Matematica e architettura - Alexis Carrel

La cicloide (dal greco kykloeidés, kýklos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto da un cerchio) è la
curva tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta senza strisciare.
Questo tipo di cicloide viene detta
ordinaria mentre, se il punto P non si
trova sulla circonferenza, si parla di
cicloide accorciata quando il punto è
interno, di cicloide allungata se il punto
è al di fuori della circonferenza.
Equazione parametrica
Per l’equazione la definizione stessa suggerisce di arrivare ad esprimere le
coordinate di un punto della cicloide in funzione di un parametro: perché il
raggio R del disco è assegnato, il parametro sarà un angolo legato alla
rotazione.
Rispetto al sistema di riferimento in figura l’equazione parametrica
risulterà essere:
x
y
R
R
Rsen
R cos
Se si fa variare la distanza h di P rispetto al centro del disco si ha in generale:
x
y
R
R
hsen
hcos
Essa rappresenta l’equazione della cicloide ordinaria se h = R, della cicloide accorciata se h < R e della
cicloide allungata se h > R.
Equazione cartesiana
Alla semplicità delle equazioni parametriche si contrappone la più complessa equazione cartesiana
ottenuta eliminando il parametro:
Proprietà
•l´area sottostante un ramo di cicloide è tre volte l´area del cerchio usato per generarla ovvero
•la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro usato per descriverla
•la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal greco brachistos=più corto e
chronos=tempo): infatti essa è la curva su cui una massa che scivola impiega meno tempo
per percorrere il tragitto fra due punti dati.
•una scodella di forma cicloidale è tautocrona (dal greco tauto=identico e
chronos=tempo), poichè uguali oggetti,quali sferette, posti a varie altezze del recipiente
raggiungeranno il fondo nello stesso tempo.
•la cicloide ha la proprietà brachistocrona (dal greco brachistos=più corto e chronos=tempo): infatti essa è
la curva su cui una massa che scivola impiega meno tempo per percorrere il tragitto fra due punti dati.
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