Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica - Cm-physmath.net

Revisione
nov. 2012
Un modello strutturale della
Goniometria Iperbolica
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series

Ipparco (~190 a. C. - ~120 a. C.)
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 1

Introduzione
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 2
La struttura delle Goniometrie Piane
Lo scopo di queste note sintetiche e informali (e, per questo, forse, poco coerenti) è il tentativo di un confronto tra la
Goniometria Circolare – generalmente nota dall’esperienza scolastica superiore – e quella cosiddetta Iperbolica (un
po’ meno consueta), cercando di cogliere analogie strutturali e rappresentazioni ‘parallele’ basate su un approccio
unificato ai concetti – diversificati per ciascuna – di angolo normalizzato e di grado radiante. Comunque, il tema della
Goniometria Iperbolica resta il filo conduttore.
____________________
Siano ξ e ρ , semirette uscenti da uno stesso punto ordinario, il polo, nel piano euclideo E , ξ di riferimento e ρ , il
raggio vettore, di direzione variabile rispetto a quella di ξ .
Si assuma, come definizione primitiva di angolo (piano) orientato, il sotto-insieme illimitato di E compreso tra le
due semirette (i lati dell’angolo), generata ruotando ρ , vincolata al polo, anti-orariamente ( + ) od orariamente ( −) a
partire dalla configurazione di sovrapposizione con ξ (angolo di misura, o ampiezza, nulla).
Si definisce settore angolare il sotto-insieme di angolo piano che contiene il polo e che sottende un arco γ di sezione
conica centrata nel polo. L’arco γ è chiamato il supporto (finito) dell’angolo.
Poiché il polo è un punto euclideo ordinario, un tale supporto non può essere un ramo di parabola, avendo, questa, il
centro all’infinito, ma solo un ramo di ellisse o di iperbole (coniche a-centro).
Per ragioni complessive di consistenza e di semplicità, γ è scelto normomorfo, i.e.,
● è rappresentato dall’equazione cartesiana ristretta di una conica a-centro in forma canonica;
● ha il semi-asse focale, X + , coincidente con la semiretta ξ di riferimento angolare e i segmenti coniugati di
simmetria congruenti tra loro;
● γ è percorribile con continuità, simmetricamente rispetto a X + , ed è generalmente regolare.
Ne segue che un supporto ellittico normomorfo è un arco di circonferenza, γ ≡ C , mentre un supporto iperbolico
+
normomorfo è un arco del ramo destro di un’iperbole equilatera, γ ≡ H .
Tali supporti angolari corrispondono alle sole due possibili goniometrie in E , quella circolare e quella iperbolicoequilatera
(per brevità, iperbolica).
Tutti gli angoli in E sono associabili a una goniometria circolare ma non tutti a una goniometria iperbolica. La
ragione di ciò è geometricamente evidente: il supporto circolare C può includere qualsiasi direzione del raggio
+
vettore mentre il supporto iperbolico H può includere, al più, un angolo asintoticamente retto ( ∈ ( − 45° , 45 ° ) )
+
rispetto alla semiretta ξ ≡ X di riferimento.
In coerenza con la definizione primitiva di angolo come sotto-insieme (illimitato) del piano E , l’ampiezza operativa
di un angolo si definisce normalizzando – i.e., riducendo al finito – l’area del settore angolare – sia circolare sia
iperbolico – vs. l’area ( / ) a ⋅a ≡ a /
2
+
1 2 2 , essendo a ∈ RRRR la distanza del polo dal punto di intersezione tra γ e X +
+
(i.e., o la misura del raggio di γ ≡ C o l’ascissa del vertice di γ ≡ H ).
Pertanto, si assegna convenzionalmente l’area normalizzata /
a 2 2 all’ampiezza di 1 grado radiante, circolare (1 rad)
o, rispettivamente, iperbolico (1 radh).
■

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 3
GONIOMETRIA CIRCOLARE (non-normalizzata)
Dall’equazione del supporto circolare massimale C di raggio a , v. Fig. 1,
2 2 2
x + y = a ,
si individuano i punti A ≡ ( a ; 0 ) e P ≡ ( x ; y) : = ( a cosϕ ; a sinϕ)
≡ ( OH ; PH ) .
La similitudine OAT OHP implica la proporzione AT : PH = OA : OH ; da questa, passando
AT a
alle misure dei lati, si scrive = , i.e., AT
a sinϕ a cosϕ
sinϕ
= a : = a tanϕ
≡ a ( y/ x)
.
cosϕ
−1
Quindi, poiché T ≡ ( a ; a tanϕ)
, ϕ = tan ( y/ x)
, si deducono tutte le identità della Goniometria
Circolare sia diretta che inversa.
Fig. 1
Ampiezza ϕ del settore circolare
OAP di area K C
Si definisca, in mediante la funzione tan −1 ,
Dall’Eq. (1), risulta che,
K C
−1
ϕ : = ≡ tan ( y/ x)
. (1)
2
a / 2
il grado radiante circolare, rad, è l’unità di misura operativa dell’ampiezza ϕ di un angolo al
centro di C . 1 rad è congruente a un settore circolare di area = a /
2 KC 2 .
Pertanto, l’unità rad è riferita, direttamente\inversamente alle funzioni goniometriche circolari
inverse\dirette ( tan, cos , etc.
−1
−1
). Ad esempio, con la scrittura ϕ = cos u , si intende che il valore
ϕ è espresso in gradi radianti circolari.

Consistentemente con l’Eq. (1), si giustifica il calcolo classico
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 4
K C = area del triangolo OHP + area del semi-segmento circolare HAP
1 a 1
a
2 2 1/ 2
= | xy | + ∫ | y( t) | dt = | xy | + ( a − t ) dt
2 x 2 ∫ x
1 1
a
2 2 1/ 2 2 −1
= | xy | + ( t ( a − t ) + a sin ( t/ a)
)
2 2
x
2 2
a π x a a cosϕ
= | xy |
1
2
− | xy |
1
2
2 2
a a
= ϕ ≡ tan
2 2
⎛ −1 ⎞
−1⎛ ⎞
+ ⎜ − sin ⎟ ≡ cos ⎜ ⎟
2 ⎝ 2 a ⎠ 2 ⎝ a ⎠
−1
( y/ x)
. (2)
■

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 5
GONIOMETRIA IPERBOLICA (non-normalizzata)
Dall’equazione algebrica di 2.o grado
con a
massimale
+
∈ RRRR , si esplicita la restrizione
2 2 2
x − y = a ,
x = ( y + a )
/
2 2 1 2 , rappresentativa del supporto iperbolico
+
H (v. Fig. 2), soggetta, in RRRR , alla condizione y < x . Su
punti A ≡ ( a ; 0 ) e P ≡ ( x ; y) : = ( a coshη; a sinhη)
≡ ( OH ; PH ) , con η ≡ POH ˆ .
+
H , si individuano i
L’introduzione dei simboli cosh , sinh e di quelli dedotti successivamente (tanh , cosh −1 , etc.) va
intesa, per ora, in senso formale, motivata unicamente da una ricerca di analogia con le funzioni
goniometriche circolari ma ignorando le connessioni fondamentali esprimibili, come si vedrà,
attraverso le funzioni esponenziali e η ±
η ֏ .
La similitudine OAT OHP implica la proporzione AT : PH = OA : OH : da questa, passando
AT a
alle misure dei lati, si scrive = , i.e., AT
a sinhη a coshη
sinhη
= a : = a tanhη
≡ a ( y/ x)
.
coshη
Segue che T
−1
≡ ( a; a tanhη)
e η = tanh ( y/ x)
.
Fig. 2
Ampiezza η del settore iperbolico OAP di area ΩΩΩΩ H
Si definisca, mediante la funzione tanh −1 ,
Dall’Eq. (3), risulta che
Ω H
−1
η : = ≡ tanh ( y/ x)
. (3)
2
a / 2

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 6
il grado radiante iperbolico, radh, è l’unità di misura operativa dell’ampiezza η di un angolo
al centro OAP ˆ
+
di H . 1 radh è congruente a un settore iperbolico di area Ω = a /
2 2 .
Pertanto, l’unità radh è riferita, direttamente\inversamente alle funzioni goniometriche iperboliche
inverse\dirette ( cosh , csch −1 −1
, etc.). Ad esempio, con la scrittura η = csch u , si intende che il
valore η è espresso in gradi radianti iperbolici.
Consistentemente con l’Eq. (3), nel semipiano [ a, + ∞ ) × Y , si giustifica il calcolo classico
Ω H = area del triangolo OHP − area del semi-segmento iperbolico PAH
1 x 1
a
2 2 1/ 2
= x | y| − ∫ | y( t) | dt = x| y| − ( t − a ) dt
2 a 2 ∫ x
2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2
( ( ) ln(
( ) ) )
1 1 1
= x | y| − t t − a − a t + t − a = x | y|
− x | y|
2 2 2
1
2
a x + y
+ ln
2 2 a
2 2 2
1/ 2
2
a x + y a ⎛ ( x + y) ⎞ a ⎛ 1 x + y ⎞
= ln ≡ ln = ln
2 2 1/ 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟
2 ( x − y ) 2 ⎝ x − y ⎠ 2 ⎝ 2 x − y ⎠
2 2 2
a ⎛ 1 1 + y/ x ⎞ a −1
a
= ⎜ ln ⎟ ≡ tanh ( y/ x)
≡ η , (4)
2 ⎝ 2 1 − y/ x ⎠ 2 2
in analogia formale completa con l’Eq. (2).
____________________
Dunque, sembra plausibile l’ipotesi della definibilità di una Goniometria Iperbolica in RRRR , analoga
strutturalmente e operativamente a quella Circolare.
Una linea meditata di procedimento suggerisce l’individuazione di rappresentazioni per le funzioni
cosh e sinh tali che i valori delle coordinate cartesiane ( x ; y) ≡ ( a coshη ; a sinhη)
del generico
+
punto P ∈ H risultino composte appropriatamente attraverso una singola funzione elementare
η ֏ w ( η)
dell’ampiezza iperbolica η . Inoltre, è auspicabile che la richiesta di consistenza tra il
+
modello ipotizzato di Goniometria Iperbolica e il grafico di H possa essere soddisfatta mediante
espressioni le più semplici possibile per le funzioni composte η ֏ x ( w ( η))
e η ֏ y ( w ( η))
.
2 2 2
La rappresentazione canonica x − y = a di
a
x
+
H è separabile nella forma equivalente
1
x / a + y/ a =
x / a − y/ a
. (5)
L’uguaglianza (5) evidenzia il vincolo di uguaglianza della somma dei valori di funzioni composte
attraverso la funzione (sperabilmente) elementare w – ancora ignota – con il reciproco della loro
differenza. Poiché tale vincolo deve valere ∀η ∈ ( −π / 4 rad , π / 4 rad) ≡ ( − ∞ radh , + ∞ radh) ,
i.e., ∀η (in radh) ∈ RRRR , si fissano le definizioni
⎧ x/ a + y/ a : = w ( η)
,
⎨
⎩ x/ a − y/ a : = 1/
w ( η)
,
∀η ∈ RRRR . (6)
+
Sul grafico di H , x ≡ x ( η)
è invariante nella riflessione assiale η ֏ −η
mentre y ≡ y ( η)
si
trasforma in −y ( η).
Pertanto, da 1 / w ( η ) ≡ x / a + ( − y)/ a , segue che 1 / w ( η) ≡ w ( −η)
.
Risolvendo rispetto a x e a y , il sistema (6) dà
H

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 7
⎧ w ( η) + 1/
w ( η) w ( η) + w ( −η)
x = a ≡ a ≡ x(
η),
⎪
2 2
⎨
⎪ w ( η) − 1/
w ( η) w ( η) − w ( −η)
y = a ≡ a ≡ y(
η).
⎪⎩
2 2
+
Le rappresentazioni (7) delle coordinate cartesiane dei punti del grafico di H mostrano che,
rispetto al parametro η , η ֏ x ( η)
è una funzione pari mentre η ֏ y ( η)
è una funzione dispari;
esse costituiscono, rispettivamente, la componente pari e la componente dispari di w .
Riepilogando le caratteristiche risultanti di w ( η ) , si trova che
Infatti,
• la condizione w
+
⎧ w ( η)
∈ RRRR ,
⎪
⎪ 1/
w ( η) ≡ w ( −η),
⎨
0
⎪ w ( η)
∈ C ( RRRR ) (almeno),
⎪ ↑
⎩ w ∈M
(crescente).
+
∈ RRRR segue dall’essere ( / )/
x ≡ a w + 1 w 2 ≥ a , i.e., ( w + 1/ w)/
2 ≥ 1 ;
• della seconda, si è già detto riguardo alle proprietà di simmetria rispetto a η ∈ RRRR ;
↑
• la continuità e la crescita monotòna ( ∈M ) di x in [ a , + ∞ ) implicano la continuità e la
crescita monotòna di w vs. η ∈ RRRR .
+
Ovviamente, anche la variabile reciproca 1/ w ( η)
∈ RRRR risulta definita e continua in RRRR benché
↓
decrescente ( ∈M ). Inoltre, supw = sup ( 1/
w)
= + ∞ mentre inf w = inf ( 1/ w)
= 0
η ∈RR RR η ∈RR
RR
η ∈RR RR η ∈ RR
RR
Ora, la richiesta che le variazioni continue di x ∈ [ a,
+ ∞ ) e di y ∈ RRRR siano rappresentabili dalle
composizioni (7) di un’unica funzione elementare η ֏ w ( η)
che soddisfi le proprietà (8) rende
sostanzialmente obbligata la scelta di una funzione esponenziale con base > 1 .
La definizione convenzionale w ( ) : e η
η ֏ η = nelle Eq. (7) soddisfa identicamente l’Eq. (4).
+
Pertanto, ∀ ( x ; y)
∈ H , si definiscono
η −η
⎧ e + e
⎪ x ≡ a coshη
: = a
⎪
2
⎨
. (9)
η −η
⎪ e − e
y ≡ a sinhη
: = a
⎪⎩
2
Insieme con le rappresentazioni dei valori delle funzioni sinh e cosh , le Eq. (9) forniscono
immediatamente la definizione della funzione tanh e la sua limitazione principale,
η −η 2η −2η
y e − e ⎛ e − 1 1 − e ⎞
− 1 < ≡ tanhη
= η −η ⎜ ≡ ≡ <
η − η ⎟ 1 . (10)
2 2
x e + e ⎝ e + 1 1 + e ⎠
Dunque, le definizioni (9) e il calcolo integrale di Ω H precedente risultano chiusi rispetto alla
definizione geometrica fondamentale (2), fissando la legittimità di una Goniometria Iperbolica
strutturata e formulata in modo completamente analogo a quella Circolare.
■
+
.
(7)
(8)

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 8
La Funzione di Gudermann
La Funzione di Gudermann ( † ) (o gudermanniana o ampiezza iperbolica), gd , è un’applicazione
trascendente che connette, direttamente in RRRR , mediante composizione, le funzioni circolari con
quelle iperboliche. In tal modo, essa costituisce un’alternativa interessante – benché meno nota e
agevole – alle Formule di Euler, evitando il ricorso a rappresentazioni in CCCC .
La definizione,
−1
x
x ֏ gd x : = 2tan ( e ) − π / 2 , (11)
∞
indica che gd ∈ C ( RRRR ) , è una funzione con codominio principale ( −π / 2, π / 2 ) , limitata, dispari,
↑
monotòna ∈M e, quindi, invertibile. La simmetria centrale di graf ( gd ) , v. Fig. 3, è verificata
facilmente notando, dall’identità
−1 −x −1 x −1
x
tan ( e ) ≡ cot ( e ) ≡ π / 2 − tan ( e ) ,
che gd è una funzione dispari vs. il suo argomento:
( −1
x )
( −1
(
x
) π / )
gd( − x) = 2 π / 2 − tan ( e ) − π / 2
= − 2tan e − 2 ≡ − gd x . (11.1)
Il valore y ≡ gd x è chiamato il gudermanniano di
x o l’ampiezza iperbolica di x .
____________________
−1
La funzione inversa, x ֏ gd x , è esprimibile, in
forma simmetrica rispetto alla bisettrice del 1.o e del
↑
3.o quadrante cartesiano, con l’applicazione ∈M ,
dispari e periodica
La funzione x ֏ gd x ≡ y (ramo principale)
Fig. 3
− 1 tan ( x / 2) + 1
x ֏ gd x ≡ ln( tan ( x / 2 + π / 4)
) ≡ ln ≡ ln ( secx + tanx
) , (12)
1 − tan ( x / 2)
avente l’intervallo ( −π / 2, π / 2 ) come dominio principale, a frontiera asintotica (v. Fig. 4, p. 11).
Invertendo l’Eq. (11) vs. la funzione tan −1 , si trova che
e, mediante le Eq. (13) e (11), che
( ( / ) / )
x
e = tan 1 2 gd x + π 4 (13)
( ( / ) ( ) π / ) ( ( / ) π / )
− x
e = tan 1 2 gd − x + 4 = −tan 1 2 gd x − 4 . (14)
Ora, tenendo presente l’identità goniometrica
tan
tanα
− 1
− ≡ , (15)
1 + tanα
( α π / 4)

si scrive
x e − e e
tanh ≡ ≡
x / 2 −x
/ 2
2 e + e
x / 2 −x / 2 −x
/ 2
( ( / ) )
x /
e − 2
x
( e − )
x
( e + 1)
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 9
1 tan( ( / ) gd x π / )
≡
tan( ( / ) gd x π / )
1 2 + 4 − 1
, dall’Eq. (13),
1 2 + 4 + 1
= tan 1 2 gd x , dall’identità (15), nella quale sia α ≡ ( 1/ 2) gd x + π / 4 .
Quindi, eseguendo la dilatazione x ֏ 2x
, si arriva all’uguaglianza fondamentale
( ( / ) ( ) )
tanhx = tan 1 2 gd 2 x . (16)
−1
Con la posizione y : = ( 1/ 2) gd ( 2 x)
nell’Eq. (16), insieme con quella inversa x ≡ ( 1/ 2) gd ( 2 y)
,
ed eseguendo, infine, lo scambio x y , si ottiene la relazione simmetrica
−1
( ( / ) ( ) )
tanx = tanh 1 2 gd 2 x . (17)
A loro volta, le Eq. (13) e (14) sono le generatrici delle relazioni di connessione in RRRR tra le
Funzioni Iperboliche e quelle Circolari.
Ad esempio, posto η : = gd x , risulta
x −x
e − e 1
sinhx ≡ = ( tan( η/ 2 + π / 4) + tan(
η/ 2 − π / 4)
)
2 2
1 ⎛ tan( η/ 2) + 1 tan( η/ 2) − 1 ⎞ 2tan ( η/
2)
= + =
2
⎜
− tan( η/ ) + tan( η/ )
⎟
⎝ 1 2 1 2 ⎠ 1 − tan(
η/
2)
≡ tanη ≡ tan ( gd x) ≡ ( tan gd)(
x)
.
( )
Con le altre cinque identità, determinate facilmente in modo analogo dalle forme esponenziali
rispettive, si completa la tabella seguente:
coshx ≡ sec ( gd x) sechx ≡ cos ( gd x)
sinhx ≡ tan ( gd x) cschx ≡ cot ( gd x)
. (18)
tanhx ≡ sin ( gd x) cothx ≡ csc ( gd x)
−1
La posizione y : = gd x , a destra nelle Eq. (18), e dell’inversa (biunivoca) x ≡ gd y , a sinistra,
seguita dallo scambio x y , generano la tabella delle relazioni simmetriche di connessione:
−1 −1
cosx ≡ sech ( gd x) secx ≡ cosh ( gd x)
−1 −1
sinx ≡ tanh ( gd x) cscx ≡ coth ( gd x)
−1 −1
tanx ≡ sinh ( gd x) cot x ≡ csch ( gd x)
2
. (19)
Le tabelle (18) e (19) consentono la ri-scrittura di tutte le identità goniometriche, sia circolari che
equi-iperboliche, prendendo i valori delle funzioni gd e gd −1 come argomenti.
Ad esempio, le varie identità quadratiche – immediatamente riconoscibili – assumono le forme
seguenti:
−1 2
−1
2
( sech ( gd x) ) + ( tanh ( gd x)
) =
−1 2
−1
2
( cosh ( gd x) ) − ( sinh ( gd x)
) =
−1 2
−1
2
( coth ( gd x) ) − ( csch ( gd x)
) =
−1 −1 −1 −1
( cosh ( gd x) ) + ( coth ( gd x) ) = ( cosh ( gd x) ) ⋅ ( coth ( gd x)
)
1 , (20.1)
1, (20.2)
1, (20.3)
2 2 2 2
; (20.4)

2 2
( sec ( gd x) ) − ( tan ( gd x)
) =
2 2
( sin ( gd x) ) + ( cos ( gd x)
) =
2 2
( csc ( gd x) ) − ( cot ( gd x)
) =
( cot ( gd x) ) − ( cos ( gd x) ) = ( cot ( gd x) ) ⋅ ( cos ( gd x)
)
____________________
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 10
1, (20.5)
1 , (20.6)
1 , (20.7)
2 2 2 2
Funzioni Derivate
Operando direttamente sulle definizioni, Eq. (11) e (12), si calcolano
. (20.8)
x
d
֏ gd x
dx
d
−1
x
≡ ( 2tan ( e ) − π / 2)
= x
dx e
2
−x
+ e
≡ sechx
, (21)
x
d −1
֏ gd x
dx
d
≡ ln( tan ( x / 2 + π / 4)
) = … =
dx
1
sin ( x + π / 2)
1
≡
cosx
≡ secx
. (22)
Quindi, incominciando dalle Eq. (21) e (22) e avvalendosi del Teorema Fondamentale del Calcolo
Integrale, si deducono prontamente le seguenti
Rappresentazioni Integrali
−1
x
( ( ) π / )
x
gd x ≡ 2tan e − 2 = ∫ sechudu
, (23)
0
( ( ( / π / ) ) )
x
−1
gd x ≡ ln tan x 2 + 4 = ∫ secudu
. (24)
0
In intervalli compatti appropriati, dove sia garantita la convergenza uniforme, esistono le seguenti
Espansioni in Serie di Funzioni
Invertendo l’Eq. (16) ed eseguendo, quindi, la compressione x ֏ x / 2 , risulta
+∞ n
−1
( −1)
gd x = 2tan tanh x 2 = ∑ tanh x 2
2n + 1
( ( / ) ) ( ( / ) )
n = 0
2n + 1
■
, (25)
dove, tanh ( x / 2) ∈ ( −1,
1 ) . In particolare, quando x ∈ [ x 1, x 2] ⊂ ( −π
/ 2, π / 2 ) , l’espansione (25)
è equivalente alla rappresentazione in serie di potenze
+∞ Ε 2n 2n + 1
gd x = ∑ x
n = 0 ( 2n + 1)!
1 3 1 5 61 7 277 9 50521 11
≡ x − x + x − x + x − x + … , (25.1)
6 24 5040 72566 39916800
nella quale, Ε 2 n indica il 2n - simo numero di Euler.
Analogamente, invertendo l’Eq. (17) e facendo seguire la compressione x ֏ x / 2 , si ha
+∞
−1 −1
1
gd x = 2tanh tan x 2 = ∑ tan x 2
2n + 1
( ( / ) ) ( ( / ) )
n = 0
2n + 1
, (26)

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 11
essendo tan ( x / 2) ∈ ( −1,
1 ) , i.e., x ∈ ( ( 2k − 1) π / 2, ( 2k + 1) π / 2 ) , ∀ k ∈ ZZZZ . In particolare, nel
caso in cui è x ∈ [ x 1, x 2] ⊂ ( −π
/ 2, π / 2 ) , l’espansione (26) equivale alla rappresentazione in serie
di potenze
gd
+∞ n
( −1)
Ε 2n
n
x = ∑ x
n = 0 ( 2n + 1)!
1 3 1 5 61 7 277 9 50521 11
≡ x + x + x + x + x + x + … . (26.1)
6 24 5040 72566 39916800
− 1 2 + 1
Infine, dalle Tabelle (18) e (19), dovrebbe risultare del tutto evidente quali siano, per x = o ( 1 ) , le
−1
espansioni in serie di potenze di x ֏ sec ( gd x)
o di x ֏ coth ( gd x)
, etc. .
____________________
Il procedimento classico di L. Euler per la determinazione delle Fig. 4
espansioni (25.1) e (26.1) è discusso, in dettaglio e con esempi
numerosi, nell’Unità tematica dell’autore: La generazione di
serie di potenze reali dalle Funzioni di Bernoulli e di
Euler, Eq. (61) e (62), raggiungibile dalla home-page.
____________________
La funzione x ֏
−1
gd x ≡ y (ramo principale)
■
( † ) Christoph Gudermann (1798-1852), studioso delle Funzioni Iperboliche, delle Funzioni Sferiche Speciali e delle
Funzioni Ellittiche, docente e guida influente di K. W. T. Weierstrass giovane all’Accademia di Münster.

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 12
Conversioni rad radh
+
Dal grafico di H , risulta evidente la corrispondenza biunivoca
tanη ≡ AT / a ≡ tanhη
, (27)
nella quale, non sembra inutile ribadirlo, è inteso che la funzione tan opera sull’argomento η
riconoscendolo come espresso in rad mentre la funzione tanh opera sullo stesso argomento η
riconoscendolo, invece, come espresso in radh.
Invertendo l’identità (27) bilateralmente e ricorrendo alla Funzione di Gudermann e alla sua
inversa si scrivono le formule di conversione, reciprocamente inverse,
( ( ) )
( ( ) )
−1 −1 −1 −1
η (in radh) = tanh ( tanη) ≡ tanh tanh ( 1/ 2) gd ( 2η ) ≡ ( 1/ 2) gd ( 2 η)
= ( 1/ 2) ln tan η (rad) + π / 4 ; (28.1)
( ( ) )
−1 −1
η (in rad) = tan ( tanhη) ≡ tan tan ( 1/ 2) gd( 2η ) ≡ ( 1/ 2) gd( 2η ) gd(
2 η)
____________________
Esempi:
1
• ( )
( (radh)
tan e ) /
η −1
2
= − π
4 . (28.2)
−
tan tanh ( 1 radh) ≈ 0. 65088 rad ≈ ( 26π / 25) rad ≈ 37° 17′ 34 ′′ ;
−
tan tanh ( −π radh) ≈ −078353 . rad ≈ − ( 499π / 2000) rad ( > −π / 4 rad ) ≈ − 44° 53′ 35 ′′ ;
1
• ( )
−1
• ( π )
tanh tan ( − / 6 rad) ≈ −0.
65848 radh ;
tanh tan ( 44° 59 59 ) ≈ 6. 11846 radh ;
− 1
• ( ′ ′′ )
−1
• tanh ( tan ( π / rad) )
•
•
perché
η → ± π / 4 rad
−2 5 ∉ RRRR ;
1/ 2
tan ( −2π / 5 rad) ≡ − tan72° = − ( 5 + 2 5) < −1 ≡ tan ( −π
/ 4 rad) ;
−1
lim tanh ( tanη)
= ± ∞ radh ;
−1
lim tan ( tanhη)
= ± π / 4 rad .
η → ±∞ radh
■

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 13
Completamento delle rappresentazioni geometriche
1. - Con riferimento alla Fig. 5,
Fig. 5
la similitudine OBQ OGP implica la proporzione BQ : OB = GP : OG , i.e., in termini
BQ GP a cosϕ
delle misure dei segmenti, si ha = ≡ : = cotϕ
. Segue che
a OG a sinϕ
BQ = a cotϕ
; (29)
la similitudine OPS OHP implica la proporzione OS : OP = OP : OH , la quale, in
2
termini delle misure dei segmenti, corrisponde al prodotto rettangolare OP = OS ⋅OH
2
a = OS ⋅a
cosϕ
. Segue che
, i.e.,
a
OS = : = a secϕ
; (30)
cosϕ
la similitudine OPK OGP implica la proporzione OK : OP = OP : OG che, in termini
2
delle misure dei segmenti, corrisponde al prodotto rettangolare OP = OK ⋅OG
, i.e.,
2
a = OK ⋅a
sinϕ
. Segue che
a
OK = : = a cscϕ
. (31)
sinϕ
Si osservi l’allineamento dei punti P , Q e T sulla retta OP
r : il punto Q si sposta davanti, o
dietro, al punto T , secondo come varia l’ampiezza circolare ϕ .

2. - Con riferimento alla Fig. 6,
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 14
oltre ai punti P ≡ ( x ; y) ≡ ( a coshη ; a sinhη)
, con η ≡ POM ˆ , e A ≡ ( a ; 0 ) , si consideri il
punto B ≡ ( 0 ; a)
, allineato con i punti Q e F sulla retta y = a . Siano K e H , le proiezioni
ortogonali di Q e di P , rispettivamente, sull’asse X .
La similitudine OKQ OHP implica la proporzione OK : OH = KQ : HP , i.e., in termini
OK KQ a
di misure dei segmenti, si ha = ≡ . Segue che
a coshη HP a sinhη
a coshη
OK = : = a cothη
. (32)
sinhη
Inoltre, costruito il triangolo OFM , rettangolo in F ≡ ( a coshη
; a)
, il 2.o Teorema di
2
Euclide determina il quadrato FH = OH ⋅HM
2
, i.e., a = a coshη
⋅HM
, da cui, si ha
a
HM = : = a sechη
. (33)
coshη
Analogamente, costruito il triangolo OGN , rettangolo in G ≡ ( a ; a sinhη)
, poiché vale il
2
quadrato SG = OS ⋅SN
2
, i.e., a = a sinhη
⋅SN
, risulta
a
SN = : = a cschη
. (34)
sinhη
Fig. 6
Analogamente, si osservi l’allineamento dei punti P , Q e T sulla retta r OP . Come nel caso
circolare, il punto Q si sposta davanti, o dietro, al punto T , secondo come varia l’ampiezza
iperbolica η .
Qui di seguito, è riportato l’elenco degli elementi significativi nella costruzione geometrica
mostrata nella Fig. 6.

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 15
+
Assegnato il punto P ≡ ( x ; y ) ≡ ( a coshη ; a sinhη
) ∈ H , si determinano facilmente
A ≡ ( a ; 0 ) , K ≡ ( ax / y ; 0 ) , H ≡ ( x ; 0 ) , M ≡ ( x + a / x ; )
2
0 ,
B ≡ ( 0 ; a)
, S ≡ ( 0 ; y ) , N ≡ ( ; y + a / y )
2
0 ,
G ≡ ( a ; y ) , T ≡ ( a ; y / x ) , Q ≡ ( ax / y ; a)
, F ≡ ( x ; a)
;
r : y = ( y / x ) x , r : x = a , r : y = a ,
OTQP
ATG
BQF
2
r : y = ( a/ x ) x , r : y = − ( x / a) x + x / a + a ,
OF
FM
2
r : y = ( y / a) x , r : y = − ( a/ y ) x + a / y + y .
OG
NG
■

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 16
Funzioni su dominî ristretti in RRRR
Sia f : D( ⊆ RR RR ) ֏ C(
⊆ R RR
R ) .
Quando esiste, si definisce determinazione principale di f la funzione-restrizione generalmente
monotòna,
f
| D0 :
D C,
a un sotto-dominio proprio convenzionale D0 ⊂ D, detto l’insieme principale di definizione di
f . Ciò implica, generalmente, che ∃!
( f | D
−1
) : C ֏ D 0 (vs. D 0 , generalmente significa: eccetto
che per un numero finito di elementi x ∈ D 0 ). ( † )
Dunque, se la restrizione f |
D 0
generalmente bi-iettiva tra D 0 e C .
Nella specificazione di 0
0
0 ֏
è definibile, essa conserva il co-dominio C originario, risultando
D , si conviene di determinare f | D 0
così che l’insieme graf f | D 0
, detto il
ramo principale di graf ( f ) , sia simmetrico o anti-simmetrico rispetto ad almeno uno degli assi
del riferimento cartesiano e, possibilmente, che 0 ∈ D0 ( ≡ D0 ∪ ∂D
0)
( D 0 indica la chiusura di
D 0 , inclusiva della frontiera ∂D 0 ). Da ciò, segue che la stessa specificazione della monotonìa di
f in D 0 (crescita o decrescita in senso stretto generalmente) corrisponde a criteri di simmetria
assiale o centrale evidenti.
Il valore y ≡ f ( x ) , per x ∈ D 0 , costituisce un valore principale di f .
Salvo specificazione diversa, le operazioni analitiche formali su f , in primo luogo, le derivazioni
e le integrazioni, sono riferite convenzionalmente a D 0 .
Le tabelle alle p. 17-19 riportano gli insiemi prodotto cartesiano D0 × C delle funzioni-restrizione
trascendenti fondamentali, nella rappresentazione esplicita consueta x ֏ f | D ( x) ≡ y .
I grafici rispettivi di tali funzioni – salvo quelli delle Funzioni Esponenziale, Logaritmica e di
Gudermann diretta e inversa (v. p. 8 e 11) – si trovano alle pagine successive 20-23.
■
_________________________
( † ) Riguardo all’impostazione generale dell’argomento e alla terminologia, ci si ispira, regolarmente, al lavoro:
C. D. Pagani - S. Salsa, ANALISI MATEMATICA, vol. 1 e 2, Zanichelli.
0

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 17
Dominî e Codominî in RRRR delle
Funzioni(-restrizione) trascendenti elementari
A. Le Funzioni-restrizione Circolari dirette e inverse
x ֏ f D ( x) ≡ y
D × C
|
0
x ֏ cos x
[ 0, π ] × [ −1,
1 ]
−1
x ֏ cos x
[ − 1, 1] × [ 0 , π ]
x ֏ sinx
[ − π / 2, π / 2] × [ −1,
1 ]
−1
x ֏ sin x
[ − 1, 1] × [ −π
/ 2, π / 2 ]
sin x
x ֏ tan x : =
( − π / 2, π / 2 ) × ( − ∞ , + ∞)
cos x
−1
x ֏ tan x
( − ∞ , + ∞ ) × ( −π / 2, π / 2 )
cos x
x ֏ cot x : =
( 0 , π ) × ( − ∞ , + ∞)
sin x
−1
x ֏ cot x
( − ∞ , + ∞ ) × ( 0 , π )
1
x ֏ secx
: =
{[ 0, π / 2) ∪ ( π / 2, π ]} × {( − ∞ , −1 ] ∪ [ 1 , + ∞)}
cos x
−1
x ֏ sec x
{( − ∞ , −1] ∪ [ 1, + ∞ )} × {[ 0, π / 2) ∪ ( π / 2 , π ]}
1
x ֏ cscx
: =
{[ −π / 2, 0) ∪ ( 0, π / 2]} × {( − ∞ , −1] ∪ [ 1 , + ∞)}
sinx
−1
x ֏ csc x
{( − ∞, −1] ∪ [ 1, + ∞ )} × {[ −π / 2, 0) ∪ ( 0, π / 2
]}
0

B. Le Funzioni Esponenziale, Logaritmica e
le restrizioni Gudermanniane diretta e inversa
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 18
x
x ֏ e
( − ∞ , + ∞ ) × ( 0 , + ∞)
x ֏ lnx
( 0 , + ∞ ) × ( − ∞ , + ∞)
−1
gd : tan ( x
x ֏ x = 2 e ) − π / 2
( ( / 2 / 4)
)
−1
x ֏ gd x ≡ ln tan x + π
C. Le Funzioni Iperboliche dirette e inverse
( − ∞ , + ∞ ) × ( −π / 2, π / 2 )
( − π / 2, π / 2)
× ( − ∞ , + ∞)
x −x
e + e
x ֏ coshx
: =
[ 0, + ∞ ) × [ 1 , + ∞)
2
( )
−1
2
x ֏ cosh x : = ln x + x − 1
[ 1, + ∞ ) × [ 0 , + ∞)
x −x
e − e
x ֏ sinhx
: =
( − ∞ , + ∞ ) × ( − ∞ , + ∞ )
2
( )
−1
2
x ֏ sinh x : = ln x + x + 1
( − ∞ , + ∞ ) × ( − ∞ , + ∞ )
x −x
sinhx
e − e
x ֏ tanhx
: = ≡
( − ∞ , + ∞ ) × ( −1 , 1 )
x −x
coshx
e + e
− 1 1 1 + x
x ֏ tanh x : = ln
( − 1, 1 ) × ( − ∞ , + ∞)
2 1 − x
x −x
coshx
e + e 1
x ֏ cothx
: = ≡ ≡
{( − ∞ , 0) ∪ ( 0, + ∞ )} × {( − ∞ , −1) ∪ ( 1 , + ∞)}
x −x
sinhx e − e tanhx
coth : ln x
− 1 1 + 1
x ֏ x =
{( − ∞ , −1) ∪ ( 1, + ∞ )} × {( − ∞ , 0) ∪ ( 0
, + ∞)}
2 x − 1

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 19
x sechx
:
x x
coshx
e e −
1 2
֏ = ≡
( − ∞ , + ∞ ) × ( 0, 1 ]
+
2
− 1 1 + 1 − x
x ֏ sech x : = ln
( 0, 1] × [ 0 , + ∞)
x
x cschx
:
x x
sinhx
e e −
1 2
֏ = ≡
{( − ∞, 0) ∪ ( 0, + ∞ )} × {( − ∞, 0) ∪ ( 0 , + ∞)}
−
⎛ 2
x ⎞
−1
1 1 +
x ֏ csch x : = ln ⎜ + ⎟ {( − ∞, 0) ∪ ( 0, + ∞ )} × {( − ∞, 0) ∪ ( 0 , + ∞)}
x | x | ⎟
⎝ ⎠
■■■

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 20
I grafici delle Funzioni Circolari dirette e inverse
−1
x ֏ cos x
x ֏ cos x
−1
x ֏ sin x
x ֏ sin x
−1
x ֏ tan x
x ֏
tan x

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 21
−1
x ֏ cot x
x ֏ cot x
−1
x ֏ sec x
x ֏ sec x
−1
x ֏ csc x
x ֏
csc x

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 22
I grafici delle Funzioni Iperboliche dirette e inverse
−1
x ֏ cosh x
x ֏ cosh x
−1
x ֏ sinh x
x ֏ sinh x
−1
x ֏ tanh x
x ֏
tanh x

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 23
−1
x ֏ coth x
x ֏ coth x
−1
x ֏ sech x
x ֏ sech x
−1
x ֏ csch x
x ֏
csch x

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 24
L’inversione dei valori iperbolici in RRRR
1. Dalla definizione in RRRR del valore parametrico
e + e
k : = coshη
≡
2
η −η
2η
η
si ottiene l’equazione e − 2ke + 1 = 0 . Risolvendola vs. e η , si determinano le radici reciproche
η 2 η +
e = k ± k − 1 . Ovviamente, e ∈ RRRR ⇒ k ∈ [ 1,
+ ∞)
. Quindi, per inversione, risultano
( )
η ± = ln k ± k −
2 1 .
Quale delle due η - rappresentazioni scegliere? Poiché i valori
2 1
2
( k k 1 ) ( k k 1 )
η − ≡ ln − − ≡ −ln ≡ − ln + − ≡ −η
2
+
k − k − 1
sono opposti, si assume η + , convenzionalmente, come la rappresentazione principale di η .
Quindi,
2. La definizione in RRRR del valore parametrico
( )
,
−1
2
cosh k : = ln k + k − 1 ≡ η . (35)
e − e
s : = sinhη
≡
2
η −η
2η
η
genera l’equazione e − 2se − 1 = 0 , che, risolta vs. e η , fornisce le radici
e
η
⎧ 2
⎪ s + s + 1 , ∀ s ∈ RRRR ,
= ⎨
2
⎪⎩ s − s + 1 < 0 ⇒ η ∉ RRRR .
Pertanto, dall’unica radice invertibile in RRRR , la prima, si ottiene
3. Dalla definizione in RRRR del valore parametrico
( )
,
−1
2
sinh s : = ln s + s + 1 ≡ η . (36)
η −η
2η
e − e e − 1
τ : = tanhη
≡ ≡ ( ≡ s/ k ) ,
η −η
2η
e + e e + 1
risulta e ( )/( )
η 2
= 1 + τ 1 − τ , ∀τ ∈ ( −1, 1 ) . Quindi, invertendo e η 2
vs. η , si trova
− 1 1 ⎛ 1 + τ ⎞
tanh τ : = ln⎜
≡ η
−τ
⎟ . (37)
2 ⎝ 1 ⎠

4. Dalla definizione in RRRR del valore parametrico
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 25
η −η
2η
e + e e + 1
q : = cothη
≡ ≡ ( ≡ 1/
τ ≡ k/ s ) ,
η −η
2η
e − e e − 1
2η
risulta, e = ( q + 1)/( q − 1 ) , ∀ q ∈ ( − ∞, −1) ∪ ( 1 , + ∞)
. Pertanto, invertendo e η 2
vs. η , si trova
5. Assegnato il valore parametrico in RRRR
coth : ln q
− 1 1 ⎛ + 1 ⎞
q = ⎜ ≡ η
q −
⎟ . (38)
2 ⎝ 1 ⎠
η
2 2e
σ : = sechη
≡ ≡ ( ≡ 1/
k ) ,
η −η
2η
e + e e + 1
2η
η
risulta l’equazione σ e − 2e + σ = 0 . Risolvendola vs. e η , si determinano le radici reciproche
e η
( )
= ± − σ σ
2
1 1 , con il vincolo σ ∈ ( 0, 1 ] . Quindi, per inversione, risultano
( ( ) )
η ln 1 1 σ σ .
Quale delle due η - rappresentazioni scegliere? Poiché le due radici,
( ( ) ) ( )
± = ± − 2
( ) ( ( ) )
2 2 2
η ≡ ln 1 − 1 − σ σ ≡ −ln σ 1 − 1 − σ ≡ − ln 1 + 1 − σ σ ≡ −η
,
− +
sono opposte, si assume η + , convenzionalmente, come la rappresentazione principale di η .
Quindi,
6. Assegnato il valore parametrico in χ ∈ RRRR \{ 0}
( ( ) )
−1
2
sech σ : = ln 1 + 1 − σ σ ≡ η . (39)
η
2 2e
χ : = cschη
≡ ≡ ( ≡ 1/
s ) ,
η −η
2η
e − e e − 1
2η
η
se ne deduce l’equazione χ e − 2e − χ = 0 . uesta, risolta vs. e η , fornisce le radici
e η
Pertanto, invertendo e η vs. η , segue che
⎧ 2
1 + 1 + χ
⎫
⎪ , se χ ∈ ( 0,
+ ∞ ), ⎪
2
⎪ χ ⎪ 1 1 + χ
= ⎨ ⎬ ≡ +
2
⎪ 1 − 1 + χ
⎪ χ | χ |
⎪ , se χ ∈ ( − ∞,
0),
χ
⎪
⎩ ⎭
( )
−1
2
csch χ : = ln 1/ χ + 1 + χ | χ | ≡ η . (40)
.
■■■

Riepilogo delle rappresentazioni esponenziali:
x −x
e + e
coshx
: = ,
2
2 1
sechx
: = ≡ ,
x −x
e + e coshx
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 26
Identità Goniometriche Iperboliche in RRRR
Funzioni Dirette
x −x
e − e
sinhx
: = ,
2
2 1
cschx
: = ≡ ,
x −x
e − e cschx
Dalle Rappresentazioni (41), seguono tutte le identità seguenti (se ne consiglia la verifica!):
identità moltiplicative:
identità-quoziente:
coshx = cothx ⋅ sinhx , sinhx = tanhx ⋅cosh
x ,
tanhx = sinhx ⋅ sechx , cothx = coshx ⋅csch
x ,
sechx = tanhx ⋅ cschx , cschx = cothx ⋅ sechx
;
coshx cothx = ,
cschx sinhx =
tanhx ,
sechx tanhx
=
sinhx
,
coshx
cothx =
coshx ,
sinhx sechx =
cschx ,
cothx cschx
sechx
= ;
tanhx
identità iperboliche quadratiche fondamentali:
2 2
( coshx ) − ( sinhx
) = 1 ,
2 2
( cothx ) − ( cschx
) = 1 ,
identità di somma\differenza angolare (in radh) iperbolica:
identità di duplicazione iperbolica:
2 2
( tanhx ) + ( sechx
) = 1 ,
x −x
e − e sinhx
tanhx
: = ≡ ,
x −x
e + e coshx
x −x
e + e 1
cothx
: = ≡ ;
x −x
e − e tanhx
2 2 2 2
( cschx ) − ( sechx ) = ( cschx ) ( sechx
) ;
cosh ( x ± y) = coshx ⋅ coshy ± sinhx ⋅ sinhy
,
sinh ( x ± y) = sinhx ⋅ coshy ± coshx ⋅ sinhy
,
tanhx ± tanhy sinh2x ± sinh2y
tanh ( x ± y)
= =
,
1 ± tanhx ⋅ tanhy cosh2x ± cosh2y
1 ± coshx ⋅coth
y sinh2x ∓ sinh2y
coth ( x ± y)
= =
;
cothx ± cothy cosh2x − cosh2y
2
1 2 2 2 2 1 + ( tanhx
)
cosh2x ≡ = ( coshx ) + ( sinhx ) = 2( coshx ) − 1 = 1 + 2(
sinhx
) =
, 2
sech2x 1 − ( tanhx
)
1 2tanh
x
sinh2x ≡ = 2cosh
x ⋅ sinhx
=
csch2x 1 − ( tanhx
)
2
2tanh x 1 + ( cothx
)
tanh2x = , coth2x
=
;
2
1 + ( tanhx
)
2coth
x
identità di triplicazione iperbolica:
3 2
cosh3x = 4( coshx ) − 3cosh x = ( 1 + 4(
sinhx ) ) coshx
,
3 2
sinh3x = 4 ( sinhx ) + 3 sinhx = ( 4( coshx ) − 1)
sinhx
,
2 2
( 3 + ( tanhx ) ) tanhx ( 3 + ( cothx ) ) cothx
tanh3x = , coth3x
=
;
2 2
1 + 3( tanhx ) 1 + 3(
cothx
)
2
,
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)

identità di bi-sezione iperbolica:
identità parametriche iperboliche:
coshx
+ 1
cosh ( x / 2)
=
,
2
coshx
− 1
sinh ( x / 2)
= ±
,
2
Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 27
coshx − 1 coshx − 1 sinhx
tanh ( x / 2)
= ± = = ,
coshx + 1 sinhx coshx
+ 1
coshx + 1 coshx + 1 sinhx
coth ( x / 2)
= ± = = ;
coshx − 1 sinhx coshx
− 1
posto τ : = tanh ( x / 2 ) o, altrimenti, κ : = coth ( x / 2 ) , seguono (condizionate!), rispettivamente
identità di prostaferesi iperbolica:
identità di Werner iperboliche:
2
1 1 + τ
coshx
≡ = , 2
sechx
1 − τ
1 2τ
sinhx
≡ = , 2
cschx
1 − τ
1 2τ
tanhx
≡ = ; 2
cothx
1 + τ
2
1 κ + 1
coshx
≡ = , 2
sechx
κ − 1
1 2κ
sinhx
≡ = , 2
cschx
κ − 1
1 2κ
tanhx
≡ = ; 2
cothx
κ + 1
x + y x − y
coshx + coshy = 2cosh
⋅cosh
,
2 2
x + y x − y
coshx − coshy = 2sinh
⋅ sinh ,
2 2
sinhx + sinhy x + y x − y
= 2sinh
⋅cosh
,
2 2
x + y x − y
sinhx − sinhy = 2cosh
⋅ sinh ,
2 2
tanhx ± tanhy = ( 1 ± tanhx tanhy) tanh(
x ± y)
=
sinh ( x ± y)
,
coshx ⋅cosh
y
1 ± cothx
⋅ cothy sinh ( x ± y)
cothx ± cothy
=
=
;
coth ( x ± y) sinhx ⋅ sinhy
--------------------------------------------------
1 ± tanh ( x / 2)
coshx ± sinhx
= = e
1 ∓ tanh ( x / 2)
± x
( )
( )
( )
coshx ⋅ coshy = ( 1/ 2)
cosh ( x + y) + cosh ( x − y)
,
sinhx ⋅ sinhy = ( 1/ 2)
cosh ( x + y) − cosh ( x − y)
,
coshx ⋅ sinhy = ( 1/ 2)
sinh ( x + y) − sinh ( x − y)
;
--------------------------------------------------
2 2
2 2
cosh ( x + y) ⋅cosh ( x − y) = ( coshx ) + ( sinhy)
= ( coshy) + ( sinhx
) ,
2 2 2 2
sinh ( x + y) ⋅ sinh ( x − y) = ( coshx ) − ( coshy) = ( sinhx ) − ( sinhy)
;
;
(48)
(49)
(50)
(51)

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 28
le Identità Euleriane di connessione con le Funzioni Goniometriche Circolari Dirette seguono dall’Identità
Euleriana fondamentale
coshix = cosx
,
sinhix = i sinx
,
tanhix = i tanx
,
cothix = −i
cot x ,
sechix = secx
,
cschix = −i
cscx
,
± i x
e ≡ cosx ± i sinx
: (52)
coshx = cosix
,
sinhx = −i
sinix
,
tanhx = −i
tanix
,
cothx = i cotix
,
sechx = secix
,
cschx = i cscix
.
A sua volta, l’Identità Euleriana fondamentale è, verificabile mediante le espansioni di Maclaurin specifiche, tutte
convergenti uniformemente in CCCC :
(53)
n 2n 2n + 1
( ± ix )
n x n x
≡ ( − 1) ± i ( −1)
. (53.1)
n! ( 2n)! ( 2n + 1 )!
+ ∞ + ∞ + ∞
∑ ∑ ∑
n = 0 n = 0 n = 0
La convergenza uniforme delle serie di potenze nella rappresentazione (53.1) è condizione sufficiente per la verifica
termine-a-termine dell’uguaglianza. L’algebra è un po’ noiosa ma diretta; per tale scopo, va ricordata la regola ciclica,
valida ∀ n ∈ ZZZZ ( n mod 4 ),
4n 4n + 1 4n + 2 4n + 3
i = 1 , i = i , i = − 1
, i = −i
.

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 29
Altre identità possono essere dedotte combinando opportunamente le relazioni generali nelle due tabelle seguenti per
le rappresentazioni di ciascuna Funzione Iperbolica Diretta mediante qualsiasi altra Funzione Iperbolica Diretta:
f ≡ cosh f ≡ sinh f ≡ tanh
coshx = coshx 1 + ( sinhx )
2
sinhx = ± ( coshx ) − 1 sinhx
tanhx =
sechx =
cschx =
cothx =
coshx =
sinhx =
±
±
±
±
2
( coshx
) − 1
coshx
1
coshx
1
2
( coshx ) − 1
sinhx
1 + ( sinhx
)
1
1 + ( sinhx )
1
sinhx
coshx
1 + ( sinhx
)
2
( coshx
) − 1 sinhx
2
2
2
2
1
1 − ( tanhx )
tanhx
1 − ( tanhx
)
tanhx
1 − ( tanhx )
1 − ( tanhx
)
tanhx
1
tanhx
f ≡ sech f ≡ csch f ≡ coth
1
sechx
1 − ( sechx
)
sechx
tanhx = ± 1 − ( sechx )
sechx = sechx
cschx =
cothx =
±
±
sechx
1 − ( sechx
)
1
1 − ( sechx )
2
2
2
2
±
±
2
( cschx
) + 1
cschx
1
cschx
1
2
( cschx ) + 1
±
±
cothx
2
2
2
2
2
( cothx
) − 1
1
2
( cothx ) − 1
1
cothx
cschx
2
( cothx
) − 1
2 ±
( cschx
) + 1 cothx
2
cschx ± ( cothx ) − 1
2
( cschx ) + 1 cothx
L’ambiguità di segno eventuale in un’espressione, ± , implica, rispettivamente, x 0 .
■

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 30
Identità Goniometriche Iperboliche in RRRR
Funzioni Inverse
Riepilogo delle rappresentazioni logaritmiche (nei dominî principali rispettivi)
( 1)
−1
2
cosh x : = ln x + x − ,
⎛ 2
x ⎞
−1
1 + 1 −
sech x : = ln ⎜ ⎟ ,
⎝ x ⎠
( 1)
−1
2
sinh x : = ln x + x + ,
⎛ 2
x ⎞
−1
1 1 + + 1
csch x : = ln ⎜ +
⎟
⎜
,
x x ⎟
⎝ ⎠
Applicando le proprietà logaritmiche elementari alle Identità (46), si ricavano le
identità di somma\differenza seguenti (se ne consiglia la verifica!):
( 1 1 )
( 1 1)
,
−1 −1 −1
2 2
cosh x ± cosh y = cosh xy ± ( x − )( y − ) ,
−1 −1 −1
2 2
sinh x ± sinh y = sinh x y + ± y x +
−1 −1 −1
⎛ x ± y ⎞
tanh x ± tanh y = tanh ⎜ ;
xy
⎟
⎝ 1 ± ⎠
−1 −1 −1
⎛ xy ± 1 ⎞
coth x ± coth y = coth ⎜ ;
y ± x
⎟
⎝ ⎠
--------------------------------------------------
cosh
−1
−1
1 ⎛ 1 + x ⎞
tanh x : = ln ,
2
⎜
x
⎟
⎝ 1 − ⎠
−1
1 ⎛ x + 1 ⎞
coth x : = ln⎜
;
2 x −
⎟
⎝ 1 ⎠
( ( 1)( 1) ) ( 1 1)
,
( 1 1 ) ( 1 1)
−1 −1 2 2 −1
2 2
x + sinh y = sinh xy + x − y + = cosh x y + + y x −
−1 −1 −1 2 2 −1
2 2
cosh x − sinh y = − sinh xy − ( x − )( y + ) = − cosh x y + − y x − ,
−1 −1 −1 ⎛ xy ± 1 ⎞ −1
⎛ y ± x ⎞
tanh x ± coth y = tanh ⎜ = coth ;
y ± x
⎟ ⎜
xy ±
⎟
⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠
Identità Euleriane di connessione con le Funzioni Goniometriche Circolari Inverse:
Rappresentazioni integrali:
cosh
sinh
−1
−1
−1 −1
cosh x = ± i cos x ,
−1
sinhx = −i
sin ix ,
−1
tanhx = −i
tan ix ,
−1
cothx = i cot ix ,
−1
sechx = ± i sec x ,
−1
cschx = i csc ix ,
x
⌠ 1
x = ⎮ dt ,
2
⌡ t − 1
0
x
⌠ 1
x = ⎮ dt ,
2
⌡ t + 1
0
tanh
coth
−1
coshix = ± i cos ix ,
−1
sinhix = i sin x ,
−1
tanhix = i tan x ,
−1
cothix = −i
cot x ,
−1
sechix = ± i sec ix ,
−1
cschix = −i
csc x .
−1
−1
x
⌠ 1
x = ⎮ dt ( | x | < 1)
,
2
⌡ 1 − t
0
x
⌠ 1 − t
x = ⎮ dt ( | x | > 1)
.
⌡ 1 + t
sgnx
(54)
(55)
(56)
(57)

Un modello strutturale della Goniometria Iperbolica – 31
Altre identità possono essere dedotte combinando opportunamente le relazioni generali nelle Tabelle seguenti per le
rappresentazioni di ciascuna Funzione Iperbolica Inversa mediante qualsiasi altra Funzione Iperbolica Inversa:
−1
cosh x =
−1
sinh x =
−1
tanh x =
−1
sech x =
−1
csch x =
−1
coth x =
f cosh −
≡
−1
cosh x
−1
2
± cosh x +
± cosh
−1
1
1 − x
≡
1 −1
−1
f sinh f tanh
−1
2
± sinh x − 1 ± tanh
−1
1 sinh x
2
sinh
−1
−1 1
cosh ± sinh
x
x
1 − x
−1
1
2
− x
x
2
tanh
2
− 1 x + 1 −1 1
± cosh
sinh
tanh
x
x
± cosh
−1
x
x
2
− 1
sinh
−1
x
1
2
− 1
Le ambiguità di segno eventuali, cosh −1
± , implicano, rispettivamente, x 0 .
−1
cosh x =
−1
sinh x =
−1
tanh x =
−1
sech x =
−1
csch x =
−1
coth x =
f sech −
≡
± sech
≡
−1
−1
x
x
x
2
−1
tanh x
2
x
− 1
+ 1
−
± tanh 1 − x
−1
tanh
1 2
x
1
2
−1 1
1 −1
−
f ≡ csch f ≡ coth
−1 1
sech ± csch
x
−1
x
1
2
+ 1
−1
2
± sech 1 − x csch
± sech
sech
−1
sech x
−
−1
x
x
2
+
± csch
−1
x
1
2
− 1
coth ±
−1 1
csch
coth
x
− − x
2
1 1
−1
x
−1
csch x
1
2
1 x − 1 −
csch x
x
1 2
x
1 − x
Le ambiguità di segno eventuali, sech −1
± , implicano, rispettivamente, x 0 .
−
2
−1
− 1
coth
± coth
−1
x
x
x
2
x
x
+ 1
x
2
−1 1
−
coth x
1 2
−1
1 coth x
1
− 1
+ 1
1
1−
x
2
+ 1
■■■