Da Archimede a Cavalieri - Liceo Scientifico Galilei
Da Archimede a Cavalieri - Liceo Scientifico Galilei
Da Archimede a Cavalieri - Liceo Scientifico Galilei
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
da <strong>Archimede</strong><br />
a <strong>Cavalieri</strong>…<br />
Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università di Catania<br />
Aula Magna<br />
16/01/2013<br />
Dorotea Jacona<br />
L.S. “G.<strong>Galilei</strong>”- Catania<br />
16/01/2013 Premio <strong>Archimede</strong> 1
EUCLIDE (300 a.C.)<br />
“Elementi”<br />
La geometria diventa<br />
una scienza razionale.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 2
IL METODO DEDUTTIVO<br />
Vantaggi:<br />
•controllo dei risultati ottenuti con<br />
l’esperienza o intuiti con l’immaginazione,<br />
• generalizzazione.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 3
ARCHIMEDE<br />
(287-212 a.C.)<br />
Figlio dell’astronomo Fidia, nacque a Siracusa<br />
e fu educato ad Alessandria dove compì i suoi<br />
studi con i continuatori di Euclide. Tornato a<br />
Siracusa mantenne contatti con matematici<br />
alessandrini, i cui nomi figurano nelle dediche<br />
di alcune sue opere. I suoi studi abbracciarono<br />
vasti campi della scienza, la sua fama è legata<br />
alle scoperte in campo geometrico e meccanico.<br />
A Siracusa diresse importanti lavori portuali,<br />
navali e militari, partecipò alla difesa della città<br />
assediata dai romani; durante il saccheggio<br />
della città venne ucciso da un soldato romano.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 4
Morte di <strong>Archimede</strong><br />
Μάλιστα δὲ τὸ Ἀρχιμήδους πάθος ἠνίασε Μάρκελλον. ἔτυχε<br />
μὲν γὰρ αὐτός τι καθ' ἑαυτὸν ἀνασκοπῶν ἐπὶ διαγράμματος,<br />
καὶ τῇ θεωρίᾳ δεδωκὼς ἅμα τήν τε διάνοιαν καὶ τὴν<br />
πρόσοψιν, οὐ προῄσθετο τὴν καταδρομὴν τῶν Ῥωμαίων<br />
οὐδὲ τὴν ἅλωσιν τῆς πόλεως· ἄφνω δ' ἐπιστάντος αὐτῷ<br />
στρατιώτου καὶ κελεύοντος ἀκολουθεῖν πρὸς Μάρκελλον,<br />
οὐκ ἐβούλετο πρὶν ἢ τελέσαι τὸ πρόβλημα……<br />
Plutarco, Vita di Marcello<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 5
Cicerone scopre la tomba di <strong>Archimede</strong><br />
Non ego iam cum huius vita, qua taetrius miserius<br />
detestabilius escogitare nihil possum, Platonis aut Archytae<br />
vitam comparabo, doctorum hominum et plane sapientium:<br />
ex eadem urbe humilem homunculum a pulvere et radio<br />
excitabo, qui multis annis post fuit, <strong>Archimede</strong>m. Cuius ego<br />
quaestor ignoratum ab Syracusanis, cum esse omnino<br />
negarent, saeptum undique et vestitum vepribus et dumetis<br />
indagavi sepulcrum. Tenebam enim quosdam senariolos,<br />
quos in eius monumento esse inscriptos acceperam, qui<br />
declarabant in summo sepulcro sphaeram esse positam cum<br />
cylindro.<br />
Cicerone, Tusculanae Disputationes, 5. XXIII<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 6
OPERE<br />
Gran parte delle opere di <strong>Archimede</strong><br />
sono note,pervenendo sino a noi in<br />
forma originale o tradotte in latino o in<br />
arabo, ricordiamo :<br />
Dell’equilibrio dei piani,<br />
Sui corpi galleggianti,<br />
Sulla misura del cerchio,<br />
Sulle spirali,<br />
Quadratura della parabola,<br />
L’arenario, Il metodo.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 7
<strong>Archimede</strong> grande matematico<br />
e fisico, ma anche filosofo con<br />
una concezione organica<br />
dell’Universo<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 8
…infrange il divieto Platonico di<br />
legare meccanica e geometria<br />
…per descrive la spirale si serve<br />
della meccanica, superando<br />
l’antica prescrizione platonica che<br />
limitava alla riga e al compasso gli<br />
strumenti di lavoro dei matematici<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 9
SPIRALE DI ARCHIMEDE<br />
Essa si genera quando un punto P si muove a velocità uniforme<br />
v su un'asta, che a sua volta ruota uniformemente attorno a un<br />
suo punto O, con velocità angolare w.<br />
Spirale in coordinate<br />
polari<br />
R =a<br />
Utilizzata da <strong>Archimede</strong> per:<br />
trisezione dell’angolo, quadratura del cerchio (non con riga e compasso)<br />
Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, dimostro la non risolvibilità di tali problemi con riga e compasso.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 10
LA COCLEA<br />
La spirale è simbolo della rivoluzione dinamica<br />
operata da <strong>Archimede</strong>: la coclea ne è una sua<br />
applicazione.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 11
CURVE MECCANICHE<br />
La concoide di Nicomede.<br />
La cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè<br />
che è fatto da un cerchio) è la curva tracciata da un punto fisso su una<br />
circonferenza che rotola lungo una retta; in pratica il disegno composto<br />
da un punto su una ruota di bicicletta in movimento.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 12
ARCHIMEDE<br />
•SCOPRITORE<br />
•COSTRUTTORE<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 13
SCOPRI’ LA MISURA DI:<br />
AREA:<br />
•SEGMENTO<br />
PARABOLICO<br />
•SFERA<br />
•SEGMENTO<br />
SFERICO<br />
•ELLISSE<br />
VOLUME:<br />
•SFERA<br />
•IPERBOLOIDE<br />
•PARABOLOIDE<br />
•ELLISSOIDE<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 14
Nei suoi trattati <strong>Archimede</strong> fornisce<br />
dimostrazioni formali , ma fino al secolo<br />
scorso molti matematici non riuscivano<br />
a capire il modo in cui era giunto a tali<br />
risultati; si sospettava che Egli avesse<br />
voluto tenere nascosto il “trucco” in<br />
modo da aver maggior consenso fra i<br />
posteri.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 15
….I SUOI TRATTATI NOTI<br />
FORNIVANO SOLO UNA<br />
DIMOSTRAZIONE TEORICA<br />
DEI RISULTATI<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 16
Area del segmento parabolico<br />
metodo di esaustione<br />
E<br />
T T T<br />
P T .. <br />
2 n<br />
4 4 4<br />
T T T 1 T<br />
T .. *<br />
2 n<br />
4 4 4 3 4<br />
P= area segm. parab.<br />
T= area triang.(ABC)<br />
T’=A(AFB)+A(BEC)= T<br />
4<br />
n1<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 17<br />
<br />
4<br />
3<br />
T<br />
1
METODO DI ESAUSTIONE<br />
Si basa sul postulato di Eudosso:<br />
<strong>Da</strong>te due grandezze omogenee A,B , con A B cioè un multiplo di A maggiore<br />
diB.<br />
E’ un metodo dimostrativo rigoroso si basa :<br />
•su un’argomentazione indiretta (doppia riduzione<br />
all’assurdo)<br />
•su costruzioni puramente finite.<br />
Si utilizza nel caso si conosca già il risultato.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 18
Argomentazione indiretta<br />
(doppia riduzione all’assurdo)<br />
Per dimostrare che A=B,si dimostra che:<br />
non può essere<br />
né A>B, né A
Costruzioni puramente finite...<br />
In tale metodo sono evidenti le origini<br />
del calcolo infinitesimale.<br />
I matematici greci si erano accorti<br />
della necessità di procedimenti<br />
infiniti ma provavano una tale<br />
diffidenza nei confronti dell’infinito<br />
da compiere qualunque sforzo pur di<br />
evitarlo.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 20
Storia del palinsesto 1906<br />
Il codice pergamenaceo contenente alcune opere di<br />
<strong>Archimede</strong> fu scritto durante la prima metà del X secolo,<br />
probabilmente a Costantinopoli. Nel1908 il filologo Johan<br />
Ludvig Heiberg esaminò il palinsesto scoprendovi opere<br />
di <strong>Archimede</strong> ancora leggibili. La notizia fece<br />
immediatamente il giro del mondo destando subito<br />
stupore in quanto Heiberg aveva scoperto anche un'opera<br />
di <strong>Archimede</strong> sconosciuta ossia Il metodo. Il palinsesto fu<br />
poi sottratto dalla biblioteca del Santo Sepolcro finendo a<br />
Parigi nella collezione di un privato, ricevendo nel<br />
frattempo molti danni, la perdita di alcuni fogli e persino<br />
la copertura di quattro pagine con false miniature antiche.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 21
Nel 1998 il palinsesto fu venduto<br />
all'asta presso Christie's e<br />
acquistato da un anonimo<br />
americano. <strong>Da</strong> allora è iniziato un<br />
lungo lavoro di recupero del testo<br />
delle opere archimedee con l'uso di<br />
moderne tecniche di rilevazione<br />
con i raggi X e luce di sincrotrone.<br />
Tali tecniche stanno permettendo di<br />
leggere porzioni di testo rimaste<br />
inaccessibili a Heiberg.<br />
Il Palinsesto attualmente è custodito<br />
presso il Walters Art Museum di<br />
Baltimora, in attesa che si completi<br />
il suo restauro.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 22
Svelato il mistero…<br />
<strong>Archimede</strong><br />
TROVA IL RISULTATO PER VIA<br />
SPERIMENTALE<br />
DIMOSTRA<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 23
METODO MECCANICO<br />
Nel XVII secolo si parlava di una “<br />
via segreta” di <strong>Archimede</strong>,nel 1906<br />
si scopre che tale via consiste<br />
nell’utilizzo di concetti di<br />
meccanica, quali la leva in<br />
equilibrio, la posizione del<br />
baricentro,che lo avevano portato a<br />
fare la maggior parte delle sue<br />
scoperte matematiche. <strong>Archimede</strong><br />
sceglie opportunamente le figure, di<br />
area e baricentro noti, da<br />
confrontare con quelle “ ignote”<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 24
AREA SEGMENTO PARABOLICO<br />
metodo meccanico<br />
1 4<br />
seg( ABC)<br />
T ( AFC ) T ( ABC).<br />
3 3<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 25
<strong>Archimede</strong> immagina le aree del seg. di parabola ABC e del triangolo<br />
AFC formate dalla totalità di un insieme di parallele al lato AF, quali<br />
OP per la parabola e OM per il triangolo. Se si collocasse in H<br />
(HK=KC) un seg. uguale ad OP, farebbe equilibrio a OM collocato<br />
dov’è ora con K fulcro (per la proprietà della parabola: OM:<br />
OP=AC:AO OM*x=OP*a in cui si ravvisa la legge della leva).<br />
Pertanto l'area della parabola se collocata con il centro di gravità in H,<br />
farà equilibrio al triangolo AFC il cui baricentro si trova su KC ad 1/3<br />
da K.<br />
Per cui:<br />
1 4<br />
seg( ABC)<br />
T ( AFC)<br />
T ( ABC).<br />
3 3<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 26
2/3<br />
SFERA<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 27
H<br />
METODO SUI TEOREMI MECCANICI<br />
VOLUME DELLA SFERA.<br />
A<br />
P<br />
S<br />
R<br />
N<br />
M<br />
O<br />
E<br />
F<br />
H’<br />
NS=r1 ,PS=r2 , RS=r3<br />
( Ar2+Ar3):Ar1= AS:HA<br />
(Vsfera+Vcono):Vcil=H’A:OA<br />
1<br />
Vsfera+Vcono= Vcil<br />
2<br />
1 1<br />
Vsfera= Vcil- Vcono= Vcil<br />
2<br />
6<br />
Vcil=8r2 3 4<br />
Vsfera= r2 3<br />
3<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 28
VOLUME DELLA SFERA<br />
1/2<br />
1<br />
1/2Vcil= Vsf +Vcono<br />
Vsf=1/6Vcil<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 29<br />
+<br />
+
INTUIZIONE E RIGORE IN<br />
FASE EURISTICA<br />
FASE DIMOSTRATIVA<br />
ARCHIMEDE<br />
METODO MECCANICO<br />
(intuitivo)<br />
METODO DI<br />
ESAUSTIONE<br />
( rigoroso)<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 30
.. il vero scopo dell’opera il Metodo, dove <strong>Archimede</strong> illustra<br />
come era arrivato ad alcuni dei suoi risultati, era l’annuncio<br />
di un nuovo risultato sulla misura del volume del bicilindro<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 31
Bicilindro<br />
2/3<br />
Bicilindro, intersezione di due cilindri uguali incastrati<br />
perpendicolarmente l'uno all'altro, ha un volume pari a due terzi di<br />
quello del cubo che lo contiene. La sorpresa sta nel fatto che il<br />
bicilindro e un solido curvilineo,mentre il cubo e un solido rettilineo:<br />
il risultato è dunque una vera e propria «cubatura», analoga a quella<br />
del segmento di una parabola, ottenuta dallo stesso <strong>Archimede</strong>, in cui<br />
l'area individuata dal segmento unitario e pari a due terzi di quella<br />
del rettangolo che lo contiene.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 32
Solido di Steinmetz<br />
2/3<br />
Nel secolo scorso, due millenni più tardi<br />
Charles Steinmetz (1865-1923) completò il<br />
risultato di <strong>Archimede</strong>, trovando che lo stesso<br />
rapporto sussiste anche fra le superfici del<br />
bicilindro e del cubo.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 33
Osservatorio astronomico: intersezione di<br />
più cilindri uguali e con assi complanari<br />
LEGAME FRA GEOMETRIA E<br />
ARCHITETTURA<br />
Volte a crociera rinascimentali<br />
nella loggia del Palazzo della<br />
Ragione di Vicenza<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 34
SOLIDI ARCHIMEDEI<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 35
<strong>Da</strong>l Libro V delle Collezioni matematiche, opera di Pappo<br />
(320), si conosce della scoperta di <strong>Archimede</strong> dei tredici<br />
poliedri semiregolari, noti come "solidi archimedei”. Mentre<br />
un poliedro regolare ha facce che sono poligoni regolari dello<br />
stesso tipo un solido semiregolare è un poliedro convesso le<br />
cui facce sono poligoni regolari, ma non tutti dello stesso<br />
tipo.<br />
Es. se dagli otto angoli di un cubo di lato a tagliamo via<br />
tetraedri con lati si ottiene un solido archimedeo,<br />
cubo troncato, formato da otto triangoli equilateri e da sei<br />
ottagoni regolari.<br />
SOLIDI SEMIREGOLARI<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 36
L’icosaedro troncato<br />
Si ottiene troncando le 12 cuspidi dell'icosaedro.<br />
32 facce: 20 esagoni e 12 pentagoni,<br />
90 spigoli<br />
60 vertici, nei quali concorrono due esagoni e<br />
un pentagono.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 37
La molecola C60 (Fullerene)<br />
Una nuova forma di carbonio, la molecola C60, ricostruita nel<br />
settembre del 1985 da un gruppo di scienziati formato dai chimici<br />
americani Robert F. Curl e Richard E. Smalley, assieme al loro<br />
collega inglese Sir Harold W. Kroto.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 38
Il nome fullerene fa riferimento alla somiglianza<br />
con le cupole geodetiche predilette<br />
dall'architetto Richard Buckminster Fuller<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 39
ARCHIMEDE E IL METODO DI<br />
ESAUSTIONE<br />
• NON DEFINISCE L’AREA<br />
• L’AREA E’ ASSUNTA COME CONCETTO<br />
PRIMITIVO<br />
• ARRIVA AD UNA CONCLUSIONE DOPO UN<br />
NUMERO GRANDE QUANTO SI VUOLE MA<br />
FINITO DI OPERAZIONI CIOE’ OPERA CON<br />
GRANDEZZE FINITE.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 40
CRITICHE AL METODO DI<br />
ESAUSTIONE.<br />
• NON CONSENTE DI DARE UNA<br />
DEFINIZIONE NOMINALE DELSOGGETTO<br />
• NON CONSENTE DI CALCOLARE IN MODO<br />
DIRETTO IL VALORE DI TALE SOGGETTO.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 41
PERCHE’?<br />
I MATEMATICI E I FILOSOFI GRECI<br />
EVITAVANO DI AVVENTURARSI<br />
FORMALMENTE SULL’INSIDIOSA<br />
STRADA DELL’INFINITO E DELLO ZERO,<br />
RICORRENDO A RAGIONARE PER<br />
ASSURDO, O A PROCEDIMENTI<br />
LABORIOSI E TALVOLTA OSCURI.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 42
LA MATEMATICA GRECA<br />
RIFIUTA L’INFINITO ATTUALE E<br />
ACCETTA L’INFINITO<br />
POTENZIALE.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 43
DOPO 2000 ANNI...<br />
IL CALCOLO DEI LIMITI E LA DEFINIZIONE DI<br />
LIMITE( WEIERSTRASS,1870 CIRCA) PERMETTONO:<br />
•DI DARE UNA DEFINIZIONE RIGOROSA DEL<br />
SOGGETTO<br />
•DI OTTENERE IN MODO SEMPLICE E DIRETTO IL<br />
VALORE DEL SOGGETTO.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 44
Infatti….<br />
Nel caso del segmento parabolico possiamo,<br />
definirlo:<br />
P<br />
<br />
e calcolarlo:<br />
n<br />
lim n<br />
i1<br />
T<br />
i<br />
mediante la serie geometrica di ragione<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 45<br />
1<br />
4
RINASCIMENTO<br />
La fama che accompagnò <strong>Archimede</strong> in vita<br />
trovò eco nei secoli successivi grazie agli elogi<br />
che scrittori greci e romani fanno delle sue<br />
scoperte scientifiche e delle sue invenzioni.<br />
Durante il Rinascimento al risvegliarsi dello<br />
spirito di ricerca e dell’amore per le opere<br />
dell’antichità classica , Maurolico e<br />
Commandino tradussero in latino le principali<br />
opere di <strong>Archimede</strong>, Apollonio, Pappo<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 46
Nel XVI secolo<br />
Dopo la pubblicazione delle opere di<br />
<strong>Archimede</strong> in latino (seconda metà del ‘500),<br />
nel secolo successivo vi fu sempre un<br />
maggiore interesse per il suo pensiero e i suoi<br />
metodi e le sue tecniche.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 47
BONAVENTURA CAVALIERI<br />
( 1598-1647)<br />
Discepolo di <strong>Galilei</strong> era membro<br />
dell’ordine religioso dei Gesuati,<br />
visse a Milano e a Roma prima di<br />
diventare professore di matematica<br />
a Bologna nel 1629. Nel 1632<br />
pubblicò “Directorium universale<br />
uranometricum”,tavole di<br />
seni,tang,secanti con i loro<br />
logaritmi.la sua fama è legata a uno<br />
dei libri più importanti dell’età<br />
moderna “Geometria indivisibilibus<br />
continuorum”.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 48
“Geometria indivisibilibus<br />
continuorum”.<br />
Le idee su cui si basava il libro<br />
erano,essenzialmente,quelle di Oresme, Keplero e<br />
<strong>Galilei</strong>:un’area può essere considerata come somma<br />
di indivisibili lineari; un volume, analogamente, da<br />
somme di indivisibili piani.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 49
Nelle pagine introduttive….<br />
“Geometria indivisibilibus<br />
continuorum”.<br />
<strong>Cavalieri</strong>, così spiega, come sia<br />
giunto a definire questo suo<br />
nuovo metodo.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 50
“Meditando dunque un giorno sulla generazione dei<br />
solidi,che sono originati da una rivoluzione intorno a<br />
un asse, e confrontando il rapporto delle figure piane<br />
generatrici con quello dei solidi generati, mi stupivo in<br />
verità moltissimo del fatto che le figure generate<br />
tralignassero a tal punto dalla condizione dei loro<br />
genitori,da mostrar di seguire un rapporto<br />
completamente diverso dal loro.Per esempio un<br />
cilindro, che sia ottenuto insieme ad un cono, della<br />
stessa base, per rotazione attorno ad un medesimo<br />
asse,è il triplo di esso mentre nasce per rivoluzione da<br />
un parallelogramma doppio del triangolo che genera<br />
detto cono.”……<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 51
….“Quando poi,prendendo in considerazione i<br />
centri di gravità delle figure piane,e solide,mi<br />
imbattei in una consimile diversità, il mio<br />
stupore aumentò ancora; nel cono infatti il<br />
centro di gravità è sull’asse, e dista la quarta<br />
parte di esso, mentre nel triangolo che genera il<br />
cono stesso è ancora sull’asse, ma è distante<br />
dalla base della terza parte dell’asse….<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 52
….“Ma dopo aver considerato la cosa un poco più<br />
profondamente, pervenni finalmente a questa<br />
opinione , e precisamente che per la nostra faccenda<br />
dovessero prendersi piani non intersecantisi tra di<br />
loro ma paralleli”. ”.(Bonaventura <strong>Cavalieri</strong>)<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 53
PRINCIPIO DI CAVALIERI<br />
“Se due solidi si possono collocare in modo tale<br />
che tutti i piani paralleli a un piano dato<br />
intersechino sui due solidi figure di egual area,<br />
allora hanno lo stesso volume”.<br />
Tale enunciato benché dimostrabile ,anche con l’analisi, è<br />
tuttora presentato come principio( assioma) per la sua<br />
evidenza intuitiva<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 54
<strong>Cavalieri</strong> afferma che:<br />
Il rapporto dell’insieme di tutte le linee di<br />
una figura e l’insieme di tutte le linee di<br />
un’altra figura è lo stesso rapporto che si<br />
stabilisce fra le figure stesse.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 55
A condizione che si sappia<br />
costruire una corrispondenza<br />
univoca e reciproca tra quegli<br />
elementi.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 56
REGULA COMMUNIS<br />
L’idea essenziale è quella di confrontare due figure piane ( o<br />
solide) paragonando gli indivisibili di queste figure, che sono<br />
i segmenti (o piani) tagliati da un piano parallelo ad un piano<br />
dato, chiamato regula.<br />
Il fondamento di questo metodo è il seguente:”le grandezze<br />
continue verificano la stessa proporzione dei loro<br />
indivisibili”<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 57
Metodo degli indivisibili<br />
(parallelogramma e triangolo)<br />
<strong>Cavalieri</strong> insiste sulla necessità di<br />
mettere in rapporto solo gli elementi<br />
omologhi delle figure.<br />
HE e NH non si corrispondono<br />
HE e BM si corrispondono perché<br />
alla stessa distanza dai vertici<br />
la loro uguaglianza comporta<br />
l’uguaglianza dei due triangoli,allora:<br />
A(tr) = A(par)<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 58<br />
1<br />
2
CAVALIERI E ARCHIMEDE<br />
<strong>Cavalieri</strong> ritiene il metodo degli<br />
indivisibili superiore a quello di<br />
esaustione, infatti egli era critico<br />
riguardo la dimostrazione per assurdo<br />
e il ragionare su casi particolari.<br />
Al contrario il metodo degli<br />
indivisibili consentiva dimostrazioni<br />
costruttive, che permettono di dedurre<br />
rapidamente il risultato e la scoperta<br />
della verità e una maggiore<br />
generalizzazione.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 59
<strong>Archimede</strong><br />
287 -212 A.C.<br />
Dell’equilibrio dei piani,<br />
Sui corpi galleggianti,<br />
Sulla misura del cerchio,<br />
Sulle spirali,<br />
Quadratura della parabola,<br />
L’arenario,<br />
Il metodo<br />
Maurolico<br />
Commandino<br />
1494-1575<br />
1509-1575<br />
Traduzioni in latinodel<br />
le principali opere di<br />
<strong>Archimede</strong>, Apollonio,<br />
Pappo<br />
L’eco di <strong>Archimede</strong><br />
Bonaventura<br />
<strong>Cavalieri</strong><br />
1598-1647<br />
“Geometria indivisibilibus<br />
continuorum”<br />
Heiberg<br />
1906<br />
Il lavoro Il metodo,<br />
perduto almeno dal<br />
Medioevo, fu letto per<br />
la prima volta nel<br />
famoso palinsesto<br />
trovato da Heiberg nel<br />
1906, poi perduto e<br />
ritrovato nel 1998.<br />
Esso consente di<br />
penetrare nei<br />
procedimenti usati da<br />
<strong>Archimede</strong> nelle sue<br />
ricerche<br />
1952<br />
<strong>Archimede</strong> esordisce in Paperino<br />
e l'amuleto del cugino Gastone,<br />
edita in Italia sul 45 di Topolino,<br />
in USA sul 140 di Walt Disney's<br />
Comics and Stories del Maggio<br />
1952 (col titolo di Gladstone's<br />
Terrible Secret), deve il suo nome<br />
molto probabilmente a Guido<br />
Martina, che volle omaggiare<br />
tanto il filosofo e matematico<br />
greco Pitagora, quanto il<br />
matematico e fisico siciliano<br />
<strong>Archimede</strong>.<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong><br />
60
<strong>Archimede</strong><br />
Pitagorico<br />
<strong>Archimede</strong> esordisce in<br />
Paperino e l'amuleto del<br />
cugino Gastone, edita in Italia<br />
sul 45 di Topolino, in USA sul<br />
140 di Walt Disney's Comics<br />
and Stories del Maggio 1952<br />
(col titolo di Gladstone's<br />
Terrible Secret), deve il suo<br />
nome a Guido Martina, che<br />
volle omaggiare tanto il<br />
filosofo e matematico greco<br />
Pitagora, quanto il matematico<br />
e fisico siciliano <strong>Archimede</strong>.<br />
<strong>Archimede</strong> vive in modo assai sobrio nella<br />
sua casa-laboratorio, dove regna un caos<br />
generale. Malgrado la sua genialità possa<br />
probabilmente consentirgli un'esistenza<br />
più agiata, non è interessato al denaro, ma<br />
solo e unicamente alla ricerca e alle<br />
scoperte scientifiche<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 61
Grazie e buon<br />
lavoro..!!<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 62
BIBLIOGRAFIA<br />
Carl B.Boyer- Storia della matematica - Mondadori<br />
Giorgio T.Bagni -Storia della matematica -Pitagora<br />
Radice-Proia- Il metodo matematico -Principato<br />
Speranza -Scritti di epistemologia della m. -Pitagora<br />
Oriolo-Coda-Tess- Mathematica- Mondadori<br />
Pier Giorgio Oddifreddi Due terzi attraverso i millenni<br />
Storia di un rapporto tra numeri interi protagonista della matematica. E non solo..<br />
www.history.mcs.st-and.ac.uk /history<br />
Prof.ssa D.Jacona Premio <strong>Archimede</strong> 63