DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA Enrica Borghi, Leonardo ...

Per parecchi secoli dopo Archimede gli unici passi avanti nella quadratura del
cerchio si limitano all’utilizzo di poligoni con un numero crescente di lati, …no
ad arrivare a L. van Ceulen (1540-1610) che con 60 2 33 lati e tanta pazienza
calcola i primi venti decimali di , poi ne calcola trentacinque che vengono
inscritti sulla sua pietra tombale:
”Hic iacet sepultus Mr. Ludol¤ van Ceulen, professor belgicus dum viveret
mathematicarum scientiarum in athenaeo huius urbis, natus hildeshemia anno
1540 die XXVIII ianuarii et denatus XXXI decembris 1610, qui in vita sua
multo labore circumferentiae circuli proximam rationem ad diametrum invenit
sequentem: quando diameter est 100000000000000000000000000000000000 tunc
circuli circumferentia plus est quam 3141592653589793233846264338327950288
et minus quam 3141592653589793233846264338327950289.”
Dopo tanta fatica, ”requiescat in pace”. La di¢ coltà nella quadratura del cerchio
consiste nel cercare di stimare un arco di cerchio, storto ed intrinsecamente
di¢ cile da misurare, per mezzo di segmenti dritti esplicitamente misurabili,
come il seno ed il coseno. Il metodo di Archimede si basa sul fatto che un arco
di cerchio è compreso tra il seno e la tangente dell’angolo, sin(x) < x < tan(x).
Nella “De Mathematica Perfectione”del 1458 il Cardinale Nicola da Cusa (1401-
1464) propone un’approssimazione migliore:
”Il rapporto tra tre semidiametri e tre semidiametri meno una freccia è minore
del rapporto tra arco e corda.”
In un cerchio di raggio uno ad un arco 2x corrispondono una corda 2 sin(x)
ed una freccia 1 cos(x) e si ha la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x, che
è più stretta di sin(x) < x,
sin(x) <
3 sin(x)
< x:
2 + cos(x)
Ponendo x = =6 nell’uguaglianza approssimata x 3 sin(x)= (2 + cos(x))
Nicola da Cusa ottiene 18= 4 + p 3 = 3; 140:::, una approssimazione che
Archimede ottiene con poligoni di 96 lati. E conclude: ”Ora la scienza delle
corde emerge perfettamente fondata. La scienza della quadratura del cerchio
ha raggiunto il suo scopo”. Nel “Ciclometricus” del 1621 W.Snell (1580-1626)
propone analoghe approssimazioni:
”Se si prolunga il diametro di un cerchio di un segmento uguale al raggio e
dal punto estremo si traccia una retta che interseca la circonferenza, questa retta
intercetta sulla tangente al cerchio nell’altro estremo del diametro un segmento
minore dell’arco di circonferenza.”
”La retta dal punto di trisezione alla circonferenza determina sulla tangente
nell’altro estremo del diametro un segmento maggiore dell’arco tra retta e diametro.”
Questi enunciati si possono tradurre nelle disuguaglianze trigonometriche
3 sin(x)
2 + cos(x)
tan(x) + 2 sin(x)
< x < :
3
2