Algoritmi di Inferenza per il Calcolo Proposizionale

Algoritmi di Inferenza per il Calcolo
Proposizionale
Antonino Freno
freno@dii.unisi.it
Corso di Intelligenza Artificiale – A.A. 2008/2009

Clausole di Horn (I)
◮ Una clausola di Horn è una disgiunzione di letterali di cui al
massimo uno è positivo;
◮ Esempi: ¬α ∨ ¬β ∨ γ è una clausola di Horn, mentre
¬α ∨ β ∨ γ non lo è;
◮ Caratteristiche:
◮ Qualunque clausola di Horn può essere riscritta come
un’implicazione in cui l’antecedente è una congiunzione di
letterali positivi, e il conseguente è un singolo letterale positivo;
◮ Inferenza con le clausole di Horn si può fare con gli algoritmi di
forward chaining e backward chaining;
◮ Il tempo necessario a decidere un’implicazione rispetto a una
base di conoscenza in clausole di Horn cresce solo linearmente
con le dimensioni della base.

Clausole di Horn (II)
◮ Una clausola che contiene esattamente un letterale positivo si
chiama ‘clausola definita’. Il letterale positivo forma la testa
della clausola, e i letterali rimanenti formano il corpo;
◮ Una clausola definita priva di letterali negativi si chiama
‘fatto’;
◮ Le clausole definite sono la base della programmazione logica;
◮ Una clausola di Horn che sia priva di letterali positivi si
chiama ‘vincolo di integrità’.

Forward Chaining

Forward Chaining: Esempio
◮ Base di conoscenza:
◮ Regole: P ⇒ Q, L ∧ M ⇒ P, B ∧ L ⇒ M, A ∧ P ⇒ L,
A ∧ B ⇒ L;
◮ Fatti: A, B;
◮ Query: Q;
◮ Derivazione:
1. L
2. M
3. P
4. Q

Forward Chaining: Validità e completezza
◮ Validità: ogni inferenza è semplicemente un’applicazione del
modus ponens (⇒ E);
◮ Completezza:
◮ Consideriamo il momento in cui l’algoritmo ha raggiunto un
punto fisso (quando nessun’altra inferenza è possibile);
◮ Supponiamo che ci sia un atomo α derivabile dalla base di
conoscenza, ma non derivato dall’algoritmo;
◮ Se α è derivabile, allora ci sarà una regola del tipo
β1 ∧ . . . ∧ βn ⇒ α, dove i letterali β1, . . . , βn sono tutti veri;
◮ La possibilità che β1, . . .,βn siano veri e α non sia stato
derivato dall’algoritmo contraddice l’ipotesi che l’algoritmo
abbia raggiunto un punto fisso, perchè in questo caso dovrebbe
aver derivato anche α!

Backward Chaining
◮ La strategia di backward chaining lavora ‘all’indietro’ anzichè
‘in avanti’;
◮ L’idea è di partire dai goal anzichè dalle premesse, e di
generare via via i fatti che abbiamo bisogno di provare per
derivare la conclusione che ci interessa;
◮ Il backward chaining di solito è più parsimonioso del forward
chaining, perchè si limita a lavorare sui fatti che sono
strettamente rilevanti per la conclusione. E’ usato nell’ambito
del planning;
◮ In pratica, strategie miste forward-backward possono essere
usate nel modo che conviene di più.

Forma normale congiuntiva
◮ Qualunque FBF può essere ridotta ad una FBF in forma
canonica, detta ‘forma normale congiuntiva’ (FNC). Una FBF
φ è in FNC se φ = (ψ11 ∨ ... ∨ ψ1l ) ∧ ... ∧ (ψn1 ∨ ... ∨ ψnm),
cioè se φ è una congiunzione di disgiunzioni di letterali.
◮ Per ridurre una qualunque FBF a FNC, usiamo la seguente
procedura:
1. Eliminiamo ⇔ usando ⇒ e ∧;
2. Eliminiamo ⇒ usando ¬ e ∨;
3. Spostiamo ¬ verso l’interno ogni volta che ¬ è davanti a una
proposizione complessa;
4. Distribuiamo ∨ su ∧ ogni volta che è possibile.

Forma normale congiuntiva: Esempio (I)
◮ (α ∧ (α ⇒ β)) ⇒ (α ∧ β)
1. ¬(α ∧ (α ⇒ β)) ∨ (α ∧ β)
2. ¬(α ∧ (¬α ∨ β)) ∨ (α ∧ β)
3. ¬α ∨ ¬(¬α ∨ β) ∨ (α ∧ β)
4. (¬α ∨ (α ∧ ¬β)) ∨ (α ∧ β)
5. ((¬α ∨ α) ∧ (¬α ∨ ¬β)) ∨ (α ∧ β)
6. ((α ∧ β) ∨ (¬α ∨ α)) ∧ ((α ∧ β) ∨ (¬α ∨ ¬β))
7. (α ∨ ¬α ∨ α) ∧ (α ∨ ¬α ∨ β) ∧ (¬α ∨ ¬β ∨ α) ∧ (¬α ∨ ¬β ∨ β)

Forma normale congiuntiva: Esempio (II)
◮ (((α ∧ β) ⇒ γ) ∧ (β ⇒ α) ∧ β) ⇒ γ
1. ((¬(α ∧ β) ∨ γ) ∧ (¬β ∨ α) ∧ β) ⇒ γ
2. ((¬α ∨ ¬β ∨ γ) ∧ (¬β ∨ α) ∧ β) ⇒ γ
3. ¬((¬α ∨ ¬β ∨ γ) ∧ (¬β ∨ α) ∧ β) ∨ γ
4. ¬(¬α ∨ ¬β ∨ γ) ∨ ¬(¬β ∨ α) ∨ ¬β ∨ γ
5. (α ∧ β ∧ ¬γ) ∨ (β ∧ ¬α) ∨ ¬β ∨ γ
6. (((α ∧ β ∧ ¬γ) ∨ β) ∧ ((α ∧ β ∧ ¬γ) ∨ ¬α)) ∨ ¬β ∨ γ
7. ((β ∨ α) ∧ (β ∨ β) ∧ (β ∨ ¬γ) ∧ (¬α ∨ α) ∧ (¬α ∨ β) ∧ (¬α ∨
¬γ)) ∨ ¬β ∨ γ
8. ((¬ ∨ β ∨ α) ∧ (¬β ∨ β) ∧ (¬β ∨ β ∨ ¬γ) ∧ (¬β ∨ ¬α ∨ α) ∧
(¬β ∨ ¬α ∨ β) ∧ (¬β ∨ ¬α ∨ ¬γ)) ∨ γ
9. (γ ∨ ¬ ∨ β ∨ α) ∧ (γ ∨ ¬β ∨ β) ∧ (γ ∨ ¬β ∨ β ∨ ¬γ) ∧ (γ ∨
¬β ∨ ¬α ∨ α) ∧ (γ ∨ ¬β ∨ ¬α ∨ β) ∧ (γ ∨ ¬β ∨ ¬α ∨ ¬γ)

Regola di risoluzione
◮ Risoluzione unitaria:
α1 ∨ . . . ∨ αn
α1 ∨ . . . ∨ αi−1 ∨ αi+1 ∨ . . . ∨ αn
dove αi e β sono dei letterali complementari, cioè hanno la
forma p e ¬p (o viceversa).
◮ Risoluzione generalizzata:
α1 ∨ . . . ∨ αm
β
β1 ∨ . . . ∨ βn
α1 ∨ . . . ∨ αi−1 ∨ αi+1 ∨ . . . ∨ αm ∨ β1 ∨ . . . ∨ βj−1 ∨ βj+1 ∨ . . . ∨ βn
dove αi e βj sono dei letterali complementari. Restrizione: il
risultato della risoluzione deve contenere soltanto una copia di
ciascun letterale.

Validità della regola di risoluzione
◮ Consideriamo il caso:
φ ∨ α ψ ∨ ¬α
φ ∨ ψ
dove φ = α1 ∨ ... ∨ αm e ψ = β1 ∨ ... ∨ βn.
◮ Ci sono due possibilità:
◮ Se α è vero, ¬α è falso, quindi ψ è vero, ed è vero anche φ ∨ψ;
◮ Se α è falso, φ è vero, quindi è vero anche φ ∨ ψ.
◮ In entrambi i casi, φ ∨ ψ è garantito.

Algoritmo di risoluzione

Completezza della regola di risoluzione
◮ Dato un insieme Σ di FBF, la chiusura rispetto alla risoluzione
di Σ è l’insieme RC(Σ) di tutte le FBF derivabili da Σ tramite
applicazione ricorsiva della regola di risoluzione;
◮ Se Σ è ricavato da un insieme finito di simboli primitivi
p1,... ,pn, RC(Σ) è sempre finito (in quanto non accettiamo
letterali ripetuti dentro ciascuna clausola). Questo garantisce
che l’algoritmo di risoluzione termini sempre;
◮ Ground resolution theorem. Se un insieme Σ di clausole
non è soddisfacibile, allora RC(Σ) contiene la clausola vuota.

L’algoritmo di Davis-Putnam-Logemann-Loveland (I)
◮ E’ un algoritmo per la verifica della soddisfacibilità;
◮ L’input è un enunciato in FNC, e l’idea di base è di enumerare
tutti i possibili modelli;
◮ Rispetto ad un’enumerazione a forza bruta, si introducono tre
miglioramenti:
1. Terminazione rapida;
2. Euristica dei simboli puri;
3. Euristica delle clausole unitarie.

L’algoritmo di Davis-Putnam-Logemann-Loveland (II)
◮ Terminazione rapida. Se un’enunciato si scopre
necessariamente vero (o falso) anche quando il modello è solo
parzialmente specificato, l’algoritmo si arresta senza
completare il modello;
◮ Euristica dei simboli puri. Un simbolo è puro se ha lo stesso
segno in tutte le clausole. Se l’enunciato in FNC ha un
modello, allora ha anche un modello in cui tutti i simboli puri
ricevono il valore che rende il loro letterale vero;
◮ Euristica delle clausole unitarie. Una clausola è unitaria se
contiene un solo letterale. Le clausole unitarie forzano
l’assegnazione di un certo valore sul simbolo che contengono,
per cui è conveniente elaborarle prima di enumerare modelli
alternativi (‘propagazione di unità’).

L’algoritmo di Davis-Putnam-Logemann-Loveland (III)

L’algoritmo WalkSAT (I)

L’algoritmo WalkSAT (II)
◮ Vantaggi: semplice da implementare, minimo consumo di
memoria, può funzionare bene per scopi pratici;
◮ Svantaggi: WalkSAT non può essere usato per il
theorem-proving in senso stretto. Se WalkSAT restituisce una
soluzione, allora il nostro insieme di clausole è soddisfacibile,
ma se WalkSAT fallisce, non possiamo concludere che non sia
soddisfacibile. In altre parole: se un modello (per il nostro
insieme di clausole) esiste, WalkSAT ha una certa probabilità
di trovarlo, ma WalkSAT non può verificare che un modello
non esiste.

L’algoritmo GSAT
◮ GSAT è un altro algoritmo di ricerca locale per il
soddisfacimento di insiemi di clausole;
◮ GSAT è quasi uguale a WalkSAT, eccetto che non si usa il
parametro probabilistico p di WalkSAT, ma si opera sempre in
modo greedy. In altre parole, presa una clausola falsa, si
apporta sempre la modifica che massimizza il numero di
clausole soddisfatte dall’assegnazione di verità ottenuta;
◮ Il problema dei minimi locali si affronta lanciano l’algoritmo
più volte, partendo ogni volta da un’assegnazione casuale
diversa.

Importanza della soddisfacibilità
◮ Il problema della soddisfacibilità delle formule booleane è
NP-completo (Cook 1971);
◮ Vari importanti problemi si riducono alla soddisfacibilità di
formule booleane (puzzle di Sam Loyd, clique, knapsack, ...).