INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti 1. E' data la ...
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Dunque :<br />
x + √ x − 1<br />
x − 5<br />
<br />
<br />
7<br />
dx = 2 (t + 1) dt + 2<br />
2<br />
A + B = 5<br />
2A − 2B = 4 =⇒<br />
1 3<br />
+<br />
t − 2 2<br />
<br />
1<br />
t + 2<br />
A = 7<br />
2<br />
B = 3<br />
2<br />
dt = t 2 + 2t + 7 log |t − 2| + 3 log |t + 2| + c =<br />
= x − 1 + 2 √ x − 1 + 7 log | √ x − 1 − 2| + 3 log | √ x − 1 + 2| + c.<br />
<br />
1<br />
(d) Per risolvere l’integrale √ 3<br />
2x( √ dx , allo scopo di “eliminare i radicali ” si può effettuare <strong>la</strong><br />
2x + 1)<br />
sostituzione 2x = t6 , da cui dx = 3t5 dt ; in tal modo si ha √ 2x = t3 e<br />
3√<br />
2 2x = t .<br />
Dunque:<br />
<br />
1<br />
√ 3<br />
2x( √ <br />
3t<br />
dx =<br />
2x + 1) 5<br />
t3 (t2 <br />
t<br />
dt = 3<br />
+ 1) 2<br />
t2 <br />
dt = 3 1 −<br />
+ 1 1<br />
t2 <br />
dt = 3t − 3 arctan t + c =<br />
+ 1<br />
(e) L’integrale<br />
= 3 6√ 2x − 3 arctan 6√ 2x + c.<br />
1<br />
− x2 dx è già stato risolto precedentemente per parti; si può anche effettuare <strong>la</strong> sostituzione<br />
x = sin t, da cui e dx = cos t dt .<br />
La funzione x = sin t non è iniettiva; pertanto, per poter effettuare <strong>la</strong> sostituzione inversa, dobbiamo restringerci<br />
a un opportuno intervallo di integrazione; conviene scegliere l’intervallo − π<br />
<br />
π<br />
2 , 2 , in cui oltre a invertire <strong>la</strong><br />
funzione x = sin t, trovando t = arcsin x, è anche possibile ricavare √ 1 − x2 = cos t . Dunque<br />
1 <br />
− x2 dx = cos 2 <br />
1 + cos(2t)<br />
t dt =<br />
dt =<br />
2<br />
1 1<br />
1 1<br />
t + sin(2t) + c = t + sin t cos t + c =<br />
2 4 2 2<br />
= 1<br />
1<br />
arcsin x +<br />
2 2 x1 − x2 + c.<br />
1<br />
(f) Per risolvere l’integrale + x2 dx conviene effettuare <strong>la</strong> sostituzione x = sinh t, da cui si ricava<br />
dx = cosh t dt ; si ha inoltre √ 1 + x2 = cosh t , tenendo conto che i due membri dell’ultima uguaglianza sono<br />
funzioni sempre positive. Dunque<br />
1 <br />
+ x2 dx = cosh 2 t −t 2 2t −2t (e + e ) e + e + 2<br />
t dt =<br />
dt =<br />
dt =<br />
4<br />
4<br />
1<br />
<br />
2t −2t e − e<br />
+ 2t + c =<br />
4 2<br />
= 1<br />
1 1<br />
1 1<br />
sinh(2t) + t + c = sinh t cosh t + t + c =<br />
4 2 2 2 2 x1 + x2 + 1<br />
settsinhx + c.<br />
<br />
2<br />
x<br />
(g) Per risolvere l’integrale<br />
2 − 1 dx conviene effettuare <strong>la</strong> sostituzione x = cosh t, da cui si ricava<br />
dx = sinh t dt .<br />
Ponendoci su un opportuno intervallo di integrazione, possiamo invertire <strong>la</strong> funzione x = cosh t; conviene<br />
scegliere l’intervallo [0, +∞), in cui si trova t = log(x + √ x 2 − 1). Inoltre è anche possibile ricavare √ x 2 − 1 =<br />
sinh t . Dunque<br />
x <br />
2 − 1 dx =<br />
sinh 2 <br />
t dt = (cosh 2 <br />
t − 1) dt = cosh 2 t dt − t.<br />
Sfruttando il risultato appena trovato sopra<br />
<br />
cosh 2 t dt = 1<br />
2<br />
1<br />
sinh t cosh t + t + c, si ha:<br />
2<br />
x 1<br />
2 − 1 dx =<br />
2 xx2 − 1 + 1<br />
2 log(x + x2 − 1) + c.<br />
<br />
2<br />
(h) Per calco<strong>la</strong>re<br />
dx , allo scopo di trasformarlo in un integrale di funzione razionale possiamo<br />
(1 + tan x) 2<br />
usare <strong>la</strong> sostituzione tan x = t, da cui x = arctan t e dx = 1<br />
1+t2 Quindi:<br />
dt .