INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti 1. E' data la ...

4. Ricordiamo la regola di integrazione per parti:
(a) Per ricavare x sin x dx scegliamo
f ′
(x) · g(x) dx = f(x) · g(x) −
f ′ (x) = sin x
g(x) = x
=⇒
Otteniamo:
x sin x dx = −x cos x − (− cos x) dx = −x cos x + sin x + c
(b) Per ricavare 2xe −x
dx = 2 xe −x dx , conviene scegliere
Dunque:
2 xe −x dx = 2
f(x) · g ′ (x) dx
f(x) = − cos x
g ′ (x) = 1
f ′ (x) = e −x
g(x) = x
−x
f(x) = −e
=⇒
g ′ (x) = 1
−x · e −x
− (−e −x
) dx = 2(−x · e −x − e −x ) + c = −2e −x (x + 1) + c.
(c) In questo caso conviene vedere la funzione integranda log(1 + x) come prodotto della funzione costante 1 per
la funzione log(1 + x) e scegliere
Pertanto
f ′ (x) = 1
g(x) = log(1 + x) =⇒
log(1 + x) dx = x log(1 + x) −
x
1 + x
dx .
f(x) = x
g ′ (x) = 1
1 + x
Per calcolare l’ultimo integrale, conviene prima eseguire un “trucco” algebrico, e poi sfruttare la linearità
dell’integrale; nel prossimo esercizio vedremo un procedimento più completo che tratta dell’integrazione delle
funzioni razionali.
Per ora, scriviamo:
x x + 1 − 1 1 + x 1
1
= = − = 1 −
1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x ;
dunque
x
1 + x
dx =
dx −
1
1 + x
dx = x − log |1 + x| + c.
Tornando all’integrale di partenza, si ha:
log(1 + x) dx = x log(1 + x) − x + log (1 + x) + c.
L’ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che la funzione integranda è definita solo per x > −1.
(d) 2x log(x − 5) dx = x 2
x
log(x − 5) −
2
x − 5 dx
Anche in questo caso, manipoliamo l’ultima funzione razionale, nel seguente modo:
x2 x − 5 = x2 − 25 + 25
=
x − 5
x2 − 25 25 (x − 5)(x + 5)
+ = +
x − 5 x − 5 x − 5
25
25
= x + 5 +
x − 5 x − 5 .
Pertanto
2x log(x − 5) dx = x 2
log(x − 5) − x + 5 + 25
x − 5
dx = x 2 log(x − 5) − x2
2
La funzione integranda è definita solo per x > 5; pertanto si avrà |x − 5| = x − 5. Dunque
2x log(x − 5) dx = x 2 log(x − 5) − x2
− 5x − 25 log(x − 5) + c.
2
(e) x log 2 (5x) dx = x2
2 log2 2 x 5 x2
(5x) − 2 log(5x) dx =
2 5x 2 log2
(5x) − x log(5x)
.
− 5x − 25 log |x − 5| + c
Riapplicando nuovamente la formula di integrazione per parti all’ultimo integrale, ricaviamo
x log 2 (5x) dx = x2
2 log2 2
x 1
(5x) − log(5x) − x dx =
2 2
x2
2 log2 (5x) − x2 x2
log(5x) + + c
2 4