DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA Enrica Borghi, Leonardo ...

DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA
Enrica Borghi, Leonardo Colzani
Dipartimento di Matematica, Università di Milano - Bicocca
Edi…cio U5, via R.Cozzi 53, 20125 Milano, Italia
”Stimando di esserci occupati recentemente con qualche successo dell’antico
problema della quadratura del cerchio, il più celebre di tutti anche agli occhi di
quelli che non si intendono di Matematica, e avendo ottenuto alcuni risultati
migliori di quelli trovati …no ad oggi, almeno secondo noi, vogliamo comunicarli
ai Geometri insieme alle loro dimostrazioni...”
Questa è la prefazione del “De Circuli Magnitudine Inventa”, un trattato
del giovane Christiaan Huygens con 20 proposizioni, 14 teoremi e 4 problemi.
Qui vogliamo presentare l’enunciato di alcune proposizioni in quest’opera, con
qualche antefatto e postfatto. Il problema della quadratura del cerchio è di
determinare il rapporto tra circonferenza e diametro o, che è lo stesso, tra area
del cerchio e quadrato del raggio. La prima opera scienti…ca pervenutaci sul
calcolo di è la ”Misura del Cerchio” di Archimede di Siracusa (287-212 a.C.).
I poligoni regolari con n lati iscritti e circoscritti in una circonferenza di raggio
uno hanno perimetri P (n) = 2n sin( =n) e Q(n) = 2n tan( =n), si ha P (n) <
2 < Q(n) e più grande è il numero dei lati più stretta risulta la disuguaglianza.
Archimede osserva che Q(2n) è la media armonica tra P (n) e Q(n) e che P (2n)
è la media geometrica tra P (n) e Q(2n):
Q(2n) =
2Q(n)P (n)
Q(n) + P (n) ; P (2n) = p Q(2n)P (n):
In particolare, partendo da un esagono e raddoppiando ripetutamente i lati,
6 sin( =6) = 3;
12 sin( =12) = 6 p 2 p q
3;
24 sin( =24) = 12 2 p 2 + p r
3;
q
48 sin( =48) = 24 2 2 + p 2 + p 3;
s r q
96 sin( =96) = 48 2 2 + 2 + p 2 + p 3; :::
Per tutte queste radici Archimede trova delle approssimazioni razionali e
dalle stime di P (96) e Q(96) arriva alla proposizione:
”La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di
meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi.”
3; 140::: = 3 + 10=71 < < 3 + 1=7 = 3; 142:::
1

Per parecchi secoli dopo Archimede gli unici passi avanti nella quadratura del
cerchio si limitano all’utilizzo di poligoni con un numero crescente di lati, …no
ad arrivare a L. van Ceulen (1540-1610) che con 60 2 33 lati e tanta pazienza
calcola i primi venti decimali di , poi ne calcola trentacinque che vengono
inscritti sulla sua pietra tombale:
”Hic iacet sepultus Mr. Ludol¤ van Ceulen, professor belgicus dum viveret
mathematicarum scientiarum in athenaeo huius urbis, natus hildeshemia anno
1540 die XXVIII ianuarii et denatus XXXI decembris 1610, qui in vita sua
multo labore circumferentiae circuli proximam rationem ad diametrum invenit
sequentem: quando diameter est 100000000000000000000000000000000000 tunc
circuli circumferentia plus est quam 3141592653589793233846264338327950288
et minus quam 3141592653589793233846264338327950289.”
Dopo tanta fatica, ”requiescat in pace”. La di¢ coltà nella quadratura del cerchio
consiste nel cercare di stimare un arco di cerchio, storto ed intrinsecamente
di¢ cile da misurare, per mezzo di segmenti dritti esplicitamente misurabili,
come il seno ed il coseno. Il metodo di Archimede si basa sul fatto che un arco
di cerchio è compreso tra il seno e la tangente dell’angolo, sin(x) < x < tan(x).
Nella “De Mathematica Perfectione”del 1458 il Cardinale Nicola da Cusa (1401-
1464) propone un’approssimazione migliore:
”Il rapporto tra tre semidiametri e tre semidiametri meno una freccia è minore
del rapporto tra arco e corda.”
In un cerchio di raggio uno ad un arco 2x corrispondono una corda 2 sin(x)
ed una freccia 1 cos(x) e si ha la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x, che
è più stretta di sin(x) < x,
sin(x) <
3 sin(x)
< x:
2 + cos(x)
Ponendo x = =6 nell’uguaglianza approssimata x 3 sin(x)= (2 + cos(x))
Nicola da Cusa ottiene 18= 4 + p 3 = 3; 140:::, una approssimazione che
Archimede ottiene con poligoni di 96 lati. E conclude: ”Ora la scienza delle
corde emerge perfettamente fondata. La scienza della quadratura del cerchio
ha raggiunto il suo scopo”. Nel “Ciclometricus” del 1621 W.Snell (1580-1626)
propone analoghe approssimazioni:
”Se si prolunga il diametro di un cerchio di un segmento uguale al raggio e
dal punto estremo si traccia una retta che interseca la circonferenza, questa retta
intercetta sulla tangente al cerchio nell’altro estremo del diametro un segmento
minore dell’arco di circonferenza.”
”La retta dal punto di trisezione alla circonferenza determina sulla tangente
nell’altro estremo del diametro un segmento maggiore dell’arco tra retta e diametro.”
Questi enunciati si possono tradurre nelle disuguaglianze trigonometriche
3 sin(x)
2 + cos(x)
tan(x) + 2 sin(x)
< x < :
3
2

Con poligoni di 96 lati Archimede trova 2 decimali di , con queste disuguaglianze
e lo stesso numero di lati Snell ne trova 6. Con 60 2 33 lati van Ceulen
calcola 20 decimali di , con 2 30 lati Snell ne trova 34.
Archimede: sin(x) < x < tan(x):
Nicola da Cusa e Snell:
3 sin(x) tan(x) + 2 sin(x)
< x < :
2 + cos(x) 3
L’arco di cerchio ha lunghezza compresa tra il seno e la tangente.
La retta per ( 2; 0) e (cos(#); sin(#)) interseca la tangente x = 1
al cerchio x 2 + y 2 = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)) .
Invece la retta per ( 2 cos(#=3); 0) e (cos(#); sin(#)) interseca x = 1
nel punto di ordinata tan(#=3) + 2 sin(#=3). Quest’ultima costruzione
coincide con la trisezione dell’angolo attribuita ad Archimede. Nel
fascio di rette per (cos(#); sin(#)) , se il segmento tra prolungamento
del diametro e circonferenza ha lunghezza uno, la retta forma con
l’asse delle ascisse un angolo #=3.
Una dimostrazione rigorosa dei risultati di Snell viene data nel 1654 da
C.Huygens (1629-1695) nell’opera “De Circuli Magnitudine Inventa”. Questi
sono due teoremi di Huygens:
”La circonferenza di un cerchio è maggiore del perimetro di un poligono
equilatero iscritto più un terzo della di¤erenza tra i perimetri di questo poligono
e di un poligono inscritto con metà lati.”
”La circonferenza di un cerchio è minore dei due terzi del perimetro di un
poligono equilatero iscritto più un terzo del perimetro di un poligono simile circoscritto.”
Come applicazione di queste proposizioni, Huygens osserva che il perimetro
di un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio 10000 è 60000 ed il
perimetro di un dodecagono è circa 62116+1/2 ed un terzo della di¤erenza tra
i perimetri è 705+1/2, quindi il rapporto tra circonferenza e diametro è un
poco maggiore di 62822/20000=3,1411. Denotando con P (n) = 2n sin( =n)
e Q(n) = 2n tan( =n) i perimetri dei poligoni regolari con n lati inscritti e
circoscritti ad un cerchio di raggio uno, le proposizioni diventano
P (2n) + 1
3
2 1
(P (2n) P (n)) < 2 < P (n) +
3 3 Q(n):
3

E con x = =n questi enunciati si traducono nelle disuguaglianze trigonometriche
8 sin(x=2) sin(x) 2 sin(x) + tan(x)
< x < :
3
3
In altri risultati sulle medie proporzionali tra poligoni inscritti e circoscritti
Huygens dimostra che 3p Q(n)P 2 (n) > 2 , cioè x < sin(x)= 3p cos(x). In…ne, un
enunciato sui baricentri di segmenti di cerchio si traduce nelle disuguaglianze
4 sin(x) sin(x) cos(x)
3
< x < sin(x) 10 + 6 cos(x) cos2 (x)
6 + 9 cos(x)
Huygens dimostra questi risultati utilizzando esclusivamente la geometria
elementare, ma è più semplice e veloce dimostrarli con un po’ d’analisi. Per
esempio, per dimostrare la disuguaglianza sui baricentri, la più precisa tra quelle
presentate da Huygens, è su¢ ciente osservare che la funzione
si annulla in x = 0 ed è crescente,
d
dx
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
sin(x) 10 + 6 cos(x) cos 2 (x)
6 + 9 cos(x)
x
!
= 2 (1 + cos(x)) (1 cos(x))3
x
4 + 12 cos(x) + 9 cos 2 (x)
Un altro semplice modo per dimostrare queste disuguaglianze è suggerito da
I.Newton (1642-1727) nella sua corrispondenza con G.W.Leibniz (1646-1716)
del 13 Giugno 1676 e consiste nello sviluppare in serie di potenze le funzioni
interessate:
”Per trovare un’approssimazione di un arco con corda A e con B la corda
di metà arco, se z è l’arco e r il raggio del cerchio, allora A, il doppio del seno
della metà di z, e B sono
B = z
2
A = z
z 3
+
4 6r2 z3 +
2 16 6r2 z5 4 4 120r4 :::
z 5
2 16 16 120r 4 :::
Moltiplichiamo B per un numero …ttizio n, dal prodotto sottraiamo A, poi
poniamo uguale a zero il termine nz 3 = 2 16 6r 2 z 3 = 4 6r 2 . Da questo
risulta n = 8 e
8B A = 3z
3z5 + :::
64 120r4 Quindi z = (8B A) =3, con un errore per eccesso di solo z 5 =7680r 4 :::.
Questo è un teorema di Huygens.”
4
:
0:

Newton si occupa ancora del problema della quadratura del cerchio nel
“Metodo delle ‡ussioni e serie in…nite”, terminato nel 1671 ma pubblicato solo
nel 1736. Integrando tra 0 e 1/4 lo sviluppo in serie di y = p x x 2 ottiene
= 3; 1415926535897928:::, gli ultimi due decimali sono errati. “Ho vergogna
di confessare …no a quante cifre ho portato avanti questi calcoli, non avendo a
quel tempo nient’altro da fare. Allora mi compiacevo troppo in queste ricerche”.
Esistono molti metodi per calcolare la lunghezza di un cerchio, più e¢ cienti
dei poligoni inscritti e circoscritti. Comunque il metodo di Huygens per accelerare
la convergenza di una successione non è scomparso con il suo autore, ma è
stato più volte ripreso e generalizzato. L.F.Richardson (1881-1953) nell’articolo
“The deferred approach to the limit”, Philosophical Transactions Royal Society
of London 226 (1927) 201-299, osserva che se una certa quantità P è limite per
x ! 0 di una funzione f(x) con sviluppo asintotico
f(x) = P + Ax + Bx + Cx + :::;
con 0 < < < :::, allora f(y) approssima P meglio di f(x) se y < x,
ma è possibile ottenere un’approssimazione ancora migliore con una opportuna
combinazione lineare tra f(x) e f(y) che elimina la potenza ,
x f(y) y f(x)
x y
x y y x
= P + B
x y
x y y x
+ C
x y
+ ::::
In questo metodo si riconosce la dimostrazione di Newton dei teoremi di
Huygens ed osserviamo che per applicarlo non è necessario conoscere i coe¢ cienti
dello sviluppo asintotico, basta conoscerne gli esponenti.
Un altro metodo per accelerare la convergenza di una successione è dovuto a
Seki Kowa (1642-1708) che nel 1674, calcolati i perimetri dei poligoni inscritti in
un cerchio P 2 15 , P 2 16 , P 2 17 , ottiene dieci cifre decimali di utilizzando
la formula
P (2n) +
(P (2n) P (n)) (P (4n) P (2n))
(P (2n) P (n)) (P (4n) P (2n)) :
Il metodo è riscoperto da A.C.Aitken (1895-1967), “On Bernoulli’s numerical
solutions of algebraic equations”, Proceedings Royal Society of Edinburgh
46 (1926) 289-305, che suggerisce di associare ad una successione fx(n)g la
trasformata
1.
y(n) = x(n)
(x(n) x(n 1)) 2
x(n) 2x(n 1) + x(n 2) :
Se fx(n)g ! z anche fy(n)g ! z, ma più velocemente, (y(n) z) = (x(n) z)
Concludiamo con un confronto numerico tra questi metodi, ricordando che
è 3,1415926535.... Come suggerito da Newton, l’approssimazione di Archimede
P (n)=2 è dell’ordine di n 2 , mentre quella di Huygens (4P (2n) P (n)) =6
è dell’ordine di n 4 :
5

Archimede: n sin( =n) = +
6n2 8n sin( =2n) n sin( =n)
Huygens:
=
3
3
5
120n 4
5
+
480n4 7
+ :::
5040n6 7
16128n 6
Con poligoni di 6 2 n lati i metodi di Archimede, Huygens, Seki, generano
le successioni:
Archimede: x(n) = (6 2 n ) sin ( = (6 2 n )) :
4x(n) x(n 1)
Huygens: y(n) = :
3
(x(n) x(n 1))
Seki: z(n) = x(n)
2
x(n) 2x(n 1) + x(n 2) :
n = 0 1 2 3 4
x(n) = 3 3; 105828541::: 3; 132628613::: 3; 139350203::: 3; 141031950:::
y(n) = 3; 141104721::: 3; 141561970::: 3; 141590732::: 3; 141592533:::
z(n) = 3; 141717032::: 3; 141600361::: 3; 141593134:::
Le opere citate sono reperibili nel sito della Bibliothèque Nationale de France:
http://gallica.bnf.fr/.
6
:::

Christiaan Huygens
De Circuli Magnitudine Inventa
”Teorema 1: Se in un segmento di cerchio minore di metà cerchio si iscrive il
più grande triangolo possibile e similmente si iscrivono dei triangoli nei segmenti
restanti, il primo triangolo risulta minore del quadruplo della somma degli altri
due.”
”Teorema 2: Dato un segmento di cerchio minore di metà cerchio e sulla base
un triangolo con i due altri lati tangenti al segmento, tracciata una tangente
al segmento nella sua sommità, questa retta taglia nel triangolo un triangolo
maggiore della metà del più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento.”
”Teorema 3: Il rapporto tra un segmento di cerchio minore di metà cerchio
ed il più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento è più grande di
quattro a tre.”
”Teorema 4: Un segmento di cerchio minore di metà cerchio è minore dei
due terzi del triangolo con la stessa base ed i due altri lati tangenti al segmento.”
”Teorema 5: Un cerchio è maggiore di un poligono equilatero iscritto più
un terzo della di¤erenza tra questo poligono ed un poligono inscritto con metà
lati.”
”Teorema 6: Un cerchio è minore dei due terzi di un poligono equilatero
circoscritto più un terzo del poligono simile inscritto.”
”Teorema 7: La circonferenza di un cerchio è maggiore del perimetro di un
poligono equilatero iscritto più un terzo della di¤erenza tra i perimetri di questo
poligono e di un poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 8: Se all’estremità del diametro di un cerchio si traccia la tangente
e dall’estremità opposta si tira una retta che taglia il cerchio ed incontra la
tangente, i due terzi della tangente intercettata più un terzo della retta che a
partire del punto di intersezione cade ad angolo retto sul diametro sono maggiori
dell’arco tagliato adiacente.”
”Teorema 9: La circonferenza di un cerchio è minore dei due terzi del
perimetro di un poligono equilatero iscritto più un terzo del perimetro di un
poligono simile circoscritto.”
”Problema 1:Trovare il rapporto tra la circonferenza ed il diametro, quanto
si voglia vicino al vero.”
”Problema 2: Prendere una retta uguale alla circonferenza di un dato cerchio.”
”Problema 3: Prendere una retta uguale ad un arco qualsiasi.”
”Teorema 10: Il lato di un poligono equilatero iscritto in un cerchio è medio
proporzionale tra il lato del poligono simile circoscritto e la metà del lato del
poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 11: La circonferenza di un cerchio è minore della più piccola delle
due medie proporzionali tra i perimetri di poligoni regolari simili, uno inscritto
nel cerchio e l’altro circoscritto. E il cerchio è più piccolo del poligono simile a
questi, con perimetro uguale alla più grande delle medie.”
”Teorema 12: Se fra il prolungamento del diametro di un cerchio e la circonferenza
si pone una retta uguale al raggio, che prolungata taglia ancora il cerchio
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ed incontra la tangente ad esso nell’estremità opposta del diametro, questa retta
intercetta sulla tangente una parte più grande dell’arco adiacente formato.”
”Teorema 13: Se al diametro di un cerchio si aggiunge un semidiametro e
a partire dall’estremità della retta aggiunta si conduce una retta che taglia il
cerchio incontrando la tangente al cerchio nell’estremità opposta del diametro,
questa retta intercetta sulla tangente una parte più piccola dell’arco adiacente
formato.”
”Teorema 14: Il centro di gravità di un segmento di cerchio divide il diametro
del segmento in modo tale che la parte al vertice è più grande dell’altra e minore
una volta e mezzo dell’altra.”
”Teorema 15: Un segmento di cerchio minore di un semicerchio sta al triangolo
massimo inscritto in un rapporto più grande di quattro a tre, ma più
piccolo del rapporto tra tre ed un terzo del diametro del segmento restante ed il
diametro del cerchio con il triplo della retta dal centro del cerchio alla base del
segmento.”
”Teorema 16: Un arco qualunque, più piccolo di una semicirconfernza, è più
grande della corda sottesa aumentata di un terzo della di¤erenza tra la corda ed
il seno. Ma un tale arco è minore della corda più la retta che sta al detto terzo
come il quadruplo della corda più il seno sta al doppio della corda più il triplo
del seno.”
”Problema 4: Trovare il rapporto tra la circonferenza e il diametro e, per
mezzo di corde date inscritte in un cerchio, trovare la lunghezza degli archi ai
quali esse sono sottese.
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