La retta nel piano cartesiano - Liceo Varchi
La retta nel piano cartesiano - Liceo Varchi La retta nel piano cartesiano - Liceo Varchi
) Consideriamo le due rette in figura: Se considero l’equazione: - retta - 22 r : y = 2x ⇒ 2x − y = 0 s : y = 2x + 3 ⇒ 2x − y + 3 = 0 k ( 2x − y) + 2x − y + 3 = 0 ⇒ 2 ( k + 1) x − ( k + 1) y + 3 = 0 al variare di k (con k ≠ −1) ottengo rette parallele ad r e s . Si tratta quindi di un fascio di rette parallele (m=2) in cui k = 0 ⇒ s k = ∞ ⇒ r r e s sono le “generatrici” del fascio. Problema Considera il fascio k ( 2x − y) + x + y − 6 = 0 . 1. Determina per quale valore di k si ottiene la retta parallela all’asse x e per quale valore di k si ottiene la retta parallela all’asse y. Se sviluppiamo l’equazione data del fascio otteniamo ( 2k + 1) x + ( 1 − k) y − 6 = 0 . Quindi avremo 1 una retta parallela all’asse x se 2k + 1 = 0 ⇒ k = − 2 una retta parallela all’asse y se 1 − k = 0 ⇒ k = 1 2. Determina per quale valore di k si ottiene la retta passante per P(4;5). Basterà sostituire le coordinate del punto nell’equazione del fascio: k ( 2 ⋅ 4 − 5) + 4 + 5 − 6 = 0 ⇒ 3k + 3 = 0 ⇒ k = −1 3. Determina per quale valore di k si ottiene una retta parallela alla bisettrice del I-III quadrante. 2k + 1 Poiché il coefficiente angolare delle rette del fascio risulta m = dovrà essere k −1 2k + 1 = 1 ⇒ 2k + 1 = k −1 ⇒ k = −2 k −1
- retta - 4. Determina per quali valori di k si ottengono rette che intersecano il segmento AB in figura. k A k B : k( 2 ⋅ 2 − 2) + 2 + 2 − 6 = 0 ⇒ 2k = 2 ⇒ k = 1 : k( 2 ⋅ 5 − 3) + 5 + 3 − 6 = 0 ⇒ 7k = −2 ⇒ k = − 2 Quindi se − ≤ k ≤ 1 le rette intersecano il segmento. 7 23 2 7 A(2;2) B(5;3) Nota Se il segmento AB interseca la retta generatrice corrispondente a k = ∞ occorre fare attenzione. Se per esempio A(2;2) B(0;3): k B : k( −3) + 3 − 6 = 0 ⇒ −3k = 3 ⇒ k = −1 Le rette che intersecano il segmento AB si avranno, in questo caso, per k ≤ −1∪ k ≥ 1 (osserva come aumentano i valori di k ).
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) Consideriamo le due rette in figura:<br />
Se considero l’equazione:<br />
- <strong>retta</strong> -<br />
22<br />
r : y = 2x<br />
⇒ 2x<br />
− y = 0<br />
s : y = 2x<br />
+ 3 ⇒ 2x<br />
− y + 3 = 0<br />
k ( 2x<br />
− y)<br />
+ 2x<br />
− y + 3 = 0 ⇒ 2 ( k + 1)<br />
x − ( k + 1)<br />
y + 3 = 0<br />
al variare di k (con k ≠ −1)<br />
ottengo rette parallele ad r e s .<br />
Si tratta quindi di un fascio di rette parallele (m=2) in cui<br />
k = 0 ⇒ s<br />
k = ∞ ⇒ r<br />
r e s sono le “generatrici” del fascio.<br />
Problema<br />
Considera il fascio k ( 2x<br />
− y)<br />
+ x + y − 6 = 0 .<br />
1. Determina per quale valore di k si ottiene la <strong>retta</strong> parallela all’asse x e per quale valore di k si<br />
ottiene la <strong>retta</strong> parallela all’asse y.<br />
Se sviluppiamo l’equazione data del fascio otteniamo ( 2k<br />
+ 1)<br />
x + ( 1 − k)<br />
y − 6 = 0 .<br />
Quindi avremo<br />
1<br />
una <strong>retta</strong> parallela all’asse x se 2k + 1 = 0 ⇒ k = −<br />
2<br />
una <strong>retta</strong> parallela all’asse y se 1 − k = 0 ⇒ k = 1<br />
2. Determina per quale valore di k si ottiene la <strong>retta</strong> passante per P(4;5).<br />
Basterà sostituire le coordinate del punto <strong>nel</strong>l’equazione del fascio:<br />
k ( 2 ⋅ 4 − 5)<br />
+ 4 + 5 − 6 = 0 ⇒ 3k<br />
+ 3 = 0 ⇒ k = −1<br />
3. Determina per quale valore di k si ottiene una <strong>retta</strong> parallela alla bisettrice del I-III quadrante.<br />
2k<br />
+ 1<br />
Poiché il coefficiente angolare delle rette del fascio risulta m = dovrà essere<br />
k −1<br />
2k<br />
+ 1<br />
= 1 ⇒ 2k<br />
+ 1 = k −1<br />
⇒ k = −2<br />
k −1
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