LE CONICHE
LE CONICHE LE CONICHE
252 4) Le coniche si intersecano in quattro punti di cui tre coincidenti M = N = P e M ≠ Q, in questo caso le coniche hanno un contato tripunto: cioè sono tangenti e si attraversano nel punto coincidente. 5) Le coniche si intersecano in quattro punti tutte e quattro coincidenti M=N=P=Q, le coniche sono tangenti con un contatto quadruplo La conoscenza a priori di questi punti base con le loro reciproche posizioni permette di individuare le coniche degeneri presenti nel fascio e quindi di sfruttarle per determinare mediante opportune composizioni l’equazione del fascio di coniche. Così riferendoci alla successione dei punti si ha che nel caso 1) Le coniche spezzate o degenere sono tre e precisamente sono le tre coppie di rette che è possibile costruire: r1( M , N) , r2(M,P), r3 ( M,Q ), r4(N , P ) , r5( N, Q) , r6 ( P , Q ). Una possibile combinazione potrebbe essere ∙ + ∙ = 0 2) Le coniche spezzate o degenere sono due e precisamente la retta tangente t ( M ) con r1(P,Q ) e r2(M,P) con r3(M, Q) La combinazione è ∙ + ∙ = 0 3) Le coniche spezzate o degenere sono due e precisamente la t1( M) con t2( P) e la retta r (M,P ) contata due volte . La combinazione è ∙ + () = 0 4) Le coniche spezzate è una e precisamente la t(M) contata due volte , la retta r ( M , Q ) serve di appoggio . La combinazione è () + ∙ = 0 5) Le coniche del fascio presentano una sola conica degenere nella retta tangente in t(M) contata due volte: La combinazione è (, ) + () = 0 Con f(x,y) l’equazione della conica particolare del fascio nota che ha un contatto quadripunto con la tangente t in M. Per ogni caso facciamo un esempio: 1) Determinare il fascio di coniche passanti per i punti M(0 ; 3) , N (4 ; 0 ) , P ( 0 ; -3 ) e Q ( -2 ; 0 ) e calcolare i valori del parametro k combinatorio per cui le coniche del fascio siano ellissi, iperboli o parabole. Risoluzione Consideriamo due coppie di rette , che si possono formare coi quattro punti: e , precisamente r1(M ; N ) ≡ 3x + 4y - 12 = 0 ; r6(P ; Q ) ≡ 3x + 2y +6 = 0
3(M ; Q ) ≡ 3x - 2y + 6 = 0 ; r4(N ; P ) ≡ 3x - 4y - 12 = 0 Siano Г1 ≡ (3x + 4y – 12)( 3x + 2y +6) = 0 → 9 + 18 + 8 − 18 − 72 = 0 e Г2 ≡ (3x - 2y + 6)( 3x - 4y -12) = 0 → 9 − 18 + 8 − 18 − 72 = 0 le due coniche spezzate o degeneri ; operiamo una composizione lineare fra queste ed otteniamo il fascio di coniche: Φ ≡ Г1 + k Г2 = (9 + 18 + 8 − 18 − 72) + k (9 − 18 + 8 − 18 − 72) = 0 Da cui moltiplicando e raccogliendo si ha l’equazione normale del fascio di coniche 9( + 1) + 18(1 − ) + 8(1 + ) − 18(1 + ) - 72(1 + ) = 0 Discutiamo la natura delle coniche, studiando il discriminante del trinomio di secondo grado: - Se ∆ > 0 : 81(1 − ) − 72(1 + ) >0 , cioè k< 17 - 12√2 ∪ k > 17 + 12√2, allora le coniche del fascio sono delle iperboli - Se ∆ < 0 : 81(1 − ) − 72(1 + ) 0 : 9( − 1) − 8(1 + 2) > 0 , cioè k< √ allora le coniche del fascio sono delle iperboli ∪ k > √ , 253
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3(M ; Q ) ≡ 3x - 2y + 6 = 0 ; r4(N ; P ) ≡ 3x - 4y - 12 = 0<br />
Siano Г1 ≡ (3x + 4y – 12)( 3x + 2y +6) = 0 → 9 + 18 + 8 − 18 − 72 = 0<br />
e Г2 ≡ (3x - 2y + 6)( 3x - 4y -12) = 0 → 9 − 18 + 8 − 18 − 72 = 0 le due<br />
coniche spezzate o degeneri ; operiamo una composizione lineare fra queste ed otteniamo il<br />
fascio di coniche:<br />
Φ ≡ Г1 + k Г2 = (9 + 18 + 8 − 18 − 72) + k (9 − 18 + 8 − 18 − 72) = 0<br />
Da cui moltiplicando e raccogliendo si ha l’equazione normale del fascio di coniche<br />
9( + 1) + 18(1 − ) + 8(1 + ) − 18(1 + ) - 72(1 + ) = 0<br />
Discutiamo la natura delle coniche, studiando il discriminante del trinomio di secondo<br />
grado:<br />
- Se ∆<br />
> 0 : 81(1 − ) − 72(1 + ) >0 , cioè k< 17 - 12√2 ∪ k > 17 + 12√2,<br />
allora le coniche del fascio sono delle iperboli<br />
- Se ∆<br />
< 0 : 81(1 − ) − 72(1 + ) 0 : 9( − 1) − 8(1 + 2) > 0 , cioè k< √<br />
allora le coniche del fascio sono delle iperboli<br />
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∪ k > √<br />
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