DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA Enrica Borghi, Leonardo ...

E con x = =n questi enunciati si traducono nelle disuguaglianze trigonometriche
8 sin(x=2) sin(x) 2 sin(x) + tan(x)
< x < :
3
3
In altri risultati sulle medie proporzionali tra poligoni inscritti e circoscritti
Huygens dimostra che 3p Q(n)P 2 (n) > 2 , cioè x < sin(x)= 3p cos(x). In…ne, un
enunciato sui baricentri di segmenti di cerchio si traduce nelle disuguaglianze
4 sin(x) sin(x) cos(x)
3
< x < sin(x) 10 + 6 cos(x) cos2 (x)
6 + 9 cos(x)
Huygens dimostra questi risultati utilizzando esclusivamente la geometria
elementare, ma è più semplice e veloce dimostrarli con un po’ d’analisi. Per
esempio, per dimostrare la disuguaglianza sui baricentri, la più precisa tra quelle
presentate da Huygens, è su¢ ciente osservare che la funzione
si annulla in x = 0 ed è crescente,
d
dx
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
x
!
= 2 (1 + cos(x)) (1 cos(x))3
x
4 + 12 cos(x) + 9 cos 2 (x)
Un altro semplice modo per dimostrare queste disuguaglianze è suggerito da
I.Newton (1642-1727) nella sua corrispondenza con G.W.Leibniz (1646-1716)
del 13 Giugno 1676 e consiste nello sviluppare in serie di potenze le funzioni
interessate:
”Per trovare un’approssimazione di un arco con corda A e con B la corda
di metà arco, se z è l’arco e r il raggio del cerchio, allora A, il doppio del seno
della metà di z, e B sono
B = z
2
A = z
z 3
+
4 6r2 z3 +
2 16 6r2 z5 4 4 120r4 :::
z 5
2 16 16 120r 4 :::
Moltiplichiamo B per un numero …ttizio n, dal prodotto sottraiamo A, poi
poniamo uguale a zero il termine nz 3 = 2 16 6r 2 z 3 = 4 6r 2 . Da questo
risulta n = 8 e
8B A = 3z
3z5 + :::
64 120r4 Quindi z = (8B A) =3, con un errore per eccesso di solo z 5 =7680r 4 :::.
Questo è un teorema di Huygens.”
4
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