DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA Enrica Borghi, Leonardo ...
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Per parecchi secoli dopo Archimede gli unici passi avanti nella quadratura del<br />
cerchio si limitano all’utilizzo di poligoni con un numero crescente di lati, …no<br />
ad arrivare a L. van Ceulen (1540-1610) che con 60 2 33 lati e tanta pazienza<br />
calcola i primi venti decimali di , poi ne calcola trentacinque che vengono<br />
inscritti sulla sua pietra tombale:<br />
”Hic iacet sepultus Mr. Ludol¤ van Ceulen, professor belgicus dum viveret<br />
mathematicarum scientiarum in athenaeo huius urbis, natus hildeshemia anno<br />
1540 die XXVIII ianuarii et denatus XXXI decembris 1610, qui in vita sua<br />
multo labore circumferentiae circuli proximam rationem ad diametrum invenit<br />
sequentem: quando diameter est 100000000000000000000000000000000000 tunc<br />
circuli circumferentia plus est quam 3141592653589793233846264338327950288<br />
et minus quam 3141592653589793233846264338327950289.”<br />
Dopo tanta fatica, ”requiescat in pace”. La di¢ coltà nella quadratura del cerchio<br />
consiste nel cercare di stimare un arco di cerchio, storto ed intrinsecamente<br />
di¢ cile da misurare, per mezzo di segmenti dritti esplicitamente misurabili,<br />
come il seno ed il coseno. Il metodo di Archimede si basa sul fatto che un arco<br />
di cerchio è compreso tra il seno e la tangente dell’angolo, sin(x) < x < tan(x).<br />
Nella “De Mathematica Perfectione”del 1458 il Cardinale Nicola da Cusa (1401-<br />
1464) propone un’approssimazione migliore:<br />
”Il rapporto tra tre semidiametri e tre semidiametri meno una freccia è minore<br />
del rapporto tra arco e corda.”<br />
In un cerchio di raggio uno ad un arco 2x corrispondono una corda 2 sin(x)<br />
ed una freccia 1 cos(x) e si ha la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x, che<br />
è più stretta di sin(x) < x,<br />
sin(x) <<br />
3 sin(x)<br />
< x:<br />
2 + cos(x)<br />
Ponendo x = =6 nell’uguaglianza approssimata x 3 sin(x)= (2 + cos(x))<br />
Nicola da Cusa ottiene 18= 4 + p 3 = 3; 140:::, una approssimazione che<br />
Archimede ottiene con poligoni di 96 lati. E conclude: ”Ora la scienza delle<br />
corde emerge perfettamente fondata. La scienza della quadratura del cerchio<br />
ha raggiunto il suo scopo”. Nel “Ciclometricus” del 1621 W.Snell (1580-1626)<br />
propone analoghe approssimazioni:<br />
”Se si prolunga il diametro di un cerchio di un segmento uguale al raggio e<br />
dal punto estremo si traccia una retta che interseca la circonferenza, questa retta<br />
intercetta sulla tangente al cerchio nell’altro estremo del diametro un segmento<br />
minore dell’arco di circonferenza.”<br />
”La retta dal punto di trisezione alla circonferenza determina sulla tangente<br />
nell’altro estremo del diametro un segmento maggiore dell’arco tra retta e diametro.”<br />
Questi enunciati si possono tradurre nelle disuguaglianze trigonometriche<br />
3 sin(x)<br />
2 + cos(x)<br />
tan(x) + 2 sin(x)<br />
< x < :<br />
3<br />
2