La retta nel piano cartesiano - Liceo Varchi

Distanza di un punto P da una retta r
- retta -
In molti casi è utile conoscere la distanza di un punto P da una retta r.
Potremo tracciare la retta per P perpendicolare ad r, trovare il punto H di intersezione con r e poi
calcolare la distanza HP . Questo procedimento risulta piuttosto lungo.
Vogliamo dimostrare che se
r : ax + by + c = 0 ( o; o ) y x P
d(
P,
r)
=
1. Cominciamo con il considerare P ( 0;
0)
Consideriamo il triangolo
si ottiene
13
ax
o
+ by
a
2
o
+ b
+ c
2
r : ax + by + c = 0
c
A( 0;
− )
b
c
B( − ; 0)
a
Δ
APB : PH è l’altezza relativa all’ipotenusa e quindi poiché
c
b
c
a
c ( a + b
a b
2 2 2 2 2
AB = + 2 2 =
2 2 =
2
a +
PH
PA⋅
PB
= =
AB
c
ab
c
b
⋅
⋅
a
c
a
)
c
ab
c
2 2
2 2 a b
2. Se P ≠ ( 0;
0)
possiamo traslare il sistema di riferimento portando l’origine in P.
+ b
=
+
b
2