Luogo delle radici

1
Luogo delle radici
n
m
p
s
z
s
K
s
P
s
G
s
F
n
i
i
m
i
i
<
−
−
=
=
∏
∏
=
=
,
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
1
1
(1)
G(s) P(s)
+
‐

Le radici di:
n
∏
m
i=
1
i=
1
coincidono con i poli della funzione razionale:
W ( s)
( s − p ) + '∏
i K ( s − z
=
1+
F(
s)
i
F(
s)
Si vuole studiare il luogo geometrico dei punti del piano complesso descritto dalle radici
dell’equazione (2) al variare del parametro reale
)
=
0
K ' (Evans, 1955).
(2)
(3)
2

Il luogo geometrico delle radici della (2) corrispondenti a valori positivi di
K ' assume solo valori negativi si parla di luogo negativo.
n
∏
m
i=
1
i=
1
( s − p ) + '∏
i K ( s − z
i
)
=
∏
n
m
s − pi
= K'
i=
1
i=
1
0
∏
n
∑
m
i=
1
i=
1
s
−
z
i
K ' viene detto luogo positivo; se
n
m
∏ ( s − pi
) = −K
'
i=
1
i=
1
∠s − p = π + ∠ + ∑
i K'
∠s
− zi
+ h2π
, h ∈ Ν
∏
( s − z
Condizione di modulo (5)
i
)
(4)
Condizione di fase (6)
3

4
∏
∏
=
=
−
−
= m
i
i
n
i
i
z
s
p
s
K
1
1
'
(7)
⎩
⎨
⎧ +
=
−
∠
−
−
∠ ∑
∑ =
=
negativo
luogo
h
positivo
luogo
h
z
s
p
s
m
i
i
n
i
i
π
π
π
2
2
1
1
(8)

Riguardiamo l’equazione
come un’equazione del tipo:
n
∏
m
i=
1
i=
1
( s − p ) + '∏
i K ( s − z
i
)
=
f ( s,
K'
) = 0
(9)
e consideriamo le radici come funzioni implicite del parametro reale
corrispondente a K '= K ' , per il quale risulti
⎡∂f
( s,
K'
) ⎤
⎢ ⎥
⎣ ∂s
⎦
( s,
K ')
≠
0
0
K ' . Se s è un punto del luogo,
in un opportuno intorno di s il luogo coincide con un arco di curva regolare.
(10)
5

I diversi archi di curva regolare (rami) si raccordano nei punti singolari del luogo, ovvero
nei punti in cui è violata la condizione (10):
⎡∂f
( s,
K'
) ⎤
⎢ ⎥
⎣ ∂s
⎦
( s,
K ')
≠
0
I punti in cui è violata la (10) sono radici multiple della (2).
6

Regole per il tracciamento
• Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale; infatti le radici
complesse di un’equazione polinomiale a coefficienti reali si presentano a coppie
coniugate.
• I punti singolari del luogo sono calcolabili mediante il sistema di equazioni:
d
ds
n
∏
m
i=
1
i=
1
( s − p ) + '∏
i K ( s − z
n
∏
m
i=
1
i=
1
d
( s − p ) + ' ∏
i K ( s − z
ds
i
) = 0
i
) = 0
(11)
(12)
7

Tale sistema fornisce sia i punti singolari del luogo positivo sia quelli del luogo negativo; eliminando il
parametro
m
K ' fra le (11) e (12) si può scrivere una sola equazione nell’incognita s:
n
∏
d
( − ) ∏(
− ) −∏
d
s z
( − ) ∏
i s pi
s pi
( s − z
ds
ds
i=
1
i=
1
i=
1
i=
1
Ogni punto singolare del luogo è radice della (13) ma non viceversa.
n
La (13) ha grado pari a n+m‐1 e dunque il luogo è dotato al più di n+m‐1 punti
singolari (alcuni dei quali, eventualmente, coincidenti) disposti simmetricamente
rispetto all’asse reale.
• I poli p 1 , p2,...,
pn
della F(s) sono punti del luogo corrispondenti al valore 0 del
parametro K '.
m
i
)
=
0
(13)
8

• Quando K ' tende a + ∞ (per il luogo positivo) o a − ∞ (per il luogo negativo)
z ,..., z
m rami del luogo convergono sugli zeri 1 m della funzione F(s) ed altri n‐m
divergono verso il punto improprio.
• Al luogo positivo appartengono i punti dell’asse reale che lasciano alla loro
destra un numero dispari di zeri e/o di poli (contati con la loro molteplicità) della
funzione F(s). I restanti punti dell’asse reale appartengono al luogo negativo.
Infatti, scrivendo la condizione di fase per un punto dell’asse reale, si osserva che i termini corrispondenti
a poli e/o zeri coniugati danno un contributo complessivamente nullo e che quelli corrispondenti a poli
e/o zeri reali posti a sinistra dello stesso punto sono nulli. Sono diversi da zero solo i contributi relativi a
polie/o zeri situati alla destra del punto in questione.
9

• Se s è un punto regolare, corrispondente al valore K ' = K ' , la tangente al ramo del luogo
passante per s , orientata concordemente con il verso nel quale K ' risulta crescente, forma con
l’asse delle ascisse un angolo pari a:
m
Φ s = ∑ ∠s
− zi
− ∑ ∠s
i=
1
s s ,...,
n
i=
2
−
s
i
+ π
essendo 2 n gli altri punti del luogo corrispondenti al medeimo valore ' K '
K = .
• In un punto singolare del luogo, di molteplicità μ confluiscono 2 μ rami del
luogo, alternativamente convergenti e divergenti. Le direzioni delle tangenti a
questi rami, nel punto singolare, formano una stella regolare che divide l’angolo
giro in 2 μ angoli uguali.
10

• I rami del luogo che divergono verso il punto improprio tendono
asintoticamente a n‐m semirette che formano con l’asse delle ascisse angoli pari
a :
π + 2hπ Φ + = , h = 1,
2,...,
n − m nel luogo positivo
n − m
e pari a :
2hπ Φ − = , h = 1,
2,...,
n − m
nel luogo negativo.
n − m
Tutte queste semirette hanno in comune il punto dell’asse reale di ascissa:
11

s
o
=
n
m
∑ pi
−
i 1 i=
n − m
∑
= 1
z
i
centro degli asintoti
Configurazioni asintoti
Luogo positivo: Luogo negativo
n‐m=1 n‐m=1
n‐m=2 n‐m=2
12

n‐m=3 n‐m=3
n‐m=4 n‐m=4
• Gli eventuali punti di attraversamento dell’asse immaginario da parte del luogo
si possono determinare applicando l’algoritmo di Routh all’equazione (2)
13

Luogo positivo:
si hanno n luoghi (ciascuno dei quali corrisponde alle n radici)
da ogni polo parte uno e un solo luogo positivo
ad ogni zero e ad ogni asintoto arriva uno e un solo luogo
il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale
14

si hanno n luoghi
Luogo negativo:
ad ogni polo arriva uno e un solo luogo negativo
da ogni zero e da ogni asintoto parte uno e un solo luogo
il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale
m rami del luogo provengono dagli zeri per K ' = −∞ e altri n‐m divergono
all’infinito
15

Analisi:
+
‐
• m=1 (numero zeri)
• n=3 (numero poli)
• numero asintoti=n‐m=3‐1=2
Esempio luogo delle radici
• n‐m+1=3 avremo al più 3 punti singolari
• centro degli asintoti:
F
() s
= K
s
s + 1
( s −1)(
s + 3)
C
A
=
n
∑
i=
1
p
i
−
m
∑
n − m
j=
1
z
i
0 + 1−
3 −
=
3 −1
( −1)
= −
1
2
16

f
∂f
∂s
• Calcolo punti singolari
( s , k )
( s , k )
=
=
0
0
Ricavo K dalla seconda equazione:
Lo sostituisco nella prima:
s
3
3s
+ 2s
2
2
+
( k − 3)
s
+
+ 4s
+ k − 3 = 0
2 k = 3 − 3s
− 4s
[ ( 2 ) ] 2
3 − 3s
− 4s
− 3 s + 3 − 3s
− 4 0
3 2 s + 2s
+
s =
Ottengo un’equazione di grado n+m‐1=3 che ha 3 soluzioni s 1,
s2
, s3
, cui corrispondono
K , K , K :
3valori di K: 1 2 3
k
=
0
17

•
s = 0.
45
K = 0 59 ∈ R
s
1
2
=
− 5.
9 + 4.
3 j
• 4
s
3
=
− 5.
9 − 4.
3 j
• 4
Ciascuno ha molteplicità
μ =
( ) ( )
Le coppie s K , s , K
2
2
3
1
3
1 .
, non sono punti singolari
K = 5.
84 + 5.
21 j ∈C
2
K = 5.
84 − 5.
21 j ∈C
3
18

Possiamo tracciare il luogo:
Posizionare poli (X)
Posizionare zeri (O)
Assegnare l’asse reale
Posizionare il centro degli asintoti
Tracciare gli asintoti
Posizionare punti singolari
Tracciare il luogo positivo
Tracciare il luogo negativo
19

Luogo positivo
Imaginary Axis
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
Root Locus
-8
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Real Axis
20

Luogo negativo
Imaginary Axis
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Root Locus
-1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Real Axis
21

Programma Matlab
%Esempio di luogo delle radici
clear all
close all
%funzione di trasferimento: F(s)=(s+3)/(s^2+2*s+3)
%
num=[1 3];
den=[1 2 3]
figure
rlocus(num, den) %luogo positivo
figure
rlocus(-num,den)%luogo negativo
22