tesina sui frattali - Matematicamente.it
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Eadem mutata<br />
resurgo<br />
Allievo Claudio Beggiato, V A<br />
Scuola Navale Mil<strong>it</strong>are “Francesco Morosini” – Venezia<br />
1
Introduzione<br />
In questa <strong>tesina</strong> si parlerà di <strong>frattali</strong>, un argomento relativamente nuovo che sta<br />
affascinando molti studiosi e incuriosendo anche il pubblico meno esperto; dopo una<br />
breve premessa sulle geometrie non euclidee che sono alla base della geometria frattale<br />
ci addentreremo sull’analisi delle caratteristiche di queste curiose figure. Alle analisi,<br />
accompagnate da esempi e dimostrazioni, seguirà una descrizione dei <strong>frattali</strong> e dei<br />
metodi di costruzione frattale più importanti e un’introduzione alla teoria del caos sia dal<br />
punto di vista fisico, attraverso gli attrattori e l’entropia, che da un punto di vista filosofico<br />
esplorando le possibili conseguenze nel pensiero umano. Dopo una breve ma<br />
significativa galleria sulla nuova arte frattale, la <strong>tesina</strong> si conclude con la motivazione del<br />
suo t<strong>it</strong>olo. Per quanto concerne la bibliografia e la s<strong>it</strong>ografia sono stati segnalati tutti i<br />
testi e i s<strong>it</strong>i consultati, anche se utilizzati solo per semplici spunti nello sviluppo dei molti<br />
argomenti trattati.<br />
Premessa<br />
Prima di addentrarci nel mondo dei <strong>frattali</strong> è necessario precisare che in questa<br />
fantastica realtà vige la geometria non euclidea. I greci per primi spiegarono con<br />
ragionamenti le proprietà delle figure geometriche, andando oltre l'intuizione, a differenza<br />
degli egizi. Euclide per primo cercò di mettere ordine alle conoscenze fino ad allora<br />
acquis<strong>it</strong>e con gli "Elementi", che cost<strong>it</strong>uiscono il punto di partenza per<br />
l'insegnamento elementare della geometria. La geometria razionale<br />
si basa sugli enti prim<strong>it</strong>ivi, cioè enti che non vengono defin<strong>it</strong>i<br />
esplic<strong>it</strong>amente.<br />
Euclide distingueva tra assiomi e postulati: gli assiomi esprimono<br />
principi generali della logica e i postulati contengono affermazioni di<br />
carattere geometrico; si usa usarli come sinonimi e attribuiscono<br />
proprietà, che per la loro evidenza supponiamo essere vere e che<br />
caratterizzano gli enti prim<strong>it</strong>ivi dandone una definizione implic<strong>it</strong>a.<br />
Stabil<strong>it</strong>o un certo numero di assiomi, si deducono mediante<br />
ragionamenti altre proprietà. La scelta degli assiomi è fatta con una<br />
certa libertà, fermo restando che devono essere soddisfatti alcuni<br />
requis<strong>it</strong>i. Si ottengono diversi tipi di geometria come conseguenza<br />
delle scelte fatte sugli assiomi.<br />
All'interno di uno stesso tipo di geometria alcune proprietà degli enti prim<strong>it</strong>ivi sono tali che<br />
assumendo una di esse come assioma le altre risultano come conseguenza e viceversa,<br />
si dice in questo caso che gli assiomi sono equivalenti. Gli assiomi scelti non devono<br />
contraddirsi tra loro e non devono essere uno conseguenza logica dell'altro. La<br />
geometria euclidea si basa sugli assiomi scelti da Euclide negli Elementi.<br />
La filosofia è scr<strong>it</strong>ta in questo grandissimo libro che continuamente sta aperto innanzi a<br />
gli occhi (io dico l'universo) ma non si può in fendere se prima non s'impara ad intender<br />
la lingua e conoscere i caratteri nei quali è scr<strong>it</strong>to. Egli è scr<strong>it</strong>to in lingua matematica e i<br />
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche.<br />
Galileo Galilei<br />
Si possono costruire geometrie che non accettano alcuni assiomi<br />
della geometria euclidea e per questo sono dette geometrie non<br />
euclidee.Il punto di partenza che ha determinato la nasc<strong>it</strong>a delle<br />
2
geometrie non euclidee è stato il postulato delle parallele. Esso afferma che per un punto<br />
A non appartenente ad un retta r passa una ed una sola retta r' parallela alla retta r.<br />
Occorre sottolineare che questo postulato, noto anche come quinto postulato, è negli<br />
elementi di Euclide espresso in una forma equivalente. Questo postulato non era<br />
evidente come gli altri, pertanto molti matematici pensarono di poterlo ricavare dagli altri,<br />
ma tutti i tentativi si rivelarono infruttuosi. Finché verso il 1730 i matematici Saccheri e<br />
Lambert affrontarono il problema in maniera differente, cioè negarono per assurdo la<br />
valid<strong>it</strong>à del postulato delle parallele ottenendo tutta una serie di conseguenze molto<br />
diverse dai teoremi classici. Per esempio la somma degli angoli interni di un triangolo<br />
non risulterebbe mai uguale ad un angolo piatto. In ogni caso nessuna di queste<br />
proposizioni contraddice uno dei teoremi della geometria euclidea che non dipendono<br />
da questo postulato. Si è costru<strong>it</strong>o pertanto un sistema logico-formale perfettamente<br />
coerente. La negazione del quinto postulato può essere fatta ammettendo uno dei<br />
seguenti postulati: non esiste nessuna parallela per il punto esterno alla retta; esistono<br />
più di una retta per il punto esterno.<br />
La geometria di Riemann<br />
Verso la prima metà del 1800 il matematico B. Riemann costruì un<br />
modello di geometria non euclidea sost<strong>it</strong>uendo il V postulato<br />
euclideo con il precedente postulato. Riemann assunse come enti<br />
prim<strong>it</strong>ivi:<br />
• il piano cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da una qualunque superficie sferica;<br />
• il punto cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da una qualunque coppia di punti<br />
diametralmente opposti sulla superficie sferica;<br />
• la retta cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>a da una qualunque circonferenza massima.<br />
E' facile verificare che per questo modello valgono i postulati della<br />
geometria euclidea ad eccezione del V postulato di Euclide perché<br />
sost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o dal postulato A.<br />
Infatti:<br />
Per due punti passa una ed una retta :<br />
Per un punto passano infin<strong>it</strong>e rette , nella geometria di Riemann<br />
significa che per due punti (C,D) diametralmente opposti passano<br />
infin<strong>it</strong>e circonferenze massime;<br />
Nella geometria di Riemann il V postulato diventa: non esiste alcuna retta r'<br />
(circonferenza massima) passante per un punto (coppia di punti (A,B) diametralmente<br />
opposti) parallela ad una retta r (circonferenza massima). Infatti due rette (circonferenze<br />
massime) si incontrano in un punto ( coppia di punti C e D diametralmente opposti)<br />
3
Cos'è un frattale?<br />
".....Perchè la geometria viene spesso defin<strong>it</strong>a fredda e arida? Uno dei motivi è la sua<br />
incapac<strong>it</strong>à di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di<br />
un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole<br />
non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente<br />
molto complessi...."<br />
Beno<strong>it</strong> Mandelbrot<br />
La definizione più semplice e intu<strong>it</strong>iva lo descrive come una figura geometrica in cui un<br />
motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che<br />
ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà<br />
nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di<br />
perdere dettaglio quando è ingrand<strong>it</strong>o, si arricchisce di nuovi particolari.<br />
Le "strutture patologiche" ideate dai matematici dell'Ottocento hanno assunto negli ultimi<br />
anni la forma di <strong>frattali</strong>, figure matematiche dotate di dimensioni frazionarie e non intere,<br />
come invece accade per le figure della geometria Euclide (le rette, che hanno<br />
dimensione uno, i piani, che hanno dimensione due…). Il termine frattale, è stato coniato<br />
da Beno<strong>it</strong> Mandelbrot, del quale più tardi parleremo, nel 1975, cercando per l'appunto un<br />
nome che potesse descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, è<br />
stato tratto dal latino fractus, da frangere, cioè "rompere", poichè la dimensione di un<br />
frattale non è intera.<br />
Fu nel 1983 che il concetto di frattale acquisì vastissima notorietà presso i matematici, gli<br />
scienziati e il pubblico non specializzato, con la pubblicazione dell’opera pionieristica<br />
“The Fractal Geometry” of Nature dello stesso matematico Mandelbrot. Per essere<br />
riconosciuto come tale, un frattale deve però<br />
possedere alcune caratteristiche fondamentali,<br />
ovvero:<br />
• Autosimilar<strong>it</strong>à;<br />
• Perimetro nullo o illim<strong>it</strong>ato;<br />
• Area fin<strong>it</strong>a o nulla;<br />
• Dimensione non intera;<br />
• Struttura complessa a tutte le scale di<br />
riproduzione;<br />
• Dinamica caotica;<br />
Ma diamo attraverso questo spettacolare video una p<strong>it</strong>toresca anteprima:<br />
Il frattale di Mandelbrot<br />
La <strong>frattali</strong>tà è un modo d'immaginare la forma del cosmo e la forma del fiume,<br />
dell'infin<strong>it</strong>o e del fin<strong>it</strong>o...<br />
Susan Condé<br />
4
Autosimilar<strong>it</strong>à<br />
Due figure si dicono simili se hanno la stessa forma. Questo non vuol dire che basta una<br />
vaga somiglianza se siamo sotto il dominio della matematica, simile è un termine univoco.<br />
Ad esempio, due poligoni sono simili se e solo se hanno gli angoli uguali e i lati in<br />
proporzione.<br />
I mattoni, infatti, pur se di forma rettangolare non hanno i lati in proporzione; se<br />
osserviamo, invece, la figura di destra notiamo che il rettangolo più grande contiene<br />
esattamente quattro rettangoli uguali al più piccolo: avendo, quindi, gli angoli uguali ed i<br />
lati in proporzione, i due rettangoli sono simili. Dunque il rettangolo piccolo si potrebbe<br />
ottenere riducendo i lati del maggiore della metà.<br />
Un esempio comune di simil<strong>it</strong>udine si ha nel caso delle fotocopie, che<br />
possono essere riprodotte anche in scala. Nel caso di una linea costiera<br />
rimane invariata, in scala, l'irregolar<strong>it</strong>à, ed è per questo che anche un<br />
particolare somiglia tanto a tutta la costa. Nel caso di molti oggetti<br />
naturali, come ad esempio le felci, una parte non è esattamente in scala<br />
con il tutto, ma è molto somigliante e per questo parliamo di<br />
autosomiglianza statistica. Se invece aumentassimo il raggio un arco di circonferenza<br />
sempre di più questo tenderebbe a diventare un segmento.<br />
I <strong>frattali</strong>, rispetto alle figure della geometria<br />
classica, hanno la caratteristica peculiare che,<br />
se ne ingrandiamo anche una piccola parte,<br />
riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure r<strong>it</strong>roviamo, in scala,<br />
caratteristiche strutturali simili. La struttura che osserviamo in scala normale viene<br />
ripetuta infin<strong>it</strong>e volte all'interno della scala più piccola, e la possiamo r<strong>it</strong>rovare qualsiasi<br />
sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo. Questo fatto ci permette di<br />
riprodurre un frattale, anche di forma complessa, con poche e semplici istruzioni da<br />
ripetersi più volte; la riproduzione della stessa immagine punto per punto richiederebbe,<br />
con le metodologie tradizionali, centinaia di valori numerici.<br />
LE CLASSICHE MISURE EUCLIDEE SONO INADEGUATE A<br />
DESCRIVERE UN FRATTALE!<br />
.....il libro della natura e' scr<strong>it</strong>to in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli,<br />
cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne<br />
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto...<br />
5
Perimetro illim<strong>it</strong>ato<br />
“…e mi sovvien l’eterno…”<br />
6<br />
G. Leopardi<br />
Il perimetro di molti <strong>frattali</strong> può tendere a infin<strong>it</strong>o, mentre l'area resta fin<strong>it</strong>a.<br />
Considerazioni sul calcolo del perimetro:<br />
Il terzo assioma della distanza ci assicura che, dati nel piano tre punti, A, B e C, AB ≤<br />
AC + BC; il segno di uguaglianza vale se e soltanto se A, B e C sono allineati e C è<br />
compreso fra A e B.<br />
AB = AC + BC AB < AC + BC (disuguaglianza triangolare)<br />
Nel caso di un frattale, ad ogni passo, ogni singolo segmento che lo compone subisce<br />
una riduzione, d'altra parte il numero di segmenti aumenta: sost<strong>it</strong>uiamo come minimo<br />
due segmenti ad ognuno dei precedenti, e dunque la lunghezza complessiva, per<br />
l'assioma della distanza, aumenta.<br />
Il processo di costruzione di un frattale si ripete all'infin<strong>it</strong>o, dunque il perimetro di una<br />
frattale tende ad infin<strong>it</strong>o:<br />
Inizio: 1 segmento di 27<br />
quadretti<br />
Primo passo: 5 segmenti di 9<br />
quadretti<br />
Secondo passo:25 segmenti<br />
di 3 quadretti...<br />
Mediante la legge di formazione del frattale possiamo prevedere quanto sarà il perimetro<br />
al passo successivo, e comunque è facile intuire che, al tendere dei passi ad infin<strong>it</strong>o,<br />
anche il perimetro tende ad infin<strong>it</strong>o.<br />
Anche nella realtà il concetto di lunghezza presenta dei lim<strong>it</strong>i quando vogliamo misurare<br />
una linea estremamente irregolare. Mandelbrot si era posto il problema con la sua<br />
famosa domanda: "Quanto è lunga la costa della Bretagna?"<br />
Se si segue il contorno della costa si vede che esso è molto frastagliato. Se cerchiamo di<br />
essere sempre più precisi , visto che ad ogni passo troviamo sempre le stesse<br />
irregolar<strong>it</strong>à, vediamo che la misura non converge verso un ben defin<strong>it</strong>o valore ma anzi,<br />
aumenta (anche se, in questo caso, non possiamo prevedere di quanto!)
Se misuriamo la distanza<br />
fra due punti in linea d'aria,<br />
troveremo una certa<br />
lunghezza.<br />
Se misuriamo la distanza tra<br />
gli stesso due punti, ad<br />
esempio,a grandi passi, ecco<br />
che troviamo una lunghezza<br />
maggiore.<br />
7<br />
Più cerchiamo di aumentare<br />
la precisione e più la<br />
lunghezza aumenta.<br />
La lunghezza di un tratto di costa non potrà essere infin<strong>it</strong>a, perché non potremo dividere<br />
indefin<strong>it</strong>amente i tratti da misurare, ma l'andamento delle successive misurazioni ricorda<br />
quello del calcolo del perimetro di un frattale nei successivi passi. In effetti l'affermazione<br />
di Mandelbrot voleva mettere in evidenza la natura dei <strong>frattali</strong> riferendosi all'immagine<br />
familiare di una costa frastagliata. E' la matematica che garantisce l'esistenza effettiva<br />
dei <strong>frattali</strong> e delle loro proprietà caratteristiche.<br />
Perimetro nullo<br />
Alcuni <strong>frattali</strong>, come ad esempio la polvere di Cantor, possono avere perimetro nullo in<br />
quanto, all'infin<strong>it</strong>o, si riducono a punti isolati.<br />
L'insieme di Cantor<br />
Lo scopo di Cantor nel proporre questo strano insieme era di dimostrare che si può avere<br />
un insieme con un numero infin<strong>it</strong>o non numerabile di punti ma di lunghezza nulla.<br />
L'insieme è costru<strong>it</strong>o seguendo il seguente metodo <strong>it</strong>erativo in cui il passo zero<br />
corrisponde alla figura di partenza non ancora trasformata:<br />
1. Prendiamo come figura di partenza un segmento: poniamo per comod<strong>it</strong>à la<br />
lunghezza = 1;<br />
2. Eliminiamo dal segmento la terza parte centrale: otteniamo 2 segmenti di<br />
lunghezza = 1/3;<br />
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 2 segmenti che si sono così formati:<br />
otteniamo 4 segmenti di lunghezza = 1/9;<br />
4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 4 segmenti che si sono così formati:<br />
otteniamo 8 segmenti di lunghezza = 1/27;<br />
Osserviamo che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la lunghezza di<br />
ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente. E' quindi facile dedurre che al passo k:<br />
• la misura di un lato è 3 -k [ricordo che 3 -k = (1/3) k ];<br />
• il numero di segmenti è 2 k .<br />
Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento<br />
in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descr<strong>it</strong>to potrà essere<br />
ripetuto senza lim<strong>it</strong>e. Come figura lim<strong>it</strong>e si ottiene l'insieme di Cantor, un frattale. Le sue<br />
caratteristiche? Senza dubbio sorprendenti. Osserviamole.
Come varia la lunghezza?<br />
La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente, infatti ogni volta<br />
eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti. Al crescere del numero dei<br />
passi la lunghezza complessiva della curva diventa 0 in quanto la somma totale dei<br />
segmenti eliminati è pari a:<br />
Resta però un insieme di infin<strong>it</strong>i punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9,<br />
2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione dell'insieme: poiché<br />
ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo<br />
adiacente al precedente, ogni estremo di un<br />
intervallo rimosso non verrà più eliminato. L'insieme<br />
di Cantor , per la sua forma peculiare, prende anche<br />
il nome di polvere.<br />
Qual è la dimensione?<br />
Consideriamo il secondo passo della costruzione<br />
della figura: abbiamo 2 segmenti identici ciascuno<br />
dei quali è simile al precedente ed esattamente di<br />
lunghezza uguale ad 1/3 del precedente. Dunque la<br />
dimensione dell'insieme di Cantor è log 2 / log 3,<br />
approssimabile a 0.630929... Esso è più di un punto,<br />
ma meno di una linea!<br />
E’ autosimile?<br />
La risposta è affermativa, infatti la struttura che<br />
osserviamo in scala normale viene ripetuta infin<strong>it</strong>e volte all'interno della scala più piccola,<br />
e la possiamo r<strong>it</strong>rovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che usiamo.<br />
L'insieme di Cantor presenta quindi pienamente le caratteristiche di un frattale.<br />
8
Area fin<strong>it</strong>a<br />
Il contorno dei <strong>frattali</strong>, pur avendo lunghezza infin<strong>it</strong>a, è racchiuso in un'area lim<strong>it</strong>ata.<br />
Dimostrazione con il fiocco di neve di Von Koch<br />
L'area del fiocco di neve è lim<strong>it</strong>ata<br />
perché è contenuta nel cerchio<br />
circoscr<strong>it</strong>to al triangolo equilatero di<br />
partenza.<br />
Il triangolo è inscrivibile in un cerchio.<br />
Il centro del cerchio circoscr<strong>it</strong>to ad un triangolo è detto<br />
circocentro: esso è il punto di incontro degli assi dei lati.<br />
Nel caso del triangolo equilatero il circocentro coincide<br />
con il baricentro, il punto di incontro delle mediane. Il<br />
baricentro ha la proprietà di dividere ogni mediana in due<br />
parti, delle quali quella verso il vertice è doppia dell'altra.<br />
Il raggio del cerchio circoscr<strong>it</strong>to al triangolo equilatero è<br />
quindi i 2/3 dell'altezza. Indichiamo con S0 l'area del<br />
triangolo.<br />
Dopo il primo passo<br />
La figura è cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>a dall'unione di due triangoli equilateri<br />
uguali che sono simmetrici rispetto al diametro parallelo a<br />
ad un lato: ad esempio, nel disegno a fianco, i triangoli<br />
sono simmetrici rispetto al diametro EF, parallelo al lato<br />
AB. (Notare come si formino <strong>sui</strong> segmenti AB, CH e CB<br />
tre classi di grandezze direttamente proporzionali e come<br />
quindi, per il teorema di Talete, le rette che uniscono i<br />
punti corrispondenti siano parallele).<br />
Possiamo concludere che la figura risulta inscr<strong>it</strong>ta nel<br />
cerchio circoscr<strong>it</strong>to al triangolo equilatero di partenza.<br />
Indichiamo con S1 l'area della figura al primo passo.<br />
Dopo il secondo passo<br />
Dal triangolo equilatero HCI, come dagli altri, spuntano<br />
due triangoli equilateri.<br />
Per semplic<strong>it</strong>à riferiamoci al solo triangolo HCI<br />
relativamente al quale possiamo ripetere la stessa<br />
dimostrazione fatta al passo precedente. La figura che si<br />
9
forma è inscrivibile in un cerchio che, inoltre, risulta tangente internamente al cerchio<br />
circoscr<strong>it</strong>to al triangolo ABC. Continuando nel procedimento otterremo sempre cerchi<br />
tangenti internamente ai cerchi già costru<strong>it</strong>i e quindi il fiocco di neve di von Koch avrà<br />
area minore dell'area del cerchio circoscr<strong>it</strong>to al triangolo ABC. Indichiamo con S2 l'area<br />
della figura completa al secondo passo.<br />
Troviamo una formula per l’area del fiocco di neve<br />
Ad ogni passo, si aggiungono al fiocco nuovi triangoli.<br />
Per valutare la loro area complessiva, dobbiamo<br />
determinare, di volta in volta:<br />
• quanti triangoli si formano;<br />
• quanto vale l'area di ciascuno di essi.<br />
E' facile vedere che ad ogni passo si forma un triangolo<br />
su ogni lato del fiocco. Ma quanti sono i lati?<br />
Al passo 0 sono 3. Successivamente, ogni lato si divide<br />
in 4 lati. Avremo quindi: 3×4 lati al passo 1; 3×4 2 al<br />
passo 2... 3×4 k lati al passo k. Di conseguenza si<br />
formeranno: 3 triangoli al passo 1; 3×4 triangoli al<br />
passo 2... 3×4 k-1 triangoli al passo k.<br />
Resta da valutare l'area di ciascun triangolo, ma anche<br />
questo non è difficile. Il lato di ogni nuovo triangolo vale 1/3 di quello dei triangoli formati<br />
al passo precedente (è così che si costruisce il fiocco di neve). Di conseguenza, l'area<br />
vale 1/9 di quella dei triangoli precedenti. Riassumendo:<br />
• Al passo 0 l'area vale S0<br />
• Al passo 1 si formano 3 triangoli di area 1/9 di S0 ciascuno.<br />
• Al passo 2 si formano 3×4 triangoli di area 1/9 di 1/9 di S0 =S0/9 2 . Quindi<br />
• Al passo 3 si formano 3×4 2 triangoli di area 1/9 di 1/9 2 di S0 = S0/9 3 . Quindi<br />
• Al passo k si formano 3×4 k-1 triangoli di area S0/9 k . Quindi<br />
• Il fiocco di neve è la figura lim<strong>it</strong>e che si ottiene re<strong>it</strong>erando il procedimento<br />
all'infin<strong>it</strong>o. Per questo, occorre trovare il lim<strong>it</strong>e di Sk per k che tende all'infin<strong>it</strong>o. Tale<br />
lim<strong>it</strong>e si calcola facilmente ove si noti la presenza, nelle somme parziali, di una<br />
serie geometrica di ragione 4/9 e di termine iniziale 3/9.<br />
10
• Ricordando la formula che esprime l'area di un triangolo equilatero di lato s si<br />
ottiene finalmente<br />
11<br />
Curva e fiocco di neve di Von Koch
Area nulla<br />
Altre volte l'area può essere addir<strong>it</strong>tura nulla, come nel caso del triangolo di Sierpinski.<br />
Il triangolo di Sierpinski<br />
Questo è costru<strong>it</strong>o seguendo il seguente metodo <strong>it</strong>erativo in cui il passo zero corrisponde<br />
alla figura di partenza non ancora trasformata:<br />
1. Prendiamo come figura di partenza un triangolo equilatero: poniamo per comod<strong>it</strong>à<br />
il lato = 1<br />
2. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che ha come lati i segmenti che<br />
uniscono i punti medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo 3 triangoli di lato<br />
= 1/2<br />
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3 triangoli che si sono così formati:<br />
otteniamo 9 triangoli di lato = 1/4<br />
4. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9 triangoli che si sono così formati:<br />
otteniamo 27 triangoli di lato = 1/8<br />
5. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 27 triangoli che si sono così formati:<br />
otteniamo 81 triangoli di lato = 1/16<br />
Osserviamo che ogni volta il numero di triangoli si triplica, mentre il lato di ciascuno di<br />
essi si dimezza. E' quindi facile dedurre che al passo k:<br />
• la misura di un lato è 2 -k [ricordo che 2 -k = (1/2) k ];<br />
• il numero di triangoli è 3 k .<br />
Un importante assioma della geometria ci assicura che è possibile dividere un segmento<br />
in un qualsiasi numero di parti uguali: il procedimento sopra descr<strong>it</strong>to potrà essere<br />
ripetuto senza lim<strong>it</strong>e. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.<br />
Caratteristiche:<br />
• Autosimil<strong>it</strong>udine: Come si osserva dalla figura a destra, il triangolo ha la<br />
caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte,<br />
riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.<br />
• Perimetro infin<strong>it</strong>o: Il perimetro del triangolo diventa ogni volta i 3/2 del precedente,<br />
infatti i triangoli si triplicano restando simili a se stessi mentre il loro lato si<br />
dimezza. Possiamo dunque affermare che, al crescere del numero dei passi,<br />
anche il perimetro crescerà indefin<strong>it</strong>amente: esso tende ad infin<strong>it</strong>o quando anche il<br />
numero di passi tende ad infin<strong>it</strong>o.<br />
12
• Area nulla:<br />
L'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni<br />
passo viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai<br />
tre lati che uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare<br />
che, al crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefin<strong>it</strong>amente:<br />
essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infin<strong>it</strong>o.<br />
Dimensione frazionaria: il base al nostro metodo possiamo dedurre che la<br />
dimensione del triangolo di Sierpinski è log3/log2 = 1,5849625.... essa è più<br />
di una linea e meno di una superficie!<br />
Si tratta inoltre di una curva continua che non ammette tangente in nessun<br />
punto.<br />
Dimensione del triangolo di Sierpinski<br />
Applichiamo il concetto di dimensione appena al triangolo di<br />
Sierpinski, ricordando che, in generale,se n è il numero di<br />
ingrandimenti lineari, il numero di copie è rappresentato da una<br />
potenza di base n e di esponente la dimensione.<br />
Come si vede dall'immagine a fianco, sono quattro i triangoli<br />
che possono comporre un triangolo con i lati ordinatamente<br />
doppi. Il triangolo ha infatti la dimensione di una superficie, e<br />
cioè due.<br />
Raddoppiamo ora il lato di un triangolo di Sierpinski: ci si aspetterebbe di ottenere<br />
quattro copie dell'originale, invece esse sono soltanto tre. (Ricordiamoci di non contare i<br />
buchi!).<br />
Impostiamo dunque l'equazione 3 = 2 d dove d è la dimensione.<br />
Ora, poiché 2 1 = 2, e 2 2 = 4, il nostro numero deve essere compreso fra 1 e 2.<br />
Ecco in evidenza il paradosso apparente dei <strong>frattali</strong>: sono più di una linea ma meno di<br />
una superficie, otterremo che:<br />
d =log2 3 = log3/log2 = 1,5849625....<br />
Altrimenti, si potrà arrivare a questo valore per successive approssimazioni secondo il<br />
procedimento che segue.<br />
2 1.4 = 2.639015...<br />
2 1.5 = 2.828427...<br />
2 1.7 = 3.249009...<br />
2 1.58 = 2.989698...<br />
2 1.585 = 3.000077...<br />
2 1.5849625 = 2.9999999...<br />
2 1.5849626 = 3.0000002...<br />
13
Dimensione non intera<br />
Per spiegare che cosa si intenda per dimensione non intera, innanz<strong>it</strong>utto occorre capire<br />
che cosa si intenda per dimensione.<br />
.....delle grandezze, quella che ha una dimensione è linea, quella che ne ha due è<br />
superficie, quella che ne ha tre è corpo, e al di fuori di queste non si hanno altre<br />
grandezze.....<br />
Aristotele<br />
• Un punto non ha dimensione: né lunghezza, né larghezza, né altezza.<br />
• Una retta ha una dimensione: la lunghezza, e si estende all'infin<strong>it</strong>o nei due versi.<br />
Un punto può essere individuato, su una retta orientata<br />
sulla quale sia fissata un'origine ed una un<strong>it</strong>à di misura,<br />
mediante una sola coordinata.<br />
• Il piano ha due dimensioni, lunghezza e larghezza, e si<br />
estende all'infin<strong>it</strong>o in entrambe le direzioni. Un punto può<br />
essere individuato, su un piano sul quale sia fissato un<br />
sistema di riferimento ed una un<strong>it</strong>à di misura, mediante due coordinate.<br />
• Lo spazio ha tre dimensioni,lunghezza, larghezza e profond<strong>it</strong>à, e si<br />
estende all'infin<strong>it</strong>o in tutte e tre le direzioni. Un punto può essere<br />
individuato, nello spazio sul quale sia fissato un sistema di<br />
riferimento ed una un<strong>it</strong>à di misura, mediante tre coordinate.<br />
I <strong>frattali</strong> possono avere dimensione non intera, anche con infin<strong>it</strong>e cifre dopo la virgola.<br />
Come può accadere? Dobbiamo guardare al concetto di dimensione sotto un altro<br />
aspetto, partendo dal fatto che:<br />
• Tutte le rette sono simili;<br />
• Tutti i quadrati sono simili;<br />
• Tutti i cubi sono simili.<br />
La dimensione può essere defin<strong>it</strong>a, in modo più consono ai nostri scopi, nel seguente<br />
modo:<br />
1. Se n è il numero di ingrandimenti lineari, indichiamo con f(n) il numero di copie<br />
dell'oggetto.<br />
2. Si ha che f(n) è rappresentato dalla potenza di base n e di esponente la<br />
dimensione.<br />
3. Dunque possiamo scrivere f(n) = n d<br />
4. Si ha quindi d =logn[f(n)] = log[f(n)]/logn<br />
Esempio<br />
Prendiamo un segmento e raddoppiamo la sua lunghezza.<br />
Otteniamo due copie del segmento originale. 2=2 1<br />
In generale otteniamo tante copie quanto è il numero di<br />
ingrandimenti.<br />
Si ha che f(n) = n.<br />
Dunque d=1<br />
Prendiamo ora un rettangolo e raddoppiamo la<br />
lunghezza di entrambe le sue dimensioni.<br />
Otteniamo quattro copie dell'originale. 4=2 2<br />
14
Se triplichiamo la lunghezza di<br />
entrambe le sue dimensioni otteniamo<br />
invece nove copie dell'originale. 9=3 2<br />
In generale otteniamo che le copie sono<br />
uguali al quadrato del numero di<br />
ingrandimenti.<br />
Si ha che f(n) = n 2<br />
Dunque d=2<br />
Prendiamo un cubo e raddoppiamo la lunghezza del suo<br />
lato.<br />
Otteniamo così otto copie dell'originale. 8=23<br />
Se quadruplicassimo la lunghezza del lato, otterremmo<br />
ben sessantaquattro copie dell'originale! 64=43<br />
In generale otteniamo che le copie sono uguali al cubo<br />
del numero di ingrandimenti.<br />
Si ha che f(n) = n 3<br />
Dunque d=3<br />
Nel caso dei <strong>frattali</strong> possiamo calcolare la dimensione, tenuto conto della loro<br />
autosimilar<strong>it</strong>à, applicando la definizione nel<br />
passaggio fra il passo iniziale ed il primo passo: ad<br />
esempio, nel caso della curva di Koch, vediamo che<br />
abbiamo 4 segmenti ognuno di lunghezza=1/3 della<br />
precedente.<br />
Dunque la dimensione è log(4)/ log(3) ≈ 1.26<br />
La curva di Koch è più di una linea e meno di una superficie!<br />
Nel caso del frattale di Cantor abbiamo invece 2<br />
segmenti ognuno di lunghezza = 1/3 della<br />
precedente.<br />
Dunque la dimensione è log(2)/log(3) ≈ 0.63<br />
Il frattale di Cantor è meno di una linea!<br />
Nel caso del frattale di Peano abbiamo 9<br />
segmenti ciascuno di lunghezza uguale ad 1/3<br />
del segmento di partenza. La dimensione<br />
frattale è quindi (log9/log3) = 2.<br />
Dunque il frattale di Peano ha la dimensione di<br />
una superficie.<br />
La dimensione ci dà un'indicazione di quanto sia complicata una figura autosimile e ci fa<br />
capire come i <strong>frattali</strong> occupino spesso un posto "a metà" fra oggetti ad una o a due<br />
dimensioni, oppure fra zero ed una dimensione!<br />
15
Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione<br />
I sistemi più semplici creano problemi di prevedibil<strong>it</strong>à estremamente difficili... in quei<br />
sistemi si produce spontaneo l'ordine: disordine e ordine assieme.<br />
James Gleick<br />
Molti oggetti <strong>frattali</strong> hanno infin<strong>it</strong>i dettagli. Dall'animazione si può vedere che la<br />
compless<strong>it</strong>à dell'insieme di Mandelbrot non accenna a diminuire, anche se lo<br />
ingrandiamo quanto vogliamo. Visto che presenta questa caratteristica, si dice che un<br />
frattale è dotato di struttura complessa a tutte le scale di riproduzione.<br />
I <strong>frattali</strong> autosimili godono sicuramente di questa proprietà, mentre non è vero il contrario.<br />
E' infatti evidente, ad esempio, che il frattale di Mandelbrot non è autosimile. In ogni caso<br />
ogni parte dell'insieme di Mandelbrot presenta caratteristiche strutturali simili a quelle<br />
dell'oggetto di partenza, e ciò è vero per tutti i <strong>frattali</strong> di questo tipo. E' anche evidente<br />
che questa caratteristica è strettamente collegata alle altre proprietà distintive dei <strong>frattali</strong>,<br />
quali ad esempio la dimensione frazionaria o il perimetro infin<strong>it</strong>o e l'area fin<strong>it</strong>a.<br />
Se vediamo la terra dallo spazio, possiamo osservare i continenti con le loro coste, gli<br />
oceani e i mari, i fiumi maggiori.<br />
Se ci avviciniamo, possiamo vedere solo una parte, ingrand<strong>it</strong>a, dell'immagine precedente,<br />
ma la struttura del paesaggio non cambia: ancora coste, e "piccoli mari" e corsi d'acqua.<br />
Le coste, in particolare, hanno infin<strong>it</strong>a lunghezza anche se sono chiuse in una superficie<br />
fin<strong>it</strong>a, e i dettagli, per quanto ingrand<strong>it</strong>i, non cambiano. Ecco, di nuovo, i <strong>frattali</strong>!<br />
Nel regno vegetale si trovano esempi comuni di ramificazioni <strong>frattali</strong>: dalle felci, agli alberi,<br />
ai fiori.<br />
Le loro forme, così diverse, così complesse, nascono allora da semplici codici genetici,<br />
come quelli che possono essere scr<strong>it</strong>ti al computer con poche righe di programma?<br />
16
Dinamica caotica<br />
... caos non può significare il selvaggio disordine, bensì l'insoggiogabile ricchezza del<br />
divenire e dello scorrere del mondo nella sua total<strong>it</strong>à.<br />
M. Heidegger<br />
Le leggi matematiche che generano i <strong>frattali</strong> sono molto semplici, pur tuttavia basta una<br />
minima variazione in un parametro per determinare una trasformazione significativa delle<br />
figure finali.<br />
Variazioni nel triangolo di Sierpinski (al centro) al minimo variare di un solo parametro ma,<br />
attenzione, questo non è il caos!<br />
Si usa dire che l'aspetto di un oggetto frattale dimostra un'estrema sensibil<strong>it</strong>à alle<br />
condizioni di partenza che usiamo per costruirlo: nel caso del triangolo di Sierpinski, che<br />
è generato da un'equazione di primo grado, tuttavia, si riconosce sempre la forma iniziale.<br />
Invece i <strong>frattali</strong> generati da equazioni almeno di secondo grado sono esempi tipici di<br />
sistemi caotici.<br />
La parola caos richiama alla mente uno stato di totale disordine e si usa per indicare<br />
appunto tutte quelle s<strong>it</strong>uazioni nelle quali non si riesce ad individuare una regola.<br />
"...a quegli spari successe il caos, e nessuno capì più nulla..." rec<strong>it</strong>a il Manzoni.<br />
Del resto già gli antichi greci chiamavano caos la materia primordiale senza ordine che<br />
preesisteva al cosmos, cioè all'universo ordinato.<br />
Precip<strong>it</strong>are nel caos sembra quindi finire in un mondo senza leggi, senza sicuri sviluppi,<br />
nel mondo della casual<strong>it</strong>à: tutto l'opposto, quindi, di ciò che siamo ab<strong>it</strong>uati a<br />
ricomprendere nell'amb<strong>it</strong>o della scienza.<br />
Così riconosciamo ordinato il mondo della natura quando possiamo predire con<br />
millimetrica precisione non solo la data della prossima eclisse ma anche la zona dove si<br />
potrà ammirare meglio lo spettacolo; se la scienza non sa darci risposte esatte in alcuni<br />
casi, immaginiamo che questo accada perché le leggi che governano certi fenomeni<br />
sono troppo difficili per essere comprese dall'uomo almeno fino a questo momento.<br />
(Come diceva Bertrand Russel, filosofo del nostro secolo, le leggi della Natura sono<br />
semplici perché non siamo capaci di scoprire quelle difficili...).<br />
In effetti, il metodo adottato dalla scienza<br />
classica tende a trascurare tutti quei fenomeni<br />
che non possono essere previsti esattamente,<br />
relegando nella sfera del disordine certe<br />
turbolenze o irregolar<strong>it</strong>à che pure spesso<br />
convivono nella realtà di tutti i giorni.<br />
Facciamo un esempio: se gettiamo due<br />
barchette una accanto all'altra in un fiume che<br />
scorre lento e placido, esse rimarranno a lungo<br />
vicine, e subiranno la stessa sorte; se però il<br />
corso d'acqua si trasforma in una rapida, la loro<br />
rotta non sarà prevedibile e molto probabilmente le barchette potranno trovarsi lontane.<br />
Nell'immagine a lato, è rappresentato il moto di due barche (uno in rosso e l'altro in blu).<br />
17
All'inizio i moti si sovrappongono, e infatti si vede soltanto la linea rossa, poi invece<br />
spesso prendono direzioni del tutto diverse. Questo significa che, a partire dalla stessa<br />
posizione iniziale, la posizione successiva non è predicibile. Perché? Forse che la<br />
turbolenza porta con sé il caso? E' qui che entra in gioco la teoria del caos, intesa in<br />
senso moderno, matematico.<br />
L'attuale definizione di caos è tutta qui: "la sensibil<strong>it</strong>à alle condizioni di partenza". Ma<br />
cerchiamo di spiegarci meglio.<br />
Le leggi della natura permettono di predire con sicurezza molti fenomeni naturali: dal<br />
r<strong>it</strong>orno delle comete alle eclissi, alle maree.<br />
Alcuni aspetti della realtà sono però molto difficili da descrivere e da interpretare. Le<br />
condizioni atmosferiche, ad esempio, diventano imprevedibili a lungo termine, perché<br />
ogni piccola variazione nelle condizioni attuali si amplifica e si ingigantisce in breve<br />
tempo: tutto questo anche se l'atmosfera ubbidisce a leggi fisiche ben precise che<br />
esprimono, ad esempio, il legame fra pressione e temperatura, fra pressione e veloc<strong>it</strong>à<br />
del vento e così via.<br />
Questa sensibil<strong>it</strong>à alle condizioni iniziali è detta effetto farfalla, da quando,<br />
nel 1972, il meteorologo Edward Lorenz raccontò, per illustrare la<br />
difficoltà di predire a lungo termine certe turbolenze climatiche, di come<br />
sia possibile, teoricamente, che un batt<strong>it</strong>o d'ali di una farfalla in Brasile<br />
provochi un tornado in Texas.<br />
Che cosa intendeva dire in realtà? Edward Lorenz, meteorologo presso il MIT<br />
(Massachusetts Inst<strong>it</strong>ute of Technology), aveva sviluppato al<br />
computer un modello delle condizioni atmosferiche. Anche se i<br />
suoi risultati non erano utili per le previsioni del tempo reale,<br />
tuttavia erano realistiche nel riprodurre la sua variabil<strong>it</strong>à , e in<br />
particolare nel non presentarsi mai in aspetto identico a se stesso.<br />
Nel 1961, avendo fretta, inserì nel suo computer dei numeri<br />
approssimati a tre cifre decimali invece che a sei come faceva di<br />
sol<strong>it</strong>o. Ora, ci si aspetta che se le condizioni iniziali sono<br />
approssimativamente simili , e si seguono le leggi naturali, anche<br />
il comportamento finale non varia di molto. Senza questa regola,<br />
la fisica non avrebbe fatto grandi passi avanti, perché spesso la<br />
realtà è talmente complicata che occorre trascurarne vari aspetti.<br />
Quello che apparve agli occhi di Lorenz fu invece una parte simile, ma una parte<br />
totalmente diversa. Dopo un iniziale smarrimento, egli si era reso conto che sebbene i<br />
<strong>frattali</strong> non presentino la stessa turbolenza di un uragano, essi tuttavia cost<strong>it</strong>uiscono un<br />
buon modello per lo studio di molte perturbazioni, proprio per la loro dinamica caotica.<br />
Prima di Lorenz, ai primi del 1900, era stato Poincaré a parlare dell'estrema sensibil<strong>it</strong>à di<br />
un sistema alle condizioni di partenza quando aveva affrontato il problema dei tre corpi.<br />
Le sue valutazioni sono all'origine della teoria del caos, ma prima di parlarne<br />
bidognerebbe analizzare i due <strong>frattali</strong> più famosi, importanti e complessi.<br />
18
Il problema delle tangenti alle curve <strong>frattali</strong><br />
Nel XVII secolo Newton e Leibniz crearono il calcolo differenziale<br />
che, dal punto di vista geometrico, permette, fra l'altro, di trovare<br />
la tangente ad una curva in un dato punto. Fissiamo ad esempio<br />
un punto P su una circonferenza. Le infin<strong>it</strong>e rette passanti per P<br />
intersecano di norma la circonferenza anche in un punto distinto<br />
da P, e sono dette secanti. Scegliamo ora due secanti che<br />
intersechino la circonferenza in due punti distinti: se questi due<br />
punti si avvicinano a P da due parti opposte, avremo che le due<br />
secanti si fondono in un'unica retta, detta tangente. La tangente in<br />
un punto è quindi immaginata come la posizione lim<strong>it</strong>e cui tende<br />
una qualunque secante alla curva quando tende a zero la distanza<br />
di due suoi punti di intersezione dal punto stesso. In altri termini la pendenza di una<br />
qualunque secante si stabilizza quando due punti si avvicinano fin quasi a toccarsi. Se<br />
quindi immaginiamo di ingrandire la curva in un intorno del punto di tangenza, essa è<br />
simile ad una retta.<br />
Se una curva non è continua in un punto, ad esempio se presenta un<br />
salto, l'idea di tangente in quel punto perde di significato. Esistono<br />
tuttavia punti, detti angolosi, in cui una curva è continua ma, poiché<br />
cambia bruscamente direzione, non ammette tangente. Ad esempio<br />
nella figura a sinistra il punto evidenziato è un punto angoloso. In<br />
questo caso, avvicinando i due punti al punto, le secanti non tendono a<br />
coincidere, ma restano distinte; pertanto concludiamo che in quel punto<br />
la curva non ammette tangente. Tali punti sono di norma eccezionali,<br />
ed il calcolo differenziale si è sviluppato prescindendo da questi casi cosiddetti patologici.<br />
Ora, se ingrandiamo una qualunque porzione di un frattale<br />
(immaginiamo addir<strong>it</strong>tura di osservarli al microscopio) essa è<br />
simile all'intero frattale. Ecco che ogni irregolar<strong>it</strong>à permane sotto<br />
qualunque scala di riproduzione. Ad esempio gli infin<strong>it</strong>i vertici del<br />
fiocco di neve di Koch sono tutti punti angolosi, così come quelli<br />
del triangolo di Sierpinski. La lunghezza dei lati tende invece a<br />
zero, per cui non si riesce a trovare alcuna zona "regolare" che<br />
ammetta tangente. In generale i <strong>frattali</strong> sono delim<strong>it</strong>ati da un<br />
contorno infin<strong>it</strong>amente irregolare cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o di soli punti angolosi. Il<br />
problema della tangente non va affatto sottovalutato: la scoperta<br />
di un metodo generale per la sua determinazione fu essenziale<br />
per la risoluzione di importantissime questioni che hanno dato v<strong>it</strong>a<br />
alla scienza moderna. Su di esso poggiano ad esempio tutte le leggi della fisica classica,<br />
della meccanica, dell'ingegneria. La peculiar<strong>it</strong>à dei <strong>frattali</strong> di non avere tangente rende<br />
però inefficace un approccio classico allo studio delle loro proprietà. D'altra parte la<br />
semplic<strong>it</strong>à del procedimento costruttivo di molti di essi permette di affrontarne lo studio in<br />
maniera efficace, soprattutto grazie alla possibil<strong>it</strong>à di visualizzazione grafica e alla<br />
potenza di calcolo offerte dal computer. Quello che poteva sembrare a prima vista un<br />
problema si rivela così un'utile risorsa per affrontare, come vedremo, numerosi aspetti<br />
della realtà che non si prestano ad un approccio classico.<br />
19
Il metodo IFS sviluppato da Michael E. Barnsley<br />
Consideriamo un insieme di N trasformazioni (non<br />
necessariamente affini) del piano cartesiano: { T 1 , T 2 , T 3 , ..., T N }<br />
ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A del piano. Come<br />
risultato otterremo una famiglia di N sottoinsiemi del piano<br />
cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A ), ..., T N ( A )}. Sia A 1<br />
l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Applichiamo<br />
di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 così ottenuto e<br />
consideriamo l'unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo<br />
insieme A 2 . Agiamo nello stesso modo su A 2 e otteniamo A 3 .<br />
Continuando allo stesso modo, otteniamo una successione di<br />
insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...}.<br />
Il problema che ci poniamo è il seguente: continuando in questo modo, la successione di<br />
insiemi convergerà ad un insieme A oppure no? Convergere in questo caso vuol dire che<br />
la successione si stabilizzerà, e da un certo punto in poi non noteremo più cambiamenti<br />
apprezzabili nell'immagine sullo schermo. (Si tratta di un'operazione di lim<strong>it</strong>e.)<br />
Sotto certe condizioni la successione di insiemi convergerà ad un insieme lim<strong>it</strong>e F .<br />
Questo insieme lim<strong>it</strong>e F si definisce frattale , anzi frattale IFS (Iterated Function System)<br />
ovvero "frattale ottenuto <strong>it</strong>erando un insieme di trasformazioni del piano".<br />
20
Un esempio: la costruzione della felce.<br />
La costruzione di un frattale come la felce è strettamente legata alle trasformazioni affini:<br />
Passo 0 - A Passo 1 - A 1 Cerchiamo di capire in termini elementari<br />
come si procede.<br />
Si parte da una forma iniziale qualsiasi, ad<br />
esempio il rettangolo di punti qui a lato.<br />
Questo e' l'insieme iniziale A .<br />
Questo insieme viene trasformato: si ruota e<br />
si rimpicciolisce tre volte applicando tre<br />
distinte trasformazioni geometriche.<br />
Notiamo che il quadrato iniziale viene<br />
cancellato e restano solo i tre quadrilateri<br />
ottenuti dalle tre affin<strong>it</strong>à. Questo è l'insieme<br />
A 1 .<br />
Passo 2 - A 2 Passo 3 - A 3<br />
Passo 4 - A 4<br />
Passo 5 - A 5<br />
All' insieme ottenuto, applichiamo di nuovo<br />
le tre trasformazioni ed ricaviamo la figura<br />
seguente. Questo è l'insieme A 2 . Notiamo<br />
che anche stavolta l'insieme precedente<br />
non viene più visualizzato.<br />
Si procede di nuovo in questo modo,<br />
cancellando il passo precedente e si ottiene<br />
l'insieme A 3 .<br />
Nota che la successione di insiemi { A 1 , A<br />
2 , A 3 , ...} converge ad un insieme A che è<br />
proprio la felce iniziale.<br />
Le tre affin<strong>it</strong>à usate per costruire la felce sono tre simil<strong>it</strong>udini ,<br />
ovvero tre trasformazioni ottenute ciascuna come composizione di<br />
una rotazione, di una omotetia e di una traslazione. Se volessimo<br />
inserire anche lo stelo della felce dovremmo aggiungere alle tre<br />
affin<strong>it</strong>à precedenti una quarta trasformazione che però non sarebbe<br />
un'affin<strong>it</strong>à.<br />
21
Frattali creati con la tecnica L-System<br />
L-System è l'acronimo di Lindenmayer-Systems, dal nome di<br />
Aristide Lindenmayer (1925-1989), un biologo olandese che<br />
per primo sviluppò la tecnica usata per generare questi <strong>frattali</strong>.<br />
Lo scopo di Lindenmayer era di riprodurre in modo virtuale la<br />
cresc<strong>it</strong>a di svariati tipi di organismi.<br />
L-System non è perciò un tipo di frattale, ma è un metodo che<br />
permette di r<strong>it</strong>rovare i <strong>frattali</strong>, anche i più noti, come Koch,<br />
Sierpinski, alberi etc., che si possono costruire per altra via,<br />
purché lineare.<br />
Il metodo adottato da Lindenmayer è molto suggestivo. Si parte<br />
da un disegno iniziale (che può essere, ad esempio, un segmento o anche una<br />
poligonale). Questo disegno viene riprodotto al computer usando delle regole ben<br />
precise:<br />
Regola F<br />
Avanzare di un segmento di lunghezza<br />
assegnata<br />
Regola f<br />
Avanzare di un segmento di lunghezza<br />
assegnata ma senza lasciare traccia<br />
Regola +<br />
Ruotare in senso antiorario di un angolo<br />
assegnato<br />
Regola -<br />
Ruotare in senso orario di un angolo<br />
assegnato<br />
Ad esempio, per costruire il triangolo<br />
equilatero in figura, partendo dal vertice A,<br />
potremo dare le seguenti istruzioni: si va<br />
avanti di un segmento di lunghezza data<br />
(arriviamo in B),si ruota in senso orario di 120°,si va avanti di un segmento di lunghezza<br />
data (arriviamo in C), ruotato ancora in senso orario di 120°, si va avanti di un segmento<br />
di lunghezza data (torniamo in A). Tradotte queste istruzioni nel nostro linguaggio,<br />
potremo scrivere: F-F-F<br />
Ovviamente, affinché la procedura sia effettivamente esegu<strong>it</strong>a da un computer, dovremo<br />
dare le istruzioni necessarie per eseguire una rotazione, e<br />
dovremo immettere come dati iniziali un valore per<br />
l'angolo (in questo caso 120°) e un valore per la lunghezza<br />
del segmento (in questo caso 90 pixel).<br />
Fatte queste premesse, vediamo come si possa costruire<br />
un frattale.<br />
La costruzione iniziale prende il nome di axiom (assioma).<br />
Sulla costruzione iniziale viene poi effettuata una<br />
sost<strong>it</strong>uzione secondo una regola assegnata, si ripete il<br />
procedimento più volte... ed ecco il frattale!<br />
22
Applichiamo il procedimento per costruire il frattale di Koch:<br />
Dati iniziali:<br />
angolo= 60°<br />
lato= numero pixel prescelto (esempio: 900 pixel)<br />
axiom: F Viene tracciata una linea di lunghezza assegnata<br />
Si ripete:<br />
lato
L’insieme di Beno<strong>it</strong> Mandelbrot<br />
L'insieme di Mandelbrot è uno dei <strong>frattali</strong> giustamente più famosi. Esso è stato riprodotto<br />
con una vasta gamma di colori, e ogni volta ci colpisce per il suo aspetto magico.<br />
Cos'è c?<br />
Si tratta di un parametro (complesso) che può essere scelto a piacere; a seconda di c,<br />
avremo risultati diversi. Come si usa questa formula?<br />
Con un computer, si prende in esame una parte del piano di Argand-Gauss (dove stanno<br />
i numeri complessi), per esempio, con la parte reale compresa fra -2,25 e 0,75 e parte<br />
immaginaria tra -1,5 e 1,5. Ad ogni punto del piano si può associare la successione<br />
defin<strong>it</strong>a con quella formula, ponendo x0 pari al valore del punto del piano. Tali<br />
successioni possono:<br />
• divergere: il modulo di xn cresce all'infin<strong>it</strong>o all'aumentare di n;<br />
• non divergere: il modulo di xn si mantiene "piccolo". (ricordo che il modulo è la<br />
"distanza" del punto dall'origine).<br />
Al computer diciamo di colorare di verde scuro i punti per cui la successione non diverge,<br />
e di un colore chiaro quelli per cui diverge. Come c scegliamo x0:<br />
Cosa potrà venire fuori?<br />
2<br />
xn = xn<br />
−1<br />
24<br />
+ x<br />
0
Incredibile, ma vero. Tutto viene da quella formula precedentemente indicata.<br />
Facciamone un (forte) ingrandimento in corrispondenza della "frontiera":<br />
ora si capisce cosa intendevo per "superficie fin<strong>it</strong>a con bordo infin<strong>it</strong>o": potreste continuare<br />
a zoomare, ma il bordo vi apparirà sempre frastagliato. Se poteste misurarlo, sarebbe<br />
infin<strong>it</strong>amente lungo. E si capisce anche il concetto di "autosomiglianza": ingrand<strong>it</strong>e<br />
quanto vi pare, ma le forme sono sempre quelle. Guardate ad esempio: ora zoomiamo<br />
su di una di quelle macchioline scure isolate che compaiono in quest'ultima immagine,<br />
nei pressi di quelle strutture a "ventaglio":<br />
25
Sembra proprio simile alla prima immagine! E si potrebbe ingrandire ancora... e il<br />
risultato sarebbe lo stesso. Indubbiamente queste immagini sono molto affascinanti già di<br />
per sé, ma per ottenere un buon effetto bisogna utilizzare i colori giusti. Come già detto,<br />
in queste immagini il verde scuro indica i punti in cui non si ha divergenza, mentre i colori<br />
chiari sono sinonimo di divergenza; le diverse sfumature di verde chiaro dipendono dalla<br />
veloc<strong>it</strong>à di divergenza.<br />
Allego un programma che permette di comprendere meglio questo frattale:<br />
Mandelbrot<br />
L'insieme di Mandelbrot è perciò il confine dell'insieme di punti che "scappano" verso<br />
l'infin<strong>it</strong>o. E noi, osservando i colori con questo semplice programma, possiamo stimare la<br />
loro veloc<strong>it</strong>à di fuga.<br />
26
Beno<strong>it</strong> Mandelbrot<br />
Benoît B. Mandelbrot was born in Warsaw, Poland, the 20th day of November of 1924. At<br />
the age of 11, his family emigrated to France (1936), where his uncle, Szolem<br />
Mandelbrot, who by then was Professor of Mathematics at the Collège de France, took<br />
responsibil<strong>it</strong>y for his education. It was him who in 1945 introduced Mandelbrot to Gaston<br />
Maurice Julia's "Mémoire sur l'<strong>it</strong>ération des fonctions rationnelles" (1918), a 199 page<br />
masterpiece in which the 25 year-old Julia described the set J(f) of those z in C for which<br />
the nth <strong>it</strong>erate f(z) stays bounded as n tends to infin<strong>it</strong>y. However, Mandelbrot did not like<br />
<strong>it</strong>, and <strong>it</strong> was not until some thirty years later (working w<strong>it</strong>h his own theories) that he<br />
turned his attention to Julia's paper again.<br />
Mandelbrot received his diploma from L'École<br />
Polytechnique, Paris, in 1947, his Master of Science in<br />
Aeronautics from the California Inst<strong>it</strong>ute of Technology in<br />
1948, and his Ph.D. in Mathematical Sciences from the<br />
Univers<strong>it</strong>y of Paris in 1952.<br />
From 1949 to 1957, he worked at the Centre National de la<br />
Recherché Scientific. He also worked as a professor of<br />
mathematics in Geneva between 1955-1957, and at<br />
L'École Pol<strong>it</strong>echnique in 1957-1958. Afterward, he moved<br />
to the Un<strong>it</strong>ed States and joined International Business<br />
Machines (IBM) in 1958. Working for IBM he became an<br />
expert in processes w<strong>it</strong>h unusual statistical properties and<br />
their geometric features, what later culminated in his wellknown<br />
and highly admired contributions in fractal geometry.<br />
Mandelbrot's article "How long is the coast of Br<strong>it</strong>ain?"<br />
published in Science magazine in 1967, can be described<br />
as a turning point in science and mathematics, w<strong>it</strong>h a high spreading rate to other fields<br />
of human experience. In that article, he used the long<strong>it</strong>ude of Br<strong>it</strong>ain's coast as an<br />
example to illustrate that a coastline does not have a determinable length. More likely, <strong>it</strong>s<br />
long<strong>it</strong>ude is relative to the resolution of measurement or scale. That demonstration later<br />
gave way to other analogous discussions and explanations regarding other mathematical<br />
figures, some of which, as the Koch snowflake, were known since the late nineteenth and<br />
early twentieth centuries. Back then, they were called "pathological shapes"; now they<br />
were helping to understand some natural phenomena as rivers, clouds, plants, mountain<br />
ranges, galaxies, population growth, hurricanes, electronic noise and chaotic attractors.<br />
All of them share an outstanding and unifying principle: their general patterns repeat in<br />
different scales w<strong>it</strong>hin the same object. In other words, they are said to be "self-similar".<br />
In the mid-1970s Mandelbrot coined the word "fractal" (from the Latin word "fractus",<br />
meaning fractured, broken) to label objects, shapes or behaviors that have similar<br />
properties (self-similar<strong>it</strong>y) at all levels of magnification or across all times, and which<br />
dimension, being greater than one but smaller than two, cannot be expressed as an<br />
integer. Today, <strong>it</strong> is common to find that concept in such diverse fields as economics,<br />
linguistics, meteorology and demography. Mandelbrot's own work is a case of<br />
multidisciplinar<strong>it</strong>y: his doctoral thesis (a mathematical analysis of the distribution of words<br />
in the English language, U. de Paris, 1952) combined linguistics w<strong>it</strong>h the tools of<br />
statistical thermodynamics.<br />
Fractals also moved into the arts, not only advancing some aesthetic principles in fine<br />
arts, but also contributing to the study of sound and music theory. Likewise, the rapid<br />
development of the computer made possible the fast diagraming of complex <strong>it</strong>erating<br />
processes associated w<strong>it</strong>h fractal geometry. The resulting graphs proved to be so eye-<br />
27
catching that quickly captured the imagination of new fractal explorers that promptly<br />
established an innovative algor<strong>it</strong>hmic art. Thence, fractals proved useful describing and<br />
modeling natural phenomena and became bearers of a fantastic kind of beauty. In the<br />
words of Mandelbrot, "Fractal geometry may, therefore, usher a new 'liberal art', one that<br />
transcends the boundaries that usually separate the arts and diverse narrow academic<br />
disciplines from one another".<br />
Mandelbrot became professor of mathematics at Yale Univers<strong>it</strong>y in 1987. He is Abraham<br />
Robinson Professor of Mathematical Sciences, IBM Fellow Emer<strong>it</strong>us, (Physical Sciences)<br />
at the IBM T. J. Watson Research Center, and Professor of the Practice of Mathematics<br />
at Harvard. He has also been Inst<strong>it</strong>ute lecturer at the Massachusetts Inst<strong>it</strong>ute of<br />
Technology (MIT), and Vis<strong>it</strong>ing Professor at various inst<strong>it</strong>utions, including Harvard (first of<br />
Economics, later of Applied Mathematics, Mathematics, and Practice of Mathematics),<br />
Yale Univers<strong>it</strong>y (Engineering), the Albert Einstein College of Medicine (Physiology), and<br />
the Univers<strong>it</strong>y of Paris-Sud (Mathematics). In 1995, he served as Professeur de<br />
l'Académie des Sciences de l'École Polytechnique.<br />
He has received numerous awards, prizes and medals for his contributions, including the<br />
"Barnard Medal for Mer<strong>it</strong>orious Service to Science" (1985),<br />
the Franklin Medal for Signal and Eminent Service in<br />
Science (1986), the Alexander von Humboldt Prize (1988),<br />
the Charles Proteus Steinmetz Medal (1988), the "Science<br />
for Art" Prize (1988), the Harvey Prize for Science and<br />
Technology (1989), the Nevada Prize (1991), the Wolf Prize<br />
for Physics (1993), the Honda Prize (1994), the Médaille de<br />
Vermeil (1996), the John Scott Award (1999), the Lewis Fry<br />
Richardson Medal (1999), the Medaglia della Prezidenza<br />
della Republica Italiana (1999), and the William Procter Prize<br />
for Scientific Achievement (2002), among other awards,<br />
diplomas, grants, decorations and honorary doctorates. He's<br />
also a member of the American Academy of Arts and<br />
Sciences; the USA National Academy of Sciences; the<br />
European Academy of Arts, Sciences and Human<strong>it</strong>ies; the<br />
IBM Academy of Technology, and the Norwegian Academy<br />
of Science and Letters.<br />
His work was first put forward in the book Les objets fractals, forn, hasard et<br />
dimension (1975), best known simply as Les objects fractals, and more fully in his<br />
best-selling book The Fractal Geometry of Nature (1982).<br />
28
Beno<strong>it</strong> Mandelbrot<br />
Nato a Varsavia da una famiglia di ebrei l<strong>it</strong>uani, nel 1936 si trasferì in Francia, ed un suo<br />
zio, insegnante di matematica, si occupò della sua educazione. Con l'avvento della<br />
seconda guerra mondiale si trovò in grandi difficoltà e spesso temette per la sua v<strong>it</strong>a.<br />
In quel periodo frequentò la scuola in modo saltuario e dovette arrangiarsi: ora, egli<br />
attribuisce molti dei suoi successi alla sua educazione non convenzionale. Di certo,<br />
Beno<strong>it</strong> Mandelbrot sviluppò la capac<strong>it</strong>à di visualizzare problemi di ogni genere soprattutto<br />
attraverso un approccio geometrico, che gli ha permesso di intuire in modo unico alcuni<br />
aspetti della realtà, magari già affrontati, ma lasciati cadere.<br />
Dopo la liberazione di Parigi, entrò all' Ecole Polytechnique,<br />
dove completò i suoi studi. Nel 1958 si trasferì<br />
defin<strong>it</strong>ivamente negli Stati Un<strong>it</strong>i, iniziando la sua lunga e<br />
fruttuosa collaborazione con l'IBM. Si trovò infatti in un<br />
ambiente che gli permise di affrontare problemi in diversi<br />
settori, con un'autonomia che nessuna Univers<strong>it</strong>à, forse, gli<br />
avrebbe consent<strong>it</strong>o.<br />
Avuto contatto con le idee di Gaston Julia le sviluppò e le<br />
rese celebri attraverso uno dei primi programmi di grafica al<br />
computer.<br />
Il suo lavoro fu pubblicato nel libro Les objets fractals, forn,<br />
hasard et dimension (1975) e più compiutamente nel libro<br />
The fractal geometry of nature in 1982.<br />
Fu lo stesso Mandelbrot a creare il nome frattale nel 1975,<br />
quando, cercando per l'appunto un nome che potesse<br />
descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, s'imbatté<br />
nell'aggettivo fractus, che, per la sua risonanza con parole come frattura e frazione,<br />
sembrò adattissimo allo scopo.<br />
Il successo fu travolgente. Oggi i <strong>frattali</strong> irrompono in ogni campo: susc<strong>it</strong>ano l'interesse<br />
degli scienziati e la curios<strong>it</strong>à del grande pubblico, al punto che oggetti <strong>frattali</strong> si trovano<br />
comunemente in vend<strong>it</strong>a.<br />
Mandelbrot sostiene che le proprietà <strong>frattali</strong> da lui scoperte sono presenti quasi<br />
universalmente in natura. Secondo il suo punto di vista, oggi condiviso da molti studiosi, i<br />
modelli storici della matematica e della fisica usati per descrivere la Natura sono<br />
incompleti: la Natura è frattale!<br />
Ha ricevuto numerosi riconoscimenti e premi per la sua opera.<br />
Scr<strong>it</strong>ti di Mandelbrot<br />
• (1967): How Long Is the Coast of Br<strong>it</strong>ain? Statistical Self-Similar<strong>it</strong>y and Fractional<br />
Dimension; Science (v. pag. inglese)<br />
• (1982): The Fractal Geometry of Nature; W. H. Freeman & Co;<br />
• (1987): Gli oggetti <strong>frattali</strong>: forma, caso e dimensione; Einaudi<br />
• (1990): La geometria della natura'; 2a ed.; Theoria<br />
• (2001, ediz. ampl. 2005): Nel mondo dei <strong>frattali</strong>; Di Renzo Ed<strong>it</strong>ore, Roma<br />
• (2004): The (Mis)Behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward;<br />
Basic Books; (trad. <strong>it</strong>. Il disordine dei mercati: Una visione frattale di rischio, rovina<br />
e redd<strong>it</strong>iv<strong>it</strong>à; Einaudi 2005;)<br />
Ognuno contiene in se galassie di sogni e di fantasmi,<br />
29
Gli insiemi di Gaston Julia<br />
2<br />
xn = xn−1<br />
+ c Con lo stesso sistema, proviamo ora a usare valori di<br />
c fissati. Otterremo i cosiddetti "insiemi di Julia" (nota: i numeri<br />
che darò io sono arb<strong>it</strong>rari). Per esempio, c = -1,25. Si tratta di un<br />
punto che sta sull'asse reale e che, rispetto all'insieme di<br />
Mandelbrot, sta su di una "gemma".<br />
insieme di Julia 1<br />
30<br />
Facciamone un ingrandimento in<br />
corrispondenza della "frontiera":<br />
Ora proviamo con c = 0,27334 + 0,00742i. Si tratta di un punto che, rispetto all'insieme di<br />
Mandelbrot, sta sull'attaccatura di una "gemma".<br />
insieme di Julia 2<br />
Questo è così<br />
bello che<br />
mer<strong>it</strong>a due<br />
ingrandimenti:
Adesso c = i. Si tratta di un punto del bordo dell'insieme di Mandelbrot.<br />
insieme di Julia 3<br />
Viene fuori una figurina sottile sottile, detta<br />
"dendr<strong>it</strong>e", il suo nome è dovuto alla<br />
somiglianza con le ramificazioni delle cellule<br />
nervose responsabili della trasmissione<br />
dell’impulso. Vediamone un dettaglio (potete<br />
ingrandire quanto vi pare, ma non ne vedrete<br />
mai lo spessore):<br />
Bene: sia c = 0,12 + 0,74i. Si tratta di un punto esterno all'insieme di Mandelbrot.<br />
insieme di Julia 4<br />
Infine: c = 0,54 + 0,59i. Si tratta di un<br />
punto dentro il corpo centrale<br />
dell'insieme di Mandelbrot.<br />
Insieme di Julia 5<br />
Non presenta particolari strutture per cui<br />
non è necessario proporre ulteriori<br />
ingrandimenti.<br />
Vengono fuori questi puntini isolati ("polvere<br />
di Fatou"), ingrandiamo un po':<br />
31
Dalla determinazione delle condizioni di partenza, dipendono le differenze tra<br />
gli insiemi di Julia e l'insieme di Mandelbrot.<br />
Allego un ulteriore programma per comprendere meglio il rapporto tra i due<br />
insiemi:<br />
Julia.exe<br />
"Sia le forme di turbolenza che<br />
le nuvole nel cielo<br />
e le nuvole nello spazio danno uno<br />
schema irregolare ma ripet<strong>it</strong>ivo che sarebbe impossibile<br />
descrivere senza<br />
l’aiuto della geometria dei <strong>frattali</strong>."<br />
32
Come costruire un frattale<br />
Per comprendere affondo come funzionano i <strong>frattali</strong> e le loro caratteristiche ho studiato i<br />
meccanismi che li generano. E in particolare ho studiato tre modi per generare il triangolo<br />
di Sierpinski. In generale per costruire un frattale basta prendere uno o più punti dello<br />
spazio ed applicarvi una regola <strong>it</strong>erativa che permette di assegnare a quel punto un<br />
numero e quindi un colore. Questa regola è chiamata codice genetico del frattale.<br />
Autosomiglianza e la famiglia dei IFS (Iterated Function System)<br />
Questo metodo si basa sull’autosomiglianza e permette di generare un'intera famiglia di<br />
<strong>frattali</strong> detti IFS. Si parte da una figura base, un triangolo per la gerla di Sierpinski, e si<br />
applica una semplice trasformazione <strong>it</strong>erandola più volte.<br />
Riassumiamo in due passi:<br />
Passo 1: si contrae la figura base e la si riproduce più volte<br />
traslandola.<br />
Passo 2:si assegna alla nuova figura il ruolo della figura base e il<br />
processo viene <strong>it</strong>erato più volte.<br />
La trasformazione generatrice è sintetizzabile in una matrice che possiamo chiamare<br />
codice genetico. Il fatto interessante è che a generare la figura finale (il frattale) non è la<br />
figura iniziale, che può essere variata, ma è il codice genetico. Come si nota, l’analogia<br />
con la genetica non è casuale: il codice genetico ha le istruzioni essenziali per<br />
trasformare una cellula in un organismo complesso ed organizzato.<br />
33
Gioco del caos<br />
Il secondo metodo evidenzia lo stretto rapporto del<br />
caos con i <strong>frattali</strong> e viene detto “gioco del caos”.<br />
Preso un qualsiasi punto si sceglie casualmente un<br />
vertice dei tre e viene acceso graficamente il punto<br />
medio; da questo punto viene estratto nuovamente<br />
un vertice e viene acceso il nuovo punto medio;<br />
così via in maniera <strong>it</strong>erativa.<br />
Molto importante é la casual<strong>it</strong>à; ogni volta<br />
l’estrazione del vertice deve essere equiprobabile<br />
(tutti e tre i vertici devono avere la stessa probabil<strong>it</strong>à<br />
di essere estratti).<br />
Se queste condizioni cadono la gerla non appare.<br />
Non funziona neanche se siamo noi a decidere i<br />
vertici perché verrebbe meno l'equiprobabil<strong>it</strong>à.<br />
34
Triangolo di tartaglia<br />
Questo metodo dimostra che costruire un frattale non richiede nessuna particolare abil<strong>it</strong>à<br />
matematica.<br />
Basta prendere il vecchio triangolo di Tartaglia.<br />
E sost<strong>it</strong>uiamo ogni uno con i numeri dispari e ogni zero con i numeri pari:<br />
Quindi sost<strong>it</strong>uiamo ogni uno con una casella blu e ogni zero con una bianca:<br />
<br />
(Y. Prigogine, Premio Nobel per la chimica, 1977).<br />
35
Entropia ed attrattori<br />
…ogni individuo, anche il più chiuso nella v<strong>it</strong>a più banale,<br />
cost<strong>it</strong>uisce in sé stesso un cosmo.<br />
La termodinamica ci spiega chiaramente che un sistema tende<br />
a passare naturalmente da uno stato più ordinato ad uno stato<br />
più disordinato. Più precisamente definisce l’entropia come una<br />
funzione di stato che misura la quant<strong>it</strong>à di disordine e spiega<br />
che questa può solo aumentare. Se prendiamo un mazzo di<br />
carte ben ordinato per esempio per seme o per progressione<br />
numerica e poi lo smazziamo, esso tenderà a perdere l’ordine<br />
originario; ma allora come è possibile il “gioco del caos”? Come<br />
può un sistema caotico generare un frattale?<br />
Come possono migliaia di particelle ag<strong>it</strong>ate e caotiche nel<br />
microsistema formare una perfetta ed armoniosa onda marina nel macrosistema? Come<br />
può una nube di gas cosmico aver generato l'universo?<br />
Lo studio di Lorenz ha portato nuove idee sul nostro modo di vedere la meteorologia e i<br />
fenomeni caotici. Tutti hanno sperimentato l’imprevedibil<strong>it</strong>à del tempo meteorologico!<br />
Le variabili necessarie a prevedere con esattezza<br />
anche il tempo di domani sono sproporzionate e<br />
richiedono l’uso di super-calcolatori; ciò<br />
nonostante si commettono errori. Nel suo<br />
esperimento Lorenz scelse 12 variabili essenziali<br />
e le 12 corrispondenti equazioni termodinamiche<br />
per determinare le condizioni meteorologiche. Il<br />
calcolatore quindi avrebbe dato in usc<strong>it</strong>a 12<br />
variabili in grado di descrivere il tempo che<br />
avrebbe fatto quella giornata. In sei ore si aveva in<br />
usc<strong>it</strong>a le condizioni meteorologiche di un anno.<br />
Naturalmente il modello è molto lontano da essere<br />
deterministico ed esatto, ma presenta le stesse<br />
ciclic<strong>it</strong>à e imprevedibil<strong>it</strong>à del tempo reale.<br />
Più avanti Lorenz si rese conto di poter diminuire<br />
fino a tre le variabili, potendo così rappresentare<br />
anche graficamente i risultati.<br />
Nel grafico la linea rossa rappresenta l’algor<strong>it</strong>mo studiato da Lorenz. Esso si comporta in<br />
maniera completamente caotica e imprevedibile, ma allo stesso tempo sembra<br />
esprimersi in una maniera preferenziale tendendo ad una figura lim<strong>it</strong>e rivelando in<br />
qualche modo una struttura periodica. L’attrattore di Lorenz é quindi la figura generata<br />
dall’algor<strong>it</strong>mo <strong>it</strong>erato indefin<strong>it</strong>amente. Il caos genera quello che Lorenz chiama un<br />
“attrattore strano”.<br />
Panta rei:" tutto scorre, tutto si trasforma"<br />
36<br />
Eracl<strong>it</strong>o da Efeso
I <strong>frattali</strong> e l’Universo<br />
conflagrazioni di astri in fiamme, irruzioni di odio, smarrimenti stupidi, lampi di lucid<strong>it</strong>à e<br />
dementi burrasche …<br />
E. Morin<br />
Molte delle forme che vediamo in natura<br />
sono riconducibili a sfere, ellissi, coni ed<br />
altre figure della geometria di Euclide.<br />
Ovviamente queste rappresentazioni<br />
sono solo un’approssimazione degli<br />
elementi naturali che ci circondano. La<br />
forma di un pino, per esempio, è simile a<br />
quella di un cono, mentre i corpi che<br />
ruotano nello spazio seguono orb<strong>it</strong>e<br />
ell<strong>it</strong>tiche. Osservando la natura da un<br />
altro punto di vista si può notare che in<br />
ogni sua rappresentazione e forma vige<br />
il caos e proprio per questo i <strong>frattali</strong><br />
trovano applicazione anche nei fenomeni<br />
naturali. La geometria frattale, secondo<br />
alcuni studiosi, è la giusta chiave di<br />
lettura per comprendere il mondo che ci<br />
circonda. Questa recente geometria,<br />
infatti, viene usata per studiare molte<br />
forme naturali e sistemi dinamici: le strutture delle piante, i terremoti, i disegni<br />
astronomici, i fenomeni meteorologici, le formazioni nebulose, la rappresentazione di<br />
catene montuose e di coste.<br />
Ci sono altri tipi di s<strong>it</strong>uazioni spiegabili attraverso la teoria dei <strong>frattali</strong> , per esempio, tutto<br />
quello che ha a che fare con la turbolenza: acqua che sgorga a fiotti, aria che si muove<br />
lungo l’ala di un aereo, le condizioni meteorologiche. Gli eventi turbolenti vengono<br />
espressi con equazioni non lineari, sono difficili da risolvere…di fatto, spesso sono<br />
impossibili; quindi la fisica non ha mai cap<strong>it</strong>o<br />
nessuna di queste s<strong>it</strong>uazioni complesse, mentre<br />
la teoria del caos riesce a descrive le loro<br />
caratteristiche. In natura gli alberi presentano<br />
strutture molto complesse soggette a continui<br />
cambiamenti nel tempo.<br />
Forse fra poco potremmo dire addio all’idea che<br />
l’universo sia nato dal big bang come singola<br />
palla di fuoco. Studiosi stanno esplorando una<br />
nuova teoria basata sull’ipotesi, enunciata ormai<br />
15 anni fa, che l’universo abbia attraversato uno<br />
stadio di inflazione. Durante questo stadio ,<br />
afferma la teoria, il cosmo si ampliò<br />
esponenzialmente in una infin<strong>it</strong>esima frazione di<br />
secondo; dopo di che, l’universo continuò la<br />
propria evoluzione secondo il modello del big<br />
bang. Via via che gli studiosi hanno perfezionato<br />
lo scenario dell’inflazione, sono venute in luce<br />
alcune conseguenze sorprendenti, una delle<br />
37
quali rappresenta un cambiamento<br />
fondamentale nella visione del<br />
cosmo. Secondo le versioni più<br />
recenti della teoria inflazionaria,<br />
l’universo, anziché essere una palla<br />
di fuoco in espansione, sarebbe un<br />
immenso frattale che cresce<br />
continuamente: esso sarebbe<br />
cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da molte sfere che si<br />
rigonfiano, le quali producono nuove<br />
sfere, che a loro volta ne generano<br />
altre, all’infin<strong>it</strong>o.<br />
Questa concezione piuttosto bizzarra<br />
dell’universo non è nata<br />
arb<strong>it</strong>rariamente. Parecchi ricercatori, prima in Russia e poi negli Stati Un<strong>it</strong>i, proposero<br />
l’ipotesi inflazionaria che ne cost<strong>it</strong>uisce il fondamento allo scopo di risolvere alcune<br />
complicazioni create dalla vecchia teoria del big bang. Nella sua forma tradizionale,<br />
questa afferma che l’universo nacque circa 15 miliardi di anni fa da una singolar<strong>it</strong>à<br />
cosmologica, ossia uno stato di temperatura e dens<strong>it</strong>à infin<strong>it</strong>e. Come è ovvio queste<br />
grandezze non possono essere realmente descr<strong>it</strong>te in termini fisici come infin<strong>it</strong>e; di sol<strong>it</strong>o<br />
si postula che le attuali leggi fisiche non fossero applicate a quell’epoca. Esse<br />
cominciarono a valere solo dopo che la dens<strong>it</strong>à dell’universo fu scesa al di sotto della<br />
dens<strong>it</strong>à di Planck, che è pari a 1094 g/cc.<br />
Via via che l’universo si espandeva, cominciò gradualmente a raffreddarsi. Un residuo<br />
dell’esplosione primordiale esiste ancora oggi: è la radiazione di fondo a microonde, la<br />
quale indica che la temperatura dell’universo è scesa a 2,7 kelvin. La scoperta di questa<br />
radiazione si è rivelata la prova cruciale che ha dato alla teoria del big bang il suo attuale<br />
ruolo preminente in cosmologia. Questa teoria aveva anche il pregio di spiegare le<br />
abbondanze dell’idrogeno e degli altri elementi dell’universo.<br />
Molti dilemmi hanno costretto i fisici a riflettere in maniera approfond<strong>it</strong>a sugli assunti di<br />
base della teoria cosmologica standard, parecchi dei qualsiasi sono rivelati, a un più<br />
attento esame, decisamente precari.<br />
Un universo che si autoriproduce in una<br />
simulazione al calcolatore è cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da<br />
domini esponenzialmente ingrand<strong>it</strong>i, ognuno<br />
dei quali (rappresentato da un diverso colore)<br />
ha leggi fisiche differenti. I picchi sono nuovi<br />
"big bang"; le loro altezze corrispondono alle<br />
dens<strong>it</strong>à di energia locale. Verso l’estrem<strong>it</strong>à dei<br />
picchi i colori fluttuano, indicando che le leggi<br />
fisiche non sono qui ancora defin<strong>it</strong>e. Esse<br />
risultano fissate solo nelle valli, una delle quali<br />
corrisponde al tipo di universo nel quale<br />
viviamo.<br />
La teoria inflazionaria non è sempre stata così<br />
semplice da un punto di vista concettuale, i<br />
tentativi di costruire una teoria dell’espansione<br />
esponenziale dell’universo hanno una lunga<br />
storia. Dopo varie realistiche versioni ed<br />
interpretazioni arriviamo alla parte più<br />
interessante della nostra storia, ossia alla<br />
38
teoria di un universo inflazionario eternamente esistente e in grado di autoriprodursi. E’<br />
una teoria assai generale, ma appare particolarmente promettente e conduce alle<br />
conseguenze più profonde nel contesto dello scenario dell’inflazione caotica.<br />
"Una goccia d'acqua che si spande nell'acqua, le fluttuazioni delle popolazioni animali, la<br />
linea frastagliata di una costa, I r<strong>it</strong>mi della fibrillazione cardiaca, l'evoluzione delle<br />
condizioni meteorologiche, la forma delle nubi, la grande macchia rossa di Giove, gli<br />
errori dei computer, le oscillazioni dei prezzi Sono fenomeni apparentemente assai<br />
diversi, che possono susc<strong>it</strong>are la curios<strong>it</strong>à di un bambino o impegnare per anni uno<br />
studioso, con un solo tratto in comune: per la scienza tradizionale, appartengono al<br />
regno dell'informe, dell'imprevedibile dell'irregolare. In una parola al caos. Ma da due<br />
decenni, scienziati di diverse discipline stanno scoprendo che dietro il caos c'è in realtà<br />
un ordine nascosto, che dà origine a fenomeni estremamente complessi a partire da<br />
regole molto semplici."<br />
J.Gleick, pioniere di una nuova scienza, Chaos<br />
Si possono visualizzare come onde le fluttuazioni quantistiche del campo scalare in un<br />
universo inflazionario. Inizialmente queste onde si muovevano in tutte le direzioni<br />
possibili, per poi bloccarsi l’una sopra l’altra; ciascuna onda bloccata incrementava<br />
leggermente il campo scalare in alcune parti dell’universo e lo diminuiva in altre. Ora<br />
consideriamo quelle regioni dell’universo dove le onde che si bloccavano hanno<br />
costantemente aumentato il campo scalare. I rari domini dell’universo dove il campo<br />
riesce ad acquisire un valore abbastanza alto cominciano a espandersi<br />
esponenzialmente a veloc<strong>it</strong>à sempre crescente; più alto è il valore del campo scalare, più<br />
veloce è l’espansione. Ben presto questi rari domini raggiungono un volume molto<br />
superiore a quello di tutti gli altri.<br />
L'evoluzione di un campo scalare genera molti domini inflazionari, come rivela questa<br />
sequenza di immagini generate al calcolatore. In quasi tutte le regioni dell'universo il<br />
campo scalare diminuisce (ed è<br />
rappresentato da depressioni e<br />
valli);altrove le fluttuazioni<br />
provocano la cresc<strong>it</strong>a del campo.<br />
In queste regioni, rappresentate<br />
nell'elaborazione come picchi,<br />
l'universo si espande<br />
rapidamente. Noi ci collochiamo<br />
in una delle valli, dove lo spazio<br />
non è più inflazione.<br />
Da questa teoria segue che, se<br />
l'universo contiene almeno un<br />
dominio inflazionario di<br />
dimensioni sufficienti, allora esso<br />
comincerà a produrre<br />
incessantemente nuovi domini<br />
inflazionari. L'inflazione in<br />
ciascun dato punto può<br />
terminare rapidamente, ma a<br />
volte altre regioni continueranno a espandersi; il volume totale di tutti questi domini<br />
crescerà senza fine. Essenzialmente, da un universo inflazionario scaturiscono bolle<br />
inflazionarie, che a loro volta ne producono di nuove, e così via.<br />
39
Questo processo, chiamato inflazione eterna,<br />
continua come una reazione a catena,<br />
producendo una configurazione di universi<br />
simile ad un frattale. In questo scenario<br />
l'universo nel suo complesso è immortale;<br />
ciascuna specifica parte di esso può derivare<br />
da una singolar<strong>it</strong>à manifestatasi nel passato e<br />
potrà terminare in una singolar<strong>it</strong>à nel futuro, ma<br />
non vi è alcuna fine per l'evoluzione dell'intero<br />
universo.<br />
Che cosa sia avvenuto all'origine è incerto. Vi è<br />
la possibil<strong>it</strong>à che tutte le parti dell'universo<br />
siano state generate simultaneamente in una<br />
singolar<strong>it</strong>à iniziale, un big bang. Sebbene<br />
questo scenario renda l'esistenza del big bang<br />
quasi irrilevante agli effetti pratici, si può<br />
considerare il momento della formazione di ciascuna bolla inflazionaria come un nuovo<br />
"big bang". Da questa prospettiva l'inflazione non è una parte della teoria del big bang,<br />
come si pensava 15 anni fa; al contrario, è questo ad essere compreso all'interno del<br />
modello inflazionario. Un universo capace di autoriprodursi appare come una<br />
configurazione ramificata di bolle inflazionarie. I diversi colori rappresentano "mutazioni"<br />
nelle leggi fisiche rispetto agli universi gen<strong>it</strong>ori. Le proprietà dello spazio in ciascuna bolla<br />
non dipendono dall'epoca di formazione della bolla stessa. In questo senso l'universo<br />
potrebbe essere stazionario, anche se l'interno di ciascuna bolla è descr<strong>it</strong>to dalla teoria<br />
del big bang.<br />
Questa nuova teoria cosmologica è estremamente insol<strong>it</strong>a ed è comprensibile che sia<br />
difficile comprenderla. Una delle principali ragioni della popolar<strong>it</strong>à del vecchio scenario<br />
del big bang è che immaginare l'universo come un palloncino che si espande in tutte le<br />
direzioni è relativamente semplice. E' molto più difficile afferrare alla struttura di un<br />
universo frattale che si autoriproduce all'infin<strong>it</strong>o: le simulazioni al calcolatore possono<br />
essere di un certo aiuto. Studiosi hanno iniziato queste simulazioni con una fetta<br />
bidimensionale di universo riemp<strong>it</strong>a da un campo scalare quasi omogeneo e abbiamo<br />
calcolato in che modo il campo variava in ciascun punto del nostro dominio dopo l'inizio<br />
dell'inflazione. Poi hanno sommato a<br />
tale risultato onde sinusoidali,<br />
corrispondenti alle fluttuazioni<br />
quantistiche che si bloccano.<br />
Applicando ripetutamente questa<br />
procedura, hanno ottenuto una seria di<br />
valori che mostrano la distribuzione del<br />
campo scalare nell'universo<br />
inflazionario. Le immagini hanno<br />
rivelato che nella maggior parte dl<br />
dominio di partenza il campo scalare<br />
decresce lentamente: noi viviamo in<br />
una di queste regioni dell'universo.<br />
Piccole onde "congelate" sopra un<br />
campo quasi omogeneo finiscono per<br />
dare origine a perturbazioni di temperatura della radiazione di fondo. Altre parti<br />
dell'immagine mostrano montagne in cresc<strong>it</strong>a, corrispondenti alle enormi dens<strong>it</strong>à di<br />
40
energia che producono un'inflazione estremamente rapida. Si può interpretare ogni picco<br />
come un nuovo "big bang" che crea un universo "inflazionario".<br />
La natura frattale dell'universo è divenuta ancora più evidente quando i ricercatori hanno<br />
aggiunto un altro campo scalare. Per rendere le cose ancora più interessanti hanno<br />
preso in considerazione una teoria in cui l'energia potenziale di questo campo ha tre<br />
minimi differenti, rappresentati da altrettanti colori. In una fetta bidimensionale<br />
dell'universo, i colori presso le vette delle montagne cambiano continuamente, a<br />
indicazione del fatto che il campo scalare sta rapidamente balzando da un minimo di<br />
energia a un altro. Qui le leggi fisiche non sono ancora stabilizzate; nelle valli, però, dove<br />
la veloc<strong>it</strong>à di espansione è bassa, i colori non fluttuano più. Il dominio in cui viviamo è<br />
uno di questi, altri domini sono estremamente lontani. Le proprietà delle particelle<br />
elementari e le leggi che regolano le loro interazioni variano nel passare da un dominio<br />
all'altro.<br />
Nel riflettere sul processo di autoriproduzione dell'universo, non si può fare a meno di<br />
trovare delle analogie, per quanto superficiali possano essere. Si può dire: non è forse<br />
ciò che accade a noi? Qualche tempo fa siamo nati, prima o poi moriremo e l'intero<br />
mondo dei nostri pensieri, dei nostri sentimenti e dei nostri ricordi scomparirà. Ma ci sono<br />
stati altri esseri umani che sono vissuti prima di noi, ce ne saranno altri dopo di noi e<br />
l'uman<strong>it</strong>à nel suo insieme potrà sopravvivere per molto tempo.<br />
41
L'evoluzione della teoria<br />
inflazionaria ha dato<br />
origine ad un paradigma<br />
cosmologico del tutto<br />
nuovo, che differisce<br />
considerevolmente dalla<br />
vecchia teoria del big<br />
bang e anche dalle prime<br />
versioni del modello<br />
inflazionario. In esso<br />
l'universo appare caotico<br />
ed omogeneo, in<br />
espansione e stazionario.<br />
La nostra dimora cosmica<br />
cresce, fluttua e si<br />
riproduce eternamente in<br />
tutte le forme possibili,<br />
come se tendesse ad adattarsi a tutti i possibili tipi di v<strong>it</strong>a.<br />
Un esempio molto significativo è dato dal quercia frattale; per ottenerla è stata<br />
fotografata una quercia dall’aspetto autunnale stilizzandone il contorno e con l’aiuto del<br />
calcolatore si è ottenuto il collage composto da sei trasformazioni, due delle quali<br />
deformano l’albero per costruirne il tronco. Infatti, ingrandendo l’immagine per<br />
esaminarne i particolari<br />
dei rami, si può constatare<br />
che le trasformazioni sono<br />
appunto sei. Ramificazioni<br />
e foglie possono essere<br />
facilmente analizzate<br />
attraverso la geometria<br />
frattale. Un suggestivo<br />
esempio è dato dalla<br />
foglia nell’illustrazione.<br />
Questa figura , che<br />
permette di osservare<br />
anche le nervature, è<br />
stata ottenuta con il "gioco<br />
del caos" a partire dal<br />
collage ; questa è una<br />
tecnica che permette ,<br />
partendo da una figura<br />
bidimensionale , di ottenere un insieme di trasformazioni sufficientemente vicine alla<br />
figura originale.<br />
42
La teoria del caos<br />
Cassio: Quanti secoli venturi vedranno rappresentata<br />
da attori questa nostra grandiosa scena in regni<br />
ancora non nati, e in linguaggi non ancora inventati!<br />
(Giulio Cesare, atto III, scena I)<br />
“Il 29 dicembre 1979, il fisico Edward Lorenz presentò alla<br />
Conferenza annuale della American Association for the<br />
Advancement of Science, una relazione in cui ipotizzava come il<br />
batt<strong>it</strong>o delle ali di una farfalla in Brasile, a segu<strong>it</strong>o di una catena di<br />
eventi, potesse provocare una tromba d’aria nel Texas. L’insol<strong>it</strong>a<br />
quanto suggestiva relazione, diede il nome al cosiddetto butterfly<br />
effect, effetto farfalla.<br />
Ma cosa c’entra il batt<strong>it</strong>o d’ali di una farfalla? Queste righe, tratte da<br />
un articolo sul caos del Dott. Marcello Guidotti, insegnante di<br />
scienze farmaceutiche presso l’Univers<strong>it</strong>à “La Sapienza” di Roma,<br />
ne “Il contemporaneo” del gennaio 1994, ce ne danno un chiaro<br />
esempio:<br />
E’ una secca giornata estiva. Un uomo passeggia in un bosco per godersi un po' di<br />
fresco. Dopo aver fumato una sigaretta, getta il mozzicone in una piccola radura. Il<br />
mozzicone cade su un fazzoletto di carta gettato da un villeggiante (tanto la carta non<br />
inquina!). Il fazzoletto prende fuoco e trova facile esca in un arbusto secco, ucciso da un<br />
coleottero. L’arbusto prende fuoco. Le fiamme si levano più alte. C’è un leggero<br />
venticello. Qualche scintilla e prende fuoco un arbusto lì vicino. Il fuoco, attizzato dal<br />
vento, si propaga ad altri tre alberi. Ognuno dei quattro alberi in fiamme ne incendia altri<br />
quattro: gli alberi in fiamme diventano 20, poi 100 e poco dopo tutto il bosco è in preda<br />
alle fiamme. Tutto questo per un piccolo parass<strong>it</strong>a che ha ucciso un piccolo arbusto e per<br />
un mozzicone di sigaretta caduto su un fazzoletto usato.<br />
Beh, come si dice: "date a Cesare quel che è di Cesare!" In effetti, Alan Turing, in un suo<br />
saggio del 1950: Macchine calcolatrici e intelligenza, anticipava il futuro "effetto farfalla"...<br />
«Lo spostamento di un singolo elettrone per un miliardesimo di centimetro, a un<br />
momento dato, potrebbe significare la differenza tra due avvenimenti molto diversi, come<br />
l'uccisione di un uomo un anno dopo, a causa di una valanga, o la sua salvezza»<br />
A questo punto, il lettore si<br />
chiederà se "l'effetto farfalla" è solo<br />
una suggestiva speculazione,<br />
oppure ha un riscontro reale...<br />
Nel corso di un programma di<br />
simulazione del clima, Lorenz fece<br />
un'inaspettata quanto importante<br />
scoperta. Una delle simulazioni<br />
climatiche si basava su dodici<br />
variabili, incluse relazioni non<br />
lineari. Lorenz scoprì che,<br />
ripetendo la stessa simulazione<br />
con valori leggermente diversi (una<br />
43
serie di dati veniva prima arrotondata a sei cifre decimali, e successivamente a tre),<br />
l'evoluzione del "clima" elaborata dal computer si discostava nettamente dai risultati<br />
precedenti: a quella che si configurava appena una perturbazione, dopo una effimera<br />
somiglianza iniziale, si sost<strong>it</strong>uiva un modello climatico completamente diverso.<br />
"Il più bello dei mondi è un mucchio di rifiuti gettato dal caso"<br />
(Teofrasto, metafisico,III sec a.c.)<br />
Queste osservazioni hanno portato allo sviluppo della Teoria del Caos che pone lim<strong>it</strong>i<br />
defin<strong>it</strong>i alla prevedibil<strong>it</strong>à dell'evoluzione di sistemi complessi non lineari. Nei sistemi<br />
lineari, una piccola variazione nello stato iniziale di un sistema (fisico, chimico, biologico,<br />
economico) provoca una variazione corrispondentemente piccola nel suo stato finale: per<br />
esempio, colpendo leggermente più forte una palla da biliardo, questa andrà più lontano.<br />
Al contrario, sono non lineari le s<strong>it</strong>uazioni di un sistema in cui piccole differenze nelle<br />
condizioni iniziali producono differenze non prevedibili nel comportamento successivo.<br />
Un sistema può anche comportarsi in modo caotico in certi casi e in modo non caotico in<br />
altri. Per esempio, da un rubinetto non chiuso le gocce cadono in una sequenza regolare;<br />
variando leggermente l'apertura del rubinetto, si può far sì che le gocce cadano invece in<br />
modo irregolare, appunto<br />
caotico. Ancóra, il<br />
movimento regolare di un<br />
pendolo fissato ad un<br />
appoggio elastico, diventa<br />
caotico.<br />
E' impossibile prevedere il<br />
comportamento che un<br />
sistema caotico avrà dopo<br />
un intervallo di tempo anche<br />
piuttosto breve. Infatti, per<br />
calcolare il comportamento<br />
futuro del sistema, anche se<br />
descr<strong>it</strong>to da un'equazione<br />
molto semplice, è<br />
necessario inserire i valori<br />
delle condizioni iniziali.<br />
D'altra parte, nel caso di un<br />
sistema complesso non lineare, data la grande sensibil<strong>it</strong>à del sistema agli agenti che lo<br />
sollec<strong>it</strong>ano, un piccolo errore nella misura delle condizioni iniziali, oppure una modifica<br />
apparentemente irrilevante dei dati immessi (ed ovviamente anche il loro successivo<br />
arrotondamento durante il calcolo) cresce esponenzialmente con il tempo, producendo<br />
un radicale cambiamento dei risultati. Questo significa che i dati relativi alle condizioni<br />
iniziali dovrebbero essere misurati con un'accuratezza teoricamente infin<strong>it</strong>a, e ciò é<br />
praticamente impossibile.<br />
44
Quanto detto, spiega<br />
perché le previsioni<br />
meteorologiche, sebbene<br />
descr<strong>it</strong>te con le equazioni<br />
deterministiche della fisica<br />
(fluidodinamica e<br />
termodinamica) ed<br />
elaborate con raffinate<br />
tecniche di calcolo<br />
esegu<strong>it</strong>e da super<br />
computer, producono<br />
risultati molto<br />
approssimativi.<br />
I processi atmosferici,<br />
d'altra parte, sono<br />
estremamente vari e<br />
complessi, in quanto<br />
comprendono fenomeni<br />
lim<strong>it</strong>ati e di breve durata (come temporali e trombe d'aria) e fenomeni estesi per migliaia<br />
di chilometri, stabili per alcuni giorni o mesi (gli anticicloni interessano aree vaste quanto<br />
l'Europa e permangono per settimane; i sistemi monsonici impegnano oceani e continenti<br />
per mesi). Poi, ci sono altri fattori che possono modificare sensibilmente il<br />
comportamento delle perturbazioni: le catene montuose, i laghi e la presenza di ampie<br />
zone boschive. Per rappresentare l'atmosfera nel momento in cui leggete questa pagina,<br />
sono necessari 6 milioni di numeri e questo comporta i problemi connessi alle<br />
misurazioni. Gli strumenti a terra sono molto accurati, ma le sonde in quota possono<br />
rilevare la temperatura con un errore di un grado; i satell<strong>it</strong>i pagano lo scotto di sondare<br />
spazi altrimenti irraggiungibili con errori anche di 2 gradi.<br />
Il computer multiprocessore del Centro meteorologico europeo (ECMWF - European<br />
Center for Medium-range Weather Forecasts, s<strong>it</strong>uato a Reading in Inghilterra) per le<br />
previsioni climatiche a medio termine, esegue fino a 400 milioni di calcoli al secondo,<br />
riceve 100 milioni di rilevamenti climatici diversi da tutto il mondo ogni giorno ed elabora<br />
dati in tre ore di lavoro continuo per ottenere una previsione "valida" per dieci giorni. In<br />
realtà, oltre i 2 o 3 giorni queste previsioni non sono<br />
più certe, e perdono qualsiasi valore oltre i 6 o 7 giorni.<br />
Stante la compless<strong>it</strong>à delle forze e dei fenomeni che<br />
determinano il clima, questo non può mai essere<br />
predetto se non entro periodi molto brevi.<br />
L’effetto farfalla (l'espressione metaforica della Teoria<br />
del Caos), in conclusione, sottolinea come nella<br />
maggior parte dei sistemi biologici, chimici, fisici,<br />
economici e sociali, esistano degli elementi che,<br />
apparentemente insignificanti, sono in grado,<br />
interagendo fra loro, di propagarsi e amplificarsi<br />
provocando effetti catastrofici. Questi elementi, e<br />
perché trascurati, e perché imprevedibili, e perché non<br />
individuabili, cost<strong>it</strong>uiscono il dilemma del nostro secolo<br />
giacché, come abbiamo visto, possono condurci a<br />
conclusioni errate.<br />
Spesso, ad esempio, per spiegare il comportamento di<br />
un sistema (la cresc<strong>it</strong>a della popolazione,<br />
45
l’eutrofizzazione delle coste marine, le variazioni climatiche, ecc.), si ricorre ad un<br />
modello. Un modello è una riproduzione semplificata della realtà, ossia un'astrazione che<br />
considera solamente le principali caratteristiche di quello che è il reale oggetto di studio.<br />
Tuttavia, un modello, sebbene possa sembrare lim<strong>it</strong>ato, in quanto non riproduce<br />
completamente la realtà, permette di esaminare gli aspetti piú importanti di un problema.<br />
E non è poco: se considerassimo tutti i dettagli di un problema, ottenendo quello che si<br />
definisce una simulazione (come quella meteorologica), ci troveremmo ad affrontare un<br />
insieme di dati difficilmente correlabili tra loro e quindi la loro analisi ci sarebbe<br />
impossibile o di util<strong>it</strong>à lim<strong>it</strong>ata all'analisi di brevi periodi, come appunto per le simulazioni<br />
climatiche. Tuttavia, pur essendo solo una teoria, è appoggiata dalle tre leggi di Murphy<br />
che, contrariamente alle ideali leggi della probabil<strong>it</strong>à, affermano che nel mondo la cosa<br />
più improbabile è molto probabile e comunque destinata ad accadere.<br />
(...) E quello,-disse - è il Sentiero che la Time Safari ha preparato per voi. E' di metallo<br />
antigrav<strong>it</strong>à, e sta sospeso a venti centimetri da terra, senza toccare né un fiore né un<br />
albero né un solo filo d'erba. Il suo scopo è di impedirvi di toccare in qualsiasi modo<br />
questo mondo del passato. (...) Gestire una macchina del tempo è una faccenda<br />
complicata. Uccidendo un animale, un uccellino, uno scarafaggio o anche un fiore,<br />
potremmo senza saperlo distruggere una fase importante di una specie in via di<br />
evoluzione. (...) Supponiamo di uccidere un topolino qui. Ciò significa che tutte le future<br />
famiglie di questo particolare topolino non potrebbero più esistere (...). Per ogni dieci<br />
topolini che non ci sono, muore una volpe. Se mancano dieci volpi, un leone muore di<br />
fame. Se manca un leone, innumerevoli insetti, avvoltoi, quant<strong>it</strong>à infin<strong>it</strong>e di forme di v<strong>it</strong>a<br />
piombano nel caos e nella distruzione. (...)<br />
A Sound of Thunder. (Traduzione di Stefano Negrini Ed<strong>it</strong>ori Riun<strong>it</strong>i, 1985)<br />
46
Arte frattale<br />
Arte: una bugia che ci aiuta a riconoscere la ver<strong>it</strong>à.<br />
Come abbiamo detto la natura è<br />
formata da <strong>frattali</strong> e regolata dalla<br />
teoria del caos, l’arte, che è sempre<br />
stata una rappresentazione del mondo<br />
e del pensiero del periodo, si è<br />
proposta in questi ultimi anni<br />
attraverso i <strong>frattali</strong>. Ecco alcuni esempi<br />
di arte frattale:<br />
47<br />
P. Picasso
Sono forse gli oggetti più belli della matematica, senz'altro i più artistici. E benchè<br />
alla base ci siano solo formule, per giunta spesso semplici e concise, ci si può<br />
anche perdere ammirando le loro rappresentazioni, che non hanno davvero niente<br />
da invidiare ad un'opera d'arte.<br />
48
La locuzione latina Eadem Mutata Resurgo, tradotta<br />
letteralmente, significa Risorgo uguale eppure diversa.<br />
Questa frase è stata coniata da Jakob Bernoulli (1654-<br />
1705), membro di una famosa famiglia di matematici<br />
svizzeri, che la volle incisa anche sulla sua tomba a<br />
Basilea, in relazione ai suoi studi sulla spirale logar<strong>it</strong>mica.<br />
Tale curva è presente in molte manifestazioni della natura:<br />
esempi sono la conchiglia di Nautilus, la disposizione dei<br />
semi di girasole.<br />
49
Bibliografia<br />
• Mandelbrot Beno<strong>it</strong> B., “Gli oggetti <strong>frattali</strong>: forma, caso e dimensione”, Einaudi, 1987<br />
• Mandelbrot Beno<strong>it</strong> B., “La geometria della natura”, 2 a ed., Theoria, 1990<br />
• Pe<strong>it</strong>gen Heinz-Otto e Richter Peter H., “La bellezza dei <strong>frattali</strong>: immagini di sistemi<br />
dinamici complessi”, Bollati Boringhieri, 1989<br />
• Ary L. Goldberger, David R. Rigney e Bruce J. West - "Caos e <strong>frattali</strong> in fisiologia<br />
umana", da "Le Scienze" n°260 Aprile 1990<br />
• Hartmut Jurgens, Heinz-Otto Pe<strong>it</strong>gen e Dieymar Saupe - "Il linguaggio dei <strong>frattali</strong>",<br />
da "Le Scienze" n°266 Ottobre 1990<br />
• Andrei Linde - "Un universo inflazionato che si autoriproduce", da "Le Scienze"<br />
n°317 Gennaio 1995<br />
• Michael D. Lemonick - "Will we discover another universe", da "Time" Vol.155 n°14<br />
10 Aprile 2000<br />
• Ivar Ekeland "Il caos"- Il saggiatore.<br />
• Mandelbrot Beno<strong>it</strong> B., “How Long Is the Coast of Br<strong>it</strong>ain? Statistical Self-Similar<strong>it</strong>y<br />
and Fractional Dimension”, 1967<br />
• Morris Kline, “Storia del pensiero matematico”, Einaudi, 1996<br />
• Carl B. Boyer, “Storia della matematica”, Mondadori, 1980<br />
• Jean Dieudonnè, “L'arte dei numeri”, Mondadori, 1995<br />
50
S<strong>it</strong>ografia<br />
http://www.miorelli.net/<strong>frattali</strong>/<br />
http://www.matematicamente.<strong>it</strong>/links/<strong>frattali</strong>.htm<br />
http://www2.pol<strong>it</strong>o.<strong>it</strong>/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Ricerche/Massasso/Cap4.html<br />
http://www.swif.uniba.<strong>it</strong>/lei/rassegna/020228d.htm<br />
http://www.swif.uniba.<strong>it</strong>/lei/rassegna/030217a.htm<br />
http://www.maecla.<strong>it</strong>/bibliotecaMatematica/go_file/lolli1.htm<br />
http://www.webfract.<strong>it</strong>/<br />
http://members.tripod.com/softwork/map/<br />
http://www.geoc<strong>it</strong>ies.com/g_gosti/<br />
http://digilander.iol.<strong>it</strong>/pnavato/<strong>frattali</strong>/<br />
http://www.12manage.com/methods_lorenz_chaos_theory_<strong>it</strong>.html<br />
http://www.dti.unimi.<strong>it</strong>/~pizzi/TESI_ECG/1%20Teoria%20del%20caos.pdf<br />
http://www.reiki.info/Energie/Curios<strong>it</strong>a/Effetto-farfalla.htm<br />
http://www.sicap.<strong>it</strong>/merciai/psicosomatica/students/alimenta2.htm<br />
http://www.nemesi.net/farf.htm<br />
http://<strong>it</strong>.wikipedia.org/wiki/Teoria_del_caos<br />
http://www.galileimirandola.<strong>it</strong>/<strong>frattali</strong>/teoria.htm<br />
http://www.<strong>frattali</strong>.<strong>it</strong>/<br />
http://www.agnesscott.edu/aca/depts_prog/info/math/riddle/ifs/kcurve/kcurve.htm<br />
http://serendip.brynmawr.edu/~pgrobste/sierpinski.html<br />
http://math.rice.edu/~lanius/fractals/<br />
http://graff<strong>it</strong>i.u-bordeaux.fr/MAPBX/roussel/fractals/anim.html<br />
http://fractal.mta.ca/sci.fractals-faq/<br />
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html<br />
http://www.mhri.edu.au/~pdb/fractals/fracintro/<br />
http://graff<strong>it</strong>i.cribx1.u-bordeaux.fr/MAPBX/louvet/history.html<br />
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractal_history.html<br />
http://www.silviocilloco.<strong>it</strong>/matematica/noneuclid.htm<br />
http://www.eliopastore.<strong>it</strong>/<br />
http://www.artefrattale.<strong>it</strong>/<br />
http://web.tiscali.<strong>it</strong>/andreozzi/<br />
http://www.fractalarts.com/<br />
51
Ringraziamenti<br />
52<br />
Anakleto 753<br />
I miei ringraziamenti vanno:<br />
• a mia madre per avermi affascinato un giorno con la parola frattale e per avermi<br />
fatto sviluppare un profondo amore per la matematica;<br />
• ai miei professori per avermi segu<strong>it</strong>o in questi tre anni e aiutato a crescere;<br />
• non ultimo ma decisamente più caro ringraziamento al professore Mario Pensato<br />
per avermi fatto capire che la matematica non è solo un farraginoso calcolo ma<br />
bensì un’arte che va coltivata e ampliata soprattutto attraverso la teoria.
Indice<br />
• Introduzione_____________________________________________ pag. 2<br />
• Premessa ______________________________________________ pag. 2<br />
• La geometria di Reimann __________________________________ pag. 3<br />
• Cos’è un frattale? ________________________________________ pag. 4<br />
• Autosimilar<strong>it</strong>à ____________________________________________ pag. 5<br />
• Perimetro illim<strong>it</strong>ato ________________________________________ pag. 6<br />
• Perimetro nullo __________________________________________ pag. 7<br />
• L’insieme di Cantor _______________________________________ pag. 7<br />
• Area fin<strong>it</strong>a ______________________________________________ pag. 9<br />
• Dimostrazione col fiocco di neve di Von Koch __________________ pag. 9<br />
• Area nulla ______________________________________________ pag. 12<br />
• Il triangolo di Sierpinski ____________________________________ pag. 12<br />
• Dimensione non intera _____________________________________ pag. 14<br />
• Struttura complessa a tutte le scale di riproduzione ______________ pag. 16<br />
• Dinamica caotica _________________________________________ pag. 17<br />
• Il problema delle tangenti alle curve <strong>frattali</strong> _____________________ pag. 19<br />
• Il metodo IFS sviluppato da Michael E. Barnsley ________________ pag. 20<br />
• Un esempio: la costruzione della felce ________________________ pag. 21<br />
• Frattali creati con la tecnica L-System _________________________ pag. 22<br />
• L’insieme di Beno<strong>it</strong> Mandelbrot ______________________________ pag. 24<br />
• Beno<strong>it</strong> Mandelbrot (biografia in lingua inglese) __________________ pag. 27<br />
• Beno<strong>it</strong> Mandelbrot (biografia in lingua <strong>it</strong>aliana) __________________ pag. 29<br />
• Gli insiemi di Gaston Julia __________________________________ pag. 30<br />
• Come costruire un frattale __________________________________ pag. 33<br />
• Metodo dell’autosomiglianza ________________________________ pag. 33<br />
• Metodo del gioco del caos __________________________________ pag. 34<br />
• Metodo del triangolo di Tartaglia _____________________________ pag. 35<br />
• Entropia ed attrattori ______________________________________ pag. 36<br />
• I <strong>frattali</strong> e l’Universo _______________________________________ pag. 37<br />
• La teoria del caos_________________________________________ pag. 42<br />
• Arte frattale______________________________________________ pag. 47<br />
• Eadem mutata resurgo ____________________________________ pag. 49<br />
• Bibliografia _____________________________________________ pag. 50<br />
• S<strong>it</strong>ografia _______________________________________________ pag. 51<br />
• Ringraziamenti __________________________________________ pag. 52<br />
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