tesina sui frattali - Matematicamente.it

Eadem mutata
resurgo
Allievo Claudio Beggiato, V A
Scuola Navale Militare “Francesco Morosini” – Venezia
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Introduzione
In questa tesina si parlerà di frattali, un argomento relativamente nuovo che sta
affascinando molti studiosi e incuriosendo anche il pubblico meno esperto; dopo una
breve premessa sulle geometrie non euclidee che sono alla base della geometria frattale
ci addentreremo sull’analisi delle caratteristiche di queste curiose figure. Alle analisi,
accompagnate da esempi e dimostrazioni, seguirà una descrizione dei frattali e dei
metodi di costruzione frattale più importanti e un’introduzione alla teoria del caos sia dal
punto di vista fisico, attraverso gli attrattori e l’entropia, che da un punto di vista filosofico
esplorando le possibili conseguenze nel pensiero umano. Dopo una breve ma
significativa galleria sulla nuova arte frattale, la tesina si conclude con la motivazione del
suo titolo. Per quanto concerne la bibliografia e la sitografia sono stati segnalati tutti i
testi e i siti consultati, anche se utilizzati solo per semplici spunti nello sviluppo dei molti
argomenti trattati.
Premessa
Prima di addentrarci nel mondo dei frattali è necessario precisare che in questa
fantastica realtà vige la geometria non euclidea. I greci per primi spiegarono con
ragionamenti le proprietà delle figure geometriche, andando oltre l'intuizione, a differenza
degli egizi. Euclide per primo cercò di mettere ordine alle conoscenze fino ad allora
acquisite con gli "Elementi", che costituiscono il punto di partenza per
l'insegnamento elementare della geometria. La geometria razionale
si basa sugli enti primitivi, cioè enti che non vengono definiti
esplicitamente.
Euclide distingueva tra assiomi e postulati: gli assiomi esprimono
principi generali della logica e i postulati contengono affermazioni di
carattere geometrico; si usa usarli come sinonimi e attribuiscono
proprietà, che per la loro evidenza supponiamo essere vere e che
caratterizzano gli enti primitivi dandone una definizione implicita.
Stabilito un certo numero di assiomi, si deducono mediante
ragionamenti altre proprietà. La scelta degli assiomi è fatta con una
certa libertà, fermo restando che devono essere soddisfatti alcuni
requisiti. Si ottengono diversi tipi di geometria come conseguenza
delle scelte fatte sugli assiomi.
All'interno di uno stesso tipo di geometria alcune proprietà degli enti primitivi sono tali che
assumendo una di esse come assioma le altre risultano come conseguenza e viceversa,
si dice in questo caso che gli assiomi sono equivalenti. Gli assiomi scelti non devono
contraddirsi tra loro e non devono essere uno conseguenza logica dell'altro. La
geometria euclidea si basa sugli assiomi scelti da Euclide negli Elementi.
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente sta aperto innanzi a
gli occhi (io dico l'universo) ma non si può in fendere se prima non s'impara ad intender
la lingua e conoscere i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche.
Galileo Galilei
Si possono costruire geometrie che non accettano alcuni assiomi
della geometria euclidea e per questo sono dette geometrie non
euclidee.Il punto di partenza che ha determinato la nascita delle
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geometrie non euclidee è stato il postulato delle parallele. Esso afferma che per un punto
A non appartenente ad un retta r passa una ed una sola retta r' parallela alla retta r.
Occorre sottolineare che questo postulato, noto anche come quinto postulato, è negli
elementi di Euclide espresso in una forma equivalente. Questo postulato non era
evidente come gli altri, pertanto molti matematici pensarono di poterlo ricavare dagli altri,
ma tutti i tentativi si rivelarono infruttuosi. Finché verso il 1730 i matematici Saccheri e
Lambert affrontarono il problema in maniera differente, cioè negarono per assurdo la
validità del postulato delle parallele ottenendo tutta una serie di conseguenze molto
diverse dai teoremi classici. Per esempio la somma degli angoli interni di un triangolo
non risulterebbe mai uguale ad un angolo piatto. In ogni caso nessuna di queste
proposizioni contraddice uno dei teoremi della geometria euclidea che non dipendono
da questo postulato. Si è costruito pertanto un sistema logico-formale perfettamente
coerente. La negazione del quinto postulato può essere fatta ammettendo uno dei
seguenti postulati: non esiste nessuna parallela per il punto esterno alla retta; esistono
più di una retta per il punto esterno.
La geometria di Riemann
Verso la prima metà del 1800 il matematico B. Riemann costruì un
modello di geometria non euclidea sostituendo il V postulato
euclideo con il precedente postulato. Riemann assunse come enti
primitivi:
• il piano costituito da una qualunque superficie sferica;
• il punto costituito da una qualunque coppia di punti
diametralmente opposti sulla superficie sferica;
• la retta costituita da una qualunque circonferenza massima.
E' facile verificare che per questo modello valgono i postulati della
geometria euclidea ad eccezione del V postulato di Euclide perché
sostituito dal postulato A.
Infatti:
Per due punti passa una ed una retta :
Per un punto passano infinite rette , nella geometria di Riemann
significa che per due punti (C,D) diametralmente opposti passano
infinite circonferenze massime;
Nella geometria di Riemann il V postulato diventa: non esiste alcuna retta r'
(circonferenza massima) passante per un punto (coppia di punti (A,B) diametralmente
opposti) parallela ad una retta r (circonferenza massima). Infatti due rette (circonferenze
massime) si incontrano in un punto ( coppia di punti C e D diametralmente opposti)
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Cos'è un frattale?
".....Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua
incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di
un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole
non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente
molto complessi...."
Benoit Mandelbrot
La definizione più semplice e intuitiva lo descrive come una figura geometrica in cui un
motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che
ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà
nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di
perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.
Le "strutture patologiche" ideate dai matematici dell'Ottocento hanno assunto negli ultimi
anni la forma di frattali, figure matematiche dotate di dimensioni frazionarie e non intere,
come invece accade per le figure della geometria Euclide (le rette, che hanno
dimensione uno, i piani, che hanno dimensione due…). Il termine frattale, è stato coniato
da Benoit Mandelbrot, del quale più tardi parleremo, nel 1975, cercando per l'appunto un
nome che potesse descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, è
stato tratto dal latino fractus, da frangere, cioè "rompere", poichè la dimensione di un
frattale non è intera.
Fu nel 1983 che il concetto di frattale acquisì vastissima notorietà presso i matematici, gli
scienziati e il pubblico non specializzato, con la pubblicazione dell’opera pionieristica
“The Fractal Geometry” of Nature dello stesso matematico Mandelbrot. Per essere
riconosciuto come tale, un frattale deve però
possedere alcune caratteristiche fondamentali,
ovvero:
• Autosimilarità;
• Perimetro nullo o illimitato;
• Area finita o nulla;
• Dimensione non intera;
• Struttura complessa a tutte le scale di
riproduzione;
• Dinamica caotica;
Ma diamo attraverso questo spettacolare video una pittoresca anteprima:
Il frattale di Mandelbrot
La frattalità è un modo d'immaginare la forma del cosmo e la forma del fiume,
dell'infinito e del finito...
Susan Condé
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Autosimilarità
Due figure si dicono simili se hanno la stessa forma. Questo non vuol dire che basta una
vaga somiglianza se siamo sotto il dominio della matematica, simile è un termine univoco.
Ad esempio, due poligoni sono simili se e solo se hanno gli angoli uguali e i lati in
proporzione.
I mattoni, infatti, pur se di forma rettangolare non hanno i lati in proporzione; se
osserviamo, invece, la figura di destra notiamo che il rettangolo più grande contiene
esattamente quattro rettangoli uguali al più piccolo: avendo, quindi, gli angoli uguali ed i
lati in proporzione, i due rettangoli sono simili. Dunque il rettangolo piccolo si potrebbe
ottenere riducendo i lati del maggiore della metà.
Un esempio comune di similitudine si ha nel caso delle fotocopie, che
possono essere riprodotte anche in scala. Nel caso di una linea costiera
rimane invariata, in scala, l'irregolarità, ed è per questo che anche un
particolare somiglia tanto a tutta la costa. Nel caso di molti oggetti
naturali, come ad esempio le felci, una parte non è esattamente in scala
con il tutto, ma è molto somigliante e per questo parliamo di
autosomiglianza statistica. Se invece aumentassimo il raggio un arco di circonferenza
sempre di più questo tenderebbe a diventare un segmento.
I frattali, rispetto alle figure della geometria
classica, hanno la caratteristica peculiare che,
se ne ingrandiamo anche una piccola parte,
riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala,
caratteristiche strutturali simili. La struttura che osserviamo in scala normale viene
ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi
sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo. Questo fatto ci permette di
riprodurre un frattale, anche di forma complessa, con poche e semplici istruzioni da
ripetersi più volte; la riproduzione della stessa immagine punto per punto richiederebbe,
con le metodologie tradizionali, centinaia di valori numerici.
LE CLASSICHE MISURE EUCLIDEE SONO INADEGUATE A
DESCRIVERE UN FRATTALE!
.....il libro della natura e' scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli,
cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto...
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Perimetro illimitato
“…e mi sovvien l’eterno…”
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G. Leopardi
Il perimetro di molti frattali può tendere a infinito, mentre l'area resta finita.
Considerazioni sul calcolo del perimetro:
Il terzo assioma della distanza ci assicura che, dati nel piano tre punti, A, B e C, AB ≤
AC + BC; il segno di uguaglianza vale se e soltanto se A, B e C sono allineati e C è
compreso fra A e B.
AB = AC + BC AB < AC + BC (disuguaglianza triangolare)
Nel caso di un frattale, ad ogni passo, ogni singolo segmento che lo compone subisce
una riduzione, d'altra parte il numero di segmenti aumenta: sostituiamo come minimo
due segmenti ad ognuno dei precedenti, e dunque la lunghezza complessiva, per
l'assioma della distanza, aumenta.
Il processo di costruzione di un frattale si ripete all'infinito, dunque il perimetro di una
frattale tende ad infinito:
Inizio: 1 segmento di 27
quadretti
Primo passo: 5 segmenti di 9
quadretti
Secondo passo:25 segmenti
di 3 quadretti...
Mediante la legge di formazione del frattale possiamo prevedere quanto sarà il perimetro
al passo successivo, e comunque è facile intuire che, al tendere dei passi ad infinito,
anche il perimetro tende ad infinito.
Anche nella realtà il concetto di lunghezza presenta dei limiti quando vogliamo misurare
una linea estremamente irregolare. Mandelbrot si era posto il problema con la sua
famosa domanda: "Quanto è lunga la costa della Bretagna?"
Se si segue il contorno della costa si vede che esso è molto frastagliato. Se cerchiamo di
essere sempre più precisi , visto che ad ogni passo troviamo sempre le stesse
irregolarità, vediamo che la misura non converge verso un ben definito valore ma anzi,
aumenta (anche se, in questo caso, non possiamo prevedere di quanto!)

Se misuriamo la distanza
fra due punti in linea d'aria,
troveremo una certa
lunghezza.
Se misuriamo la distanza tra
gli stesso due punti, ad
esempio,a grandi passi, ecco
che troviamo una lunghezza
maggiore.
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Più cerchiamo di aumentare
la precisione e più la
lunghezza aumenta.
La lunghezza di un tratto di costa non potrà essere infinita, perché non potremo dividere
indefinitamente i tratti da misurare, ma l'andamento delle successive misurazioni ricorda
quello del calcolo del perimetro di un frattale nei successivi passi. In effetti l'affermazione
di Mandelbrot voleva mettere in evidenza la natura dei frattali riferendosi all'immagine
familiare di una costa frastagliata. E' la matematica che garantisce l'esistenza effettiva
dei frattali e delle loro proprietà caratteristiche.
Perimetro nullo
Alcuni frattali, come ad esempio la polvere di Cantor, possono avere perimetro nullo in
quanto, all'infinito, si riducono a punti isolati.
L'insieme di Cantor
Lo scopo di Cantor nel proporre questo strano insieme era di dimostrare che si può avere
un insieme con un numero infinito non numerabile di punti ma di lunghezza nulla.
L'insieme è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero
corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:
1. Prendiamo come figura di partenza un segmento: poniamo per comodità la
lunghezza = 1;
2. Eliminiamo dal segmento la terza parte centrale: otteniamo 2 segmenti di
lunghezza = 1/3;
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 2 segmenti che si sono così formati:
otteniamo 4 segmenti di lunghezza = 1/9;
4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 4 segmenti che si sono così formati:
otteniamo 8 segmenti di lunghezza = 1/27;
Osserviamo che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la lunghezza di
ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente. E' quindi facile dedurre che al passo k:
• la misura di un lato è 3 -k [ricordo che 3 -k = (1/3) k ];
• il numero di segmenti è 2 k .
Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento
in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere
ripetuto senza limite. Come figura limite si ottiene l'insieme di Cantor, un frattale. Le sue
caratteristiche? Senza dubbio sorprendenti. Osserviamole.

Come varia la lunghezza?
La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta
eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei
passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei
segmenti eliminati è pari a:
Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9,
2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché
ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo
adiacente al precedente, ogni estremo di un
intervallo rimosso non verrà più eliminato. L'insieme
di Cantor , per la sua forma peculiare, prende anche
il nome di polvere.
Qual è la dimensione?
Consideriamo il secondo passo della costruzione
della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno
dei quali è simile al precedente ed esattamente di
lunghezza uguale ad 1/3 del precedente. Dunque la
dimensione dell'insieme di Cantor è log 2 / log 3,
approssimabile a 0.630929... Esso è più di un punto,
ma meno di una linea!
E’ autosimile?
La risposta è affermativa, infatti la struttura che
osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola,
e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.
L'insieme di Cantor presenta quindi pienamente le caratteristiche di un frattale.
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Area finita
Il contorno dei frattali, pur avendo lunghezza infinita, è racchiuso in un'area limitata.
Dimostrazione con il fiocco di neve di Von Koch
L'area del fiocco di neve è limitata
perché è contenuta nel cerchio
circoscritto al triangolo equilatero di
partenza.
Il triangolo è inscrivibile in un cerchio.
Il centro del cerchio circoscritto ad un triangolo è detto
circocentro: esso è il punto di incontro degli assi dei lati.
Nel caso del triangolo equilatero il circocentro coincide
con il baricentro, il punto di incontro delle mediane. Il
baricentro ha la proprietà di dividere ogni mediana in due
parti, delle quali quella verso il vertice è doppia dell'altra.
Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo equilatero è
quindi i 2/3 dell'altezza. Indichiamo con S0 l'area del
triangolo.
Dopo il primo passo
La figura è costituita dall'unione di due triangoli equilateri
uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo a
ad un lato: ad esempio, nel disegno a fianco, i triangoli
sono simmetrici rispetto al diametro EF, parallelo al lato
AB. (Notare come si formino sui segmenti AB, CH e CB
tre classi di grandezze direttamente proporzionali e come
quindi, per il teorema di Talete, le rette che uniscono i
punti corrispondenti siano parallele).
Possiamo concludere che la figura risulta inscritta nel
cerchio circoscritto al triangolo equilatero di partenza.
Indichiamo con S1 l'area della figura al primo passo.
Dopo il secondo passo
Dal triangolo equilatero HCI, come dagli altri, spuntano
due triangoli equilateri.
Per semplicità riferiamoci al solo triangolo HCI
relativamente al quale possiamo ripetere la stessa
dimostrazione fatta al passo precedente. La figura che si
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forma è inscrivibile in un cerchio che, inoltre, risulta tangente internamente al cerchio
circoscritto al triangolo ABC. Continuando nel procedimento otterremo sempre cerchi
tangenti internamente ai cerchi già costruiti e quindi il fiocco di neve di von Koch avrà
area minore dell'area del cerchio circoscritto al triangolo ABC. Indichiamo con S2 l'area
della figura completa al secondo passo.
Troviamo una formula per l’area del fiocco di neve
Ad ogni passo, si aggiungono al fiocco nuovi triangoli.
Per valutare la loro area complessiva, dobbiamo
determinare, di volta in volta:
• quanti triangoli si formano;
• quanto vale l'area di ciascuno di essi.
E' facile vedere che ad ogni passo si forma un triangolo
su ogni lato del fiocco. Ma quanti sono i lati?
Al passo 0 sono 3. Successivamente, ogni lato si divide
in 4 lati. Avremo quindi: 3×4 lati al passo 1; 3×4 2 al
passo 2... 3×4 k lati al passo k. Di conseguenza si
formeranno: 3 triangoli al passo 1; 3×4 triangoli al
passo 2... 3×4 k-1 triangoli al passo k.
Resta da valutare l'area di ciascun triangolo, ma anche
questo non è difficile. Il lato di ogni nuovo triangolo vale 1/3 di quello dei triangoli formati
al passo precedente (è così che si costruisce il fiocco di neve). Di conseguenza, l'area
vale 1/9 di quella dei triangoli precedenti. Riassumendo:
• Al passo 0 l'area vale S0
• Al passo 1 si formano 3 triangoli di area 1/9 di S0 ciascuno.
• Al passo 2 si formano 3×4 triangoli di area 1/9 di 1/9 di S0 =S0/9 2 . Quindi
• Al passo 3 si formano 3×4 2 triangoli di area 1/9 di 1/9 2 di S0 = S0/9 3 . Quindi
• Al passo k si formano 3×4 k-1 triangoli di area S0/9 k . Quindi
• Il fiocco di neve è la figura limite che si ottiene reiterando il procedimento
all'infinito. Per questo, occorre trovare il limite di Sk per k che tende all'infinito. Tale
limite si calcola facilmente ove si noti la presenza, nelle somme parziali, di una
serie geometrica di ragione 4/9 e di termine iniziale 3/9.
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• Ricordando la formula che esprime l'area di un triangolo equilatero di lato s si
ottiene finalmente
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Curva e fiocco di neve di Von Koch

Area nulla
Altre volte l'area può essere addirittura nulla, come nel caso del triangolo di Sierpinski.
Il triangolo di Sierpinski
Questo è costruito seguendo il seguente metodo iterativo in cui il passo zero corrisponde
alla figura di partenza non ancora trasformata:
1. Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comodità
il lato = 1
2. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che
uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato
= 1/2
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati:
otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4
4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati:
otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8
5. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati:
otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16
Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di
essi si dimezza. E' quindi facile dedurre che al passo k:
• la misura di un lato è 2 -k [ricordo che 2 -k = (1/2) k ];
• il numero di triangoli è 3 k .
Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento
in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descritto potrà essere
ripetuto senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.
Caratteristiche:
• Autosimilitudine: Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la
caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte,
riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.
• Perimetro infinito: Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente,
infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si
dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi,
anche il perimetro crescerà indefinitamente: esso tende ad infinito quando anche il
numero di passi tende ad infinito.
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• Area nulla:
L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni
passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai
tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare
che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente:
essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.
Dimensione frazionaria: il base al nostro metodo possiamo dedurre che la
dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più
di una linea e meno di una superficie!
Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun
punto.
Dimensione del triangolo di Sierpinski
Applichiamo il concetto di dimensione appena al triangolo di
Sierpinski, ricordando che, in generale,se n è il numero di
ingrandimenti lineari, il numero di copie è rappresentato da una
potenza di base n e di esponente la dimensione.
Come si vede dall'immagine a fianco, sono quattro i triangoli
che possono comporre un triangolo con i lati ordinatamente
doppi. Il triangolo ha infatti la dimensione di una superficie, e
cioè due.
Raddoppiamo ora il lato di un triangolo di Sierpinski: ci si aspetterebbe di ottenere
quattro copie dell'originale, invece esse sono soltanto tre. (Ricordiamoci di non contare i
buchi!).
Impostiamo dunque l'equazione 3 = 2 d dove d è la dimensione.
Ora, poiché 2 1 = 2, e 2 2 = 4, il nostro numero deve essere compreso fra 1 e 2.
Ecco in evidenza il paradosso apparente dei frattali: sono più di una linea ma meno di
una superficie, otterremo che:
d =log2 3 = log3/log2 = 1,5849625....
Altrimenti, si potrà arrivare a questo valore per successive approssimazioni secondo il
procedimento che segue.
2 1.4 = 2.639015...
2 1.5 = 2.828427...
2 1.7 = 3.249009...
2 1.58 = 2.989698...
2 1.585 = 3.000077...
2 1.5849625 = 2.9999999...
2 1.5849626 = 3.0000002...
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Dimensione non intera
Per spiegare che cosa si intenda per dimensione non intera, innanzitutto occorre capire
che cosa si intenda per dimensione.
.....delle grandezze, quella che ha una dimensione è linea, quella che ne ha due è
superficie, quella che ne ha tre è corpo, e al di fuori di queste non si hanno altre
grandezze.....
Aristotele
• Un punto non ha dimensione: né lunghezza, né larghezza, né altezza.
• Una retta ha una dimensione: la lunghezza, e si estende all'infinito nei due versi.
Un punto può essere individuato, su una retta orientata
sulla quale sia fissata un'origine ed una unità di misura,
mediante una sola coordinata.
• Il piano ha due dimensioni, lunghezza e larghezza, e si
estende all'infinito in entrambe le direzioni. Un punto può
essere individuato, su un piano sul quale sia fissato un
sistema di riferimento ed una unità di misura, mediante due coordinate.
• Lo spazio ha tre dimensioni,lunghezza, larghezza e profondità, e si
estende all'infinito in tutte e tre le direzioni. Un punto può essere
individuato, nello spazio sul quale sia fissato un sistema di
riferimento ed una unità di misura, mediante tre coordinate.
I frattali possono avere dimensione non intera, anche con infinite cifre dopo la virgola.
Come può accadere? Dobbiamo guardare al concetto di dimensione sotto un altro
aspetto, partendo dal fatto che:
• Tutte le rette sono simili;
• Tutti i quadrati sono simili;
• Tutti i cubi sono simili.
La dimensione può essere definita, in modo più consono ai nostri scopi, nel seguente
modo:
1. Se n è il numero di ingrandimenti lineari, indichiamo con f(n) il numero di copie
dell'oggetto.
2. Si ha che f(n) è rappresentato dalla potenza di base n e di esponente la
dimensione.
3. Dunque possiamo scrivere f(n) = n d
4. Si ha quindi d =logn[f(n)] = log[f(n)]/logn
Esempio
Prendiamo un segmento e raddoppiamo la sua lunghezza.
Otteniamo due copie del segmento originale. 2=2 1
In generale otteniamo tante copie quanto è il numero di
ingrandimenti.
Si ha che f(n) = n.
Dunque d=1
Prendiamo ora un rettangolo e raddoppiamo la
lunghezza di entrambe le sue dimensioni.
Otteniamo quattro copie dell'originale. 4=2 2
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Se triplichiamo la lunghezza di
entrambe le sue dimensioni otteniamo
invece nove copie dell'originale. 9=3 2
In generale otteniamo che le copie sono
uguali al quadrato del numero di
ingrandimenti.
Si ha che f(n) = n 2
Dunque d=2
Prendiamo un cubo e raddoppiamo la lunghezza del suo
lato.
Otteniamo così otto copie dell'originale. 8=23
Se quadruplicassimo la lunghezza del lato, otterremmo
ben sessantaquattro copie dell'originale! 64=43
In generale otteniamo che le copie sono uguali al cubo
del numero di ingrandimenti.
Si ha che f(n) = n 3
Dunque d=3
Nel caso dei frattali possiamo calcolare la dimensione, tenuto conto della loro
autosimilarità, applicando la definizione nel
passaggio fra il passo iniziale ed il primo passo: ad
esempio, nel caso della curva di Koch, vediamo che
abbiamo 4 segmenti ognuno di lunghezza=1/3 della
precedente.
Dunque la dimensione è log(4)/ log(3) ≈ 1.26
La curva di Koch è più di una linea e meno di una superficie!
Nel caso del frattale di Cantor abbiamo invece 2
segmenti ognuno di lunghezza = 1/3 della
precedente.
Dunque la dimensione è log(2)/log(3) ≈ 0.63
Il frattale di Cantor è meno di una linea!
Nel caso del frattale di Peano abbiamo 9
segmenti ciascuno di lunghezza uguale ad 1/3
del segmento di partenza. La dimensione
frattale è quindi (log9/log3) = 2.
Dunque il frattale di Peano ha la dimensione di
una superficie.
La dimensione ci dà un'indicazione di quanto sia complicata una figura autosimile e ci fa
capire come i frattali occupino spesso un posto "a metà" fra oggetti ad una o a due
dimensioni, oppure fra zero ed una dimensione!
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Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione
I sistemi più semplici creano problemi di prevedibilità estremamente difficili... in quei
sistemi si produce spontaneo l'ordine: disordine e ordine assieme.
James Gleick
Molti oggetti frattali hanno infiniti dettagli. Dall'animazione si può vedere che la
complessità dell'insieme di Mandelbrot non accenna a diminuire, anche se lo
ingrandiamo quanto vogliamo. Visto che presenta questa caratteristica, si dice che un
frattale è dotato di struttura complessa a tutte le scale di riproduzione.
I frattali autosimili godono sicuramente di questa proprietà, mentre non è vero il contrario.
E' infatti evidente, ad esempio, che il frattale di Mandelbrot non è autosimile. In ogni caso
ogni parte dell'insieme di Mandelbrot presenta caratteristiche strutturali simili a quelle
dell'oggetto di partenza, e ciò è vero per tutti i frattali di questo tipo. E' anche evidente
che questa caratteristica è strettamente collegata alle altre proprietà distintive dei frattali,
quali ad esempio la dimensione frazionaria o il perimetro infinito e l'area finita.
Se vediamo la terra dallo spazio, possiamo osservare i continenti con le loro coste, gli
oceani e i mari, i fiumi maggiori.
Se ci avviciniamo, possiamo vedere solo una parte, ingrandita, dell'immagine precedente,
ma la struttura del paesaggio non cambia: ancora coste, e "piccoli mari" e corsi d'acqua.
Le coste, in particolare, hanno infinita lunghezza anche se sono chiuse in una superficie
finita, e i dettagli, per quanto ingranditi, non cambiano. Ecco, di nuovo, i frattali!
Nel regno vegetale si trovano esempi comuni di ramificazioni frattali: dalle felci, agli alberi,
ai fiori.
Le loro forme, così diverse, così complesse, nascono allora da semplici codici genetici,
come quelli che possono essere scritti al computer con poche righe di programma?
16

Dinamica caotica
... caos non può significare il selvaggio disordine, bensì l'insoggiogabile ricchezza del
divenire e dello scorrere del mondo nella sua totalità.
M. Heidegger
Le leggi matematiche che generano i frattali sono molto semplici, pur tuttavia basta una
minima variazione in un parametro per determinare una trasformazione significativa delle
figure finali.
Variazioni nel triangolo di Sierpinski (al centro) al minimo variare di un solo parametro ma,
attenzione, questo non è il caos!
Si usa dire che l'aspetto di un oggetto frattale dimostra un'estrema sensibilità alle
condizioni di partenza che usiamo per costruirlo: nel caso del triangolo di Sierpinski, che
è generato da un'equazione di primo grado, tuttavia, si riconosce sempre la forma iniziale.
Invece i frattali generati da equazioni almeno di secondo grado sono esempi tipici di
sistemi caotici.
La parola caos richiama alla mente uno stato di totale disordine e si usa per indicare
appunto tutte quelle situazioni nelle quali non si riesce ad individuare una regola.
"...a quegli spari successe il caos, e nessuno capì più nulla..." recita il Manzoni.
Del resto già gli antichi greci chiamavano caos la materia primordiale senza ordine che
preesisteva al cosmos, cioè all'universo ordinato.
Precipitare nel caos sembra quindi finire in un mondo senza leggi, senza sicuri sviluppi,
nel mondo della casualità: tutto l'opposto, quindi, di ciò che siamo abituati a
ricomprendere nell'ambito della scienza.
Così riconosciamo ordinato il mondo della natura quando possiamo predire con
millimetrica precisione non solo la data della prossima eclisse ma anche la zona dove si
potrà ammirare meglio lo spettacolo; se la scienza non sa darci risposte esatte in alcuni
casi, immaginiamo che questo accada perché le leggi che governano certi fenomeni
sono troppo difficili per essere comprese dall'uomo almeno fino a questo momento.
(Come diceva Bertrand Russel, filosofo del nostro secolo, le leggi della Natura sono
semplici perché non siamo capaci di scoprire quelle difficili...).
In effetti, il metodo adottato dalla scienza
classica tende a trascurare tutti quei fenomeni
che non possono essere previsti esattamente,
relegando nella sfera del disordine certe
turbolenze o irregolarità che pure spesso
convivono nella realtà di tutti i giorni.
Facciamo un esempio: se gettiamo due
barchette una accanto all'altra in un fiume che
scorre lento e placido, esse rimarranno a lungo
vicine, e subiranno la stessa sorte; se però il
corso d'acqua si trasforma in una rapida, la loro
rotta non sarà prevedibile e molto probabilmente le barchette potranno trovarsi lontane.
Nell'immagine a lato, è rappresentato il moto di due barche (uno in rosso e l'altro in blu).
17

All'inizio i moti si sovrappongono, e infatti si vede soltanto la linea rossa, poi invece
spesso prendono direzioni del tutto diverse. Questo significa che, a partire dalla stessa
posizione iniziale, la posizione successiva non è predicibile. Perché? Forse che la
turbolenza porta con sé il caso? E' qui che entra in gioco la teoria del caos, intesa in
senso moderno, matematico.
L'attuale definizione di caos è tutta qui: "la sensibilità alle condizioni di partenza". Ma
cerchiamo di spiegarci meglio.
Le leggi della natura permettono di predire con sicurezza molti fenomeni naturali: dal
ritorno delle comete alle eclissi, alle maree.
Alcuni aspetti della realtà sono però molto difficili da descrivere e da interpretare. Le
condizioni atmosferiche, ad esempio, diventano imprevedibili a lungo termine, perché
ogni piccola variazione nelle condizioni attuali si amplifica e si ingigantisce in breve
tempo: tutto questo anche se l'atmosfera ubbidisce a leggi fisiche ben precise che
esprimono, ad esempio, il legame fra pressione e temperatura, fra pressione e velocità
del vento e così via.
Questa sensibilità alle condizioni iniziali è detta effetto farfalla, da quando,
nel 1972, il meteorologo Edward Lorenz raccontò, per illustrare la
difficoltà di predire a lungo termine certe turbolenze climatiche, di come
sia possibile, teoricamente, che un battito d'ali di una farfalla in Brasile
provochi un tornado in Texas.
Che cosa intendeva dire in realtà? Edward Lorenz, meteorologo presso il MIT
(Massachusetts Institute of Technology), aveva sviluppato al
computer un modello delle condizioni atmosferiche. Anche se i
suoi risultati non erano utili per le previsioni del tempo reale,
tuttavia erano realistiche nel riprodurre la sua variabilità , e in
particolare nel non presentarsi mai in aspetto identico a se stesso.
Nel 1961, avendo fretta, inserì nel suo computer dei numeri
approssimati a tre cifre decimali invece che a sei come faceva di
solito. Ora, ci si aspetta che se le condizioni iniziali sono
approssimativamente simili , e si seguono le leggi naturali, anche
il comportamento finale non varia di molto. Senza questa regola,
la fisica non avrebbe fatto grandi passi avanti, perché spesso la
realtà è talmente complicata che occorre trascurarne vari aspetti.
Quello che apparve agli occhi di Lorenz fu invece una parte simile, ma una parte
totalmente diversa. Dopo un iniziale smarrimento, egli si era reso conto che sebbene i
frattali non presentino la stessa turbolenza di un uragano, essi tuttavia costituiscono un
buon modello per lo studio di molte perturbazioni, proprio per la loro dinamica caotica.
Prima di Lorenz, ai primi del 1900, era stato Poincaré a parlare dell'estrema sensibilità di
un sistema alle condizioni di partenza quando aveva affrontato il problema dei tre corpi.
Le sue valutazioni sono all'origine della teoria del caos, ma prima di parlarne
bidognerebbe analizzare i due frattali più famosi, importanti e complessi.
18

Il problema delle tangenti alle curve frattali
Nel XVII secolo Newton e Leibniz crearono il calcolo differenziale
che, dal punto di vista geometrico, permette, fra l'altro, di trovare
la tangente ad una curva in un dato punto. Fissiamo ad esempio
un punto P su una circonferenza. Le infinite rette passanti per P
intersecano di norma la circonferenza anche in un punto distinto
da P, e sono dette secanti. Scegliamo ora due secanti che
intersechino la circonferenza in due punti distinti: se questi due
punti si avvicinano a P da due parti opposte, avremo che le due
secanti si fondono in un'unica retta, detta tangente. La tangente in
un punto è quindi immaginata come la posizione limite cui tende
una qualunque secante alla curva quando tende a zero la distanza
di due suoi punti di intersezione dal punto stesso. In altri termini la pendenza di una
qualunque secante si stabilizza quando due punti si avvicinano fin quasi a toccarsi. Se
quindi immaginiamo di ingrandire la curva in un intorno del punto di tangenza, essa è
simile ad una retta.
Se una curva non è continua in un punto, ad esempio se presenta un
salto, l'idea di tangente in quel punto perde di significato. Esistono
tuttavia punti, detti angolosi, in cui una curva è continua ma, poiché
cambia bruscamente direzione, non ammette tangente. Ad esempio
nella figura a sinistra il punto evidenziato è un punto angoloso. In
questo caso, avvicinando i due punti al punto, le secanti non tendono a
coincidere, ma restano distinte; pertanto concludiamo che in quel punto
la curva non ammette tangente. Tali punti sono di norma eccezionali,
ed il calcolo differenziale si è sviluppato prescindendo da questi casi cosiddetti patologici.
Ora, se ingrandiamo una qualunque porzione di un frattale
(immaginiamo addirittura di osservarli al microscopio) essa è
simile all'intero frattale. Ecco che ogni irregolarità permane sotto
qualunque scala di riproduzione. Ad esempio gli infiniti vertici del
fiocco di neve di Koch sono tutti punti angolosi, così come quelli
del triangolo di Sierpinski. La lunghezza dei lati tende invece a
zero, per cui non si riesce a trovare alcuna zona "regolare" che
ammetta tangente. In generale i frattali sono delimitati da un
contorno infinitamente irregolare costituito di soli punti angolosi. Il
problema della tangente non va affatto sottovalutato: la scoperta
di un metodo generale per la sua determinazione fu essenziale
per la risoluzione di importantissime questioni che hanno dato vita
alla scienza moderna. Su di esso poggiano ad esempio tutte le leggi della fisica classica,
della meccanica, dell'ingegneria. La peculiarità dei frattali di non avere tangente rende
però inefficace un approccio classico allo studio delle loro proprietà. D'altra parte la
semplicità del procedimento costruttivo di molti di essi permette di affrontarne lo studio in
maniera efficace, soprattutto grazie alla possibilità di visualizzazione grafica e alla
potenza di calcolo offerte dal computer. Quello che poteva sembrare a prima vista un
problema si rivela così un'utile risorsa per affrontare, come vedremo, numerosi aspetti
della realtà che non si prestano ad un approccio classico.
19

Il metodo IFS sviluppato da Michael E. Barnsley
Consideriamo un insieme di N trasformazioni (non
necessariamente affini) del piano cartesiano: { T 1 , T 2 , T 3 , ..., T N }
ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A del piano. Come
risultato otterremo una famiglia di N sottoinsiemi del piano
cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A ), ..., T N ( A )}. Sia A 1
l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Applichiamo
di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 così ottenuto e
consideriamo l'unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo
insieme A 2 . Agiamo nello stesso modo su A 2 e otteniamo A 3 .
Continuando allo stesso modo, otteniamo una successione di
insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...}.
Il problema che ci poniamo è il seguente: continuando in questo modo, la successione di
insiemi convergerà ad un insieme A oppure no? Convergere in questo caso vuol dire che
la successione si stabilizzerà, e da un certo punto in poi non noteremo più cambiamenti
apprezzabili nell'immagine sullo schermo. (Si tratta di un'operazione di limite.)
Sotto certe condizioni la successione di insiemi convergerà ad un insieme limite F .
Questo insieme limite F si definisce frattale , anzi frattale IFS (Iterated Function System)
ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano".
20

Un esempio: la costruzione della felce.
La costruzione di un frattale come la felce è strettamente legata alle trasformazioni affini:
Passo 0 - A Passo 1 - A 1 Cerchiamo di capire in termini elementari
come si procede.
Si parte da una forma iniziale qualsiasi, ad
esempio il rettangolo di punti qui a lato.
Questo e' l'insieme iniziale A .
Questo insieme viene trasformato: si ruota e
si rimpicciolisce tre volte applicando tre
distinte trasformazioni geometriche.
Notiamo che il quadrato iniziale viene
cancellato e restano solo i tre quadrilateri
ottenuti dalle tre affinità. Questo è l'insieme
A 1 .
Passo 2 - A 2 Passo 3 - A 3
Passo 4 - A 4
Passo 5 - A 5
All' insieme ottenuto, applichiamo di nuovo
le tre trasformazioni ed ricaviamo la figura
seguente. Questo è l'insieme A 2 . Notiamo
che anche stavolta l'insieme precedente
non viene più visualizzato.
Si procede di nuovo in questo modo,
cancellando il passo precedente e si ottiene
l'insieme A 3 .
Nota che la successione di insiemi { A 1 , A
2 , A 3 , ...} converge ad un insieme A che è
proprio la felce iniziale.
Le tre affinità usate per costruire la felce sono tre similitudini ,
ovvero tre trasformazioni ottenute ciascuna come composizione di
una rotazione, di una omotetia e di una traslazione. Se volessimo
inserire anche lo stelo della felce dovremmo aggiungere alle tre
affinità precedenti una quarta trasformazione che però non sarebbe
un'affinità.
21

Frattali creati con la tecnica L-System
L-System è l'acronimo di Lindenmayer-Systems, dal nome di
Aristide Lindenmayer (1925-1989), un biologo olandese che
per primo sviluppò la tecnica usata per generare questi frattali.
Lo scopo di Lindenmayer era di riprodurre in modo virtuale la
crescita di svariati tipi di organismi.
L-System non è perciò un tipo di frattale, ma è un metodo che
permette di ritrovare i frattali, anche i più noti, come Koch,
Sierpinski, alberi etc., che si possono costruire per altra via,
purché lineare.
Il metodo adottato da Lindenmayer è molto suggestivo. Si parte
da un disegno iniziale (che può essere, ad esempio, un segmento o anche una
poligonale). Questo disegno viene riprodotto al computer usando delle regole ben
precise:
Regola F
Avanzare di un segmento di lunghezza
assegnata
Regola f
Avanzare di un segmento di lunghezza
assegnata ma senza lasciare traccia
Regola +
Ruotare in senso antiorario di un angolo
assegnato
Regola -
Ruotare in senso orario di un angolo
assegnato
Ad esempio, per costruire il triangolo
equilatero in figura, partendo dal vertice A,
potremo dare le seguenti istruzioni: si va
avanti di un segmento di lunghezza data
(arriviamo in B),si ruota in senso orario di 120°,si va avanti di un segmento di lunghezza
data (arriviamo in C), ruotato ancora in senso orario di 120°, si va avanti di un segmento
di lunghezza data (torniamo in A). Tradotte queste istruzioni nel nostro linguaggio,
potremo scrivere: F-F-F
Ovviamente, affinché la procedura sia effettivamente eseguita da un computer, dovremo
dare le istruzioni necessarie per eseguire una rotazione, e
dovremo immettere come dati iniziali un valore per
l'angolo (in questo caso 120°) e un valore per la lunghezza
del segmento (in questo caso 90 pixel).
Fatte queste premesse, vediamo come si possa costruire
un frattale.
La costruzione iniziale prende il nome di axiom (assioma).
Sulla costruzione iniziale viene poi effettuata una
sostituzione secondo una regola assegnata, si ripete il
procedimento più volte... ed ecco il frattale!
22

Applichiamo il procedimento per costruire il frattale di Koch:
Dati iniziali:
angolo= 60°
lato= numero pixel prescelto (esempio: 900 pixel)
axiom: F Viene tracciata una linea di lunghezza assegnata
Si ripete:
lato

L’insieme di Benoit Mandelbrot
L'insieme di Mandelbrot è uno dei frattali giustamente più famosi. Esso è stato riprodotto
con una vasta gamma di colori, e ogni volta ci colpisce per il suo aspetto magico.
Cos'è c?
Si tratta di un parametro (complesso) che può essere scelto a piacere; a seconda di c,
avremo risultati diversi. Come si usa questa formula?
Con un computer, si prende in esame una parte del piano di Argand-Gauss (dove stanno
i numeri complessi), per esempio, con la parte reale compresa fra -2,25 e 0,75 e parte
immaginaria tra -1,5 e 1,5. Ad ogni punto del piano si può associare la successione
definita con quella formula, ponendo x0 pari al valore del punto del piano. Tali
successioni possono:
• divergere: il modulo di xn cresce all'infinito all'aumentare di n;
• non divergere: il modulo di xn si mantiene "piccolo". (ricordo che il modulo è la
"distanza" del punto dall'origine).
Al computer diciamo di colorare di verde scuro i punti per cui la successione non diverge,
e di un colore chiaro quelli per cui diverge. Come c scegliamo x0:
Cosa potrà venire fuori?
2
xn = xn
−1
24
+ x
0

Incredibile, ma vero. Tutto viene da quella formula precedentemente indicata.
Facciamone un (forte) ingrandimento in corrispondenza della "frontiera":
ora si capisce cosa intendevo per "superficie finita con bordo infinito": potreste continuare
a zoomare, ma il bordo vi apparirà sempre frastagliato. Se poteste misurarlo, sarebbe
infinitamente lungo. E si capisce anche il concetto di "autosomiglianza": ingrandite
quanto vi pare, ma le forme sono sempre quelle. Guardate ad esempio: ora zoomiamo
su di una di quelle macchioline scure isolate che compaiono in quest'ultima immagine,
nei pressi di quelle strutture a "ventaglio":
25

Sembra proprio simile alla prima immagine! E si potrebbe ingrandire ancora... e il
risultato sarebbe lo stesso. Indubbiamente queste immagini sono molto affascinanti già di
per sé, ma per ottenere un buon effetto bisogna utilizzare i colori giusti. Come già detto,
in queste immagini il verde scuro indica i punti in cui non si ha divergenza, mentre i colori
chiari sono sinonimo di divergenza; le diverse sfumature di verde chiaro dipendono dalla
velocità di divergenza.
Allego un programma che permette di comprendere meglio questo frattale:
Mandelbrot
L'insieme di Mandelbrot è perciò il confine dell'insieme di punti che "scappano" verso
l'infinito. E noi, osservando i colori con questo semplice programma, possiamo stimare la
loro velocità di fuga.
26

Benoit Mandelbrot
Benoît B. Mandelbrot was born in Warsaw, Poland, the 20th day of November of 1924. At
the age of 11, his family emigrated to France (1936), where his uncle, Szolem
Mandelbrot, who by then was Professor of Mathematics at the Collège de France, took
responsibility for his education. It was him who in 1945 introduced Mandelbrot to Gaston
Maurice Julia's "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles" (1918), a 199 page
masterpiece in which the 25 year-old Julia described the set J(f) of those z in C for which
the nth iterate f(z) stays bounded as n tends to infinity. However, Mandelbrot did not like
it, and it was not until some thirty years later (working with his own theories) that he
turned his attention to Julia's paper again.
Mandelbrot received his diploma from L'École
Polytechnique, Paris, in 1947, his Master of Science in
Aeronautics from the California Institute of Technology in
1948, and his Ph.D. in Mathematical Sciences from the
University of Paris in 1952.
From 1949 to 1957, he worked at the Centre National de la
Recherché Scientific. He also worked as a professor of
mathematics in Geneva between 1955-1957, and at
L'École Politechnique in 1957-1958. Afterward, he moved
to the United States and joined International Business
Machines (IBM) in 1958. Working for IBM he became an
expert in processes with unusual statistical properties and
their geometric features, what later culminated in his wellknown
and highly admired contributions in fractal geometry.
Mandelbrot's article "How long is the coast of Britain?"
published in Science magazine in 1967, can be described
as a turning point in science and mathematics, with a high spreading rate to other fields
of human experience. In that article, he used the longitude of Britain's coast as an
example to illustrate that a coastline does not have a determinable length. More likely, its
longitude is relative to the resolution of measurement or scale. That demonstration later
gave way to other analogous discussions and explanations regarding other mathematical
figures, some of which, as the Koch snowflake, were known since the late nineteenth and
early twentieth centuries. Back then, they were called "pathological shapes"; now they
were helping to understand some natural phenomena as rivers, clouds, plants, mountain
ranges, galaxies, population growth, hurricanes, electronic noise and chaotic attractors.
All of them share an outstanding and unifying principle: their general patterns repeat in
different scales within the same object. In other words, they are said to be "self-similar".
In the mid-1970s Mandelbrot coined the word "fractal" (from the Latin word "fractus",
meaning fractured, broken) to label objects, shapes or behaviors that have similar
properties (self-similarity) at all levels of magnification or across all times, and which
dimension, being greater than one but smaller than two, cannot be expressed as an
integer. Today, it is common to find that concept in such diverse fields as economics,
linguistics, meteorology and demography. Mandelbrot's own work is a case of
multidisciplinarity: his doctoral thesis (a mathematical analysis of the distribution of words
in the English language, U. de Paris, 1952) combined linguistics with the tools of
statistical thermodynamics.
Fractals also moved into the arts, not only advancing some aesthetic principles in fine
arts, but also contributing to the study of sound and music theory. Likewise, the rapid
development of the computer made possible the fast diagraming of complex iterating
processes associated with fractal geometry. The resulting graphs proved to be so eye-
27

catching that quickly captured the imagination of new fractal explorers that promptly
established an innovative algorithmic art. Thence, fractals proved useful describing and
modeling natural phenomena and became bearers of a fantastic kind of beauty. In the
words of Mandelbrot, "Fractal geometry may, therefore, usher a new 'liberal art', one that
transcends the boundaries that usually separate the arts and diverse narrow academic
disciplines from one another".
Mandelbrot became professor of mathematics at Yale University in 1987. He is Abraham
Robinson Professor of Mathematical Sciences, IBM Fellow Emeritus, (Physical Sciences)
at the IBM T. J. Watson Research Center, and Professor of the Practice of Mathematics
at Harvard. He has also been Institute lecturer at the Massachusetts Institute of
Technology (MIT), and Visiting Professor at various institutions, including Harvard (first of
Economics, later of Applied Mathematics, Mathematics, and Practice of Mathematics),
Yale University (Engineering), the Albert Einstein College of Medicine (Physiology), and
the University of Paris-Sud (Mathematics). In 1995, he served as Professeur de
l'Académie des Sciences de l'École Polytechnique.
He has received numerous awards, prizes and medals for his contributions, including the
"Barnard Medal for Meritorious Service to Science" (1985),
the Franklin Medal for Signal and Eminent Service in
Science (1986), the Alexander von Humboldt Prize (1988),
the Charles Proteus Steinmetz Medal (1988), the "Science
for Art" Prize (1988), the Harvey Prize for Science and
Technology (1989), the Nevada Prize (1991), the Wolf Prize
for Physics (1993), the Honda Prize (1994), the Médaille de
Vermeil (1996), the John Scott Award (1999), the Lewis Fry
Richardson Medal (1999), the Medaglia della Prezidenza
della Republica Italiana (1999), and the William Procter Prize
for Scientific Achievement (2002), among other awards,
diplomas, grants, decorations and honorary doctorates. He's
also a member of the American Academy of Arts and
Sciences; the USA National Academy of Sciences; the
European Academy of Arts, Sciences and Humanities; the
IBM Academy of Technology, and the Norwegian Academy
of Science and Letters.
His work was first put forward in the book Les objets fractals, forn, hasard et
dimension (1975), best known simply as Les objects fractals, and more fully in his
best-selling book The Fractal Geometry of Nature (1982).
28

Benoit Mandelbrot
Nato a Varsavia da una famiglia di ebrei lituani, nel 1936 si trasferì in Francia, ed un suo
zio, insegnante di matematica, si occupò della sua educazione. Con l'avvento della
seconda guerra mondiale si trovò in grandi difficoltà e spesso temette per la sua vita.
In quel periodo frequentò la scuola in modo saltuario e dovette arrangiarsi: ora, egli
attribuisce molti dei suoi successi alla sua educazione non convenzionale. Di certo,
Benoit Mandelbrot sviluppò la capacità di visualizzare problemi di ogni genere soprattutto
attraverso un approccio geometrico, che gli ha permesso di intuire in modo unico alcuni
aspetti della realtà, magari già affrontati, ma lasciati cadere.
Dopo la liberazione di Parigi, entrò all' Ecole Polytechnique,
dove completò i suoi studi. Nel 1958 si trasferì
definitivamente negli Stati Uniti, iniziando la sua lunga e
fruttuosa collaborazione con l'IBM. Si trovò infatti in un
ambiente che gli permise di affrontare problemi in diversi
settori, con un'autonomia che nessuna Università, forse, gli
avrebbe consentito.
Avuto contatto con le idee di Gaston Julia le sviluppò e le
rese celebri attraverso uno dei primi programmi di grafica al
computer.
Il suo lavoro fu pubblicato nel libro Les objets fractals, forn,
hasard et dimension (1975) e più compiutamente nel libro
The fractal geometry of nature in 1982.
Fu lo stesso Mandelbrot a creare il nome frattale nel 1975,
quando, cercando per l'appunto un nome che potesse
descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, s'imbatté
nell'aggettivo fractus, che, per la sua risonanza con parole come frattura e frazione,
sembrò adattissimo allo scopo.
Il successo fu travolgente. Oggi i frattali irrompono in ogni campo: suscitano l'interesse
degli scienziati e la curiosità del grande pubblico, al punto che oggetti frattali si trovano
comunemente in vendita.
Mandelbrot sostiene che le proprietà frattali da lui scoperte sono presenti quasi
universalmente in natura. Secondo il suo punto di vista, oggi condiviso da molti studiosi, i
modelli storici della matematica e della fisica usati per descrivere la Natura sono
incompleti: la Natura è frattale!
Ha ricevuto numerosi riconoscimenti e premi per la sua opera.
Scritti di Mandelbrot
• (1967): How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional
Dimension; Science (v. pag. inglese)
• (1982): The Fractal Geometry of Nature; W. H. Freeman & Co;
• (1987): Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione; Einaudi
• (1990): La geometria della natura'; 2a ed.; Theoria
• (2001, ediz. ampl. 2005): Nel mondo dei frattali; Di Renzo Editore, Roma
• (2004): The (Mis)Behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward;
Basic Books; (trad. it. Il disordine dei mercati: Una visione frattale di rischio, rovina
e redditività; Einaudi 2005;)
Ognuno contiene in se galassie di sogni e di fantasmi,
29

Gli insiemi di Gaston Julia
2
xn = xn−1
+ c Con lo stesso sistema, proviamo ora a usare valori di
c fissati. Otterremo i cosiddetti "insiemi di Julia" (nota: i numeri
che darò io sono arbitrari). Per esempio, c = -1,25. Si tratta di un
punto che sta sull'asse reale e che, rispetto all'insieme di
Mandelbrot, sta su di una "gemma".
insieme di Julia 1
30
Facciamone un ingrandimento in
corrispondenza della "frontiera":
Ora proviamo con c = 0,27334 + 0,00742i. Si tratta di un punto che, rispetto all'insieme di
Mandelbrot, sta sull'attaccatura di una "gemma".
insieme di Julia 2
Questo è così
bello che
merita due
ingrandimenti:

Adesso c = i. Si tratta di un punto del bordo dell'insieme di Mandelbrot.
insieme di Julia 3
Viene fuori una figurina sottile sottile, detta
"dendrite", il suo nome è dovuto alla
somiglianza con le ramificazioni delle cellule
nervose responsabili della trasmissione
dell’impulso. Vediamone un dettaglio (potete
ingrandire quanto vi pare, ma non ne vedrete
mai lo spessore):
Bene: sia c = 0,12 + 0,74i. Si tratta di un punto esterno all'insieme di Mandelbrot.
insieme di Julia 4
Infine: c = 0,54 + 0,59i. Si tratta di un
punto dentro il corpo centrale
dell'insieme di Mandelbrot.
Insieme di Julia 5
Non presenta particolari strutture per cui
non è necessario proporre ulteriori
ingrandimenti.
Vengono fuori questi puntini isolati ("polvere
di Fatou"), ingrandiamo un po':
31

Dalla determinazione delle condizioni di partenza, dipendono le differenze tra
gli insiemi di Julia e l'insieme di Mandelbrot.
Allego un ulteriore programma per comprendere meglio il rapporto tra i due
insiemi:
Julia.exe
"Sia le forme di turbolenza che
le nuvole nel cielo
e le nuvole nello spazio danno uno
schema irregolare ma ripetitivo che sarebbe impossibile
descrivere senza
l’aiuto della geometria dei frattali."
32

Come costruire un frattale
Per comprendere affondo come funzionano i frattali e le loro caratteristiche ho studiato i
meccanismi che li generano. E in particolare ho studiato tre modi per generare il triangolo
di Sierpinski. In generale per costruire un frattale basta prendere uno o più punti dello
spazio ed applicarvi una regola iterativa che permette di assegnare a quel punto un
numero e quindi un colore. Questa regola è chiamata codice genetico del frattale.
Autosomiglianza e la famiglia dei IFS (Iterated Function System)
Questo metodo si basa sull’autosomiglianza e permette di generare un'intera famiglia di
frattali detti IFS. Si parte da una figura base, un triangolo per la gerla di Sierpinski, e si
applica una semplice trasformazione iterandola più volte.
Riassumiamo in due passi:
Passo 1: si contrae la figura base e la si riproduce più volte
traslandola.
Passo 2:si assegna alla nuova figura il ruolo della figura base e il
processo viene iterato più volte.
La trasformazione generatrice è sintetizzabile in una matrice che possiamo chiamare
codice genetico. Il fatto interessante è che a generare la figura finale (il frattale) non è la
figura iniziale, che può essere variata, ma è il codice genetico. Come si nota, l’analogia
con la genetica non è casuale: il codice genetico ha le istruzioni essenziali per
trasformare una cellula in un organismo complesso ed organizzato.
33

Gioco del caos
Il secondo metodo evidenzia lo stretto rapporto del
caos con i frattali e viene detto “gioco del caos”.
Preso un qualsiasi punto si sceglie casualmente un
vertice dei tre e viene acceso graficamente il punto
medio; da questo punto viene estratto nuovamente
un vertice e viene acceso il nuovo punto medio;
così via in maniera iterativa.
Molto importante é la casualità; ogni volta
l’estrazione del vertice deve essere equiprobabile
(tutti e tre i vertici devono avere la stessa probabilità
di essere estratti).
Se queste condizioni cadono la gerla non appare.
Non funziona neanche se siamo noi a decidere i
vertici perché verrebbe meno l'equiprobabilità.
34

Triangolo di tartaglia
Questo metodo dimostra che costruire un frattale non richiede nessuna particolare abilità
matematica.
Basta prendere il vecchio triangolo di Tartaglia.
E sostituiamo ogni uno con i numeri dispari e ogni zero con i numeri pari:
Quindi sostituiamo ogni uno con una casella blu e ogni zero con una bianca:
(Y. Prigogine, Premio Nobel per la chimica, 1977).
35

Entropia ed attrattori
…ogni individuo, anche il più chiuso nella vita più banale,
costituisce in sé stesso un cosmo.
La termodinamica ci spiega chiaramente che un sistema tende
a passare naturalmente da uno stato più ordinato ad uno stato
più disordinato. Più precisamente definisce l’entropia come una
funzione di stato che misura la quantità di disordine e spiega
che questa può solo aumentare. Se prendiamo un mazzo di
carte ben ordinato per esempio per seme o per progressione
numerica e poi lo smazziamo, esso tenderà a perdere l’ordine
originario; ma allora come è possibile il “gioco del caos”? Come
può un sistema caotico generare un frattale?
Come possono migliaia di particelle agitate e caotiche nel
microsistema formare una perfetta ed armoniosa onda marina nel macrosistema? Come
può una nube di gas cosmico aver generato l'universo?
Lo studio di Lorenz ha portato nuove idee sul nostro modo di vedere la meteorologia e i
fenomeni caotici. Tutti hanno sperimentato l’imprevedibilità del tempo meteorologico!
Le variabili necessarie a prevedere con esattezza
anche il tempo di domani sono sproporzionate e
richiedono l’uso di super-calcolatori; ciò
nonostante si commettono errori. Nel suo
esperimento Lorenz scelse 12 variabili essenziali
e le 12 corrispondenti equazioni termodinamiche
per determinare le condizioni meteorologiche. Il
calcolatore quindi avrebbe dato in uscita 12
variabili in grado di descrivere il tempo che
avrebbe fatto quella giornata. In sei ore si aveva in
uscita le condizioni meteorologiche di un anno.
Naturalmente il modello è molto lontano da essere
deterministico ed esatto, ma presenta le stesse
ciclicità e imprevedibilità del tempo reale.
Più avanti Lorenz si rese conto di poter diminuire
fino a tre le variabili, potendo così rappresentare
anche graficamente i risultati.
Nel grafico la linea rossa rappresenta l’algoritmo studiato da Lorenz. Esso si comporta in
maniera completamente caotica e imprevedibile, ma allo stesso tempo sembra
esprimersi in una maniera preferenziale tendendo ad una figura limite rivelando in
qualche modo una struttura periodica. L’attrattore di Lorenz é quindi la figura generata
dall’algoritmo iterato indefinitamente. Il caos genera quello che Lorenz chiama un
“attrattore strano”.
Panta rei:" tutto scorre, tutto si trasforma"
36
Eraclito da Efeso

I frattali e l’Universo
conflagrazioni di astri in fiamme, irruzioni di odio, smarrimenti stupidi, lampi di lucidità e
dementi burrasche …
E. Morin
Molte delle forme che vediamo in natura
sono riconducibili a sfere, ellissi, coni ed
altre figure della geometria di Euclide.
Ovviamente queste rappresentazioni
sono solo un’approssimazione degli
elementi naturali che ci circondano. La
forma di un pino, per esempio, è simile a
quella di un cono, mentre i corpi che
ruotano nello spazio seguono orbite
ellittiche. Osservando la natura da un
altro punto di vista si può notare che in
ogni sua rappresentazione e forma vige
il caos e proprio per questo i frattali
trovano applicazione anche nei fenomeni
naturali. La geometria frattale, secondo
alcuni studiosi, è la giusta chiave di
lettura per comprendere il mondo che ci
circonda. Questa recente geometria,
infatti, viene usata per studiare molte
forme naturali e sistemi dinamici: le strutture delle piante, i terremoti, i disegni
astronomici, i fenomeni meteorologici, le formazioni nebulose, la rappresentazione di
catene montuose e di coste.
Ci sono altri tipi di situazioni spiegabili attraverso la teoria dei frattali , per esempio, tutto
quello che ha a che fare con la turbolenza: acqua che sgorga a fiotti, aria che si muove
lungo l’ala di un aereo, le condizioni meteorologiche. Gli eventi turbolenti vengono
espressi con equazioni non lineari, sono difficili da risolvere…di fatto, spesso sono
impossibili; quindi la fisica non ha mai capito
nessuna di queste situazioni complesse, mentre
la teoria del caos riesce a descrive le loro
caratteristiche. In natura gli alberi presentano
strutture molto complesse soggette a continui
cambiamenti nel tempo.
Forse fra poco potremmo dire addio all’idea che
l’universo sia nato dal big bang come singola
palla di fuoco. Studiosi stanno esplorando una
nuova teoria basata sull’ipotesi, enunciata ormai
15 anni fa, che l’universo abbia attraversato uno
stadio di inflazione. Durante questo stadio ,
afferma la teoria, il cosmo si ampliò
esponenzialmente in una infinitesima frazione di
secondo; dopo di che, l’universo continuò la
propria evoluzione secondo il modello del big
bang. Via via che gli studiosi hanno perfezionato
lo scenario dell’inflazione, sono venute in luce
alcune conseguenze sorprendenti, una delle
37

quali rappresenta un cambiamento
fondamentale nella visione del
cosmo. Secondo le versioni più
recenti della teoria inflazionaria,
l’universo, anziché essere una palla
di fuoco in espansione, sarebbe un
immenso frattale che cresce
continuamente: esso sarebbe
costituito da molte sfere che si
rigonfiano, le quali producono nuove
sfere, che a loro volta ne generano
altre, all’infinito.
Questa concezione piuttosto bizzarra
dell’universo non è nata
arbitrariamente. Parecchi ricercatori, prima in Russia e poi negli Stati Uniti, proposero
l’ipotesi inflazionaria che ne costituisce il fondamento allo scopo di risolvere alcune
complicazioni create dalla vecchia teoria del big bang. Nella sua forma tradizionale,
questa afferma che l’universo nacque circa 15 miliardi di anni fa da una singolarità
cosmologica, ossia uno stato di temperatura e densità infinite. Come è ovvio queste
grandezze non possono essere realmente descritte in termini fisici come infinite; di solito
si postula che le attuali leggi fisiche non fossero applicate a quell’epoca. Esse
cominciarono a valere solo dopo che la densità dell’universo fu scesa al di sotto della
densità di Planck, che è pari a 1094 g/cc.
Via via che l’universo si espandeva, cominciò gradualmente a raffreddarsi. Un residuo
dell’esplosione primordiale esiste ancora oggi: è la radiazione di fondo a microonde, la
quale indica che la temperatura dell’universo è scesa a 2,7 kelvin. La scoperta di questa
radiazione si è rivelata la prova cruciale che ha dato alla teoria del big bang il suo attuale
ruolo preminente in cosmologia. Questa teoria aveva anche il pregio di spiegare le
abbondanze dell’idrogeno e degli altri elementi dell’universo.
Molti dilemmi hanno costretto i fisici a riflettere in maniera approfondita sugli assunti di
base della teoria cosmologica standard, parecchi dei qualsiasi sono rivelati, a un più
attento esame, decisamente precari.
Un universo che si autoriproduce in una
simulazione al calcolatore è costituito da
domini esponenzialmente ingranditi, ognuno
dei quali (rappresentato da un diverso colore)
ha leggi fisiche differenti. I picchi sono nuovi
"big bang"; le loro altezze corrispondono alle
densità di energia locale. Verso l’estremità dei
picchi i colori fluttuano, indicando che le leggi
fisiche non sono qui ancora definite. Esse
risultano fissate solo nelle valli, una delle quali
corrisponde al tipo di universo nel quale
viviamo.
La teoria inflazionaria non è sempre stata così
semplice da un punto di vista concettuale, i
tentativi di costruire una teoria dell’espansione
esponenziale dell’universo hanno una lunga
storia. Dopo varie realistiche versioni ed
interpretazioni arriviamo alla parte più
interessante della nostra storia, ossia alla
38

teoria di un universo inflazionario eternamente esistente e in grado di autoriprodursi. E’
una teoria assai generale, ma appare particolarmente promettente e conduce alle
conseguenze più profonde nel contesto dello scenario dell’inflazione caotica.
"Una goccia d'acqua che si spande nell'acqua, le fluttuazioni delle popolazioni animali, la
linea frastagliata di una costa, I ritmi della fibrillazione cardiaca, l'evoluzione delle
condizioni meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa di Giove, gli
errori dei computer, le oscillazioni dei prezzi Sono fenomeni apparentemente assai
diversi, che possono suscitare la curiosità di un bambino o impegnare per anni uno
studioso, con un solo tratto in comune: per la scienza tradizionale, appartengono al
regno dell'informe, dell'imprevedibile dell'irregolare. In una parola al caos. Ma da due
decenni, scienziati di diverse discipline stanno scoprendo che dietro il caos c'è in realtà
un ordine nascosto, che dà origine a fenomeni estremamente complessi a partire da
regole molto semplici."
J.Gleick, pioniere di una nuova scienza, Chaos
Si possono visualizzare come onde le fluttuazioni quantistiche del campo scalare in un
universo inflazionario. Inizialmente queste onde si muovevano in tutte le direzioni
possibili, per poi bloccarsi l’una sopra l’altra; ciascuna onda bloccata incrementava
leggermente il campo scalare in alcune parti dell’universo e lo diminuiva in altre. Ora
consideriamo quelle regioni dell’universo dove le onde che si bloccavano hanno
costantemente aumentato il campo scalare. I rari domini dell’universo dove il campo
riesce ad acquisire un valore abbastanza alto cominciano a espandersi
esponenzialmente a velocità sempre crescente; più alto è il valore del campo scalare, più
veloce è l’espansione. Ben presto questi rari domini raggiungono un volume molto
superiore a quello di tutti gli altri.
L'evoluzione di un campo scalare genera molti domini inflazionari, come rivela questa
sequenza di immagini generate al calcolatore. In quasi tutte le regioni dell'universo il
campo scalare diminuisce (ed è
rappresentato da depressioni e
valli);altrove le fluttuazioni
provocano la crescita del campo.
In queste regioni, rappresentate
nell'elaborazione come picchi,
l'universo si espande
rapidamente. Noi ci collochiamo
in una delle valli, dove lo spazio
non è più inflazione.
Da questa teoria segue che, se
l'universo contiene almeno un
dominio inflazionario di
dimensioni sufficienti, allora esso
comincerà a produrre
incessantemente nuovi domini
inflazionari. L'inflazione in
ciascun dato punto può
terminare rapidamente, ma a
volte altre regioni continueranno a espandersi; il volume totale di tutti questi domini
crescerà senza fine. Essenzialmente, da un universo inflazionario scaturiscono bolle
inflazionarie, che a loro volta ne producono di nuove, e così via.
39

Questo processo, chiamato inflazione eterna,
continua come una reazione a catena,
producendo una configurazione di universi
simile ad un frattale. In questo scenario
l'universo nel suo complesso è immortale;
ciascuna specifica parte di esso può derivare
da una singolarità manifestatasi nel passato e
potrà terminare in una singolarità nel futuro, ma
non vi è alcuna fine per l'evoluzione dell'intero
universo.
Che cosa sia avvenuto all'origine è incerto. Vi è
la possibilità che tutte le parti dell'universo
siano state generate simultaneamente in una
singolarità iniziale, un big bang. Sebbene
questo scenario renda l'esistenza del big bang
quasi irrilevante agli effetti pratici, si può
considerare il momento della formazione di ciascuna bolla inflazionaria come un nuovo
"big bang". Da questa prospettiva l'inflazione non è una parte della teoria del big bang,
come si pensava 15 anni fa; al contrario, è questo ad essere compreso all'interno del
modello inflazionario. Un universo capace di autoriprodursi appare come una
configurazione ramificata di bolle inflazionarie. I diversi colori rappresentano "mutazioni"
nelle leggi fisiche rispetto agli universi genitori. Le proprietà dello spazio in ciascuna bolla
non dipendono dall'epoca di formazione della bolla stessa. In questo senso l'universo
potrebbe essere stazionario, anche se l'interno di ciascuna bolla è descritto dalla teoria
del big bang.
Questa nuova teoria cosmologica è estremamente insolita ed è comprensibile che sia
difficile comprenderla. Una delle principali ragioni della popolarità del vecchio scenario
del big bang è che immaginare l'universo come un palloncino che si espande in tutte le
direzioni è relativamente semplice. E' molto più difficile afferrare alla struttura di un
universo frattale che si autoriproduce all'infinito: le simulazioni al calcolatore possono
essere di un certo aiuto. Studiosi hanno iniziato queste simulazioni con una fetta
bidimensionale di universo riempita da un campo scalare quasi omogeneo e abbiamo
calcolato in che modo il campo variava in ciascun punto del nostro dominio dopo l'inizio
dell'inflazione. Poi hanno sommato a
tale risultato onde sinusoidali,
corrispondenti alle fluttuazioni
quantistiche che si bloccano.
Applicando ripetutamente questa
procedura, hanno ottenuto una seria di
valori che mostrano la distribuzione del
campo scalare nell'universo
inflazionario. Le immagini hanno
rivelato che nella maggior parte dl
dominio di partenza il campo scalare
decresce lentamente: noi viviamo in
una di queste regioni dell'universo.
Piccole onde "congelate" sopra un
campo quasi omogeneo finiscono per
dare origine a perturbazioni di temperatura della radiazione di fondo. Altre parti
dell'immagine mostrano montagne in crescita, corrispondenti alle enormi densità di
40

energia che producono un'inflazione estremamente rapida. Si può interpretare ogni picco
come un nuovo "big bang" che crea un universo "inflazionario".
La natura frattale dell'universo è divenuta ancora più evidente quando i ricercatori hanno
aggiunto un altro campo scalare. Per rendere le cose ancora più interessanti hanno
preso in considerazione una teoria in cui l'energia potenziale di questo campo ha tre
minimi differenti, rappresentati da altrettanti colori. In una fetta bidimensionale
dell'universo, i colori presso le vette delle montagne cambiano continuamente, a
indicazione del fatto che il campo scalare sta rapidamente balzando da un minimo di
energia a un altro. Qui le leggi fisiche non sono ancora stabilizzate; nelle valli, però, dove
la velocità di espansione è bassa, i colori non fluttuano più. Il dominio in cui viviamo è
uno di questi, altri domini sono estremamente lontani. Le proprietà delle particelle
elementari e le leggi che regolano le loro interazioni variano nel passare da un dominio
all'altro.
Nel riflettere sul processo di autoriproduzione dell'universo, non si può fare a meno di
trovare delle analogie, per quanto superficiali possano essere. Si può dire: non è forse
ciò che accade a noi? Qualche tempo fa siamo nati, prima o poi moriremo e l'intero
mondo dei nostri pensieri, dei nostri sentimenti e dei nostri ricordi scomparirà. Ma ci sono
stati altri esseri umani che sono vissuti prima di noi, ce ne saranno altri dopo di noi e
l'umanità nel suo insieme potrà sopravvivere per molto tempo.
41

L'evoluzione della teoria
inflazionaria ha dato
origine ad un paradigma
cosmologico del tutto
nuovo, che differisce
considerevolmente dalla
vecchia teoria del big
bang e anche dalle prime
versioni del modello
inflazionario. In esso
l'universo appare caotico
ed omogeneo, in
espansione e stazionario.
La nostra dimora cosmica
cresce, fluttua e si
riproduce eternamente in
tutte le forme possibili,
come se tendesse ad adattarsi a tutti i possibili tipi di vita.
Un esempio molto significativo è dato dal quercia frattale; per ottenerla è stata
fotografata una quercia dall’aspetto autunnale stilizzandone il contorno e con l’aiuto del
calcolatore si è ottenuto il collage composto da sei trasformazioni, due delle quali
deformano l’albero per costruirne il tronco. Infatti, ingrandendo l’immagine per
esaminarne i particolari
dei rami, si può constatare
che le trasformazioni sono
appunto sei. Ramificazioni
e foglie possono essere
facilmente analizzate
attraverso la geometria
frattale. Un suggestivo
esempio è dato dalla
foglia nell’illustrazione.
Questa figura , che
permette di osservare
anche le nervature, è
stata ottenuta con il "gioco
del caos" a partire dal
collage ; questa è una
tecnica che permette ,
partendo da una figura
bidimensionale , di ottenere un insieme di trasformazioni sufficientemente vicine alla
figura originale.
42

La teoria del caos
Cassio: Quanti secoli venturi vedranno rappresentata
da attori questa nostra grandiosa scena in regni
ancora non nati, e in linguaggi non ancora inventati!
(Giulio Cesare, atto III, scena I)
“Il 29 dicembre 1979, il fisico Edward Lorenz presentò alla
Conferenza annuale della American Association for the
Advancement of Science, una relazione in cui ipotizzava come il
battito delle ali di una farfalla in Brasile, a seguito di una catena di
eventi, potesse provocare una tromba d’aria nel Texas. L’insolita
quanto suggestiva relazione, diede il nome al cosiddetto butterfly
effect, effetto farfalla.
Ma cosa c’entra il battito d’ali di una farfalla? Queste righe, tratte da
un articolo sul caos del Dott. Marcello Guidotti, insegnante di
scienze farmaceutiche presso l’Università “La Sapienza” di Roma,
ne “Il contemporaneo” del gennaio 1994, ce ne danno un chiaro
esempio:
E’ una secca giornata estiva. Un uomo passeggia in un bosco per godersi un po' di
fresco. Dopo aver fumato una sigaretta, getta il mozzicone in una piccola radura. Il
mozzicone cade su un fazzoletto di carta gettato da un villeggiante (tanto la carta non
inquina!). Il fazzoletto prende fuoco e trova facile esca in un arbusto secco, ucciso da un
coleottero. L’arbusto prende fuoco. Le fiamme si levano più alte. C’è un leggero
venticello. Qualche scintilla e prende fuoco un arbusto lì vicino. Il fuoco, attizzato dal
vento, si propaga ad altri tre alberi. Ognuno dei quattro alberi in fiamme ne incendia altri
quattro: gli alberi in fiamme diventano 20, poi 100 e poco dopo tutto il bosco è in preda
alle fiamme. Tutto questo per un piccolo parassita che ha ucciso un piccolo arbusto e per
un mozzicone di sigaretta caduto su un fazzoletto usato.
Beh, come si dice: "date a Cesare quel che è di Cesare!" In effetti, Alan Turing, in un suo
saggio del 1950: Macchine calcolatrici e intelligenza, anticipava il futuro "effetto farfalla"...
«Lo spostamento di un singolo elettrone per un miliardesimo di centimetro, a un
momento dato, potrebbe significare la differenza tra due avvenimenti molto diversi, come
l'uccisione di un uomo un anno dopo, a causa di una valanga, o la sua salvezza»
A questo punto, il lettore si
chiederà se "l'effetto farfalla" è solo
una suggestiva speculazione,
oppure ha un riscontro reale...
Nel corso di un programma di
simulazione del clima, Lorenz fece
un'inaspettata quanto importante
scoperta. Una delle simulazioni
climatiche si basava su dodici
variabili, incluse relazioni non
lineari. Lorenz scoprì che,
ripetendo la stessa simulazione
con valori leggermente diversi (una
43

serie di dati veniva prima arrotondata a sei cifre decimali, e successivamente a tre),
l'evoluzione del "clima" elaborata dal computer si discostava nettamente dai risultati
precedenti: a quella che si configurava appena una perturbazione, dopo una effimera
somiglianza iniziale, si sostituiva un modello climatico completamente diverso.
"Il più bello dei mondi è un mucchio di rifiuti gettato dal caso"
(Teofrasto, metafisico,III sec a.c.)
Queste osservazioni hanno portato allo sviluppo della Teoria del Caos che pone limiti
definiti alla prevedibilità dell'evoluzione di sistemi complessi non lineari. Nei sistemi
lineari, una piccola variazione nello stato iniziale di un sistema (fisico, chimico, biologico,
economico) provoca una variazione corrispondentemente piccola nel suo stato finale: per
esempio, colpendo leggermente più forte una palla da biliardo, questa andrà più lontano.
Al contrario, sono non lineari le situazioni di un sistema in cui piccole differenze nelle
condizioni iniziali producono differenze non prevedibili nel comportamento successivo.
Un sistema può anche comportarsi in modo caotico in certi casi e in modo non caotico in
altri. Per esempio, da un rubinetto non chiuso le gocce cadono in una sequenza regolare;
variando leggermente l'apertura del rubinetto, si può far sì che le gocce cadano invece in
modo irregolare, appunto
caotico. Ancóra, il
movimento regolare di un
pendolo fissato ad un
appoggio elastico, diventa
caotico.
E' impossibile prevedere il
comportamento che un
sistema caotico avrà dopo
un intervallo di tempo anche
piuttosto breve. Infatti, per
calcolare il comportamento
futuro del sistema, anche se
descritto da un'equazione
molto semplice, è
necessario inserire i valori
delle condizioni iniziali.
D'altra parte, nel caso di un
sistema complesso non lineare, data la grande sensibilità del sistema agli agenti che lo
sollecitano, un piccolo errore nella misura delle condizioni iniziali, oppure una modifica
apparentemente irrilevante dei dati immessi (ed ovviamente anche il loro successivo
arrotondamento durante il calcolo) cresce esponenzialmente con il tempo, producendo
un radicale cambiamento dei risultati. Questo significa che i dati relativi alle condizioni
iniziali dovrebbero essere misurati con un'accuratezza teoricamente infinita, e ciò é
praticamente impossibile.
44

Quanto detto, spiega
perché le previsioni
meteorologiche, sebbene
descritte con le equazioni
deterministiche della fisica
(fluidodinamica e
termodinamica) ed
elaborate con raffinate
tecniche di calcolo
eseguite da super
computer, producono
risultati molto
approssimativi.
I processi atmosferici,
d'altra parte, sono
estremamente vari e
complessi, in quanto
comprendono fenomeni
limitati e di breve durata (come temporali e trombe d'aria) e fenomeni estesi per migliaia
di chilometri, stabili per alcuni giorni o mesi (gli anticicloni interessano aree vaste quanto
l'Europa e permangono per settimane; i sistemi monsonici impegnano oceani e continenti
per mesi). Poi, ci sono altri fattori che possono modificare sensibilmente il
comportamento delle perturbazioni: le catene montuose, i laghi e la presenza di ampie
zone boschive. Per rappresentare l'atmosfera nel momento in cui leggete questa pagina,
sono necessari 6 milioni di numeri e questo comporta i problemi connessi alle
misurazioni. Gli strumenti a terra sono molto accurati, ma le sonde in quota possono
rilevare la temperatura con un errore di un grado; i satelliti pagano lo scotto di sondare
spazi altrimenti irraggiungibili con errori anche di 2 gradi.
Il computer multiprocessore del Centro meteorologico europeo (ECMWF - European
Center for Medium-range Weather Forecasts, situato a Reading in Inghilterra) per le
previsioni climatiche a medio termine, esegue fino a 400 milioni di calcoli al secondo,
riceve 100 milioni di rilevamenti climatici diversi da tutto il mondo ogni giorno ed elabora
dati in tre ore di lavoro continuo per ottenere una previsione "valida" per dieci giorni. In
realtà, oltre i 2 o 3 giorni queste previsioni non sono
più certe, e perdono qualsiasi valore oltre i 6 o 7 giorni.
Stante la complessità delle forze e dei fenomeni che
determinano il clima, questo non può mai essere
predetto se non entro periodi molto brevi.
L’effetto farfalla (l'espressione metaforica della Teoria
del Caos), in conclusione, sottolinea come nella
maggior parte dei sistemi biologici, chimici, fisici,
economici e sociali, esistano degli elementi che,
apparentemente insignificanti, sono in grado,
interagendo fra loro, di propagarsi e amplificarsi
provocando effetti catastrofici. Questi elementi, e
perché trascurati, e perché imprevedibili, e perché non
individuabili, costituiscono il dilemma del nostro secolo
giacché, come abbiamo visto, possono condurci a
conclusioni errate.
Spesso, ad esempio, per spiegare il comportamento di
un sistema (la crescita della popolazione,
45

l’eutrofizzazione delle coste marine, le variazioni climatiche, ecc.), si ricorre ad un
modello. Un modello è una riproduzione semplificata della realtà, ossia un'astrazione che
considera solamente le principali caratteristiche di quello che è il reale oggetto di studio.
Tuttavia, un modello, sebbene possa sembrare limitato, in quanto non riproduce
completamente la realtà, permette di esaminare gli aspetti piú importanti di un problema.
E non è poco: se considerassimo tutti i dettagli di un problema, ottenendo quello che si
definisce una simulazione (come quella meteorologica), ci troveremmo ad affrontare un
insieme di dati difficilmente correlabili tra loro e quindi la loro analisi ci sarebbe
impossibile o di utilità limitata all'analisi di brevi periodi, come appunto per le simulazioni
climatiche. Tuttavia, pur essendo solo una teoria, è appoggiata dalle tre leggi di Murphy
che, contrariamente alle ideali leggi della probabilità, affermano che nel mondo la cosa
più improbabile è molto probabile e comunque destinata ad accadere.
(...) E quello,-disse - è il Sentiero che la Time Safari ha preparato per voi. E' di metallo
antigravità, e sta sospeso a venti centimetri da terra, senza toccare né un fiore né un
albero né un solo filo d'erba. Il suo scopo è di impedirvi di toccare in qualsiasi modo
questo mondo del passato. (...) Gestire una macchina del tempo è una faccenda
complicata. Uccidendo un animale, un uccellino, uno scarafaggio o anche un fiore,
potremmo senza saperlo distruggere una fase importante di una specie in via di
evoluzione. (...) Supponiamo di uccidere un topolino qui. Ciò significa che tutte le future
famiglie di questo particolare topolino non potrebbero più esistere (...). Per ogni dieci
topolini che non ci sono, muore una volpe. Se mancano dieci volpi, un leone muore di
fame. Se manca un leone, innumerevoli insetti, avvoltoi, quantità infinite di forme di vita
piombano nel caos e nella distruzione. (...)
A Sound of Thunder. (Traduzione di Stefano Negrini Editori Riuniti, 1985)
46

Arte frattale
Arte: una bugia che ci aiuta a riconoscere la verità.
Come abbiamo detto la natura è
formata da frattali e regolata dalla
teoria del caos, l’arte, che è sempre
stata una rappresentazione del mondo
e del pensiero del periodo, si è
proposta in questi ultimi anni
attraverso i frattali. Ecco alcuni esempi
di arte frattale:
47
P. Picasso

Sono forse gli oggetti più belli della matematica, senz'altro i più artistici. E benchè
alla base ci siano solo formule, per giunta spesso semplici e concise, ci si può
anche perdere ammirando le loro rappresentazioni, che non hanno davvero niente
da invidiare ad un'opera d'arte.
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La locuzione latina Eadem Mutata Resurgo, tradotta
letteralmente, significa Risorgo uguale eppure diversa.
Questa frase è stata coniata da Jakob Bernoulli (1654-
1705), membro di una famosa famiglia di matematici
svizzeri, che la volle incisa anche sulla sua tomba a
Basilea, in relazione ai suoi studi sulla spirale logaritmica.
Tale curva è presente in molte manifestazioni della natura:
esempi sono la conchiglia di Nautilus, la disposizione dei
semi di girasole.
49

Bibliografia
• Mandelbrot Benoit B., “Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione”, Einaudi, 1987
• Mandelbrot Benoit B., “La geometria della natura”, 2 a ed., Theoria, 1990
• Peitgen Heinz-Otto e Richter Peter H., “La bellezza dei frattali: immagini di sistemi
dinamici complessi”, Bollati Boringhieri, 1989
• Ary L. Goldberger, David R. Rigney e Bruce J. West - "Caos e frattali in fisiologia
umana", da "Le Scienze" n°260 Aprile 1990
• Hartmut Jurgens, Heinz-Otto Peitgen e Dieymar Saupe - "Il linguaggio dei frattali",
da "Le Scienze" n°266 Ottobre 1990
• Andrei Linde - "Un universo inflazionato che si autoriproduce", da "Le Scienze"
n°317 Gennaio 1995
• Michael D. Lemonick - "Will we discover another universe", da "Time" Vol.155 n°14
10 Aprile 2000
• Ivar Ekeland "Il caos"- Il saggiatore.
• Mandelbrot Benoit B., “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity
and Fractional Dimension”, 1967
• Morris Kline, “Storia del pensiero matematico”, Einaudi, 1996
• Carl B. Boyer, “Storia della matematica”, Mondadori, 1980
• Jean Dieudonnè, “L'arte dei numeri”, Mondadori, 1995
50

Sitografia
http://www.miorelli.net/frattali/
http://www.matematicamente.it/links/frattali.htm
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Ricerche/Massasso/Cap4.html
http://www.swif.uniba.it/lei/rassegna/020228d.htm
http://www.swif.uniba.it/lei/rassegna/030217a.htm
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/go_file/lolli1.htm
http://www.webfract.it/
http://members.tripod.com/softwork/map/
http://www.geocities.com/g_gosti/
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http://graffiti.cribx1.u-bordeaux.fr/MAPBX/louvet/history.html
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractal_history.html
http://www.silviocilloco.it/matematica/noneuclid.htm
http://www.eliopastore.it/
http://www.artefrattale.it/
http://web.tiscali.it/andreozzi/
http://www.fractalarts.com/
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Ringraziamenti
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Anakleto 753
I miei ringraziamenti vanno:
• a mia madre per avermi affascinato un giorno con la parola frattale e per avermi
fatto sviluppare un profondo amore per la matematica;
• ai miei professori per avermi seguito in questi tre anni e aiutato a crescere;
• non ultimo ma decisamente più caro ringraziamento al professore Mario Pensato
per avermi fatto capire che la matematica non è solo un farraginoso calcolo ma
bensì un’arte che va coltivata e ampliata soprattutto attraverso la teoria.

Indice
• Introduzione_____________________________________________ pag. 2
• Premessa ______________________________________________ pag. 2
• La geometria di Reimann __________________________________ pag. 3
• Cos’è un frattale? ________________________________________ pag. 4
• Autosimilarità ____________________________________________ pag. 5
• Perimetro illimitato ________________________________________ pag. 6
• Perimetro nullo __________________________________________ pag. 7
• L’insieme di Cantor _______________________________________ pag. 7
• Area finita ______________________________________________ pag. 9
• Dimostrazione col fiocco di neve di Von Koch __________________ pag. 9
• Area nulla ______________________________________________ pag. 12
• Il triangolo di Sierpinski ____________________________________ pag. 12
• Dimensione non intera _____________________________________ pag. 14
• Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione ______________ pag. 16
• Dinamica caotica _________________________________________ pag. 17
• Il problema delle tangenti alle curve frattali _____________________ pag. 19
• Il metodo IFS sviluppato da Michael E. Barnsley ________________ pag. 20
• Un esempio: la costruzione della felce ________________________ pag. 21
• Frattali creati con la tecnica L-System _________________________ pag. 22
• L’insieme di Benoit Mandelbrot ______________________________ pag. 24
• Benoit Mandelbrot (biografia in lingua inglese) __________________ pag. 27
• Benoit Mandelbrot (biografia in lingua italiana) __________________ pag. 29
• Gli insiemi di Gaston Julia __________________________________ pag. 30
• Come costruire un frattale __________________________________ pag. 33
• Metodo dell’autosomiglianza ________________________________ pag. 33
• Metodo del gioco del caos __________________________________ pag. 34
• Metodo del triangolo di Tartaglia _____________________________ pag. 35
• Entropia ed attrattori ______________________________________ pag. 36
• I frattali e l’Universo _______________________________________ pag. 37
• La teoria del caos_________________________________________ pag. 42
• Arte frattale______________________________________________ pag. 47
• Eadem mutata resurgo ____________________________________ pag. 49
• Bibliografia _____________________________________________ pag. 50
• Sitografia _______________________________________________ pag. 51
• Ringraziamenti __________________________________________ pag. 52
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