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1<br />
<strong>Luogo</strong> <strong>delle</strong> <strong>radici</strong><br />
n<br />
m<br />
p<br />
s<br />
z<br />
s<br />
K<br />
s<br />
P<br />
s<br />
G<br />
s<br />
F<br />
n<br />
i<br />
i<br />
m<br />
i<br />
i<br />
<<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
∏<br />
∏<br />
=<br />
=<br />
,<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
'<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
1<br />
1<br />
(1)<br />
G(s) P(s)<br />
+<br />
‐
Le <strong>radici</strong> di:<br />
n<br />
∏<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
coincidono con i poli della funzione razionale:<br />
W ( s)<br />
( s − p ) + '∏<br />
i K ( s − z<br />
=<br />
1+<br />
F(<br />
s)<br />
i<br />
F(<br />
s)<br />
Si vuole studiare il luogo geometrico dei punti del piano complesso descritto dalle <strong>radici</strong><br />
dell’equazione (2) al variare del parametro reale<br />
)<br />
=<br />
0<br />
K ' (Evans, 1955).<br />
(2)<br />
(3)<br />
2
Il luogo geometrico <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> della (2) corrispondenti a valori positivi di<br />
K ' assume solo valori negativi si parla di luogo negativo.<br />
n<br />
∏<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
( s − p ) + '∏<br />
i K ( s − z<br />
i<br />
)<br />
=<br />
∏<br />
n<br />
m<br />
s − pi<br />
= K'<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
0<br />
∏<br />
n<br />
∑<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
s<br />
−<br />
z<br />
i<br />
K ' viene detto luogo positivo; se<br />
n<br />
m<br />
∏ ( s − pi<br />
) = −K<br />
'<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
∠s − p = π + ∠ + ∑<br />
i K'<br />
∠s<br />
− zi<br />
+ h2π<br />
, h ∈ Ν<br />
∏<br />
( s − z<br />
Condizione di modulo (5)<br />
i<br />
)<br />
(4)<br />
Condizione di fase (6)<br />
3
4<br />
∏<br />
∏<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
= m<br />
i<br />
i<br />
n<br />
i<br />
i<br />
z<br />
s<br />
p<br />
s<br />
K<br />
1<br />
1<br />
'<br />
(7)<br />
⎩<br />
⎨<br />
⎧ +<br />
=<br />
−<br />
∠<br />
−<br />
−<br />
∠ ∑<br />
∑ =<br />
=<br />
negativo<br />
luogo<br />
h<br />
positivo<br />
luogo<br />
h<br />
z<br />
s<br />
p<br />
s<br />
m<br />
i<br />
i<br />
n<br />
i<br />
i<br />
π<br />
π<br />
π<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
(8)
Riguardiamo l’equazione<br />
come un’equazione del tipo:<br />
n<br />
∏<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
( s − p ) + '∏<br />
i K ( s − z<br />
i<br />
)<br />
=<br />
f ( s,<br />
K'<br />
) = 0<br />
(9)<br />
e consideriamo le <strong>radici</strong> come funzioni implicite del parametro reale<br />
corrispondente a K '= K ' , per il quale risulti<br />
⎡∂f<br />
( s,<br />
K'<br />
) ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ∂s<br />
⎦<br />
( s,<br />
K ')<br />
≠<br />
0<br />
0<br />
K ' . Se s è un punto del luogo,<br />
in un opportuno intorno di s il luogo coincide con un arco di curva regolare.<br />
(10)<br />
5
I diversi archi di curva regolare (rami) si raccordano nei punti singolari del luogo, ovvero<br />
nei punti in cui è violata la condizione (10):<br />
⎡∂f<br />
( s,<br />
K'<br />
) ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ∂s<br />
⎦<br />
( s,<br />
K ')<br />
≠<br />
0<br />
I punti in cui è violata la (10) sono <strong>radici</strong> multiple della (2).<br />
6
Regole per il tracciamento<br />
• Il luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> è simmetrico rispetto all’asse reale; infatti le <strong>radici</strong><br />
complesse di un’equazione polinomiale a coefficienti reali si presentano a coppie<br />
coniugate.<br />
• I punti singolari del luogo sono calcolabili mediante il sistema di equazioni:<br />
d<br />
ds<br />
n<br />
∏<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
( s − p ) + '∏<br />
i K ( s − z<br />
n<br />
∏<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
d<br />
( s − p ) + ' ∏<br />
i K ( s − z<br />
ds<br />
i<br />
) = 0<br />
i<br />
) = 0<br />
(11)<br />
(12)<br />
7
Tale sistema fornisce sia i punti singolari del luogo positivo sia quelli del luogo negativo; eliminando il<br />
parametro<br />
m<br />
K ' fra le (11) e (12) si può scrivere una sola equazione nell’incognita s:<br />
n<br />
∏<br />
d<br />
( − ) ∏(<br />
− ) −∏<br />
d<br />
s z<br />
( − ) ∏<br />
i s pi<br />
s pi<br />
( s − z<br />
ds<br />
ds<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
Ogni punto singolare del luogo è radice della (13) ma non viceversa.<br />
n<br />
La (13) ha grado pari a n+m‐1 e dunque il luogo è dotato al più di n+m‐1 punti<br />
singolari (alcuni dei quali, eventualmente, coincidenti) disposti simmetricamente<br />
rispetto all’asse reale.<br />
• I poli p 1 , p2,...,<br />
pn<br />
della F(s) sono punti del luogo corrispondenti al valore 0 del<br />
parametro K '.<br />
m<br />
i<br />
)<br />
=<br />
0<br />
(13)<br />
8
• Quando K ' tende a + ∞ (per il luogo positivo) o a − ∞ (per il luogo negativo)<br />
z ,..., z<br />
m rami del luogo convergono sugli zeri 1 m della funzione F(s) ed altri n‐m<br />
divergono verso il punto improprio.<br />
• Al luogo positivo appartengono i punti dell’asse reale che lasciano alla loro<br />
destra un numero dispari di zeri e/o di poli (contati con la loro molteplicità) della<br />
funzione F(s). I restanti punti dell’asse reale appartengono al luogo negativo.<br />
Infatti, scrivendo la condizione di fase per un punto dell’asse reale, si osserva che i termini corrispondenti<br />
a poli e/o zeri coniugati danno un contributo complessivamente nullo e che quelli corrispondenti a poli<br />
e/o zeri reali posti a sinistra dello stesso punto sono nulli. Sono diversi da zero solo i contributi relativi a<br />
polie/o zeri situati alla destra del punto in questione.<br />
9
• Se s è un punto regolare, corrispondente al valore K ' = K ' , la tangente al ramo del luogo<br />
passante per s , orientata concordemente con il verso nel quale K ' risulta crescente, forma con<br />
l’asse <strong>delle</strong> ascisse un angolo pari a:<br />
m<br />
Φ s = ∑ ∠s<br />
− zi<br />
− ∑ ∠s<br />
i=<br />
1<br />
s s ,...,<br />
n<br />
i=<br />
2<br />
−<br />
s<br />
i<br />
+ π<br />
essendo 2 n gli altri punti del luogo corrispondenti al medeimo valore ' K '<br />
K = .<br />
• In un punto singolare del luogo, di molteplicità μ confluiscono 2 μ rami del<br />
luogo, alternativamente convergenti e divergenti. Le direzioni <strong>delle</strong> tangenti a<br />
questi rami, nel punto singolare, formano una stella regolare che divide l’angolo<br />
giro in 2 μ angoli uguali.<br />
10
• I rami del luogo che divergono verso il punto improprio tendono<br />
asintoticamente a n‐m semirette che formano con l’asse <strong>delle</strong> ascisse angoli pari<br />
a :<br />
π + 2hπ Φ + = , h = 1,<br />
2,...,<br />
n − m nel luogo positivo<br />
n − m<br />
e pari a :<br />
2hπ Φ − = , h = 1,<br />
2,...,<br />
n − m<br />
nel luogo negativo.<br />
n − m<br />
Tutte queste semirette hanno in comune il punto dell’asse reale di ascissa:<br />
11
s<br />
o<br />
=<br />
n<br />
m<br />
∑ pi<br />
−<br />
i 1 i=<br />
n − m<br />
∑<br />
= 1<br />
z<br />
i<br />
centro degli asintoti<br />
Configurazioni asintoti<br />
<strong>Luogo</strong> positivo: <strong>Luogo</strong> negativo<br />
n‐m=1 n‐m=1<br />
n‐m=2 n‐m=2<br />
12
n‐m=3 n‐m=3<br />
n‐m=4 n‐m=4<br />
• Gli eventuali punti di attraversamento dell’asse immaginario da parte del luogo<br />
si possono determinare applicando l’algoritmo di Routh all’equazione (2)<br />
13
<strong>Luogo</strong> positivo:<br />
si hanno n luoghi (ciascuno dei quali corrisponde alle n <strong>radici</strong>)<br />
da ogni polo parte uno e un solo luogo positivo<br />
ad ogni zero e ad ogni asintoto arriva uno e un solo luogo<br />
il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale<br />
14
si hanno n luoghi<br />
<strong>Luogo</strong> negativo:<br />
ad ogni polo arriva uno e un solo luogo negativo<br />
da ogni zero e da ogni asintoto parte uno e un solo luogo<br />
il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale<br />
m rami del luogo provengono dagli zeri per K ' = −∞ e altri n‐m divergono<br />
all’infinito<br />
15
Analisi:<br />
+<br />
‐<br />
• m=1 (numero zeri)<br />
• n=3 (numero poli)<br />
• numero asintoti=n‐m=3‐1=2<br />
Esempio luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong><br />
• n‐m+1=3 avremo al più 3 punti singolari<br />
• centro degli asintoti:<br />
F<br />
() s<br />
= K<br />
s<br />
s + 1<br />
( s −1)(<br />
s + 3)<br />
C<br />
A<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i<br />
−<br />
m<br />
∑<br />
n − m<br />
j=<br />
1<br />
z<br />
i<br />
0 + 1−<br />
3 −<br />
=<br />
3 −1<br />
( −1)<br />
= −<br />
1<br />
2<br />
16
f<br />
∂f<br />
∂s<br />
• Calcolo punti singolari<br />
( s , k )<br />
( s , k )<br />
=<br />
=<br />
0<br />
0<br />
Ricavo K dalla seconda equazione:<br />
Lo sostituisco nella prima:<br />
s<br />
3<br />
3s<br />
+ 2s<br />
2<br />
2<br />
+<br />
( k − 3)<br />
s<br />
+<br />
+ 4s<br />
+ k − 3 = 0<br />
2 k = 3 − 3s<br />
− 4s<br />
[ ( 2 ) ] 2<br />
3 − 3s<br />
− 4s<br />
− 3 s + 3 − 3s<br />
− 4 0<br />
3 2 s + 2s<br />
+<br />
s =<br />
Ottengo un’equazione di grado n+m‐1=3 che ha 3 soluzioni s 1,<br />
s2<br />
, s3<br />
, cui corrispondono<br />
K , K , K :<br />
3valori di K: 1 2 3<br />
k<br />
=<br />
0<br />
17
•<br />
s = 0.<br />
45<br />
K = 0 59 ∈ R<br />
s<br />
1<br />
2<br />
=<br />
− 5.<br />
9 + 4.<br />
3 j<br />
• 4<br />
s<br />
3<br />
=<br />
− 5.<br />
9 − 4.<br />
3 j<br />
• 4<br />
Ciascuno ha molteplicità<br />
μ =<br />
( ) ( )<br />
Le coppie s K , s , K<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1 .<br />
, non sono punti singolari<br />
K = 5.<br />
84 + 5.<br />
21 j ∈C<br />
2<br />
K = 5.<br />
84 − 5.<br />
21 j ∈C<br />
3<br />
18
Possiamo tracciare il luogo:<br />
Posizionare poli (X)<br />
Posizionare zeri (O)<br />
Assegnare l’asse reale<br />
Posizionare il centro degli asintoti<br />
Tracciare gli asintoti<br />
Posizionare punti singolari<br />
Tracciare il luogo positivo<br />
Tracciare il luogo negativo<br />
19
<strong>Luogo</strong> positivo<br />
Imaginary Axis<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
Root Locus<br />
-8<br />
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5<br />
Real Axis<br />
20
<strong>Luogo</strong> negativo<br />
Imaginary Axis<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
Root Locus<br />
-1<br />
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6<br />
Real Axis<br />
21
Programma Matlab<br />
%Esempio di luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong><br />
clear all<br />
close all<br />
%funzione di trasferimento: F(s)=(s+3)/(s^2+2*s+3)<br />
%<br />
num=[1 3];<br />
den=[1 2 3]<br />
figure<br />
rlocus(num, den) %luogo positivo<br />
figure<br />
rlocus(-num,den)%luogo negativo<br />
22