LE CONICHE

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Seconda definizione di Parabola : come uguaglianza di distanze
Sia t la retta generatrice uscente dal vertice V e passante per P. Questa interseca λ1 in L , λ2 in P e
λ3 in I. I punti di λ1, di λ2 e di λ3 si è detto sono equidistanti dal vertice V , si possono quindi
scrivere le seguenti congruenze :
VT = VL = VW , VR = VI = VS e VB = VP = VC
Poiché somma o differenza di segmenti congruenti sono congruenti , si possono scrivere anche
VB – VT = VP – VL = VC – VW : cioè BT = PL = CW
Si considerino i segmenti PL e PF , essi sono segmenti di tangenza condotti da P alla sfera C 11 ,
pertanto sono congruenti: PL = PF. Per la proprietà transitiva della congruenza si può affermare che
BT = PF
Si considerino i triangoli TEA e TVW, questi sono simili, per avere due angoli ordinatamente congruenti:
ETA = VTW perché opposti al vertice, TEA = VWT perché alterni interni di rette parallele g
e b tagliate dalla trasversale la retta sostegno di T e W. Ora il triangolo TVW è isoscele sulla base
TW, quindi anche TEA è isoscele sulla base TE : EA = TA. Si considerino i triangoli TEA e BAN
per analogo ragionamento avendo due angoli congruenti sono simili ed essendo TEA isoscele anche
BAN è isoscele sulla base BN; pertanto si può affermare che AB = AN. Si consideri il segmento
BT, esso può essere decomposto in somma di segmenti: BT = BA + AT, ma BA = AN e AT = AE,
sostituendo si ha AN + AE = BT, da cui NE = BT e per la proprietà transitiva della congruenza
NE = PF
Si tracci da P sul piano π la perpendicolare alla retta d e sia G il suo piede. Il quadrilatero PNEG
avendo i lati a due paralleli e gli angoli retti è un rettangolo e pertanto PG = NE. Sempre per la
proprietà transitiva si ha:
PF = PG
Dove PG e la distanza del punto P dalla retta d: PG = d ( P , d ), sostituendo
7) PF = d ( P , d )
Questa relazione geometrica possiamo accettarla come proprietà dei punti P di Γ, anzi essa
introduce la conica come luogo geometrico piano: cioè
Def . 21 ) Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti P del piano π tale che la distanza di P
da un punto fisso ( F ) sia uguale alla distanza di P da una retta fissa ( d )
Si trasformi anche in questo caso l’equazione del luogo, scegliendo opportuni parametri ed
incognite.
Si consideri il triangolo rettangolo PFN e si applichi il teorema di Pitagora: PF 2 = FN 2 + PN 2 .
Posto AN = x , PN = y e AF =
relazione 7) si ha l’equazione
= +
, si ha FN = − e d( P , d ) = + . Sostituendo nella
−
2
+ = +
2 )