Alle origini della geometria analitica - Corso di Studi in Matematica

Le origini
della
Geometria analitica
Livia Giacardi, 20 novembre 2007
“Fino a quando l’algebra e la geometria
avanzarono su sentieri separati il loro progresso
fu lento e le loro applicazioni limitate.
Ma quando queste due scienze unirono le loro
forze, esse trassero l’una dall’altra fresca
vitalità e da allora in poi marciarono a rapidi
passi verso la perfezione”
(J.-L. Lagrange, OC, VII, p. 271)
1

Grecia
►Talete di Mileto - Asia Minore,
primi decenni del VI sec. a.C.
inizio di una razionalizzazione del sapere
dimostrazioni in forma embrionale
► Scuola Pitagorica - Crotone in Italia meridionale, VI-V sec. a.C.
fondata da Pitagora di Samo (VI sec a.C.)
esigenza dimostrativa, tutto è numero, aritmogeometria
scoperta delle grandezze incommensurabili
► Zenone di Elea - V sec. a.C.
entra l’infinito nella matematica greca con i famosi paradossi
► I tre problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazione
del cubo, trisezione dell’angolo - Atene, V-IV secolo a.C.
Storia 2
Un problema geometrico che si può risolvere con un numero
finito delle seguenti operazioni geometriche elementari, è
risolubile graficamente con riga e compasso:
a) condurre una retta per due punti;
b) determinare il punto comune a due rette;
c) costruire una circonferenza di centro e raggio assegnati;
d) determinare i punti comuni ad una retta e ad una circonferenza o a
due circonferenze.
Se un problema geometrico di questo tipo viene tradotto
algebricamente, dà luogo a un’equazione risolubile mediante
radicali quadratici. Inversamente, se questo accade, il problema
si dice risolubile con riga e compasso. [Franci 1979, 103]
I Greci consideravano la retta e il cerchio le figure geometriche
fondamentali e quindi privilegiavano le costruzioni effettuate con
la riga e il compasso.
2

L’importanza dei problemi della duplicazione del cubo,
quadratura del cerchio e trisezione dell’angolo sta nel fatto che i
tentativi falliti di risolverli con riga e compasso condussero i
Greci a creare nuove curve ( le coniche, la quadratrice di
Ippia, Ippia,
…) ) e ad ampliare il campo di indagine geometrica. geometrica
L’importanza che ebbero all’epoca è testimoniata anche dai
racconti leggendari collegati con essi e dai riferimenti letterari.
La duplicazione
del cubo
Ippocrate di Chio riduce
il problema della
duplicazione del cubo al
seguente:
Dati due segmenti a, b,
costruirne altri due x, y
che con a e b , formino
la proporzione:
a : x = x : y = y : b,
ma non lo risolve.
⎧x
= ay
⎪
⎨ ab
⎪x
=
⎩ y
2
a
x
=
x
y
=
y
b
3
da cui x =
a b e se
b = 2a
3
x = 2a
Ippocrate di Chio (V sec a. C.)
Ippia di Elide (V-IV sec. a. C.)
Platone (427-347 a. C.)
Archita di Taranto (428-347 a. C.)
Menecmo (IV sec. a. C.),
Diocle (II sec. a. C.) ...
2
3
3

Menecmo (IV sec. a. C.) inventa le coniche:
usa tre tipi di cono, rettangolo, acutangolo e ottusangolo e
taglia ciascuno di essi con un piano perpendicolare a una
generatrice
parabola
3 a 2
ellisse
a
x
=
iperbole
y
2a
Risolve il problema della duplicazione
del cubo intersecando due parabole
x 2 = ay e y 2 = 2ax
o un’iperbole e una parabola
x
y
► Prima Scuola di Alessandria
III sec. a.C. – 30 a.C.
- Euclide (300 a.C.), Elementi
La geometria come teoria ipoteticodeduttiva
- Archimede (287-212 a. C.)
La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti,
lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi
concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …)
Sulla sfera e il cilindro, Misura del cerchio, Sulle spirali,
Sull’equilibrio dei piani, Quadratura della parabola,
Sui galleggianti, Metodo dei teoremi Meccanici, …
- Apollonio (262-190 a. C.), Coniche
► I commentatori e gli enciclopedisti
Pappo (III-IV sec.), Collezione matematica
Proclo (V sec.), Commentario al I libro degli Elementi di Euclide
=
Storia 2
4

Apollonio
e l’uso l uso
delle
coordinate
Apollonio di Perga
(circa 262-190 262 190 a. C.)
La sua vita trascorse fra Alessandria,
dove ricevette la sua educazione
scientifica, e Pergamo dove c’erano
importanti centri di studi superiori e
ricche biblioteche.
Le sue doti di matematico erano così
notevoli che era chiamato “il grande
geometra”.
La sua opera più importante sono le
Coniche in 8 libri di cui l’ottavo è
andato perduto, dove vi è una teoria
completa delle sezioni coniche.
P. Ver Eecke, Les Coniques
d’Apollonius de Perge, 1923
T. Heath, Apollonius of Perga.
Treatise on Conic Sections, 1896
5

Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi di cono,
Apollonio ottiene le coniche come sezione di un unico cono
(considera le due falde) variando l’inclinazione del piano secante.
β
α
B
A
AO asse del cono
L’intersezione del piano β con il
triangolo assiale ABC è detta
diametro della conica.
O
base del cono
D
C
E
Libro I, def. 1 “Se una retta,
prolungantesi all’infinito e
passante sempre per un punto
fisso, viene fatta ruotare
lungo la circonferenza di un
cerchio che non si trovi nello
stesso piano del punto in
modo che passi
successivamente attraverso
ogni punto di quella
circonferenza, la retta che
ruota traccerà la superficie di
un cono doppio” (p. 3)
β interseca α
secondo DE. Se prendo BC
(diametro del cerchio base) DE
allora ABC è il triangolo assiale
(contiene l’asse del cono)
6

Caratteri delle Coniche e strumenti usati
♦ Apollonio usa l’origine stereometrica delle coniche solo per ottenere la
proprietà fondamentale di ogni conica (proprietà piana) ed è questa che
costituisce poi la base dei successivi sviluppi della teoria
♦ Gli strumenti matematici utilizzati sono:
- l’algebra algebra geometrica (che serve per surrogare la mancanza dell’algebra) i
cui ingredienti sono la teoria delle proporzioni (V libro, Elementi) che
permette di eseguire operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a
potenza, estrazione di radice; l’applicazione delle aree ( II libro, Elementi)
che offre il mezzo di risolvere problemi che conducono a equazioni di 1° e 2°
grado (Elementi, II.5, II.14)
Storia 3
- l’uso uso delle coordinate, il modo di dare la relazione fondamentale delle
coniche è stabilire un legame fra ascisse e ordinate di un sistema di
riferimento: diametro della conica (asse x) e tangente alla conica in un
estremo del diametro (asse y). Gli assi possono essere sia ortogonali che
obliqui. Ordinata: (tracciata ordinatamente)
♦ La lettura è difficile perché A. salta spesso i passaggi intermedi. Pappo e
Eutocio nei loro commenti hanno integrato il testo con dei lemmi.
Uso della teoria delle proporzioni per eseguire le
operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento
a potenza, estrazione di radice
a : b = c : d a ⋅ d = b ⋅c
a0 a1 a2
an−1
= = = ... =
a a a a
1 2 3
n
n
⎛ n a ⎞ 1 = ⎜ ⎟
a1
= n
n
0 0 0 0
a a
a ⎝a ⎠ a a
E d
C b
a
D A
c
B
AB : BC = BD : BE
7

A
D
Uso dell’applicazione dell applicazione delle aree per “risolvere risolvere”
un’equazione un equazione quadratica pura
Trovare un quadrato la cui area sia uguale a quella di un dato
rettangolo ABCD
G
Si prolunghi AB di un segmento BE = BC.
Si prenda il punto medio F di AE, si tracci
il cerchio di centro F e raggio FE.
Sia G il punto di intersezione del
x
prolungamento del lato BE del rettangolo
dato con la circonferenza, allora BG è il
segmento cercato.
α
a
x 2 = a ⋅ b
β
F
b
C
E
B
A
E
Infatti il triangolo AGE è
rettangolo perché inscritto in un
semicerchio e per il II teorema di
Euclide si ha
BG 2 = AB⋅BE = AB⋅BC
Coniche I, 11
PM//AC BC DE
QV//DE
Se PL ∈ β e PL PM e tale che
PL : PA = BC 2 : AB·AC
TH)
QV 2 =PL ·PV
Costruisco HK//BC
HQK ∈ alla sezione (cerchio) con
piano // α, dunque QV 2 = HV ·VK
Considero i triangoli simili PHV~AKH ~ABC
HV : PV = BC : AC
Da PM // AC e dalla similitudine di AHK e ABC
VK : PA = BC : AB
HV · VK : PV · PA = BC 2 : AC · AB
QV 2 PL : PA
QV 2 : PV · PA = PL : PA QV 2 =PL ·PV
PL : lato retto
8

p
NOI:
2
y =
px
Iperbole,
Coniche, I.12
Apollonio utilizza l’origine
stereometrica delle coniche come
sezioni del cono solo per ottenere la
proprietà propriet fondamentale delle sezioni
coniche che è piana (sistema di
riferimento: diametro della conica e
tangente alla conica in un estremo del
diametro). A partire da questa proprietà
ricava tutti i successivi sviluppi della
teoria.
Parabola,
Coniche I.11
QV 2 =PL ·PV
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo (PV·PL)
NOI:
2
d + x
=
VQ'
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VQ’)
y
y
2
QV 2 =PV ·VQ’
= x ⋅VQ'
d
p
= px +
QV = y
PV = x
PL = p
PP’= d
p
d
VQ'=
p +
x
2
p
d
x
9

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)
y
2
y
d
p
2
Ellisse,
Coniche, I.13
QV 2 =PV ·VR
= x ⋅VR
d − x
=
VR
= px −
QV = y
PV = x
PL = p
PP’= d
p
d
VR = p −
Scrivere le equazioni dell’ellisse e dell’iperbole
aventi un vertice nell’origine del sistema di
riferimento.
Confrontare l’equazione ottenuta con i risultati di
Apollonio
x
2
NOI:
p
d
x
10

T
P
La tangente alla parabola
V
Q
V’
K
Q’
Prop. I. 33
“Si prenda un punto T
sul diametro di una parabola fuori
della curva e tale che TP = PV,
dove V è il piede dell’ordinata
da Q al diametro PV. La retta TQ
sarà tangente alla parabola”
A. dimostra che TQ è tale che ogni suo punto diverso da Q giace
fuori dalla parabola.
Ragiona per assurdo:
suppone che K sia un punto di TQ o del suo prolungamento, che cada
all’interno della parabola e mostra che si arriva ad un assurdo
Quello che A. usa non è un metodo generale che si possa applicare ad
ogni curva (come saranno i metodi infinitesimali), ma è un teorema
relativo alla parabola.
Schema riassuntivo delle Coniche
LIBRO I definizioni e proprietà fondamentali delle sezioni coniche.
(60 prop.) Nelle Prop. 11, 12, 13 Apollonio trova le proprietà caratteristiche della
parabola dell’iperbole e dell’ellisse.
Alcune proprietà sulle tangenti (la tangente a una curva C in un punto P è
una retta t tale che fra C e t non può essere tracciata nessuna altra retta
passante per P, tale cioè che ogni suo punto diverso da P giace fuori della
curva); per es. Prop. 33: Se si prende un punto T sul diametro PM di una
parabola QPQ’ fuori della curva e tale che TP=PV, dove V è il piede
dell’ordinata da Q al diametro PM, la retta TQ sarà tangente alla
parabola.
LIBRO II Proprietà degli asintoti (nella Prop.14 dimostra che la distanza fra una
(53 prop.) curva e il suo asintoto, se prolungati all’infinito, diventa minore di una
qualsiasi lunghezza data), delle tangenti e dei diametri coniugati (Def. I, 4:
Si dice diametro di una curva piana la retta che taglia in due parti uguali
tutte le corde della curva parallele ad una retta qualunque. Def. II, 6:
Chiamo diametri coniugati di una curva le rette tali che ciascuna è un
diametro che taglia in due parti uguali le rette parallele all’altra).
11

LIBRO III Proprietà armoniche di polo e polare (vedi per es. Prop. 37)
(56 prop.) Proprietà dei fuochi (furono chiamati così solo nel Rinascimento a causa
delle loro proprietà ottiche). Apollonio usa la perifrasi «punti che nascono
dall’applicazione» e li definisce solo per l’ellisse e per l’iperbole: Detto
AA’ il diametro della conica e F e F’ i fuochi questi sono definiti come
punti tali che AF.FA’=AF’.F’A’= p AA’/4, dove p è il parametro della
conica.
Apollonio dimostra che in un’ellisse la somma (Prop. 52), in un’iperbole la
differenza (Prop. 51) delle distanze di un punto dai fuochi è uguale all’asse
AA’.
«Il libro terzo contiene molti teoremi notevoli utili per la costruzione dei
luoghi solidi. La maggior parte di essi e più belli sono nuovi. Fra l’altro, fu
dimostrando questi teoremi che mi resi conto che Euclide non aveva
costruito il luogo geometrico rispetto a tre o quattro linee …, non era infatti
possibile farlo senza queste mie scoperte» (Prefazione al Libro I). Il
problema è il seguente: Date 3 (4) rette giacenti in un piano, trovare il
luogo geometrico dei punti P tali che il quadrato della distanza di P da una
di queste rette sia proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre rette
(nel caso di 4 rette, il prodotto delle distanze da due di esse sia
proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre due), le distanze
essendo misurate secondo angoli dati rispetto alle rette. Tale luogo è una
sezione conica. (Cfr. Heath 1896, cap. V). Pappo lo generalizzò a n>4.
Affrontando questo problema Descartes nel 1637 mostrò la potenza della
sua ‘geometria analitica’.
LIBRO IV Apollonio trova «In quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi
(57 prop.) l’una con l’altra», in particolare ottiene dei teoremi nuovi relativi al
numero di punti in cui una sezione conica incontra i due rami di
un’iperbole (fu Apollonio a considerare i due rami come un’unica curva) e
ne è fiero infatti scrive che sono «degni di essere accettati per amore delle
dimostrazioni stesse, allo stesso modo che accettiamo molte altre cose nella
matematica per questa e nessuna altra ragione».
LIBRO V È dedicato ai segmenti massimi e minimi che si possono condurre da
(77 prop.) un punto ad una conica, «argomento degno di essere studiato per se
stesso». Si tratta di teoremi sulle tangenti, normali e subnormali (per es.
Prop. 8); ci sono proposizioni (Prop. 51 e 52) che conducono alla
determinazione dell’evoluta.
LIBRO VI Tratta l’uguaglianza e la similitudine di coniche «Due coniche si
(33 prop.) dicono simili se, tracciando in esse, delle ordinate in egual numero a
distanze proporzionali dal vertice, queste ordinate sono rispettivamente
proporzionali alle ascisse corrispondenti» (Def. 2).
Per es. dimostra che tutte le parabole sono simili (Prop.11).
LIBRO VII Teoria dei diametri coniugati.
(51 prop.)
12

Medioevo
(476, caduta di Roma, 1453
caduta di Costantinopoli)
Costantinopoli
► Grande fioritura della cultura islamica 750 - 1400.
traduzioni e commenti dei classici
► Omar Al Khayyam (XI-XII sec.)
soluzione geometrica delle equazioni di
terzo grado
critica alla teoria euclidea delle parallele
► In Occidente: geometria pratica
► Nicole Oresme - Parigi XIV sec.
introduce i diagrammi.
Omar al-Khayyam
al Khayyam
(1048 - 1123)
Astronomo, matematico e
poeta persiano, celebre per le
sue Quartine (Rubáiyát)
Il tuo oggi non ha potere sul domani,
e il pensiero del domani non ti frutta che malinconia.
Non buttar via questo istante, se il tuo cuore non è pazzo,
ché questo resto di vita non si sa quanto possa valere
13

“Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e
al-muqabala”.
Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delle
equazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e con
coefficienti interi positivi
I caratteri salienti dell’opera di al-Khayyam si possono così
riassumere
Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le
grandezze
Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni di
secondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radici
per via algebrica, ricava le soluzioni per via geometrica
mediante intersezione di coniche
Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative)
delle quali discute le condizioni di esistenza
Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il caso
della terza soluzione positiva dell’equazione x 3 + bx = ax 2 + c
Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che le
compongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie,
trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive):
- equazione binomia x 3 = c
- equazioni trinomie senza termine di secondo grado I.
- trinomie senza termine di primo grado II.
x
3
+ bx = c
x
3
+ c = bx
bx + c = x
3
x
3
+ ax
2
= c
x
3
+ c = ax
2
ax
2
+ c = x
3
- quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo
x
3
+ ax
2
+ bx = c
x
3
+ ax
2
+ c = bx
I.
x
3
+ bx + c = ax
2
ax
2
+ bx + c = x
3
- quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi
x
3
+ ax
2
= bx + c
II. x
3
+ bx = ax
2
+ c
x
3
+ c = ax
2
+ bx
14

L’equazione trinomia del I tipo x
3
+ bx = c ,
(“un cubo più lati sono uguali a un numero”) viene scritta come
x
3
+ p
2
x = p
2
q con b = p 2 e c = p 2 q per il principio di omogeneità
dimensionale.
La risoluzione si ottiene per intersezione
della circonferenza x 2 + y 2 = q x
e della parabola y = x 2 /p.
L’ascissa QS del punto
P di intersezione delle
curve rappresentate in
figura è la radice cercata.
Al-Khayyam non scrive
equazioni, ma usa
le proporzioni
C(q/2,0)
Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delle
proporzioni.
Applica la proprietà della parabola data da Apollonio:
x p
= (1)
PS x
Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è media
proporzionale fra QS e RS:
x PS
=
PS q − x
Uguagliando le espressioni precedenti ricava:
p PS
= (2)
x q − x
D’altra parte dalla (1) PS = x 2 /p che sostituito
nella (2) fornisce l’equazione
x
3
+
p
2
x = p
2
q
15

Grafico della funzione y = x 3 +3x -10 eseguito con Maple
Visualizzazione con Cabri
Equazioni trinomie senza termine di secondo grado
x 3 + bx = c
Equazioni trinomie senza termine di primo grado
x 3 + ax 2 = c
Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono
uguali ad un termine positivo
x 3 + ax 2 + bx = c
Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono
uguali a due termini positivi
x 3 + bx = ax 2 + c
16

Equazioni trinomie senza termine di secondo grado
x 3 + bx = c
Equazioni trinomie senza termine di primo grado
x 3 + ax 2 = c
17

Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo
x 3 + ax 2 + bx = c
Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi
x 3 + bx = ax 2 + c
18

Caso di 3 soluzioni positive
Esercizio
Mostrare con l’algebra che si può risolvere l’equazione cubica
x3 + d = cx intersecando l’iperbole y2 = x2 -(d/c)x e la parabola
. Trovare al variare di c e d come variano le
intersezioni delle due coniche. In ciascun caso tracciare il grafico
della curva y = x3 2
x = cy
– cx + d e mostrare che il numero di
intersezioni di questa curva con il semiasse positivo delle x èin
accordo con il numero di intersezioni delle coniche.
Visualizzare con Cabri.
In: Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics,
The Mathematical Association of America, 2005
19

Lo studio della variabilità variabilit e del moto
[ sec XIV]
Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a
Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College
di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana:
se un corpo si muove di moto uniformemente
accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella
che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un
altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quella
raggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzo
dell’intervallo temporale.
La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del
moto”
Nicole Oresme (1323?-1382),
(1323? 1382), professore a Parigi e vescovo di Lisieux, ebbe
l’idea di rappresentare geometricamente i vari moti:
lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti di tempo
(longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui lunghezza
rappresenta la velocità in quell’istante (latitudini)
Moto uniforme v = costante
Moto uniformemente
accelerato [uniformemente
difforme]
Moto vario [difformemente
difforme]
v 0 =0
Con i suoi diagrammi Oresme poteva
“dimostrare” la regola mertoniana
v 1
t 1
v 1 + v2
2
Tractatus de latitudinibus formarum
t 2
v 2
v 0 >0
L’area del trapezio
rettangolo, che
rappresenta lo spazio
percorso con moto
uniformemente
accelerato, è uguale
all’area del rettangolo
che rappresenta lo
spazio percorso con
velocità costante pari a
v 1 + v2
2
20

Rinascimento
(secoli XV e XVI)
► 1447 primo libro a stampa
Nascita della prospettiva
- Leon Battista Alberti (1404-1472)
- Piero della Francesca (1410?-1492)
- Albrecht Dürer (1471-1528)
► Nel Cinquecento si assiste a:
- un formidabile sviluppo dell’algebra ad opera degli algebristi italiani
(S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli,
risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado)
-la riscoperta dei classici greci (commenti e traduzioni di Euclide,
Archimede e Apollonio )
► François Viète (1540-1603) getta un ponte fra algebra e geometria
classica
► Johann Kepler (1571-1630)
le coniche, calcolo di volumi con tecniche infinitesimali
Il Seicento
► Nascita della geometria Analitica
- René Descartes (1596-1650) Géométrie (1637)
- Pierre de Fermat (1601-1665) Ad loco planos et solidos isagoge
(∼1629)
► Nascita della geometria proiettiva
sostituire lo studio separato di ciascuna conica con una teoria
generale valida per tutte
- Girard Desargues (1591-1661), Brouillon projet d’une atteinte
aux événemens des rencontres du cône avec un plan (1639)
- Blaise Pascal (1623-1662) Essai sur les Coniques (1640)
21

Durante tutto il ‘500 i matematici si
erano preoccupati di giustificare il
ragionamento algebrico con
dimostrazioni
geometriche.
François Fran ois Viète Vi te (1540-1603)
La
creazione
della
geometria
analitica
Isagoge in artem analyticem (1591)
►l’interazione fra algebra e geometria cambia: l’algebra è usata
per risolvere problemi geometrici.
L’algebra è vista come uno speciale procedimento di scoperta:
si parte dall’assunzione di ciò che si cerca e mediante la deduzione
si arriva ad una verità nota (ars analytica)
22

► Con Viète l’algebra diventa la scienza del calcolo letterale
“speciosa”:
“La logistica numerosa è quella che viene trattata mediante i
numeri. La logistica speciosa è quella che viene trattata mediante
segni o figure, per esempio mediante lettere dell’alfabeto”
♦ egli distingue le quantità incognite dalle note indicando le
prime con una vocale e le seconde con una consonante
♦ usa i simboli + e -, ma “in” per la moltiplicazione e “aequ”per
l’uguale, Aq (A quadratus) e Ac (A cubus) per A2 e A3 Fra i risultati di Viète:
- riuscì a risolvere il caso irriducibile delle equazioni di terzo
grado usando un’identità trigonometrica,
- individuò alcune delle relazioni fra le radici e i coefficienti
dell’equazione oggi note come formule di Viète - Girard.
René Ren Descartes
(1596-1650)
Padre della filosofia moderna.
Dallo studio del metodo matematico
elaborò un metodo per giungere alla
conoscenza basato sui seguenti
principi:
- “non accettare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con
evidenza essere tale”
- “dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante
piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla
miglior soluzione di essa”
- “condurre con ordine i miei pensieri cominciando dagli oggetti
più semplici e più facili … per salire a poco a poco, come per
gradi alla conoscenza dei più complessi”
- “procedere in ogni caso ad enumerazioni così complete … da
essere certo di non aver omesso assolutamente nulla” (p. 134-135)
Opere
scientifiche
di Réné
Descartes,
Utet, 1983
23

La Géom ométrie trie (1637)
Lo scopo dell’opera è enunciato fin dall’esordio:
“Tutti i Problemi di Geometria possono facilmente essere
riportati a termini tali che poi per costruirli, non c’è da
conoscere che la lunghezza di alcune linee rette” (p. 528)
Il programma di Descartes è dunque quello di utilizzare l’algebra
nell’analizzare i problemi geometrici. Egli crea la geometria analitica.
“ Volendo risolvere qualche problema, si deve fin dal principio
considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che
si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, che
alle altre. Poi, senza far nessuna differenza tra quelle note e le
incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quell’ordine che più
naturalmente di ogni altro mostra in qual modo le rette dipendano
mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il
procedimento per esprimere una stessa quantità in due modi, cioè non
si sia pervenuti a ciò che si chiama equazione” (pp. 535-536)
Il simbolismo algebrico nella Géométrie raggiunge il suo massimo
sviluppo ed è sostanzialmente quello attuale, con l’unica differenza
per il segno di uguale :
Descartes utilizza come noi le prime lettere dell’alfabeto per indicare i
parametri e le ultime per le incognite, però mentre noi concepiamo
parametri e incognite come numeri , D. le interpreta come segmenti.
C’è una rottura rispetto alla tradizione classica, infatti interpreta come
segmenti anche x2 , x3 , e non più come aree e volumi.
24

Scopo della Géom ométrie trie
Gli scopi della Géométrie coinvolgono
due livelli di problemi: uno tecnico e
uno metodologico
tecnico: il programma di Descartes è quello di usare
l’algebra nello studiare i problemi geometrici
(banco di prova è il problema di Pappo)
metodologico: come trovare la costruzione geometrica
di un problema quando la riga e il compasso
sono insufficienti e quali curve accettare nella
costruzione
Salto qualitativo
curve
Caratteri della Géom ométrie trie
abolizione del requisito di omogeneità nelle formule
algebriche (artificio: introduce un segmento unitario)
considera problemi indeterminati. Le due coordinate x e
y sono legate da una sola equazione. I punti che risolvono
il problema sono infiniti e descrivono una curva
La Géométrie è una geometria di curve non di teoremi
Non è un’esposizione didattica
Geometriche, che si possono esprimere con
un'equazione algebrica. Sono le sole che D.
considera accettabili in geometria
Meccaniche (quadratrice, spirale, logaritmica,
cicloide,...)
25

Il I libro della Géométrie si apre mostrando come interpretare
geometricamente la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione della radice
quadrata ed anche la soluzione delle equazioni di secondo grado.
D
1
O
E
C
A 1 B
1
a
2
N
L
Per risolvere l'equazione
è il segmento cercato.
2
AB = 1
AB:BC = BD:BE
BD·BC = BE
BE:BD = BC
D. trascura la seconda radice perché"
falsa" , cioè negativa.
P
b
2
M
La moltiplicazione
e la divisione
L’estrazione della
radice quadrata
FG = 1
FG:IG = IG:GH
IG2 = FG·GH
La risoluzione
delle equazioni
di 2° grado
1
D. traccia un segmento LM = b e da L innalza un segmento NL = a
2
1
e perpendicolare
a LM.
Con centro in N costruisce un cerchio di raggio a.
2
Traccia la retta passante per M e N che interseca il cerchio nei punti O e P.
x = OM
x
= ax + b
1 a
OM =
ON + MN = a + + b
2 4
2
2
26

Il banco di prova per il nuovo metodo
Il problema di Pappo
Il problema di Pappo, enunciato nella sua forma più semplice, si presenta così:
Date 2n rette, trovare il luogo dei punti tali che il prodotto delle distanze dalle
prime n rette sia uguale al prodotto delle distanze dalle rimanenti.
Pappo lo aveva risolto in casi particolari.
Ora D. può dare la soluzione generale: identificando la curva con la sua
equazione.
NOI:
Siano (x,y) le coordinate di un punto generico C e sia d(C, ri ) = | ai x + bi y + ci | la
distanza di C dalla retta i-esima, dove ai , bi , ci sono i parametri della retta ri
normalizzati in modo che ai 2 + bi 2 = 1.
Il luogo cercato ha equazione
n
2n
∏ ( aix + biy + ci ) = ∏
i= 1
i=
n+
1
( aix + biy + ci)
Descartes è quindi consapevole che una soluzione generale è possibile solo usando
il formalismo dell’algebra:
“ Mi pare di aver così interamente soddisfatto alle ricerche che, secondo Pappo, gli
antichi avevano impostato in questo campo e proverò a darne la dimostrazione in
pochi tratti, giacché sono già annoiato di averne scritto tanto”
“Siano AB, AD, EF, GH, ecc. parecchie linee date per posizione, e
occorra trovare un punto, come C, dal quale, condotte su quelle date
altre linee rette, come CB, CD, CF, CH, in modo che gli angoli CBA,
CDA, CFE, CHG siano dati e tali che il prodotto di una parte di queste
linee sia uguale al prodotto delle rimanenti o che l’uno stia all’altro in
un rapporto dato: ciò infatti non rende il problema per nulla più
difficile.
Innanzitutto suppongo il problema come già risolto, e per liberarmi dalla
confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di
quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB come le principali, e a
queste cerco così di riferire le altre.” (p. 553).
F
E
D
T
A
S
R
B
C
G
H
27

A
y 0
Metodo per la ricerca della normale
Géométrie, libro II, pp. 600 segg.
C(y 0 , x 0 )
x 0
s
M P(v,0)
D. suppone il problema risolto. Sia CP la
normale alla curva P(x,y)=0 in C
PM = v-y0 Considera il cerchio di centro P(v,0) e
raggio s: 2
2 2
x + ( v − y)
= s
Se CP è normale alla curva in C il cerchio di centro P e raggio CP “tocca la
curva in C senza intersecarla”
⎧P(
x,
y)
= 0
⎨
⇒ R(
x)
= 0 oppure R(
y)
= 0
2
2 2
⎩x
+ ( v − y)
= s
R(y) = 0 dovrà avere una radice doppia in y0 , cioè dovrà essere della forma
R( y)
= ( y − y ) Q(
y)
se P(x,y)=0 ha grado m, R(y)=0 ha grado 2m e Q(y) è un polinomio di grado 2m-2
0
Uguagliando uno a uno i coefficienti delle potenze omologhe si
otterranno 2m+1 equazioni da cui si possono ricavare i coefficienti di
Q(y), nonché i due parametri v e s.
Caratteri e limiti del metodo
♦ è un metodo algebrico
♦ l’uso della circonferenza raddoppia il grado di P(x,y)=0
♦ va bene solo per i polinomi e, anche nei casi più semplici dà luogo
a calcoli lunghi e complessi
Descartes scrive: “Oso Oso anzi dire che questo è il problema più pi utile e
generale non solo tra tutti quelli che conosco, ma anche tra tutti tutti
quelli che in Geometria ho sempre desiderato conoscere” conoscere (p. 600)
In effetti, mentre nella geometria greca e in quella anteriore a D. il
problema della ricerca della retta tangente doveva essere affrontato
caso per caso, ora definendo la curva mediante la sua equazione si
può trovare un metodo che vale per tutta una categoria di curve.
2
28

Esercizi
1. Trovare la normale alla curva y = x 3 in P(1,1) con il metodo di
Descartes e con il nostro
3 ⎧ ⎪y=
x
⎨ 2 2 2
⎪⎩ ( x− v) + y = s
2 2 2 2
x − 2xv+
v + y = s
6 2 2 2
Rx ( ) = x + x − 2xv+ v − s = 0
2 4 3 2 4 3 2
( x − 1) ( x + ax + bx + cx + d) = ( x − 2x+ 1)( x + ax + bx + cx + d)
=
6 5 6 2 2 2
= x + ( a− 2) x + ... ≡ x + x − 2xv+
v −s
eguaglio i coefficienti delle potenze omologhe ottengo 6 equazioni
da cui ricavo
v = 4
2. Trovare la normale alla curva y = 1/x in P(2,1/2) con il metodo metodo
di Descartes e con il nostro
⎧ 1
⎪
y =
x
⎨
⎪ 2 1
⎪
( x − v)
+ = s 2
⎩ x
15
... v =
8
“E spero che i posteri mi saranno grati, non solo
per quello che ho qui spiegato, ma anche per tutto
ciò che ho omesso intenzionalmente al fine di
lasciar loro il piacere della scoperta” (p. 685)
In effetti la Géométrie presentava delle oscurità, per
cui ne uscirono varie edizioni successive con commenti e
integrazioni.
Particolarmente importante è la traduzione latina con commenti di
Frans van Schooten Geometria a Renato De Cartes, Cartes,
Leida 1649
che ebbe nel secolo XVII un’altra edizione con
aggiunte e commenti di Jan de Witt e Jan Hudde
(1659-1661, rist. 1683,1695)
Queste edizioni ne favorirono la rapida diffusione.
Ch. Adam, P. Tannery,
Oeuvres de Descartes,
12 voll, Paris 1897-1913
2
De Witt
Hudde
29

Pierre de Fermat (1601-1665) (1601 1665)
Figlio di un mercante, compì studi
giuridici a Tolosa, dove esercitò la
professione di magistrato fino al 1648
quando divenne consigliere del re.
Non fu quindi un matematico di
professione, ma diede contributi rilevanti
alla nascita dell’analisi infinitesimale e
della geometria analitica. Fu l’iniziatore
del calcolo delle probabilità e della
teoria dei numeri vera e propria.
La maggior parte dei suoi risultati hanno il carattere di brevi saggi o compaiono
nelle lettere che scriveva agli amici. Pubblicò poco e molti dei suoi lavori
apparvero solo dopo la sua morte. Sarà il maggiore dei suoi figli Samuel a
divulgare le sue ricerche in teoria dei numeri sulla base delle annotazioni a
margine della Arithmetica di Diofanto edita da C. G. Bachet de Méziriac.
Ad loco planos et solidos isagoge
[Introduzione Introduzione ai luoghi geometrici rappresentati da rette
e da curve di secondo grado] grado
(∼1629, p. 1779)
È probabile che F. sia giunto alla geometria delle
coordinate dallo studio dell’opera di Apollonio e
dalla traduzione dei risultati in forma algebrica.
“Gli antichi hanno trattato i luoghi, ma non
erano in grado di trattarli in modo generale”
“Ogni volta che in un’equazione finale si trovano due quantità
incognite abbiamo un luogo, in quanto l’estremità di una di esse
descrive una linea retta o curva” (OF, I, p. 91)
P. Tannery, Ch. Henry, Oeuvres de Fermat, 4 voll. Paris, 1891-1912
30

N
La presentazione di Fermat è più didattica rispetto a quella di
Descartes. Parte dall’equazione della retta e via via considera
equazioni di grado superiore (circonferenza, coniche)
A
x
I(x,y)
E y
Z
M
Sia NMZ una retta data in posizione [asse x],
si fissi N [origine], si ponga
NZ = A (x, quantità incognita) e
ZI (sotto l’angolo dato NZI, non
necessariamente retto) = E (y, altra incognita)
Sia D·A = B · E, allora I starà su una retta
data in posizione.
Infatti sarà B/D=A/E, dunque
è dato il rapporto A/E, e, essendo dato l’angolo NZI, il triangolo INZ è
dato, dunque I sarà su una retta data in posizione.
D in A aequetur B in E →→ Dx = By
(semiretta con estremo nell’origine, Fermat non usa ascisse negative)
Considera poi l’equazione lineare più generale:
Zpl – D in A aequetur B in E
C2 -Dx= By
Si ponga D · R = C2 B/D = (R-x) /y
Sia MN=R, sarà allora dato M e MZ = R-x, dunque
MZ/ZI è dato come è dato l’angolo in Z, pertanto
I
è dato anche il triangolo IZM, allora
y
I starà su una retta data in posizione.
x R-x
N
Z
R
Aq aequatur D in E parabola x 2 = Dy
A in E aequatur Zpl iperbole xy= C 2
Bq –Aq aequatur Eq cerchio B 2 – x 2 = y 2
M
31

La nascita dell’analisi dell analisi infinitesimale
Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
1665-66 biennium mirabilissimum
1684 Nova methodus
Nel secolo successivo le interazioni fra la geometria analitica e
i metodi infinitesimali sono all’origine della Geometria differenziale
Sviluppi della geometria analitica
Nella seconda metà del ‘700 si assiste a un grande sviluppo
della geometria analitica, che assume la forma moderna.
1748 L. Euler, Introductio in Analysin infinitorum
Il volume II è il primo trattato in stile “moderno” di geometria analitica: vi è
lo studio sistematico delle coniche e delle cubiche, …, cenni alla geometria
in tre dimensioni.
1750 G. Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques
A.-C Clairaut, J.-L- Lagrange, G. Monge, …
1797, 1802 compare il termine géométrie analytique (S.-F. Lacroix, J.-B.
Biot)
1804-1816 Si pubblica la rivista Correspondance sur l’École
Polytechnique di J.-N. Hachette, dedicata quasi completamente alla
geometria analitica
32

Laboratorio
Vedi documenti allegati
Prop. I, 11 delle Coniche di Apollonio (III sec. a.C.), dove si
ricava la proprietà fondamentale (equazione) della parabola
Prop. I, 33 delle Coniche di Apollonio (III sec. a.C.), dove si
trova la tangente alla parabola
Problema “un cubo più lati è uguale a un numero” (x3 + bx = c)
risolto da O. Al Khayyam mediante l’intersezione di coniche
La ricerca della normale ad una curva ed altri passi della
Géométrie di R. Descartes (1637)
http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/mostra_calcolo/guida/node7.html
Passi da Ad locos plano set solidos isagoge (ca.1629) di P.
Fermat.
Passi dalla II parte dell’ Introductio in Analysin Infinitorum
(1748) di L. Euler e da S. F. Lacroix, Trattato elementare di
applicazione dell’algebra alla geometria (1834).
APPENDICE
Il concetto di numero
nel `500 e nel `600
33

♦Lo zero era accettato come numero.
♦ Gli irrazionali erano usati liberamente, ma sul loro status di
numeri c'erano delle divergenze:
M. STIFEL nell’Aritmetica integra (1544) sostiene che
"poiché nel provare le figure geometriche, quando i numeri razionali ci
vengono a mancare, i numeri irrazionali prendono il loro posto e
dimostrano esattamente quelle cose che i numeri razionali non potevano
dimostrare ... siamo mossi e spinti ad asserire che essi sono veramente
numeri, spinti cioè dai risultati che percepiamo essere reali, certi e
costanti. Dall'altro lato, altre considerazioni ci spingono a negare che i
numeri irrazionali siano numeri. Vale a dire, quando cerchiamo di
assoggettarli a enumerazione [rappresentazione decimale]...troviamo che
essi volano perpetuamente via, cosicché nessuno di essi può essere
appreso con precisione in sé ... Ora, ciò che è di natura tale da mancare
di precisione non può essere chiamato un vero numero ... Perciò, proprio
come un numero infinito non è un numero, così un numero irrazionale
non è un vero numero, ma giace nascosto in una specie di nuvola di
infinito”
Per STIFEL i veri numeri sono gli interi e i frazionari.
S. STEVIN riconosce agli irrazionali il loro stato di numeri e li approssima
con razionali. Ancora nel `600 B. PASCAL e I. BARROW li consideravano
simboli che non hanno esistenza indipendente dalle grandezze geometriche.
R. DESCARTES (1628) invece li ammette come numeri astratti che
possono rappresentare grandezze geometriche e J. WALLIS nella sua
Algebra (1685) li accetta come numeri.
♦I numeri negativi benché fossero usati dagli Indiani fin dal XII secolo e
fossero resi noti dagli arabi, non erano accettati come numeri dalla maggior
parte dei matematici del `500, o se lo erano, non erano accettati come radici
di equazioni.
G. CARDANO (Ars magna, 1545) li considera come meri simboli e li
chiama "fittizi", F. VIÈTE li scartava e R. DESCARTES li accettava solo
parzialmente nel senso che un'equazione con radici "false" (negative) poteva
essere trasformata in una con radici "reali" (positive).
STEVIN accettava sia i numeri negativi che le radici negative. A. GIRARD
(Invention nouvelle en l'algèbre, 1629) li mette sullo stesso piano dei positivi
e dà entrambe le radici di un'equazione di secondo grado anche quando sono
negative. R. BOMBELLI li definisce in modo chiaro.
34

♦ Per quanto riguarda i numeri complessi, BOMBELLI li introduce nella
sua Algebra (1572) e ne dà le regole di calcolo.
DESCARTES invece respinge le radici complesse e le chiama
"immaginarie” GIRARD (Invention nouvelle en l'algèbre, 1629) li
riconosce come soluzioni formali delle equazioni:
"Si potrebbe dire: quale utilità hanno queste soluzioni impossibili [le
radici complesse]? Io rispondo: servono a tre cose, alla certezza delle
regole generali, alla loro utilità e perché non ci sono altre soluzioni"
I. NEWTON non le considerava forse perché non avevano all'epoca
nessun significato fisico (Arithmetica universalis, 1728, p.193) e G. W.
LEIBNIZ sebbene lavorasse con i numeri complessi non ne comprendeva
appieno la natura:
“Lo spirito divino trovò una via d'uscita sublime in quel mostro dell’
analisi quel portento del mondo ideale, quell'anfibio fra essere e nonessere
che chiamiamo radice immaginaria dell'unità negativa"
(LMS, V, pp. 350-361)
Bibliografia essenziale
Boyer C., History of analytic geometry, The Scripta Mathematica Studies, New
York, 1956
Freguglia P., La geometria tra tradizione e innovazione 1550-1650, Bollati
Boringhieri, Torino, 1999, Cap. 4
Kline M., Storia del pensiero matematico, (1972), Torino, Einaudi, I vol., 1991,
pp. 106-118, 227-228, 246-248, 353-354, 359-369, 636-647
Lojacono E., Cartesio, I Grandi della Scienza, Le Scienze, 2000
Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics,
The Mathematical Association of America, 2005
I testi
Heath T., Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge
University Press, 1896.
Ver Eecke P., Les Coniques d’Apollonius de Perge, De Brouwer, Bruges, 1923
Al Khayyam O., L’oeuvre algébrique, etablie, traduite et analysée par R. Rashed et
A. Djebbar, Paris 1979
Adam CH., Tannery P., Oeuvres de Descartes, 12 voll., Paris, 1897-1913
Descartes R., Opere scientifiche, Classici della scienza, Utet, Torino, 1983
Tannery P., Henry Ch., Oeuvres de Fermat, 4 voll, Paris, 1891-1912
Euler L., Introductio in analysin infinitorum , II vol. Lausannae, 1748
35