analisi della performance di un portafoglio ... - Marco Marchioro
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dove è equivalente a e è il risk free <strong>di</strong>sco<strong>un</strong>t factor. Si osservi che<br />
quest’ultimo è possibile utilizzarlo in quanto la quantità presa in prestito al tempo<br />
è investita giornalmente nel mercato monetario al tasso privo <strong>di</strong> rischio.<br />
Sapendo che, alla scadenza del contratto futures, si ha che è<br />
possibile esprimere l’equazione (4.11) come:<br />
e, generalizzando, come:<br />
(4.14)<br />
(4.15)<br />
L’equazione (4.15) è valida per qual<strong>un</strong>que stato dell’economia e, <strong>di</strong> conseguenza,<br />
ammette anche tassi <strong>di</strong> interesse stocastici 39 . Ponendo<br />
in<strong>di</strong>cando con esso il valore stocastico del tasso <strong>di</strong> interesse risk free, e<br />
introducendo le aspettative rispetto alla misura neutrale al rischio 40 , la (4.15)<br />
assume la forma seguente:<br />
Partendo dalla (4.16) è possibile effettuare i seguenti passaggi:<br />
(4.16)<br />
(4.17)<br />
(4.18)<br />
Il passaggio dalla (4.17) alla (4.18) è imme<strong>di</strong>ato se si considera che ,<br />
ossia il prezzo del forward con scadenza è pari all’aspettativa del valore che il<br />
prezzo spot assumerà in , e che .<br />
Si ottiene infine la seguente formula:<br />
(4.19)<br />
dove rappresenta la volatilità dell’asset sottostante, la volatilità del tasso <strong>di</strong><br />
interesse e la correlazione tra il prezzo dell’asset sottostante e il tasso <strong>di</strong><br />
interesse.<br />
39 Tassi <strong>di</strong> interesse variabili nel tempo secondo processi aleatori.<br />
40 Con misura neutrale al rischio si intende <strong>un</strong>a misura <strong>di</strong> probabilità, quin<strong>di</strong> <strong>un</strong>a f<strong>un</strong>zione che<br />
assegna a determinati esiti (in questo caso <strong>di</strong>versi tassi <strong>di</strong> interesse e <strong>di</strong>versi prezzi spot a<br />
scadenza) <strong>un</strong>a certa probabilità <strong>di</strong> realizzazione, sotto la quale il prezzo <strong>di</strong> non arbitraggio <strong>di</strong><br />
<strong>un</strong>’attività finanziaria è pari al suo valore atteso futuro scontato al tasso privo <strong>di</strong> rischio.<br />
La misura neutrale al rischio è altresì nota come misura a martingala equivalente.<br />
,<br />
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