2. Giochi con mosse sequenziali - utenti

2. Giochi con mosse sequenziali
2.1. Esempi di giochi con mosse sequenziali e con informazione perfetta
La dama, gli scacchi, il filetto sono esempi di giochi con mosse
sequenziali (c’è un preciso ordine in cui i giocatori eseguono le mosse) con
informazione perfetta e senza intervento della Fortuna.
“Informazione perfetta” significa che in ogni punto del gioco in cui un
qualsiasi giocatore ha la mossa, egli conosce tutto ciò che riguarda lo
svolgimento del gioco fino a quel punto.
In ciascuno dei giochi sopra citati non interviene alcun elemento aleatorio
(lanci di monete o di dadi, ecc.). Se però facciamo precedere l’inizio di una
partita a scacchi dal lancio di una moneta, per decidere a chi spetta il
bianco, otteniamo un esempio di gioco con informazione perfetta e con
intervento della Fortuna.
Si noti che una condizione necessaria (ma non sufficiente) perché una
situazione possa venire modellata come gioco con informazione perfetta è
che essa non preveda la presenza di mosse simultanee dei giocatori.
2.2. L’albero del gioco
Le regole di un gioco con mosse sequenziali devono precisare (almeno) i
seguenti aspetti:
i) chi sono i giocatori;
ii) quando spetta a ciascuno di muovere
iii) quali sono le azioni tra cui un giocatore può scegliere quando è il
suo turno;
iv) di quali informazioni dispone ciascun giocatore nei turni di sua
spettanza [se ciascuno, in ogni suo turno, conosce tutto ciò che è
avvenuto sino a quel punto, si dice che il gioco ha informazione
perfetta];
v) quali sono i possibili esiti fisici del gioco e quanto ciascun
giocatore ne ottiene (quest’ultimo punto verrà chiarito nel
seguito).
L’albero del gioco. La struttura formale per una rappresentazione del
gioco che contenga i suddetti aspetti è l’albero del gioco.
1

Un albero è un grafo orientato, connesso e senza cicli. Ricordiamo che un
grafo è semplicemente un insieme di punti (detti nodi) e di segmenti (detti
archi) che collegano alcune coppie di punti.
Un albero ha un nodo (unico), detto radice dell’albero, da cui parte la prima
mossa del gioco. È caratterizzato graficamente dal fatto di non avere nodi
predecessori nel senso delle frecce.
I nodi diversi dalla radice si distinguono in nodi non terminali e nodi
terminali. Ciascun nodo non terminale ha un solo predecessore (ossia
riceve una sola freccia) e da esso si dipartono uno o più archi, che
rappresentano le azioni (“mosse”) a disposizione del giocatore che ha la
mossa in quel nodo. Quindi ogni nodo non terminale rappresenta un punto
di decisione di un giocatore (nell’albero precedente il giocatore che ha la
mossa nella radice dell’albero ha ivi a disposizione le azioni l ed r).
2

I nodi terminali corrispondono ai possibili esiti finali del gioco. In questi
primi esempi saranno etichettati semplicemente con gli esiti fisici del
gioco, ma in seguito verranno etichettati coi pagamenti in utilità che
ciascun giocatore riceve dall’esito fisico del gioco.
Ed ora completiamo, in modo arbitrario, l’albero precedente in modo da
far sì che esso rappresenti un gioco con due giocatori e con mosse
sequenziali. I due giocatori saranno chiamati I (Primo) e II (Seconda).
Ciascun nodo non terminale è assegnato a I oppure a II. A I sono
assegnati il nodo iniziale indicato con a e un secondo nodo, indicato con b
(la scelta delle lettere per indicare i nodi è importante per evitare
confusione nel seguito). A II sono assegnati i due nodi indicati con c e d.
Le azioni di I in a e in b sono indicate con l ed r. Questo non significa che I
ha a disposizione in b le stesse scelte che ha a disposizione in a, ma solo
che ha a disposizione sia in a che in b due possibili scelte. Le azioni di II
sono due in c, indicate con L ed R e tre in d indicate con L, M, R.
Si noti che per non appesantire il disegno dell’albero abbiamo evitato l’uso
delle frecce, essendo dato per scontato il verso di percorrenza dell’albero,
dalla radice, indicata con a, ai nodi terminali (che qualche autore chiama
“foglie”). In seguito utilizzeremo le frecce, ma con un significato speciale,
come si vedrà.
Supponiamo che il gioco possa terminare o con la vittoria di I e la
sconfitta di II, esito che, per semplicità indicheremo semplicemente con V,
anziché con la notazione più completa (V, S), oppure con la sconfitta di I e
la vittoria di II che indicheremo semplicemente con S anziché con (S, V).
3

L’obiettivo di ciascun giocatore è di vincere ogni singola partita ossia le
preferenze dei giocatori, con la convenzione adottata sopra, sono
S I V e S II V
e tali preferenze sono conoscenza comune.
Cerchiamo ora di disegnare l’albero di due giochi molto noti, il Filetto
(tic-tac-toe) e il Nim.
Il Filetto. Su una tavola 3x3 I e II collocano a mosse alternate il
proprio simbolo (x e o).
Vince chi realizza per primo un filetto in orizzontale, verticale
o diagonale.
È anche possibile che la tavola venga riempita senza che sia stato realizzato
alcun filetto e in questo caso la partita è pari. Con la convenzione usata in
precedenza di riferire l’esito al giocatore I indichiamo i possibili esiti con
V, S, P (P = patta sta per (P, P)) che indicano vittoria di I, sconfitta di I,
patta. Le preferenze sono allora
S I P I V e S II P II V .
All’atto della mossa iniziale I ha 9 scelte; la mossa successiva spetta a II
che, per ogni possibile scelta iniziale di I, ha 8 risposte. Poi la mossa
seguente è di nuovo di I che in ognuno dei 9 · 8 = 72 nodi di decisione ha 7
possibili mosse e così via. Solo dopo 5 turni di gioco ci sono alcuni nodi
terminali ed alcune partite si protraggono fino al riempimento completo
della tavola. L’albero del gioco è piuttosto grande (è piuttosto difficile
calcolare il numero totale di nodi dell’albero).
Tuttavia semplici considerazioni sono sufficienti per vedere che, a gioco
corretto, la partita è patta. Intanto nella mossa iniziale I ha in realtà soltanto
3 scelte realmente diverse: collocare il suo segno al centro (la mossa da
preferire poiché controlla ben 4 filetti) oppure in uno dei quattro angoli
(ciascuno di essi è equivalente) oppure in una casa di lato. Se I
muove al centro a II per assicurarsi almeno la patta basta
collocare il suo simbolo in una casa d’angolo (perde, a gioco
corretto, la scelta di una casa di lato) e poi bloccare ogni
o x
o
tentativo di filetto dell’avversario. Se I inizia scegliendo un angolo oppure
una casa di lato, II si può assicurare la patta occupando il centro e poi
continuando come indicato in precedenza.
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Nim. Ci sono due o più file di cerini (o monete, o altro ancora) e ciascuna
fila contiene un numero arbitrario di cerini. Due giocatori I e II muovono
alternativamente. Ogni mossa consiste nel togliere da una qualsiasi delle
file uno o più cerini (anche tutti). L’ultimo a togliere cerini vince.
Chiaramente il Nim non può finire in parità: l’uno o l’altro giocatore deve
togliere l’ultimo cerino e vincere.
Nella figura che segue è disegnato l’albero del Nim 1-2-1. I nodi terminali
sono etichettati con V (vittoria di I) oppure con S (sconfitta di I).
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2.3. Strategie pure
Quando un gioco con mosse sequenziali viene rappresentato mediante un
albero, si dice che esso è rappresentato in forma estesa.
In un gioco in forma estesa e con informazione perfetta una strategia pura
del giocatore i è una regola (o piano completo di azione) che specifica
un’azione in ogni nodo di decisione del giocatore i (in ciascuno cioè dei
nodi dell’albero in cui, in base alle regole del gioco, può essere chiamato ad
operare se il nodo viene realmente raggiunto).
Se tutti i giocatori (due o più) scelgono una strategia pura e la attuano, ciò
determina univocamente, in un gioco senza intervento della Fortuna, lo
svolgimento di una partita.
Riferendoci, a titolo di esempio, al gioco G di pagina 3, il giocatore I
deve operare una scelta tra due alternative sia nel nodo a che nel nodo b. Le
sue strategie pure sono dunque 2 · 2 = 4 e precisamente
ll, lr, rl, rr.
Per esempio, lr significa che I sceglie l in a ed r in b. Si noti che se I
sceglie l in a, è impossibile che venga raggiunto il nodo b, qualunque scelta
operi II.
Tuttavia la definizione formale di strategia pura richiede la specificazione
di un’azione anche nel nodo b, benché l’azione scelta in b non abbia
influenza sulla partita.
Il giocatore II deve scegliere nei nodi c e d e, come appare dall’albero, ha a
disposizione 2 · 3 = 6 strategie pure e precisamente
LL, LM, LR, RL, RM, RR.
La scelta di una strategia di I e di una di II determina una partita, che dà
luogo ad un percorso dalla radice dell’albero fino ad un nodo terminale.
Per esempio, nel gioco G la coppia (o “profilo”) di strategie pure (rl, RL)
dà luogo alla partita
[rLl]
che ha come esito la sconfitta di I.
Si noti che una stessa partita può derivare da più coppie (s, t) di strategie
pure, indicando con s una strategia pura di I e con t una strategia pura di II.
Nel nostro esempio, anche la coppia di strategie pure (rl, LL) dà luogo alla
partita [rLl].
2.4. L’algoritmo di analisi a ritroso
Il metodo di analisi a ritroso consiste nel partire dalla fine e risalire
l’albero del gioco fino alla radice, scegliendo in ogni nodo l’azione
ottimale per il giocatore che ha la mossa. Tale metodo è anche chiamato
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“algoritmo di Zermelo” perché può essere utilizzato per dimostrare il
teorema di Zermelo.
Illustriamo in dettaglio il metodo utilizzando il gioco G del nostro
esempio guida, ma, come vedremo in seguito, esso può essere applicato a
un qualunque gioco in forma estesa con informazione perfetta.
Sottogiochi di un gioco con informazione perfetta. In un gioco in forma
estesa con informazione perfetta, ogni nodo x non terminale determina un
sottogioco, costituito dal nodo x stesso e da tutti i nodi che lo seguono
sull’albero. Il gioco stesso è un sottogioco di se stesso.
Nel nostro esempio guida, il gioco G ha tre sottogiochi propri (cioè diversi
da se stesso) G 1, G 2, G 3 che hanno radice nei nodi b, c, d rispettivamente.
Diciamo che un sottogioco H di G ha valore V, e scriviamo v(H) = V, se in
H il giocatore I ha una strategia che vince (porta all’esito V), qualunque
strategia usi II. Analogamente, v(H) = S se II ha una strategia che vince
(porta all’esito S), qualunque strategia usi I. Si noti che, a priori, non è
ovvio che una di queste due alternative debba essere vera.
Analizzando a ritroso il gioco G. Iniziamo la nostra analisi del gioco G,
partendo dai nodi “prefinali” 1 b e c, che sono radici dei sottogiochi (di G)
ad un solo giocatore G 1 e G 2.
In G 1, ossia nel nodo b, la mossa spetta a I che sceglie r e vince. Quindi
v(G 1) = V.
In G 2, ossia nel nodo c, la mossa spetta a II che sceglie L e vince. Quindi
v(G 2) = S.
Ora consideriamo il gioco G', che si ottiene sostituendo il sottogioco G 1
con un nodo terminale etichettato col valore V ed il sottogioco G 2 con un
nodo terminale etichettato col valore S.
1 Un nodo è “prefinale” se è seguito soltanto da nodi terminali.
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Notiamo che, se I ha una strategia s' che vince comunque in G', allora I ha
una strategia s che vince in G.
Infatti, quale che sia la strategia usata da II, l’utilizzo di s' da parte di I dà
luogo ad una partita di G' che si conclude in un nodo terminale x di G'
etichettato con V. Tale nodo x o è esso stesso un nodo terminale anche di G
ed allora s = s' è una strategia vincente in G oppure è la radice di un
sottogioco G x di G con v(G x) = V. In questo secondo caso I ha una strategia
vincente s x nel sottogioco G x, da cui segue che I ha una strategia vincente s
in G che consiste nel giocare s' in G' e continuando poi col giocare s x in G x.
Analogamente se II ha una strategia vincente t' in G', ella ha una strategia
vincente in G.
In conclusione, se G' ha un valore, lo ha anche G e si ha v(G') = v(G).
Ora consideriamo il gioco G'' che si ottiene da G' osservando che G' ha un
unico nodo prefinale, precisamente d, e sostituendo il sottogioco G' 1 (di G')
cha ha radice d con un nodo terminale etichettato col suo valore e cioè con
V (dal momento che II perde in G' 1 qualche che sia la sua scelta).
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Ragionando come prima si trae che se G'' ha un valore anche G' ha un
valore e v(G'') = v(G').
In conclusione se G'' ha un valore si ha
v(G'') = v(G') = v(G).
Ma G'' è un gioco ad un solo giocatore in cui I vince scegliendo r e dunque
v(G'') = v(G') = v(G) = V.
Il procedimento ora descritto può essere utilizzato nel caso di un qualsiasi
gioco con informazione perfetta che abbia i due soli possibili esiti di
vittoria e sconfitta.
Un tale gioco ha necessariamente valore V oppure S.
Generalizzeremo tale risultato ma ora ci proponiamo di determinare una
strategia vincente di I in G.
Il modo migliore di fare ciò consiste nell’evidenziare graficamente il
procedimento di analisi a ritroso.
A tale scopo riprendiamo l’albero del gioco G e cominciamo dai nodi
prefinali b e c, marcando con una freccia gli archi corrispondenti a strategie
ottimali. In alternativa si possono cancellare (“potare”) gli archi (“rami”)
corrispondenti a strategie non ottimali. [In figura sono usati entrambi i
procedimenti.]
Poi, andando all’indietro e sostituendo mentalmente i nodi b e c coi loro
valori (V ed S) marchiamo con la freccia, in corrispondenza ai nuovi nodi
prefinali (in realtà uno solo), gli archi corrispondenti a strategie ottimali e
così via fino a pervenire alla radice.
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Una strategia pura vincente di I si legge direttamente nella figura ed è rr.
Per II le strategie ottimali sono tutte le strategie della forma RX (R nel nodo
c, ma qualunque azione in d). Se, ad esempio, I sceglie rr e II sceglie RL ne
deriva la partita [rLr].
2.5. Risoluzione del gioco del Nim mediante considerazioni di teoria dei
numeri
Il Nim è un gioco sequenziale con informazione perfetta che può
terminare in due soli modi, vittoria o sconfitta di I e dunque ha valore V o
S. Ciò dipende dal numero di file e di cerini nelle varie file.
È facile tradurre in pratica il procedimento precedente nel caso del Nim 1-
2-1 di cui abbiamo disegnato in precedenza l’albero. In realtà, basta al
giocatore I togliere entrambi i cerini della fila con due per assicurarsi la
vittoria.
Però se ci sono almeno tre file e molti cerini per fila, l’albero è troppo
grande per poterlo costruire manualmente.
Tuttavia, nel caso del Nim, esiste un elegante metodo numerico che evita la
necessità di costruire l’albero del gioco. Lo illustriamo nel caso del Nim 9-
4-3, ma il procedimento ha carattere generale (C. Bouton, 1901).
Nella figura seguente il numero di cerini di ogni fila viene indicato prima
con file di punti, poi in notazione decimale, poi in notazione binaria.
• • • • • • • • • 9 1 0 0 1
• • • • 4 0 1 0 0
• • • 3 0 0 1 1
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(Gli zeri che precedono 100 nella seconda riga ed 11 nella terza servono
per far sì che ogni colonna abbia lo stesso numero di cifre.)
Una posizione del Nim è detta bilanciata se ogni colonna della
rappresentazione binaria ha un numero pari di 1, mentre è detta sbilanciata
in caso contrario. La posizione iniziale del Nim 9-4-3 è sbilanciata perché
la prima colonna (in realtà anche la seconda e la terza) ha un numero
dispari di 1.
Notiamo i seguenti fatti:
a) Ogni mossa ammissibile del Nim trasforma una posizione bilanciata
in una posizione sbilanciata. Infatti, nella rappresentazione binaria
della fila dalla quale si tolgono cerini, almeno una cifra 1 viene
trasformata nella cifra 0.
b) Purché ci siano almeno due file di cerini (non vuote) è sempre
possibile togliendo il numero giusto di cerini trasformare una
posizione sbilanciata in una posizione bilanciata.
c) Il giocatore che muove in una posizione bilanciata non può vincere
in una sola mossa, dal momento che ci sono almeno due file non
vuote di cerini.
Ne segue che uno dei due giocatori ha una strategia vincente il cui filo
logico conduttore è quello di lasciare costantemente l’avversario con una
posizione bilanciata.
Se la configurazione iniziale dei cerini è sbilanciata (come nel caso del
Nim 9-4-3) è I che ha una strategia vincente, mentre se è bilanciata è II che
ha una strategia vincente.
Di seguito indichiamo un possibile svolgimento di una partita del Nim 9-
4-3, in cui I usa una strategia vincente mentre II fa delle mosse qualunque.
1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 → I
0 1 0 0 → II
0 0 0 1 → I
0 0 0 1 → II
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 1 0
↓ I
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
vince ← I
← II
← I
← II
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
2.6. Il teorema di Zermelo (1913)
Abbiamo visto che il gioco G del nostro esempio guida ha un valore. È
chiaro che l’argomentazione usata, e cioè l’uso dell’algoritmo di Zermelo,
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funziona con qualsiasi gioco con informazione perfetta strettamente
competitivo con due soli possibili esiti (V, S) ed (S, V). Ci chiediamo se
funziona anche nel caso in cui gli esiti siano più di due (per esempio negli
scacchi e nel filetto gli esiti possibili sono tre).
Intanto precisiamo il concetto di gioco strettamente competitivo. In
termini di preferenze ciò significa che, per ogni due esiti distinti a e b
a I b
⇔ a II b .
[Se nel gioco interviene la Fortuna questa definizione va rafforzata.]
Gli obiettivi dei due giocatori sono perciò diametralmente opposti.
Valore di un gioco strettamente competitivo con k ≥ 2 esiti.
Sia G un gioco finito, a due persone, con informazione perfetta,
strettamente competitivo e senza intervento della Fortuna e U = {u1, u2, …,
uk} l’insieme degli esiti che pensiamo etichettati in modo tale che u1 I u2 I … I uk (escludiamo, per semplicità, che ci siano degli esiti che I
giudica equivalenti). Quindi dato che il gioco G è supposto strettamente
competitivo si ha u1 II u2 II … II uk .
Diciamo che un esito v ∈ U è il valore del gioco se I può forzare l’esito del
gioco nell’insieme
{u
∈ U | u I v}
e II può forzare l’esito del gioco nell’insieme
{u
∈ U | u II v} = {u
come illustrato nello schema seguente
∈ U | u I v}
I può forzare l’esito qui
u1 u2 … v = uj uj+1 … uk
II può forzare l’esito qui
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Teorema. (Zermelo, 1913) Ogni gioco a due persone, finito 2 , strettamente
competitivo, con informazione perfetta e senza intervento del caso, ha un
valore.
In realtà, Zermelo dimostrò il teorema nel caso particolare del gioco degli
scacchi. In tale caso il senso del teorema di Zermelo è il seguente:
• o il Bianco ha una strategia vincente;
• o il Nero ha una strategia vincente;
• o il Bianco ha una strategia che gli assicura almeno la patta e
contemporaneamente il Nero ha una strategia che gli assicura almeno
la patta.
Se fosse possibile utilizzare l’algoritmo di Zermelo nell’albero degli
scacchi, si potrebbe vedere quale di queste tre alternative è quella giusta e
quindi se il valore del gioco degli scacchi è V, S oppure P (esiti riferiti al
Bianco).
Ma l’albero degli scacchi è così spropositatamente grande che, anche col
più potente dei computer attuali, occorrerebbero miliardi di miliardi di
miliardi … di anni per eseguire una tale analisi 3 .
Esattamente come nel caso del nostro esempio guida, l’uso dell’algoritmo
di Zermelo sull’albero di un gioco strettamente competitivo e con
informazione perfetta permette di individuare almeno un profilo di strategie
pure (s, t) il cui uso conduce ad un nodo terminale il cui esito è il valore del
gioco.
[Se l’uso dell’algoritmo di Zermelo individua due o più profili di strategie
ottimali (s, t), (s', t'), … essi possono determinare degli esiti v, v', … che
non sono necessariamente coincidenti, ma che i giocatori considerano
equivalenti tra di loro e quindi aventi lo stesso valore.]
Ebbene noi assumiamo come soluzione del gioco un tale profilo di strategie
pure.
2.7. L’uso dell’algoritmo di Zermelo in giochi sequenziali con
informazione perfetta, ma non strettamente competitivi
Riprenderemo a più riprese nel seguito l’argomento dei giochi
strettamente competitivi. Tuttavia la maggior parte dei giochi della vita
2 Un gioco in forma estesa si dice finito se è finito il numero dei nodi dell’albero. (Cfr.
es. 2.12.11 per un esempio di gioco infinito.)
3 Cfr. E. Santi, Michail Botvinnik: un programma “intelligente” per giocare a scacchi,
http://matematica.uni-bocconi.it/interventi/botvinnik/scacchi_botvinnik.htm.
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eale non sono strettamente competitivi ed offrono ai giocatori sia elementi
di conflitto che elementi di cooperazione.
Ci chiediamo ora cosa rimane valido dei risultati precedenti quando si
passa a considerare un generico gioco in forma estesa con informazione
perfetta e (per ora) senza intervento della Fortuna.
Per semplicità supporremo, negli esempi di questo capitolo, che gli esiti
finali siano rappresentati da coppie (x, y) di pagamenti in denaro, per
esempio in euro, e che l’utilità che un giocatore ne riceve coincida con la
somma di denaro che egli riceve (o sborsa, se la somma è negativa).
Il criterio di preferenza di ciascun giocatore è allora determinato dal fatto
che egli preferisce avere più denaro che meno e che non è interessato a
null’altro nel gioco che ad avere quanto più denaro è possibile.
Si suppone che questo fatto sia conoscenza comune dei giocatori.
Ebbene è facile convincersi che si può continuare ad applicare
l’algoritmo di Zermelo ad un qualunque gioco in forma estesa, finito e con
informazione perfetta, determinando con ciò almeno un profilo di strategie
pure.
In generale il profilo di strategie che viene individuato è unico come nel
seguente esempio.
In G1, nel nodo iniziale, I può
uscire subito dal gioco con
pagamenti, in milioni di euro, 0
per lui e 2 per II, oppure entrare
ed allora II può reagire con
pagamenti (-1, -1) oppure subire
l’ingresso di I coi pagamenti (1,
1).
L’uso dell’algoritmo di Zermelo,
indicato con le frecce, determina
il profilo di strategie pure (E, S)
con pagamenti (1, 1).
Altre volte però l’uso dell’algoritmo di Zermelo determina più di un profilo
di strategie pure come nel seguente gioco G2.
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Nei giochi strettamente competitivi si può lavorare con un singolo albero
del gioco, indicando con la freccia tutti gli archi corrispondenti a scelte
ottimali.
Nei giochi che non sono strettamente competitivi conviene disegnare un
diagramma per ciascuna scelta ottimale in un nodo (se ce n’è più di una)
perché gli esiti finali determinati dai profili di strategia selezionati
dall’algoritmo di Zermelo sono in genere diversi.
Nel nostro caso, poiché II in b può scegliere indifferentemente L o R,
abbiamo i due diagrammi
Nel diagramma di sinistra viene individuato il profilo di strategie (l, L) con
pagamenti finali (2, 0), nel diagramma di destra viene individuato il profilo
di strategie (r, R) con la coppia di pagamenti (1, 1).
Come si vede da questo esempio, nel caso che il gioco non sia strettamente
competitivo, non ha più senso la nozione di valore di un gioco.
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Inoltre dato che i due profili di strategie (l, L) ed (r, R) portano a
pagamenti diversi ci possiamo chiedere se la TdG può dare indicazioni per
scegliere uno di essi come soluzione del gioco. È giunto il momento di
chiarire cosa pretendiamo da un profilo di strategie pure per poterlo
assumere come “soluzione del gioco”.
2.8. La forma strategica (o normale) del gioco G
Riprendiamo il nostro esempio guida, cioè il gioco G, che è stato
assegnato in forma estesa, mediante l’albero del gioco.
Da tale albero si deduce la forma “strategica” o “normale” del gioco
elencando le strategie di I e di II e indicando per ogni profilo di strategie
l’esito del gioco. Adottando la convenzione di indicare semplicemente con
V l’esito (V, S) e con S l’esito (S, V) si ottiene allora la seguente matrice
4x6 dove le strategie di I corrispondono alle righe e quelle di II alle
colonne (ignora per ora le marcature degli esiti).
ll
lr
LL LM LR RL RM RR
V V V S S S
V V V S S S
rl S V V S
rr
V V
V V V V V V
La forma normale del gioco G
Dalla forma normale del gioco G appare subito che rr è una strategia
vincente di I (il giocatore delle righe) poiché nell’ultima riga compaiono
solo delle V, che significa vittoria di I.
La forma normale del gioco G1 (pag. 15) è invece
R S
U 0, 2 0, 2
E -1, -1 1, 1
dove, il primo dei due numeri di ciascuna riga e colonna rappresenta il
pagamento di I (il giocatore delle righe) ed il secondo quello di II (il
giocatore delle colonne). Una tale tabella viene chiamata bimatrice.
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2.9. Equilibri di Nash ed equilibri perfetti nei sottogiochi
In TdG una richiesta minima che viene fatta ad un profilo di strategie
pure perché esso possa essere assunto come soluzione del gioco è che esso
sia un “equilibrio di Nash”.
In un gioco a due persone dire che un profilo di strategie pure (s, t) è un
“equilibrio di Nash” significa che s è una scelta ottimale di strategia per I
ove II scelga t e che, contemporaneamente, t è una scelta ottimale di
strategia di II ove I scelga s.
Ossia, ciascuna delle strategie della coppia (s, t) è una risposta ottimale
all’uso dell’altra da parte dell’avversario.
È facile leggere tutti gli equilibri di Nash sulla forma normale (di un
gioco a due persone).
Dalla forma normale del gioco G si evince che, giocando rr, I vince
qualunque strategia scelga II. Tutti i profili di strategie pure (rr, XY) sono
equilibri di Nash.
Il criterio per determinare gli equilibri di Nash nella forma normale del
gioco è semplice.
Per esempio, (rr, LL) è un equilibrio di Nash perché leggendo l’esito nella
casella corrispondente alla scelta della riga e della colonna si vede che
contemporaneamente:
• rr è una risposta ottimale di I all’uso di LL da parte di II (il giocatore
delle colonne), cosa che è stata evidenziata sottosegnando l’esito;
• LL è una risposta ottimale di II all’uso di rr da parte di I (l’esito è
infausto per II, ma non c’è di meglio, se I sceglie rr).
In pratica basta (sotto)segnare in ogni colonna l’esito migliore per I e
(sopra)segnare in ogni riga l’esito migliore per II (che nel caso del gioco G
è il peggiore per I).
Si noti che non tutti gli equilibri di Nash del gioco G (rr, XY) possono
considerarsi equivalenti tra loro.
Consideriamo ad esempio l’equilibrio di Nash (rr, LL). Esso non
costituisce un profilo di strategie che venga selezionato, nella forma estesa
del gioco G, dall’algoritmo di Zermelo. Come abbiamo visto in precedenza
l’algoritmo sceglie rr per I e una qualunque strategia della forma RX per II
e tra di esse non c’è LL.
La ragione per cui l’algoritmo di Zermelo non sceglie LL è che tale
strategia propone a II la scelta irrazionale L nel nodo c. Tale scelta è
irrazionale perché, se il nodo c venisse raggiunto, II potrebbe vincere
giocando R mentre con L perde.
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Il fatto che la strategia LL incorpori una tale scelta irrazionale non è
messo in luce dalla nozione di equilibrio di Nash perché, se I sceglie la sua
strategia di equilibrio rr, allora il nodo c non verrà raggiunto e quindi II
non sarà chiamato ad utilizzare la sua scelta in c.
Il punto qui è che restringere l’attenzione alle strategie degli equilibri di
Nash assicura soltanto che i giocatori si comporteranno razionalmente nei
nodi del cammino di equilibrio (cioè nella partita che viene giocata se i
giocatori seguono fedelmente la strategia di equilibrio). Fuori dal cammino
di equilibrio, le strategie di equilibrio di Nash possono suggerire scelte
assurde.
È perciò importante che un profilo di strategia che venga proposto come
soluzione di un gioco, oltre ad essere un equilibrio di Nash, goda di qualche
ulteriore proprietà. In particolare, nei giochi sequenziali con informazione
perfetta, i profili di strategie (s, t) che vengono scelti dall’algoritmo di
Zermelo non soltanto sono equilibri di Nash dell’intero gioco, ma di più
essi generano equilibri di Nash in ogni sottogioco. Un profilo di strategie
che gode di questa proprietà è detto “equilibrio perfetto nei sottogiochi”.
Come ulteriore esempio, riprendiamo in esame il gioco di pag. 15.
R S
U 0, 2 0, 2
E -1, -1 1, 1
Nella forma normale di tale gioco, sottolineiamo in ogni colonna della
bimatrice il miglior pagamento del giocatore delle righe (I) ed in ogni riga
il miglior pagamento del giocatore delle colonne. In questo modo si vede
che ci sono due equilibri di Nash (U, R) ed (E, S), ma soltanto (E, S) è
perfetto nei sottogiochi.
2.10. Equilibri multipli nei giochi con informazione perfetta
Abbiamo detto in precedenza che una condizione necessaria, ma in
generale non sufficiente, perché un profilo di strategie pure possa essere
assunto come soluzione di un gioco è che esso sia un equilibrio di Nash.
19

In particolare, nel caso di un gioco sequenziale con informazione perfetta,
noi pretendiamo perché un profilo di strategie pure possa essere assunto
come soluzione che esso sia un equilibrio perfetto nei sottogiochi.
Tuttavia può verificarsi che un gioco con informazione perfetta possieda
più di un equilibrio perfetto nei sottogiochi. Ciò può creare un problema di
scelta tra equilibri non semplice da affrontare. 4
A titolo di esempio, riprendiamo in esame il gioco G2 di pag. 16
che possiede i due equilibri perfetti (l, L) ed (r, R).
I preferirebbe l’equilibrio (l, L) che gli dà 2 anziché 1 e II preferirebbe (r,
R) che le dà 1 anziché 0.
Se le regole del gioco permettono a I ed a II di comunicare tra di loro, II
può assumere l’impegno di giocare R. Tale “minaccia” di II è credibile,
poiché II non ha alcunchè da perdere a metterla in esecuzione al momento
di giocare. Si perviene allora all’equilibrio (r, R) con pagamenti (1, 1).
Se invece non è possibile la comunicazione pre-gioco, può capitare che si
pervenga al non-equilibrio (l, R) dannoso per entrambi. Infetti, se I sceglie
l, egli si può aspettare che II, se è razionale, scelga indifferentemente L
oppure R e dunque I si può aspettare di ottenere, in media, 1€. Se però I
sospetta un pizzico di irrazionalità (leggi desiderio di vendetta) in II, ciò
dovrebbe suggerire a I la scelta r, che gli dà 1€ con certezza.
In altri casi la natura del problema può indicare tra più equilibri, uno di essi
come “equilibrio focale”, cioè come un equilibrio sul quale sono portati ad
operare le loro scelte entrambi (se sono due) i giocatori, per qualche
caratteristica speciale ed evidente del problema. Ritorneremo su questo
punto in seguito.
4 Il problema non si presenta se il gioco è strettamente competitivo. Si può dimostrare,
ricorrendo alla forma normale, che in un gioco strettamente competitivo, se (s, t) ed (s',
t') sono equilibri di Nash anche (s, t') ed (s', t) lo sono e tutti e quattro portano agli stessi
pagamenti (Cfr. es. 7.6.4).
20

2.11. Esempio di un gioco con mosse sequenziali ed informazione
imperfetta
All’inizio di questo gioco, che chiameremo G3, I e II pongono 1 € sul
piatto. Poi I sceglie una carta coperta da un mazzo ben mescolato, in cui
metà delle carte sono rosse (cuori e quadri) e metà sono nere (fiori e
picche). I guarda in privato la carta e decide se chiudere il gioco o
rilanciare.
Se I chiude allora egli mostra la carta a II e il gioco finisce; in tale caso I
prende il denaro nel piatto se la carta è rossa, ma II prende il denaro nel
piatto se la carta è nera.
Se I rilancia, allora egli aggiunge un altro euro nel piatto e II deve decidere
se passare o vedere.
Se II passa il gioco finisce e I prende il denaro nel piatto. Se II vede, anche
ella deve mettere un altro euro nel piatto ed allora I mostra la carta a II e il
gioco finisce. Di nuovo I prende il denaro nel piatto se la carta è rossa, ma
II prende il denaro nel piatto se la carta è nera.
Siamo tentati di rappresentare il gioco ora descritto mediante il seguente
albero, la cui radice è stata indicata con un quadratino per indicare che ivi
la mossa spetta alla Fortuna (“giocatore zero”).
Tuttavia questa non è una rappresentazione adeguata del gioco. Nella figura
non appare in alcun modo il fatto cruciale che I conosce il colore della
21

carta mentre II non lo conosce. Guardando l’albero ora disegnato ci si
aspetta che II passi se I rilancia con una carta rossa, ma che II veda se I
rilancia con una carta nera.
Ma questo è incongruo col fatto che ella non conosce il colore della carta
quando deve scegliere tra vedere e passare e che dunque non sa se si trova
in c o in d; in altre parole il comportamento atteso di II deve essere lo
stesso in c e in d.
Un albero che rappresenta fedelmente la situazione è il seguente.
Nella figura i nodi c, d sono racchiusi entro una stessa curva chiusa: si dice
che l’insieme {c, d} è un “insieme di informazioni”.
Un “insieme di informazioni” è un insieme, E, di uno o più nodi
dell’albero, con le seguenti proprietà:
i) tutti i nodi di E appartengono ad uno stesso giocatore i;
ii) non c’è alcuna relazione di precedenza tra i nodi di E;
iii) in ciascuno dei nodi di E, i dispone delle stesse azioni;
iv) i non è in grado di distinguere tra i nodi di E;
ed inoltre
v) se x è un nodo che non appartiene ad E, l’insieme E∪ {x} non
soddisfa almeno una delle proprietà i), ii), iii), iv).
Nel gioco G3, gli insiemi di informazioni di I sono i singoletti {a} e {b},
mentre l’unico insieme di informazioni di II è {c, d}. Utilizzando la
22

nozione di “insieme di informazioni” possiamo così riformulare le
definizioni di informazione perfetta, di informazione imperfetta e di
strategia pura.
Un gioco in forma estesa ha informazione perfetta se tutti i suoi insiemi
di informazioni sono singoletti.
Un gioco in forma estesa ha informazione imperfetta se almeno un suo
insieme di informazioni possiede più di un elemento 5 .
Una strategia pura del giocatore i, in un gioco in forma estesa, è una
regola (o un piano di azione) che indica la scelta di un’azione di i in ogni
suo insieme di informazioni.
Le strategie pure di I, nel gioco G3, sono quattro: RR, RC, CR, CC. Le
strategie pure di II sono soltanto due: V e P.
Della risoluzione del gioco G3 ci occuperemo nel seguito.
Un caso particolare di informazione imperfetta: ricordo imperfetto.
Nel suo secondo insieme di informazioni {c, d} I non si ricorda se nella
mossa iniziale della Fortuna è uscito Testa (con mossa a lui) o Croce (con
mossa a II).
5 N.B. Un gioco può avere informazione imperfetta anche senza la presenza della
Fortuna (e pur essendo tutte le mosse di tipo sequenziale).
23

Tutti i giochi considerati nel corso (tranne questo!) hanno ricordo perfetto
ossia i giocatori non sono mai smemorati.
Nota storico-filologica
Nei paragrafi precedenti (ed anche nel mio articolo su Botvinnik, citato
nella nota a piede di pagina 14) ho parlato di algoritmo di Zermelo. Tale
locuzione non è appropriata e ciò ha la seguente spiegazione. Fino a pochi
anni or sono quasi nessuno aveva letto il lavoro di Zermelo del 1913 (sul
gioco degli scacchi), perché scritto in lingua tedesca, e tutti ritenevano che
Zermelo, nella dimostrazione del suo risultato avesse utilizzato il
procedimento di induzione a ritroso (cfr. ad esempio [B], Fun and Games,
cap. 1). Nel 2001 due storici, Ulrich Schwalbe e Paul Walker, in appendice
ad un loro articolo dal titolo "Zermelo and the early history of game
theory", hanno pubblicato una versione in lingua inglese del lavoro di
Zermelo. Si è visto allora che Zermelo ha utilizzato solo argomentazioni di
teoria degli insiemi.
In realtà, ad utilizzare per la prima volta (in teoria dei giochi) l'algoritmo di
induzione a ritroso è stato Harold Kuhn nel 1953, allorché ha provato la
seguente importante estensione del teorema di Zermelo: "Ogni gioco finito
con informazione perfetta ammette (almeno) un equilibrio di Nash, in
strategie pure."
Nell'enunciato di Kuhn non compare, come ci si aspetterebbe, il termine
"equilibrio perfetto nei sottogiochi" semplicemente perché tale nozione è
stata introdotta (da Reinhard Selten) nel 1965.
24

2.12. Esercizi
1) L’albero disegnato qui di seguito rappresenta un gioco G con due
giocatori I e II, strettamente competitivo e con informazione perfetta.
[V sta per (V, S) e significa vittoria di I e sconfitta di II, S sta per (S,
V), P sta per (P, P) ed indica la patta.]
a) Quante e quali strategie ha ciascun giocatore?
b) Quale partita risulta dall’uso del profilo di strategie (rll, LM)?
c) Elenca tutti i profili di strategie pure che danno luogo alla
partita [rRl].
d) Applica l’algoritmo di Zermelo al gioco G.
e) Quali sono il valore del sottogioco che parte dal nodo b, il
valore del sottogioco che parte dal nodo c, e il valore del gioco
G stesso?
2) Consideriamo di nuovo il gioco G del precedente esercizio.
a) Scrivi la forma normale del gioco G.
b) Determina tutti gli equilibri di Nash (in strategie pure) del
gioco G e precisa quali di essi sono perfetti nei sottogiochi.
c) Mostra che la strategia pura rrr di I garantisce a I il valore del
gioco o meglio. Perché tale strategia pura non è scelta
dall’algoritmo di Zermelo?
25

3) Considera il gioco del Nim 13-9-8.
a) Mostra che tale gioco ha valore V (ossia che la posizione
iniziale è vincente per I, il giocatore che ha la mossa).
b) È unica la mossa iniziale vincente?
c) Dai un esempio di un’intera partita del Nim 13-9-8, in cui I fa
sempre mosse ottimali mentre II risponde in un modo
qualunque, fino a che I vince.
4) Il Nim negativo. Le regole del Nim negativo sono le stesse del Nim,
salvo il fatto che l’ultimo giocatore a togliere cerini perde. Le
questioni che seguono si riferiscono al Nim negativo.
a) Se c’è una sola fila di cerini, quando la situazione iniziale è
vincente per I (il giocatore che ha la mossa iniziale) e quando
è vincente per II?
b) Descrivi tutte le situazioni vincenti quando ci sono
esattamente due file. [Suggerimento: comincia con file piccole
per capire cosa succede in generale.]
c) Vero o Falso: una posizione del Nim negativo è una posizione
vincente se e solo se essa è una posizione perdente del Nim.
5) Nel “Nim del Povero” c’è una sola fila di cerini e i due giocatori, a
mosse alternate, tolgono 1 oppure 2 oppure 3 cerini della fila. Chi
toglie l’ultimo cerino perde.
a) Chi vincerà partendo da una fila di 5 cerini?
b) Chi vincerà partendo da una fila di n cerini? Descrivi una
strategia vincente.
6) Il gioco del Hex 6 . Si gioca tra due giocatori su una scacchiera
romboidale di nxn celle esagonali (in figura n = 7). I due lati opposti
del rombo contrassegnati con le croci appartengono a un giocatore
che ha a disposizione pedine marcate con la croce. Gli altri due lati
6 Il gioco del Hex è stato inventato da Piet Hein nel 1942 e riproposto, in versione un
po’ diversa, da J. F. Nash nel 1947. Si dimostra che il primo giocatore ha una strategia
vincente, ma essa è nota solo per piccoli valori di n.
26

del rombo contrassegnati con cerchietti appartengono all’altro
giocatore che dispone di pedine marcate col cerchio.
I due giocatori si alternano a collocare una propria pedina in una
cella (tra quelle ancora vuote) e vince uno che riesca per primo a
creare con le sue pedine una catena ininterrotta che colleghi i due lati
opposti che gli appartengono. Nella figura (b) è presentata una
situazione in cui il giocatore delle croci ha vinto.
a) Sapresti, con considerazioni intuitive, notare che il gioco non
può terminare con un pareggio? [Una prova formale è
difficile.]
b) Indica, nel caso del Hex 3x3, una strategia vincente del
giocatore che ha la prima mossa.
7) Determina tutti gli equilibri perfetti nei sottogiochi del gioco
seguente (pagamenti in euro).
27

8) Due giocatori, I e II, si alternano scegliendo ogni volta un numero
intero compreso tra 1 e 10 (inclusi). Col procedere della partita viene
calcolato ogni volta il totale cumulativo di tutti i numeri scelti (ossia
la loro somma). Il giocatore che con la sua ultima scelta raggiunge il
totale di 100 è il vincitore.
a) Chi vincerà a gioco corretto?
b) Quali sono strategie ottimali per entrambi?
9) L’economista Martin Shubik propose una volta a due suoi studenti, I
e II, di fare offerte alternate per ottenere un dollaro.
Le offerte vanno fatte in multipli di 10 centesimi a crescere (ossia
l’offerta iniziale di I è di almeno 10 centesimi e ogni eventuale rialzo
è di almeno 10 centesimi) fino a che uno si ritiri e con una soglia
massima per le offerte di 2.50 dollari.
Il maggior offerente ottiene il dollaro, ma (ove ci sia almeno un
rialzo dopo la prima offerta) Martin Shubik incassa entrambe le due
ultime offerte.
È conoscenza comune che I e II sono giocatori razionali.
a) Come si comporteranno I e II, se sono in grado di mettersi
d’accordo?
b) Come si comporteranno I e II, secondo la TdG, se essi giocano
in modo non cooperativo?
28

c) Hai compreso il motivo per cui è stata posta una limitazione
superiore al rialzo massimo?
10) (Il gioco dei centopiedi di Rosenthal)
Vengono scelti due giocatori e indicati con I e II.
Uno sperimentatore pone 1 € sul tavolo. Il giocatore I può prendere
l’euro o passare. Se I prende l’euro, il gioco è finito, con I che prende
1 € e II che non riceve nulla. Se I passa, lo sperimentatore aggiunge
1 €, ed ora II ha la scelta tra prendere i 2 € o passare. I turni si
alternano, fino a raggiungere, diciamo 10 €, il che è noto in anticipo
ai giocatori.
L’albero del gioco è disegnato qui di seguito.
a) Determina l’unico equilibrio perfetto nei sottogiochi di questo
gioco.
b) Le sperimentazioni condotte su questo tipo di gioco, hanno
mostrato che spesso i giocatori vanno avanti per almeno
qualche turno (ossia rifiutano le offerte iniziali).
Che spiegazione ne dai, in relazione ai suggerimenti della TdG
(che in questo caso raccomanda a giocatori razionali l’uso
dell’unico equilibrio perfetto nei sottogiochi del gioco stesso)?
11) I e II scelgono a mosse alternate la cifra 0 oppure la cifra 1
continuando idealmente all’infinito. Una partita di questo gioco
infinito può allora essere identificata con una successione di elementi
dell’insieme {0, 1}. 7
Una tale successione sarà ora vista come l’espansione binaria (la
parte dopo la zero e la virgola) di un numero reale x compreso tra 0 e 1. 8
1 _
7
Per esempio, la partita 10 ≡ 1011111… significa che I inizia scegliendo 1, poi II
sceglie 0, e poi entrambi i giocatori scelgono sempre 1.
8
Per esempio 101
_
1 1 1
sarà 0,1011111… = 1 · + 0 · + 2
2 2 2 k
+∞
1
∑ =
2 +
1
4 =
3
4 .
k= 3
29

Fissato un sottoinsieme proprio e non vuoto E di [0, 1] = {x∈R
| 0 ≤
x ≤ 1}, si stabilisce che I vince se è in grado di indicare una regola
per le sue infinite scelte tale che x ∈E, quali che siano le scelte di II e
che I perde se II è in grado di indicare una regola per le sue infinite
scelte tale che x ∉E, quali che siano le scelte di I.
• Spiega perché, se E =
⎤ 1 ⎤
, 1
⎦ ⎥
2 ⎦ ⎥ , I vince facilmente.
⎡ 2 ⎤
• Mostra che, se E = , 1
⎣ ⎢
3 ⎦ ⎥ , I ha una ed una sola strategia
vincente contro la strategia ottimale di II.
⎤ 2 ⎤
• Mostra che, se E = , 1
⎦ ⎥
3 ⎦ ⎥ , è II che ha una (ed una sola, se I
gioca in modo ottimale) strategia vincente.
• Spiega perché II ha sempre una strategia vincente, contro la
strategia adottata da I, se E è l’insieme dei numeri razionali
compresi tra 0 e 1. 9
12) (Un programma semplice per il filetto). Nel gioco del filetto 3x3, è
facile vedere che se il giocatore che muove per primo (I) occupa il
quadrato centrale, egli ha una strategia semplice che gli assicura
almeno la patta. Tale strategia di I consiste nello scegliere, in ogni
sua mossa dopo la prima, un quadrato d’angolo o di lato che
determini due suoi simboli in una riga o colonna o diagonale,
minacciando filetto alla mossa successiva.
Allora II è costretta a bloccare per non perdere.
Scrivi un programma in cui il computer (giocatore I) muove per
primo e utilizza una tale strategia. Per la rappresentazione della
tavola da gioco utilizza la tabella seguente.
1 2 3
8 9 4
7 6 5
Tale rappresentazione (“circolare”) permette di determinare la mossa
del computer in funzione della precedente mossa del giocatore
9 Questa questione è più difficile e necessita, per la sua soluzione, di alcune conoscenze
su numeri razionali e numeri irrazionali.
30

umano (II) e/o della propria mossa precedente, usando una speciale
funzione di tipo modulare.
I due esempi che seguono chiariscono la concatenazione delle
successive mosse del computer e il tipo di dialogo interattivo che si
chiede di realizzare nel programma. Nella seconda partita, il
giocatore umano erroneamente sceglie un quadrato di lato (nella sua
prima mossa) e perde.
run
Il computer gioca 9
Tua mossa? 3
Il computer gioca 4
Tua mossa? 8
Il computer gioca 6
Tua mossa? 2
Il computer gioca 1
Tua mossa? 5
Il computer gioca 7 (patta)
run
Il computer gioca 9
Tua mossa? 2
Il computer gioca 3
Tua mossa? 7
Il computer gioca 5
Tua mossa? 1
Il computer gioca 4 (e vince)
13) (Esercizio di ripasso.) Rispondi, in modo accurato, alle seguenti
questioni:
a. Cos’è un insieme di informazioni?
b. In un gioco rappresentato in forma estesa, qual è la differenza
tra “informazione perfetta” e “informazione imperfetta”?
c. Descrivi a parole, per un generico gioco in forma estesa con
informazione perfetta, il procedimento di analisi a ritroso.
d. Enuncia il Teorema di Zermelo, chiarendo il significato dei
termini utilizzati.
e. La nozione di “valore di un gioco” si dà per un qualsiasi gioco
con informazione perfetta?
f. Enuncia una proposizione che estenda il Teorema di Zermelo
al caso di un qualsiasi gioco (finito) con informazione perfetta.
14) La logica dell’analisi a ritroso può palesare aspetti paradossali nel
caso che, sullo stesso percorso dalla radice ad una foglia, più di un
nodo di decisione appartenga ad uno stesso giocatore. Ecco un
31

esempio. Il gioco descritto dall’albero in basso ha l’unico equilibrio
perfetto nei sottogiochi (ll, R). Ora, se II fosse realmente chiamata a
giocare nel nodo b, ciò avverrebbe perché I, in a, ha fatto la scelta
“sbagliata”. Ed allora II può ancora confidare che, se ella sceglie R in
b, poi I sceglierà l in c? Cosa ne pensi?
15) Il test a sorpresa. Anna, l’insegnante di matematica, ha
preannunciato un questionario per la prossima settimana ma ha anche
detto che il test deve cogliere di sorpresa gli alunni. Le lezioni di
matematica si tengono il lunedì, mercoledì e venerdì. Bruno, che
conosce l’argomentazione dell’induzione a ritroso, catechizza così i
suoi compagni:
“Se giovedì prossimo il test non è ancora stato assegnato, venerdì
non può costituire una sorpresa e quindi il venerdì può essere
scartato. Perciò rimangono lunedì e mercoledì. Mercoledì può essere
scartato con lo stesso tipo di argomentazione. Resta solo il lunedì,
ma allora un test assegnato lunedì non può costituire una sorpresa.
Dunque il test non sarà assegnato.”
Perciò Bruno e i suoi compagni evitano di studiare nel weekend.
E lunedì Anna entra in aula e assegna il questionario e Bruno e i suoi
compagni sono colti di sorpresa.
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