INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti 1. E' data la ...

Dunque :
x + √ x − 1
x − 5
7
dx = 2 (t + 1) dt + 2
2
A + B = 5
2A − 2B = 4 =⇒
1 3
+
t − 2 2
1
t + 2
A = 7
2
B = 3
2
dt = t 2 + 2t + 7 log |t − 2| + 3 log |t + 2| + c =
= x − 1 + 2 √ x − 1 + 7 log | √ x − 1 − 2| + 3 log | √ x − 1 + 2| + c.
1
(d) Per risolvere l’integrale √ 3
2x( √ dx , allo scopo di “eliminare i radicali ” si può effettuare la
2x + 1)
sostituzione 2x = t6 , da cui dx = 3t5 dt ; in tal modo si ha √ 2x = t3 e
3√
2 2x = t .
Dunque:
1
√ 3
2x( √
3t
dx =
2x + 1) 5
t3 (t2
t
dt = 3
+ 1) 2
t2
dt = 3 1 −
+ 1 1
t2
dt = 3t − 3 arctan t + c =
+ 1
(e) L’integrale
= 3 6√ 2x − 3 arctan 6√ 2x + c.
1
− x2 dx è già stato risolto precedentemente per parti; si può anche effettuare la sostituzione
x = sin t, da cui e dx = cos t dt .
La funzione x = sin t non è iniettiva; pertanto, per poter effettuare la sostituzione inversa, dobbiamo restringerci
a un opportuno intervallo di integrazione; conviene scegliere l’intervallo − π
π
2 , 2 , in cui oltre a invertire la
funzione x = sin t, trovando t = arcsin x, è anche possibile ricavare √ 1 − x2 = cos t . Dunque
1
− x2 dx = cos 2
1 + cos(2t)
t dt =
dt =
2
1 1
1 1
t + sin(2t) + c = t + sin t cos t + c =
2 4 2 2
= 1
1
arcsin x +
2 2 x1 − x2 + c.
1
(f) Per risolvere l’integrale + x2 dx conviene effettuare la sostituzione x = sinh t, da cui si ricava
dx = cosh t dt ; si ha inoltre √ 1 + x2 = cosh t , tenendo conto che i due membri dell’ultima uguaglianza sono
funzioni sempre positive. Dunque
1
+ x2 dx = cosh 2 t −t 2 2t −2t (e + e ) e + e + 2
t dt =
dt =
dt =
4
4
1
2t −2t e − e
+ 2t + c =
4 2
= 1
1 1
1 1
sinh(2t) + t + c = sinh t cosh t + t + c =
4 2 2 2 2 x1 + x2 + 1
settsinhx + c.
2
x
(g) Per risolvere l’integrale
2 − 1 dx conviene effettuare la sostituzione x = cosh t, da cui si ricava
dx = sinh t dt .
Ponendoci su un opportuno intervallo di integrazione, possiamo invertire la funzione x = cosh t; conviene
scegliere l’intervallo [0, +∞), in cui si trova t = log(x + √ x 2 − 1). Inoltre è anche possibile ricavare √ x 2 − 1 =
sinh t . Dunque
x
2 − 1 dx =
sinh 2
t dt = (cosh 2
t − 1) dt = cosh 2 t dt − t.
Sfruttando il risultato appena trovato sopra
cosh 2 t dt = 1
2
1
sinh t cosh t + t + c, si ha:
2
x 1
2 − 1 dx =
2 xx2 − 1 + 1
2 log(x + x2 − 1) + c.
2
(h) Per calcolare
dx , allo scopo di trasformarlo in un integrale di funzione razionale possiamo
(1 + tan x) 2
usare la sostituzione tan x = t, da cui x = arctan t e dx = 1
1+t2 Quindi:
dt .