L'AFFIDABILITÀ IN PRATICA I MODELLI MARKOVIANI - prima pagina

Ernani Carrada
L’AFFIDABILITÀ IN PRATICA
I MODELLI MARKOVIANI

Copyright © 2003 Ernani Carrada, Via B. Bruni 64 – 00189 – Roma
Prima edizione: settembre 2003
Ernani Carrada si è laureato in fisica all’Università di Pisa nel 1953.
Dopo un’esperienza nella progettazione di apparati elettronici per uso militare, ha iniziato
nel 1961 a occuparsi di affidabilità e discipline correlate presso la Selenia SpA di
Roma dove ha operato fino al 1979 toccando tutti gli aspetti di queste discipline.
Fino alla metà degli anni ’90 ha svolto attività professionale, sempre nell’ambito indicato,
in primarie aziende nazionali operanti nell’ambito militare e della automazione
industriale.
Dalla metà degli anni novanta alla fine del 2002 ha collaborato con il Consorzio Saturno
di Roma nominato per la realizzazione degli impianti elettroferroviari per l’alta velocità.
È stato autore di numerosi scritti, organizzatore e docente in corsi di formazione
specifici, attivo nelle associazioni professionali.

Indice
Indice ................................................................................................................................ 3
Prefazione ..................................................................................................................... 5
1. Introduzione.................................................................................................................. 7
1.1. L’affidabilità nell’ingegneria................................................................................. 7
1.2. L’approccio binario e la predizione....................................................................... 8
1.3. Diagrammi a blocchi di affidabilità (DBA)......................................................... 10
2. I processi markoviani in affidabilità........................................................................... 15
2.1. Generalità ............................................................................................................ 15
2.2. L’equazione fondamentale .................................................................................. 17
2.3. Caratteristiche di affidabilità in termini di probabilità ........................................ 20
2.4. Caratteristiche di affidabilità in termini di tempi medi di permanenza............... 20
2.4.1. Calcolo dei tempi medi di permanenza ........................................................ 21
2.4.2. Tempo e frequenza di ciclo .......................................................................... 23
2.5. Costruzione della matrice dei tassi di transizione ............................................... 26
2.5.1. Generalità ..................................................................................................... 26
2.5.2. Costruzione della matrice dei tassi di transizione ........................................ 28
2.5.3. Matrice dei tassi di transizione per un sistema di 5 componenti.................. 30
2.5.4. Regole empiriche per la costruzione della matrice dei tassi di transizione.. 34
3. Modelli elementari...................................................................................................... 37
3.1. Generalità ............................................................................................................ 37
3.2. Singolo blocco ..................................................................................................... 39
3.2.1. Impostazione................................................................................................. 39
3.2.2. Come eseguire i calcoli con MAPLE ........................................................... 39
3.3. Due blocchi.......................................................................................................... 44
3.3.1. Due blocchi connessione in serie ................................................................. 44
3.3.2. Due blocchi connessi in ridondanza sequenziale ......................................... 53
3.3.3. Due blocchi identici in ridondanza sequenziale ........................................... 58
3.3.4. Due blocchi in ridondanza sequenziale fredda............................................. 60
3.3.5. Due blocchi identici in ridondanza sequenziale fredda................................ 66
3.3.6. Manutenzione multipla................................................................................. 69
3.3.7. Due blocchi connessi in ridondanza operativa ............................................. 74
3.3.8. Due blocchi identici connessi in ridondanza operativa ................................ 78
3.4. Tre blocchi........................................................................................................... 81
3.4.1. Connessione in serie ..................................................................................... 81
3.4.2. Connessi in ridondanza calda 1 su 3............................................................. 86
3.4.3. Connessi in ridondanza calda 2 su 3............................................................. 88
3.4.4. Tre blocchi identici in ridondanza sequenziale 1 su 3.................................. 91
3.4.5. Tre blocchi identici connessi in ridondanza sequenziale 2 su 3................... 93
3.4.6. Due blocchi in ridondanza con commutatore reale ...................................... 97
3.4.7. Due blocchi identici in ridondanza con commutatore reale ....................... 105
4. Modello generale ...................................................................................................... 113
4.1. Introduzione....................................................................................................... 113
4.2. Quattro blocchi .................................................................................................. 114
4.2.1. Tabella degli stati e diagramma delle transizioni ....................................... 114
4.2.2. Probabilità degli stati.................................................................................. 115
4.2.3. Frequenze di ciclo degli stati...................................................................... 116

4.2.4. Esempio n. 1: 2 blocchi funzionanti su quattro .......................................... 118
4.2.5. Esempio n. 2: Guasti concomitanti............................................................. 124
4.2.6. I guasti concomitanti in generale................................................................ 127
4.3. Cinque blocchi................................................................................................... 130
4.3.1. Tabella degli stati e diagramma delle transizioni ....................................... 130
4.3.2. Probabilità degli stati.................................................................................. 132
4.3.3. Frequenza di ciclo degli stati...................................................................... 135
4.3.4. Esempio: 4 blocchi funzionanti su 5 identici ............................................. 138
4.4. Se i blocchi sono identici e raggruppabili ......................................................... 145
Appendice 1: Glossario essenziale ............................................................................... 151
Bibliografia................................................................................................................... 153

Prefazione
Allo scoccare del mio settantacinquesimo anno ho definitivamente abbandonato
l’attività professionale.
Nella tranquillità della mia nuova condizione di vita ho deciso di dedicare un po’ del
mio tempo a rendere disponibile per i miei colleghi più giovani qualche parte della mia
lunga esperienza nell’ambito dell’affidabilità. Questo libro è il primo tentativo.
Contiene nozioni pratiche utili a chi deve analizzare l’affidabilità di grossi sistemi riparabili.
Nell’ambito di queste analisi è spesso necessario automatizzare i calcoli necessari
alla determinazione di caratteristiche di affidabilità, sia per ragioni di tempo, sia (e forse
di più) per minimizzare le occasioni di commettere errori.
Penso che il contenuto dei capitoli che seguono sia di aiuto nell’impostazione di questo
tipo di automazione.
Ho ipotizzato che il lettore mio collega abbia una buona conoscenza dei concetti e dei
metodi dell’affidabilità, assunzione certo contraddittoria con la redazione del capitolo 1.
In esso cose ritenute note sono riportate talora in maniera troppo sintetica e tal altra con
parecchi dettagli.
Le prime servono a richiamare le coordinate fondamentali dell’ambiente in cui ci si accinge
a operare, le seconde a tenere desta l’attenzione su definizioni e procedure a mio
giudizio, certo opinabile, non sufficientemente considerate nella pratica corrente.
Discorso analogo vale per il glossario essenziale in Appendice 1.
Il capitolo 2 contiene stringate nozioni sull’uso dei processi di Markov in affidabilità;
talvolta un argomento è appena accennato per venir poi ripreso e sviluppato nell’analisi
di qualche caso significativo al capitolo seguente.
Il capitolo 3 è il cuore del libro. In esso vengono sviluppati i modelli elementari relativi
ai sistemi più semplici e frequenti nel processo di riduzione dei diagrammi a blocchi di
affidabilità. I modelli elementari sono i costituenti fondamentali per l’automazione della
predizione dell’affidabilità.
Il capitolo 4 getta uno sguardo oltre la barriera della pratica difficoltà di gestione dei sistemi
con molti stati.
Poiché i lettori potenziali non sono molti, non è il caso di pensare a una distribuzione
tradizionale.
Potete scaricare gratuitamente questo libro in formato PDF dal mio sito. In cambio
chiedo solo di inviarmi una e-mail. A interessarci di questi argomenti non siamo in
molti …, mi fa quindi piacere conoscere i miei lettori.
Il contenuto del libro può essere liberamente usato a condizione che ne venga citata la
fonte in modo completo (titolo e autore).
Sarò grato ai cortesi lettori che vorranno segnalarmi per e-mail errori, omissioni, possibilità
di miglioramento. Valuterò tutte le segnalazioni e rimetterò i risultati a disposizione
della comunità dei lettori.
Ernani Carrada
e.carrada@mclink.it
www.ernanicarrada.net
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 5 di 153

1. Introduzione
1. Introduzione
1.1. L’affidabilità nell’ingegneria
Nella realizzazione e nella gestione dei sistemi complessi indispensabili a sostenere le
necessità della vita moderna l’approccio sistemistico [1] comincia, con molte difficoltà,
a diffondersi anche nelle realtà industriali medio-piccole del nostro paese.
L’approccio sistemistico schematizza la struttura del ciclo di vita del generico sistema
come segue:
• Periodo di pianificazione
• Periodo di acquisizione
Fase di progettazione
Fase di produzione
Fase di installazione
• Periodo di esercizio.
Considerando la sola fase cruciale di progettazione, è da ritenersi ormai prassi corrente
in questo ambito il lavoro di squadra di più specialisti nelle discipline coinvolte che
sotto la guida di un capo progetto cercano il miglior compromesso tra molti requisiti
operativi spesso contrastanti e con stringenti vincoli di costo (soprattutto di esercizio).
In questa squadra l’affidabilista segue lo sviluppo del progetto assicurando il supporto
specialistico in materia di affidabilità e discipline correlate prima (studi preliminari, linee
guida), durante (costante monitoraggio dell’impatto delle scelte progettuali sulle caratteristiche
di affidabilità) e dopo (definizione di prove sperimentali e interpretazione
dei risultati) la realizzazione delle singole attività dello sviluppo.
La spina dorsale di questo supporto è costituita dalla analisi dell’affidabilità, che è il
processo, pianificato e documentato, di studio dei fatti che determinano l’affidabilità
intrinseca (vedi Appendice 1) del progetto.
Questo processo procede per successive approssimazioni durante tutta la fase di progettazione
cercando ottimizzazioni, generando prescrizioni qualitative e quantitative,
valutando continuamente in che misura il progetto evolve verso il conseguimento dei
requisiti specificati.
Questo processo è efficace soltanto se è fortemente integrato nel processo generale di
progettazione; analizzare un progetto già concluso serve unicamente a valutarne a posteriori
l’affidabilità intrinseca che potrebbe non risultare idonea a soddisfare le specifiche.
I tempi e i soldi per rimediare potrebbero essere proibitivi.
Le metodologie specifiche usate durante l’analisi di affidabilità fanno largo uso di modelli
di affidabilità.
Nell’ambito scientifico e tecnico si da il nome di modello a “un sistema fisico o matematico
che obbedisce a certe determinate condizioni il cui comportamento è usato per
capire un sistema fisico, biologico o sociale con esso analogo in qualche modo” [2].
Nell’ambito dell’affidabilità un modello di un sistema è una rappresentazione semplificata
del suo comportamento idonea a rendere fattibili delle determinazioni quantitative
della sua affidabilità.
Questo modello è a sua volta basato su un modello funzionale e su un profilo di missione.
Il profilo di missione è una descrizione cronologica dei modi operativi, degli eventi e
delle condizioni ambientali in senso lato (termiche, meccaniche, meteorologiche, elet-
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 7 di 153

1. Introduzione
tromagnetiche, di comportamenti umani, etc.) che un sistema incontra tra l’inizio e la
fine di una data missione, contenente i criteri di valutazione del successo della missione
e/o dei guasti critici.
Il modello funzionale di un sistema consiste di una descrizione narrativa del suo funzionamento
e di uno schema a blocchi.
La descrizione narrativa deve includere l’identificazione delle funzioni interne al sistema
e di quelle di interfaccia, le prestazioni attese fino a un sufficiente livello di disassiemamento
e la definizione dei guasti.
Questa descrizione deve essere approfondita quanto basta per consentire una sufficiente
e autonoma intelligenza del modello di affidabilità.
Lo schema a blocchi funzionale rappresenta il funzionamento e l’interconnessione delle
entità funzionali del sistema descritte nella documentazione di progetto.
Le funzioni e i modi operativi sono identificati partendo dal più alto livello di sistema e
proseguendo quindi verso i livelli di scomposizione più bassi.
Per evitare disordine e perdite di tempo, è indispensabile assicurare la coerenza del modello
funzionale con la documentazione ufficiale del progetto sancita dal controllo della
configurazione (Quadro 1.1. a pagina seguente).
Anche nel modello dell’affidabilità compare uno schema a blocchi nel quale gli stessi
blocchi dello schema funzionale non sono più collegati secondo una logica funzionale
ma secondo la logica del successo. Questo discorso verrà ripreso più avanti.
1.2. L’approccio binario e la predizione
Dopo circa mezzo secolo di vita l’affidabilità è ancora coltivata fondamentalmente nel
suo ambiente di origine: l’elettronica.
Ambiente caratterizzato dal fatto che apparecchiature anche molto complesse sono realizzate
interconnettendo un numero anche molto elevato di componenti, ma appartenenti
a un numero relativamente piccolo di tipi la quasi totalità dei quali standardizzati. Cioè
prodotti in quantità da più costruttori in modo da soddisfare, per quanto riguarda caratteristiche
fisiche (dimensioni, peso, mezzi di interconnessione, marcatura, etc.) e prestazioni,
delle specifiche praticamente identiche e suscettibili di uso in una varietà di apparecchiature
e di situazioni operative.
Di fatto il malfunzionamento di una apparecchiatura elettronica viene ricondotto al malfunzionamento
di un componente sostituito il quale con un esemplare funzionante del
medesimo tipo l’apparecchiatura riprende il suo normale funzionamento. La semplicità,
economicità e rapidità di ripristino del servizio mediante sostituzione ha sospinto a lungo
in secondo piano l’analisi del come e del perché del singolo guasto e consolidato
molto rapidamente il cosiddetto approccio binario: dal punto di vista dell’affidabilità un
oggetto ha due soli stati possibili, quello di funzionamento ( o di successo) nel quale si
comporta come prescritto nelle specifiche pertinenti e quello alternativo di guasto nel
quale una o più di tali prescrizioni non sono più soddisfatte.
L’ulteriore ipotesi della costanza nel tempo dei tassi di guasto e di ripristino ha reso
possibile lo sviluppo di modelli sufficientemente semplici per trattare quantitativamente
i problemi della predizione dell’affidabilità (Appendice 1).
Così l’affidabilità dei componenti elettronici propriamente detti (oggetti costituiti da due
o più parti assiemate che non è normalmente possibile disassiemare senza distruggere la
possibilità di corretto funzionamento del componente medesimo – ad esempio un trasformatore)
è riconducibile al suo tasso di guasto rilevato dall’esercizio, o da prove di
vita appositamente condotte, in una varietà di sollecitazioni circuitali e ambientali derivanti
a loro volta da una varietà di situazioni operative.
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Quadro 1.1. – Controllo della configurazione
1. Introduzione
Dalla norma internazionale ISO 10007 "Gestione della qualità - Linee guida per la gestione
della configurazione" alcune definizioni fondamentali.
Configurazione: insieme di caratteristiche fisiche e funzionali di un prodotto come
identificate nella documentazione tecnica e realizzata nel prodotto.
Oggetto di configurazione: aggregato di hardware, software, materiali lavorati, servizi,
o ogni loro parte distinta designata per la gestione della configurazione e trattato come
entità singola nel processo di gestione della configurazione.
Identificazione della configurazione: attività che comprendono l'identificazione della
struttura del prodotto, la selezione degli oggetti di configurazione e la documentazione
delle loro caratteristiche fisiche e funzionali incluse le interfacce e le successive varianti,
l'assegnazione di simboli di identificazione agli oggetti di configurazione e ai documenti
a essi pertinenti.
Queste attività includono le seguenti.
Struttura del prodotto e selezione degli oggetti di configurazione.
La struttura del prodotto descrive la posizione e le relazioni degli oggetti di configurazione
nella scomposizione del prodotto.
Gli oggetti di configurazione vengono scelti mediante un processo di decomposizione
dall'alto verso il basso che divide la struttura globale del prodotto in aggregati di hardware,
software, materiali lavorati, servizi, tra loro logicamente correlati e subordinati.
Documentazione degli oggetti di configurazione.
Tutte le necessarie caratteristiche fisiche e funzionali di un oggetto di configurazione
incluse interfacce, modifiche, errori e deroghe debbono essere contenute in documenti
chiaramente identificati normalmente chiamati "documenti di configurazione".
Numerazione.
Debbono essere istituite e applicate regole di numerazione per identificare gli oggetti di
configurazione, loro parti e sottoassiemi, documenti, interfacce, modifiche, errori e deroghe.
Le predizioni dell’affidabilità dei componenti, cioè le razionali congetture sulla loro affidabilità
in un dato contesto circuitale e ambientale, sono quindi derivate direttamente
dall’esperienza o determinate secondo regole derivate dall’elaborazione di dati sperimentali.
La seconda modalità, fino a poco tempo fa dominante, è largamente basata sul notissimo
manuale MIL-HDBK-217, oggi abbastanza sorpassato ed affiancato da altri manuali
dedicati al calcolo del tasso di guasto di componenti elettronici in ambienti operativi
specifici (vedi, ad esempio, [3], [4], [5]).
Da quanto detto deriva l’uso di chiamare genericamente componenti degli oggetti, siano
essi componenti propriamente detti o aggregati più complessi, le cui caratteristiche di
affidabilità possono essere ottenute direttamente dai dati sperimentali
I componenti vengono assiemati, cioè raggruppati e interconnessi, in modo da fornire
funzioni sempre più complesse fino al livello massimo del sistema che fornisce una funzione
operativa completa (una radio portatile, un radar aeroportuale, una rete di ponti
radio).
Della predizione dell’affidabilità dei componenti elettronici non si parlerà più nel seguito.
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1. Introduzione
Tra il livello di assiemamento minimo di componente e quello massimo di sistema viene
definito un certo numero di livelli intermedi in dipendenza da necessità di costruzione
e/o di gestione o altre contingenze.
Le caratteristiche di affidabilità degli oggetti a livello di assiemamento superiore a
quello di componente non sono, in generale, determinabili direttamente dai dati sperimentali;
debbono essere quindi determinate per via analitica conoscendo le caratteristiche
di affidabilità degli oggetti che li costituiscono e le loro interconnessioni secondo la
logica del successo.
Da ciò l’uso di chiamare genericamente sistemi gli aggregati di livello superiore al
componente le cui caratteristiche non sono, in generale, direttamente ricavabili dai dati
sperimentali.
La ricerca delle relazioni che legano le caratteristiche di affidabilità del sistema (nel
senso generico appena detto) all’affidabilità dei componenti (sempre nel senso generico
detto) costituisce uno dei problemi fondamentali dell’affidabilità.
1.3. Diagrammi a blocchi di affidabilità (DBA)
Il DBA è l’elemento fondamentale del modello di affidabilità ed è un parente stretto del
diagramma a blocchi funzionale al quale è perciò necessario tornare per qualche ulteriore
considerazione.
La struttura fisica di un sistema viene normalmente descritta appoggiandosi a un disassiemamento
gerarchico per livelli coerente con i criteri di gestione della configurazione
e contenente solo oggetti fisici di configurazione (Quadro 1.1.).
Eventuali elementi immateriali (software) sono ritenuti parte del loro contenitore materiale
e concorrono alla sua caratterizzazione (una ROM vergine è un oggetto differente
dalla stessa ROM contenente un dato file).
Esempio classico di disassiemamento gerarchico è la distinta base, con le sue metafore
di padri e figli, da molto tempo largamente usata, almeno nell’ambito metalmeccanico,
per le necessità organizzative dei processi produttivi.
Gli oggetti che derivano dal processo di disassiemamento in discorso vengono rappresentati
nella documentazione di progetto (schemi funzionali, di affidabilità, etc.) mediante
simboli grafici convenzionali che nelle singole rappresentazioni sono accompagnati
da una identificazione del simbolo e da una stringatissima descrizione che faccia
capire di che cosa si tratta ovviando alla eventuale cripticità dei simbolo.
La identificazione del simbolo nel linguaggio corrente viene chiamata impropriamente
simbolo e tale imprecisione è così diffusa e radicata che viene accettata anche in questo
libro.
Il simbolo può individuare un oggetto fisico fin dai primi passi della progettazione,
quando rappresenta appena una intenzione del progettista. Col progredire dello sviluppo
del progetto il simbolo rappresenta sempre meglio la funzione (o l’insieme di funzioni)
che l’oggetto è chiamato ad assolvere fino a rappresentare nella documentazione finale
del sistema l’oggetto che effettivamente assolve una data funzione in un certo contesto
circuitale (e quindi in una certa collocazione fisica).
In questa accezione il simbolo viene spesso usato come identificatore univoco degli oggetti
fisici di configurazione.
Il simbolo usato come identificatore univoco deve essere unico nell'ambito dell'oggetto
di configurazione cui appartiene (cioè tra i suoi metaforici fratelli) e identifica la collocazione
fisica dell'oggetto nella struttura in esame. L'univocità globale ai livelli di disassiemamento
più bassi (quindi ai livelli di assiemamento più alti), fino al livello di sistema,
si ottiene associando al simbolo dei singoli oggetti il simbolo del proprio padre.
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1. Introduzione
In concreto la funzione che compete a un simbolo può essere realizzata da oggetti fisici
differenti purché intercambiabili, cioè che realizzano le stesse funzioni operative nelle
stesse condizioni fisiche (ingombri e fissaggi) e ambientali.
Se questo accade, l'oggetto fisico che in concreto realizza quella funzione in quel contesto
circuitale deve avere un identificatore di carattere più generale che, per ragioni storiche,
viene spesso chiamato part number.
Questo part number identifica un tipo di oggetto, cioè il generico individuo tratto da una
popolazione (al limite di un solo individuo) omogenea perché costruita a fronte della
stessa specifica, con lo stesso processo produttivo (prove e collaudi compresi).
Quindi il part number può non essere unico; si pensi al caso banale di un certo tipo di
resistore che può comparire in più posizioni circuitali in uno stesso oggetto di configurazione.
Generalmente il part number individua più oggetti identici nell'ambito e per le necessità
di tutte le attività aziendali (e talora di esercizio), mentre il simbolo identifica una posizione
in un contesto funzionale di una certa apparecchiatura. Tale posizione può talvolta
essere occupata da oggetti diversi, quindi con part number diverso, tra loro compatibili
fisicamente e funzionalmente.
È chiaro che in un buon progetto il diagramma a blocchi funzionale avrà forti somiglianze
con la struttura fisica sopra descritta.
Un DBA è una rappresentazione grafica dell’affidabilità di un sistema che usa gli stessi
oggetti usati nel diagramma funzionale a blocchi..
Un DBA mostra la connessione logica dei singoli oggetti (che nel seguito verranno genericamente
chiamati “blocchi”) costituenti il sistema che nel loro stato di corretto funzionamento
assicurano il successo del sistema. Di fatto si costruisce un “percorso di
successo” tra un nodo di partenza e un nodo di arrivo opportunamente scelti.
La realizzazione di un DBA richiede:
• La buona conoscenza del funzionamento del sistema nei suoi possibili stati operativi
quale risulta dalla documentazione di progetto.
• La definizione chiara, completa e precisa delle condizioni che individuano il successo
del sistema.
• Le condizioni ambientali e di servizio (processi di avvio e di arresto, periodi e condizioni
di inattività, etc.) .
Il DBA è un elemento essenziale per costruire modelli di affidabilità poiché consente di
vedere sinteticamente l’effetto sul sistema dell’inaffidabilità degli oggetti che lo costituiscono.
Associando al DBA le equazioni che descrivono, per una o più caratteristiche di affidabilità,
le relazioni che legano le caratteristiche dei singoli oggetti (figli) a quelle
dell’oggetto di livello immediatamente superiore (padre) fino al livello di sistema si ottiene
un modello di affidablità.
Un DBA è esso stesso di fatto uno dei possibili modelli dell’affidabilità poiché consente
direttamente il calcolo della probabilità di successo R(t) con semplici formule booleane
(le principali sono per comodità riportate nel Quadro 1.2.) quando:
• non si tiene conto della riparabilità
• non è necessario tener conto dell’ordine in cui si verificano i guasti [6]
• il sistema è relativamente semplice.
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1. Introduzione
Se sono previste azioni di riparazione e/o si deve tener conto dell’ordine in cui si verificano
i guasti (di fatto nella maggior parte dei casi pratici) e/o il sistema è complesso sono
più adatte le tecniche markoviane delle quali si parla più avanti.
L’attento esame di DBA anche complessi consente di individuare blocchi o gruppi di
blocchi il cui comportamento è statisticamente indipendente dal comportamento degli
altri blocchi e per i quali quindi si possono calcolare delle caratteristiche di affidabilità e
sostituire man mano ciascun gruppo di blocchi con un unico blocco cui si attribuiscono
le caratteristiche di affidabilità per esso calcolate.
Alla fine di questo processo di sintesi si giunge a una catena apicale di blocchi in serie
la cui affidabilità si calcola in maniera abbastanza semplice.
Poiché spesso i gruppi di blocchi si possono scegliere in modo che la loro struttura consenta
di calcolarne le caratteristiche di affidabilità mediante un numero limitato di modelli
relativamente semplici, un idoneo DBA è fondamentale per l’automatizzazione dei
calcoli pertinenti.
È infatti possibile descrivere un DBA in termini idonei a essere acquisiti da programmi
di calcolo automatico anche usando l’esperienza ormai pluridecennale conseguita nella
gestione delle già citate distinte base.
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Quadro 1.2. - Regole per combinare le probabilità
1. Introduzione
Eventi condizionati
La probabilità che si verifichi l’evento A condizionatamente al fatto che si è già verificato
l’evento B
P(
A ∩ B)
P(
A | B)
= (1)
P(
B)
Eventi simultanei
Gli eventi sono indipendenti
P ( A ∩ B)
= P(
A)
P(
B)
(2)
Gli eventi non sono indipendenti
P ( A ∩ B)
= P(
B | A)
P(
A)
= P(
A | B)
P(
B)
(3)
Almeno 1 di 2
Gli eventi sono indipendenti ma non mutuamente escludentisi
P( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
A)
P(
B)
(4)
P(
A ∪ B ∪ C)
= P(
A)
+ P(
B)
+ P(
C)
− (( P(
A)
P(
B)
+ P(
A)
P(
C)
(5)
+ P(
B)
P(
C))
+ P(
A)
P(
B)
P(
C)
Gli eventi sono indipendenti e mutuamente escludentisi
P ( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
(6)
Gli eventi non sono indipendenti
P(
A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
A ∩ B)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
B | A)
P(
A)
= P(
A)
+ P(
B)
− P(
A | B)
P(
B)
Applicazione a eventi condizionati
L’evento A è condizionato all’essersi già verificati uno o più eventi Bi.
Applicando la[1]
P ( A | B1)
= P(
A | B1)
P(
B1)
…………………………….
P ( A | Bn
) = P(
A | Bn
) P(
Bn
)
da cui
n
∑ P(
A ∩ Bi
) = ∑
i=
1 i=
1
ma evidentemente
n
∑ P(
A ∩ B =
i= i ) P(
A
1
quindi
n
∑ P(
A | B
i= i ) P(
B
1
n
P(
A | B ) P(
B )
)
i
i
P(
A)
=
1)
(8)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 13 di 153
(7)

2. I processi markoviani in affidabilità
2. I processi markoviani in affidabilità
2.1. Generalità
Un sistema costituito da un certo numero N di oggetti, ciascuno dei quali può trovarsi in
uno di due possibili stati mutuamente escludentisi (corretto funzionamento – guasto),
può assumere NS = 2 N configurazioni mutuamente escludentisi; a ciascuna di queste
configurazioni si da il nome di stato del sistema.
Lo stato del sistema può cambiare nel tempo a seguito del verificarsi di eventi, i cambiamenti
di stato dei singoli oggetti, capaci ciascuno di far passare il sistema da un certo
stato Si a un altro stato Sj.
Questi cambiamenti di stato vengono chiamati transizioni e la loro successione cronologica
descrive l’evoluzione temporale del sistema, nota come traiettoria.
Se i cambiamenti di stato del sistema sono eventi aleatori, tale è anche l’evoluzione
temporale del sistema individuata dalle successive transizioni, cioè dalla successione
ordinata degli stati da esso occupati.
Al tempo t il generico stato Si può essere in uno stato di corretto funzionamento, cui attribuiamo
convenzionalmente il valore 0, oppure in uno stato di guasto cui attribuiamo
convenzionalmente il valore 1.
All’evento Si funzionante al tempo t compete una probabilità P{Si(t)}, quindi è possibile
associare all’evento Si(0,t) la pertinente P{Si(0,t)}, cioè definire la variabile aleatoria
Xi(0,t). La famiglia X(t) delle Xi(0,t) realizza un processo stocastico.
Si considerino le seguenti ipotesi di Markov:
1. La probabilità di transizione dallo stato Si allo stato Sj nell’intervallo di tempo ∆t
condizionata al fatto di essere in Si all’istante t dipende solo dagli stati Si ed Sj e non
dal come (traiettoria particolare) si è giunti nello stato di partenza (il processo non
ha memoria).
Cioè:
P{
Sj(
t + ∆t)
| Si
( t),
S k ( t −τ
1),......
} = P{
S j ( t + ∆t)
| Si
( t)
} =
. (2.1)
= pij
( t + ∆t,
t)
La probabilità di transizione di uno stato verso se stesso, cioè la probabilità di per-
manenza nello stato, è: pii
= 1 −∑
pij
,
= 1
≠
n
j
j
i
evidente conseguenza dell'uguaglianza a 1 della somma delle probabilità di tutti i
possibili eventi.
2. Il processo deve essere stazionario, cioè il suo comportamento deve essere lo stesso
qualunque istante si consideri e quindi la probabilità di una transizione tra due dati
stati deve essere identica durante il lasso di tempo considerato. Ciò implica che il
tasso di transizione tra due dati stati deve essere costante durante il tempo di osservazione,
quindi che la f.d.p. della grandezza associata sia esponenziale negativa.
Un processo stocastico del tipo in discorso che soddisfa le ipotesi di Markov viene
chiamato processo stocastico markviano stazionario a stati discreti e tempo continuo.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 15 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
Se la prima ipotesi di Markov esclude la dipendenza della probabilità di transizione dal
come si è giunti allo stato di partenza, non esclude per la probabilità di transizione la dipendenza
dal quando si è giunti allo stato di partenza; nella [2.1] infatti compare sia
l’istante di partenza t che la durata dell’osservazione ∆t.
Le probabilità di transizione pij possono essere raccolte in una matrice P con l’indice di
riga i che rappresenta lo stato di partenza e l’indice di colonna j che rappresenta lo stato
di arrivo.
La somma degli elementi di ciascuna riga, che rappresentano le probabilità di permanere
in un dato stato o di passare da esso a un qualunque altro stato, è uguale a 1 e la matrice
viene definita matrice stocastica per righe.
Un insieme di stati si dice costituire un insieme ergodico se essi comunicano tra di loro
e se il sistema, una volta che una transizione l’abbia condotto in tale insieme, non è più
in grado di uscirne.
Stato assorbente è uno stato che una volta raggiunto dal sistema non può più essere abbandonato.
Si tratta di un insieme ergodico costituito da un solo stato.
Un insieme di stati si dice costituire un insieme transitorio se essi comunicano tra di loro
e se il sistema, una volta che una transizione l’abbia condotto fuori da un tale insieme,
non è più in grado di tornarvi.
Degli stati di un sistema e delle transizioni tra essi può darsi una semplice ed efficace
rappresentazione grafica che introduciamo con un esempio.
Un sistema costituito da 3 componenti A, B e C ha 2 3 = 8 stati possibili individuati in
Tab.2.1. nella quale:
• N = identificazione dello stato del sistema;
• A, B, C = stato del componente (0=successo, 1=guasto);
• S1/3 = stato del sistema se basta il successo di un componente per il
successo del sistema;
• S2/3 = stato del sistema se è necessario il successo di 2 componenti per il successo
del sistema.
Tab. 2.1. – Possibili stati del sistema
N A B C S1/3 S2/3
1 0 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0
3 0 1 0 0 0
4 0 0 1 0 0
5 1 1 0 0 1
6 1 0 1 0 1
7 0 1 1 0 1
8 1 1 1 1 1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 16 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
Si costruisca un grafo i cui nodi sono gli 8 stati del sistema e i cui rami orientati sono le
transizioni tra di essi come in Fig. 2.1.
S1
p21
p31
p12
Fig. 2.1. - Diagramma degli stati e delle transizioni tra stati
Per una maggior comodità di lettura si omette, e si ometterà sempre nel seguito, la
rappresentazione delle permanenze negli stati cui competono le probabilità Pii che sarebbero
rappresentate da una linea che esce e rientra sul medesimo stato.
Si tratta per altro di una convenzione molto diffusa.
2.2. L’equazione fondamentale
Prendendo l’essenziale da [8,6.5.], sia i, j
ρ il tasso di transizione dallo stato i allo stato
j e quindi:
ρi, j∆t
= Pi
, j = probabilità di transizione da S i a S j durante ∆ t .
Se Pi () t = probabilità di osservare il sistema in S i al tempo t , la probabilità di osservare
il sistema in S i al tempo ( t + ∆t)
è data dalla somma della probabilità che compete
ai due eventi mutuamente escludentisi:
il sistema era nello stato Sj all’istante t ed è passato allo stato Si durante ∆t;
il sistema era nello stato Si all’istante t e non è passato in alcun altro stato durante
∆t.
In formula [2, 6.5.] :
p13
p41
p14
p25
S2
p52
p35
S5
p62
p53
S3
p46
S6
p73
p64
p47
S4 S7
p74
⎡
⎤
ρ ,
⎢⎣
⎥⎦
n
n
P ⎢
⎥
i
i
⎢
⎥
j = 1
j=
1
j ≠i
j≠
i
( t + ∆t)
= ∑ j,
i ∆t
Pj
() t + 1− ∑ ρi,
j ∆()
t P () t
sviluppando e dividendo per ∆ () t si ha:
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 17 di 153
p26
p37
p85
p87
p86
p68
p78
p58
S8

P
( t + ∆t)
− Pi
( t)
∆()
t
i
n
= ∑
j = 1
j ≠i
j,
i Pj
t
da cui passando al limite per ∆() t →0
si ha:
'
i
n
∑
j=
1
j≠
i
2. I processi markoviani in affidabilità
() t −[
Pi
() ]∑
ρ ρ ,
[ Pi
() t ]∑
P ( t)
= ρ P ( t)
− ρ .
j,
i
j
n
j = 1
j ≠i
i,
j
Per i = 1,
2,.....,
n si ha un sistema di equazioni differenziali del primo ordine che può essere
espressa in forma matriciale come
ove:
T =
−
n
∑
j=
2
ρ
1,
2
....
ρ
ρ
1,
n
1,
j
'
P1
( t)
'
P2
( t)
.....
'
P ( t)
n
−
ρ
n
∑
j=
1
j≠
2
2,
1
....
ρ
ρ
2,
n
= T
2,
j
P ( t)
1
P ( t)
2
.....
P ( t)
n
....
....
....
....
−
ρ
ρ
n−1
∑
j = 1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 18 di 153
n,
1
n,
2
....
ρ
n,
j
n
j=
1
j≠
i
,
i,
j
(2.2)
è la matrice dei coefficienti del nostro sistema di equazioni che in questo libro verrà per
semplicità indicata come “matrice dei tassi di transizione”; il suo generico elemento
ρ è il tasso di transizione tra lo stato i S allo stato S j .
i, j
La (2.2) può anche essere scritta come:
ove:
'
1
'
2
P ( t)
P ( t)
.....
'
n
P ( t)
= T T n P t P t P ..... ), ( ), ( 1 2
T T è la matrice trasposta della matrice T.
(2.3)

2. I processi markoviani in affidabilità
Risolvendo il sistema di equazioni differenziali lineari sopra descritto per date condizioni
iniziali si ottengono le probabilità di essere nei singoli stati in un certo istante.
Poiché gli stati sono mutuamente escludentisi, la probabilità di corretto funzionamento
del sistema è data dalla somma delle probabilità degli stati etichettati come di successo.
Qualunque sia la tecnica usata per la risoluzione del detto sistema di equazioni, le difficoltà
e il tempo necessario aumentano esponenzialmente al crescere del numero degli
stati.
Per aggirare questa limitazione si cerca di descrivere il sistema in esame scomponendolo
in sottosistemi più semplici e di introdurre per questi sottosistemi ipotesi atte a
semplificarne, senza eccessivo sacrificio della precisione del risultato globale, la struttura
in modo da minimizzare il numero di stati da considerare.
Quando t→∞ le probabilità degli stati raggiungono i loro valori asintotici stazionari le
cui derivate sono nulle e quindi la (2.2) diventa:
0 P1
0 P2
= T . (2.4)
..... .....
Pn
0
Associando a qualsiasi gruppo di ( n −1)
delle equazioni precedenti l’equazione
n
∑ Pi
i=
1
= 1,
si ottiene un sistema di equazioni algebriche che consente il calcolo delle probabilità
asintotiche P i .
Per il calcolo delle probabilità asintotiche si può anche essere usata la relazione [7, 9.5]:
ove:
P(∞) P = P(∞) , (2.5)
P =
1−
P(∞) = 1(
∞) 2 ( ∞)
.... n ( ∞)
P
P P ,
n
∑
j=
2
ρ
2,
1
....
ρ
ρ
n,
1
1,
j
1−
ρ
1,
2
n
∑
j = 1
j ≠2
....
ρ
ρ
n,
2
2,
j
....
....
....
....
La matrice P è la “matrice delle probabilità di transizione” ottenuta dalla trasposizione
della matrice T dei tassi di transizione e dalla sostituzione nella matrice trasposta degli
elementi della diagonale principale, che rappresentano le probabilità di permanenza ne-
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 19 di 153
1−
ρ
ρ
1,
n
2,
n
....
n−1
∑
j=
1
ρ
n,
j
.

2. I processi markoviani in affidabilità
gli stati, con la differenza tra 1 e la somma degli altri elementi dalla riga. Ne risulta una
matrice stocastica per righe nella quale ciascuna riga contiene le probabilità che competono
alle possibili vicende dello stato corrispondente e la cui somma è di conseguenza
pari a 1.
Se le transizioni sono statisticamente indipendenti, le probabilità asintotiche calcolate
come sopra detto sono valide per tutte le distribuzioni (quindi anche quelle cui competono
tassi non costanti nel tempo) poiché nel loro calcolo giocano soltanto i valori medi
delle distribuzioni pertinenti.
2.3. Caratteristiche di affidabilità in termini di probabilità
Un generico sistema può essere usato nelle due situazioni tipiche seguenti.
Missione specifica
All’inizio della missione tutti i componenti del sistema sono funzionanti; il guasto del
sistema interrompe il corretto svolgimento della missione che può riprendere solo dopo,
quando è possibile, aver ripristinato lo stato iniziale (tutti i componenti funzionanti).
Caratteristica di interesse in questo caso è:
• l’affidabilità R(t), cioè la probabilità che la missione non si interrompa fino al tempo
t.
Oppure, la missione ha inizio in un istante imprecisato del futuro al quale il sistema deve
essere correttamente funzionante indipendentemente da eventuali guasti precedenti
purché già riparati.
Caratteristica di interesse in questo caso è:
• la disponibilità A(t), cioè la probabilità che il sistema sia funzionante all’istante in
cui deve iniziare la missione (indipendentemente dall’esito di quest’ultima).
Funzionamento continuo
Il sistema è sempre in esercizio e questa missione permanente tollera i periodi di interruzione
del servizio durante i quali si fanno le riparazioni necessarie a riportare il sistema
in uno stato di funzionamento.
Caratteristiche di interesse in questo caso sono:
• la disponibilità A(t), cioè la probabilità che il sistema sia funzionante all’istante t
indipendentemente dal fatto che si sia in precedenza guastato, anche più volte, e sia
stato riparato;
• la disponibilità asintotica Ass, cioè il limite cui tende A(t) per t → ∞, che è anche il
rapporto tra il tempo totale di funzionamento e il tempo di calendario.
2.4. Caratteristiche di affidabilità in termini di tempi
medi di permanenza
Tempo di permanenza in uno stato è il tempo trascorso in quello stato prima di passare
in qualunque altro stato; è una variabile aleatoria continua cui compete un valor medio
m(S).
Tra i tempi di permanenza a livello di sistema hanno interesse i seguenti.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 20 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
MTTF (Mean Time To Failure), è il valor medio del tempo che intercorre tra l’inizio
della missione e il guasto del sistema che determina l’insuccesso della missione.
Il ripristino del servizio parte sempre dallo stesso “stato iniziale” (generalmente quello
in cui tutti i blocchi sono correttamente funzionanti).
MUT (Mean Up Time), è il valor medio del tempo che intercorre tra una generica rimessa
in servizio e il successivo guasto del sistema.
Il ripristino del servizio parte da un qualunque stato di funzionamento.
MDT (Mean Down Time) o MTTR (Mean Time To Repair), è il valor medio del tempo
che intercorre tra l’inizio di una riparazione conseguente a un guasto e il termine di
qtale riparazione.
Di norma questo tempo non incorpora i ritardi logistici e amministrativi; in caso contrario
il fatto deve essere esplicitamente dichiarato.
MTBF (Mean Time Between Failures), è il valor medio del tempo che intercorre tra
due generici guasti successivi. È la somma di MTTF+MTTR, oppure di MUT+MDT.
2.4.1. Calcolo dei tempi medi di permanenza
Per il calcolo del MTTF si usa la relazione [7, 9.8.2}:
M = [I - Q] -1
ove:
• I = matrice identità;
• Q = matrice troncata ottenuta dalla matrice delle probabilità di transizione eliminando
le righe e le colonne relative agli stati assorbenti del sistema;
• M = matrice dei tempi medi di permanenza negli stati di funzionamento, in essa
l’elemento m i,
j è il tempo medio di permanenza nello stato j essendo lo stato i lo
stato di partenza della traiettoria del processo che finirà in uno stato assorbente.
Quindi: = ∑ m
j
MTTF 1 , j .
Nel caso di (n - 1) stati di funzionamento e uno stato, l’n-mo, di guasto, procede come
segue [7, 7.6.].
L’equazione fondamentale per il comportamento asintotico, essendo l’n-mo lo stato assorbente,
è:
0
0
0
0
=
−
n
∑
j = 2
ρ
1,
2
....
ρ
ρ
1,
n
1,
j
−
ρ
n
∑
2,
1
j = 1
j ≠2
....
ρ
ρ
2,
n
2,
i
....
....
....
....
0
0
0
0
P ( t)
P ( t)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 21 di 153
1
P2
( t)
.
....
n

Tenendo conto delle condizioni iniziali
() P () 0 + ...... + P = 1,
P () 0 = 0
1 0 + 2
n−1
n
P ,
si ha:
0
0
....
0
=
−
n
∑
j=
2
ρ
1,
2
....
ρ
.. 1..
1,
j
−
ρ
n
∑
j=
1
j≠
2
2,
1
ρ
....
.. 1..
j,
2
....
....
....
....
2. I processi markoviani in affidabilità
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 22 di 153
P
P
1
2
( 0)
( 0)
....
0
P ( t)
1
P ( t)
2
....
P ( t)
Il valore atteso del tempo di funzionamento dipende dalle condizioni iniziali ed è dato
da:
ove:
E[Tf] = DS/DA ,
DS =
DA =
−
−
∑
n
j = 2
ρ
∑
ρ
1,
2
....
1
n
j = 2
ρ
1,
2
....
ρ
1,
n−1
1,
j
ρ
1,
j
−
−
∑
∑
ρ
2,
1
n
j= 1 ρ2,
j
j≠
2
....
1
2,
1
n
j= 1 ρ2,
j
j≠
2
....
....
....
....
....
....
....
....
P
P
1
2
−
....
0
n
( 0)
( 0)
Se il sistema parte dallo stato 1 le condizioni iniziali sono:
ρ
....
....
∑
,
....
....
....
.
n
j= 1 ρn
−1,
j
j≠
n−1
P1(0) = 1, P2 (0) = .... = Pn(0) = 0;
e il E[Tf] è in questo caso il MTTF.
Se il sistema parte dai generici stati Pi o Pj le condizioni iniziali sono:
Pi (0) + Pj (0) = 1, Pk (0) = 0 per k≠i e k≠j ;
se il sistema parte da un qualunque stato non assorbente le condizioni iniziali sono:
.

P1 (0) + P2 (0) +…….+ Pn-1(0) = 1,
Pn (0) = 0 ;
e il E[Tf] è in questo caso il MUT.
2. I processi markoviani in affidabilità
Il calcolo del MUT richiede la conoscenza delle probabilità Pi(0) che competono ai possibili
stati iniziali.
Per il calcolo del MDT si ricorre alla formula generale
MUT
Ass = ,
MUT + MDT
da cui:
MUT(
1−
Ass)
MDT = .
Ass
Per i sistemi costituiti da blocchi in serie il MDT coincide col MTTR che si calcola ricorrendo
alla definizione:
n li
MTTR
MTTR = ∑
i=
1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 23 di 153
i
lS
ove: MTTRi = MTTR del blocco i;
li = tasso di guasto del blocco i;
lS = totale dei tassi di guasto dei blocchi contenuti nel blocco i.
2.4.2. Tempo e frequenza di ciclo
Per i sistemi riparabili destinati al funzionamento continuo possono avere interesse,
spesso rilevante, ulteriori caratteristiche relative alla frequenza di occorrenza di uno
stato o di un gruppo di stati e/o i tempi medi di permanenza in essi. Si pensi a due sistemi
che hanno rispettivamente tassi l, m e 2l, 2m; essi hanno identica disponibilità, ma
il secondo si guasta 2 volte più spesso e viene riparato 2 volte più in fretta con evidente
rilevanza sui costi di esercizio.
I concetti fondamentali [7, 10] associati al loro calcolo nell’ambito dei modelli markoviani
vengono affrontati con riferimento a un sistema molto semplice dopo aver posto le
due definizioni che seguono.
Tempo di ciclo di uno stato è la somma del tempo di permanenza nello stato e del tempo
di assenza dallo stato; è una variabile aleatoria continua T(S) e il suo valor medio è
uguale alla somma del valor medio del tempo di permanenza e del valor medio del tempo
tra due permanenze.
Frequenza di ciclo o frequenza di occorrenza (frequency of encountering) di uno stato
è il reciproco del suo tempo di ciclo.
Il semplice sistema costituito da un unico componente riparabile ha 2 possibili stati: 0 =
funzionante correttamente, 1 = non funzionante correttamente. Ad essi corrispondono le
probabilità asintotiche:

2. I processi markoviani in affidabilità
m M
Po = =
l + m M + R
l R
P1
= =
l + m M + R
ove:
l = tasso di guasto del componente
m = tasso di riparazione del componente
M = tempo medio di corretto funzionamento del componente (Up time)
R = tempo medio di riparazione del componente (Down time).
Il tempo di ciclo T dello stato di funzionamento, in questo caso identico a quello dello
stato di guasto, è:
1 1 1
T = M + R = + =
l m f
ove:
f = frequenza di ciclo ( o frequenza di incontro) comune ai 2 stati.
Per definizione la probabilità di risiedere in un qualunque stato del sistema è uguale al
tempo medio di permanenza in quello stato diviso per il tempo medio di ciclo dello stato:
m(
S)
P ( S)
=
T ( S)
Nel nostro caso
da cui
P(
S)
m ( S)
= .
f ( S)
M 1
P 0 = = =
T l T
f
l
da cui f = P0
l ,
R 1 f
P 1 = = =
T mT
m
da cui f = P1
m ,
cioè la frequenza di ciclo di un determinato stato è data:
• dalla probabilità di essere in quello stato per il tasso di uscita dallo stato (reciproco
del tempo medio di permanenza nello stato)
oppure
• dalla probabilità di non essere in quello stato per il tasso di entrata nello stato (reciproco
del tempo medio di non permanenza nello stato)
ove
__
__
f u
e
( S)
= P(
S)
ρ ( S)
= P(
S)
ρ ( S)
P (S ) = probabilità di NON essere nello stato S.
Con riferimento ai tassi di uscita
P(
S 0 ) P(
S1
) 1 1
T = m(
S 0 ) + m(
S1
) = + = +
lP ( S ) mP ( S ) l m
e con riferimento ai tassi in entrata
P(
S1)
P(
S0
) 1 1
T = m(
S0
) + m(
S1)
= + = + .
mP(
S ) lP(
S ) m l
0
1
__
__
1
0
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 24 di 153
,

2. I processi markoviani in affidabilità
Queste definizioni si applicano anche a un gruppo di stati e consentono di determinare
frequenze e tempi di permanenza in gruppi di stati di particolare interesse in sistemi destinati
al funzionamento continuo.
In particolare, la frequenze di ciclo di un gruppo di stati è data dalla somma delle frequenze
di ciclo degli stati del gruppo diminuita delle frequenze di ciclo tra gli stati del
gruppo; cioè la somma delle frequenze di ciclo degli stati di frontiera del gruppo.
Le procedure di esecuzione dei relativi calcoli saranno esaurientemente esaminate in seguito
sviluppando dei casi pratici.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 25 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
2.5. Costruzione della matrice dei tassi di transizione
2.5.1. Generalità
Sono note le regole per realizzare una rappresentazione della matrice di transizione in
una forma canonica che ne mette in evidenza alcune proprietà strutturali [9].
Nel loro rispetto viene qui esposto un processo di costruzione delle matrici di transizione
idoneo a rendere meglio evidente il loro legame col significato fisico della realtà
sottostante.
Un sistema di N componenti capaci di assumere due soli stati mutuamente escludentisi
può assumere NS = 2 N stati che possono rappresentarsi mediante una “Tabella degli stati”
costituita da N+3 colonne delle quali la prima contiene un numero d’ordine identificatore
dello stato, le N seguenti la rappresentazione dello stato effettivo (sotto forma di
blank=funzionante, 1=guasto) del componente indicato in testa alla colonna con una
lettera maiuscola, la penultima le lettere che individuano i componenti guasti nello stato
e l’ultima l’individuazione del gruppo (che sarà definito tra poco).
L’assunzione di blank al posto di 0 come indicatore del corretto funzionamento è stata
fatta unicamente per evidenziare con più immediatezza gli stati di guasto.
Costruiamo ordinatamente la tabella degli stati come detto qui di seguito per il caso di
un sistema di 4 componenti indicati con A, B, C, D (vedi Tab. 2.2. a pagina seguente).
La prima riga rappresenta lo stato, quasi universalmente assunto come iniziale, in cui
nessun componente è guasto. Questa unica riga costituisce il gruppo G0.
Le seguenti 4 righe rappresentano stati in cui c’è un solo componente guasto partendo
dal primo. Esse costituiscono il secondo gruppo G1 delle 4 combinazioni degli stati presi
uno ad uno.
Le seguenti 6 righe rappresentano stati in cui ci sono 2 componenti guasti. Esse costituiscono
il terzo gruppo G2 delle combinazioni degli stati presi ordinatamente due a due.
⎛ N ⎞
Sono infatti in numero pari al valore del coefficiente binomiale ⎜ ⎟ .
⎝2
⎠
Analogamente per il gruppo successivo.
L’ultimo gruppo rappresenta lo stato in cui tutti i componenti sono guasti.
Come si vede, è possibile passare, sia per guasto che per riparazione, soltanto dagli stati
di un gruppo a quelli del gruppo immediatamente adiacente.
Da questa tabella può ricavarsi una rappresentazione grafica, cioè un grafo delle transizioni
tra stati propriamente detto come in Fig. 2.2. a pagina seguente.
Per comodità di gestione e rappresentazione di formule complesse i tassi di guasto e
di riparazione vengono rappresentati in questo libro dalle lettere l ed m anzicché dalle
tradizionali λ e µ.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 26 di 153

Tab. 2.2.- Tabella degli stati per un sistema di 4 componenti
N A B C D Guasti Gruppo
1 G0 1
2 1 A G1 1
3 1 B 2
4 1 C 3
5 1 D 4
6 1 1 AB G2 1
7 1 1 AC 2
8 1 1 AD 3
9 1 1 BC 4
10 1 1 BD 5
11 1 1 CD 6
12 1 1 1 ABC G3 1
13 1 1 1 ABD 2
14 1 1 1 ACD 3
15 1 1 1 BCD 4
16 1 1 1 1 ABCD G4 1
Fig. 2.2. - Grafo delle transizioni tra stati
2. I processi markoviani in affidabilità
G0 G1 G2 G3 G4
1
D
B
C
A
2
3
4
5
A
D
C
D
A
D
B
A
B
B
C
C
6
7
8
9
10
11
I rami del grafo, che rappresentano le transizioni, recano, per semplicità di rappresentazione,
solo l’identificazione del componente il cui cambiamento di stato determina la
transizione anziché un ramo orientato per rappresentare la transizione determinata da un
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 27 di 153
C
D
C
A
A
C
A
D
B
D
B
B
12
13
14
15
D
C
B
A
16

2. I processi markoviani in affidabilità
guasto ed eventualmente un altro ramo orientato per rappresentare la transizione determinata
da una riparazione.
Le connessioni tra la tabella e il grafo sono evidenti e la loro costruzione contestuale
consente di vedere con estrema chiarezza le proprietà comuni.
2.5.2. Costruzione della matrice dei tassi di transizione
La matrice dei tassi di transizione è di dimensione NSxNS e ciascuno dei suoi elementi
ai,j è il tasso di transizione dallo stato i allo stato j.
Nelle tabele seguenti sono stati adottati per individuare i tassi i caratteri maiuscoli L ed
M unicamente per ragioni di evidenza grafica.
Sia partendo dalla Tabella degli stati che dal Diagramma degli stati, la costruzione della
matrice dei tassi è in questo caso immediata.
(Nelle tabelle seguenti sono stati adottati per i tassi di guasto e riparazione i caratteri
maiuscoli per mere ragioni di evidenza grafica).
E’ da notare quanto segue.
a) I gruppi sono in numero di N+1, numerati da 0 a N.
⎛ N ⎞
b) Il numero di stati del gruppo i è dato da NGi = ⎜ ⎟ .
⎝ i ⎠
c) Gli elementi non nulli presenti in ciascuna riga e in ciascuna colonna sono N+1 e
rappresentano una transizione per ciascuno dei componenti e la somma delle transizioni
della colonna (vedi capoverso seguente).
Ne segue che il numero degli elementi non nulli nella nostra matrice è:
NE = NS*(N+1).
Nel caso di 4 elementi
NE = 16*5 = 80.
d) I tassi di guasto non nulli presenti in ciascuna riga di un gruppo sono in numero pari
all'indice di gruppo.
e) Gli elementi della diagonale principale rappresentano i tassi di transizione da ciascuno
stato a se medesimo, cioè il tasso di permanenza in quello stato, e quindi sono
uguali alla somma dei tassi degli altri elementi della colonna cambiata di segno:
a
ii
= −
NS
∑
j=
1
j≠i
a
ij
. (2.6)
f) La regione al di sotto della diagonale principale contiene come elementi non nulli le
transizioni agli stati di guasto, mentre la regione al di sopra della diagonale principale
contiene come elementi non nulli le transizioni agli stati di funzionamento in
posizione simmetrica rispetto a essa diagonale (cioè con gli indici invertiti).
La sparsità della matrice aumenta con N.
Nel caso del sistema di 4 componenti fin qui usato come esempio, la matrice dei tassi di
transizione, in una forma adatta alle nostre specifiche esigenze, è quella mostrata nella
Tab. 2.3. ove Lx indica il tasso di guasto del componente x e Mx il suo tasso di riparazione.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 28 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
In essa sono evidenziate con bordi le zone contenenti gli elementi non nulli appartenenti
a ciascun gruppo.
La delimitazione dei gruppi è possibile anche a priori mediante le semplici regole empiriche
che seguono.
• Tracciare la diagonale principale.
• Tracciare le linee orizzontali che delimitano i gruppi dal bordo sinistro della matrice
fino alla diagonale principale.
• Tracciare le linee verticali che delimitano i gruppi dalla diagonale principale alla linea
orizzontale che delimita in basso il gruppo successivo.
Nella Tab. 2.3. gli elementi della diagonale principale contengono le formule (2.6) non
rappresentate per ragioni di spazio.
Tab. 2.3. - Matrice dei tassi di transizione
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 ### MA MB MC MD
2 LA ### MB MC MD
3 LB ### MA MC MD
4 LC ### MA MB MD
5 LD ### MA MB MC
6 LB LA ### MC MD
7 LC LA ### MB MD
8 LD LA ### MB MC
9 LC LB ### MA MD
10 LD LB ### MA MC
11 LD LC ### MA MB
12 LC LB LA ### MD
13 LD LB LA ### MC
14 LD LC LA ### MB
15 LD LC LB ### MA
16 LD LC LB LA ###
Le posizioni corrispondenti a elementi nulli sono state lasciate vuote per evidenziare
meglio le posizioni degli elementi non nulli.
Nel paragrafo seguente verrà costruita la matrici dei tassi di transizione per un sistema
di 5 componenti.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 29 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
2.5.3. Matrice dei tassi di transizione per un sistema di 5 componenti
Tab. 2.4. - Tabella degli stati
N A B C D E Guasti Gruppi
1 G0 1
2 1 A G1 5
3 1 B
4 1 C
5 1 D
6 1E
7 1 1 AB G2 10
8 1 1 AC
9 1 1 AD
10 1 1 AE
11 1 1 BC
12 1 1 BD
13 1 1 BE
14 1 1 CD
15 1 1 CE
16 1 1 DE
17 1 1 1 ABC G3 10
18 1 1 1 ABD
19 1 1 1 ABE
20 1 1 1 ACD
21 1 1 1ACE
22 1 1 1 ADE
23 1 1 1 BCD
24 1 1 1 BCE
25 1 1 1BDE
26 1 1 1 CDE
27 1 1 1 1 ABCD G4 5
28 1 1 1 1 ABCE
29 1 1 1 1 ABDE
30 1 1 1 1 ACDE
31 1 1 1 1BCDE
32 1 1 1 1 1 ABCDE G5 1
Numero degli elementi non nulli NE = 32*6 = 192.
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2. I processi markoviani in affidabilità
Tab. 2.5. - Elementi non nulli della matrice dei tassi di transizione
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
1 ### MA MB MC MD ME
2 LA ### MB MC MD ME
3 LB ### MA MC MD ME
4 LC ### MA MB MD ME
5 LD ### MA MB MC ME
6 LE ### MA MB MC MD
7 LB LA ### MC MD ME
8 LC LA ### MB MD ME
9 LD LA ### MB MC ME
10 LE LA ### MB MC MD
11 LC LB ### MA MD ME
12 LD LB ### MA MC ME
13 LE LB ### MA MC MD
14 LD LC ### MA MB ME
15 LE LC ### MA MB MD
16 LE LD ### MA MB MC
17 LC LB LA ### MD ME
18 LD LB LA ### MC ME
19 LE LB LA ### MC MD
20 LD LC LA ### MB ME
21 LE LC LA ### MB MD
22 LE LD LA ### MB MC
23 LD LC LB ### MA ME
24 LE LC LB ### MA MD
25 LE LD LB ### MA MC
26 LE LD LC ### MA MB
27 LD LC LB LA ### ME
28 LE LC LB LA ### MD
29 LE LD LB LA ### MC
30 LE LD LC LA ### MB
31 LE LD LC LB ### MA
32 LE LD LC LB LA ###
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 31 di 153

1
A
C
B
D
E
2
3
4
5
A
6
A
E
A
C
D
B
A
B
C
E
D
D
B
C
E
C
B
D
E
7
8
9
10
16
D
C
E
B
E
B
E
B
A
11 D
E
A
12 C
E
C
A
13
C
D
A
B
14
E
A
B
15
D
A B
C
D
C
Fig. 2.3. – Diagramma delle transizioni tra stati per 5 componenti
D
17
18
19
20
E
B
21
22
A
23
E
24
25
26
A
A
E
C
D
D
B
A
D
C
E
B
C
B
D
2. I processi markoviani in affidabilità
C
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 33 di 153
27
28
29
30
31
C
B
D
A
E
32

2. I processi markoviani in affidabilità
2.5.4. Regole empiriche per la costruzione della matrice dei tassi
di transizione
La matrice dei tassi di transizione Tab. 2.5.della pagina precedente è stata costruita basandosi
sul grafo relativo costruito contestualmente alla tabella degli stati.
All'aumentare del numero dei componenti N la tabella degli stati si costruisce ancora
agevolmente, ma la costruzione del grafo si fa praticamente più onerosa.
Sarebbe quindi opportuno individuare delle regole empiriche che consentano di costruire
la matrice dei tassi di transizione in maniera più agevole.
Intanto si noti che per le proprietà della matrice dette in 2.5.2. si può procedere come
segue:
a) costruire la regione al di sotto della diagonale principale contenente le transizioni
dagli stati di funzionamento agli stati di guasto con le regole che verranno sviluppate
nei paragrafi seguenti;
b) costruire simmetricamente la regione al di sopra della diagonale principale contenente
le transizioni dagli stati di guasto agli stati di funzionamento semplicemente
invertendo gli indici di riga e di colonna;
c) costruire la diagonale principale mediante la formula (2.6).
2.5.4.1. Costruzione della regione al di sotto della diagonale principale
Vengono trattati separatamente i singoli gruppi delimitati come detto in 2.5.2.
2.5.4.1.1. Gruppo 1
Gli elementi non nulli sono i tassi di guasto di ciascuno degli N componenti riportati in
colonna 1 a partire dalla riga 2.
2.5.4.1.2. Gruppo 2
⎛ N ⎞
Gli elementi non nulli sono contenuti in una struttura di NG2 = ⎜ ⎟ righe a partire
⎝2
⎠
dalla riga N+2 e N colonne a partire dalla colonna 2.
a) A partire dalla prima riga si riportano nella prima colonna i tassi di guasto degli ultimi
N-1 componenti. Queste righe, delimitate come detto, individuano il primo
sottogruppo.
b) A partire dalla riga e dalla colonna seguente, si riportano i tassi di guasto degli ultimi
N-2 componenti. Queste righe individuano il secondo sottogruppo.
c) Ripetere il passo precedente diminuendo di un componente fino a giungere a un
sottogruppo formato dal solo ultimo componente.
d) Si completa ciascun sottogruppo come segue.
Si va nella colonna a destra di quella che contiene il primo tasso di guasto e vi si riporta
il tasso di guasto del componente immediatamente precedente quello cui compete
il primo tasso di guasto.
Lo stesso tasso di guasto viene riportato nelle righe seguenti spostandosi contemporaneamente
di una colonna verso destra fino al confine della struttura.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 34 di 153

2. I processi markoviani in affidabilità
Nel caso di un sistema con 5 componenti il gruppo 2 è così costituito.
2 3 4 5 6
7 LB LA
8 LC LA
9 LD LA
10 LE LA
11 LC LB
12 LD LB
13 LE LB
14 LD LC
15 LE LC
16 LE LD
2.5.4.1.3. Generico gruppo i seguente
Gli elementi non nulli sono contenuti in una struttura di NGi righe e NG(i-1) colonne a
partire dalla colonna seguente a quella terminale del gruppo precedente.
a) A partire dalla prima riga si riportano i sottogruppi del gruppo precedente escluso il
primo.
b) A partire dalla riga e dalla colonna seguente, si riportano i sottogruppi del gruppo
precedente escluso il primo.
c) Si ripete il passo precedente diminuendo di un componente fino a giungere a un
sottogruppo formato dal solo ultimo componente.
d) Si completa ciascun sottogruppo come segue.
Si va nella colonna a destra di quella che contiene il primo tasso di guasto e vi si riporta
il tasso di guasto del componente immediatamente precedente quello cui compete
il primo tasso di guasto.
Il secondo tasso di guasto viene riportato nelle righe seguenti spostandosi contemporaneamente
di una colonna verso destra fino al confine della struttura.
Nel caso di un sistema con 5 componenti il gruppo 3 è così costituito.
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 LC LB LA
18 LD LB LA
19 LE LB LA
20 LD LC LA
21 LE LC LA
22 LE LD LA
23 LD LC LB
24 LE LC LB
25 LE LD LB
26 LE LD LC
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2. I processi markoviani in affidabilità
Nel caso di un sistema con 5 componenti il gruppo 4 è così costituito.
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
27 LD LC LB LA
28 LE LC LB LA
29 LE LD LB LA
30 LE LD LC LA
31 LE LD LC LB
Anche se non strettamente indispensabile, la tabella degli stati del sistema costruita come
in 2.5.1. è di grandissimo aiuto nella costruzione della matrice dei tassi di transizione.
2.5.4.2. Costruzione delle altre regioni
La costruzione della regione al disopra della diagonale principale, contenente i tassi di
riparazione, viene costruita per simmetria come detto in 2.5.2. f).
La costruzione della diagonale principale segue vie differenti secondo l’uso cui la matrice
è destinata.
Se è destinata all’esecuzione di calcoli numerici conviene realizzare la matrice con
Excel ove la somma degli elementi della colonna è un’operazione semplicissima e ben
nota.
Se è destinata all’esecuzione di calcoli simbolici conviene realizzare la matrice con
Excel (o anche con Word) senza la diagonale principale, salvarla come file ASCII da
usare come input a un piccolo programma di calcolo automatico realizzato ad hoc per il
calcolo degli elementi della diagonale principale.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 36 di 153

3. Modelli elementari
3. Modelli elementari
3.1. Generalità
Sono modelli relativamente semplici che descrivono il comportamento affidabilistico di
quei blocchi o gruppi di blocchi che si cerca di individuare nei DBA complessi sulla base
dei loro comportamenti statisticamente indipendenti al fine di giungere per successive
sostituzioni di gruppi di blocchi con singoli blocchi a una catena apicale di blocchi in
serie.
Semplicità di fatto vuol dire numero di componenti relativamente basso; infatti il numero
degli stati aumenta esponenzialmente all’aumentare del numero dei componenti e le
difficoltà di gestione dei modelli divengono rapidamente proibitive; almeno con i mezzi
(HW e SW) normalmente disponibili.
Qualunque sia la dimensione del DBA e la tecnica usata per la sua analisi, da quelle
manuali a quelle automatiche, è necessario sviluppare un insieme coerente di relazioni
simboliche per il calcolo di ciascuna delle caratteristiche di affidabilità di interesse.
È pur vero che abbondano i manuali ricchi di formule; ma non sempre si trovano in un
solo manuale (e quindi verosimilmente coerenti) tutte quelle di nostro interesse.
Per i calcoli simbolici viene qui usato il Symbolic Computation System MAPLE (V. 8) e
le uscite dei calcoli vengono spesso riportati nel formato standard di uscita di questo
strumento.
In esso i comandi, preceduti dal prompt > , sono in caratteri “Courier new bold”, le risposte
ai comandi in caratteri proprietari italici e i commenti inseriti dall’operatore in
caratteri “Times new roman”.
I comandi di MAPLE, sono abbastanza autoesplicativi; per quelli meno immediati è riportata
una stringata spiegazione qui di seguito.
1. with(linalg)
invoca una libreria (algebra lineare).
2. alias(ID=&*())
speciale notazione per definire ID come matrice identità.
3. %, %%, …
indica l'ultimo, il penultimo, … risultato di un calcolo.
4. &*
prodotto vettoriale.
5. eval(e)
esegue il calcolo completo dell'espressione e.
6. evalm(e)
esegue il calcolo completo dell'espressione e contenente matrici.
7. dsolve({deq1, deq2,…, init}, {p1, p2, …});
tenta di risolvere il sistema di equazioni differenziali {deq1,deq2,..} per le variabili {p1,
p2, ..} con le condizioni iniziali init.
8. solve({eq1, eq2, …}, {p1, p2, ..});
tenta di risolvere il sistema di equazioni {eq1,eq2,..} per le variabili {p1, p2, ..}.
9. simplify(e);
applica all'espressione e delle regole semplificative.
10. factor(e);
raccoglie i fattori dell’espressione e nell’ambito dei numeri razionali.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 37 di 153

3. Modelli elementari
11. expand(e);
sviluppa potenze e prodotti nell’espressione e in termini di somma.
12. Digits;
numero fisso di cifre con cui vengono eseguiti i calcoli in virgola mobile. Default = 10.
13. unassign(‘n1, n2, …’);
libera (restituendo il valore NULL) le variabili i cui nomi sono compresi tra le ‘ ‘.
14. restart;
equivale a unassign per tutti i nomi usati che riporta il motore di MAPLE allo stato iniziale
senza chiudere il foglio di lavoro.
15. se il comando non è terminato dal “;” canonico ma da “:” il risultato non viene
presentato a video.
L’adozione di questo strumento costringe all’assunzione del “.“ al posto della
“,“come separatore dei decimali.
Lo stesso strumento MAPLE viene usato anche per i calcoli numerici relativi agli esempi
con la seguente ipotesi:
i valori dei tassi di guasto e di ripristino hanno un numero di cifre significative pari al
valore assunto per il parametro Digits.
Questo non vuol dire che tutte queste cifre sono numericamente corrette; infatti MAPLE
esegue i calcoli come la maggior parte degli strumenti di calcolo automatico. MAPLE
ha però il vantaggio di poter eseguire i calcoli con un numero molto alto di cifre.
Si ricordi che le predizioni di affidabilità sono molto più affidabili (absit iniuria) per
confrontare soluzioni progettuali diverse atte a realizzare una data funzione che non per
determinarne l’affidabilità intrinseca; l’ipotesi assunta, notoriamente lontana dalla realtà,
ha il solo scopo di aumentare il potere risolutivo dei confronti.
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3.2. Singolo blocco
3. Modelli elementari
3.2.1. Impostazione
Al blocco competono un tasso di guasto l e un tasso di riparazione m costanti nel tempo.
Questo sistema monoblocco può assumere due soli stati, uno di funzionamento e uno di
guasto come mostrato in Tab. 3.1. ove:
N = identificazione dello stato;
B = stato del blocco (0 = funzionante, 1 = guasto);
S = stato del sistema (0 = funzionante, 1 = guasto).
Tab. - 3.1. - Possibili stati del sistema
N B S
1 0 0
2 1 1
Il diagramma delle transizioni tra gli stati è mostrato in Fig.3.1.; in esso l è il tasso di
guasto del blocco e m il suo tasso di ripristino.
1 2
m
Fig. 3.1. - Diagramma delle transizioni tra stati
3.2.2. Come eseguire i calcoli con MAPLE
Questo comando, che invoca la libreria pertinente i calcoli dell’algebra lineare, si assume
sempre presente all’inizio di tutti i calcoli con MAPLE presentati nel seguito.
> with(linalg);
3.2.2.1. Calcolo dell’affidabilità e della disponibilità
Si costruisce la matrice T dei tassi di transizione
> T := matrix(2,2,[[-l,m],[l,-m]]);
T :=
⎡−l
m ⎤
⎣
⎢ l −m⎦
⎥
e il vettore P delle probabilità degli stati
> P := matrix(2,1,[P1(t),P2(t)]);
P :=
⎡P1(
t ) ⎤
⎣
⎢P2(
t ) ⎦
⎥
quindi (vedi formula 2.2) si fa il prodotto di T con P
> K := evalm(T&*P);
l
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 39 di 153

K :=
⎡−
l P1( t) + m P2( t ) ⎤
⎣
⎢ l P1( t) − m P2( t ) ⎦
⎥
e si costruiscono (tenere ancora d’occhio la 2.2) le equazioni
> deq1 := diff(P1(t), t) = K[1,1];
∂
deq1 := P1( t ) = − l P1( t) + m P2( t )
∂t
> deq2 := diff(P2(t), t) = K[2,1];
∂
deq2 := P2( t ) = l P1( t) − m P2( t )
∂t
Alle stesse equazioni si perviene usando la (2.3):
> H := evalm(transpose(P)&*transpose(T));
H := [ − P1( t) l + P2( t) m P1( t) l − P2( t) m]
essendo i due elementi del vettore H identici a quelli del vettore K.
Questa è la condizione iniziale più comunemente usata
> init := P1(0)=1, P2(0)=0;
init := P1( 0) = 1 , P2( 0) = 0
3. Modelli elementari
Si cercano le soluzioni del nostro sistema di equazioni che sono le probabilità che competono
agli stati del sistema al tempo t
> S := dsolve({deq1,deq2,init}, {P1(t), P2(t)});
⎧
⎪ l e
⎪
S := ⎪
⎨
⎩
⎪ P2( t ) = −
( t ( − l− m)
)
l + m
m
m
−
lm
− −
l + m m l e
, P1( t ) = +
l + m l + m
Si verifica che la probabilità totale sia = 1
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..2));
> A(t) := P1(t);
Se il blocco non è riparabile
> m := 0;
> R(t) := eval(A(t));
P2( t ) + P1( t ) = 1
( t ( − l− m)
)
m l e
A( t ) := +
l + m l + m
m := 0
( t ( l m)
)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 40 di 153
⎫
⎪
⎬
⎭
⎪

unassign('m,S, P1, P2');
R( t ) := e
3. Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 41 di 153
( −t l)
3.2.2.2. Calcolo delle caratteristiche asintotiche
> P := matrix(2,2,[[1-l,l],[m,1-m]]);
P :=
> V := matrix(1,2,[P1,P2]);
> X := evalm(V&*P);
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := P1 + P2 = 1;
⎡
⎣
⎢
1 − l l ⎤
m 1 − m⎦
⎥
V := [ P1 P2]
X := [ P1 ( 1 − l) + P2m P1 l + P2 ( 1 − m)
]
eq1 := P1 ( 1 − l) + P2m= P1
eq2 := P1 l + P2 ( 1 − m) = P2
eq3 := P1 + P2 = 1
> S := solve({eq1,eq3}, {P1,P2});
l m
S := { P2 = , P1 = }
l + m l + m
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..2));
P1 + P2 = 1
Agli stessi risultati si giunge usando la (2.4):
> eq1 := 0 = K[1,1];
> eq2 := 0 = K[2,1];
> eq3 := P1+P2 = 1;
eq1 := 0 = − lP1+ mP2
eq2 := 0 = lP1− mP2
eq3 := P1 + P2 = 1
> S := solve({eq1,eq3},{P1,P2});

P1 = m/(l+m);
> P2 = l/(l+m);
m l
S := { P1 = , P2 = }
l + m l + m
P1 =
P2 =
m
l + m
l
l + m
3. Modelli elementari
Si noti che ambedue le probabilità hanno lo stesso denominatore e che i loro numeratori
sono i termini di
> expand((m+l)^1);
l + m
Il sistema è disponibile quando il blocco è nello stato1, quindi
> Ass := P1 = m/(l+m);
Ass := P1 =
m
l+ m
3.2.2.3. Calcolo del MUT e del MDT
La frequenza di occorrenza è la stessa per i due stati
> f := Ass*l;
f := P1 l =
> MUT := m/(l+m)/(m*l/(l+m));
MUT :=
> MDT := (l/(l+m))/(l*m/(l+m));
Verifica
> simplify(MUT/(MUT+MDT)):
MDT :=
m
l + m
lm
l + m
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 42 di 153
1
l
1
m

3.2.2.4. Calcolo del MTTF
> Q := matrix(1,1,[1-l]);
> M := inverse(ID-evalm(Q));
> MTTF := M[1,1];
Q := [ 1 − l]
M := ⎡
⎢
⎣
3. Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 43 di 153
1
l
MTTF :=
MUT ed MTTF hanno lo stesso valore poiché il ripristino del servizio non può riprendere
che dallo stato iniziale.
Al modello elementare singolo blocco competono le caratteristiche seguenti.
( −t l)
R( t ) := e
( t ( − l− m)
)
m l e
A( t ) := +
l + m l + m
m
Ass :=
l + m
1
MUT :=
l
1
MDT :=
m
1
MTTF :=
l
Questo procedimento verrà usato in tutti i calcolo che seguono.
1
l
⎤
⎥
⎦

3.3. Due blocchi
3. Modelli elementari
3.3.1. Due blocchi connessione in serie
Il sistema è costituito da un blocco A cui competono un tasso di guasto l1 e un tasso di
riparazione m1 e da un blocco B cui competono un tasso di guasto l2 e un tasso di riparazione
m2.
Il sistema può assumere gli stati mostrati in Tab.3.2. ove:
N = identificazione dello stato;
A, B = stato del blocco (0 = funzionante, 1 = guasto);
S = stato del sistema (0 = funzionante, 1 = guasto)
Tab. 3.2. - Possibili stati del sistema
N A B S
1 0 0 0
2 1 0 1
3 0 1 1
4 1 1 1
Il diagramma delle transizioni tra questi stati è mostrato in Fig. 3.2.
1
m2
m1
l1
l2
Fig. 3.2. - Diagramma di transizione tra stati
Un singolo manutentore è disponibile per il ripristino dei blocchi guastatisi; quindi se un
blocco si guasta mentre è in corso il ripristino dell’altro, il suo ripristino inizierà dopo la
conclusione del ripristino in corso.
3.3.1.1. Dettagli dei calcoli
2
3
m2
m1
Calcolo dell’affidabilità e della disponibilità
> T := matrix(4,4,[[-(l1+l2),m1,m2,0],[l1,-
(l2+m1),0,m2],[l2,0,-(l1+m2),m1],
[0,l2,l1,-(m1+m2)]]);
l1
l2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 44 di 153
4

⎡−
l1 − l2 m1 m2 0
⎢
⎤
⎢
⎥
T := ⎢ l1 − l2 − m1 0 m2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
l2 0 − l1 − m2 m1 ⎥
⎣
⎢ 0 l2 l1 − m1 − m2⎦
⎥
> P := matrix(4,1,[P1(t),P2(t),P3(t),P4(t)]);
> K := evalm(T&*P);
⎡P1(
t )
⎢
⎤
⎢
⎥
P := ⎢P2(
t ) ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
P3( t ) ⎥
⎣
⎢P4(
t ) ⎦
⎥
⎡(
− l1 − l2 ) P1( t) + m1 P2( t) + m2 P3( t )
⎢
⎤
⎢
⎥
K := ⎢l1
P1( t ) + ( − l2 − m1 ) P2( t) + m2 P4( t ) ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
l2 P1( t ) + ( − l1 − m2 ) P3( t) + m1 P4( t ) ⎥
⎣
⎢l2
P2( t) + l1 P3( t ) + ( − m1 − m2 ) P4( t ) ⎦
⎥
> deq1 := diff(P1(t), t) = K[1,1];
d
deq1 := P1( t ) = ( − l1 − l2 ) P1( t) + m1 P2( t) + m2 P3( t )
dt
> deq2 := diff(P2(t), t) = K[2,1];
d
deq2 := P2( t ) = l1 P1( t ) + ( − l2 − m1 ) P2( t) + m2 P4( t )
dt
> deq3 := diff(P3(t), t) = K[3,1];
d
deq3 := P3( t ) = l2 P1( t ) + ( − l1 − m2 ) P3( t) + m1 P4( t )
dt
> deq4 := diff(P4(t), t) = K[4,1];
d
deq4 := P4( t ) = l2 P2( t) + l1 P3( t ) + ( − m1 − m2 ) P4( t )
dt
> init := P1(0)=1, P2(0)=0, P3(0)=0, P4(0)=0;
init := P1( 0) = 1 , P2( 0) = 0 , P3( 0) = 0 , P4( 0) = 0
> S := dsolve({deq1,deq2,deq3,deq4,init},
{P1(t),P2(t),P3(t),P4(t)});
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
3. Modelli elementari
( −( ) ) + l1 m1 t
⎛ l1 l2 e m1 l1 m2 e m1
S := { P2( t ) = − ⎜
+
⎝
⎜ m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) )
l1 m1 l2 e + m2 l2 t
l1 m1 m2 ⎞
− − ⎟
⎛
m1
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎟ / ,
P3( t ) = − ⎜
⎠
⎝
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 45 di 153

( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
( −( ) ) + m2 l2 t
l1 l2 e m2 m1 l2 e m2
+
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) ) + l1 m1 t
3. Modelli elementari
l2 l1 m2 e m1 l2 m2 ⎞
− − ⎟ m2
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎟ / P1( t ) =
⎠
,
( −( ) )
m1 m2
m1 l2 e
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
+ m2 l2 t
+
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) ) + l1 m1 t
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
l1 m2 e l1 l2 e ⎛
+ + , P4( t ) = ⎜
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎜
⎝
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
( −( ) )
l1 l2 e m1 m2 l2 l1 m2 e
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
+ l1 m1 t
m1
−
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) ) + m2 l2 t
l1 l2 m1 m2
l1 m1 l2 e m2 ⎞
+ − ⎟ m1 m2
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎟ /( )}
⎠
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..4));
P2( t ) + P3( t ) + P1( t ) + P4( t ) = 1
> P1(t) :=
1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*m2+1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m
2)*m1*l2*exp(-
(m2+l2)*t)+l1*m2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp(-
(l1+m1)*t)+l1*l2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp((-l1-m1-m2l2)*t);
P1( t )
:=
m1 m2
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) ) + l1 m1 t
( −( ) ) + m2 l2 t
m1 l2 e
+
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
l1 m2 e l1 l2 e
+ +
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
> P2(t) := -(l1*l2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp((-l1-m1m2-l2)*t)*m1+l1*m2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp(-
(l1+m1)*t)*m1-l1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*l2*exp(-
(m2+l2)*t)-l1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*m2)/m1;
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
( −( ) ) + l1 m1 t
⎛ l1 l2 e m1 l1 m2 e m1
P2( t ) := − ⎜
+
⎝
⎜ m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) )
l1 m1 l2 e + m2 l2 t
l1 m1 m2 ⎞
− − ⎟ m1
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎠
⎟ /
> P3(t) := -(l1*l2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp((-l1-m1m2-l2)*t)*m2+1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*l2*exp(-
(m2+l2)*t)*m2-l2*l1*m2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp(-
(l1+m1)*t)-1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*l2*m2)/m2;
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 46 di 153

( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
( −( ) ) + m2 l2 t
3. Modelli elementari
⎛ l1 l2 e m2 m1 l2 e m2
P3( t ) := − ⎜
+
⎝
⎜ m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) )
l2 l1 m2 e + l1 m1 t
m1 l2 m2 ⎞
− − ⎟ m2
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎟
⎠
/
> P4(t) := (l1*l2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp((-l1-m1-m2l2)*t)*m1*m2-l2*l1*m2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*exp(-(l1+m1)*t)*m1+l1*l2/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*m2l1/(m1*l2+l1*l2+l1*m2+m1*m2)*m1*l2*exp(-
(m2+l2)*t)*m2)/m1/m2;
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
( −( ) ) + l1 m1 t
⎛ l1 l2 e m1 m2 l2 l1 m2 e m1
P4( t ) := ⎜
−
⎝
⎜ m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) )
l1 l2 m1 m2
l1 m1 l2 e
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
+ m2 l2 t
m2 ⎞
+ − ⎟ m1 m2
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 ⎠
⎟ /( )
> A(t) := P1(t);
A( t )
:=
m1 m2
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( −( ) ) + l1 m1 t
( −( ) ) + m2 l2 t
m1 l2 e
+
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
( ( − l1 − m1 − m2 − l2 ) t)
l1 m2 e l1 l2 e
+ +
m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2 m1 l2 + l1 l2 + l1 m2 + m1 m2
> factor(%);
( −( ) ) + m2 l2 t
( −( ) ) + l1 m1 t
m1 m2 + m1 l2 e + l1 m2 e
( m2 + l2 ) ( l1 + m1)
+ l1 l2 e
> m1:=0; m2:=0;
> R(t) := eval(P1(t));
m1 := 0 m2 := 0
R( t ) := e
( ( − l1 − l2 ) t)
( −( m2 + m1 + l1 + l2 ) t)
Non ci occuperemo più nel seguito del calcolo dell’affidabilità e disponibilità in funzione
del tempo. La stragrande maggioranza dei sistemi di interesse pratico sono infatti
riparabili e raggiungono la condizione asintotica in tempi molto brevi.
Ad esempio, poco meno di un paio d’ore per l = 0.001 e m = 2 ore.
Da qui in avanti ci si limiterà all’analisi delle sole caratteristiche asintotiche.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 47 di 153

Calcolo delle probabilità asintotiche degli stati
3. Modelli elementari
> P := matrix(4, 4, [[1-(l1+l2), l1, l2, 0],[m1, 1-(l2+m1),
0, l2], [m2, 0, 1-(l1+m2), l1],[0, m2, m1, 1-(m1+m2)]]);
⎡1
− l1 − l2 l1 l2 0
⎢
⎤
⎢
⎥
P := ⎢ m1 1 − l2 − m1 0 l2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
m2 0 1 − l1 − m2 l1 ⎥
⎣
⎢ 0 m2 m1 1 − m1 − m2⎦
⎥
> V := matrix(1,4,[P1,P2,P3,P4]);
V := [ P1 P2 P3 P4]
> X := evalm(V&*P);
X :=
[ P1 ( 1 − l1 − l2 ) + P2 m1 + P3 m2 , P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m1) + P4 m2 ,
P1 l2 + P3 ( 1 − l1 − m2) + P4 m1 , P2 l2 + P3 l1 + P4 ( 1 − m1 − m2)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := P1+P2+P3+P4=1;
eq1 := P1 ( 1 − l1 − l2 ) + P2 m1 + P3 m2 = P1
eq2 := P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m1) + P4 m2 = P2
eq3 := P1 l2 + P3 ( 1 − l1 − m2) + P4 m1 = P3
eq4 := P2 l2 + P3 l1 + P4 ( 1 − m1 − m2) = P4
eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
m1 l2
l2 l1
S := { P3 =
, P4 =
,
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2 m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
m1 m2
l1 m2
P1 =
, P2 =
}
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2 m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..4));
P1 + P2 + P3 + P4 = 1
Agli stessi risultati si perviene usando la (2.4):
> eq1 := 0 = K[1,1];
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 48 di 153

eq2 := 0 = K[2,1];
> eq3 := 0 = K[3,1];
> eq4 := 0 = K[4,1];
> eq5 := P1+P2+P3+P4 = 1;
eq1 := 0 = ( − l1 − l2 ) P1 + m1 P2 + m2 P3
eq2 := 0 = l1 P1 + ( − l2 − m1) P2 + m2 P4
eq3 := 0 = l2 P1 + ( − l1 − m2) P3 + m1 P4
eq4 := 0 = l2 P2 + l1 P3 + ( − m1 − m2) P4
eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
3. Modelli elementari
m2 l1
l1 l2
S := { P2 =
, P4 =
,
l2 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 l2 l2 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 l2
l2 m1
m2 m1
P3 =
, P1 =
}
l2 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 l2 l2 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 l2
> P1 := m1*m2/(m1*m2+m1*l2+l2*l1+l1*m2);
P1 :=
m1 m2
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
> P2 := l1*m2/(m1*m2+m1*l2+l2*l1+l1*m2);
P2 :=
l1 m2
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
> P3 := m1*l2/(m1*m2+m1*l2+l2*l1+l1*m2);
P3 :=
m1 l2
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
> P4 := l2*l1/(m1*m2+m1*l2+l2*l1+l1*m2);
P4 :=
l2 l1
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
Si noti che le probabilità hanno lo stesso denominatore che è lo sviluppo in termini di
somma del seguente prodotto di 2 binomi
> expand((m2+l2)*(m1+l1));
m2 m1 + m2 l1 + l2 m1 + l2 l1
e che i loro numeratori sono i termini di questa somma ordinati in accordo alla tabella
degli stati del sistema come mostrato qui di seguito.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 49 di 153

Tab. 3.3. – Formazione dei numeratori
N A B
1 m1 m2
2 l1 m2
3 m1 l2
4 l1 l2
Calcolo della disponibilità asintotica
> Ass := factor(P1);
Calcolo del MUT e del MDT
m1 m2
Ass :=
( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
3. Modelli elementari
La frequenza di ciclo dello stato 1 = probabilità di essere nello stato 1 per il tasso totale
di uscita da esso
> f1 := P1*(l1+l2);
m1 m2 ( l1 + l2 )
f1 :=
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
Analogamente:
> f2 := P2*(m1+l2);
> f3 := P3*(m2+l1);
> f4 := P4*(m1+m2);
> MUT := P1/f1;
l1 m2 ( l2 + m1)
f2 :=
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
m1 l2 ( l1 + m2)
f3 :=
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
l2 l1 ( m1 + m2)
f4 :=
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
MUT :=
1
l1 + l2
La frequenza di ciclo del gruppo di stati 2, 3, 4 = somma delle frequenze di ciclo degli
stati di frontiera del gruppo :
> f234 := simplify(f2+f3-(P2*l2+P3*l1));
m1 m2 ( l1 + l2 )
f234 :=
m1 l2 + m1 m2 + l2 l1 + l1 m2
coincidente, poichè i gruppi sono due, con la f1 calcolata più sopra.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 50 di 153

MDT := simplify((P2+P3+P4)/f234);
m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
MDT :=
m1 m2 ( l1 + l2 )
Verifica con la nota relazione Ass = MUT/(MUT+MDT)
> As := simplify(MUT/(MUT+MDT));
As :=
Verifica con la disponibilità dei singoli blocchi
m1 m2
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
> A := (m1/(l1+m1))*(m2/(l2+m2));
m1 m2
A :=
( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
3. Modelli elementari
3.3.1.2. Verifica dell’equivalenza
Il modello appena sviluppato ci consente di sostituire nel DBA 2 blocchi in serie con un
solo blocco che ha le caratteristiche asintotiche seguenti:
> Ass := (m1*m2)/((l1+m1)*(l2+m2));
> MUT := 1/(l1+l2);
m1 m2
Ass :=
( l1 + m1 ) ( l2 + m2)
MUT :=
1
l1 + l2
> MDT := (l1*m2+m1*l2+l1*l2)/(m1*m2*(l1+l2));
l1 m2 + m1 l2 + l1 l2
MDT :=
m1 m2 ( l1 + l2 )
Se
> l1:=0.0001; m1:=0.5; l2:=0.0002; m2:=0.5;
> Digits:=20;
> Ass;
l1 := 0.0001 m1 := 0.5
l2 := 0.0002 m2 := 0.5
Digits := 20
0.99940027988004957985
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 51 di 153

MUT;
> MDT;
3333.3333333333333333
2.0002666666666666667
3. Modelli elementari
Si consideri ora il comportamento dei 2 blocchi separatamente agli istanti seguenti:
> t1:=10; t2:=1000; t3:=10000;
t1 := 10 t2 := 1000 t3 := 10000
La disponibilità a un dato istante è il prodotto delle disponibilità dei singoli blocchi
> A(t1):= ((m1+l1*exp(-(l1+m1)*t1))/(l1+m1))*((m2+l2*exp(-
(l2+m2)*t1))/(l2+m2));
A( 10) := 0.99940431349948912947
> A(t2):= ((m1+l1*exp(-(l1+m1)*t2))/(l1+m1))*((m2+l2*exp(-
(l2+m2)*t2))/(l2+m2));
A( 1000) := 0.99940027988004957985
> A(t3):= ((m1+l1*exp(-(l1+m1)*t3))/(l1+m1))*((m2+l2*exp(-
(l2+m2)*t3))/(l2+m2));
A( 10000) := 0.99940027988004957985
Consideriamo i due blocchi come un solo blocco cui compete il tasso di guasto
> l3:=1/MUT;
e il tasso di ripristino
> m3:=1/MDT;
l3 := 0.00030000000000000000000
m3 := 0.49993334222103719503
cui competono agli istanti considerati le disponibilità
> A3(t1) := (m3+l3*exp(-(l3+m3)*t1);
A3( 10) := 0.99940431134433985626
> A3(t2) := (m3+l3*exp(-(l3+m3)*t2))/(l3+m3);
A3( 1000) := 0.99940027988004957985
> A3(t3) := (m3+l3*exp(-(l3+m3)*t3))/(l3+m3);
A3( 10000) := 0.99940027988004957985
A prescindere da un breve transitorio iniziale per raggiungere il valore asintotico, questo
unico blocco fittizio si comporta come il sistema originario costituito da 2 blocchi in serie.
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3. Modelli elementari
3.3.2. Due blocchi connessi in ridondanza sequenziale
La ridondanza sequenziale si ha quando di più blocchi predisposti per assolvere il medesimo
compito uno solo serve il sistema mentre gli altri sono in riserva.
Quando il blocco che serve il sistema si guasta, un organo di commutazione ideale (con
tasso di guasto e tempo di intervento trascurabili) provvede a metterlo fuori servizio e a
inserire a servizio del sistema uno dei blocchi di riserva.
Se l’ipotesi dell’organo di commutazione con tasso di guasto e/o tempo di intervento
trascurabile non è applicabile, si tiene conto dell’organo di commutazione reale con un
ulteriore blocco in serie.
I blocchi in riserva possono essere:
• alimentati e funzionanti (riserva calda; condizione spesso non esplicitata perché
considerata di default);
• spenti (riserva fredda/stand-by; condizione sempre esplicitata).
Per le riparazioni è disponibile un solo operatore (manutenzione singola). Si tornerà
sull’argomento in 3.3.6..
Il sistema di 2 blocchi ridondanti in riserva calda può assumere gli stati mostrati in
Tab.3.4. ove:
N = identificazione dello stato;
A, B = stato del blocco (0 = funzionante, 1 = guasto);
S = stato del sistema (0 = funzionante, 1 = guasto)
Tab. 3.4. - Possibili stati del sistema
N A B S
1 0 0 0
2 1 0 0
3 0 1 0
4 1 1 1
3.3.2.1. Calcolo della disponibilità asintotica
Le probabilità asintotiche dei 4 stati sono già state calcolate in 3.2.2.1.
> Ass := factor(P1+P2+P3);
m1 m2 + l1 m2 + m1 l2
Ass :=
( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
3.3.2.2. Calcolo del MUT e del MDT
La frequenza di ciclo del gruppo di stati 2, 3, 4 = somma delle frequenze di ciclo degli
stati di frontiera del gruppo:
> f123 := simplify(f2+f3 - (P2*m1+P3*m2));
l2 l1 ( m1 + m2)
f123 :=
m1 l2 + m1 m2 + l2 l1 + l1 m2
> MUT := simplify((P1+P2+P3)/f123);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 53 di 153

m1 m2 + l1 m2 + m1 l2
MUT :=
l2 l1 ( m1 + m2)
3. Modelli elementari
La frequenza di ciclo dello stato di guasto 4 = probabilità di essere nello stato 4 per il
tasso totale di uscita da esso è identica alla f123 essendo 2 soli i blocchi di stati considerati
> f4 := P4*(m1+m2);
l2 l1 ( m1 + m2)
f4 :=
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
Si noti l'uguaglianza tra f4 ed f123a per le ragioni già dette.
> MDT := P4/f4;
simplify(MUT/(MUT+MDT));
> simplify(Ass/(%));
MDT :=
1
m1 + m2
m1 m2 + l1 m2 + m1 l2
A2 :=
m1 m2 + m1 l2 + l2 l1 + l1 m2
3.3.2.3. Calcolo del MTTF
Se per ragioni operative il ripristino del servizio riprende dallo stato iniziale, occorre
calcolare il MTTF.
> Q := matrix(3, 3, [[1-(l1+l2), l1, l2],[m1, 1-(l2+m1),
0], [m2, 0, 1-(l1+m2)]]);
⎡1
− l1 − l2 l1 l2
⎢
⎤
Q := ⎢
⎥
⎢ m1 1 − l2 − m1 0 ⎥
⎣
⎢ m2 0 1 − l1 − m2⎦
⎥
> M := inverse(ID-evalm(Q));
⎡ ( l2 + m1 ) ( l1 + m2)
l1 + m2
⎢
l2 l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
l2 ( l2 + m2 + l1 + m1)
⎢ m1 ( l1 + m2)
m2 + l2 + l1
M := ⎢ l2 l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
l2 ( l2 + m2 + l1 + m1)
⎢
( l2 + m1) m2
m2
⎢
⎣ l2 l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
l2 ( l2 + m2 + l1 + m1)
> MTTF := simplify(M[1,1]+M[1,2]+M[1,3]);
l2 l1 + l2 m2 + m1 l1 + m1 m2 + l1 + + +
MTTF :=
2
l1 m2 l2 2 m1 l2
l2 l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
1
l2 + m1 ⎤
⎥
l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
⎥
m1
⎥
l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
⎥
l1 + l2 + m1 ⎥
l1 ( l2 + m2 + l1 + m1)
⎥
⎦
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 54 di 153

3. Modelli elementari
3.3.2.4. Calcolo alternativo del MTTF e del MUT
> T := matrix(4, 4, [[-(l1+l2), m1, m2, 0], [l1, -(l2+m1),
0, m2], [l2, 0, -(l1+m2), m1], [0, l2, l1, (m1+m2)]]);
⎡−
l1 − l2 m1 m2 0
⎢
⎤
⎢
⎥
T := ⎢ l1 − l2 − m1 0 m2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
l2 0 − l1 − m2 m1 ⎥
⎣
⎢ 0 l2 l1 m1 + m2⎦
⎥
Partendo dallo stato 1
> DS1 := matrix(4, 4, [[-(l1+l2), m1, m2, 1], [l1, -
(l2+m1), 0, 0], [l2, 0, -(l1+m2),0], [1, 1, 1, 0]]);
⎡−
l1 − l2 m1 m2 1
⎢
⎤
⎢
⎥
DS1 := ⎢ l1 − l2 − m1 0 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
l2 0 − l1 − m2 0 ⎥
⎣
⎢ 1 1 1 0⎦
⎥
> det(DS1);
− l1 − − − − − − −
2
l1 m2 l2 2
l2 m1 l2 l1 l2 m2 m1 l1 m1 m2
> DA := matrix(3, 3, [[-(l1+l2), m1, m2], [l1, -(l2+m1),
0], [l2, 0, -(l1+m2)]]);
⎡−
l1 − l2 m1 m2
⎢
⎤
DA := ⎢
⎥
⎢ l1 − l2 − m1 0 ⎥
⎣
⎢ l2 0 − l1 − m2⎦
⎥
> det(DA);
− l2 l1 − − −
2
l2 l1 m2 l2 2 l1 l2 m1 l1
> MTTF := simplify(det(DS1)/det(DA));
MTTF :=
l1 2
+ l1 m2 + l2 + + + + +
2
l2 m1 l2 l1 l2 m2 m1 l1 m1 m2
l2 l1 ( l1 + m2 + l2 + m1)
Partendo dallo stato 2 o dallo stato 3
> DS2 := matrix(4, 4, [[-(l1+l2), m1, m2, 0], [l1, -
(l2+m1), 0, m2/(m1+m2)], [l2, 0, -(l1+m2),m1/(m1+m2)], [1,
1, 1, 0]]);
⎡−
l1 − l2 m1 m2 0
⎢
⎤
⎢
⎥
⎢
m2 ⎥
⎢ l1 − l2 − m1 0
⎥
⎢
m1 + m2
DS2 := ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
m1 ⎥
⎢ l2 0 − l1 − m2
⎢
⎥
⎢
m1 + m2 ⎥
⎣
⎢ 1 1 1 0
⎦
⎥
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 55 di 153

det(DS2);
3. Modelli elementari
l2 m1 l1 l1 2 m2 l1 m2 2
l2 2 m1 l2 m1 2
− ( + + + + + l2 l1 m2 + 2 m1 l1 m2 + 2 l2 m1 m2
m1 m2 2 m1 2 + + m2)/(
m1 + m2)
> MUT := simplify(det(DS2)/det(DA));
l2 m1 + m1 m2 + l1 m2
MUT :=
l1 l2 ( m1 + m2)
Se i due blocchi sono uguali:
> l1:=l; l2:=l; m1:=m; m2:=m;
> MTTFi := simplify(MTTF);
> MUTi := simplify(MUT);
l1 := l l2 := l
m1 := m m2 := m
MTTFi :=
MUTi :=
3 l + m
2 l 2
2 l + m
2 l 2
Esempio 1
> l1:=0.0001; m1:=0.4; l2:=0.0002; m2:=0.6;
> Digits := 20;
l1 := 0.0001 m1 := 0.4
l2 := 0.0002 m2 := 0.6
Digits := 20
Ripristinando il servizio dallo stato 1:
> Ass := (m1*m2+l1*m2+m1*l2)/((m2+l2)*(m1+l1));
> MDT := 1/(m1+m2);
> MTTF;
> simplify(MTTF/(MTTF+MDT));
Ass := 0.99999991671525637418
MDT := 1.0000000000000000000
0.12011400079976007198 10 8
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 56 di 153

0.99999991674576568198
Ripristinando il servizio da un qualunque stato di funzionamento:
> MUT;
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
0.12007000000000000000 10 8
0.99999991671525637418
3. Modelli elementari
Si noti che usare il MUT al posto del MTTF quando si riparte dallo stato iniziale costituisce
una ottima approssimazione.
Se i due blocchi sono identici
> l:=0.0001; m:=0.5;
l := 0.0001 m := 0.5
Ripristinando il servizio dallo stato 1:
> Assi := (m*(2*l+m))/(l+m)^2;
> MTTFi;
> MDT := 1/(2*m);
> simplify(MTTFi/(MTTFi+MDT));
Assi := 0.99999996001599520128
0.25015000000000000000 10 8
MDT := 1.0000000000000000000
0.99999996002398720672
Ripristinando il servizio da un qualunque stato di funzionamento:
> simplify(MUTi/(MUTi+MDT));
0.99999996001599520128
Al modello elementare costituito da 2 blocchi in ridondanza sequenziale calda competono
le caratteristiche seguenti.
m1 m2 + l1 m2 + m1 l2
Ass :=
( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 m2 + l1 m2 + m1 l2
MUT :=
l2 l1 ( m1 + m2)
1
MDT :=
m1 + m2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 57 di 153

3. Modelli elementari
3.3.3. Due blocchi identici in ridondanza sequenziale
Nel caso particolare in cui i due blocchi sono identici gli stati 2 e 3 che hanno un solo
componente guasto sono tra loro indistinguibili e possono quindi essere raggruppati
come in Tab. 3.5..
Tab. 3.5. - Possibili stati del sistema
N A B S
1 0 0 0
2 (2, 3) 1 0 0
0 1 0
3 (4) 1 1 1
Ne segue il diagramma delle transizioni seguente:
1 2 3
m
2l
Fig. 3.3. - Diagramma delle transizioni con stati raggruppati
Si noti che lo stato 2 in Fig. 3.3. corrisponde agli stati 2 e 3 in Fig. 3.2. che stanno sulla
stessa verticale.
La transizione dallo stato 1 allo stato 2 è determinata dal verificarsi di uno solo dei due
eventi indipendenti e in questo caso mutuamente escludentisi “guasto del blocco A” e
“guasto del blocco B” e il suo tasso è quindi la somma dei tassi dei 2 blocchi.
Analogo ragionamento vale per il tasso di transizione, per ripristino della funzionalità di
un solo blocco, dallo stato 3 allo stato 2.
3.3.3.1. Dettagli dei calcoli
> P := matrix(3, 3, [[1-2*l, 2*l,0], [m, 1-(l+m), l], [0,
2*m, 1-2*m]]);
⎡1
− 2 l 2 l 0
⎢
⎤
P := ⎢
⎥
⎢ m 1 − l − m l ⎥
⎣
⎢ 0 2 m 1 − 2 m⎦
⎥
> V := matrix(1, 3, [P1, P2, P3]);
> X := evalm(V &* P);
V := [ P1 P2 P3]
X := [ P1 ( 1− 2l) + P2m 2 P1 l + P2 ( 1 − l − m) + 2 P3 m P2 l + P3 ( 1− 2m)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
2m
eq1 := P1 ( 1− 2l) + P2m= P1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 58 di 153
l

eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := P1 + P2 + P3 = 1;
eq2 := 2 P1 l + P2 ( 1 − l − m) + 2 P3 m = P2
eq3 := P2 l + P3 ( 1− 2m) = P3
eq4 := P1 + P2 + P3 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq4}, {P1,P2,P3});
S := { P1 =
, ,
}
+ 2 ml+ m 2
P3 =
+ 2 ml+ m 2
ml
P2 = 2
+ 2 ml+ m 2
l 2
m 2
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..3));
> P1 := m^2/(l^2+2*m*l+m^2);
l 2
l 2
P1 + P2 + P3 = 1
P1 :=
> P2 := 2*m*l/(l^2+2*m*l+m^2);
P2 := 2
> P3 := l^2/(l^2+2*m*l+m^2);
P3 :=
> Ass := simplify(P1 + P2);
> f1 := P1*2*l;
> f2 := P2*(m+l);
> f3 := P3*2*m;
Ass :=
f1 := 2
f2 := 2
l 2
l 2
l 2
l 2
l 2
l 2
3. Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 59 di 153
m 2
+ 2 ml+ m 2
ml
+ 2 ml+ m 2
l 2
+ 2 ml+ m 2
( 2 l + m) m
+ 2 ml+ m 2
m 2 l
+ 2 ml+ m 2
ml( ) + m l
+ 2 ml+ m 2
l 2

f3 := 2
l 2
l 2 m
+ 2 ml+ m 2
> MUT := simplify((P1+P2)/f3);
1 2 l + m
MUT :=
2
> MDT := P3/f3;
3. Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 60 di 153
l 2
1 1
MDT :=
2 m
Queste formule sono identiche a quelle calcolate in 3.3.2. appositamente per poter fare
questo confronto.
Al modello elementare costituito da 2 blocchi identici in ridondanza sequenziale
calda competono le caratteristiche seguenti.
Ass :=
l 2
( 2 l + m) m
+ 2 ml+ m 2
1 2 l + m
MUT :=
2
1 1
MDT :=
2 m
l 2
3.3.4. Due blocchi in ridondanza sequenziale fredda
Il sistema è costituito da un blocco A cui competono un tasso di guasto l1 e un tasso di
riparazione m1 normalmente a servizio del sistema e da un blocco B in riserva fredda cui
compete un tasso di guasto l2 quando è funzionante al servizio del sistema, un tasso di
guasto l3 quando è spento in riserva (dormant failure rate) e un tasso di riparazione m2.
Una volta terminata la riparazione, B passa in riserva fredda e A passa a servizio del sistema.
Il sistema può assumere gli stati mostrati in Tab.3.6. ove:
N = identificazione dello stato;
A, B = stato del blocco (0 = funzionante, R = funzionante in riserva, 1 = guasto);
S = stato del sistema (0 = funzionante, 1= guasto).
Tab. 3.6. - Possibili stati del sistema
N A B S
1 0 R 0
2 1 0 0
3 0 1 0
4 1 1 1

Il diagramma delle transizioni tra questi stati è mostrato in Fig. 3.4.
1
m2
m1
l1
Fig. 3.4. – Diagramma delle transizioni tra stati
3.3.4.1. Dettagli dei calcoli
> P := matrix(4, 4, [[1-(l1+l3), l1, l3, 0],
[m1, 1-(l2+m1), 0, l2], [m2, 0, 1-(l1+m2), l1],
[0, m2, m1, 1-(m1+m2)]]);
⎡1
− l1 − l3 l1 l3 0
⎢
⎤
⎢
⎥
P := ⎢ m1 1 − l2 − m1 0 l2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
m2 0 1 − l1 − m2 l1 ⎥
⎣
⎢ 0 m2 m1 1 − m1 − m2⎦
⎥
> V := matrix(1, 4, [P1, P2, P3, P4]);
> X := evalm(V &* P);
V := [ P1 P2 P3 P4]
3. Modelli elementari
X :=
[ P1 ( 1 − l1 − l3 ) + P2 m1 + P3 m2 , P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m1) + P4 m2 ,
P1 l3 + P3 ( 1 − l1 − m2) + P4 m1 , P2 l2 + P3 l1 + P4 ( 1 − m1 − m2)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
eq1 := P1 ( 1 − l1 − l3 ) + P2 m1 + P3 m2 = P1
eq2 := P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m1) + P4 m2 = P2
eq3 := P1 l3 + P3 ( 1 − l1 − m2) + P4 m1 = P3
eq4 := P2 l2 + P3 l1 + P4 ( 1 − m1 − m2) = P4
> eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 =1;
l3
2
3
m2
m1
l1
l2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 61 di 153
4

eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
3. Modelli elementari
S P2 m2l1 ( l1 + l3 + m2 + m1) l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 := { =
/( + + m2 + l1 l3 m1 + l1 m2 l2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 + + + + + + + l3
m1 2 m2 m1 m2 2 + + + m1 l3 l2 ) , P4 = ( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1/( l1 l3 m2
l1 2 l2 l1 2 m2 l1 l3 m1 l1 m2 l2 2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2
+ + + + + + + +
m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 l3 m1 2 m2 m1 m2 2 + + + + + + m1 l3 l2 ) , P3 = m1
( l1 l2 + l3 m2 + l3 l2 + l3 m1) l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 /( + + m2 + l1 l3 m1 + l1 m2 l2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 + + + + + + + l3
m1 2 m2 m1 m2 2 + + + m1 l3 l2 ) P1 m2 m1 ( l1 + l2 + m1 + m2) l1 l3 m2 l1 2 , =
/( + l2
l1 2 m2 l1 l3 m1 l1 m2 l2 2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 + + + + + + + + m1 l3 m2
m1 m2 l2 m1 2 l3 m1 2 m2 m1 m2 2 + + + + + m1 l3 l2 )}
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..4));
P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> P1
:=m2*m1*(l2+l1+m1+m2)/(l1^2*m2+l1*l3*l2+l1^2*l2+l1*m2^2+l1*
l3*m2+2*l1*m2*m1+l1*m1*l2+l1*l3*m1+l1*m2*l2+m1*l3*l2+m1*m2*
l2+m1*m2^2+m1^2*m2+m1^2*l3+m1*l3*m2);
P1 m2 m1 ( l1 + l2 + m1 + m2) l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 :=
/( + + m2 + l1 l3 m1 + l1 m2 l2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 + + + + + + + l3
m1 2 m2 m1 m2 2 + + + m1 l3 l2 )
> P2 :=
m2*l1*(m2+l1+l3+m1)/(l1^2*m2+l1*l3*l2+l1^2*l2+l1*m2^2+l1*l3
*m2+2*l1*m2*m1+l1*m1*l2+l1*l3*m1+l1*m2*l2+m1*l3*l2+m1*m2*l2
+m1*m2^2+m1^2*m2+m1^2*l3+m1*l3*m2);
P2 m2 l1 ( l1 + l3 + m2 + m1) l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 :=
/( + + m2 + l1 l3 m1 + l1 m2 l2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 + + + + + + + l3
m1 2 m2 m1 m2 2 + + + m1 l3 l2 )
> P3 :=
m1*(l3*m2+l3*l2+l1*l2+l3*m1)/(l1^2*m2+l1*l3*l2+l1^2*l2+l1*m
2^2+l1*l3*m2+2*l1*m2*m1+l1*m1*l2+l1*l3*m1+l1*m2*l2+m1*l3*l2
+m1*m2*l2+m1*m2^2+m1^2*m2+m1^2*l3+m1*l3*m2);
P3 m1 ( l1 l2 + l3 m2 + l3 l2 + l3 m1) l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 :=
/( + + m2 + l1 l3 m1 + l1 m2 l2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 + + + + + + + l3
m1 2 m2 m1 m2 2 + + + m1 l3 l2 )
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 62 di 153

3. Modelli elementari
> P4 :=
(l3*l2+l3*m1+l1*l2+m2*l2)*l1/(l1^2*m2+l1*l3*l2+l1^2*l2+l1*m
2^2+l1*l3*m2+2*l1*m2*m1+l1*m1*l2+l1*l3*m1+l1*m2*l2+m1*l3*l2
+m1*m2*l2+m1*m2^2+m1^2*m2+m1^2*l3+m1*l3*m2);
P4 ( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 :=
/( + + m2 + l1 l3 m1 + l1 m2 l2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 m1 l3 m2 m1 m2 l2 m1 2 + + + + + + + l3
m1 2 m2 m1 m2 2 + + + m1 l3 l2 )
> simplify(P1+P2+P3+P4);
> Ass := factor(P1+P2+P3);
Ass 2 l1 m2 m1 m1 m2 l2 m1 2 m2 m1 m2 2
l1 2 m2 l1 l3 m2 l1 m2 2
:= ( + + + + + +
l1 m1 l2 m1 l3 m2 m1 l3 l2 m1 2 + + + + l3 ) ( ( l1 + m1)
( l3 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 l2 + l3 m2 + m2 l2 + m2 + )
2
l3 l2 )
> f1 := simplify(P4*(m1+m2));
1
f1 ( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 ( m1 + m2) l1 l3 m2 l1 2 l2 l1 2 :=
/( + + m2 + l1 l3 m1
l1 m2 l2 2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 l2 l1 m2 2 + + + + + + m1 l3 m2 + m1 m2 l2
m1 2 l3 m1 2 m2 m1 m2 2 + + + + m1 l3 l2 )
> MUT := simplify(Ass/f1);
MUT 2 l1 m2 m1 m1 m2 l2 m1 2 m2 m1 m2 2
l1 2 m2 l1 l3 m2 l1 m2 2
:= ( + + + + + +
l1 m1 l2 m1 l3 m2 m1 l3 l2 m1 2 + + + + l3 )/( ( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1
( m1 + m2 ) )
Poiché il sistema riparte sempre dallo stato iniziale si calcola anche il MTTF
> Q := matrix(3, 3, [[1-(l1+l3), l1, l3],
[m1, 1-(l2+m1), 0], [m2, 0, 1-(l1+m2)]]);
⎡1
− l1 − l3 l1 l3
⎢
⎤
Q := ⎢
⎥
⎢ m1 1 − l2 − m1 0 ⎥
⎢
⎥
⎣ m2 0 1 − l1 − m2⎦
> M := inverse(ID-evalm(Q));
M :=
⎡ ( l2 + m1 ) ( l1 + m2)
l1 + m2
⎣
⎢ , ,
( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1
l3 ( l2 + m1)
⎤
( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 ⎥
⎦
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 63 di 153

⎡ m1 ( l1 + m2)
l1 + l3 + m2
⎢ , ,
⎣ ( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1
l3 m1
⎤
( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 ⎥
⎦
⎡ ( l2 + m1) m2
m2
⎣
⎢ , ,
( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1
l1 l2 + l3 l2 + l3 m1 ⎤
( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1 ⎥
⎦
> MTTF := simplify(M[1,1]+M[1,2]+M[1,3]);
l1 l2 + m2 l2 + l1 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 + +
MTTF :=
2
l3 l2 l3 m1
( m2 l2 + l1 l2 + l3 l2 + l3 m1) l1
3. Modelli elementari
Si vedrà nell’esempio seguente che questo valore differisce di molto poco dal valore
del MUT.
> MDT := simplify(P4/f1);
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
MDT :=
1
m1 + m2
m1 2 m2 m2 2 m1 l2 m1 m2 2 m2 m1 l1 l3 l1 m2 m2 2 l1 m2 l1 2
l3 m1 2
( + + + + + + +
+ l3 m1 m2 + l3 l2 m1 + l2 m1 l1 l3 m1 m2 l3 m1 l1 l3 m1 2
) ( + + + l3 l2 l1
l3 l2 m1 l3 l1 m2 l2 m1 m2 l2 m1 l1 l2 l1 2 m2 2 m1 2 m2 m1 l1 m2 2 + + + + + + + + l1
m2 l1 2
l2 l1 m2 m1 2 + + + m2)
> simplify(%/Ass);
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
m1 m2 l2 2 l1 m2 m1 m1 2 m2 m1 m2 2
l1 m2 2
l1 2 ( + + + + + m2 + l1 l3 m2 + m1 l3 m2
m1 l3 l2 l1 m1 l2 m1 2 + + + l3 l1 2 m2 l1 l3 l2 l1 2 l2 l1 m2 2
) ( + + + + l1 l3 m2
2 l1 m2 m1 l1 m1 l2 l1 l3 m1 l1 m2 l2 m1 l3 l2 m1 m2 l2 m1 m2 2
+ + + + + + +
m1 2 m2 m1 2 + + l3 + m1 l3 m2)
> simplify(%/Ass);
Esempio
> l1:=0.0001; m1:=0.4; l2:= 0.0002; m2:=0.6; l3:=
0.00004; m3:=0.6;
1
1
l1 := 0.0001 m1 := 0.4
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 64 di 153

Digits := 30;
> Ass;
> MUT;
> MTTF;
> MDT;
l2 := 0.0002 m2 := 0.6
l3 := 0.00004 m3 := 0.6
Digits := 30
0.999999943356604596829159070243
0.176543079071955773811274149440 10 8
0.176607785161878436792425088952 10 8
1.00000000000000000000000000000
3. Modelli elementari
Confrontando questi dati con gli analoghi calcolati per i 2 blocchi in ridondanza sequenziale
calda (vedi 3.3.2.) si ha:
Assc := 0.999999916715256374177032216453
> Assf/Assc;
> MUTf/MUTc;
MUTc := 0.12007000000000000000000000000 10 8
Assf := 0.99999999943356604596829159070243
MUTf := 0.176543079071955773811274149440 10 8
1.00000008271831656096504731389
1.47033463039856561848316939652
Le disponibilità sono praticamente identiche, mentre il MUT della ridondanza fredda ha
un vantaggio di circa il 47%. Si ricordi la maggior rilevanza di questo parametro (vedi
2.4.).
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 65 di 153

3. Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 2 blocchi in ridondanza sequenziale fredda
competono le caratteristiche seguenti.
Ass m1 m2 l2 2 l1 m2 m1 m1 2 m2 m1 m2 2
l1 m2 2
l1 2 := ( + + + + + m2 + l1 l3 m2
m1 l3 m2 m1 l3 l2 l1 m1 l2 m1 2 + + + + l3 ) (
( l1 + m1 ) ( l3 m1 + m2 m1 + m2 l1 + l1 l2 + l3 l2 + m2 l2 + m2 + )
2
l3 m2 )
MUT m1 m2 l2 2 l1 m2 m1 m1 2 m2 m1 m2 2
l1 m2 2
l1 2 := ( + + + + + m2 + l1 l3 m2
m1 l3 m2 m1 l3 l2 l1 m1 l2 m1 2 + + + + l3 )/(
( l3 l2 + l3 m1 + l1 l2 + m2 l2 ) l1 ( m1 + m2 ) )
MDT :=
1
m1 + m2
3.3.5. Due blocchi identici in ridondanza sequenziale fredda
I 2 blocchi A e B sono identici con tasso di guasto l quando sono al servizio del sistema
ed l3 quando sono in riserva e tasso di riparazione m. Il sistema riparte non appena raggiunto
un qualunque stato di funzionamento.
La tabella degli stati è ancora quella di Tab. 3.6. mentre il diagramma delle transizioni
tra stati è il seguente.
1
m
m
l l
l3
Fig. 3.5. – Diagramma delle transizioni tra stati
3.3.5.1. Dettagli dei calcoli
> P := matrix(4, 4, [[1-(l+l3), l, l3, 0],
[m, 1-(l+m), 0, l], [m, 0, 1-(l+m), l],
[0, m, m, 1-(m+m)]]);
⎡1
− l − l3 l l3 0
⎢
⎤
⎢
⎥
P := ⎢ m 1 − l − m 0 l
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
m 0 1 − l − m l ⎥
⎣
⎢ 0 m m 1 − 2 m⎦
⎥
> V := matrix(1, 4, [P1, P2, P3, P4]);
2
3
m
m
l
l
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 66 di 153
4

X := evalm(V &* P);
V := [ P1 P2 P3 P4]
X :=
[ P1 ( 1 − l − l3 ) + P2 m + P3 m , P1 l + P2 ( 1 − l − m) + P4 m ,
P1 l3 + P3 ( 1 − l − m) + P4 m , P2 l + P3 l + P4 ( 1 − 2 m)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 =1;
eq1 := P1 ( 1 − l − l3 ) + P2 m + P3 m = P1
eq2 := P1 l + P2 ( 1 − l − m) + P4 m = P2
eq3 := P1 l3 + P3 ( 1 − l − m) + P4 m = P3
eq4 := P2 l + P3 l + P4 ( 1− 2m) = P4
eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
S P4 = { :=
l 2
l ( l + l3)
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
2 l3 m ,
( + ll3+ 2 l3 m) m
P3 =
( l + + + + )
2
2 ml ll3 2 m 2
2 l3 m ( l + m )
,
ml( l + 2 m+ l3)
P2 =
l + + + + + +
3
l 2 l3 3 ll3m 3 l 2 m 4 lm 2
2 l3 m 2
2 m 3,
P1 =
l 2
l 2
2 m 2
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
2 l3 m }
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..4));
P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> P1 := 2*m^2/(l^2+2*m*l+l*l3+2*m^2+2*l3*m);
P1 :=
l 2
2 m 2
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
2 l3 m
3. Modelli elementari
> P2 :=
m*l*(l+2*m+l3)/(l^3+l^2*l3+3*l*l3*m+3*l^2*m+4*l*m^2+2*l3*m^
2+2*m^3);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 67 di 153

P2 :=
l 3
ml( l + 2 m+ l3)
+ l + + + + +
2 l3 3 ll3m 3 l 2 m 4 lm 2
2 l3 m 2
3. Modelli elementari
2 m 3
> P3 :=
(l^2+l*l3+2*l3*m)*m/(l^2+2*m*l+l*l3+2*m^2+2*l3*m)/(l+m);
( + ll3+ 2 l3 m) m
P3 :=
( + 2 ml+ ll3+ 2 m + )
2
2 l3 m ( l + m)
l 2
> P4 := l*(l+l3)/(l^2+2*m*l+l*l3+2*m^2+2*l3*m);
P4 :=
> simplify(P1+P2+P3+P4);
> Ass := factor(P1+P2+P3);
Ass :=
> f1 := simplify(P4*(m+m));
f1 :=
> MUT := simplify(Ass/f1);
> MDT := simplify(P4/f1);
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
> simplify(%/Ass);
l 2
l 2
l 2
l 2
l 2
l ( l + l3)
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
1
2 m ( l3 + l + m)
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
2 l ( l + l3) m
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
l3 + l + m
MUT :=
l ( l + l3)
MDT :=
1
2 m
2 m ( l3 + l + m)
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
2 l3 m
2 l3 m
2 l3 m
2 l3 m
Esempio
> l:=0.0002; m:=0.5; l3:= 0.00004; m:=0.5;
1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 68 di 153

Digits:=20;
> Ass;
> MUT;
> MDT;
> MUT/(MUT+MDT);
l := 0.0002 m := 0.5
l3 := 0.00004 m := 0.5
Digits := 20
0.99999990404606709936
0.10421666666666666667 10 8
1.0000000000000000000
0.99999990404606709937
3. Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 2 blocchi identici in ridondanza sequenziale
fredda competono le caratteristiche seguenti.
Ass :=
l 2
2 m ( l3 + l + m)
+ 2 ml+ ll3+ 2 m +
2
l3 + l + m
MUT :=
l ( l + l3)
MDT :=
1
2 m
2 l3 m
3.3.6. Manutenzione multipla
Per valutare quantitativamente la convenienza di predisporre più di un manutentore si
riprenda il sistema di due blocchi in ridondanza sequenziale calda (3.3.2.).
Siano 2 i riparatori disponibili.
I tassi di riparazione dei 2 blocchi nella transizione dallo stato 4 agli stati 3 e 2 rispettivamente
vanno raddoppiati e moltiplicati per la quota che il secondo manutentore dedica
a ciascun blocco in ragione della sua frequenza relativa di guasto. Ne risultano per
queste transizioni i tassi di riparazione:
2λ1
2λ2
m 1 , m 2 .
λ + λ λ + λ
1
2
1
2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 69 di 153

3.3.6.1. Dettagli dei calcoli
> P := matrix(4,4,[[1-(l1+l2),l1,l2,0],[m1,1-
(l2+m1),0,l2],[m2,0,1-(l1+m2),
l1],[0,2*l2*m2/(l1+l2),2*m1*l1/(l1+l2),1-
(2*m1*l1/(l1+l2)+2*l2*m2/(l1+l2))]]);
⎡1
− l1 − l2 l1 l2 0
⎢ m1 1 − l2 − m1 0 l2
P :=
⎢
m2 0 1 − l1 − m2 l1
⎢
2 l2 m2 2 m1 l1 2 m1 l1
⎢
⎣
⎢ 0
1 − −
l1 + l2 l1 + l2 l1 + l2
> V := matrix(1,4,[P1, P2, P3,P4]);
V := [ P1 P2 P3 P4]
3. Modelli elementari
⎤
⎥
2 l2 m2 ⎥
l1 + l2 ⎦
⎥
> X := evalm(V&*P);
X :=
⎡
2 P4 l2 m2
P1 ( 1 − l1 − l2 ) + P2 m1 + P3 m2 P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m1)
+
⎣
⎢ , ,
l1 + l2
2 P4 m1 l1
P1 l2 + P3 ( 1 − l1 − m2)
+
P2 l2 + P3 l1 + P4
l1 + l2
⎛ 2 m1 l1 2 l2 m2
,
⎞
⎝
⎜ 1 − −
⎤
l1 + l2 l1 + l2 ⎠
⎟
⎦
⎥
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
eq1 := P1 ( 1 − l1 − l2 ) + P2 m1 + P3 m2 = P1
2 P4 l2 m2
eq2 := P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m1)
+
= P2
l1 + l2
2 P4 m1 l1
eq3 := P1 l2 + P3 ( 1 − l1 − m2)
+
= P3
l1 + l2
eq4 := P2 l2 + P3 l1 + P4 =
⎛ 2 m1 l1 2 l2 m2 ⎞
⎜ 1 − − ⎟ P4
⎝ l1 + l2 l1 + l2 ⎠
> eq5 := P1+P2+P3+P4 = 1;
eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 70 di 153

3. Modelli elementari
S P1 2 m2 m1 ( m1 l1 + m2 l2 + 2 l2 l1 ) l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 := { =
/( + + m2 m1
3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
+ + + + + +
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + m1)
, P3 = 2
( l1 + + + )
2
l2 l1 m1 l1 m2 l2 m1 l2 l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 m2 m1 3 l1 2 ( + + + m1 l2
2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
2 l1 m1 2 + + + + + + l2
2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + m1)
, P2 = 2
( m1 l1 + l2 l1 + m2 l2 + l2 )
2
l1 m2 l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 m2 m1 3 l1 2 ( + + + m1 l2
2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
2 l1 m1 2 + + + + + + l2
2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + m1)
, P4 =
( l1 + + + + + + )
2
2 l2 l1 m2 l1 m1 l1 l2 2 m2 l2 m1 l2 l2 l1 l1 3 l2 3 l1 2 ( + m2 l2
2 l1 2 m2 m1 3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
+ + + + + +
l1 l2 3
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + + m1)}
> simplify(sum('S[i]','i'=1..4));
P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> P1 :=
2*m2*m1*(m1*l1+m2*l2+2*l2*l1)/(l1^3*l2+3*l1^2*m2*l2+2*l1^2*
m2*m1+3*l1^2*m1*l2+2*l1^2*l2^2+2*l1*m2*m1^2+4*l1*m2*l2*m1+3
*l1*m2*l2^2+l1*l2^3+2*l1*m1^2*l2+2*l1*m2^2*l2+3*l1*l2^2*m1+
2*m2^2*l2*m1+2*m2*l2^2*m1);
P1 2 m2 m1 ( m1 l1 + m2 l2 + 2 l2 l1 ) l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 m2 m1 3 l1 2 :=
/( + + + m1 l2
2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
2 l1 m1 2 + + + + + + l2
2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + m1)
> P2 :=
2*(m1*l1+l2*l1+m2*l2+l2^2)*l1*m2/(l1^3*l2+3*l1^2*m2*l2+2*l1
^2*m2*m1+3*l1^2*m1*l2+2*l1^2*l2^2+2*l1*m2*m1^2+4*l1*m2*l2*m
1+3*l1*m2*l2^2+l1*l2^3+2*l1*m1^2*l2+2*l1*m2^2*l2+3*l1*l2^2*
m1+2*m2^2*l2*m1+2*m2*l2^2*m1);
P2 2( m1 l1 + l2 l1 + m2 l2 + l2 )
2
l1 m2 l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 :=
( + + m2 m1
3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
+ + + + + +
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + m1)
> P3 :=
2*(l1^2+l2*l1+m1*l1+m2*l2)*m1*l2/(l1^3*l2+3*l1^2*m2*l2+2*l1
^2*m2*m1+3*l1^2*m1*l2+2*l1^2*l2^2+2*l1*m2*m1^2+4*l1*m2*l2*m
1+3*l1*m2*l2^2+l1*l2^3+2*l1*m1^2*l2+2*l1*m2^2*l2+3*l1*l2^2*
m1+2*m2^2*l2*m1+2*m2*l2^2*m1);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 71 di 153

3. Modelli elementari
P3 2( + l2 l1 + m1 l1 + m2 l2 ) m1 l2 l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 :=
( + + m2 m1
3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
+ + + + + +
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + m1)
l1 2
> P4 :=
(l1^2+2*l2*l1+m2*l1+m1*l1+l2^2+m2*l2+m1*l2)*l2*l1/(l1^3*l2+
3*l1^2*m2*l2+2*l1^2*m2*m1+3*l1^2*m1*l2+2*l1^2*l2^2+2*l1*m2*
m1^2+4*l1*m2*l2*m1+3*l1*m2*l2^2+l1*l2^3+2*l1*m1^2*l2+2*l1*m
2^2*l2+3*l1*l2^2*m1+2*m2^2*l2*m1+2*m2*l2^2*m1);
P4 ( + 2 l2 l1 + m2 l1 + m1 l1 + l2 + + )
2 m2 l2 m1 l2 l2 l1 l1 3 l2 3 l1 2 :=
( + m2 l2
2 l1 2 m2 m1 3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
+ + + + + +
l1 l2 3
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + + m1)
l1 2
> simplify(sum('S[i]','i'=1..4));
> Ass := simplify(P1+P2+P3);
1= 1
Ass 2 l1 m2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 l1 m2 l2 m1 l1 2 m1 l2 l1 l2 2 m1 l1 m1 2 := ( + + + + + l2
m2 l2 2 m1 l1 2 m2 m1 l1 2 m2 l2 l1 m2 2 l2 l1 m2 l2 2
+ + + + + ) l1 3 l2 3 l1 2 ( + m2 l2
2 l1 2 m2 m1 3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
+ + + + + +
l1 l2 3
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + + m1)
> f4 := simplify((1-
Ass)*(2*m1*l1/(l1+l2)+2*l2*m2/(l1+l2)));
f4 2( m1 l1 + m2 l2 ) l1 l2 ( l1 + l2 + m2 + m1) l1 3 l2 3 l1 2 m2 l2 2 l1 2 :=
/( + + m2 m1
3 l1 2 m1 l2 2 l1 2 l2 2
2 l1 m2 m1 2
4 l1 m2 l2 m1 3 l1 m2 l2 2
l1 l2 3
+ + + + + +
2 l1 m1 2 l2 2 l1 m2 2 l2 3 l1 l2 2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 m2 l2 2 + + + + + m1)
> MUT := simplify(Ass/f4);
MUT l1 m2 m1 2 m2 2 l2 m1 2 l1 m2 l2 m1 l1 2 m1 l2 l1 l2 2 m1 l1 m1 2 := ( + + + + + l2
m2 l2 2 m1 l1 2 m2 m1 l1 2 m2 l2 l1 m2 2 l2 l1 m2 l2 2
+ + + + + )/( ( m1 l1 + m2 l2 ) l1 l2
( l1 + l2 + m2 + m1 ) )
> MDT := simplify((1-Ass)/f4);
l1 + l2
MDT :=
2( m1 l1 + m2 l2 )
Se
> l1:=0.0001; m1:=0.4; l2:=0.0002; m2:=0.6;
l1 := 0.0001 m1 := 0.4
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 72 di 153

Digits:=30;
> Ass;
> MUT;
> MDT;
> MUT/(MUT+MDT)/Ass;
l2 := 0.0002 m2 := 0.6
Digits := 30
0.999999921916650260731230958166
0.120063999550134959512146356093 10 8
0.937500000000000000000000000000
1.00000000000000000000000000000
Valori da confrontarsi con quelli ottenuti in 3.3.2.
Ass1 := 0.999999916715256374177032216453
MUT1 := 0.120070000000000000000000000000 10 8
> (MUT1/(MUT1+MDT1))/Ass1;
> Ass/Ass1;
> MUT/MUT1;
MDT1 := 1.000000000000000000000000000000
1.00000000000000000000000000000
1.00000000520139431975099115899
0.999950025402972928392990389714
3. Modelli elementari
Le differenze, molto piccole, giustificano l'assunzione della manutenzione singola che
verrà mantenuta nel resto del capitolo.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 73 di 153

3. Modelli elementari
3.3.7. Due blocchi connessi in ridondanza operativa
Si ha quando più blocchi predisposti per assolvere il medesimo compito funzionano
contemporaneamente al servizio del sistema fornendo ciascuno una parte di detto servizio.
Quando un blocco si guasta, un organo di commutazione ideale (con tasso di guasto
e tempo di intervento trascurabili) provvede a metterlo fuori servizio e i rimanenti forniscono
il servizio al sistema. Ovviamente tali blocchi rimanenti sono più sollecitati e
quindi compete loro un tasso di guasto adeguato.
Se l’ipotesi dell’organo di commutazione con tasso di guasto trascurabile non è applicabile,
si tiene conto dell’organo di commutazione reale con un ulteriore blocco in serie.
Il diagramma delle transizioni tra gli stati del sistema è mostrato in Fig. .3.5. ove:
l1 e m1 competono al blocco A in servizio assieme al blocco B;
l2 e m1 competono al blocco A in servizio da solo;
l3 e m2 competono al blocco B in servizio assieme al blocco A;
l4 e m2 competono al blocco B in servizio da solo.
1
m2
m1
l1
l3
Fig. 3.6. - Diagramma delle transizioni tra stati
La transizione dallo stato 2 allo stato 4 avviene con tasso l4 che effettivamente compete
al blocco 2 essendo il blocco 1 già guasto; la transizione dallo stato 3 allo stato 4 avviene
con tasso l2 che effettivamente compete al blocco 1 essendo il blocco 2 già guasto.
Si pensi al caso di due alimentatori che erogano, ambedue funzionanti, ciascuno metà
della potenza richiesta con tasso di guasto l; in caso di guasto ad uno di essi l’altro deve
erogare l’intera potenza con tasso di guasto l’ certamente maggiore di l.
3.3.7.1. Dettagli dei calcoli
> P := matrix(4,4,[[1-(l1+l3),l1,l3,0],[m1,1-
(l4+m1),0,l4],[m2,0,1-(l2+m2),l2],[0,m2,m1,1-(m1+m2)]]);
⎡1
− l1 − l3 l1 l3 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
P := ⎢ m1 1 − l4 − m1 0 l4 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
m2 0 1 − l2 − m2 l2
⎥
⎢
⎥
⎣ 0 m2 m1 1 − m1 − m2⎦
> V := matrix(1,4,[P1,P2,P3,P4]);
2
3
m2
m1
l2
l4
V := [ P1 P2 P3 P4]
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 74 di 153
4

X := evalm(V&*P);
3. Modelli elementari
X :=
[ P1 ( 1 − l1 − l3 ) + P2 m1 + P3 m2 , P1 l1 + P2 ( 1 − l4 − m1) + P4 m2 ,
P1 l3 + P3 ( 1 − l2 − m2) + P4 m1 , P2 l4 + P3 l2 + P4 ( 1 − m1 − m2)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := P1+P2+P3+P4 = 1;
eq1 := P1 ( 1 − l1 − l3 ) + P2 m1 + P3 m2 = P1
eq2 := P1 l1 + P2 ( 1 − l4 − m1) + P4 m2 = P2
eq3 := P1 l3 + P3 ( 1 − l2 − m2) + P4 m1 = P3
eq4 := P2 l4 + P3 l2 + P4 ( 1 − m1 − m2) = P4
eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
S P3 m1( l3 m2 + m1 l3 + l4 l3 + l1 l4 ) l3 m1 2
:= { =
/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1
l3 l4 l2 m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + + l1 + l4 l1 l2
l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + m1)
, P2 = m2 ( l3 l2 + l1 m2 + l1 l2 + l1 m1 ) /
l3 m1 2
( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1 + l3 l4 l2 + m1 l1 m2 + l4 l1 m2 + m2 l1 l2
m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 l1 l4 l1 l2 l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + + + + + m1),
P4 l3 m1 l2 + l4 l1 l2 + l3 l4 l2 + l4 l1 m2 l3 m1 2
= ( )/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2
l3 l4 m1 l3 l4 l2 m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + + + l1
l4 l1 l2 l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + + m1)
, P1 =
m1 m2 ( l2 + m1 + l4 + m2) l3 m1 2
/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1 + l3 l4 l2
m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + l1 + l4 l1 l2 + l4 m1 m2
l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + m1)}
> simplify(sum('S[i]', 'i' = 1..4));
P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> P1 :=
m1*m2*(l4+m2+m1+l2)/(l3*m1*l2+l3*m1*m2+l3*l4*l2+l3*l4*m1+l3
*m2*l2+l4*l1*m1+l4*l1*m2+l3*m1^2+l4*m1*m2+m2*l1*l2+m2^2*l1+
m1*l1*m2+m2^2*m1+m1^2*m2+l4*l1*l2+m2*m1*l2);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 75 di 153

3. Modelli elementari
P1 m1 m2 ( l2 + m1 + l4 + m2) l3 m1 2
:=
/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1 + l3 l4 l2
m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + l1 + l4 l1 l2 + l4 m1 m2
l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + m1)
> P2 :=
m2*(l1*m1+l1*l2+l1*m2+l3*l2)/(l3*m1*l2+l3*m1*m2+l3*l4*l2+l3
*l4*m1+l3*m2*l2+l4*l1*m1+l4*l1*m2+l3*m1^2+l4*m1*m2+m2*l1*l2
+m2^2*l1+m1*l1*m2+m2^2*m1+m1^2*m2+l4*l1*l2+m2*m1*l2);
P2 m2 ( l3 l2 + l1 m2 + l1 l2 + l1 m1) l3 m1 2
:=
/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1
l3 l4 l2 m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + + l1 + l4 l1 l2
l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + m1)
> P3 :=
m1*(l4*l3+l3*m2+m1*l3+l4*l1)/(l3*m1*l2+l3*m1*m2+l3*l4*l2+l3
*l4*m1+l3*m2*l2+l4*l1*m1+l4*l1*m2+l3*m1^2+l4*m1*m2+m2*l1*l2
+m2^2*l1+m1*l1*m2+m2^2*m1+m1^2*m2+l4*l1*l2+m2*m1*l2);
P3 m1 ( l3 m2 + m1 l3 + l4 l3 + l1 l4 ) l3 m1 2
:=
/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1
l3 l4 l2 m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + + l1 + l4 l1 l2
l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + m1)
> P4 :=
(l4*l1*m2+l4*l1*l2+l3*l4*l2+l3*m1*l2)/(l3*m1*l2+l3*m1*m2+l3
*l4*l2+l3*l4*m1+l3*m2*l2+l4*l1*m1+l4*l1*m2+l3*m1^2+l4*m1*m2
+m2*l1*l2+m2^2*l1+m1*l1*m2+m2^2*m1+m1^2*m2+l4*l1*l2+m2*m1*l
2);
P4 l3 m1 l2 + l4 l1 l2 + l3 l4 l2 + l4 l1 m2 l3 m1 2
:= ( )/( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2 + l3 l4 m1
l3 l4 l2 m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + + l1 + l4 l1 l2
l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + m1)
> Ass := simplify(P1+P2+P3);
Ass m2 m1 l2 m1 2 m2 l4 m1 m2 m2 2 m1 l3 m2 l2 m2 2 := ( + + + + + l1 + m2 l1 l2
m1 l1 m2 l3 m1 m2 l3 m1 2
+ + + + l3 l4 m1 + l4 l1 m1 l3 m1 2
) ( + l3 m1 m2
+ l3 m1 l2 + l3 l4 m1 + l3 l4 l2 + m1 l1 m2 + l4 l1 m2 + m2 l1 l2 + m2 m1 l2
m1 2 m2 m2 2 l1 l4 l1 l2 l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + + + + m1)
Essendoci 2 soli gruppi di stati, la frequenza di ciclo dello stato di guasto è identica a
quella del gruppo di stati di successo, Quindi se:
> f4 := P4*(m1+m2);
f4 ( l3 m1 l2 + l4 l1 l2 + l3 l4 l2 + l4 l1 m2 ) ( m1 + m2) l3 m1 2
:= ( )/( + l3 m1 m2
+ l3 m1 l2 + l3 l4 m1 + l3 l4 l2 + m1 l1 m2 + l4 l1 m2 + m2 l1 l2 + m2 m1 l2
m1 2 m2 m2 2 l1 l4 l1 l2 l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + + + + m1)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 76 di 153

allora
> MUT := simplify(Ass/f4);
3. Modelli elementari
MUT l2 m2 m1 m1 2 m2 m1 m2 l4 m2 2 := ( + + + m1 + l1 m2 m1 + l2 l3 m2 + l1 l2 m2
l1 m2 2 m1 2 + + l3 + l1 m1 l4 + m2 l3 m1 + m1 l3 l4 )/(
( l2 l3 m1 + l2 l3 l4 + l1 m2 l4 + l1 l2 l4 ) ( m1 + m2 ) )
e
> MDT := simplify((1-Ass)/f4);
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
MDT :=
1
m1 + m2
m2 m1 l2 m1 2 m2 l4 m1 m2 m2 2 m1 l3 m2 l2 m2 2 ( + + + + + l1 + m2 l1 l2 + m1 l1 m2
l3 m1 m2 l3 m1 2
+ + + l3 l4 m1 + l4 l1 m1 l3 m1 2
) ( + l3 m1 m2 + l3 m1 l2
l3 l4 m1 l3 l4 l2 m1 l1 m2 l4 l1 m2 m2 l1 l2 m2 m1 l2 m1 2 m2 m2 2 + + + + + + + + l1
l4 l1 l2 l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + + m1)
> %/Ass;
Se i due blocchi sono identici
> l3:=l1; l4:=l2; m1:=m; m2:=m; m3:=m; m4:=m;
> Ass := simplify(Ass);
1
l3 := l1 l4 := l2
m1 := m m2 := m
m3 := m m4 := m
Ass :=
m ( 2 l1 + m)
2 l1 m + m +
2
l2 l1
> MUT := simplify(MUT);
1 2 l1 + m
MUT :=
2 l2 l1
> MDT := simplify(MDT);
1 1
MDT :=
2 m
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 77 di 153

3. Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 2 blocchi in ridondanza operativa competono le
caratteristiche seguenti.
Ass m2 m1 l2 m1 2 m2 l4 m1 m2 m2 2 m1 l3 m2 l2 m2 2 := ( + + + + + l1 + m2 l1 l2
m1 l1 m2 l3 m1 m2 l3 m1 2
+ + + + l3 l4 m1 + l4 l1 m1 l3 m1 2
) ( + l3 m1 m2
+ l3 m1 l2 + l3 l4 m1 + l3 l4 l2 + m1 l1 m2 + l4 l1 m2 + m2 l1 l2 + m2 m1 l2
m1 2 m2 m2 2 l1 l4 l1 l2 l4 m1 m2 l4 l1 m1 l3 m2 l2 m2 2 + + + + + + + m1)
MUT l2 m2 m1 m1 2 m2 m1 m2 l4 m2 2 := ( + + + m1 + l1 m2 m1 + l2 l3 m2 + l1 l2 m2
l1 m2 2 m1 2 + + l3 + l1 m1 l4 + m2 l3 m1 + m1 l3 l4 )/(
( l2 l3 m1 + l2 l3 l4 + l1 m2 l4 + l1 l2 l4 ) ( m1 + m2 ) )
1
MDT :=
m1 + m2
3.3.8. Due blocchi identici connessi in ridondanza operativa
In questo caso gli stati 2 e 3 sono tra loro indistinguibili e possono essere raggruppati
ottenendo il diagramma delle transizioni seguente (vedi anche 3.3.3.):
1 2 3
m
2l1
Fig. 3.7. – Diagramma delle transizioni con stati raggruppati
3.3.8.1. Dettagli dei calcoli
> P := matrix(3,3,[[1-2*l1,2*l1,0],[m,1-(l2+m),l2],[0,2*m,-
2*m]]);
⎡1
− 2 l1 2 l1 0
⎢
⎤
P := ⎢
⎥
⎢ m 1 − l2 − m l2 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 2m−2m⎦ > V := matrix(1,3,[P1,P2,P3]);
> X := evalm(V&*P);
V := [ P1 P2 P3]
X := [ P1 ( 1− 2l1 ) + P2 m 2 P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m) + 2 P3 m P2 l2 − 2 P3 m]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
2m
eq1 := P1 ( 1− 2l1 ) + P2 m = P1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 78 di 153
l2

eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := P1+P2+P3 = 1;
eq2 := 2 P1 l1 + P2 ( 1 − l2 − m) + 2 P3 m = P2
eq3 := P2 l2 − 2 P3 m = P3
eq4 := P1 + P2 + P3 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq4}, {P1,P2,P3});
3. Modelli elementari
S := { P1 =
, ,
}
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
l1 l2
P3 =
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
ml1
P2 = 2
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
m 2
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..3));
P1 + P2 + P3 = 1
> P1 := m^2/(l1*l2+2*m*l1+m^2);
P1 :=
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 79 di 153
m 2
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
> P2 := 2*m*l1/(l1*l2+2*m*l1+m^2);
P2 := 2
ml1
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
> P3 := l1*l2/(l1*l2+2*m*l1+m^2);
> Ass := simplify(P1+P2);
> f3 := P3*2*m;
l1 l2
P3 :=
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
Ass :=
f3 := 2
( 2 l1 + m) m
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
l1 l2 m
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
> MUT := simplify(Ass/f3);
1 2 l1 + m
MUT :=
2 l1 l2
> MDT := simplify(P3/f3);
1 1
MDT :=
2 m

simplify(MUT/(MUT+MDT));
> Ass/(%);
( 2 l1 + m) m
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
1
3. Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 2 blocchi identici in ridondanza operativa competono
le caratteristiche seguenti.
Ass :=
( 2 l1 + m) m
l1 l2 + 2 ml1+ m 2
1 2 l1 + m
MUT :=
2 l1 l2
1 1
MDT :=
2 m
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 80 di 153

3.4. Tre blocchi
3 Modelli elementari
3.4.1. Connessione in serie
Il sistema costituito da tre blocchi A, B e C può assumere gli stati mostrati in Tab. 3.7.
ove:
N = identificazione dello stato;
A, B, C = stato del blocco (0 = funzionante, 1 = guasto);
S = stato del sistema (0 = funzionante, 1 = guasto);
Tab. 3.7. - Possibili stati del sistema
N A B C S
1 0 0 0 0
2 1 0 0 1
3 0 1 0 1
4 0 0 1 1
5 1 1 0 1
6 1 0 1 1
7 0 1 1 1
8 1 1 1 1
1
m1
m2
m3
l1
l2
l3
Fig. 3.8. – Diagramma delle transizioni tra stati
3.4.1.1. Dettagli dei calcoli
2 5
m3
m2
m1
l2
l1
3 6
m3
m1
m2
4 7
3.4.3.1.1. Calcolo delle probabilità asintotiche degli stati
> P := matrix(8,8,[
[1-l3-l2-l1, l1, l2, l3, 0, 0, 0, 0],
[m1, 1-l3-l2-m1, 0, 0, l2, l3, 0, 0],
[m2, 0, 1-l3-l1-m2, 0, l1, 0, l3, 0],
[m3, 0, 0, 1-l2-l1-m3, 0, l1, l2, 0],
[0, m2, m1, 0, 1-l3-m1-m2, 0, 0, l3],
[0, m3, 0, m1, 0, 1-l2-m1-m3, 0, l2],
[0, 0, m3, m2, 0, 0, 1-l1-m2-m3, l1],
l2
l1
l3
l3
m3
l3
l2
m2 l1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 81 di 153
m1
8

[0, 0, 0, 0, m3, m2, m1, 1-m1-m2-m3]]);
⎡1
− l3 − l2 − l1 , l1 , l2 , l3 , 0 , 0, 0 , 0
⎢
⎤
⎢
⎥
⎢m1
, 1 − l3 − l2 − m1 , 0 , 0, l2 , l3 , 0 , 0⎥
⎢
⎥
⎢
m2 , 0 , 1 − l3 − l1 − m2 , 0 , l1 , 0 , l3 , 0⎥
⎢
⎥
⎢m3
, 0 , 0 , 1 − l2 − l1 − m3 , 0 , l1 , l2 , 0 ⎥
P := ⎢
⎥
⎢0
, m2 , m1 , 0 , 1 − l3 − m1 − m2 , 0 , 0 , l3⎥
⎢
⎥
⎢
⎢0
, m3 , 0 , m1 , 0 , 1 − l2 − m1 − m3 , 0 , l2⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
0 , 0 , m3 , m2 , 0 , 0 , 1 − l1 − m2 − m3 , l1 ⎥
⎣
⎢0
, 0 , 0 , 0 , m3 , m2 , m1 , 1 − m1 − m2 − m3⎦
⎥
> V := matrix(1,8,[P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8]);
> X := evalm(V&*P);
V := [ P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8]
X :=
[ P1 ( 1 − l3 − l2 − l1 ) + P2 m1 + P3 m2 + P4 m3 ,
P1 l1 + P2 ( 1 − l3 − l2 − m1) + P5 m2 + P6 m3 ,
P1 l2 + P3 ( 1 − l3 − l1 − m2) + P5 m1 + P7 m3 ,
P1 l3 + P4 ( 1 − l2 − l1 − m3) + P6 m1 + P7 m2 ,
P2 l2 + P3 l1 + P5 ( 1 − l3 − m1 − m2) + P8 m3 ,
P2 l3 + P4 l1 + P6 ( 1 − l2 − m1 − m3) + P8 m2 ,
P3 l3 + P4 l2 + P7 ( 1 − l1 − m2 − m3) + P8 m1 ,
P5 l3 + P6 l2 + P7 l1 + P8 ( 1 − m1 − m2 − m3 ) ]
> eq1 := X[1,1] = P1;
eq1 := P1 ( 1 − l3 − l2 − l1 ) + P2 m1 + P3 m2 + P4 m3 = P1
> eq2 := X[1,2] = P2;
eq2 := P1 l1 + P2 ( 1 − l3 − l2 − m1) + P5 m2 + P6 m3 = P2
> eq3 := X[1,3] = P3;
eq3 := P1 l2 + P3 ( 1 − l3 − l1 − m2) + P5 m1 + P7 m3 = P3
> eq4 := X[1,4] = P4;
eq4 := P1 l3 + P4 ( 1 − l2 − l1 − m3) + P6 m1 + P7 m2 = P4
> eq5 := X[1,5] = P5;
eq5 := P2 l2 + P3 l1 + P5 ( 1 − l3 − m1 − m2) + P8 m3 = P5
> eq6 := X[1,6] = P6;
eq6 := P2 l3 + P4 l1 + P6 ( 1 − l2 − m1 − m3) + P8 m2 = P6
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 82 di 153

eq7 := X[1,7] = P7;
eq7 := P3 l3 + P4 l2 + P7 ( 1 − l1 − m2 − m3) + P8 m1 = P7
> eq8 := X[1,8] = P8;
eq8 := P5 l3 + P6 l2 + P7 l1 + P8 ( 1 − m1 − m2 − m3) = P8
> eq9 := P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8 = 1;
eq9 := P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 = 1
3 Modelli elementari
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq9},
{P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8});
m1 l3 m2
S := { P4 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l
m1 l3 l2
, P7 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
l3 l1 l2
, P8 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
l2 m1 m3
, P3 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
l1 l2 m3
, P5 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
m1 m2 m3
, P1 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
m2 m3 l1
, P2 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
l3 l1 m2
, P6 =
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
}
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..8));
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 = 1
> P1 := factor(m1*m3*m2/(m1*l3*l2+l1*l3*l2+m2*l3*m1+m2*l1*l3+m3*m1*l2+
m3*l1*l2+m3*m2*m1+m2*m3*l1));
m3 m2 m1
P1 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
> P2 := factor(m2*m3*l1/(m1*l3*l2+l1*l3*l2+m2*l3*m1+m2*l1*l3+m3*m1*l2+
m3*l1*l2+m3*m2*m1+m2*m3*l1));
m2 m3 l1
P2 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1
)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 83 di 153

3 Modelli elementari
> P3 := factor(l2*m1*m3/(m1*l3*l2+l3*l1*l2+m1*m2*l3+l3*l1*m2+m1*m2*m3+
m1*m3*l2+m2*m3*l1+m3*l1*l2));
m3 m1 l2
P3 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
> P4 := factor(m1*m2*l3/(m1*l3*l2+l3*l1*l2+m1*m2*l3+l3*l1*m2+m1*m2*m3+
m1*m3*l2+m2*m3*l1+m3*l1*l2));
m2 l3 m1
P4 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
> P5 := factor(m3*l1*l2/(m1*l3*l2+l1*l3*l2+m2*l3*m1+m2*l1*l3+m3*m1*l2+
m3*l1*l2+m3*m2*m1+m2*m3*l1));
m3 l1 l2
P5 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
> P6 := factor(m2*l1*l3/(m1*l3*l2+l1*l3*l2+m2*l3*m1+m2*l1*l3+m3*m1*l2+
m3*l1*l2+m3*m2*m1+m2*m3*l1));
m2 l1 l3
P6 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
> P7 := factor(m1*l3*l2/(m1*l3*l2+l1*l3*l2+m2*l3*m1+m2*l1*l3+m3*m1*l2+
m3*l1*l2+m3*m2*m1+m2*m3*l1));
m1 l3 l2
P7 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
> P8 := factor(l3*l1*l2/(m1*l3*l2+l1*l3*l2+m2*l3*m1+m2*l1*l3+m3*m1*l2+
m3*l1*l2+m3*m2*m1+m2*m3*l1));
l1 l3 l2
P8 :=
( l2 + m2 ) ( l3 + m3 ) ( m1 + l1 )
Si noti che le probabilità hanno lo stesso denominatore che è lo sviluppo in termini di
somma del seguente prodotto di 3 binomi
> expand((m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2 l1
e che i loro numeratori sono i termini di questa somma ordinati in accordo alla tabella
degli stati del sistema come mostrato nella tabella seguente.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 84 di 153

Tab. 3.8. – Formazione dei numeratori
N A B C
1 m1 m2 m3
2 l1 m2 m3
3 m1 l2 m3
4 m1 m2 l3
5 l1 l2 m3
6 l1 m2 l3
7 m1 l2 l3
8 l1 l2 l3
3 Modelli elementari
Questo fatto, già constatato nel caso di 1 e 2 blocchi, induce ad affermare che tale proprietà
vale per qualunque sistema a patto che i tassi di transizione di un dato componente
non cambino durante tutto il periodo di osservazione qualunque sia lo stato occupato
dal detto componente.
Ancor più importante è notare che questa proprietà consente di calcolare le probabilità
asintotiche degli stati senza ricorrere alla matrice dei tassi di transizione.
3.4.3.1.2. Calcolo della disponibilità asintotica
> Ass := factor(P1);
3.4.3.1.3.Calcolo del MUT e del MDT
> f1 := P1*(l1+l2+l3);
m1 m3 m2
Ass :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
m1 m2 m3 ( l1 + l2 + l3 )
f1 :=
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2
La frequenza di incontro del gruppo degli stati 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, di guasto è identica a f1
poiché si hanno 2 soli gruppi.
> MUT := P1/f1;
MUT :=
> MDT := simplify((1-P1)/f1);
1
l1 + l2 + l3
m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2 l1
MDT :=
( l1 + l2 + l3 ) m1 m3 m2
Verifica
> factor(MUT/(MUT+MDT));
m1 m3 m2
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1
)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 85 di 153

Se i blocchi sono identici
> l1:=l; m1:=m; l2:=l; m2:=m; l3:=l; m3:=m;
> Ass;
> MUT;
> simplify(MDT);
> factor(MUT/(MUT+MDT));
l1 := l m1 := m
l2 := l m2 := m
l3 := l m3 := m
1
3
m 3
( m+ l) 3
1 1
3 l
3 m + +
2
3 lm l 2
m 3
m 3
( m+ l) 3
3.4.2. Connessi in ridondanza calda 1 su 3
3.4.2.1. Calcolo della disponibilità asintotica
> Ass := factor(P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7);
3 Modelli elementari
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2 + m3 l1 l2 + l3 l1 m2 + l3 m1 l2
Ass :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
3.4.2.2. Calcolo del MUT e del MDT
La frequenza di incontro del gruppo degli stati 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 di successo è identica a
f8 poiché si hanno 2 soli gruppi.
> f8 := factor(P8*(m1+m2+m3));
l3 l1 l2 ( m1 + m2 + m3)
f8 :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1
)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 86 di 153

MUT := factor(Ass/f8);
3 Modelli elementari
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2 + m3 l1 l2 + l3 l1 m2 + l3 m1 l2
MUT :=
l3 l1 l2 ( m1 + m2 + m3)
> MDT := simplify((1-Ass)/f8);
> factor(MUT/(MUT+MDT));
MDT :=
1
m1 + m2 + m3
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2 + m3 l1 l2 + l3 l1 m2 + l3 m1 l2
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
> Ass/(%);
Se i blocchi sono identici
> l1:=l; m1:=m; l2:=l; m2:=m; l3:=l; m3:=m;
> Ass := simplify(Ass);
> MUT := simplify(MUT);
> simplify(MDT);
> factor(MUT/(MUT+MDT));
1
l1 := l m1 := m
l2 := l m2 := m
l3 := l m3 := m
m ( m + + )
Ass :=
2
3 lm 3 l 2
( m+ l) 3
1
MUT :=
3
m 2
1
3
+ 3 lm+ 3 l 2
1
m
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 87 di 153
l 3
m ( m + + )
2
3 lm 3 l 2
( m+ l) 3

3 Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 3 blocchi in ridondanza sequenziale 1 su 3
competono le caratteristiche seguenti.
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2 + m3 l1 l2 + l3 l1 m2 + l3 m1 l2
Ass :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2 + m3 l1 l2 + l3 l1 m2 + l3 m1 l2
MUT :=
l3 l1 l2 ( m1 + m2 + m3)
1
MDT :=
m1 + m2 + m3
3.4.3. Connessi in ridondanza calda 2 su 3
3.4.3.1. Calcolo della disponibilità asintotica
> Ass := factor(P1+P2+P3+P4);
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
Ass :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
3.4.3.2. Calcolo del MUT e del MDT
> f1 := factor(P1*(l1+l2+l3));
( l1 + l2 + l3 ) m1 m3 m2
f1 :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
> f2 := factor(P2*(m1+l2+l3));
m2 m3 l1 ( m1 + l2 + l3 )
f2 :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
> f3 := factor(P3*(m2+l1+l3));
l2 m1 m3 ( m2 + l1 + l3 )
f3 :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
> f4 := factor(P4*(m3+l1+l2));
m1 l3 m2 ( m3 + l1 + l2 )
f4 :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
> f1234 := factor(f2+f3+f4-(P2*m1+P3*m2+P4*m3));
f1234 :=
l2 m3 l1 m2 + l3 m3 l1 m2 + l2 m3 l3 m1 + l2 m3 l1 m1 + l3 l1 m2 m1 + l2 m2 m1 l3
( l2 + m2 ) ( l1 + m1 ) ( l3 + m3)
> MUT := simplify(Ass/f1234);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 88 di 153

3 Modelli elementari
MUT :=
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
m1 l3 m2 l2 + m1 l3 m2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 m3 l2 l1 + m3 l1 m2 l3 + m3 l1 m2 l2
> MDT := simplify((1-Ass)/f1234);
MDT :=
l3 m1 l2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2 l1
m1 l3 m2 l2 + m1 l3 m2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 m3 l2 l1 + m3 l1 m2 l3 + m3 l1 m2 l2
Verifica
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
m1 m3 m2 + m1 l3 m2 + m1 m3 l2 + l3 m1 l2 + m3 l1 m2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2 l1
> simplify(Ass/(%));
Se i blocchi sono identici
> l1:=l; m1:=m; l2:=l; m2:=m; l3:=l; m3:=m;
> Ass := simplify(Ass);
> MUT := simplify(MUT);
> MDT := simplify(MDT);
1
l1 := l m1 := m
l2 := l m2 := m
l3 := l m3 := m
Ass :=
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
> simplify(Ass/(%));
m 3
m 2 ( m + 3 l )
( m+ l) 3
1 m + 3 l
MUT :=
6
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 89 di 153
l 2
1 3 m+ l
MDT :=
6
m 2
( m + 3 l) m 2
+ 3 m + +
2 l 3 l 2 m l 3

1
3 Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 3 blocchi in ridondanza sequenziale 2 su 3
competono le caratteristiche seguenti.
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
Ass :=
( m3 + l3 ) ( l2 + m2 ) ( m1 + l1 )
MUT :=
m1 m3 m2 + m3 l1 m2 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
m1 l3 m2 l2 + m1 l3 m2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 m3 l2 l1 + m3 l1 m2 l3 + m3 l1 m2 l2
MDT :=
l3 m1 l2 + l3 l1 m2 + m3 l1 l2 + l3 l2 l1
m1 l3 m2 l2 + m1 l3 m2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 m3 l2 l1 + m3 l1 m2 l3 + m3 l1 m2 l2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 90 di 153

3 Modelli elementari
3.4.4. Tre blocchi identici in ridondanza sequenziale 1 su 3
Nel caso in cui i 3 blocchi sono identici gli stati 2, 3, 4 e 5,6,7 che hanno un solo componente
guasto sono tra loro indistinguibili e possono essere raggruppati come mostrato
in Tab. 3.9. ove:
S1/3 = stato del sistema (0=funzionante, 1= guasto).
Tab. - 3.9. - Possibili stati del sistema
N A B C S1/3
1 0 0 0 0
2 (2,3,4) 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3 (5,6,7) 1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
4 (8) 1 1 1 1
Il diagramma delle transizioni tra questi 4 stati è mostrato in Fig. 3.8.
1 2 3 4
m
3l
Fig. 3.9. – Diagramma delle transizioni tra stati raggruppati
3.4.4.1. Dettagli dei calcoli
3.4.4.1.1. Calcolo delle probabilità asintotiche degli stati
> P := matrix(4,4,[[1-3*l,3*l,0,0],[m,1-(2*l+m),2*l,0],
[0,2*m,1-(l+2*m),l],[0,0,3*m,1-3*m]]);
⎡1
− 3 l 3 l 0 0
⎢
⎤
⎢
⎥
P := ⎢ m 1 − 2 l − m 2 l 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
0 2m 1 − l − 2 m l ⎥
⎣
⎢ 0 0 3m 1 − 3 m⎦
⎥
> V := matrix(1,4,[P1,P2,P3,P4]);
> X := evalm(V&*P);
V := [ P1 P2 P3 P4]
X :=
[ P1 ( 1 − 3 l) + P2m , 3 P1 l + P2 ( 1 − 2 l − m) + 2 P3 m ,
2 P2 l + P3 ( 1 − l − 2 m) + 3 P4 m , P3 l + P4 ( 1 − 3 m)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
2m
2l
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 91 di 153
3m
l

eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := P1+P2+P3+P4 = 1;
eq1 := P1 ( 1− 3l) + P2m= P1
eq2 := 3 P1 l + P2 ( 1− 2l − m) + 2 P3 m = P2
eq3 := 2 P2 l + P3 ( 1 − l − 2 m) + 3 P4 m = P3
eq4 := P3 l + P4 ( 1− 3m) = P4
eq5 := P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq5}, {P1,P2,P3,P4});
S := { P4 =
P1 =
l 3
l 3
l 3
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
P2 = 3
l + + +
3
3 l 2 m 3 m 2 l m 3
, ,
m 3
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 92 di 153
lm 2
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
l
P3 = 3
2 m
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
, }
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..4));
l 3
P1 + P2 + P3 + P4 = 1
> P1 := m^3/(l^3+3*l^2*m+3*m^2*l+m^3);
P1 :=
l 3
m 3
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
> P2 := 3*l*m^2/(l^3+3*l^2*m+3*m^2*l+m^3);
P2 := 3
l 3
lm 2
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
> P3 := 3*l^2*m/(l^3+3*l^2*m+3*m^2*l+m^3);
P3 := 3
l 3
l 2 m
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
> P4 := l^3/(l^3+3*l^2*m+3*m^2*l+m^3);
P4 :=
l 3
l 3
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
3.4.4.1.2. Calcolo della disponibilità asintotiche nel caso di 1 su 3
> Ass := factor(P1+P2+P3);

m ( m + + )
Ass :=
2
3 lm 3 l 2
( l + m) 3
3.4.4.1.3. Calcolo del MUT e del MDT nel caso di 1 su 3
> f4 := P4*3*m;
f4 := 3
> MUT := simplify(Ass1/f4);
l 3
1
MUT :=
3
l 3 m
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
m 2
+ 3 lm+ 3 l 2
> MDT := simplify((1-Ass1)/f4);
1 1
MDT :=
3 m
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
> simplify(Ass/(%));
l 3
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 93 di 153
l 3
m ( m + + )
2
3 lm 3 l 2
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
Tre blocchi identici in ridondanza sequenziale 1 su 3
Al modello elementare costituito da 3 blocchi identici in ridondanza sequenziale 1
su 3 competono le caratteristiche seguenti.
m ( m + + )
Ass :=
2
3 lm 3 l 2
( l + m) 3
1 m + +
MUT :=
3
2
3 lm 3 l 2
l 3
1 1
MDT :=
3 m
1
3.4.5. Tre blocchi identici connessi in ridondanza sequenziale 2
su 3
Sempre nel caso in cui i 3 blocchi sono identici gli stati 2, 3, 4 e 5,6,7 che hanno un solo
componente guasto sono tra loro indistinguibili e possono essere raggruppati come mostrato
in Tab. 3.10. ove:
S2/3 = stato del sistema (0=funzionante, 1= guasto).

Tab. - 3.10. - Possibili stati del sistema
N A B C S2/3
1 0 0 0 0
2 (2,3,4) 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3 (5,6,7,8) 1 1 0 1
Il diagramma delle transizioni è il seguente.
1 2 3
m
Fig. 3.10. – Diagramma delle transizioni tra stati raggruppati
3.4.5.1. Dettagli dei calcoli
Le probabilità degli stati sono identiche al caso precedente.
3.4.5.1.1. Calcolo della disponibilità asintotica
> Ass := factor(P1+P2);
Ass :=
m 2 ( 3 l + m)
( l + m) 3
3.4.5.1.2. Calcolo del MUT e del MDT nel caso di 2 su 3
> f3 := P3*2*m;
3l
f3 := 6
l 3
l 2 m 2
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3
> MUT :=simplify(Ass/f3);
1 3 l + m
MUT :=
6
> MDT := simplify((1-Ass)/f3);
1 l + 3 m
MDT :=
6
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
l 3
3m
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 94 di 153
2l
l 2
m 2
m 2 ( 3 l + m)
+ 3 l + +
2 m 3 m 2 l m 3

simplify(Ass/(%));
1
3 Modelli elementari
Tre blocchi identici in ridondanza sequenziale 2 su 3
Al modello elementare costituito da 3 blocchi identici in ridondanza sequenziale 2
su 3 competono le caratteristiche seguenti.
Ass :=
1
MUT :=
6
1
MDT :=
6
m 2 ( 3 l + m)
( l + m) 3
3 l + m
l 2
l + 3 m
m 2
Si noti che non è esatto considerare i soli primi 3 stati come segue
> P := matrix(3,3,[[1-3*l,3*l,0],[m,1-(2*l+m),
2*l],[0,2*m,-2*m]]);
⎡1
− 3 l 3 l 0
⎢
⎤
P := ⎢
⎥
⎢ m 1 − 2 l − m 2 l ⎥
⎣
⎢ 0 2 m −2 m⎦
⎥
> V := matrix(1,3,[P1,P2,P3]);
> X := evalm(V&*P);
V := [ P1 P2 P3]
X := [ P1 ( 1− 3l) + P2m 3 P1 l + P2 ( 1− 2l − m) + 2 P3 m 2 P2 l − 2 P3 m]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := P1+P2+P3 =1;
eq1 := P1 ( 1− 3l) + P2m= P1
eq2 := 3 P1 l + P2 ( 1− 2l − m) + 2 P3 m = P2
eq3 := 2 P2 l − 2 P3 m = P3
eq4 := P1 + P2 + P3 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq4}, {P1,P2,P3});
ml
S := { P2 = 3
, ,
}
3 l + +
2
3 ml m 2
P1 =
3 l + +
2
3 ml m 2
P3 = 3
3 l + +
2
3 ml m 2
m 2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 95 di 153
l 2

simplify(sum('S[i]', 'i' = 1..3));
> P1 := m^2/(3*l^2+3*m*l+m^2);
P1 + P2 + P3 = 1
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 96 di 153
m 2
P1 :=
3 l + +
2
3 ml m 2
> P2 := 3*m*l/(3*l^2+3*m*l+m^2);
P2 := 3
> P3 := 3*l^2/(3*l^2+3*m*l+m^2);
> Ass := factor(P1+P2);
> f3 := P3*2*m;
> MUT := Ass/f3;
P3 := 3
Ass :=
f3 := 6
ml
3 l + +
2
3 ml m 2
l 2
3 l + +
2
3 ml m 2
( 3 l + m) m
3 l + +
2
3 ml m 2
l 2 m
3 l + +
2
3 ml m 2
1 3 l + m
MUT :=
6
> MDT := simplify(1-Ass)/f3;
1 1
MDT :=
2 m
> MUT/(MUT+MDT):
> simplify(Ass/(%));
> l:=0.0002; m:=0.5;
> Digits := 20;
> Ass;
1
l 2
l := .0002 m := .5
Digits := 20

MUT;
> MDT;
.99999952057553947637
.20858333333333333333 10 7
1.0000000000000000000
3 Modelli elementari
Non esattamente identici a quelli più sopra calcolati, ma costituenti una ottima approssimazione
per gli usi pratici.
3.4.6. Due blocchi in ridondanza con commutatore reale
Il sistema è costituito da un blocco A cui competono un tasso di guasto l1 e un tasso di
riparazione m1, da un blocco B cui competono un tasso di guasto l2 e un tasso di riparazione
m2 e da un blocco S che rappresenta il commutatore con tasso di guasto l3 e un
tasso di riparazione m3.
Il sistema può assumere gli stati mostrati in Tab.3.11. ove:
N = identificazione dello stato;
A, B, S = stato del blocco (0 = funzionante, 1 = guasto);
Sis = stato del sistema (0 = funzionante, 1= guasto).
Tab. 3.11. - Possibili stati del sistema
N A B S Sis
1 0 0 0 0
2 1 0 0 0
3 0 1 0 0
4 0 0 1 1
5 1 1 0 1
6 1 0 1 1
7 0 1 1 1
8 1 1 1 1
Il diagramma delle transizioni tra questi stati è mostrato in Fig. 3.11.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 97 di 153

1
m1
m2
m3
l1
l2
l3
Fig. 3.11. - Diagramma delle transizioni tra stati
3 Modelli elementari
Se l’unico modo di guasto del commutatore è l’incapacità di commutare (mantiene cioè
la connessione esistente), il sistema è guasto se:
1. sono contemporaneamente guasti i blocchi A e B:
2. A (o B) si guasta quando S è già guasto;
e i possibili stati del sistema mostrati in Tab.3.12.
Il comportamento di questo sistema verrà esaminato in 3.4.7..
Tab. - 12. - Possibili stati del sistema
N A B S Sis
1 0 0 0 0
2 1 0 0 0
3 0 1 0 0
4 0 0 1 0
5 1 1 0 1
6 1 0 1 1
7 0 1 1 1
8 1 1 1 1
3.4.6.1. Dettagli dei calcoli
2 5
m3
3 6
m3
4 7
3.4.6.1.1. Calcolo delle probabilità asintotiche degli stati
m2
m1
m1
m2
l2
l1
l2
l1
> P1 := factor(m2*m3*m1/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m3 m1 m2
P1 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> P2 := factor(m2*l1*m3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
l3
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 98 di 153
l3
m3
l3
l2
m2 l1
m1
8

m3 m2 l1
P2 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
3 Modelli elementari
> P3 := factor(m1*m3*l2/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m1 m3 l2
P3 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> P4 := factor(m1*m2*l3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m1 l3 m2
P4 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> P5 := factor(l2*l1*m3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m3 l2 l1
P5 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> P6 := factor(m2*l3*l1/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m2 l3 l1
P6 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> P7 := factor(m1*l2*l3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m1 l3 l2
P7 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> P8 := factor(l2*l1*l3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
> Digits:=20;
l3 l2 l1
P8 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
Digits := 20
> simplify(P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8);
1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 99 di 153

3 Modelli elementari
3.4.6.1.2. Calcolo delle caratteristiche per guasto totale del commutatore
> Ass := factor(P1+P2+P3);
> f1 := P1*(l1+l2+l3);
> f2 := P2*(l2+l3+m1);
> f3 := P3*(l1+l3+m2);
m3 ( m1 m2 + m2 l1 + m1 l2 )
Ass :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m3 m1 m2 ( l1 + l2 + l3 )
f1 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m3 m2 l1 ( l2 + l3 + m1)
f2 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m1 m3 l2 ( l1 + l3 + m2)
f3 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> f123 := simplify(f1+f2+f3-(P1*(l1+l2)+P2*m1+P3*m2));
m3 ( m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2 )
f123 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> MUT := simplify(Ass/f123);
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
MUT :=
m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2
> MDT := simplify((1-Ass)/f123);
m1 l3 m2 + m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 l2 l1
MDT :=
m3 ( m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2 )
> factor(MUT/(MUT+MDT));
> factor(Ass/(%));
m3 ( m1 m2 + m2 l1 + m1 l2 )
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
Esempio
> l1:= 0.0002; m1:=0.4; l2:= 0.0002; m2:=0.5; l3:=
0.0001; m3:=0.6;
l1 := .0002 m1 := .4
1
l2 := .0002 m2 := .5
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 100 di 153

Ass;
> MUT;
> MDT;
l3 := .0001 m3 := .6
.99983316131965813075
9982.0484691333399820
1.6656696918320534557
Se il commutatore ha tasso di guasto nullo
> l3:=0;
l3 := 0
3 Modelli elementari
> Ass := m3*(m1*m2+m2*l1+m1*l2)/(m1+l1)/(l3+m3)/(m2+l2);
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
Ass :=
( m1 + l1 ) ( m2 + l2 )
> MUT :=
(m1*m2+m2*l1+m1*l2)/(m1*l3*m2+m2*l1*l2+m2*l3*l1+m1*l2*l1+m1
*l3*l2);
come già visto in 3.3.2..
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
MUT :=
m2 l1 l2 + m1 l2 l1
3.4.6.1.3. Sul comportamento di questo modello elementare
Considerando separatamente i due blocchi
> Ass2 := factor((m1*l2+m1*m2+l1*m2)/(l1*m2+l1*l2+m1*l2+m1*m2));
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
Ass2 :=
( m1 + l1 ) ( m2 + l2 )
> MUT2 := (m1*l2+m1*m2+l1*m2)/(l1*l2*(m1+m2));
> MDT2 := 1/(m1+m2);
e il commutatore
> Ass1 := m3/(l3+m3);
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
MUT2 :=
l1 l2 ( m1 + m2)
MDT2 :=
1
m1 + m2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 101 di 153

MUT1 := 1/l3;
> MDT1 := 1/m3;
quindi l’insieme dei tre blocchi
> Asst := Ass1*Ass2;
Ass1 :=
MUT1 :=
MDT1 :=
m3
l3 + m3
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 102 di 153
1
l3
1
m3
m3 ( m1 m2 + m2 l1 + m1 l2 )
Asst :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> MUTt := simplify(1/(1/MUT1+1/MUT2));
> la1 := 1/MUT1;
> la2 := 1/MUT2;
> mu1 := 1/MDT1;
> mu2 := 1/MDT2;
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
MUTt :=
m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2
la1 := l3
l1 l2 ( m1 + m2)
la2 :=
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
µ1 := m3
µ2 := m1 + m2
> MDTt := simplify((la1*mu2+la2*mu1+la1*la2)/(mu1*mu2*(la1+la2)));
m1 l3 m2 + m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 l2 l1
MDTt :=
m3 ( m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2 )
> simplify(MUTt/(MUTt+MDTt));
m3 ( m1 m2 + m2 l1 + m1 l2 )
m1 l3 m2 + m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 m1 m2 + m1 m3 l2 + m3 m2 l1 + m3 l2 l1
> simplify(Asst/(%));

1
3 Modelli elementari
Esempio
> l1:= 0.0002; m1:=0.4; l2:= 0.0002; m2:=0.5; l3:=
0.0001; m3:=0.6;
l1 := .0002 m1 := .4
> Asst;
> MUTt;
> MDTt;
> MUTt/(MUTt+MDTt);
l2 := .0002 m2 := .5
l3 := .0001 m3 := .6
.99983316131965813075
9982.0484691333399820
1.6656696918320534557
.99983316131965813073
praticamente identici a quelli ottenuti nel paragrafo precedente.
3.4.6.1.4. Calcolo per sola mancata commutazione
> Ass := simplify(P1+P2+P3+P4);
> f1 := P1*(l1+l2+l3);
> f2 := P2*(l2+l3+m1);
> f3 := P3*(l1+l3+m2);
> f4 := P4*(l1+l2+m3);
m3 m1 m2 + m3 m2 l1 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
Ass :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m3 m1 m2 ( l1 + l2 + l3 )
f1 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m3 m2 l1 ( l2 + l3 + m1)
f2 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m1 m3 l2 ( l1 + l3 + m2)
f3 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 103 di 153

m1 l3 m2 ( l1 + l2 + m3)
f4 :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
3 Modelli elementari
> f1234 := simplify(f1+f2+f3+f4-(f1+P2*m1+P3*m2+P4*m3));
f1234 :=
m3 m2 l1 l2 + m3 m2 l1 l3 + m1 m3 l2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 l3 m2 l1 + m1 l3 m2 l2
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
> MUT := simplify((Ass)/f1234);
MUT :=
m3 m1 m2 + m3 m2 l1 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
m3 m2 l1 l2 + m3 m2 l1 l3 + m1 m3 l2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 l3 m2 l1 + m1 l3 m2 l2
> MDT := simplify((1-Ass)/f1234);
MDT :=
m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 l2 l1
m3 m2 l1 l2 + m3 m2 l1 l3 + m1 m3 l2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 l3 m2 l1 + m1 l3 m2 l2
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
m3 m1 m2 + m3 m2 l1 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
m1 l3 m2 + m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 m1 m2 + m1 m3 l2 + m3 m2 l1 + m3 l2 l1
> simplify(Ass/(%));
Se
> l1:= 0.0002; m1:=0.4; l2:= 0.0002; m2:=0.5; l3:=
0.0001; m3:=0.6;
l1 := .0002 m1 := .4
> Ass;
> MUT;
> MDT;
1
l2 := .0002 m2 := .5
l3 := .0001 m3 := .6
.99999965033975998209
.29734653465346534653 10 7
1.0397029702970297030
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 104 di 153

MUT/(MUT+MDT);
.99999965033975998210
3 Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 2 blocchi in ridondanza sequenziale con commutatore
reale competono le caratteristiche seguenti.
m3 ( m1 m2 + m2 l1 + m1 l2 )
Ass :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
m1 m2 + m2 l1 + m1 l2
MUT :=
m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2
m1 l3 m2 + m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 l2 l1
MDT :=
m3 ( m1 l3 m2 + m2 l1 l2 + m2 l3 l1 + m1 l2 l1 + m1 l3 l2 )
Al modello elementare costituito da 2 blocchi identici in ridondanza sequenziale
con commutatore reale il cui solo guasto è possibile la mancata commutazione
su richiesta competono le caratteristiche seguenti.
m3 m1 m2 + m3 m2 l1 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
Ass :=
( m1 + l1 ) ( l3 + m3 ) ( m2 + l2 )
MUT :=
m3 m1 m2 + m3 m2 l1 + m1 m3 l2 + m1 l3 m2
m3 m2 l1 l2 + m3 m2 l1 l3 + m1 m3 l2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 l3 m2 l1 + m1 l3 m2 l2
MDT :=
m1 l3 l2 + l3 l2 l1 + m2 l3 l1 + m3 l2 l1
m3 m2 l1 l2 + m3 m2 l1 l3 + m1 m3 l2 l1 + m1 m3 l2 l3 + m1 l3 m2 l1 + m1 l3 m2 l2
3.4.7. Due blocchi identici in ridondanza con commutatore reale
Gli stati del sistema sono quelli di Tab. 3.11., e il diagramma delle transizioni è ancora
quello di Fig. 3.10..
Vale anche quanto detto in 3.4.6. sulla considerazione della sola incapacità di commutazione.
3.4.7.1. Dettagli dei calcoli
Partendo dalle formule generali di cui in 3.4.6.1.1.
> P1 := factor(m2*m3*m1/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 105 di 153

m3 m1 m2
P1 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
3 Modelli elementari
> P2 := factor(m2*l1*m3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m3 m2 l1
P2 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
> P3 := factor(m1*m3*l2/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
m3 m1 l2
P3 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
> P4 := factor(m1*m2*l3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
l3 m1 m2
P4 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
> P5 := factor(l2*l1*m3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
l1 l2 m3
P5 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
> P6 := factor(m2*l3*l1/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
l3 m2 l1
P6 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
> P7 := factor(m1*l2*l3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
l3 m1 l2
P7 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
> P8 := factor(l2*l1*l3/(m1*l3*m2+m1*l3*l2+l3*l2*l1+m2*l3*l1+m3*m1*m2+
m1*m3*l2+m3*m2*l1+m3*l2*l1));
l3 l1 l2
P8 :=
( l3 + m3 ) ( m1 + l1 ) ( l2 + m2)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 106 di 153

simplify(P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8);
sostituendo nelle formule precedenti
> l2:=l1; m2:=m1;
> P1;
> P2;
> P3;
> P4;
> P5;
> P6;
> P7;
> P8;
1
l2 := l1
m2 := m1
m3 m1 2
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
m3 m1 l1
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
m3 m1 l1
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
m1 2 l3
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
m3 l1 2
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
m1 l3 l1
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
m1 l3 l1
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
l3 l1 2
( m1 + l1 )
2 ( l3 + m3)
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 107 di 153

estart;
e sostituendo ancora
> l3:=l2; m3:=m2;
l3 := l2
m3 := m2
si hanno le probabilità degli stati
> P1 := m3*m1^2/((m1+l1)^2*(l3+m3));
P1 :=
m2 m1 2
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P2 := m3*m1*l1/((m1+l1)^2*(l3+m3));
m2 m1 l1
P2 :=
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P3 := m3*m1*l1/((m1+l1)^2*(l3+m3));
m2 m1 l1
P3 :=
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P4 := m1^2*l3/((m1+l1)^2*(l3+m3));
m1
P4 :=
2 l2
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P5 := m3*l1^2/((m1+l1)^2*(l3+m3));
P5 :=
m2 l1 2
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P6 := m1*l3*l1/((m1+l1)^2*(l3+m3));
m1 l2 l1
P6 :=
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P7 := m1*l3*l1/((m1+l1)^2*(l3+m3));
m1 l2 l1
P7 :=
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> P8 := l3*l1^2/((m1+l1)^2*(l3+m3));
P8 :=
l2 l1 2
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 108 di 153

simplify(P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8);
1
3 Modelli elementari
3.4.7.1.1. Calcolo delle caratteristiche per guasto totale del commutatore
> Ass := factor(P1+P2+P3);
> f1 := P1*(l1+l1+l2);
> f2 := P2*(l1+l2+m1);
Ass :=
f1 :=
f2 :=
> f3 := P3*(l1+l2+m1);
f3 :=
m1 m2 ( m1 + 2 l1 )
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
m2 m1 2 ( 2 l1 + l2 )
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
m2 m1 l1 ( l1 + l2 + m1)
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
m2 m1 l1 ( l1 + l2 + m1)
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> f123 := simplify(f1+f2+f3-(P1*(l1+l1)+P2*m1+P3*m1));
> MUT := simplify(Ass/f123);
m1 m2 ( m1 l2 + 2 l1 + )
f123 :=
2
2 l2 l1
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
MUT :=
> MDT := simplify((1-Ass)/f123);
MDT :=
> factor(MUT/(MUT+MDT));
> factor(Ass/(%));
m1 + 2 l1
m1 l2 + 2 l1 +
2
2 l2 l1
m1 + + +
2 l2 m2 l1 2
2 m1 l2 l1 l2 l1 2
m1 m2 ( m1 l2 + 2 l1 + )
2
2 l2 l1
m1 m2 ( m1 + 2 l1 )
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> unassign('Ass,MUT,MDT,l1,l2,l3,m1,m2,m3');
1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 109 di 153

Se il commutatore ha tasso di guasto nullo
> l2:=0;
l2 := 0
> Ass := m1*m2*(m1+2*l1)/(m1+l1)^2/(l2+m2);
Ass :=
m1 ( m1 + 2 l1 )
( m1 + l1 )
2
> MUT := (m1+2*l1)/(m1*l2+2*l1^2+2*l2*l1);
come già visto in 3.3.3..
MUT :=
m1 + 2 l1
2 l1 2
Esempio con commutatore reale
> l1:= 0.0002; m1:=0.5; l2:= 0.0001; m2:=0.5;
> Digits:=20;
> Ass;
> MUT;
> MDT;
l1 := 0.0002 m1 := 0.5
l2 := 0.0001 m2 := 0.5
Digits := 20
0.99979988015189286237
9984.0383080606544294
1.9984041500399042298
3.4.7.1.2. Calcolo delle caratteristiche per sola mancata commutazione
> Ass := simplify(P1+P2+P3+P4);
Ass :=
> f4 := P4*(l1+l1+m3);
m1 ( m1 m2 + 2 m2 l1 + m1 l2 )
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
f4 :=
m1 2 l2 ( 2 l1 + m2)
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
> f1234 := simplify(f2+f3+f4-(P2*m1+P3*m2+P4*m3));
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 110 di 153

f1234 :=
> MUT := simplify((Ass)/f1234);
MUT :=
m1 l1 ( 2 m2 l1 + 2 m2 l2 + m1 m2 + 2 m1 l2 − m2 )
2
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
m1 m2 + 2 m2 l1 + m1 l2
l1 ( 2 m2 l1 + 2 m2 l2 + m1 m2 + 2 m1 l2 − m2 )
2
> MDT := simplify((1-Ass)/f1234);
MDT :=
> simplify(MUT/(MUT+MDT));
m2 m1 2
m2 l1 + 2 m1 l2 + l2 l1
m1 ( 2 m2 l1 + 2 m2 l2 + m1 m2 + 2 m1 l2 − m2 )
2
m1 ( m1 m2 + 2 m2 l1 + m1 l2 )
+ 2 m2 m1 l1 + m1 + + +
2 l2 m2 l1 2
2 m1 l2 l1 l2 l1 2
> simplify(Ass/(%));
> l1:= 0.0002; m1:=0.5; l2:= 0.0001; m2:=0.5;
> Digits:=20;
> Ass;
> MUT;
> MDT;
> MUT/(MUT+MDT);
1
l1 := .0002 m1 := .5
l2 := .0001 m2 := .5
Digits := 20
.99999968028781450362
.31281250000000000000 10 7
1.0001000000000000000
.99999968028781450363
3 Modelli elementari
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 111 di 153

3 Modelli elementari
Al modello elementare costituito da 2 blocchi identici in ridondanza sequenziale
con commutatore reale competono le caratteristiche seguenti.
Ass :=
MUT :=
MDT :=
m1 m2 ( m1 + 2 l1 )
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
m1 + 2 l1
m1 l2 + 2 l1 +
2
2 l2 l1
m1 + + +
2 l2 m2 l1 2
2 m1 l2 l1 l2 l1 2
m1 m2 ( m1 l2 + 2 l1 + )
2
2 l2 l1
Al modello elementare costituito da 2 blocchi identici in ridondanza sequenziale
con commutatore reale il cui solo guasto è possibile la mancata commutazione
su richiesta competono le caratteristiche seguenti.
Ass :=
MUT :=
MDT :=
m1 ( m1 m2 + 2 m2 l1 + m1 l2 )
( m1 + l1 )
2 ( l2 + m2)
m1 m2 + 2 m2 l1 + m1 l2
l1 ( 2 m2 l1 + 2 m2 l2 + m1 m2 + 2 m1 l2 − m2 )
2
m2 l1 + 2 m1 l2 + l2 l1
m1 ( 2 m2 l1 + 2 m2 l2 + m1 m2 + 2 m1 l2 − m2 )
2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 112 di 153

4. Modello generale
4.1. Introduzione
4. Modello generale
I calcoli simbolici e numerici necessari alla risoluzione dei sistemi markoviani con i
mezzi di calcolo fin qui adoperati (PC o piccole Workstation) diventano in vario modo
onerosi fino all’impraticabilità al crescere dei sistemi oltre i 3 blocchi.
Per i sistemi markoviani più complessi i calcoli possono spesso essere affrontati caso
per caso sfruttando alcune proprietà già note e usando al meglio l’impostazione fin qui
seguita nella organizzazione dei dati di input: tabella degli stati e diagramma delle transizioni
tra stati.
A condizione che i tassi di transizione di ciascun blocco non cambino durante tutto il
periodo di osservazione qualunque sia lo stato occupato dal blocco, le probabilità asintotiche
dei singoli stati possono calcolarsi usando la proprietà già evidenziata nel caso di
due e tre blocchi (3.3.1.1. e 3.4.3.1.1.), cioè ogni singola probabilità è data da una frazione
in cui:
• il denominatore Dn è lo sviluppo in termini di somma del prodotto
n
∏ ( l + )
i=
1 i mi
ove n è il numero dei blocchi costituenti il sistema;
• il numeratore è ottenuto dalla tabella degli stati sostituendo gli 0 con mk e gli 1 con
lk , ove k è l’indice della colonna degli stati dei blocchi (k = 1 per la colonna A, k =
2 per la colonna B, ….,etc.).
La somma dei numeratori è pari al denominatore essendo tutti gli stati la totalità del
campione.
In pratica dalla condizione precedente sono esclusi i casi di riserve fredde e ridondanze
operative.
Per il calcolo delle frequenze di ciclo dei singoli stati si usano le formule sviluppate in
2.4.1. e l’avere sottomano la tabella degli stati e il diagramma delle transizioni è certo di
grande aiuto.
In questo capitolo ci si limita a considerare i casi di 4 e 5 blocchi per chiarire le procedure
adottate e dare un’idea delle difficoltà da affrontare, e delle possibili vie di uscita,
procedendo oltre nella complessità.
Le difficoltà derivano fondamentalmente dalla gestione manuale di un gran numero di
calcoli dispendiosa in termini di tempo e con notevole probabilità di errori nella introduzione
dei dati.
È pur vero che è sempre possibile automatizzare questo processo, se il gioco vale la
candela.
Noi, per il momento, ci fermiamo qui.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 113 di 153

4.2. Quattro blocchi
4.2.1. Tabella degli stati e diagramma delle transizioni
Le figure che seguono, già presenti nel testo, si riportano per comodità.
Tab. 4.1.- Stati del sistema
N A B C D Guasti Gruppo
1 G0 1
2 1 A G1 1
3 1 B 2
4 1 C 3
5 1 D 4
6 1 1 AB G2 1
7 1 1 AC 2
8 1 1 AD 3
9 1 1 BC 4
10 1 1 BD 5
11 1 1 CD 6
12 1 1 1 ABC G3 1
13 1 1 1 ABD 2
14 1 1 1 ACD 3
15 1 1 1 BCD 4
16 1 1 1 1 ABCD G4 1
1
2
3
4
5
Fig. 4.1. – Transizioni tra stati
6
7
8
9
10
11
4 Modello generale
G0 G1 G2 G3 G4
D
B
C
A
A
D
C
D
A
D
B
A
B
B
C
C
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 114 di 153
C
D
C
A
A
C
A
D
B
D
B
B
12
13
14
15
D
C
B
A
16

4.2.2. Probabilità degli stati
> Dn := (m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1);
> P1 := m1*m2*m3*m4/Dn;
> P2 := l1*m2*m3*m4/Dn;
> P3 := m1*l2*m3*m4/Dn;
> P4 := m1*m2*l3*m4/Dn;
> P5 := m1*m2*m3*l4/Dn;
> P6 := l1*l2*m3*m4/Dn;
> P7 := l1*m2*l3*m4/Dn;
> P8 := l1*m2*m3*l4/Dn;
> P9 := m1*l2*l3*m4/Dn;
> P10 := m1*l2*m3*l4/Dn;
Dn := ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 m2 m3 m4
P1 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 m2 m3 m4
P2 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 l2 m3 m4
P3 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 m2 l3 m4
P4 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 m2 m3 l4
P5 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 l2 m3 m4
P6 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 m2 l3 m4
P7 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 m2 m3 l4
P8 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 l2 l3 m4
P9 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 l2 m3 l4
P10 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 115 di 153

P11 := m1*m2*l3*l4/Dn;
> P12 := l1*l2*l3*m4/Dn;
> P13 := l1*l2*m3*l4/Dn;
> P14 := l1*m2*l3*l4/Dn;
> P15 := m1*l2*l3*l4/Dn;
> P16 := l1*l2*l3*l4/Dn;
m1 m2 l3 l4
P11 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 l2 l3 m4
P12 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 l2 m3 l4
P13 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 m2 l3 l4
P14 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 l2 l3 l4
P15 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 l2 l3 l4
P16 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
4 Modello generale
> simplify(P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8+P9+P10+P11+P12+P13+P14+P15+P16);
1
4.2.3. Frequenze di ciclo degli stati
> f1 := simplify(P1*(l1+l2+l3+l4));
m1 m2 m3 m4 ( l1 + l2 + l3 + l4 )
f1 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f2 := simplify(P2*(m1+l2+l3+l4));
l1 m2 m3 m4 ( m1 + l2 + l3 + l4 )
f2 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f3 := simplify(P3*(l1+m2+l3+l4));
m1 l2 m3 m4 ( l1 + m2 + l3 + l4 )
f3 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f4 := simplify(P4*(l1+l2+m3+l4));
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 116 di 153

m1 m2 l3 m4 ( l1 + l2 + m3 + l4 )
f4 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f5 := simplify(P5*(l1+l2+l3+m4));
m1 m2 m3 l4 ( l1 + l2 + l3 + m4)
f5 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f6 := simplify(P6*(m1+m2+l3+l4));
l1 l2 m3 m4 ( m1 + m2 + l3 + l4 )
f6 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f7 := simplify(P7*(m1+l2+m3+l4));
l1 m2 l3 m4 ( m1 + l2 + m3 + l4 )
f7 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f8 := simplify(P8*(m1+l2+l3+m4));
l1 m2 m3 l4 ( m1 + l2 + l3 + m4)
f8 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f9 := simplify(P9*(l1+m2+m3+l4));
m1 l2 l3 m4 ( l1 + m2 + m3 + l4 )
f9 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f10 := simplify(P10*(l1+m2+l3+m4));
m1 l2 m3 l4 ( l1 + m2 + l3 + m4)
f10 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f11 := simplify(P11*(l1+l2+m3+m4));
m1 m2 l3 l4 ( l1 + l2 + m3 + m4)
f11 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f12 := simplify(P12*(m1+m2+m3+l4));
l1 l2 l3 m4 ( m1 + m2 + m3 + l4 )
f12 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f13 := simplify(P13*(m1+m2+l3+m4));
l1 l2 m3 l4 ( m1 + m2 + l3 + m4)
f13 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f14 := simplify(P14*(m1+l2+m3+m4));
l1 m2 l3 l4 ( m1 + l2 + m3 + m4)
f14 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 117 di 153

f15 := simplify(P15*(l1+m2+m3+m4));
m1 l2 l3 l4 ( l1 + m2 + m3 + m4)
f15 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f16 := simplify(P16*(m1+m2+m3+m4));
l1 l2 l3 l4 ( m1 + m2 + m3 + m4)
f16 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
4.2.4. Esempio n. 1: 2 blocchi funzionanti su quattro
4 Modello generale
Se il successo del sistema è assicurato dal corretto funzionamento di 2 dei 4 blocchi, la
tabella degli stati diventa:
Tab. 4.2. – Stati del sistema
N A B C D S
1 0
2 1 0
3 1 0
4 1 0
5 1 0
6 1 1 0
7 1 1 0
8 1 1 0
9 1 1 0
10 1 1 0
11 1 1 0
12 1 1 1 1
13 1 1 1 1
14 1 1 1 1
15 1 1 1 1
16 1 1 1 1 1
Gli stati 12, 13, 14, 15 e 16 costituiscono il gruppo degli stati di guasto. Ad essi competono
le seguenti probabilità asintotiche:
> Dn := (m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1);
> P12 := l1*l2*l3*m4/Dn;
> P13 := l1*l2*m3*l4/Dn;
Dn := ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 l2 l3 m4
P12 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 118 di 153

P14 := l1*m2*l3*l4/Dn;
> P15 := m1*l2*l3*l4/Dn;
> P16 := l1*l2*l3*l4/Dn;
e le frequenze di ciclo seguenti:
l1 l2 m3 l4
P13 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 m2 l3 l4
P14 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
m1 l2 l3 l4
P15 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
l1 l2 l3 l4
P16 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f12 := simplify(P12*(m1+m2+m3+l4));
l1 l2 l3 m4 ( m1 + m2 + m3 + l4 )
f12 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f13 := simplify(P13*(m1+m2+l3+m4));
l1 l2 m3 l4 ( m1 + m2 + l3 + m4)
f13 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f14 := simplify(P14*(m1+l2+m3+m4));
l1 m2 l3 l4 ( m1 + l2 + m3 + m4)
f14 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f15 := simplify(P15*(l1+m2+m3+m4));
m1 l2 l3 l4 ( l1 + m2 + m3 + m4)
f15 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f16 := simplify(P16*(m1+m2+m3+m4));
l1 l2 l3 l4 ( m1 + m2 + m3 + m4)
f16 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
Al gruppo degli stati di guasto compete la probabilità asintotica
> Pg := simplify(P12+P13+P14+P15+P16);
m4 l3 l2 l1 + l4 m3 l2 l1 + l4 l3 m2 l1 + l4 l3 l2 m1 + l4 l3 l2 l1
Pg :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
Quindi la disponibilità asintotica è:
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 119 di 153

Ass := simplify(1-Pg);
4 Modello generale
Ass := ( m4 m3 m2 m1 + m4 m3 m2 l1 + m4 m3 l2 m1 + m4 m3 l2 l1 + m4 l3 m2 m1
+ m4 l3 m2 l1 + m4 l3 l2 m1 + l4 m3 m2 m1 + l4 m3 m2 l1 + l4 m3 l2 m1
+ l4 l3 m2 m1)/(
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 ) )
La frequenza di ciclo, identica per i due gruppi di stati, è pari alla somma delle frequenze
di ciclo degli stati di frontiera:
> f := simplify(P12*(m1+m2+m3)+P13*(m1+m2+m4)+P14*(m1+m3+m4)+P15*(m2+m3+
m4));
f:= ( m4l3l2l1m1+ m4l3l2l1m2+ m4l3l2l1m3+ l4m3l2l1m1+ l4m3l2l1m2
+ l4 m3 l2 l1 m4 + l4 l3 m2 l1 m1 + l4 l3 m2 l1 m3 + l4 l3 m2 l1 m4 + l4 l3 l2 m1 m2
+ l4 l3 l2 m1 m3 + l4 l3 l2 m1 m4)/(
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 ) )
> MUT := simplify(Ass/f);
MUT := ( m4 m3 m2 m1 + m4 m3 m2 l1 + m4 m3 l2 m1 + m4 m3 l2 l1 + m4 l3 m2 m1
+ m4 l3 m2 l1 + m4 l3 l2 m1 + l4 m3 m2 m1 + l4 m3 m2 l1 + l4 m3 l2 m1
+ l4 l3 m2 m1)/(
m4 l3 l2 l1 m1 + m4 l3 l2 l1 m2 + m4 l3 l2 l1 m3 + l4 m3 l2 l1 m1
+ l4 m3 l2 l1 m2 + l4 m3 l2 l1 m4 + l4 l3 m2 l1 m1 + l4 l3 m2 l1 m3 + l4 l3 m2 l1 m4
+ l4 l3 l2 m1 m2 + l4 l3 l2 m1 m3 + l4 l3 l2 m1 m4)
> MDT := simplify(Pg/f);
MDT := ( m4 l3 l2 l1 + l4 m3 l2 l1 + l4 l3 m2 l1 + l4 l3 l2 m1 + l4 l3 l2 l1 )/( m4 l3 l2 l1 m1
+ m4 l3 l2 l1 m2 + m4 l3 l2 l1 m3 + l4 m3 l2 l1 m1 + l4 m3 l2 l1 m2 + l4 m3 l2 l1 m4
+ l4 l3 m2 l1 m1 + l4 l3 m2 l1 m3 + l4 l3 m2 l1 m4 + l4 l3 l2 m1 m2 + l4 l3 l2 m1 m3
+ l4 l3 l2 m1 m4)
> simplify((MUT/(MUT+MDT)/Ass));
Se i blocchi sono identici:
> l1:=l; l2:=l; l3:=l; l4:=l; m1:=m; m2:=m; m3:=m; m4:=m;
> Ass;
> MUT := simplify(MUT);
1
l1 := l l2 := l l3 := l l4 := l
m1 := m m2 := m m3 := m m4 := m
m 4
+ 4 m +
3 l 6 m 2 l 2
( m+ l) 4
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 120 di 153

MDT := simplify(MDT);
MUT :=
m 2
MDT :=
> simplify((MUT/(MUT+MDT))/Ass);
1
+ 4 ml+ 6 l 2
12 l 3
4 m+ l
12 m 2
4 Modello generale
Possiamo verificare queste formule nel caso in cui i 4 blocchi sono identici usando
un modello con gli stati indistinguibili raggruppati cui corrisponde il diagramma
delle transizioni seguente.
1 2 3 4 5
m
4l
Fig. 4.2. – Diagramma delle transizioni tra stati
> P := matrix([[1-4*l, 4*l, 0, 0, 0], [m, 1-3*l-m, 3*l, 0,
0], [0, 2*m, 1-2*l-2*m, 2*l, 0], [0, 0, 3*m, 1-l-3*m, l],
[0, 0, 0, 4*m, 1-4*m]])
⎡1
− 4 l 4 l 0 0 0
⎢
⎤
⎢
⎥
⎢ m 1 − 3l − m 3 l 0 0 ⎥
⎢
P := ⎢
⎥
⎢
0 2 m 1 − 2 l − 2 m 2 l 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 3 m 1 − l − 3 m l ⎥
⎢
⎥
⎣
⎢ 0 0 0 4 m 1 − 4 m⎦
⎥
> V := matrix(1,5,[P1,P2,P3,P4,P5]);
> X := evalm(V&*P);
2m
V := [ P1 P2 P3 P4 P5]
X :=
[ P1 ( 1 − 4 l) + P2m , 4 P1 l + P2 ( 1 − 3 l − m) + 2 P3 m ,
3 P2 l + P3 ( 1 − 2 l − 2 m) + 3 P4 m , 2 P3 l + P4 ( 1 − l − 3 m) + 4 P5 m ,
P4 l + P5 ( 1 − 4m ) ]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
3l
eq1 := P1 ( 1− 4l) + P2m= P1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 121 di 153
3m
2l
4m
l

eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := X[1,5] = P5;
> eq6 := P1+P2+P3+P4+P5=1;
eq2 := 4 P1 l + P2 ( 1− 3l − m) + 2 P3 m = P2
eq3 := 3 P2 l + P3 ( 1 − 2l− 2 m) + 3 P4 m = P3
eq4 := 2 P3 l + P4 ( 1 − l − 3 m) + 4 P5 m = P4
eq5 := P4 l + P5 ( 1− 4m) = P5
eq6 := P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 1
4 Modello generale
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq6}, {P1,P2,P3,P4,P5});
S := { P1 =
P4 =
P2 =
m 4
m 4
m 4
m 4
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
4 ml 3
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
4 m 3 l
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
l 4
l 4
P5 =
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
, ,
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 122 di 153
m 4
6 m
P3 =
2 l 2
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
, ,
}
4
l
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..5));
m 4
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 1
> P1 := 1/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*m^4;
P1 :=
m 4
m 4
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
> P2 := 4*m^3/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*l;
P2 :=
m 4
4 m 3 l
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
> P3 := 6*m^2/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*l^2;
P3 :=
m 4
6 m 2 l 2
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
> P4 := 4*m/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*l^3;
P4 :=
m 4
4 ml 3
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
l 4
l 4
l 4
l 4
l 4
l 4
l 4

P5 := 1/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*l^4;
P5 :=
m 4
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 123 di 153
l 4
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
Gli stati 1, 2 e 3 costituiscono il gruppo degli stati di successo cui competono:
> Ass := factor(P1+P2+P3);
> f1 := factor(P1*4*l);
> f2 := factor(P2*(3*l+m));
m
Ass :=
2 ( m + + )
2
4 ml 6 l 2
( l + m) 4
f2 :=
> f3 := factor(P3*(2*l+2*m));
4 m
f1 :=
4 l
( l + m) 4
4 m 3 l ( 3 l + m)
( l + m) 4
12 m
f3 :=
2 l 2
( l + m) 3
> f123 := factor(f1+f2+f3-(P1*4*l+P2*(3*l+m)+P3*2*m));
> MUT := simplify(Ass/f123);
12 m
f123 :=
2 l 3
( l + m) 4
MUT :=
m 2
> MDT := simplify((1-Ass)/f123);
MDT :=
> simplify((MUT/(MUT+MDT))/Ass);
+ 4 ml+ 6 l 2
1
12 l 3
4 m+ l
12 m 2
l 4

4.2.5. Esempio n. 2: Guasti concomitanti
Si consideri il sistema di Fig. 4.3.
A B
C D
Fig. 4.3.
4 Modello generale
In esso il guasto del solo blocco A o del solo blocco B non causano l’insuccesso del sistema,
mentre tale insuccesso viene causato dal concomitante guasto di A e di B.
Esso può assumere gli stati di Tab. 4.3. in cui:
N = identificazione dello stato;
A, B, C, D = stato del blocco (0 = funzionante, 1 = guasto);
S = stato del sistema (0 = funzionante, 1 = guasto)
Tab. 4.3.- Stati del sistema
N A B C D S
1 0
2 1 0
3 1 0
4 1 0
5 1 0
6 1 1 1
7 1 1 1
8 1 1 0
9 1 1 0
10 1 1 1
11 1 1 0
12 1 1 1 1
13 1 1 1 1
14 1 1 1 1
15 1 1 1 1
16 1 1 1 1 1
Lo stato 6 è uno stato di guasto appunto per il guasto concomitante di A e di B.
Agli stati di successo 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 corrispondono le probabilità:
> P1 := m1*m2*m3*m4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 m2 m3 m4
P1 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 124 di 153

4 Modello generale
> P2 := l1*m2*m3*m4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
l1 m2 m3 m4
P2 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P3 := m1*l2*m3*m4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 l2 m3 m4
P3 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P4 := m1*m2*l3*m4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 m2 l3 m4
P4 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P5 := m1*m2*m3*l4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 m2 m3 l4
P5 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P8 := l1*m2*m3*l4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
l1 m2 m3 l4
P8 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P9 := m1*l2*l3*m4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 l2 l3 m4
P9 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P11 := m1*m2*l3*l4/((m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1));
m1 m2 l3 l4
P11 :=
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> Ass := factor(P1+P2+P3+P4+P5+P8+P9+P11);
Ass := ( m1 m2 m3 m4 + l1 m2 m3 m4 + m1 l2 m3 m4 + m1 m2 l3 m4 + m1 m2 m3 l4
+ l1 m2 m3 l4 + m1 l2 l3 m4 + m1 m2 l3 l4 )/(
( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 ) )
> fs := simplify(P2*(l2+l3)+P3*(l1+l4)+P4*l1+P5*l2+P8*(l2+l3)
+P9*(l1+l4)+P11*(l1+l2));
fs := ( l1 m2 m3 m4 l2 + l1 m2 m3 m4 l3 + m1 l2 m3 m4 l1 + m1 l2 m3 m4 l4
+ m1 m2 l3 m4 l1 + m1 m2 m3 l4 l2 + l1 m2 m3 l4 l2 + l1 m2 m3 l4 l3
+ m1 l2 l3 m4 l1 + m1 l2 l3 m4 l4 + m1 m2 l3 l4 l1 + m1 m2 l3 l4 l2 )/( ( m4 + l4 )
( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 ) )
> MUT := simplify(Ass/fs);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 125 di 153

4 Modello generale
MUT := ( m1 m2 m3 m4 + l1 m2 m3 m4 + m1 l2 m3 m4 + m1 m2 l3 m4 + m1 m2 m3 l4
+ l1 m2 m3 l4 + m1 l2 l3 m4 + m1 m2 l3 l4 )/( l1 m2 m3 m4 l2 + l1 m2 m3 m4 l3
+ m1 l2 m3 m4 l1 + m1 l2 m3 m4 l4 + m1 m2 l3 m4 l1 + m1 m2 m3 l4 l2
+ l1 m2 m3 l4 l2 + l1 m2 m3 l4 l3 + m1 l2 l3 m4 l1 + m1 l2 l3 m4 l4 + m1 m2 l3 l4 l1
+ m1 m2 l3 l4 l2 )
> MDT := simplify((1-Ass)/fs);
MDT := ( l2 l1 m3 m4 + l3 l1 m2 m4 + l1 l2 l3 m4 + l4 m1 l2 m3 + l2 l1 m3 l4
+ l3 l1 m2 l4 + l4 m1 l2 l3 + l3 l4 l2 l1 )/( l1 m2 m3 m4 l2 + l1 m2 m3 m4 l3
+ m1 l2 m3 m4 l1 + m1 l2 m3 m4 l4 + m1 m2 l3 m4 l1 + m1 m2 m3 l4 l2
+ l1 m2 m3 l4 l2 + l1 m2 m3 l4 l3 + m1 l2 l3 m4 l1 + m1 l2 l3 m4 l4 + m1 m2 l3 l4 l1
+ m1 m2 l3 l4 l2 )
> simplify(Ass/(MUT/(MUT+MDT)));
> l1:=0.00001; m1:=0.5; l2:=0.00002; m2:=0.5;
l3:=0.00001; m3:=0.5; l4:=0.00002; m4:=0.5;
l1 := .00001 m1 := .5
> Digits := 20;
> Ass;
> MUT;
> MDT;
1
l2 := .00002 m2 := .5
l3 := .00001 m3 := .5
l4 := .00002 m4 := .5
Digits := 20
0.99999999720023998512
0.35717653060349876717 10 9
1.0000085714367344840
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 126 di 153

4.2.6. I guasti concomitanti in generale
Usando il modello di cui in 4.2.5. si proceda al calcolo seguente.
4 Modello generale
Si identifichino con l’indice 1 le caratteristiche del blocco costituito dal parallelo dei
blocchi A e C.
> Ass1 := ((2*l1+m1)*m1)/(l1+m1)^2;
Ass1 :=
( 2 l1 + m1) m1
( l1 + m1) 2
> MUT1 := (2*l1+m1)/(2*l1^2);
1 2 l1 + m1
MUT1 :=
2
> MDT1 := 1/(2*m1);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 127 di 153
l1 2
1 1
MDT1 :=
2 m1
Si identifichino con l’indice 2 le caratteristiche del blocco costituito dal parallelo dei
blocchi B e D.
> Ass2 := ((2*l2+m2)*m2)/(l2+m2)^2;
Ass2 :=
( 2 l2 + m2) m2
( l2 + m2) 2
> MUT2 := (2*l2+m2)/(2*l2^2);
1 2 l2 + m2
MUT2 :=
2
> MDT2 := 1/(2*m2);
l2 2
1 1
MDT2 :=
2 m2
Si identifichino con l’indice 3 le caratteristiche della serie dei 2 blocchi precedenti.
> Ass3 := simplify(Ass1*Ass2);
Ass3 :=
( 2 l1 + m1) m1 ( 2 l2 + m2) m2
( l1 + m1) 2 ( l2 + m2) 2
> MUT3 := simplify(1/(1/MUT1+1/MUT2));
1 ( 2 l1 + m1 ) ( 2 l2 + m2)
MUT3 :=
2 2 l1 + + +
2 l2 l1 2 m2 2 l2 2 l1 l2 2 m1
Assegnando ai tassi di transizione gli stessi valori del paragrafo precedente

l1:=0.00001; m1:=0.5; l2:=0.00002; m2:=0.5;
> Digits := 20;
> Ass3;
> MUT3;
l1 := .00001 m1 := .5
l2 := .00002 m2 := .5
Digits := 20
.99999999800014399248
.50003599987200614370 10 9
> MDT3 := solve(Ass3=MUT3/(MUT3+x), x);
> MUT3/(MUT3+MDT3);
MDT3 := 1.0000000003201574457
.99999999800014399248
4 Modello generale
Poiché i blocchi A e B hanno comportamenti statisticamente indipendenti, possiamo tener
conto delle conseguenze dei loro guasti concomitanti col seguente DBA
*AC* *BD*
Fig. 4.4.
Si identifichino con l’indice 4 le caratteristiche del parallelo dei blocchi A e B.
> Ass4 := (m1*m2+l1*m2+l2*m1)/((l2+m2)*(l1+m1));
m1 m2 + l1 m2 + l2 m1
Ass4 :=
( l2 + m2 ) ( l1 + m1)
> MUT4 := (m1*m2+l1*m2+l2*m1)/(l1*l2*(m1+m2));
A
B
m1 m2 + l1 m2 + l2 m1
MUT4 :=
l1 l2 ( m1 + m2)
> l1:=0.00001; m1:=0.5; l2:=0.00002; m2:=0.5;
l1 := .00001 m1 := .5
l2 := .00002 m2 := .5
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 128 di 153

Ass4;
> MUT4;
.99999999920004799776
.12500750000000000000 10 10
e con l’indice 5 le caratteristiche dell’intero sistema rappresentato in Fig. 4.4.
> Ass5 := Ass3*Ass4;
> MUT5 := 1/(1/MUT3+1/MUT4);
Ass5 := .99999999720019199184
MUT5 := .35716734686297800890 10 9
4 Modello generale
Confrontando questi valori con i corrispondenti calcolati secondo Markov nel paragrafo
precedente
:=
MUT .35717653060349876717 10 9
si constata la pratica coincidenza dei risultati essendo il valore approssimato del MUT
di circa il 2,5 per 1000 minore del valore esatto calcolato più sopra.
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 129 di 153

4.3. Cinque blocchi
4.3.1. Tabella degli stati e diagramma delle transizioni
Tab. 4.4. – Stati del sistema
N A B C D E Guasti Gruppi
1 G0 1
2 1 A G1 5
3 1 B
4 1 C
5 1 D
6 1E
7 1 1 AB G2 10
8 1 1 AC
9 1 1 AD
10 1 1 AE
11 1 1 BC
12 1 1 BD
13 1 1 BE
14 1 1 CD
15 1 1 CE
16 1 1 DE
17 1 1 1 ABC G3 10
18 1 1 1 ABD
19 1 1 1 ABE
20 1 1 1 ACD
21 1 1 1ACE
22 1 1 1 ADE
23 1 1 1 BCD
24 1 1 1 BCE
25 1 1 1BDE
26 1 1 1 CDE
27 1 1 1 1 ABCD G4 5
28 1 1 1 1 ABCE
29 1 1 1 1 ABDE
30 1 1 1 1 ACDE
31 1 1 1 1BCDE
32 1 1 1 1 1 ABCDE G5 1
4. Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 130 di 153

1
A
C
B
D
E
2
3
4
5
A
6
A
E
A
C
D
B
A
B
C
E
D
D
B
C
E
C
B
D
E
7
8
9
10
16
D
C
E
B
E
B
E
B
A
11 D
E
A
12 C
E
C
A
13
C
D
A
B
14
E
A
B
15
D
A B
C
D
C
Fig. 4.5. – Diagramma delle transizioni tra stati per 5 componenti
D
17
18
19
20
E
B
21
22
A
23
E
24
25
26
A
A
E
C
D
D
B
A
D
C
E
B
C
B
D
C
4. Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 131 di 153
27
28
29
30
31
C
B
D
A
E
32

4.3.2. Probabilità degli stati
> Dn := (m5+l5)*(m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1);
Dn := ( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P1 := m1*m2*m3*m4*m5/Dn;
m1 m2 m3 m4 m5
P1 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P2 := l1*m2*m3*m4*m5/Dn;
l1 m2 m3 m4 m5
P2 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P3 := m1*l2*m3*m4*m5/Dn;
m1 l2 m3 m4 m5
P3 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P4 := m1*m2*l3*m4*m5/Dn;
m1 m2 l3 m4 m5
P4 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P5 := m1*m2*m3*l4*m5/Dn;
m1 m2 m3 l4 m5
P5 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P6 := m1*m2*m3*m4*l5/Dn;
m1 m2 m3 m4 l5
P6 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P7 := l1*l2*m3*m4*m5/Dn;
l1 l2 m3 m4 m5
P7 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P8 := l1*m2*l3*m4*m5/Dn;
l1 m2 l3 m4 m5
P8 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P9 := l1*m2*m3*l4*m5/Dn;
l1 m2 m3 l4 m5
P9 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P10 := l1*m2*m3*m4*l5/Dn;
4. Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 132 di 153

l1 m2 m3 m4 l5
P10 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P11 := m1*l2*l3*m4*m5/Dn;
m1 l2 l3 m4 m5
P11 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P12 := m1*l2*m3*l4*m5/Dn;
m1 l2 m3 l4 m5
P12 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P13 := m1*l2*m3*m4*l5/Dn;
m1 l2 m3 m4 l5
P13 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P14 := m1*m2*l3*l4*m5/Dn;
m1 m2 l3 l4 m5
P14 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P15 := m1*m2*l3*m4*l5/Dn;
m1 m2 l3 m4 l5
P15 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P16 := m1*m2*m3*l4*l5/Dn;
m1 m2 m3 l4 l5
P16 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P17 := l1*l2*l3*m4*m5/Dn;
l1 l2 l3 m4 m5
P17 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P18 := l1*l2*m3*l4*m5/Dn;
l1 l2 m3 l4 m5
P18 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P19 := l1*l2*m3*m4*l5/Dn;
l1 l2 m3 m4 l5
P19 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P20 := l1*m2*l3*l4*m5/Dn;
l1 m2 l3 l4 m5
P20 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 133 di 153

P21 := l1*m2*l3*m4*l5/Dn;
l1 m2 l3 m4 l5
P21 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P22 := l1*m2*m3*l4*l5/Dn;
l1 m2 m3 l4 l5
P22 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P23 := m1*l2*l3*l4*m5/Dn;
m1 l2 l3 l4 m5
P23 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P24 := m1*l2*l3*m4*l5/Dn;
m1 l2 l3 m4 l5
P24 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P25 := m1*l2*m3*l4*l5/Dn;
m1 l2 m3 l4 l5
P25 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P26 := m1*m2*l3*l4*l5/Dn;
m1 m2 l3 l4 l5
P26 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P27 := l1*l2*l3*l4*m5/Dn;
l1 l2 l3 l4 m5
P27 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P28 := l1*l2*l3*m4*l5/Dn;
l1 l2 l3 m4 l5
P28 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P29 := l1*l2*m3*l4*l5/Dn;
l1 l2 m3 l4 l5
P29 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P30 := l1*m2*l3*l4*l5/Dn;
l1 m2 l3 l4 l5
P30 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P31 := m1*l2*l3*l4*l5/Dn;
m1 l2 l3 l4 l5
P31 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 134 di 153

P32 := l1*l2*l3*l4*l5/Dn;
l1 l2 l3 l4 l5
P32 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
4 Modello generale
> simplify(P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8+P9+P10+P11+P12+P13+P14+P15+P16+P
17+P18+P19+P20+P21+P22+P23+P24+P25+P26+P27+P28+P29+P30+P31+
P32);
1
4.3.3. Frequenza di ciclo degli stati
> f1 := simplify(P1*(l1+l2+l3+l4+l5));
m1 m2 m3 m4 m5 ( l1 + l2 + l3 + l4 + l5 )
f1 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f2 := simplify(P2*(m1+l2+l3+l4+l5));
l1 m2 m3 m4 m5 ( m1 + l2 + l3 + l4 + l5 )
f2 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f3 := simplify(P3*(l1+m2+l3+l4+l5));
m1 l2 m3 m4 m5 ( l1 + m2 + l3 + l4 + l5 )
f3 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f4 := simplify(P4*(l1+l2+m3+l4+l5));
m1 m2 l3 m4 m5 ( l1 + l2 + m3 + l4 + l5 )
f4 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f5 := simplify(P5*(l1+l2+l3+m4+l5));
m1 m2 m3 l4 m5 ( l1 + l2 + l3 + m4 + l5 )
f5 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f6 := simplify(P6*(l1+l2+l3+l4+m5));
m1 m2 m3 m4 l5 ( l1 + l2 + l3 + l4 + m5)
f6 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f7 := simplify(P7*(m1+m2+l3+l4+l5));
l1 l2 m3 m4 m5 ( m1 + m2 + l3 + l4 + l5 )
f7 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f8 := simplify(P8*(m1+l2+m3+l4+l5));
l1 m2 l3 m4 m5 ( m1 + l2 + m3 + l4 + l5 )
f8 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 135 di 153

f9 := simplify(P9*(m1+l2+l3+m4+l5));
l1 m2 m3 l4 m5 ( m1 + l2 + l3 + m4 + l5 )
f9 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f10 := simplify(P10*(m1+l2+l3+l4+m5));
l1 m2 m3 m4 l5 ( m1 + l2 + l3 + l4 + m5)
f10 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f11 := simplify(P11*(l1+m2+m3+l4+l5));
m1 l2 l3 m4 m5 ( l1 + m2 + m3 + l4 + l5 )
f11 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f12 := simplify(P12*(l1+m2+l3+m4+l5));
m1 l2 m3 l4 m5 ( l1 + m2 + l3 + m4 + l5 )
f12 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f13 := simplify(P13*(l1+m2+l3+l4+m5));
m1 l2 m3 m4 l5 ( l1 + m2 + l3 + l4 + m5)
f13 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f14 := simplify(P14*(l1+l2+m3+m4+l5));
m1 m2 l3 l4 m5 ( l1 + l2 + m3 + m4 + l5 )
f14 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f15 := simplify(P15*(l1+l2+m3+l4+m5));
m1 m2 l3 m4 l5 ( l1 + l2 + m3 + l4 + m5)
f15 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f16 := simplify(P16*(l1+l2+l3+m4+m5));
m1 m2 m3 l4 l5 ( l1 + l2 + l3 + m4 + m5)
f16 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f17 := simplify(P17*(m1+m2+m3+l4+l5));
l1 l2 l3 m4 m5 ( m1 + m2 + m3 + l4 + l5 )
f17 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f18 := simplify(P18*(m1+m2+l3+m4+l5));
l1 l2 m3 l4 m5 ( m1 + m2 + l3 + m4 + l5 )
f18 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f19 := simplify(P19*(m1+m2+l3+l4+m5));
l1 l2 m3 m4 l5 ( m1 + m2 + l3 + l4 + m5)
f19 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 136 di 153

f20 := simplify(P20*(m1+l2+m3+m4+l5));
l1 m2 l3 l4 m5 ( m1 + l2 + m3 + m4 + l5 )
f20 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f21 := simplify(P21*(m1+l2+m3+l4+m5));
l1 m2 l3 m4 l5 ( m1 + l2 + m3 + l4 + m5)
f21 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f22 := simplify(P22*(m1+l2+l3+m+m5));
l1 m2 m3 l4 l5 ( m1 + l2 + l3 + m + m5)
f22 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f23 := simplify(P23*(l1+m+m3+m+l5));
m1 l2 l3 l4 m5 ( l1 + 2 m+ m3+ l5)
f23 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f24 := simplify(P24*(l1+m2+m3+l4+m5));
m1 l2 l3 m4 l5 ( l1 + m2 + m3 + l4 + m5)
f24 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f25 := simplify(P25*(l1+m2+l3+m4+m5));
m1 l2 m3 l4 l5 ( l1 + m2 + l3 + m4 + m5)
f25 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f26 := simplify(P26*(l1+l2+m3+m4+m5));
m1 m2 l3 l4 l5 ( l1 + l2 + m3 + m4 + m5)
f26 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f27 := simplify(P27*(m1+m2+m3+m4+l5));
l1 l2 l3 l4 m5 ( m1 + m2 + m3 + m4 + l5 )
f27 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f28 := simplify(P28*(m1+m2+m3+l4+m5));
l1 l2 l3 m4 l5 ( m1 + m2 + m3 + l4 + m5)
f28 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f29 := simplify(P29*(m1+m2+l3+m4+m5));
l1 l2 m3 l4 l5 ( m1 + m2 + l3 + m4 + m5)
f29 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f30 := simplify(P30*(m1+l2+m3+m4+m5));
l1 m2 l3 l4 l5 ( m1 + l2 + m3 + m4 + m5)
f30 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1
)
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 137 di 153

f31 := simplify(P31*(l1+m2+m3+m4+m5));
m1 l2 l3 l4 l5 ( l1 + m2 + m3 + m4 + m5)
f31 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f32 := simplify(P32*(m1+m2+m3+m4+m5));
l1 l2 l3 l4 l5 ( m1 + m2 + m3 + m4 + m5)
f32 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
4.3.4. Esempio: 4 blocchi funzionanti su 5 identici
4 Modello generale
Se il successo del sistema è assicurato dal corretto funzionamento di 4 dei 5 blocchi, il
gruppo degli stati di successo è costituito dagli stati 1, 2, 3, 4, 5, e 6 cui competono le
probabilità asintotiche:
> Dn := (m5+l5)*(m4+l4)*(m3+l3)*(m2+l2)*(m1+l1);
Dn := ( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P1 := m1*m2*m3*m4*m5/Dn;
m1 m2 m3 m4 m5
P1 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P2 := l1*m2*m3*m4*m5/Dn;
l1 m2 m3 m4 m5
P2 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P3 := m1*l2*m3*m4*m5/Dn;
m1 l2 m3 m4 m5
P3 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P4 := m1*m2*l3*m4*m5/Dn;
m1 m2 l3 m4 m5
P4 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P5 := m1*m2*m3*l4*m5/Dn;
m1 m2 m3 l4 m5
P5 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> P6 := m1*m2*m3*m4*l5/Dn;
m1 m2 m3 m4 l5
P6 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
e le frequenze di ciclo seguenti:
> f1 := simplify(P1*(l1+l2+l3+l4+l5));
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 138 di 153

m1 m2 m3 m4 m5 ( l1 + l2 + l3 + l4 + l5 )
f1 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f2 := simplify(P2*(m1+l2+l3+l4+l5));
l1 m2 m3 m4 m5 ( m1 + l2 + l3 + l4 + l5 )
f2 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f3 := simplify(P3*(l1+m2+l3+l4+l5));
m1 l2 m3 m4 m5 ( l1 + m2 + l3 + l4 + l5 )
f3 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f4 := simplify(P4*(l1+l2+m3+l4+l5));
m1 m2 l3 m4 m5 ( l1 + l2 + m3 + l4 + l5 )
f4 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f5 := simplify(P5*(l1+l2+l3+m4+l5));
m1 m2 m3 l4 m5 ( l1 + l2 + l3 + m4 + l5 )
f5 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
> f6 := simplify(P6*(l1+l2+l3+l4+m5));
m1 m2 m3 m4 l5 ( l1 + l2 + l3 + l4 + m5)
f6 :=
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 )
La disponibilità asintotica è:
> Ass := simplify(P1+P2+P3+P4+P5+P6);
4 Modello generale
Ass := ( m5 m4 m3 m2 m1 + m5 m4 m3 m2 l1 + m5 m4 m3 l2 m1 + m5 m4 l3 m2 m1
+ m5 l4 m3 m2 m1 + l5 m4 m3 m2 m1)/(
( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 )
( m1 + l1 ) )
La frequenza di ciclo, identica per i 2 gruppi di stati, è:
> f := simplify(f2+f3+f4+f5+f6-
(P2*m1+P3*m2+P4*m3+P5*m4+P6*m5));
f:= ( m5m4m3m2l1l2+ m5m4m3m2l1l3+ m5m4m3m2l1l4+ m5m4m3m2l1l5
+ m5 m4 m3 l2 m1 l1 + m5 m4 m3 l2 m1 l3 + m5 m4 m3 l2 m1 l4
+ m5 m4 m3 l2 m1 l5 + m5 m4 l3 m2 m1 l1 + m5 m4 l3 m2 m1 l2
+ m5 m4 l3 m2 m1 l4 + m5 m4 l3 m2 m1 l5 + m5 l4 m3 m2 m1 l1
+ m5 l4 m3 m2 m1 l2 + m5 l4 m3 m2 m1 l3 + m5 l4 m3 m2 m1 l5
+ l5 m4 m3 m2 m1 l1 + l5 m4 m3 m2 m1 l2 + l5 m4 m3 m2 m1 l3
+ l5 m4 m3 m2 m1 l4 )/( ( m5 + l5 ) ( m4 + l4 ) ( m3 + l3 ) ( m2 + l2 ) ( m1 + l1 ) )
> MUT := simplify(Ass/f);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 139 di 153

4 Modello generale
MUT := ( m5 m4 m3 m2 m1 + m5 m4 m3 m2 l1 + m5 m4 m3 l2 m1 + m5 m4 l3 m2 m1
+ m5 l4 m3 m2 m1 + l5 m4 m3 m2 m1)/(
m5 m4 m3 m2 l1 l2 + m5 m4 m3 m2 l1 l3
+ m5 m4 m3 m2 l1 l4 + m5 m4 m3 m2 l1 l5 + m5 m4 m3 l2 m1 l1
+ m5 m4 m3 l2 m1 l3 + m5 m4 m3 l2 m1 l4 + m5 m4 m3 l2 m1 l5
+ m5 m4 l3 m2 m1 l1 + m5 m4 l3 m2 m1 l2 + m5 m4 l3 m2 m1 l4
+ m5 m4 l3 m2 m1 l5 + m5 l4 m3 m2 m1 l1 + m5 l4 m3 m2 m1 l2
+ m5 l4 m3 m2 m1 l3 + m5 l4 m3 m2 m1 l5 + l5 m4 m3 m2 m1 l1
+ l5 m4 m3 m2 m1 l2 + l5 m4 m3 m2 m1 l3 + l5 m4 m3 m2 m1 l4 )
> MDT := simplify((1-Ass)/f);
MDT := ( m4 m3 m2 l1 l5 + m4 m3 l2 m1 l5 + l4 m3 m2 m1 l5 + m4 l3 m2 m1 l5
+ m5 m3 m2 l1 l4 + m5 m3 l2 m1 l4 + m5 l3 m2 m1 l4 + m5 m4 m2 l1 l3
+ m5 m4 l2 m1 l3 + m5 m4 m3 l1 l2 + m5 m4 l3 l2 l1 + m5 l4 m3 l2 l1
+ m5 l4 l3 m2 l1 + m5 l4 l3 l2 m1 + m5 l4 l3 l2 l1 + l5 m4 m3 l2 l1 + l5 m4 l3 m2 l1
+ l5 m4 l3 l2 m1 + l5 m4 l3 l2 l1 + l5 l4 m3 m2 l1 + l5 l4 m3 l2 m1 + l5 l4 m3 l2 l1
+ l5 l4 l3 m2 m1 + l5 l4 l3 m2 l1 + l5 l4 l3 l2 m1 + l5 l4 l3 l2 l1 )/( m5 m4 m3 m2 l1 l2
+ m5 m4 m3 m2 l1 l3 + m5 m4 m3 m2 l1 l4 + m5 m4 m3 m2 l1 l5
+ m5 m4 m3 l2 m1 l1 + m5 m4 m3 l2 m1 l3 + m5 m4 m3 l2 m1 l4
+ m5 m4 m3 l2 m1 l5 + m5 m4 l3 m2 m1 l1 + m5 m4 l3 m2 m1 l2
+ m5 m4 l3 m2 m1 l4 + m5 m4 l3 m2 m1 l5 + m5 l4 m3 m2 m1 l1
+ m5 l4 m3 m2 m1 l2 + m5 l4 m3 m2 m1 l3 + m5 l4 m3 m2 m1 l5
+ l5 m4 m3 m2 m1 l1 + l5 m4 m3 m2 m1 l2 + l5 m4 m3 m2 m1 l3
+ l5 m4 m3 m2 m1 l4 )
> simplify((MUT/(MUT+MDT))/Ass);
Se i blocchi sono identici:
> l1:=l; m1:=m; l2:=l; m2:=m; l3:=l; m3:=m; l4:=l;
m4:=m; l5:=l; m5:=m;
l1 := l m1 := m
> Ass;
1
l2 := l m2 := m
l3 := l m3 := m
l4 := l m4 := m
l5 := l m5 := m
m 5
+ 5 m 4 l
( m+ l) 5
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 140 di 153

MUT := simplify(MUT);
> MDT := simplify(MDT);
MUT :=
m + 5 l
20 l 2
10 m + + +
MDT :=
3
10 m 2 l 5 ml 2
20 m 4
> simplify((MUT/(MUT+MDT))/Ass);
1
4 Modello generale
Raggruppando gli stati indistinguibili si ottiene il diagramma delle transizioni seguente.
5l
1 2 3 4 5 6
5m
m
Fig. 4.6.
> P := matrix(6,6,[[1-5*l,5*l,0,0,0,0],[m,1-4*lm,4*l,0,0,0],[0,2*m,1-3*l-2*m,3*l,0,0],[0,0,3*m,1-2*l-
3*m,2*l,0],[0,0,0,4*m,1-4*m-l,l],[0,0,0,0,5*m,1-5*m]]);
⎡1
− 5 l 5 l 0 0 0 0
⎢
⎤
⎢
⎥
⎢ m 1 − 4 l − m 4 l 0 0 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
P := ⎢
0 2 m 1 − 3l− 2 m 3 l 0 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 3 m 1 − 2 l − 3 m 2 l 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 4 m 1 − 4 m− l l ⎥
⎢
⎥
⎣
⎢
⎥
0 0 0 0 5 m 1 − 5 m⎦
⎥
> V := matrix(1,6,[P1,P2,P3,P4,P5,P6]);
> X := evalm(V&*P);
2m
V := [ P1 P2 P3 P4 P5 P6]
X :=
[ P1 ( 1 − 5 l) + P2m , 5 P1 l + P2 ( 1 − 4 l − m) + 2 P3 m ,
4 P2 l + P3 ( 1 − 3 l − 2 m) + 3 P4 m , 3 P3 l + P4 ( 1 − 2 l − 3 m) + 4 P5 m ,
2 P4 l + P5 ( 1 − 4 m− l) + 5 P6 m , P5 l + P6 ( 1 − 5 m)
]
> eq1 := X[1,1] = P1;
4l
eq1 := P1 ( 1− 5l) + P2m= P1
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 141 di 153
3m
3l
l 3
4m
2l
l

eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
> eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := X[1,5] = P5;
> eq6 := X[1,6] = P6;
eq2 := 5 P1 l + P2 ( 1− 4l − m) + 2 P3 m = P2
eq3 := 4 P2 l + P3 ( 1 − 3l− 2 m) + 3 P4 m = P3
eq4 := 3 P3 l + P4 ( 1 − 2l− 3 m) + 4 P5 m = P4
eq5 := 2 P4 l + P5 ( 1− 4m− l) + 5 P6 m = P5
eq6 := P5 l + P6 ( 1− 5m) = P6
> eq7 := P1+P2+P3+P4+P5+P6 = 1;
eq7 := P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq7},
{P1,P2,P3,P4,P5,P6});
S P1 = { :=
P6 =
P5 =
P4 =
P3 =
P2 =
m 5
m 5
m 5
m 5
m 5
m 5
m 5
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
l 5,
l 5
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
l 5,
5 ml 4
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
l 5,
10 m 2 l 3
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
l 5,
10 m 3 l 2
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
l 5,
5 m 4 l
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
> simplify(sum('S[i]', 'i'=1..6));
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 142 di 153
}
5
l
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1
> P1 :=
1/(m^5+5*m^4*l+10*m^3*l^2+10*m^2*l^3+5*m*l^4+l^5)*m^5;
P1 :=
m 5
m 5
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
l 5

4 Modello generale
> P2 :=
5*m^4/(m^5+5*m^4*l+10*m^3*l^2+10*m^2*l^3+5*m*l^4+l^5)*l;
P2 :=
m 5
5 m 4 l
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
> P3 :=
10*m^3/(m^5+5*m^4*l+10*m^3*l^2+10*m^2*l^3+5*m*l^4+l^5)*l^2;
P3 :=
m 5
10 m 3 l 2
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
> P4 :=
10*m^2*l^3/(m^5+5*m^4*l+10*m^3*l^2+10*m^2*l^3+5*m*l^4+l^5);
P4 :=
m 5
10 m 2 l 3
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
> P5 :=
5*m*l^4/(m^5+5*m^4*l+10*m^3*l^2+10*m^2*l^3+5*m*l^4+l^5);
P5 :=
m 5
5 ml 4
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
> P6 :=
l^5/(m^5+5*m^4*l+10*m^3*l^2+10*m^2*l^3+5*m*l^4+l^5);
P6 :=
m 5
> Ass := factor(P1+P2);
> f1 := factor(P1*5*l);
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 143 di 153
l 5
+ 5 m + + + +
4 l 10 m 3 l 2
10 m 2 l 3
5 ml 4
Ass :=
> f2 := factor(P2*(4*l+m));
f2 :=
> f12 := factor(f2-P2*m);
m 4 ( m + 5 l )
( l + m) 5
5 m
f1 :=
5 l
( l + m) 5
5 m 4 l ( 4 l + m)
( l + m) 5
20 m
f12 :=
4 l 2
( l + m) 5
l 5
l 5
l 5
l 5
l 5

MUT := factor(Ass/f12);
MUT :=
> MDT := simplify((1-Ass)/f12);
m + 5 l
20 l 2
10 m + + +
MDT :=
3
10 lm 2
5 ml 2
20 m 4
> simplify(Ass/(MUT/(MUT+MDT)));
1
4 Modello generale
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 144 di 153
l 3

4 Modello generale
4.4. Se i blocchi sono identici e raggruppabili
Il modello generale dei sistemi costituiti da blocchi identici con degli stati che si possono
raggruppare perché indisinguibili è rappresentato dal diagramma delle transizioni seguente.
L'indice h = 0, 1, 2, .... n individua lo stato ( e il numero di blocchi guasti in esso).
0 1 2 i n
m
Fig. 4.7. - Diagramma delle transizioni
Se il successo del sistema è assicurato dal funzionamento di k blocchi su n il gruppo degli
stati di successo è chiaramente costituito dai primi n-k+1 stati .
Ogni singola probabilità è data da una frazione con denominatore
e numeratore
n l
2 m
(n-1) l
( ) n
l m
D n = +
(4.1)
N
⎛n
⎞
⎜ ⎟ m
⎝h
⎠
( n−h
) h
h = (4.2)
Si consideri, ad esempio, un sistema il cui successo é assicurato dal funzionamento di
almeno k = 2 blocchi su n = 4 .
Il gruppo degli stati di successo è chiaramente costituito dai primi n-k+1 = 3 stati .
> P0 := simplify(binomial(4,0)*m^(4-0)*l^0)/(l+m)^4;
P0 :=
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 145 di 153
m 4
( l + m) 4
> P1 := simplify(binomial(4,1)*m^(4-1)*l^1)/(l+m)^4;
4 m
P1 :=
3 l
( l + m) 4
> P2 := simplify(binomial(4,2)*m^(4-2)*l^2)/(l+m)^4;
P2 :=
> Ass := simplify(P0+P1+P2);
3 m
(n-h-1) l
6 m 2 l 2
( l + m) 4
m
Ass :=
2 ( m + + )
2
4 ml 6 l 2
( l + m) 4
l
h
l

f2 := simplify(P2*2*l);
> MUT := simplify(Ass/f2);
MUT :=
12 m
f2 :=
2 l 3
( l + m) 4
m 2
> MDT := simplify((1-Ass)/f2);
MDT :=
> simplify(Ass/(MUT/(MUT+MDT)));
+ 4 ml+ 6 l 2
1
12 l 3
l + 4 m
12 m 2
Come verifica si affronti ora lo stesso calcolo nel modo tradizionale.
4 Modello generale
> P := matrix(5,5,[[1-4*l, 4*l, 0, 0, 0], [m, 1-3*l-m, 3*l,
0, 0], [0, 2*m, 1-2*l-2*m, 2*l, 0], [0, 0, 3*m, 1-l-3*m,
l], [0, 0, 0, 4*m, 1-4*m]]);
⎡1
− 4 l 4 l 0 0 0
⎢
⎤
⎥
⎢ m 1 − 3l − m 3 l 0 0 ⎥
⎢
⎥
P := ⎢
⎥
⎢
0 2 m 1 − 2 l − 2 m 2 l 0
⎢
⎥
⎢ 0 0 3 m 1 − l − 3 m l ⎥
⎢
⎥
⎣
⎢ 0 0 0 4 m 1 − 4 m⎦
⎥
> V := matrix(1,5,[P1,P2,P3,P4,P5]);
> X := evalm(V&*P);
V := [ P1 P2 P3 P4 P5]
X :=
[ P1 ( 1 − 4 l) + P2m , 4 P1 l + P2 ( 1 − 3 l − m) + 2 P3 m ,
3 P2 l + P3 ( 1 − 2 l − 2 m) + 3 P4 m , 2 P3 l + P4 ( 1 − l − 3 m) + 4 P5 m ,
P4 l + P5 ( 1 − 4m ) ]
> eq1 := X[1,1] = P1;
> eq2 := X[1,2] = P2;
> eq3 := X[1,3] = P3;
eq1 := P1 ( 1− 4l) + P2m= P1
eq2 := 4 P1 l + P2 ( 1− 3l − m) + 2 P3 m = P2
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 146 di 153

eq4 := X[1,4] = P4;
> eq5 := X[1,5] = P5;
> eq6 := P1+P2+P3+P4+P5=1;
eq3 := 3 P2 l + P3 ( 1 − 2l− 2 m) + 3 P4 m = P3
eq4 := 2 P3 l + P4 ( 1 − l − 3 m) + 4 P5 m = P4
eq5 := P4 l + P5 ( 1− 4m) = P5
eq6 := P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 1
4 Modello generale
> S := solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq6}, {P1,P2,P3,P4,P5});
S := { P1 =
P4 =
P2 =
m 4
m 4
m 4
m 4
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
4 ml 3
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
4 m 3 l
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
l 4
l 4
P5 =
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
, ,
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 147 di 153
m 4
6 m
P3 =
2 l 2
+ 4 m + + +
3 l 6 m 2 l 2
4 ml 3
, ,
}
4
l
> P1 := factor(1/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*m^4);
P1 :=
m 4
( l + m) 4
> P2 := factor(4*m^3/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*l);
m 4
4 m
P2 :=
3 l
( l + m) 4
> P3 := factor(6*m^2/(m^4+4*m^3*l+6*m^2*l^2+4*m*l^3+l^4)*l^2);
P3 :=
> Ass := simplify(P1+P2+P3);
La verifica del resto è immediata.
6 m 2 l 2
( l + m) 4
m
Ass :=
2 ( m + + )
2
4 ml 6 l 2
( l + m) 4
l 4
l 4
l 4

Si consideri ora il caso generale.
Applicando la (4.1) e la (4.2) si hanno le formule generali:
⎛n
⎞ n−h
h
⎜ ⎟ m l
h
Ph
=
⎝ ⎠
n
( l + m)
Ass =
k
∑
h=
f h Ph
=
MUT =
Ph
0
hl
MDT = 1
Ass
f h
− Ass
f h
Riprendiamo il sistema costituito da 4 blocchi.
> n:=4;
n := 4
Il successo del sistema richiede 3 blocchi funzionanti.
> k:=n-3;
k := 1
4 Modello generale
Il gruppo degli stati di successo è costituito dagli stati 0 e 1.
> P0 := simplify((binomial(n,0)*m^(n-0)*l^0)/(l+m)^n);
P0 :=
L’affidabilità in pratica: I modelli marcoviani - © E. Carrada 2003 Pag. 148 di 153
m 4
( l + m) 4
> P1 := simplify((binomial(n,1)*m^(n-1)*l^1)/(l+m)^n);
> Ass3 := simplify(P0+P1);
> f1 := P1*3*l;
4 m
P1 :=
3 l
( l + m) 4
Ass3 :=
> MUT3 := simplify(Ass3/f1);
m 3 ( m + 4 l )
( l + m) 4
12 m
f1 :=
3 l 2
( l + m) 4

MUT3 :=
> MDT3 := simplify((1-Ass3)/f1);
MDT3 :=
l 2
m + 4 l
12 l 2
+ 4 lm+ 6 m 2
12 m 3
> simplify(Ass3/(MUT3/(MUT3+MDT3)));
1
4 Modello generale
Il successo del sistema richiede 2 blocchi funzionanti (il caso è stato già esaminato più
sopra).
> k:=n-2;
k := 2
Il gruppo degli stati di successo è costituito dagli stati 0, 1 e 2.
> P2 := simplify((binomial(n,2)*m^(n-2)*l^2)/(l+m)^n);
P2 :=
> Ass2 := simplify(P0+P1+P2);
> f2 := P2*2*l;
> MUT2 := simplify(Ass2/f2);
6 m 2 l 2
( l + m) 4
m
Ass2 :=
2 ( m + + )
2
4 lm 6 l 2
( l + m) 4
MUT2 :=
12 m
f2 :=
2 l 3
( l + m) 4
m 2
> MDT2 := simplify((1-Ass2)/f2);
MDT2 :=
+ 4 lm+ 6 l 2
12 l 3
l + 4 m
12 m 2
> simplify(Ass2/(MUT2/(MUT2+MDT2)));
1
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Appendice 1: Glossario essenziale
Le definizioni che seguono sono quelle più correntemente usate e sono basate su un approccio
tecnico-concettuale. La parola concetto viene qui usata nella sua accezione anglo-sassone
di idea base capace di guidare il corso delle azioni pertinenti.
Le definizioni sono congruenti con quelle riportate nelle Norme:
• “MIL-STD 721 “Definition of terms for reliability and maintainability”
• CEI 5650 “Terminologia sulla fidatezza e sulla qualità del servizio”
che costituiscono il riferimento più immediato oltre questo Glossario.
Di seguito a ciascuna voce è riportata tra parentesi la corrispondente dizione inglese
corrente.
Affidabilità (Reliability)
Come concetto: Attitudine di un oggetto ad adempiere alla funzione richiesta, nelle
condizioni specificate, ciascuna volta e per la durata che gli si richiede.
Come caratteristica: Probabilità che un oggetto adempia alla propria specifica funzione
per un tempo determinato e sotto determinate condizioni.
Nota
Caratteristica è qualsiasi proprietà o attributo di un oggetto, di un processo o di un servizio
che sia distinguibile, descrivibile, misurabile.
Le caratteristiche di affidabilità sono le grandezze usate per esprimere il concetto di affidabilità
in termini numerici correlabili con l’esperienza,
Affidabilità di previsione (Predicted reliability)
Affidabilità attesa in un tempo futuro per date condizioni di utilizzazione sulla base di
analisi del progetto, dell’esperienza operativa passata e dei risultati di laboratorio.
Affidabilità intrinseca
Caratteristica potenziale di un progetto suscettibile di estrinsecarsi completamente come
affidabilità osservata se la costruzione, l’installazione e l’uso dell’oggetto pertinente avvengono
secondo le relative prescrizioni di progetto.
Affidabilità osservata
Quella effettivamente sperimentata durante la vita operativa di un oggetto.
Ambiente (Environment)
Insieme di tutte le condizioni interne ed esterne (come temperatura, umidità, radiazioni,
campi elettrici e magnetici, urti, vibrazioni) sia naturali che di origine umana o autoindotti
che influenzano l’aspetto, le prestazioni, l’affidabilità o la sopravvivenza di un oggetto.
Concetto
Nella lingua italiana (e in genere nei paesi latini):
- ciò che la mente intende e comprende e conclude per mezzo della osservazione, riflessione
e induzione;
- pensiero, idea, nozione, opinione, giudizio.
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Nel mondo anglo-sassone: idea base capace di guidare il corso delle azioni pertinenti.
Difetto (Fault)
La causa prossima del guasto (sregolazioni, disallineamenti, perdita di funzionalità,
etc.).
Guasto (Failure)
Evento che determina il passaggio di un oggetto da uno stato di corretto funzionamento
secondo le specifiche pertinenti (stato di successo) allo stato alternativo (stato di guasto).
Ridondanza (Redundancy)
Predisposizione di più mezzi, non necessariamente identici, per assolvere un dato compito.
Ridondanza operativa (attiva/calda) (Active redundancy): quando tutti gli oggetti ridondanti
funzionano contemporaneamente.
Ridondanza sequenziale (fredda) (Stand-by redundancy): quando i mezzi alternativi
non sono operanti finché non sono attivati dopo il guasto del mezzo primario che assicurava
il servizio.
Tasso di guasto (Failure rate)
Indice della generica propensione al guasto di un oggetto. Viene misurato dal numero
totale dei guasti in una popolazione di tali oggetti durante un dato intervallo di tempo e
in date condizioni diviso per il totale dei tempi di vita dei singoli oggetti della popolazione.
Sistema (System)
Nel lessico tradizionale dell’approccio sistemistico: Aggregato di risorse finalizzato al
conseguimento di un dato scopo operativo.
Nella descrizione degli apparati elettrici ed elettronici: insieme di hardware, software,
servizi, informazioni e professionalità capace di eseguire e/o supportare un ruolo operativo
nella misura necessaria a considerarlo autosufficiente nell’ambiente operativo previsto.
Sottosistema (Subsystem)
Nel lessico tradizionale dell’approccio sistemistico: elemento di una ripartizione di
primo livello del sistema fatta nel rispetto della sua logica operativa.
Nella descrizione degli apparati elettrici ed elettronici: insieme di gruppi, equipaggiamenti,
etc. che realizzano una funzione operativa e che è al primo livello di disassiemamento
del sistema.
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Bibliografia
Nella citazione l’indice bibliografico è talvolta seguito, all’interno delle parentesi quadre,
dalla identificazione del paragrafo.
[1] M. B. Kline, M. W. Lifson “System engineering and its application to the design of
an engineering curriculum”, in System engineering, Vol. 2, N. 1, pagg. 3 - 22
[2] McGraw-Ill, Zanichelli “Dizionario scientifico e tecnico small size” 1998
[3] CNET RDF93 “Handbook of reliability data for electronic components”, 1993
[4] TELECORDIA/BELCORE TR332 “Reliability prediction for electronic equipment”
by AT & T Bell Labs, issue 6
[5] ITALTEL IRPH93 “Italtel reliability prediction handbook”, 1993
[6] CEI EN 61078 “Tecniche di analisi relative alla fidatezza. Metodo dei diagrammi a
blocchi di affidabilità”, 1997-06
[7] R. Billinton, R. N. Allan “Reliability evaluation of engineering systems”, Plenum
Press, 1992
[8] R. Ramakumar “Engineering reliability. Fundamentals and application”, Prentice
Hall, 1993
[9] V. Amoia, E. Carrada, R. Somma “I processi markovoani in affidabilità” in Rivista
tecnica Selenia, numero speciale sull’affidabilità dei sistemi, Vol. 4, N. 3, 1977
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