assegnato, quando si deve calcolare il periodo delle piccole oscillazioni,
ecc.).
Spesso si è di fronte ad una equazione di secondo ordine che appare complicata.
E’ bene vedere se è possibile sostituirla con un integrale primo (conservazione
dell’energia, della quantità di moto, del momento della quantità di moto). In tal
caso si risparmierà almeno una integrazione. Questo capita sovente nell’uso delle
equazioni di Lagrange.
Spesso la lagrangiana con contiene una coordinata (ad esempio q2). Allora
invece di scrivere l’equazione
scrivere addirittura
d
dt
∂L
∂˙q2
∂L
∂˙q2
= 0 (4.110)
= costante (4.111)

112 CAPITOLO 4. DINAMICA
Tre tipi di equazioni frequenti sono:
è a variabiliseparabili
x
x0
ρmin = 0 ρmax = 2R
yG = 2
π R2 2R
ρ
0
2 ρ
arcos( 2 R)
dρ
0
˙x = f (x)g(t)
dx
f (x) =
equazione in cui manca x(t)
posto ˙x = v si ottiene ˙v = f (v) si ottiene
posto ddotx =
d ˙x
dx ˙x
dotx
˙x0
v
v0
t
t0
¨x = f ( ˙x)
dv
f (v =
t
t0
¨x = f (x)g( ˙x)
˙xd ˙x
g( ˙x) =
x
x0
g(t)d(t)
dt
f (x)dx
sin(θ) dθ
Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del II ordine, omogenea
a ¨x(t) + b ˙x(t) + cx(t) = 0 (4.112)
ap 2 + bp + c = 0 equazione caratteristica (4.113)

4.8. EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE 113
Radici p1, p2
Integrali generali
reali distinte x(t) = Ae p1t + Be p2t
reali coincidenti x(t) = e p1t (A + Bt)
complesse coniugate h ± ik x(t) = e ht (A cos(kt) + B sin(kt))
4.8 Equazione differenziale lineare
Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del II ordine, non omogenea
a ¨x(t) + b ˙x(t) + cx(t) = f (t) (4.114)
Si risolve prima la corrispondente equazione omogenea:
a ¨x + b ˙x + cx = 0 x = x(t, A, B) (4.115)
poi si aggiunge all’integrale generale così ottenuto un termine secondo i seguenti
casi(supposto c 0);
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f (t) = m
f (t) = mt + n
f (t) = m sin(λt)
f (t) = m cos(λt)
f (t) = m cos(λt) + n sin(λt)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
M
Mt + N
M sin(λt) + N cos(λt)
M sin(λt) + N cos(λt)
M sin(λt) + N cos(λt)
(4.116)
Infine per sostituzione diretta della soluzione nell’equazione differenziale data
(quella non omogenea) si determinano le costanti M, N.
4.9 Terna intrinseca
Se l’equazione della linea è x = x(λ), y = y(λ) usare le formule riportate qui
sotto.

114 CAPITOLO 4. DINAMICA
y
P 0
C
r
s
n
t
P
Linee piane. Se l’equazione della linea è y =
y(x) la tangente e la normale sono date da:
x
⎧
⎪⎨
⎪⎩
t = dr
ds
n = dt
ds
= +
= ±
1
1 + ˙y 2 (+i + ˙yj)
1
1 + ˙y 2 (−˙yi + j)
(4.117)
vale il segno + se la concavità volge verso l’alto,
cioé ¨y > 0 mentre vale il segno − se volge verso il
basso, cioé ¨y < 0. L’ascissa curvilinea s a partire
dall’ascissa a è data da
s =
x
a
1 + ˙y 2 dx. (4.118)
Linee sghembe 3 Se la linea è data in forma parametrica x = x(λ), y = y(λ), z =
z(λ), posto r(λ) = x(λ)i + y(λ)j + z(λ)k valgono le espressioni
⎧
⎪⎨
b(λ) =
⎪⎩
t(λ) = ˙ r(λ)
| ˙ r(λ)|
˙r(λ) × ¨ r(λ)
| ˙ r(λ) × ¨ r(λ)|
n(λ) = b(λ) × t(λ)
(4.119)
piano osculatore: piano contenente la
tangente e la normale principale
piano normale: piano ortogonale alla
tangente: contiene la normale principale
e la binormale
piano rettificante: piano contenente la
tangente e la binormale
3 Il termine sghembe indica linee che non stanno in un piano, come un’elica.

4.10. FUNZIONI CIRCOLARI E IPERBOLICHE 115
x
0
z
t
b
Il raggio di curvatura r e l’arco s sono dati dalle
formule
⎧
1
⎪⎨ r(λ)
⎪⎩ y
n
= |˙ r(λ) × ¨ r(λ)|
| ˙ r(λ)| 3
@
λ
s(λ) = ˙x
λ0
2 + ˙y 2 + ˙z 2 (4.120)
dλ
Se la linea è data mediante le equazioni y =
y(x), z = z(x) posto x = λ ci si riduce al caso
precedente.
piano osculatore
4.10 funzioni circolari e iperboliche
y
x
Figura 4.20. jjjj
y
x

116 CAPITOLO 4. DINAMICA
funzioni circolari funzioni iperboliche
cos 2 (x) + sin 2 (x) ≡ 1 Ch 2 x − S h 2 x ≡ 1
sin(0) = 0 cos(0) = 1 S h(0) = 0 Ch(0) = 1
cos(α±β) ≡ cos αcos(β)±sin αsin(β) Ch(α±β) ≡ Ch αCh(β)±S h αS h(β)
sin(α±β) ≡ sin αcos(β)±sin(β)cos α S h(α±β) ≡ S h(α)Ch(β)±S h(β)Ch α
sin
x 1−cos(x)
2 = 2 cos
x 1+cos(x)
2 = 2
d
cos(x) = −sin(x)
dx
d
Ch(x) = S h(x)
dx
d 1
tg(x) =
dt cos2 (x) = +tg2 (x)
d
1
Th(x) =
dx Ch2 (x) = 1 − Th2 (x)
d
−1
arccos(x) = √
dx 1 − x2 d
1
arcsin(x) = √
dx 1 − x2 d
1
arctg(x) =
dx 1 + x
d
1
S ettCh(x) = √
dx x2 − 1
d
1
S ettS h(x) = √
dx x2 + 1
2
d
1
S ettTh(x) =
dx 1 − x2 sin(x) = x − x3 x5
x3 x5
+ + ... S h(x) = x + + + ...
3! 5! 3! 5!
cos(x) = 1 − x2 x4
x2 x4
+ − ... Ch(x) = 1 + + + ...
2! 4! 2! 4!
tg(x) = x + x3
3
+ 2x5
15
+ ... Th(x) = x − x3
3
+ 2x5
15
− ...

Capitolo 5
Esercizi risolti e commentati
5.1 Consigli per risolvere gli esercizi
Lo scopo che si vuole raggiungere con questi esercizi risolti in differenti modi è di
offrire allo studente un metodo sistematico per affrontare gli esercizi stessi, che
tolga quel senso di smarrimento che ogni studente prova davanti ad un problema
nuovo.
Diciamo subito che per eliminare questa sensazione di sconforto tanto comune
e acquistare sicurezza, disinvoltura e confidenza con un nuovo problema occorre
far pochi esercizi ben scelti (consiglieremo in seguito come sceglierli) @ purché
questi siano sviscerati in tutti i loro aspetti. Si deve risolvere uno stesso esercizio
con diversi procedimenti che devono essere confrontati criticamente (quale
è il procedimento più conveniente? quello più sicuro? quello meno laborioso?).
In questo modo si ha anche il vantaggio di poter avere una verifica della esattezza
del risultato confrontando i risultati ottenuti con i diversi procedimenti.
Il consiglio seguente per quanto risulti antipatico è quello che permette di fare
la minor fatica con il maggior profitto: prima di fare gli esercizi di un certo tipo
studiare la teoria corrispondente.
Gli esercizi devono essere fatti con il libro di testo aperto davanti. La triste
abitudine di imparare una materia cercando di risolvere gli esercizi senza aver prima
studiato la teoria si risolve in una incredibile perdita di tempo e, non ultimo,
tradisce lo scopo per cui si fanno gli esercizi che è quello di verificare, comprendere
e ritenere i concetti della teoria. Questo al fine di poterla applicare quando se
ne presenta l’occasione.
Una norma preziosa è la seguente: se non si è capaci di risolvere un esercizio,
farne uno più semplice dello stesso tipo. Ossia semplificare il problema
117

118 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
dato modificando l’enunciato.
Tenere presente la norma che i concetti sono più importanti delle formule
e che se un errore di calcolo denota mancanza di allenamento, di attenzione, un
errore del procedimento indica che non è chiara la teoria corrispondente.
Un’altra norma fondamentale è questa: ogni formula si può applicare solo
se sono soddisfatte le condizioni di applicabilità. Pertanto prima di applicare
una formula chiedersi: nel presente problema sono verificate queste condizioni?
Prima di incominciare a studiare gli esercizi che seguono, leggere attentamente
i paragrafi dell’introduzione della presente dispensa: vi sono riportate delle
norme generali da rispettare in qualunque tipo di problema.
Quando è stato ottenuto un risultato, anche parziale, racchiuderlo entro un riquadro
per metterlo in evidenza.
Spesso ci si accorge che un segno + deve essere cambiato in −. Invece di
sovrapporre il segno così ∓, che è causa di errori nella rilettura della formula e
quindi può compromettere tutto il resto, segnare la correzione così: + −→ ¯•.
L’ordine nella esecuzione degli esercizi è fondamentale. Prima di svolgere
qualunque calcolo tracciare una riga di separazione; scrivere inoltre due parole
all’inizio come: calcolo dell’energia cinetica oppure calcolo del momento di inerzia.
5.2 Problema 1
Enunciato. Un arco a tre cerniere ha la forma indicata in figura. L’asta AB ha
forma di un quarto di circonferenza di raggio R, è omogenea e ha peso p. L’asta
BC è piegata ad angolo retto, è omogenea e ha peso q.
Si domanda di trovare le reazioni vincolari in A e C nonché le azioni interne
in un punto generico dell’asta AB.

5.2. PROBLEMA 1 119
B
A C
R
R
R
Figura 5.1. dida
Classifichiamo il problema. Innanzi tutto rileggere attentamente il testo sottolineando
le parole che sembrano più significative. Si tratta evidentemente di un
problema di statica. Il sistema è piano, la configurazione è già di equilibrio perché
non si possono dare spostamenti compatibili con i vincoli.
Riassumiamo le considerazioni fatte compilando la seguente scheda:
tipo di problema statica dei sistemi articolati
gradi di libertà: nessuno
forze: solo pesi
vincoli: lisci, bilateri
incognite: reazioni vincolari e azioni interne
Trattandosi di un problema di statica dei sistemi articolati cerchiamo sull’indice
posto all’inizio del libro i paragrafi relativi (a partire da pag.37). Leggiamoli
attentamente. Se sorgono dubbi apriamo il libro di testo, cerchiamo l’argomento
e studiamolo di nuovo cercando la risposta alle domande che il problema pone.
Troviamo le reazioni vincolari a terra (cerniere A e C). Togliamo i vincoli in
A e C, sostituiamoli con le reazioni e ridisegnamo la figura e fissiamo una ben
precisa convenzione per i segni.
VA
A
H A
peso p
B
O
Figura 5.2. dida
peso q
C
VC
H C
:

120 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
La prima equazione cardinale R = 0 dà luogo alle due seguenti equazioni
scalari:
+HA + HC = 0 (Rx = 0)
(5.1)
+VA − p − q + VC = 0 (Ry = 0)
Per calcolare i momenti rispetto ad A di tutte le forze dobbiamo calcolare i momenti
delle forze peso, concentrandole nei rispettivi baricentri. Determiniamo
pertanto i baricentri delle due aste.
Asta AB: per ragione di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice dell’angolo
A0B. Usando il teorema di Guldino si trova rG = 2R
π .
Asta BC: per ragioni di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice dell’angolo
B0C. Inoltre si trova sulla congiungente dei baricentri dei due rami
dell’asta.
Donde
VA
A
H A
B
G G ′
p
R − 2
π R
R + 3 4 R
MA = −p R − 2R
π
q
Figura 5.3. dida
C
VC
H C
− q R + 3
4 R
+ VC2R = 0 (5.2)
Poiché il sistema non è rigido tali equazioni non bastano (le incognite infatti sono
quattro e cioè HA, VA, HC, VC). Basterà imporre che non vi sia rotazione di un’asta
rispetto all’altra. Quindi scriveremo che è nullo il momento delle forze agenti su
una sola asta rispetto alla cerniera B. Sceglieremo l’asta di destra
MB = −q 3
4 R + VCR + HCR = 0 (5.3)

5.2. PROBLEMA 1 121
Riassumendo si hanno le quattro equazioni:
⎧
HA + HC = 0
VA ¯• p − q + VC = 0 esempio di correzione
⎪⎨
−p(R −
⎪⎩
2R
7
) − q
π 4 R
+ VC2R = 0
−q 3
4 R + VCR + HCR = 0
Risolviamo la terza (dove compare solo l’incognita VC si ottiene:
Risolviamo la quarta equazione:
Dalla seconda si ottiene:
Infine dalla prima:
VC = p
π − 2
2π
+ q 7
8
HC = − 1 − 2
q − pπ
8 2π
VA = 1 + 2
q + pπ
8 2π
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
HA = 1 − 2
q + pπ (5.8)
8 2π
Abbiamo così trovato le reazioni vincolari.
Saranno giuste le reazioni? Facciamo qualche controllo. Intanto le reazioni
orizzontali in A e C devono essere verso l’interno perché l’arco tende ad abbassarsi
se si sopprimono le reazioni orizzontali.
?
?
Figura 5.4. dida
Φ Ax Φ C x
A
B
C

122 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
Dunque rispetto al senso indicato nella figura dovrà risultare HA positiva e
HC negativa. Un’occhiata alle formule trovate indica che queste condizioni sono
soddisfatte. Le due componenti verticali VA e VC devono essere positive (perché
equilibrano i pesi) e anche questo è verificato nelle formule che danno VA e VC.
Andiamo bene.
Dimensionalmente le quattro formule sono corrette perché ciascun termine ha
le dimensioni di una forza.
Segnaliamo possibili errori. Intanto qualcuno potrebbe credere che essendo
verticali i pesi anche le reazioni in A e C siano verticali. Questa conclusione falsa
non riposa su alcun teorema. Per quanto possa sembrare ridicola è una tipica
risposta dello studente sprovveduto.
Altri possono ritenere che le reazioni vincolari in A e C siano dirette secondo
la congiungente le cerniere. Questo è falso perché le due aste non sono scariche,
ma pesanti. La conclusione è valida solo per le aste senza peso caricate alle
estremità.
Molti hanno l’abitudine di scaricare le aste sostituendo al peso di ogni asta
due forze applicate agli estremi. Questa pratica richiede una certa familiarità ed
è pertanto da sconsigliare. Nei problemi di meccanica razionale essa non porta
sostanziali vantaggi.
Infine si potrebbe pensare che la quarta equazione possa essere ottenuta annullando
il momento di tutte le forze del sistema rispetto ad un altro punto, ad es.
C. Ma dalla reazione
MC = MA + (C − A) × R
ne viene che essendo R = 0 (prime due equazioni) ed MA = 0 (terza equazione)
sarà MC = 0 come conseguenza. Dunque questa equazione è combinazione
lineare delle precedenti, e come tale non aggiunge nulla di nuovo.
Procediamo ora al calcolo delle azioni interne. Si taglia l’asta AB in un punto
generico P. Indichiamo con ϑ l’angolo A0P e mettiamo in evidenza le azioni interne
M, N, T su entrambi i lembi della sezione. Poiché l’asta è pesante torniamo
a distribuire il peso.

5.2. PROBLEMA 1 123
φ Ay
A
T P
N
φ Ax
M
φ
θ
R cos φ
N
T
M
R cos θ
B
O
C
φ Cy
φ Cx
Figura 5.5. dida
Per calcolare il momento flettente calcoliamo il momento rispetto a P delle
forze agenti sul punto @ ? AP.
ϑ0 p
−M + HAR sin(ϑ) − VA (R − Rcos(ϑ)) +
donde
⎧
⎪⎨
⎪⎩
M = R sin(ϑ)
− 2pR
π
+
φ Ay
A
T
N
M
φ Ax
π Rdϕ (Rcos(ϕ) − Rcos(ϑ)) = 0
2R (5.9)
q π − 2
+
8 2π p
+ R 1 − cos(ϑ)
q + 2
+ pπ
8 2π
2pR
ϑ cos(ϑ) +
π sin(ϑ)
(5.10)
Per calcolare l’azione di taglio e quella assiale scriviamo le equazioni Rx = 0,
Ry = 0 per il tratto AP:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
HA + N sin(ϑ) − T cos(ϑ) = 0
VA − 2p
R ϑ + N cos(ϑ) + T sin(ϑ) = 0
πR
donde
⎧
q − 2 q + 2
⎪⎨
N = − + pπ sin(ϑ) − + pπ cos(ϑ) +
8 2π
8 2π
⎪⎩
2p
ϑ cos(ϑ)
π
1 − 2 1 + 2
T = + q + pπ cos(ϑ) − q + pπ sin(ϑ) +
8 2π
8 2π
2p
ϑ sin(ϑ)
π
(5.11)
(5.12)
Controllo dimensionale: M deve essere composta da termini le cui dimensioni
siano forza per lunghezza. N e T devono essere somma di forze.
Sarà giusto il momento flettente ottenuto?
Facciamo qualche controllo. Per ϑ = 0 e ϑ = π
2 esso deve essere nullo. Se

124 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
poniamo ϑ = 0 infatti si annulla. Per ϑ = π
2
M
π
q
= R
2 8
si ha:
π¯•2 q + 2
+ p + + pπ + p2
2π 8 2π π
0 (5.13)
Dunque c’è un errore. Tornando ad esaminare l’equazione MA = 0 si vede che
l’errore è nel passaggio tra questa equazione e la successiva. Scoperto questo
errore di segno c’è da chiedersi: è l’unico? Non sarà che lo stesso errore è stato
fatto sui termini rimanenti? Un controllo mostra subito che, per un errore in un
passaggio, anche il terzo termine è stato riportato con il segno errato.
Dunque, se non ci sono scappati altri errori, la espressione corretta del momento
flettente è:
⎧
q π − 2
⎪⎨
M = R sin(ϑ) +
8 2π
⎪⎩
p
q + 2
− R (1 − cos(ϑ)) + pπ
8 2π
− 2pR 2pR
ϑ cos(ϑ) +
π π sin(ϑ)
(5.14)
Controlliamo ora le espressioni di N e T. Per ϑ = 0 deve essere N = −VA e
T = HA ⎧⎪⎨⎪⎩
q + 2
N(0) = − + pπ = −VA
8 2π
q − 2
T(0) = + + pπ = +HA
8 2π
(5.15)
per ϑ = π
2 deve essere N = −HA e T = −VA + p
π
N = −
2
q − 2
+ pπ = −HA
8 2π
π
T = −
2
q + 2 2p π
+ pπ +
8 2π π 2 = −VA + p
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(5.16)
Dunque le formule soddisfano questi requisiti. Con questo non siamo sicuri che
siano giuste, ma almeno c’è una buona probabilità che lo siano.
Quando si vuole controllare un risultato, se questo contiene una variabile (ϑ
nel nostro problema), si può vedere se per particolarti valori di questa variabile
(ϑ = 0 e ϑ = π
2 nel nostro problema) il risultato coincide con quello ottenibile
direttamente.
Adesso il problema è finito.
Passiamo ad un altro problema? Un momento: e se ci venisse richiesto di
trovare le azioni interne nella cerniera B le sapremmo trovare? D’accordo che
l’enunciato del problema non pone questa domanda, ma poniamocela noi.
Per calcolare le reazioni in B asporteremo le cerniere e indicheremo sui due
lembi le reazioni interne.

5.2. PROBLEMA 1 125
φ Ay
p
φ Ax
φ Bo
φ By
φ Bv
φ Bx
Figura 5.6. dida
Quindi scriveremo le equazioni Rx + R ′ X = 0 e Ry + R ′ y = 0 per una delle due
aste (ad es. quella di destra)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+HB + HC = 0
+VB − q + VC = 0
−→
⎧
⎪⎨
⎪⎩
q
φ Cy
φ Cx
HB = 1 − 2
q + pπ
8 2π
VB = 1 − 2
q − pπ
8 2π
(5.17)
Attenzione: un possibile errore sta nel dimenticare di mettere le reazioni interne
su entrambi i bordi delle aste. Se si facesse la figura
φ Ay
A
p
φ Ax
φ By
B
φ Bx
Figura 5.7. dida
qualora venisse in mente di calcolare le azioni interne nell’asta AB l’assenza
delle reazioni relative all’asta AB sarebbe causa di errore.
Fatto questo esercizio con tutte queste precisazioni possiamo ritenere di saper
risolvere un qualsiasi arco a tre cerniere, anche con condizioni di carico diverse
(ad esempio con forze orizzontali) con diversa forma delle aste.
Il metodo è sempre questo. Un eventuale altro esercizio potrebbe servire ad
acquistare più dimestichezza con i calcoli, a fissare bene il procedimento. Ma poi
basta. E’ inutile risolvere sei o dieci esercizi sugli archi a tre cerniere.
Due esercizi per ogni categoria di problemi sono sufficienti. Ma attenzione:
a patto che quei due siano stati risolti in più modi, che siano state poste anche
domande in più rispetto all’enunciato, che non lascino lati oscuri. Solo a questa
condizione il consiglio è valido.
q
C
φ Cy
φ Cx

126 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
Non aprire espressioni, non eseguire derivate rispetto al tempo se non è strettamente
necessario.
Diffidare delle espressioni troppo lunghe; ogni tanto fermarsi e chiedersi: vado
bene su questa strada? è opportuno che esegua questa derivata? ho scritto tutte le
equazioni che mi servono?
Non avere la smania di sviluppare i calcoli: è meglio non andare fino in fondo
e fermarsi ad esaminare se quello che è stato fatto è concettualmente giusto.
Scrivere poco e pensare molto. Porsi spesso la domanda: posso usare questo
procedimenrto, questa formula? Se si, mi conviene?
Fermarsi ogni tanto a guardare il procedimento usato, esaminarlo criticamente:
si poteva fare diversamente? in modo più semplice? Quale è stato il punto
più difficile? Sono sicuro di avere usato la espressione giusta per calcolare quella
grandezza? No? Allora andare ad aprire il testo, cercare l’argomento, rileggerlo
attentamente. Si scopre senz’altro qualcosa che era sfuggito prima.
Alla fine chiedersi: ho risposto a tutte le domande? Fare il controllo dimensionale
e raccogliere tutte le risposte in un unico riquadro.
@ MONICA: uno alla volta devono essere inseriti qui i rimanenti problemi
che si trovano nel file problemi.tex Problema 2
Enunciato. In un piano verticale un disco omogeneo di massa m e raggio r rotola
su un profilo circolare di raggio R senza strisciare.
Inizialmente il disco si trova sulla sommità del profilo ed il suo centro possiede
una velocità V0. Il coefficiente di attrito statico tra disco e profilo è µ.
Si domanda quale è la posizione del disco dalla quale esso cessa di rotolare
ed inizia a strisciare.
♣ MARCO
r
R
O
x
V0
ϕ
Figura 5.8. dida
?
y

5.2. PROBLEMA 1 127
problema di dinamica del corpo rigido
gradi di libertà uno
coordinate scelte ϕ
forze solo peso
vincoli scabri, fissi, unilateri
incognite valore di ϕ corrispondente
all’inizio dello strisciamento
Risoluzione
Prima di tutto compilare una scheda come indicato qui a fianco al fine di
classificare il problema.
Poi fermarsi a considerare tutti gli aspetti del problema come è fatto nelle
seguenti
osservazioni: il rotolamento ha luogo fin tanto che è soddisfatta la condizione
di attrito statico |Φt| ≤ µ|ΦN|. La posizione limite cercata è quindi quella per la
quale ha luogo la uguaglianza |Φt| = µ|ΦN|. Poiché le due componenti Φt e ΦN
dipendono dalla posizione, cioè dall’angolo ϕ, la posizione limite sarà data da
quel valore di ϕ per cui la Φt e la ΦN soddisfano la disuguaglianza precedente.
Si tratta dunque di determinare le due componenti Φt e ΦN in funzione di ϕ.
Per determinare le reazioni vincolari occorre prima determinare il movimento
(questo è un principio generale: le reazioni vincolari dipendono dalla posizione
di equilibrio, in statica, o dal tipo di movimento, in dinamica). Poiché il sistema
ha un solo grado di libertà è sufficiente avere una equazione pura di moto. Può
ad esempio scegliersi l’integrale dell’energia. Infatti i vincoli sono fissi; inoltre,
anche se scabri, non portano a dissipazione di energia per attrito a causa della
mancanza di strisciamento. Le forze attive sono conservative.
Riassumendo seguiremo il seguente procedimento:
1) troveremo il moto usando l’integrale dell’energia;
2) troveremo le reazioni vincolari ΦT e ΦN in funzione dell’angolo ϕ usando le
equazioni cardinali (unico modo per calcolarle);
3) imporremo che |Φt(ϕ)| = µ|ΦN(ϕ)|; l’angolo ϕ0 per cui questa uguaglianza è
soddisfatta fornirà la posizione cercata.
Calcolo dell’energia cinetica. ○ Calcolo delle reazioni vincolari

128 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
A
O
x
AC = BC
ϕ
dP
dt = R + R ′
P = mvG
dP
R
C
dt = ma]G = m(¨st + ˙s2
θ
ϕ
B
r
D
R+r n)
y
O
x
ϕ
Figura 5.9. dida
S
φ t
φ n
G
n
s = (R + r)ϕ
Rt = +mg sin(ϕ)Rn = +mg cosϕ
R ′ t = +ΦtR ′ n = −ΦN
Dunque:
m(R + r) ¨ϕ = mg sin(ϕ) + Φt
m(R + r) ˙ϕ 2 = mg cosϕ − ΦN
donde:
Φt = −mg sin(ϕ) + m(R + r) ¨ϕ
ΦN = mg cosϕ − m(R + r) ˙ϕ 2
Per avere Φt e ΦN in funzione dell’angolo ϕ esprimiamo ˙ϕ 2 e ¨ϕ mediante ϕ
facendo uso dell’integrale dell’energia
(R + r) ˙ϕ 2 = 4
3 g(1 − cosϕ) + V2 0
R+r
e della relazione ottenuta derivando la precedente:
(R + r) ¨ϕ = 2
3 g sin(ϕ)
Infine:
Φt(ϕ) = −mg sin(ϕ) + m 2
3
1
g sin(ϕ) = − 3 mg sin(ϕ)
ΦN(ϕ) = mg cosϕ − m 4
3 g(1 − cosϕ) − mV2 0
R+r
= − 4 7
3mg + 3mg cosϕ − mV2 0
R+r
La condizione limite diviene:
− 1
3 m g
sin(ϕ)0
= µ
7
3 m g cosϕ0 − 4
3 m g − mV2
0
R+r
Poiché 0 ≤ ϕ ≤ π
2 sarà sin(ϕ) > 0 e quindi il modulo del primo membro può
essere eliminato:
ϕ
mg
t
y

5.2. PROBLEMA 1 129
sin(ϕ)0 = µ
7 cosϕ0 − 4 − 3V2
0
g(R+r)
Questa espressione definisce implicitamente ϕ0.
Il problema è finito. Passiamo ad un altro? No. Proviamo invece a svolgere
lo stesso problema in modo diverso. Così invece di usare il teorema dell’energia
per il calcolo del movimento si poteva usare la seconda equazione cardinale della
dinamica. Scelto come polo il punto C (incidentalmente esso è il centro di istantanea
rotazione) ma di esso ci interessa il fatto che la sua velocità è parallela in
ogni istante a quella del baricentro così che si potrà far uso della equazione nella
forma
LC
dt = MC
Perché abbiamo scelto C invece del baricentro G? Semplicemente perché se si
sceglie il baricentro come polo interviene il momento della reazione vincolare:
Mz = −Φtr. Invece scegliendo C il momento della reazione è nullo rispetto a C e
l’equazione di moto è una equazione pura.
Sarà
LCz = ( mr2
2 + mr2 )ωz ICz = IGz + md 2
MCz = +mgr sin(ϕ)
donde:
d
dt
3m ( 2 r2ωz) = mgr sin(ϕ) 2 R+r
3 mr2 r ¨ϕ = mgr sin(ϕ)
(R + r) ¨ϕ = 2
3 g sin(ϕ)
L’equazione così ottenuta è del secondo ordine e coincide con quello che si
ottiene derivando l’integrale dell’energia rispetto al tempo. Uno dei vantaggi che
ha l’integrale dell’energia rispetto alle equazioni cardinali consiste appunto nel
fornire una equazione differenziale del primo ordine in luogo di una del secondo
ordine.
Abbiamo così ottenuto l’equazione di moto con due procedimenti diversi:
questo ci permette di verificare il risultato.
Calcoliamo di nuovo le reazioni vincolari, questa volta invece di far uso della
terna intrinseca proviamo ad usare le componenti cartesiane.
(attenzione che l’asse delle y è orizzontale).
m ¨xG = Rx + R ′ x
dP
dt = R + R ′ −→
xG = (R + r)cos(ϕ)
yG = (R + r)sin(ϕ)
m¨yG = Ry + R ′ y
˙xG = −(R + r)sin(ϕ) ˙ϕ
˙yG = (R + r)cos(ϕ) ˙ϕ
¨xG = −(R + r)cos(ϕ) ˙ϕ 2 − (R + r)sin(ϕ) ¨ϕ
¨yG = −(R + r)sin (ϕ) ˙ϕ 2 + (R + r)cos ϕ ¨ϕ
Rx = −mg R ′ x = ΦNcos(ϕ) − Φtsin(ϕ)
Ry = 0 R ′ y = ΦN sin(ϕ) + Φtcos(ϕ)

130 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
dunque:
−m(R + r)cosϕ ˙ϕ 2 @m(R + r)sin(ϕ) ¨ϕ = −mg + ΦNcosϕ − Φtsin(ϕ)
− m(R + r)sin(ϕ) ˙ϕ 2 + m(R + r)cosϕ ¨ϕ = ΦN sin(ϕ) + Φtcosϕ
Le equazioni così ottenute contengono entrambe Φt e ΦN: invece quelle ottenute
proiettando sulla terna intrinseca contenevano ciascuna una reazione incognita.
Per confrontarle con quelle già ottenute eliminamo Φt dalla prima equazione
moltiplicando la prima per cosϕ, la seconda per sin(ϕ) e sommando:
−m(R + r)cos 2 ϕ ˙ϕ 2 − m(R + r)sin ϕ cosϕ ¨ϕ −
− m(R + r)sin 2 ϕ ˙ϕ 2 + m(R + r)sin(ϕ) cosϕ ¨ϕ =
= −mg cosϕ + ΦNcos 2 ϕ + ΦN sin 2 ϕ
ovvero semplificando:
−m(R + r) ˙ϕ 2 = m g cosϕ + ΦN
che coincide con quella già ottenuta.
Se invece si moltiplica la prima equazione per sin ϕ; la seconda per −cosϕ e
si sommano le due si ottiene:
−m(R + r)sin(ϕ) cosϕ ˙ϕ 2 − m(R + r)sin 2 ϕ ¨ϕ +
+ m(R + r)sin(ϕ) cosϕ ˙ϕ − m(R + r)cos 2 ϕ ¨ϕ == −mg sin(ϕ) − Φtsin 2 ϕ − Φtcos 2 ϕ
ovvero semplificando:
−m(R + r) ¨ϕ = −m g sin(ϕ) − Φt
Dunque abbiamo ottenuto per due vie traverse lo stesso risultato: è così che si
può sapere se un risultato è giusto.
Lo studente dirà: si, ma se tutti gli esercizi li devo svolgere in due modi diversi
... non finisco più! Errore! Invece di fare, poniamo sessanta esercizi, è meglio,
molto meglio, farne solo trenta svolgendoli in più modi: ciascuno varrà per due.
Si acquista più padronanza facendo sessanta esercizi e ogni volta cercando disperatamente
la soluzione su un eserciziario, o facendone trenta ma avendo una
ragionevole certezza che il risultato sia giusto?
Bene, passiamo ad un altro esercizio.
... Ma veramente potremmo farci ancora qualche domanda su questo esercizio.
Basta! dirà lo studente, facciamone un altro.
Evidentemente questa reazione nasce dalla convinzione che cambiando esercizio
si impara qualche cosa di più. E’ un errore. E’ come se uno volendo imparare
a parlare inglese cerca di incontrare più inglesi che sia possibile e invece quando
può intrattenersi a lungo con un inglese si accontenta di dire due parole e poi
scappa via. Al massimo imparerà a dire solo good morning e good evening e good
night!
Occorre sfruttare a fondo le occasioni: un esercizio è una buona occasione, è
bene sviscerarlo fino in fondo.
Torniamo al nostro disco. Dopo che inizia lo strisciamento come prosegue il

5.2. PROBLEMA 1 131
suo moto? Quando incomincia a strisciare i suoi gradi di libertà divengono due e
quindi occorrono due coordinate per individuare la sua configurazione. Scegliamo
ϕ e ϑ. Ci vorranno due equazioni di moto.
Poiché c’è l’attrito dinamico conviene usare le equazioni cardinali che fanno
uso delle reazioni (le equazioni di Lagrange non sono applicabili quando il vincolo
è scabro). Non si può usare il teorema di conservazione dell’energia a causa
dell’attrito. Dunque:
dP
m ¨xG = Rx + R ′ x
dt = R + R ′ dL0
dt = M0 + M ′ 0
m¨yG = Ry + R ′ y
IGz ¨ϑ = MGz + M ′ Gz
Le prime due equazioni coincidono con quelle già trovate prima e perciò evitiamo
di esplicitarle. Nella seconda equazione si è scelto come polo il baricentro
tanto per cambiare (non siamo qui per fare un po’ di esperienza?).
Attenzione che ora ϕ e ϑ sono libere e perciò non è più applicabile la relazione
˙ϑ = R+r
r ˙ϕ
La seconda equazione cardinale diviene:
1
2mr2 ¨ϑ = Φtr
Abbiamo così scritto tre equazioni, mentre le incognite sono quattro: ϕ, ϑ, Φt, ΦN.
Manca dunque una equazione. Poiché il disco striscia sulla guida, tra Φt e ΦN intercorre
la relazione
|Φt| = f |ΦN|
essendo f il coefficiente di attrito dinamico tra il disco e la guida. Ora il bilancio
incognite-equazioni
⎧
torna. Scriviamo le equazioni insieme:
ΦN = −m(R + r) ˙ϕ
⎪⎨
⎪⎩
2 + m g cosϕ
Φt = m(R + r) ¨ϕ − m g sin(ϕ)
1
2 mr2 ¨ϑ = −Φtr
−Φt = f ΦN
Eliminando Φt e ΦN
si ottengono le due equazioni pure di moto:
1
2mr ¨ϑ = − f m(R + r) ˙ϕ 2 + f mg cosϕ
− 1
2mr ¨ϑ = m(R + r) ¨ϕ − m g sin(ϕ)
Sommando le due equazioni si ottiene una equazione contenente solo ϕ:
− f m(R + r) ˙ϕ 2 + m(R + r) ¨ϕ + f mg cosϕ − m g sin(ϕ) = 0
Quando si sarà risolta questa equazione si otterrà ϕ = ϕ(t). Sostituita in una
qualsiasi delle due equazioni precedenti si otterrà ϑ = ϑ(t). In linea di principio
dunque il moto è determinato.
In linea di fatto l’equazione differenziale del secondo ordine ottenuta è non
lineare e la sua integrazione esula dalle competenze di un programma usuale di
analisi. O si riesce a trovare una sostituzione conveniente che la riconduce ad un
tipo noto oppure si dovrebbe procedere con uno dei tanti metodi di integrazione
approssimati (metodi iterativi e numerici).

132 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
5.2.1 Problema 3
Enunciato. Un filo omogeneo pesante si avvolge su un cilindro fisso e scabro.
Sia p il peso per unità di lunghezza del filo, l la sua lunghezza, µ il coefficiente di
attrito statico tra filo e cilindro.
Si domanda quale è il massimo dislivello consentito tra i due estremi del filo
affinché esso stia in equilibrio.
D
A
d
~n
~t `N
C
B
Figura 5.10. dida
In questo problema si suppone che il filo tagli ortogonalmente le generatrici
del cilindro così da essere
n = − N
(il segno meno tiene conto che la n è diretta verso la concavità mentre N è verso
l’esterno della superficie). Inoltre si può prendere
T = t
Quindi ΦN = −Φn
ΦT = Φt
E’ un problema di statica dei fili su superficie scabra (§39).
Le equazioni di equilibrio sono:
Ft + Φt + dT
ds = 0
Fn + Φn + T
r = 0
x
Ft = −p cos(ϑ)
Fn = +p sin(ϑ)
ds = r d (ϑ)
Da esse si ricavano le reazioni:
Φt = p cos(ϑ) − 1 dT(ϑ)
r dϑ Φn = −p sin(ϑ) − T((ϑ))
r
La condizione di equilibrio per vincoli scabri è: |ΦT | ≤ µ|ΦN|. Il massimo
dislivello tra A e B comporta la condizione limite |ΦT | = µ|Φ − N|. Supponiamo
che sia B più in basso di A. Ciò comporta che la ΦT si opponga all’ulteriore
abbassamento di B e quindi sia dello stesso senso del versore t segnato in figura:
ΦT > 0, donde |ΦT | = Φt. Inoltre Φn < 0 perché la reazione del disco è rivolta
verso l’esterno, dunque essendo ΦN = −Φn ne viene ΦN > 0.

5.2. PROBLEMA 1 133
Donde l’equazione pura di equilibrio è:
+p cos(ϑ) = 1 dT(ϑ)
T(ϑ)
r dϑ = µ[+p sin(ϑ) + r ]
ovvero
dT(ϑ)
dϑ + µT(ϑ) = r p cos(ϑ) − µ r p sin(ϑ)
E’ questa una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea
nella funzione T(ϑ). Per risolverla (§88) si trova prima la soluzione della equazione
omogenea associata:
dT
dϑ + µT = 0 −→ T(ϑ) = Ce−µϑ
poi si aggiunge un integrale particolare:
¯T(ϑ) = +A sin(ϑ) + B cos(ϑ)
Per determinare le costanti A e B si sostituisce questa espressione di ¯T(ϑ) nella
equazione non omogenea.
Raccogliendo i termini uguali si ottiene:
(A + µB)cos(ϑ) + (µA − B)sin(ϑ) = (rp)cos(ϑ) + (−µrp)sin(ϑ)
L’equazione è identicamente soddisfatta se:
A + µB = rp
µA − B = −µrp ovvero
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A = 1−µ2
1+µ 2 rp
B = 2µ
1+µ 2 rp
Pertanto la soluzione generale sarà:
T(ϑ) = Ce−µϑ + 1−µ2
1+µ 2 rp sin(ϑ) + 2µ
1+µ 2 rp cos(ϑ)
Ora che sappiamo come varia la tensione in funzione di ϑ porremo le condizioni
che all’estremo C(ϑ = 0) essa uguagli il peso del tratto CB, all’estremo
D(ϑ = π) essa uguagli il peso del tratto AD.
Se x è la lunghezza del tratto CB il suo peso è px: esso uguaglia la tensione
in C, cioè T(0) = px. La tensione in D è uguale al peso del tratto DA cioè
T(π) = p(l − x − πr).
Dunque: ♣ MARCO
⎧
⎪⎨ C +
⎪⎩
2µ
1+µ 2 rp = px
Ce−µπ − 2µ
1+µ 2 rp = p(l − x − πr)
donde eliminando C dalle due equazioni si ricava (dopo qualche passaggio)
x = l−πr
1+e−µπ + 2µ
1+µ 2 r
Il dislivello tra B e A è:
d = x − (l − x − πr) = 2x − l + πr
sostituendo l’espressione di x trovata, dopo qualche semplificazione si ottiene:
d = (l − πr) 1−e−µπ
1+e −µπ + 4µ
1+µ 2 r

134 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
che fornisce la risposta al problema.
Sarà giusto il risultato? Facciamo qualche controllo. Intanto osserviamo che
se non c’è attrito (µ = 0) l’equilibrio si ha solo quando A e B sono allo stesso
livello, cioè d = 0. Ponendo µ = 0 nel risultato si ottiene infatti d = 0. Il primo
controllo è quindi superato.
Facciamo il controllo dimensionale: tutti i termini entro parentesi quadre devono
avere le dimensioni di una lunghezza. Un esame del risultato mostra che così
è. Questo però non ci assicura che il risultato sia giusto. Come si fa ad esserne
sicuri?
L’unico modo è quello di rivedere il problema dall’inizio, esaminare attentamente
le posizioni fatte strada facendo, lo svolgimento dei passaggi, vedendo se
le formule sono state applicate nel rispetto delle loro condizioni di validità, se il
procedimento usato è lecito.
Insomma: rivedere tutto!
5.2.2 Problema 4
Tre aste di uguale lunghezza l e di uguale peso p per unità di lunghezza sono
incernierate fra loro a formare un triangolo. Il vertice A è incernierato a terra,
mentre il vertice C è appoggiato a terra. Sul vertice B agisce una forza orizzontale
F.
Determinare le azioni interne nel lato BC.
A
F
pl
pl
B
pl
Figura 5.11. dida
Risoluzione.
Si tratta di un problema di statica dei sistemi rigidi. Non vi sono gradi di libertà
perché le aste incernierate fra loro formano un sistema rigido. Questo nel piano ha
tre gradi di libertà, ma la cerniera a sinistra (vincolo doppio) ed il carrello a destra
(vincolo semplice) gli tolgono giusto tre gradi di libertà. Quindi non dobbiamo
trovare la posizione di equilibrio: quella data essendo l’unica configurazione
possibile è automaticamente di equilibrio.
Per calcolare le azioni interne calcoliamo dapprima le reazioni vincolari (in
qualche caso, come questo, non è indispensabile farlo, ma come norma noi se-
C

5.2. PROBLEMA 1 135
guiremo il criterio di calcolare le azioni interne dopo aver calcolato le reazioni
vincolari).
Innanzi tutto è bene disegnare i vettori peso (per non dimenticarli nel computo
delle forze). Il peso di ciascuna asta è pl essendo p il peso della unità di lunghezza.
Ora esplicitiamo le reazioni: in A la direzione della reazione non è nota e perciò
ne consideriamo le due componenti orizzontali HA e verticale VA. In C la reazione
è normale al vincolo e quindi verticale: VC.
Ora scriviamo che è nulla la somma delle forze orizzontali, verticali e dei momenti
rispetto ad A (polo più conveniente perché così non compaiono i momenti
delle due componenti della reazione in A).
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+HA + F = 0
VA
A
H A
+VA − pl − pl − pl + VC = 0
+VCl − pl 1
2
F
pl
pl
B
Figura 5.12. dida
pl
VC
− pl 1
2 cos60◦ − pl 3
2 l cos60◦ − F l sin60 ◦ = 0
C
(5.18)
donde
⎧
HA = −F
⎪⎨
VC =
⎪⎩
3
√
3
pl +
2 2 F
VA = 3pl − ( 3
√ √
3F 3 3
pl + ) = pl −
2 2 2 2 F
(5.19)
Così le reazioni sono calcolate. Per determinare le azioni interne nell’asta BC la
prima cosa da fare è di tornare a pensare il peso come distribuito lungo ogni asta.
Quindi operiamo una sezione dell’asta BC in un punto generico S : indichiamo

136 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
con s la distanza di tale punto da B. Mettiamo in evidenza l’azione assiale N
tangente all’asta, l’azione di taglio T normale ed il momento flettente N.
Per non dimenticare il peso di ciascuno dei due pezzi in cui è divisa l’asta BC
abbiamo indicato con una serie di freccine verticali il peso distribuito. Non è una
bella rappresentazione e nel seguito la eviteremo. Il momento rispetto a B delle
forze agenti su BS deve essere nullo. Il momento delle forze agenti su S C rispetto
a C deve essere nullo. Infine il momento rispetto ad A delle forze agenti su AB e
BS deve essere nullo.
Esprimendo l’annullamento dei tre momenti otteniamo tre equazioni da cui
ricaviamo le tre quantità N, T, M.
B
M B = 0
A
60 ◦
B
M
60 ◦
T
N
S
Figura 5.13. dida
B
A C A C A
C
s
T
Figura 5.14. dida
M
N
C
M C = 0
M A = 0
B

5.2. PROBLEMA 1 137
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A A
s
T
s¡ l
2
+ T(s¡ l
l
) ¡ T(l¡
s)· + T(s¡
2 2 2 )
Figura 5.15. dida
MB = +M + T s − p s s
2 cos60◦ = 0
MC = −M + T(l − s) + p(l − s) (l−s)
2 cos60 ◦ = 0
s
T
l
¡ s
2
MA = −pl 1
2 cos60◦ − Fl sin60 ◦ −p s(l cos60 ◦ + s
2 cos60◦ )
−Nl cos30◦ + T(s − 1
2 ) + M = 0
(5.20)
Osservazione: nel calcolare il braccio della T nella terza equazione abbiamo
supposto che sia s > l/2, cioè che la sezione sia fatta oltre la metà dell’asta. Il
termine corrispondente è +T(s − l/2). Se fosse invece s < l/2 il termine sarebbe
−T(l/2 − s) che è identico al precedente.
+T
Figura 5.16. dida
s − l
l
− T − s ≡ +T s −
2 2 l
2
(5.21)
Dunque non occorre considerare separatamente i due casi: la medesima espressione
vale per i due casi s < l/2 ed s > l/2.
Risolviamo le prime due equazioni che contengono solo M e T:
+M + T s = p s2
4
− M + T(l − s) = − p
4
(l − s)2
(5.22)

138 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
Sommando si ottiene
mentre dalla prima si ricava
Infine dalla terza equazione si ricava
5.2.3 Problema 5
T = p
(2s − l) (5.23)
4
M = p
4
N = − p
2 √ 3
s(l − s) (5.24)
1
(3s + ) − F (5.25)
2
♣ MARCO Due aste AB e BC di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernierate
fra loro in B. L’estremo A è incernierato a terra mentre l’estremo C è
libero di scorrere su una guida verticale passante per A.
Una molla reale di lunghezza a riposo l0 congiunge A con C.
Determinare la posizione di equilibrio.
Risoluzione
Si tratta di un problema di statica dei sistemi. Una volta determinato l’angolo che
l’asta AB forma con la verticale è definita la configurazione dell’intero sistema.
Dunque è sufficiente la coordinata libera ϑ.
Non vi sono attriti, dunque possiamo usare il principio dei lavori virtuali.
A
y
C
p
p
B
Figura 5.17. dida
Indicate con y1, y2, y3 le ordinate dei baricentri di AB e BC e del punto C
rispettivamente sarà
δW = pδy1 + pδy2 − k(2l cos(ϑ) − l0)δy3
Esprimiamo ora le tre ordinate in funzione dell’unica coordianta ϑ:
y1 = 1
2 cos(ϑ) y2 = 3
2 l cos(ϑ) y3 = 2l cos(ϑ)

5.2. PROBLEMA 1 139
δy1 = − 1
2 sin(ϑ)δ(ϑ) δy2 = − 3
2 l sin(ϑ)δϑ δy3 = −2l sin(ϑ)δϑ
δW = [−p l
3
2 sin(ϑ) − 2 p l sin(ϑ) − k(2l cos(ϑ) − l0)(−2l sin(ϑ))]δϑ
donde la condizione δW = 0 diviene
−2p l sin(ϑ) + 2k l sin(ϑ)(2l cos(ϑ) − l0) = 0
ovvero
sin (ϑ)[−p + 2k l cos(ϑ) − kl0] = 0
I casi sono due:
sin (ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0
posizione di equilibrio in cui le aste sono allineate.
Inoltre
cos(ϑ) = p+kl0
2kl .
Questa posizione di equilibrio sussiste solo se
≤ .... ≤ k(2l − l0)
p+kl0
2kl
5.2.4 Problema 6
In un piano verticale un’asta omogenea AB di lunghezza l = 20cm e di massa
m = 300g poggia l’estremo B su un piano orizzontale e l’estremo A lungo una
guida verticale liscia.
Sull’estremo A agisce una molla verticale di costante k che ha l’altro estremo
fissato d una altezza h = 18cm dall’estremo B.
Si domanda quale valore deve avere la costante k (in newton al metro) affinché
l’asta stia in equilibrio in posizione orizzontale. Si chiede successivamente di
calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio
stabile.
A
Figura 5.18. dida
Rileggiamo lentamente il testo per renderci familiare il problema. C’è un’asta
con i due sistemi vincolati a due guide, una verticale, l’altra orizzontale. Le guide
sono liscie. Il peso dell’asta è contrastato dalla molla per cui vi può essere una
B
h

140 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
posizione di equilibrio.
La posizione di equilibrio è assegnata: è quella in cui l’asta AB è orizzontale.
Allora è conveniente fare anche il
A B
kh mg
B
Φ
nella posizione di equilibrio.
k(h+ l )
mg
Figura 5.19. dida
k(h¡ l )
B B
mg
Figura 5.20. dida
♣ MARCO
In A ci potrebbe essere la reazione vincolare orizzontale Φ. Ma poiché è
l’unica forza orizzontale agente sull’asta, per l’equilibrio deve essere Φ = 0.
Ora possiamo mettere in evidenza la forza della molla che è kh. Scrivendo che
è nullo il momento, rispetto a B, delle forze agenti sull’asta, si ha
MBz = −(kh)l + (mg) 1
mg
= 0 −→ k =
2 2h
Ponendo i valori numerici (facendo uso del Sistema Internazionale)
m = 300g = 0, 3kg
g = 9.81ms−2 h = 18cm = 0.18m
k = mg 0.3·9.81 0.3·10 3 30
2h = 2·0.18 ≈ 2·0.2 = 0.4 = 4 = 7.5
Poiché i calcoli sono stati fatti nel sistema SI e poiché k è una forza per unità
di lunghezza il numero trovato è 7.5Nm−1 .

5.2. PROBLEMA 1 141
Se avete una molla in casa, anche se è una molla a compressione (come quella
delle matite stilografiche) provate a determinare la costante.
Se non l’avete potete usare un elastico.
Ora dobbiamo vedere se la posizione di equilibrio orizzontale è stabile. Una
posizione di equilibrio si dice stabile se una volta spostato il sistema da tale
posizione questo vi ritorna.
Proviamo dunque a ruotare di un angolo infinitesimo ϑ:
DISEGNI
Se lo ruotiamo in basso
MBz = −k(h + lϑ) + m 1 mg
1 mg
2 = − 2h (h + lϑ)l + mg 2 = − 2h l2ϑ dunque il senso di MBz è opposto al senso dell’angolo cioè è di richiamo e quindi
l’asta torna orizzonatale.
Se la ruotiamo in alto
MBz = +k(h − lϑ)l − mg 1
2 = −kl2ϑ di nuovo il senso di MBz è opposto al senso dell’angolo e quindi l’asta torna orizzontale.
Ne concludiamo che la posizione di equilibrio è stabile.
Allo stesso risultato saremmo giunti esaminando il potenziale delle forze. Si ha:
Upeso = −mg xG = mg( 1
2 sin(ϑ) + a)
Umolla = − 1
2 k(h − l sin(ϑ))2
ed essendo U = Upeso + Umolla si ottiene
U(ϑ) = −mg( 1
1
2 sin(ϑ) + a) − 2 k(h − l sin(ϑ))2
Vediamo se il potenziale è massimo nella posizione di equilibrio. A tal fine
occorre esaminare il segno della derivata seconda.
dU 1
dϑ = −mg( 2 cos(ϑ)) − k(h − l sin(ϑ))(−l cos(ϑ))
d2U dϑ2 = +mg 1
2 sin(ϑ) − k[(−l cos(ϑ))(−l cos(ϑ)) + (h − l sin(ϑ))(+l sin(ϑ))] =
= mg 1
2 sin(ϑ) − k(l2cos2 (ϑ) + hlsin(ϑ) − l2sin2 (ϑ))
Quindi ponendo ϑ = 0 si ottiene
d2U dϑ2 |ϑ=0 = −kl2 Dunque la derivata seconda è negativa, il potenziale è massimo e l’equilibrio è
stabile.
Passiamo ora allo studio delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di
equilibrio stabile. A questo scopo dobbiamo cercare una equazione di moto pura.
Questa può essere fornita dall’integrale dell’energia: T − U = E.
Calcoliamo l’energia cinetica. Poiché si tratta di un corpo rigido (un’asta) è
conveniente usare il teorema di König:
T = 1
2 m v2 G
+ 1
2
IGzω 2

142 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
h
xG
0
x
A
yG
G
x
Figura 5.21. dida
Esprimiamo ora le coordinate sovrabbondanti in funzione dell’unica coordinata
libera ϑ:
xG = 1
2 sin(ϑ)(t) + a ˙xG = + 1
2 cos(ϑ)(t) ϑ(t)
yG = 1
2 cos(ϑ)(t) ˙yG = − 1
2 sin(ϑ)(t) ˙ϑ(t)
ne viene
T = 1 l2
2 m[ 4 cos2 (ϑ) ˙ϑ 2 + l2
4 sin2 (ϑ)ϑ2 ] + 1 1
2 ( 12 ml2 )ϑ2 semplificando
T = 1
6 ml2 ˙ϑ 2
Il potenziale, come abbiamo visto, è dato da
U = −mg( 1
1
2 sin(ϑ) + a) − 2 k(h − l sin(ϑ))2
Poiché a noi interessano le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio
stabile ϑ = 0, approssimiamo l’energia cinetica ed il potenziale (pag. 89).
Poiché l’energia cinetica non contiene l’angolo ϑ ne viene che essa non deve
essere approssimativa.
Per il potenziale essendo ○
l’equazione T − U = E diviene
[ 1
6 ml2ϑ2 ] − [(−mga − 1
2 kh2 ) − 1
2 kl2ϑ2 ] = E
Per ottenere l’equazione di moto possiamo ora derivare rispetto al tempo
1
3 ml2 ˙ϑ ¨ϑ + kl2ϑ ˙ϑ = 0
ovvero, eliminando ˙ϑ
¨ϑ + 3k
m ϑ = 0
E’ questa la tipica equazione dei moti armonici la cui forma generale è
¨ϑ + ω2ϑ = 0.
Per confronto si vede che
ω −
3k
m
ω 1 f = 2π = 2π
3k
m
Per valutare numericamente la frequenza basta ricordare che
k = 7, 5N m −1 m = 0.3kg
ne viene
y
B
a
y

5.2. PROBLEMA 1 143
f = 1
6.28
3·7.5
0.3
≈ 1
6
22·10
3
≈ 1
6
√ 70 ≈ 8.4
6
= 1.4
Dunque f = 1.4 s−1 cioè 1.4 hertz (simbolo Hz). Ciò significa che l’asta fa 1.4
oscillazioni complete al secondo e quindi il periodo di una oscillazione completa
(andata e ritorno) è
T = 1
1.4 ≈ 0.7 s.
Con ciò il problema è finito.
5.2.5 Problema 8
♣ MARCO Un anellino di peso p può scorrere senza attrito lungo una circonferenza
liscia di raggio R che ruota con moto uniforme attorno ad un asse verticale.
Determinare la posizione di equilibrio relativo.
Classificazione del problema
Statica della particella relativa ad un riferimento rotante.
vincolo (la circonferenza): liscio, fisso (rispetto al riferimento rotante), bilatero,
olonomo.
forze attive: peso e forze apparenti (entrambe ammettono potenziale)
gradi di libertà: uno.
ω
R
p
R
Figura 5.22. dida
Risoluzione Essendo un problema di statica relativa occorre tener conto della
forza apparente. Si tratta di una forza assifuga di modulo
Fapp = m ω 2 R sin(ϑ)
Scriviamo ora la condizione di equilibrio della particella vincolato
F + Φ = 0 −→ Ft + Φt = 0
Fn + Φn = 0
Poiché il vincolo è liscio la reazione è normale ad esso, quindi Φt = 0. Ne viene
−p sin(ϑ) + (mω2 R sin(ϑ))cos(ϑ) = 0
− p cos(ϑ) − (mω2 R sin(ϑ))sin(ϑ) + Φ = 0
p
n
θ
t
θ
Fapp

144 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
La prima è una equazione pura che fornisce la posizione di equilibrio
sin(ϑ)(−p + mω 2 R cos(ϑ)) = 0
donde si ha sin(ϑ) = 0 −→ ϑ = 0 , ϑ = π
e anche −p + mω 2 R cos(ϑ) = 0
e quindi
cos(ϑ) = g
ω 2 R
Le prime due posizioni di equilibrio esistono sempre, la terza esiste solo quando
g
ω 2 R
≤ 1cioéω ≥
g
R .
La seconda equazione di equilibrio fornisce la reazione vincolare
Φ = +mgcos(ϑ) + mω 2 Rsen 2 (ϑ)
Quindi
per ϑ = 0 Φ = +mg
per ϑ = π Φ = −mg
per cos(ϑ) = g
ω 2 R
mg2
Φ = +
ω2R + mω2R(1 − g2
ω4R2 ) = mω2R Facciamo qualche esempio numerico. Se R = 10 cm, m = 15 g e la guida fa 2
giri al secondo usando il Sistema Internazionale
frequenza f = 2 Hz −→ ω = 2π f = 6.28 · 2 s −1
raggio R = 10 cm − 0.1 m
g = 9, 8 ms −2 m = 0.015 kg
viene
g
ω2R = 9.8
(12.56) 2 10 100 2
≈
0.1 150×0.1 = 150 = 3
≈ 0.7
essendo tale numero inferiore all’unità esiste la posizione di equilibrio intermedia
tra 0 e π:
cos(ϑ) ≈ 0.7
dalle tavole delle funzioni trigonometriche risulta ϑ ≈ 45◦ .
Il valore della reazione vincolare è
Φ = 0.015(12.56) 2 0.1 ≈ 15
1
1 225
150 10 = 1
= 0.225
Avendo effettuato il calcolo con le unità del Sistema Internazionale il risultato è
in newton:
Phi = 0.225 N (N è il simbolo del newton)
Si tenga presente che un litro di acqua pesa 9.81 N, un uomo pesa circa 800 N e
un etto è uguale a 0.981 N, quindi è circa 1 N .
5.2.6 Problema 9
♣ MARCO Quattro aste di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernierate
a formare un quadrilatero come in figura. La cerniera A è attaccata ad un perno
verticale che ruota con velocità angolare ω costante. La cerniera C scorre su una

5.2. PROBLEMA 1 145
guida verticale ed è ancorata ad una molle reale di costante k e lunghezza a riposo
l0. L’altro estremo della molla è vincolato a distanza (2l + l0) da A.
Determinare la velocità angolare ϑ in funzione dell’angolo di equilibrio ω.
DISEGNI
Risoluzione E’ un problema di statica relativa ad un riferimento uniformemente
ruotante. La posizione di equilibrio dipende dalla velocità angolare ω poiché una
velocità angolare maggiore comporta un aumento dell’angolo di apertura ϑ.
Immaginiamo di essere a bordo di un riferimento uniformemente ruotante:
le quattro aste sono sottoposte al proprio peso, alle forze assifughe dovute alla
rotazione del sistema di riferimento e alla forza della molla.
Usiamo il principio dei lavori virtuali.
lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta AB:
δW1 = +p δ yG = +p δ[ 1
1
2 cos(ϑ)] = −p 2 sin(ϑ) δ (ϑ)
lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta BC:
δW2 = +p δ yH = +p δ[ 3
3
2 l cos(ϑ)] = −p 2 l sin(ϑ) δ ϑ
Lavoro virtuale delle forze assifughe sull’asta AB:
la forza assifuga agente sull’elemento di lunghezza ds e massa dm = ρ ds è data
da
dmω2x = ρdsω2 s sin (ϑ)
il lavoro virtuale della forza assifuga per una variazione infinitesima della configurazione
(cioè per una variazione δϑ) è
A
l
G
D B
D
p p
B
C
!
l
2l+ l0
A
Figura 5.23. dida
H
p p
y
C
!
x
k(2l¡ 2lcos)
[ρ ds ω 2 s sin (ϑ)]δx = [ρ ds ω 2 s sin (ϑ)]δ(s sin(ϑ)] =
= [ρ ds ω 2 s sin (ϑ)] · (+s cos(ϑ)δϑ) = +ρω 2 s 2 sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ

146 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI
Il lavoro virtuale per l’intera asta AB è
δW3 = s=1
s=0 +ρω2s2 sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ = ρω2sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ s=1
s=0
= + 1
3 ρ l3ω2sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ
A
x
s
B
C
x
Figura 5.24. dida
s
B
dm ! 2 x
s 2 ds =
Lavoro virtuale delle forze assifughe agenti sull’asta BC:
forza assifuga agente su un tratto ds
dm ω 2 x = ρ ds ω 2 s sin(ϑ)
lavoro virtuale elementare
(ρ ds ω 2 s sin(ϑ))δ x = (ρ ds ω 2 s sin(ϑ)) δ (s sin(ϑ)) = ρ ds ω 2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ
lavoro virtuale complessivo
δW4 = s=1
s=0 ρ ds ω2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ = 1
3 ρl3ω2sin(ϑ) cos(ϑ)δϑ
Fatto questo osserviamo che il lavoro virtuale delle forze peso e delle forze
apparenti assifughe relativo alle due aste di sinistra, AD e DC è il medesimo di
quello relativo alle due aste di destra per evidenti ragioni di simmetria.
Lavoro virtuale della molla:
δWmolla = +k(2l − 2lcos(ϑ))δyC = +2 kl(1 − cos(ϑ))δ(2lcos(ϑ)) =
= −4kl2 (1 − cos(ϑ))sin(ϑ)δϑ
Dunque il lavoro virtuale totale è:
δW = 2(δW1 + δW2 + δW3 + δW4) + δWmolla =
= 2[−ρ 1
3
2 sin(ϑ)δ(ϑ) − 2
ρl sin(ϑ)δ(ϑ) + 1
3 ρl3 ω 2 sin(ϑ)δϑ +
+ 1
3 ρl3 ω 2 sen(ϑ) @δϑ] − 4kl 2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δ(ϑ) =
= 2[−2ρlsin(ϑ) + 2
3 ρl3 ω 2 sin(ϑ) cos(ϑ)]δϑ − 4kl 2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δϑ =
= −4[ρgl 2 sinvartheta − 1
3 ρl3 ω 2 sin(ϑ) cos(ϑ) + kl 2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)]δϑ =
= −4l 2 sin(ϑ)[ρg − 1
3 ρlω2 cos(ϑ) + k(1 − cos(ϑ))]δϑ
La posizione d’equilibrio si ottiene imponendo che sia δW = 0, cioè
sin(ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0ρg + k − ( 1
3 ρlω2 3ρg + 3k
+ k)cos(ϑ) = 0 −→ cos(ϑ) = +
ρω2l + 3k
(5.26)
Le posizioni di equilibrio sono dunque due: l’una con le aste chiuse ϑ = 0,
l’altra funzione di ω. Questa seconda posizione di equilibrio sussiste solo se

5.2. PROBLEMA 1 147
3g
ω2l ≤ 1 cioé ω2 ≥ 3g
l
altrimenti si avrebbe cos(ϑ) > 1 e quindi non esisterebbe la soluzione.
Risposta .
3g
Dunque se ω < l
ϑ = 0 vi è anche la soluzione
cos(ϑ) = 3gρ+3k
ρω2l+3k 5.2.7 commiato
c’è la soluzione ϑ = 0. Se ω ≥
3g
l
oltre alla soluzione
Per una buona preparazione della meccanica sono sufficienti due esercizi per ogni
tipo esaminato in questa dispensa, di cui uno molto semplice ed uno di media
difficoltà. In tal modo ci si assicura di saper risolvere problemi di qualunque tipo.
E’ bene diluire la esecuzione degli esercizi in un periodo di diversi mesi piuttosto
che concentrarla nell’ultimo mese dell’anno scolastico. Questo per una ragione
che è fondamentale in qualunque studio: per apprendere occorre assimilare
e questo esige un congruo tempo di sedimentazione.
La nostra mente si comporta in questo, come lo stomaco. Ne risulta che l’esecuzione
diviene più facile e più piacevole, né più né meno di quanto è più facile e
piacevole cibarsi mediante tanti pasti distanziati piuttosto che con un unico pasto
pantagruelico.

148 CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Appendice A
Programmi in Matlab
Molte figure della dispensa sono state ottenute usando programmi in Matlab, un
programma meraviglioso. E’ di semplice uso, ha il valore di un linguaggio di
programmazione e include la grafica.
I listati che seguono vogliono invitare lo studente ad essere concreto e a risolvere
numericamente tutti i problemi di meccanica che non si possono risolvere
analiticamente.
L’ordine dei listati è arbitrario @. Essi sono numerati da AAA01 ad AAA99.
Tutti i programmi hanno una uscita grafica e le relative figure si trovano nella
pagina indicata in fondo al listato.
A.1 AAA01
% ELLISSE
% Traccia una ellisse usando le coordinate polari
% ———-modalità grafica——————————————————–
close ; h1 = figure(1) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;
hold on ; zoom on
axis equal ; axis([-12 12 -10 10]);
% —————– parametri ———————————————————a
= 10; % semiasse maggiore
c = 8; % semidistanza focale
b = sqrt(a*a-c*c); % semiasse minore
p =b*b2 /a ; % parametro della conica=ordinata nel fuoco
e = c/a; % eccentricità
% —————– conica ————————————————————–
149

150 APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB
Th = 0 : 0.01 : 2*pi; % array dei valori discreti di theta
R = p ./ (1 + e*cos(Th)); % array dei valori discreti di rho
X = c+ R .* cos(Th); Y = R .* sin(Th); % array coordinate cartesiane
plot(X,Y,’r’,’linewidth’,2);
% —————– raggi focali ——————————————————–
for th = 0 : 0.16 : 2*pi; % discretizza angolo theta
r = p / (1+e*cos(th)); % raggio
x = c+r*cos(th); y = r*sin(th); % coordinate cartesiane
plot([c x],[0 y],’b’)
end
% —————– fuochi, centro, assi, ecc. —————————————plot(c,0,’r+’,’linewidth’,2);
plot(-c,0,’r+’,’linewidth’,2);% fuochi
plot(0,0,’r+’,’linewidth’,2); % centro
text(-c+0.61, 0.8,’F”’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’);% fuoco
text(0, 0.8,’C’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % centro
text(c, 0.8,’F’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % fuoco
plot([-10 10],[0 0],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse maggiore
plot([0 0],[-b b],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse minore
plot([-c -c],[0 p],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-’) % ordinata nel fuoco
% ——————————————————————————fine
La figura è a pagina ....
A.2 AAA02
% —————————————————————————————-
% Asteroide
% —————————————————————————————-
% Visualizza il moto di un’asta AB che si muove con gli estremi
% su due assi ortogonali: A sull’asse x, B sull’asse y.
% ——————————modalità grafica ————————————–
close ; h1 = figure(1) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;
hold on ; zoom on ; pause off
axis equal ; axis([-5 5 -5 5]);
% ——————————- Dati ————————————————-
L = 3; % lunghezza asta in m
n = 50; % numero fotogrammi
p = 2 * pi / n; % passo angolare
a=1.2*L; % lunghezza assi in m

A.3. AAA03 151
% ——————————-Traccia ———————————————–
line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale
line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale
for k = 2 : 3 : n
a = k*p; % angolo con l’asse verticale
xA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontale
xB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale
plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta AB
plot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’);
plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’);
% centro di istantanea rotazione
plot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’);
pause
end;
% ———————————————————————————–fine
A.3 AAA03
% baseRulletta
%———————————————————————————————
——
% Visualizza la polare fissa (base) e quella mobile (rulletta) di un’asta AB
% che si muove con gli estremi su due assi ortogonali.
% —————————————modalità grafica——————————
———close
; h1 = figure(1) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;
% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;
hold on ; zoom on ; pause off
axis equal ; axis([-5 5 -5 5]);
% —————————————— Dati ——————————————
——
L = 3; % lunghezza asta in m
n = 50; % numero fotogrammi
p = 2 * pi / n; % passo angolare
a=1.2*L; % lunghezza assi in m
% —————————————–Traccia —————————————
——line([
0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale

152 APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB
line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale
% polare fissa o base del moto
A= 0 : 0.12 :2*pi; % crea array degli angoli
X = L*cos(A) ; Y = L*sin(A);
plot(X,Y,’b’)
pause
for k = 2 : 8 : 35
a = k*p; % angolo con l’asse verticale
xA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontale
xB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale
% polare mobile o rulletta
xM = (xA+xB)/2; yM = (yA+yB)/2; % punto medio asta
D= 0 : 0.12 : 2*pi; % crea array degli angoli
U = xM+L/2*cos(D) ; V = yM+L/2*sin(D); % array per la circonferenza
plot(U,V,’r’,’era’,’back’); % traccia polare mobile
%
plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta AB
plot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto verticale
plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto orizzontale
plot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’); % centro di istantanea rotazione
pause
end;
% ——————————————————————————————
- fine
A.4 AAA04
%————————————————————————————–
% OSCULA
%————————————————————————————–
% Data una curva piana il programma traccia il cerchio osculatore
% in diversi punti. La curva è utilizzata in forma parametrica
% x(t) e y(t) per calcolare la tangente, la normale, il raggio ed
% il centro del cerchio osculatore.
% richiama f vettoreX, f vettoreY, f palla, f circo,f petalo

A.4. AAA04 153
% —————–modalità grafica———————————————close
; h1 = figure(1) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;
% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;
hold on ; axis on ; zoom on ; pause on
axis equal ; axis([-1 10 -4 4]);
% ————————————————————————————–
% Traccia la linea
S = 0 : 0.1 :10;
[X, Y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(S);
plot(X,Y,’k’,’era’,’back’,’linewidth’,2)
% assi cartesiani
f vettoreX(-1, 0, 10, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN
f vettoreY(0, -3, 6, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN
%——– —————-scritte—————————h(1)
= text(9 ,-0.3,’x’); h(2) = text(-0.4, 2.7, ’y’);
set(h, ’fontsize’,18,’fontname’,’times’);
% —————————————————————————————
for t = 0.2:1.3:9; % scelta di alcuni valori del parametro t
[x, y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(t);
pause % ———–
% traccia il punto
f palla(x, y, 0.04, ’m’); % traccia un dischetto
pause % ———–
% versore tangente: t=dr/ds
% tx = x’/sqr(x’*x’+y’*y’) ty = y’/sqr(x’*x’+y’*y’)
den = sqrt(Dx*Dx+Dy*Dy); % sqr(x’*x’+y’*y’)
tx = Dx/den; ty = Dy/den; % componenti della tangente
xt = x + tx ; yt = y + ty ; % estremo del versore tangente
plot([x xt], [y, yt], ’b’,’era’,’back’,’linewidth’,2);
pause % ———–
% versore normale. Lo scegliamo ruotando di 90 gradi
% in senso orario il versore t. Così facendo il versore normale
% si trova sempre dalla stessa parte percorrendo la curva.
nx = -ty ; ny=tx ; % componenti della normale
xn = x + nx ; yn = y + ny ; % estremo del versore normale
plot([x xn], [y, yn], ’r’,’era’,’back’,’linewidth’,2);
pause % ———–
% n = r dt/ds
r = den*den*den /( Dy*DDx -Dx*DDy);

154 APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB
tro
% raggio cerchio osculatore
% attenzione: il raggio può essere positivo o negativo
xC = x + nx * r; yC = y + ny * r;
f circo(xC, yC, 0.04, ’r’); % traccia un cerchietto nel centro
plot([x xC], [y, yC], ’g’,’era’,’back’);% retta dal punto al cen-
pause % ———–
f circo(xC, yC, r, ’r’); % traccia cerchio osculatore
end
%————————————————————————————fine
A.5 AAA05
% ——————————————————————————-
% TAGLIO
% ——————————————————————————-
% Diagramma dell’azione di taglio su un’asta orizzontale soggetta
% a carichi verticali sia concentrati che distribuiti.
% —-> chiama f vettoreY
% ——————–modalità grafica—————————————
close ; h1 = figure(1) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;
% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;
hold on ; axis on ; grid off ; zoom on ;
axis equal ; axis([0 16 -5 5]);
% ————————- dati ————————————————
xA = 2 ; yA = 0; % estremo iniziale dell’asta
xB = 12; yB= 0; % estremo finale dell’asta
L = xB-xA; % lunghezza dell’asta
q = 50 ; % peso dell’asta (N)
fs = 0.04; % fattore scala forze
fss = 2; % fattore scala carichi distribuiti
p = 0.1; % passo per il diagramma
% Carichi concentrati: positivi se nel senso della normale
% Ff = array forze verticali concentrate discendenti i (in newton)
Ff = 0; % Ff= [50] % Ff = [12 35 ];
% Sf = array posizioni (in metri) delle forze concentrate
Sf=[0.4*L] % Sf = [0.4*L 0.6*L];
nf = size(Ff,2) ;

A.5. AAA05 155
% Carico uniforme distribuito: lo consideriamo come un carico discreto
% su un passo piccolo ottenuto dividendo L in w tronchi.
w = 100; % numero dei tronchi
g = L/w; % g = lunghezza di ogni tronco
qw = q / w ; % peso di ogni tronco
Fq = qw * ones(1,w); % array dei carichi uniformi (N/m)
Sq = g/2 : g : L ; % array dei punti medi dei tronchi
% reazioni in A e B
risultante = sum(Ff) + sum(Fq); % somma delle forze
momento = Ff * Sf’ + Fq * Sq’; % somma dei momenti
VB = momento / L ; VA = risultante - VB ;
% ——————————————————————————
for s = 0 : p : L
% calcola la somma delle forze concentrate fino ad s
Zf = Sf (Sf ¡ s); % Z = array delle posizioni precedenti s
zf = size(Zf,2); % dimensioni dell’array
fn = 0; % fn = somma delle forze concentrate
for k=1 : zf ; fn = fn + Ff(k); end ;
% aggiungi la somma delle forze distribuite fino ad s
Zq = Sq (Sq ¡ s); % U = array delle posizioni precedenti s
zq = size(Zq,2); % dimensioni dell’array
for h=1 : zq ; fn = fn + Fq(h); end ;
% diagramma dell’azione di taglio T
T = - VA + fn; % azione di taglio
x = xA + s / L*(xB-xA); y = yA + s / L*(yB-yA);
x1 = x ; y1 = y +T*fs;
plot([x x1] , [y y1],’r’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’)
end
% ——————————————————————————
% traccia asta
plot([xA xB],[yA yB],’k’,’linewidth’,1,’era’,’back’)
% traccia reazione in A
reazA = sign(VA) * VA* fs ; y0 = yA +reazA;
f vettoreY(xA, yA, reazA, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ;
% traccia reazione in B
reazB = sign(VB) * VB* fs ; y0 = yB +reazB;
f vettoreY(xB, yB, reazB, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ;
for k=1 : nf
x = xA + Sf(k) ; y = yA ;
forza = -Ff(k)*fs ; yf = y + forza;

156 APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB
% f vettoreY(x, y, forza, ’b’, 2, 0.32, 0.20 ) ;
end
% traccia forze distribuite
for k=1 : 3: w
x = xA + Sq(k) ; y = yA ;
xq = x ; yq = y + Fq(k)*fss;
% plot([x , xq] , [y , yq] ,’b’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’)
end
% ———————————————————————– fine
A.6 AAA06
%———————————————————————————
% CHASLES
%———————————————————————————
% ———-modalità grafica————–
close ; h1 = figure(1) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;
hold on % indispensabile: traccia su una stessa pagina grafica
pause off % mettere on per temporizzare
% ———–assegna sagoma————a
= 10 ; b = 15 ; c = 3 ; % dimensioni sagoma a L (6+1 vertici)
% sagoma nella configurazione di riferimento
% crea due vettori-riga con le ascisse e le ordinate dei vertici
X = [0 a a c c 0 0] ; Y = [0 0 c c b b 0] ;
U = ones(1,7) ; % array per convertire scalare in vettore colonna
% disponi la sagoma in una posizione iniziale
p = -60*pi/180 ; % angolo iniziale
xR = 10 ; yR = 50 ; % primo centro di rotazione
XR = xR*U ; YR = yR *U ;
% effettua la rotazione
Xp = XR+(X-XR)*cos(p)+(Y-YR)*sin(p) ;
Yp = YR-(X-XR)*sin(p)+(Y-YR)*cos(p) ;
% disponi la sagoma in una posizione finale
q = 80*pi/180 ; % angolo finale
xS = -20 ; yS = 10 ; % secondo centro di rotazione
XS = xS*U ; YS = yS*U ;
% usa la formula di rotazione
Xq = XS+(X-XS)*cos(q)+(Y-YS)*sin(q) ;

A.6. AAA06 157
Yq = YS-(X-XS)*sin(q)+(Y-YS)*cos(q) ;
% traccia sagoma nelle posizioni iniziale e finale
% plot(X,Y,’y’,’era’,’back’)
fill(Xp,Yp,’m’,’era’,’back’)
axis equal ; axis([-40 65 -40 65]) ; % [xmin xmax ymin ymax]
pause ; ; fill(Xq,Yq,’b’,’era’,’back’)
% ———-fotogrammi———————
% Ora scelgo due punti A e B, ad esempio il secondo ed il quinto
% punto della sagoma e ne congiungo le posizioni iniziali e finali
xAi = Xp(2) ; yAi = Yp(2) ; % posizione iniziale punto A
xAf = Xq(2) ; yAf = Yq(2) ; % posizione finale punto A
pause ; line([xAi xAf], [ yAi yAf],’color’,’m’,’era’,’back’)
%
xBi = Xp(5) ; yBi = Yp(5) ; % posizione iniziale punto B
xBf = Xq(5) ; yBf = Yq(5) ; % posizione finale punto B
pause ; line([xBi xBf], [ yBi yBf],’color’,’m’,’era’,’back’)
% punti medi: M = medio(Ai,Af), N = medio(Bi,Bf)
xM = (xAi+xAf)/2 ; yM = (yAi+yAf)/2 ;
xN = (xBi+xBf)/2 ; yN = (yBi+yBf)/2 ;
pause ; plot(xM,yM,’rx’,’era’,’back’) ; plot(xN,yN,’rx’,’era’,’back’)
% l’asse di un segmento passa per il punto medio ed è ruotato di
% 90 gradi. L’equazione dell’asse del segmento (Ai,Af) è
% x = xM+s*(yAf-yAi) y = yM-s*(xAf-xAi)
% per tracciare l’asse prendiamo, ad esempio s = 1, s = -1
x1 = xM+1*(yAf-yAi) ; y1 = yM-1*(xAf-xAi) ;
x2 = xM-1*(yAf-yAi) ; y2 = yM+1*(xAf-xAi) ;
pause ; line([x1 x2],[y1 y2],’color’,’g’,’era’,’back’)
% analogamente per l’asse del segmento (Bi,Bf)’
% x = xN+t*(yBf-yBi) y = yN-t*(xBf-xBi)
x3 = xN+1*(yBf-yBi) ; y3 = yN-1*(xBf-xBi) ;
x4 = xN-1*(yBf-yBi) ; y4 = yN+1*(xBf-xBi) ;
pause ; line([x3 x4],[y3 y4],’color’,’g’,’era’,’back’)
% determina l’intersezione Q degli assi. Deve essere:
% xM+s*(yAf-yAi) = xN+t*(yBf-yBi) ;
% yM-s*(xAf-xA) = yN-t*(xBf-xBi) ; donde si ricava s0
num = (xM-xN) *(xBf-xBi)+(yM-yN) *(yBf-yBi) ;
den = (xAf-xAi)*(yBf-yBi)-(yAf-yAi)*(xBf-xBi) ;
s0 = num/den ;
% da cui
xQ = xM+s0*(yAf-yAi) ; yQ = yM-s0*(xAf-xAi) ;

158 APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB
XQ = xQ*U ; YQ = yQ*U ;
pause ; plot(xQ,yQ,’mo’,’era’,’back’)
af = q-p ; da = af/12 ;
% traccia sagome intermedie
for a = 0 : da : af ;
Xe = XQ+(Xp-XQ)*cos(a)+(Yp-YQ)*sin(a) ;
Ye = YQ-(Xp-XQ)*sin(a)+(Yp-YQ)*cos(a) ;
pause(1) ;
plot(Xe,Ye,’k’,’era’,’back’) ;
xB=Xe(5) ; yB=Ye(5) ;
line([xQ xB],[yQ yB],’color’,’B’,’era’,’back’)
end
% ————————fine———————

Appendice B
RIMASUGLI
B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia
Un punto su una superficie ha 2 gradi di libertà. La reazione Φ è normale alla
superficie. Se la superficie è data mediante le equazioni parametriche
x = x(ξ, η) y = y(ξ, η) z = z(ξ, η) (B.1)
siano u e v i due vettori tangenti alla superficie dati da
⎧
u =
⎪⎨
∂P ∂x
=
∂ξ ∂ξ i + ∂y
∂ξ j + ∂z
∂ξ k
⎪⎩
v = ∂P
∂η
= ∂x
∂η i + ∂y
∂η j + ∂z
∂η k
(B.2)
Dal momento che la superficie è liscia la reazione R ′ sarà normale alla superficie e
quindi ortogonale a ciascuno dei vettori u e v. Quindi per l’equilibrio dovrà essere
normale lanche a forza attiva R
R + R ′ ⎧
R
⎪⎨
· u = 0
= 0 →
⎪⎩ R · v = 0
⎧
⎪⎨
→
⎪⎩
∂x
Rx
∂ξ
∂x
Rx
∂η
∂y
+ Ry
∂ξ
∂y
+ Ry
∂η
∂z
+ Rz
∂ξ
= 0
∂z
+ Rz = 0.
∂η
(B.3)
Se della superficie è data l’equazione f (x, y, z) = 0 la reazione che è normale
ad essa è esprimibile così:
Φ(P) = λ(P) grad f (P) (B.4)
159

160 APPENDICE B. RIMASUGLI
essendo λ(x, y, z) una funzione da determinare. L’equilibrio si ha per quei valori
di x, y, z per cui:
Rx + λ
∂ f
∂x = 0 Ry
∂ f
+ λ
∂y = 0 Rz
∂ f
+ λ
∂z
= 0 (B.5)
x = x(λ) y = y(λ) z = z(λ). (B.6)
Per determinare λ corrispondente all’equilibrio si inseriscono nella equazione
f (x, y, z) = 0 le espressioni (??): si ricava così λ. Sostituita di nuovo nelle equazioni
(??) si ottengono le x, y, z di equilibrio. Il valore di λ serve poi al calcolo
della reazione vincolare.
Se le forze attive sono conservative, si può usare il teorema della stazionarietà
del potenziale come segue. Si esprime il potenziale delle forze attive U(x, y, z) in
funzione dei due parametri ξ ed η:
U = U(ξ, η). (B.7)
La stazionarietà del potenziale porta allora alle due equazioni
∂U(ξ, η)
∂ξ
= 0
∂U(ξ, η)
∂η
= 0 (B.8)
che risolte forniscono ξ ed η di equilibrio. Queste sono equivalenti alle due
equazioni (B.3).
B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra
Se è nota l’equazione cartesiana della superficie f (x, y, z) = 0, si ha:
N
∇ f
= −
|∇ f | =
∂ f
∂x
∂ f
∂x i
∂ f
+
∂y j +
2
∂ f
+
∂y
2
∂ f
∂z k
+
2 ∂ f
∂z
Se invece la superficie è data mediante le equazioni parametriche
x = x(ξ, η), y = y(ξ, η), z = z(ξ, η) si ha:
∂P ∂P
×
N
∂ξ ∂η
=
∂P
∂P
×
∂ξ ∂η
. (B.9)
(B.10)

essendo P = P(x, y, z). La condizione di equilibrio è
R + R ′ = 0 −→
⎧
⎪⎨ RT + ΦT = 0
⎪⎩ RN + ΦN = 0
ed inoltre la reazione Φ deve essere contenuta nel cono di attrito, cioè
161
(B.11)
|ΦT | ≤ µ|ΦN| (B.12)

162 APPENDICE B. RIMASUGLI

Appendice C
Sistemi di forze
C.1 Forze su corpi rigidi
C.1.1 Sistemi equivalenti
Sovente si devono studiare corpi rigidi sui quali agiscono diverse forze. Sorge allora
l’esigenza di stabilire quando due insiemi di forze sono equivalenti agli effetti
dell’equilibrio per poter sostituire tale sistema di forze con un sistema equivalente
composto dal minor numero possibile di forze.
Si vedrà che in casi eccezzionali un sistema può essere equivalente al sistema
nullo (nessuna forza); in altri ad una sola forza; in altri ancora a due forze (una
coppia) e, in generale, a non più di tre forze (una forza e una coppia).
Per dimostrare questo si devono introdurre tre postulati, ovvero tre proprietà
che risultano soddisfatte per i corpi rigidi.
• una forza applicata in un punto generico di un corpo rigido si può spostare
lungo la sua retta di azione senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del
corpo;
• due forze applicate in uno stesso punto di un corpo rigido possono sostituirsi
con la loro risultante applicata nel punto (anche per corpi deformabili);
• in un generico punto di un corpo rigido si possono aggiungere due forze
opposte senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del corpo (anche per
corpi deformabili).
C.1.2 Riduzione di un sistema di forze
Consideriamo un corpo rigido, come in figura (??) e limitiamoci a considerare tre
forze F1, F2, F3 applicate in tre punti A1, A2, A3. Sarà immediato rendersi conto
163

164 APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE
che le operazioni che effettueremo si possono estendere ad un numero qualsiasi di
forze.
F 3
A 3
F 2
Q
A2
A 1
F 1
a) b)
Figura C.1. Un sistema di forze applicate ad un corpo rigido si può ridurre ad
una sola forza applicata ad un punto prefissato e ad una coppia, descritta da un
momento.
Fissiamo un generico punto Q del corpo rigido (o fuori del corpo purché solidale
con esso), che chiameremo polo e proponiamoci di ridurre tutte le forze a
quel polo. Consideriamo la forza F1. Applichiamo nel polo Q due forze opposte
di direzione e modulo uguali ad F1: per il terzo postulato non avremo alterato lo
stato di equilibrio o di moto del corpo rigido.
Q
M
Q1
F 1
coppia
Figura C.2. L’operazione di trasporto di una forza ad un polo Q comporta
l’aggiunta di una coppia.
Riguardiamo ora la forza in Q parallela, eguale ed equiversa alla F1 come la
forza F1 trasportata in Q e le due forze parallele e controverse, la F1 applicata in
A1 e la − F1 applicata in Q come formanti una coppia. In altre parole, con il procedimento
descritto la forza F1 è stata portata in Q, fuori dalla sua retta d’azione,
A 1
F 1
Q
MQ
R

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI 165
facendo intervenire una coppia correttiva. Tale coppia può essere rappresentata da
un vettore momento MQ,1 che applicheremo in Q. Questa operazione può essere
ripetuta per le altre forze. Il risultato è che ci ritroviamo in Q tre forze e tre momenti.
Sommando separatamente le forze ed i momenti in Q otterremo nel polo
una forza risultante R ed un momento risultante MQ.
Dal momento che questa operazione può essere fatta qualunque sia il numero
di forze e qualunque siano i loro punti di applicazione, ne verrà che qualunque
sistema di forze applicate ad un corpo rigido si può sostituire con un sistema
equivalente costituito da una forza risultante applicata in un polo prefissato e da
un momento applicato nello stesso punto. Il momento MQ può essere visto come
momento di una coppia: ne viene che un sistema di forze applicate ad un corpo
rigido si può sempre ridurre ad una forza applicata in un punto e ad una coppia.
R =
N
k=1
Fk
MQ =
C.1.3 Come varia il momento al variare del polo.
N
(Ak − Q) × Fk. (C.1)
È evidente che la risultante R sarà indipendente dal polo scelto mentre il momento
M dipenderà dal polo. Per convincersene basta esaminare il caso di una sola forza
con polo Q scelto sulla sua retta d’azione o fuori della sua retta d’azione: nel
primo caso il momento è nullo, nel secondo caso è diverso da zero.
Intanto ci possiamo chiedere come varia il momento al variare del polo. Se
indichiamo con Q ′ un nuovo polo avremo:
MQ ′ =
ovvero
N
(Ak − Q ′ ) × Fk = MQ =
k=1
k=1
N
[(Ak − Q) + (Q − Q ′ )] × Fk = MQ + (Q − Q ′ ) ×
k=1
(C.2)
MQ ′ = MQ + (Q − Q ′ ) × R (C.3)
Questa formula dice come varia il momento del sistema di forze al variare del
polo. Si chiama formula del trasporto del momento.
C.1.4 Proprietà del momento
Una prima proprietà si manifesta osservando che se Q e Q ′ si trovano su una retta
parallela alla risultante si ha MQ = MQ ′ in quanto (Q − Q′ ) × R = 0.
Una seconda proprietà si manifesta moltiplicando scalarmente ambo i membri
dell’uguaglianza per la risultante:
MQ · R = MQ ′ · R (C.4)
N
k=1
Fk

166 APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE
La grandezza
I def
= MQ · R (C.5)
prende il nome di invariante scalare. Dal momento che la risultante non dipende
dal polo, indicato con u il versore della risultante, come mostra la figura (??)
ne viene che anche
F 3
a)
A 3
Q
R
F2 A
2
MQ
u
A 1
Figura C.3. Il versore della risultante
M || def
Q = MQ · u con u = R
(C.6)
R
non dipende dal polo. Questa quantità è la proiezione del vettore momento lungo
la direzione della risultante. Dunque il vettore momento dipende dal polo ma la
sua proiezione lungo la direzione della risultante non dipende dal polo ovvero è
invariante.
C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato
Dal momento che la componente del momento lungo la direzione della risultante
non dipende dal polo mentre il momento varia col polo, ne viene che la componente
perpendicolare alla risultante cambia in funzione del polo. Ci proponiamo
di vedere se esiste un polo privilegiato per il quale la componente perpendicolare
è nulla.
La componente perpendicolare si può scrivere
M ⊥ Q = MQ − M ||
Q = MQ − ( MQ · u) u (C.7)
Consideriamo un polo strategico: l’origine del sistema di assi cartesiani O. Potremo
scrivere
M ⊥ Q = MO + (O − Q) × R − I
R 2 R (C.8)
F 1

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI 167
Poniamoci la domanda: esiste un polo S tale che M ⊥ S
= 0 ?. Dovrà essere
MO + (O − S ) × R − I
R 2 R = 0 (C.9)
ovvero, esplicitando il vettore che contiene il punto incognito S dovrà essere
(S − O) × R = MO − I
R 2 R. (C.10)
A destra dell’uguaglianza abbiamo una quantità che si può calcolare, a sinistra abbiamo
un vettore incognito, (S − O). Dobbiamo risolvere questa uguaglianza. per
semplicità indichiamo con b il secondo membro: dovremo risolvere l’equazione
(S − O) × R = b. (C.11)
Con riferimento alla figura (??a) si vede intanto che se S −O è un vettore soluzione
e λ è un generico numero reale, anche il vettore (S − O) + λ R è una soluzione in
quanto il prodotto R × R ≡ 0.
b
O
u
R
T
a) b)
S
a u
Figura C.4. a) la determinazione di un punto S dell’asse centrale; b) il doppio
prodotto vettoriale.
È consigliabile determinare il punto T che si trova sulla retta per S parallela
ad R. Infatti, tenendo conto della definizione di b e osservando che il versore
ortogonale a b e a R ha la forma
t = R
R
× b
b
si ha
||T − O|| R = b donde (T − O) = b
R t = b
⎛ ⎞
R b
⎜⎝ × ⎟⎠
R R b
= R × b
R2 O
v
u
a
(C.12)
(C.13)

168 APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE
ricordando la definizione di b data dalla (C.8) si ha
(T − O) = R × MO
R 2
(C.14)
Infine la retta passante per il punto T, parallela alla risultante, è formata dai punti
S che soddisfano l’equazione
(S − O) = R × MO
+ λ R. (C.15)
Questa speciale retta si chiama asse centrale del sistema di forze applicate al
corpo rigido. Essa è caratterizzata dal fatto che il momento rispetto a qualunque
suo punto è parallelo alla risultante. Inoltre, per il fatto che
MS =
R 2
M
|| 2
S + M⊥ 2
S
(C.16)
essendo invariante il primo termine ed essendo nullo il secondo ne viene che il
momento è minimo donde il nome di asse di minimo momento.
R
x
S
F3
M
T
F
2
z
F1
Figura C.5. L’asse centrale di un sistema di tre forze.
C.1.6 Casi particolari: forze piane
Nel caso di un sistema di forze piano considerato un punto Q del piano i momenti
delle forze sono tutti perpendicolari al piano e quindi l’invariante scalare è nullo
e quindi è nulla la componente parallela alla risultante (che giace nel piano).
Poiché nei punti dell’asse centrale è nullo anche la componente perpendicolare,
ne viene che l’intero momento è nullo rispetto ai punti dell’asse centrale. Quindi
in un sistema di forze piane l’asse centrale è anche retta di applicazione della
risultante. Ovvero: l’intero sistema è equivalente alla sola risultante applicata
sull’asse centrale.
y

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI 169
C.1.7 Casi particolari: forze parallele
È notevole il caso in cui le forze siano tutte parallele: è questo il caso delle forze
peso. Anche in questo caso i momenti delle singole forze, e quindi il momento
totale, è perpendicolare alla direzione comune delle forze. Ne viene che l’asse
centrale è luogo di momento nullo, essendo nulle tanto la componente parallela
che la componente perpendicolare alla risultante. Ne viene che, anche in questo
caso, l’asse centrale è anche retta di applicazione della risultante. Indicato con u
il versore della risultante, sarà
⎧
N
⎛
N
⎞
R = Fk = ⎜⎝ Fk⎟⎠
u = R u
⎪⎨
1
1
N
⎛
N
⎞
(C.17)
MO ⎪⎩
= (Ak − O) × Fk = ⎜⎝ (Ak − O)Fk⎟⎠
× u
donde
S − O = R × MO
R 2
1
+ λ R = u ×
1
⎡N1
(Ak − O)Fk
⎢⎣
R
⎤
× u ⎥⎦ + λ R (C.18)
Orbene, indicando con a un vettore, con riferimento alla figura (??b), si vede che
donde
u × (a × u) = v = a − (a · u) u (C.19)
N1 ⎡ N1 ⎤
(Ak − O)Fk
(Ak − O)Fk
S − O =
− ⎢⎣λ R −
· u ⎥⎦ u. (C.20)
R
R
A questo punto si fa la sorprendente constatazione che scegliendo il valore di
λ che annulla il termine fra parentesi quadre si ottiene un vettore (C − O) che non
dipende dalla direzione u e quindi si ottiene il punto C tale che
C − O =
N
(Ak − O)Fk
1
R
. (C.21)
Questo significa che cambiando la direzione a tutte le forze parallele, cambia u,
ma non cambiando i moduli delle forze, viene individuato un punto C che è l’intersezione
di tutti gli assi centrali. Questo speciale punto si chiama centro delle
forze parallele, ed è rappresentato in figura (??). Risulta allora che il sistema delle
forze parallele applicate ad un corpo rigido è equivalente alla sola risultante
applicata nel centro del sistema di forze.

170 APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE
F1
F
2
F1
C
F2
Figura C.6. Il centro di un sistema di due forze parallele.
Nel caso particolare delle forze peso tale centro prende il nome di baricentro.
In questo caso si usa indicare con pk i pesi e con G il baricentro. Quindi si ha la
formula
N
(Ak − O)pk
G − O =
1
fine
R
. (C.22)

Appendice D
Le diverse meccaniche
D.1 Le diverse meccaniche
• meccanica classica
• meccanica atomica
• meccanica quantistica
• meccanica teorica
• meccanica celeste
• meccanica analitica
• meccanica relativistica
• meccanica lagrangiana
• meccanica hamiltoniana
• meccanica dei gas
• meccanica dei fluidi
• meccanica dei solidi rigidi
• meccanica dei solidi deformabili
• meccanica statistica
meccanica classica=(sinonimo) meccanica razionale
meccanica teorica (mecc. analitica; mecc. celeste; mecc. lagrangiana; mecc.
hamiltoniana)
meccanica atomica =meccanica quantistica
meccanica dei gas=gasdinamica
meccanica dei fluidi=fluidodinamica
meccanica dei solidi rigidi=meccanica classica
meccanica dei solidi deformabili (si studia in scienze delle costruzioni)
meccanica statistica
171

172 APPENDICE D. LE DIVERSE MECCANICHE
meccanica relativistica
⎧
⎪⎨
corpi
⎪⎩
gas
liquidi
solidi
⎧
⎪⎨ perfetti (o ideali)
⎪⎩ reali
⎧
⎪⎨ perfetti (o ideali)
⎪⎩ viscosi (o reali)
⎧
rigidi (o ideali)
⎧
elastici
⎪⎨
⎧
⎪⎨
plastici
deformabili (o reali)
⎪⎨
anelastici viscoelastici
⎪⎩
⎪⎩ ⎪⎩
ecc

Appendice E
Dizionario
[NB: tutti i termini devono essere al singolare] ♣ eccezione: modi normali,
Per comprendere una scienza, qualunque scienza, occorre intendersi sui suoi
termini. Questo è ovvio. Poiché alcuni termini della meccanica sembrano intuitivi
in quanto usati nel linguaggio comune, finisce che lo studente ha una cognizione
approssimativa, se non errata, di alcuni di essi.
A questo si aggiunge il fatto che durante una interrogazione lo studente è
tenuto a rispondere alle domande e deve quindi, nella sua mente, organizzare una
risposta. Per fare ciò occorre imparare ad esprimersi presentando la nozione a
partire dalle premesse, mettere in evidenza le nozioni essenziali prima di quelle
secondarie.
Viene allora opportuno avere degli esempi di risposte da dare a domande del
tipo: cosa è un atto di moto? cosa è il fattore di amplificazione dinamica? cosa
sono i gradi di libertà di un sistema? cosa è un vincolo anolonomo? E così via. ♣
Il dizionario che presentiamo favorisce il ripasso delle nozioni di meccanica,
può essere consultato per chiarire una nozione e infine può aiutare a organizzare
le risposte a possibili domande d’esame.
accelerazione a
• accelerazione media, nel moto di un punto, considerando le velocità
del punto a due istanti diversi il rapporto tra la variazione della velocità
e la durata dell’intervallo prende il nome di accelerazione media del
punto nell’intervallo:
¯a def
= ∆v
(E.1)
∆t
• accelerazione istantanea, è limite della accelerazione media per ∆t −→
0
a def ∆v dv
= lim =
∆t−→0 ∆t dt
173
(E.2)

174 APPENDICE E. DIZIONARIO
Questa è comunemente chiamata accelerazione del punto all’istante
considerato.
L’accelerazione di un punto giace nel piano osculatore [vedi] alla traiettoria
nel punto considerato. Ne viene che l’accelerazione (istantanea) ha una
componente tangenziale [vedi] ed una normale [vedi] . La misura di una
accelerazione fornisce sempre una accelerazione media. L’unità di misura
della velocità è il metro al secondo, simbolo m/s.
accelerazione angolare γ Considerato un corpo rigido si chiama accelerazione
angolare la derivata della velocità angolare [vedi]. In un moto rigido piano è
sufficiente considerare la grandezza scalare α indicata nella equazione (E.3
a sinistra) mentre in un moto generico nello spazio si deve considerare il
vettore α indicato nella equazione (E.3 a destra):
scalare α =
d ω
dt
vettore α =
d ω
dt
(E.3)
Si noti che l’accelerazione angolare è un attributo di un corpo rigido e quindi
non ha un naturale punto di applicazione: si tratta di un vettore libero.
Se consideriamo un punto che descrive una circonferenza non ha senso di
parlare di accelerazione angolare del punto: si può invece parlare di accelerazione
angolare del raggio che congiunge il centro della circonferenza con
il punto in moto.
L’unità di misura della accelerazione angolare è il radiante al secondo per
secondo e si scrive rad/s 2 .
accelerazione centrifuga Nel moto di una particella, scelto un punto come polo,
si chiama accelerazione centrifuga la componente del vettore accelerazione
nella direzione del raggio vettore con origine nel polo e con il verso che fugge
da esso. ♣ In un moto centrale [vedi] il polo più naturale è il centro del
moto. Ad esempio quando una particella alfa, che ha una carica elettrica positiva,
è lanciata contro un nucleo, pure esso con carica positiva, essa viene
respinta e quindi l’accelerazione, come la forza, è centrifuga. assipeta.
accelerazione centripeta Nel moto di una particella, scelto un punto come polo,
si chiama accelerazione centripeta la componente del vettore accelerazione
nella direzione del raggio vettore con origine nel polo quando questa sia
diretta verso il centro. ♣ Ad esempio una particella vincolato ad una circonferenza
possiede una componente normale e tangenziale: scelto il centro
della circonferenza come polo, la componente normale è centripeta. In un
moto centrale [vedi] il polo più naturale è il centro del moto. Nel moto

175
dei pianeti attorno al sole l’accelerazione, come la forza di attrazione, è
centripeta.
accelerazione di Coriolis In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si
chiama accelerazione di Coriolis di un punto mobile la quantità a cor =
2 ω × v rel essendov rel la velocità del punto relativa la sistema di riferimento
mobile.
accelerazione di trascinamento In un sistema di riferimento non inerziale [vedi]
si chiama accelerazione di trascinamento di un punto mobile l’accelerazione
che il punto avrebbe rispetto al riferimento inerziale qualora lo si
immagini congelato nel riferimento mobile. In altre parole è l’accelerazione
di trascinamento ad un istante è quella con cui il punto sarebbe trascinato
qualora fosse fissato nel riferimento mobile nella posizione in cui si trova
all’istante.
accelerazione normale È la componente della accelerazione secondo la normale
alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto sulla
traiettoria, l’accelerazione normale è data da an = ˙s 2 /r essendo r il raggio
del cerchio osculatore.
accelerazione relativa In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama
accelerazione relativa di un punto mobile la accelerazione del punto
valutata rispetto al riferimento. Si veda ....
accelerazione tangenziale È la componente della accelerazione secondo la tangente
alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto
sulla traiettoria, l’accelerazione tangenziale è data da at = ¨s.
afelio punto dell’orbita terrestre che è più lontano al sole
ampiezza di una oscillazione. Data una particella in moto periodico lungo una
retta, l’ampiezza dell’oscillazione è il massimo spostamento della particella
dalla sua posizione di riposo.
angoli di Eulero sono tre angoli che definiscono l’orientazione nello spazio di
un corpo rigido. Sono usati nello studio dei giroscopi ed in astronomia.
Considerata una terna fissa (O, X, Y, Z) ed una solidale con il corpo rigido
(O, x, y, z) si opera nel modo seguente:
1. si ruota la terna mobile attorno all’asse z di un angolo ϕ che si chiama
angolo di precessione: 0 ≤ ϕ ≤ 2π. L’asse x ruotato rispetto all’asse
X prende il nome di asse dei nodi.

176 APPENDICE E. DIZIONARIO
2. si ruota la terna mobile attorno all’asse dei nodi x di un angolo θ che
si chiama angolo di nutazione: 0 ≤ θ ≤ π.
3. si ruota la terna mobile di nuovo attorno all’asse z di un angolo ψ che
si chiama angolo di rotazione propria: 0 ≤ ψ ≤ 2π.
angoli nautici ed aeronautici: sono angoli che servono ad individuare la orientazione
di un corpo rigido nello spazio. Sono usati per le auto, per le navi e
per gli aerei. Sono tre: angolo di beccheggio, angolo di rollio e angolo di
imbardata.
ascissa curvilinea di un punto lungo una curva. Fissato un punto P0 della curva,
chiamato origine, e fissata una orientazione su di essa mediante un senso di
percorso, si chiama ascissa curvilinea del punto P la lunghezza dell’arco di
linea P0P presa con il segno positivo o negativo secondo che P segua P0 o
lo preceda.
asse centrale di un sistema di vettori applicati ad un corpo rigido: è il luogo geometrico
dei punti rispetto ai quali il modulo del momento totale del sistema
è parallelo alla risultante ed in particolare può essere nullo.
asse di istantanea rotazione nel moto piano di un corpo rigido è l’asse dell’atto
di moto rotatorio [vedi].
asse di moto è l’asse dell’atto di moto elicoidale [vedi].
asse di rotazione di un moto rigido: è l’asse attorno al quale ruota un corpo
rigido. Esempio la retta congiungente i cardini di una porta.
assi principali d’inerzia di un corpo rispetto ad un punto. Considerato il fascio
di rette passanti per il punto ed il momento d’inerzia del corpo rispetto a
ciascuna retta, gli assi principali d’inerzia sono quelle rette del fascio per
il quale il momento d’inerzia è stazionario. Questo significa che dato un
asse principale d’inerzia, per rette che siano inclinate di un piccolo angolo
α sull’asse principale, la variazione del momento d’inerzia è un infinitesimo
di ordine superiore ad α.
asta un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da una
linea, dotato di rigidezza flessionale. Tipicamente una lama d’acciaio, una
bacchetta, un bastone. Viene chiamata anche verga.
atto di moto di un sistema ad un dato istante: è l’insieme delle velocità di tutti i
punti del sistema a quel dato istante.

177
atto di moto elicoidale è quell’atto di moto di un sistema rigido in cui il vettore
velocità angolare ω è parallelo al vettore velocità di traslazione.
atto di moto rotatorio è l’atto di moto di un corpo rigido in cui due punti hanno
velocità nulla ad un determinato istante. Ne viene che tutti i punti della retta
che passa per i due punti hanno velocità nulla. Tale retta prende il nome di
asse istantaneo di rotazione. Esso è tipico del corpo rigido, ma non esclusivo
in quanto anche un sistema deformabile può subire uno spostamento
rigido.
atto di moto traslatorio è l’atto di moto di un corpo rigido in cui tutti i punti
hanno la medesima velocità ad un determinato istante. Esso è tipico del
corpo rigido, ma non esclusivo in quanto anche un sistema deformabile può
subire uno spostamento rigido.
atto di moto virtuale è l’insieme delle velocità virtuali assegnate ai punti di un
sistema.
attrito dinamico attrito di rotolamento o attrito volvente e ...♣
attrito statico è la causa della resistenza al moto che si manifesta fra due corpi a
contatto nel punto in cui le due superfici si toccano supposto che la velocità
relativa sia nulla (ad esempio ruota che rotola). Esso dipende dalla natura
e dallo stato di lavorazione delle superfici a contatto. Si manifesta con una
forza tangenziale (attrito radente) ed una coppia che si oppone alla rotazione
di una superficie rispetto all’altra attorno alla normale comune nel punto di
contatto (attrito di giro).
azione È una grandezza fisica molto usata nella meccanic analitica [vedi] ed in
fisica teorica. È il prodotto dell’energia per il tempo. Si distinguono due
tipi di azione [49, p.♣ ],
• l’azione lagrangiana, che è definita da[47] ♣
t1
AL =
t0
• l’azione hamiltoniana definita da
t1
AH =
t0
k
pkdq k
(E.4)
(T − V) dt (E.5)

178 APPENDICE E. DIZIONARIO
azione assiale è la forza che si deve applicare in un punto di un’asta o di una
trave in direzione dell’asse della trave, per mantenere l’equilibrio quando si
operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre anche
una azione di taglio [vedi] ed un momento flettente [vedi] .
azione di taglio è la forza T che si deve applicare in un punto di un’asta o di
una trave in direzione normale all’asse e quindi parallelamente alla sezione
normale dell’asta, per mantenere l’equilibrio quando si operi una sezione.
Si intende che per l’equilibrio occorre anche una azione normale [vedi] ed
un momento flettente [vedi] .
azioni interne in un’asta. Immaginando di operare una sezione nell’asta, per
mantenere in equilibrio le due parti occorre applicare sulle due facce della
sezione due forze opposte e due coppie opposte. Ciascuna di queste rappresenta
l’azione che la parte rimanente dell’asta esercitava sull’altra prima
della sezione. Le forze e le coppie costituiscono le azioni interne. Le azioni
interne sono tre: l’azione di taglio, l’azione assiale ed il momento flettente.
baricentro è il centro [vedi] del sistema dei vettori peso supposti tutti paralleli
fra loro. È anche chiamato centro di gravità e lo si indica con G.
base del moto detta anche polare fissa o semplicemente base. Dato un moto rigido
piano si chiama base la linea descritta dai centri di istantanea rotazione
visti da un osservatore fisso col piano direttore.
battimenti Nella sovrapposizione di due oscillazioni unidimensionali lungo la
stessa direzione si dà il caso che le frequenze siano molto vicine: in questo
caso l’oscillazione risultante ha una ampiezza che aumenta e diminuisce
periodicamente. Questo è il fenomeno dei battimenti.
binormale ad una linea in un suo punto: è la retta perpendicolare sia alla tangente
che alla normale principale. Con lo stesso nome si indica anche il versore
b diretto come la binormale e orientato in modo che la terna di vettori tangente,
normale e binormale, presi in quest’ordine, sia una terna destra. Esso
è dato dalla formula
b = t × n (E.6)
C
campo conservativo è un campo vettoriale per il quale la circolazione del vettore
del campo lungo qualsivoglia linea chiusa è nulla. Si intende che, se il vettore
è variabile nel tempo, la circolazione viene fatta congelando il tempo.
Il campo si dirà conservativo se la circolazione è nulla ad ogni istante.

179
campo scalare data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo scalare
una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza scalare
(cioè una grandezza caratterizzata da un numero).
campo scalare armonico è un campo scalare descritto da una funzione f (r) la
cui laplaciana è nulla in ogni punto della regione: ∆ f (r) = 0 o anche
∇ 2 f (r) = 0.
campo solenoidale è un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del
postov(r) la cui divergenza è nulla in ogni punto della regione: ∇ · v(r) = 0.
campo tensoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza
tensoriale. Esempio il campo del tensore d’inerzia Ihk, del tensore di
deformazione ɛhk e quello del tensore degli sforzi σhk nella meccanica dei
continui.
campo vettoriale data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo
vettoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza
vettoriale (cioè una grandezza caratterizzata da un vettore)
campo vettoriale armonico è un campo vettoriale descritto da un vettore funzione
del posto v(r) il cui laplaciano è nullo in ogni punto della regione:
∆v(r) = 0.
campo vettoriale irrotazionale è un campo vettoriale descritto da un vettore funzione
del posto v(r) il cui rotore è nullo in ogni punto della regione: ∇ ×
v(r) = 0. Un campo vettoriale irrotazionale è anche chiamato campo vettoriale
potenziale in quanto esso si può esprimere come gradiente di uno
scalare: v = ∇ f (r) = ∇ f (r)
centro di gravità è il centro del sistema delle forze peso considerate come parallele
e proporzionali alle masse. Coincide con il baricentro e lo si indica con
G.
centro d’istantanea rotazione in un moto rigido piano ad un istante considerato
è quel punto del corpo o, se esterno, solidale con esso che ha velocità nulla
all’istante considerato.
centro di massa di un sistema meccanico: è quel punto nel quale ponendo una
massa puntiforme uguale alla massa del sistema il suo momento statico
rispetto a qualunque piano coincide con quello dell’intero sistema rispetto
a quel piano. Esso è dato dalla formula
(C − A) = 1
m
n
(Pk − A)mk essendo m =
k=1
n
k=1
mk
(E.7)

180 APPENDICE E. DIZIONARIO
centro di un sistema di forze parallele è il punto intersezione di tutti gli assi
centrali relativi a diverse direzioni delle forze parallele. Esso è il punto
di applicazione della risultante, nel senso che applicando in esso la risultante
di tutte le forze esso è equivalente all’intero sistema di forze, qualunque
sia la loro direzione.
cerchio osculatore ad una linea in un punto: è il cerchio limite di una successione
di cerchi passanti per tre punti della curva quando i tre punti tendono al
punto considerato.
circolazione di un vettore lungo una linea L: è la grandezza scalare che si ottiene
integrando
il prodotto scalare del vettore del campo per il vettore dr: C =
v(r) · dr. Nel caso in cui il vettore sia variabile nel tempo la circolazione
L
è valutata congelando il tempo: C(t) =
L v(r,t) · dr.
concordanza di fase detto di due vibrazioni o oscillazioni che raggiungono simultaneamente
le posizioni estreme situate da una medesima parte (ad esempio
verso destra, o in alto).
configurazione di un sistema. È la nozione che generalizza quella di posizione
di un punto o di un corpo. Essa è costituita dalla posizione di tutti i punti
del sistema ad un dato istante. Le figure di una danzatrice classica sono
altrettante configurazioni del suo corpo.
coordinate libere o coordinate lagrangiane o coordinate generalizzate: sono un
insieme di coordinate indipendenti in numero sufficiente ad individuare la
configurazione di un sistema meccanico [49, v.I, p.6]. Si richiede che ad
ogni configurazione del sistema corrisponda un solo valore delle coordinate
e viceversa. Si indicano con q k o con qk.
coppia è l’insieme di due forze opposte con rette di applicazione parallele.
coppie equivalenti due coppie si dicono equivalenti quando hanno lo stesso piano,
la stessa orientazione e lo stesso modulo.
corpo rigido Cosa è un corpo rigido? La quasi totalità dei testi di fisica e, in
particolare di meccanica, definisce un corpo rigido come un corpo le cui
distanze rimangono invariate qualunque sia il moto del corpo e le forze che
agiscono su di esso. In un assalto di scrupolo alcuni autori precisano che in
Natura nessun corpo è rigido ma che si tratta di una idealizzazione.
Questa definizione non è accettabile: la fisica non è la matematica. Cosa
vuol dire che le distanze tra le coppie di punti rimangono invariate? Una

181
distanza deve essere misurata! Con che cosa? con un qualche metro. E il
metro usato, a sua volta è rigido? Come si vede la definizione si mangia la
coda ovvero è una tautologia.
La soluzione della tautologia è molto più prosaica: si tratta di scegliere un
certo numero di corpi come candidati a costituire regoli campioni. Usando
il confronto diretto si fanno tutti della stessa lunghezza, a meno di una
tolleranza prestabilita, ad esempio di 1 mm.
Si sottopongono questi candidati campioni a trazione, compressione e riscaldamento
entro certi limiti di forza e di temperatura. Si confrontano di
nuovo le lunghezze dei candidati e si scartano quelli che si discostano di più
dalla media. I regoli che mantengono la stessa lunghezza (con la tolleranza
prestabilita) costituiscono i campioni che arbitrariamente chiameremo rigidi.
Come si vede è tutto molto deludente dal punto di vista matematico. Ma
la Matematica, che è una scienza del Pensiero, vive in un mondo ideale e
deve il suo enorme successo alla astrazione. Al contrario la Fisica, che è
una scienza della Natura, vive in un mondo reale e deve fare i conti con le
cose concrete. Essa deve il suo enorme successo al continuo confronto con
l’esperienza ovvero alla concretezza!
Si noti ancora che, secondo la teoria della relatività, la lunghezza di un regolo
dipende dallo stato di moto: questo fatto rende inaccettabile, in relatività,
anche la stessa definizione operativa di corpo rigido appena data.
curvatura di una linea in un suo punto: è l’inverso del raggio R del cerchio
osculatore alla linea nel punto: γ = 1/R. Tale numero è positivo, nullo
o negativo essendo il raggio di curvatura positivo, infinito o negativo.
curvatura di una superficie in un suo punto. Considerata la retta normale alla
superficie in un suo punto si consideri il fascio di piani passante per tale
retta. Ciascuno di essi interseca la superficie lungo una linea. Si esamini la
curvatura di ciascuna linea [vedi], tenendo conto del suo segno. Vale a dire,
fissato un senso sulla normale come positivo, alcune linee possono avere il
centro di curvatura dalla parte positiva della superficie, altre possono averlo
dalla parte negativa. La curvatura delle prime si dirà positiva, quella delle
seconde negativa.
Fra tutte le curvature cerchiamo la massima e la minima (sempre tenendo
conto del segno). Queste due curvature sono relative a due direzioni tangenti
alla superficie nel punto che prendono il nome di direzioni principali
e le corrispondenti curvature si chiamano curvature principali e si indicano
con kmin e kmax [46, p.194]. Si distinguono due tipi di curvature.

182 APPENDICE E. DIZIONARIO
D
• la curvatura media H della superficie nel punto è definita dalla media
delle curvature principali: H = (kmin + kmax)/2.♣ La curvatura media
può essere positiva, nulla o negativa.
• la curvatura totale K della superficie nel punto è definita dal prodotto
delle curvature principali: K = kmin kmax. Anche la curvatura totale
può essere positiva, nulla o negativa. È anche chiamata curvatura
gaussiana.
dinamometro strumento per la misura delle forze. Esso si basa sulla deformazione
elastica che un corpo può subire quando su di esso si esplica l’azione di
un altro corpo in quite rispetto al primo. L’entità della forza si misura dalla
entità dello spostamento subito dal corpo elastico previa opportuna taratura.
divergenza di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale v(r) si
consideri un punto della regione in cui esso è definito, una superficie chiusa
contenente il punto e si valuti il flusso del vettore attraverso tale superficie:
Φ = v(r) · ndS . Al tendere a zero del massimo diametro della superficie
tende a zero sia la circolazione che il volume V racchiuso. Si constata
che il limite del rapporto flusso/volume è, in generale, una quantità finita:
D = lim Φ/V. Tale scalare prende il nome di divergenza del vettore v nel
punto considerato e si indica con divv o anche ∇ · v.
E
ellisse d’inerzia data una lamina piana ed un fascio di rette passanti per un punto,
si può ottenere una curva indicatrice dei momenti d’inerzia rispetto alle
diverse rette del fascio riportando su ogni retta uscente dal punto, da tutte
e due le parti, un segmento di lunghezza uguale all’inverso della radice
quadrata del momento d’inerzia relativo alla retta. Tale luogo geometrico è
una ellisse detta ellisse d’inerzia.
ellissoide d’inerzia dato un corpo tridimensionale consideriamo un punto (dentro
o fuori del corpo). Se per ogni semiretta uscente dal punto si riporta un
segmento uguale all’inverso della radice quadrata del momento d’inerzia il
luogo geometrico degli estremi del segmento è un ellissoide detto ellissoide
d’inerzia.
elongazione in una vibrazione è lo spostamento di un punto dalla posizione di
riposo.
energia cinetica È l’energia che un corpo possiede per il fatto di essere in moto.
È definita come il lavoro che il corpo cede riducendosi alla quiete a anche

183
come il lavoro fatto sul corpo per portarlo dalla quiete a quello stato di
moto. Si indica con T. Per una particella è definita come
T(p) =
p
0
v(p) · dp = p2
2m
(E.8)
mentre per un sistema è la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle
di cui è composto. È opportuno distinguere una energia cinetica macroscopica
ed una microscopica T macro , quest’ultima dovuta al moto molecolare
T micro . Quando mettiamo il formaggio nel frigo lo raffreddiamo ovvero
diminuiamo la sua energia cinetica microscopica.
[♣FUORI POSTO] Si noti che sarebbe meglio definire due energie cinetiche:
quella data dalla formula precedente e l’energia cinetica complementare data da
T ∗ v
(v) = p(v) · dv = 1
2 mv2
(E.9)
0
In meccanica classica queste due grandezze hanno lo stesso valore in quanto la
relazione p = mv è lineare e si ha p2 1
2m = 2mv2 . Ma in meccanica relativistica esse
sono distinte:
T(p) = m0c 2
⎡
⎢⎣
1 + p2
⎤
− 1
(m0c) 2 ⎥⎦ T ∗ (v) = m0c 2
⎡
⎢⎣ 1 − 1 − v2
c2 ⎤
⎥⎦ (E.10)
Si noti che anche in meccanica classica sarebbe bene scrivere il teorema dell’energia
nella forma T +V = E, la funzione di Hamilton H = T +V e invece la funzione
di Lagrange L = T ∗ − V. La coincidenza tra T e T ∗ in meccanica classica rende
superflua questa distinzione e spiega perché non sia comunemente usata. Si veda
Sommerfeld, v.III
energia interna di un sistema meccanico: è la somma dell’energia potenziale
interna e dell’energia cinetica microscopica dovuta ai moti molecolari.
Indicata con U essa si esprime così: U def
= Vint + T micro . Si veda ....♣
energia potenziale Consideriamo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi
e a forze indipendenti dal tempo. Consideriamo una sua configurazione
di riferimento e la configurazione attuale. Si chiama energia potenziale
del sistema nella configurazione attuale il lavoro che il sistema fornisce
passando dalla configurazione attuale a quella di riferimento in assenza di
attriti e di resistenze aerodinamiche.
In modo equivalente: si chiama energia potenziale del sistema nella configurazione
attuale il lavoro che dall’esterno si deve fornire al sistema per
portarlo dalla configurazione di riferimento a quella attuale. Il simbolo è V.

184 APPENDICE E. DIZIONARIO
Osservazione. Si noti che V, U ... ♣ [osservazione già fatta?]
Essa è quindi l’energia posseduta dal sistema in virtù della sua configurazione
e non del suo moto.
Qualora le forze siano dipendenti dal tempo o i vincoli siano mobili il lavoro
è calcolato congelando il tempo ad un dato istante e quindi fissando i vincoli
e le forze. In questo caso l’energia potenziale è funzione del tempo.
Essa si può dividere in energia potenziale interna ed esterna a secondo che
si prendano in considerazione le forze interne od esterne. Si veda ....♣
energia totale di un sistema è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
del sistema: E def
= T + V.
equilibrio indifferente è una configurazione di equilibrio tale che se il sistema
viene allontanato da quella configurazione esso rimane nella nuova configurazione.
equilibrio instabile è una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene
allontanato da quella configurazione esso tende ad allontanarsi sempre più.
equilibrio stabile è una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene
allontanato da quella configurazione esso tende a ritornarvi.
F
fase in una oscillazione retta dall’equazione x(t) = A sin(ω t + ϕ0) il termine
fase si riferisce all’argomento della funzione trigonometrica, vale a dire alla
grandezza ϕ def
= (ωt + ϕ0). Il termine ϕ0 prende il nome di fase iniziale. Si
veda la voce oscillazioni.
fattore di amplificazione dinamica consideriamo il moto oscillatorio di un sistema
ad un grado di libertà soggetto ad una forza impressa di tipo periodico,
in particolare sinusoidale f = f0sin(ωt) . Qualora agisse una forza costante
f0 il sistema avrebbe un’elongazione statica x0 = f0/k. Sotto l’azione
della forza sinusoidale il sistema avrà un’ampiezza A(ω) contenuta nella
soluzione x(t) = A(ω)sin(ωt +ϕ) . Il rapporto tra A(ω) (massima elongazione
dinamica) ed x0 (elongazione statica) prende il nome di amplificazione
dinamica.
filo è un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da una
linea, che sia perfettamente flessibile. Per quanto possa sembrare strano
il tipico esempio di filo è ... una catenella in quanto non offre resistenza
alla flessione. Un comune filo di lana, di seta, di plastica, di acciaio ha

185
una resistenza alla flessione: la prova si ha nel fatto che volendogli dare
una forma arbitraria esso reagisce in misura più o meno grande prendendo
una configurazione diversa. Al contrario una catenina, come quelle che
portiamo appesa al collo, rimane nella configurazione che gli abbiamo data
e quindi non offre resistenza alla flessione.
flusso di un vettore v attraverso una superficie. È la grandezza Φ ottenuta eseguendo
l’integrale Φ =
S v · d S sulla superficie S .
forza è la grandezza vettoriale che descrive l’azione su un corpo da parte di altri
corpi o di altre parti dello stesso corpo. Se tanto il corpo che subisce
l’azione quanto quello la esercita sono in quiete essa si misura con il dinamometro.
Nel caso in cui l’uno o l’altro o entrambi i corpi sono in moto,
la grandezza più facilmente misurabile è l’impulso [vedi] che si misura con
l’impulsometro [vedi] ed allora la forza media è il rapporto tra l’impulso I
comunicato al corpo durante un intervallo di tempo τ e l’intervallo stesso.
La forza istantanea è il limite di tale rapporto.
forza aerodinamica vedi resistenza aerodinamica.
forza apparente nome dato ad una forza che si manifesta in un riferimento non
inerziale e che non è causata dall’azione di altri corpi. Sono di due tipi: la
forza centrifuga [vedi] e la forza di Coriolis [vedi].
forza assifuga letteralmente fugge da un asse. Nome poco usato, ma più opportuno
di forza centrifuga, letteralmente fugge da un centro.
forza assipeta letteralmente va verso un asse. Nome poco usato, ma più opportuno
di forza centripeta, letteralmente va verso un centro.
forza attiva è una forza che si esercita sul sistema che non è dovuta ai vincoli.
Termine da usare in contrapposizione al termine forza reattiva che è quella
generata da un vincolo.
forza centrifuga la forza apparente che fugge da un centro presente in un sistema
di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due dimensioni. Guardandolo
in tre dimensioni non esiste un centro, ma bensì un asse, quello di
rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assifuga.
forza centripeta la forza che punta verso un centro. Tipica è la reazione vincolare
in un sistema di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due
dimensioni. Guardandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bensì
un asse, quello di rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assipeta.

186 APPENDICE E. DIZIONARIO
forza conservativa è una forza dipendente dal posto per la quale la circolazione
lungo qualsiasi cammino chiuso è nulla.
forza di Coriolis è una forza apparente, presente in un riferimento non inerziale
(ad esempio una giostra) che si manifesta su una particella dotata di velocità
relativa. Ad esempio l’omino che ritira i biglietti su una giostra durante la
rotazione, finchè stà fermo sperimenta solo la forza centrifuga, quando si
muove sperimenta anche la forza di Coriolis: f = 2 ω × vr.
forza d’inerzia di un corpo è l’opposto del prodotto della massa di un corpo per
l’accelerazione del suo baricentro G: f in def
= −maG.
forza dissipativa sinonimo di forza resistente.
forza di superficie è una forza che si applica agendo sulla superficie di un corpo.
Tale è una forza aerodinamica (su un pallone, su una palla da tennis, su una
palla da ping pong, su un’auto, un aereo, un uccello, ecc.); quella esercitata
dall’acqua sulla carena di una nave, su un pesce, su un sottomarino; quella
dovuta all’attrito ad esempio quando solleviamo una bottiglia stringendo
con una mano il collo della bottiglia; quella con la quale teniamo in braccio
un bambino o portiamo in spalla una cassa. Le forze di superficie sono forze
a contatto.
forza di volume è una forza che si applica su un corpo agendo direttamente sulle
particelle che lo compongono. Tale è la forza peso, la forza d’inerzia, la
forza elettrica o magnetica agente su un dielettrico che dà luogo alla polarizzazione
elettrica e magnetica. Le forze di volume sono forze a distanza
vale a dire forze che non agiscono per contiguità nella materia.
forza elastica è una forza propozionale allo spostamento dalla sua posizione di
equilibrio e che ha senso opposto allo spostamento. È tipicamente la forza
esercitata da una molla ideale [vedi].
forza esterna ad un sistema: è una forza che si esercita sul sistema e che proviene
dall’esterno. Le forze nascono sempre a due a due e sono opposte: la
somma di quelle che si esercitano su un sistema non è in generale nulla. Un
galleggiante in equilibrio è soggetto a due forze esterne: la spinta idrostatica
(forza di superficie) e quindi forza a contatto ed il suo peso (forza di
volume) e quindi forza a distanza e la loro somma è nulla.
forza generalizzata sono le quantità
Qh =
N
k=1
fk · ∂rk
∂q h
(h = 1, 2, ...., n) (E.11)

187
essendo n il numero delle coordinate generalizzate. Esse nascono come
coefficienti della forma differenziale lineare che dà il lavoro virtuale in
termini delle variazioni delle coordinate generalizzate
W ∗ =
N
k=1
fk · δrk =
n
Qh δq h . (E.12)
forza impulsiva una forza di breve durata. Generalmente è una forza variabile
e di notevole intensità. Tipiche sono quelle dovute a colpi, percussioni,
esplosioni.
forza interna ad un sistema: è una forza che si esercita tra le parti che compongono
il sistema. Le forze interne nascono sempre a due a due e sono opposte,
quindi la loro somma è sempre nulla (anche per un essere animato!).
forza motrice forza che favorisce il movimento e quindi che fornisce energia
ad un sistema meccanico. Tale è il peso agente su un corpo in caduta, ad
esempio il peso di un paracadutista.
forza passiva sinonimo di forza resistente.
forza posizionale è una forza che dipende esclusivamente dal punto nel quale
è applicata, quindi non dipende né dal tempo né dalla velocità. Le forze
posizionali danno luogo ai campi di forze.
forza reattiva sinonimo di reazione vincolare.
forza resistente è una forza che ostacola il movimento e quindi che fa perdere
energia al sistema meccanico. Opposto di forza motrice. Le forze dovute
agli attriti sono generalmente resistenti ma possono essere motrici, ad esempio
quando solleviamo una bottiglia circondandola con la mano. Le forze
aerodinamiche possono essere resistenti, come quelle agenti sul paracadute
o motrici, come quelle agenti sulla vela di una barca a vela.
forza viscosa vedi resistenza viscosa.
forza viva nome obsoleto per energia cinetica. L’antica denominazione ≪forza
viva≫ (Leibnitz) rispecchia l’ambiguità della parola ≪forza≫ (vis viva
contrapposta a vis mortix); ancora Helmholtz nel 1847 intitolava la sua
Memoria relativa alla conservazione dell’energia Sulla conservazione delle
forze[30, p.19].
h=1

188 APPENDICE E. DIZIONARIO
frequenza è la grandezza che misura la rapidità di una oscillazione. Quando un
punto in moto compie oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio la
durata di una oscillazione completa, vale a dire andata e ritorno, prende il
nome di periodo. Il numero di oscillazioni per secondo prende il nome di
frequenza: f def
= 1
T . L’unità di misura è l’hertz che si scrive Hz. Questa
unità è in onore del fisico tedesco Hertz. La frequenza si indica con uno dei
due simboli f , ν. Si veda la voce oscillazioni. Nella pratica si usano anche
i giri al minuto o i battiti al minuto: 1 giro/minuto= 1
60 Hz.
frequenze naturali di un sistema vibrante: sono quelle frequenze per le quali il
sistema vibra mantenendo tutti i suoi punti in fase, vale a dire nella loro
oscillazione essi raggiungono simultaneamente le posizioni estreme. [vedi
modi normali].
funzione di Hamilton detta anche hamiltoniana. È la grandezza H def
= k pk ˙q k −
L essendo L al funzione di Lagrange, pk le quantità di moto generalizzate,
q k le forze generalizzate.
funzione di Lagrange detta anche lagrangiana. È la grandezza L def
= T − V
essendo T l’energia cinetica e V l’energia potenziale.
G
geodetica di una superficie: ogni linea congiungente due punti della superficie
che sia di lunghezza stazionaria. Essa gode della proprietà che la sua normale
principale in un punto ha la stessa direzione, non necessariamente lo
stesso verso, della normale alla superficie nel punto. Sul piano le geodetiche
sono le linee rette; sul cilindro sono le eliche cilindriche circolari; sulla
superficie sferica sono gli archi di cerchio massimo.
gradi di libertà di un sistema è il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti
che il sistema può avere [50, p.13]; per un sistema olonomo è
uguale al numero di coordinate libere; per un sistema anolonomo è uguale
al numero di coordinate libere diminuito del numero di equazioni di legame
non olonomo [49, v. I, p.6].
Alcuni autori definiscono il numero di gradi di libertà come il minimo numero
di coordinate che individuano la configurazione di un sistema [54,
p.88], [43, p.135] ♣
Per un sistema olonomo è il numero di coordinate libere [49, vol I, p. 6]
; per un sistema anolonomo è il numero di coordinate libere diminuito del
numero di equazioni di legame non olonomo[49, vol I, p. 6].

189
gradiente di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (r) si consideri
un punto nella sua regione di definizione. Per ogni semiretta (orientata)
uscente da tale punto si può calcolare la derivata della funzione lungo la
semiretta: d f /ds. Si constata che tale derivata, che dipende dal versore t
della semiretta, si può scrivere come prodotto scalare di un vettore G e del
vettore t, cioè d f /ds = G · t. Il vettore G così definito prende il nome di
gradiente della funzione scalare nel punto considerato. Esso ha la direzione
di massima derivata normale. La derivata d f /ds prende il nome di derivata
direzionale e anche di gradiente nella direzione considerata. Il gradiente si
indica con grad f (r) o anche ∇ f (r).
grado di vincolo Un vincolo geometrico toglie uno o più gradi di libertà al sistema:
il numero di gradi di libertà che toglie prende il nome di grado di
vincolo. Il grado di vincolo di un sistema meccanico è la somma dei gradi
di vincolo di tutti i suoi vincoli.
H
hertz unità di misura della frequenza ed è pari ad una oscillazione al secondo.
I
impulso grandezza fisica che esprime l’azione dinamica su un corpo da parte di
altri corpi. È solitamente definito come l’integrale del prodotto della forza
per il tempo ma è meglio definirlo come la grandezza dinamica misurata
direttamente mediante un impulsometro [vedi] ad esempio un pendolo balistico.
Si noti che è in genereale difficile misurare la forza agente su un
corpo in moto mentre è facile misurare l’impulso. (si veda ...)
impulso angolare sinonimo di momento angolare [vedi] e di momento della quantità
di moto.
impulsometro strumento per la misura degli impulsi. Esso si basa sulla deformazione
elastica che un corpo può subire assorbendo l’urto di un corpo
in moto che lo colpisce. L’entità dell’impulso si misura dalla entità dello
spostamento massimo subito dal corpo elastico previa opportuna taratura.
inerzia è un attributo dei corpi consistente nell’opporsi alla variazione dello stato
di moto.
integrale dell’energia afferma che in un sistema a vincoli fissi e non dissipativi
soggetto a forze conservative la somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale è costante. In formule T + V = E in cui E è chiamata energia
totale.

190 APPENDICE E. DIZIONARIO
integrale primo del moto; termine con il quale si intende una relazione differenziale
tra le coordinate di un sistema contenente solamente le derivate prime.
♣ Tipica conservaizone dell’energia T + V = E e la conservazione della
quantità di moto P = P0.
invariante scalare di un sistema di forze agenti su un corpo rigido: è lo scalare
I = R · MA essendo R ed MA rispettivamente la risultante ed il momento
risultante del sistema di forze risapetto ad un polo A. Esso ha la proprietà
di avere lo stesso valore per ogni scelta del polo A.
iperstatico termine riferito ad un sistema in cui il grado di vincolo [vedi] superi
il numero di gradi di libertà.
isocronismo in un moto oscillatorio il periodo cresce con l’aumentare dell’ampiezza
delle oscillazioni. Se le oscillazioni sono di piccola ampiezza il periodo
è sensibilmente indipendente dall’ampiezza. In ciò consiste l’isocronismo
delle piccole oscillazioni
isostatico termine riferito ad un sistema in cui il numero di gradi di libertà coincide
con il grado di vincolo e in più non sia labile [vedi].
J
joule unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale: esso è il lavoro fatto
dalla forza di un newton per lo spostamento di un metro. Una volta si usava
il chilogrammetro, prodotto del chilogrammo-peso per un metro. Questa
unità è oggi obsoleta come lo è il cavallo vapore per la potenza, la caloria
per il calore, la atmosfera per la pressione, ecc.
K
kilogrammo unità di misura della massa nel Sistema Internazionale (SI). Originariamente
definita come la massa di un litro di acqua alla temperatura di
4 gradi centigradi è oggi precisata come la massa del campione depositato
all’ufficio dei pesi e Misure a Sévres in Francia; ?♣
kilogrammo forza ♣ detto anche chilogrammo peso ♣[chilo?] unità di misura
della forza nel vecchio sistema pratico, oggi da abbandonare per il Sistema
Internazionale di unità di misura in cui l’unità di forza è il newton: un
kilogrammo-peso è uguale a 9.81 N.
L
labile detto di un sistema discreto ♣ in cui il numero e la posizione dei vincoli
sono tali da non mantenere fermo il sistema. ♣

191
laplaciana di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (r) ed un punto
della sua regione di definizione si consideri la divergenza del vettore gradiente
nel punto: tale funzione prende il nome di laplaciana della funzione
nel punto e si indica con ∆ f (r) o anche con ∇ 2 f (r).
lavoro w, W Quando una forza agisce su un corpo essa compie un lavoro. Per
definirlo è conveniente esaminare i seguenti casi 1
• forza costante. Si chiama lavoro di una forza costante f relativa ad
uno spostamento s il prodotto scalare
W def
= f · s ≡ f · ∆r. (E.13)
Questo è il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su una automobile
in moto a velocità costante.
• forza variabile. Consideriamo un corpo in moto. Supponiamo che
in un suo punto r agisca una forza che può dipendere dal tempo, dalla
posizione, dalla velocità: f (t, r, v). Supponiamo inoltre che sia
noto il moto del punto espresso dalla funzione r(t). Calcolata la velocità
v(t) si possono sostituire queste due funzioni nella espressione
f (t, r(t), v(t)) cosicché la forza diviene funzione del solo tempo: F(t).
In queste condizioni si chiama lavoro della forza la grandezza scalare
W def
=
t1
t0
F(t) · v(t) d t. (E.14)
Questo è il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su un’automobile
o su un’aereo in moto a velocità variabile. Se si suppone che la
resistenza sia di tipo aerodinamico [vedi] ovvero data dalla espressione
f (v) = −1/2 ρ Cx vv, se è nota l’equazione oraria della vettura r(t),
con la formula precedente si può stimare il lavoro da essa compiuto
durante un viaggio assegnando l’istante di partenza e di arrivo.
• forza posizionale. Se la forza dipende solo dalla posizione, quindi né
dal tempo né dalla velocità, si dice che siamo in presenza di un campo
di forze. Per calcolare il lavoro è sufficiente precisare la traiettoria del
punto mobile e non è necessario conoscere la sua equazione di moto.
Indicata con L la linea si ha
W def
=
1 Si veda la bella presentazione di [48, parte I, p.219-]
L
f (r) · dr. (E.15)

192 APPENDICE E. DIZIONARIO
Quindi nel caso di forze posizionali si può fare a meno di considerare
il moto del punto del corpo su cui la forza si esercita e considerare solo
una linea. La nozione di lavoro, in questo caso, si identifica con quella
di circolazione [vedi] del vettore forza (funzione del posto) lungo una
linea. In altri termini la nozione di lavoro si depura dalla nozione di
corpo e di moto per diventare una grandezza a sé stante.
• forza posizionale e conservativa. Se la forza oltre ad essere posizionale
è anche conservativa [vedi] allora il lavoro della forza dipende
solo dagli estremi della linea e non dalla linea stessa. Per calcolare
il lavoro è sufficiente precisare due punti A e B e considerare una linea
qualsiasi che congiunge i due punti. In questo caso si definisce il
lavoro mediante l’espressione
W =
B
A
f (r) · dr. (E.16)
Il campo gravitazionale non è un campo di forze ma un campo di
accelerazioni in quanto ad ogni punto del campo è associato il vettore
accelerazione di gravità g. La forza nasce quando vi mettiamo un
corpo di massa m: in questo caso la forza agente sul corpo è p = m g.
Dal momento che la forza dipende dalla massa del corpo non si può
dire che il campo gravitazionale sia un campo di forze.
Un esempio di campo di forze conservativo è quello delle forze elastiche:
f = −k r. Il lavoro della forza tra due punti è dato da
W =
B
A
−k r · dr = − 1
2 k r 2 B − r 2
A . (E.17)
Il lavoro è considerato positivo se viene fatto sul corpo o sul sistema. Si noti
che nella termodinamica alcuni autori usano ancora la vecchia notazione
che è opposta all’attuale: il lavoro viene da loro considerato positivo se è
fatto dal sistema. Considerato che lavoro e calore sono due forme di flusso
di energia e che il calore è da tutti considerato positivo se fornito al sistema,
si vede che è bene considerare entrambi positivi se forniti al sistema.
L’unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale è lo joule (simbolo
J).
lavoro virtuale w∗ , W∗ di un sistema di forze: è la somma dei prodotti scalari
delle forze agenti sui diversi punti del sistema per uno spostamento virtuale
[vedi] del sistema stesso. In formule:
w ∗ N
= fk · δrk. (E.18)
k=1

193
legge di Hooke è la legge che regola le deformazioni elastiche lineari di un sistema.
Data un’asta deformabile o una molla, se con F indichiamo la forza di
trazione e con ∆L il suo allungamento, la relazione sperimentale F = K∆L
in cui K è una costante di proporzionalità, esprime la legge di Hooke.
leggi di Keplero Sono tre leggi del moto dei pianeti attorno al Sole. Esse sono
valide anche per il moto dei satelliti della Terra.
M
1. (prima legge) Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono delle
ellissi ed il Sole si trova in uno dei fuochi.
2. (seconda legge) Le aree descritte dal raggio vettore con origine nel
Sole sono proporzionali al tempo impiegato a descriverle.
3. (terza legge) I quadrati dei tempi di rivoluzione di un pianeta attorno
al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite.
massa m, M È la grandezza che misura l’inerzia di un corpo [vedi] . Per una
particella è definita come la costante di proporzionalità tra la quantità di
moto della particella e la velocità. Questo presuppone che la quantità di
moto [vedi] sia stata definita prima della massa. Per un sistema è definita
come la somma delle masse delle particelle che lo compongono.
meccanica analitica È la meccanica trattata in termini completamente matematici,
donde il termine analitica, costruita a partire dalle coordinate libere
[vedi] o lagrangiane. ♣ I temi di cui tratta sono: le equazioni di moto di
Lagrange, le equazioni di moto di Hamilton, le trasformazioni canoniche,
l’equazione di Hamilton-Jacobi, le parentesi di Poisson, di Jacobi, ecc.
meccanica atomica È la meccanica utilizzata per la descrizione del mondo atomico.
È sinonimo di meccanica quantistica [vedi].
meccanica celeste Termine con il quale si intende la meccanica applicata allo
studio dei pianeti, delle stelle e delle galassie. Il termine celeste si rifà al
colore del cielo.
meccanica classica è lo studio del moto basato sulle ipotesi e sulle leggi classiche
di Galileo, Newton, Eulero, Lagrange, ecc.
meccanica quantistica èla meccanica valida per la descrizione del moto di sistemi
a livello atomico e subatomico. Essa differisce dalla meccanica classica
perché in essa non sono più valide molte nozioni della meccanica classica.

194 APPENDICE E. DIZIONARIO
meccanica relativistica è la meccanica valida per la descrizione di sistemi, essenzialmente
particelle, che si muovono a velocità confrontabili con quelle
della luce. A tali velocità cessano di valere alcuni assunti della meccanica
classica.
modi normali Un sistema vibrante possiede delle modalità di vibrazione particolari
consistenti nel fatto che alcuni punti, chiamati nodi, rimangono fermi.
Se il sistema vibrante è bidimensionale, come una piastra o una lastra, i
nodi sono disposti lungo linee nodali. Se il sistema vibrante è un continuo
tridimensionale si hanno delle superfici nodali.
Quando il sistema vibra secondo uno di questi modi particolari i punti compresi
tra due nodi o tra due linee nodali o tra due superfici nodali oscillano
attorno alla posizione di riposo raggiungendo simultaneamente le loro posizioni
estreme. Si dice che sono in concordanza di fase. Si parla allora di
modi normali di vibrazione o anche di modi fondamentali di vibrazione.
molla ideale Una molla priva di massa (e quindi di inerzia), di lunghezza a riposo
nulla e che esercita una forza di richiamo proporzionale allo spostamento:
f = −ks la costante k si chiama rigidezza della molla. È detta ideale per
due ragioni: è priva di massa ed ha lunghezza a riposo nulla.
molla reale È una molla di massa non trascurabile, che possiede una lunghezza
a riposo non nulla, che può agire sia a trazione sia a compressione. Inoltre
la forza può essere funzione sia lineare che non lineare dell’allungamento.
Questo è in parte dovuto alla forma della molla.
momento angolare LA di un sistema meccanico rispetto ad un polo A: è il momento
della quantità di moto rispetto al polo. Fissato un polo A per una
particella situata in B è
particella: LA
def
def
= (B − A) × p sistema: LA =
N
(Bk − A) × pk
(E.19)
avendo indicato con p la quantità di moto della particella. Per un sistema è
la somma dei momenti angolari delle singole masse che lo compongono.
momento cinetico termine obsoleto sinonimo di quantità di moto
momento della quantità di moto sinonimo di momento angolare [vedi].
momento d’inerzia J Dato un sistema meteriale e considerato un asse a, si chiama
momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse a la somma dei prodotti
k=1

195
delle masse delle singole particelle che compongono il corpo per i quadrati
delle distanze delle singole masse dall’asse. Se rk indica la distanza della
particella k − esima dall’asse è
Ia =
n
k=1
mkr 2 k
. (E.20)
momento di un vettore rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed un
vettore v applicato in un punto B, si chiama momento del vettore rispetto al
polo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale MA =
(B − A) × v.
momento di una forza rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed una
forza f applicata in un punto B, si chiama momento della forz rispetto al
polo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale MA =
(B − A) × f .
momento flettente M in un punto di un’asta o di una trave: è la coppia che si deve
applicare al punto sezionato per mantenere l’equilibrio della trave quando
si operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre
anche l’azione assiale [vedi] e quella di taglio [vedi] .
momento statico S Dato un sistema meccanico e considerato un piano, si chiama
momento statico del sistema di masse rispetto al piano la somma dei
prodotti delle masse delle singole particelle che compongono il sistema per
le distanze orientate delle singole masse dal piano:
S def
=
n
k=1
mkdk
(E.21)
Il termine orientate si riferisce al fatto che, fissata una faccia come positiva
ed una come negativa, ad esempio mediante un senso di attraversamento del
piano, le distanze delle masse dal piano sono positive o negative a seconda
che queste si trovino dalla parte positiva o da quella negativa. movimento.
moto armonico è il moto unidimensionale di una particella o di un corpo rigido
nel quale l’accelerazione a è proporzionale allo spostamento s da una
posizione di equilibrio ed ha segno opposto: a = −ks con k > 0.
moto centrale è il moto di una particella soggetta ad una forza centrale, cioè ad
una forza passante per un punto fisso detto centro del moto. Ne viene che,
se la particella è libera, l’accelerazione è anch’essa centrale.

196 APPENDICE E. DIZIONARIO
moto periodico il moto di un sistema meccanico che riprende la medesima configurazione
ad intervali uguali di tempo.
moto piano è il moto di un sistema in cui le velocità di tutti i suoi punti ad ogni
istante sono paralleli ad un piano fisso detto piano direttore. In particolare
si ha il moto rigido piano quando il sistema è un corpo rigido.
moto rigido piano è il moto di un corpo rigido parallelo ad un piano fisso, detto
piano direttore.
moto rotatorio è il moto di un corpo rigido che ha un asse fisso. Si osservi che
una particella che percorre una circonferenza non ha un moto rotatorio.
moto traslatorio è un movimento in cui ad ogni istante l’atto di moto è traslatorio.
Tipico è il movimento del tecnigrafo sul tavolo da disegno quando non
si liberi la manopola delle rotazioni.
moto uniforme è il moto di una particella che percorre spazi uguali in tempi
uguali. Il termine spazi si deve intendere archi di linea. Così è per un moto
rettilineo uniforme, per un moto circolare uniforme, per un moto curvilineo
uniforme. Dire tempi uguali presuppone il possesso di un orologio: ma a
sua volta l’orologio ha una andamento uniforme? Come si vede la definizione
di moto uniforme si riduce ad una tautologia, come quella di corpo
rigido. In luogo di una definizione dobbiamo perciò indicare un metodo
operativo per costruire un orologio campione. Si opera nel modo seguente:
si confrontano l’uno con l’altro e con i processi periodici dell’astronomia
quanti più possibile di orologi differenti; questo confronto porta ad una
specie di lotta per la sopravvivenza: gli orologi il cui comportamento si
scosta da quello della maggioranza vengono eliminati, mentre al moto dei
sopravissuti si dà l’attributo di uniforme. [51, v. I, p.7]
movimento sinonimo di moto.
N
newton N Unità di misura della forza nel Sistema Internazionale (simbolo N).
Esso è la forza che imprime alla massa di un chilogrammo l’accelerazione
di un metro al secondo ad ogni secondo. Si noti che l’unità newton deve
essere lscritta con l’iniziale minuscola.
normale principale n ad una linea: fra tutti i versori normali ad una linea, la
normale principale è quella contenuta nel piano osculatore. Il suo verso si
fissa nel modo seguente:

197
1. se la linea è piana si decide un senso di percorso della linea e, in un
suo punto, si fissa ad arbitrio un senso della normale, ad esempio verso
sinistra percorrendo la curva. Quindi si propaga tale senso in tutti gli
altri punti della linea.
2. se la linea è sghemba (cioè non giace su un piano, ad esempio un’elica)
si decide un senso di percorso della linea e, in un suo punto, si
fissa ad arbitrio un senso della normale nel piano osculatore alla curva
in quel punto. Quindi si propaga tale senso in tutti gli altri punti della
linea nei relativi piani osculatori.
Con lo stesso nome si intende il versore normale giacente nel piano osculatore.
Esso è dato dalla equazione
dt
ds =
dt
n
(E.22)
ds
normali ad una linea in un suo punto P: sono tutte le rette passanti per P e
contenute nel piano normale in P.
O
opposizione di fase detto di due punti appartenenti ad un sistema vibrante che
raggiungono simultaneamente le posizioni estreme situate da parti opposte
(ad esempio quando l’una si trova all’estremo destro l’altra si trova
all’estremo sinistro)
oscillazioni, L’oscillazione armonica di un punto, che è il tipo più semplice e più
comune di oscillazione, è espressa dalla relazione
s = A cos(ω t + ϕ) o anche s = A cos(2π f t + ϕ) (E.23)
Le grandezze hanno il seguente nome:
simbolo nome unità
s elongazione (spostamento dalla posizione di riposo) m
A ampiezza della oscillazione m
ω pulsazione rad/s
t istante s
ϕ fase iniziale rad
ω t + ϕ fase rad
f frequenza Hz
Osservatore È l’insieme di un corpo rigido e di un orologio ... ♣ [Fb 4]

198 APPENDICE E. DIZIONARIO
P
particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle distanze
in gioco. Ad esempio un aereo è una particella rispetto al radar di
terra, la stella Sirio è una particella nel contesto dell’astronomia ma non lo
è nel contesto dell’astrofisica.
perielio punto dell’orbita terrestre che è più vicino al sole
periodo di una oscillazione T, τ è il tempo impiegato da un corpo oscillante (o
sistema vibrante) a compiere un ciclo completo.
peso di un corpo è la forza esercitata sul corpo dal campo gravitazionale. L’esperienza
dice che il peso di un corpo è proporzionale alla massa: p = mg
essendo g il vettore accelerazione di gravità. Nei problemi di dinamica la
massa è una grandezza più significativa del peso anche se a causa della
proporzionalità e della approssimativa costanza della gravità sulla superficie
terrestre siamo soliti parlare di peso. Nei problemi di statica il peso è
più significativo della massa in quanto quest’ultima si manifesta nel moto
attraverso l’inerzia.
Un astronauta che sulla terra pesa 784 N, sulla luna pesa 130 N, sulla navicella
pesa 0 N ma ha pur sempre la massa di 80 kg. Se l’astronauta ingrassa è perché
aumenta la sua massa, non il suo peso (che in orbita è sempre nullo).
piano normale ad una linea in un suo punto è il piano perpendicolare in un un
punto alla tangente alla curva.
piano osculatore ad una linea in un suo punto. Consideriamo una linea, un suo
punto P e altri due suoi punti P ′ e P: per questi tre punti passa un piano
(salvo il caso che i tre punti siano allineati). Se si fanno tendere i due punti
P ′ e P al punto P il piano tende ad un piano limite che prende il nome
di piano osculatore della linea nel punto P. Il termine osculatore viene dal
greco osculare che significa baciare: il piano bacia o meglio combacia ♣con
la curva nel punto considerato. Il piano osculatore è un particolare piano
tangente. Se i tre punti sono allineati il piano osculatore è indeterminato,
ovvero ogni piano tangente è osculatore.
piano rettificante ad una linea in un suo punto: è il piano contenente la tangente
[vedi] e la binormale [vedi].
piano tangente ad una linea in un suo punto: è qualunque piano che contenga la
retta tangente alla linea nel punto.

polare fissa si veda base.
polare mobile si veda rulletta.
199
poligono funicolare costruzione grafica che consente di determinare la retta di
applicazione della risultante di un sistema di forze piane.
potenziale Dato un campo vettoriale conservativo, si chiama potenziale del campo
in un punto P la circolazione [vedi] del vettore lungo una linea generica
che va dal punto P ad un punto P0 prefissato.
Se il vettore è una forza, e allora il campo vettoriale è un campo di forze,
la circolazione è un lavoro. Se il vettore è la velocità del moto di un fluido
(tale circolazione non ha nulla a che fare con un lavoro) il potenziale si chiama
potenziale cinetico. Se il vettore è il campo elettrico E la circolazione
prende il nome di tensione elettrica associata alla linea ed il potenziale in
un punto prende il nome di potenziale elettrico nel punto e lo si indica con
ϕ.
primo principio della termodinamica la somma del lavoro e del calore forniti
ad un sistema termodinamico uguaglia la variazione di energia interna
subita dal sistema. In formule: W + Q = ∆U.
principio dei lavori virtuali è un principio che serve ad individuare la configurazione
di equilibrio di un sistema soggetto ad un assegnato sistema di forze.
Esso afferma che: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un
sistema soggetto a vincoli lisci è che il lavoro delle forze attive per ogni
spostamento virtuale non sia mai positivo. In particolare se gli spostamenti
virtuali sono reversibili il lavoro virtuale è nullo.
principio di azione e reazione la forza che una prima particella esercita su una
seconda particella è opposta a quella che la seconda esercita sulla prima
ed ha la stessa linea d’azione. Si osservi che questo enunciato parla di
particelle e non di corpi. Nel caso di corpi il principio non precisa il punto
di applicazione delle due forze: vedere ad esempio la forza che una carica
elettrica puntiforme esercita su un dipolo elettrico.
principio di conservazione dell’energia in un sistema meccanico non soggetto
a forze dissipative e a vincoli fissi si conserva la somma dell’energia potenziale
V e di quella cinetica T. Si scrive T + V = E. La costante E si chiama
energia totale.
principio di d’Alembert per passare dalle equazioni della statica a quelle della
dinamica basta aggiungere alle forze attive le forze d’inerzia.

200 APPENDICE E. DIZIONARIO
principio d’inerzia una particella non soggetto a forze dovute all’azione di altri
corpi o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. (si veda Panofsky)
principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in quiete, sia esso perfetto
(= ideal) o viscoso (= reale), la pressione in un punto relativa ad un
elemento di piano di giacitura assegnata non varia al variare della giacitura.
Essa quindi è funzione del posto.
principio di Hamilton il moto naturale di un sistema meccanico soggetto a forze
attive conservative e a vincoli lisci si distingue da tutti i moti variati sincroni
che rispettano le configurazioni estreme per il fatto che rende stazionaria
l’azione hamiltoniana [vedi]:
A def
=
t1
t0
(T − V)dt (E.24)
in cui T è l’energia cinetica del sistema meccanico e V l’energia potenziale
delle forze (sia esterne che interne) agenti sul sistema meccanico.
principio di minimo dell’energia potenziale Un sistema meccanico in quiete ♣
tende ad assumere la configurazione in cui la sua energia potenziale è minima.
principio di sovrapposizione degli effetti alcuni tipi di azioni che si manifestano
su un sistema hanno la proprietà che, entro certi limiti, l’azione combinata
di due o più effetti determina una deformazione del sistema che è
la somma delle deformazioni che ciascuna azione determinerebbe sul sistema
agendo separatamente. Tale è il caso di forze applicate a corpi elastici
quando le deformazioni sono sufficientemente piccole (ad esempio una verga
poco deformata dalla sua configurazione naturale). Più che un principio
è una proprietà che sussite in determinati casi e per determinati sistemi.
prodotto d’inerzia Jαβ Dato un sistema meccanico e considerati due piani α e
β orientati, si chiama prodotto d’inerzia del sistema di masse rispetto ai
due piani la somma dei prodotti delle masse delle singole particelle che
compongono il sistema per le distanze orientate delle particelle dai due piani
♣.
Alcuni autori includono nella definizione il segno meno, altri lo omettono:
quando è incluso le formule in cui compare il prodotto d’inerzia hanno tutti
i segni positivi. Noi seguiremo la regole di includere il segno meno per
avere le formule più semplici. Indicate con ak e bk le distanze orientate

201
della massa puntiforme mk dai due piani α e β il prodotto d’inerzia è dato
dalla formula seguente (a sinistra)
Iαβ = −
n
0
mkakbk
Ixy = −
n
0
mkxkyk
(E.25)
Nel caso che i due piani siano i piani di un sistema di coordinate cartesiane
ortogonali Oxyz, il prodotto d’inerzia rispetto ai piani xz e yz si indic a con
Ixy ed è dato dalla formula (E.25 destra). ♣
prodotto esterno molti autori italiani chiamano prodotto esterno il prodotto vettoriale.
Nella letteratura attuale il termine prodotto esterno ha un significato
diverso: esso indica una operazione che associa a due vettori un nuovo
oggetto geometrico, chiamato bivettore rappresentato dal parallelogramma
orientato formato dai due vettori. I bivettori, i trivettori, i vettori e gli scalari
sono particolari multivettori. Il calcolo dei multivettori costituisce l’algebra
esterna. Per evitare confusioni è quindi opportuno utilizzare il nomùe di
prodotto vcettoriale in luogo di prodotto esterno per indicare il vettore ortogonale
ai due vettori dati che ha modulo uguale all’area del parallelogramma.
È opportuno anche utilizzare il simbolo × per il prodotto vettoriale ed
il simbolo ∧ per il prodotto esterno. [?, p.] ♣
prodotto scalare di due vettori è il numero ottenuto moltiplicando il modulo dei
due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso.
prodotto vettoriale di due vettori u e v: è il vettore ortogonale al piano dei due
vettori, orientato secondo la regola della mano destra o del cavatappi e di
modulo uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori. Si
scrive w = u × v
pulsazione è la grandezza ω def
= 2π
T
essendo T il periodo di una oscillazione. Essa
si identifica con la velocità angolare che dovrebbe avere un moto rotatorio
uniforme di uguale periodo. Poiché la frequenza è l’inverso del periodo
f def
= 1
T
si ha anche ω = 2π f . Vale la relazione ω def
= 2πν = 2π/T in cui
ν è la frequenza in hertz e T il periodo in secondi. ♣ L’unità di misura è il
radiante al secondo: rad/s Si veda la voce oscillazioni.
particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni
in gioco. 10
Q
quantità di moto Si distingue tra quantità di moto

202 APPENDICE E. DIZIONARIO
• di una particella: è l’impulso che la particella cede riducendosi alla
quiete. Essa è anche l’impulso necessario a portare la particella dalla
quiete a quello stato di moto. Il simbolo è p e l’unità di misura è il
newton × secondo: N s.
• di un sistema: è la somma delle quantità di moto delle singole particelle
che lo compongono. Il simbolo è P.
Solitamente si definisce la quantità di moto come il prodotto della massa
per la velocità: questo è in contrasto con il fatto che a velocità prossime a
quelle della luce la definizione ... non è più valida! La relazione quantità di
moto-velocità è una relazione fenomenologica (o costitutiva o materiale).
Sarebbe come definire la tensione elettrica come il prodotto della resistenza
per l’intensità di corrente, riducendo così la legge di Ohm ad una definizione,
oppure come definire lo sforzo come il prodotto della deformazione per
il modulo elastico, riducendo così la legge di Hooke ad una definizione.
N
def
quantità di moto generalizzata Sono le grandezze ph = pk ·
k=1
∂rk
con h =
∂qh 1, 2, ..., n essendo n il numero delle coordinate generalizzate.
R
raggio di curvatura r, R di una linea in un suo punto: raggio del cerchio osculatore
alla linea nel punto. Il suo segno è positivo o negativo a secondo che il
centro del cerchio osculatore, detto anche centro di curvatura si trovi dalla
stessa parte della normale principale o dalla parte opposta.
raggio giratore d’inerzia ∆a Se indichiamo con Ia il momento d’inerzia di un sistema
rispetto ad una retta a si chiama raggio giratore d’inerzia del sistema
di masse rispetto alla retta a la quantità ∆ tale che
Ia = M ∆ 2
ovvero ∆ 2 =
n
k=1
mkr 2 k
avendo indicato con M la massa del sistema. (simbolo?) ♣
M
(E.26)
raggio vettore r È il vettore che congiunge l’origine di un sistema di coordinate
con la posizione occupata dalla particella ad un dato istante.
reazione vincolare è la forza che dobbiamo sostituire al vincolo per mantenere
lo stesso stato di quiete o di moto del sistema.

203
resistenza idraulica è la resistenza al moto di un corpo in un fluido quando
questa dipende in modo quadratico dalla velocità: R = − 1
2CxρAvv[38, p.50].
resistenza viscosa è la resistenza al moto di un corpo in fluido quando questa
dipende linearmente dalla velocità: R = −hv.
riferimento assoluto nome obsoleto che designava un sistema di riferimento solidale
con il sole (fino a quando lo si riteneva fisso) o con la nostra galassia
(fino a quando la si riteneva non rotante).
riferimento inerziale è un sistema nel quale vale il principio d’inerzia[30, p.10].
riferimento localmente inerziale è un riferimento che approssima un riferimento
inerziale entro una certa estensione spaziale ed entro un certo intervallo
di tempo. Tale è un satellite artificiale o un sistema in caduta libera nel
campo di gravità.
rigidezza per una molla ideale è la costante elastica k nella relazione f = k ∆L
mentre per una molla reale è la costante elastica k nella relazione f =
k ∆(L − L0)
risonanza quando un sistema è libero di vibrare (o oscillare) attorno ad una configurazione
di equilibrio stabile, se esso è allontanato dalla configurazione di
equilibrio, vibra. Se il sistema ha un solo grado di libertà la sua vibrazione
ha una determinata frequenza che si chiama frequenza propria o frequenza
naturale del sistema. Se il sistema ha n gradi di libertà vi sono n modi naturali
di vibrazione. Questi sono dei modi di oscillazione caratterizzati dal
fatto che i diversi punti del sistema oscillano hanno la stessa frequenza ed
oscillano in fase. Se ora esercitiamo sul sistema una forza periodica che ha
lo stesso periodo delle oscillazioni naturali, la vibrazione si amplifica diventando
molto vistosa (e rumorosa e pericolosa). La coincidenza tra il periodo
delle oscillazioni impresse e quello delle oscillazioni proprie costituisce il
fenomeno della risonanza.
rotore di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale v(r) si consideri
un punto della regione in cui esso è definito e un piano passante per
tale punto. In tale piano si consideri una linea chiusa (= circuito piano)
contenente il punto e si valuti la circolazione del vettore lungo tale circuito:
C = v(r) · dr. Al tendere a zero della massima dimensione del circuito
tende a zero sia la circolazione che l’area A racchiusa. Si constata che
il limite del rapporto circolazione/area è, in generale, una quantità finita:
Rn = lim C/A. Indicato con n il versore normale al piano si constata che si

204 APPENDICE E. DIZIONARIO
può istituire un vettore R tale che Rn = R · n. Tale vettore prende il nome
di rotore del vettore v nel punto considerato e si indica con rot × v o anche
∇ × v.
rulletta in un moto rigido piano: è la linea luogo dei centri di istantanea rotazione
rispetto ad un osservatore solidale con il corpo rigido. Essa si chiama
anche polare mobile.
S
scalare abbreviato di grandezza scalare: grandezza fisica i cui valori sono numeri
e come tali possono essere messi in scala.
sforzi interni Nome obsoleto ♣ per azioni interne [vedi].
sistema adiabatico è un sistema che non scambia calore con l’esterno.
sistema aperto è un sistema che scambia materia con l’esterno.
sistema chiuso è un sistema che non scambia materia con l’esterno.
sistema conservativo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi, lisci e a
forze posizionali e conservative.
sistema continuo è un sistema meccanico che viene riguardato come un tutto
unico. Tale è un filo, un’asta, una lamina, un fluido. ♣
sistema dinamico è un sistema di equazioni differenziali del primo ordine risolto
rispetto alle derivate.
sistema di riferimento è costituito da una piattaforma ♣ dotata di una terna di
assi cartesiani e di un’orologio.
sistema discreto è un sistema meccanico composto da un numero finito di particelle
o corpi rigidi. Tale è un orologio, una bicicletta, un meccanismo,
ecc.
sistema fisico qualunque corpo o insieme di corpi, di natura qualsiasi sui quali
si intendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni fisici. Ad
esempio il corpo umano è un sistema fisico se ci limitiamo allo studio dei
fenomeni meccanici, elettrici, ottici, termici, elettromagnetici; diviene un
sistema chimico se ne studiamo i fenomeni chimici; diviene un un sistema
biologico se ne studiamo i fenomeni biologici, ecc.
sistema meccanico è un sistema fisico sul quale ci limitiamo a considerare gli
aspetti meccanici.

205
Sistema Internazionale di unità di misura. E un insieme di prescrizioni di unità,
nomi e simboli delle grandezze fisiche frutto della armonizzazione di diverse
norme nazionali fra cui l’UNI italiana ♣. Si veda pag ...
sistema isolato è un sistema sul quale non agiscono forze dall’esterno.
sistema meccanico si intende qualunque corpo o insieme di corpi dei quali si intendano
studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni meccanici, ovvero
quelli connessi con la quiete o il moto.
sistema olonomo Un sistema meccanico si dice olonomo o anolonomo a seconda
che esso sia soggetto a vincoli olonomi o anolonomi [49, v.I, p.4]
spostamento di un punto Considerato il movimento di un punto nello spazio e
fissato un intervallo di tempo, si chiama spostamento del punto in quell’intervallo
il vettore che unisce la posizione iniziale con quella finale del
punto. Esso non risente quindi delle posizioni intermedie del punto ed è
quindi indipendente dalla sua traiettoria. Lo spostamento di un punto durante
un intervallo è uguale alla differenza tra i vettori raggi della posizione
finale ed iniziale del punto: s = r + − r − = ∆r.
spostamento di un sistema è l’insieme degli spostamenti dei punti di un sistema.
spostamento effettivo in contrapposizione a quello virtuale: è lo spostamento
effettivamente subito da un punto durante il moto in un tempo infinitesimo.
spostamento elicoidale è uno spostamento rototraslatorio particolare in cui la
traslazione ha la stessa direzione dell’asse di rotazione. Si pensi allo spostamento
di una chiave nella toppa della serratura.
spostamento irreversibile è uno spostamento tale che il suo opposto non è concesso
dai vincoli. ♣
spostamento piano è lo spostamento di un sistema in cui tutti i punti sono paralleli
ad un piano.
spostamento polare è lo spostamento di un corpo rigido con un punto fisso.
spostamento reversibile è uno spostamento tale che anche il suo opposto è concesso
dai vincoli. ♣
spostamento rotatorio di un corpo rigido: è uno spostamento rigido in cui due
punti hanno spostamento nullo. Si dimostra che tutti i punti della retta passante
per i due punti hanno spostamento nullo e tale retta si chiama asse
della rotazione.

206 APPENDICE E. DIZIONARIO
spostamento rototraslatorio è uno spostamento rigido composto di una traslazione
e di una rotazione.
spostamento traslatorio di un corpo rigido: è uno spostamento rigido in cui tutti
i punti hanno lo stesso spostamento.
spostamento virtuale Si distingue tra
T
1. di un punto: è uno spostamento pensato a titolo di prova, quindi non
effettivamente eseguito e compatibile con i vincoli del sistema. Esso
può essere descritto dal vettore che congiunge la posizione attuale del
punto con un’altra posizione che il punto potrebbe occupare compatibilmente
con i vincoli del sistema. Qualora i vincoli siano mobili lo
spostamento virtuale si intende compiuto fissando i vincoli all’istante
che si considera.
2. di un sistema: è l’insieme degli spostamenti virtuali di tutti i punti
del sistema.
tangente ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto P ′ della
linea si consideri la retta PP ′ che è secante la curva: facendo tendere P ′ a
P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla linea in P.
tempo La nozione di tempo sfugge a qualsiasi definizione ed è quindi presa come
nozione primitiva. Il tempo può essere concepito come un insieme di istanti
o di intervalli:
• l’istante è una particella di tempo senza durata: esso serve per indicare
una data, un appuntamento, una coincidenza, l’inizio o la fine di
un processo, ecc. L’istante viene solitamente indicato con t.
• l’intervallo è invece il lasso di tempo che intercorre tra due istanti:
esso serve per indicare l’estensione temporale di un processo. La misura
di un intervallo prende il nome di durata o anche di periodo. La
durata viene solitamente indicata con T o con τ. L’unità di misura
della durata è il secondo, simbolo s.
Una breve riflessione indica che ogni volta che nominiamo il tempo o indichiamo
un istante o un intervallo. Esaminiamo la seguente descrizione: Siamo partiti alle
7.40 (istante) e siamo giunti alle 9.40 (istante) dopo 2 ore di viaggio (intervallo). La
cerimonia è iniziata alle 10.10 (istante) ed è durata un’ora abbondante (intervallo)
e alle 12.30 (istante) siamo andati a pranzo. Tra una portata e l’altra intercorrevano
20 minuti (intervallo). Siamo stati a tavola fino alle 15! (istante). Siamo ripartiti

207
alle 18 (istante) e abbiamo impiegato ben quattro ore (intervallo) per giungere a
casa.
teorema dell’energia afferma che in un sistema la variazione dell’energia cinetica
è uguale al lavoro fatto dalle forze agenti sul sistema, siano esse interne
od esterne, attive o reattive, di volume o di superficie. In formule ∆T = W
in cui W è il lavoro.
teorema di Chasles (nel piano): uno spostamento rigido piano, che non sia traslatorio,
si può sempre ridurre ad uno spostamento rotatorio. Indicati con
A e B due punti del corpo rigido e con A ′ e B ′ le posizioni finali di A e
B, il centro di rotazione si determina come intersezione degli assi di due
segmenti AA ′ e BB ′ .
(nello spazio) Uno spostamento rigido si può ridurre in infiniti modi ad uno
spostamento rototraslatorio, sempre con il medesimo vettore rotazione, ed
in un unico modo ad uno spostamento elicoidale (caratterizzato dal fatto
che la traslazione ha la stessa direzione del vettore rotazione).
teorema di König afferma che l’energia cinetica di un sistema è uguale alla somma
di quella che ha il suo baricentro se in esso vi immaginiamo concentrata
l’intera massa più quella relativa al baricentro.
teorema di Eulero sullo spostamento polare: ogni spostamento polare (quindi
con un punto fisso) è rotatorio (cioè ha due punti fissi).
terna intrinseca sinonimo di triedro intrinseco.♣
trasformazioni canoniche Usate in meccanica analitica. Sono quelle trasformazioni
delle coordinate generalizzate (=lagrangiane) q k e dei momenti generalizzati
pk che lasciano immutata la forma delle equazioni di moto di
Hamilton. Il termine momento è usato nella letteratura inglese: esso indica
la quantità di moto (inglese: momentum).
triedro intrinseco o triedro principale ad una linea in un suo punto: è il triedro
formato dai tre versori tangente, normale principale e binormale nel punto
e dai tre piani normale, osculatore e rettificante.
V
velocità v
• velocità media di un punto (=particella) in un intervallo di tempo il
rapporto tra lo spostamento del punto nell’intervallo e la durata dell’intervallo
stesso. Essa è anche il rapporto tra la variazione del vettore

208 APPENDICE E. DIZIONARIO
raggio e l’intervallo di tempo
¯v def
= s ∆r
=
τ ∆t
(E.27)
• velocità istantanea è il limite della velocità media quando la durata
dell’intervallo tende a zero
v def s ∆r dr
= lim = lim =
τ−→0 τ ∆t−→0 ∆t dt
Quest’ultima è comunenemente chiamata velocità.
(E.28)
Si noti che una misura fornisce sempre una velocità media in quanto necessita
di un intervallo, anche se piccolo: la velocità istantanea è una nozione
matematica ottenuta idealizzando la nozione di velocità media passando al
limite.
La velocità (= velocità istantanea) di un punto è diretta secondo la tangente
alla traiettoria.
Si noti che non è corretto affermare che la velocità è la derivata dello spostamento
in quanto essa è la derivata del vettore raggio. Qualora si disponga la terna di assi
del sistema di riferimento in una posizione del punto scelta come posizione iniziale
allora lo spostamento da quella posizione prende il nome di spostamento iniziale
e coincide con il vettore raggio. Solo in questo caso la velocità si può considerare
come la derivata dello spostamento iniziale.
velocità angolare ω, ω, Ω Consideriamo dapprima un corpo rigido che ruota attorno
ad un asse fisso:
• velocità angolare media è il rapporto tra l’angolo descritto dal raggio
vettore in un intervallo di tempo e la durata dell’intervallo.
• velocità angolare istantanea Consideriamo un istante t contenuto
nell’intervallo e sfacciamo tendere a zero l’intervallo attorno all’istante.
Il limite della velocità angolare media quando la durata dell’intervallo
tende a zero, prende il nome di velocità angolare istantanea
del corpo rigido a quell’istante. Quest’ultima si chiama brevemente
velocità angolare e la si indica con ω. 2
Quando si vuole indicare non solo l’entità della velocità angolare ma anche
la direzione dell’asse si istituisce un vettore con la direzione dell’asse,
il modulo uguale alla velocità angolare ed il verso ottenuto applicando la
2 Pronuncia oméga ♣ , con l’accento sulla e: si veda il dizionario ....

209
regola del cavatappi al senso di rotazione. Si ottiene in tal modo il vettore
velocità angolare che si indica con ω.
Si noti che la velocità angolare è un attributo di un corpo rigido e quindi
non ha un naturale punto di applicazione: a differenza della forza che è,
in generale un vettore applicato, si tratta di un vettore libero, vale a dire
non ha un suo naturale punto di applicazione. Si noti anche che non ha
senso parlare di velocità angolare di un punto. Se consideriamo un punto
che descrive una circonferenza non ha senso parlare di velocità angolare del
punto: si può invece mentre ha senso parlare di velocità angolare del raggio
che congiunge il centro della circonferenza con il punto in moto.
L’unità di misura della velocità angolare è il radiante per secondo e si scrive
rad/s. La velocità angolare della terra, ad esempio, è di 6.28/ (24*3600)
rad/s.
Se il corpo rigido non ha un asse fisso, ma un punto fisso, il vettore velocità
angolare ha la direzione dell’asse di istantanea rotazione [vedi] . Se il
corpo rigido è libero il vettore ha la direzione dell’asse di moto [vedi] . ♣
[SPIEGARE]
velocità areale ˙
A Nel moto centrale di un punto [vedi] è l’area descritta dal
raggio vettore per unità di tempo[30, p.38]
A def
= A
T
A def A
= lim
T−→0 T
A = 1
r × v (E.29)
2
Anche qui si può distinguere una velocità areale media ed una velocità
areale istantanea, quest’ultima denominata semplicemente velocità areale.
velocità di fuga nel moto gravitazionale designa la velocità che deve avere una
particella per sfuggire all’attrazione terrestre. La velocità di fuga non dipende
dalla direzione della velocità iniziale ma solo dalla sua posizione.
Per un campo sulla superficie terrestre è di circa 11 Km/s.
velocità virtuale nozione poco felice in quanto nasce dal rapporto fra lo spostamento
virtuale (che non coinvolge un intervallo di tempo) e un intervallo di
tempo infinitesimo arbitrario.
verga sinonimo di asta [vedi] .
versore vettore di lunghezza unitaria. Lo si indica mettendo un accento circonflesso
sopra il simbolo: ad es. ˆn, ˆt, ˆb, ...

210 APPENDICE E. DIZIONARIO
versore tangente t ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto
P ′ della linea, si consideri la retta PP ′ che è secante la curva: facendo
tendere P ′ a P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla
linea in P. Il versore tangente è dato dalla formula
t = dr
ds
(E.30)
vettore La nozione di vettore è stata introdotta da Hamilton (19..♣) per indicare
un ente geometrico costituito da un segmento orientato. Questo segmento
è concepito come un veicolo (dal latino vehere) che trasporta un punto A
(origine del vettore) in un punto B (termine del vettore). Il termine vettore
si usa per denotare i mezzi di trasporto, quali gli aerei e gli autobus. Il
prototipo dei vettori è lo spostamento di un punto. Altre grandezze fisiche
sono rappresentabili con un vettore: tali sono la velocità, la forza, la quantità
i moto, il momento di una forza, ecc. Questa definizione ha reso molto
servizio alla fisica in genere e alla meccanica in particolare. Sui vettori sono
state definite le operazioni di somma, prodotto per un numero, prodotto
scalare e prodotto vettoriale.
A partire dagli inizi di questo secolo ♣ la nozione di vettore ha subìto una
radicale estensione. Osservato che le due operazioni fondamentali sono la
somma di due vettori ed il prodotto di un vettore per un numero si è deciso
di dare una definizione più estesa di vettore. Consideriamo enti matematici
che si possano sommare e moltiplicare per un numero, quali, ad esempio, le
funzioni di una variabile. Questi enti formano un insieme in cui sono definite
le due operazioni suddette. Un insieme dotato di questa struttura prende
il nome di spazio vettoriale. Gli elementi di questo insieme prendono allora
il nome di vettori. Ne viene che sono vettori le funzioni di una variabile,
quelle di due o più variabili, le matrici m × n, le successioni numeriche e
così via.
Come si vede il salto tra la vecchia e la nuova definizione è molto grande!
La vecchia nozione di prodotto scalare tra due vettori viene estesa nella
nuova definizione mentre quella di prodotto vettoriale (due vettori che danno
luogo ad un terzo vettore) rimane ancorata allo spazio tridimensionale
e non è suscettibile di estensione. Nella nuova definizione perde senso la
nozione di punto di applicazione di un vettore, di vettore scorrevole e di
vettore libero.
La nozione di vettore alla vecchia maniera rimane molto utile per la fisica, in
particolare per la meccanica newtoniana. Il prodotto vettoriale è essenziale.
La nozione estesa di vettore torna utile in molti campi della matematica,
della fisica e della tecnica.

211
vettore applicato È il vettore per eccellenza, quello introdotto da Hamilton. Esso
è un ente caratterizzato da un punto di applicazione, una retta che dà la
direzione, un verso sulla retta ed un modulo o intensità del vettore. Tali
sono lo spostamento di un punto, la velocità di un punto, il vettore campo
elettrico in un punto, la forza applicata in un punto di un corpo, il momento
di una forza rispetto ad un punto, ecc.
vettore assiale vettore che descrive una grandezza fisica utilizzando la regola
della vite.
vettore libero La velocità angolare di un corpo rigido è caratterizzata da una direzione,
un senso ed un modulo ma non ha importanza la sua retta di applicazione
e tantomeno il suo punto di applicazione. Per questa ragione si
chiama vettore libero.
vettore scorrevole Le forze applicate a corpi rigidi possono scorrere lungo la
loro retta di applicazione senza causare variazioni dello stato di quiete o di
moto del corpo. Per questa ragione esse costituiscono dei vettori scorrevoli
o cursori. Nei vettori scorrevoli è essenziale la retta di applicazione, il senso
ed il modulo.
vettore polare termine usato in contrapposizione a vettore assiale.
vibrazione di un sistema meccanico: sinonimo di oscillazione. Generalmente
il termine oscillazione si usa per il moto di una particella e per il moto
d’assieme di un corpo rigido, ad esempio le oscillazioni di un pendolo, di
un lampadario, di una barca.
Il termine vibrazione si usa per indicare i rapidi cambiamenti di configurazione
di un sistema deformabile. Così si parla di vibrazioni di un edificio,
di vibrazioni del vetro di una finestra, di vibrazioni dell’aria. Questa
distinzione tra i due termini non è spesso rispettata.
vincolo è tutto ciò che limita la libertà di movimento di un sistema. Un vincolo
può essere di posizione o di movimento: un vincolo di posizione limita le
configurazioni che il sistema può assumere; un vincolo di movimento limita
il modo con il quale il sistema può andare da una configurazione ad un’altra.
Si pensi al parcheggio di una motocicletta o di un’auto: esso è soggetto a
vincoli di movimento che costringono a fare manovra per raggiungere una
configurazione desiderata.
vincolo anolonomo detto anche vincolo di mobilità o vincolo cinematico. È un
vincolo che limita il modo di muoversi di un sistema nel passare da una

212 APPENDICE E. DIZIONARIO
configurazione ad un’altra senza limitare le configurazioni che il sistema
può assumere. È caratteristico di un vincolo anolonomo il fatto di legare le
variazioni delle coordinate di configurazione e quindi di dar luogo ad equazioni
differenziali non integrabili (di qui il termine anolonomo, dal greco
holos che significa intero, integro, integrabile). Le equazioni non sono integrabili
nel senso che non si possono ricondurre a relazioni finite fra le
coordinate libere se non specificando la traiettoria che si intende seguire.
[Fb, 25]
vincolo bilaterale o bilatero. È un vincolo che per ogni spostamento concesso
concede anche il suo opposto.
vincolo dissipativo vincolo scabro che fa perdere energia al sistema. Noi camminiamo
in virtù del fatto che il terreno è un vincolo scabro: poichè non
strusciamo ♣ i piedi il vincolo è non dissipativo (per fortuna!). Per riscaldarci
le mani le sfreghiamo energicamente l’una con l’altra: il vincolo di
una mano è l’altra mano e tale vincolo è scabro e dissipativo.
vincolo fisso È un vincolo di posizione che non varia nel tempo. Una volta si
usava il termine vincolo scleronomo (radice di sclerosi ♣).
vincolo liscio È un vincolo privo di attrito e che quindi non manifesta resistenza
al movimento che esso concede.
vincolo mobile È un vincolo che varia di posizione nel tempo. È anche chiamato
vincolo reonomo.
vincolo olonomo detto anche vincolo geometrico o vincolo di posizione. Termine
usato in contrapposizione a vincolo anolonomo [vedi] . [Fb, 25] ♣
vincolo reonomo termine obsoleto sinonimo di vincolo mobile [vedi].
vincolo scabro È un vincolo dotato di attrito e che quindi manifesta resistenza
al movimento che esso concede. Non è necessariamente dissipativo [vedi]
come nel caso di una ruota soggetta a puro rotolamento.
vincolo scleronomo termine obsoleto sinonimo di vincolo fisso.
vincolo unilaterale o unilatero. È un vincolo che ammette almeno uno spostamento
irreversibile [vedi].
W

E.1. BIBLIOGRAFIA 213
watt W è l’unità di misura della potenza nel Sistema Internazionale (simbolo
W). Esso è il rapporto tra joule / secondo (W=J s −1 ). Una volta si usava
chilogrammetro al secondo, pari a 9,81 watt ed il cavallo vapore pari a
9.81x75=736 watt.
E.1 bibliografia
Quando lo studio del libro di testo pone delle difficoltà, un argomento è male
espresso o poco chiaro, o troppo sinteticamente trattato è opportuno ricorrere ad
altri libri.
Spesso si perde un pomeriggio per capire un passaggio, un argomento, una
formula: è tempo usato male, veramente sprecato. È meglio andare in una biblioteca,
cercare un testo diverso, e ivi leggere lo stesso argomento. Può essere che il
diverso modo di esporre la stessa cosa, una diversa nomenclatura o anche soltanto
un esempio facciano capire senza difficoltà quello che non si era capito sul testo.
Quindi non si abbia paura di allungare una preparazione consultando un altro
libro (consultare, non studiare tutto il libro!). Eventuali differenze di nomenclature
anche se fastidiose, abituano ad una certa elasticità indispensabile nella
professione.
Tutto questo ha lo scopo di far minor fatica e di impiegare minor tempo con il
risultato di capire meglio, il che non è poca cosa.

214 APPENDICE E. DIZIONARIO

Bibliografia
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[2] G.Armellini, Lezioni di meccanica razionale, Hoepli, 1945
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215

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[56] TRONSKOLANSKI
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