Matematica e architettura - Alexis Carrel

La Catenaria
Definizione
La catenaria è una particolare curva iperbolica, il cui andamento è quello caratteristico di una fune
omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere,
soggetta soltanto al proprio peso.
Il primo ad occuparsi della catenaria fu Galileo Galilei, nel 1638,
pensando erroneamente che la forma di una fune appesa per i suoi
estremi e sotto la forza di gravità fosse una parabola. Huygens affermò
che ciò non era corretto e dimostrò, servendosi soprattutto di
ragionamenti fisici, che se il peso totale della corda e dei carichi che vi
sono sospesi è distribuito uniformemente e in direzione orizzontale
allora la curva è una parabola. Per la catenaria, invece, il peso è
distribuito uniformemente lungo il cavo.
Equazione cartesiana
Nel 1691 quasi contemporaneamente Huygens, Leibniz e i
fratello Bernulli dimostrarono che tale curva non è una curva
algebrica determinandone la sua equazione cartesiana:
y= a/2 (e x/a + e -x/a )
dove a è la distanza della curva dall’ asse delle ascisse.
Nel caso più semplice, ossia quello in cui a è uguale a 1, l’equazione diventa :
y= 1/2 (e x + e -x )
È semplice disegnare, in modo approssimato, tale grafico come media algebrica di due funzioni
esponenziali semplici: y = e x e y = e -x .
Si ottiene così la curva disegnata nella figura sotto.
La catenaria e la parabola
La catenaria dunque non è una parabola in quanto si ottiene partendo dalla funzione esponenziale che
è trascendente. Però dalla parabola è possibile descrivere geometricamente la catenaria: traslando e
ruotando la parabola lungo una retta, il fuoco della conica descrive come traiettoria una catenaria.
Eulero trovò che la superficie laterale del solido di rotazione
generato da una catenaria che ruota attorno all´asse, la
catenoide, è la superficie minima tra due circonferenze della
stessa grandezza. La superficie di rotazione della catenaria è
l´unica superficie di rotazione, insieme al piano, ad essere
superficie minima; questo si può vedere immergendo in una
vasca piena di acqua e sapone due circonferenze uguali
distanziate: la bolla di sapone che si formerà si disporrà per
avere superficie minima e questa avrà proprio la forma di una
catenoide.
9