Universit`a degli Studi di Salerno “Allocazione On-Line di canali Wi ...

Università degli Studi di Salerno
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Tesi di Laurea
in
Informatica
“Allocazione On-Line di canali Wi-Fi:
un approccio basato su Aste Truthful”
Relatore: Candidato:
Chiar.mo Prof. Vincenzo Auletta Pasquale Ambrosio
anno accademico 2002–2003
Matr. 56/100949

Presentazione
L’algoritmica nasce dall’esigenza di ottenere soluzioni corrette (ottime) a proble-
mi computazionali. I meccanismi nascono per la risoluzione di tali problemi in
ambiente distribuito, in cui il comportamento di ogni partecipante (o agente) é
rivolto a soddisfare i propri interessi.
Gli agenti che partecipano alla computazione sono denominati egoisti, perché
a contraddistinguerli é la caratteristica di badare esclusivamente alla massimiz-
zazione del proprio profitto e non all’ottimizzazione della computazione. A tal
fine essi sono disposti a mentire, purché ció gli faccia trarre un vantaggio rispetto
al dire la veritá.
Il campo della progettazione di meccanismi (anche conosciuto come teoria del-
l’implementazione), mira a studiare come le preferenze private di molte persone
possano essere aggregate, al fine di conseguire una scelta sociale. Poiché gli stati
di equilibrio di un sistema possono essere piú di uno e, gli agenti, liberamente,
possono muoversi verso uno qualunque di questi stati e, i meccanismi tentano di
guidare attraverso l’introduzione dei pagamenti, il comportamento dei vari agenti
cosí che essi si muovano verso uno stato di equilibrio anziché un altro.
All’interno della Computer Science, tale teoria ha assunto una notevole im-
portanza, poiché essa ben modella la natura dell’Internet attuale, in cui, varie
entitá: Universitá, imprese commerciali, border router,. . . con obiettivi notevol-
mente differenti, sono costrette a cooperare, ognuna con l’intento di perseguire i
i

propri fini ed i propri interessi.
I meccanismi truthful, in cui si tenta di costringere gli agenti a non mentire,
sono comunemente utilizzati in letteratura, per la progettazione di aste, il cui
obiettivo é utilizzare i meccanismi per costruire un mercato lí dove non ne esista
uno reale. La teoria delle aste truthful é attualissima ed in continua espansione,
grazie alle sue infinite possibilitá applicative sia in ambito Economico che in
ambito della Computer Science.
La parte I di questo lavoro di tesi introduce il lettore alla teoria delle aste
truthful fornendo tutti i prerequisiti necessari ad una corretta comprensione del
loro modo di lavorare.
La parte II, specializza la discussione nel caso in cui le richieste da parte dei
vari partecipanti arrivino in una modalitá online. Tale modalitá é interessante
perché utile alla modellazione di molti problemi reali, in cui l’input non é tutto
completamente disponibile e, le varie decisioni vanno prese nel momento in cui
arriva la singola componente d’input.
La parte III affronta il problema dell’allocazione dei canali Wi-Fi, attraverso
soluzioni basate su aste truthful; ottenendo risultati migliori di quelli attualmente
esistenti per tale problema e, definendo una metodologia di progettazione per aste
truthful in piú parametri, in cui i parametri non sono indipendenti (ossia beni
distinti), ma tutti dipendenti tra loro.
La parte IV (Appendice) introduce alle aste combinatoriali che non sono ar-
gomento principale di questo lavoro di tesi, ma che in vari modi é necessario
introdurre, sia per dovere di completezza, sia perché nello sviluppo delle varie
soluzioni al problema dell’allocazione dei canali Wi-Fi piú volte si é rischiato di
ricadere in tale tipologia d’aste. Inoltre, vengono introdotte le aste generalizzate
che attraverso il concetto di ”cancellabilitá” ottengono buoni risultati.
ii

Ringraziamenti
Sono stati anni duri ma indimenticabili. Quando ho messo la prima volta piede
in quest’Universitá, 5 anni fa, abituato alla grande cittá, mi pervase un senso
di sconforto. L’atmosfera era surreale, un polo tecnologico in un luogo che con-
servava i retaggi della cultura contadina. Ma questi anni sono stati bellissimi,
la calma che invade questi posti, il contatto continuo con docenti e persone ha
creato amicizie e rapporti che spero non si perdano mai.
Ho condiviso la vita con una moltitudine di persone e, diviene impossibile
citarle tutte, tante se ne sono susseguite, con cui ho vissuto momenti belli e
brutti.
Un ringraziamento speciale merita il Prof. Enzo Auletta, conosciuto nei primi
anni della mia carriera e, con il quale il rapporto é stato sempre proficuo e sincero.
Lo ringrazio soprattutto per i numerosi consigli e, per aver sopportato le mie
continue scocciature, che posso assicurarvi non sono state poche. E, purtroppo
per lui, non é finita qua. Comunque ”grazie prof.!”
Ringrazio mio padre Salvatore, mia madre Carmela e le mie sorelle Antonella
e Rosaria che nonostante non abbiano condiviso tutte le gioie e dolori di questi
anni, hanno subito il mio caratteraccio, in questi anni peggiorato notevolmente
e, posso assicurarvi non é cosa da poco.
L’insieme di amici non é citabile per intero, quindi spero non si offenda nes-
suno, i nomi presenti sono solo di riferimento. Un grazie ad Alessandra, Daniela,
iii

Marco, Dario, Maurizio, Babbacione, Antonella, Gianni, o’ Capuano, Joaqui-
ne, Pietro, Diego, Roberto, Desireé, Monichina, Paoletto, Walter, gli amici del
pullman, le coinquiline di Ale ed i rispettivi fidanzati, . . .
A tutti un unico messaggio ”grazie e sappiate che non vi dimenticheró”.
iv

Ad Alé -
”sarai sempre nel mio cuore! grazie”

Indice
I Teoria delle Aste 1
1 Mechanism Design 2
1.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Teoria dei giochi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 La teoria delle scelte razionali . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Teoria dell’equilibrio di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Giochi strategici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Equilibrio di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Meccanismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Progetto di un meccanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Descrizione del problema di progettare un meccanismo . . 10
1.5 Meccanismi VCG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Analisi di un meccanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Il Problema d’Aste Base 15
2.1 Il modello della Teoria dei Giochi e la progettazione di Meccanismi
Truthful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 L’Asta di Vicrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Aste Indipendenti dell’offerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vi

INDICE
2.4 Altre Aste Truthful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Meccanismi a prezzo fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Asta di Vickrey k-item . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Asta di Vickrey k-item con prenotazione . . . . . . . . . . 25
2.4.4 Meccanismi con conoscenze a priori . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.5 Estrazione del profitto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Framework di analisi 29
3.1 Framework dell’asta competitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Aste competitive 35
4.1 Massimizzazione del profitto nei meccanismi a prezzo fisso . . . . 36
4.2 Massimizzazione del profitto con l’asta di Vickrey . . . . . . . . . 37
4.3 L’asta a prezzo ottimo indipendente dall’offerta . . . . . . . . . . 38
4.4 Impossibilitá deterministica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Aste a campionamento casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.1 Aste a prezzo ottimo a campionamento casuale . . . . . . 41
4.5.2 Estrattore di profitto a campionamento casuale . . . . . . 43
4.6 Randomizzazione attraverso accoppiamento pesato . . . . . . . . 44
5 Aste con beni in fornitura limitata 48
II Aste OnLine 51
6 Aste online nel caso di fornitura limitata 52
6.1 Aste online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.1 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.2 Curve di fornitura per le aste online . . . . . . . . . . . . . 55
vii

INDICE
6.2 Analisi competitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.1 Un bene divisibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.2 Aste randomizzate per un bene divisibile . . . . . . . . . . 67
6.2.3 Un’asta deterministica per k beni indivisibili . . . . . . . . 67
6.3 Estensioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5 Riflessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Aste online nel caso di fornitura illimitata 70
7.1 Modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.1.1 Analisi competitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.2 Bucket di valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.2 Aste deterministiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3 Aste randomizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3.1 Una semplice asta randomizzata . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3.2 Aste con bucket pesati offline . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.3 Aste con bucket pesati online . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful 84
8.1 Modello e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.1 Misure di performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2 Un’esempio chiarificatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3 Aste a singola scelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3.2 Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.3.3 Ritentativi, coalizioni e rivendita . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.4 Ignorare la massima valutazione . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.4 Aste combinatoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
viii

INDICE
III Analisi dell’allocazione Wi-Fi da Starburks 96
9 Analisi del problema 97
9.1 Descrizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2 Soluzioni allo stato attuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
L’innovazione di Starbucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.3 E se usassimo un’asta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.4 Asta per l’allocazione dei canali Wi-Fi . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.5 Modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.5.1 Condivisione della banda Wi-Fi . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.5.2 Valutazione degli agenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.5.3 Durata dell’allocazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.5.4 Gestione della banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.5.5 Notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.5.6 Offerte degli agenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.5.7 Allocazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.6 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10 Soluzioni proposte: descrizione ed analisi 113
10.1 k Aste Identiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.1.1 Un algoritmo di wrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.1.2 Asta indipendente dall’offerta −→ Asta a prezzo fisso . . . 116
10.1.3 L’asta del capitolo 6 estesa ad asta a prezzo fisso . . . . . 118
10.1.4 Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.1.5 Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.2 k Aste Differenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.1 Costruzione delle k funzioni di fornitura . . . . . . . . . . 121
10.2.2 Analisi e considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
ix

INDICE
10.3 Banda Infinitamente Frazionabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.3.1 Estensioni del modello e della soluzione . . . . . . . . . . . 126
La banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Valutazioni dei giocatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Strategie dei giocatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.3.2 Curve di fornitura per Aste Online in due parametri . . . . 130
10.3.3 Curva di fornitura globale e competitivitá . . . . . . . . . 134
10.4 k Beni Digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.5 Asta di Vickrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.6 Riduzione ad un problema di approssimazione . . . . . . . . . . . 138
10.6.1 Un buon algoritmo di call admission . . . . . . . . . . . . 139
Descrizione formale del problema . . . . . . . . . . . . . . 140
Algoritmo ”Route or Block” . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Analisi e punti critici dell’algoritmo . . . . . . . . . . . . . 142
10.6.2 ”Call Admission” per l’allocazione dei canali Wi-Fi . . . . 143
10.6.3 Ma il problema é realmente quello che vogliamo risolvere? 146
10.6.4 ”Admission Control” per insiemi di offerte . . . . . . . . . 147
Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.6.5 Un algoritmo piú furbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
E nel modello continuo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11 Conclusioni e problemi aperti 156
x

INDICE
Bibliografia 159
IV Appendice 164
A Aste Combinatoriali 165
Aste efficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
A.0.6 Allocazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.1 Aste combinatoriali truthful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.2 Offerenti a singolo scopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.3 Condizioni necessarie e sufficienti per agenti a singola richiesta . . 172
B Il problema d’aste generalizzato 176
xi

Elenco delle figure
6.1 Un esempio d’asta basata su curve di fornitura. . . . . . . . . . . 56
6.2 Esempio di curva di fornitura globale. . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.1 Possibile modello di interazione tra AP e agente interessato al
servizio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.1 Curve di fornitura in funzione dei canali disponibili. . . . . . . . . 124
10.2 Curva di fornitura in due parametri. . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.3 Un esempio d’asta basata su curve in due parametri. . . . . . . . 132
10.4 Particolare dell’intersezione tra curva di fornitura e d’offerta in due
parametri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
xii

Elenco degli algoritmi
1 Algoritmo base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 Algoritmo per aste combinatoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 k Aste Semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Algoritmo Route or Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5 Algoritmo Call Admission continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Algoritmo Call Admission discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Algoritmo approssimato di allocazione dei canali Wi-Fi -1 . . . . . 148
8 Algoritmo approssimato allocazione canali Wi-Fi -2 . . . . . . . . 150
9 Greedy(b1, . . . , bn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10 MAX(A1, A2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11 k-APPROX-CA(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12 Asta semplice a condivisione di costo (SCS) . . . . . . . . . . . . 179
xiii

Parte I
Teoria delle Aste
1

Capitolo 1
Mechanism Design
1.1 Motivazioni
I meccanismi nascono dall’esigenza di ottenere soluzioni corrette (ottime) a pro-
blemi algoritmici, in ambiente distribuito, in cui il comportamento di ogni parte-
cipante (o agente) é rivolto a soddisfare i propri interessi.
Gli agenti che partecipano alla computazione sono denominati egoisti, perché
a contraddistinguerli é la caratteristica di badare esclusivamente alla massimiz-
zazione del proprio profitto e non all’ottimizzazione della computazione. A tal
fine essi sono disposti a mentire, purché ció gli faccia trarre un vantaggio rispetto
al dire la veritá. Gli agenti egoisti, sono presenti, in varie forme, nella letteratura
scientifica a partire dal XVIII secolo, ma devono molta della fama che li contrad-
distingue attualmente ai lavori di John Nash, che ne ha studiato il comportamento
ed ha teorizzato quella che viene chiamata teoria dell’equilibrio. Intuitivamente,
per ottenere una soluzione esatta al problema, i progettisti dovrebbero escogitare
un meccanismo (protocollo) che costringa gli agenti a:
• partecipare attivamente al meccanismo;
2

• dire la veritá.
CAPITOLO 1. Mechanism Design
Il campo della progettazione di meccanismi (anche conosciuto come teoria
dell’implementazione), mira a studiare come le preferenze private di molte per-
sone possano essere aggregate, al fine di conseguire una scelta sociale. Poiché
gli stati di equilibrio di un sistema possono essere piú di uno, e gli agenti, li-
beramente, possono muoversi verso uno qualunque di questi stati, i meccanismi
tentano di guidare, attraverso l’introduzione dei pagamenti, il comportamento
dei vari agenti cosí che essi si muovano verso uno stato di equilibrio anziché un
altro. La applicazioni principali di questo campo di studio sono nell’ambito della
microeconomia (soprattutto nella teoria degli anarchy price 1 ) e delle scienze so-
ciali; e, gli strumenti utilizzati, derivano dalla teoria dei giochi. Nella Computer
Science i maggiori interessi, in questi ultimi anni, si sono indirizzati verso la pro-
gettazione di meccanismi e, soprattutto, il loro utilizzo per la progettazione di
aste. Il notevole interesse, rivolto verso questa particolare branca del mechanism
design é dovuto specialmente all’influenza che tale metodologia ha avuto sulla
privatizzazione di grosse aziende e, sull’allocazione delle frequenze per la trasmis-
sione pubblica 2 . Inoltre all’interno della Computer Science, tale teoria é divenuta
sempre piú predominante, poiché essa ben modella la natura dell’Internet attua-
le, in cui, varie entitá 3 , con obiettivi notevolmente differenti, sono costrette a
cooperare, ognuna con l’intento di perseguire i propri fini ed i propri interessi.
Per una trattazione piú completa della teoria dei giochi si rimanda a [NA51],
[YK92], [MW95], [KP99]; e relativamente alla progettazione di meccanismi a
[NR99], [NI99], [RN00], [RO00], [NR00], [AT01].
1 La definizione dei prezzi di vendita in regime di anarchia in cui il comportamento di ogni
agente é indipendente e non assimilabile ad un qualche modello economico preciso.
2 A tal riguardo puó consultarsi il sito http://www.market-design.com.
3 Universitá, imprese commerciali, router,. . . .
3

1.2 Teoria dei giochi
CAPITOLO 1. Mechanism Design
La teoria dei giochi aiuta a comprendere situazioni nelle quali vi sono degli agenti
(qualunque entitá debba prendere delle decisioni riguardo al proprio comportamen-
to) che devono interagire. Un gioco, nel senso comune, é ”un’attivitá competitiva
nella quale i giocatori sono in competizione nel rispetto di un insieme di regole”.
Esempi di applicazione della teoria dei giochi sono: aziende che competono in
affari, politici che competono per i voti, host che si contendono i servizi messi a
disposizione da un Web Service, . . .
1.2.1 La teoria delle scelte razionali
La teoria delle scelte razionali é una componente di molti modelli della teoria
dei giochi. Essa definisce come un agente 4 sceglie all’interno di un insieme di
comportamenti ammissibili il migliore in relazione alle sue preferenze. Al fine di
perseguire il suo obiettivo egli é disposto anche a mentire.
Azioni
La teoria é basata su un modello con due componenti: un insieme A costituito da
tutte le azioni che, sotto determinate circostanze, sono disponibili e una specifica
delle preferenze. In qualunque situazione l’agente deve scegliere dall’insieme A
un singolo elemento. Le preferenze 5 possono essere rappresentate tramite una
4 Definito come una delle varie entitá che partecipano al gioco attraverso le decisioni che
prendono.
5 Nella definizione delle preferenze si suppone che un agente conosca i suoi gusti e che le
sue preferenze siano consistenti, ossia, che non vi siano considerazioni altruistiche in virtú delle
quali un agente possa farsi condizionare. In particolare, non vi sono considerazioni per le quali
un agente puó cambiare la valutazione delle sue preferenze in funzione del benessere sociale.
Tale definizione delle valutazioni rende chiaro il motivo per cui tali agenti sono detti egoisti
4

CAPITOLO 1. Mechanism Design
funzione di pagamento, che associ un numero ad ogni azione in maniera tale che
le azioni a cui é associato un valore piú alto siano preferite. Piú precisamente
possiamo definire una funzione di pagamento U : A → R+ ∪ {0} tale che:
∀ x, y ∈ A U(x) > U(y) sse 6 l’agente preferisce l’azione x all’azione y
Si puó pensare, quindi, al valore associato dalla funzione U come un indicatore
dell’intesitá di preferenza di quella scelta.
La teoria delle scelte razionali determina le varie situazioni in cui l’agente puó
scegliere, all’interno di un sottoinsieme disponibile di A, l’azione che é piú in
accordo con le sue preferenze. Permettendo la possibilitá che ci siano piú scelte
egualmente buone, la teoria delle scelte razionali definisce che l’azione scelta
dall’agente é almeno buona, in accordo alle sue preferenze, quanto ogni
altra delle azioni disponibili.
1.2.2 Teoria dell’equilibrio di Nash
Tracce di idee circa la teoria dei giochi possono farsi risalire a pubblicazioni di
matematici del XVIII secolo, ma i due maggiori autori che hanno dato un contri-
buto sostanziale al suo sviluppo sono J. Von Neumann nel libro Theory of games
and economic behavior del 1944 e J. Nash con la definizione della teoria dell’e-
quilibrio omonima [NA51]. Per un’introduzione di tale teoria nell’algoritmica si
veda [RO00].
e di come la teoria di J. Nash [NA51] si contrapponga completamente a quella di A. Smith
secondo cui le preferenze degli agenti sono non determinate ma orientate al conseguimento del
benessere sociale.
5

Giochi strategici
CAPITOLO 1. Mechanism Design
Un gioco strategico é un modello di interazione degli agenti. Ogni agente ha
un insieme di possibili azioni e il modello cattura le interazioni tra i giocatori
permettendo ad ogni giocatore di essere condizionato dalle azioni di tutti gli altri
giocatori e non solo dalle sue. Quindi:
Definizione 1.1 (Giochi strategici con ordine di preferenze). Un gioco
strategico (con un ordine nelle preferenze) consiste di:
• un insieme di giocatori;
• per ogni giocatore, un insieme di azioni;
• per ogni giocatore, preferenze sull’insieme di azioni possibili 7 .
Ogni giocatore sceglie le sue azioni una volta per tutte, e i giocatori scelgono
le loro azioni simultaneamente 8 .
Equilibrio di Nash
Quale azione sará scelta da un giocatore in un gioco strategico? Come nella
teoria delle scelte razionali ogni agente sceglierá la miglior azione disponibile. In
un gioco, peró, la miglior azione di un giocatore dipende, in generale, dalle azioni
degli altri giocatori. Quindi il giocatore dovrá formarsi una convinzione circa
le azioni degli altri giocatori. L’assunzione sottostante é che il comportamento
di ogni giocatore é derivato dalla sua passata esperienza nel giocare il gioco, e
che quest’esperienza é sufficientemente matura da permettergli di determinare il
7 Si noti, banalmente, come il tempo sia assente nel modello.
8 Nel senso che nessun giocatore é informato, quando effettua la sua scelta, della scelta fatta
da un qualunque altro giocatore.
6

CAPITOLO 1. Mechanism Design
comportamento dei giocatori che gli si oppongono 9 . Comunque si assume sia che
ogni giocatore ha esperienza nel giocare il gioco, sia che egli giochi il gioco in
isolamento 10 . La soluzione definita dalla teoria di Nash ha due componenti:
• ogni giocatore sceglie la sua azione in accordo al modello delle scelte razio-
nali;
• ogni giocatore suppone che il comportamento degli altri giocatori sia cor-
retto 11 .
Definizione 1.2 (Equilibrio di Nash). Un Equilibrio di Nash é un profilo
di azioni a ∗ con la proprietá che nessun giocatore i puó fare meglio scegliendo
un’azione differente da a ∗ i , dato che ogni altro giocatore j aderisce ad a ∗ j.
L’equilibrio di Nash corrisponde, quindi, in un’accezione piú ampia allo stato
stazionario del sistema con cui si puó rappresentare il modello relativo al problema
in questione. Espresso in maniera differente, un equilibrio di Nash stabilisce una
regola sociale: se tutti i giocatori aderiscono ad essa nessuno ha desiderio di
cambiare il suo comportamento. Definiamo a essere un profilo di azioni, nel
quale l’azione di ogni giocatore i é ai. Presa a ′
i essere una qualunque azione del
giocatore i (o uguale ad a ′
i o diversa). Allora (a ′
i, a−i) 12 denota il profilo di azioni
nel quale ogni giocatore j eccetto i sceglie la sua azione aj come specificato da
9 Anche se si suppone che nessuno gli comunichi le azioni che gli altri giocatori sceglieranno.
10 Si suppone, inoltre, che il giocatore non acquisisce familiaritá con il comportamento spe-
cifico dei suoi contendenti. Si puó pensare, quindi, che per ogni giocatore c’é una popolazione
di altri giocatori che puó occasionalmente prendere parte al gioco. Quindi la sua esperienza é
relativa al comportamento tipico degli altri giocatori, non a quello di uno specifico gruppo di
contendenti.
11 Nel senso che anche gli altri giocatori effettuano la loro scelta in virtú del modello delle
scelte razionali.
12 Il pedice -i sta per eccetto i.
7

CAPITOLO 1. Mechanism Design
a, mentre il giocatore i sceglie a ′
i. Cioé (a ′
i, a−i) denota il profilo di azioni nel
quale tutti i giocatori tranne i aderiscono ad a mentre il giocatore i devia ad a ′
j.
Quindi possiamo ridefinire, in virtú della notazione introdotta, la definizione di
equilibrio di Nash.
Definizione 1.3 (Equilibrio di Nash formale). Un profilo di azioni a ∗ in un
gioco strategico con preferenze ordinali é in equilibrio di Nash se per ogni giocatore
i:
Ui(a ∗ ) = Ui(ai, a ∗ −i) per ogni azione ai del giocatore i
dove Ui é la funzione di preferenza dell’i-esimo giocatore come definita nella
sezione 1.2.1 a pagina 5.
Tale definizione implica che un gioco strategico non ha necessariamente un
equilibrio di Nash, e se c’é l’ha non é detto che esso sia unico.
1.3 Meccanismi
Nella progettazione classica degli algoritmi, l’assunzione comune é che l’algorit-
mo, prima di iniziare la computazione, é a conoscenza degli input del problema.
Quest’assunzione non é veritiera e realistica per molte applicazioni pratiche degli
algoritmi. Ci riferiremo all’algoritmica classica, dove gli input sono immediata-
mente disponibili all’algoritmo, come modello a valori pubblici mentre denotere-
mo l’algoritmica nella quale gli input devono essere ottenuti dagli agenti egoisti
come modello a valori privati.
Nella definizione di un meccanismo si suppone che i partecipanti agli algo-
ritmi agiscano tutti in accordo ai propri interessi. Viene adottato, quindi, un
approccio basato sulla razionalitá, usando i derivati della teoria dei giochi e della
microeconomia. Si assume che ogni partecipante ha una ben definita funzione
8

CAPITOLO 1. Mechanism Design
di utilitá che rappresenta le sue preferenze su tutti i possibili output dell’algo-
ritmo, e assumiamo che i partecipanti agiscono razionalmente per ottimizzare la
propria utilitá. Vengono definiti tali partecipanti razionali ed egoisti come agen-
ti 13 . Le soluzioni che vengono considerate contengono sia ingredienti algoritmici
(necessari per ottenere i risultati sperati), sia ingredienti di pagamento che mo-
tivano gli agenti. Una tale soluzione viene chiamata meccanismo. Poiché la
partecipazione di un agente é volontaria, per costringerlo a partecipare é neces-
sario garantirgli, nel caso dica la veritá, un profitto sempre maggiore o uguale a
quello che otterrebbe se dovesse mentire. Sia I l’insieme delle possibili dichia-
razioni che l’utente puó fare all’algoritmo distribuito e sia U : I → R+ ∪ {0}
la funzione utilitá che determina il vantaggio che ottiene l’utente dall’effettuare
quella determinata dichiarazione, essa dev’essere tale che:
∀ ij ∈ I U(vj) ≥ U(ij)
dove vj é la dichiarazione fatta dall’utente quando dice la veritá. Dato che la par-
tecipazione di un agente é volontaria, per costringerlo a partecipare é necessario
garantirgli, nel caso dica la veritá, un profitto non negativo. Siccome i partecipan-
ti perseguono i proprio interessi, affiché dichiarino la veritá, il meccanismo deve
fare in modo che ogni singolo partecipante sia sicuro di ottenere profitto massimo
quando dichiara la veritá. In altre parole un agente mentendo rischierebbe di non
guadagnare o persino di essere sottopagato.
Per la progettazione del meccanismo, si assume che il comportamento degli
agenti sia razionale: l’obiettivo di ogni agente é massimizzare egoisticamente il
proprio guadagno, per ogni servizio offerto; in particolare, si assume che un agente
menta solo se puó guadagnare piú di quanto possa guadagnare dicendo la veritá.
13 Il termine é preso dalla comunitá di studiosi dell’AI, i quali per primi hanno introdotto
l’uso della progettazione dei meccanismi nella Computer Science. In quest’ambito, comunque,
tale termine é utilizzato con un significato meno ampio.
9

CAPITOLO 1. Mechanism Design
La teoria dell’equilibrio di Nash teorizza come un sistema, in modo del tutto
autonomo, si muove tra i vari stati in cui puó trovarsi fino a giungere in uno dei
possibili stati di equilibrio, dal quale, poi, non si muove piú. Poiché, un siste-
ma non ammette un unico stato di equilibrio, obiettivo della progettazione di un
meccanismo é, definire una strategia, che guidi, attraverso l’utilizzo dei pagamen-
ti, il sistema in un particolare stato di equilibrio, tra tutti quelli ammissibili del
sistema; in particolare, si cerca di guidare gli agenti verso un comportamento che
massimizzi il profitto totale del meccanismo.
1.4 Progetto di un meccanismo
I problemi che richiedono la progettazione di meccanismi differiscono dagli usuali
problemi algoritmici, principalmente, in due aspetti. Primo, gli input al problema
non sono conosciuti al meccanismo ma solo ai partecipanti. Secondo, mentre
l’obiettivo del meccanismo é ottenere una soluzione che sia quanto piú vicina
all’ottimo, ogni partecipante mira a massimizzare il proprio profitto.
Problemi simili sono stati studiati in diverse aree quali l’economia e la teoria
dei giochi. Generalmente, un problema di progetto di un meccanismo potrebbe
essere visto come il compito di selezionare da una collezione di giochi uno che
garantisca il risultato desiderato dal progettista.
1.4.1 Descrizione del problema di progettare un meccani-
smo
In questa sezione definiamo formalmente il problema del progetto di un mecca-
nismo.
Definizione 1.4 (Problema del progetto di meccanismi). Il problema di
10

CAPITOLO 1. Mechanism Design
progettare meccanismi é dato da una specifica dell’output e da un insieme di utilitá
degli agenti. In particolare:
1. Ci sono n agenti, ogni agente ha un input privato ti ∈ Ti (il suo tipo).
Qualsiasi altra cosa é conosciuta pubblicamente.
2. La specifica di output mappa ogni vettore dei tipi t = t1 . . . tn nell’insieme
degli output ammissibili o ∈ SOL.
3. Ogni agente i ha una funzione reale vi (o ∈ SOL) detta la sua valutazione
che rappresenta la quantificazione del suo valore in funzione di ogni possi-
bile output o ∈ SOL. Quando l’output del meccanismo é o il meccanismo
paga all’agente pi unitá della valuta comune, per cui l’utile dell’agente i é
ui = pi + vi(o, ti). L’obiettivo di un agente é massimizzare il suo utile.
4. L’obiettivo del meccanismo é quello di selezionare una soluzione o ∈ SOL
che massimizzi il benessere totale: m(o, t).
In un meccanismo a rivelazione diretta si richiede semplicemente che i par-
tecipanti rivelino i lori tipi al meccanismo. Basandosi su queste dichiarazioni il
meccanismo, poi, computa l’output o e il pagamento pi per ogni agente.
Definizione 1.5 (Meccanismo). Un meccanismo (a rivelazione diretta) é una
coppia M = (k, p) tale che:
- La funzione di output k prende in input il vettore delle dichiarazioni degli
agenti s = s1 . . . sn e restituisce k(s) ∈ O.
- La funzione dei pagamenti p(s) = (p1(s), . . . , pn(s)) ritorna un vettore reale.
Questo é il pagamento elargito dal meccanismo ad ogni agente.
11

CAPITOLO 1. Mechanism Design
Un meccanismo a rivelazione computa il suo output in accordo alle dichiara-
zioni degli agenti. Dato che gli agenti possono mentire, il meccanismo deve essere
progettato in modo tale che agli agenti (razionali) sia conveniente dire la veritá.
Definizione 1.6 (Meccanismi a strategia dominante). La strategia di un’of-
ferente é dominante se la strategia massimizza il profitto dell’offerente per qua-
lunque possibile strategia gli altri offerenti possono seguire. Un meccanismo é
un meccanismo a strategia dominante se tutti gli offerenti hanno una strategia
dominante.
Il principio di rivelazione di qualunque meccanismo a strategia dominante puó
essere convertito in un meccanismo truthful 14 , nel quale la strategia dominante di
ogni offerente é l’offerta identica alla sua valutazione.
Definizione 1.7 (Meccanismo truthful). Un meccanismo é detto truthful se
dire la veritá é una strategia dominante. Cioé, per ogni agente i con tipo ti e per
ogni dichiarazione di tipo s−i 15 degli altri agenti, l’utile dell’agente é massimizzato
quando dichiara ti. Formalmente:
∀i ∀s−i ∀si
ui(ti, s−i) ≥ ui(si, s−i)
Definizione 1.8 (Problema utilitaristico). Un problema di progettare un mec-
canismo di massimizzazione é utilitaristico se la sua funzione obiettivo soddisfa
m(o, t) =
i vi(o, ti).
14 Dall’inglese veritiero.
15 La notazione é giá stata introdotta ed utilizzata per descrivere il comportamento degli
agenti egoisti, e, denota con a−i la tupla (a1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , an) e con (ai, a−i) la tupla
(a1, . . . , an).
12

1.5 Meccanismi VCG
CAPITOLO 1. Mechanism Design
Il risultato piú importante nel progetto di meccanismi é l’osservazione che il
problema utilitaristico puó essere risolto da una classe di meccanismi detta VCG
(Vickrey (1961); Groves (1973); Clarke (1971)) [NR99], [NR00]. Intuitivamente,
questi meccanismi risolvono il problema utilitaristico identificando l’utile degli
agenti truthful con il benessere totale dichiarato.
Definizione 1.9 (Meccanismo VCG). Un meccanismo M = (k, p) appartiene
alla famiglia VCG se:
- k(s) massimizza il beneficio totale in accordo ad s.
- il pagamento é calcolato in accordo alla formula V CG : pi(s) =
j=i vj(k(s)) + hi(s−i)
(hi é una funzione arbitraria di s−i).
Teorema 1.1. Un meccanismo VCG é truthful.
Dimostrazione. Assumiamo per assurdo che il meccanismo non sia truthful. Al-
lora esiste un agente i con tipo ti, una dichiarazione s−i degli altri agenti, e si = ti
tale che
cioé
Ricordando che:
ui((ti, s−i), ti) < ui((si, s−i), ti)
ui((ti, s−i), ti) − ui((si, s−i), ti) < 0
ui((ti, s−i), ti) = vi(k((ti, s−i)), ti) + n
j=1,j=i vj(k((ti, s−i)), tj) + hi(s−i)
= n
j=1 vj(k((ti, s−i)), tj) + hi(s−i)
= m(k((ti, s−i)), t) + hi(s−i)
allora
ui((ti, s−i), ti) − ui((si, s−i), ti) = m(k((ti, s−i)), t) − m(k((si, s−i)), t)
13

quindi
ma questo contraddice l’ottimalitá di k.
CAPITOLO 1. Mechanism Design
m(k((ti, s−i)), t) − m(k((si, s−i)), t) < 0
1.6 Analisi di un meccanismo
Le metodologie di analisi dei meccanismi derivano direttamente da quelle di
analisi degli, algoritmi approssimati e degli algoritmi online.
Le performance degli algoritmi approssimati o di quelli online sono misurate
attraverso un fattore moltiplicativo o additivo di approssimazione dell’algoritmo
ottenuto confrontato con quello ottimale sul peggior input possibile. Un algoritmo
online risponde agli input nel momento in cui li riceve e deve cercare di ottenere
una soluzione il piú corretta possibile senza la conoscenza dei futuri input. Quindi,
l’ostacolo in questi algoritmi é l’assenza di conoscenza degli input futuri. Per
misurare le performance di un algoritmo online, la sua esecuzione é confrontata
con quella dell’algoritmo offline ottimale, i.e., le performance dell’algoritmo che
ha la conoscenza di tutti gli input in anticipo. Nel campo degli algoritmi online,
questa tecnica é conosciuta come analisi competitiva. L’obiettivo dei progettisti
di algoritmi nell’analisi della competitivitá é quello di ottenere l’algoritmo con il
miglior rapporto di competitivitá. Si adotta un approccio simile nella valutazione
dei meccanismi di massimizzazione del profitto per problemi a valori privati.
Nell’analisi si é interessati a trovare il meccanismo che ottiene un profitto che
sia all’interno del miglior rapporto di competitivitá di un meccanismo ”ottimale”
che é dotato di una conoscenza perfetta dei valori privati degli agenti. Ci si
riferisce a questi ultimi come meccanismi ottimali omniscienti o come meccanismi
a valori pubblici ottimali.
14

Capitolo 2
Il Problema d’Aste Base
Motivati dal problema di vendere beni digitali, come musica, video, e software;
consideriamo il problema di un venditore monopolistico che tenti di massimizzare
il suo profitto nella vendita di un singolo bene disponibile in fornitura illimitata.
Considerando beni digitali, é naturale assumere che il venditore abbia abbastanza
copie del bene per venderne, potenzialmente, uno ad ogni cliente 1 . L’assunzione
classica é che il venditore non conosca nulla circa le preferenze dei clienti. Vi
sono soluzioni a questo problema nella forma di meccanismi a prezzo dinamico
che variano il prezzo di vendita del bene basandosi sulle informazioni ricevute dai
clienti nella forma di offerte, i.e., aste.
Nel caso in cui il bene sia in fornitura limitata, ossia, quando c’é un numero
fissato di beni identici messi in vendita, nel risolverlo ci si riduce al caso di beni
in fornitura illimitata. Ci riferiremo ai problemi di aste con fornitura illimitata
come problemi d’aste base.
Definizione 2.1 (Il Problema d’Aste Base). Dati:
1 Inoltre, restringendoci ai beni digitali é innocuo assumere che ogni cliente desideri solo una
copia del bene, noto come caso di domanda unitaria.
15

• n beni identici da vendere, e
• n offerenti,
CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
progettare un asta che massimizzi il profitto derivato dalla vendita.
Per una trattazione esaustiva della teoria delle aste base si rimanda a [VI61],
[NR00], [AT01], [FI01], [GW02], [AT01], [HA03].
2.1 Il modello della Teoria dei Giochi e la pro-
gettazione di Meccanismi Truthful
L’input di un’asta é l’insieme di offerte ricevute dagli agenti che intendono parte-
cipare alla vendita. L’output, quindi, consiste di un vettore di prezzi, p, con pi ad
indicare il prezzo che dovrá pagare l’offerente i-esimo, e un vettore di allocazione,
x, con xi = 1 se all’offerente i é allocato il bene ed xi = 0 in caso contrario.
Definizione 2.2 (Modello dell’offerente). Assumiamo il seguente modello a
valori privati per gli offerenti:
• L’offerente i ha un valore privato, ui, rappresentante il valore monetario
che associa con il suo possesso del bene.
• L’offerente i fa delle offerte con l’intento di massimizzare il suo profitto,
definito come: uixi − pi. Quindi nel comportamento dell’agente non ci sono
esternalizzazioni 2 .
• Gli offerenti sono razionali.
2 Ossia, nessun offerente si preoccupa ne del fatto che gli altri offerenti vincano o perdano
ne del prezzo che essi pagano.
16

• Gli offerenti non coalizzano.
CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
Poiché le offerte degli agenti determinano il profitto che il banditore l’asta
ottiene, é impossibile analizzare il profitto dell’asta senza definire un modello
preciso di come gli offerenti effettuano le loro offerte. Poiché si é assunto che
gli agenti partecipano all’asta nell’intento di massimizzare il proprio profitto per-
sonale, e, il loro profitto é determinato dal meccanismo d’asta e dai valori che
gli altri offerenti offrono, l’offerta che l’agente sottometterá al meccanismo sará
una funzione del meccanismo d’asta e di ció che crede gli altri offerenti stiano
offrendo. Posto in questi termini il problema é alquanto scoraggiante.
La soluzione proposta dalla Teoria Economica é di cercare un equilibrio Ba-
yesiano di Nash del meccanismo. Tale approccio assume che le valutazioni degli
offerenti seguano una qualche distribuzione di probabilitá e che tale distribuzio-
ne sia nota a tutti gli offerenti.
É evidente che per l’applicabilitá di una tale
soluzione sono necessarie due condizioni. Primo, gli offerenti debbono conoscere
la distribuzione di probabilitá dalla quale si determinano le loro valutazioni. Se-
condo, essa assume che si possa, nel problema specifico, trovare un equilibrio di
Nash.
A partire dall’Economia e dalla Teoria dei Giochi si puó tentare di formulare
una strategia di soluzione del problema differente tentando di svincolarci dall’ipo-
tesi di essere dotati di un modello delle speculazioni degli offerenti e restringendoci
a quelli che chiameremo meccanismi a strategie dominanti.
Definizione 2.3 (Meccanismi a strategia dominante). La strategia di un
offerente é dominante se tale strategia massimizza il profitto dell’offerente qua-
lunque sia la strategia gli altri offerenti possano seguire. Un meccanismo é un
meccanismo a strategia dominante se tutti gli offerenti hanno strategie dominati.
Definizione 2.4. Un’asta in busta chiusa senza rilanci, A, é un’asta in cui:
17

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
1. Ogni offerente sottomette un offerta, rappresentante il massimo ammontare
che vuole pagare per uno dei beni messi all’asta. Si denota con b il vettore
di tutte le offerte sottomesse, i.e., l’input. L’i-esima componente di b é bi,
e rappresenta l’offerta fatta dall’offerente i. Denoteremo con n il numero
degli offerenti.
2. Dato il vettore delle offerte b, il banditore calcola un output consistente di
un’allocazione, x = (x1, . . . , xn), e prezzi, p = (p1, . . . , pn). Nell’allocazio-
ne xi é un indicatore per l’offerente i di ricezione del bene (1 se l’offerente
i riceve il bene e 0 altrimenti). Se xi = 1, diremo che l’offerente i vince.
Altrimenti, l’offerente i perde, o é stato rifiutato a partecipare. Il prezzo,
pi, é quanto l’offerente i paga il banditore. Assumeremo che 0 ≤ pi ≤ bi
per tutti gli offerenti che vincono e che pi = 0 per tutti gli offerenti che
perdono 3 .
3. Il profitto dell’asta (o del banditore, per meglio dire) é A(b) =
i pi.
Un’asta é deterministica se l’allocazione e i prezzi sono funzioni deterministi-
che del vettore delle offerte. Un’asta é randomizzata se la procedura attraverso
la quale il banditore calcola l’allocazione e i prezzi é randomizzata. E’ banale
considerare che se l’asta é randomizzata, il profitto dell’asta, i prezzi di output,
e le allocazioni sono variabili casuali.
Il principio di rivelazione afferma che qualunque meccanismo a strategia do-
minante (in uno o piú passi di computazione) puó essere convertito in un mec-
3 Sono le assunzioni standard di trasferimento positivo e di partecipazione volontaria definite
in [VI61]. Con ”trasferimento positivo” si indica che qualunque partecipante l’asta riceve sempre
una quantitá non negativa del bene, mentre con ”partecipazione volontaria” si indica che nessun
offerente puó essere costretto a pagare piú di quanto ha offerto.
18

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
canismo truthful in un passo, in cui la strategia dominante di ogni offerente é di
effettuare un offerta con valore identico alla valutazione.
Definizione 2.5 (Meccanismi Truthful). Diremo che un’asta deterministica
é truthful se la strategia dominante dell’offerente i é di offrire la sua valutazio-
ne, ponendo bi = ui, e tale strategia é dominante per tutti i partecipanti l’asta.
Un’asta randomizzata é truthful se vi é una distribuzione di probabilitá sulle aste
deterministiche truthful.
Si adotterá, quindi, nella ricerca di soluzioni per i problemi d’asta il concetto
di progettazione di meccanismi truthful.
2.2 L’Asta di Vicrey
Un’asta ad un elemento é un’asta in cui si vende al piú una copia del bene.
Dalla letteratura Economica la classica asta truthful per tale problema é l’asta
di Vicrey 1-item. L’asta di Vicrey é conosciuta anche come asta del secondo
prezzo poiché essa vende il singolo bene all’offerente con offerta piú alta ad un
prezzo pari al valore della seconda offerta piú alta.
É interessante notare come
l’asta di Vicrey possa essere derivata considerando l’applicazione del principio di
rivelazione nell’asta all’Inglese.
L’asta all’Inglese per una singola copia di un bene é un meccanismo d’asta
standard con possibilitá di rilanci.
É ben conosciuta per essere usata, anche in
Italia, nella vendita di proprietá immobiliari e di opere d’arte. In tale asta 4 gli
offerenti ascoltano le offerte degli altri partecipanti e possono rilanciare alle offerte
dei contendenti con offerte piú alte; il bene si considera assegnato ad un offerente
quando non ci son piú rilanci, e l’offerente che ha fatto l’offerta piú alta ottiene
il bene al prezzo della sua offerta.
4 Definita open outcry.
19

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
In un asta all’Inglese, una strategia razionale degli offerenti sarebbe quella di
replicare all’offerta piú alta degli altri offerenti di un incremento minimo, finché
l’offerta piú alta non superi la propria valutazione per quel bene; a quel punto
dovrebbe cessare di effettuare rilanci nell’asta. Il risultato di un’asta all’Inglese é
che l’offerente con la valutazione piú alta, giocando secondo una strategia razio-
nale, vincerá il bene e lo pagherá, approssimativamente, il valore della seconda
valutazione piú alta. Applicando il principio di rivelazione si giunge, quindi, ad
una formulazione pressocché identica all’asta di Vickrey senza rilanci e in busta
chiusa, che é quindi utilitaristicamente equivalente all’asta all’Inglese con rilanci.
É utile dimostrare che l’asta di Vicrey é truthful.
Lemma 2.1. L’asta di Vickrey é truthful.
Dimostrazione. Per un particolare offerente i, fissiamo le offerte di tutti gli altri
offerenti e poniamo p = maxj=i bj. Se l’offerente i offre bi > p allora l’offerente i
vince l’asta e paga il prezzo p, poiché l’offerente i si ritrova ad essere l’offerente con
offerta piú alta e p rappresenta la seconda offerta piú alta. In tal caso, il profitto
dell’offerente é ui − p. Se l’offerente i offre al di sotto di p allora l’offerente i
perde e non paga nulla. In tal caso il suo profitto é zero. Consideriamo, quindi, il
profitto dell’offerente i con valore utilitá ui per qualsiasi possibile offerta gli altri
offerenti possano fare. Ci sono due casi di interesse.
Caso 1 (ui < p): Se l’offerente offre un valore maggiore di p, il suo profitto ui − p
é negativo. Quindi l’offerente potrebbe offrire un valore minore di p ed
ottenere un profitto pari a zero che é preferibile. In tale ipotesi qualun-
que strategia per cui l’offerente i perde é per esso una strategia ottimale,
compresa l’offerta bi = ui.
Caso 2 (ui > p): Se l’offerente offre un valore maggiore di p, il suo profitto ui − p é
positivo. Dal suo punto di vista, quindi, non é preferibile perdere l’asta con
20

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
offerte minori di p. Qualunque offerta maggiore di p é, allora, una strategia
ottimale per l’offerente i, compresa l’offerta bi = ui.
Il terzo caso é ui = p. In tale situazione l’offerente i non si preoccupa di vincere
o perdere poiché al prezzo p egli avrá comunque profitto zero.
Mettendo assieme i tre casi si evince che per l’offerente i mentire non comporta
mai un profitto piú alto che dire la veritá e, quindi, dire la veritá é una strategia
dominante per l’offerente i, da cui segue.
2.3 Aste Indipendenti dell’offerta
Per una miglior comprensione delle caratteristiche che rendono un meccanismo
truthful viene presentata una caratterizzazione algoritmica delle aste truthful.
Si puó osservare che la proprietá fondamentale dell’asta di Vickrey che la
rende truthful é che il prezzo p con cui l’offerente i si confronta é una funzione del
valore delle offerte degli offerenti esclusa la sua 5 . Nell’asta di Vickrey la funzione
p restituisce il massimo di tutte le offerte ad eccezione di quella dell’agente i.
Le aste indipendenti dall’offerta formalizzano quest’osservazione e permetto-
no una caratterizzazione delle aste truthful. Molte formulazioni appaiono nella
letteratura recente, e.g., [AT01], [GH01], [HA03].
Definizione 2.6. Denotiamo con b−i il vettore delle offerte b in cui la compo-
nente bi é stata rimossa, i.e.,
5 Non necessariamente dev’essere una funzione nel valore delle offerte di tutti gli agenti esclu-
so l’i-esimo (che é quello per cui si sta decidendo l’allocazione), ma puó essere una qualunque
funzione, anche una in cui il valore delle offerte non sia considerato (anche se dubito che otter-
remmo un’asta competitiva rispetto al profitto o all’efficienza sociale). L’elemento importante
é che la funzione non consideri nella determinazione dell’output per un determinato vettore
delle offerte quella dell’agente i-esimo.
21

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
Chiameremo un tale vettore maschera.
b−i = (b1, . . . , bi−1, ?, bi+1, . . . , bn).
Definizione 2.7 (Aste indipendenti dall’offerta, IOf). Presa f essere una
funzione dal vettore maschera ai prezzi (numeri reali non-negativi). L’ asta de-
terministica indipendente dall’offerta definita da f, IOf, si comporta nel modo
seguente. Per ogni offerente i:
1. ti ← f(b−i).
2. Se ti < bi, poni xi ← 1 e pi ← ti (L’offerente i vince).
3. Se ti > bi, poni xi = pi = 0 (L’offerente i perde).
4. Altrimenti, se ti = bi l’asta puó o accettare l’offerta al prezzo ti o rifiutarla.
Per esempio, dall’impostazione f = max per tutti gli i ed interrompendo i
rilanci arbitrariamente, otteniamo l’asta di Vickrey 1-item, i.e., l’offerente piú
alto vince pagando un prezzo pari alla seconda offerta piú alta.
Teorema 2.1. Un’asta deterministica é truthful se e solo se essa é equivalente
ad un’asta deterministica indipendente dell’offerta.
Il teorema é una conseguenza diretta dei due lemmi seguenti.
Lemma 2.2. Qualunque asta deterministica indipendente dall’offerta é truthful.
Questa dimostrazione viene omessa poiché essa é identica a quella presentata
nella sezione 2.1 a pagina 20 in cui si dimostra che l’asta di Vicrey é truthful.
Il seguente risultato, invece, viene dimostrato e, completa la dimostrazione di
equivalenza di truthful e indipendenza dall’offerta per le aste deterministiche.
Lemma 2.3. Un’asta deterministica truthful é truthful se e solo se é equivalente
a un’asta deterministica indipendente dall’offerta.
22

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
Dimostrazione. Data una qualunque asta deterministica truthful A possiamo
sempre determinare una funzione f tale che la sua l’implementazione indipenden-
te dall’offerta, IOf, sia identica ad A. Definiamo b x i = (b1, . . . , bi−1, x, bi+1, . . . , bn)
essere il vettore delle offerte ottenuto sostituendo bi con x. Se c’é un qualche valore
x ∗ tale che in A(b x∗
i ) l’offerente i vince e paga p (questo richiede che p ≤ x ∗ ) allora
definiamo f(b−i) valere p. Per interrompere il legame, i.e., bi = p, consideriamo
il caso in cui l’offerente i vince in A su un input b p
i .
Dato questo valore di p, mostriamo che per qualunque x l’uscita di A su b x i é
tale che:
1. Se l’offerente i vince paga p.
2. L’offerente i vince grazie ad un offerta con valore x ≥ p (possibilmente
attraverso l’offerta x = p).
Per dimostrare la 1, assumiamo per contraddizione che ci sia qualche altra offerta
con valore y tale che in A(b y
i ) l’offerente i vince e paga q = p. Senza perdere di
generalitá possiamo affermare che q > p cosí un offerente con utilitá y otterrebbe
un piú alto profitto dall’offrire x ∗ . Questo contraddice l’essere truthful di A.
Per dimostrare la 2, assumiamo per contraddizione che ci sia un qualche valore
offerto y ∈ (p, ∞) tale che l’offerente i non vince con un offerta pari a y. In tal
caso un offerente con utilitá y dovrebbe avere un piú alto profitto dall’offrire x ∗ ,
ma ció contraddice l’essere truthful di A, da cui il lemma segue.
Definizione 2.8. Un’asta randomizzata indipendente dall’offerta é una distribu-
zione di probabilitá su aste indipendenti dall’offerta. Per tali aste, f(b−i) é una
variabile casuale a valori reali non negativi.
Dalla definizione 2.8 e dal teorema 2.3 segue che:
23

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
Corollario 2.2. Un’asta randomizzata é truthful se e solo se essa é equivalente
ad un’asta randomizzata indipendente dall’offerta.
Tale definizione di aste truthful randomizzate é sostanzialmente equivalente
a ipotizzare che la distribuzione di probabilitá del profitto degli offerenti quan-
do offrono un valore pari alle loro valutazioni reali domini 6 la distribuzione di
probabilitá dei profitti quando offrono un qualunque altro valore.
2.4 Altre Aste Truthful
In questa sezione viene dato un breve accenno delle altre tipologie di aste truthful.
2.4.1 Meccanismi a prezzo fisso
Nonostante il meccanismo a prezzo fisso non sia tecnicamente un’asta poiché non
richiede che una qualche offerta sia sottomessa dagli offerenti, puó essere utile
considerarlo come un meccanismo truthful. Il meccanismo a prezzo fisso con
prezzo di vendita r vende a tutti gli offerenti con offerta almeno r al prezzo r.
Chiaramente, tale strategia é truthful poiché é implementabile con una funzione
costante e quindi necessariamente indipendente dall’offerta f(·) = r.
2.4.2 Asta di Vickrey k-item
L’asta di Vickrey per k copie di un bene é un’estensione naturale dell’asta di
Vickrey 1-item, in cui vengono venduti k articoli anziché uno solo.
Oltre alla notazione giá definita introdurremo b(i) per indicare l’i-esimo piú
grande valore offerto.
6 La variabile casuale X domina Y se per tutte le v, Pr[X > v] ≥ Pr[Y > v].
24

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
Definizione 2.9 (Asta di Vickrey k-item, Vk). L’asta di Vickrey k-item,
Vk, vende i k beni ai k offerenti con offerta piú alta ad un prezzo pari al va-
lore dell’offerta k+1-esima, i.e., b(k+1). Tutti gli altri offerenti sono rifiutati e
perdono.
É semplice notare che l’asta di Vickrey k-item é truthful. Essa puó, in-
fatti, essere implementata attraverso una funzione indipendente dall’offerta che
restituisce il valore della k + 1-esima offerta piú alta.
2.4.3 Asta di Vickrey k-item con prenotazione
Una variante standard dell’asta di Vickrey per k-item é una parametrizzazione
della stessa mediante un prezzo di prenotazione, r. Tale variante vende al piú k
articoli ai k offerenti con offerta piú alta almeno pari ad r. Tale asta, quindi, usa
un prezzo di vendita pari al valore piú grande tra r e le k+1 offerte con valore piú
alto, i.e., max(r, b(k+1)).
É banale osservare che un tale meccanismo puó essere
implementato semplicemente con una funzione che sia indipendente dall’offerta e
che restituisca il massimo tra il valore delle k offerte piú alte e r.
É una naturale
combinazione del meccanismo a prezzo fisso e di quello di Vickrey k-item.
2.4.4 Meccanismi con conoscenze a priori
In Economia l’approccio standard per la massimizzazione del profitto é l’asta
ottimale Bayesiana. La differenza significativa tra quest’asta e i problemi che si
considerano in questa tesi, e nella ricerca odierna, é che l’asta Bayesiana ottimale é
basata sulla conoscenza a priori di una distribuzione di probabilitá a partire dalla
quale gli offerenti determinano le loro valutazioni dei beni. La formalizzazione
del problema d’aste ottimale Bayesiano é, quindi: nota a priori la distribuzione di
probabilitá dalla quale le valutazioni degli offerenti sono estratte, costruire l’asta
25

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
che massimizzi il profitto medio. Questa media é valutata sulla casualitá delle
valutazioni degli offerenti. Nel caso in cui i valori degli offerenti sono indipendenti
e identicamente distribuiti, l’asta Bayesiana ottimale é equivalente all’asta di
Vickrey per k-item con un prezzo di prenotazione scelto in maniera giudiziosa
basandosi sulla distribuzione conosciuta a priori. Nel caso di fornitura limitata
k, il numero di beni disponibili, é n e l’asta Bayesiana ottimale semplifica il
meccanismo a prezzo fisso con una scelta ottimale del prezzo di prenotazione, r.
Raramente come parametro di riferimento nell’analisi di competitivitá si puó
considerare l’uso del meccanismo a prezzo fisso di un venditore con informazioni
perfette, i.e., la conoscenza delle esatte valutazioni di tutti gli offerenti. Un
tale venditore puó semplicemente scegliere il valore di r che massimizza il suo
profitto. Un tale meccanismo prende il nome meccanismo omnisciente ottimale
ed il profitto da esso estratto viene indicato con F.
2.4.5 Estrazione del profitto
Nella teoria classica un problema di ottimizzazione consiste nel trovare una so-
luzione ammissibile con il massimo (o minimo, a seconda del problema) valore.
Il problema decisionale ad esso associato é: dato un qualche prefissato valore V ,
trovare, se esiste, una soluzione ammissibile con valore almeno V (o al piú V per
i problemi di minimizzazione). La soluzione al problema di decisione é utile per
trovare una soluzione al problema di ottimizzazione poiché il valore ottimale puó
essere individuato risolvendo ripetitivamente il problema di decisione per valori
differenti di V , in uno schema, ad esempio, a mó di ricerca binaria.
I problemi d’aste possono essere ridefiniti come problemi di ottimizzazione a
valori privati.
Definizione 2.10 (Problema decisionale associato all’Asta Base). Dati:
26

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
• n prodotti identici per la vendita.
• n offerenti; l’offerente i vuole pagare al piú ui per uno dei prodotti.
• Profitto destinazione R.
Progettare un meccanismo d’asta che ottiene un profitto R se R é minore del
profitto V 7 , ottenibile con il meccanismo ottimale a prezzo fisso.
Un meccanismo che risolve il problema di decisione dell’asta base viene chia-
mato un estrattore di profitto poiché esso estrae l’ammontare specifico di profitto
quando ció gli é possibile.
Definizione 2.11 (Estrattore di profitto). Date le offerte b trovare il piú
grande k tale che i piú alti k offerenti possono suddividersi equamente R, i.e., per
i ≤ k, b(k) ≥ R/k. Ad ognuno di questi offerenti viene assegnato un profitto pari
a R/k.
Per chiarire le idee si noti che preso k ∗ essere il numero di vincitori in F, se
F(b) = k ∗ b(k ∗ ) ≥ R allora i k ∗ vincitori possono suddividersi equamente (ossia,
in parti uguali) il costo R/k ∗ . D’altro canto se F(b) < R allora non esiste un
gruppo di k offerenti che possono suddividersi in parti uguali R.
Teorema 2.3. L’estrattore di profitto é truthful.
Nonostante la dimostrazione a tale teorema non sia significativa e venga
omessa viene citato il lemma fondamentale su cui essa si basa.
Lemma 2.4. Il numero di vincitori dell’estrattore di profitto é una funzione non
crescente di qualunque offerta degli offerenti.
7 A differenza di F che suppone un banditore che ha una conoscenza a priori perfetta delle
valutazioni degli utenti, con V si indica il profitto raggiungibile da un meccanismo a prezzo
fisso con una scelta ottimale del prezzo di vendita.
27

CAPITOLO 2. Il Problema d’Aste Base
Dimostrazione. L’estrattore di profitto trova il piú grande insieme di offerenti
che possono suddividersi R. Se i piú grandi k ′ offerenti non possono suddivider-
si in parti uguali R certamente non potranno soddisfare tale requisito per una
qualunque loro offerta piú piccola.
Ci sono altre proprietá dell’estrattore di profitto che sono interessanti, tra cui
la piú significativa é data dal fatto che produce sempre un’output ragionevole, nel
senso che c’é sempre un singolo prezzo di vendita che tutti i vincitori pagano e
tutti coloro che perdono preferiscono perdere anziché vincere l’articolo e pagarlo
il prezzo definito dall’estrattore di profitto 8 . Inoltre l’estrattore di profitto é
immune dal generarsi di coalizioni tra i partecipanti l’asta.
8 Tale proprietá nella teoria degli estrattori di profitto prende il nome di envy-free, ad indicare
che una tale strategia non produce invidia da parte dei perdenti l’asta essendo equa.
28

Capitolo 3
Framework di analisi
Nell’analisi delle aste, in maniera analoga all’analisi degli algoritmi, ci si pone
come obiettivo quello di poter considerare una particolare asta e riuscire a de-
terminare se le sue performance sono buone o meno. In questo modo possiamo
anche confrontare due aste e determinare quale tra esse é migliore, o anche in che
senso 1 un’asta é migliore di un’altra. Il framework di analisi che sará utilizzato
per l’analisi delle aste, dará un modo per determinare se una particolare asta é
buona e se é migliore o peggiore di un’altra particolare asta.
L’analisi delle aste é resa piú complessa dal fatto che non esiste un’asta che sia
migliore di tutte le altre su tutti i possibili input. Per qualunque asta truthful,
A, esiste un input b ed un’altra asta truthful A ′ tale che il profitto di A ′ su b é
piú alto di quello ottenuto su A. L’ostacolo fondamentale per il banditore, che gli
rende difficile ottenere un piú alto profitto é l’assenza di una conoscenza a priori
delle valutazioni degli offerenti.
Nella valutazione dei meccanismi di massimizzazione del profitto per proble-
mi a valori privati adotteremo lo stesso approccio usato nelle aree degli algoritmi
1 Ossia, in virtú di quale parametro di valutazione stiamo misurando la vicinanza al,
potenzialmente, risultato ottimo.
29

CAPITOLO 3. Framework di analisi
approssimati e degli algoritmi online 2 . Chiaramente, siamo interessati a trova-
re l’algoritmo che ottiene un profitto con il miglior rapporto di competitivitá
nei confronti del meccanismo ”ottimale” che lavora con una conoscenza a priori
dei valori privati degli offerenti. Ci riferiremo ad un tale meccanismo ottimale
che conosce i valori privati in anticipo come meccanismo ottimale omnisciente o
meccanismo ottimale a valori pubblici.
Una volta definita l’asta ottimale, la miglior asta competitiva é quella che
minimizza il rapporto di competitivitá, ossia il rapporto tra il profitto dell’asta
ottimale e il suo 3 .
3.1 Framework dell’asta competitiva
Elemento chiave nel definire un framework di competitivitá atto ad analizzare
soluzioni ad un qualunque problema é il definire una giusta metrica di confronto.
Come punto di partenza, vorremmo selezionare il benchmark piú forte per effet-
tuare il confronto: ossia, il profitto di banditore che é informato perfettamente
circa i valori degli offerenti. Considereremo, quindi, come metriche piú naturali
le aste ottimali omniscienti a singolo prezzo e multi prezzo, indicate con F e T ,
rispettivamente.
2 Le performance di tali algoritmi sono valutate misurando il fattore, additivo o moltiplica-
tivo, di approssimazione che l’algoritmo ottiene nei confronti del vero ottimo. Per gli algoritmi
online, le performance sono valutate nei confronti di quelle dell’algoritmo ottimale offline. L’o-
biettivo dell’analisi competitiva é quello di ottenere gli algoritmi con il miglior rapporto di
competitivitá.
3 La valutazione del profitto del meccanismo di cui vogliano studiare il rapporto di compe-
titivitá é fatta considerando il suo comportamento peggiore, ossia quello sull’input per cui il
meccanismo si comporta peggio.
30

CAPITOLO 3. Framework di analisi
Nell’analisi che verrá fatta indicheremo con b(i) l’i-esimo piú grande valore
dell’offerta in b.
Definizione 3.1. L’asta ottimale omnisciente a singolo prezzo, F, sull’input b,
determina il valore k tale che kb(k) é massimizzato. Tutti gli offerenti con bi ≥ b(k)
vincono e pagano un prezzo b(k); mentre le offerte restanti perdono e non pagano
nulla. Il profitto di F sull’input b é, quindi
F(b) = max
1≤k≤n kb(k).
Definizione 3.2. L’asta ottimale omnisciente multi prezzo, T , é un’asta che
vende ad ogni offerente ad un prezzo pari al valore della sua offerta. Quindi, il
profitto di T sull’input b é
T (b) =
1≤i≤n
Iniziamo mettendo in relazione le performance di F relativamente a quelle di
T . Si puó osservare che, nel caso peggiore, il massimo rapporto é logaritmico in
n, il numero degli offerenti.
Lemma 3.1. Esiste un vettore delle offerte b per il quale
Inoltre, per tutti i vettori di offerte b
bi.
F(b) = Θ(T (b)/ ln n).
F(b) ≥ T (b)/ ln n.
Dimostrazione. Per la prima parte, prendiamo b come il vettore delle offerte in
cui bi = n/i. Con un tale vettore delle offerte F(b) = n e T (b) = n(ln(n)+Θ(1)).
Per la seconda parte, supponiamo che F(b) = maxi ib(i) = kb(k). Quindi, per
tutti gli i,
ib(i) ≤ kb(k)
31

e sostituendo,
T (b) =
n
i=1
CAPITOLO 3. Framework di analisi
b(i) ≤
n
i=1
kb(k)
i
≤ F(b)
n
j=1
1
j
= F(b)(ln n + Θ(1)).
Una volta analizzata la competitivitá tra le due tipologie d’aste di riferimento
possiamo mostrare, come e quanto un’asta truthful, possa essere competitiva
rispetto ad F (e, quindi, non esserlo rispetto a T ).
Lemma 3.2. Per qualunque asta truthful A e qualunque β ≥ 1, esiste un vettore
di offerte b tale che il profitto medio di A su b é minore di F(b)/β.
Dimostrazione. Consideriamo un’asta randomizzata indipendente dall’offerta su
due offerte, una con valore 1 e l’altra con valore x ≥ 1. Consideriamo f essere
una funzione la cui definizione rispetti le condizioni di indipendenza dall’offerta,
cosí come definite nella sezione 2.7 a pagina 22, per A 4 . Preso h essere il piú
piccolo valore maggiore o uguale ad 1 tale che Pr[f(1) ≥ h] ≤ 1 . Il profitto
2β
medio sul vettore di input b = (1, H) con H = 4βh é al piú
H
2β
1
H
+ h(1 − ) + 1 < 4h =
2β β
= F(b)
β .
Questo lemma mostra che non possiamo tentare di avvicinarci alle perfor-
mance dell’asta omnisciente ottimale a singolo prezzo nel caso in cui il profitto
ottimo sia generato da una singola offerta molto alta. La maggior parte dei limiti
inferiori presenti in lettaratura ed anche in questo lavoro di tesi presentano delle
aste che sono competitive con F 2 realizzando un rapporto costante del profitto di
F 2 su tutti i possibili vettori delle offerte di input.
4 Assumiamo per simmetricitá, che, f(b, ?) = f(?, b) = f(b).
32

CAPITOLO 3. Framework di analisi
Definizione 3.3. L’asta ottima omnisciente a singolo prezzo che vende almeno
due articoli, F 2 , é definita come segue: l’asta F 2 sull’input b determina il valore
k tale che k ≥ 2 e kb(k) é massimizzato. Tutti gli offerenti con bi ≥ b(k) vincono
ad un prezzo b(k); mentre tutti gli offerenti restanti perdono. Il profitto di F (2)
sull’input b é, quindi:
F 2 (b) = max
2≤k≤n kb(k).
É immediato notare che se per un dato vettore b, F vende due o piú articoli,
F (2) (b) = F(b). Quindi se escludiamo vettori delle offerte in cui solo il piú alto
offerente vince nell’asta ottimale, confrontarsi con il profitto di F (2) é identico a
confrontarsi con quello F.
Definizione 3.4. L’asta ottima omnisciente a singolo prezzo in cui ci sono al-
meno m vincitori, F (m) é definita come segue: l’asta F (m) sull’input b determina
il valore k tale che k ≥ m e kb(k) é massimizzato. Tutti gli offerenti con bi ≥ b(k)
vincono al prezzo b(k); e tutti gli offerenti restanti perdono. Il profitto di F (m)
sull’input b é, quindi
F (m) (b) = max
m≤k≤n kb(k).
Noti gli algoritmi ottimali e i rapporti di competitivitá esistenti tra loro
possiamo definire il concetto di asta competitiva.
Definizione 3.5 (Asta competitiva). Un’asta A é β-competitiva rispetto a
F (m) se per tutti i vettori delle offerte b, il profitto medio di A su b soddisfa
E[A(b)] ≥ F (m) (b)
.
β
Diremo che l’asta é competitiva rispetto a F (m) se l’asta é β-competitiva rispetto
ad F (m) per una costante β. Ci riferiremo a β come il rapporto di competitivitá
di A.
33

CAPITOLO 3. Framework di analisi
Si puó osservare che il profitto di F (m) decresce al crescere di m, rendendo
naturale il tentativo di competere rispetto a F (m) per grandi valori di m. Quindi,
quando si ricerca la competitivitá rispetto ad m = 2 come F (2) si sta tentando di
competere con la piú forte asta ottima omnisciente cui si é capaci di competere.
Definizione 3.6. Diremo che un’asta é β-competitiva se essa é β-competitiva
rispetto ad F (2) . Nel caso in cui non desideriamo specificare la costante β, diremo
semplicemente che l’asta é competitiva.
Analizzando la competitivitá di F (m) per valori differenti di m, si possono
ottenere risultati significativi in un vasto range di applicazioni. E.g., nel caso di
un gran numero di offerenti e, un banditore sicuro nell’assumere che i valori di
tutte le offerte sono confinati all’interno di un range limitato.
La nozione di competitivitá che é stata definita, si basa su confronti con il
profitto medio 5 .
La nozione di profitto medio puó essere illustrata molto semplicemente. Considerando
il profitto totale del banditore come
i pi, la somma dei prezzi pagati
dagli offerenti, e considerando che la media é un’operazione lineare, il profitto
medio dell’asta é
i E[pi].
5 Molte volte, comunque, é necessario avere un risultato di concentrazione che mostri che
con alta probabilitá il profitto tende alla sua media.
34

Capitolo 4
Aste competitive
Le varie aste presentate nel capitolo 2, tentano tutte di conseguire lo stesso obiet-
tivo (massimizzare il profitto), tramite differenti strategie. Passo successivo na-
turale, quindi, é definire, tramite il framework d’analisi introdotto nel capitolo
3, in che misura le varie tipologie d’aste conseguono l’obiettivo di massimizza-
zione del profitto. Si possono instaurare, quindi, varie relazioni tra le tipolo-
gie d’aste esistenti definendo in quali casi é maggiormente conveniente utilizzare
una determinata asta anziché un’altra, concludendo che con qualunque strategia
deterministica non esiste un’asta universalmente 1 ottima.
Per approfondire l’analisi esposta in questo capitolo, si rimanda a [GH01],
[FI01], [GW02], [GS02], [AZ03], [HA03].
1 Per universalmente si intende per tutti i possibili input, ossia, per tutti i possibili vettori
d’offerta b.
35

CAPITOLO 4. Aste competitive
4.1 Massimizzazione del profitto nei meccani-
smi a prezzo fisso
Consideriamo il meccanismo a prezzo fisso con prezzo r. Le performance realiz-
zate da tale meccanismo dipendono in maniera critica da una buona scelta del
prezzo. Assumendo che il banditore non conosca nulla in anticipo relativamente
alle valutazioni degli offerenti, non c’é modo per fissare intelligentemente il prez-
zo. Per qualunque prezzo r, esiste un input cattivo b tale che tutte le bi < r per
quel determinato prezzo e quindi non si ottiene profitto. Anche assumendo che il
banditore abbia definito un range, diciamo tra 1 e h, e che tutte le offerte siano
fatte nel rispetto di tale limitazione, diviene comunque impossibile scegliere r.
Per qualunque scelta di r > 1,infatti, cé un input per cui il banditore ottiene un
profitto pari a zero. Inoltre, nel caso peggiore, per r = 1 ed un input con tutti
valori h il profitto risultante é pari ad n, mentre l’ottimo é F = T = hn da cui
si deriva che con tale meccanismo l’asta é solo h-competitiva.
Randomizzando tale tecnica si puó ottenere un’asta che é molto meglio, in
media. Dato che le offerte sono ristrette nel range [1, h], si puó scegliere p ca-
sualmente. Piú nello specifico scegliamo p in maniera tale che sia una potenza
di due nell’intervallo [1, h] e quindi r = 2 i con i distribuita uniformemente in
0, . . . , ⌊log h⌋. Il profitto medio ricevuto dall’offerta bi diviene Θ(bi/ log h) e ri-
cordando che la media é un’operazione lineare il profitto medio del meccanismo
é Θ(T / log h), cioé il meccanismo ottiene un profitto che é una frazione loga-
ritmica in n di T su tutti gli input e quindi é Θ(log h)-competitivo rispetto a
T , F ed F (2) .
In [AZ03], inoltre, viene dimostrato che se il valore h non é noto al banditore,
ma il valore minimo delle offerte é uno, tale tecnica produce un’asta che é tendente
a log h-competitiva.
36

CAPITOLO 4. Aste competitive
4.2 Massimizzazione del profitto con l’asta di
Vickrey
Analizziamo cosa accade quando tentiamo di ottenere un’asta che massimizzi
il profitto con un meccanismo di Vickrey k-item. Per qualunque fissato k che
non sia una funzione dei valori delle offerte 2 , esiste sempre un input cattivo.
Supponendo k ≥ 2, su un input b con esattamente k offerte ad h e le rimanenti
offerte ad 1, l’asta di Vicrey k-item usa per determinare il prezzo di aggiudicazione
la k + 1-esima offerta, i.e., il valore 1, ed é questo il prezzo che fa pagare ai k
vincitori l’asta. Quindi il profitto é k, anche se il profitto ottimo a prezzo fisso
F = F 2 = kh da cui si deriva che anche l’asta di Vicrey k-item é solo
h-competitiva.
Usando la tecnica standard di randomizzazione possiamo scegliere casualmen-
te k. Il vantaggio derivante é di non doversi porre un limite inferiore e superiore
al range delle offerte.
Definizione 4.1 (Asta di Vickrey randomizzata). L’asta di Vickrey rando-
mizzata sceglie i uniformemente tra 0, . . . , ⌊log n⌋ ed esegue un’asta di Vickrey
2 i -item.
Lemma 4.1. L’asta di Vickrey randomizzata é 2 log n-competitiva rispetto a F (2) .
Dimostrazione. Il caso peggiore per la valutazione del rapporto di competitivitá
2 Nonostante ció k puó essere una funzione di n, il numero degli agenti. Anzi, dal punto di
vista squisitamente Economico, in un regime di concorrenza il numero di beni prodotti (per cui
vendibili in un’asta), sono una funzione nella domanda, il numero degli offerenti. Tale funzione,
peró, non é ben definita ma varia a seconda delle strategie di mercato dei vari produttori.
Infatti, per alcuni beni, la produzione, e quindi l’offerta, viene mantenuta bassa nonostante
la domanda sia alta per far aumentare le valutazioni degli agenti e vendere il prodotto ad un
prezzo piú alto.
37

CAPITOLO 4. Aste competitive
di quest’asta occorre quando nel vettore delle offerte b vi sono n − m offerenti a
valore 0 ed m offerenti a valore v per qualunque v > 0. Se vi sono m vincitori
in F (2) , l’asta di Vickrey 2 i -item ottiene un profitto pari a 2 i v se 2 i < m e zero
altrimenti. Visto che ogni asta é scelta con probabilitá 1/ log n, il profitto medio
su b é almeno:
E[R] =
≥
⌈log m⌉−1
v
log n
i=0
2 i = v
⌈log m⌉
2 − 1
log n
v
m − 1
(m − 1) ≥
log n m log n F(b) ≥ F (2) (b)
2 log n .
Esistono molte varianti randomizzate dell’asta di Vickrey k-item ma é dimo-
strabile che con fattore di O(log log n), l’asta di Vickrey randomizzata é la miglior
asta di Vickrey k-item possibile. Nessuna delle tecniche soddisfa l’obiettivo di ot-
tenere un meccanismo che realizzi un profitto vicino a quello ottimo, ossia con un
rapporto di competitivitá costante. Occorre, quindi, considerare la progettazione
di nuovi meccanismi.
4.3 L’asta a prezzo ottimo indipendente dall’of-
ferta
Quest’analisi é motivata dal voler confrontare le aste a prezzo fisso ottimale con
l’insieme di aste indipendenti dall’offerta. Le aste ottimali a prezzo fisso usano il
miglior singolo prezzo di vendita per le offerte in input, opt(b), e vendono a tutti
gli offerenti a quel prezzo.
Definizione 4.2. Per le offerte b, opt(b) é il prezzo di vendita che ottiene il piú
alto profitto quando si usa il meccanismo a prezzo fisso. I.e.,
opt(b) = b(i ∗ )
i ∗ = argmax iib(i).
38

CAPITOLO 4. Aste competitive
Restringendoci alla progettazione di meccanismi indipendenti dall’offerta, un
approccio simile potrebbe essere quello di offrire il bene all’offerente i ad un prezzo
pari a opt(b−i) anziché opt(b). Una tale asta é stata giá descritta nella sezione
2.7 a pagina 22 ed é stata indicata con IOf.
La speranza é che opt(b−i) sia simile a opt(b). Sfortunatamente, si dimostra
che non é cosí.
Lemma 4.2. L’asta a prezzo ottimo indipendente dall’offerta non é competitiva.
Per una dimostrazione di tale lemma si rimanda a Hartline [HA03].
Nonostante IOf non sia competitiva nel caso peggiore, essa ha alcune proprietá
desiderabili. Essa in media ottiene una buona soluzione su una gran classe di
input casuali. Inoltre il suo output é costituito da un solo prezzo di vendita e una
soglia p ≤ t tale che l’asta vende ad un prezzo p a tutti gli offerenti che abbiano
offerto almeno t e rifiuta tutti gli altri offerenti.
4.4 Impossibilitá deterministica
Dalle considerazioni fatte sulle diverse tipologie di aste fin qui illustrate, il lettore
piú attento avrá giá intuito che le aste con comportamento deterministico non
possono ottenere buoni rapporti di competitivitá. Possiamo quindi formalizzare
quest’intuizione e mostrare che nessun asta deterministica puó essere competitiva.
A tal scopo diremo che un’asta é simmetrica se il suo output é indipendente
dall’ordine di arrivo delle offerte. Piú precisamente A é simmetrica se per tutti i
vettori di offerte b e permutazioni π degli offerenti, l’output di A sull’input π(b)
é, il vettore prezzo π(p) e il vettore allocazione π(x) 3 .
3 Considerando che l’output di A su b é costituito da p e x.
39

CAPITOLO 4. Aste competitive
Si puó dimostrare semplicemente che nessun asta deterministica simmetrica
é competitiva 4 .
Teorema 4.1. Preso IOf essere una qualunque asta simmetrica deterministica
definita da una funzione indipendente dall’offerta f. Allora IOf non é competi-
tiva: per qualunque 1 ≤ m ≤ n esiste un vettore d’offerta b di cardinalitá n tale
che il profitto di IOf su b é al piú F (m) (b) m
n .
Poiché lo scopo di questo lavoro di tesi non é un’analisi esaustiva della com-
petitivitá delle varie aste conosciute, ma é l’analisi migliorativa di un singolo
problema, la dimostrazione di questo teorema é omessa, non essendo significativa
ai nostri scopi, e, per essa, si rimanda a [HA03].
In [FI01] si mostra che con un vettore di input con offerte su due soli valori, i.e.,
1 e h, esiste un’asta deterministica simmetrica che é 2-competitiva. Quest’asta
accetta circa metá delle h offerte ad h e metá di tutte le offerte ad 1. Fissando
una particolare offerta i, e considerando quindi b−i, denotiamo con d⊳ il numero
di uni consecutivi a sinistra dell’i-esima posizione in b−i e con d⊲ il numero di
uni alla sua destra. Denotando con #h il numero di h alla sinistra dell’i-esima
posizione nel vettore delle offerte abbiamo:
⎧
1 #h pari e d⊲ dispari
⎪⎨ 1 #h pari e d⊲ pari
f(b−i) =
1 #h dispari e d⊳ dispari
⎪⎩ h #h dispari e d⊳ pari
Si puó semplicemente verificare che da sinistra queste hs coppie stanno insieme
cosí che esattamente un uno di ogni coppia sará cambiato in h. Inoltre, degli 1
4 Esistono peró aste simmetriche randomizzate che sono competitive.
40

CAPITOLO 4. Aste competitive
presenti tra due coppie di hs, metá di loro saranno accettati a prezzo 1. Da ció
segue il risultato di competitivitá.
L’impossibilitá deterministica risulta motivata da considerazioni sui miglio-
ramenti apportabili dai meccanismi randomizzati. Poiché un meccanismo ran-
domizzato é una randomizzazione sulle aste deterministiche esse possono essere
progettate in maniera tale da rendere rare le offerte svantaggiose. Quest’uso
della randomizzazione é diverso dall’assumere che le offerte siano distribuite ca-
sualmente. Si puó mostrare, infatti, che le aste randomizzate competitive sugli
output peggiori, non hanno bisogno di assumere che le offerte siano generate
casualmente in quanto é il meccanismo d’asta ad essere generato casualmente.
4.5 Aste a campionamento casuale
Poiché si é dimostrato che le aste deterministiche non sono competitive andiamo
ad analizzare i vari modi possibili per ottenere aste competitive mediante un
campionamento casuale. Intuitivamente, la tecnica del campionamento casuale
che si illustrerá puó essere vista come adattiva rispetto al mercato in cui l’asta
dev’essere eseguita.
4.5.1 Aste a prezzo ottimo a campionamento casuale
Il primo meccanismo d’asta che verrá discusso é una combinazione della tecnica di
campionamento casuale con il meccanismo a prezzo fisso. Tale tecnica seleziona
un campione casuale delle offerte, calcola il prezzo di vendita ottimo per questo
campione, ed esegue il meccanismo a prezzo fisso con prezzo di vendita ottimo
sugli offerenti che non sono rientrati nel campione.
Il Campionamento Casuale a Prezzo Ottimo (RSOP) 5 realizza un profitto che
5 Da Random Sampling Optimal Price.
41

CAPITOLO 4. Aste competitive
é una frazione costante di F (2) , l’asta ottima omnisciente a singolo prezzo che
vende almeno due beni per tutti i possibili input. Piú in particolare si puó dimo-
strare che il profitto di RSOP é in media uguale a quello di F, l’asta omnisciente
ottima a singolo prezzo.
Definizione 4.3 (Asta a prezzo ottimo con campionamento casuale,
RSOP). L’asta a prezzo ottimo con campionamento casuale lavora come segue:
1. Partiziona le offerte b in maniera casuale in due insiemi: ogni offerta viene
posta in b ′
2. Considera p ′
b ′′
o in b ′′
con probabilitá 1/2.
= opt(b ′
) e p ′′
= opt(b ′′
) essere i prezzi soglia ottimi per b ′
3. Esegue il meccanismo a prezzo fisso con prezzo p ′
tutte le offerte in b ′′
rimanenti vincono al prezzo p ′
.
di valore al di sotto di p ′
4. Esegue il meccanismo a prezzo fisso con prezzo p ′′
sulle offerte in b ′′
. I.e.,
sono rifiutate; tutte le offerte
sulle offerte b ′
.
É evidente come RSOP possa essere riformulato tramite una funzione indi-
pendente dall’offerta e quindi dal teorema 2.1 a pagina 22 deriva che l’asta a
prezzo ottimo con campionamento casuale é truthful. Si puó dimostrare, inoltre,
che:
Teorema 4.2. RSOP é costante competitiva rispetto a F (2) .
La costante che si ottiene non é molto buona ma c’é un buon numero di casi
in cui le performance del meccanismo sono nettamente migliori di quelle nel caso
pessimo.
Esiste, inoltre, una variante di tale meccanismo parametrizzata in funzione
del numero di beni venduti dall’asta e denominata RSOPl per cui vale:
42
e

CAPITOLO 4. Aste competitive
Teorema 4.3. Esiste una costante assoluta C, tale che per qualunque ɛ > 0,
RSOP m
2 −ɛm é (1+ɛ)-competitiva rispetto ad F (m) con probabilitá strettamente
maggiore di 1 − e −Cɛ2 m .
4.5.2 Estrattore di profitto a campionamento casuale
Andiamo ora ad analizzare come al pari degli algoritmi approssimati si vada ad
usare il problema decisionale per cercare una soluzione al problema di parten-
za. Usiamo, quindi, l’estrattore di profitto dell’asta base in combinazione con
il campionamento casuale cercando di ottenere un’asta che renda massimo il
profitto.
Definizione 4.4 (Asta con l’estrattore di profitto a campionamento ca-
suale, RSPE 6 ). L’asta costruita tramite l’estrattore di profitto a campionamen-
to casuale lavora come segue:
1. Partiziona le offerte b a caso (con distribuzione uniforme) in due insiemi,
ottenendo i due vettori delle offerte b ′
2. Calcola F ′
b ′′
.
= F(b ′
) e F ′′
e b ′′
.
= F(b ′′
), i profitti ottimi a prezzo fisso per b ′
3. Computa i risultati d’asta eseguendo ProfitExtract F ′′ su b ′
su b ′′
.
e ProfitExtract F ′
Poiché ProfitExtractF ′′ e ProfitExtractF ′ sono truthful sulle loro rispettive
partizioni abbiamo che:
Teorema 4.4. RSPE é truthful.
ed inoltre in termini di competitivitá:
Teorema 4.5. RSPE é 4-competitiva rispetto a F (2) .
6 Da Random Sampling Profit Extraction Auction.
43
e

CAPITOLO 4. Aste competitive
4.6 Randomizzazione attraverso accoppiamento
pesato
In tutte le aste truthful introdotte vi sono solo uno o due prezzi di vendita.
Vediamo di definire in termini di comportamento e di competitivitá un’asta multi
prezzo. Tale asta non é competitiva con F anche nel caso in cui in F ci siano
molti vincitori, ma, definisce una prima soluzione al problema delle aste online
che é di rilevanza cardine in questo lavoro di tesi (vedi parte II da pagina 52).
Definizione 4.5 (Accoppiamento pesato). L’asta ad accoppiamento pesato
é un’asta indipendente dall’offerta, IOf, con una funzione f definita come segue:
f(b) = bi con probabilitá
bi
j bj
Essendo definita in tal modo per determinare se l’offerente i vince l’asta e a
quale prezzo, estrae un offerta bj da b−i con probabilitá proporzionale al valore
di bj, i.e., bj/(T − bi). Questo modo di procedere crea un legame tra bi e bj 7 . Se
bj ≤ bi, l’offerente i vince al costo bj, altrimenti l’offerente i perde 8 .
Per comprendere l’intuizione da cui si é formulata tale tecnica, andiamo a
considerare l’asta ad accoppiamento casuale. Assumiamo che n, il numero degli
offerenti, sia pari e accoppiamo gli offerenti casualmente indipendentemente dai
valori delle loro offerte. Per ogni coppia eseguiamo un’asta di Vickrey 1-item,
cioé, presa una coppia (bi, bj) con bi < bj, l’offerente i perde e l’offerente j vince
e paga un prezzo pari al valore di bi. Confrontata con quest’asta, un’offerente
nell’accoppiamento pesato ha molta meno probabilitá di vincere, ma quando un
offerente vince ha una probabilitá molto piú alta di pagare di piú. Quindi solo gli
7 Da ció deriva il termine accoppiamento pesato.
8 É importante notare che il risultato di tale selezione per l’offerta dell’agente i, non ha effetto
sul comportamento dell’asta nei riguardi dell’offerente j.
44

CAPITOLO 4. Aste competitive
offerenti con probabilitá piú alta possono vincere l’asta e il profitto derivante dal
fatto che gli offerenti piú alti pagano prezzi piú alti copre il profitto perso dagli
offerenti che vincono l’asta a prezzi piú bassi.
Teorema 4.6. Se 4h ≤ T , allora l’asta con accoppiamenti pesati ha E[R] =
Ω(T / log h).
Dimostrazione. Partizioniamo gli n offerenti in log h partizioni tali che presa la
partizione j essa contiene solo offerte nell’intervallo [2 j−1 , 2 j ]. Quindi, tutte le
offerte che rientrano nella stessa partizione sono al piú ad un fattore due l’una
dall’ altra. Denotiamo con Sj la somma delle offerte nella partizione j. La somma
delle offerte contenute in partizioni con una sola offerta é limitato superiormente
da log h
j=1 2j = 2h − 1 < T /2. Nella nostra analisi ignoreremo tali partizioni.
Consideriamo, quindi, tutte le partizioni con due o piú offerte, e denotiamo con
T ′
la somma delle offerte in tali partizioni. Abbiamo che T ′
> T /2.
Per ogni offerta j, analizziamo la coppia di offerte che sono in j e limitiamo
il profitto medio derivato da tale coppia. La probabilitá che un offerta i nella
partizione j sia accoppiata con un’altra offerta nella stessa partizione é (Sj −
bi)/(T − bi) > Sj/(3T ), in quanto la partizione j contiene almeno due offerte e
quindi Sj − bi ≥ Sj/3.
Presi b ′
1, . . . , b ′
k essere i valori delle offerte nella partizione j ordinati in maniera
crescente. Dato che un’offerta b ′
i della partizione j é accoppiata con un’altra
offerta nella stessa partizione, la probabilitá che l’offerta vinca é almeno
i − 1
2(k − i) + (i − 1)
> i − 1
2k
poiché nel caso peggiore tutte le offerte al di sotto dell’offerta i sono a valore 2 j−1
e tutte le offerte al di sopra dell’offerta i sono al valore 2 j . Il numero medio di
offerte nella partizione j che vincono quando accoppiate con altre offerte nella
45

stessa partizione é almeno
CAPITOLO 4. Aste competitive
k
i=1
i − 1
2k
= k − 1
4
Considerando che la piú piccola offerta nella partizione j ha un valore pari ad
almeno Sj/(2k) e denotando con Rj il profitto generato da tutte le offerte nella
partizione j accoppiate con altre offerte nella stessa partizione abbiamo:
E[Rj] ≥ Sj
3T
≥ (k − 1)S2 j
24kT
Per k ≥ 2 abbiamo (k − 1)/k ≥ 1/2 da cui:
E[Rj] ≥ S2 j
48T .
Sj k − 1
· ·
2k 4
La quantitá cui siamo interessati é E[R] ≥ E[Rj] ≥ S2 j
. Tale somma
48T
é minimizzata quando tutti i log h elementi in Sj sono uguali a T ′
/ log h. In tal
caso, infatti,
E[R] ≥ T ′2 (log h)
48T log 2 h
Poiché dalle considerazioni precedenti T ′
> T /2 abbiamo
da cui E[R] = Ω(T / log h).
E[R] ≥
T
192 log h
Il fattore costante 1/192 non sembrerebbe molto buono ma se si considera che
l’analisi tiene conto solo di una piccola quantitá del profitto R realmente generato
dall’asta, ci si rende conto di quanto poco influisce.
I limiti inferiori sul profitto dell’accoppiamento pesato e del campionamento
casuale prezzo a ottimo (RSOP) sono sviluppati considerando come termine di
paragone T e sono pressoché identici e pari a Ω(T / log h). Nonostante ció RSOP
46

CAPITOLO 4. Aste competitive
produce dei risultati migliori dell’accoppiamento pesato quando viene confrontata
con F.
Inoltre, si puó mostrare che il profitto medio dell’asta con accoppiamento pe-
sato é Ω(F/ √ log h), e quindi tale asta non é competitiva per un fattore costante.
Infatti,
Teorema 4.7. Se F ≥ 2h allora E[R] = Ω(F/ √ log h) e questo limite é stretto.
47

Capitolo 5
Aste con beni in fornitura
limitata
Le aste considerate, sia nella descrizione sia nell’analisi, suppongono una quantitá
illimitata di beni disponibili alla vendita e, l’asta puó, potenzialmente, venderne
un’unitá ad ogni offerente. Consideriamo cosa avviene quando il numero di beni
disponibili per la vendita é limitato. Tale ipotesi é tipica per i mercati di beni
fisici. Introdurremo, quindi, k per denotare il numero di unitá disponibili del
bene.
Il venditore desidera massimizzare il profitto e non é significativo per lui ven-
dere tutti i beni 1 . Le definizioni di truthful e di aste competitive, date finora
valgono anche nell’ipotesi di fornitura limitata. Denotando con F (m,k) il profitto
dell’asta ottima a singolo prezzo che vende almeno m ed al piú k beni ed é essa
la quantitá per cui tenteremo di valutare la competitivitá.
Il caso di fornitura limitata é un caso speciale del caso della fornitura illimita-
ta, i.e., con k = n. Quindi, il problema d’aste con fornitura limitata si riduce al
problema d’aste base con fornitura illimitata. Per ridurci al caso della fornitura
1 Anche se sicuramente non gli dispiacerebbe.
48

CAPITOLO 5. Aste con beni in fornitura limitata
limitata, ignoreremo, i.e., rifiuteremo, tutti i piú alti k offerenti ed eseguiremo
un’asta con fornitura illimitata sulle restanti offerte. Per essere truthful occorre
che nessuno di questi k offerenti vinca ad un prezzo piú basso della piú alta offerta
ignorata.
Definizione 5.1 (Variante a fornitura limitata). Data un’asta a fornitura
illimitata A, definiamo la sua variante a fornitura limitata Ak come segue.
1. Simula un’asta di Vickrey k-item su b e ottiene allocazione x V e prezzi p V .
2. Preso b A essere b A i = x A i bi (i.e., b con i perdenti dell’asta di Vickrey k-item
trattati come avessero offerto zero).
3. Simula A su b A e ottiene allocazione x A e prezzi p A .
4. Da in output allocazione x tale che xi = x V i x A i e prezzi p tali che pi =
xi max(p V i , p A i ).
Lemma 5.1. Per qualunque asta A la sua variante a fornitura limita, Ak é
truthful.
La dimostrazione di questo lemma si basa sull’osservazione nessun bene vie-
ne venduto ad un prezzo piú basso del prezzo cui sarebbe venduto nell’asta di
Vickrey k-item ma é complessa da formalizzare e sará quindi omessa dalla discus-
sione in quanto appesantirebbe troppo la trattazione non essendo significativa agli
obiettivi di tesi.
Teorema 5.1. Data un’asta, A, che sia β-competitiva con F (m) , la sua variante
a fornitura limitata, Ak, é β-competitiva con F (m,k) .
Dimostrazione. Preso p essere il prezzo di vendita dell’asta di Vickrey k-item su b.
Da quanto precedentemente definito per bA, abbiamo che F (m,k) (b) = F (m) (bA)
49

CAPITOLO 5. Aste con beni in fornitura limitata
e quindi vi sono solo k offerte di valore positivo in bA. Poiché si é assunto che
A é β-competitivo, eseguendo A su bA realizziamo un profitto di F (m) (bA)/β =
F (m,k) (b)/β. Inoltre, poiché tutte le offerte diverse da zero in bA hanno un valore
di almeno p, aumentando il prezzo pagato da un qualunque vincitore di A su bA
non causa che qualunque offerente con contributo positivo al profitto dell’asta sia
rifiutato. Quindi, il profitto di Ak su b é almeno F (m,k) /β.
Tale riduzione formulata in prima istanza in [GH01] permette di estendere,
banalmente, tutti i risultati ottenuti nel caso di fornitura illimitata al caso di
fornitura limitata.
É interessante notare che l’uso della variante a fornitura limitata per le aste
RSOP e RSPE é possibile su molti vettori di offerte ed ottiene un profitto
significativamente piú alto di quello dell’asta di Vickrey k-item.
50

Parte II
Aste OnLine
51

Capitolo 6
Aste online nel caso di fornitura
limitata
Le aste andrebbero usate, potenzialmente, per vendere beni nel caso in cui un
vero mercato non esiste. Nel caso tipico, c’é un venditore e piú compratori e il
venditore desidera vendere i beni al prezzo piú alto possibile. Nel tentativo di
applicare le aste a situazioni reali come commercio elettronico o allocazione delle
risorse di rete, ci si scontra di fronte al fatto che esse non sono aste nel vero senso
della parola.
In quest’analisi, consideriamo offerenti differenti che arrivano in tempi diffe-
renti e, al meccanismo d’asta é richiesto di prendere decisioni circa le offerte nel
momento in cui sono ricevute. Questa teoria é in contrasto all’assunzione tradi-
zionale nella quale si suppone che i partecipanti attendano un certo ammontare
di tempo, per far in modo che arrivino le offerte degli altri partecipanti, prima
di sapere se la loro offerta é stata accettata o meno e, quanto devono pagare.
Assumeremo, quindi, che gli agenti non vogliano attendere un lungo tempo, circa
le decisioni di allocazione.
Nel modello che analizzeremo (definito in [LN00]), k beni identici sono messi
52

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
all’asta 1 . Ogni offerente ha una valutazione privata per ogni quantitá del bene e,
si considera che le utilitá marginali degli offerenti sono non crescenti. L’agente
scopre la sua valutazione del bene in un certo istante e, deve fare un’offerta
esattamente in quell’istante. Il meccanismo d’asta deve decidere, quando l’offerta
é ricevuta (e prima di vedere altre offerte), quanti beni allocare a quell’agente e
a che prezzo. Chiameremo una tale asta, un’asta online.
All’interno di tale formulazione siamo interessati ad aste che siano compatibili
agli incentivi, in cui, cioé, tutti gli utenti hanno come strategia dominante dire la
veritá e vogliamo studiare il rapporto di competitivitá di queste aste con quelle
offline.
Le aste online, con un numero limitato di beni a disposizione per la vendita,
hanno molte proprietá interessanti, soprattutto a riguardo della massimizzazione
dell’benessere sociale degli agenti; e, la teoria ad esse relativa trova in R. Lavi e
N. Nisan, autori di spicco per tutti i lavori significativi in tale ambito.
Per approfondire la trattazione di tale tematica si rimanda a [DN96], [NR00],
[LN00].
6.1 Aste online
6.1.1 Il modello
I beni: Consideriamo aste con k beni identici e indivisibili da vendere ad un’in-
sieme di giocatori. In tale analisi ignoriamo il caso in cui k sia molto grande
poiché tale caso é piú corretto considerarlo come un bene infinitamente divisibile
di quantitá Q.
Valutazioni dei giocatori e utilitá: Denoteremo le valutazioni degli agenti tra-
1 Perció a fornitura limitata.
53

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
mite una funzione di valutazione marginale. Ossia, per il giocatore i, indicheremo
con vi(q) il beneficio addizionale che l’agente ottiene dal ricevere la q-esima quan-
titá del bene. Quindi, la valutazione totale dell’agente i per q beni é q
j=1 vi(j).
Assumeremo che per tutti i partecipanti la funzione di valutazione marginale sia
non crescente, i.e., vj(q + 1) ≤ vi(q) 2 . Quando il giocatore i riceve q beni e paga
per essi un totale di Pi la sua utilitá é data dalla differenza tra la sua valutazione
dei beni ed il prezzo che per essi deve pagare. Ui(q, Pi) = q
j=1 vi(j) − Pi. Assu-
meremo che ogni giocatore ha come obiettivo massimizzare la sua utilitá.
Gioco online e strategie dei giocatori: Il gioco online ha la seguente strut-
tura. Inizialmente, l’insieme di giocatori é sconosciuto al venditore, e nessuno dei
giocatori conosce la sua valutazione. Il giocatore i al tempo ti acquisisce la sua
valutazione e fa la sua offerta in quello stesso momento 3 . Rivolgeremo la nostra
attenzione su meccanismi a rivelazione diretta nei quali, quindi, il giocatore di-
chiara la sua funzione di valutazione marginale. Quindi, l’offerta é una qualche
funzione non crescente bi(q) della forma bi : [1 . . . k] → R + .
Un partecipante, peró, potrebbe essere motivato a mentire, offrendo bi(q) = vi(q),
al fine di incrementare la sua utilitá. Il meccanismo d’asta deve determinare la
quantitá da allocare all’offerente i e a quale prezzo in maniera tale che mentire
2 Quest’assunzione é comune in Economia poiché giustificata dal fatto che per beni identici,
come per quelli surrogati, vale il principio di sostituibilitá per il quale solo poche unitá del bene
sono di reale interesse per i singoli partecipanti. Tale principio é considerato anche in Vickrey
[VI61] nella discussione sulle aste combinatoriali che non sono efficienti nel caso nell’insieme
di beni messi all’asta c’é ne siano di sostituibili. In tal caso, infatti, il problema di trovare un
allocazione ottima é NP-Hard e, poiché soluzioni approssimate all’allocazione non sono utili
per l’applicazione dell’asta di Vickrey, sotto tali condizioni le aste combinatoriali si risolvono
attraverso una riduzione del modello.
3 Successivamente verranno eliminate sia la limitazione sul tempo a cui l’agente deve effet-
tuare la sua offerta sia quella sul numero di partecipanti che, invece, supporremo conosciuto in
anticipo.
54

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
non gli comporti un maggior guadagno, e quindi non sia incentivato a farlo. As-
sumeremo che se un giocatore non riceve una qualche quantitá positiva allora il
suo pagamento é zero. Il gioco termina quando o il banditore vende tutti i beni
o l’ultimo giocatore annuncia la sua offerta.
Compatibilitá agli incentivi: Vogliamo progettare un meccanismo che sia
truthful in cui, quindi, per quanto definito nella sezione 1.7 a pagina 12 ogni
offerente ha una strategia dominante, ci riferiremo a questo modo di procedere
con il termine compatibilitá agli incentivi.
La strategia d’offerta bi(q) del giocatore i é definita dominante se per ogni altra
possibile offerta possa fare bi(q) e per ogni sequenza di offerte passate e future
degli altri giocatori, Ui(qi, Pi) ≥ Ui(qi, Pi) dove qi e qi sono le quantitá vinte dal
giocatore i quando dichiara rispettivamente bi(q) e bi(q) e, Pi e Pi sono i rispettivi
pagamenti. Quindi per ogni sequenza di offerte degli altri giocatori l’utilitá del
giocatore i é massima dichiarando bi(q). Un meccanismo a rivelazione diretta é
compatibile agli incentivi se fare offerte corrispondenti alla reale valutazione é
una strategia dominante.
6.1.2 Curve di fornitura per le aste online
Daremo ora una caratterizzazione generale di un’asta online compatibile agli
incentivi.
Definizione 6.1 (Curve di fornitura). Un’asta online é detta ”basata su curve
di fornitura” se prima di ricevere l’i-esima offerta viene fissata una funzione
(curva di fornitura) pi(q) basata sulle precedenti offerte, e tale che,
1. La quantitá qi, venduta all’offerente i, é la quantitá q che massimizza la
somma q
j=1 (bi(j) − pi(j)) (i.e. l’utilitá dell’offerente).
2. Il prezzo pagato dall’agente i é qi
j=1 pi(j).
55

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
La forma piú semplice di curve di fornitura é quella in cui pi(q), la funzione
marginale associata a tale curva, é non decrescente. Per tali curve, infatti, qi
diviene la piú grande quantitá per cui bi(q) ≥ pi(q). Nel caso di beni infinita-
mente divisibili la curva di fornitura sará una funzione reale non decrescente, e la
quantitá qi sará determinata cosí come descritto precedentemente ed il prezzo di
vendita sará dato da qi
0 pi(q) dq. Se la curva di fornitura e quella dell’offerta sono
entrambe funzioni continue qi diviene l’unica soluzione tale che bi(q) = pi(q). La
p
q i
q
p i (q)
b i (q)
Figura 6.1: Un esempio d’asta basata su curve di fornitura.
Ad occhio, é truthful quest’asta?
figura 6.1 illustra un’esempio di curva di fornitura (contrassegnata con bi(q)) e di
curva dell’offerta (contrassegnata con pi(q)) cosí come descritte precedentemente.
In accordo a quanto definito la quantitá ricevuta dall’agente i é qi ed il prezzo
totale da esso pagato é l’area definita dalla curva di fornitura (in figura 6.1 quella
marcata con tratti orizzontali). Se lo schema é truthful e, quindi, l’offerta é pari
alla reale valutazione, l’utilitá risultante all’agente é l’area compresa tra la curva
dell’offerta e la curva di fornitura (in figura 6.1 marcata con tratti verticali).
56

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Allocata la quantitá qi all’agente i-esimo, l’asta continuerá presentando, al
prossimo agente, una nuova curva di fornitura pi+1(q).
Teorema 6.1. Un’asta online é compatibile agli incentivi se e solo se é basata su
curve di fornitura.
Dimostrazione. A tal fine dimostreremo i lemma 6.1 e 6.2.
Lemma 6.1. Un’asta online che é basata su curve di fornitura é compatibile agli
incentivi.
Dimostrazione. L’utilitá dell’offerente i quando riceve la quantitá q é Ui(q) =
q
j=1 (vi(j) − pi(j)). Supponiamo che esso dichiari bi(q) = vi(q) e supponiamo
che la quantitá che riceve in virtú di tale offerta é qi.
Se qi = qi il pagamento resta invariato e, quindi, anche l’utilitá non varia essendo
basata sulla differenza tra valutazione e pagamento.
Se qi > qi allora Ui(qi) = qi
j=1 (vi(j) − pi(j)) e ricordando che qi é l’ultimo
valore per cui supponendo l’agente i-esimo dichiari la veritá bi(qi) ≥ pi(qi) (ossia
vi(qi) ≥ pi(qi)) abbiamo:
qi
Ui(qi) = (vi(j) − pi(j)) +
j=1
qi
j=qi+1
(vi(j) − pi(j))
e considerando, in base a quanto detto precedentemente, la differenza tra le
rispettive utilitá
Ui(qi) − Ui(qi) =
qi
j=qi+1
(vi(j) − pi(j)) ≤ 0
Per come é stata definita la quantitá qi, a partire da qi + 1 in poi vi(j) < pi(j)
e, quindi, l’offerente i non ha tratto alcun vantaggio dall’aver mentito circa la
sua reale valutazione. Nel caso in cui q i < qi, analogamente al caso precedente
57

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Ui( q i) = q i
j=1 (vi(j) − pi(j)) da cui
Ui( q i) − Ui(qi) = −
qi
j= q i +1
(vi(j) − pi(j)) ≤ 0
In quanto é sempre dalla definizione di qi, vi(j) ≥ pi(j) per ogni j ≤ qi e quindi
tutti i termini all’interno della sommatoria sono non negativi.
Tale analisi, sicuramente corretta e meticolosa, si sarebbe potuta evitare no-
tando che la curva di fornitura per l’offerente i é definita a priori, prima dell’arrivo
della sua offerta, e poiché il pagamento dipende esclusivamente da tale curva 4 ,
il meccanismo che sta alla base di quest’asta é indipendente dall’offerta e per il
teorema 2.1 a pagina 22 quest’asta é truthful.
All’utente i, quindi, conviene dire sempre la veritá se vuole massimizzare la sua
utilitá.
Passiamo a dimostrare ora un risultato molto forte relativo ai meccanismi
basati su curve di fornitura.
Lemma 6.2. Qualunque asta online compatibile agli incentivi é basata su curve
di fornitura.
Dimostrazione. Con una caratterizzazione piú ampia di ció che é dal punto di
vista di un generico meccanismo una una curva di fornitura, possiamo affermare
che esse non sono nient’altro che delle funzioni che determinano il pagamento
dell’offerente in funzione della quantitá che egli riceve, e la quantitá che riceve
in funzione delle offerte precedenti (dalle quali tale funzione é costruita). Quindi
dimostrare che qualunque asta online dev’essere basata su tali curve equivale
a dimostrare che il pagamento totale dell’offerente i-esimo é basato solo sulla
quantitiá che riceve e sulle precedenti offerte.
4 Infatti la curva dell’offerta concorre solo alla determinazione della quantitá di beni da
allocare all’offerente i, e non del prezzo a cui tali beni saranno allocati.
58

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Poiché tale asta dev’essere compatibile agli incentivi, occorre, che una tale
strategia, costringa gli offerenti a dichiarare la loro reale valutazione. Supponiamo
esistano due differenti offerte tali che b(q) e b(q) ricevono la stessa quantitá ma
pagano prezzi differenti, e senza perdere di generalitá possiamo supporre che
P > P .
Nella situazione illustrata il giocatore che ha offerto b(q) puó mentire e fare
un offerta b(q) con la quale ricevere la stessa quantitá ma paga meno, ottenendo
Ui( b, p) < Ui(b, p) poiché q
j=1 vi(j) − P < q
j=1 vi(j) − P . Per cui, un’asta in
cui fosse possibile un comportamento del genere non é compatibile agli incentivi.
Poiché con le curve di fornitura il prezzo pagato pi(q) = Pi(q) − Pi(q − 1) dipende
solo dalla quantitá ricevuta, in tali aste non é possibile un comportamento simile
a quello precedentemente illustrato, da cui la tesi segue.
Una forma speciale e interessante di valutazioni degli agenti é quella in cui le
valutazioni marginali sono fissate 5 ossia sono nella forma vi(q) = vi per tutti gli i
e q. Tale restrizione é utile poiché puó essere usata per definire il limite inferiore
al rapporto di competitivitá delle aste online.
Lemma 6.3. Se tutte le valutazioni marginali sono della forma vi(q) = vi qua-
lunque asta online compatibile agli incentivi é basata su curve di fornitura non
decrescenti.
La dimostrazione di tale lemma viene omessa, poiché il risultato da esso ot-
tenuto puó essere incluso in un risultato piú generale che otterremo nella sezione
6.2 a pagina 63; per una dimostrazione formale di questo lemma si rimanda,
comunque, a [LN00].
5 Ossia, per gli utenti ricevere un’ulteriore unitá del bene é indifferente sia che se ne siano
giá ricevute cento sia che non se ne sia ricevuta nessuna.
59

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Per come funziona il meccanismo d’asta fin qui illustrato, si puó pensare
ad una sua modifica in cui il banditore presenta la curva di fornitura ai vari
giocatori interessati. In tal caso, ogni offerta consiste semplicemente di una coppia
sulla curva di fornitura. Poiché dire la veritá é una strategia
dominante, la conoscenza della curva di fornitura non induce a mentire.
Definizione 6.2 (Curva di fornitura globale). Un’asta online é detta ”basata
su una curva di fornitura globale p(q)” se essa é basata su curve di fornitura e,
se pi(q) = p(q + i−1
j=1 qj), dove qj é la quantitá data al j-esimo offerente.
In altre parole, l’i-esima curva di fornitura é uno shift a sinistra della (i −
1)-esima curva di fornitura di una quantitá qi−1.
p
q i-2
p
q i-1
q
p(q)
Figura 6.2: Esempio di curva di fornitura globale.
Passaggio dalla curva per l’offerta i − 1 a quella per l’offerta i
60

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
6.2 Analisi competitiva
Definiamo formalmente le quantitá che determinano le performance dell’asta con
le dovute variazioni rispetto all’analisi di competitivitá precedentemente illustrata
poiché i meccanismi con cui andiamo a trattare sono online 6 .
Per la nostra analisi supporremo che tutte le valutazioni marginali siano com-
prese nell’intervallo [p, p], senza nessuna distribuzione su di esse. Assumeremo,
anche, che p > 0 sia il prezzo di prenotazione del banditore. Nonostante ta-
li quantitá siano state introdotte nella sezione 3.1 a pagina 30 le ridefiniremo
adattandole ai nostri scopi.
Definizione 6.3 (Profitto ed Efficienza Sociale). Il profitto di un’asta A
per una sequenza di valutazioni σ, denotato con RA(σ) é l’utilitá risultante al
banditore, i.e. il pagamento totale che egli riceve piú la sua valutazione dei beni
che non ha venduto. In particolare, presa qi essere la quantitá data all’i-esimo
agente in σ e Pi essere il prezzo totale pagato dall’i-esimo giocatore, allora:
RA(σ) =
Pi + p(k −
qi)
i
L’efficienza sociale di un’asta A per una sequenza di valutazioni σ, denotata
con EA(σ), é la somma delle valutazioni delle quantitá che i giocatori ricevono
6 In realtá vanno ridefinite, poiché, a differenza di prima con questo tipo d’aste vi é una
probabilitá molto bassa che vengano venduti tutti i beni disponibili, e quindi, occorre reinserirli
nel profitto poiché essi hanno comunque un valore per il banditore. Questa caratteristica di
non riuscire a vendere tutti i beni é proprio la critica maggiore al meccanismo sviluppato da
Nisan e Lavi [LN00] che stiamo descrivendo. Inoltre, gli autori non usano come parametro di
riferimento per l’analisi di competitivitá solo il profitto d’asta ma anche un parametro, per cosí
dire, sociale, il welfare, ossia il benessere complessivo che coloro partecipano l’asta ottengono
dal ricevere le quantitá di bene loro assegnate.
61
i

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
(compreso il banditore). I.e.:
EA(σ) = qi
vi(j) + p(k −
qi)
i
j=1
Confronteremo il profitto e l’efficienza sociale ottenuti con quelli ottenuti dal-
l’asta di Vickrey, che é l’asta piú famosa a strategia dominante nonché l’unica
ottimale relativamente all’efficienza sociale.
Definizione 6.4 (Competitivitá). Un’asta online A é c-competitiva rispetto al
profitto se per ogni sequenza di valutazioni σ, RA(σ) ≥ Rvic(σ)/c.
Analogamente, A é c-competitiva rispetto all’efficienza sociale se per ogni sequen-
za di valutazioni σ, EA(σ) ≥ Evic(σ)/c.
6.2.1 Un bene divisibile
Focalizzando, inizialmente, la nostra attenzione al caso di un unico bene infi-
nitamente divisibile. Assumeremo, quindi, Q = 1, e descriveremo una curva di
fornitura che é Θ(log(p/p))-competitiva rispetto al profitto e all’efficienza sociale.
Presa c essere l’unica soluzione all’equazione:
(p/p) − 1
c = ln
c − 1
é semplice dimostrare che c = Θ(ln(p/p)).
i
(6.1)
Definizione 6.5 (Asta online competitiva). Definiremo la Curva di For-
nitura Competitiva essere:
p(q) = p(1 + (c − 1)e cq ). (6.2)
L’Asta Online competitiva ha curva di fornitura competitiva come sua curva
di fornitura globale.
62

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Presa q(p) = p−1 (q) (la funzione inversa di p(q)) e r(p) = q(p)
p(x) dx, non é
0
difficile verificare che q(p) é la quantitá totale pagata quando l’ultima valutazione
interseca la curva di fornitura al prezzo p, e r(p) é il pagamento totale dell’asta
per una tale sequenza.
Lemma 6.4 (El-Yaniv, Fiat, Karp e Turpin [YK92]). Le funzioni q(p) e
r(p) preservano le seguenti condizioni:
1. ∀p ≤ c · p : q(p) = 0, r(p) = 0
2. ∀p ≥ c · p : r(p) + p · (1 − q(p)) = p/c
3. q(p) = 1
Lemma 6.5 (El-Yaniv, Fiat, Karp e Turpin [YK92]). Per qualunque co-
stante c < c, non esiste una funzione q(p) tale che:
dove r(p) = p(q)
0
∀p ∈ [p, p], r(p) + p · (1 − q(p)) ≥ p/c
p(x) dx e p(q) = q −1 (p) é l’inversa della funzione q(p).
Teorema 6.2. L’Asta Online Competitiva é c-competitiva rispetto al profitto e
all’efficienza sociale.
Dimostrazione. A tal fine proveremo i lemma 6.6 e 6.7.
Lemma 6.6. Per qualunque sequenza di valutazioni σ, Rcola(σ) ≥ Rvic(σ)/c dove
”cola” identifica l’asta online competitiva e ”vic” identifica l’asta di Vickrey.
Dimostrazione. Sia σ una sequenza di valutazioni, e per l’i-esimo offerente sia
pi = pi(qi) il prezzo che egli paga. Sia m l’ultimo giocatore che riceve una
qualche quantitá positiva qm. Allora:
∀i e q > qi
bi(q) < pi 7 e pi < pm 8
7 Altrimenti avrebbe ricevuto una quantitá maggiore di qi.
8 Poiché dipende dalla curva di fornitura, che noi stiamo considerando non crescente.
63

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Ogni giocatore valuta una quantitá aggiuntiva △q non piú di pm · △q 9 . Il prezzo
che l’asta di Vickrey determina per q ∗ i é la piú alta valutazione della combinazione
di valutazioni degli altri giocatori per l’aggiunta di una quantitá △q = q ∗ divisa
tra loro.
C’é almeno un giocatore per il quale q ∗ i ≥ qi poiché l’asta di Vickrey alloca l’intera
quantitá bi(q ∗ i ) ≤ bi(qi) ≤ pm. Inoltre, l’asta di Vickrey é efficiente da cui segue
che ∀j e q > q ∗ j , bj(q) ≤ pm, se per qualche j non fosse mantenuta l’efficienza
basterebbe spostare qualche quantitá dall’agente i all’agente j. Quindi, ogni
giocatore valuta qualche quantitá aggiunta △q non piú di pm · △q nell’asta di
Vickrey per cui Rvic(σ) ≤
i (pm · q ∗ i ) ≤ pm. Poiché rientriamo nelle ipotesi
del punto 2 del lemma 6.4 il profitto dell’asta online é pm/c, da cui il lemma
segue.
Lemma 6.7. Per una qualunque sequenza di valutazioni σ, Ecola(σ) ≥ Eopt(σ)/c,
dove Eopt é l’efficienza sociale ottimale per σ.
Dimostrazione. Sia σ una sequenza di valutazioni e le quantitá pi, qi e m siano
definite in maniera analoga al lemma 6.6. Consideriamo σ∗ come segue:
⎧
⎪⎨ pi q ≤ qi
b ∗ i (q) =
⎪⎩ bi(q) altrimenti
cioé il giocatore i-esimo ha un utilitá marginale fissa per q = qi. L’allocazione
ottima non cambia b ∗ i (q) in quanto la curva di fornitura viene intersecata in
p(qi). Poiché bi(q) ≤ pi ≤ pm per tutte le i, segue che Eopt(σ ∗ ) ≤ pm. Inoltre,
Ecola(σ ∗ ) ≥ Rcola(σ ∗ ) = pm/c 10 .
Consideriamo di muoverci da σ a σ ∗ in m passi. In ogni passo i se bi(q) > bi(q ∗ )
9 Poiché la curva di fornitura é globale e pm é l’ultimo prezzo pagato, e a tutti gli agenti é
giá stata assegnata una certa quantitá di beni.
10 L’uguaglianza é dovuta al punto 2 del lemma 6.4.
64

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
in qualche punto, allora bi(q) é decrescente rispetto a b ∗ i (q). Presa σ i essere
la sequenza σ dopo i di tali modifiche, l’asta online alloca all’agente i l’intera
quantitá il cui valore decresce, e quindi, Ecola(σ i ) − Ecola(σ i+1 ) ≥ Eopt(σ i ) −
Eopt(σ i+1 ), per cui la decrescita dell’efficienza online é maggiore di quella offline,
che identifica il massimo che aspiriamo a raggiungere. Per cui, segue che Ecola(σ)−
Ecola(σ ∗ ) ≥ Eopt(σ) − Eopt(σ ∗ ) e quindi:
Ecola(σ) ≥ Eopt(σ) − Eopt(σ ∗ )/c + Ecola(σ ∗ )
≥ (Eopt(σ) − Eopt(σ ∗ ))/c + Eopt(σ ∗ )/c
= Eopt(σ)/c
Analizziamo, ora, il rapporto con l’efficienza ottimale.
É dimostrabile che
nel caso di valutazioni marginali costanti l’asta online é c-competitiva rispetto
all’efficienza ottimale.
Nel caso di valutazioni generiche, comunque, il profitto online é significativa-
mente piú basso di quello ottimale, cosí come quello di Vickrey é significativamen-
te piú basso di quello ottimale. E.g., dati q ∗ , p ∗ con p ∗ = p(q ∗ ), il primo giocatore
ottiene un profitto pari a p = v(q ∗ ) mentre il secondo giocatore p ∗ = v(q) e quindi
l’efficienza ottimale é q ∗ p + (1 − q ∗ )p ∗ . Nell’asta online, supponendo l’uso di una
curva di fornitura globale, il primo giocatore riceve una quantitá pari a q ∗ , in
quanto questa é la massima quantitá per la quale la sua valutazione é piú alta
della curva di fornitura e il secondo giocatore non riceve nulla poiché la seconda
curva di fornitura é piú alta di p ∗ . Quindi, il profitto é al piú q ∗ p + (1 − q ∗ )p e
se p ∗ = pp, la competivitá con l’efficienza sociale ottima é maggiore di
p/p.
É semplice notare che se l’ordine degli arrivi si inverte, il profitto online é incre-
mentato significativamente a p/c, mentre la competitivitá della asta di Vickrey
non cambia.
65

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Teorema 6.3. Ogni asta online compatibile agli incentivi ha un rapporto di com-
petitivitá di almeno c nel rispetto del profitto o dell’efficienza sociale, dove c é la
soluzione dell’equazione 6.1.
La dimostrazione del teorema sará ristretta all’uso di valutazioni marginali
costanti. Si assume in accordo al lemma 6.1 che A sia basata su curve di fornitura
non decrescenti. Assumendo p = 1 e denotando p = φ, considereremo fn essere
l’n-esima radice di φ, dove f n n = φ, e cn = c/(f 2 n). Senza perdita di generalitá,
possiamo supporre, che il numero n dei giocatori sia conosciuto in anticipo.
Lemma 6.8. Nessun asta online con n offerenti realizza un efficienza che é
migliore di cn-competitiva rispetto al profitto dell’asta di Vickrey.
Dimostrazione. Assumiamo, per contraddizione, che vi sia un’asta migliore di
cn-competitiva, possiamo sviluppare una funzione q(p) che soddisfi le condizioni
del lemma 6.5 per una costante c < c.
Consideriamo il comportamento dell’asta online sulla sequenza di offerte degli n
offerenti: p1 = fn, p2 = f 2 n, . . . , pn = φ e sia qi al quantitá allocata all’offerente
i. Per tutti i p nel range 1 ≤ p ≤ φ definiamo q(p) = i
j=1 qj dove i é tale che
pi−1 ≤ p ≤ pi; quindi, r(p) = i
j=1 qjpj per tale i. Ora, per ogni i, consideriamo
la sequenza di offerte dove le prime i sono p1, . . . , pi e le altre sono 1. Il profitto
dell’asta di Vickrey é pi−1 = pi/fn mentre l’efficienza dell’asta online é r(pi) +
(1 − q(pi)). Poiché stiamo assumendo una competitivitá migliore di cn abbiamo
r(pi) + (1 − q(pi) > pi/(cnfn) = pifn/c. Quindi per ogni p, se prendiamo i essere
tale che pi−1 ≤ p < pi abbiamo r(p) + (1 − q(p)) = r(p) + (1 − q(pi)) > pifn/c ≥
(pn/fn)fn/c = p/c che completa le condizioni del lemma 6.5 e rendono reale la
contraddizione.
Quindi, vi é una sequenza di valutazioni σ tali che RA(σ) ≤ EA(σ)/cn ≤
Evic(σ)/cn. Per cui, A non é meglio di cn-competitiva rispetto al profitto e all’ef-
66

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
ficienza sociale. Poiché cn tende a c per n che tende a infinito il teorema resta
dimostrato.
6.2.2 Aste randomizzate per un bene divisibile
Definizione 6.6 (Asta randomizzata online). L’asta randomizzata online
(per un bene): prima di ricevere una qualunque offerta sceglie un qualche prezzo
fisso p ∗ casualmente attraverso l’uso di q(p). L’asta allora vende il bene al primo
giocatore con una valutazione di almeno p ∗ ad un prezzo pari a p ∗ .
É banale osservare che l’asta é compatibile agli incentivi, poiché per qualunque
scelta randomizzata l’utilitá del giocatore é massima quando dice la veritá.
Quest’asta é c-competitiva rispetto al profitto medio e all’efficienza sociale media.
6.2.3 Un’asta deterministica per k beni indivisibili
Il caso in cui il numero dei beni k = 1 é banale, e si risolve fissando un prezzo di
prenotazione pi, e allocando il bene quando arriva un’offerta con una valutazione
maggiore al prezzo di prenotazione.
Il caso generale per k ≥ 1 puó essere gestito in maniera analoga:
Definizione 6.7 (Asta online discreta). L’asta online discreta é basata sulla
seguente curva di sofferenza globale:
p(j) = p · φ j
k+1 , per j = 1, . . . , k
I seguenti teoremi dimostrano la competititivitá di tale asta, e denotano un
limite inferiore al suo comportamento.
Teorema 6.4. L’asta online discreta é k · φ 1
k+1 -competitiva rispetto al profitto
e all’efficienza sociale. Se k ≥ 2 ln φ allora l’asta discreta online é anche 2 ·
e(ln(φ) + 1)-competitiva rispetto al profitto e all’efficienza sociale.
67

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
Teorema 6.5. Qualunque asta online compatibile agli incentivi per k beni ha
un rapporto di competitivitá di almeno m = max{φ 1
k+1 , c} rispetto al profitto e
all’efficienza sociale, dove c é la soluzione dell’equazione 6.1.
Per le dimostrazioni dei due teoremi si rimanda a [LN00].
6.3 Estensioni del modello
Il modello fin qui definito funziona e mantiene gli stessi rapporti di competitivitá
anche quando:
1. le offerte sono ritardate, il giocatore i conosce la sua valutazione al tempo
ti ma effettua la sua offerta in un tempo t > ti
2. il giocatore fa piú offerte ai tempi ti1, . . . , tin ≥ ti
3. le valutazioni sono dipendenti dal tempo e, quindi, la funzione di valutazione
é della forma vi(q, t) con v che risulta non crescente sia in q che in t
In tali estensioni un’offerta é considerata utilitaristica se viene detta la veritá
almeno una volta, al tempo ti; e per esse puó formularsi il seguente:
Teorema 6.6. Qualunque asta online basata su una curva di fornitura globale
non decrescente é compatibile agli incentivi in una qualunque di queste estensioni.
Poiché le assunzioni online non variano il rapporto con l’asta di Vickrey i
rapporti di competitivitá fin qui analizzati non variano in tali estensioni.
6.4 Esempio
Possiamo mostrare, ora, una tabella che paragona il profitto generato in media
dall’asta online con il profitto dell’asta di Vickrey offline; considerando il ca-
68

CAPITOLO 6. Aste online nel caso di fornitura limitata
so di un bene divisibile, valutazioni uniformemente distribuite in [p, p] e che n
rappresenti il numero di partecipanti l’asta.
profitto online profitto di Vickrey
p = 1.5, n = 2 1.15 1.17
p = 3, n = 2 1.60 1.67
p = 10, n = 2 3.33 4.00
p = 2, n = 2 1.31 1.33
p = 2, n = 3 1.37 1.50
p = 2, n = 100 1.56 1.98
Tabella 6.1: Confronto tra il profitto medio dell’asta online e di Vickrey.
6.5 Riflessioni
In molti casi il meccanismo analizzato non é competitivo poiché il suo fattore
di competitivitá buono nei confronti dei VCG implica, nel caso di fornitura illi-
mitata, che tale rapporto sia pessimo, poiché come illustrato nella sezione 4.2 a
pagina 37 (e sicuramente in maniera piú dettagliata in [GH01]) i VCG non sono
competitivi.
Il meccanismo di Lavi e Nisan fin qui illustrato, peró, ha l’importante pro-
prietá di essere l’unico meccanismo online progettato al fine di ottenere un buon
rapporto di competitivitá rispetto all’efficienza sociale e, quindi, da tale punto
di vista esso ha competitivitá ottima (essendo unico nessuno puó far meglio, per
ora ...).
69

Capitolo 7
Aste online nel caso di fornitura
illimitata
Le aste con beni in fornitura illimitata sono state giá illustrate nel capitolo 2.
Il problema insito nelle teorie esposte é che le offerte sono considerate come
un insieme, ed il meccanismo prende le decisioni sui prezzi di vendita e sulle
allocazioni, nel momento in cui si sono ricevute tutte le offerte 1 . Per alcuni
beni, soprattutto digitali, non vi é un termine fissato per la vendita, e.g., la pay-
per-view in cui le offerte possono arrivare anche a trasmissione iniziata ma le
decisioni di allocazione per le offerte ricevute prima dell’inizio delle trasmissione
non possono essere rimandate.
Quindi, occorre decidere se soddisfare o meno un’offerta nel momento in cui
essa arriva, ed é palese assumere che le decisioni di allocazione siano prese prima
dell’arrivo della prossima offerta. Per cui i problemi che ci apprestiamo ad affron-
tare rientrano a pieno titolo nella classe degli algoritmi online. Come consuetudi-
ne nello studio degli algoritmi online effettuiamo confronti con le corrispondenti
versioni offline al fine di realizzare un’analisi di competitivitá. Come algoritmo
1 Poiché l’impostazione di tali aste é offline é ovvio utilizzare una tale metodologia .
70

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
offline consideriamo un algoritmo che prende, comunque, le decisioni una alla vol-
ta, ossia nel momento in cui arrivano le richieste, ma conosce in anticipo l’intera
sequenza di valutazioni, inoltre, poiché le aste che consideriamo sono compatibili
agli incentivi la versione offline considerata é a valori pubblici 2 . Un’asta offline
siffatta realizza un profitto pari alla somma delle valutazioni T , che é il massimo
valore ottenibile, ossia l’ottimo.
La letteratura abbonda di studi relativi a tale tipologia di aste, e per relativi
approfondimenti si rimanda a [GH01], [FI01], [BW02], [GH02], [GW02], [GS02],
[WU03], [GH03], [HA03].
7.1 Modello
Consideriamo aste per beni disponibili in fornitura illimitata, in cui, quindi, vi é
una copia del bene per al piú ogni offerente, ed ogni offerente é interessato ad una
singola copia del bene. Preso n denotare il numero di offerenti, l’offerente i ha
una valutazione vi per il bene messo all’asta, nota solo a lui stesso ed invariabile
per tutta la durata dell’asta. Normalizzando le valutazioni si puó assumere che
ogni vi sia un numero reale nell’intervallo [1, h], per cui h denota il rapporto tra
la valutazione massima e quella minima. L’utilitá dell’offerente i denotata con
Ui é, quindi, vi − pi se l’offerente vince il bene al prezzo pi e 0 se non prende il
bene (o per uniformitá di linguaggio, perde). Ogni offerente ha come obiettivo la
massimizzazione della sua utilitá.
In un’asta online le offerte sono ricevute una per volta dagli n offerenti in una
sequenza b = b1, . . . , bn. Il banditore, quando si presenta un’offerta bi da parte
2 La versione offline a valori pubblici é quella in cui le valutazioni degli utenti sono note al
meccanismo e, non sono gli agenti a comunicarle tramite le dichiarazioni che effettuano. In tale
accezione, non si considera la possibilitá che gli agenti possano mentire.
71

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
dell’offerte i-esimo, determina se vendere il bene a tale offerente ed in caso positi-
vo determina anche il prezzo. L’allocazione dev’essere effettuata prima che qua-
lunque futura offerta sia presentata (ricordando che per essere a partecipazione
volontaria pi ≤ bi).
L’asta online A puó essere anche vista come una collezione di n funzioni prezzo
s1, . . . , sn dove si(b1, . . . , bi) é una funzione nelle offerte ricevute fino al passo i.
L’interpretazione di queste funzioni si é, di imposizione del prezzo di vendita per
il singolo offerente i-esimo. Se si ≤ bi, l’offerente i vince il bene e lo paga si,
altrimenti l’offerente i perde e non paga nulla. Tale schema vale sia nel caso di
aste deterministiche che randomizzate.
Per rendere agile la lettura rammentiamo che il profitto di un’asta é denotato
con RA(b), ed é stato definito in 6.3 a pagina 61 e quantificato come la somma
dei pagamenti ricevuti dall’asta. Quando A é randomizzata, il profitto totale é
una variabile casuale e quindi si parla di profitto totale medio. L’obiettivo del
banditore é massimizzare il profitto totale medio.
Un’offerente, in generale, ha accesso a tutte le offerte precedenti e gli é per-
messo applicare una strategia di offerte arbitraria al fine di determinare la sua
offerta.
Siamo interessati ad aste nelle quali viene offerta sempre la vera valutazione
bi = vi, poiché se si mentisse, in virtú del meccanismo d’asta applicato, l’utilitá
che si riceverebbe dall’allocazione del bene non sarebbe mai maggiore di quella
ottenuta nel caso in cui si fosse detta la veritá. Concentriamo, la nostra at-
tenzione su aste compatibili agli incentivi. Ossia, aste per le quali la strategia
utilitaristica é una strategia dominante per ogni offerente. In altre parole, date
le precedenti offerte e le precedenti risposte, Ui é massimo ponendo bi = vi. Per
le aste randomizzate, si usa una definizione piú forte di compatibilitá agli incen-
tivi e richiediamo che Ui sia massimo quando bi = vi per ogni insieme fissato di
72

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
scelte casuali. Quindi, per quanto detto finora, si ed RA possono essere viste
come funzioni nelle offerte o nelle valutazioni in maniera interscambiabile. L’asta
é detta indipendente dall’offerta se la funzione prezzo per l’offerente i dipende
solo dalle precedenti offerte ma non dall’offerta bi fatta dello stesso offerente i.
Quindi, per una qualunque sequenza di offerte b1, . . . , bi−1, e per qualsiasi due
scelte dell’offerente i, bi e b ′
i
si(b1, . . . , bi−1, bi) = si(b1, . . . , bi−1, b ′
i) 3
Teorema 7.1. Un’asta online é compatibile agli incentivi se e solo se essa é
indipendente dall’offerta.
Dimostrazione. La dimostrazione per il caso off-line di questo stesso teorema é
stata data nella sezione 2.1 a pagina 22. Nel caso online si considera si avere un
valore fissato prima dell’arrivo dell’offerta i 4 allora se l’offerente i offre:
• bi < vi e bi < si < vi l’offerente perde nonostante avrebbe ottenuto
un’utilitá positiva offrendo vi.
• bi > vi e bi > si > vi l’utente ha un’utilitá negativa mentre poteva ottenere
un’utilitá pari a zero offrendo vi.
Per gli altri valori di si l’utilitá non é condizionata e, quindi, l’utilitá é massima
per bi = vi.
Il senso inverso della dimostrazione é pressoché identico a quello della versione
offline corrispondente presentata nella sezione 2.1 a pagina 22 a cui rimandiamo.
3 É una definizione di indipendenza dall’offerta piú generale di quella data nella sezione 2.6
a pagina 21 e, formulata in prima istanza in [GH01].
4 L’offerente i puó anche assumere che il valore di si sia stato definito in base ad una qualche
distribuzione di probabilitá.
73

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
7.1.1 Analisi competitiva
Seguiremo la stessa tecnica utilizzata finora e confronteremo il profitto dell’asta
online sulla ”peggior” sequenza di valutazioni v = v1, . . . , vn rispetto ad un qual-
che ”benchmark” di paragone. In [GH01] vengono forniti due benchmark per
quanto riguarda le aste offline a fornitura illimitata:
1. Profitto totale: T (v) = n
i=1 vi, ossia il massimo profitto che si puó
realizzare con un determinato numero di beni allocati.
2. Profitto ottimo a prezzo fisso: ossia il profitto ottimo definito da un
singolo prezzo di prenotazione: F(v) = maxi∈[N]{vi · ni} dove ni = |{j ∈
[N] t.c. vj ≥ vi}| a denotare il massimo profitto che puó essere realizzato
usando un singolo prezzo di vendita per tutti gli offerenti.
L’asta online A é c-competitiva rispetto al benchmark B se per qualunque
sequenza di valutazioni v, RA(v) ≥ B(v)/c o, equivalentemente nel caso ran-
domizzato E[RA(v)] ≥ B(v)/c per qualunque randomizzazione A. Il fattore c
viene detto rapporto di competitivitá di A relativamente a B. Come illustrato
nella sezione 4.4 a pagina 39 e dimostrato in [GH01] nessun’asta si comporta
bene quando c’é un singolo offerente con un’offerta altissima. Quindi, come giá
fatto nella ricerca di altre soluzione, ipotizzeremo che F ≥ α · h con α ≥ 1 e
tutti, o quasi, i limiti superiori che mostreremo richiedono la presenza di tale
limitazione 5 .
7.1.2 Bucket di valutazione
Suddividiamo il range di valutazione [1, h] in l = ⌊log h⌋ + 1 intervalli I0, . . . , Il−1
con Ik = [2 k , 2 k+1 ). Data una sequenza di valutazioni v, definiamo il k-esimo buc-
5 Per i limiti inferiori, invece, essa non é una condizione necessaria.
74

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
ket di v come l’insieme di valutazioni che cadono nel k-esimo intervallo Bk(v) =
{i ∈ [N] t.c. vi ∈ Ik}. Il peso del k-esimo bucket é definito come la somma delle
valutazioni nel bucket wk(v) =
i∈Bk(v) vi.
7.2 Aste deterministiche
É possibile mostrare che nessun asta online deterministica, é competitiva rispetto
al profitto ottimo a prezzo fisso, anche se non é possibile ricondursi alla tesi
analoga per le aste offline (la cui dimostrazione é stata presentanta nella sezione
4.1 a pagina 40), poiché la prova di tale risultato prevede l’esistenza di una
funzione indipendente dall’offerta usata da tutti gli offerenti, e nel caso di aste
online tale funzione si(b1, . . . , bi−1) assume un numero differente di valori di input.
Teorema 7.2. Qualunque asta online A deterministica e compatibile agli incen-
tivi é Ω(h)-competitiva rispetto al profitto ottimo e a quello a prezzo fisso, anche
quando restringiamo le valutazioni v a rispettare F(v) ≥ αh per una qualunque
costante α ≥ 1.
Dimostrazione. Presa A essere una qualunque asta online compatibile agli incen-
tivi allora per il teorema 7.1 a pagina 73 A é un’asta indipendente dall’offerta.
Quindi, per tutti gli offerenti i, il prezzo da pagare dipende solo da b1, . . . , bi−1.
Procederemo costruendo una sequenza di valutazioni v, per la quale RA(v) ≤
F(v)/h. v sará una sequenza bipolare, cioé una sequenza che consiste di va-
lutazioni in {1, h}. Per una tale sequenza, si puó assumere, senza perdita di
generalitá, che l’asta A scelga i prezzi solo in {1, h}.
Prendiamo una costante α ≥ 1 e scegliamo la sequenza di valutazioni v come
segue: se si(b1, . . . , bi−1) = 1 poniamo vi = h, e se si(b1, . . . , bi−1) = h poniamo
vi = 1. Interromperemo la costruzione della sequenza quando, o il numero di
75

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
valutazioni a 1 in v eccede αh o il numero di valutazioni ad h eccede α. Il
profitto di A per l’offerente i é 0 se vi = 1, e 1 se vi = h. Quindi, denotando con
nh il numero di valutazioni ad h in v e con nl il numero di valutazioni ad 1 in
v otteniamo RA(v) = nh · 1 + nl · 0 = nh. D’altro canto, F(v) ≥ max{hnh, nl}
implica RA(v) ≤ F(v)/h da cui RA(v) ≤ F(v)/h per F(v ≥ αh).
Si puó notare banalmente che un rapporto di competitivitá pari ad h é ot-
tenibile tramite un’asta che alloca i beni ad ogni offerente con prezzo pari ad
1.
7.3 Aste randomizzate
Iniziamo col considerare il limite inferiore al rapporto di competitivitá di qualun-
que asta online randomizzata compatibile agli incentivi:
Teorema 7.3. Qualunque asta online compatibile agli incentivi é Ω(log h)-competitiva
rispetto al profitto totale, anche restringendo le valutazioni al soddisfare la con-
dizione F(v) ≥ αh per una qualunque costante α ≥ 1.
Dimostrazione. Presa A essere una qualunque asta online compatibile agli incen-
tivi; per quanto detto nella sezione 7.1 a pagina 73 essa é indipendente dall’offerta.
Quindi, per tutti gli offerenti i, date le offerte b1, . . . , bi−1, allora si(b1, . . . , bi−1)
genera una qualche predefinita distribuzione un’attimo prima che arrivi l’offerta
i.
Costruiamo una sequenza di valutazioni come segue: al passo i, basandoci
sulla distribuzione di si, per ogni k ∈ {0, . . . , ⌊log h⌋}, calcoliamo il profitto
medio di un potenziale offerente i con una valutazione pari a vi = 2 k . Poniamo
vi = 2 k per ogni k in maniera tale che il rapporto rik/2 k venga minimizzato.
Interrompiamo la sequenza di valutazioni costruite quando F diviene abbastanza
grande.
76

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
Consideriamo gli intervalli Ik = [2 k , 2 k+1 ) (il numero di intervalli é l =
⌊log h⌋ + 1). Denotando con qik = Pr{si ∈ Ik} e ricordando che rik ≤ qik ·
2 k + k−1
r=0 qir · 2 r+1 allora rik/2 k ≤ qik + k−1
r=0 qir/2 k−r−1 . Quindi, il rapporto
rik/2 k diviene:
l−1
k=0
rik
2 k
≤
l−1
qik +
k=0
l−1
= 1 +
r=0
qir ·
k−1
qir
2
r=0
k−r−1
l−1
k=r+1
l−1
≤ 1 + qir · 2 ≤ 3
r=0
1
2 k−r−1
Quindi, dev’esserci un qualche k tale che rik/2 k ≤ 3/l, ed, in particolare,
vi = 2 k deve soddisfare la proprietá rik/vi ≤ 3/l.
Sommando i valori ottenuti per tutte le possibili offerte (denotate cone i),
abbiamo RA(v) ≤ (3/l)T (v) da cui si deriva il rapporto di competitivitá ipotiz-
zato.
Per una trattazione approfondita dell’argomento e delle relative dimostrazioni
si rimanda a [BW02].
come:
Ricordando F ≥ T /(2 log h) si puó riformulare il risultato ottenuto sopra
Corollario 7.4. Qualunque asta randomizzata compatibile agli incentivi A é
Ω(1)-competitiva rispetto al profitto ottimale a prezzo fisso, anche quando re-
stringiamo le valutazioni a F(v) ≥ αh per una qualunque costante α ≥ 1.
7.3.1 Una semplice asta randomizzata
Assumiamo di conoscere a priori il range delle valutazioni e sia esso denotato con
h. Consideriamo la seguente asta semplice S: per l’offerente i-esimo scegliamo
77

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
casualmente un numero k ∈ {0, . . . , ⌊log h⌋} e poniamo pi = 2 k . Chiaramente S
é indipendente dall’offerta, e quindi, compatibile agli incentivi, essendo i prezzi
totalmente indipendenti dall’offerta.
Teorema 7.5. L’asta S é Θ(log h)-competitiva relativamente al profitto ottimo
ed al profitto ottimo a prezzo fisso.
Dimostrazione. Iniziamo col dimostrare che S é O(log h)-competitivo rispetto
al profitto ottimo. Da ció deriveremo, immediatamente, lo stesso rapporto di
competitivitá per il prezzo fisso ottimo.
Consideriamo una qualunque sequenza di valutazioni v; per ogni valutazione
vi denotiamo con ki il massimo intero k per il quale 2 k ≤ vi. Notiamo che
vi/2 ≤ 2 ki ≤ vi e quindi se S pone si = 2 ki , si ottiene un pagamento di almeno
vi/2 dall’offerente i. Visto che S sceglie k casualmente con distribuzione uniforme,
E[RS(v)] ≥ n vi
i=1 2 · Pr[si = 2ki ] e quindi:
E[RS(v)] ≥
n
i=1
vi
2
1
=
log h + 1
1
T (v)
2(log h + 1)
Possiamo mostrare, quindi, che S é Ω(log h)-competitiva rispetto ad F, per cui
é Ω(log h)-competitiva rispetto a T . Fissando una costante α ≥ 1 e preso v
denotare la sequenza di valutazioni costituita da ⌈α⌉ valori h, ne consegue F(v) ≥
αh. Il profitto medio ricevuto da S per ogni offerente i é O(h/ log h), ed il profitto
totale medio é O(αh/ log h) ≤ F(v)/ log h.
Quest’algoritmo puó essere modificato in modo tale che S lavori anche per
valori di h. E.g., l’asta puó iniziare con h = 1 e aggiornare il valore di h in accordo
alla massima offerta ricevuta fino a quel momento. Con una tale strategia, peró,
le performance possono degenerare notevolmente anche se assumiamo T (v) ≥ 4h,
per cui S estrae esattamente una frazione O(log h) di T (v).
78

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
7.3.2 Aste con bucket pesati offline
Per definire la metodologia di comportamento delle aste con bucket pesati online
occorre prima introdurre il modo di comportarsi del corrispondente algoritmo
offline.
L’asta offline Wd usa i cosiddetti bucket di valutazione definiti nella sezione
7.1.2 a pagina 74 (e piú formalmente in [BW02]), con un parametro d ≥ 1 il cui
significato sará illustrato nel seguito della trattazione.
Tale asta si basa sull’idea di costruire un bucket di valutazione per l’i-esimo
offerente denotato con v−i, ed usato per rappresentare l’insieme di valutazioni di
tutti gli offerenti eccetto l’i-esimo; successivamente, si sceglie un bucket casuale
con probabilitá in accoro al peso del bucket elevato alla potenza d. Il bucket
scelto costituisce la base decisionale per la prossima offerta, e determiniamo il
prezzo di vendita come il piú piccolo peso all’interno di quel bucket:
Pr{si = 2 k } =
(wk(v−i)) d
l−1 r=0 (wr(v−i)) d
Per il modo in cui si é costruito é banale notare che Wd é indipendente dall’offerta
ricevuta dall’i-esimo agente da cui si deriva in virtú del lemma 2.1 a pagina 22
che é compatibile agli incentivi.
Teorema 7.6. Considerando solo sequenze di valutazioni per le quali F(v) ≥ 4αh
per qualunque α ≥ 2 l’asta Wd con d ≥ 1 é O(e d
α−1 ·(log h) 1
d+1 )-competitiva rispetto
al profitto ottimo a prezzo fisso.
Dimostrazione. Caratterizziamo F in termini del massimo bucket pesato. Deno-
tando w∗(v) = maxk wk(v) consideriamo il seguente lemma:
Lemma 7.1. w∗(v)/2 ≤ F(v) ≤ 3w∗(v)
Dimostrazione. Per la dimostrazione di tale lemma si rimanda a [BW02].
79

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
Partendo dal risultato del lemma precedente possiamo determinare il rapporto
di competitivitá relativamente a w∗ ed esso sará del tutto equivalente a quello
della nostra asta. Fissiamo una qualche sequenza di valutazioni v, per la quale
F(v) ≥ 4αh e consideriamo un qualche vi ∈ v. Preso Bk essere il bucket tale
che i ∈ Bk allora il profitto medio dell’i-esimo offerente é almeno 2 k · Pr[si = 2 k ].
Dalla nostra definizione d’asta e sommando per tutti gli offerenti si ottiene che
E[RWd ] ≥
≥
l−1
2 k (wk(v−i))
·
d
l−1 r=0 (wr(v−i)) d
k=0 i∈Bk
l−1
vi
k=0 i∈Bk
2 · (wk(v) − vi) d
l−1 (wr(v)) d
Considerando K1 come l’insieme di bucket k per i quali |Bk| ≥ α, e K2 come
l’insieme dei bucket restanti; per qualunque i ∈ Bk con k ∈ K1, wk(v) − vi ≥
(1 − 1
α )wk(v). Quindi:
E(RWd ) ≥
r=0
k∈K1 wk(v)((1 − 1
α
2 · l−1
r=0
(wr(v)) d
)wk(v)) d
La somma dei pesi dei bucket in K2 é, invece, al piú 2αh, da cui l−1
r=0 (wr(v)) d ≤
2 ·
k∈K1 (wk(v)) d . Denotando uk(v) = wk(v)/w∗(v) possiamo:
E(RWd )
w∗
≥ 1
4 ·
1 − 1
d
·
α
k∈K1
k∈K1
Questa quantitá puó essere limitata tramite la seguente:
(uk(v)) d+1
(uk(v)) d
Lemma 7.2 (Disuguaglianza di Hölder). Presi u1, . . . , um essere valori reali
nell’intervallo [0, 1], tali che almeno un ui = 1. Allora, per qualche d ≥ 1,
otteniamo
m i=1 ud i m i=1 ud+1
i
≤ m 1/(d+1)
Dimostrazione. Anche per la dimostrazione della disuguaglianza di Hölder riman-
diamo a [BW02].
80

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
Poiché per come sono stati costruiti, il bucket di peso massimo dev’essere in K1
e dal lemma 7.1 w∗ ≥ F/3 mentre un qualunque bucket in K2 ha peso al piú αh.
Applicando la disuguaglianza di Hölder (lemma 7.2) e mettendo assieme le due
componenti otteniamo un limite su (1 − 1
α )d che completa la dimostrazione.
Per particolari scelte dei parametri valgono:
Corollario 7.7. Restringendo la sequenza di valutazioni a F(v) ≥ 4 log log h, e
Wd per d = log log h, l’asta offline con bucket pesati é O(1)-competitivo rispetto
al profitto ottimo dell’asta a prezzo fisso.
Corollario 7.8. Restringendo le sequenze di valutazioni per F(v) ≥ 8h, e Wd con
d = √ log log h, l’asta offline con bucket pesati é O(exp( √ log log h))-competitivo
rispetto al profitto dell’asta a prezzo fisso ottimo.
Il parametro d puó essere considerato come un delimitatore dell’ammontare di
randomizzazione nell’asta Wd. Per d = 0 avremo un’asta che é praticamente iden-
tica per struttura e competitivitá all’asta semplice S, in particolare é dimostrabile
che per tale scelta il rapporto di competitivitá dell’asta é Θ(log h). D’altro canto
se d tende a ∞ allora Wd determina un’asta che seleziona deterministicamente il
bucket di peso massimo, e tale asta ha un rapporto di competitivitá pari a Θ(h).
Inoltre, si puó mostrare che un limite inferiore al rapporto di competitivitá di
Wd pari a Ω((log h) 1/(d+1) ).
7.3.3 Aste con bucket pesati online
Analizziamo il modo in cui l’asta Wd viene trasformata nell’asta online W ′
d sosti-
tuendo v−i con v1, . . . , vi−1, da cui deriva che il bucket non é costituito di tutte
le valutazioni viste eccetto quella corrente.
81

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
Teorema 7.9. Restringendo la sequenza di valutazioni per cui F(v) ≥ 4h, l’asta
W ′
d per d ≥ 1 é O(3d · (log h) 1
d+1 )-competitiva rispetto sia al profitto ottimo sia a
quello a prezzo fisso.
Dimostrazione. Fissiamo una sequenza di valutazioni v soddisfacente le condi-
zioni del teorema. Nella nostra analisi ignoreremo i bucket piccoli. Preso K1
denotare l’insieme di bucket con |Bk| ≥ 2, e preso K2 denotare i bucket rimanenti.
Consideriamo il bucket k ∈ K1, e preso B ′
k
costituito dalle prime ⌈|Bk|/2⌉
offerte che arrivano in Bk e B ′′
k costituito dalle restanti. Mostreremo che il profitto
medio di B ′′
k
é maggiore al peso totale del bucket.
Consideriamo qualche i ∈ B ′′
′
k . Quando l’offerente i arriva, W d ha giá osservato
le offerte in B ′
k . Poiché tutte le valutazioni nel k-esimo bucket sono al piú ad un
fattore due da ogni altra e la somma delle offerte in ⌈|Bk|/2⌉ non possono essere
minori di 1/3 della somma totale, abbiamo:
Pr[si = 2 k ] =
≥
(wk(v1, . . . , vi−1)) d
l−1
r=0 (wr(v1, . . . , vi−1)) d
i∈B ′
d vi
d
k (wk(v)/3)
≥ l−1
r=0 (wr(v)) d l−1
r=0
(wr(v)) d
Considerando tutti i bucket si ottiene un profitto medio pari a
E(R ′
W ) ≥
d
k∈K1
≥
≥
k∈K1
2 k ·
i∈B ′′
k
i∈B ′′
k
vi
2 ·
r=0
(wk(v)/3) d
l − 1(wr(v)) d
(wk(v)/3) d
l−1 r=0 (wr(v)) d
k∈K1 (wk(v)/10)(wk(v/3) d )
k∈K1
(wk(v)) d
dove l’ultima disuguaglianza segue considerando che le ⌊|Bk|/2⌋ valutazioni pre-
senti in B ′′
k
costituiscono almeno 1/5 del peso totale di wk(v).
82

CAPITOLO 7. Aste online nel caso di fornitura illimitata
Usando i lemmi 7.1 e 7.2 a pagina 79 otteniamo il rapporto di competitivitá
ipotizzato.
Vincolando i valori assumibili dalle valutazioni degli offerenti otteniamo:
Corollario 7.10. Considerando le sequenze di valutazioni per le quali F(v) ≥ 4h
allora W ′
d per d = √ log log h diviene O(exp( √ log log h))-competitiva rispetto al
profitto ottimo a prezzo fisso.
83

Capitolo 8
Conversione di ottimizzazione
online in meccanismi truthful
Esploriamo, ora, una tecnica generale di trasformazione degli algoritmi di otti-
mizzazione online in meccanismi truthful. Tale metodologia, del tutto innova-
tiva, apre orizzonti nuovi nella progettazione dei meccanismi online, in quanto
permette di costruire meccanismi truthful a partire dai corrispondenti problemi
di ottimizzazione, per i quali la letteratura esistente é ben piú ampia e completa.
L’introduzione di tale tecnica é dovuta a Awerbuch, Azar e Meyerson ed é
stata presentata nel giugno 2003 durante la 35-esima conferenza ACM di Compu-
ter Theory [AA03] ed é realmente innovativa. I meccanismi progettati, possono
essere applicati in tutti i campi di applicazione conosciuti, e quindi anche nelle
aste, argomento di questo lavoro di tesi.
Il principale contributo di tale tecnica é di riuscire a costruire un meccanismo
truthful a partire dal problema di ottimizzazione online. Inoltre, tale trasforma-
zione introduce solo una perdita additiva nel rapporto di competitivitá dell’algo-
ritmo di ottimizzazione e permette la ricerca di rapporti di competitivitá migliori
per una varietá di meccanismi per i quali, ad istinto, si suppone vi siano soluzioni
84

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
migliori di quelle esistenti.
Il risultato piú generale prodotto, comunque, riguarda la definizione di mec-
canismi online truthful per aste combinatoriali con la sola assunzione che esista
il relativo algoritmo di ottimizzazione. Nel caso delle aste combinatoriali, tale
assunzione non é del tutto innocua, in generale, infatti, non esistono algoritmi
approssimati per tali problemi, e soprattutto non ne esistono con rapporti di com-
petitivitá ragionevole, poiché per come si specificherá nella sezione A.0.6 a pagina
167 il problema di trovare un’allocazione ottimale é NP-hard e non esistono buoni
algoritmi approssimati per la risoluzione di tale problema 1 .
Nel caso invece di aste non combinatoriali, in cui i beni messi l’asta sono
identici, e assumendo che la quantitiá di beni d disposizione tenda ad ∞ é possibile
utilizzare la versione online dell’algoritmo di ”call admission” in [AA93] come
versione approssimata del problema.
Poiché tale tecnica é molto generica, la cosa piú corretta, é considerare l’al-
goritmo di ottimizzazione online come fosse una black box, ed infatti si descrive
un algoritmo che funge da involucro, cosí da garantire il comportamento truthful
degli agenti razionali che parteciperanno al meccanismo.
8.1 Modello e problemi
Molto in prospettiva tale tecnica consente di generare meccanismi, potenzial-
mente, per tutti i problemi per i quali si conosce un algoritmo di ottimizzazione
online, e per ognuno di tali meccanismi sarebbe potenzialmente possibile definire
1 In realtá buoni algoritmi esistono, ma dipendono da una pseudo-funzione peso che soddisfi
determinate proprietá, o per essere piú precisi, ”limitazioni”. Quindi, aste nelle quali intro-
duciamo particolari limitazioni, e.g., sul numero di beni ai quali si é interessati, permettono
l’esistenza di algoritmi approssimati con buoni rapporti di competitivitá.
85

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
un’asta 2 .
Aste a singola scelta.
É l’asta di cui si é parlato per gran parte di questo
lavoro di tesi in cui c’é un solo bene in vendita, e i vari offerenti fanno offerte
al fine di aggiudicarselo, mentendo se ció gli comporta un maggior profitto. Per
una descrizione formale del problema rimandiamo alla sezione 2.1 a pagina 16.
Aste combinatoriali multi-scelta. Sono aste nelle quali in vendita c’ é un
insieme di beni e il banditore fa offerte per vari sottoinsiemi di quei beni. Per
una descrizione formale del problema si rimanda all’Appendice A a pagina 165.
8.1.1 Misure di performance
Competitivitá. Denotando l’insieme di richieste accette con A, allora il profitto
totale é I =
i∈A pi. L’algoritmo omnisciente ottimo determina un’insieme A ∗
per il quale I ∗ =
i∈A ∗ vi. Il rapporto di competitivitá per una sequenza di
richieste σ viene definito come il rapporto I∗ 3 . Se l’algoritmo approssimato
E[I]
ottiene un rapporto di competitivitá pari a ρ; l’algoritmo accetta un insieme di
richieste A tali che
ρ E[
bi] ≥
i∈A
La nomenclatura é la stessa usata fin qui, quindi, con bi si indica l’offerta fatta
dall’i-esimo offerente e con vi si indica la sua reale valutazione. Chiaramente,
un algoritmo di ottimizzazione di per se non é truthful; infatti, l’utente potrebbe
sempre trarre vantaggio dal dichiarare bi < vi per cui occorre definire un algoritmo
di wrapping che renda truthful il comportamento degli agenti. Ed é questo tipo
di algoritmo che é stato definito in [AA03].
2 Anche se solo per alcuni problemi avrebbe senso.
3 Il nostro algoritmo sará randomizzato ed il valore medio del profitto sará valutato
sull’insieme di scelte casuali fatte.
86
i∈A ∗
bi

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
Il limite superiore che deriveremo al rapporto di competitivitá del profitto im-
plica come ovvio corollario un limite del tutto equivalente alla massimizzazione
dell’efficienza sociale (anche detta welfare).
Difficoltá computazionale. Gli algoritmi di approssimazione saranno consi-
derati, come giá detto, come delle black box ed eventuali futuri lavori di ricerca
possono incentrarsi sulla costruzione di algoritmi di approssimazione ad hoc con
buoni rapporti di competitivitá per un’insieme di problemi di particolare interesse
per l’applicazione nei meccanismi d’asta.
8.2 Un’esempio chiarificatore
I meccanismi truthful che possono essere costruiti richiedono che l’algoritmo di
ottimizzazione goda di una particolare proprietá, la nicess definita a pagina 89.
Se il rapporto di competitivitá dell’algoritmo di ottimizzazione é ρ il meccanismo
truthful che si costruirá avrá rapporto di competitivitá O(ρ + log µ) dove µ =
maxi vi 4 .
Un rapporto di competitivitá di O(ρ log µ) é facile da ottenere quando si ha
a disposizione l’algoritmo di ottimizzazione online del problema. Possiamo sce-
gliere, infatti, un numero casuale m compreso tra 1 e µ tramite una distribuzione
esponenziale, e scartare tutte le offerte con bi < m. Le restanti offerte sono
considerate dall’algoritmo di ottimizzazione come se il valore fosse m. L’algo-
ritmo proposto, invece, oltre ad avere un rapporto di competitivitá migliore si
dimostrerá essere immune a coalizioni, ritentativi e rivendita.
Per chiarezza diamo un’esempio di applicazione relativamente agli algoritmi
di approssimazione di ”admission control”. Consideriamo una rete G = (V, E)
4 Le valutazioni si considerano normalizzate, per cui la minima vale 1 e la massima µ e se
cosí non dovesse essere é sempre possibile effettuare tale operazione di normalizzazione.
87

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
con archi pesati c : E → R+ in cui le richieste di comunicazione arrivano online 5 .
L’obiettivo é progettare una strategia per tale problema in modo da massimizzare
il profitto senza eccedere la capacitá della rete. Tra le varie versioni di ottimiz-
zazione di tale problema una delle migliori é presentata in [AA93] nel quale si
raggiunge, rispettando determinati vincoli sulla capacitá degli archi e sul range
dei pagamenti, un rapporto di competitivitá nell’ordine di O(log nµ). In tale
algoritmo ad ogni arco viene associato un ”costo d’opportunitá” commisurato in
maniera esponenziale al carico corrente dell’arco. Ad ogni richiesta associamo un
costo pari alla somma dei costi sugli archi lungo lo shortest path soddisfacente.
Se il costo computato é minore del valore dell’offerta accettiamo la richiesta ed
aggiorniamo il carico sugli archi. Le azioni di questo algoritmo deterministico so-
no completamente determinate dall’insieme di richieste accettate, per cui rispetta
le condizioni di ”nice” che definiremo nel seguito.
Possiamo costruire, quindi, un algoritmo truthful con un rapporto di compe-
titivitá O(ρ + log µ) = O(log nµ), asintoticamente identica alla competitivitá del
miglior algoritmo online per la versione di ottimizzazione del problema. Quindi,
non si é perso nulla nel trasformare il problema in un’asta e, se i costi generati
dall’algoritmo sono non decrescenti (cosicché le path migliori sono estratte per
prime) l’algoritmo é immune a ritentativi, coalizioni e rivendite.
8.3 Aste a singola scelta
L’algoritmo d’asta a singola scelta B ′
terministico randomizzato B come black box.
usa un qualunque algoritmo ”nice” o de-
Calcoliamo casualmente m (per 1 ≤ m ≤ µ) tramite una distribuzione espo-
5 Il problema puó essere ridefinito, anche, nell’ottica di prenotazione permanente di circuiti
virtuali.
88

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
nenziale, cosicche Pr{m = 1} = 1
2 e Pr{m = 2i } = 1
2 log µ per ogni i ≤ log µ6 .
É importante notare che l’algoritmo B aggiorna il suo stato, nel caso accetti la
Algoritmo 1 Algoritmo base
ci ← min valore tale che B accetta la richiesta (ri, ci)
Invia la richiesta (ri, bi) a B e aggiorna lo stato di B
if bi ≥ mci then
else
accetta la richiesta e poni pi = mci
rifiuta la richiesta (ri, bi)
end if
richiesta, anche se bi < mci e la richiesta i é rifiutata da B ′
. La modifica al prezzo
soglia rispetto a quello determinato dall’algoritmo di ottimizzazione é necessaria
al fine di rendere truthful il meccanismo.
Teorema 8.1. Sia B un qualunque algoritmo deterministico o ”nice” randomiz-
zato ρ-competitivo e consideriamo µ essere il range delle offerte, allora l’algorit-
mo B ′
omnisciente.
é un meccanismo truthful O(ρ + log µ)-competitivo rispetto all’asta offline
8.3.1 Preliminari
Definizione 8.1 (Algoritmo nice). Un’algoritmo online si definisce ”nice” se
sono rispettate le seguenti condizioni:
6 Osservando l’algoritmo si puó notare che m costituisce il fattore moltiplicativo al costo di
fornitura del bene generato dall’algoritmo di ottimizzazione, ed utilizzato per determinare se
una richiesta dev’essere accettata o meno; per cui risulta legittima la scelta della distribuzione
esponenziale che rende maggiormente probabili valori piccoli di m in maniera tale che il prezzo
soglia non sia troppo alto ed i beni non restino invenduti, nonostante il profitto generato se
fossero stati venduti é maggiore di zero.
89

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
- Se una richiesta é accettata con un offerta b, essa dev’essere accettata anche
con un’offerta b ′
> b
- la decisione di accettare la richiesta i puó dipendere dai membri dell’insieme
A ma non dipende dalle loro offerte bj, ∀j ∈ A. Puó, comunque, dipendere
dalle offerte bj ∀j ∋ A.
Teorema 8.2. Se esiste un algoritmo online ρ-competitivo per il problema di
ottimizzazione, allora, esiste un algoritmo ”nice” con lo stesso rapporto di com-
petitivitá.
Dimostrazione. Per la dimostrazione di tale teorema, complessa dal punto di vista
della notazione si rimanda a [AA03] anche se si intuisce banalmente che qualunque
soluzione ad un problema di ottimizzazione (che nel caso delle aste é sempre di
massimizzazione) puó essere trasformato al fine di rispettare tali condizioni (anche
se molti algoritmi di approssimazione esistenti giá le rispettano). La notazione si
appesantisce per provare che il rapporto di competitivitá resta immutato.
8.3.2 Analisi
Per analizzare il rapporto di competitivitá del meccanismo definito andremo a
suddividere le richieste ricevute dall’algoritmo in diverse classi. Denoteremo con:
• A, le richieste accettate dall’algoritmo B ′
.
• Q, le richieste per le quali ci ≤ bi, e quindi accettate dall’algoritmo di
ottimizzazione B, ma che saranno accettate da B ′
casuale assunto da m.
in funzione del valore
• P , l’insieme di richieste accettate dall’algoritmo off-line omnisciente ottimo
ma che vengono rifiutate dal meccanismo poiché ci > bi.
90

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
Dobbiamo mostrare che il profitto totale del meccanismo
i∈A pi é confrontabile
al profitto ottimo del meccanismo ottimo offline omnisciente il cui valore puó
essere limitato da
i∈P vi +
i∈Q vi.
Lemma 8.1.
vi ≤ ρ
i∈P
Dimostrazione. Consideriamo l’algoritmo approssimato per il problema di otti-
mizzazione. Inviando all’algoritmo la coppia (ri, bi) esso avrá esattamente i ∈ Q.
Nella sequenza di richieste sostituiamo (ri, bi) con (ri, min(bi, ci)); poiché ci é la
minima offerta e l’algoritmo é ”nice”, per cui non dipende da ció che é stato giá
accettato, il comportamento sulla nuova sequenza é identico al comportamento
sulla vecchia. Poiché l’algoritmo é anche truthful, bi = vi, ed una soluzione am-
missibile al problema implica di accettare l’insieme P ottenendo un profitto pari
a
i∈P vi. Per cui, si é costruito un algoritmo ρ-competitivo con profitto pari a
i∈A,Q min(bi, ci) =
i∈Q ci ed il rapporto di competitivitá vale anche per tale
i∈Q
quantitá da cui si deriva la disuguaglianza della tesi.
Lemma 8.2.
E[
i∈A
pi] ≥ 1
2
Dimostrazione. Consideriamo una qualunque richiesta i ∈ Q, per cui indipen-
denti dal valore assunto da m. Poiché m é distribuita esponenzialmente, si puó
derivare che m = 1 ⇒ pi = ci da cui A = Q ⇒ Pr{m = 1} = 1,
da cui:
2
E[
pi] = Pr{m = 1} + Pr{m = 1}
i∈A
≥ Pr{m = 1}
= 1
2
i∈Q
ci
i∈A
i∈A
91
pi
pi
ci
i∈Q
ci
i∈A
pi

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
Lemma 8.3.
vi ≤ 4(log µ)E[
pi]
i∈Q
Dimostrazione. Poiché Q denota l’insieme delle richieste accettate da B allora
∀i ∈ Q consideriamo il contributo dato da ogni singolo elemento al profitto totale.
Ricordando che per la distribuzione di m possiamo scrivere:
i∈A
Pr{mci ≤ vi ≤ 2mci} = 1
2 log µ
Considerando la seconda disuguaglianza abbiamo che ∀i ∈ A abbiamo pi ≥ 1
2 vi.
Per cui il contributo medio al profitto da parte della singola richiesta i sará di
almeno di
vi
4 log µ
Teorema 8.3.
e mettendo assieme tutti i contributi la tesi segue.
vi ≤ (2ρ + 4 log µ)E[
pi]
i∈A ∗
Dimostrazione. Poiché A ∗ puó considerarsi A ∗ = Q ∪ P allora:
vi ≤
vi +
i∈A ∗
i∈Q
ed applicando i lemma 8.2 e 8.3 otteniamo
i∈A ∗ vi ≤ (2ρ + 4 log µ)E[
i∈A pi].
Teorema 8.4. L’algoritmo B ′
i∈P
i∈A
vi
é un meccanismo truthful.
Dimostrazione. Poiché pi é indipendente dall’offerta bi, il prezzo dipende dalle
richieste precedenti e da m, e per il teorema 2.1 a pagina 22 l’asta é truthful. Se
l’offerente non dichiara la sua vera valutazione il prezzo rimane invariato e l’of-
ferente non trae beneficio o se trae beneficio esso é inferiore a quello che avrebbe
ottenuto dicendo la veritá.
92

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
8.3.3 Ritentativi, coalizioni e rivendita
Il modello in cui ogni utente fa una singola offerta é poco realistico. L’approccio
descritto ha proprietá che lo rendono particolarmente interessante nell’ottica di
piú richieste effettuate da un singolo agente.
Teorema 8.5. Se i costi calcolati da B per una determinata sequenza di offerte
σ sono non decrescenti l’approccio seguito é immune ai ritentivi.
Dimostrazione. Ripetendo una richiesta ri in qualche istante successivo j > i i
costi calcolati dall’algoritmo di ottimizzazione sono per ipotesi cj > ci. Quindi,
l’algoritmo B ′
calcolerá mcj > mci e se la richiesta era stata rifiutata all’offerta
i-esima essa sará rifiutata anche all’offerta j-esima poiché per tale richiesta il
prezzo soglia é piú alto.
Teorema 8.6. Se i costi calcolati da B sono non decrescenti l’approccio é immune
alle coalizioni.
Dimostrazione. Per tale dimostrazione si rimanda a [AA03].
Teorema 8.7. Se B assegna ad un unione di richieste costo almeno uguale alla
somma dei costi assegnati alle richieste quando appaiono in sequenza, l’approccio
é immune alla rivendita.
Dimostrazione. Supponiamo che le richieste da i a j rientrino in un tentativo di
rivendita. L’algoritmo vedrá una singola richiesta ( j
x=i ri, j
x=i bj) ed il costo
calcolato per l’unione di queste richieste sará C ≥ j
x=i ci derivando un prezzo
di vendita pari a mC. Se le richieste non avessero tentato la rivendita, avrebbero
pagato una somme di prezzi sicuramente piú piccola di quella che hanno pagato
il che implica che il beneficio si é ridotto. Per cui la rivendita non é una strategia
che massimizza l’utilitá e quindi non vale la pena seguirla.
93

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
8.3.4 Ignorare la massima valutazione
La tecnica descritta suppone la conoscenza della massima valutazione, e deter-
mina la distribuzione di m in funzione di tale conoscenza. Se µ non é noto puó
utilizzarsi una tecnica diffusa negli algoritmi online approssimati per la quale:
Teorema 8.8. Sia B un algoritmo ”nice” randomizzato che é ρ-competitivo. Pos-
siamo progettare un meccanismo truthful che é O(ρ+log µ(log log µ) 2 )-competitivo
rispetto all’algoritmo offline omnisciente, senza una conoscenza a priori di µ.
8.4 Aste combinatoriali
Essendo m un fattore moltiplicativo, nell’ipotesi di aste in cui sono venduti piú
beni differenti puó esserci qualche problema. E.g., supponiamo che siano messi
all’asta due beni le cui valutazioni sono, rispettivamente, 100 e 10 ed i cui costi
estratti dall’algoritmo sono 90 ed 1. Se m = 1 per cui i prezzi sono uguali ai costi
un offerente preferisce ricevere il primo bene al fine di massimizzare il sua utile.
Quando il termine moltiplicativo m = 1, frequentemente, ci ritroveremo nella
situazione in cui 100−90m < 10−m rendendo preferibile il secondo bene. Si puó
evitare tale problema rendendo m fattore additivo anziché moltiplicativo. Le aste
combinatoriali saranno descritte nell’appendice A a pagina 165 e ci limiteremo
ad accennare che in esse si vendono piú beni, e un offerente fa richieste per
sottoinsiemi dei beni disponibili.
Supponendo che ogni offerente offra solo per un singolo sottinsieme dei beni
tentiamo di costruire un algoritmo online approssimato da utilizzare come black
box 7 . Inoltre, si assume che dato un’insieme di richieste (ri, bi) si sia capaci di
selezionare s ∈ ri in maniera tale che massimizzi bi(s) − ci(s).
7 É dimostrabile che una tale black box é difficile da costruire.
94

CAPITOLO 8. Conversione di ottimizzazione online in meccanismi truthful
Algoritmo 2 Algoritmo per aste combinatoriali
1: Scegli m casualmente con distribuzione esponenziale, quindi Pr{m = 0} = 1
2
e Pr{m = 2 i } = 1
log µ
per ogni i ≤ log µ
2: Per ogni insieme s calcola ci(s) come il minimo valore tale che B accetti la
richiesta (ri, ci(s))
3: Seleziona S in modo tale che massimizzi bi(s) − ci(s)
4: invia la richiesta (s, bi(s)) a B ed aggiorna il suo stato
5: if bi(s) ≥ m + ci(s) then
6: accetta la richiesta, alloca s al offerente i e poni pi = m + ci(s)
7: else
8: rifiuta la richiesta (ri, bi)
9: end if
Teorema 8.9. L’algoritmo é truthful.
Teorema 8.10.
vi(s ∗ ) ≤ (6ρ + 8 log µ)E[
pi]
i∈A ∗
Per le dimostrazioni dei due teoremi, ininfluenti nella nostra trattazione si
rimanda a [AA03].
É banale notare che l’algoritmo 8.4 non é immune alla rivendita, in quanto il
costo assegnato ad un unione di richieste aggiunge un valore casuale m una sola
volta mentre allocando i beni singolarmente tale valore casuale viene considerato
ogni volta, per cui la rivendita permette un beneficio e gli agenti potrebbero
seguire una tale strategia al fine di massimizzare il loro beneficio.
95
i∈A

Parte III
Analisi dell’allocazione Wi-Fi da
Starburks
96

Capitolo 9
Analisi del problema
Il problema cui ci riferiremo é stato analizzato, anche se in maniera troppo
superficiale, da E. J. Friedman e D. C. Parkes in [FP03].
Molto informalmente il problema che si analizzerá puó essere descritto:
Un’attivitá commerciale, tipo la catena di bar Starbucks, vuole for-
nire ai suoi clienti la possibilitá di usufruire di un’accesso Wi-Fi. Poi-
ché tale servizio é un valore aggiunto dell’attivitá obiettivo é ottenere
un alto livello di benessere sociale tramite uno schema di pagamenti
che non sia esoso e che permetta a gran parte degli agenti, in relazione
alle preferenze di ognuno di essi, di usufruirne. L’ Access Point che
fornirá il servizio, ha per ovvi limiti fisici, delle limitazioni al numero
di connessioni contemporanee che puó servire.
Il problema é molto attuale in quanto é divenuto costume diffuso fornire
servizi di collegamento Wi-Fi in aereoporti, grossi centri commerciali, stazioni
ferroviarie,. . . e la fornitura del servizio non é attivitá primaria aziendale, per cui
obiettivo non é esclusivamente ottenere il massimo profitto dai pagamenti che si
ricevono in cambio della fornitura del servizio ma é anche il far si che gli agenti
97

CAPITOLO 9. Analisi del problema
a cui viene allocato il canale traggano il massimo beneficio sociale ottenibile. La
fornitura dei servizi Wi-Fi costituisce uno di quei fattori denominati di ”surplus
aziendale”, ossia, quei servizi accessori che servono a rendere gradevole l’attesa o
la permanenza degli agenti nelle attivitá commerciali e che possono influenzare
in maniera positiva la valutazione che i vari agenti hanno del servizio primario
offerto 1 .
Poiché il problema che stiamo affrontando nasce dal tentativo di trovare
una soluzione ad una situazione reale saremo costretti a considerare nella de-
finizione del modello e nella ricerca della soluzione, vincoli che nell’algoritmica
esclusivamente teorica non sono di fondamentale importanza:
- non possiamo supporre di utilizzare un qualche algoritmo che abbia un
qualche compito ben specifico come fosse una black box assumendo che esso
esista e cha abbia un certo tempo computazionale 2 ;
- i tempi d’esecuzione degli algoritmi proposti devono essere ragionevoli poi-
ché un tempo d’esecuzione troppo elevato avrebbe comunque un effetto
negativo sul benessere sociale degli agenti;
- il pagamento cui un’agente é sottoposto dev’essere proporzionale al tempo
di connessione ed alla banda ad esso allocata;
- il profitto totale dev’essere abbastanza vicino a quello ottimo;
1 Quante volte ci é capitato di dover pranzare fuori di domenica, e scegliere il ristorante
non solo in virtú della bontá dei cibi serviti ma anche in base al fatto che trasmetta o meno la
partita di calcio della squadra del cuore; quindi, la trasmissione di partite di calcio é un ”surplus
aziendale” che modifica la valutazione che gli agenti hanno del ristorante che la fornisce.
2 Poiché il nostro interesse é trovare soluzioni che siano implementabili, o, almeno, poten-
zialmente implementabili, non ci interessano soluzioni che riconducono il nostro problema alla
risoluzione di altri problemi (molte volte irrisolvibili deterministicamente in tempo polinomiale
o approssimabili con buoni rapporti di competitivitá).
98

CAPITOLO 9. Analisi del problema
- il beneficio sociale dev’essere abbastanza vicino a quello ottimo;
- l’algoritmo di allocazione dev’essere a partecipazione volontaria, per cui
un’agente disposto a pagare x per un’allocazione, paga un prezzo che é
sicuramente inferiore o al piú uguale ad x;
- l’implementazione delle soluzioni proposte non dev’essere eccessivamente
complessa;
- il modello dev’essere tale da poter subire lievi modifiche, sempre neccessarie,
quando si cerca di implementare una soluzione basata su un qualche modello
della realtá che non é la realtá vera e propria.
9.1 Descrizione del problema
L’obiettivo dell’algoritmo da progettare é la determinazione del prezzo da far
pagare, ai vari agenti interessati al servizio, in relazione alla quantitá di banda e
alla durata della allocazione per essi determinata; e le allocazioni e i prezzi pagati
per esse devono esser tali da rendere massimo sia il profitto sia il benessere sociale.
Il problema diviene ancor piú interessante considerando che é divenuta una nuova
moda fornire servizi Wi-Fi 3 e, per molte attivitá commerciali, fornire o meno, tale
servizio puó divenire un ”surplus” necessario a non essere emarginati dal mercato.
Il servizio Wi-Fi é collaterale all’attivitá commerciale, ed il prezzo da far
pagare per esso non dev’essere esoso, poiché per essere un ”surplus” dev’essere
utilizzabile dai vari agenti ad un prezzo che sia adeguato ai loro interessi. Vor-
remmo ottenere il massimo profitto, facendo pagare ad ogni agente un prezzo che
3 Tale moda é incentivata dai bassi costi necessari alla fornitura di servizi su reti senza filo,
e dalla crescente necessitá di una buona fetta della popolazione di essere connessa in rete in
qualsiasi momento, da quando si beve un caffé a quando si attende per il check-in in aereoporto.
99

CAPITOLO 9. Analisi del problema
corrisponda alla sua personale valutazione per esso, in maniera tale che anche il
benessere sociale sia massimo. Inoltre, poiché il servizio é accessorio, dev’esser
tale che tutti gli agenti abbiano la possibilitá di utilizzarlo 4 , e dev’essere evi-
tato che vi siano agenti che monopolizzino un canale rendendolo inutilizzabile a
chiunque altro vi sia interessato. Nonostante ció non supporremo che le allocazio-
ni siano preemptive. Per cui ad un’agente cui é stato allocato un canale non puó
essergli revocato in un momento arbitrario precedente al termine della durata di
tale allocazione. Un tale comportamento, infatti, non é caratteristico dei servizi
di ”surplus” aziendale in cui stiamo facendo rientrare il servizio di connessione
Wi-Fi.
L’arrivo degli agenti in un bar, e ancor di piú, di quelli interessati alla con-
nessione Wi-Fi é un evento prettamente casuale, e, non sono possibili assunzioni
relative a distribuzioni di probabilitá, differenti in funzione dei tempi di arrivo,
che guidino il comportamento degli agenti.
Eviteremo, quindi, assunzioni relative al comportamento degli agenti, e dire-
mo, senza perdita di generalitá che essi sono razionali ed egoisti, e quindi, sono
disposti a dichiarare il falso se un tale comportamento gli consente di ottenere un
beneficio o benessere sociale, maggiore di quello ottenibile con un comportamento
veritiero.
Poiché si vuole che ogni agente paghi un prezzo che sia legato in una qualche
misura alla sua valutazione del servizio, e tale valutazione é differente per ogni
agente, la determinazione del prezzo di vendita e del tempo di allocazione non puó
essere computata, senza una dichiarazione circa la sua valutazione del servizio 5 .
I clienti interessati al servizio hanno un ampio range di possibili valutazioni per
4 Per ovvi limiti fisici l’AP non puó gestire oltre un certo numero di utenti contempora-
neamente, o equivalentemente, non puó allocare piú banda della quantitá totale che ha a
disposizione.
5 Ossia, prima che esso abbia effettuato un’offerta.
100

CAPITOLO 9. Analisi del problema
esso, e queste sono private, ossia, conosciute solo a se stessi. Quando un’agente
decide di voler concorrere per ottenere il collegamento Wi-Fi effettua un’offerta e
l’algoritmo che guida lo schema di allocazione dei canali gestibili dall’AP, ricevuta
tale offerta, determina l’allocazione del canale all’agente (durata temporale e pa-
gamento). Poiché gli agenti si sono considerati egoisti, essi non necessariamente
dichiarano un’offerta pari alla loro valutazione del servizio, se mentendo riuscis-
sero ad ottenere un qualche beneficio maggiore. L’obiettivo é fornire il servizio ai
Richiesta di connessione
Se non vi sono
canali disponibili
l’interazione
termina
Determinazione dell’offerta\e
d’allocazione
Pagamento
Se la conferma è positiva trasmetti
per π istanti di tempo
sulla frequenza λ
L a p t o p
Request Request
SI \ NO NO
Insieme Insieme delle delle offerte offerte
(frequenza frequenza λ, , tempo tempo π , prezzo prezzo p)
N° Carta Carta di di Credito Credito
SI \ NO NO
AP
Verifica canali disponibili
Esegue l’algoritmo che prende
le decisioni di allocazione
Verifica l’avvenuto pagamento e
pone indisponibile la frequenza λ
per π istanti di tempo
Figura 9.1: Possibile modello di interazione tra AP e agente interessato al servizio.
Si noti il compito cruciale dell’algoritmo che dobbiamo progettare.
101

CAPITOLO 9. Analisi del problema
vari utenti in maniera tale che ogni agente massimizzi il proprio benessere, e la
misura della loro soddisfazione dipende in maniera inscindibile dal prezzo pagato
per il servizio. Quindi, la determinazione del prezzo di allocazione é fondamen-
tale per il conseguimento degli obiettivi da perseguire, ed é necessario progettare
un’algoritmo siffatto che induca gli agenti a dichiarare le loro reali valutazioni.
Dal semplice modello di interazione esposto in figura 9.1 e dall’analisi del
problema fatta fin qui, si evince banalmente, che l’algoritmo da progettare ri-
chiede un’impostazione online, poiché deve produrre risposte per ogni agente che
si presenti, e le decisioni devono esser prese esclusivamente in virtú di ció che é
avvenuto precedentemente circa le allocazioni, e, senza alcuna conoscenza a priori
sulle allocazioni che avverranno in un tempo successivo 6 . Lo schema di interazio-
ne presentato in figura 9.1 non é unico, e, sicuramente, non minimizza il numero
di messaggi scambiati tra AP e agente; esso, peró, consegue bene l’obiettivo di
chiarire i passaggi logici necessari all’allocazione. Anche le soluzioni proposte
realizzano, semplicemente, una riduzione al numero di messaggi rispetto a quelli
del semplice modello presentato 7 .
9.2 Soluzioni allo stato attuale
Il problema é di natura pratica e si é giá affermato che la fornitura di connes-
sioni Wi-Fi é divenuta una moda sempre piú diffusa nell’ambito di varie tipo-
6 In particolare, non ha conoscenza circa l’arrivo o meno di altri agenti (in un tempo futuro),
del tempo che intercorrerá fino all’arrivo del prossimo agente, di quanto offriranno gli agenti
che, eventualmente, saranno interessati al servizio.
7 Un’ovvia riduzione al numero di messaggi scambiati, si ottiene eliminando il messaggio
di richiesta disponibilitá ed inglobando tale controllo all’atto dell’offerta. Ricevuta un’offerta,
se non vi sono canali disponibili, l’algoritmo risponderá con un’allocazione che assegna a tale
agente il canale per zero istanti di tempo e pagandolo un prezzo nullo.
102

CAPITOLO 9. Analisi del problema
logie di attivitá commerciali, é naturale che esistano un’insieme di soluzioni giá
implementate per la realizzazione dei nostri obiettivi.
Il problema non riguarda la sola allocazione dei canali Wi-Fi agli agenti, ma
richiede la definizione di uno schema di gestione delle allocazione per il quale
profitto e benessere sociale 8 siano massimi, e l’allocazione, vista come coppia
(tempo,prezzo), medi in virtú di tali obiettivi.
Le soluzioni, presenti sul mercato, al problema in analisi possono riassumersi:
• Servizio a Prezzo Fisso per unitá di tempo: le allocazioni sono gestite
in maniera indiscriminata ed i pagamenti sono basati su un prezzo fisso per
unitá di tempo.
• Servizio gratuito: le allocazioni sono analoghe a quelle precedenti ma il
servizio non prevede pagamenti.
La strategia a prezzo fisso per unitá di tempo non effettua considerazioni circa le
valutazioni degli agenti, poiché pagano un prezzo fisso di connessione indipenden-
temente dalle loro valutazioni 9 . La determinazione del prezzo di connessione per
unitá di tempo é complessa, poiché se tale prezzo fosse troppo alto rischieremmo
di mantenere inutilizzati molti dei canali a disposizione, e se fosse troppo basso
otterremo un profitto basso a paritá di benessere sociale.
Il servizio gratuito é, sicuramente, la soluzione che rende massimo il benesse-
re sociale, ma rende complessa la gestione dei canali, perché ogni agente anche
se poco interessato al servizio tenterebbe di sfruttare la banda per il massimo
8 Alla determinazione del benessere sociale non concorre soltanto il prezzo che viene pagato
da un agente, ma altri parametri quali la massima attesa, necessaria ad ottenere il servizio, e
la qualitá con cui esso viene fornito.
9 Tale strategia non é competitiva nel caso si cerchi di utilizzarla come meccanismo d’a-
sta. L’asta é truthful ma il rapporto di competitivitá rispetto al profitto ottimo é scadente, e
nell’ordine di O(h), dove con h si denota la massima offerta degli agenti interessati al servizio.
103

CAPITOLO 9. Analisi del problema
tempo possibile. Ció, inoltre, richiederebbe una gestione preemptive delle allo-
cazioni, con la possibilitá di prelazionare il canale, deallocandolo ad un agente
e assegnandolo ad un diverso agente 10 . Non riscuotendo nessun pagamento, e
quindi nessun profitto, non vi é neanche un’entrata minima per la copertura dei
costi di impianto e gestione del servizio.
L’innovazione di Starbucks
Starbucks 11 ha il merito di aver definito una nuova strategia nella definizione dei
prezzi di allocazione della banda.
Starbucks non ha definito un meccanismo che medi tra allocazione e pagamen-
ti, ma ha avuto l’idea, comunque innovativa, di definire un’insieme di possibili
schemi di pagamento che incontrassero le esigenze e i gusti delle varie tipologie
di agenti che, potenzialmente, si potrebbe trovare a dover servire. Gli agenti,
quindi, possono scegliere tra un’insieme di schemi di pagamento differenti quello
che piú li aggrada ed utilizzare tale schema per ottenere la connessione Wi-Fi.
Lo schema di allocazione resta, comunque, indiscriminato e ”non prelaziona-
bile” quindi non si definisce alcuna tecnica per un’allocazione della banda che
medi tra occupazione dei canali e desideri dei vari agenti, ed inoltre, la banda é
allocata, se disponibile, a qualunque agente si presenti in relazione allo schema
di allocazione da esso scelto.
10 Non riesco, peró, ad immaginare il principio da utilizzare per la determinazione dell’agente
cui prelazionare il canale.
11 Starbucks é una catena di bar americani tra i primi ad offrire come servizio accessorio
ai loro clienti, la connessione wireless ad Internet, con una varietá di possibili prezzi. A tal
proposito si veda http://www.starbucks.com/retail/wireless.asp .
104

CAPITOLO 9. Analisi del problema
9.3 E se usassimo un’asta?
L’idea base del sistema di pagamenti definito da Starbucks definisce una meto-
dologia per la gestione dei pagamenti e delle allocazioni, che si avvicini il piú
possibile alle esigenze dei vari agenti. Tale sistema, quindi, puó vedersi nell’ot-
tica di un’asta a valori pubblici, in cui gli agenti non effettuano delle offerte in
base alle loro valutazioni, ma utilizzano le valutazioni per scegliere uno tra gli
schemi di pagamento disponibili all’interno dei piani tariffari determinati a priori.
Supporre di poter definire un’insieme di schemi di pagamento che tenga conto dei
gusti e delle valutazioni di tutti i possibili agenti é impensabile, e qualche agente
avrá comunque da adattarsi, facendo diminuire il benessere sociale.
L’idea, quindi, é la progettazione di un’asta, in cui ogni agente effettua
un insieme di offerte ed, in base ad esse, si determina un’allocazione basata sulla
disponibilitá attuale di banda e sulle offerte degli altri agenti. Quindi, il pro-
blema che vogliamo affrontare, si riconduce alla progettazione di un meccanismo
d’asta che determini allocazione e pagamenti per i vari agenti partecipanti. Na-
sce, peró, un nuovo problema. Poiché gli agenti formulano le offerte in virtú
della loro valutazione del servizio, e si é supposto che tali agenti sono egoisti, il
meccanismo dev’essere tale da costringerli a dichiarare le loro reali valutazioni
quando concorrono all’allocazione della banda, e non siano incentivati a mentire
al fine di pagare un prezzo inferiore e incrementare il loro beneficio. L’obiettivo,
quindi, si riduce nella progettazione di un meccanismo truthful, e, piú in partico-
lare, un’asta truthful. L’asta truthful, infatti, diviene la metodologia piú adatta
agli obiettivi da perseguire. Un’asta crea un mercato lí dove, un mercato reale
non esiste, e questo é quello che vogliamo realizzare tramite il nostro algoritmo.
Progettando un’asta che determini l’allocazione ed in base ad essa il prezzo che
un’agente deve pagare, definiamo un legame tra prezzo ed allocazione impossibile
105

da ottenere in altro modo.
CAPITOLO 9. Analisi del problema
Nella definizione dei meccanismi d’asta per la condivisione dell’accesso wire-
less considereremo utenti transienti. Il meccanismo non conosce nulla circa gli
utenti prima del loro arrivo; essi arrivano al bar, si siedono ad un tavolo e gli
piacerebbe ottenere un’accesso wireless per i loro bisogni. Comunque, l’accesso
wireless é secondario, per cui il tempo che si trattengono puó essere considerato
una quantitá esogena.
9.4 Asta per l’allocazione dei canali Wi-Fi
Quindi, ci siamo ridotti ad affrontare un particolare problema di progettazione di
meccanismi truthful online 12 . Inoltre, ai nostri scopi, sarebbe interessante analiz-
zare e considerare una definizione di truthfulness piú forte, per la quale gli agenti
devono essere incentivati a non mentire sia circa le loro valutazioni sia circa i
loro tempi di arrivo. La variazione introdotta alla definizione di truthful é da
considerarsi in un’ottica particolare, poiché, l’agente potrebbe giungere al bar e
non essere interessato al collegamento o potrebbe volersi connettere in un tempo
successivo. Ci farebbe piacere che un’agente non sia incentivato a ritardare la
sua richiesta di connessione per massimizzare la sua utilitá (pagando un prezzo
piú basso), nonostante questo sia un comportamento che, non sempre é da ri-
tenersi completamente negativo. Se l’agente é disposto ad attendere un’ora per
risparmiare sul prezzo da pagare per il servizio, in quel tempo, probabilmente,
consumerá piú bevande al bar, incrementando il profitto primario del bar 13 . L’at-
12 Ricordiamo che si é supposto che i clienti non possano chiamare in anticipo e prenotare.
13 Considerazioni analoghe valgono anche per altri tipologie di attivitá che forniscono la
connessione Wi-Fi come ”surplus” aziendale.
106

CAPITOLO 9. Analisi del problema
tesa, quindi, non é da considerarsi sempre un comportamento negativo 14 . Anzi,
obiettivo collaterale, di questi servizi di ”surplus” é anche l’allungare la perma-
nenza degli agenti nel bar, derivando, potenzialmente, un aumento del profitto
derivato dalla vendita di bevande.
Vogliamo, quindi, progettare un meccanismo truthful online che massi-
mizzi, profitto e grado di soddisfazione degli agenti (benessere sociale) nel rispetto
delle condizioni finora discusse.
9.5 Modello
Illustriamo, ora, le varie componenti del modello di riferimento che utilizzeremo
per la ricerca delle diverse soluzioni al nostro problema.
9.5.1 Condivisione della banda Wi-Fi
L’accesso Wi-Fi da un punto di vista prettamente fisico, non é assimilabile ad
una connessione su cavo, in quanto i dati viaggiando nell’etere sono esenti da
collisioni e ritardi; esso nella definizione del modello puó essere considerato come
un multiplexing di frequenze su di un link fisico. Il link fittizio a cui gli agenti
possono connettersi é a disposizione di tutti, ma puó accettare soltanto un numero
limitato di connessioni contemporanee. La capacitá del link (e quindi il numero
di connessioni contemporanee) puó essere modellata in due differenti modi, o
come un insieme di k canali distinti e identici con ogni agente interessato ad uno
di essi, o come una quantitiá Q = 1 infinitamente frazionabile (anche in misure
14 Per attesa intendiamo quella volontaria dell’agente. L’attesa derivante dalle computa-
zioni necessarie al meccanismo per prendere le decisioni di allocazione, invece, non dev’es-
sere eccessiva, poiché, altrimenti, gli agenti potrebbero perdere interesse relativamente la
connessione.
107

CAPITOLO 9. Analisi del problema
diverse) e ogni agente paga un prezzo proporzionale alla quantitá di banda che il
meccanismo decide di allocargli. Le due formulazioni sono entrambe realistiche
ed ampiamente sfruttate in letteratura per la definizione dei modelli relativi ai
problemi simili 15 .
9.5.2 Valutazione degli agenti
I vari agenti hanno un’insieme di valutazioni relative alle allocazioni dei canali e
tali valutazioni sono conosciute solo a loro stessi. Le valutazioni possono essere
viste come associazioni di prezzi a quantitá di banda ricevute per un certo tempo.
9.5.3 Durata dell’allocazione
Poiché si desidera che la banda sia allocata, potenzialmente, a tutti gli agenti
che sono interessati ad essa, é plausibile assumere che la durata delle allocazio-
ni sia limitata superiormente, e che non possa richiedersi banda per un tempo
eccedente tale limite definito dal gestore del meccanismo, i.e., l’AP. Denoteremo
la durata di un’allocazione con ti 16 , ed é tale che T = [1, Tmax] 17 e t ∈ T . Se
la durata delle allocazioni viene considerata una quantitá discreta avremo che
T = {1, . . . , Tmax}.
15 In realtá la prima formulazione é maggiormente diffusa in letteratura perché piú semplice
e realistica. Molti canali fisici, infatti, non permettono che il multiplexing dei canali assegni
quantitá di banda differenti ai vari agenti, ma vincolano ad assegnare ad ogni agente una
frazione identica della capacitá del canale.
16 Il pedice i indica che tale tempo é relativo all’allocazione relativa all’i-esimo agente .
17 Alcune soluzioni definiscono la durata dell’allocazione come differenza tra istante di fine e
di inizio della stessa, i.e., Ti = T f
i − T s i
gli istanti di fine e di inizio allocazione.
dove con gli apici f ed s si denotano, rispettivamente,
108

9.5.4 Gestione della banda
CAPITOLO 9. Analisi del problema
Un modello corretto per il meccanismo di risoluzione del nostro problema, deve
prevedere che terminato il tempo di allocazione di un canale esso torna disponibile
per una successiva allocazione. Quindi, nonostante k sia una quantitá finita, il
ritorno in disponibilitá a fine allocazione, rende possibile considerarla alla stregua
di una quantitá illimitata. Considerando la banda come infinitamente frazionabile
indicheremo con qi ∈ Q la quantitá allocata all’i-esimo agente.
9.5.5 Notazione
Ogni agente effettua una o piú offerte, esprimendo le sue preferenze circa l’allo-
cazione, e, denoteremo con vi l’insieme di valutazioni dell’agente i-esimo tale che
vi = {vi(q1, t1), . . . , vi(qn, tn)} con vi : Q x T → R+ ad indicare la valutazione
che l’agente i-esimo ha per una determinata quantitá di banda allocatagli per un
determinato tempo. Nel modello in cui la banda é suddivisa in frazioni identiche
della banda totale avremo vi : T → R+.
9.5.6 Offerte degli agenti
I vari agenti concorrono all’allocazione del canale attraverso delle offerte, e per
determinare tali offerte ricorrono alle loro personali valutazioni, conosciute solo
da se stessi.
Denoteremo con bi il vettore di offerte dell’agente i-esimo tale che bi =
{bi(q1, t1), . . . , bi(qn, tn)} e, equivalentemente alle valutazioni bi : Q x T → R+
denoterá l’offerta dell’agente i-esimo per la quantitá di banda qj allocata per un
tempo tj. Se la banda é suddivisa in k canali avremo bi : T → R+ in quanto la
richiesta non dipende dalla quantitá di banda allocata, poiché é suddivisa equa-
109

CAPITOLO 9. Analisi del problema
mente tra i k canali e gli agenti effettuano offerte in maniera indistinta per uno
qualunque di essi.
Siamo interessati ad aste truthful e, quindi, alla progettazione di meccanismi
tali che le offerte fatte dall’agente i-esimo siano identiche alle sue reali valutazioni,
ossia, bi = vi.
9.5.7 Allocazione
Il meccanismo d’asta online, dev’essere tale che ricevuto il vettore d’offerta bi
dall’agente i-esimo, decide se allocargli o meno un canale, ed in caso affermativo
determina la durata di tale allocazione 18 ed il pagamento da richiedere. Determi-
nato il tempo di connessione dell’agente i-esimo, il canale viene allocato e diviene
indisponibile per t istanti di tempo 19 . Trascorso il tempo d’allocazione il canale
torna disponibile e puó essere assegnato ad una qualunque altro agente interes-
sato. L’allocazione, denotata con xi = (q ∗ i , t ∗ i , pi) o xi = (t ∗ i , pi), ad indicare che
all’agente i-esimo viene assegnato un canale (o una quantitá di banda q ∗ i ) per
un tempo t ∗ i , ed il pagamento che tale agente deve effettuare é pi. Poiché siamo
interessati ad aste, compatibili agli incentivi e a partecipazione volontaria, il pa-
gamento effettuato da un agente dev’essere minore o uguale della sua offerta (e
quindi, della sua valutazione, poiché l’asta é truthful) per tale allocazione.
18 Nel caso in cui la banda totale é considerata infinitamente frazionabile determina anche la
quantitá di banda da allocargli per quel determinato tempo.
19 In un ottica molto realistica potremmo considerare che le offerte siano fatte per intervalli
discreti, i.e., considerando come unitá di misura del tempo, molto plausibile, i minuti.
110

9.6 Considerazioni
CAPITOLO 9. Analisi del problema
Il problema che affrontiamo é interessante da tentare di risolvere, perché mo-
della una situazione in cui non vi sono strategie ottime di risoluzione, e per la
quale formalizzazioni differenti del modello possono portare all’applicabilitá di
una soluzione anziché un’altra. Gli autori dell’articolo [FP03], infatti, analizzano
tale difficoltá, e, alla luce di essa non propongono soluzioni costruttive nuove,
ma timidamente affermano che unica soluzione plausibile é la ricerca di un’equi-
librio bayesiano di Nash 20 . L’applicabilitá di una tale soluzione, é ovviamente,
bassissima dal punto di vista concreto poiché non puó assumersi, nella realizza-
zione di una qualche soluzione, nessuna distribuzione di probabilitá che guidi il
comportamento degli agenti 21 .
Dal punto di vista dell’algoritmica classica, il problema é sicuramente molto
particolare, poiché si tenta di massimizzare il profitto, basandosi su considera-
zioni derivanti da attributi non pubblici ma privati degli agenti. Quindi é ovvio,
l’approccio di utilizzare, nella ricerca di buone soluzioni, l’algoritmica a valori
privati.
Le soluzioni che proporremo, saranno analizzate cosí da metterne in risalto
la bontá competitiva, ed i pregi e difetti d’implementabilitá. Generalmente, nel-
l’algoritmica non si adotta un’approccio orientato all’analisi di realizzabilitá delle
soluzioni proposte, ma, poiché il nostro problema nasce da un esigenze pratiche,
é ovvio analizzare se le metodologie di soluzione fornite siano implementabili o
20 Degli equilibri Bayesiani di Nash si é giá parlato a pagine 17 e 25 e, si é puntualizzato
che essi richiedono, cosa non da poco, la conoscenza a priori della distribuzione di probabilitá
da cui sono derivate le valutazioni dei vari agenti. Friedman e Parkes giungono ad una tale
conclusione perché molto ispirati dalle teorie Economiche, e poco da quelle Informatiche.
21 L’esistenza di una tale distribuzione di probabilitá non é banale, poiché, implica che gli
agenti hanno un comportamento pressocché identico tra loro.
111

meno.
CAPITOLO 9. Analisi del problema
112

Capitolo 10
Soluzioni proposte: descrizione
ed analisi
Proponiamo varie soluzioni al problema analizzato nel capitolo precedente e, per
ognuna di esse, cercheremo di risaltarne vantaggi e svantaggi, sia da un punto di
vista teorico, valutandone i rapporti di competitivitá, sia implementativo, ana-
lizzandone le relative difficoltá realizzative. In realtá tutte le soluzioni proposte
sono, almeno potenzialmente, realizzabili, per cui l’unica analisi fattibile in tal
senso é relativa ai tempi di esecuzione, che per la particolare impostazione online
del nostro problema hanno una valenza ancor maggiore rispetto alla loro relativa
controparte offline.
I risultati ottenuti da Friedman e Parkes in [FP03], giá citati nel capitolo 9 a
pagina 97 non sono, a nostro avviso, meritevoli, e quindi non li si approfondirá piú
di quanto non si sia giá fatto. I due autori, infatti, affermano che i migliori risultati
per la soluzione del nostro problema siano ottenibili attraverso la ricerca, se esiste,
di un equilibrio Bayesiano di Nash. Tale soluzione, peró, é sia inapplicabile da un
punto di vista realizzativo che debole da un punto di vista teorico poiché richiede
la conoscenza, a priori, di una distribuzione di probabilitá tramite la quale si
113

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
generino le valutazioni dei vari agenti 1 .
Il nostro approccio Informatico al problema, invece, ottiene soluzioni differenti
grazie all’utilizzo di metodologie di problem solving differenti orientate alla ricerca
della miglior soluzione possibile che sia, in un certo qual modo, implementabile 2 .
Le varie soluzioni sono proposte in ordine crescente di difficoltá, cosí da
rendere agevole la graduale comprensione di quanto esposto.
10.1 k Aste Identiche
La soluzione piú semplice, che in prospettiva puó pensarsi come un’evoluzione
della soluzione a prezzo fisso esposta nel capitolo precedente, ponendosi sempre
come obiettivo il perseguire una qualche forma di benessere sociale 3 consiste nel
definire un’asta per ognuno dei canali in cui il link ”virtuale” tra l’access point
1 Da tale approccio si nota che i due autori dell’articolo [FP03] sono un Economista ed un
Ingegnere.
2 Probabilmente se a Economisti e Ingegneri fosse stato chiesto di cercare soluzioni per
problemi NP-hard non sarebbe nata la teoria degli algoritmi approssimati.
3 In realtá, poiché la pratica di fornire l’accesso Wi-Fi come servizio accessorio é in notevo-
le diffusione si potrebbe erroneamente pensare che la teoria delle aste stia trovando altissima
applicazione in tale ambito. In realtá la metodologia di tentare di far pagare per un bene un
prezzo che sia adeguato al valore che l’utente associa col possedere tale bene non é ancora stata
applicata in pratica. Le varie soluzioni adottate al nostro problema, infatti, definiscono un
prezzo fisso di connessione per unitá di tempo (in genere il minuto) e tutti gli agenti interessati
pagano quello stesso prezzo.
La catena di bar Starbucks, é stata presa come punto di riferimento nella nostra analisi poiché
é quella che ha dimostrato un maggior spirito d’innovazione adottando uno schema di paga-
menti versatile, che permette, di gestire le differenze tra i vari agenti influenzando pagamenti e
allocazioni per essi determinati. Ció nonostante, tale approccio non é considerabile nell’ottica
di un’asta e nessuno, allo stato attuale, ha adottato una soluzione che si ispiri alla teoria delle
asta online.
114

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
e le stazioni mobili degli agenti é suddivisibile. In particolare, quindi, in tale
impostazione il problema sta nel progettare un’asta per ogni possibile connessione
l’access point possa accettare, e, considerando k come il numero di canali messi a
disposizione definire k aste, una per ogni canale. Quando un’agente é ammesso a
partecipare ad un’asta, nel caso in cui vi sia un canale libero, l’agente effettuata
offerte utili alla determinazione del tempo di allocazione di quel canale ed al
relativo pagamento da effettuare per una tale allocazione.
10.1.1 Un algoritmo di wrapping
Considerando il tempo una quantitá discreta 4 , quando l’agente i-esimo é interes-
sato al canale non compete con altri agenti ma sottomette il suo vettore d’offerta
bi, definito nella sezione 9.5.6 a pagina 109. Tutte le offerte in esso contenuto
competono tra loro al fine di determinare un’allocazione (ti, pi), definita nella
sezione 9.5.7 a pagina 110. L’agente, quindi, é realmente e necessariamente disin-
teressato al comportamento degli altri partecipanti al gioco, poiché le sue offerte
competono esclusivamente tra loro.
L’algoritmo 3 definisce un semplice wrapper per la gestione delle k aste il cui
unico compito é determinare un’associazione tra l’agente interessato ad un canale
e una delle k aste, e determina il comportamento da seguire quando si presenta
il vettore d’offerte dell’agente i-esimo. Tale algoritmo denota con A la generica
asta per uno qualunque dei canali.
Teorema 10.1. Se l’asta A é truthful le k aste costruite secondo l’algoritmo 3 5
4 Come si é affermato nel capitolo 9 considerare il tempo una variabile discreta implica che
l’agente ottiene un’allocazione per un certo numero intero di istanti di tempo. Nonostante
questo modello sia in una qualche misura una semplificazione della vera natura della variabile
tempo, l’assunzione alla base non é riduttiva, anzi, é estremamente diffusa in letteratura.
5 O attraverso un qualunque algoritmo di wrapping analogo.
115

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Algoritmo 3 k Aste Semplici
if vi é almeno un canale disponibile then
esegui l’asta A sul vettore di offerte offerte bi determinando (ti, pi). Alloca
il canale all’agente i-esimo per ti istanti di tempo e ricevendo un pagamento
pi
else
rifiuta la richiesta di connessione e poni t ′
i = 0 e pi = 0
end if
trascorsi i ti istanti di tempo di allocazione l’agente i-esimo rilascia il canale
che torna disponibile per una nuova allocazione
sono truthful.
Dimostrazione. Poiché ogni agente partecipa ad una qualunque delle k aste, ognu-
na delle quali truthful, la strategia dominante di ogni agente é dichiarare le sue
reali valutazioni quando sottomette un’offerta; poiché in qualunque asta si tro-
vasse a partecipare dire la veritá é la strategia che massimizza sempre la sua
utilitá.
In particolare, nella discussione seguente, si mostrerá che l’asta A, per il
modello definitosi é un’asta a prezzo fisso (in un’accezione molto ampia di tale
tipologia d’asta) poiché l’agente i-esimo effettua egli stesso tutto l’insieme di
offerte sulla base delle quali si determinerá l’allocazione.
10.1.2 Asta indipendente dall’offerta −→ Asta a prezzo
fisso
Nel teorema 2.1 a pagina 22 si é mostrato che una qualunque asta indipendente
dall’offerta é truthful; ma cosa significa, nel modello definito per il problema che
116

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
stiamo analizzando, la condizione di indipendenza dall’offerta? Nel nostro mo-
dello ogni agente effettua un’insieme di offerte e, il meccanismo deve determinare
quella tra queste massimizzi il profitto. Poiché tutte le offerte accettate all’asta
sono definite da un unico agente l’indipendenza dall’offerta puó essere riformulata
nell’ottica di indipendenza da tutte le offerte. Quindi poiché il meccanismo deve
determinare i prezzi di allocazione in maniera indipendente da ció che l’agente
offre, tali aste, possono essere assimilate senza perdita di generalitá alle aste a
prezzo fisso. Quindi possiamo utilizzare un qualunque meccanismo d’asta in cui
viene fissato un prezzo fisso di connessione. Sarebbe possibile definire una gestio-
ne offline delle allocazioni gestendo il vettore d’offerta dell’agente i-esimo come
l’insieme di offerte su cui lavora il meccanismo d’asta offline. Poiché, per quanto
si é detto, la definizione d’asta indipendente dall’offerta implica indipendenza da
tutte le offerte l’unico meccanismo applicabile é quello a prezzo fisso che sappiamo
avere un rapporto di competitivitá rispetto alla soluzione ottima di O(h), dove
con h si indica il rapporto tra la valutazione massima e quella minima. Quindi,
il nostro approccio consisterá nell’utilizzo di meccanismi comunque online per la
gestione dell’allocazione in cui il vettore d’offerta del singolo agente é visto per
quello che esso realmente identifica, una singola richiesta di connessione.
Nella sezione 4.1 a pagina 36 si é mostrato che l’asta a singolo prezzo fisso non
raggiunge buoni rapporti di competitivitá, per cui costruiremo direttamente aste
a prezzi fissi multipli nel tentativo di ottenere buoni rapporti di competitivitá 6 .
6 Sempre nella sezione 4.1 a pagina 36 si é discusso circa i problemi di competitivitá dei
meccanismi a prezzo fisso, determinati dalla difficoltá di scelta del prezzo (o prezzi nel caso di
aste con piú prezzi di vendita) che sia tale da massimizzare il profitto ed al tempo stesso essere
indipendente dai valori offerti al fine di essere truthful.
117

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
10.1.3 L’asta del capitolo 6 estesa ad asta a prezzo fisso
Analizziamo in un’ottica diversa l’asta online di Lavi e Nisan di cui si é discusso
nel capitolo 6 a pagina 52. La tecnica definita dagli autori determina un’asta
basata su curve di fornitura e definisce le offerte e le valutazioni degli agenti in
termini marginali 7 .
Analizzando meglio la definizioni 6.2 e 6.1 di curve di fornitura e di curve
di fornitura globale si determina che esse non sono nient’altro che delle funzioni
marginali indipendenti dall’offerta che determinano la quantitá di beni da allo-
care ad un determinato utente ed il prezzo che per essi deve pagare. In un’ottica
generale tali curve sono adattive, poiché possono modificarsi in virtú delle alloca-
zioni precedenti. Considerando, invece, un meccanismo in cui l’unico interesse é
l’allocazione, e terminata essa i beni tornano ad essere disponibili otteniamo che
l’adattivitá precedentemente menzionata non é necessaria, e, una volta rilasciato
il canale un agente che effettui una richiesta per ottenerlo puó essere presentata
la medesima curva di fornitura. Per cui, la curva di fornitura determina:
• se allocare o meno il canale all’agente,
• per quanto tempo allocargli il canale,
• il pagamento dovuto per una tale allocazione.
Per cui, escludendo l’adattivitá dalle curve di fornitura, possiamo ottenere un
meccanismo a prezzi fissi multipli efficiente e versatile.
7 L’utilizzo di una funzione marginale come espressione della funzione di valutazione non
assegna piú prezzi a determinate quantitá del bene, ma assegna prezzi a singole unitá di prodotto
addizionale ricevute. Per cui, la valutazione che l’utente j ha di t beni (nel nostro caso minuti
di connessione) é t
i=1 vj(i).
118

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
10.1.4 Analisi
Poiché il fornitore del servizio (l’AP) ha interesse, nel tentativo di massimizzare
profitto ed benessere sociale, a far connettere il maggior numero di utenti possibile
puó definire una curva di fornitura crescente in modo tale che i primi minuti di
connessione abbiano un prezzo di fornitura accessibile alla maggior parte degli
agenti. Tra l’altro é perfettamente plausibile l’ipotesi che le funzioni d’offerta degli
agenti siano decrescenti, supponendo un comportamento orientato a connettersi
per pochi istanti di tempo 8 .
In queste ipotesi, del tutto lecite, le curve di fornitura sono crescenti e le curve
d’offerta decrescenti e quindi rientriamo nelle condizioni su cui si basa l’analisi
fatta nel capitolo 6.
Per cui, da un punto di vista grafico, l’intersezione tra la curva di fornitura
e la curva d’offerta dell’agente i-esimo determina ti, il tempo di allocazione del
canale ed il prezzo che dovrá pagare sará ti j=1 p(j), con p(x) a denotare il valore
della curva di fornitura in x.
É stato possibile adottare un tale schema risolutivo, in quanto, il massimo
tempo di collegamento si é supposto limitato superiormente da Tmax e, quindi, il
problema d’asta é considerabile nell’ottica della fornitura limitata.
Teorema 10.2. Il meccanismo con k aste indipendenti é indipendente da consi-
derazioni sul tempo. Un agente non ha convenienza ad attendere al fine di pagare
un prezzo inferiore.
Dimostrazione. Poiché le k aste sono identiche e indipendenti l’una dall’altra esse
presentano tutte, e sempre, le stesse curve di fornitura. Per cui, per uno stesso
vettore d’offerta b l’asta allocherá il canale per il medesimo tempo e richiederá
8 Che é il comportamento plausibile di chi si connette ad Internet in un bar, e svolge le poche
attivitá urgenti che gli necessitano.
119

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
il medesimo pagamento. Quindi, il prezzo pagato da un offerente é indipendente
dal tempo in cui arriva la richiesta, e quindi non vi é convenienza a ritardare
un’offerta nella speranza di ottenere un’allocazione piú vantaggiosa.
Inoltre, poiché lo schema di utilizzo é identico a quello presentato nel capitolo
6 la competitivitá é quella presentata per tale asta in quel capitolo.
Teorema 10.3. L’Asta Online Competitiva é c-competitiva rispetto al profitto e
all’efficienza sociale, dove c é la soluzione dell’equazione 6.1.
La versione omnisciente di tale asta, é quella che conosce in anticipo tutte le
offerte che gli giungeranno, e alloca i canali agli utenti in modo da ottenere il
massimo profitto. In tale impostazione, nella volontá di massimizzare profitto e
benessere sociale l’asta di Vickrey, su cui si basa la dimostrazione del teorema 6.2
e di converso la dimostrazione del teorema 10.3, puó tranquillamente considerarsi
ottima.
10.1.5 Considerazioni
Da quanto detto é semplice derivare vantaggi e svantaggi derivanti dall’applica-
zione di una tale metodologia.
Il vantaggio principale, deriva dal fatto che l’AP ottiene un profitto determina-
to esclusivamente dalla definizione della curva di fornitura, e quindi, dalla stima
dell’interesse che gli agenti mostreranno verso il servizio che fornisce. Inoltre,
dalla formulazione descritta, si evince banalmente, la semplicitá implementativa
di tale tecnica 9 .
Lo svantaggio é evidente, e deriva dal fatto che non si é sviluppata un’asta
vera e propria, e, quindi, non si é creato un vero e proprio mercato. Per cui, i
9 E.g., Starburcks potrebbe tranquillamente decidere di utilizzare una tale strategia per la
gestione dell’allocazione dei canali.
120

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
prezzi non si adeguano in base alle precedenti allocazioni, e non tengono conto
del livello di congestione della banda considerando l’allocazione di un canale allo
stesso modo sia quando ve ne sono n occupati sia quando sono tutti liberi, senza
considerare le differenze che comporta una tale allocazione dal punto di vista
trasmissivo 10 .
10.2 k Aste Differenti
L’asta proposta nella sezione 10.1 non definisce nessuna dipendenza tra numero
di canali giá allocati e curva di fornitura, e tutti pagano lo stesso prezzo indi-
pendentemente dal fatto che i canali occupati siano 1, 2, . . . , k. Se il bar é pieno,
ed il numero di potenziali agenti che hanno interesse a connettersi é elevato, una
tale strategia non é del tutto in linea con il tentativo di massimizzare il profitto
d’asta, poiché in una situazione del genere dovrebbero privilegiarsi agenti disposti
a pagare un prezzo piú alto rispetto a quelli che tentano di connettersi quando
nessun agente é interessato al servizio 11 .
L’idea é quella di definire una strategia costituita sempre da k aste, che non
sono piú identiche ma differiscono in relazione al numero di canali disponibili nel
momento in cui l’agente effettua la sua offerta.
10.2.1 Costruzione delle k funzioni di fornitura
La definizione delle k aste si riduce alla definizione di k funzioni di fornitura,
determinate in base ai k possibili stati in cui puó trovarsi la variabile che iden-
10 In realtá é solo la presenza di canali liberi a determinare la possibilitá di fare frequency
hopping nei link wireless, permettendoci di considerare la banda come un insieme di k canali
distinti.
11 Questa metodologia é pienamente rispondente a ció che avviene in un mercato di libera
concorrenza, in cui se la domanda é alta e la quantitá dei beni é finita i prezzi crescono.
121

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
tifica il numero di canali disponibili. Le k curve di fornitura saranno costruite
in maniera tale da instaurare una dipendenza con il numero di canali disponibili
nel momento in cui arriva l’offerta dell’agente i-esimo. Considerando la partico-
lare curva di fornitura introdotta nell’asta deterministica per k beni indivisibili 12 ,
presentata nella sezione 6.2.3 a pagina 67, é semplice modificarla in funzione dei
nostri obiettivi. Consideriamo k > 1, in quanto il caso di un unico canale non é
d’interesse, e, puó essere risolto banalmente con una qualunque asta che venda
un’unico bene, e l’allocazione del canale determina, esclusivamente, la durata di
tale allocazione. Denotando con p e φ i prezzi minimo e massimo di fornitura
per istante di tempo; e con Ad l’asta che si effettua quando vi sono d canali
disponibili, é possibile definire la curva di fornitura per tale asta.
Definizione 10.1 (Asta basata su curve di fornitura parametrizzate).
L’asta Ad é basata sulla seguente curva di fornitura globale 13
p(t) = (p + k
d + 1
t
− 1) · φ 2Tmax+1 per t = 1, . . . , Tmax.
Teorema 10.4. Se l’asta Ad é truthful la strategia presentata é truthful.
Dimostrazione. Poiché i vari agenti partecipano ad un’unica asta e quella a cui
partecipano non dipende dalla loro offerta b essi non possono pilotare l’asta a
cui partecipare tramite il loro vettore d’offerta, per cui il meccanismo progettato
é ancora truthful e, quindi, la loro strategia dominante resta il dichiarare le
12 Per cui, continuando a considerare il tempo una quantitá discreta, anche se, come si é giá
affermato, ció non comporta una riduzione d’efficienza della soluzione individuata.
13 L’ipotesi che la curva di fornitura sia globale non é vincolante poiché se nello stesso identico
stato (determinato esclusivamente dal numero di canali disponibili) si presenta un nuovo agente
ad esso viene presentata la medesima curva di fornitura, senza tener conto di ció che é avvenuto
nelle allocazioni precedenti per il medesimo stato di occupazione dei canali. Tale considerazione
rende ancor piú evidente il modo in cui stiamo snaturando la teoria presentata nel capitolo 6 e
meglio in [LN00], considerandola alla stregua di un’asta a prezzi fissi multipli.
122

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
loro reali valutazioni. Comunque, allo stesso modo di come si é fatto nell’analisi
della soluzione proposta nella sezione 10.1 ipotizzeremo un’agente ancor piú furbo
che considera la possibilitá di attendere nell’effettuare la sua offerta, cosí da
poter partecipare ad un’asta A d ′ anziché Ad pagando un prezzo piú basso 14 . In
questa metodologia, questo comportamento é possibile, ma esso, comunque, non
arreca danni circa la truthfulness dell’asta poiché l’agente tenta di pagar meno
affermando comunque la veritá ma in un tempo successivo. Inoltre, si é giá
detto che un tale comportamento non é da considerarsi del tutto negativo poiché,
aumentando il tempo di permanenza dell’agente nel bar, aumenta la probabilitá
che si consumino piú bevande.
Ad ogni agente viene presentata una curva di fornitura differente in funzione
del numero di canali disponibili (o per meglio dire non allocati) nel momento in
cui egli fa la sua offerta. Poiché, nella tecnica basata su curve di fornitura, le
offerte dell’agente determinano esclusivamente la quantitá di bene allocato (nel
nostro caso il il tempo di connessione), ed il pagamento da effettuare é basato
esclusivamente sulla curva di fornitura, il fatto che essa sia differente in funzione
del numero di canali disponibili determina prezzi differenti, a paritá di tempo di
connessione determinato, in virtú del numero di canali disponibili.
Denotando con P (j, Ad) il pagamento totale da effettuare per j istanti di
allocazione ottenuti partecipando all’asta Ad abbiamo che:
P (j, Ad) < P (j, Ad+1) per ogni j = {1, . . . , tmax} e d = {1, . . . , k − 1} .
La curva di fornitura presentata nella definizione 10.1 ha, rispetto alla curva di
fornitura presentata nella sezione 6.2.3 a pagina 67, delle differenze algebriche
derivanti dall’introduzione del fattore peso basato sul rapporto tra numero di
14 Poiché per come si é costruita la curva di fornitura parametrizzata il prezzo pagato per una
stessa durata di allocazione é minore se d ′
< d.
123

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
canali disponibili e numero di canali totali. In particolare, il fattore peso é dimi-
nuito di un’unitá al fine di rendere le curve di fornitura pressoché identiche nei
valori iniziali, ed il fattore moltiplicativo introdotto all’esponente é tale, da non
far crescere troppo velocemente le curve, rendendole troppo velocemente tendenti
al prezzo massimo di allocazione per unitá di tempo. Le possibili modifiche alla
prezzo
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
1 canale disp.
2 canali disp.
3 canali disp.
4 canali disp.
5 canali disp.
6 canali disp.
7 canali disp.
5
0 5 10 15
tempo
20 25 30
Figura 10.1: Curve di fornitura in funzione dei canali disponibili.
Curve costruite per Tmax = 30, p = 5 , φ = 50 e k = 7
curva di fornitura presentata nella sezione 6.2.3 sono tante, e possono variare in
funzione degli obiettivi che l’AP vuole perseguire, che possono considerarsi:
• valori iniziali della curva di fornitura sono pressocché identici ed indipen-
124

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
denti dal numero di canali disponibili,
• nei valori finali della curva di fornitura (avvicinandoci a Tmax), le differen-
ze tra le varie curve divengono sostanziali in maniera tale che un agente
cui viene allocato un canale, quando ve ne sono pochi disponibili, non lo
monopolizzi rendendo impossibile agli altri agenti interessati l’utilizzo del
servizio,
• l’andamento delle curve é pressoché identico e sono tutte crescenti.
La figura 10.1 illustra in maniera chiara le proprietá delle k curve di fornitura
descritte precedentemente.
10.2.2 Analisi e considerazioni
Poiché si suppone che si possa ritardare il momento in cui sottomette la propria
offerta, nel caso peggiore, ogni agente attende fino a quando tutti i canali sono
liberi prima di sottomettere la propria offerta. In maniera analoga, il caso peggio-
re puó considerarsi quello in cui le offerte, arrivano sempre quando tutti i canali
sono liberi, e, quindi, la competitivitá é identica a quella precedente in cui non si
definiva una relazione tra curva di fornitura e numero di canali disponibili.
Da ció che si é affermato finora, é semplice evincere che se si suppone che gli
agenti possano osservare le allocazioni effettuate essi possono ritardare il tempo
in cui effettuano la loro offerta al fine di pagar meno.
Teorema 10.5. La strategia descritta ha come effetto collaterale, il generare negli
agenti il possibile atteggiamento di ritardare il tempo in cui effettuare la propria
offerta al fine di pagar meno per uno stesso tempo di allocazione del canale.
Il side effect di questo possibile comportamento determina, nel caso peggiore,
125

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
un numero medio di canali occupati molto basso, ed un conseguente sfruttamento
della banda totale disponibile molto debole.
Ma un’agente puó essere realmente interessato a ritardare la sua offerta al fine
di pagar meno?
Nell’impostazione presentata un’agente osservando i pagamenti effettuati da-
gli altri e le richieste che arrivano puó rendersi conto dell’andamento delle allo-
cazioni e determinare, il tempo successivo in cui il numero di canali disponibili
sia maggiore; cosí ritardando la sua offerta puó vedersi presentare una curva di
fornitura che determini prezzi piú bassi. Ció nonostante, un tale comportamento
non necessariamente determina una perdita di profitto, poiché essendo la fornitu-
ra del servizio Wi-Fi solo collaterale all’attivitá di ristorazione primaria del bar,
una maggior permanenza degli agenti nel locale comporta, in probabilitá, una
crescita dei profitti derivanti dalla ristorazione, attivitá primaria di Starbucks
(analogamente per altre tipologie di attivitá commerciali).
10.3 Banda Infinitamente Frazionabile
Il modello utilizzato nelle soluzioni proposte finora prevede che le quantitá tempo
e banda siano discrete e non continue. Nonostante si sia giá affermato che una tale
astrazione non é limitativa, essa é comunque un’astrazione, per cui, nel tentativo
di aderire ad un modello pienamente rispondente alle specifiche del problema
cercheremo soluzioni in tali quantitá sono considerate continue.
10.3.1 Estensioni del modello e della soluzione
La capacitá trasmissiva dell’AP non é piú suddivisa in canali ma in ampiezza di
banda totale (del tipo 10 Mbit/sec), ed il tempo non é considerato una quantitá
126

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
discreta ma continua (possiamo ottenere un’allocazione per 2,32 minuti). Conti-
nueremo a supporre che l’AP definisca il massimo tempo di connessione (sempre
denotato con Tmax) e un pagamento minimo e massimo per unitá di tempo (de-
notati rispettivamente con p e p).
Inoltre, denoteremo con Q la quantitá totale di banda messa a disposizione (che
normalizzeremo ad 1), con τ = [1, Q] il range delle possibili quantitá di banda per
cui si puó offrire, e, con T = [1, Tmax] il range delle possibili durate d’allocazione.
Quindi il vettore bi sará costituito da elementi della forma bi : τ x T → R+ ∪{0}.
Tenteremo di progettare un’asta per un modello siffatto e valutaremo le va-
riazioni indotte da tale trasformazione dal punto di vista della competitivitá e
della realizzabilitá. Piú in generale, trasformeremo la teoria presentata nel capi-
tolo 6 [LN00] per aste online con curve di fornitura e d’offerta in piú parametri.
Analogamente a quanto avveniva nel caso a singolo parametro ogni offerente
ha una valutazione personale delle quantitá ricevute (viste, quindi, come coppie
) e l’asta deve decidere per ogni offerente quanta banda allocargli
e per quanto tempo.
Se tentassimo di progettare due aste, una per la determinazione della quantitá
di banda e l’altra per il tempo di connessione, otterremo risultati necessariamente
non competitivi poiché separeremmo la determinazione di due parametri che si
influenzano a vicenda. Per tale motivo tralasceremo tale impostazione e adottere-
mo un’approccio in cui la determinazione si basa su una mediazione su entrambi
i parametri.
Analogamente alle soluzioni giá presentate, ogni agente puó definirsi in compe-
tizione esclusivamente con se stesso e con il meccanismo per la determinazione
dell’allocazione del bene e del suo relativo pagamento.
127

La banda
CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Il bene messo all’asta puó considerarsi come una qualche frazione della quantitá
totale di banda Q = 1, supponendo che essa sia infinitamente frazionabile tra i
vari agenti. Il tempo di allocazione, sará considerato come collaterale alla quan-
titá di banda in quanto ogni agente riceve la banda per una determinata quantitá
di tempo ed effettua un pagamento in virtú di entrambe le quantitá.
Valutazioni dei giocatori
Ogni agente avrá un propria funzione di valutazione marginale denotata con
vi : τ x T → R+ ∪ {0} che rappresenta il pagamento addizionale che l’agente
é disposto ad effettuare per un unitá in piú dei beni che gli vengono allocati.
Per cui, la valutazione totale dell’agente i, per una quantitá di banda pari a q ′
,
allocatagli per un tempo pari a t ′
, é t ′ ′
q
q=1 vi(q, t) dq dt.
t=1
Analogamente a quanto fatto nel caso a singolo parametro supporremo, senza
perdita di generalitá, che le singole valutazioni marginali del singolo parametro
siano non crescenti, i.e., vi(q + 1, t) ≤ vi(q, t) e vi(q, t + 1) ≤ vi(q, t) 15 . Se
il pagamento totale dell’agente i per un’allocazione (qi, ti) é Pi, la sua utilitá
é data, in maniera analoga a quanto definito nella sezione 6.1.1 a pagina 53,
da Ui(qi, ti, Pi) = ti
t=1
qi
q=1 vi(q, t) dq dt − Pi, e, come in ogni asta che si rispetti,
obiettivo di ogni agente é massimizzare la sua personale utilitá 16 .
15 Per il particolare problema che stiamo analizzando, tale assunzione é pienamente lecita,
poiché gli agenti che arrivano al bar hanno come interesse collaterale la connessione Wi-Fi, per
cui essi non la usano per lavoro, ma per poche cose necessarie che possono esser fatte in un bar
come leggere le e-mail o il giornale. Inoltre, é ovvio che a paritá di banda siamo piú interessati
ai primi minuti che non hai successivi, mentre a paritá di tempo siamo interessati piú alla
quantitá di banda minima che non a quella in piú. Si ricordi che le funzioni di valutazione sono
marginali, quindi indicano quanto si é disposti a pagare per un’unitá in piú di prodotto.
16 Ricordiamo, inoltre, che la strategia presenta nel capitolo 6, meglio curata in [LN00], che
128

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Strategie dei giocatori
Ogni giocatore i ad un tempo t i apprende la sua valutazione, che determina il suo
interesse al gioco ed effettua un’offerta in quello stesso istante 17 . Poiché siamo
interessati a meccanismi a rivelazione diretta, il giocatore dichiara la sua funzione
di valutazione marginale. Per cui, l’offerta é una qualche funzione, marginalmente
non crescente, bi(q, t) della forma bi : [1, . . . , Q] x [1, . . . , Tmax] → R+ ∪ {0}.
Poiché gli agenti sono egoisti e razionali, essi potrebbero mentire se ció gli
comportasse un maggior guadagno, ed il meccanismo d’asta dev’essere tala da
indurre gli agenti a dichiarare le loro reali valutazioni. Inoltre, il gioco é tale
da non terminare, poiché, nonostante per un determinato lasso di tempo tutta
la banda puó essere occupata, e quindi non allocabile ad un eventuale altro ri-
chiedente, essa, trascorsi al piú Tmax istanti di tempo, ritornerá completamente
disponibile e pronta ad essere allocata nuovamente. Le richieste giunte quando
tutta la banda é occupata non vengono considerate dal meccanismo, e gli agen-
ti che le hanno sottomesse, devono ripresentarle in un tempo successivo, in cui
qualche canale é disponibile, se vogliono ottenere l’allocazione di una qualche
quantitá di banda. Siamo, quindi, interessati ad un’asta che sia truthful, nella
quale ogni agente abbia come strategia dominante quella di dichiarare la sua
reale valutazione.
stiamo seguendo, é una delle poche a considerare anche la massimizzazione del benessere sociale
degli agenti.
17 Successivamente, dimostreremo che quest’approccio é del tutto equivalente a quello presen-
tato nel capitolo 6, e poiché tra le estensioni di quel modello c’é la possibilitá di ritardare le
dichiarazioni, senza per questo riuscir ad ottenere un maggior utile, otterremo un’altra asta in
cui l’agente non ha convenienza ad attendere per effettuare la sua offerta.
129

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
10.3.2 Curve di fornitura per Aste Online in due parame-
tri
Definiamo la curva di fornitura per due parametri allo stesso modo di quanto
fatto nella sezione 6.1.2 a pagina 55 per un singolo parametro.
Definizione 10.2 (Curva di fornitura in due parametri). Un’asta online
é detta ”basata su curve di fornitura nei parametri q, t” se prima di ricevere
l’i-esima offerta viene fissata una qualche funzione (curva di fornitura) pi(q, t)
basata sulle precedenti offerte, e tale che,
1. Le quantitá q ′
, t ′
allocate all’offerente i massimizzano la quantitá t ′
pi(q, t)) dq dt (i.e. l’utilitá dell’offerente)
2. Il prezzo pagato dall’agente i é t ′
t=1
q ′
q=1 pi(q, t)dq dt
t=1
q ′
q=1 (bi(q, t)−
La generalizzazione al caso di curve di fornitura in piú di due parametri é
ovvia, e l’analisi che illustreremo puó essere semplicemente adattata al caso di
curve di fornitura in piú di due parametri. La forma piú semplice di curva di
fornitura in due parametri é quella in cui le funzioni marginali associate a tale
curva 18 sono non decrescenti. La figura 10.2 illustra una curva di fornitura in due
parametri con funzioni marginali non decrescenti.
Teorema 10.6. Un’Asta Online é compatibile agli incentivi se e solo se é basata
su curve di fornitura.
Dimostrazione. In base al teorema 2.1 a pagina 22 si é determinato che qua-
lunque asta deterministica indipendente dall’offerta é truthful. Adottando una
18 Il termine curva si utilizza in modo improprio, poiché, nel caso di funzioni in piú di due pa-
rametri si generano piani e non curve. Nonostante ció, per mantenere leggera la nomenclatura,
continueremo ad utilizzare il termine ”curva”.
130

prezzo
CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
50
40
30
20
10
0
0
0.25
0.25
tempo
0.5 0.75 1
0.5 0.75 1
0.5
banda
0.75
Figura 10.2: Curva di fornitura in due parametri.
Si noti la normalizzazione all’intervallo [0, 1] per banda e tempo.
metodologia equivalente a quella utilizzata per dimostrare il teorema 6.1 di pagi-
na 57, é banale ridurre l’asta basata su curve di fornitura in un’asta indipendente
dall’offerta. Infatti, con l’utilizzo delle curve di fornitura, indipendentemente dal
numero di parametri su cui si basano, la determinazione del prezzo é indipenden-
te dall’offerta, in quanto esso dipende esclusivamente dalla curva di fornitura, e
la funzione d’offerta non influenza il prezzo, ma solo l’ammontare di tempo per
cui il canale viene allocato all’agente i-esimo 19 . Quindi, il pagamento é necessa-
riamente indipendente dall’offerta, e l’asta, in virtú del giá citato teorema 2.1, é
truthful, da cui segue.
Con due parametri l’intersezione tra curva di fornitura e curva dell’offerta non
determina un singolo punto 20 , ma é il risultato dell’intersezione tra due piani. Ipo-
19 E quindi, in realtá influenza in maniera collaterale anche il pagamento totale che dev’essere
effettuato.
20 Si ricordi che con due parametri si lavora in R 3 .
131
1

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
tizzando, curve di fornitura con le marginali crescenti, e, curve d’offerta con le
marginali decrescenti l’intersezione definirá un’insieme di punti che soddisfano il
vincolo b(q, t) = p(q, t). La figura 10.3 mostra un particolare dell’intersezione tra
prezzo
50
40
30
20
0
10
0
0.25
0.25
tempo
0.5
0.5
banda
0.75
1
0.75
Figura 10.3: Un esempio d’asta basata su curve in due parametri.
Si noti come l’intersezione tra le curve definisce un insieme di soluzioni.
curva di fornitura e d’offerta da cui si evince che l’insieme di punti d’intersezio-
ne {(q 1 i , t 1 i ), . . . , (q n i , t n i )} determina un insieme di possibili allocazioni. Poiché il
numero di soluzioni d’allocazione non é unico compito del meccanismo é anche
quello di scegliere una soluzione tra quelle possibili, ma tale scelta non influenza
la truthfulness dell’asta. Il numero di possibili modi per scegliere un’elemento da
un insieme é infinito e qualunque scelta é ugualmente valida, inoltre, a maggior
132
1

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
riprova di tale condizione si noti dalla figura 10.4 che tutte le possibili allocazio-
ni valide determinano lo stesso prezzo di allocazione, confermando ancor di piú
l’equivalenza tra le varie scelte.
La scelta della coppia (q ′
i, t ′
i), allocazione dell’agente i-esimo, puó essere fatta
in diversi modi:
prezzo
50
40
30
20
10
banda
0 0.25 0.5 0.75 1
1
0.75
0.5
tempo
0.25
Figura 10.4: Particolare dell’intersezione tra curva di fornitura e d’offerta in due
parametri.
L’insieme dei punti d’intersezione determinano tutti lo stesso prezzo.
• casualmente,
• con una distribuzione di probabilitá non uniforme, che assegna probabilitá
piú alta alle allocazione con quantitá di banda piccola,
• con una distribuzione di probabilitá non uniforme, che assegna probabilitá
piú alta alle allocazioni con tempi bassi,
133
0

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
• mediando tra tempo di allocazione e quantitá di banda.
10.3.3 Curva di fornitura globale e competitivitá
La trattazione del capitolo 6 ha definito la possibilitá di utilizzare curve di for-
nitura globali come tecnica di gestione delle allocazioni successive, utile ma non
necessaria per una corretta gestione di tali curve. Ai fini della risoluzione del
nostro problema, invece, é necessario definire una curva di fornitura che sia glo-
bale in un unico parametro (la quantitá di banda), ed in maniera tale da rendere
indisponibile la banda attualmente allocata. Inoltre, al termine di un’allocazione
deve permettere la gestione della riacquisizione della banda nella quantitá dispo-
nibile.
É necessaria, quindi, una funzione globale piú complessa di quella della
definizione 6.2 a pagina 60.
Definizione 10.3 (Curva di fornitura globale per l’allocazione della ban-
da Wi-Fi). La curva di fornitura globale per il nostro problema sará tale che
pi(q, t) = p(q + i−1
j=1 qj, t) dove qj indica la quantitá allocata al j-esimo offerente,
e quando il suo tempo di allocazione termina si pone qj = 0, considerando la
ritornata disponibilitá della quantitá di banda precedentemente allocata.
Dal punto di vista computazionale tener traccia di tutte le allocazioni effet-
tuate dai vari agenti, in un’impostazione online, come per il nostro problema,
é particolarmente esoso, per cui nella realtá la valutazione della curva di soffe-
renza avviene attraverso l’utilizzo di variabili di supporto, e.g., una variabile che
mantenga l’insieme di allocazioni di banda attuali 21 . Ovviamente, é lecito, senza
21 Definiamo A, una variabile che mantiene l’insieme di allocazioni di banda attuali. Quando
ad un’agente viene allocata una certa quantitá di banda, tale allocazione viene inserita in A,
e quando tale allocazione termina tale quantitá viene eliminata dall’insieme A. La curva di
fornitura, quindi, puó essere computata come p(q, t) = p(q +
j∈A qj, t). Ovviamente esistono
134

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
perdita di generalitá, normalizzare la quantitá di banda ed il tempo di connessio-
ne ad 1 e, porre Q = 1 e T = 1. Considerando c essere la soluzione dell’equazione
presentata nella sezione 6.1 a pagina 62:
(p/p) − 1
c = ln
c − 1
approssimabile a c = Θ(ln(p/p)), possiamo costruire la relativa curva di fornitura
globale.
Definizione 10.4 (Aste Competitive Online in due parametri). Definiamo
la curva di fornitura competitiva in due parametri come:
p(q, t) = p(1 + (c − 1)e q+t
2 c ). (10.1)
L’Asta Online Competitiva ha la curva di fornitura competitiva in due para-
metri come curva di fornitura globale.
Teorema 10.7. L’asta online competitiva é c-competitiva rispetto al profitto e
all’efficienza sociale 22 , dove c é la soluzione dell’equazione 10.1.
Dimostrazione. Ci ridurremo a mostrare che la curva di fornitura in due para-
metri globale presentata nella definizione 10.4 é riducibile alla curva di fornitura
competitiva presentata nella definizione 6.5 a pagina 62. Attraverso una semplice
ridenominazione di variabili si puó porre x = q+t
2 ottenendo
p(x) = p(1 + (c − 1)e xc )
che non é nient’altro che la curva di fornitura competitiva, presentata nella defini-
zione 6.5 con x = [0, 1]. Quindi, possiamo considerare gli equivalenti teoremi per
molte altre tecniche di gestione delle allocazioni che influenzano la curva di fornitura, e quella
presentata é solo un esempio.
22 Il benchmark di riferimento offline é l’asta di Vickrey.
135

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
curve di fornitura in un solo parametro. Il teorema 6.2 a pagina 63 é la versione
per curve di fornitura in un parametro del teorema che vogliamo dimostrare, e,
tramite la ridenominazione di variabili presentata segue il medesimo risultato nel
caso di curve di fornitura in due parametri.
10.4 k Beni Digitali
Proviamo ad adottare, per la risoluzione del nostro problema, la tecnica presen-
tata nel capitolo 7 a pagina 70, considerando la banda come un bene digitale. In
una tale impostazione possiamo definire k aste, una per ogni canale con il compi-
to di gestirne il relativo tempo di allocazione. Il tempo, quindi, viene considerato
una quantitá illimitata (ossia, come bene digitale). Le tecniche illustratate nel
capitolo 7, realizzano strategie per le quali il pagamento effettuato dall’agente
i-esimo é determinato casualmente e se esso ha effettuato un offerta piú alta del
valore casuale determinato vince, altrimenti perde. Poiché l’agente concorre solo
con se stesso per l’allocazione del canale, si nota banalmente che una tale strate-
gia non é molto efficiente, in quanto il meccanismo non puó risolvere il problema
dell’allocazione richiedendo all’agente di effettuare una sequenza di offerte e sce-
glierne una tra esse. Nell’impostazione a beni digitali, infatti, si suppone che ogni
richiesta sia, almeno potenzialmente, soddisfacibile e, quindi, con una procedura
del genere si correrebbe il rischio di scegliere le offerte di un’agente piú di una
volta allocando il canale all’agente i-esimo per un tempo indeterminato. Inoltre,
dal teorema 7.2 a pagina 75, sappiamo che per beni digitali qualunque strategia
deterministica non é competitiva e, quindi, l’unica tecnica possibile risiede nello
sviluppo di meccanismi randomizzati, in cui, l’allocazione e non il pagamento
siano determinati dal fattore casuale, che per il particolare problema che stiamo
affrontando possono determinare allocazioni pericolose. Inoltre, tali aste sono
136

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
truthful 23 ma tali aste, a differenza delle soluzioni proposte nelle sezioni prece-
denti 24 non si pongono l’obiettivo di massimizzare l’efficienza sociale, e poiché
nel nostro problema, il servizio di connessione é secondario rispetto all’attivitá
aziendale primaria, e, si desidera che gli agenti abbiano una qualche forma di
vantaggio dall’ottenere il servizio desiderato. Quindi, l’utilizzo dei meccanismi
orientati ai beni in fornitura illimitata, detti beni digitali, non sono applicabili ai
nostri fini, poiché nonostante il tempo sia un bene in fornitura illimitata, la sua
allocazione ad un utente e la relativa indisponibilitá per quell’intervallo di tempo
determina l’impossibilitá di allocare quello stesso canale ad un altro agente per
quel tempo, considerazione impraticabile nello sviluppo di meccanismi per ”beni
digitali” propriamente detti.
10.5 Asta di Vickrey
Analizziamo, ora, un eventuale utilizzo dell’asta di Vickrey per la risoluzione del
nostro problema.
I meccanismi VCG, e la relativa asta di Vickrey su essi basata, richiedono,
per il modo in cui lavorano una gestione offline delle richieste, poiché prendono le
decisioni di allocazione esclusivamente sulla conoscenza della sequenza di offerte
di tutti gli agenti che intendono partecipare l’asta. Quindi, in un’impostazione
online in cui le offerte arrivano una per volta, ed il meccanismo deve prendere de-
cisioni nel momento stesso in cui arriva la singola offerta il meccanismo dovrebbe
prendere decisioni senza la conoscenza delle offerte che si riceveranno successiva-
23 In generale qualunque meccanismo fissi casualmente l’allocazione o il pagamento del bene
é, da banali considerazioni, truthful poiché in virtú del valore casuale scelto l’unica strategia
degli offerenti che ne massimizzi il profitto é dichiarare le loro reali valutazioni.
24 Sviluppate a partire dalla teoria esposta nel capitolo 6, che puó essere approfondita in
[LN00].
137

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
mente. Inoltre, per la vendita di k beni (i canali da allocare agli agenti) l’asta di
Vickrey non ha un buon rapporto di competitivitá, come mostrato nella sezione
4.2 a pagina 37, non si puó neanche immaginare di progettare un’asta Vickrey-like
che abbia un buon rapporto di competitivitá nel caso online. Quindi, l’asta di
Vickrey é poco utile nel tentativo di risolvere il problema che stiamo analizzando.
10.6 Riduzione ad un problema di approssima-
zione
Nel capitolo 8 a pagina 84 si é introdotta una nuova teoria per la progettazione
di meccanismi truthful. Tale teoria, costruisce un meccanismo truthful partendo
dall’algoritmo approssimato per la variante a valori pubblici del problema che si
vuole risolvere.
Nell’esposizione di tale teoria si é esposto un esempio di applicazione di tale
tecnica. In particolare, nella sezione 8.2 a pagina 87 si é esposta la conversione
della progettazione di un’asta a offerte singole nella progettazione di un’algoritmo
per il problema di ottimizzazione conosciuto come ”call admission”. Gli algori-
tmi di ”call admission online” ricevono delle richieste in modalitá online, e, loro
compito, é decidere prima dell’arrivo di una nuova richiesta se accettare quella
precedente o meno. Ad ogni richiesta é associato un profitto positivo, e, l’obiet-
tivo dell’algoritmo é accettare l’insieme di richieste che massimizzano il profitto
nel rispetto della saturazione dei vincoli del problema. Il profitto associato ad
ogni richiesta é ricevuto se e solo se la richiesta é soddisfatta e l’obiettivo é quello
di massimizzare il profitto.
Il problema é considerato nella sua variante approssimata a valori pubblici,
e rientra nella categoria dei problemi di ”call admission”, ed a tale teoria ci
138

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
rifaremo nella costruzione di un algoritmo per la versione approssimata del nostro
problema.
Un buon algoritmo di ”call admission” per la prenotazione temporanea dei
circuiti virtuali 25 é esposto in [AA93]. Usando idee simili alle loro, definiremo un
algoritmo di approssimazione per il nostro problema e, successivamente, appli-
cando l’algoritmo di riduzione 1 a pagina 89 genereremo un meccanismo online
truthful.
Definizione 10.5 (Problema di ottimizzazione associato all’allocazione
dei canali Wi-Fi da Starburcks). Data una sequenza di richieste ”online”
mirate all’allocazione di una certa quantitá di banda, e, tali che ogni richiesta
accettata determina un profitto positivo, obiettivo dell’algoritmo é massimizzare
tale profitto.
10.6.1 Un buon algoritmo di call admission
Molte tecniche utilizzate nella progettazione degli algoritmi di ”call admission”
online prevedono una definizione dei pagamenti che risponda alle specifiche del
nostro problema. Inoltre, molti di questi algoritmi non perseguono come obiettivo
la massimizzazione di tale profitto ma perseguono obiettivi del tipo ”massimizza-
zione dello sfruttamento della rete”, ” bilanciamento del carico”,. . .. L’algoritmo
proposto in [AA93], brevemente illustrato precedentemente, é il miglior algoritmo
di ”call admission” tra quelli che perseguono come obiettivo la massimizzazione
del profitto derivante dai pagamenti associati alle richieste accettate 26 .
25 A cui si riducono i problemi di ”call admission”.
26 Tale algoritmo ha anche un’altra pecularietá che lo contraddistingue; esso é uno dei pochi
(e tra essi é quello con il miglior rapporto di competitivitá) per i quali l’allocazione della banda
non viene realizzata come prenotazione permanente di circuiti virtuali, e si considera, quindi,
che terminato il tempo di allocazione il canale torni disponibile per essere allocato in seguito
139

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Poiché l’algoritmo in [AA93] é ben rispondente alle specifiche del nostro pro-
blema, lo analizzeremo in maggior dettaglio rispetto a quanto fatto precedente-
mente.
Descrizione formale del problema
Data la rete G = (V, E, u), dove u : E → R+ denota la capacitá degli ar-
chi, denoteremo con β1, . . . , βk l’insieme di richieste di connessione tali che βi =
(si, ti, ri(τ), T s (i), T f (i), p(i)), e la singola richiesta di connessione indica con si il
nodo sorgente, con ti il nodo destinazione, con ri(τ) il tasso di traffico (quantitá
di banda che si vuole ottenere), con T s (i) e T f (i) il tempo iniziale e finale di
connessione e con p(i) il profitto, o per meglio dire il pagamento che l’agente
i-esimo fa nel caso in cui la sua offerta venga accettata. Quando una richiesta βk
é ricevuta, compito dell’algoritmo é, esclusivamente, quello di decidere se accet-
tarla o meno. Tale algoritmo, denotando con Pk la path che connette il nodo sk
al nodo tk per la k-esima richiesta, definisce carico relativo dell’arco e come:
λe(τ, k) =
e∈Pi, i

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Algoritmo ”Route or Block”
L’algoritmo presentato in [AA93], al pari di altri algoritmi approssimati, richiede
l’utilizzo di una specifica notazione e l’introduzione di vincoli sulla forma delle
richieste:
1. T (j) = T f (j) − T s (j) denoterá la ”durata” della connessione j-esima,
mentre con T = max T (j) indicheremo la massima durata di connessione.
2. I pagamenti associati alle varie richieste sono proporzionali a quantitá di
banda e durata, per cui 1 ≤ 1
n ·
p(j)
rj(τ)T (j)
pagamento per unitá di tempo).
≤ F (con F a denotare il massimo
3. ri(τ), il ”tasso di traffico” richiesto dev’essere significativamente piú piccolo
della capacitá del piú piccolo arco presente nella rete; tale limitazione é
definita tramite l’introduzione di una quantitá µ 28 .
L’algoritmo ”Route or Block” denota con ce, la misura di costo dell’arco e
denominanato costo d’opportunitá in [AA93], computato in misura esponen-
ziale rispetto al grado di saturazione dell’arco 29 . L’algoritmo computa la somma
di tali costi per tutti gli archi nella path da sj a tj, mediandoli in base al tasso
di traffico richiesto su ogni arco. Se esiste una path per cui tale costo totale
28 Nello specifico, si definisce µ = 2nT F + 1 la limitazione descritta si ottiene tramite:
∀j , ∀τ rj(τ) ≤ mine{u(e)}
.
log µ
29 La valutazione esponenziale dei costi é stata introdotta in [AF93], dimostrando che gli algo-
ritmi approssimati (orientati alla massimizzazione di una qualche quantitá) i cui costi ”soglia”
sono computati con tale tecnica ottengono buoni rapporti di competitivitá. Di fatto, a segui-
to di tale articolo buona parte degli algoritmi approssimati rientranti nelle specifiche citate,
utilizzano tale modello di computazione dei costi.
141

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Algoritmo 4 Algoritmo Route or Block
∀τ , ∀e ∈ E : ce(τ, j) ← u(e)(µ λe(τ,j) − 1)
if ∃ una path da s a t tale che r(τ)
r u(e) · ce(τ, j) ≤ p then
else
accetta la richiesta, instradala e
ricevi come pagamento p
∀e ∈ P λe(τ, j + 1) ← λe(τ, j) + r(τ)
u(e)
rifiuta la richiesta e blocca la connessione
end if
é limitato superiormente dal pagamento ricevuto accettando βj, tale richiesta é
”ammessa”; se una tale path non esiste, la richiesta é rifiutata.
Analisi e punti critici dell’algoritmo
Teorema 10.8. L’algoritmo 4 ”Route or Block”, non viola mai le limitazioni
sulla capacitá degli archi, e, realizza un profitto che é almeno una frazione
1
2 log(2µ)
del profitto realizzato dall’algoritmo offline ottimo. Il rapporto di competitivitá
ottenuto é ottimo, ossia, nessun algoritmo online ne puó realizzare uno migliore.
Questo risultato, molto forte, deriva da una serie di risultati generali relativi
all’admission control online mostrati in [AA93].
L’algoritmo proposto, comunque, non é immune da critiche, derivanti dai
vincoli introdotti, e, dalla particolare computazione dei costi utilizzata.
L’algoritmo proposto in [AA93] suppone che le offerte siano proporzionali a
quantitá di banda e tempo, equivalentemente a quanto ipotizzato nelle soluzioni
142

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
precedentemente esposte per il problema che stiamo analizzando 30 , ma che per
altri particolari problemi puó divenire fortemente limitativo.
L’insieme di path che collegano si a ti nella rete G, sono individuate tramite
un algoritmo utilizzato da ”black box”, e, supposto, realizzare tale computazio-
ne in un tempo trascurabile. Tale utilizzo dell’algoritmo di ricerca delle path,
determina la differenza tra problemi di ”control admission”, in cui gli algoritmi
proposti devono realizzare tutte le computazioni necessarie alla risoluzione del
problema (nel nostro caso l’individuazione delle path), e, quelli di ”call admis-
sion” in cui, si utilizzano altri algoritmi che fungono da ”black box”, e l’algoritmo
progettato determina, unicamente, se accettare o meno le richieste, anche in virtú
dell’output di tale algoritmo.
É importante notare, inoltre, che l’algoritmo espo-
sto soddisfa la proprietá di nicess, dalla definizione 8.1 a pagina 89, e nonostante
avessimo la possibilitá di trasformare tale algoritmo al fine di soddisfare tale pro-
prietá, é, comunque, auspicabile che una tale trasformazione, sempre possibile,
non sia richiesta. Quindi, l’algoritmo esposto, consente direttamente di essere
utilizzato all’interno dell’algoritmo 1, di wrapping, presentato a pagina 89 per la
generazione del relativo meccanismo truthful online.
10.6.2 ”Call Admission” per l’allocazione dei canali Wi-Fi
L’algoritmo per la risoluzione del problema di ottimizzazione online, associato al
problema che siamo interessati a risolvere, rientra nella categoria degli algoritmi
di ”call control”, poiché, non abbiamo necessitá di effettuare routing o altre
operazioni addizionali, ma il compito dell’algoritmo é, esclusivamente, decidere
se accettare una richiesta o meno.
30 Infatti, il supporre offerte marginali non crescenti, implica, comunque, che per unitá succes-
sive del bene si vuole spender sempre meno e non che le offerte non siano proporzionali rispetto
alle quantitá allocata.
143

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Possiamo considerare, nell’ottica dell’algoritmo presentato nella sezione pre-
cedente, che la particolare rete G = (V, E) su cui vogliamo effettuare ”admission
control” é tale che |V | = 2 e |E| = 1.
Definiremo due strategie, a seconda che si supponga che la quantitá totale
di banda sia suddivisa in k di canali identici (modellazione discreta), o che ogni
richiesta possa specificare la quantitá di banda, tasso di traffico, a cui é interessata
(modellazione continua).
L’algoritmo 4 puó essere adattato al nostro problema, sia nel modello discreto
che in quello continuo.
Algoritmo 5 Algoritmo Call Admission continuo
λ(τ, j) = ri(τ)
i

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Il ”costo soglia” per la richiesta βi, é computato come prodotto tra ri(τ) e
costo d’opportunitá (calcolato in funzione del carico relativo presente sull’arco
virtuale). Nel seguito indicheremo con q la quantitá di banda totale messa a
disposizione dall’AP. Per alleggerire la notazione, tutti gli algoritmi che presen-
teremo indicheranno con F , non il massimo pagamento per unitá di tempo, ma
il massimo pagamento totale possibile 32 . L’algoritmo 6 é una specializzazione
Algoritmo 6 Algoritmo Call Admission discreto
λ = x
k
λ+T −1 c = F
if p ≥ c then
else
accetta la richiesta, alloca un canale all’agente e computa λ = λ + 1
k
rifiuta la richiesta e blocca la connessione
end if
dell’algoritmo 4 per il caso in cui le richieste siano orientate all’allocazione di una
fissata frazione della quantitá di banda totale e, quindi, suppone che le richie-
ste siano nella forma βi = (T s (i), T f (i), p(i)) 33 . Ovviamente, in un’impostazione
discreta le richieste non forniscono il parametro relativo al ”tasso di traffico”, poi-
ché, ogni agente compete per un canale con una quantitá di banda fissata a priori.
Inoltre, tale algoritmo computa il ”carico dell’arco” attraverso una variabile x,
indicante il numero di canali attualmente allocati.
32 Considerato nell’ottica di un’allocazione per tutta la quantitá totale di banda disponibile
assegnata ad un agente per il massimo tempo di connessione possibile.
33 Nell’ottica del nostro problema specifico, poiché non é prevista la prenotazione dei canali,
potremmo effettuare richieste specificando la durata della connessione T (i) = T f (i) − T s (i), e
non il tempo d’inizio e fine trasmissione.
145

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
10.6.3 Ma il problema é realmente quello che vogliamo
risolvere?
L’impostazione seguita precedentemente, in cui si tenta di ricalcare fedelmente
l’algoritmo 4, ottenendo, quindi, identici rapporti di competitivitá, é peró lontana
dal modello del problema iniziale che volevamo risolvere. Gli algoritmi presentati
in questa sezione, suppongono che ogni agente sottometta una singola offerta,
mentre le soluzioni presentate nelle sezioni precedenti supponevano che gli agenti
sottoponessero un’insieme di offerte 34 , e che il meccanismo d’asta selezionasse
quale tra esse accettare mentre nell’impostazione attuale viene sottoposta un’u-
nica offerta ed il meccanismo non ha da effettuare una scelta ma soltanto da
decidere se accettarla o meno. Una trasformazione banale di tale algoritmo cosí
che gestisca un’insieme di richieste rischia di rendere il problema combinatoria-
le, e quindi irrisolvibile in un tempo computazionale adeguato e con un buon
rapporto di competitivitá.
É chiaro, che per ottenere buoni rapporti di competi-
tivitá per l’estensione al modello cui il nostro problema deve sottostare, dovremo
aumentare il numero di vincoli cui gli algoritmi di ”call admission” dovranno
sottostare. Per cui, visto che i nostri algoritmi dovranno scegliere, tra un insieme
di richieste sottoposte da un agente, quale accettare, occorrerá definire il modo
in cui effettuare tale scelta; per cui, gli algoritmi che progetteremo rientreranno
nella categoria dell’ ”admission control”.
34 In particolare nelle soluzioni con ”curve di fornitura”, gli agenti sottoponevano, un’offer-
ta per tutti i possibili tempi di allocazione, o per tutte le possibili combinazioni tra tempo
d’allocazione e quantitá di banda richiesta.
146

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
10.6.4 ”Admission Control” per insiemi di offerte
Quindi, l’obiettivo che ci poniamo é quello di utilizzare la metodologia e le idee
proposte in [AA93] adattate come precedentemente esposto, e trasformarle in
modo tale da adeguarci al modello inizialmente proposto per il nostro problema.
Per semplificare il processo, inizieremo lavorando sul modello discreto e poi pas-
seremo a quello continuo, nonostante a meno di elementi relativi alla notazione
molte delle affermazioni valide nel modello discreto lo saranno anche in quello
continuo.
Il primo vincolo che introdurremo, al fine di uniformarci al modello di riferi-
mento, sará relativo alla durata delle connessioni. Nel modello ipotizzato per il
nostro problema, infatti, é l’AP a definire un valore Tmax per denotare la massima
durata di una connessione, mentre negli algoritmi di ”call admission” presentati
finora il massimo tempo di connessione si evince, dall’insieme di richieste ricevu-
te dall’algoritmo. Introducendo tale vincolo, possiamo, analogamente a quanto
avviene per le curve di fornitura, valutare c = F λ+T −1 per tutti i possibili valori
che possono essere assunti da T 35 . Inoltre, si puó supporre, senza perdere di ge-
neralitá, che gli agenti effettuino un insieme di offerte, potenzialmente, per ogni
possibile durata d’allocazione.
Nel tentativo di risolvere il problema secondo il modello da noi definito e a cui
ci siamo rifatti con le modifiche introdotte precedentemente, é semplice constatare
che la versione offline del problema é NP-Hard e puó essere considerata come una
riduzione del problema del Set Packing (SPP), introdotto nella sezione A.0.6 a
pagina 167 nella discussione sulle aste combinatoriali.
Utilizzando le tecniche classiche di progettazione di algoritmi di approssima-
zione online, adotteremo una strategia ”greedy” per la progettazione del nostro
35 I possibili valori che puó assumere T , grazie al vincolo Tmax, sono in numero finito e, quindi,
computabili in tempo finito, soprattutto nel modello discreto del problema.
147

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
algoritmo. Poiché il nostro obiettivo é massimizzare il profitto, una metodologia
di scelta delle offerte consiste nello scegliere le offerte i cui pagamenti sono associa-
ti a bassi costi d’opportunitá, e, sviluppare un’algoritmo approssimato che lavori
in un modo siffatto. Supporremo richieste della forma βi = (p) con p : T → R +
funzione pagamento per ogni possibile durata di connessione 36 . Quando l’allo-
Algoritmo 7 Algoritmo approssimato di allocazione dei canali Wi-Fi -1
λ = x
k
for t = 1 to Tmax do
c(t) = F λ+t−1
s(t) = p(t) − c(t)
end for
valuta s = maxt(s(t)) e memorizza l’indice t ′
if s > 0 then
else
accetta la richiesta, alloca un canale all’agente per t ′
λ = λ + 1
k
rifiuta la richiesta e blocca la connessione
end if
per cui si ottiene tale valore
istanti di tempo e poni
cazione termina, il canale viene rilasciato e torna disponibile per essere allocato
ad un nuovo agente ed a tal fine si computa λ = λ − 1,
per aggiornare il carico
k
relativo del ”link virtuale” 37 .
36 La funzione p é definita considerando il tempo una quantitá discreta, e, supponendo che
un canale possa essere allocato ad un agente per una durata di uno, due, ... istanti di tempo.
37 Nell’algoritmo 7 allo stesso modo di quanto fatto precedentemente, si utilizza la variabile x
per indicare il numero di canali occupati, e le allocazioni e deallocazioni successive determinano
l’aggiornamento di tale quantitá.
148

Analisi
CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Quest’algoritmo approssimato richiede Θ(T ) operazioni (precisamente 2T ) e,
quindi, il suo tempo d’esecuzione é strettamente dipendente da Tmax, definito
dall’AP. Comunque, é lecito supporre che Tmax assuma valore piccolo, poiché tra
gli obiettivi dell’AP rientra il dar la possibilitá al maggior numero possibile di
agenti di connettersi ottenendo un canale 38 .
É confortate, comunque, che il tem-
po computazionale della singola richiesta non dipenda dal numero di canali e dal
numero di agenti interessati al servizio 39 .
La strategia applicata puó considerarsi un greedy pesato e, nasce dal ten-
tativo di adattarsi in maniera furba all’algoritmo 1 di wrapping, utilizzato per
la trasformazione in un meccanismo truthful, scegliendo tra l’insieme di offerte
sottomesse quella che massimizza la quantitá (profitto − costo), che sia migliore
localmente.
10.6.5 Un algoritmo piú furbo
L’algoritmo 7 detiene sicuramente un buon rapporto di competitivitá ma, forse,
si puó far meglio.
Considerando, sempre in un approccio greedy, non i pagamenti ma i profitti 40 ;
strategia lecita potrebbe essere quella di scegliere la richiesta, tra l’insieme di
offerte dell’agente i-esimo, per cui il profitto per unitá di tempo o profitto per
unitá di costo é massimo. L’utile della richiesta, u(t), puó essere valutato in
38 Supposizione non troppo lontana dalla realtá é considerare un valore di Tmax, nell’ordine
dei 30 minuti, e, una funzione d’offerta che definisce pagamenti per multipli del minuto con un
numero di operazioni comunque piccolo.
39 Poiché l’algoritmo é online esso é progettato per funzionare, potenzialmente, per un tempo
infinito, per cui sarebbe ovvio, senza perdita di generalitá che n → ∞.
40 Costituiti dalla differenza tra pagamento e prezzo d’opportunitá.
149

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Algoritmo 8 Algoritmo approssimato allocazione canali Wi-Fi -2
λ = x
k
for t = 1 to Tmax do
c(t) = F λ+t−1
s(t) = p(t) − c(t)
if s(t) > 0 then
else
u(t) = s(t)
t
u(t) = 0
end if
end for
oppure u(t) = s(t)
c(t)
oppure u(t) = p(t)
c(t)
valuta u = maxt(u(t)) e memorizza l’indice t ′
if u > 0 then
else
accetta la richiesta, alloca un canale all’agente per t ′
λ = λ + 1
k
rifiuta la richiesta e blocca la connessione
end if
oppure u(t) = p(t)
t
per cui si ottiene tale valore
istanti di tempo e poni
tre modi alternativi, tutti egualmente buoni. Puó essere considerato come ”utile
per unitá di tempo” utilizzando s(t)
s(t)
, ”utile per unitá di costo”utilizzando t c(t) ,
”profitto per unitá di costo” utilizzando p(t)
, e ”profitto per unitá di tempo”
c(t)
utilizzando p(t)
t .
Analisi
Poiché l’algoritmo ottimo offline é riducibile al problema del Set Packing (SPP),
noto essere NP-Hard, non possiamo considerare il comportamento di tale algo-
150

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
ritmo ma per valutarne il rapporto di competitivitá considereremo la peggior
sequenza di richieste σ = σ1, . . . , σn per il nostro algoritmo approssimato, e la
rapporteremo al profitto ottenibile da un algoritmo offline che conosca tutta la
sequenza di richieste in anticipo.
Teorema 10.9. Se p(t) ≤ k ′
·c(t) per k ′
> 0, l’algoritmo approssimato online 8 in
cui il peso della richiesta é valutato come u(t) = s(t)
t
pari a O(k ′
), ed é ottimo41 .
ha rapporto di competitivitá
Dimostrazione. Senza perdita di generalitá consideriamo un unico canale (k = 1)
e supponiamo di fermare la nostra osservazione dopo Tmax istanti di tempo. Con-
siderando un unico canale, la valutazione del costo d’opportunitá c dipende solo
dai tempi di allocazione, e λ puó essere posto ad 1 quando il canale é disponibile
e a 0 in caso contrario.
Nel caso peggiore il nostro algoritmo approssimato sceglie solo la prima offerta
e le alloca il canale per una durata Tmax mentre, l’algoritmo offline, conoscendo
la sequenza completa di offerte, tiene conto del profitto conseguibile tramite le
offerte successive. Un’algoritmo approssimato si definisce c-competitivo se il pro-
fitto dell’algoritmo approssimato é, almeno, una frazione c del profitto ottimo,
ossia
Poffline(σ) ≤ c Pappr-online(σ) + const
Nella situazione piú sfavorevole l’algoritmo approssimato sceglie di allocare il
canale per un tempo Tmax computando
max
t
u(t)
t = p(Tmax) − c(Tmax)
Tmax
41 L’ottimalitá non viene dimostrata, ma si evince banalmente da quanto enunciato a proposito
dei limiti inferiori ai rapporti di competitivitá, dei generici algoritmi approssimati di ”admission
control” definiti in [AA93].
151

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Poiché stiamo considerando il caso peggiore si puó considerare che la sequenza di
offerte sia tale che:
∀i < Tmax
p(i) − c(i) = i
p(Tmax) − c(Tmax) = Tmax + 1
ed il numero di istanti di tempo per cui il canale é allocato sono Tmax (nonostante
il fattore di vincita sia molto basso), ed il profitto ottenuto puó esprimersi come
Pappr-online = p(Tmax) = T/max + 1 + c(Tmax).
L’algoritmo offline omnisciente, invece, conoscendo tutta la sequenza di of-
ferte decide di allocare il canale anche alle offerte successive e determina che il
massimo profitto sia ottenibile allocando il canale a tutti gli offerenti. Poiché la
sequenza di richieste puó essere costruita a nostro piacimento, senza influenzare
il comportamento dell’algoritmo online, considereremo che la sequenza costruita
sia tale che il massimo profitto si ottenga allocando il canale a tutti gli agenti
che si presentino per un istante di tempo. Considerando, che arrivi un utente per
istante di tempo, considereremo che l’ottimo si ottenga allocando 1 istante a tutti
i Tmax agenti che si presenteranno 42 . Con una tal sequenza il profitto derivante
dal primo agente é p(1) − c(1) = 1 da cui p(1) = 1 + c(1). Per gli altri agenti
possiamo considerare la relazione
∀ 2 ≤ i ≤ Tmax
pi(1) − ci(1) = si(1) ⇒ pi(1) = si(1) + ci(1)
Mettendo assieme le due relazioni, il profitto totale dell’asta offline omnisciente
é pari a
Tmax
Poffline = p1(1) + (si(1) + ci(1))
42 Si ricordi, che la nostra osservazione si ferma dopo Tmax istanti di tempo.
i=2
152

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Per k = 1 otteniamo ∀i ci(1) = c(1) e, considerando ∀t p(t) ≤ k ′
c(t) per l’al-
goritmo offline, otteniamo per il caso peggiore dell’approssimato si(1) = pi(1) −
ci(1) = p(1) − c(1) ≤ (k ′
− 1)c(1) per cui
Tmax
Poffline = 1 + c(1) (s(1) + c(1))
i=2
Tmax
≤ 1 + c(1) + ((k ′
− 1)c(1) + c(1))
i=2
Tmax
= 1 + c(1) + (k ′
− 1)c(1) +
i=2
= 1 + c(1) + (Tmax − 1)(k ′
= 1 + c(1) + (Tmax − 1)k ′
c(1)
Tmax
Il rapporto tra soluzione ottima e approssimata é pari a
OPT
i=2
APPR ≤ 1 + c(1) + (Tmax − 1)k ′
Tmax + 1 + c(Tmax)
c(1)
− 1)c(1) + (Tmax − 1)c(1)
Sviluppando le funzioni costo dell’algoritmo otteniamo c(1) = F 1
Tmax e c(Tmax) =
F Tmax
Tmax = F e quindi
OPT
APPR
c(1)
≤
1
1 + F Tmax + tmaxk ′
F 1
Tmax − k ′
F 1
Tmax + 1 + F
Tmax
= (Tmaxk ′
− k ′
+ 1)F 1
Tmax
Tmax + 1 + F
Considerando che Tmax indica la massima durata di connessione definita dall’AP,
ma anche la durata dell’insieme di richieste su cui abbiamo effettuato l’anali-
si, mentre F indica il massimo pagamento effettuabile dall’utente, considerabile
come un elemento costante abbiamo:
da cui
(Tmaxk
lim
Tmax→∞
′
− k ′
Tmax + 1 + F
OPT
APPR
153
+ 1)F 1
Tmax
≤ k′
→ k ′

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Per cui tramite il vincolo p(i) ≤ k ′
c(i) l’algoritmo 8 é k ′
-competitivo.
L’algoritmo di approssimazione appena descritto puó essere utilizzato per ap-
plicare la tecnica di riduzione in meccanismi truthful, descritta nella sezione 8.3
a pagina 88, ed, in tal modo, utilizzato per progettare un’asta truthful.
Teorema 10.10. Il meccanismo truthful ottenuto tramite l’algoritmo 1, sfruttan-
do al suo interno l’algoritmo 8, ha rapporto di competitivitá O(k ′
+ log F ).
Dimostrazione. Dal teorema 8.1 a pagina 89 si deriva tale rapporto di com-
petitivitá del meccanismo, considerando che l’algoritmo di approssimazione ha
rapporto di competitivitá k ′
E nel modello continuo?
con p(i) ≤ k ′
c(i) 43 .
L’impostazione in cui gli offerenti sottopongono un insieme di offerte non é sta-
to trasformato per il modello in cui le offerte considerino tempo e banda come
quantitá continue. Il motivo di questa mancata esposizione non deriva dal fatto
che tale trasformazione sia cosí banale da renderne superflua una formalizzazio-
ne, ma da motivi ben diversi. Considerando tempo e banda quantitá continue,
infatti, il numero di possibili valori su cui l’algoritmo approssimato si troverebbe
a dover mediare la scelta di allocazione sarebbe pari a 2 Q x 2 Tmax . Per cui se
la scelta dev’essere fatta computando tutti i possibili valori, il tempo d’esecu-
zione é esponenziale, ed un tale algoritmo diviene inapplicabile, soprattutto in
un’impostazione online.
43 Si nota banalmente che k ′
diviene un fattore limitativo al pagamento massimo che un
utente puó effettuare. In particolare il massimo pagamento effettuabile viene relato al ”costo
d’opportunitá” con cui tale pagamento sará confrontato, per le decisioni di allocazione. In
realtá, tale ipotesi, anche se in forme diverse, é usata nella prova di molti risultati relativi a
meccanismi truthful, soprattutto, per quelle a prezzo fisso in modo da tutelarsi dall’eventuale
distruzione del mercato che comporterebbe un offerente con prezzo altissimo.
154

CAPITOLO 10. Soluzioni proposte: descrizione ed analisi
Quindi, si puó affermare l’impossibilitá combinatoriale deterministica nel caso
continuo che implica l’utilizzo di soluzioni randomizzate, a cui noi, peró, non
siamo interessati.
155

Capitolo 11
Conclusioni e problemi aperti
L’insieme di soluzioni esposte nel capitolo precedente determinano come le con-
clusioni cui erano giunti Friedman e Parker in [FP03] non erano del tutto corrette.
Infatti, é possibile tentare di progettare una strategia che massimizzi il profitto
ed il benessere sociale mediando i pagamenti in funzione di banda allocata e tem-
po di allocazione. I rapporti di competitivitá ottenuti sono buoni, anzi in molti
casi, migliori di quelli ottenuti per gli algoritmi generici di progettazione delle
aste online. Si é riusciti a definire una metodologia tramite la quale l’allocazione
dei beni ai vari agenti avviene mediando due parametri (nel nostro caso tempo
e banda), ed i pagamenti da effettuare sono ottenuti tramite tale mediazione di
parametri.
É un’impostazione completamente nuova, che apre la possibilitá di
applicazione dei meccanismi truthful ad un ampia classe di problemi per i quali,
finora, non si pensava potessero essere applicati.
Si é mostrato come la teoria di Lavi e Nisan [LN00] sia riconducibile ad un
ottimo tentativo di generare un’asta online a prezzi fissi multipli. E, per tale
metodologia d’aste, si é generata un’estensione in due parametri, in cui le offer-
te e i pagamenti sono basati su una funzione in due elementi, senza ricadere in
un’impostazione combinatoriale, in quanto, i due beni non sono distinti ma l’uno
156

CAPITOLO 11. Conclusioni e problemi aperti
dipendente dall’altro, richiedendo un’allocazione in un unico passo. Dall’esten-
sione in due parametri, diviene ovvia, l’estensione delle curve di fornitura in n
parametri 1 .
Nel tentativo di applicare la tecnica introdotta in [AA03] ci si é ricondotti
alla ricerca di un’algoritmo di ”call admission” per la versione di ottimizzazio-
ne del nostro problema. Tale ricerca ha portato ad un buon algoritmo per la
risoluzione di tale problema che, trasformato con la tecnica suddetta in un mec-
canismo truthful, ha un buon rapporto di competitivitá. Tale tecnica innovativa
ed attualissima 2 , apre nuove porte per la progettazione di meccanismi truthful
e, definisce, una relazione tra meccanismi truthful e algoritmi di ottimizzazione,
definendo una strategia di riduzione che genera una possibile analisi di relazioni
tra algoritmi approssimati per la risoluzioni di particolari problemi di ottimizza-
zione e meccanismi truthful. Lavoro interessante potrebbe essere quello di trovare
un’algoritmo di riduzione, simile a quello utilizzato nel nostro lavoro e definito in
[AA03], che sia deterministico e, non sfrutti nessun elemento casuale.
In generale, gli sviluppi nell’ambito della teoria delle aste e, in particolar modo
di quelle online sono tanti, poiché, le soluzioni attuali sono buone, ma sicuramente
migliorabili.
Naturalmente, sarebbe auspicabile, che in base ad una delle metodologie espo-
ste in questo lavoro di tesi, si implementasse realmente una di tali soluzioni,
utilizzando un’asta truthful per la risoluzione del problema in analisi; dando la
1 Inoltre, in problemi come il nostro, il benchmark dell’asta di Vickrey, per cui si é formulata
la relativa analisi, é addirittura migliore del benckamark a singolo prezzo fisso, improponibile
in un’ottica mediata tra piú parametri; in cui diviene impossibile dal punto di vista concreto
la costruzione di una metodologia per la determinazione del prezzo fisso di vendita.
2 L’articolo in cui viene esposta tale teoria Reducing Truth-telling Online Mechanisms to On-
line Optimization é stato presentato nel giugno del 2003 in occasione del 35-esimo Symposium
of Algorithmic Theory.
157

CAPITOLO 11. Conclusioni e problemi aperti
possibilitá, finalmente, di toccar con mano tali strategie da un punto di vista
realizzativo.
158

Bibliografia
[NA51] J. Nash. Non-Cooperative Games. The Annals of Mathematics, seconda
serie, Vol. 54, Parte 2. (1951)
[VI61] W. Vickrey. Counterspeculation, Auction, and Competitive Sealed
Tenders. The Journal of Finance Vol. 16, Parte 1. (1961)
[YK92] R. El-Yaniv, A. Fiat, R. Karp e G. Turpin. Competitive analysis of finan-
cial games. In Proc. of the 33rd Symposium on Foundations of Computer
Science (FOCS’92), pagine 327-333. (1992)
[AA93] A. Awerbuck, Y. Azar e S. Plotkin. Throughput-competitive on-line rou-
ting. In Proceedings of the 25th ACM Symposium on Theory of Computing.
(1993)
[AF93] J. Aspnes, Y. Azar, A. Fiat, S. Plotkin e O. Waarts. On-line machine
scheduling with applications to load balancing and virtual circuit routing. In
Proc. 25th Annual ACM Symposium on Theory of computing, pagine 623-
631. (1993)
[MW95] A. Mas-Collel, W. Whinston e J. Green. Microeconomic Theory. Oxford
University Press. (1995)
159

BIBLIOGRAFIA
[DN96] D. Ferguson, C. Nikoloau, J. Sairamesh e Y. Yemini. Economic Models
for allocating resources in computer systems. In Market based Control of
Distribuited Systems, Ed. World Scientific Press. (1996)
[NR99] N. Nisan e A. Roner. Algorithmic Mechanism Design. In Proc. of the 31st
Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC), pagine 129-140.
(1999)
[LC99] D. Lehmann, L. O’Callaghan e Y. Shoham. Truth revelation in Approxi-
mately Efficient Combinatorial Auctions. In Proceedings of the First ACM
Conference on Electronic Commerce (EC), pagine 96-102. (1999)
[KP99] E. Koutsoupias e C. Papadimitriou. Worst-case equilibria. In Proceedings
of the 16th Annual ACM Symposium on Theoretical Aspects of Computer
Science. (1999)
[NI99] N. Nisan. Algorithms for selfish agents: Mechanism design for distribuited
computation. In Proceedings of the 16th Annual Symposium on Theoretical
Aspects of Computer Science. (1999)
[RN00] A. Ronen. Solving Optimization Problems among Selfish Agents. Tesi di
dottorato in Computer Science all’Universitá Ebrea di Gerusalemme. (2000)
[RO00] A. Ronen. Algorithms for rational Agents. In Proc. of the 27th Annual
Conference on Current Trends in Theory and Practice of Informatics. (2000)
[LN00] R. Lavi e N. Nisan. Competitive Analysis of Incentive Compatible On-
Line Auctions. In Proceedings of the 2nd ACM Conference on Electronic
Commerce (EC-00), pagine 233-241. (2000)
160

BIBLIOGRAFIA
[NR00] N. Nisan e A. Ronen. Computationally Feasible VCG Mechanism. In
Proceedings of the 2nd ACM Conference on Electronic Commerce (EC),
pagine 242-252. (2000)
[AT01] A. Archer e É. Tardos. Truthful mechanisms for one-parameter agents. In
Proc. of the 42nd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science.
(2001)
[GH01] A. Goldberg, J. Hartline e A. Wright. Competitive Auction and Digital
goods. In Proc. 12th Symp. on Discrete Algorithms, pagine 735-744. (2001)
[ZN01] E. Zurel e N. Nisan. An efficient approximate allocation algorithm for
combinatorial auction. In Proceedings of the ACM Conference on Electronic
Commerce. (2001)
[FI01] A. Fiat. Private communication. (2001)
[MN02] A. Mu’alem e N. Nisan. Truthful approximation mechanisms for
restricted combinatorial auction. In Proceedings of AAAI02. (2002)
[BW02] Z. Bar-Yossef, K. Hildrum e F. Wu. Incentive compatible online auction
for digital goods. In Proc. 13th Symp. on Discrete Algorithms, ACM/SIAM.
(2002)
[GH02] A. Fiat, A. Goldberg, J. Hartline e A.Karline. Competitive Generalized
Auctions. In Proc. 34th ACM Symposium on the Theory of Computing,
ACM Press. (2002)
[GW02] A. Goldberg, J. Hartline, A. Karlin e A. Wright. Competitive Auctions.
In Proc. 13th Symposium on Discrete Algorithms, ACM/SIAM. (2002)
161

BIBLIOGRAFIA
[GS02] A. Goldberg, J. Hartline, A. Karlin, M. Saks e A. Wright. Competitive
auctions and digital goods. In Games and Economic Behavior. (2002)
[FP03] E. Friedman e D. Parkes. Pricing WiFi at Starbucks - Issues in On-
line Mechanism Design. In Proc. Fourth ACM Conference on Electronic
Commerce (EC’03). (2003)
[WU03] Z. Bar-Yossef, V. Kumar, A. Rudra e F. Wu. Online Learning in Online
Auctions. In Proc. 14th Symposium on Discrete Algorithms, ACM/SIAM.
(2003)
[AZ03] Y Azar. Private communication. (2003)
[BG03] Y. Bartal, R. Gonen e N. Nisan. Incentive Compatible Multi Unit
Combinatorial Auctions. In Proceedings of the 14th Annual ACM-SIAM
Symposium on Discrete Algorithms. (2003)
[GH03] A. Goldberg e J. Hartline. Envy-free Auction for Digital Goods. In Proc.
of 4th ACM Conference on Electronic Commerce, ACM. (2003)
[AP03] A. Archer, C. Papadimitriou, K. Tawar e É. Tardos. An Approximate Tru-
thful Mechanism for Combinatorial Auction con Single Parameter Agents.
In Proc. 14th Symp. on Discrete Algorithms, ACM/SIAM. (2003)
[HA03] J. Hartline. Optimization in the Private Value Model: Competitive Ana-
lysis Applied to Auction Design. Tesi di Dottorato in Computer Science
all’Universitá di Washington. (2003)
[MS03] H. Moulin e S. Shenker. Strategyproof Sharing of Submodular Costs. In
Economic Theory. (2003)
162

BIBLIOGRAFIA
[AA03] B. Awerbuch, Y. Azar e A. Meyerson. Reducing Truth-telling Onli-
ne Mechanisms to Online Optimization. In Proceedings of the 35th ACM
Symposium on Theory of Computing. (2003)
163

Parte IV
Appendice
164

Appendice A
Aste Combinatoriali
Per dovere di completezza e, poiché tante volte citate nella discussione intrapresa,
illustreremo un particolare ramo della teoria delle aste, le aste combinatoriali. Qui
ne presenteremo solo un rapido accenno e per una trattazione piú esauriente si
rimanda a [LC99], [ZN01], [MN02], [BG03], [AP03].
Illustreremo Aste Combinatoriali (CA) con un singolo venditore e piú com-
pratori, in cui in un singolo passo e basandosi sulle offerte ricevute il banditore
calcola l’allocazione dei beni ed i relativi pagamenti, in accordo a regole conosciu-
te a priori. Ogni offerente sottomette zero o piú offerte, ed, il meccanismo d’asta
computa il risultato ed annuncia i vincitori. Poiché le offerte che i vari agenti
sottomettono sono relative ad insiemi di beni differenti, occorre analizzare le rela-
zioni che possono intercorrere tali beni, e, quindi, i relativi condizionamenti circa
le valutazioni che gli agenti hanno per essi. In alcune situazioni, un offerente,
per un insieme di beni, potrebbe voler pagare un prezzo maggiore di quello che
pagherebbe essi presi singolarmente, e.g., l’offerta fatta per una scarpa sinistra ed
una destra insieme é sicuramente maggiore di quella fatta per le singole scarpe.
Questo fenomeno prende il nome di complementaritá. In altri casi, un’offerente
potrebbe voler pagare per l’insieme di beni meno di quanto pagherebbe per la
165

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
somma di essi presi singolarmente, e.g., quando uno dei beni all’interno dell’in-
sieme per cui si fá un offerta é un surrogato di un altro dei beni per cui si sta
offrendo. Tale fenomeno prende il nome di sostituibilitá.
In assenza di complementaritá e sostituibilitá, i.e. se ogni partecipante va-
luta un insieme di beni come la somma dei valori dei singoli beni, basterebbe
organizzare l’asta per un insieme di beni, come un insieme di aste base indi-
pendenti, per cui consideriamo aste in cui i beni banditi soddisfano le condizioni
di complementaritá e sostituibilitá.
Obiettivo é progettare un’asta che sia:
1. Efficiente.
2. Garantisca il massimo grado di soddisfazione dei partecipanti.
3. Massimizzi il profitto del banditore.
Aste efficienti
Un’asta é efficiente se l’allocazione dei beni é ottimale secondo Pareto, e nessuno
spostamento di beni tra compratori puó incrementare la soddisfazione di uno
qualunque degli offerenti.
Definizione A.1 (Efficienza secondo Pareto). Una suddivisione ϱ dei beni
tra i vari agenti é efficiente, se non esiste una differente suddivisione dei beni σ,
per cui la valutazione che ogni agente da all’insieme di beni ricevuti é maggiore,
ossia vi,i(ϱi) ≥ vi,i(σi) 1 .
1 Con vi,j si denota la valutazione che il giocatore i ha dei beni ricevuti dal giocatore j,
mentre con ϱi e σi si denotano i beni assegnati al giocatore i nella suddivisione ϱ e σ.
166

A.0.6 Allocazione
APPENDICE A. Aste Combinatoriali
Formalmente il problema dell’allocazione puó essere espresso in termini di un
problema di programmazione intera. Denotando con N l’insieme degli offerenti e
con M l’insieme di beni distinti messi all’asta, per ogni sottoinsieme S di M bj(S)
denota l’offerta che l’agente j ∈ N fá per il sottoinsieme S.
∀s ∈ M
⎧
⎪⎨ 1
y(s, j) =
⎪⎩ 0
se s é dato a j
altrimenti
Se si denota con b(s) = max j ∈ N la funzione obiettivo da massimizzare puó
essere scritta come
sottostante ai vincoli:
b(s)ys
S⊂M
1. Ad ogni offerente é assegnato al piú un unico sottoinsieme:
y(s, j) ≤ 1 ∀j ∈ N
s⊆M
2. Ogni bene é assegnato ad un solo offerente
i∈s
N
y(s, j) ≤ 1 i ∈ M
j=1
3. Preso un offerente j ed un bene messo l’asta esso o gli viene assegnato o
non gli viene assegnato (variabili discrete)
y(s, j) ∈ {0, 1} ∀s ⊆ M, ∀j ∈ N
Dalla formulazione esposta, si evince banalmente che il problema esposto é noto
come Problema del Set Packing (SPP), che é NP-Hard, ed approssimabile con un
fattore m 1−ɛ , per m = |M| ed ɛ > 0 se e solo se NP = co-NP.
167

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
A.1 Aste combinatoriali truthful
L’allocazione dei beni é computata in base alle offerte fatte dai vari agenti e
non dalle loro reali valutazioni. Un partecipante puó mentire se da ció riceve un
qualche utile. Un’asta in cui ogni partecipante é incentivato a dichiarare la sua
reale valutazione, indipendentemente dalle offerte fatte dagli altri partecipanti, é
giá stata definita essere truthful o compatibile agli incentivi.
Il progetto di un’asta truthful é un caso particolare di progettazione di mec-
canismi truthful e, quindi, possono essere applicati i risultati e le tecniche di
progettazione usate per essi.
Ogni partecipante j ha una funzione di valutazione:
vj : 2 M → R+ ∪ {0}
ed i suoi tipi, ossia la reale valutazione che egli ha dei sottoinsiemi dei beni
messi all’asta, sono tj = (t 1 j, . . . , t 2M
j ) con t i j ∈ R+ ∪ {0}. Ogni partecipante invia
un’offerta bj = (b 1 j, . . . , b 2M
j ).
Denotando con b = (b1, . . . , bn) il vettore di tutte le offerte, con f la funzio-
ne di allocazione e con p la funzione di pagamento, allora f(b) = (f1, . . . , fn) e
p(b) = (p1, . . . , pn). Considerando fj(b) essere l’insieme di beni allocati al com-
pratore j, e pj(b) il pagamento da effettuare, la funzione obiettivo utilitaristica
del partecipante j puó essere scritta come uj = vj(fj(b) − pj(b)) dove vj(s) = t s j.
Se si considerano i pagamenti VCG allora:
Pj(b) = −
n
h=1,h=j
bh(fh(b)) +
n
bh(fh(b−j, 0))
Poiché, come si é giá detto, un’allocazione ottimale non esiste, utilizzeremo una
funzione f approssimata. I vari tj sono di lunghezza esponenziale, e siamo co-
stretti a definire delle limitazioni per l’espressione dell’input cosí che esso sia di
168
h=1

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
lunghezza polinomiale 2 . Malgrado tale ipotesi i VCG non possono essere usati,
in quanto l’allocazione che ottenibile non é, comunque, quella ottima ma soltanto
una sua approssimazione, ed i VCG hanno come requisito di applicazione l’u-
tilizzo dell’allocazione ottimale. Consideriamo, comunque, una tale allocazione
approssimata
tj = (Sj, Vj)
bj = (S ′ j, V ′
j )
Algoritmo 9 Greedy(b1, . . . , bn)
Ordina b attraverso una qualunque relazione d’ordine. Output:(l1, . . . , ln)
for i = 1 a n do
if li é compatibile con la soluzione parziale accettata then
includi li nella soluzione
end if
end for
Denotando con
il valore del singolo bene.
l(S, V ) = V
|S|
Definizione A.2. Un meccanismo (f, p) é truthful se e solo se ∀j ∈ N, t ∈ T e
b ∈ B con
b−j = (b1, . . . , bj−1, bj+1, . . . , bn)
2 I vari lavori presenti in letteratura sulle aste combinatoriali pongono, sempre un tal tipo
di limitazioni sul numero di sottoinsiemi per i quali un offerente é interessato. In particolare,
in molti lavori, si suppone, che il singolo offerente sia interessato ad un unico sottoinsieme dei
beni.
169

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
tj(fj(b−j, t)) − pj(b−j, t) ≥ tj(fj(bj, t)) − pj(bj, t)
Volendo applicare una metodologia concettualmente identica ai VCG (cosí co-
me definiti in [VI61]), occorre adottare una generalizzazione dell’asta del secondo
prezzo di Vicrey.
Descriveremo quindi l’Asta di Vicrey generalizzata e mostreremo come diviene
inutilizzabile quando il numero di beni k messi all’asta é grande.
Nell’Asta di Vickrey Generalizzata (GVA), l’allocazione minimizza la somma
delle valutazioni dichiarate dagli offerenti, ed ogni offerente paga un prezzo pari
alla somma delle valutazioni che si sarebbero dichiarate se egli non avesse par-
tecipato all’asta. Per descrivere tale asta, nella quale l’offerente i non partecipa,
possiamo considerare l’asta in cui l’offerente i dichiara una valutazione pari a zero
per tutti i possibili sottoinsiemi cui é interessato. Un offerente con valutazione
zero per tutte le sue richieste non influenza il comportamento dell’asta, ed é,
quindi, equivalente ad un’asta in cui l’offerente i non partecipa.
Dato il vettore b delle dichiarazioni, GVA definisce i pagamenti e le allocazioni
nel seguente modo:
dove:
Pj(b) = −
f(D) = argmax a∈A
h=1,h=j
bh(fh(b)) +
n
bj(aj)
j=1
n
bh(fh(b−j, 0))
h=1
- aj é l’insieme allocato all’offerente i tramite l’allocazione a
- il vettore bj vale zero.
Teorema A.1. L’Asta di Vickrey Generalizzata é un meccanismo truthful.
Corollario A.2. Se l’offerente j ha un comportamento truthful, la sua utilitá uj
nel GVA é non negativa.
170

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
Poiché gli offerenti sono razionali essi si comportano in maniera truthful e di-
chiarano i loro tipi reali cosiché l’allocazione massimizza la somma delle utilitá
dichiarate, i.e. il benessere sociale.
A.2 Offerenti a singolo scopo
Definizione A.3. L’offerente i é a singolo scopo se e solo se c’é un insieme
s ⊆ M, v ∈ R+ ∪ {0} tale che
⎧
⎪⎨ v se S
∀S ⊆ M vj(S) =
⎪⎩
∗ ⊆ S
0 altrimenti
tj = (S ∗ , v) é il tipo di j
L’insieme di tipi possibili é O(2 m ) e la singola offerta é bj = (S ′ , v ′ ) per S ′ = S ∗ , V = V .
L’asta semplice truthful implica bj = v ′ come prezzo offerto per il bene, analoga-
mente:
⎧
⎪⎨ v
tj(S) =
⎪⎩ 0
se vince
altrimenti
⎧
⎪⎨ ≤ v
Pj(S) =
⎪⎩ 0
se vince
altrimenti
Teorema A.3. Il problema di trovare un’allocazione ottimale é NP-HARD ed é
approssimabile con fattore m 1
2 −ɛ quando n ed m sono correlati polinomialmente.
Quindi, anche se gli agenti dichiarassero i loro tipi in maniera veritiera, non
é sempre possibile ottenere un’allocazione efficiente (per un’analisi approfondita
di un meccanismo truthful approssimato si veda [NR00]).
In generale OPT
GREEDY
≤ 1
m poiché:
l(S, v) = v
|S| 1
2
⇒ OPT
GREEDY
171
≤ 1
√ m

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
L’utilizzo dello schema di pagamenti di Clarke, come fatto nei GVA, unito ad
un’allocazione greedy non rende il meccanismo truthful, anche se gli agenti fossero
interessati solo ad un singolo sottoinsieme dei beni 3 . In [NR00] é dimostrato
formalmente che per aste combinatoriali, che utilizzano lo schema di pagamenti
VCG, é necessaria un’allocazione ottima al fine di ottenere un’asta truthful.
A.3 Condizioni necessarie e sufficienti per agen-
ti a singola richiesta
Si é rappresentato con (Sj, tj) il tipo dell’agente j, ossia, l’insieme di beni per
i quali fa la sua offerta e il valore dell’offerta per quell’insieme. L’agente puó
mentire sia sull’insieme che sull’offerta, ma ci restringiamo all’ipotesi in cui un
agente puó mentire solo sul prezzo offerto e non sull’insieme di beni su cui offre.
Nella terminologia delle aste questo tipo di agenti é chiamato a singola offerta
nota: proprio perché possono mentire sul prezzo offerto per i beni, ma non sul
sottoinsieme di beni cui sono interessati. Quindi, in questo caso, il tipo dell’agente
j é tj = vj. Per questa classe di agenti, un meccanismo truthful esiste, se e solo
se valgono le seguenti condizioni:
• ESATTEZZA: ogni agente ottiene o il sottoinsieme richiesto o nulla (nes-
sun bene);
• MONOTONICITÁ: per qualunque j = 1, . . . , n se fj(b−j, bj) = 0 allora
per un qualunque b ′ j ≥ bj risulta fj(b−j, b ′ j) = 0;
• CRUCIALITÁ: per ogni j = 1, . . . , n esiste un valore θj(b−j, f) tale che:
3 Gli offerenti sono incentivati a mentire nell’effettuare la propria offerta, poiché menten-
do potrebbero ottenere un guadagno maggiore di quello ottenuto dichiarando le loro reali
valutazioni.
172

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
– fj(b−j, bj) = 0 se e solo se bj ≥ θj(b−j, f);
– il prezzo é pj = θj(b−j, f).
• PARTECIPAZIONE: se un agente vince l’asta, il prezzo che paga non é
mai maggiore della sua offerta; se l’agente perde non paga nulla.
L’asta di Vickrey base soddisfa tutte le quattro condizioni citate 4 .
Teorema A.4. Un meccanismo d’asta per agenti a singola offerta nota é tru-
thful se e solo se esso soddisfa le proprietá di esattezza, monotonicitá,
crucialitá e partecipazione.
Quindi, nell’intento di progettare un meccanismo truthful per aste con agenti
a singola offerta nota, si ha bisogno di un algoritmo di allocazione che mantenga
le proprietá di esattezza e monotonicitá e di uno schema di pagamenti che sia
cruciale e a partecipazione.
Indichiamo come welfare di un insieme di offerte la somma delle valutazioni
di tutti gli agenti, i.e., welfare(b−j, bj) =
i∈N vj(fj(b−j, bj)).
Definizione A.4. Un algoritmo monotono di allocazione A é bitonico se ∀ j ∈ N, ∀ b−j
vale una delle seguenti condizioni:
1. welfare(b−j, bj) é una funzione non crescente per bj < θj(b−j, f) e non
decrescente per bj ≥ θj(b−j, f)
2. welfare(b−j, bj) é una funzione non crescente per bj ≤ θj(b−j, f) e non
decrescente per bj > θj(b−j, f).
É immediato notare che non tutti gli algoritmi di allocazione monotoni sono
necessariamente bitonici; esistono, comunque, diversi algoritmi di allocazione che
sono bitonici:
4 L’asta di Vickrey, peró, si é giá detto non puó essere addattata é un’asta combinatoriale,
in quanto c’é un solo tipo di bene bandito.
173

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
• k-ESAUSTIVO: che lavora selezionando attraverso una ricerca esausti-
va, il sottoinsieme di k con offerte non in conflitto tra loro nell’intento di
massimizzare il welfare.
• Gk: che esegue l’algoritmo greedy usando come regola di ordinamento:
⎧
⎪⎨ bj se |Sj| ≤
l(bj) =
⎪⎩
m
k
0 altrimenti
Inoltre, una proprietá importante degli algoritmi bitonici é che la combinazione
di algoritmi bitonici produce un nuovo algoritmo anch’esso bitonico. Presi due
algoritmi di allocazione A1 e A2 consideriamo l’algoritmo 10:
Algoritmo 10 MAX(A1, A2)
esegui A1
esegui A2
if welfareA1(b) > welfareA2(b) then
else
return A1(b)
return A2(b)
end if
Per l’algoritmo 10 vale:
Teorema A.5. Presi A1 e A2 algoritmi monotoni e bitonici, allora MAX(A1, A2)
é monotono e bitonico.
Da tale teorema deriva:
Corollario A.6. Presi A1, A2, . . . , An essere algoritmi di allocazione. Se A1, A2, . . . , An
sono monotoni e bitonici, allora MAX(A1, A2, . . . , An) é monotono e bitonico.
174

APPENDICE A. Aste Combinatoriali
Algoritmo 11 k-APPROX-CA(b)
return MAX(k-ESAUSTIVO(b),Gk(b))
Ora, per un qualunque fissato k > 0, consideriamo l’algoritmo 11.
Per tale algoritmo vale il seguente:
Teorema A.7. Il meccanismo con k−APPROX-CA (dove k = ⌊ 4
ɛ 2 ⌋) come algori-
tmo di allocazione ed uno schema di pagamenti a valori cruciali é un meccanismo
truthful ɛ · √ m-approssimato.
Gran parte della letteratura usa tecniche molto simili a questa per la riso-
luzione di aste semplici o combinatoriali multi unitá i cui risultati piú rilevanti
possono vedersi in [ZN01], [MN02], [LC99] e [BG03].
175

Appendice B
Il problema d’aste generalizzato
In questa appendice accenneremo ad una nuova metodologia di progettazione di
meccanismi che nasce dall’esigenza di sviluppare meccanismi che siano truthful
e che garantiscano un profitto elevato al banditore. L’obiettivo che ci si pone
é quello di sviluppare un’asta che venda k beni identici basandosi sulle offerte
ricevute e, decida, in un singolo passo a chi vendere i beni e a quale prezzo. Nei
meccanismi classici una carenza obiettiva é il non considerare che il banditore
potrebbe incrementare la propria utilitá vendendo meno di k beni 1 . Esempi di
possibili applicazioni possono essere le ”condizioni finanziarie di vendita delle
azioni” o l”’offerta della pay-per-view in broadcast ad un segmento di merca-
to”. Accenneremo in maniera molto breve a questo nuovo schema presentato in
[GH02].
Definiamo un framework per problemi di prezzi dinamici orientati alla massi-
mizzazione del profitto, e lo denomineremo come asta generalizzata. Un problema
d’aste generalizzato A = (S, c(·)) é descritto dai seguenti parametri:
1. S = {Si : 1 ≤ i ≤ m}. Gli insiemi Si partizionano gli n offerenti
1 É sorprendente che gli Economisti, che per primi si sono avvicinati a tale teoria, non abbiano
mai considerato tale ipotesi nei loro lavori.
176

APPENDICE B. Il problema d’aste generalizzato
in m segmenti di mercato. All’interno di ogni mercato gli offerenti sono
indistinguibili l’uno dall’altro 2 .
2. c(·), una funzione costo che mappa vettori {0, 1} m in numeri reali non ne-
gativi. Il dominio di c(·) descrive l’allocazione per ogni possibile mercato,
e denotiamo r = (r1, . . . , rm) ad indicare l’allocazione per un determinato
mercato (ri = 1 o ri = 0 rispettivamente) ed il costo c(r) é il costo del
banditore di fornire i beni assumendo un’allocazione r.
E.g., nel caso di fornitura illimitata, m = 1 e c(r) = 0 per tutti gli r. Un mec-
canismo per un problema d’aste generalizzato prende in input un valore offerta
bi per ognuno degli n offerenti (combinandoli in un vettore b) e decide per ogni
offerente, se allocargli o meno il bene meno ed in caso positivo a quale prezzo. Il
profitto del banditore diviene la differenza tra il prezzo pagato dall’offerente ed il
costo sostenuto per fornirgli i beni richiesti. Il nostro obiettivo é un meccanismo
truthful che massimizzi il profitto del banditore.
Denotiamo il profitto di un meccanismo truthful M su input b con pM(b).
Elemento chiave é, naturalmente, la valutazione della qualitá del meccanismo
M nel massimizzare il profitto del banditore. Denotando con p(b) il profitto
ottenibile senza tale meccanismo, il rapporto di competitivitá di M puó essere
espresso come:
sup
b
p(b)
E[pM(b)]
ed il nostro obiettivo diviene la massimizzazione di tale quantitá.
Un’approccio naturale nel tentativo di massimizzare il profitto 3 é eseguire
un’asta base su ogni mercato e cancellare il risultato ottenuto, nel caso in cui il
2 Gli offerenti in mercati differenti possono essere indistinguibili l’uno dall’altro anche se la
struttura dei costi di fornitura del servizio é identica.
3 Ma soprattutto per non ottenere un risultato negativo dalla vendita, ossia una perdita.
177

APPENDICE B. Il problema d’aste generalizzato
profitto non superi il costo di produzione. Definiremo, quindi, un parametro C
per indicare il profitto ottenuto tramite una tale allocazione. Formalmente l’asta
A é detta cancellabile se per qualunque valore di C l’asta AC é truthful.
Definizione B.1. Data un’asta truthful M e un parametro C definiamo l’asta
MC come segue: sull’input b eseguiamo M; se il profitto risultante é almeno C,
restituiamo come output M(b), altrimenti, cancelliamo M e restituiamo come
output nessun vincitore. Diremo che M é cancellabile se e solo se, per ogni valore
di C, l’asta MC é truthful.
Definizione B.2 (Asta cancellabile). ̷L’asta truthful M é cancellabile se per
ogni vettore b−i e qualunque offerente i con utilitá ui, se l’offerente i vince sul-
l’offerta ui allora Rui ≥ Rb per tutte le b tali che xi = 1 quando l’offerente i offre
b. Per i valori fissati di b−i, Rb denota il profitto di M quando l’offerente i offre
b.
Non ci addentreremo nell’argomento ma enunceremo solo un semplice algo-
ritmo che sfrutta tale tecnica ottenendo un rapporto di competitivitá costante
(precisamente é 4-competitivo).
Per un’asta competitiva truthful che sia cancellabile, é semplice realizzare un
rapporto di competitivitá migliore di quello conosciuto per una qualunque altra
asta. Definiremo prima il meccanismo standard di ”cost sharing” [MS03], poiché
necessario nella costruzione dell’asta cancellabile. Date le offerte b ed un costo
C, tale meccanismo trova un sottoinsieme degli offerenti che condividono il costo
C, se ció é possibile. Piú precisamente il meccanismo di condivisione del costo é
definito come segue:
CostShareC: Date le offerte b, trova il piú grande k tale che i piú
grandi k offerenti possono equamente suddividersi il costo C, pagando
ognuno C/k.
178

APPENDICE B. Il problema d’aste generalizzato
Le proprietá piú interessanti di questo meccanismo sono:
• Se C ≤ F(b), CostShareC ha profitto C; altrimenti non ha profitto e
l’output del meccanismo é x = 0 e p = 0.
• CostShareC é truthful.
Algoritmo 12 Asta semplice a condivisione di costo (SCS)
1. Partizioniamo le offerte b, in due insiemi S ′
e S ′′
lanciando una moneta
casuale per ogni offerta. Denotiamo i vettori delle offerte risultanti con b S ′
e b S ′′.
2. Calcoliamo F ′
= F(bS ′) ed F ′′
= F(bS ′′), profitti a prezzo fisso ottimo.
3. Calcoliamo l’asta risultante dall’esecuzione di CostShare F ′′ su b S ′ e
CostShare F ′ su b S ′′
Imponiamo un ordinamento totale ”≺”, sui valori della forma ”kbi” in modo tale
che rispetti l’ordinamento parziale naturale. Quindi definiamo ”≺” come:
É banale notare che F ′
kbi ≺ lbj ⇐⇒ kbi < lbj ∨ kbi = lbj ∧ i < j
ed F ′′
sono della forma ”kbi” per qualche k ed i, cosicche
usando l’ordinamento totale nei passi 2 e 3 si garantisca: F ′
= F ′′
.
Quest’algoritmo ha due proprietá notevolmente significative che possono enun-
ciarsi come:
Teorema B.1. Il meccanismo SCS é 4-competitivo, e tale limite é stretto.
Teorema B.2. SCS é un’asta cancellabile.
Per una trattazione dettagliata di tale metodologia e, di altre che le si stanno
affiancando si vedano [GH02], [WU03].
179