analisi della performance di un portafoglio ... - Marco Marchioro

dove è equivalente a e è il risk free discount factor. Si osservi che
quest’ultimo è possibile utilizzarlo in quanto la quantità presa in prestito al tempo
è investita giornalmente nel mercato monetario al tasso privo di rischio.
Sapendo che, alla scadenza del contratto futures, si ha che è
possibile esprimere l’equazione (4.11) come:
e, generalizzando, come:
(4.14)
(4.15)
L’equazione (4.15) è valida per qualunque stato dell’economia e, di conseguenza,
ammette anche tassi di interesse stocastici 39 . Ponendo
indicando con esso il valore stocastico del tasso di interesse risk free, e
introducendo le aspettative rispetto alla misura neutrale al rischio 40 , la (4.15)
assume la forma seguente:
Partendo dalla (4.16) è possibile effettuare i seguenti passaggi:
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Il passaggio dalla (4.17) alla (4.18) è immediato se si considera che ,
ossia il prezzo del forward con scadenza è pari all’aspettativa del valore che il
prezzo spot assumerà in , e che .
Si ottiene infine la seguente formula:
(4.19)
dove rappresenta la volatilità dell’asset sottostante, la volatilità del tasso di
interesse e la correlazione tra il prezzo dell’asset sottostante e il tasso di
interesse.
39 Tassi di interesse variabili nel tempo secondo processi aleatori.
40 Con misura neutrale al rischio si intende una misura di probabilità, quindi una funzione che
assegna a determinati esiti (in questo caso diversi tassi di interesse e diversi prezzi spot a
scadenza) una certa probabilità di realizzazione, sotto la quale il prezzo di non arbitraggio di
un’attività finanziaria è pari al suo valore atteso futuro scontato al tasso privo di rischio.
La misura neutrale al rischio è altresì nota come misura a martingala equivalente.
,
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