Note di Fisica Matematica B: Meccanica Analitica

Note di
Fisica Matematica B: Meccanica Analitica
October 8, 2012

Le presenti NOTE di non vogliono in nessun modo essere un testo ma un semplice ausilio per
lo studio del corso, per questo motivo la trattazione è succinta. Anzi, è opportuno approfondire e
studiare criticamente quanto svolto a lezione avvalendosi di testi veri e propri. Tra i testi più noti si
possono ricordare i seguenti:
- V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica. Editori Riuniti 1986.
- G. Dell’Antonio, Elementi di Meccanica. I: Meccanica Classica. Liguori Editore 1996.
- G. Gallavotti, Meccanica Elementare, Ed. Boringhieri 1986.
- A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Ed. Boringhieri 1994.
Meno moderni ma sempre ricchi di interessanti spunti ed osservazioni sono i seguenti:
- T. Levi-Civita, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. Zanichelli, Ristampa anastatica 1974 (ed.
1929)
- E. Mach, La Meccanica nel suo Sviluppo Storico-Critico, Ed. Boringhieri 1992 (prima edizione del
1883)

Sommario
1 Dinamica del punto............................................................ 1
1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita.................................... 1
1.1.1 Equazioni differenziali del moto........................................... 1
1.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature .......................... 2
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato ......................................... 3
1.2.1 Forze di richiamo e forze viscose .......................................... 3
1.2.2 Oscillatore armonico smorzato ............................................ 3
1.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato.................................... 5
1.3 Analisi qualitativa del moto ................................................... 12
1.3.1 Studio del moto alla Weierstrass .......................................... 12
1.3.2 Diagramma delle fasi .................................................... 15
1.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per l’oscillatore armonico ................... 19
1.3.4 Esercizi................................................................ 20
1.4 Pendolo semplice ............................................................ 21
1.4.1 Equazione differenziale del moto .......................................... 21
1.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice.................................... 22
1.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice ..................... 22
1.4.4 Esercizi................................................................ 24
1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale ................................. 24
1.5.1 Integrali primi del moto ................................................. 24
1.5.2 Forza centrale .......................................................... 25
1.5.3 Integrazione delle equazioni del moto ...................................... 26
1.5.4 Stabilità delle orbite circolari ............................................. 27
1.5.5 Appendice: composizione di moti periodici ................................. 29
1.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza.... 30
1.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero .................. 31
1.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale ................................... 35
1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita .................................. 35
1.6.1 Considerazioni preliminari. ............................................... 35
1.6.2 Moto di un punto pesante sopra una superficie di rotazione ad asse verticale e
priva di attrito.......................................................... 36
1.6.3 Pendolo sferico.......................................................... 37

VIII Sommario
1.7 Dinamica relativa del punto ................................................... 40
1.7.1 Influenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel vuoto ................ 40
1.7.2 Pendolo di Focault ...................................................... 43
1.7.3 Nozioni elementari di meccanica celeste .................................... 45
2 Dinamica dei solidi ............................................................ 47
2.1 Angoli di Eulero ............................................................. 47
2.2 Equazioni di Eulero .......................................................... 49
2.2.1 Solidi in rapida rotazione e fenomeni giroscopici elementari ................... 50
2.3 Solido pesante con un punto fisso .............................................. 52
2.3.1 Integrali primi.......................................................... 52
2.3.2 Equazioni differenziali del moto........................................... 53
2.4 Giroscopio pesante ........................................................... 53
2.4.1 Terzo integrale primo.................................................... 53
2.5 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante ....................................... 54
2.5.1 Determinazione dell’angolo di nutazione ................................... 57
2.5.2 Discussione del moto di precessione ψ(t) ................................... 60
2.6 Trottola veloce .............................................................. 62
2.7 Stabilità del moto del giroscopio pesante......................................... 64
2.7.1 Stabilizzazione giroscopica e trottola ”addormentata”. ....................... 64
3 Equazioni di Lagrange ......................................................... 67
3.1 Principio del d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica...................... 67
3.2 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo............................ 67
3.3 Funzione Lagrangiana ........................................................ 69
3.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta ....................................... 69
3.5 Esempio: problema di Keplero.................................................. 71
3.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante................................ 74
4 Equazioni canoniche di Hamilton .............................................. 77
4.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani...................................... 77
4.2 Trasformata di Legendre ...................................................... 79
4.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico ....................................... 81
4.4 Esempi di funzione Hamiltoniana .............................................. 82
4.4.1 Punto libero ........................................................... 82
4.4.2 Solido con punto fisso ................................................... 83
4.5 Significato fisico dei momenti coniugati ......................................... 83
4.5.1 Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata ciclica qh è
una coordinata cartesiana ................................................ 84
4.5.2 Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata ciclica qh è un
angolo................................................................. 84
4.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville ...................................... 85
4.6.1 Flusso Hamiltoniano .................................................... 85
4.6.2 Flusso Hamiltoniano per l’oscillatore armonico .............................. 87
4.6.3 Teorema di Liouville .................................................... 88

Sommario IX
4.7 Coordinate cicliche — formalismo Hamiltoniano.................................. 89
4.8 Parentesi di Poisson .......................................................... 90
4.8.1 Esempio ............................................................... 91
4.8.2 Proprietà principali ..................................................... 91
4.8.3 Applicazioni ........................................................... 92
4.9 Esercizi..................................................................... 93
5 Principio variazionale di Hamilton. ............................................ 95
5.1 Premesse ................................................................... 95
5.2 Principio variazionale di Hamilton.............................................. 95
5.3 Esempi ..................................................................... 97
5.3.1 Moto di un grave ....................................................... 97
5.3.2 Oscillatore armonico .................................................... 98
5.4 Equazioni di Eulero .......................................................... 99
5.5 Esercizi (risolti).............................................................. 100
6 Trasformazioni canoniche ...................................................... 105
6.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton................................... 105
6.1.1 Trasformazioni che conservano la struttura canonica ......................... 105
6.1.2 Determinazione della nuova Hamiltoniana per effetto di una trasformazione che
conserva la struttura canonica ............................................ 106
6.2 Trasformazioni canoniche ..................................................... 108
6.3 Generatrice di una trasformazione canonica...................................... 108
6.4 Esempio: trasformazione canonica per l’oscillatore armonico ....................... 110
7 Equazione di Hamilton-Jacobi ................................................. 113
7.1 Equazione di Hamilton-Jacobi ................................................. 113
7.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta ................................ 114
7.3 Esempio: l’oscillatore armonico ................................................ 115
7.4 Metodo di separazione delle variabili............................................ 116
7.5 Esempi ..................................................................... 118
7.5.1 L’equazione di Hamilton-Jacobi per il moto centrale di un punto in un piano.... 118
7.5.2 Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al problema di Keplero ............... 119
8 Teoria Perturbativa............................................................ 121
8.1 Piccole oscillazioni ........................................................... 121
8.1.1 Teorema di Dirichlet .................................................... 121
8.1.2 Moto delle piccole oscillazioni ............................................ 123
8.1.3 Caso unidimensionale ................................................... 124
8.1.4 Coordinate normali e frequenze proprie .................................... 125
8.1.5 Schema riassuntivo...................................................... 127
8.1.6 Esempi ................................................................ 128
8.1.7 Giustificazione del metodo delle piccole oscillazioni .......................... 131
8.2 Principio della media ......................................................... 134

X Sommario
A Richiami ...................................................................... 139
A.1 Cinematica dei sistemi........................................................ 139
A.1.1 Sistemi olonomi ........................................................ 139
A.1.2 Sistemi anolonomi ...................................................... 141
A.1.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali .................................... 143
A.1.4 Sistemi a legami unilaterali............................................... 145
A.2 Momento di inerzia .......................................................... 146
A.2.1 Ellissoide d’inerzia e assi principali ........................................ 148
A.2.2 Matrice d’inerzia ....................................................... 150
A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto ............................................ 151
A.3.1 Energia cinetica o forza viva.............................................. 151
A.3.2 Quantità di moto e momento della quantità di moto ......................... 156
A.3.3 Quantità di moto e momento delle quantità di moto di un corpo rigido......... 158
B Complementi .................................................................. 161
B.1 Serie di Fourier .............................................................. 161
B.1.1 Serie di Fourier in forma trigonometrica.................................... 161
B.1.2 Serie di Fourier in forma esponenziale ..................................... 162
B.1.3 Stima dei coefficienti cn.................................................. 162
B.2 Teorema di annullamento degli integrali......................................... 163

1
Dinamica del punto
1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita
1.1.1 Equazioni differenziali del moto
La dinamica di un punto P si fonda sull’equazione che deve essere soddisfatta durante il moto
ma = F+φ (1.1)
dove m è la massa del punto, F è la risultante di tutte le forze attive agenti sul punto e φ la risultante
di tutte le reazioni vincolari.
Supponendo nota la traiettoria γ del punto P soggetto alla (1.1) allora per caratterizzare il moto
non rimane che da determinare la legge oraria. Più precisamente, se s (ascissa curvilea di P) è la
lunghezza dell’arco γ fra una arbitraria origine e P, misurata positivamente in un prefissato verso,
la (1.1) proiettata, in ciascun punto della γ, sulla rispettiva tangente, orientata nel verso delle s
crescenti, diventa:
m¨s = Ft +Φt
dove la componente tangenziale Φt di Φ è, per lo più, incognita. Tuttavia vi sono dei casi in cui la
Φt è preventivamente assegnabile. In particolare: un punto vincolato a restare su di una curva
priva di attrito si muove su di essa come se fosse esclusivamente soggetto all’azione della
forza attiva (tangenziale), cioé Φt = 0. In tal caso la (1.2) prende la forma
m¨s = Ft
dove la componente tangenziale Ft della forza totale è una funzione f(˙s,s;t) nota, quindi la (1.3)
assumerà la forma
(1.2)
(1.3)
m¨s = f(˙s,s;t) (1.4)
e, nell’ipotesi di limitatezza, continuità e derivabilità nei tre argomenti della f, la (1.4) ammette una,
ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate. La
(1.3) (più precisamente nella forma (1.4)) prende il nome di equazione differenziale del moto ed è
sufficiente per caratterizzare univocamente il moto di un punto vincolato a percorrere una traiettoria
assegnata in assenza di attrito.

2 1 Dinamica del punto
1.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature
Nel caso di forze posizionali Ft = f(s) la (1.3) assume la forma
m¨s = f(s) (1.5)
Per mostrare come la (1.5) si riduca con una quadratura ad una equazione del I◦ ordine ricordiamo
che l’energia cinetica T del punto è qui definita da 1
2m˙s2 , da cui risulta: dT = m˙s¨s. Osservando che,
dt
essendo f funzione della sola s, esiste un’altra funzione U della sola s tale che
dU
ds
= f(s). (1.6)
In virtù della (1.5) segue che dT dU = ˙s. Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione
dt ds
di t tramite s(t), non è altro che la derivata di U = U[s(t)] rispetto a t. Integrando rispetto a t e
designando con E la costante di integrazione, si ricava:
T −U = E. (1.7)
Questa relazione in termini finiti, tra la energia cinetica T del punto P e la sua posizione sulla curva
(caratterizzata dalla funzione U(s)), si chiama integrale delle forze vive. Esso fornisce, in ultima
analisi, una relazione fra s e ˙s.
Nota. Nel caso in cui si suppone prestabilita la traiettoria si perviene alla (1.7) senza bisogno di
introdurre l’ipotesi che la forza totale F sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionale
perchè la (1.6) valga limitatamente alla mobilità del punto sopra la curva γ.
Nota. Dalla (1.7) deriva che:
T1 −T0 = U1 −U0,
essendo T0 e U0, T1 e U1 i valori di T e di U in due generici istanti t0 e t1. In particolare, consideriamo
due punti materiali distinti di egual massa che siano fatti partire con la medesima velocità da una
medesima posizione, oppure da due posizioni appartenenti alla medesima superficie U = cost.. Se
questi due punti si muovono sotto l’azione di una forza derivante dal potenziale U, l’uno libero e
l’altro costretto a restare sopra una curva priva di attrito, essi attraversano ciascuna superficie
equipotenziale con equale velocità. Così, ad esempio, se due punti pesanti cadono, a partire dalla
quiete, uno liberamente, l’altro sopra un sostegno prestabilito (privo di attrito), dopo essere discesi
di una stessa quota, hanno la stessa velocità.
Torniamo al problema dell’integrazione della equazione (1.5) del moto; ponendo
u(s) = 2
[U(s)+E],
m
l’equazione delle forze vive (1.7) si può scrivere
(1.8)
2 ds
= u(s), da cui
dt
ds
= ± u(s),
dt
(1.9)
dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocità scalare ds sia positiva o negativa. La
dt
(1.9) è una equazione differenziale del I◦ ordine, sostanzialmente equivalente all’originaria equazione
(1.5), che può essere integrata mediante una quadratura e fornisce la cercata relazione
in termini finiti tra s e t. Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date l’una
dalla costante additiva dell’ultima quadratura, l’altra dall’integrale E delle forze vive.

1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato
1.2.1 Forze di richiamo e forze viscose
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato 3
Fraleforzeposizionalimeritanospecialeattenzionelecosiddetteforze di richiamo,versoun’assegnata
posizione O della curva γ. La proprietà caratteristica di tali forze è di annullarsi in O, detta posizione
di richiamo, e di esplicarsi, in ogni altro punto della γ, come attrazioni (tangenziali) verso
O, crescenti quanto più ci si allontana da O lungo la curva. In particolare si ha che sf(s) < 0,
supponendo che O abbia ascissa curvilinea s = 0 e dove f(s) = Ft(s). È questo il comportamento
tipico delle forze elastiche. Una espressione tipica di una forza elastica di richiamo è data da:
f(s) = −λs (1.10)
dove λ è una assegnata costante positiva.
Le forze viscose dipendono, invece, dalla velocità del punto e tendono, sempre, ad opporsi al
moto del punto. La più semplice espressione di una forza viscosa ha la forma
F = −bv
dove v è la velocità del punto e b è una assegnata costante positiva.
1.2.2 Oscillatore armonico smorzato
Si usa designare con questo nome un sistema meccanico costituito da un punto materiale di massa
m soggetto ad una forza elastica e ad una forza viscosa. L’equazione differenziale del moto prende
la forma
Ponendo poi h = b
2m
e ω =
λ
m
m¨s+b˙s+λs = 0.
allora questa si scrive
¨s+2h˙s+ω 2 s = 0, (1.11)
cheèunaequazionedifferenzialedelIIordine,lineare,acoefficienticostantieomogenea. Lasoluzione
generale è, tranne un caso particolare (in cui z1 = z2), data da
dove
s(t) = C1e z1t +C2e z2t
z1,2 = −h± √ h 2 −ω 2
sono le soluzioni, reali o complesse, della equazione di secondo grado
z 2 +2hz +ω 2 = 0.
Ai fini della discussione che segue conviene porre la soluzione generale nella forma
s(t) = C1e −β1t +C2e −β2t , dove β1,2 = −z1,2. (1.12)
Nota. Mettiamo in luce la seguente proprietà: qualunque siano h e ω 2 , purché sia h > 0, allora

4 1 Dinamica del punto
ℜz1,2 < 0, cioé ℜβ1,2 > 0. (1.13)
Infatti, essendo z1,2 soluzioni dell’equazione di secondo grado, segue che
z1 +z2 = −2h e z1z2 = ω 2 . (1.14)
Se z1,2 sono numeri reali allora, dalla seconda condizione (1.14), essi hanno segno concorde e questo,
dalla prima condizione (1.14), è negativo. Se, invece, z1,2 sono numeri complessi allora, essendo i
coefficienti della equazione reali, essi sono tra loro complessi coniugati, cioé z2 = ¯z1, e la condizione
(1.14) si traduce in
2ℜz1 = −2h e |z1| 2 = ω 2
che pone immediatamente al risultato cercato.
In virtù della proprietà (1.13) e ricordando che
e −β1,2t = e −ℜβ1,2t e −iℑβ1,2t
(1.15)
dove e −iℑβ1,2t ha modulo 1, segue che la soluzione (1.12) s(t) della equazione (1.11), per assegnate
condizioni iniziali, tende asintoticamente a zero, per t crescente, in modo esponenziale.
Premesso questo risultato generale (e di importanza rilevante nello studio della stabilità dei sistemi)
andiamo a discutere in dettaglio la forma della soluzione generale in funzione dei valori dei
parametri. Si hanno i seguenti tre casi:
Moto aperiodico smorzato: h 2 > ω 2 .
In questo caso abbiamo che β1,2 ∈ R + ed il moto ha, al più, una sola inversione del moto (Figura
1.1).
0.2
0.1
0
–0.1
–0.2
1 2 3 4 5 6
Fig. 1.1. Grafico della legge oraria nel caso di moto aperiodico smorzato.
t

Moto oscillatorio smorzato: h 2 < ω 2 .
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato 5
In questo caso β1,2 sono complessi coniugati e si possono scrivere come β1,2 = h ± ik dove k =
√ ω 2 −h 2 ; con tale posizione la soluzione generale prende la forma (prendendo le costanti arbitrarie
C1 e C2 complesse coniugate tra loro e facendo un po’ di conti)
s(t) = C1e −ht e −ikt +C2e −ht e ikt
−ht
= e C1e −ikt +C2e ikt
= Ce −ht cos(kt+γ).
Risulta quindi essere un moto oscillatorio, di pulsazione k, con ampiezza data da Ce −pt che decresce
esponenzialmente. IlnumeroT = 2π/k prendeilnomedipseudo-periodo(Figura1.2). Osserviamo
che nel caso limite di assenza di smorzamento h = 0 allora la soluzione generale prende la ben nota
forma s(t) = Ccos(kt+γ) caratteristica delle oscillazioni armoniche di periodo 2π/k.
–0.5
1
0.5
0
–1
1 2 3 4 5 6
Fig. 1.2. Grafico della legge oraria nel caso di moto oscillatorio smorzato.
Moto aperiodico smorzato con smorzamento critico: h 2 = ω 2 .
In questo caso z1,2 = −h sono reali e coincidenti; la soluzione generale non ha più la forma (1.12)
bensì
s(t) = C1e −ht +C2te −ht .
L’andamento della funzione s(t) presenta, sostanzialmente, le stesse caratteristiche del primo caso
(Figura 1.1).
1.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato
Se ammettiamo la presenza di un termine forzante che dipende, in modo periodico, dal tempo t allora
l’equazione differenziale da studiare risulta essere la seguente:
t
m¨s+b˙s+λs = Q(t) (1.16)

6 1 Dinamica del punto
dove Q(t) è una funzione periodica assegnata e dove b ≥ 0 e λ = 0. L’equazione differenziale (1.16)
del II ordine, lineare, a coefficienti costanti e completa ha soluzione generale della forma
s(t) = s0(t)+s ⋆ (t)
dove s0(t) è la soluzione generale della omogenea associata (1.11) e dove s ⋆ (t) è una soluzione particolare
della completa.
Nota. In virtù delle osservazioni fatte in precedenza possiamo affermare che, a regime, la funzione
s(t) è data solamente dalla soluzione particolare; infatti, comunque siano state assegnate le costanti
arbitrarie, la funzione so(t) decresce esponenzialmente e quindi, dopo un certo intervallo di tempo
(detto transitorio), segue che s(t) ≈ s ⋆ (t).
Caso di forzante di tipo armonico
Supponendo, al momento, che il termine forzante Q(t) sia una funzione armonica di periodo T1 = 2π
Ω
data da
Q(t) = qsin(Ωt+α),
dove q > 0, Ω > 0 e α sono costanti assegnate. Ricerchiamo la soluzione particolare della forma
s ⋆ (t) = psin(Ωt+ϕ) (1.17)
dove p e ϕ sono da determinarsi sostituendo la (1.17) nella equazione completa (1.16) e richiedendo
che questa sia identicamente soddisfatta. Operando la sostituzione si ottiene
(ω 2 −Ω 2 )psin(Ωt+ϕ)+2hΩpcos(Ωt+ϕ) = qsin(Ωt+α)/m
che, in virtù delle formule trigonometriche di addizione, si trasforma nella
dove, ponendo φ = α−ϕ,
e
Deve quindi essere verificato il seguente sistema
a = 0
b = 0 ⇒
asin(Ωt+α)+bcos(Ωt+α) = 0
a = p[(ω 2 −Ω 2 )cosφ+2hΩsinφ]−q/m
b = p[−(ω 2 −Ω 2 )sinφ+2hΩcosφ].
p[(ω 2 −Ω 2 )cosφ+2hΩsinφ] = q/m
−p[(ω 2 −Ω 2 )sinφ+2hΩcosφ] = 0
Quadrando e poi sommando si ottiene immediatamente:
p = A(Ω2 )q
m
dove A(Ω 2 ) =
1
(ω2 −Ω2 ) 2 +4h2Ω 2
mentre dalla seconda si ottiene immediatamente che deve essere
.
(1.18)

tan(φ) = 2hΩ
ω 2 −Ω 2,
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato 7
con che l’angolo φ (ritardo di fase) risulta individuato subordinatamente alla condizione −π/2 <
φ ≤ π/2. Risulta che tan(φ) è positiva o negativa, e quindi φ è maggiore o minore di 0, secondo che
Ω2 < ω2 o Ω2 > ω2 .
Nota. È immediato verificare che
Energia fornita al sistema vibrante
lim
Ω→0+ A(Ω2 ) = 1
ω2 e lim
Ω→+∞ A(Ω2 ) = 0.
Osserviamo che nelle oscillazioni forzate viene fornita energia al sistema vibrante per effetto della
sollecitazioneaddizionaleQ(t). Inparticolarel’energiaefornitaduranteuninteroperiodoT1 = 2π/Ω
è data dal lavoro svolto dal termine forzante:
e =
e, sostituendo a Q l’equazione del moto (1.16), segue
t+T1
Q(t
t
′ )·v(t ′ )dt ′ t+T1
= Q[s(t
t
′ )]˙s(t ′ )dt ′ ; (1.19)
e =
t+T1
t
= m
2
m˙s¨s+b˙s 2 +λs˙s
dt ′
˙s 2 +ω 2 s 2t+T1 t
t+T1
+2hm
t
A regime stabilito si ha che s = s0+s ⋆ ≈ s⋆ e, per la periodicità di s⋆ , la parte integrata va a zero e
da ciò
t+T1
e ≈ 2hm (˙s
t
⋆ ) 2 dt ′ .
Questa formula mostra che l’energia fornita e risulta essenzialmente positiva, ossia che, per mantenere
le oscillazioni forzate, bisogna comunicare energia al sistema vibrante. Si può,
infine, aggiungere che a regime stabilito la soluzione è data dalla s ⋆ (t) (vedi (1.17)) e quindi e non
dipende dall’istante t considerato ma, solamente, dal periodo T1 = 2π/Ω. Più precisamente:
T1
e ≈ 2hm (˙s ⋆ ) 2 T1
dt = 2hm
0
= 2hmp 2 Ω
Caso ideale di uno smorzamento nullo
˙s 2 dt ′ .
p
0
2 Ω 2 [cos(Ωt+ϕ)] 2 dt
2π−ϕ
[cos(θ)]
−ϕ
2 dθ = 2πhmp 2 Ω.
Mettiamoci nel caso dell’ipotesi ideale dell’assoluta assenza di ogni resistenza passiva (h = 0) e
cerchiamo di determinare per la corrispondente equazione
¨s+ω 2 s = qsin(Ωt)/m (1.20)

8 1 Dinamica del punto
una soluzione periodica della forma (1.17) (è sempre possibile assumere la fase iniziale α nulla in
virtù di una opportuna scelta dell’origine dei tempi t → t − α/Ω). Sostituendo e uguagliando si
ottiene
φ = 0 e p =
q
m(ω 2 −Ω 2 )
purchè ω = Ω.
Se poi si ha Ω = ω, cioé se il periodo della forza addizionale è identico a quello delle vibrazioni
spontanee del sistema, si ha una contraddizione nel ricercare una soluzione periodica del tipo (1.17);
ma si verifica che la (1.20), per ω = Ω, ammette l’integrale particolare
s ⋆ (t) = q
2mω 2tsin(ωt),
ilqualecorrispondeadoscillazionidelmedesimoperiodomachesonodiampiezza indefinitamente
crescente col tempo.
Risonanza
Tenendo fisse le costanti h e ω caratteristiche del sistema vibrante e l’intensità massima q della forza
addizionale e facendone variare la frequenza Ω vediamo come vari conseguentemente l’ampiezza p
dell’oscillazione forzata corrispondente o, equivalentemente, il fattore di amplificazione A(Ω 2 ). In
particolare la A(Ω 2 ) ammetterà un unico massimo raggiunto, se h è piccola, per |Ω| in prossimità di
|ω|. Da qui segue la spiegazione del fenomeno della risonanza.
Per studiare il fenomeno della risonanza riprendiamo la (1.18) ponendo
da cui
Ω2 4h2
= x,
ω2 ω2 = ǫ2 ,
A(Ω 2 ) = 1
ω2f(x), f(x) =
La funzione f(x) ammette punti di stazionarietà x > 0 quando
−2(1−x)+ǫ 2 = 0, cioé x = 1−ǫ 2 /2.
1
(1−x) 2 +ǫ2 . (1.21)
x
In particolare questo risulta essere un punto di massimo relativo per f(x) (poiché la derivata seconda
del radicando al denominatore è positiva e quindi il radicando ha un punto di minimo relativo).
Quindi A(Ω 2 ) ammette un unico punto di massimo per Ω 2 = ω 2 −2h 2 avente valore (Figura 1.3)
Amax = A(ω 2 −2h 2 ) =
1
4h 4 +4h 2 (ω 2 −2h 2 ) =
1
2h √ ω 2 −h 2.
Nota. Nel caso di smorzamento lieve (h ≪ 1) il punto di massimo relativo si ha in corrispondenza
di Ω 2 ≈ ω 2 , cioé quando la frequenza del termine forzante è prossima alla frequenza naturale del
sistema, ed inoltre
Amax ≈ 1
2ωh
≫ 1.

Battimenti
12
10
8
6
4
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato 9
ε=0.08
ε=0.1
ε=0.2
ε=0.4
Fig. 1.3. Grafico della funzione (1.21) per diversi valori di ǫ.
Il fenomeno noto con il nome di battimenti si verifica per la sovrapposizione di oscillazioni armoniche
con frequenze diverse. Tale caso si verifica, ad esempio, quando consideriamo il caso ideale
di smorzamento nullo (cioé h = 0) e soggetto ad un termine forzante oscillatorio. In questo frangente
non posiamo più affermare che s(t) ≈ s ⋆ (t) perché il termine s0(t) ha ampiezza che rimane costante
nel tempo. Più precisamente, volendo studiare il termine
dove
s(t) = s0(t)+s ⋆ (t),
s0(t) = A1cos(ωt+α1) e s ⋆ (t) = A2cos(Ωt+α2)
dove prendiamo A1 = A2 = A (altrimenti poniamo A1 = A2+ Ã2 e isoliamo il termine con coefficiente
Ã2). Con tale ipotesi allora dalle formule di prostaferesi segue che
dove
¯ω =
s(t) = 2Acos(ǫt+β)cos(¯ωt+ ¯α)
Ω +ω
, ǫ =
2
Ω −ω
2
, ¯α = α1 +α2
2
, β = α1 −α2
.
2
Il fenomeno diventa particolarmente evidente nel caso in cui Ω ≈ ω; infatti si osserva che il fattore
cos(¯ωt+¯α) produce una oscillazione che ha una frequenza molto vicina a quella dei moto componenti.
L’ampiezza di tale oscillazione risulta però modulata (lentamente) dal fattore cos(ǫt + β) la cui
frequenza è molto minore di quella precedente (Figura 1.4).
Caso di forzante periodica
Ai fini della ricerca della soluzione particolare nel caso generale in cui il termine forzante sia una
generica funzione periodica, consideriamo inizialmente il caso h(t) = ρeiΩt , dove ρ ∈ C e Ω = 2π.
In T1
tal caso cerchiamo una soluzione (se esiste) della forma s ⋆ (t) = re iΩt , da cui

10 1 Dinamica del punto
0.5
0
–0.5
1
–1
20 40 60 80 100
˙s ⋆ (t) = iΩre iΩt
Fig. 1.4. Battimenti.
t
e ¨s ⋆ (t) = −Ω 2 re iΩt .
La sostituzione di s ⋆ nella equazione differenziale (1.11) porta a
−Ω 2 re iΩt +i2hΩre iΩt +ω 2 re iΩt = ρe iΩt /m
che, dovendo essere identicamente soddisfatta per ogni t (affinché s ⋆ sia soluzione dell’equazione
differenziale), implica
da cui
r =
ρ/m
ω 2 −Ω 2 +2ihΩ
s ⋆ (t) = 1 ρ
mω2
−Ω2 +2ihΩ eiΩt .
Prima di passare al caso generale consideriamo il caso in cui la funzione periodica Q(t) ammetta
sviluppo in serie di Fourier di tipo esponenziale finito:
Q(t) =
N
n=−N
cne iΩnt
dove cn = ¯c−n affinché Q(t) sia a valori reali. Una soluzione particolare, periodica di periodo T, è
quindi data da
s ⋆ (t) =
N
n=−N
s ⋆ n(t), s ⋆ n(t) = 1 cn
mω2
−n2Ω 2 +in2hΩ eiΩnt
dove s ⋆ n(t) è soluzione particolare della equazione differenziale
¨s+2h˙s+ω 2 s = cne iΩnt /m
da quanto abbiamo appena dimostrato. La verifica è immediata:

¨s ⋆ +2h˙s ⋆ +ω 2 s ⋆ N
=
n=−N
N
=
n=−N
1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato 11
¨s ⋆ n +2h˙s ⋆ n +ω 2 s ⋆
n
cne iΩnt /m = Q(t)/m.
Rimane da trattare il caso in cui Q(t) ammette sviluppo in serie infinita di Fourier
Q(t) =
+∞
n=−∞
cne iΩnt . (1.22)
Come nel caso precedente prendiamo come possibile soluzione particolare la serie di Fourier (per il
momento formale):
s ⋆ (t) =
+∞
n=−∞
s ⋆ n(t), s ⋆ n(t) = 1 cne
m
iΩnt
ω2 −n2Ω 2 +i2nhΩ
(1.23)
e cerchiamo di stabilire se questa serie converge e, nel caso in cui converga, se è una soluzione
della equazione differenziale. Come nel caso precedente si verifica facilmente che questa serie è una
soluzione purché converga abbastanza velocemente in modo da poterne calcolare la derivata prima
e seconda derivando la serie termine a termine. Ricordiamo che per potere derivare k volte la serie
termine a termine, deve convergere la serie
+∞
n=−∞
dks⋆ n(t) 1
=
dtk m
+∞
n=−∞
cn(iΩn) k
ω 2 −n 2 Ω 2 +i2nhΩ eiΩnt
(1.24)
uniformemente rispetto a t; ricordiamo inoltre la seguente stima dei coefficienti della serie di Fourier:
|cn| ≤ cn−r quando la funzione Q(t) è di classe Cr . In virtù di queste considerazioni abbiamo che il
termine n—esimo della serie (1.24) può essere stimato come
cn(iΩn)
keiΩnt /m
ω2 −n2Ω 2
+i2nhΩ ≤
cΩ k n k
nr
(ω2 −n2Ω 2 ) 2 +4n2h2Ω 2
≤ Cn k−r−2
per una qualche costante C > 0 indipendente da n. Troviamo quindi che la serie (1.24) converge
uniformemente rispetto a t se r + 2 − k > 1; in particolare si ha che la serie (1.23) è soluzione
dell’equazione differenziale (1.16) se r + 2 − 2 > 1 (k = 2), cioé se la funzione Q(t) è, almeno, di
classe C 2 .
Possiamo riassumere questo risultato nel seguente teorema:
Teorema: Sia data la equazione (1.16) dell’oscillatore armonico smorzato e forzato, sia Q(t) una
funzione periodica, di periodo T1, di classe C 2 e avente sviluppo di Fourier in forma esponenziale
(1.22) dove Ω = 2π/T1. Allora la serie di Fourier (1.23) converge uniformemente per ogni t ∈ [0,T1]
ed è una soluzione della equazione (1.16).
Nota. Analiziamo ora in cosa si traduce il fenomeno della risonanza nel caso generale in cui
Q(t) ammette uno sviluppo di Fourier del tipo (1.22). Sotto l’ipotesi che Q ∈ C 2 si è provato

12 1 Dinamica del punto
che la soluzione particolare ha forma (1.23). Allora si vede subito che, prendendo anche qui h
sufficientemente piccolo, le armoniche di indice n± = ±
ω , dove [−] denota il numero intero più
Ω
vicino, vengono amplificate, infatti per tali valori di n il denominatore assume valore minimo, mentre
le altre armoniche sono smorzate.
1.3 Analisi qualitativa del moto
1.3.1 Studio del moto alla Weierstrass
Consideriamo il caso in cui la forza F applicata al punto libero P è conservativa (o, almeno nel
caso uni-dimensionale, sia posizionale); allora le equazioni (1.1) ammettono l’integrale (primo)
delle forze vive
T −U = E,
dove E è l’energia totale costante. Riprendiamo la corrispondente equazione delle forze vive (1.9)
dove
˙s 2 = u(s), (1.25)
u(s) = 2 du dU
[U(s)+E] e =
m ds ds = f(s) = Ft(s). (1.26)
La (1.25) è una conseguenza necessaria della equazione fondamentale (1.5) m¨s = f(s). Perciò
l’andamento del moto si può desumere dalla (1.25) anziché dalla originaria (1.5).
Circa l’equazione (1.25) supponiamo, per fissare le idee, che la funzione u(s), per tutti i valori di
s che volta a volta considereremo, sia finita e continua insieme con le sue derivate di tutti gli ordini.
Denotiamo con s0 e ˙s0 la ascissa curvilinea e la velocità scalare del punto all’istante iniziale.
Dalla (1.25) distinguamo, in ordine alle condizioni iniziali, due casi:
a) se ˙s0 = 0, ovvero ˙s 2 0 = u(s0) = 0;
b) se ˙s0 = 0, ovvero ˙s 2 0 = u(s0) > 0.
Caso di velocità iniziale nulla: ˙s0 = 0.
Consideriamoinizialmenteilcasoa) ˙s0 = 0. Inquestocasoilmoto,alsuoinizio,nonècompletamente
caratterizzato dall’equazione delle forze vive (1.25) ed è necessario fare un distinguo:
a1) s0 è radice semplice di u(s), cioé
du(s0)
= 2f(s0)
= 0.
ds m
In virtù della legge del moto incipiente (in base alla quale, per l’annullarsi della velocità iniziale,
il mobile segue il verso della forza attiva Ft = m du
2 ds che, per s = s0, è non nulla) si ha che il mobile
si mette in moto e, subito dopo l’istante iniziale, ci troviamo nella condizione b).
a2) s0 è una radice multipla di u(s), cioé
du(s0)
ds
= 2f(s0)
m
In questo caso s ≡ s0 soddisfa l’equazione del II ◦ ordine (1.5) con le condizioni iniziali s(t0) = s0
e ˙s(t0) = 0. Quindi il mobile rimane in equilibrio nella posizione iniziale s0.
= 0.

Caso di velocità iniziale non nulla: ˙s0 = 0.
1.3 Analisi qualitativa del moto 13
Consideriamo ora il caso b) ˙s0 = 0. In questo caso il moto, al suo inizio, è completamente caratterizzato
dall’equazione delle forze vive (1.25) scritta nella forma
˙s = ± u(s) (1.27)
Possiamo sempre assumere, senza perdere in generalità, che sia ˙s0 > 0 (altrimenti è sufficiente
cambiare orientazione alla traiettoria) e quindi:
˙s0 = + u(s0).
Prestabilito questo segno, resta determinato anche quello della equazione differenziale del I ◦ ordine
(1.27) che caratterizza il moto fino a tanto che la velocità non si annulla, cioé fino a quando s non
raggiunge una radice di u(s). Qui si presentano due sottocasi distinti:
b1) a partire da s0 fino a +∞, nel verso della velocità ˙s0, non si incontra mai una radice di u(s):
u(s) = 0, ∀s > s0;
b2) esiste, dalla parte indicata di ˙s0, una prima radice s ⋆ di u(s):
∃s ⋆ > s0 : (u(s ⋆ ) = 0∧u(s) > 0 ∀s ∈ [s0,s ⋆ )).
Nel caso b1) l’equazione è integrabile per separazione di variabili ottenendo
dt = ds
s dξ
, da cui t(s) =
u(s) s0 u(ξ) +t0
(1.28)
funzione continua, monotona crescente al crescere di s e definita per ogni s > s0. Essa rappresenta
il tempo che il mobile impiega ad arrivare in s > s0. Si ricava che per ogni s > s0 il mobile
passa in s in un tempo finito, in questo caso si parla di moto diretto (o retrogrado se
˙s0 < 0) aperiodico. La funzione inversa s(t), pur essa monotona, fornisce l’equazione oraria del
moto considerato.
Nel caso b2) si ha, come per il caso b1), la scomposizione (1.28) che fornisce t(s) monotona
crescente definita per ogni s0 < s < s ⋆ . Quindi il mobile, se s ⋆ è la prima radice di u(s) nel verso
indicato da ˙s0, va, sempre muovendosi in un medesimo senso, dalla posizione iniziale s0 ad ogni
posizione s < s ⋆ in un tempo finito:
t(s) =
s
s0
dξ
u(ξ) +t0, s0 ≤ s < s ⋆ . (1.29)
Analizziamo il tempo impiegato per raggiungere s ⋆ . Si distinguono due casi:
b21) s ⋆ è radice semplice di u(s);
b22) s ⋆ è radice multipla di u(s).
Nel caso b21) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un intorno (sinistro) di s ⋆ è definita una
funzione ξ(s) ∈ (s,s ⋆ ) tale che

14 1 Dinamica del punto
u(s) = (s ⋆ −s)u ′ [ξ(s)] (1.30)
dove u ′ (s) < 0 per s in un intorno di s ⋆ poiché u(s) > 0 per ogni s ∈ (s0,s ⋆ ) e s ⋆ è radice semplice
di u(s). L’integrale generalizzato
t ⋆ = t(s ⋆ s⋆ ) =
s0
ds
u(s) +t0
s⋆ =
s0
converge poiché u ′ [ξ(s)] = 0 in un intorno di s ⋆ . La funzione
t(s) : [s0,s ⋆ ] → [t0,t ⋆ ]
ds
√
s⋆ −s u ′ [ξ(s)] +t0
è monotona crescente (e continua) e quindi essa è invertibile e la sua inversa
s(t) : [t0,t ⋆ ] → [s0,s ⋆ ]
è la legge del moto del mobile per t nell’intervallo [t0,t ⋆ ]. Per t = t ⋆ si ha che s(t ⋆ ) = s ⋆ e ˙s(t ⋆ ) =
u(s ⋆ ) = 0 e quindi nell’istante t ⋆ il mobile è nelle condizioni di tipo a). Più precisamente, essendo
nelle condizioni di tipo a1) poiché u ′ (s ⋆ ) < 0, allora il mobile si mette in moto per t > t ⋆ di moto
retrogrado. In conclusione: nel caso in cui s ⋆ è una radice semplice allora per ogni s ∈ (s0,s ⋆ )
il mobile passa in s in un tempo finito, arriva in s ⋆ all’istante finito t ⋆ ; in corrispondenza
ad s ⋆ il mobile ha velocità nulla e si ha una inversione del moto.
Nel caso b22) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un intorno (sinistro) di s ⋆ è definita una
funzione ξ(s) ∈ (s,s ⋆ ) tale che
e quindi l’integrale generalizzato
t(s ⋆ ) =
s ⋆
s0
u(s) = 1
2 (s⋆ −s) 2 u ′′ [ξ(s)]
ds
u(s) +t0
s⋆ 2
=
s0 u ′′ [ξ(s)]
ds
s⋆ −s +t0
nonconverge. Quindi,se s ⋆ è radice multipla il mobile, pur sempre con moto costantemente
progressivo, si avvicina indefinitamente a questa posizione, senza mai raggiungerla (moto
a meta asintotica).
Caso di moto periodico
Merita particolare attenzione il caso in cui la posizione iniziale s0 sia compresa fra due radici semplici
s+ > s− consecutive di u(s):
u(s±) = 0, s0 ∈ (s−,s+) e u(s) = 0 ∀s ∈ (s−,s+).
In tal caso si dimostra la periodicità del moto e si calcola il periodo come:
s+
T = 2
s−
ds
. (1.31)
u(s)

Infatti, una volta arrivato il punto in s+ in un tempo
t+ =
s+
s0
ds
u(s) +t0
1.3 Analisi qualitativa del moto 15
qui si arresta e poi si inverte il moto; quindi il mobile si rimette in moto a partire da s+ nel verso delle
ascissedecrescenti. Ripetendo l’analisi appena svolta prendendo il segno negativo nella equazione
˙s = ± u(s) si ottiene che il mobile arriva in s− all’istante
t− =
s−
s+
ds
− u(s) +t+.
Infine in s− il mobile inverte nuovamente il moto ed arriva in s0 all’istante
T +t0 =
=
s0
s−
s0
s−
ds
u(s) +t−
s0
=
s−
ds
u(s) +
s−
s+
ds
u(s) +
s−
s+
ds
− u(s) +
s+
s0
ds
− u(s) +t+
ds
u(s) +t0
da cui segue l’espressione (1.31) per T. Si osserva che in s0 per t = t0
+ T il mobile ha la stessa
velocità iniziale data da ˙s = u(s0) e quindi, per il Teorema di unicità della soluzione del problema
di Cauchy, il moto si riproduce con le stesse modalità.
1.3.2 Diagramma delle fasi
Ripartiamo dal Teorema di conservazione dell’energia meccanica, più precisamente si ha che la
grandezza meccanica
si conserva durante il moto dove
e dove
1
2 m˙s2 +V(s) = E (1.32)
E = 1
2 m˙s2 0 +V(s0)
V(s) = −U(s) = −
f(s)ds
denota l’energia potenziale. Dalla (1.32) segue immediatamente che il moto del punto P su una
curva γ prestabilita avviene nei tratti di γ per i quali vale la condizione V(s) ≤ E; cioé le regioni
{s ∈ R : V(s) > E}
sono interdette al moto del punto P dovendo essere ˙s 2 ≥ 0. Osserviamo inoltre che durante il moto
t → s(t) non si può passare tra due regioni distinte per la proprietà di continuità della legge di moto.

16 1 Dinamica del punto
Fig. 1.5. Il moto del punto P può avvenire solamente all’interno delle regioni per le quali E ≥ V(s). Nell’esempio in questione
abbiamo associato ad E due moti possibili, uno dei quali è un moto periodico tra s− < s+.
I valori s, per i quali V(s) = E, dividono le diverse regioni e sono cruciali per la discussione sul tipo
di moto.
Definiamospazio delle fasil’insiemeR 2 aventeelementi(s, ˙s). Adognipunto(s, ˙s)nelpianodelle
fasi si associa, in modo univoco, una posizione ed una velocitá del punto materiale sulla traiettoria.
Possiamo quindi identificare il moto del punto materiale con la traiettoria del punto (non materiale)
nel piano della fasi.
Sia definita ora la funzione nello spazio delle fasi
E(s, ˙s) = 1
2 m˙s2 +V(s).
Per il teorema di conservazione dell’energia meccanica ogni traiettoria {(s(t), ˙s(t)) ∈ R 2 , t ∈ R} nel
piano delle fasi (s coincide con il parametro lagrangiano) è contenuta in una curva di livello di
equazione
E(s, ˙s) = E
dove E = E(s0, ˙s0) si determina in base alle condizioni iniziali. Lo studio del mobile P su γ viene
effettuato studiando l’andamento del corrispondente punto (immaginario) sulle curve di livello nello
spazio delle fasi. Le curve di livello sono simmetriche rispetto all’asse delle ascisse s ed è importante
individuareglieventualipunti critici,cioélecoppie(s, ˙s)incuinonèbendefinitoilvettoretangente
alla curva di livello, cioé tali che
∂E
∂s
= 0 e ∂E
∂˙s
= 0 ⇒
V ′ (s) = 0
˙s = 0 , V ′ (s) = dV
ds
= −f(s)
Si nota quindi che tutti i punti critici sono le coppie del piano delle fasi (s,0) dove s è un punto
di massimo, di minimo o di flesso dell’energia potenziale V; questi punti si dicono anche punti
stazionari. In corrispondenza a tali punti, poiché v = 0 e Ft = 0, abbiamo traiettorie stazionarie
per il mobile. Notiamo che al di fuori di questi punti non esistono traiettorie stazionarie poiché v = 0
o Ft = 0 e quindi la configurazione corrispondente non è di equilibrio.

1.3 Analisi qualitativa del moto 17
Nota. Ogni arco di curva di livello, non contenente punti critici, è percorso dalla evoluzione
(s(t), ˙s(t)), t ∈ R. Più precisamente la curva è percorsa da sinistra verso destra nel semipiano
superiore ˙s > 0, nel semipiano inferiore ˙s < 0 è invece percorsa da destra verso sinistra.
Nota. Se, inoltre, la curva è chiusa allora il moto è periodico ed il periodo del moto è
T = 2
s+
s−
dξ
2[E
−V(ξ)] m
dove s± sono tali che V(s±) = E (osserviamo che i punti (s±,0) sono l’intersezione tra la curva chiusa
e l’asse delle ascisse).
Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (¯s,0) con ¯s corrispondente ad un punto di
minimo per il potenziale, allora le traiettorie possibili sulla curva di livello (almeno in un intorno
finito di (¯s,0)) si riducono alla sola traiettoria stazionaria (¯s,0).
Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (¯s,0) con ¯s corrispondente ad un punto
di massimo o di flesso per il potenziale, allora, essendo tale punto critico, esso stesso sarà una
traiettoria stazionaria, ma la curva di livello consterà di più traiettorie: una traiettoria stazionaria e
almeno due asintotiche, cioé tali che
(s±(t), ˙s±(t)) → (¯s,0) per t → ±∞.
Vediamo ora in dettaglio come si dispongono le traiettorie nell’intorno di un punto critico corrispondente
ad un minimo ed a un massimo.
Caso I: ¯s è un punto di minimo per il potenziale V
Tenendo conto che V ′′ (¯s) > 0 (per comodità facciamo questa ipotesi), allora
E(s, ˙s) = 1
2 m˙s2 +V(¯s)+ 1
2 V ′′ (¯s)(s− ¯s) 2 +O((s− ¯s) 3 )
≈ 1
2 m˙s2 +V(¯s)+ 1
2 V ′′ (¯s)(s− ¯s) 2
(1.33)
dove O((s−¯s) 3 ) rappresenta il resto ed è un infinitesimo di ordine superiore al secondo per s−¯s → 0.
Quindi per E = E(¯s,0) = V(¯s) l’equazione E = E si riduce a
1
2 m˙s2 + 1
2 V ′′ (¯s)(s− ¯s) 2 ≈ 0, V ′′ (¯s) > 0;
quindi abbiamo {(¯s,0)} come unica curva di livello. Mentre per E > V(¯s) la (1.33) è, a meno di
infinitesimi d’ordine superiore, l’equazione di un ellisse di centro (¯s,0):
1
2 m˙s2 + 1
2 V ′′ (¯s)(s− ¯s) 2 ≈ E −V(¯s) > 0.
Abbiamo quindi una traiettoria periodica corrispondente alla curva di livello chiusa approssimata da
un ellisse (Figura 1.6) e il mobile oscilla tra i due valori s± tali che V(s±) = E, dove V ′ (s−) < 0 e
V ′ (s+) > 0, con periodo
s+(E) dξ
T(E) = 2
s−(E) 2[E
−V(ξ)]. m (1.34)

18 1 Dinamica del punto
Fig. 1.6. Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di minimo relativo. Per energia E1 minore del minimo
relativo V(¯s) dell’energia potenziale non sono ammessi moti (in un intorno del punto di minimo); per energia E2 coincidente
con il minimo relativo dell’energia potenziale è ammesso solamente il moto stazionario s(t) = ¯s; per energia E3 maggiore del
minimo relativo dell’energia potenziale si ha un moto periodico tra s− < s+ attorno alla configurazione di equilibrio ¯s.
Caso II: ¯s è un punto di massimo per il potenziale V
Tenendo conto che V ′′ (¯s) < 0 (per comodità facciamo questa ipotesi), allora
E(s, ˙s) = 1
2 m˙s2 +V(¯s)+ 1
2 V ′′ (¯s)(s− ¯s) 2 +O((s− ¯s) 3 )
dove O((s−¯s) 3 ) rappresenta il resto ed è un infinitesimo di ordine superiore al secondo per s−¯s → 0.
Quindi la curva di livello per E = E(¯s,0) = V(¯s) contiene 4 traiettorie asintotiche a (¯s,0) oltre che
a quella stazionaria {(¯s,0)}:
dove
E(s, ˙s) = E =⇒ 0 = E2 −V(¯s) ≈ 1
2 m[˙s2 −c 2 (s− ¯s) 2 ],
c 2 = 1
m |V ′′ (¯s)|.
Per E = V(¯s) (e comunque prossima sufficientemente ad V(¯s)) si tratta di rami di iperbole (a meno
di infinitesimi di ordine superiore)
1
2 m˙s
2 −c 2 (s− ¯s) 2
= E −V(¯s) = 0
corrispondenti a due traiettorie con inversione del moto se E < V(¯s) e a due traiettorie che superano
il colle se E > V(¯s) (Figura 1.7).
Nel caso di punto di massimo o di flesso ci si può rendere conto della presenza di traiettorie
asintotiche (s(t), ˙s(t)) → (¯s,0) per t → +∞ o per t → −∞ poiché l’integrale generallizato
¯s
t(¯s)−t(s0) = ±
s0
dξ
2
m [V(¯s)−V(ξ)],

1.3 Analisi qualitativa del moto 19
che esprime il tempo impiegato dal mobile per andare da s0 a ¯s (supponendo V(¯s) − V(s) > 0,
∀s ∈ [s0,¯s)), risulterà non convergente a causa dell’ordine infinito dell’integrando (ad esempio: di
ordine almeno 1 per punti di massimo e 3/2 per punti di flesso).
Fig. 1.7. Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di massimo relativo. Per energia E2 coincidente con
il massimo relativo dell’energia potenziale sono ammessi, oltre al moto stazionario s(t) = ¯s, moti asintotici; per energie E1 e E3,
rispettivamente, minori e maggiori del massimo relativo dell’energia potenziale si hanno, rispettivamente, due traiettorie con e
senza inversione del moto.
1.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per l’oscillatore armonico
Studiamo il moto di un punto vincolato a scorrere senza attrito su una retta e soggetto ad una forza
elastica. L’equazione del moto è m¨x = −kx, m,k > 0. Dimostriamo, attraverso la formula (1.34)
che il periodo del moto è indipendente da E. Sia
V(x) = 1
2 kx2 +c
l’energia potenziale della forza attiva. L’equazione per determinare i punti critici V ′ (x) = 0 ha
soluzione ¯x = 0. Scegliendo la costante c tale che V(¯x) = 0 (cioé c = 0) abbiamo il seguente
diagramma delle fasi (Figura 1.8):
- per E = V(¯x) = 0 abbiamo un minimo e quindi l’unica traiettoria è la traiettoria stazionaria
{(0,0)};
- per E < 0 tutti i valori di x sono non ammessi al moto poiché si avrebbe E −V(x) < 0 per ogni
x ∈ R;
- per E > 0 il moto della particella avviene nella regione (classicamente permessa) x−(E) ≤
x ≤ x+(E) dove x±(E) sono soluzioni della equazione E = V(x±):
x± = ± 2E/k.

20 1 Dinamica del punto
Fig. 1.8. Comportamento delle curve di livello dell’oscillatore armonico.
Le traiettorie (s(t), ˙s(t)) nello spazio delle fasi sono ellissi per ogni valore positivo dell’energia;
infatti l’equazione per le curve di livello è esattamente
E = 1
2 m˙s2 + 1
2 ks2 ,
cioé l’equazione di un ellisse con assi coincidenti con gli assi coordinati e di lunghezza
2E/m rispettivamente. Quindi per ogni E > 0 abbiamo un moto periodico di periodo
1.3.4 Esercizi
x+(E)
T(E) = 2
x−(E)
2m
E
√
+ 2E/k
dx
dx
= √
2[E
−V(x)] − 2E/k 1−kx m 2 /2E
m +1 dx m m
= 2 √ = 2 [ arcsin x]+1
k −1 1−x 2 −1 = 2π
k k .
2E/k e
1) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione m¨x = −kx 3 , m, k > 0, e dimostrare
che il periodo T(E) del moto è tale che
lim T(E) = +∞.
E→minV(x)+0
2) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione m¨x = −αx − βx 2 , per (in
grandezze adimensionali) m = 1, α = 2 e β = 3g, g > 0. Più precisamente, disegnare il diagramma
delle fasi e, per i diversi possibili livelli di energia, discutere quali sono i moti possibili.
3) Calcolare il periodo del moto di un punto soggetto alla forza peso e vincolato a scorrere, senza
attrito, su un arco di cicloide. Dimostrare il perfetto isocronismo.
4) Discutere il problema dei due corpi introducendo il potenziale efficace e impostando la discussione
del moto alla Weierstrass.

1.4 Pendolo semplice 21
5) Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scorrere senza attrito lungo una circonferenza
di centro O e raggio ℓ posta in un piano verticale che ruota attorno all’asse verticale (O;z)
convelocitàangolareω = ˙ θˆ kconθ = θ(t)nota. Sia(O1;x1,y1,z1)ilsistemadiriferimentorelativo
con O ≡ O1, l’asse (O1;z1) coincidente con l’asse di rotazione e con il piano (O1;x1,z1) contenente
la circonferenza; il sistema è ad un grado di libertà ed assumiamo come parametro lagrangiano
l’angolo formato dal segmento P −O ed il semi-asse verticale discendente. Si domanda:
i) calcolare il potenziale e l’energia cinetica rispetto all’osservatore relativo;
ii)calcolare le configurazioni di equilibrio relativo e studiarne la stabilità;
iii)disegnare il diagramma delle biforcazioni per le configurazioni di equilibrio relativo in funzione
del parametro positivo adimensionale γ = g
ω2ℓ ;
iv)assegnando, ad esempio, γ = 2.3 disegnare il diagramma delle fasi e per i diversi possibili livelli
di energia, discutere quali sono i moti possibili.
1.4 Pendolo semplice
1.4.1 Equazione differenziale del moto
Trascurando il peso dell’asta possiamo assimilare il pendolo semplice ad un punto pesante vincolato
a restare su una circonferenza (Figura 1.9) non orizzontale. Sia α l’angolo formato tra il piano
contenentelacirconferenzaedilpianoorizzontaleesifissisulpianoinclinatounsistemadiriferimento
(O;x,y) dove O coincide con il centro della circonferenza, l’asse x è diretto normale alla verticale e
l’asse y ha la direzione della massima pendenza.
Il sistema è a un grado di libertà e possiamo assumere come parametro lagrangiano l’angolo θ che
l’asta forma con il semiasse delle y negative, orientato verso il basso. L’equazione del moto diventa,
essendo s = ℓθ e Ft = −mgsinαsinθ,
Fig. 1.9. Il pendolo semplice.
¨θ = − gsinα
ℓ
sinθ (1.35)

22 1 Dinamica del punto
dove ℓ è la lunghezza dell’asta. Questa è una equazione differenziale del II ordine (non lineare) e
non è possibile ottenere in modo semplice una sua soluzione. Si può procedere studiando il moto
delle piccole oscillazioni linearizzando l’equazione (1.35) oppure effettuando l’analisi del moto alla
Weierstrass.
1.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice
Considerando il moto del pendolo semplice in un intorno della configurazione θ = 0 possiamo, in
prima approssimazione, assumere sinθ ≈ θ. Con questa approssimazione (linearizzazione attorno ad
una configurazione di equilibrio stabile) l’equazione (1.35) prende la forma lineare
¨θ = − gsinα
θ (1.36)
ℓ
gsinα
che ammette soluzione geneale θ(t) = Acos(ωt+ϕ) dove ω = e dove A e ϕ dpendono dalle
ℓ
condizioni iniziali. Nel limte di piccole oscillazioni si ottiene quindi un moto periodico con periodo
T = 2π/ω indipendente dall’ampiezza delle oscillazioni (isocronismo approssimato del pendolo
semplice).
1.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice
L’integraledelleforzeviveassumelaformaT+V = E doveT = 1
2 mℓ2˙ θ 2 eV(θ) = −mgℓsinαcosθ+c,
scegliamo c = mgℓsinα in modo che sia V(0) = 0. Da ciò segue che:
ovvero
1
2 mℓ2˙ θ 2 −mgℓsinα(cosθ−1) = E
˙θ 2 = 2gsinα
(cosθ+e), (1.37)
ℓ
dove la costante e = E/(mgℓsinα)−1 viene determinata in base alle condizioni iniziali. In base ai
valori di e abbiamo i diversi moti possibili (Figura 1.10).
Moti rotatori o rivolutivi
Per E > 2mgℓsinα, ovvero e > 1, sarà sempre ˙ θ = 0. Quindi il punto passa infinite volte per
ciascun punto della circonferenza con velocità angolare mai nulla. Si tratta di un moto rivolutivo.
Essendo la posizione del pendolo definita da θ modulo 2π, risulta però essere un moto periodico.
Stati di equilibrio
Per E = 2mgℓsinα (rispettivamente E = 0), ovvero e = 1 (risp. e = −1) il secondo membro della
(1.37) ammette l’unica radice doppia θ = 0 (per e = −1) o θ = π (per e = +1). Quindi il punto
P, abbandonato senza velocità iniziale ( ˙ θ0 = 0) sia nella posizione più bassa sia nella posizione
diametralmente opposta vi permane indefinitamente. Si noti che il valore e = −1 è compatibile
soltanto con l’equilibrio (stabile) nella posizione più bassa. Invece per e = +1 il moto può avvenire
a partire dalla posizione iniziale P0, sempre nello stesso senso della velocità iniziale, verso il punto
corrispondente a θ = π, meta asintotica cui il mobile tende al crescere indefinito del tempo.

Moti oscillatori
Fig. 1.10. Diagramma delle fasi per il pendolo semplice.
1.4 Pendolo semplice 23
Passiamo ad esaminare il caso in cui si ha 0 < E < 2mgℓsinα, ovvero −1 < e < 1. L’espressione a
destra della (1.37) ammette le due radici semplici θ+ = arccos(−e) e θ− = −θ+. Perciò il pendolo
oscilla periodicamente fra le posizioni estreme P0 e P ′ 0 di anomalia, rispettivamente, θ+ e −θ+ con
periodo dato da
T = 2
2ℓ
gsinα
θ+
0
dθ
√ .
cosθ−cosθ+
Per calcolare il periodo T si sostituisce sin(θ/2) = usin(θ+/2) e ponendo k = sin(θ+/2) < 1 si avrà
ℓ 1 du
T = 4
gsinα 0 (1−u 2 )(1−k 2u2 )
si riduce quindi ad un integrale ellittico di prima specie che si risolve sviluppando in serie
di Taylor il termine (1 − k 2 u 2 ) −1/2 essendo k 2 u 2 < 1 su tutto l’intervallo di integrazione. Più
precisamente si osservi che
dove
(1−k 2 u 2 ) −1/2 ∞
=
n=0
cn(ku) 2n
. (1.38)
2·4·6···2n
Sostituendo questa espressione all’interno dell’integrale e integrando per serie si ottiene:
ℓ
∞
T = 4 cnk
gsinα n=0
2n
1 u
0
2ndu
(1−u 2 )
ℓ
∞
= 2π c
gsinα
2 nk 2n
ℓ
∞
= 2π c
gsinα
2 2n θ0
nsin
2
c0 = 1, cn = 1·3·5···(2n−1)
n=0
n=0

24 1 Dinamica del punto
essendo
1
0
u 2n du
(1−u 2 )
π
= cn . (1.39)
2
Se l’anomalia θ+ è piuttosto piccola allora possiamo ottenere con buona approssimazione
ℓ
T = 2π 1+
gsinα
1 θ+
sin2
4 2 +O(θ4
+) .
Cioé il termine principale dello sviluppo asintotico è dato dal periodo dell’oscillatore armonico ottenuto
linearizzando la (1.35) attorno alla configurazione di equilibrio stabile θ = 0. Da questo
risultato appare chiaro che, in generale, il periodo del pendolo semplice dipende dall’ampiezza delle
oscillazioni; solamente nel limite di piccole oscillazioni possiamo sostenere la legge (approssimata)
dell’isocronismo del pendolo semplice: il periodo di oscillazione è indipendente dall’ampiezza
di oscillazione.
1.4.4 Esercizi
1) Dimostrare le formule (1.38) e (1.39).
1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale
1.5.1 Integrali primi del moto
Designamo con integrale primo ogni equazione della forma
g(x,y,z, ˙x, ˙y, ˙z;t) = costante arbitraria (1.40)
la quale sia conseguenza necessaria della (1.1), cioé risulti identicamente verificata (per un opportuno
valore della costante) da ogni terna di funzioni x(t), y(t), z(t) soddisfacenti alle (1.1).
Esempi di integrali primi.
a) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materiale P libero, costantemente
perpendicolare ad una retta fissa. Assumendo l’asse z quale retta si ha Fz = 0, da ciò
m¨z = 0 e quindi m˙z = c1 detto integrale della quantità di moto rispetto all’asse z.
b) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materiale P libero, costantemente
incidente ad una retta fissa. Quindi il vettore F, pensato applicato nel punto, ha momento
nullorispettoallarettafissa. Inparticolare,assumendoz qualeretta(aventedirezioneindividuata
dal versore ˆ k), si avrà
da cui
ma×(O−P)· ˆ k = m(x¨y −y¨x) = 0, (1.41)
m(x˙y −y˙x) = cost.

1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale 25
Questo integrale primo prende il nome di integrale delle aree o del momento della quantità
di moto. In particolare se la forza F è centrale di centro O (una forza centrale è una forza
sempre diretta verso un punto fisso detto centro), sarà
v×(O−P) = c = cost. (1.42)
c) Consideriamo il caso in cui la forza F applicata al punto libero P è conservativa; allora le
equazioni (1.1) ammettono l’integrale (primo) delle forze vive
dove E è l’energia totale costante.
1.5.2 Forza centrale
T −U = E,
Consideriamo il moto di un punto P, libero di muoversi nello spazio tridimensionale R 3 , soggetto
unicamente ad una forza centrale (P,F). Ricordiamo che una forza (P,F) si dice centrale se il
vettore F della forza è sempre diretto verso un punto fisso, detto centro della forza, e se inoltre
l’intensità della forza dipende solo dalla distanza del punto P dal centro. Quindi, denotando con O
il centro della forza, segue che ogni forza centrale si può scrivere come
(P −O)
F = f(r) , r = |P −O| (1.43)
|P −O|
dove f : R + → R è una funzione assegnata.
Nel caso di un punto libero P soggetto ad una forza centrale, di centro O, sussiste l’integrale
primo vettoriale (1.42). Quindi il moto avviene in un certo piano passante per il centro O della
forza e ortogonale al vettore c definito nella (1.42), identificato mediante le condizioni iniziali v0 e P0
(è possibile il caso particolare in cui v0 è parallelo a P0−O, in tale caso c = 0 ed il moto avviene su
una retta). Scegliendo il sistema di riferimento con centro in O in modo opportuno identifichiamo
tale piano con il piano z = 0 e la (1.42) si riduce alla
x˙y −y˙x = c e z ≡ 0 (1.44)
fornendo una effettiva relazione fra le due coordinate incognite di P e le loro derivate.
Inoltre ogni forza centrale (1.43) è conservativa definendo, a meno di una costante additiva, il
potenziale U(r) = r r0f(r′ )dr ′ e da ciò segue l’integrale primo delle forze vive
1
2 mv2 −U(r) = E. (1.45)
Come vedremo in seguito dalle (1.44) e (1.45) segue l’integrabilità per quadrature del problema
(ridotto al piano xy).
Nota. Osserviamo che è stato possibile derivare le (1.44) e (1.45) dalle leggi di Newton; viceversa,
escludendo il caso di traiettorie circolari, dalle (1.44) e (1.45) seguono le equazioni differenziali del
moto. Infatti dall’integrale primo delle aree derivato si ottiene che deve essere
x¨y − ¨xy = 0

26 1 Dinamica del punto
mentre dall’integrale primo dell’energia meccanica derivato si ottiene che deve essere
˙x¨x+ ˙y¨y = u(x,y, ˙x, ˙y)
per una qualche funzione u. Queste due equazioni si possono risolvere rispetto a ¨x e ¨y (così da
pervenire alle equazioni newtoniane del moto), purché non sia identicamente nullo il determinante
dei coefficienti di ¨x e ¨y nelle due equazioni. Questo determinante è dato da
−x˙x−y˙y = − 1dr
2
2
dt
che risulta diverso da zero ad esclusione del caso r = cost. che corrisponde appunto alle eventuali
traiettorie circolari. Da ciò si desume che, quando di un punto soggetto ad una forza centrale si
vogliono studiare le eventuali orbite circolari, non basta tener conto degli integrali primi delle
aree e della energia cinetica, ma bisogna riprendere le originarie equazioni del moto.
Nota. Disponendo della costante additiva possiamo, se U(r) tende ad un limite finito per r → ∞,
assumere tale valore 0. Se l’energia totale è negativa, allora dalla (1.45), sarà U(r) ≥ −E > 0
durante il moto; quindi U non si annulla mai ed r deve ammettere un limite superiore finito. Cioé:
se il potenziale U(r) di una forza centrale si mantiene regolare all’infinito (annullandosi
all’infinito) e l’energia totale del mobile è negativa, l’orbita si svolge tutta a distanza
finita.
1.5.3 Integrazione delle equazioni del moto
Passiamo ora alla integrazione del sistema (1.44), (1.45) riferendolo a coordinate polari r e θ, aventi
il polo in O e l’asse polare secondo l’asse orientato delle x. Queste diventano:
r2˙ θ = c
1
2m(˙r2 +r2˙ 2 . (1.46)
θ ) = U(r)+E
Si distinguono due casi:
a) c = 0;
b) c = 0.
Il caso a) corrispondente a c = 0 (costante delle aree nulla) darà luogo a due possibilità:
a1)r ≡ 0 stato di quiete nel punto O;
a2) ˙ θ ≡ 0 moto rettilineo (lungo la retta avente inclinazione θ0 = θ(0)) e la determinazione di r(t) si
ridurrà allo studio dell’equazione uni-dimensionale delle forze vive, che assume la forma
˙r 2 = 2
m [U(r)+E].
Nel caso b) corrispondente a c = 0 si ha che ˙ θ mantiene sempre lo stesso segno, che potremo
supporre (senza perdere in generalità) positivo; quindi θ(t) cresce con t. Da ciò potremo procurarci
l’equazione differenziale della traiettoria eliminando dalle (1.46) il tempo e assumendo come
variabile indipendente, in luogo di t, l’anomalia θ, il che è lecito, in quanto θ è funzione
monotona (crescente) di t. Integrando poi l’equazione differenziale così ottenuta, si determina

1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale 27
la traiettoria r = r(θ), allora la legge temporale del moto verrà infine completamente determinata
risolvendo l’equazione differenziale del primo ordine ˙ θ = cr −2 dove r = r(θ).
Per dedurre dalle (1.46) l’equazione differenziale che caratterizza l’incognita r = r(θ) dell’orbita
si elimina ˙ θ per mezzo dell’equazione delle aree, dove
˙r = ˙ θ dr
dθ = −˙ θr 2d(1/r)
dθ
= −cd(1/r) ,
dθ
ottenendo l’equazione differenziale del I◦ ordine
mc2 ⎡
1 2
d
⎣ r +
2 dθ
1
r2 ⎤
⎦ = U(r)+E. (1.47)
Eseguendo il cambiamento di variabile u = r−1 e ponendo
Φ(u) = 2
mc2
1
U +E −u
u
2 , (1.48)
la (1.47) assume la forma
2 du
= Φ(u). (1.49)
dθ
Essa è quindi integrabile con una sola quadratura. Pertanto il problema del moto di un punto
libero, sollecitato da una forza centrale, è sempre integrabile con due quadrature.
In particolare, nel caso più interessante in cui il valore iniziale u0 = r −1
0 , r0 = r(0), sia compreso
(estremi inclusi) fra due radici semplici u1 < u2 della Φ(u), fra le quali Φ(u) si mantenga regolare e
positiva, la funzione u(θ), al crescere di θ, andrà indefinitamente oscillando, in modo periodico, fra i
valori estremi u1, u2 e ad ogni passaggio θ si accrescerà di
Θ =
u2
u1
du
. (1.50)
Φ(u)
L’orbitasisvolgequindituttanellacoronacircolare,compresafraleduecirconferenzeconcentrichein
O, di raggi r2 = 1/u2 e r1 = 1/u1 e tocca, alternativamente, l’una o l’altra. Questi punti di contatto
si dicono apsidi e l’angolo Θ che li separa si dice angolo apsidale. Quando Θ è commensurabile
con 2π, l’orbita è chiusa (Figura 1.11 a sinistra), mentre, nel caso opposto, si avvolge infinite volte
intorno al centro riempiendo densamente la corona circolare (Figura 1.11 a destra).
Nel caso particolare, in cui il valore iniziale u0 di u sia radice multipla della Φ(u), la u conserva,
comunque varii θ, il valore u0 e si ha il caso semplice di un’orbita circolare di raggio r0 = 1/u0, la
quale, in virtù della legge delle aree, risulta percorsa con velocità angolare costante c/r 2 0, e quindi di
moto circolare uniforme.
1.5.4 Stabilità delle orbite circolari
Scrivendo che l’accelerazione (radiale) per un moto centrale deve essere uguale alla analoga corrispondente
della forza, cioé a f(r), e applicando la formula del Binet otteniamo l’equazione del II ◦
ordine

28 1 Dinamica del punto
Fig. 1.11. Nel caso in cui l’angolo apsidale è commensurabile con 2π allora l’orbita è chiusa (grafico a sinistra). Nel caso
opposto, in cui l’angolo absidale è non commensurabile con 2π, allora l’orbita riempie densamente una regione dello spazio
(grafico a destra); cioé ogni introno di ogni punto della corona circolare viene, prima o poi, visitato dalla traiettoria.
− mc2
r 2
d 21
r 1
+
dθ2 r
La (1.51), mediante il cambio di variabili u = 1/r, diventa
d2u 1
= Ψ(u), dove Ψ(u) = −
dθ2 mu2c2f = f(r). (1.51)
1
−u (1.52)
u
Perché esista un’orbita circolare soddisfacente a questa equazione, la quale sia un cerchio di raggio r0,
occorre e basta che la (1.52) sia soddisfatta dalla soluzione costante u0 = r −1
0 , cioé si abbia Ψ(u0) = 0.
Ammessa l’esistenza di una tal radice u0 di Ψ(u) allora questa orbita sarà stabile se Ψ ′ (u0) < 0 e
instabile se Ψ ′ (u0) ≥ 0. Infatti, consideriamo una orbita prossima all’orbita circolare:
u(θ) = u0 +ǫ(θ), (1.53)
con ǫ(θ) funzione incognita che possiamo assumere infinitesima. Essendo
Ψ(u) = Ψ(u0)+ǫΨ ′ (u0)+O(ǫ 2 ) = ǫΨ ′ (u0)+O(ǫ 2 )
allora l’equazione linearizzata a partire dalla (1.52) ha forma
d 2 ǫ
dθ 2 = ǫΨ′ (u0)
che ha soluzione del tipo ǫ = pcos(ωθ+q) dove abbiamo posto ω 2 = −Ψ ′ (u0) assumendo Ψ ′ (u0) < 0.
Osserviamo infine che in tale caso l’orbita (1.53) ha una angolo absidale dato da
Esempio
Θ = π
ω =
π
−Ψ ′ . (1.54)
(u0)
Se f(r) = kr −ν , k < 0, allora le orbite circolari sono stabili se, e solo se, ν < 3. La verifica è
immediata: la funzione Ψ(u) prende la forma Ψ(u) = k ′ u ν−2 − u dove k ′ è una costante positiva.
L’equazione Ψ(u) = 0 ha almeno una soluzione per ν = 3, infatti:

a) se ν > 3 allora limu→0 +Ψ(u) = 0− e limu→+∞Ψ(u) = +∞;
b) se ν < 3 allora limu→0 +Ψ(u) = 0+ e limu→+∞Ψ(u) = −∞.
1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale 29
Abbiamo poi che Ψ ′ (u) = k ′ (ν −2)u ν−3 −1 e quindi Ψ ′ (u0) = ν −3 da cui segue la tesi.
1.5.5 Appendice: composizione di moti periodici
Consideriamo nel piano (O;x,y) la composizione di due moti periodici di periodo T1 e T2. Possiamo
ricondurci, senza perdere in generalità, al caso del moto di un punto P nel piano (O;x,y) avente
leggi di moto:
x(t) = cos(ω1t), y(t) = cos(ω2t)
dove abbiamo posto ωj = 2π.
Vale il seguente risultato:
Tj
Teorema. Il moto del punto P è:
i) periodico se, e solo se, T1 e T2 sono commensurabili, cioé esistono m, n ∈ N primi tra loro tali
; il periodo T del moto vale
che T1
T2
= m
n
T = nT1 = mT2;
ii)aperiodico se, e solo se, T1 e T2 sono incommensurabili e, in tal caso, la traiettoria di P ricopre
densamente il quadrato Q = [−1,+1]×[−1,+1]; cioé per ogni P0 = (x0,y0) ∈ Q e per ogni ǫ > 0
esiste t ∈ R + tale che |P(t)−P0| ≤ ǫ.
Dimostrazione: Dimostriamo la prima parte dove, inizialmente, supponiamo P(t) periodico di
periodo T. Dovrà essere
e
x(t+T) = cos(ω1t+ω1T) = cos(ω1t) = x(t)
y(t+T) = cos(ω2t+ω2T) = cos(ω2t) = y(t)
per ogni t. Pertanto deve essere ω1T = 2nπ e ω2T = 2mπ per un qualche n, m ∈ N. Vale
immeditamente anche il viceversa. Da ciò segue la prima proposizione. Per ciò che riguarda la
seconda proposizione da quanto detto prima segue che il moto è aperiodico se, e solo se, T1 e T2
sono incommensurabili. Per dimostrare che la traiettoria di P riempe densamente il quadrato Q
consideriamo le funzioni
θ(t) = ω1t e φ(t) = ω2t
definite modulo 2π, ovvero sul toro bidimensionale. Fissato P0 in Q esso corrisponde a due angoli
θ0 e φ0 andiamo ora a determinare in quale istante t il punto P, individuato dalle due funzioni θ(t) e
φ(t), ha θ(t) coincidente con il valore iniziale θ0. Se in tale istante anche φ(t) coincide con φ0 allora
P(t) coincide con P0. Se invece φ è diversa da φ0 ma sufficientemente vicino allora P(t) è prossimo
a P0. L’equazione

30 1 Dinamica del punto
ha infinite soluzioni
tn = θ0
ω1
θ(t) = θ0(mod2π)
+nT1 = 1
(θ0 +2nπ).
Consideriamo ora la dinamica discreta sul toro unidimensionale (che, ricordiamo, è un insieme compatto)
rappresentata dalla successione di punti
ω2
φn = φ(tn)(mod2π) = (mod2π).
ω1
θ0 +2nπ
ω1
ω2
ω1
Questi punti sono tutti distinti tra loro poiché le due frequenze sono incommensurabili. Poiché il
toro unidimensionale T 1 è un insieme compatto, esisterà almeno un punto di accumulazione ¯ φ per
tale successione e quindi possiamo estrarre da φn una sottosuccessione di Cauchy . Quindi, per ogni
ǫ > 0 esistono n1 e n2 (n2 > n1) tali che
0 < |φn2−n1| = |φn2 −φn1| = d ≤ ǫ.
Cioé il punto φn2−n1 sul toro uni-dimensionale ha distanza minore di ǫ dall’origine del toro (posta in
corrispondenza di φ = 0). Abbiamo cioé effettuato una rotazione sul toro T1 di apertura angolare
d < ǫ. Ripetendo questa rotazione ¯n =
φ0 volte allora il punto φ¯n(n2−n1) disterà da φ0 a meno di
d
d < ǫ e da ciò la tesi.
1.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza
In questo caso f(r) = −kr dove k > 0 è una costante positiva assegnata. L’orbita è un ellisse avente
il centro coincidente con il centro O di forza (o, caso degenere, il moto avviene su due rette passanti
per l’origine). La verifica è immediata. Basta risolvere il sistema di equazioni differenziali
che ammette soluzione generale
¨x = −ω 2 x, ¨y = −ω 2 y, ω 2 = k
m ,
x(t) = Acos(ωt+α) e y(t) = Bcos(ωt+β)
dove A, B, α e β sono costanti da determinarsi a partire dalle condizioni iniziali.
In questo caso si osserva anche che l’angolo apsidale vale
Θ =
u2 udu
u1 2E
mc2u2 − k2
mc2 −u4 = 1
ρ2
2 ρ1
dρ
−(ρ−ρ1)(ρ−ρ2)
= 1
2
ρ2
dove ρ1,2 sono le radici del radicando date da
ρ1,2 = mc2
2k2 ⎡
⎣ 2E
4E
±
mc2 2
m2 4k2
−
c4 mc2 ⎤
⎦.
ρ1
dρ
2E k2
mc2ρ− mc2 −ρ2

Facendo il cambio di variabili z = 1+2 ρ−ρ2
ρ2−ρ1
Θ = 1
1 dρ
√
2 −1 1−z 2
si ottiene
1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale 31
1
=
2 [arcsin(z)]+1
π
−1 =
2 .
Quindi l’angolo apsidale è commensurabile con 2π ed il moto è periodico. Questo risultato era
evidente sapendo che il moto avviene su ellissi e sull’ellisse si passa dal punto corrispondente al semiasse
maggiore a quello corrispondente sul semi-asse minore dopo un incremento di π/2 dell’anomalia
(Figura 1.12).
Fig. 1.12. Nel caso forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla distanza allora l’orbita è sempre un ellisse (tranne
il caso degenere in cui si riduce ad un segmento rettilineo) e l’angolo absidale vale sempre 1
2 π.
1.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero
In questo caso la forza ha intensità che dipende inversamente dal quadrato della distanza del punto
P dal centro: f(r) = − k
r 2 dove k > 0 è una opportuna costante positiva.
Potenziale efficace
La legge di conservazione dell’energia meccanica può essere riscritta come
˙r 2 = 2
m [E −Veff(r)] dove Veff(r) = mc2 mk
−
2r2 r
prende il nome di potenziale efficace. Si verifica immediatamente che il potenziale efficace è tale
che
lim
r→0 +Veff(r) = +∞, lim
r→+∞ Veff(r) = 0 −
ed ha minimo in rmin = c 2 /k di valore V(rmin) = − m2 k 2
2c 2 . Dal grafico del potenziale efficace (Figura
1.13) appare che quando E < 0 il moto del punto avviene con r(t) che oscilla periodicamente tra due
valori r− < r+ finiti e non nulli (detti rispettivamente perelio e afelio) tali che Veff(r±) = E.

32 1 Dinamica del punto
V(r)
0
E
0
r r
- +
Fig. 1.13. Grafico del potenziale efficace Veff. Nel caso in cui l’energia E è negativa allora il moto avviene all’interno della
corona circolare di raggio r±.
Orbite circolari
Il caso in cui una orbita è circolare (r = cost.) si esaurisce con considerazioni dirette ed elementari.
In tal caso la legge delle aree implica la costanza della velocità orbitale ( ˙ θ = costante), cosicché
si tratta di un moto uniforme. In particolare si hanno orbite circolari per E corrispondente al
minimo del potenziale efficace: E = V(rmin) = − m2 k 2
2c 2 .
Orbite degeneri
Consideriamo come caso particolare quello in cui si annulla la costante c delle aree: c = 0. Escluso
il caso r ≡ 0 si ha ˙ θ = 0 e quindi il moto ha luogo lungo una retta passante per il centro di forza S.
La legge temporale, secondo cui varia r su tale retta è definita dall’integrale delle forze vive, che qui
si riduce a:
1
2 m˙r2 = mk
+E. (1.55)
r
Distinguiamo due casi:
a) E < 0, il moto si svolge tutto a distanza finita r ≤ −k/Em cadendo, con al più una inversione
del moto, nel centro di forza S.
b) E ≥ 0,inquestaipotesiilsecondomembrodella(1.55),perr > 0,nonsiannullamaiesimantiene
sempre positivo, quindi il moto non può presentare inversioni di senso. Se la velocità iniziale è
diretta verso il centro (˙r0 < 0) il mobile, dopo un tempo finito, andrà a cadere nel centro di forza
con la sua velocità intensiva cresce oltre ogni limite (come nel caso a)). Se invece ˙r0 > 0 il mobile,
sulla sua traiettoria rettilinea, si allontana indefinitamente dal centro.
Orbite generali
Supponiamo ora c = 0 e ricaviamo dall’integrale delle aree che la θ è funzione monotona, e quindi univocamente
invertibile, del tempo, e quindi si può assumere come variabile indipendente. Si perviene
così all’equazione differenziale
r

1 2
dr dθ
1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale 33
= 2E 2k
+
mc2 c2 1 1
−
r r2, che caratterizza l’equazione polare r = r(θ) dell’equazione generale del moto essendo
˙r = dr
dθ ˙ θ = dr c
= −cd1/r
dθr2
dθ .
(1.56)
Qui è particolarmente comodo porre u = 1 k − r c2 (anziché r = 1/u come nella teoria generale), con
che la (1.56) assume la forma
2 du
=
dθ
2E k2
+
mc2 c4 −u2 , (1.57)
ma la costante 2E k2
mc2+ c4, per la (1.57) stessa, è somma di due quadrati e quindi risulta necessariamente
positiva, salvo quando si annulla identicamente la u, il che si ha solamente nel caso di orbite circolari
(caso già discusso).
Ponendo q2 = 2E
mc2 + k2
c4, con q > 0, si ottiene l’equazione differenziale dell’orbita sotto la forma
definitiva
2 du
= q
dθ
2 −u 2 .
Il suo integrale generale, come si verifica immediatamente per separazione di variabili, è dato da
u = qcos(θ − θ0) dove θ0 è la costante di integrazione; quindi, sostituendo a u la sua espressione
otteniamo per l’orbita l’equazione polare
1
r
= k
c 2 +qcos(θ −θ0) ossia r =
1+ c2 q
k
c 2
k
cos(θ −θ0) . (1.58)
Si osservi che ora è possibile determinare con una quadratura la legge oraria θ(t) soluzione della
equazione di fferenziale del primo ordine
˙θ = c c
=
r2 p2(1+ecosθ)2 .
L’equazione (1.58) è l’equazione polare di una conica avente un fuoco nel centro di forza,
l’asse inclinato di θ0 sull’asse polare, il parametro p = c2 e l’eccentricità
k
e = c2q k =
1+ 2Ec2
. (1.59)
mk2 Pertanto: nel moto di un punto soggetto ad una forza centrale, inversamente proporzionale
al quadrato della distanza,(esclusiicasidimotorettilineocaratterizzatidall’annullarsi
della costante delle aree), l’orbita è sempre una conica; e fra le costanti meccaniche di integrazione
E e c (energia totale e doppio della velocità areolare) e gli elementi geometrici
caratteristici dell’orbita e e p (eccentricità e parametro) intercedono le relazioni sopra descritte.
Per dimostrare che è una conica passiamo dalle coordinate polari a quelle cartesiane. Dalla
relazione (possiamo assumere θ0 = 0 con una opportuna scelta degli assi coordinati)

34 1 Dinamica del punto
si ottiene
x = rcosθ
y = rsinθ
, r =
p
1+ecosθ
cosθ = x y
, sinθ =
p−ex p−ex
e quindi, usando la relazione cos 2 θ+sin 2 θ = 1, si ottiene
y 2 +(1−e 2 )x 2 +2pex = p 2
che risulta essere l’equazione di una conica dipendente dal parametro e. Se ci restringiamo al caso
e < 1 allora è un ellisse che può essere scritto nella forma
ovvero
con
y 2 +(1−e 2
) x+ pe
1−e 2
2 = p2
1−e 2
(x−x0) 2
a 2 + y2
b 2 = 1, x0 = − pe
1−e 2
a 2 =
p 2
(1−e 2 ) 2, b2 =
p 2
(1−e 2 )
(1.60)
La (1.59) mette in luce il risultato fondamentale che la specie della conica descritta dal mobile
dipende esclusivamente dal segno della energia totale E. In particolare, essendo c = 0, risulta, per
la (1.59), e < 1 o e = 1 o e > 1 secondo che E < 0 o E = 0 o E > 0. In altre parole l’orbita è
ellittica, parabolica o iperbolica secondo che l’energia totale è negativa, nulla o positiva.
Si noti che questo criterio risulta applicabile anche nel caso c = 0 inteso come criterio limite c → 0.
Noi siamo arrivati alla determinazione della traiettoria (1.58) risolvendo una equazione differenziale
del primo ordine data dall’integrale primo dell’energia (facendo anche uso dell’integrale primo
delle aree); è possibile determinare la traiettoria risolvendo una equazione differenziale del secondo
ordine che deriva dalla equazione di Newton dove facciamo uso delle formule di Binet.
Caso Kepleriano
Fissiamoci sul moto ellittico proprio, caratterizzato da E < 0 e c = 0 per cui e < 1. È facile
riconoscere che, in questo caso, il moto del punto attratto dal centro P0 è un moto Kepleriano,
cioé un moto soddisfacente alle prime due leggi di Keplero. Infatti: il moto è centrale rispetto ad 0,
essendo tale la forza; l’orbita è un ellisse avente un fuoco in 0; ed infine sussiste la legge delle aree.
Che la conica sia un ellisse segue dalle (1.60) che danno 0 < b < a. Per verificare che P0 sia in uno dei
fuochi ricordiamo che per un ellisse di equazione (1.60) allora i fuochi sono posti in (x0± √ a2 −b2 ,0)
e nel nostro caso si ha x0+ √ a2 −b2 = − pe
1−e2 + pe
1−e2 = 0 e quindi 0 coincide con uno dei due fuochi.
a3 Infine, si tratta di un moto periodico di periodo T, dove T = 2π . Infatti, il periodo, per
k
la legge di conservazione del momento angolare di modulo K = mc (ovvero per la costanza della
velocità areolare), si ha che 2mA = TK dove A = πab è l’area dell’ellisse e dove è noto che

e quindi
a = p
e b =
1−e 2
T = 2mπab
K
1.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale
1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita 35
p
√ 1−e 2 = √ pa = c
= 2mπca3/2
k 1/2 K
= 2πa3/2
k 1/2.
Da quanto mostrato segue che anche nel caso di potenziale Newtoniano tutte le orbite (limitate) sono
chiuse. Questa proprietà osservata per il potenziale elastico e per il potenziale Newtoniano non è
verifica da altri tipi di forze centrali. Più precisamente è possibile dimostrare che:
Teorema. In un campo centrale tutte le orbite limitate sono chiuse se, e solo se, l’energia potenziale
V(r) ha una delle seguenti forme
con k costante positiva.
V(r) = kr 2 o V(r) = − k
r
1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita
1.6.1 Considerazioni preliminari.
Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive di risultante
F, sia costretto a muoversi su di una superficie σ priva di attrito avente equazione
L’equazione del moto è data da
a
k
f(x,y,z;t) = 0. (1.61)
ma = F+Φ (1.62)
dove Φ è la reazione vincolare esercitata dalla superficie al punto.
Si osserva che se la superficie è fissa e priva di attrito allora vale il teorema delle forze
vive: dT = dL dove dL è il lavoro infinitesimo compiuto dalle sole forze attive (in caso di attrito si
dovrebbe tenere conto anche del lavoro infinitesimo compiuto dalle reazioni vincolari). Inoltre, se la
forza sollecitante è conservativa ed U è il suo potenziale, segue che dT = dU e, per integrazione:
1
2 mv2 −U = E;
cioé l’energia totale del mobile rimane costante durante il moto, ovvero essa è un integrale
primo del moto. In particolare, denotando con v0 e U0 i valori delle velocità e del potenziale in una
generica posizione P0, l’equazione precedente dà:
1
2 mv
2 −v 2
0 = U −U0. (1.63)

36 1 Dinamica del punto
Nota. Dalla (1.63) segue che se si fanno partire due punti materiali dotati di egual massa da
una stessa posizione P0 con la medesima velocità e sotto l’azione di una stessa forza conservativa,
anche se uno si suppone libero e l’altro vincolato ad una superficie priva di attrito, essi giungono
in punti, nei quali il potenziale ha lo stesso valore, con la medesima velocità.
Nella ipotesi che σ sia priva di attrito (sia poi σ indipendente o no dal tempo) allora la reazione
Φ = Φ ˆ N, incognita, sarà ortogonale alla superficie, pertanto avrà componenti
Φ = λ ∂f
∂x î+λ∂f
∂y ˆj+λ∂f
∂z ˆ k, λ =
Φ
|grad f|
dove λ designa un fattore di proporzionalità a priori incognito. Proiettando la (1.62) sugli assi si
ottengono le tre equazioni
⎧
⎪⎨ m¨x = Fx +λ
⎪⎩
∂f
∂x
m¨y = Fy +λ ∂f
∂y
m¨z = Fz +λ ∂f
∂z
∈ R
F = Fxî+Fyˆj+Fz ˆ k (1.64)
che insieme alla (1.61) formano un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite x,y,z (fondamentali)
e λ (ausiliaria).
Moto spontaneo e geodetiche
Se si suppone che le forze attive siano nulle, cioé il moto di P avviene su σ per effetto della
velocità iniziale v0, ed in assenza di attrito allora la traiettoria del punto è una geodetica,
descritta con velocità costante. Infatti dalla (1.63) segue che v è costante e quindi ¨s = 0; da ciò
segue che l’accelerazione ha solo componente normale: aˆn. D’altra parte la (1.62) impone che sia
a ˆ N, essendo F = 0, e quindi deve essere ˆn = ˆ N (o ˆn = − ˆ N) che è la proprietà caratteristica delle
geodetiche sulle superfici immerse in R 3 .
1.6.2 Moto di un punto pesante sopra una superficie di rotazione ad asse verticale e priva di attrito.
Sia data una superficie di rotazione ad asse verticale definita, in coordinate polari, attraverso la
funzione ρ = f(z), con f(z) ≥ 0 assegnata, e sia il punto pesante P mobile su questa superficie
senza attrito. Nel caso in cui sul mobile sia applicata la sola forza peso è possibile studiare il moto
del punto attraverso l’uso di integrali primi invece che ricorrere alle equazioni (1.64) che introducono
una incognita λ ausiliaria. Orientando l’asse z verso la verticale ascendente l’integrale delle forze
vive assume la forma
1
2 mv2 +mgz = E.
D’altra parte, la forza peso è sempre parallela all’asse z, e quindi sussiste sempre l’integrale delle
aree relativo al piano z = 0:
x˙y −y˙x = c.
Questi due integrali primi, espressi in coordinate cilindriche (θ,ρ,z), assumono la forma

1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita 37
⎧
⎨ 1
2
⎩
m ˙z 2 (1+f ′2
)+f 2˙2 θ
+mgz = E
f2˙ θ = c
(1.65)
dove ρ = f(z) definisce la superficie di rotazione ed essendo
v 2 = (˙ρ 2 +ρ 2˙ θ 2 + ˙z 2 ) = (˙z 2 f ′2 +f 2˙ θ 2 + ˙z 2 ).
Se si suppone c = 0, escludendo gli eventuali stati di equilibrio in punti della superficie situati
sull’asse (ρ = 0), si ha θ = cost. e quindi si tratta di un moto su una curva piana di equazione
˙z 2 = 2(E/m−gz)
1+f ′2 ,
che risulta integrabile per quadrature.
Sia c = 0, in particolare possiamo sempre supporre c > 0, e la legge temporale si deduce con una
quadratura dall’integrale delle aree, non appena si è determinata la traiettoria, per es. esprimendo z
in funzione di θ (cosa sempre possibile poiché ˙ θ > 0 per ogni t e quindi la funzione θ(t) è monotona
crescente e, in particolare, invertibile) dove
˙z = dz
dθ ˙ θ = dz c
dθf
2.
Per questa funzione z(θ) si trova la equazione differenziale
integrabile con una quadratura.
1.6.3 Pendolo sferico.
2 dz
dθ
= f2 [2(E/m−gz)f 2 −c2 ]
c2
1+f ′2 (1.66)
Il caso particolare in cui f(z) è definita dalla equazione ρ 2 = ℓ 2 −z 2 si denota con pendolo sferico
ed è il caso di un punto pesante vincolato (o appoggiato) ad una sfera di raggio ℓ. Ponendo f(z) =
√ ℓ 2 −z 2 la (1.65) assume la forma
⎧
⎨
1
2m ℓ2˙z 2
ℓ2−z2 +(ℓ2 −z2 ) ˙ θ2 +mgz = E
⎩(ℓ2
−z2 ) ˙ θ = c
. (1.67)
Nell’ipotesic > 0,assumendocomevariabileindipendentelaθ inluogodellat,lafunzionez(θ),che
basta a determinare sulla sfera la traiettoria del pendolo, è caratterizzata dall’equazione differenziale
ricavata dalla (1.66), integrabile con una quadratura,
dove 1+f ′2 = ℓ 2
ℓ 2 −z 2 e dove
c 2 ℓ 2
2 dz
= Φ(z)
dθ
Φ(z) = (ℓ 2 −z 2 ) 2 Φ1(z), Φ1(z) = 2(−gz +E/m)(ℓ 2 −z 2 )−c 2 .

38 1 Dinamica del punto
Per lo studio quantitativo della soluzione z(θ) giocano un ruolo importante le radici della funzione
Φ1(z). Più propriamente, studiamo l’equazione
2 dz
=
dt
2 dz
dθ
˙θ 2 =
c2 (ℓ2 −z2 ) 2
1
c2 1
ℓ2Φ(z) =
ℓ2Φ1(z). Osservando che Φ1(z) è un polinomio in z di grado 3 tale che (Figura 1.14)
Φ1(±ℓ) = −c 2 < 0 e lim
z→+∞ Φ1(z) = +∞
allora esiste z3 > +ℓ tale che Φ1(z3) = 0. Le altre due radici z1 e z2 sono comprese in (−ℓ,+ℓ).
Infatti notiamo che deve essere |z0| ≤ ℓ; più precisamente, poiché si è escluso il caso c = 0, sarà
|z0| < ℓ, dove z0 è la quota della posizione iniziale. In particolare la condizione di realtà del moto
Φ(z0) ≥ 0 implica Φ1(z0) ≥ 0. Discutiamo separatamente i due casi Φ1(z0) > 0 e Φ1(z0) = 0.
-l l
z1 z2 z3
Fig. 1.14. Grafico del polinomio Φ1(z). Le 3 radici sono tali che z3 > +ℓ mentre −ℓ < z1 ≤ z2 < +ℓ.
a) Φ1(z0) > 0, in questa ipotesi la funzione z(θ) oscilla periodicamente tra due paralleli di quote z1
e z2 comprese nell’intervallo (−ℓ,+ℓ) dove z1 e z2 sono radici semplici di Φ1(z). Si osserva che il
piano equidistante dai due paralleli di quote z1 e z2 è sempre al di sotto dell’equatore
(di equazione z = 0). Infatti la funzione Φ1 può essere scritta come
da cui segue che deve essere
Φ1(z) = 2gz 3 −2Eℓ/mz 2 −2gℓ 2 z −c 2 +2Eℓ 2 /m
= 2g(z −z1)(z −z2)(z −z3)
z1z2 +z2z3 +z1z3 = −ℓ 2
cioé (z1 +z2)z3 = −(ℓ 2 +z1z2).
Ricordando che z3 > 0 e che |zj| < ℓ, j = 1,2, segue z1 +z2 < 0, cioé la tesi.
b) Φ1(z0) = 0, in questo caso se la radice è semplice allora rientriamo nel caso a) ed il punto si trova
inizialmente su uno dei due paralleli che limitano la zona entro cui serpeggia la traiettoria. Se,
z

1.6 Moto di un punto su una superficie prestabilita 39
infine, z0 non è radice semplice (e quindi non può essere che doppia) allora è ben noto che durante
il moto si conserva z = z0, cioé la traiettoria è il parallelo di quota z0 (situato sotto l’equatore);
in quest’ultimo caso si ha anche ˙ θ = cost., cioé si ha un moto rotatorio uniforme. Il fatto che sia
z0 < 0 segue dal fatto che Φ1(z) = 2g(z −z3)(z −z0) 2 da cui dovrà essere (poiché z0 ≡ z1 = z2)
2z0z3 = −(ℓ 2 z 2 0) < 0 e quindi z0 < 0.
In ultima analisi segue che il moto del punto P avviene, ad esclusione del moto rotatorio uniforme,
tra due quote z1 e z2 e la funzione z(θ) è periodica ed impiega un angolo Θ per raggiungere la quota
più bassa partendo dalla quota più alta (Figura 1.15
Θ = cℓ
z2
z1
dz
Φ(z) .
Fig. 1.15. Il moto del pendolo sferico avviene, in generale, tra due quote z1 e z2 ruotando sempre nello stesso verso e toccando,
in modo periodico, i due paralleli.
Come osservazione finale notiamo che il moto di P sulla superficie sferica è periodico se e solo
se Θ e π sono commensurabili tra loro.
Calcolo dei periodi
Escludendo il caso particolare di moto rotatorio uniforme si è stabilito che il moto del punto sulla
superficie sferica avviene tra due quote z1 e z2 e la funzione z(t) è una funzione periodica. Per
calcolarne il periodo ripartiamo dalla relazione
dz
dt
2
= Uc,E(z) dove Uc,E(z) = 1
ℓ 2Φ1(z);
questa equivale a studiare un moto su una retta con potenziale Uc,E al livello di energia E ′ = 0.
Equivalentemente, poiché ℓ2−z2 ℓ2 > 0 ∀z ∈ (−ℓ,ℓ), si può studiare dal punto di vista qualitativo il
problema con energia potenziale efficace 2gz + c2
ℓ2−z2 al livello di energia 2E/m. In ogni caso la
funzione z(t) risulta essere una funzione periodica di periodo

40 1 Dinamica del punto
Supponendo poi nota z(t) si ottiene
z2
T1 ≡ T1(c,E) = 2
z1
θ(t) =
z2
= 2
z1
t
0
2E
m
dz
Uc,E(z) .
dz
c2 −2gz − ℓ2−z2
ℓ2−z2 ℓ2 c
ℓ2 −z2 dτ +θ0.
(τ)
Osserviamo che la funzione c
ℓ 2 −z 2 (t) è una funzione periodica di periodo T1 e quindi ammetterà uno
sviluppo in serie di Fourier; quindi, portando la serie fuori dall’integrale, otteniamo
Ponendo ω1 = 2π/T1 allora la funzione
φ(t) =
n=0
t
0
θ(t) = θ0 +c0t+φ(t).
cne iω1nτ dτ =
n=0
cnω1
n
è una funzione periodica di periodo T1. Inoltre la costante c0 vale
c0 = 1
T1
T1 0
z2
= 2
T1
z1
= 2
z2
T1 z1
c
ℓ2 −z2 (t) dt
ℓ2 −z2 c
ℓ 2 −z 2
ℓ 2
cℓ
2E
m
e iω1nt −1
dz
−2gz − c2
ℓ 2 −z 2
(ℓ2 −z2 ) 3/2
2E c2 −2gz − m ℓ2−z2 Quindi θ(t) (definito modulo 2π) è dato dalla composizione di due moti periodici; uno di periodo T1
ed uno di periodo T2 = 2π/c0. Di conseguenza il moto del pendolo fisico è periodico se, e solo se, T1
e T2 sono commensurabili.
1.7 Dinamica relativa del punto
1.7.1 Influenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel vuoto
Prescindiamodallaresistenzadell’ariaedeglialtricorpicelesti(es.ilsole,laluna,etc.)econsideriamo
il moto, rispetto alla Terra, di un punto materiale P di massa m in prossimità di essa. Sotto tali
ipotesi la forza (assoluta) totale agente su P si riduce alla attrazione terrestre che, assumendo m = 1,
designeremo con G. Perciò rispetto ad un riferimento galileiano l’accelerazione a di P è data da
dz.
a = G. (1.68)
Però a noi normalmente interessa il moto relativo di P rispetto alla Terra, cioé più precisamente
la sua accelerazione relativa a1:

1.7 Dinamica relativa del punto 41
a1 = G−aτ −ac. (1.69)
In −maτ riconosciamo quella forza Fτ chiamata forza di trascinamento, mentre la −mac dicesi
forza di Coriolis. Ricordiamo che mG − maτ = mG + Fτ non è altro che il peso del grave P,
cioé la forza mg che si può definire come direttamente opposta a quella che occorrerebbe applicare
al grave (in quiete) per impedirne la caduta.
Per intervalli di tempo piccoli, rispetto ad un anno, possiamo ridurre Fτ alla forza centrifuga
dovuta al moto diurno, la cui velocità angolare ω è costante e diretta secondo l’asse polare della
Terra, da Sud a Nord. La forza peso mg = mG+Fτ, come ben sappiamo, è effettivamente variabile,
di intensità e di direzione, da luogo a luogo ma, entro un raggio di pochi chilometri, è lecito ritenerla
costante sia in grandezza che in direzione. Più in dettaglio, consideriamo l’effetto della rotazione
della Terra sugli esperimenti in un laboratorio. Dato che la terra ruota praticamente uniformemente,
si può supporre che ˙ω = 0 dove ω = 2π . Il rapporto tra la forza centrifuga e la forza peso assume
24·3600
il massimo valore all’equatore, dove vale
Fτ(P)
g = ω2R g = (7.3·10−5 ) 2 ·6.4·10 6
9.8
≈ 3
1000
dove R è la distanza del punto dal centro della terra (cioé R coincide con il raggio della terra).
Questo rapporto varia di poco nei limiti di un usuale laboratorio. Più precisamente si ha che
Fτ(P +∆P)
g
= Fτ(P)
g
(1+O(∆P/R)).
Quindi è lecito, in prima approssimazione, ritenere la forza centrifuga costante e la forza peso avente
intensità costantemente uguale a mg. Concludiamo quindi che all’equazione vettoriale (1.69) del
moto di P rispetto alla Terra si può dare la forma definitiva
Moto dei gravi e deviazione verso oriente
a1 = g−2ω ×v1. (1.70)
Supponiamocheilmotoavvenga nell’emisferoborealeeadottiamocomeriferimentoterrestrelaterna
destra che si ottiene assumendo:
a) L’origine in un punto O solidale con la Terra, in prossimità del luogo dove avviene il moto;
b) L’asse z sulla linea di azione della forza peso in O (verticale del luogo) orientata verso l’alto, cioé
la verticale ascendente;
c) L’asse x nel piano meridiano di O, orientato verso il Nord.
L’asse y risulta così univocamente determinato; proiettando l’equazione vettoriale (1.70) su tali
assi abbiamo g = (0,0,g) e, se γ è l’angolo (acuto) formato da g con il piano equatoriale (latitudine
geodetica), le componenti del vettore ω sono date da
cosicché dalla (1.70) risulta
p = ωcosγ, q = 0, r = ωsinγ; (1.71)
⎧
⎪⎨ ¨x = 2˙yωsinγ
¨y = 2ω(−˙xsinγ + ˙zcosγ) . (1.72)
⎪⎩
¨z = −g −2˙yωcosγ

42 1 Dinamica del punto
Sono queste, nella schematizzazione appena precisata, le equazioni differenziali del moto di un
grave(dimassaqualunque)nelvuoto,ovesitengacontodellarotazionedellaTerra. Questeequazioni
sono integrabili elementarmente e, restringendoci al caso più interessante, assumiamo le condizioni
iniziali
x0 = y0 = z0 = 0 e ˙x0 = ˙y0 = ˙z0 = 0.
Sotto queste condizioni dalla prima e dalla terza delle (1.72) si deduce che
che sostituite nella seconda delle (1.72) segue che
˙x = 2yωsinγ, ˙z = −gt−2yωcosγ (1.73)
¨y +4ω 2 y = −2gωtcosγ
cheèunaequazionedifferenzialelinearecompleta,acoefficienticostanti,delII ◦ ordineilcuiintegrale
generale vale
y(t) = − gcosγ
2ω t+rcos(2ωt+θ0).
Imponendo le condizioni iniziali si determinano infine r e θ0 ottenendo
y(t) = − gcosγ
t−
2ω
sin2ωt
.
2ω
Sostituendo questa nelle (1.73) si perviene infine alle
1
x(t) = −gsinγcosγ
2 t2 − 1−cos2ωt
4ω2
,
z(t) = − 1
2 gt2 +gcos 2
1
γ
2 t2 − 1−cos2ωt
4ω2
.
Prendendo intervalli di tempo tali che ωt ≪ 1 e sviluppando in serie di Taylor le soluzioni trovate e
trascurando i termini di ordine superiore (o uguale) in ωt al primo si trova
x(t) = O(ω 2 t 4 ), y(t) = O(ωt 3 ), z(t) = − 1
2 gt2 +O(ω 2 t 4 ),
cioé si ritrovano le equazioni del moto dei gravi nel vuoto. Se invece si prendono in considerazione i
termini d’ordine superiore in ωt si ha che
x(t) = O(ω 2 t 4 )
y(t) = − gcosγ
4ω2
(2ωt) 3 /6+O(ω 5 t 5 )
= − 1
3 gωt3cosγ +O(ω 3 t 5 )
z(t) = 1
2 gt2 +O(ω 2 t 4 ).
Quindi rimane inalterata la legge per la quota del mobile ma il moto avviene nel piano (O;y,z)
secondo la legge
y 2 = − 8
9
ω2cos2 γ
z
g
3 .
Si osservi infine che y < 0 per ogni t > 0; si prova quindi la deviazione di un grave verso Est.
Quindi, nell’emisfero settentrionale, la forza di Coriolis spinge verso oriente ogni corpo che cade sulla
Terra; nell’emisfero meridionale la forza di Coriolis spinge verso la parte opposta.

Esempio
1.7 Dinamica relativa del punto 43
Un sasso viene gettato (senza velocità iniziale) dalla cima di una torre alta 250 mt. alla latitudine
60 ◦ . Calcoliamo di quanto si allontana dalla verticale:
y = 2ωcosγ
3
2|z| 3 /g = 7.3·10−5
3
2·0.25 3 /9.8 ≈ 0.04345 metri.
Invece, quanto si allontana dalla verticale una secchia viene gettata (senza velocità iniziale) dalla
cima della torre Ghirlandina di Modena.
1.7.2 Pendolo di Focault
Discutiamoorailpendolosfericoconsiderandoilcontributodellarotazionedellaterra. Inparticolare,
il punto P, di massa m, si muove come se fosse libero e sollecitato simultaneamente dalla forza peso
e dalla reazione vincolare Φ; quindi, a partire da quanto stabilito in merito al pendolo sferico nel
paragrafo 1.6.3 la equazione differenziale del moto assume la forma vettoriale:
ma1 = Φ+mg−2mω ×v1
(1.74)
dove riguardiamo il vettore g come costante in grandezza e direzione e dove assumiamo costante il
contributo della accelerazione di trascinamento (questa attitudine è giustificata poiché, assumendo
solamente il contributo della rotazione terrestre e assunto questo uniforme, allora la variazione della
forza di trascinamento all’interno di un laboratorio è trascurabile). Proiettando sugli assi aventi
origine nel centro M della sfera (assi scelti come nel caso (1.72) orientando l’asse z diretto come la
verticale ascendente) e introducendo per le componenti della reazione il moltiplicatore di Lagrange
λ otteniamo le tre equazioni scalari:
⎧
⎪⎨ m¨x = λx+2m˙yωsinγ
m¨y = λy +2mω(−˙xsinγ + ˙zcosγ)
(1.75)
⎪⎩
m¨z = λz −mg −2m˙yωcosγ
dove il punto è obbligato a muoversi sulla sfera di raggio ℓ e centro M = (0,0,0) e γ è la latitudine
geodetica del luogo. Assumendo piccole oscillazioni, quindi z ≈ −ℓ e ˙z ≈ ¨z ≈ 0 e 2˙yωcosγ
trascurabile di fronte a g poiché ω ≪ 1, si ha dalla terza delle (1.75)
dando alle prime due la forma
−λℓ−mg = 0, λ = −mg/ℓ
¨x = −gx/ℓ+2˙yωsinγ
¨y = −gy/ℓ−2˙xωsinγ
. (1.76)
Ponendo ω1 = −ωsinγ si conclude che le piccole oscillazioni del punto P o, meglio, della sua
proiezione Q sul piano orizzontale z = 0, son definite dalle due equazioni lineari
¨x = −gx/ℓ−2˙yω1
. (1.77)
¨y = −gy/ℓ+2˙xω1

44 1 Dinamica del punto
Denotando con a = ¨xî + ¨yˆj e v = ˙xî + ˙yˆj l’accelerazione e la velocità (orizzontali) di Q e con ˆ k il
versore verticale ascendente, possiamo riassumere la (1.77) nell’unica equazione vettoriale:
a = −g(Q−M)/ℓ+2ω1 ˆ k×v. (1.78)
Si consideri allora, nel piano z = 0, per l’origine M una coppia di assi ortogonali x1y1, congruente
agli assi xy e che ruotino attorno ad M con velocità angolare costante ω1 ˆ k. L’accelerazione a1,
rispetto a x1y1 della proiezione Q di P è legata alla accelerazione a, rispetto a xy della proiezione Q
di P, secondo il teorema di composizione delle accelerazioni:
a1 = a+(−ω)×[−ω ×(Q−M)]+2(−ω)×v
= a−ω 2 1(Q−M)−2ω1 ˆ
g
k×v = −
ℓ +ω2
1 (Q−M).
Quindi il moto della proiezione Q di P, nel piano x1y1, è un moto armonico in due dimensioni avente
integrale generale
g
x1(t) = acos t
l +ω2
g
1 +ϕ ≈ acos t
l +ϕ
e
g
y1(t) = bcos t
l +ω2
g
1 +φ ≈ bcos t
l +φ
.
Imponendo le codizioni iniziali ˙x(0) = ˙y(0) = 0 e x(0) = x0 e y(0) = 0, facendo coincidere gli assi
x e y con gli assi x1 e y1 all’istante t = 0 si ottiene ˙x1(0) = 0 e ˙y1(0) = −ω1x0 e quindi
g l
x1(t) = x0cos t , y1(t) = −ω1x0
l g sin
g
t .
l
Cioé la traiettoria del punto Q sul piano
orizzontale
z = 0 (caso del Pendolo del Focault) è un ellisse
avente i semi-assi a = |x(0)| e b = ω1a ℓ/g
≪ a; si tratta quindi di un’ellisse molto schiacciata
e quindi assimilabile ad un segmento dell’asse x1. Quindi il moto del punto è sensibilmente quello
di un moto oscillatorio ordinario del piano zx1; ma questo piano non è fisso bensì animato di una
velocità angolare ω1 = ωsinγ variabile con la latitudine che, per quanto piccola, col tempo finisce a
rendersi manifesta.
Nota. Possiamo giungere alle stesse conclusiosi risolvendo la equazione (1.77) nel seguente modo.
Se poniamo w = x+iy allora il sistema (1.77) prende forma
¨w −2iω1 ˙w+ g
w = 0.
ℓ
Per determinare la soluzione generale siano
λ1,2 = iω1 ±i ω2
g
1 +g/ℓ ≈ iω1 ±i
l
e la soluzione generale ha forma
w = c1e λ1t
+c2e λ2t
iω1t
≈ e c1e it
√
g/ℓ
+c2e −it
√
g/ℓ
.
Quindi, per ω1 = 0 si ottengono le consuete oscillazioni armoniche del pendolo sferico e l’effetto della
forza di Coriolis consiste in una rotazione uniforme di tutto il sistema con una velocità angolare pari
a ω1.

1.7.3 Nozioni elementari di meccanica celeste
Le leggi di Keplero
1.7 Dinamica relativa del punto 45
Per i moti dei pianeti intorno al Sole valgono le tre leggi di Keplero determinate sperimentalmente:
1) Le orbite dei pianeti sono degli ellissi e il Sole ne occupa uno dei fuochi.
2) Le aree descritte dal raggio vettore, che va dal Sole ad un pianeta, sono proporzionali
ai tempi impiegati a percorrerli.
3) I quadrati dei tempi impiegati dai vari pianeti a percorrere le loro orbite (durante le
rivoluzioni) sono proporzionali ai cubi dei semi-assi maggiori (nel senso che la costante
di proporzionalità non dipende dal pianeta).
Problema diretto di Newton
A causa della enorme distanza tra la stella più vicina e il sistema solare e a causa della proponderanza
della massa solare rispetto agli altri pianeti si può ritenere che l’attrazione sulla Terra sia
sostenzialmente quella che proviene dal Sole. Trascurando le altre si riguarda la coppia Terra-Sole
come isolata nell’Universo. Per il principio di azione e reazione le accelerazioni del Sole e della Terra
sono inversamente proporzionali alle loro masse; si può pertanto trascurare la piccolissima
accelerazione solare dovuta alla Terra, il che equivale a considerare, in prima approssimazione, il Sole
come fisso. Perveniamo pertanto a schematizzare, in prima approssimazione, il moto della Terra
intorno al Sole come quello di un punto materiale P attratto da un centro fisso S con una forza di
intensità km0m r2 , dove m0 ed m denotano le masse del Sole e della Terra, r la loro distanza e k é una
costante positiva. Il moto soggetto a questa legge dà luogo, nel nostro caso (poiché il moto si svolge
tutto a distanza finita dal Sole) ad una traiettoria ellittica avente un fuoco nel Sole. Quindi la legge
di Newton implica la validità delle prime due leggi di Newton. Quanto alla terza risulta
4π 2a3
= km0
(1.79)
T2 da cui si vede che il rapporto a 3 /T 2 dipende solamente dalla costante k e dalla massa del Sole.
Problema dei due corpi
Più in generale, consideriamo due corpi P0 e P, di masse m0, m, che noi consideriamo isolati
nell’Universo; indichiamo con F il vettore della forza che P0 esercita su P, per il III ◦ principio di
Newton allora il vettore della forza esercitata da P su P0 sarà −F ed entrambi saranno diretti sulla
congiungente. L’equazione di Newton sui due punti, rispetto ad un osservatore inerziale, sarà data
da
d
m0
2P0 dt2 = −F, md2 P
= F
dt2 da cui emerge immediatamente che la quantità di moto (m0+m)vG si conserva e da cui segue che il
baricentro dei due punti si muove di moto rettilineo uniforme. Per determinare poi il moto dei due
puntirispettoallorobaricentroo,equivalentemente,ilmotodiunpuntorispettoall’altro(adesempio
il moto di P rispetto a P0), introduciamo un osservatore relativo centrato in P0 e traslante; allora

46 1 Dinamica del punto
la equazione del moto di P rispetto al nuovo osservatore è data da m d 2 P
dt 2
P0
= F − maτ(P).
ricordando che il nuovo osservatore trasla allora aτ(P) = d2P0 dt2 e quindi la equazione prende la forma
2 mm0 d P
m+m0 dt2
= F. (1.80)
Questa equazione differenziale del moto relativo di uno dei due corpi rispetto all’altro si identifica,
come si vede, con quella che reggerebbe il moto di P, se P0 fosse fisso (o animato di moto
rettilineo uniforme rispetto ad un osservatore assoluto), e, pur attraendo P secondo la legge F,
avesse, anziché la massa effettiva m, la massa ridotta mm0 . Questo problema rientra, come caso
m+m0
particolare di moto centrale, in quello generale discusso nella Sezione precedente; quindi abbiamo
che si tratta di un moto piano, per il quale sussistono simultaneamente l’integrale delle forze
vive e quello delle aree rispetto al centro di forza P0.
Si dimostra che, nel caso in cui la forza di vettore F coincida con la forza di attrazione gravitazionale,
qualunque sia l’ordine di grandezza di m rispetto a m0 l’orbita (relativa) di P rispetto a P0
è una conica; perciò nel caso dell’orbita ellittica valgono per il moto di P rispetto a P0 le prime due
leggi di Keplero. Se poi, in tal caso, si introducono il semi-asse maggiore a dell’orbita e la durata T
della rivoluzione, sussiste la relazione
P0
4π 2a3
T 2 = k(m0 +m); (1.81)
e per un altro corpo P ′ di massa m ′ , che, come P, descriva, sotto la esclusiva azione di P0, un’orbita
(relativa) ellittica, si ha analogamente, con ovvio significato dei simboli,
4π 2a′3
T ′2 = k(m0 +m ′ ). (1.82)
In conclusione, quando nella trattazione newtoniana del moto dei corpi celesti, si spinge la schematizzazione
fino al problema dei due corpi, si mantengono valide, in generale, soltanto le prime due
leggi di Keplero. La terza può sussistere solo in via approssimata.

2
Dinamica dei solidi
2.1 Angoli di Eulero
Un sistema rigido S è determinato rispetto ad un sistema di riferimento fisso (O;x,y,z) se è deter-
minato il sistema di riferimento solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) rispetto a quello fisso. Per fare ciò è sufficiente
determinare le coordinate di O ′ (3 parametri) e i tre versori î ′ ,ˆj ′ , ˆ k ′
(9 parametri, di cui solo 3 in-
dipendenti). Supponendo, senza perdere in generalità, che O = O ′ si utilizza il seguente metodo di
rappresentazione della terna solidale rispetto a quella fissa.
Sia N la retta intersezione tra i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) (supposti, per un momento, non com-
planari), perpendicolare a z e z ′ , passante per O = O ′ e orientata in modo che l’angolo zOz ′ appaia
destro, detta linea dei nodi. L’angolo zOz ′ , in (0,π), si dice angolo di nutazione (designato
con θ). Si dice poi angolo di precessione, e si denota con ψ, l’anomalia xON (misurata nel verso
destro rispetto a z). Infine si dice angolo di rotazione propria, e si denota con φ, l’anomalia NOx ′
(misurata nel verso destro rispetto a z ′ ). I due angoli ψ e φ sono variabili ciascuno nell’intervallo
[0,2π), cioé sul toro S 1 . I tre angoli θ, ψ e φ così definiti si chiamano angoli di Eulero.
Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) coincidano allora l’angolo di
nutazione θ corrisponde a 0 o a π mentre la linea dei nodi N resta indeterminata (e quindi tali
risultano anche gli angoli ψ e φ). In ogni caso resta determinata la somma ψ +φ = xOx ′ e questa
anomalia, insieme a θ = 0 o θ = π, determina la posizione del sistema di riferimento solidale rispetto
a quello assoluto.
Non è inutile esprimere le formule di trasformazione delle coordinate tra i due sistemi in funzione
di questi tre parametri. Se (x,y,z) e (x ′ ,y ′ ,z ′ ) sono le coordinate di un generico punto rispetto ai
due sistemi di riferimento allora varranno le formule di trasformazione:
⎧
⎪⎨ x = α1x
⎪⎩
′ +β1y ′ +γ1z ′
y = α2x ′ +β2y ′ +γ2z ′
z = α3x ′ +β3y ′ +γ3z ′
(2.1)
dove
α1 = î·î ′ β1 = î·ˆj ′ γ1 = î· ˆ k ′
α2 =ˆj·î ′ β2 =ˆj·ˆj ′ γ2 =ˆj· ˆ k ′
α3 = ˆ k·î ′ β3 = ˆ k·ˆj ′ γ3 = ˆ k· ˆ k ′
sono i coseni direttori degli assi del sistema (O;x ′ ,y ′ ,z ′ ).

48 2 Dinamica dei solidi
Osserviamo che il modo per passare da un sistema all’altro consiste nell’effettuare, nell’ordine:
i. una rotazione ψ attorno all’asse (O;z) in modo da portare l’asse (O;x) sull’asse nodale (O;N);
ii. una rotazione θ attorno all’asse (O;N) in modo da portare l’asse (O;z) sull’asse (O;z ′ );
iii.una rotazione ϕ attorno all’asse (O;z ′ ) in modo da portare l’asse nodale (O;N) sull’asse (O;x ′ ).
Osserviamo che se i due piani (O;x,y) e (O;x ′ ,y ′ ) si sovrappongono allora θ = 0 (o θ = π) e la
prima e la terza rotazione sono effettuate attorno allo stesso asse e possono essere sostituire da una
rotazione dell’angolo ψ±ϕ. Le formule di trasformazione possono essere scritte in forma matriciale
come
dove
⎛ ⎞ ⎛
x x
⎜ ⎟ ⎜
⎝y
⎠ = Eψθϕ ⎝
z
′
y ′
z ′
⎞
⎟
⎠, Eψθϕ = EψEθEϕ (2.2)
i. Eψ definisce una rotazione ψ attorno all’asse (O;z)
⎛ ⎞
cosψ −sinψ 0
⎜ ⎟
Eψ = ⎝sinψ
cosψ 0⎠;
0 0 1
ii. Eθ definisce una rotazione θ attorno all’asse (O;N)
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
Eθ = ⎝0
cosθ −sinθ ⎠;
0 sinθ cosθ
iii.Eϕ definisce una rotazione ϕ attorno all’asse (O;z ′ )
⎛ ⎞
cosϕ −sinϕ 0
⎜ ⎟
Eϕ = ⎝sinϕ
cosϕ 0⎠.
0 0 1
Effettuando i prodotti si ottiene infine
⎛ ⎞
⎜
Eψθϕ = ⎝
α1 β1 γ1
⎟
α2 β2 γ2⎠
α3 β3 γ3
⎛
⎞
(cosψcosϕ−sinψcosθsinϕ) (−cosψsinϕ−sinψcosθcosϕ) (sinψsinθ)
⎜
⎟
= ⎝(sinψcosϕ+cosψcosθsinϕ)
(−sinψsinϕ+cosψcosθcosϕ) (−cosψsinθ) ⎠
(sinθsinϕ) (sinθcosϕ) (cosθ)
e, identificando la (2.1) con la (2.2), si ottiene il risultato cercato: cioé una parametrizzazione dei
coseni direttori in funzione di tre parametri indipendenti.
Determiniamo infine l’espressione della velocità angolare ω nel moto rigido istantaneo. Per determinare
ω in funzione dei tre parametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico di rotazione
può essere scritto come la composizione di tre stati cinetici di rotazione aventi asse passante per O:

Proiettando ω sulla terna solidale si ottiene
dove
da cui segue
2.2 Equazioni di Eulero
ˆN = cosϕî ′ −sinϕˆj ′
ω = ˙ ψ ˆ k+ ˙ θ ˆ N + ˙ϕ ˆ k ′
.
ω = pî ′ +qˆj ′ +r ˆ k ′
ˆk = ( ˆ k·î ′ )î ′ +( ˆ k·ˆj ′ )ˆj ′ +( ˆ k· ˆ k ′
) ˆ k ′
= α3î ′ +β3ˆj ′ +γ3 ˆ k ′
⎧
⎪⎨ p =
⎪⎩
˙ θcosϕ+ ˙ ψα3 = ˙ θcosϕ+ ˙ ψsinθsinϕ
q = −˙ θsinϕ+ ˙ ψβ3 = −˙ θsinϕ+ ˙ ψsinθcosϕ
r = ˙ϕ+ ˙ ψγ3 = ˙ϕ+ ˙ ψcosθ
2.2 Equazioni di Eulero 49
Consideriamo un solido avente un suo punto O ′ fisso. L’ipotesi su O ′ suggerisce di scegliere in
esso il centro di riduzione dei momenti e quindi le equazioni cardinali della dinamica, riferite ad un
osservatore (O;x,y,z), assumono la loro forma più semplice.
(2.3)
dQ
dt = Re +Φe, (2.4)
dK(O ′ )
dt
= Ωe(O ′ ) (2.5)
dove Re ed Ωe(O ′ ) denotano il risultante e il momento risultante, rispetto al punto fisso O ′ , delle
forze esterne direttamente applicate e dove Φe denota il risultante della reazione in O ′ , per
tale motivo segue che Ψe(O ′ ) = 0. Q e K(O ′ ) denotano, rispettivamente, la quantitá di moto ed
il momento della quantitá di moto (detto anche momento angolare) del corpo rigido.
Poiché il solido con un punto fisso ha tre gradi di libertà l’equazione vettoriale (2.5) corrisponde
a 3 equazioni scalari e quindi basta da sola a caratterizzare il moto. La (2.4) serve per determinare
le reazioni incognite in O ′ noto il moto.
L’equazionecardinaledeimomentirisulta,talvolta,piùsignificativaseriferitaadunaternasolidale
(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) avente origine in O ′ :
dK(O ′ )
dt
O ′
+ω ×K(O ′ ) = Ωe(O ′ ), (2.6)
dove ω designa la velocità angolare della terna solidale, cioé del corpo stesso, rispetto agli assi
(O;x,y,z)e dK(O ′
)
dt O ′ laderivatadiK(O′ )rispettoateffettuatarispettoall’osservatore(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ).
Ricordiamo che il momento della quantitá di moto, con polo O ′ punto fisso, si puó scrivere nel
seguente modo:

50 2 Dinamica dei solidi
K(O ′ ) = [Ap−A ′ q −B ′ r]î ′ +[−A ′ p+Bq −C ′ r]ˆj ′ +[−B ′ p−Cq +Cr] ˆ k ′
dove A, B e C denotano i momenti d’inerzia rispetto agli assi del sistema di riferimento solidale, e
dove A ′ , B ′ e C ′ denotano i momenti di deviazione (detti anche prodotti d’inerzia) rispetto agli assi
del sistema di riferimento solidale. La (2.6) diventa particolarmente significativa quando si assume
come terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) quella dei tre assi principali di inerzia del solido nel suo punto O ′ , in questo
caso K(O ′ ) ha componenti
Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr. (2.7)
Denotando con Ωx ′, Ωy ′ e Ωz ′ le componenti secondo gli assi solidali del momento risultante Ωe(O ′ ),
rispetto ad O ′ , delle forze attive esterne la (2.6) conduce alle equazioni scalari
⎧
⎪⎨ A˙p−(B −C)qr = Ωx
⎪⎩
′,
B˙q −(C −A)rp = Ωy ′,
C˙r −(A−B)pq = Ωz ′.
(2.8)
Le (2.8) si dicono equazioni di Eulero del moto di un solido intorno ad un suo punto fisso. Si
notichelecomponentidiΩe(O ′ )vannoconsiderate,nelcasopiùgenerale,comenoteinfunzione,oltre
che del tempo, delle velocità dei singoli punti del solido e, in più, delle loro posizioni nello spazio
o, che è lo stesso data l’ipotesi di rigidità, della orientazione del solido intorno ad O ′ . Tramite
la formula fondamentale della cinematica rigida abbiamo che le velocità dei punti dipendono dai
parametri di orientazione e dalle p, q, r; inoltre le p, q, r stesse sono legate a questi parametri di
orientazione da relazioni di tipo differenziale. Scegliendo, ad esempio, come parametri lagrangiani
gli angoli di Eulero θ, ϕ, ψ della terna solidale rispetto alla fissa allora aggiungeremo alle (2.8) le
note equazioni, puramente cinematiche
⎧
⎪⎨ p=
⎪⎩
˙ θcosϕ+ ˙ ψsinϕsinθ
q = −˙ θsinϕ+ ˙ ψcosϕsinθ
r = ˙ (2.9)
ψcosθ+ ˙ϕ
si ottiene un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle 6 incognite θ, ϕ, ψ, p, q e r.
Moto di un solido libero intorno al baricentro
Ènotochela(2.6)sussisteanchenelcasodelmotodiunsolido libero intorno al baricentropoiché
Ψe(G) = 0inquantononcisonoreazionivincolari. La(2.6)proiettatasullaternaprincipalediinerzia
(con G = O ′ ) dà ancora luogo alla (2.8) ma con una differenza fondamentale: il momento Ωe(G), al
pari della sollecitazione attiva, va considerato dipendente non solo dagli argomenti θ, ϕ, ψ, p, q e
r (e t), tutti inerenti al moto relativo al baricentro, ma anche dalla posizione e dalla velocità
(assolute) del baricentro stesso. Inoltre la (2.4) assume la forma dQ
dt = Re e va ad aggiungersi
alle (2.6) per la determinazione del moto.
2.2.1 Solidi in rapida rotazione e fenomeni giroscopici elementari
Consideriamo un solido con punto O ′ fisso e dove l’ellissoide d’inerzia rispetto a questo punto è
rotondo: cioé sia tale che A = B, chiameremo (O ′ ;z ′ ) asse giroscopico.

Equazioni di Eulero per un solido a struttura giroscopica
La terza delle (2.8), essendo A = B si riduce a
2.2 Equazioni di Eulero 51
C˙r = Ωz ′ (2.10)
mentre le altre due, ove si denoti con Ω1 il componente equatoriale (ortogonale all’asse giroscopico
ˆk ′
) del momento risultante delle forze esterne rispetto ad O ′ , si possono unire nell’unica equazione
vettoriale:
A˙e−(C −A)rˆ k ′
×e = Ω1
(2.11)
dove abbiamo posto e = pî ′ +qˆj ′ . Quindi nel caso in cui Ωz ′ = 0, ad esempio quando le forze
esterne sono equivalenti ad una unica forza applicata in un punto dell’asse (O ′ ;z ′ ), allora
si ha che r = r0 = costante.
Fenomeni giroscopici
Si hanno le seguenti proprietà:
a) Principio della permanenza o tenacia degli assi giroscopici:cioéseimprimiamounarapida
rotazione del solido intorno al suo asse giroscopico (O ′ ;z ′ ) allora si vede che per effettuare uno
spostamento (prefissato) dell’asse giroscopico (O ′ ;z ′ ), in rapida rotazione, l’intensità della sollecitazione,
applicata all’asse giroscopico, necessaria a tale spostamento è tanto più grande quanto
maggiore è la velocità di rotazione dell’asse giroscopico.
b) Principio della tendenza al parallelismo: cioé se applichiamo un data forza F in un generico
punto A dell’asse giroscopico (O ′ ;z ′ ) (riuscendo a vincere la tenacia e farlo deviare), avente
momento Ω(O ′ ) rispetto al punto fisso, allora l’asse tende a disporsi nella direzione e nel verso
di Ω(O ′ ) (questa proprietà è verificata non solo nel caso di un solido a struttura giroscopica ma
basta supporre che l’asse intorno a cui avviene la rapida rotazione coincida con un asse principale
d’inerzia del solido).
Per dimostrare tali proprietà supponiamo, per fissare le idee, che sia (O ′ ;z ′ ) l’asse giroscopico
e che gli assi (O ′ ;x ′ ) e (O ′ ;y ′ ) siano principali di inerzia dove A = B. Quindi possiamo scrivere
ω = e+r ˆ k ′
dove e = pî ′ +qˆj ′ e consideriamo uno spostamento che sposti ˆ k ′
, cioé l’asse giroscopico.
Poiché K(O) = Ae+Cr ˆ k ′
≈ Crˆ k ′
per r ≫ 1 segue che
dK(O ′ )
= A
dt
de
dt +Cd(rˆ k ′
)
dt ≈ Cd(rˆ k ′
)
dt
ricordando che r è costante nel caso in cui la forza sia applicata in un punto dell’asse,
allora, facendo uso della seconda equazione cardinale della dinamica, si ha che
dˆ k ′
1 dK(O
≈
dt Cr
′ )
=
dt
1
Cr Ωe(O ′ ).
Da ciò appare che quando si vuole effettuare uno spostamento prefissato di un corpo
ruotante intorno all’asse giroscopico bisogna applicare all’asse di riduzione sforzi riducibili
ad una coppia tanto più intensi quanto più rapida è la rotazione; inoltre si osserva pure
che lo spostamento è caratterizzato dal momento Ωe(O ′ ), cioé se un corpo ruota intorno ad un
asse, una coppia giacente nel piano dell’asse tende a spostarlo in direzione normale al
piano stesso.

52 2 Dinamica dei solidi
2.3 Solido pesante con un punto fisso
2.3.1 Integrali primi
Consideriamo il caso di un corpo solido pesante con punto fisso O ′ e peso p = p ˆ k, p = −mg; per
fissare le idee escludiamo il caso particolare in cui G = O ′ (che si puó fare rientrere eventualmente
nel caso generale).
Integrali primi
Supponendo che nella terna fissa (O;x,y,z) l’asse z sia verticale (di versore ˆ k) e orientato verso l’alto
e che la terna (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ) solidale con il corpo coincida al solito con la terna principale di inerzia
allora si ha
dove
K(O ′ ) = Kx ′î′ +Ky ′ˆj′ +Kz ′ˆ k ′
,
Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr. (2.12)
Le forze esterne (e la reazione in O ′ ) hanno momento nullo rispetto alla verticale (O ′ ;z) quindi
Kz = Kz,0 = cost.
in virtù della equazione dei momenti della quantità di moto. Essendo γ1, γ2 e γ3 i coseni direttori
della terna solidale rispetto alla terna fissa, cioé ˆ k = γ1î ′ +γ2ˆj ′ +γ3 ˆ k ′
, si ha
ossia per le (2.12)
Kz ≡ K(O ′ )· ˆ k ≡ Kx ′γ1 +Ky ′γ2 +Kz ′γ3 = Kz,0 = cost.,
Apγ1 +Bqγ2 +Crγ3 = Kz,0. (2.13)
In secondo luogo poiché il peso è una forza conservativa (e i vincoli non dipendono dal tempo),
vale l’integrale delle forze vive T −U = E cioé, essendo p = −mg il peso del corpo (m ne denota la
massa) e x ′ G, y ′ G, z ′ G le coordinate del baricentro
dove
1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2
−pzG = E, (2.14)
zG = γ1x ′ G +γ2y ′ G +γ3z ′ G.
È da notare che dai teoremi generali sul moto dei sistemi non si possono trarre altri integrali primi
oltre alla energia meccanica totale ed alla componente verticale del momento della quantità
di moto (2.13) e (2.14) finché non si introducono ulteriori ipotesi sulla distribuzione delle masse
e in relazione al punto fisso O ′ . Poiché si tratta di un problema di tre gradi di libertà, vale a dire
in tre incognite essenziali, è manifesto che questi due integrali primi non bastano a caratterizzarlo
completamente.

2.3.2 Equazioni differenziali del moto
2.4 Giroscopio pesante 53
Essendo Ωe(O ′ ) = pˆ k×(O ′ −G) allora la (2.6) diventa
′ dK(O )
dt
+ω ×K(O ′ ) = pˆ k×(O ′ −G). (2.15)
Inoltre, essendo ˆ k fisso rispetto agli assi (O;x,y,z) si ha
0 =
O ′
dkˆ ≡
dt O
dkˆ dt O ′
+ω × ˆ k (2.16)
Le equazioni (2.15) e (2.16) proiettate sugli assi principali di inerzia x ′ ,y ′ ,z ′ danno luogo alle sei
equazioni differenziali scalari
⎧
⎪⎨ A˙p−(B −C)qr = −mg(y
⎪⎩
′ Gγ3 −z ′ Gγ2)
B˙q −(C −A)rp = −mg(z ′ Gγ1 −x ′ Gγ3)
C˙r −(A−B)pq = −mg(x ′ Gγ2 −y ′ (2.17)
Gγ1)
⎧
⎪⎨ ˙γ1 = γ2r−γ3q
˙γ2 = γ3p−γ1r
(2.18)
⎪⎩
˙γ3 = γ1q −γ2p
di cui le prime tre sono, naturalmente, le equazioni di Eulero relative al nostro caso. Complessivamente
si ha un sistema di sei equazioni differenziali (2.17), (2.18) del primo ordine fra le sei funzioni
incognite del tempo p, q, r, γ1, γ2, γ3 che, unitamente alla condizione γ2 1 +γ2 2 +γ2 3 = 1, dipende da
cinque costanti arbitrarie.
Supponendo risolto il sistema (2.17), (2.18) si trovano gli angoli di Eulero ψ, θ, ϕ che risolvono
completamente il problema. Infatti dalle solite equazioni fondamentali
γ1 = sinϕsinθ, γ2 = cosϕsinθ, γ3 = cosθ (2.19)
si traggono le espressioni di θ e ϕ in termini finiti di γ1, γ2, γ3 e quindi del tempo. Dopo di che
l’angolo di precessione ψ si ottiene con una quadratura dalla equazione (se γ1 = 0)
p = γ1 ˙ ψ + ˙ θcosϕ. (2.20)
La quadratura, che fornisce la ψ, introduce una nuova costante arbitraria che, insieme con le 5
dell’integrale generale del sistema, dà le sei costanti da cui deve dipendere il più generale moto del
solido pesante con punto fisso (sistema olonomo a tre gradi di libertà).
2.4 Giroscopio pesante
2.4.1 Terzo integrale primo
Denominiamo giroscopio ogni solido il cui ellissoide baricentrale di inerzia sia rotondo,
cioé tale che, ad esempio, A = B e che l’asse giroscopico (O ′ ;z ′ ) contenga il baricentro; in
tal caso l’ellissoide d’inerzia risulta rotondo anche rispetto ad ogni altro punto dell’asse.

54 2 Dinamica dei solidi
Consideriamo un giroscopio pesante, fissato in un generico punto O ′ , appartenente all’asse
giroscopico e distinto dal baricentro G. Perciò, rispetto alla solita terna solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ ), in cui
(O ′ ;z ′ ) sia l’asse giroscopico, le ipotesi strutturali caratteristiche del problema, si traducono nelle
condizioni
A = B, x ′ G = y ′ G = 0; (2.21)
dove abbiamo orientato l’asse giroscopico in modo che sia z ′ G > 0. Il punto della semiretta (O ′ ;z ′ )
che dista una unitá da O ′ si chiama vertice del giroscopio e si denota con V.
Il momento delle forze attive si riduce alla forma
Ωe(O ′ ) = pz ′ G ˆ k ′
× ˆ k, (2.22)
dove p = −mg denota il peso della trottola, da questa segue immediatamente che Ω ′ z = 0. Le
equazioni differenziali, prese sotto la forma (2.17) e (2.18), danno l’ulteriore integrale primo
Kz ′ ,0 che implica
C˙r = 0 ⇒ r ≡ r0. (2.23)
Abbiamodunque,intanto,provatochein ogni moto del giroscopio pesante la velocità angolare
giroscopica si mantiene costante.
Inoltre i due integrali primi del momento verticale delle quantità di moto (2.13) e dell’energia
meccanica (2.14) qui, in base alle prime due della (2.21), assumono la forma
A(pγ1 +qγ2)+Crγ3 = Kz,0, (2.24)
1
2 Ap
2 +q 2
+ 1
2 Cr2 −Pz ′ Gγ3 = E, (2.25)
con r costante. Osserviamo che in questo problema abbiamo i 3 integrali primi del moto
Kz, Kz ′ ed E dati dalle (2.23), (2.24) e (2.25) e ciò rende possibile l’integrazione per
quadrature del problema.
2.5 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante
Si noti subito che sotto le ipotesi di simmetria (2.21) qui ammesse abbiamo il seguente risultato:
Teorema. Il giroscopio pesante è suscettibile di infinite rotazioni uniformi attorno all’asse
giroscopico nelle quali l’asse giroscopico è verticale e la velocità angolare ω = ωˆ k ′
, ˆ k ′
= ˆ k,
ha verso ed intensità completamente arbitraria. Ogni altra retta del giroscopio (non necessariamente
coincidente con l’asse giroscopico) passante per O diventa asse di rotazione permanente
soltanto quando sia disposta lungo la verticale in uno, ben definito, dei due versi possibili,
dopo di che risulta determinato univocamente il valore assoluto della corrispondente velocità angolare
(mai inferiore ad un dato valore critico).
Dimostrazione: Ricordiamo ora che il moto del giroscopio pesante è caratterizzato dall’equazione
dinamica (equazione cardinale dei momenti)

e dalla equazione cinematica
′ dK(O )
dt
O
=
dkˆ =
dt O
′ dK(O )
dt
= Pz ′ G ˆ k ′
O ′
2.5 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante 55
+ω ×K(O ′ )
subordinatamente alle ipotesi strutturali, specifiche nel nostro caso,
× ˆ k (2.26)
dkˆ dt O ′
+ω × ˆ k = 0, (2.27)
A = B, x ′ G = y ′ G = 0, (2.28)
nonché alla condizione convenzionale z ′ G > 0. Tenendo conto che sussiste l’integrale r = cost. allora
per la velocità angolare ω vale l’espressione vettoriale
ω = 1
A K(O′ )+ A−C
A rˆ k ′
, (2.29)
con r costante. Le rotazioni uniformi richiedono l’esistenza per la (2.27) di momenti K(O ′ ) per cui la
espressione (2.29) della ω risulti costante (indifferentemente riferibile agli assi fissi e solidali). Quindi
derivando (rispetto all’osservatore assoluto) rispetto al tempo la (2.29) e tenendo presente le (2.26)
e (2.27) e la formula di Poisson dˆ k ′
dt = ω ׈ k ′
si ottiene
dalla quale risulta che il vettore
ω = costante ⇔
(A−C)rω −Pz ′ G ˆ k
× ˆ k ′
= 0 (2.30)
(A−C)rω −Pz ′ G ˆ k (2.31)
per ogni eventuale rotazione uniforme del giroscopio pesante, deve risultare parallelo a ˆ k ′
o nullo.
Osserviamochetalevettoreècostanterispettoall’osservatorefisso,poichéperunarotazioneuniforme
si ha ω costante.
Consideriamo prima il caso in cui questo vettore costante sia parallelo a ˆ k ′
; questo implica che
ˆk ′
deve essere fisso rispetto allo spazio e quindi ω = rˆ k ′
, allora la (2.30) si riduce a ˆ k × ˆ k ′
= 0.
Da ciò si conclude che: il giroscopio pesante è suscettibile di infinite rotazioni uniformi (o
permanenti) attorno all’asse giroscopico, le quali hanno tutte per asse, nello spazio, la
verticale del punto fisso. Se lungo questa verticale si dispone l’asse giroscopico, indifferentemente
all’ingiù o all’insù, la velocità angolare è il verso della rotazione restano completamente arbitrari.
Consideriamo ora il caso in cui il vettore (2.31) sia nullo, cioé si abbia
(A−C)rω = Pz ′ G ˆ k
da cui segue che l’asse di rotazione permanente deve essere disposto verticalmente, cioé ω = ω ˆ k e
dove, denotando al solito con θ l’angolo di nutazione (assunto diverso da 0 e π per non ricadere nel
caso precedente) vale la relazione
r = ωcosθ.

56 2 Dinamica dei solidi
Pertanto si trova che deve valere la condizione
(A−C)ω 2 cosθ = Pz ′ G
e viceversa, tutte le volte che tale relazione è soddisfatta per due valori θ e ω, allora il corrispondente
momento K(O ′ ) sodisfa alla seconda equazione cardinale della Dinamica. Osserviamo ora che, prefissata
la direzione ed il verso, cioé θ, solo un solo valore di ω è permesso e viceversa. In ogni caso il
valore assoluto della velocità angolare non può scendere mai al di sotto di un dato valore critico
Pz
′
G
A−C .
Inoltre si osserva anche che nelle rotazioni uniformi del giroscopio pesante (quando l’asse
giroscopico non è verticale) il baricentro si mantiene sempre al di sotto o sempre al di
sopra del piano orizzontale del punto fisso, secondo che l’ellissoide rotondo d’inerzia,
rispetto ad O è allungato A > C o schiacciato A < C.
Precessioni regolari del giroscopio pesante
Cerchiamo qui le precessioni regolari del giroscopio pesante, aventi per asse di precessione la
verticale del punto fisso e per asse di figura l’asse giroscopico. Poniamo dunque ω = µ ˆ k ′
+νˆ k
denotando con µ e ν le componenti costanti di ω secondo l’asse giroscopico e la verticale ascendente
(dette rispettivamente velocità angolare propria e velocità angolare di precessione del corpo).
Sostituendo nella (2.29) e risolvendo rispetto al momento K(O ′ ), si trova
K(O ′ ) = (Aµ−[A−C]r) ˆ k ′
+Aν ˆ k, (2.32)
quindi tutto si riduce a cercare se sia possibile soddisfare con una tale espressione di K(O ′ ), dove r,
µ e ν siano costanti, all’equazione dinamica (2.26) del moto del giroscopio pesante. Sostituendo la
(2.32) nella (2.26) e ricordando che
⎛
si ottiene
⎝ dˆ k ′
dt
⎞
⎠
O
= ω × ˆ k ′
= νˆ k× ˆ k ′
{(Aµ−[A−C]r)ν +Pz ′ G} ˆ k ′
× ˆ k = 0
dove in ogni precessione regolare, che non si riduca ad una semplice rotazione intorno all’asse giroscopico,
deve essere ˆ k ′
× ˆ k = 0, si ottiene quindi la seguente equazione scalare
(Aµ−[A−C]r)ν +Pz ′ G = 0. (2.33)
Esplicitando, oltre che rispetto ai caratteri intrinseci del giroscopio A, C, p e z ′ G, rispetto ai
parametri caratteristici della precessione e in particolare rispetto all’angolo costante θ di nutazione
si ottiene r = ω · ˆ k ′
= µ+νcosθ e la (2.33) diventa
(A−C)ν 2 cosθ−Cµν +Pz ′ G = 0. (2.34)

2.5 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante 57
È questa la condizione necessaria e sufficiente perché i parametri µ, ν, θ definiscano per
il dato giroscopio pesante una precessione regolare. Notiamo che fissando arbitrariamente
(entro certi limiti) due dei tre parametri µ, ν, θ si determina univocamente il terzo.
In particolare si ottiene che risolvendo l’equazione di II ◦ grado (2.34) in ν, essendo fissati θ e µ
con µ ≫ 1, si ottengono le due soluzioni che, trascurando le potenze di µ −1 con esponente maggiore
di 1, sono date da:
ν1 ≈
Cµ
(A−C)cosθ , ν2 ≈ − Pz′ G
C µ−1 .
Abbiamo quindi ottenuto il seguente risultato:
Teorema. Qualunque sia la semiretta per O ′ , solidale con il corpo (e diversa dall’asse giroscopico)
che (in un dato istante) si disponga verticalmente (all’ingiù o all’insù), per ogni valore abbastanza
grande della velocità propria µ intorno all’asse giroscopico, sono possibili per il giroscopio due diverse
precessioni regolari, per le quali la rotazione precessionale è rapida nell’una (ν dello stesso ordine di
µ), lenta nell’altra (ν dell’ordine di µ −1 ).
Osserviamo che le precessioni corrispondono, nell’analisi fatta in precedenza, alle soluzioni s =
s1 = s2 doppie della equazione f(s) = 0 interne all’intervallo (−1,+1).
2.5.1 Determinazione dell’angolo di nutazione
Tenendo conto degli integrali (2.24) e (2.25) e delle equazioni generali (2.18) (basta la terza), si
ottiene la equazione differenziale del primo ordine
In particolare ponendo
˙s 2 = Φ(s), dove s = γ3 = cosθ.
C
A = c, −2Pz′ G
A = ρ2 , − E
Pz ′ G
= h, Kz,0
A
= ρk, r = ρλ, (2.35)
dove c e ρ sono due costanti positive dipendenti esclusivamente dalla distribuzione delle masse nel
corpo; mentre h, k, λ (al pari di E, Kz,0 e r da cui differiscono per un coefficiente di omogeneità)
sono costanti di integrazione ridotti a numeri puri. Con tali posizioni gli integrali primi (2.24) e
(2.25) assumono la forma
onde sostituendo nella identità
pγ1 +qγ2 = ρ(k −cλs), (2.36)
p 2 +q 2 = ρ 2 (−s+h−cλ 2 ); (2.37)
(pγ1 +qγ2) 2 +(pγ2 −qγ1) 2 =
p 2 +q 2
(1−γ 2 3)
=
p 2 +q 2
(1−s 2 ) (2.38)
e tenendo conto della terza delle equazioni (2.18), si ottiene per la s l’equazione preannunciata
˙s 2
ρ 2 = (1−s2 )(−s+h−cλ 2 )−(cλs−k) 2 . (2.39)

58 2 Dinamica dei solidi
Essa costituisce la risolvente del problema del moto del giroscopio pesante perché non appena si
è determinata l’espressione s = γ3 dalla (2.39) in funzione del tempo, si trovano (vedremo poi come)
con eliminazioni e quadrature le analoghe espressioni degli altri elementi incogniti del moto, cioé di
γ1, γ2, p, q (r è costante) o, addirittura, dei due angoli di Eulero ψ, ϕ. Resta così stabilita la
integrabilità per quadrature del problema del moto del giroscopio pesante.
Discussione della equazione risolvente
Escludiamo il caso λ = 0 (cioé il caso r = 0 che ci riporterebbe al caso caso di rotazione nulla attorno
all’asse giroscopico e quindi al pendolo sferico) e studiamo l’andamento qualitativo delle soluzioni
della equazione risolvente (2.39). Tale discussione si fonda sulla indagine delle radici (reali) del
polinomio di terzo grado che compare nella (2.39):
Anzitutto si osservi che
Inoltre si hanno i seguenti casi:
f(s) = f(s;λ,h,k)
= (1−s 2 )(−s+h−cλ 2 )−(cλs−k) 2 . (2.40)
lim f(s) = ±∞.
s→±∞
a) cλ = ±k allora f(±1) = −(±λc−k) 2 < 0 e quindi f(s) ammette certamente una radice s3 > +1;
inoltre, a seconda del valore che f(s0) ≥ 0 assume (s0 è il valore iniziale), si ha che:
a1)f(s0) > 0 allora il trinomio f(s) ammette tre radici reali semplici s1, s2, s3 con s3 > +1 e
s1, s2 appartenenti all’intervallo (−1,+1);
a2)f(s0) = 0, se s0 è radice doppia s1 = s2 = s0 allora la terza radice s3 è comunque maggiore di
+1 e la funzione f(s) si mantiene negativa in tutto l’intervallo (−1,+1)−{s0};
a3)se invece f(s0) è semplice allora, come nel caso a1) la funzione f(s) ammette due radici s1 e s2
interne all’intervallo (−1,+1) e la terza s3 maggiore di +1.
b) Percλ = −k,ilpolinomiof(s)assumevalorenegativoin+1edènulloin−1,quindif(s)ammette
certamente una radice s3 > +1; inoltre, si hanno due possibilità:
b1)−1 è radice doppia, s1 = s2 = −1, allora il polinomio f(s) è negativo all’interno dell’intervallo
(−1,+1] ed ha una terza radice s3 > +1;
b2)se invece s1 = −1 è radice semplice allora deve essere necessariamente s2 interna all’intervallo
(−1,+1).
c) Infine nel caso cλ = +k il polinomio f(s) ammette la radice +1; ma, all’infuori di questa circostanza
si possono presentare per le altre due radici tutti i casi possibili:
c1)f(s) ha una radice tripla e questa è necessariamente +1;
c2)f(s) ha una radice semplice in +1 ed una radice doppia all’interno di (−1,+1);
c3)f(s) ha una radice doppia in +1 ed ha una radice semplice esterna all’intervallo (−1,+1);
c4)f(s) ha una radice doppia in +1 ed ha una radice semplice interna all’intervallo (−1,+1).

Caso delle radici semplici: moti con nutazione dell’asse giroscopico
2.5 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante 59
Nel caso di due radici semplici −1 < s1 < s2 < +1 la funzione s = cosθ, al trascorrere del tempo,
oscilla indefinitamente fra i due valori estremi s1 ed s2; il che, nei riguardi del giroscopio, vuol dire
che l’asse descrive nello spazio una superficie conica sempre compresa fra i due coni di rotazione ad
asse verticale di semi-apertura cos −1 s1 = θ1 > θ2 = cos −1 s2, e raggiunge alternativamente l’uno e
l’altro (moto di nutazione dell’asse giroscopico). In particolare la traiettoria (sferica) del punto
V (detta traiettoria del vertice) è tutta compresa fra i due paralleli θ1 e θ2 e va, alternativamente
dall’uno all’altro in modo periodico.
Andamento della curva al vertice
Sempre nel caso di due radici semplici −1 < s1 < s2 < +1 siamo interessati ora a studiare
l’andamento della curva del vertice V sulla superficie sferica con particolare riguardo al caso in
cui tocca i paralleli. Si ricerca l’angolo α che la tangente alla curva al vertice, in un suo generico
punto, forma con il meridiano passante per essa di versore u. Questo versore, come ortogonale a ˆ k ′
e parallelo al piano verticale ˆ k, ˆ k ′
, risulta parallelo al componente equatoriale di ˆ k, cioé a γ1î ′ +γ2ˆj ′ ,
quindi si può scrivere
u = γ1î ′ +γ2ˆj ′
1−γ 2 3
= γ1î ′ +γ2ˆj ′
√ . (2.41)
1−s 2
D’altra parte la velocità del vertice V, estremo libero del versore ˆ k ′
applicato in O ′ , è data da
d ˆ k ′
dt = ω ׈ k ′
Per la definizione di prodotto scalare si ha
cos 2 α =
dˆ k ′
2
·u
dt
dˆ k ′
2
dt
=
d
⇒
ˆ k ′
2
= p
dt
2 +q 2 .
˙s 2
(1−s 2 )(p2 +q2 . (2.42)
)
dalle (2.41) e dalla terza delle equazioni (2.18). Quindi nell’istante in cui il vertice va a trovarsi
sull’uno o sull’altro dei paralleli estremi, essendo ˙s = 0 ed essendo s1,2 = ±1 si ha cosα = 0
(supponendo inoltre che nell’istante considerato p e q non sono entrambi nulli); il che vuol dire che
in generale la curva del vertice risulta tangente ai paralleli estremi nei punti, in cui
alternativamente, li raggiunge.
Resta il caso eccezionale in cui p = q = 0 quando il vertice raggiunge un parallelo estremo.
Dalla (2.42) segue che per ˙s = 0 devono essere, necessariamente, p e q non nulli. Poiché poi, in
corrispondenza di una delle due radici s = s1 o s = s2 sia p = q = 0 è necessario che per una tale
radice sussistano simultaneamente dalle (2.36) e (2.37) le due equazioni
k −cλs = 0, −s+h−cλ 2 = 0.

60 2 Dinamica dei solidi
Se poniamo ¯s = k/cλ allora la condizione necessaria affinché sia p = q = 0 in corrispondenza a
s = s1 o s = s2 è che sia
k
cλ
= h−cλ2
(2.43)
e che s1 = ¯s o s2 = ¯s. Nel caso sia verificata la condizione (2.43) le (2.37) e (2.39) prendono la forma
e
e la (2.42) in questo caso si può scrivere
p 2 +q 2 = ρ2
cλ (−cλs+k)
˙s 2 = ρ2
cλ (1−s2 )(−csλ+k)−ρ 2 (csλ−k) 2 ,
cos 2 α = 1+cλ cλs−k
(1−s 2 )
e mostra che, quando s tende al suo valore estremo ¯s = k/cλ, cosα tende a 1; quindi, dato il carattere
oscillatoriodellas,la curva del vertice, nei punti che ha comuni con il parallelo considerato,
presenta una cuspide a tangente meridiana. Si aggiunge, infine, che una tale eventualità
può presentarsi soltanto sul parallelo superiore. Infatti, la soluzione s1,2 = ¯s = k/cλ è, per il
polinomio f(s) la maggiore delle due radici semplici comprese tra −1 e +1 poiché
f ′ (s = k/cλ) = −ρ 2 (1−k 2 /c 2 λ 2 ) < 0.
Quindi, per −1 < s1 < s2 < +1 e ad esclusione del caso k
cλ = h−cλ2 , il vertice tocca i paralleli
minimo e massimo in modo tangente; nel caso particolare k
cλ = h − cλ2 il vertice tocca
in modo tangente il parallelo minimo e forma una cuspide verticale quando tocca il
parallelo massimo.
2.5.2 Discussione del moto di precessione ψ(t)
Andiamo a studiare l’andamento dell’angolo di precessione ψ durante il moto. Dalla (2.24) e dal
fatto che Cr = Kz ′ ,0 è un integrale primo del moto si ottiene che
D’altra parte le (2.9) e le (2.19) danno
ottenendo infine
pγ1 +qγ2 = Kz,0 −Kz ′ ,0cosθ
.
A
pγ1 +qγ2 = ( ˙ θcosϕ+ ˙ ψsinϕsinθ)sinϕsinθ+
+(− ˙ θsinϕ+ ˙ ψcosϕsinθ)cosϕsinθ
= ˙ ψsin 2 θ
˙ψ = Kz,0 −Kz ′ ,0cosθ
Asin 2 θ
= a−bs −cλs
= ρk
1−s 2 1−s 2

2.5 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante 61
dove s = cosθ, a = Kz,0
A = ρk e b = Kz ′ ,0 = cr = ρcλ. A
Se ¯s = cλ/k è interno all’intervallo (s1,s2) allora la velocità di precessione sui paralleli, definiti da
θ1 e θ2, è opposta e il vertice V si muove sulla superficie sferica tracciando una curva con dei nodi;
se invece è esterno allora il moto di precessione è monotono; infine abbiamo il caso limite in cui uno
dei due valori s1 o s2 coincide con ¯s, questo caso è già stato visto in precedenza e la curva presenta
una cuspide quando tocca una delle due quote (necessariamente quella corrispondente al parallelo
massimo).
Caso delle radici multiple
Esaminiamo il caso in cui il polinomio f(s) ammetta nell’intervallo da −1 a +1 (estremi inclusi) una
radice multipla s0. Esclusa l’eventualità cλ = k, sappiamo che non può trattarsi se non di una radice
doppia s0, isolata nel senso che il polinomio f(s) in ogni altro punto dell’intervallo risulta negativo.
Il moto corrispondente è di necessità un moto merostatico, in cui conserva indefinitamente il
suo valore iniziale s0. Ciò vuol dire che l’asse giroscopico appartiene costantemente al cono di
rotazione intorno alla verticale di angolo θ0 = cos−1s0. È facile verificare che il moto del
solido si riduce ad una precessione regolare:
⎛ ⎞
ω =
e
1−γ 2 3
ˆk+
⎝r − eγ3
1−γ 2 3
dove r = r0 e γ3 = s0 sono costanti. Infatti, dalla costanza di γ3 = s0 risulta pure costante la
somma |e| 2 = p 2 +q 2 . D’altra parte la costanza di γ3 implica l’ulteriore relazione γ2p−γ1q = 0, cioé
p/q = γ1/γ2, da cui segue che deve essere
da cui segue la tesi.
e =
Determinazione completa del moto
e
1−γ 2 3
(γ1î ′ +γ2ˆj ′ ) =
⎠ˆ k ′
,
e
1−γ 2
ˆk−γ3
3
ˆ k ′
Facciamo infine vedere che, una volta determinata γ3 integrando la (2.39), anche gli altri elementi
(p, q, γ1 e γ2) si possono calcolare con quadrature. Dalle (2.36) e (2.38) segue che
pγ1 +qγ2 = Θ1(t) e qγ1 −pγ2 = Θ2(t)
dove Θ1 e Θ2 denotano due funzioni note una volta sia noto s = s(t). Denotando ζ = p + iq e
µ = γ1 +iγ2 segue che
D’altra parte dalle (2.18) risulta
che, unitamente alla (2.44) dà
ζ¯µ = Θ1 +iΘ2 ovvero ζ = µ Θ1 +iΘ2
1−γ 2 . (2.44)
3
˙µ = −irµ+iγ3ζ

62 2 Dinamica dei solidi
dlogµ
dt
Θ1 +iΘ2
= −ir+iγ3
1−γ 2 3
che, mediante una quadratura, permette di determinare µ = µ(t) e quindi γ1(t) = ℜµ e γ2 = ℑµ.
Inoltre, nota µ(t), è possibile determinare poi ζ(t), e quindi p(t) e q(t), dalla (2.44).
2.6 Trottola veloce
Ipotizziamo che la componente costante r della velocità angolare giroscopica sia, durante tutto il
moto, rilevante non solo di fronte alle altre due componenti p e q, ma anche di fronte alla costante
strutturale ρ definita dalla relazioni (2.35); da quest’ultima ipotesi segue che anche la costante λ
definita dalle (2.35) va ritenuta molto grande. Quindi una trottola si dice ”veloce” se l’energia
cinetica di rotazione è molto maggiore dell’energia potenziale, cioé se
1
2 Cr2 ≫ mgz ′ G.
Inoltre dall’integrale primo dell’energia nella forma (2.37) segue che
h = cλ 2 +h1, h1 = p2 +q 2
+s (2.45)
ρ2 dove h1 è indipendente da λ e molto piccolo rispetto a λ stesso. Analogamente l’integrale primo
(2.36) del momento assiale della quantità di moto si può scrivere
k = cλs+R1, R1 = pγ1 +qγ2
ρ
dove il termine R1 è un termine indipendente da λ; cosicché se ne trae
(2.46)
s = γ3,0 − R1
; (2.47)
cλ
dove R1/cλ si mantiene trascurabile di fronte alla grandezza costante ¯s = γ3,0 = k/cλ. Riconosciamo
cosìche,quandoilgiroscopioèanimatodiunarotazionerapidaintornoalsuoasse,questo conserva
sensibilmente un’inclinazione costante sulla verticale (cos ¯ θ = ¯s = k/cλ).
Piccole oscillazioni del moto di nutazione
Porremo quindi come valore approssimato di k
k = cλ¯s; (2.48)
e riterremo ¯s = ±1, cioé escluderemo k = ±cλ. Per studiare le piccole oscillazioni di s intorno ad ¯s,
cioé il moto di nutazione, porremo
s = ¯s+σ, (2.49)
dove σ = O(λ −1 ) va trattato come una quantità del primo ordine. Se ¯s (= ±1) è esattamente
radice doppia del polinomio f(s), il moto del giroscopio si riduce ad una precessione regolare e si

2.6 Trottola veloce 63
ha rigorosamente s ≡ ¯s, cioé σ = 0. Esclusa questa eventualità ˙s non si annulla identicamente e,
derivando la (2.39) rispetto a t e dividendola per ˙s, si ricava
2¨s
ρ 2 = f′ (s),
e basta sostituirvi ¯s+σ ad s e tenere conto che σ va trattato quale una quantità del primo ordine
per ottenere, come caratteristica di σ, l’equazione lineare
¨σ − 1
2 ρ2f ′′ (¯s)σ − 1
2 ρ2f ′ (¯s) = 0.
Questa equazione differenziale prende la forma
dove abbiamo posto
e
¨σ +c 2 r 2 σ −aρ 2 = 0;
2a = f ′ (¯s) = −2¯s(−¯s+h1)−(1− ¯s 2 ) = −1−2h1¯s+3¯s 2
f ′′ (¯s) = −2c 2 λ 2 −2h1 +6¯s ≈ −2c 2 λ 2 .
Ponendo, infine, σ1 = σ − aρ2
c 2 r 2=σ − a
c 2 λ 2 assume la forma finale
¨σ1 +c 2 r 2 σ1 = 0,
che è quella caratteristica dei moti armonici e che ha integrale generale
dove ǫ0 e t0 sono due costanti. Quindi
σ1(t) = ǫ0cos[cr(t−t0)]
s = ¯s+ǫ0cos[cr(t−t0)]+ a
c 2 λ 2
da cui, essendo s(0) = ¯s+O(λ −1 ) e ˙s(0) = ˙¯s si ottiene ǫ0 = O(λ−1 ). In particolare, essendo ¯s = ±1,
il divario angolare ǫ = θ − ¯ θ si può porre sotto la forma ǫ = ǫ1 +ǫ2 dove il primo addendo
ǫ1 = −
a
(2.50)
c2λ2sin ¯ θ
è un numero dipendente dalle costanti iniziali e, in ogni caso piccolo per effetto del denominatore
c2λ2 ; mentre il secondo addendo è dato da:
Si ottiene la formula
ǫ2 = − σ1
sin ¯ θ = ˜ǫ0cos[cr(t−t0)], ˜ǫ0 = ǫ0
sin ¯ θ = O(λ−1 ). (2.51)
θ − ¯ θ = ǫ1 +˜ǫ0cos[cr(t−t0)] ≈ ˜ǫ0cos[cr(t−t0)], (2.52)
la quale fornisce l’espressione approssimata della nutazione, tanto più attendibile quanto più è rilevante
λ. La frequenza delle piccole oscillazioni attorno a ¯s è data da
ω nut = cr = C
A r.

64 2 Dinamica dei solidi
Moto di precessione e di nutazione nel caso di piccole oscillazioni
Da quanto è noto le espressioni degli altri due angoli di Eulero ψ e ϕ soddisfano alle due equazioni
˙ψ =
ρ(k −cλs)
1−s 2 , ˙ϕ = r − ˙ ψs. (2.53)
Poiché s differisce da ¯s = k/cλ per termini dell’ordine 1/λ e ρλ = r, la ˙ ψ assume la forma
˙ψ
s− ¯s crǫ0
= −cr ≈ − cos[cr(t−t0)]+ν
1−s 2 1− ¯s 2
dove abbiamo posto ν = ρa
cλ(1−¯s 2 . Da qui si desume
)
ψ = νt+ ǫ0
1− ¯s 2 sin[cr(t−t0)]+cost. (2.54)
Come si vede, ψ risulta dalla somma di due termini, di cui il primo, proporzionale al tempo, corrisponde
ad una rotazione uniforme dell’asse di figura, lenta di fronte alla rotazione giroscopica (di
velocità angolare r), mentre il secondo, periodico (di periodo 2π/cr), dà luogo a piccole oscillazioni
intorno a tale moto precessionale.
Resta da valutare ϕ. Sostituendo anche nella espressione (2.53) di ˙ϕ a s il suo valore medio ¯s, si
ottiene
da cui
che in prima approssimazione si riduce a ϕ ≈ rt.
˙ϕ ≈ r− ˙ ψ¯s;
2.7 Stabilità del moto del giroscopio pesante.
ϕ = (r−ν¯s)t− ¯sǫ0
sin ¯ θ sin[cr(t−t0)]+cost. (2.55)
2.7.1 Stabilizzazione giroscopica e trottola ”addormentata”.
Ci proponiamo di discutere la stabilità, ridotta ai parametri p,q,r,s, delle rotazioni permanenti
del giroscopio pesante intorno all’asse giroscopico diretto verticalmente all’insù (s = +1, λ arbitrario)
essendo manifesta la stabilità nel caso dell’asse verticale disposto all’ingiù. Faremo vedere che
per velocità abbastanza grandi si ha stabilità (fenomeno di stabilizzazione giroscopica) mentre
per velocità inferiori di un certo valore si ha instabilità. Un esempio classico di questo risultato è
costituito dalla trottola. Infatti, mentre per una trottola, appoggiata al suolo con l’asse disposto verticalmente
all’insù, è instabile, al pari dello stato di equilibrio, ogni rotazione lenta, basta imprimerle
una velocità angolare rilevante perché essa risulti stabile; questo caso prende il nome di trottola
addormentata o dormiente; infatti per rotazioni molto veloci essa appare ”ferma” (relativamente
al moto dell’asse giroscopico) e non appena, per effetto dell’attrito, la velocità di rotazione diminuisce
sotto una certa soglia la trottola si ”sveglia”, cioé il moto dell’asse giroscopico diventa osservabile.
Per studiare la stabilizzazione giroscopica assumiamo come soluzione (merostatica) campione ¯σ
una qualsiasi delle rotazioni uniformi intorno all’asse giroscopico, diretto verticalmente all’insù, cioé

2.7 Stabilità del moto del giroscopio pesante. 65
una ¯σ per cui sia s = +1, p = 0, q = 0 mentre a λ e, quindi, ad r compete un valore costante
generico. Consideriamo ora una generica σ inizialmente prossima a ¯σ; cioé tale che il valore iniziale
s0 di s sia prossimo a +1 e i valori iniziali p0 e q0 di p e q siano prossimi a zero (r coincide sempre
con r0 e lo prendiamo coincidente con quello di ¯σ). Ora dall’integrale delle forze vive
p 2 +q 2 = ρ 2 (−s+h−cλ 2 ), (2.56)
valida sia per la σ che per ogni altra soluzione, si deduce che la stabilità relativa alle s, p, q (ed
r) non si diversifica da quella ridotta all’unico parametro s. Infatti, se la s di σ si mantiene
prossima al suo valore iniziale s0, allora altrettanto avviene per p 2 +q 2 che inizialmente ha il valore di
p 2 0+q 2 0 che è prossimo a zero e quindi sia p che q si mantengono piccoli. Conseguentemente possiamo
limitarci a controllare il divario tra s e +1.
Come sappiamo l’andamento della s(t) corrispondente a tale σ si rileva dalla posizione (e dalla
molteplicità) delle radici che il polinomio
f(s; ¯ λ+λ1, ¯ h+h1, ¯ k +k1) (2.57)
eventualmente ammette nell’intervallo da s = −1 ad s = 1. λ1 = h1 = k1 = 0 corrispondono al caso
¯σ e le costanti di integrazione ¯ h, ¯ k sono date in termini della corrispondente ¯ λ dalle
¯h = c ¯ λ 2 +1, ¯ k = c ¯ λ, (2.58)
poiché ¯p = ¯q = 0 e f(s; ¯ λ, ¯ h, ¯ k) ha per s = 1 soluzione almeno doppia. Quindi la (2.40) si riduce a
f(s; ¯ λ, ¯ h, ¯ k) = (1−s) 2 (1−c 2¯ λ 2 +s) (2.59)
che ha radici ¯s1 = ¯s2 = +1 e ¯s3 = c 2¯ λ 2 −1. È manifesto che, per ragioni di continuità, per λ1,h1,k1
prossimi a zero il polinomio (2.57) avrà due radici s1, s2 prossime entrambe a +1 e, in più, una terza
radice s3 prossima a ¯s3 = c 2¯ λ 2 −1. Si prova che:
a) Ogni rotazione permanente ¯σ, la cui velocità angolare renda soddisfatta la disuguaglianza
| ¯ √
2
λ| >
(2.60)
c
è stabile; infatti, in tal caso ¯s3 > +1 e quindi il polinomio (2.57) ha due radici s1 e s2 prossime a
+1 ed una s3 > +1; quindi il moto avviene con s(t) che oscilla tra s1 e s2, cioé in prossimità di
+1;
b) Altrettanto può dirsi nel caso limite
| ¯ √
2
λ| = , (2.61)
c
in cui ¯s3 = +1, che dà luogo alla radice tripla s = +1, giacché qui ancora la più grande delle tre
radici corrispondenti ad una generica σ, inizialmente prossima a ¯σ, è di necessità vicina a +1.
c) Se invece la ¯s3 è interna all’intervallo (−1,+1), cioé se | ¯ λ| < √ 2,
quindi la σ ha tre radici
c
−1 < s3 < s1 ≤ +1 ≤ s2 e quindi la s oscilla indefinitamente tra s1 ed s3 e quindi si scosta da +1
per un intervallo finito dando luogo alla instabilità di ¯σ.

66 2 Dinamica dei solidi
Si può concludere che: delle rotazioni uniformi del giroscopio pesante intorno all’asse
giroscopico, disposto verticalmente con il baricentro al di sopra del punto fisso, quelle
veloci (c2λ2 ≥ 2) sono stabili. La velocità critica, al di sotto della quale si perde la stabilità è
data da
|r| = 2
A|p|z
C
′ G.
Instabilità delle precessioni regolari del giroscopio pesante
Si assuma come soluzione campione ¯σ una generica precessione regolare per cui la s = cosθ conserva,
durante tutto il moto, il suo valore iniziale ¯s0 = cos ¯ θ0 dove ¯s0 è una radice doppia del polinomio f(s)
interna all’intervallo (−1,+1) (è interna altrimenti si rientrerebbe nel caso precedente). Il polinomio
f(s) ammette quindi, per ogni altra soluzione σ prossima a ¯σ, due radici reali prossime a ¯s0 e quindi
nei riguardi del solo parametro s ogni precessione regolare risulta stabile. Ma questa stabilità
ridotta non implica, a differenza del caso precedente, la stabilità globale relativa ai parametri p e
q. Infatti in virtù dell’integrale delle forze vive
p 2 +q 2 = ρ 2 (−s+h−cλ 2 ), (2.62)
la somma p 2 + q 2 si mantiene prossima al suo valore iniziale p 2 0 + q 2 0 e quindi a ¯p 2 0 + ¯q 2 0 (che non è
arbitrariamente piccolo) ma ciò non implica che p e q si mantengano, rispettivamente prossimi a p0
e q0.

3
Equazioni di Lagrange
3.1 Principio del d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica
Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali
che si possono scrivere
Per sistemi a vincoli perfetti la relazione
mas = Fs +φs, s = 1,...,N, (3.1)
N
φs ·δPs ≥ 0 =⇒
s=1
Fs −mas = −φs. (3.2)
N
(Fs −msas)·δPs ≤ 0 (3.3)
s=1
è da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali δPs, a partire dalla configurazione
assunta dal sistema, durante il suo moto, nel generico istante che si considera. La (3.3) prende il
nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di spostamenti invertibili va sostituita alla
corrispondente equazione
detta equazione simbolica della Dinamica.
3.2 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo
N
(Fs −msas)·δPs = 0 (3.4)
s=1
Riferiamo il nostro sistema olonomo ad una n−upla qualsiasi di coordinate lagrangiane indipendenti
qh, dove n denota il grado di libertà del sistema. Le relazioni Ps = Ps(q;t) derivate rispetto al tempo
danno le velocità
e gli spostamenti virtuali
vs =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
∂t
(3.5)

68 3 Equazioni di Lagrange
n ∂Ps
δPs = δqh, (3.6)
h=1 ∂qh
dove le n componenti δqh sono arbitrarie e indipendenti. Riprendendo la equazione simbolica
della Dinamica, considerata valida per tutti gli spostamenti virtuali invertibili, si ha:
N N
msas ·δPs = Fs ·δPs. (3.7)
s=1 s=1
Il secondo membro è il lavoro virtuale δL delle forze attive e vale l’identità
dove
N n
Fs ·δPs = Qhδqh
s=1 h=1
Qh =
N
s=1
Fs · ∂Ps
∂qh
è la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata Lagrangiana qh. Quanto
al primo membro della (3.7) esso si può scrivere, dalla (3.6), come
(3.8)
N n
N
msas ·δPs = τhδqh, dove τh = msas ·
s=1 h=1
s=1
∂Ps
. (3.9)
∂qh
In base alla arbitrarietà dei termini δqh e alle due identità (3.8) e (3.9) l’equazione simbolica della
Dinamica (3.4) equivale alle n equazioni:
τh = Qh, h = 1,2,...,n. (3.10)
Si conclude così che per ogni sistema olonomo, a vincoli lisci e bilateri le n equazioni (3.10)
equivalgono alla equazione simbolica della Dinamica e devono essere soddisfatte durante
il moto.
Le (3.10) si possono poi scrivere nella seguente forma, dette equazioni di Lagrange:
d ∂T
dt∂˙qh
− ∂T
∂qh
La dimostrazione è immediata e segue ricordando che
e notando che dalla (3.5) risulta
allora
∂vs
∂˙qh
= ∂Ps
∂qh
T = 1
2
e
= Qh, h = 1,2,...,n. (3.11)
N
msvs ·vs
s=1
d ∂Ps
dt ∂qh
= ∂ dPs
∂qh dt
∂vs
= ,
∂qh

e
∂T
∂˙qh
=
N
s=1
∂T
∂qh
=
N
s=1
msvs · ∂vs
∂˙qh
msvs · ∂vs
∂qh
Derivando quest’ultima rispetto al tempo si ottiene che
d ∂T
=
dt ∂˙qh
N
s=1
msas · ∂Ps
∂qh
+
=
N
s=1
N
s=1
3.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta 69
msvs · ∂Ps
.
∂qh
msvs · ∂vs
∂qh
= Qh + ∂T
.
∂qh
Notiamo che, nelle (3.11), tutto ciò che dipende dalla sollecitazione attiva è riassunto nelle sue
componenti lagrangiane Qh, tutto quello che attiene alla struttura materiale del sistema è sintetizzato
nell’unico elemento globale T, cioé nella forza viva. Esse danno la completa impostazione del
problema del moto di un sistema olonomo; sotto l’aspetto analitico, costituiscono un sistema
differenziabile del II ◦ ordine nelle n funzioni incognite qh(t), riducibile a forma normale.
Notiivaloriq 0 h e ˙q 0 h diqh e ˙qh inundeterminatoistante,cioéassegnatelaconfigurazioneinizialedel
sistema e le velocità iniziali dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed unicità
delle equazioni differenziali, una unica soluzione qh = qh(t) delle (3.11) che darà, necessariamente,
il moto del sistema. Cioé: assumendo i vincoli perfetti, bilateri e olonomi e le necessarie
condizioni di regolarità sulle forze e sulle relazioni che definiscono le configurazioni del sistema a
partire dalle coordinate lagrangiane, dai teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni delle equazioni
differenziali segue che le soluzioni delle equazioni di Lagrange, assegnate le condizioni iniziali, sono
uniche e quindi devono necessariamente coincidere con le leggi del moto; ovvero le soluzioni delle
equazioni di Lagrange danno il moto del sistema.
3.3 Funzione Lagrangiana
Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us; quindi U = U(q;t) = N s=1Us(Ps)
e, in coordinate lagrangiane, Qh = ∂U
∂qh . Da ciò, e dalla indipendenza di U da ˙qh, le equazioni di
Lagrange assumono la forma
dove si è posto
d ∂L
dt∂˙qh
− ∂L
∂qh
Alla funzione L si dà il nome di funzione Lagrangiana.
3.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta
= 0, h = 1,2,...,n, (3.12)
L(˙q,q;t) = L = T +U = T −V. (3.13)
Assegnata la funzione Lagrangiana L = L(˙q,q;t), definiamo momenti cinetici le derivate ph = ∂L
∂ ˙qh .

70 3 Equazioni di Lagrange
Se supponiamo che la funzione Lagrangiana L sia indipendente da una (o più) delle variabili qh,
per esempio dalla q1, allora l’equazione (3.12) di indice h = 1 fornisce immediatamente l’integrale
primo
p1 = ∂L
= Cost.. (3.14)
∂˙q1
Gli integrali di questo tipo si dicono integrali primi dei momenti e le coordinate qh, che
non comparendo nella funzione Lagrangiana danno luogo a tali integrali, si chiamano ignorabili o
cicliche.
SenellafunzioneLagrangianaLalcune(perfissareleideeleprimem)coordinateqk,k = 1,...,m,
sono cicliche, cioé
L = L(˙q1,..., ˙qn,qm+1,...,qn;t) = L(˙q,q ′ ;t),q ′ = (qm+1,...,qn)
allora il corrispondente sistema lagrangiano ammette gli m integrali primi dei momenti
pk = ∂L
= ck = cost., k = 1,2,...,m. (3.15)
∂˙qk
Supponiamo che il sistema delle m equazioni (3.15) sia risolubile rispetto ad m delle ˙q; ciò è sempre
vero quando il rango della matrice Hessiana
2 ∂ L
∂˙qh∂˙qk
h=1,...,n, k=1,...,m
è uguale a m. Nel caso particolare in cui L = T +U allora l’Hessiano è una matrice definita positiva
e quindi il minore formato dalle prime m righe e colonne ha determinante non nullo; cosicché le
equazioni (3.15) sono risolubili rispetto alle derivate ˙qk delle m coordinate cicliche qk ottenendo
Le ultime n−m equazioni di Lagrange
˙qk = ˙qk(˙q ′ ,q ′ ;t), q ′ = (qm+1,...,qn). (3.16)
d ∂L
dt∂˙qh
− ∂L
∂qh
= 0, h = m+1, ... , n,
che già per ipotesi non contengono le q1,...,qm, si possono quindi rendere indipendenti anche dalle
componenti ˙qk, ¨qk, k = 1,...,m, sostituendo a ciascuna di queste l’espressione in termini delle qh,
˙qh, ¨qh(h > m) e delle ck fornita dalle (3.16). Si perviene così ad un sistema differenziale del secondo
ordine, che coinvolge soltanto le n−m incognite qh (h = m+1,...,n).
È possibile provare che questo sistema nelle residue n−m coordinate lagrangiane conserva ancora
la forma Lagrangiana dove per Lagrangiana si ha la funzione Lagrangiana ridotta data da
L ⋆ m
= L− ck˙qk, (3.17)
k=1
dove alle ˙qk vanno sostituite le loro espressioni in termini delle qh, ˙qh, h = m + 1,...,n e ck, k =
1,...,m, date dalla (3.16). Le verifica è immediata, per fissare le idee assumiamo m = 1 e la sola
prima coordinata ciclica in modo che sia (esprimendo la dipendenza)

dove q ′ = (q2,...,qm) e quindi
L ⋆ = L ⋆ (˙q ′ ,q ′ ,c1;t)
= L[˙q1(˙q ′ ,q ′ ,c1;t), ˙q ′ ,q ′ ;t]−c1˙q1(˙q ′ ,q ′ ,c1;t)
∂L ⋆
∂qh
= ∂L
+
∂qh
∂L ∂˙q1
∂˙q1 ∂qh
in virtù delle (3.15). Analogamente si ottiene
∂L ⋆
∂˙qh
= ∂L
+
∂˙qh
∂L ∂˙q1
∂˙q1 ∂˙qh
∂˙q1
−c1
∂qh
∂˙q1
−c1
∂˙qh
= ∂L
, h > 1,
∂qh
= ∂L
, h > 1.
∂˙qh
3.5 Esempio: problema di Keplero. 71
Il caso m > 1 è perfettamente analogo.
Una volta risolte le equazioni di Lagrange per la Lagrangiana ridotta e quindi determinate le
n − m funzioni qh(t), h > m, la determinazione delle rimanenti qk(t), k ≤ m, funzioni avviene per
quadratura delle equazioni differenziali
Infatti, assumendo ancora m = 1,
in virtù delle (3.15).
∂L ⋆
∂c1
3.5 Esempio: problema di Keplero.
= ∂L ∂˙q1
∂˙q1 ∂c1
˙qk = − ∂L⋆
.
∂ck
∂˙q1
−c1 − ˙q1 = −˙q1
∂c1
Consideriamo il moto, rispetto ad un osservatore assoluto, di un sistema costituito da 2 punti liberi.
Poiché l’energia potenziale d’interazione di due particelle dipende soltanto dalla distanza tra di loro
allora la funzione Lagrangiana è data da
L = 1
2 m1v 2 1 + 1
2 m2v 2 2 +U(|u|), u = P2 −P1.
Volendo studiare il moto rispetto ad un sistema di riferimento relativo poniamo l’origine del sistema
di riferimento (traslante) nel baricentro dei due punti, questo punto G deve soddisfare la usuale
relazione
da cui segue che deve essere
e
m1(P1 −G)+m2(P2 −G) = 0
(P1 −G) = m2
u =
m1 +m2
m
u
m1
(P2 −G) = − m1
u = −
m1 +m2
m
u
m2

72 3 Equazioni di Lagrange
dove abbiamo introdotto la massa ridotta m = m1m2
m1+m2 e dove abbiamo posto u = P2 −P1 il vettore
aventi estremi coincidenti con i due punti. Introducendo, invece che le coordinate dei due punti quali
parametri lagrangiani, la posizione del baricentro ed il vettore u, allora, in virtù del teorema di König
e di quanto detto la Lagrangiana assume la forma
L = 1
2 (m1 +m2)v 2 G + 1
2 m1
= 1
2 (m1 +m2)v 2 G + 1
= 1
2 (m1 +m2)v 2 G + 1
2 m˙u2 +U(u).
2
d(P1 −G)
dt
+ 1
2 m2
d(P2 −G)
dt
+U(u)
2 m1
m2 2
(m1 +m2) 2 ˙u2 + 1
2 m2
m2 1
(m1 +m2) 2 ˙u2 +U(u)
dove u = |u|. Osserviamo che la Lagrangiana è indipendente dalle coordinate (xG,yG,zG) del baricentro
e quindi queste sono coordinate cicliche. Avremo quindi
px = ∂L
∂˙xG
py = ∂L
∂˙yG
pz = ∂L
∂˙zG
= (m1 +m2)˙xG = costante
= (m1 +m2)˙yG = costante
= (m1 +m2)˙zG = costante
da cui segue che il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme. La Lagrangiana ridotta diventa
L ⋆ = L−px˙xG −py˙yG −pz˙zG
1
= −
2(m1 +m2) (p2 x +p 2 y +p 2 z)+ 1
2 m˙u2 +U(u).
In conclusione, essendo il potenziale sempre definito a meno di una costante additiva, si ha che la
Lagrangiana ridotta diventa
L ⋆ = 1
2 m˙u2 +U(u)
che corrisponde al problema del moto di un punto P di massa m in un campo esterno
dato da U(u) dove u = P −O1 con O1 fisso. Una volta determinata u(t) è possibile determinare
poi il moto dei due punti.
Introducendo poi le coordinate polari sferiche (r,θ,ϕ) la Lagrangiana ridotta assume la forma
L ⋆ = 1
2 m(˙r2 +r 2˙ θ 2 +r 2 sin 2 θ ˙ϕ 2 )+U(r)
da cui segue immediatamente che ϕ è una coordinata ciclica e quindi
pϕ = ∂L⋆
∂ ˙ϕ = mr2 sin 2 θ ˙ϕ = costante (3.18)
dove questa costante viene calcolata in virtù delle condizioni iniziali. Ora, assegnata la posizione
iniziale e la velocità iniziale di P, possiamo sempre scegliere il sistema di riferimento centrato in O1
2

3.5 Esempio: problema di Keplero. 73
in modo che sia v(0) incidente sull’asse z e quindi ˙ϕ0 = 0. Con questa scelta e dalla relazione (3.18)
segue che deve essere
pϕ = mr 2 sin 2 θ ˙ϕ ≡ 0
e quindi ϕ ≡ ϕ0, cioé il moto avviene in un piano fisso contenente O1 (e quindi anche il
baricentro tra i due punti).
RiducendoulteriormentelaLagrangianaotteniamo,doveoraθerhannoilsignificatodicoordinate
polari su tale piano, che la nuova Lagrangiana (denotata sempre nello stesso modo) diventa
L ⋆ = 1
2 m(˙r2 +r 2˙ θ 2 )+U(r),
da cui risulta una ulteriore coordinata ciclica (per questa Lagrangiana ridotta) data da θ e avremo
che
pθ = ∂L⋆
∂ ˙ θ = mr2˙ θ = costante. (3.19)
Questo integrale primo coincide con l’integrale primo dei momenti e dà la costanza della velocità areolare.
È infine possibile ridurre ulteriormente la Lagrangiana ottenendo come (ultima) Lagrangiana
ridotta la seguente
dove abbiamo introdotto il potenziale efficace
L ⋆ = 1
2 m(˙r2 +r 2˙2 θ )+U(r)−pθ ˙ θ
= 1
2 m
˙r 2 +r 2 p2θ m2r4
pθ
+U(r)−pθ
mr2 = 1
2 m˙r2 − 1 p
2
2 θ 1
+U(r) =
mr2 2 m˙r2 −Ueff(r),
Ueff(r) = 1
2
p 2 θ
−U(r).
mr2 Per completare lo studio di questo problema non utiliziamo le equazioni di Lagrange ma, facendo
uso dell’integrale primo della energia meccanica
si ottiene
da cui, per separazione di variabili,
E = 1
2 m˙r2 −Ueff(r)
2
˙r =
m [E +Ueff(r)]
2
=
m [E −U(r)]+ p2θ m2r2
t =
dr
2
m [E −U(r)]+ p2 θ
m 2 r 2
+costante,

74 3 Equazioni di Lagrange
che, integrata, dà r = r(t). Per la determinazione di θ(t) si integra per quadrature la equazione
˙θ = − ∂L⋆
∂pθ
= pθ
mr2
cioé θ(t) =
pθ
mr 2 (t) dt
che, con il cambio di variabili t → r per il quale dr = ˙rdt, si ottiene la equazione delle traiettorie
pθ
θ(r) =
mr2
(t)
1
dr.
2
m [E −U(r)]+ p2 θ
m 2 r 2
3.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante
Studiamo ora il problema facendo uso delle equazioni di Lagrange invece che degli integrali primi del
moto dedotti attraverso le equazioni cardinali della Dinamica.
Calcolo della Lagrangiana e coordinate cicliche
Introduciamo la funzione Lagrangiana che, in virtù delle (2.9) assume la seguente forma:
L = T +U = 1
2 Ap
2 +q 2
+ 1
2 Cr2 +Pz ′ Gcosθ
= 1
2 A ˙ θ 2 + ˙ ψ 2 sin 2 θ
+ 1
2 C ˙ ψcosθ+ ˙ϕ 2
−mgz ′ Gcosθ.
Appare quindi immediatamente che le coordinate ϕ e ψ sono cicliche e quindi abbiamo i due integrali
primi
e
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = C( ˙ ψcosθ + ˙ϕ) = Cr = Kz ′ ,0
(3.20)
pψ = ∂L
∂ ˙ ψ = Asin2 θ ˙ ψ +Ccosθ ˙ ψcosθ+ ˙ϕ
= Kz,0. (3.21)
Osserviamo che tali integrali primi coincidono con le componenti del momento della quantità di moto
relativa all’asse (O ′ ;z ′ ) e (O ′ ;z). Come terzo integrale primo abbiamo, al solito, l’energia meccanica
totale (2.14) che scriveremo in coordinate lagrangiane come
A
2
˙θ 2 + ˙ ψ 2 sin 2 θ
Dalle (3.20) e (3.21) si ricava immediatamente
˙ψ = pψ −pϕcosθ
Asin 2 θ
che eliminate in (3.22) permettono di ottenere
+ C 2 ˙ψcosθ + ˙ϕ +mgz
2
′ Gcosθ = E. (3.22)
e ˙ϕ = pϕ
C −cosθpψ −pϕcosθ
Asin 2 θ
1
2 A˙ θ 2 +Veff(θ) = E ′
(3.23)

dove E ′ = E −mgz ′ G −p 2 ϕ/2C e
Veff(θ) = (pψ −pϕcosθ) 2
2Asin 2 θ
3.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante 75
−mgz ′ G(1−cosθ)
da cui risulta che il problema è solubile mediante 3 quadrature.
Escludendo i casi particolari pψ = ±pϕ andiamo a discutere la regione di variazione dell’angolo
di nutazione θ; questa regione sarà definita dalla condizione E ′ ≥ Veff(θ). Poich ´ ‘e la funzione
Veff(θ) tende a +∞ per i valori θ = 0,π e passa per un minimo nell’intervallo (0,π) allora
l’equazione Veff(θ) = E ′ avrà due radici θ1 e θ2 (eventualmente coincidenti) che danno gli angoli
limite d’inclinazione dell’asse della trotola rispetto alla verticale. La discussione delle due radici θ1
e θ2 è già stata effettuata nel paragrafo precedente.

4
Equazioni canoniche di Hamilton
4.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani
Sia dato un sistema lagrangiano, cioé un sistema di n equazioni differenziali del II ◦ ordine
d ∂L
dt∂˙qh
− ∂L
∂qh
= 0, h = 1,2,...,n, (4.1)
in n funzioni incognite q = q(t) della variabile indipendente t, q = (q1, q2, ..., qn); dove L =
L(˙q,q,t) = T − V è la funzione Lagrangiana. Sostituiamo ora al sistema (4.1) un sistema di 2n
equazionidifferenzialidelI ◦ ordineaventecomeincognitelenfunzioniqh enfunzioni indipendenti
ph,h = 1,...,n. Ilnuovosistemasiottienesostituendoalsistema(4.1)larelazionechelegalep, q, ˙q
e t attraverso la relazione implicita
ph = ∂L
, h = 1,2,...,n. (4.2)
∂˙qh
Le ph si dicono variabili coniugate o anche momenti.
Quando la funzione Lagrangiana proviene da un problema di moto di un sistema olonomo e a
vincoli ideali (eventualmente dipendenti dal tempo), soggetto a forze conservative , si ha
con
L = T +U, T = T2 +T1 +T0
T2 = 1
2
n
n
ah,k˙qh˙qk, T1 =
h,k=1
h=1
ah˙qh, (4.3)
mentre T0 e il potenziale U, al pari dei coefficienti ah,k, ah, dipendono soltanto dalle q ed, eventualmente,
dal tempo t. La (4.2) assume la forma
ph =
che, risolta rispetto alle ˙q, diventa
n
ah,k˙qk +ah, h = 1,2,...,n, (4.4)
k=1
n
˙qh = uh = a
k=1
h,k (pk −ak), h = 1,2,...,n. (4.5)

78 4 Equazioni canoniche di Hamilton
dove a h,k indica il generico elemento della inversa (a h,k ) della matrice (ah,k). Le (4.2), da quanto
visto, forniscono n equazioni risolubili rispetto alle ˙q sotto la forma
˙qh = uh(p,q,t), h = 1,2,...,n; (4.6)
mentre d’altra parte, le (4.1), in base alle (4.2) e alle loro equivalenti (4.6), danno le
∂L
˙ph =
∂qh
, h = 1,2,...,n, (4.7)
˙q=u(p,q,t)
con che le derivate delle nuove incognite p risultano espresse in termini delle p, q e t. Si perviene così
al sistema normale del primo ordine nelle 2n funzioni incognite p, q, costituito dalle (4.7) e (4.6).
In particolare si ha che i secondi termini delle (4.6) e (4.7) si possono esprimere nel seguente modo:
dove
˙ph = − ∂H
∂qh
˙qh = ∂H
∂ph
H =
h=1
, h = 1,2,...,n, (4.8)
n ∂L
˙qh −L (4.9)
∂˙qh
va qui considerata espressa in termini delle p, q, t tramite le (4.2) e (4.6):
n
H(p,q,t) = ph˙qh −L(˙q,q,t), (4.10)
h=1
interpretandovi le ˙q come simboli delle corrispondenti funzioni di p, q, t fornite dalle (4.6).
Ogni sistema del primo ordine che soddisfa alle (4.8), qualunque sia la funzione H(p,q,t), si
dice canonico o Hamiltoniano e le p e q si chiamano variabili canoniche. Nello studio dei
sistemi canonici si interpretano le 2n variabili canoniche p, q come coordinate cartesiane ortogonali
in uno spazio lineare a 2n dimensioni chiamato spazio delle fasi. In questo spazio ogni soluzione
p = p(t), q = q(t) del sistema canonico è rappresentata da una curva (integrale), che spesso,
considerando la t come misura del tempo, si chiama pur essa traiettoria.
Per dimostrare le (4.8) consideriamo le p, q e t come variabili indipendenti e le ˙q come espresse
in funzione di esse dalle (4.6); effettuando il differenziale di H rispetto alle sole variabili p e q, cioé
immaginando di tenere fissa la t, si ha che
n
∂H
δH = δph +
∂ph
∂H
δqh .
∂qh
D’altra parte, in base alle (4.10) questa variazione si può scrivere
n
δH = ˙qhδph − ∂L
δqh + ph −
∂qh
∂L
δ˙qh .
∂˙qh
h=1
h=1
Confrontando queste due espressioni, ricordando le (4.2) e (4.7) e in forza della arbitrarietà di δqh e
δph si trova che devono essere verificate le (4.8).

e
4.2 Trasformata di Legendre 79
Osserviamo anche che differenziando la (4.10) tenendo ora variabile t si ottengono le relazioni
n
∂H
dH = dph +
∂ph
∂H
dqh +
∂qh
∂H
∂t dt
h=1
n
dH = ˙qhdph −
h=1
∂L
dqh + ph −
∂qh
∂L
d˙qh
∂˙qh
− ∂L
∂t dt
che, oltre a dare nuovamente le equazioni canoniche, implicano la relazione
4.2 Trasformata di Legendre
∂H
∂t
= −∂L.
(4.11)
∂t
La trasformazione (4.9) che fa passare dalla funzione Lagrangiana L alla funzione Hamiltoniana H
è un caso particolare di trasformazione più generale che prende il nome di trasformata di Legendre.
Consideriamo, inizialmente, il caso n = 1. Sia f(x) una funzione di classe C 2 (a,b), dove (a,b) è
eventualmente non limitato, e convessa, cioé tale che f ′′ (x) > 0 per ogni x. L’equazione f ′ (x) = y,
per y in un opportuno intervallo (c,d), ammette una unica soluzione x = x(y). Tale funzione x(y)
ha una interpretazione geometrica elementare: introduciamo la funzione d(x,y) = xy − f(x) che
corrisponde alla distanza (con segno) tra il punto sulla curva di ascissa x ed il punto sulla retta,
passante per l’origine e con coefficiente angolare y; il punto x(y) è quello che rende, localmente,
massima tale distanza.
Fig. 4.1. Interpretazione geometrica della trasformata di Legendre.

80 4 Equazioni canoniche di Hamilton
Per costruzione il grafico di f(x) è tangente alla retta con coefficiente angolare y in x(y).
Definizione. Si chiama trasformata di Legendre di f(x) la funzione
g(y) = d[x(y),y] = x(y)y −f[x(y)].
Si prova ora che:
Teorema. La trasformata di Legendre è involutiva; cioè la trasformata di Legendre di g è la f.
Dimostrazione: per prima cosa dimostriamo che g ′′ (y) > 0 per ogni y ∈ (c,d); infatti:
e quindi
g ′ (y) = x(y)+yx ′ (y)−f ′ [x(y)]x ′ (y) = x(y)
g ′′ (y) = x ′ (y) = {f ′′ [x(y)]} −1 > 0.
La trasformata di Legendre di g(y) sarà definita a partire dalla soluzione della equazione g ′ (y) = x
che, essendo g ′ (y) = x(y), ci dice che y(x) altro non è che l’inversa della funzione x(y). Premesso ciò
calcoliamo la trasformata di Legendre h(x) di g(y):
h(x) = xy(x)−g[y(x)] = xy(x)−[xy(x)−f(x)] = f(x).
Le considerazioni precedenti si estendono al caso di una funzione f(x), x = (x1,...,xn) di classe
C2 (R n ∂
) e tali che la forma quadratica associata alla matrice Hessiana
2f sia definita positiva (o
∂xh∂xj
negativa) in modo da invertire il sistema
∂f
∂xh
definendo la funzione vettoriale y = y(x). Si definisce la trasformata di Legendre di f(x) come
= yh
g(y) = y·x−f[x(y)].
È immediato verificare che se la funzione f dipende anche da m parametri α = (α1, ..., αm):
f = f(x,α) = f(x1,...,xn;α1,...,αm)
allora sarà y = y(x;α) e x = x(y;α), inoltre anche g dipende dagli stessi parametri e
∂g
∂αh
= − ∂f
∂αh
, h = 1,...,m. (4.12)
y=y(x)
Infatti si avrà che x = x(y,α) e quindi g(y,α) = x(y,α)y−f[x(y,α),α] da cui
∂g n
∂xj
= yj −
∂αh ∂αh
∂f
∂xj
−
∂xj ∂αh
∂f
= −
∂αh
∂f
.
∂αh
y=y(x)
j=1
x=x
Il passaggio tra la Lagrangiana e la Hamiltoniana si ottiene effettuando la trasformata di Legendre
della Lagrangiana sulle solo variabili cinetiche ˙qh e lasciando invariate le altre qh. Infatti basta porre

4.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico 81
x = ˙q e y = p e prendere come parametri α0 = t e αh = qh, inoltre f(x;α) = L(˙q,q,t). La
trasformazione x = x(y) è implicitamente definita dalla relazione
yh = ∂f
, ovvero ph =
∂xh
∂L
∂˙qh
e la trasformazione di Legendre sarà definita come
H =
n
h=1
˙qh(p,q,t)ph −L[˙q(p,q,t),q,t].
Se applichiamo poi la relazione (4.12) allora segue ∂H
∂qh
= − ∂L
∂qh
e ∂H
∂t
= −∂L.
Da questa relazione,
∂t
e tenendo conto che ˙ph = ∂L
∂qh dalle equazioni di Lagrange, segue ˙ph = − ∂H
∂qh . La relazione ˙qh = ∂H
∂ph
vale poiché la trasformata di Legendre è involutiva. In questo modo si sono ritrovate le equazioni
canoniche di Hamilton.
4.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico
Per il Teorema di Eulero applicato alla (4.3) sussiste l’identità
e quindi la (4.10) assume la forma
dove
n ∂L
n n ∂T2 ∂T1
˙qh = ˙qh + ˙qh = 2T2 +T1 = T +T2 −T0,
h=1 ∂˙qh h=1 ∂˙qh h=1 ∂˙qh
(T2) = 1
2
H = (T2)−T0 −U, (4.13)
n
h,k=1
a h,k (pk −ak)(ph −ah) (4.14)
denota la funzione delle p, q, t che dalla T2 si deduce sostituendovi al posto delle ˙q le loro espressioni
(4.5).
Se, in particolare, i vincoli non dipendono dal tempo allora l’energia cinetica si riduce alla
sua parte quadratica T2 e si ha più semplicemente
H = (T)−U; (4.15)
cioé la funzione Hamiltoniana non è altro che l’energia meccanica totale del sistema (espressa nelle
coordinate p e q). In particolare si ha che
Se poi T nelle ˙q è di forma diagonale
(T) = 1
2
T = 1
2
n
h,k=1
a h,k pkph. (4.16)
n
ah,h˙q 2 h,
h=1

82 4 Equazioni canoniche di Hamilton
tutto si riduce, oltre che alla sostituzione delle variabili, al cambiamento di ciascun coefficiente ah,h
nel suo reciproco 1/ah,h:
(T) = 1
2
n
h=1
1
a h,hp2 h.
Quando i vincoli non dipendono dal tempo, sostituendo la (4.16) nella (4.15) si riconosce che la
funzione Hamiltoniana è una funzione quadratica nelle p definita positiva, omogenea e a coefficienti
dipendenti dalle q.
4.4 Esempi di funzione Hamiltoniana
4.4.1 Punto libero
1) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate cartesiane (x,y,z). Abbiamo che
T = 1
m˙x
2
2 +m˙y 2 +m˙z 2
.
La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniugate, vale
(T) = 1
2 px 2 m + p2y m + p2
z
.
m
2) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate polari sferiche (r,θ,ϕ). Abbiamo
che
T = 1
m˙r
2
2 +mr 2˙2 2 2 2
θ +mr sin θ ˙ϕ
.
La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniugate, vale
(T) = 1
2 pr 2 m + p2
θ
+ .
mr2 p 2 ϕ
mr 2 sin 2 θ
3) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate polari cilindriche (r,θ,z). Abbiamo
che
T = 1
m˙r
2
2 +mr 2˙2 2
θ +m˙z
.
La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniugate, vale
(T) = 1
2 pr 2 m + p2θ mr2 + p2
z
.
m

4.4.2 Solido con punto fisso
4.5 Significato fisico dei momenti coniugati 83
Consideriamo un solido fissato in un punto O e assumiamo come parametri lagrangiani gli angoli
di Eulero θ, ϕ e ψ. Con una scelta opportuna del sistema di riferimento solidale con origine in O
l’energia cinetica ha la forma
dove si ricorda
essendo
T = 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2
⎧
⎪⎨ p =
⎪⎩
˙ ψsinθsinϕ+ ˙ θcosϕ = α3 ˙ ψ + ˙ θcosϕ
q = ˙ ψsinθcosϕ− ˙ θsinϕ = β3 ˙ ψ − ˙ θsinϕ
r = ˙ ψcosθ + ˙ϕ = γ3 ˙ ψ + ˙ϕ
⎧
⎪⎨ α3 = sinθsinϕ
β3 = sinθcosϕ
⎪⎩
γ3 = cosθ
i coseni direttori dell’asse fisso (O;z) rispetto agli assi solidali. I momenti coniugati valgono
⎧
pθ =
⎪⎨
∂T
∂ ˙ = Apcosϕ−Bqsinϕ,
θ
= Cr, .
⎪⎩
pϕ = ∂T
∂ ˙ϕ
Da tale relazione si trae
⎧⎪⎨
Ap=pθcosϕ+σsinϕ
Bq = −pθsinϕ+σcosϕ
⎪⎩
Cr = pϕ
e quindi
pψ = ∂T
∂ ˙ ψ = Apα3 +Bqβ3 +Crγ3
dove σ = pψ −pϕcosθ
sinθ
(T) = 1
(pθcosϕ+σsinϕ)
2
2
+
A
(pθsinϕ−σcosϕ) 2
+
B
p2
ϕ
.
C
4.5 Significato fisico dei momenti coniugati
Supponiamo che una coordinata qh sia ciclica, cioé L non dipende esplicitamente da qh. In questo
si conserva poiché
caso il momento coniugato ph = ∂L
∂ ˙qh
˙ph = d ∂L
dt∂˙qh
= ∂L
∂qh
e esse assumono, sotto alcune circostanze, un significato fisico notevole.
= 0

84 4 Equazioni canoniche di Hamilton
4.5.1 Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata ciclica qh è una coordinata
cartesiana
Consideriamo la Hamiltoniana nel caso dinamico. Si prova il seguente risultato:
Teorema. Se qh è tale che una sua variazione rappresenti una traslazione rigida del sistema
meccanico in una data direzione â allora ph è proporzionale alla componente della quantità
di moto lungo la direzione â:
dove c è un fattore moltiplicativo.
ph = c
N
msvs ·â, (4.17)
s=1
Dimostrazione: Per ipotesi ogni variazione di qh causa una traslazione rigida di ogni punto Ps
lungo la direzione â, cioé si ha: ∂Ps = câ, s = 1,...,N, dove c è indipendente da s poiché si tratta di
∂qh
una traslazione rigida. Usiamo ciò per trovare il significato di ph:
dove
∂vs
∂˙qh
ph = ∂T
∂˙qh
=
N
s=1
msvs · ∂vs
∂˙qh
= ∂
n
∂Ps
˙qi +
∂˙qh i=1 ∂qi
∂Ps
=
∂t
∂Ps
∂qh
(4.18)
= câ (4.19)
che sostituita nella precedente ci permette di ottenere la (4.17); ovvero ph è proporzionale alla componente
della quantità di moto lungo la direzione di traslazione.
Se il sistema meccanico è invariante per traslazioni in una certa direzione, cioé la
Lagrangiana (o, in modo equivalente, la Hamiltoniana) resta immutata dopo aver traslato tutti i
punti materiali in tale direzione come se fossero un corpo rigido, allora si conserva la componente
della quantità di moto totale in tale direzione. Infatti, se il sistema meccanico è invariante per
traslazioni in una direzione â, le coordinate si possono scegliere in modo tale che sia ciclica una di
esse, qh, quella di traslazione nella direzione â. Allora si conserva il momento coniugato ph e quindi
la quantità di moto lungo â. Ad esempio: sia L = m
2 (˙x2 + ˙y 2 ) + U(x) invariante per traslazioni
(dell’unico punto) parallele all’asse y, quindi m˙y = costante.
4.5.2 Significato fisico della costante del moto ph quando la coordinata ciclica qh è un angolo
si prova il seguente risultato:
Teorema. Se qh è tale che una sua variazione rappresenti una rotazione rigida del sistema
meccanico attorno ad un dato asse (O;â) allora ph è proporzionale alla componente del
momento della quantità di moto lungo la direzione â:
ph = cK(O)·â = câ·
N
msvs ×(O−Ps),
s=1
dove c è un fattore moltiplicativo.
Dimostrazione:Per ipotesi la variazione di qh causa unarotazione rigida diogni puntoPs attorno a
un asse (O,â). Quindi, dalla cinematica rigida: ∂Ps
∂qh = câ×(Ps−O), s = 1,...,N, per una opportuna
costante c indipendente da Ps, da cui segue

∂vs
∂˙qh
= ∂Ps
∂qh
Sostituendo tale relazione nella (4.19) otteniamo
= câ×(Ps −O).
4.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville 85
N
N
ph = c msvs ·â×(Ps −O) = c msvs ×(O−Ps)·â.
s=1
s=1
Da questo teorema segue che se il sistema meccanico è invariante per rotazioni rigide
intorno a un certo asse, allora si conserva la componente del momento angolare totale
rispetto a quell’asse. Ad esempio: nel moto per inerzia di un corpo rigido con punto fisso O, si
conserva il momento angolare rispetto a un qualunque asse. Infatti, facendo uso degli angoli
di Eulero
ω = ˙ ψ ˆ k+ ˙ θ ˆ N + ˙ϕ ˆ k ′
si hanno le componenti della velocità angolare rispetto ad assi solidali
⎧
⎪⎨ p =
⎪⎩
˙ ψsinθsinϕ+ ˙ θcosϕ
q = ˙ ψsinθcosϕ− ˙ θsinϕ
r = ˙ ψcosθ + ˙ϕ.
(4.20)
Nel moto per inerzia L = T = 1
2 (Ap2 + Bq 2 + Cr 2 ) è indipendente da ψ e quindi invariante per
rotazioni intorno all’asse (O;z) poiché l’angolo ψ individua le rotazioni rigide attorno a tale asse.
Dunque si conserva il momento angolare rispetto all’asse z. Per l’assenza di forze esterne in realtà
z si può scegliere a piacere, dunque si conserva il momento angolare.
4.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville
4.6.1 Flusso Hamiltoniano
Sarà utile nel seguito introdurre una notazione vettoriale per le equazioni canoniche di Hamilton
(4.8). Sia
p On −In
x = e J =
q
In On
dove In e On sono, rispettivamente, la matrice identità e la matrice nulla di ordine n; nella notazione
matriciale conviene assumere p e q come vettori colonna.
Nota bene:
Con abuso di notazione indichiamo indifferentemente x = (p,q), vettore riga, o
p
x = , vettore colonna, a seconda delle circostanze.
q
Le equazioni canoniche di Hamilton assumono quindi la seguente forma:
∂H
∂p
˙x = Jgrad H(p,q) = J ∂H
(4.21)
∂q

86 4 Equazioni canoniche di Hamilton
dove il gradiente è effettuato facendo prima le derivate rispetto alle p e poi alle q. L’operatore
Jgrad (p,q) viene talvolta chiamato gradiente simplettico.
Osserviamo che questa notazione suggerisce la seguente interpretazione:
Jgrad (p,q)H =
− ∂H
∂q
∂H
∂p
(4.22)
definisce un campo vettoriale sullo spazio delle fasi e le (4.21) sono le equazioni per le linee di
flusso di tale campo. Questo campo prende anche il nome di campo Hamiltoniano. Si dimostra
che tale campo vettoriale è solenoidale:
Teorema. Se H ammette derivata continua fino al secondo ordine nelle q e p allora
div
Jgrad (p,q)H
= 0.
Dimostrazione: La dimostrazione è immediata, infatti
div
Jgrad (p,q)H n
2 ∂ H
=
∂ph∂qh
h=1
− ∂2
H
= 0
∂qh∂ph
in virtù delle ipotesi e del Teorema di Schwartz sullo scambio dell’ordine di derivazione.
Vale inoltre la seguente proprietà:
Teorema. Se H = H(p,q) è indipendente dal tempo, il campo Hamiltoniano (4.22) è tangente
ad ogni punto regolare della superficie di energia costante H(p,q) = E.
Dimostrazione: Infatti il gradiente di H è sempre ortogonale al gradiente simplettico di H:
n ∂H ∂H
grad (p,q)H ·Jgrad (p,q)H = −
∂qh ∂ph
∂H ∂H
= 0.
∂ph ∂qh
Da cui segue la tesi poiché grad (p,q)H è normale alla superficie H(p,q) = costante.
p0
Definizione. Ad ogni punto x0 = ∈ R
q0
2n dello spazio delle fasi si può associare il punto
p(t)
x(t) = , ottenuto integrando le equazioni canoniche di Hamilton con la condizione iniziale
q(t)
x(0) = x0, per ogni t appartenente ad un dato intervallo (t1,t2) contenente t0 = 0 (e dipendente da
x0). Questa trasformazione viene denotata
h=1
S t : R 2n → R 2n
x0 ↦→x(t) = S t (x0)
e prende il nome di flusso nello spazio delle fasi associato alla Hamiltoniana H.
L’intervallo(t1,t2)saràilmassimointervallodidefinizionedellasoluzionedelleequazionicanoniche
di Hamilton, in alcuni casi esso coincide con l’intero asse reale e, per semplicità, pensiamo di essere
sempre in questo caso.
Si può dimostrare che se la funzione Hamiltoniana è indipendente dal tempo allora S t
è un gruppo ad un parametro di trasformazioni dello spazio delle fasi su se stesso, in
particolare si ha che
S t ◦S s
(x0) = S t [S s (x0)] = S t+s
s
(x0) = S S t (x0)
=
S s ◦S t
(x0).

4.6.2 Flusso Hamiltoniano per l’oscillatore armonico
4.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville 87
Sia n = 1, quindi lo spazio delle fasi è il piano (p,q) ∈ R 2 , e sia H = H(p,q) = 1
2 (p2 + ω2q2 ) la
funzione Hamiltoniana per l’oscillatore armonico. In ogni punto del piano delle fasi è applicato il
campo Hamiltoniano
∂H
∂p Jgrad (p,q)H =
−∂H
p
=
−ω ∂q
2
q
che è il secondo membro delle equazioni canoniche:
˙p = −ω 2 q
˙q = p.
. (4.23)
p
Per ω = 1 la curva di livello H(p,q) = E è un cerchio. Ebbene: mentre grad (p,q)H = è
q
−q
ortogonale al cerchio, il campo Hamiltoniano Jgrad H(p,q) = è tangente al cerchio, che è
p
effettivamente la traiettoria dell’oscillatore armonico nel piano delle fasi. Se ω = 1, la curva di
livello di H è un’ellisse, alla quale risulta tangente il campo J grad (p,q)H. Per calcolare il flusso
Fig. 4.2. Gradiente e gradiente simplettico per l’oscillatore armonico.
dell’oscillatore armonico conviene derivare la prima delle (4.23) e sostituirvi la seconda ottenendo
¨q = −ω 2 q. Alla soluzione generale:
q(t) = Acos(ωt)+Bsin(ωt)
p(t) = −Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)

88 4 Equazioni canoniche di Hamilton
si impone (p(0),q(0)) = (p0,q0) e si ottiene il flusso di fase:
S t
p0 p(t) cos(ωt) ω
→ =
q0 q(t)
−1
sin(ωt) p0
. (4.24)
−ωsin(ωt) cos(ωt) q0
Esso è, per ogni t, una trasformazione lineare. Nel caso speciale ω = 1 è una rotazione di angolo t
intorno all’origine. Osserviamo che la S t è la mappa di evoluzione al tempo t. Non dipendendo poi
esplicitamente H dal tempo, allora anche il campo vettoriale Jgrad (p,q)H dipende solo dal punto
(p,q).QuindiS s ,applicataalpuntoS t (p0,q0),dàrisultatougualeaquellodellamappaS t+s applicata
a (p0,q0).
4.6.3 Teorema di Liouville
Il flusso Hamiltoniano (4.24) per l’oscillatore armonico è definito attraverso la trasformazione lineare
associata alla matrice
cos(ωt) ω−1
sin(ωt)
−ωsin(ωt) cos(ωt)
Si osserva facilmente che questa matrice ha determinante 1, ciò significa che la trasformazione lineare
del piano su sé stesso lascia inalterate le misure dei volumi. Questa è una notevole proprietà generale
del flusso Hamiltoniano valida per ogni sistema. Infatti, vale il seguente:
Teorema di Liouville: Il flusso Hamiltoniano nello spazio delle fasi conserva i volumi.
Dimostrazione: Dobbiamo fare vedere che per ogni t l’immagine Ω(t) = St (Ω) di un qualsiasi
dominio Ω ⊂ R 2n di frontiera regolare ha la stessa misura di Ω. A tal fine introduciamo la funzione
v(t) = volume[Ω(t)] e consideriamo la funzione ˙v(t). La variazione di volume nell’intervallo
infinitesimo dt è data, a meno di infinitesimi di ordine superiore, da
da cui segue
dv =
∂Ω(t)
Jgrad (p,q)H
˙v =
Ω(t)
Jgrad (p,q)H
dσdt =
n
Ω(t)
div
Jgrad (p,q)H
dV
div
Jgrad (p,q)H
dVdt
dove
Jgrad (p,q)H
= ·
n ˆ N essendo ˆ N la normale esterna; pertanto ˙v(t) è il flusso del
campo uscente attraverso la superficie ∂Ω(t). Da ciò, dal teorema della divergenza e dal fatto che
la divergenza del campo vettoriale
Jgrad (p,q)H
è nulla segue ˙v = 0.
Da questo Teorema si ha la seguente proprietà: chiamando punti singolari le soluzioni costanti
della equazione
˙x = Jgrad (p,q)H
allorasidimostracheogni punto singolare del sistema ˙x = Jgrad (p,q)H con div
Jgrad (p,q)H
=
0 non può essere asintoticamente stabile. Infatti se x0 fosse asintoticamente stabile allora esisterebbe
una sfera di centro x0 tale che le traiettorie in essa originate tenderebbero asintoticamente

Fig. 4.3. Flusso Hamiltoniano e trasformazione del dominio Ω(t).
4.7 Coordinate cicliche — formalismo Hamiltoniano 89
a x0; il volume dell’immagine della sfera tenderebbe quindi a zero per t → ∞ contraddicendo il
Teorema di Liouville.
Osserviamo che il teorema di Liouville asicura la conservazione dei volumi, non della forma.
Infatti si possono presentare situazioni diverse che, per analogia, possono essere simili a quanto
succede quando misceliamo due liquidi diversi. Ad esempio, se versiamo dell’olio in un bicchiere
d’acqua e mescoliamo il composto (immaginiamo, per analogia, che l’operazione di mescolamento
eequivalga alla trasformazione indotta dal flusso Hamiltoniano nel piano delle fasi) si ha che i due
liquidi rimangono separati e quindi abbiamo sia la conservazione del volume dell’olio (ovvia) che,
sostanzialmente, della forma. Se invece misceliamo due vernici di tinta diversa (ad esempio una tinta
rossa su una base bianca) e mescoliamo il composto abbiamo ancora la conservazione del volume delle
due vernici, ma non della forma; infatti le molecole della vernice rossa sono, approssimativamente,
uniformemente distribuite all’interno della vernice bianca. Tornando alle trasformazioni nello spazio
delle fasi si denotano come ergodiche o mixing le trasformazioni che soddisfano caratteristiche del
secondo tipo.
4.7 Coordinate cicliche — formalismo Hamiltoniano
Una coordinata qh è detta ciclica o ignorabile quando non figura nella Hamiltoniana. Ciò equivale
a non figurare nella Lagrangiana, come si vede dal fatto che:
∂H
= −˙ph = −
∂qh
d
∂L
= −
dt ∂˙qh
∂L
. (4.25)
∂qh
Oppure, ricordando che
H =
n
pj ˙qj(p,q,t)−L[˙q(p,q,t),q,t]
j=1

90 4 Equazioni canoniche di Hamilton
si ha immediatamente che
∂H
∂qh
n n ∂˙qj ∂L ∂˙qj
= pj −
j=1 ∂qh j=1 ∂˙qj ∂qh
− ∂L
∂qh
= − ∂L
.
∂qh
In particolare si possono avere i risultati già noti nella meccanica Lagrangiana nel caso di variabili
cicliche; infatti se la funzione L(˙q,q,t) di un sistema lagrangiano non dipende da una data qh,
altrettanto accade nelle (4.2) e nelle (4.6) (che derivano dalle (4.2) risolvendole rispetto alle ˙q).
Si ha il seguente risultato:
Teorema. Se vi è una coordinata ciclica qh allora il momento coniugato ph è un integrale primo
del moto; inoltre il problema si riconduce a equazioni di Hamilton di un sistema ad n − 1 gradi di
libertà.
∂H
∂q1
Dimostrazione: Supponiamo per semplicità h = 1, cioé sia H indipendente da q1, quindi si ha
= 0, e risulta dalla corrispondente equazione (4.8) che sussiste l’integrale
p1 = Cost. = α. (4.26)
SeneconseguechelafunzioneHamiltonianaH(p,q,t)dipenderàdalle2(n−1)variabili(p2,...,pn,q1,...,q
da t (eventualmente) e dal parametro α. Le equazioni (4.8) si riducono ad un sistema di 2(n−1)
equazioni e, una volta risolto questo, la residua equazione ˙q1 = ∂H può essere risolta per quadrature
∂α
ottenendo
q1(t) = q1(t0)+
t
t0
∂H[p2(t),...,pn(t),q2(t),...,qn(t);α,t]
dt.
∂α
Osserviamo che nel formalismo lagrangiano il fatto che q1 sia ciclica non diminuisce il numero di
gradi di libertà: in generale la Lagrangiana resta funzione della velocità generalizzata ˙q1 e restano
da risolvere n equazioni in n incognite (a meno di non introdurre la Lagrangiana ridotta con che
si riduce il sistema di un grado di libertà). Nel formalismo hamiltoniano, invece, la coordinata
ciclica è davvero ”ignorabile”. Infatti:
q1 ciclica ⇒ p1(t) ≡ α ⇒ H = H(p2,...,pn,q2,...,qn,α,t).
Di fatto ora la Hamiltoniana descrive un sistema con n−1 gradi di libertà: la coordinata ciclica è
tenuta in considerazione solo tramite la costante α, da determinare in base ai dati iniziali.
4.8 Parentesi di Poisson
Definizione. Una quantità osservabile è una funzione g(p,q,t) delle coordinate, dei momenti generalizzati
ed eventualmente del tempo (ad esempio l’energia, il momento angolare rispetto a un asse,
etc.). La parentesi di Poisson tra due osservabili f,g è definita come:
{f,g} :=
n
∂f
h=1
∂g
∂ph ∂qh
− ∂f
∂qh
∂g
. (4.27)
∂ph

4.8.1 Esempio
4.8 Parentesi di Poisson 91
Consideriamo un punto materiale libero e, denotando con Kj e pj, j = 1,2,3, le componenti del suo
momento della quantità di moto (rispetto ad un dato polo coincidente con l’origine) e dei momenti
coniugati si osserva immediatamente che
{p1,K3} = p2, {p2,K3} = −p1, {p3,K3} = 0
e analogamente per K1 e K2. Infatti, ricordando che per un punto libero pj = m˙qj, da cui K3 =
m(q1˙q2 −q2˙q1) = q1p2 −p1q2. Quindi
n
∂p1 ∂K3
{p1,K3} = −
∂pj ∂qj
∂p1
∂K3
= p2.
∂qj ∂pj
j=1
Inoltre si prova che
n
∂K1 ∂K3
{K1,K3} = −
j=1 ∂pj ∂qj
∂K1
∂K3
∂qj ∂pj
n
∂(q2p3 −p2q3) ∂(q1p2 −p1q2)
=
−
j=1 ∂pj ∂qj
∂(q2p3
−p2q3) ∂(q1p2 −p1q2)
∂qj ∂pj
= ∂(q2p3 −p2q3) ∂(q1p2 −p1q2)
−
∂p2 ∂q2
∂(q2p3 −p2q3) ∂(q1p2 −p1q2)
∂q2 ∂p2
= q3p1 −p3q1 = K2
e analogamente si prova che
Infine segue che
4.8.2 Proprietà principali
{K1,K2} = −K3 e {K2,K3} = −K1.
{Kj,K 2 } = 0 dove K 2 = K 2 1 +K 2 2 +K 3 2.
È immediato osservare che la parentesi di Poisson è una forma bilineare antisimmetrica:
Inoltre, si controlla facilmente che:
e, assegnata una funzione H = H(p,q,t),
{λ1f1 +λ2f2,g} = λ1{f1,g}+λ2{f2,g}, (4.28)
{f,g} = −{g,f}, (4.29)
{f,f} = 0. (4.30)
{qh,qk} = 0, {ph,pk} = 0, {ph,qk} = δ k h
{H,qh} = ∂H
, {H,ph} = −
∂ph
∂H
;
∂qh
(4.31)

92 4 Equazioni canoniche di Hamilton
quindi le equazioni di Hamilton, dove H rappresenta una funzione Hamiltoniana, si scrivono in modo
simmetrico:
˙ph = {H,ph}
˙qh = {H,qh} .
Valgono, inoltre le seguenti ulteriori proprietà:
1) Regola di Liebniz: {f1f2,g} = f1{f2,g}+f2{f1,g};
2) Identità di Jacobi: {f,{g,h}}+{h,{f,g}}+{g,{h,f}} = 0;
= f1, ∂f2
−
f2, ∂f1
.
3) Vale la seguente relazione: ∂{f1,f2}
∂t
∂t
LaregoladiLiebnizelaproprietà3)sonounaconseguenzaimmediatadelladefinizionedellaparantesi
di Poisson e dell’usuale proprietà relativa alla derivata del prodotto. Per dimostrare l’identità
di Jacobi osserviamo che tale termine è costituito da somme di prodotti tra la derivata (parziale)
seconda di un osservabile per le derivate prime delle altre due e svolgiamo poi il calcolo esplicito del
termine
⎧
⎨
{f,{g,h}} =
⎩ f,
n ∂g ∂h
−
j=1 ∂pj ∂qj
∂g
⎫
∂h ⎬
∂qj ∂pj ⎭ =
n
∂f ∂ ∂g ∂h
=
−
∂qℓ ∂pℓ ∂pj ∂qj
∂g
∂h
−
∂qj ∂pj
∂f
∂ ∂g ∂h
∂pℓ ∂qℓ ∂pj ∂qj
j,ℓ=1
∂t
− ∂g
∂qj
Se consideriamo il termine che contiene le derivate seconde di g esso è dato da
n
∂f ∂2g ∂h ∂2g ∂h ∂2g ∂h ∂2g j,ℓ=1
∂qℓ ∂qj∂pℓ ∂pj
− ∂f
∂qℓ
∂pj∂pℓ ∂qj
− ∂f
∂pℓ
∂qℓ∂qj ∂pj
+ ∂f
∂pℓ
∂h
.
∂pj
∂h
∂qℓ∂pj ∂qj
ed il termine che contiene le derivate seconde di h sarà analogo mentre la funzione f compare
esclusimante attraverso le sue derivate prime. Le derivate seconde di g compaiono anche nell’altro
termine {h,{f,g}} = −{h,{g,f}} che è simile a quello appena calcolato a meno del segno e dello
scambio tra f e h, più precisamente si ha che questo contributo è dato da
−
n
j,ℓ=1
∂h
∂ 2 g
∂f
∂qℓ ∂qj∂pℓ ∂pj
− ∂h
∂qℓ
∂ 2 g
∂f
∂pj∂pℓ ∂qj
− ∂h
∂pℓ
∂ 2 g
∂f
∂qℓ∂qj ∂pj
+ ∂h
∂pℓ
∂ 2 g
∂f
∂qℓ∂pj ∂qj
cioé è uguale ed opposto al termine precedentemente calcolato (in virtù del Teorema di Schwartz
sullo scambio di derivate). Da ciò segue che il termine {f,{g,h}} + {h,{f,g}} + {g,{h,f}} non
contiene derivate seconde di g e, in modo analogo, di f e h e quindi deve essere necessariamente
nullo.
4.8.3 Applicazioni
Il seguente Teorema riguarda l’evoluzione temporale di una osservabile:
Teorema. La parentesi di Poisson tra l’Hamiltoniana H ed un’osservabile arbitraria g = g(p,q,t)
determina la variazione nel tempo dell’osservabile quando essa è calcolata sulle orbite p(t) e q(t)
generate da H. Più precisamente:

dg[p(t),q(t),t]
dt
= ∂g[p(t),q(t),t]
∂t
Dimostrazione: Basta derivare rispetto a t su un’orbita t → (p(t),q(t)):
dg
dt
= ∂g
∂t +
= ∂g
∂t +
n ∂g
n ∂g
˙qh + ˙ph
∂qh h=1 ∂ph
∂g ∂H
−
∂qh ∂ph
∂g
∂H
∂ph ∂qh
h=1
n
h=1
4.9 Esercizi 93
+{H,g}. (4.32)
= ∂g
∂t +{H,g}.
come immediato corollario segue che:
Corollario: Se g = g(p,q) allora ˙g = {H,g}.
Segue inoltre che:
Teorema di Poisson: Se f1 e f2 sono due integrali primi allora anche la loro parentesi di Poisson
{f1,f2} è un integrale primo.
Dimostrazione: La dimostrazione del Teorema è, di fatto, una immediata conseguenza dell’identità
di Jacobi. Infatti, essendo f1 e f2 integrali primi segue che durante il moto
0 = df1
dt
Si tratta ora di provare che
∂f1
=
∂t +{H,f1} e 0 = df2
dt
d{f1,f2}
dt
= ∂{f1,f2}
∂t
= ∂f2
∂t +{H,f2}. (4.33)
+{H,{f1,f2}} = 0 (4.34)
Ora, dall’identità di Jacobi, e dalla proprietà 3) segue che la (4.34) prende la forma
f1, ∂f2
− f2,
∂t
∂f1
+{f1,{H,f2}}−{f2,{H,f1}}
∂t
che è nullo per le (4.33).
Osserviamo che, in generale, il nuovo integrale primo non è indipendente dai due primitivi, anzi
può essere costante o nullo.
4.9 Esercizi
1) Sia data un’asta AB rigida omogenea, di lunghezza ℓ e massa m, mobile nel piano (O;x,y), (O;y)
verticale ascendente, e vincolata in A a scorrere senza attrito sull’asse (O;x). Sull’asta agisce,
oltre che alla forza peso, una forza costante (B,F = Fî), F > 0. Assumendo come parametri
lagrangianilacoordinataascissadiAel’angolochel’astaformaconl’asseorizzontale,sidomanda:
i) la funzione Lagrangiana;
ii)la funzione Hamiltoniana;
iii)le equazioni canoniche di Hamilton.

94 4 Equazioni canoniche di Hamilton
3) Consideriamo un oscillatore accoppiato costituito da due punti materiali P1 e P2 di massa m,
vincolati a scorrere lungo l’asse x e collegati tra loro mediante 3 molle con la prima e ultima molla
avente estremi fissati in due punti A e B distanti ℓ tra loro:
A − molla − P1 − molla − P2 − molla − B.
Denotando con k la costante di elasticità delle due molle esterne e con K quella della molla interna
e assumendo quali parametri lagrangiani le distanze tra A e P1 e tra P2 e B si domanda:
i) la funzione Lagrangiana;
ii)la funzione Hamiltoniana;
iii)le equazioni canoniche di Hamilton.

5
Principio variazionale di Hamilton.
5.1 Premesse
Si è già visto come tutte le leggi della Meccanica dei sistemi materiali a vincoli privi di attrito siano
sostanzialmente sintetizzate nel principio dei lavori virtuali o nella conseguente relazione simbolica
della Dinamica. È comunque possibile ottenere formulazioni sostanzialmente equivalenti
in modo diverso richiedendo che le leggi della Meccanica soddisfino a certe principi variazionali. In
questo capitolo studieremo il principio di minima azione di Hamilton. In ogni caso supporremo
che si tratti di sistemi materiali soggetti esclusivamente a vincoli bilaterali e privi di attrito.
5.2 Principio variazionale di Hamilton
Consideriamo un arbitrario sistema olonomo con coordinate indipendenti q = (q1,q2,...,qn) e la
funzione Lagrangiana L(˙q,q,t). L’integrale
A =
t2
t1
L[˙q(t),q(t),t]dt (5.1)
è detto azione (nel senso di Hamilton) durante un intervallo di tempo (t1,t2) prefissato. L’azione
A è un funzionale che dipende dalle funzioni q(t) = (q1(t),q2(t),...,qn(t)).
Se specifichiamo arbitrariamente le funzioni qh(t), h = 1,...,n, otteniamo un dato moto cinematicamente
possibile (che è un moto compatibile con i vincoli). Nello spazio delle configurazioni
q ∈ R n consideriamo tutte queste possibili curve, o ”traiettorie”, passanti per due determinati punti
dello spazio q 1 e q 2 , fissati i tempi iniziale e finale t1 e t2. Diversamente i moti sono arbitrari. Questa
classe di moti viene denominata M (t1,t2,q 1 ,q 2 ) ed è definita come
Quindi
M (t1,t2,q 1 ,q 2 ) = {q ∈ C 2 ([t1,t2],R n ) : q(t1) = q 1 ,q(t2) = q 2 }.
A : M (t1,t2,q 1 ,q 2 ) → R
ovvero il funzionale azione A ha M (t1,t2,q 1 ,q 2 ) come dominio e dipende dalla legge q = q(t):
A = A(q).

96 5 Principio variazionale di Hamilton.
Fig. 5.1. Esempio di due ”traiettorie” ammissibili, cioé tali che all’istante iniziale e all’istante finale sono in punti prefissati.
Nella impostazione classica si sono determinate le equazioni di Lagrange come conseguenza delle
leggi di Newton e del principio dei lavori virtuali. È tuttavia possibile fare derivare le equazioni di
Lagrange partendo dal seguente postulato:
Postulato (principio variazionale di Hamilton): Sia dato un sistema meccanico olonomo
ad n gradi di libertà con Lagrangiana L(˙q,q,t). Ogni legge del moto q(t) nell’intervallo di tempo
[t1,t2] con prescritti valori agli estremi q(t1) = q1 = (q1 1,...,q 1 n) e q(t2) = q2 = (q2 1,...,q 2 n) rende
stazionaria l’azione di Lagrangiana L:
A(q) :=
t2
t1
L[˙q(t),q(t),t]dt. (5.2)
Quindi: fra tutte le traiettorie cinematicamente possibili durante [t1,t2] che il sistema potrebbe
scegliere e che hanno gli stessi valori agli estremi, viene selezionata quella che rende stazionaria (ad
es. minima) l’azione di Lagrangiana L.
Andiamo a precisare meglio questa osservazione: consideriamo i moti variati sincroni
q(t;α) = q(t)+αη(t)
dove α ∈ R è un parametro reale e η = (η1,...,ηn) ∈ M(t1,t2,0,0), cioé
e si calcola su di essi il funzionale azione:
η ∈ C 2 ([t1,t2],R n ) e η(t1) = η(t2) = 0 (5.3)
A[q(·;α)] =
t2
t1
L[˙q(t;α),q(t;α),t]dt.
Osserviamo che il nuovo termine che otteniamo dipende dal numero reale α e dalle funzioni q ed
η; se pensiamo che queste funzioni sono fissate allora abbiamo costruito una funzione

I : R → R
α ↦→I(α) = A[q(·;α)]
5.3 Esempi 97
che dipende da q ed η intesi come parametri. In quanto funzione dipendente da una variabile reale
ne possiamo calcolare la derivata ed il differenziale:
dI := dI
dα
dα
che sarà dipendente da q e η.
Definizione. Si dice che il funzionale A(q) è stazionario per una dato q se
α=0
dI = 0, ∀η ∈ M(t1,t2,0,0). (5.4)
Il principio variazionale di Hamilton può quindi essere formulato nel seguente modo: q = q(t) è
la legge del moto se, e solo se, q soddisfa alla (5.4).
In particolare se q risulta un minimo per il funzionale allora il funzionale è stazionario in q e
quindi q è la legge del moto.
5.3 Esempi
Questa postulato (come tutti i postilati) si basa su osservazioni empiriche. Consideriamo alcuni
esempi significativi per i quali si osserva la validità del postulato.
5.3.1 Moto di un grave
Scegliamo il riferimento in modo che il moto naturale abbia equazioni
x0(t) = vxt, y0(t) = 0, z0(t) = − 1
2 gt2 +vzt
avendo assegnata la velocità iniziale v = (vx,0,vz). I moti variati sincroni sono definiti da
xα(t) = vxt+αηx(t), yα(t) = αηy(t), zα(t) = − 1
2 gt2 +vzt+αηz(t)
dove η = (ηx,ηy,ηz) ∈ C2 ([t1,t2],R 3 ) tale che η(t1) = η(t2) = 0 per assegnati t1 e t2. l’azione
Hamiltoniana è data da
t2
t2 1
A = L(˙q,q,t)dt =
2 mv2
−mgz dt.
t1
Determiniamo ora la differenza dell’azione tra due moti: quello naturale e quello variato sincrono; è
immediato verificare che risulta
I(α)−I(0) = 1
2 mα2
t2
˙η 2 x + ˙η 2 y + ˙η 2
z dt
che dà dI = 0 e che risulta positiva per ogni perturbazione non nulla. Quindi, in questo esempio, i
moti naturali risultano non solo stazionari per l’azione ma rendono minima l’azione.
t1
t1

98 5 Principio variazionale di Hamilton.
5.3.2 Oscillatore armonico
Scegliamo il riferimento in modo che il moto naturale abbia equazioni
x0(t) = asin(ωt) e y0(t) = z0(t) = 0
avendo assegnata la velocità iniziale v = (vx,0,0) e avendo operato una opportuna scelta dell’origine
dei tempi, a è una costante reale. I moti variati sincroni sono definiti da
xα(t) = asinωt+αηx(t), yα(t) = αηy(t), zα(t) = αηz(t)
dove η = (ηx,ηy,ηz) ∈ C2 ([0,t0],R 3 ) tale che η(0) = η(t0) = 0 per un assegnato t0. l’azione
Hamiltoniana è data da
t2
A = L(˙q,q,t)dt = 1
2 m
t0
v
0
2 −ω 2 (x 2 +y 2 +z 2 )
dt
t1
dove L = 1
2mv2− 1
naturale e quello variato sincrono; è immediato verificare che risulta
dove
e
2 mω2 (x 2 +y 2 +z 2 ). Determiniamo ora la differenza dell’azione tra due moti: quello
I(α)−I(0) = I1 +I2
I1 = 1
2 mα2
t2
(˙η
t1
2 x + ˙η 2 y + ˙η 2 z)−ω 2 (η 2 x +η 2 y +η 2 z)
dt
t2
I2 = mα (˙x0˙ηx −ω
t1
2 x0ηx)dt
dove il secondo integrale si annulla essendo, per integrazione per parti,
I2 = mα
t2
t1
(˙x0˙ηx −ω 2 x0ηx)dt = −mα
t2
t1
(¨x0 +ω 2 x0)ηxdt = 0.
Si può quindi concludere che la variazione I(α) − I(0) valutata sul moto naturale è di ordine 2
rispetto alla perturbazione, da cui segue la stazionarietà di A. Osserviamo infine che, assumendo
per semplicità t1 = 0:
t
|η(t)| =
˙η(t ′ )dt ′
≤ √
t
t ˙η 2 (t ′ )dt ′ ≤ √
t2
t ˙η 2 (t)dt
da cui segue
0
I(α)−I(0) = 1
2 mα2
≥ 1
2 mα2
0
t2
0
˙η 2 −ω 2 η 2
dt
1− 1
2 ω2 t 2 2
t2
0
0
˙η 2 (t)dt.
Quindi l’azione Hamiltoniana risulta minima sul moto naturale se t2 < √ 2/ω; per t2 maggiori non è
necessariamente minima l’azione. Ad esempio si consideri la variazione data da ηx = sin 2 (πt/t2) e
ηy = ηz = 0; per prima cosa si osservi che

I(α)−I(0) = 1
2 mα2
t2
0
= − 1
2 mα2
t2
0
˙η 2 −ω 2 η 2
dt
¨η +ω 2 η
ηdt
integrando per parti, sostituendo ora l’espressione di η si ottiene
dove
C =
t2
0
I(α)−I(0) = − 1
2 mCα2 ,
2 2π
t2 cos
2
2
πt
+ ω
t2
2 − 2π2
t2
sin
2
2
πt
t2
sin 2
πt
dt,
t2
che risulta necessariamente negativa quando ω 2 − 2π2
t 2 2
variazione è negativa.
5.4 Equazioni di Eulero
5.4 Equazioni di Eulero 99
> 0, ovvero t2 > π/ √ 2ω ed in questo caso la
Teorema (equazioni di Eulero-Lagrange dedotte dal principio variazionale di Hamilton):
Condizione necessaria e sufficiente affinché l’azione (5.2) di Lagrangiana L assuma un valore estremo
q(t) è che q(t) sia soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange
d
dt
∂L
∂˙qh
− ∂L
∂qh
Dimostrazione: Consideriamo i moti variati sincroni
q(t;α) = q(t)+αη(t), −1 ≤ α ≤ 1,
tali che η(t1) = η(t2) = 0. Se q(t) è estremale allora deve essere
0 = dI ≡ dI(α)
dα, ∀η ∈ M(t1,t2,0,0)
dα
dove
I(α) =
t2
t1
α=0
= 0, h = 1,...,n. (5.5)
L[˙q(t;α),q(t;α),t]dt.
Derivando questa relazione rispetto a α e portando la derivata sotto il segno di integrale (assumendo
siano valide le condizioni di regolarità per potere fare ciò) si ottiene
dI(α) n
t2 ∂L ∂qh ∂L ∂˙qh
= + dt.
dα t1 ∂qh ∂α ∂˙qh ∂α
Osservando che
che
α=0
h=1
(5.6)
∂ ˙qh
∂α = ˙ηh, integrando per parti e ricordando che ηh(t) si annulla agli estremi, segue

100 5 Principio variazionale di Hamilton.
Da cui segue che
t2
t1
=
=
∂L ∂qh ∂L ∂˙qh
+ dt =
∂qh ∂α ∂˙qh ∂α
t2 ∂L ∂qh
t1 ∂qh ∂α dt+
t2 ∂L ∂qh
−
∂˙qh ∂α t1
t2 ∂L
−
t1 ∂qh
d
∂L
ηh(t)dt.
dt ∂˙qh
dI(α)
dα
n
=
α=0 h=1
t2
t1
∂L
∂qh
− d
dt
t2
t1
∂qh d ∂L
dt
∂α dt ∂˙qh
∂L
ηh(t)dt. (5.7)
∂˙qh
Ora, dovendo essere valida la (5.6) ed essendo le funzioni ηh(t) indipendenti, otteniamo n integrali
uguali a 0 e, essendo ogni ηh(t) arbitraria, per il teorema di annullamento degli integrali (si veda in
Appendice B.2) si annulla identicamente ogni espressione
∂L
∂qh
− d
dt
∂L
= 0, ∀t ∈ [t1,t2], h = 1,...,n, (5.8)
∂˙qh
quando L sia calcolata in q(t). Si osservi che l’affermazione inversa è banale: se una q = q(t)
soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrange, automaticamente la variazione del funzionale (5.7) è nulla.
Infatti basta percorrere a ritroso la stessa dimostrazione, ma senza bisogno di applicare il teorema
di annulamento degli integrali.
Dunque, nel caso dinamico, le equazioni di Lagrange si possono riguardare come equazioni di
Eulero per il calcolo variazionale. Si noti che la proprietà di curva di essere estremale di
un funzionale non dipende dal sistema di coordinate.
Poiché dal principio di Hamilton derivano le equazioni di Lagrange in coordinate indipendenti
(e viceversa), il principio di Hamilton può essere posto a fondamento della dinamica dei
sistemi olonomi. Ad ogni modo c’è una differenza fondamentale tra le equazioni differenziali del
moto e i principi variazionali. Le prime, essendo equazioni differenziali, caratteriazzano localmente il
moto mentre il principo variazionale, essendo una relazione integrale, caratterizza l’intera traiettoria
nel suo complesso.
5.5 Esercizi (risolti)
1. Moto di un mobile vincolato su una sfera in assenza di campo di forze (moto inerziale su una
sfera).
Soluzione: la Lagrangiana, in coordinate sferiche (dove r è il raggio della sfera), prende la forma
Le equazioni di Lagrange sono
L = 1
2 mv2 = 1
2 mr2 ( ˙ θ 2 +sin 2 θ ˙ϕ 2 ).
d ∂L
dt ∂˙ ∂L
−
θ ∂θ
= 0 e ∂L
∂ ˙ϕ
= cost

poiché ϕ è una coordinata ciclica; esplicitando (e semplificando per mr 2 ) si ottiene
¨θ −sinθcosθ ˙ϕ 2 = 0, sin 2 θ ˙ϕ = sin 2 θ0 ˙ϕ0 = 0
5.5 Esercizi (risolti) 101
doveabbiamoassunto ˙ϕ0 = 0(ipotesisemprelecitapoichépossiamoscegliereilsistemadiriferimento
in modo che la velocità iniziale v0 sia diretta lungo un meridiano ϕ = costante). Quindi segue
dalla prima equazione ˙ θ = costante e v0 = costante, in particolare quindi la traiettoria equivale
al moto uniforme lungo un arco di circonferenza. Questo risultato si traduce nel dire che l’azione
ha un ”punto” di stazionarietà lungo gli archi di circonferenza. Per discutere se questo ”punto” di
stazionarietà corrisponde, o no, ad un minimo denotiamo con A0 il moto lungo un dato arco γ0 di
circonferenza e con A1 il moto lungo un arco γ1 qualunque sulla superficie sferica avremo
A1 −A0 = 1
2 m
t1
= mv0
≥ mv0
t0
t1
t0
t1
t0
(v 2 −v 2 0)dt
(v −v0)dt+ 1
2 m
t1
(v −v0)
t0
2 dt
(v −v0)dt = mv0(ℓ1 −ℓ0)
dove ℓ1 è la lunghezza di γ1 e ℓ0 è la lunghezza di γ0. È immediato osservare che la lunghezza dell’arco
di circonferenza γ0 è minore della lunghezza γ1 di ogni altra curva sulla sfera congiungente due stessi
punti vicina (in un certo senso) a γ0; per tale ragione A1 > A0, cioé il moto rende minimo il
funzionale. Osserviamo che ciò è valido solo quando ℓ0 < πr. Se ℓ0 > πr allora ℓ0 non sarà sempre
minore di ℓ1 e il valore minimo dell’azione A sarà ottenuto su un arco ausiliario di circonferenza.
2. Trovare le curve t → q(t) tali che q(0) = 0, q(π/2) = 1 e che rendono stazionario il funzionale
di lagrangiana L(˙q,q,t) = ˙q 2 −q2 .
Soluzione: consideriamo il seguente funzionale
definito sul dominio M0,π/2,0,1 dove
A(q) =
π/2
0
˙q(t) 2 −q(t) 2
dt.
Mt1,t2,x1,x2 =
q ∈ C 2
([t1,t2],R) : q(t1) = q1 e q(t2) = q2 .
L’equazione di Eulero-Lagrange assume la forma
d
[2˙q(t)] = −2q(t), cioé ¨q +q = 0.
dt
La soluzione generale è quindi q(t) = c1cost+c2sint; i dati al bordo determinano le costanti:
q(0) = 0 quindi c1 = 0
; pertanto q(t) = sint.
q(π/2) = 1 quindi c2 = 1
3. Determinare le curve t → q(t), q ∈ M0,1,0,1, di stazionarietà per il funzionale di Lagrangiana
L(˙q,q,t) = ˙q 2 +12tq.
Soluzione: il funzionale risulta essere

102 5 Principio variazionale di Hamilton.
1
A(q) =
L’equazione di Eulero-Lagrange ha la forma
0
[˙q(t) 2 +12tq(t)]dt, q ∈ M0,1,0,1.
d
[2˙q(t)] = 12t, cioé ¨q −6t = 0.
dt
La soluzione generale è quindi q(t) = t 3 +c1t+c2; i dati al bordo determinano le costanti:
q(0) = 0 quindi c2 = 0
q(1) = 1 quindi c1 = 0 ; pertanto q(t) = t3 .
4. Esempio di un problema che non ammette minimo.
Soluzione: non è detto che esistano sempre soluzioni del problema variazionale assegnato, come
nel seguente esempio: sia
A =
t2
t1
q(t) 2 dt, x ∈ Mt1,t2,q1,q2.
L’equazione di Eulero-Lagrange assume la seguente forma 2q(t) = 0. Quindi se q1 = q2 = 0 allora
q(t) ≡ 0 è nel dominio Mt1,t2,q1,q2 e minimizza il funzionale. Se, invece, q1 = 0 o q2 = 0 allora il
funzionalenonsiminimizzaconfunzionidiclasseC 2 ([t1,t2],R). Ciòèevidenteperchésipuòscegliere
una successione qn ∈ Mt1,t2,q1,q2 tale che
lim
n→∞ qn(t)
⎧
⎪⎨ q1, t = t1
= 0, t1 < t < t2
⎪⎩ q2, t = t2
Allora,
infA(qn)
= 0,
n
ma il funzionale non ammette minimo perché A(q) > 0, ∀q ∈ Mt1,t2,q1,q2.
5. Lunghezza di una arco di curva nel piano.
Soluzione: sia data una curva γ nel piano R 2 avente rappresentazione cartesiana x = x(t) (invece
della notazione più usuale y = y(x)) con t ∈ [t1,t2] e congiungente i punti (t1,x1) e (t2,x2), cioé tale
che x(t) ∈ Mt1,t2,x1,x2. Determiniamo la curva x ∈ Mt1,t2,x1,x2 di lunghezza minima. Il funzionale
da minimizzare (denotato ora L poiché ora indica la lunghezza di una curva) è quello che ad ogni
curva t → x(t) ne associa la lunghezza:
t2
L(x) = 1+ ˙x(t) 2dt. L’equazione di Eulero-Lagrange è:
d 2˙x
= 0 da cui
dt2
1+ ˙x(t) 2
t1
˙x
= costante
1+ ˙x(t) 2
che ha come soluzione generale x(t) = c1t+c2. Quindi, nel piano, le curve di lunghezza minima sono
i segmenti di retta.

5.5 Esercizi (risolti) 103
6. Superficie di rotazione di area minima.
Soluzione: avendo prefissato i due estremi (t1,x1) e (t2,x2) con t2 > t1 e x1,x2 > 0, determinare la
curva t → x(t) la cui rotazione attorno all’asse delle ascisse t genera una superficie di area minima.
L’area della superficie di rotazione generata da t → x(t), x ∈ Mt1,t2,x1,x2, è
t2
A(x) = 2π x(t) 1+ ˙x(t)
t1
2dt. (5.9)
Abbiamo quindi un funzionale di Lagrangiana L(˙x,x) = x √ 1+ ˙x 2 . L’equazione di Eulero-Lagrange
associata è
d ∂L ∂L
−
dt ∂˙x ∂x
Osserviamo che quando L è indipendente da t l’equazione di Eulero-Lagrange può essere scritta come
= 0.
∂2L ∂˙x 2 ¨x+ ∂2L ∂L
˙x−
∂˙x∂x ∂x
ossia, moltiplicando per ˙x ambo i membri (riconosciamo la funzione Hamiltoniana):
d ∂L
dt ∂˙x ˙x−L
= 0 cioé ∂L
∂˙x ˙x−L = c1, ∀t.
Nel nostro caso si ha:
e quindi
= 0,
c1 = x˙x2
√
1+ ˙x 2 −x√1+ ˙x 2 = x˙x2 −x−x˙x 2
√
1+ ˙x 2
√
x = c1 1+ ˙x 2 .
È facile verificare che una soluzione generale di questa equazione differenziale è data da x(t) =
c1cosh[(t−c2)/c1] dove c1 e c2 sono due costanti da determinare; questa è una famiglia di catenarie,
la rotazione delle quali genera una superficie dette catenoidi. Le costanti sono determinate dalle
condizioni:
c1cosh[(t1 −c2)/c1] = x1
.
c2cosh[(t2 −c2)/c1] = x2
A seconda dei valori di (x1,x2) si avranno 1, 2 o 0 soluzioni.
7.La Catenaria. Consideriamo il seguente problema: data una catena pesante fissata agli estremi
e di lunghezza L assegnata, determinare la curva della catena.
Soluzione:supponiamolacatenaomogeneaeflessibile,inmodochelacurvaabbiarappresentazione
x → y(x) regolare con la condizione y(x1) = y1 e y(x2) = y2, cioé y ∈ Mx1,x2,y1,y2. È immediato
osservare che la curva della catena sarà tale da minimizzare il funzionale
y → A(y) = altezza del baricentro,
dove A(y) ha, a meno di una costante moltiplicativa, la seguente espressione simile alla (5.9):

104 5 Principio variazionale di Hamilton.
A(y) = 1
m
x2
x1
y(x)ρ 1+y ′ (x) 2dx,
infatti 1+y ′ (x) 2dx rappresenta la lunghezza dell’elemento infinitesimo di curva, ρ = m è la densità L
costante e y(x) l’altezza di tale elemento di catena. Poiché in questo caso A(y+c) = A(y)+c dove
c è una costante allora la traiettoria è definita a meno di una costante additiva e quindi la soluzione
generale è
y(x) = c+c1cosh[(x−c2)/c1]
dove c, c1 e c2 si determinano imponendo le condizioni ai bordi e fissando la lunghezza della corda:
L = c1{sinh[(x2 −c2)/c1]−sinh[(x1 −c2)/c1]}, x1 < x2.

6
Trasformazioni canoniche
6.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton
6.1.1 Trasformazioni che conservano la struttura canonica
Un cambio di coordinate X = X(x,t) trasforma un sistema di equazioni differenziali ˙x = f(x,t) in
un altro sistema ˙ X = F(X,t) in un modo che è determinato dalla matrice jacobiana Ψ =
∂X . Nel ∂x
caso delle equazioni di Hamilton, con
p
x =
q
e campo
∂H − ∂q 0in −In
J grad (p,q)H = ∂H , dove J =
In 0in
∂p
p P
una trasformazione x = → X = definita dalla mappa X = X(x,t), con inversa x =
q Q
x(X,t), produce un sistema corrispondente
ovvero
˙Xk =
2n
h=1
∂Xk
∂xh
˙xh + ∂Xk
∂t =
2n
h=1
Ψk,h˙xh + ∂Xk
∂t
˙X = ΨJ gradx H[x(X,t),t]+ ∂X
(6.2)
∂t
che, in generale, non è Hamiltoniano, dove Ψ =
∂X è la matrice Jacobiana della trasformazione
∂x
X = X(x,t). Tra le trasformazioni di coordinate possibili ne caratteriziamo quelle che conservano
la struttura canonica.
Definizione. Una trasformazione
(6.1)
Qh = Qh(p,q,t), Ph = Ph(p,q,t) (6.3)

106 6 Trasformazioni canoniche
diffeomorfa (ovvero biunivoca e bidifferenziabile), in qualche aperto, delle variabili canoniche q =
(q1,...,qn) e p = (p1,...,pn) conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton
se, comunque scelta una funzione Hamiltoniana H(p,q,t) esiste una corrispondente funzione
K(P,Q,t), detta nuova Hamiltoniana, tale che il sistema di equazioni di Hamilton per H
˙ph = − ∂H
equivalga al sistema:
∂qh
˙qh = ∂H
∂ph
˙
Ph = − ∂K
∂Qh
˙Qh = ∂K
∂Ph
, (6.4)
La definizione individua quelle trasformazioni tali che il nuovo campo è Hamiltoniano, cioè esiste
una funzione K(X,t) tale che
.
ΨJ grad x H[x(X,t),t]+ ∂X
∂t = J grad X K(X,t). (6.5)
Osserviamo che questa proprietà è intrenseca della trasformazione x → X e non deve dipendere
invece dalla Hamiltoniana H che è arbitraria.
Quando X(x,t) conserva la struttura canonica delle equazioni e dipende esplicitamente da t, ∂X
∂t
è un campo Hamiltoniano relativo a una certa funzione K0 tale che:
∂X
∂t = J grad X K0, (6.6)
che dipende solo dalla trasformazione stessa e si può pensare come la nuova Hamiltoniana corrispondente
ad H ≡ 0.
6.1.2 Determinazione della nuova Hamiltoniana per effetto di una trasformazione che conserva la
struttura canonica
Osserviamo che, anche quando X = X(x) è una trasformazione indipendente dal tempo che conserva
la struttura canonica delle equazioni canoniche di Hamilton, non è detto che la nuova Hamiltoniana
K(X,t) sia uguale alla H vista nelle nuove variabili: H[x(X),t]. Vediamo il seguente esempio: sia
n qualunque e sia (p,q) → (αp,βq) = (P,Q). A talfine consideriamo si conserva la struttura delle
equazioni canoniche, ma con nuova Hamiltoniana K = αβH. Infatti si verifica immediamente che
K(P,Q) = αβH(α −1 P,β −1 Q) è tale che
⎧
⎨
⎩
˙Q = ∂K
∂P
˙P = − ∂K
∂Q
= αβ∂H
∂p α−1
⇐⇒
= −αβ∂H β−1
∂q
β˙q = β ∂H
∂p
α˙p = −α ∂H
∂q
Così in questo esempio esiste una costante c = αβ tale che K(X) = cH[x(X)]. Si può provare che
questa è la situazione usuale in forza del seguente Teorema:
Teorema. Sia X = X(x,t) un diffeomorfismo che conserva la struttura canonica delle
equazioni di Hamilton. Allora esiste un fattore c (dipendente al più da t) tale che la Hamiltoniana
K corrispondente ad H è data da

6.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton 107
K(X,t) = cH[x(X,t),t]+K0(X,t) (6.7)
dove K0 è la Hamiltoniana corrispondente ad H ≡ 0, ossia tale che J gradX K0 = ∂X.
In particolare
∂t
K(X,t) = cH[x(X),t] se la trasformazione è indipendente dal tempo. Il termine c è tale che
−ΨJ Ψ T J = ci. (6.8)
dove Ψ =
∂X è la matrice Jacobiana della trasformazione.
∂x
Dimostrazione: Se X(x,t) conserva la struttura canonica allora la K(X,t) è legata alla H tramite
la (6.5). Una volta verificata che vale la (6.8) con c dipendente al più da t, verifichiamo che la (6.7)
soddisfa la (6.5); infatti
e, dalla (6.5), deve essere
J grad X K = ciJ (Ψ T ) −1 grad x H[x(X,t),t]+J grad X K0(X,t)
= ciJ (Ψ T ) −1 grad x H[x(X,t),t]+ ∂X
∂t
ciJ (Ψ T ) −1 = ΨJ, cioé ci = −ΨJ Ψ T J
poiché J J = −i. Rimane quindi da dimostrare la (6.8), a tal fine introduciamo il seguente Lemma:
Lemma: Sia A(x,t), (x,t) ∈ R 2n × R, una funzione regolare a valori nello spazio delle matrici
quadrate reali 2n × 2n. Se il campo Agrad x f è irrotazionale, cioé il rotore di tale campo è nullo,
per ogni funzione f : R 2n → R regolare allora esiste una funzione c : R → R tale che A = c(t)i.
Dimostrazione del Lemma: Se Agrad x f è irrotazionale allora dovrà essere
∂(Agrad x f)h
∂xj
= ∂(Agradx f)j
, ∀h,j = 1,...,2n, (6.9)
∂xh
per ogni f. In particolare per f(x) = xj questa relazione implica la seguente relazione sui coefficienti
della matrice A:
∂Ah,j
∂xj
= ∂Aj,j
, ∀h,j = 1,...,2n;
∂xh
per f(x) = x 2 j si ottiene l’ulteriore relazione sui coefficienti della matrice A:
∂Ah,jxj
∂xj
= ∂Aj,jxj
, ∀h,j = 1,...,2n.
∂xh
Da queste due relazioni segue necessariamente che deve essere Ah,j = Aj,jδh j, cioé la matrice A è
diagonale. Pertanto dovrà anche essere ∂Aj,j
∂xh = 0 se h = j e quindi potremo scrivere Ah,j(x,t) =
ch(xh,t)δh j. Con questa posizione la (6.9) prende la forma
ch
∂ 2 f
∂xj∂xh
∂
= cj
2f , h = j,
∂xh∂xj
da cui segue (in virtù del Teorema di Schwartz sull’invertibilità delle derivate) che deve necessariamente
essere

108 6 Trasformazioni canoniche
ch(xh,t) ≡ cj(xj,t) ⇒ ch(t) ≡ cj(t) ≡ c(t)
da cui segue la dimostrazione del Lemma.
Siamo ora in grado di completare la dimostrazione del Teorema. Infatti sottraendo alla (6.5)
quella corrispondente a H ≡ 0 si ottiene la relazione
grad X (K −K0) = −J ΨJ grad x H[x(X,t),t]
= −J ΨJ Ψ T grad X ˆ H(X,t)
dove abbiamo posto ˆ H(X,t) = H[x(X,t),t]. Per l’arbitrarietà di H e poiché il termine gradX (K −
K0) è manifestamente irrotazionale allora il Lemma prova la (6.8).
Esempio: Nel caso della trasformazione canonica (p,q) → (αp,βq) considerata in precedenza
segue che
∂P ∂P
∂p ∂q α 0
ψ = ∂Q ∂Q =
0 β
∂p ∂q
e quindi
da cui si ottiene c = αβ.
6.2 Trasformazioni canoniche
−ψJψ T
α 0 0 −1 α 0 0 −1
J = −
0 β 1 0 0 β 1 0
0 −α 0 −α
= −
β 0 β 0
αβ 0
= + = αβi
0 αβ
Il Teorema consente di circoscrivere l’interesse al caso c = 1, cioè di trattare le trasformazioni
canoniche vere e proprie:
Definizione. Un diffeomorfismo X = X(x,t) che conserva la struttura canonica delle equazioni
di Hamilton si dice trasformazione canonica se e solo se l’Hamiltoniana K corrispondente a un
arbitraria Hamiltoniana H si scrive
K(X,t) = H[x(X,t),t]+K0(X,t) (6.10)
dove K0 è tale che J gradX K0 = ∂X.
Una trasformazione canonica X = X(x) indipendente dal
∂t
tempo si dice completamente canonica.
6.3 Generatrice di una trasformazione canonica
In una trasformazione canonica, tra le 4n variabili p,q,P,Q, solo 2n saranno indipendenti proprio a
causa di (6.3). Una trasformazione canonica, che per ogni t agisce da un aperto di R 2n ad un aperto

6.3 Generatrice di una trasformazione canonica 109
di R 2n , è quindi assegnata se sono assegnate 2n funzioni (sotto alcune proprietà) di 2n variabili. È
conveniente disporre di una funzione generatrice della trasformazione canonica. Ad esempio:
1. Se, per ogni t, una data funzione F1(q,Q,t) ha det ∂2F1 ∂Q∂q = 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
ph = ∂F1
∂qh
e Ph = − ∂F1
, h = 1,2,...,n. (6.11)
∂Qh
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Qh (essendo det ∂2F1 ∂Q∂q = 0) si ottiene Qh = Qh(pk,qk,t) che
sostituete nelle seconde dà Ph = Ph(pk,qk,t). Nel caso particolare in cui F1(Q,q,t) sia lineare nelle
qh allora si trova Q = Q(p,t) e P = P(p,q,t). In questo caso la trasformazione canonica è detta
libera; cioé le Q e q sono indipendenti. Tra le funzioni del primo tipo (F1 è funzione delle vecchie
e nuove coordinate) vi è quella che scambia il ruolo tra coordinate e impulsi: F1 = n h=1qhQh.
2. Se, per ogni t, una data funzione F2(q,P,t) ha det ∂2F2 ∂q∂P = 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
ph = ∂F2
∂qh
e Qh = ∂F2
, h = 1,2,...,n. (6.12)
∂Ph
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Ph (essendo det ∂2 F2
∂P∂q = 0) si ottiene Ph = Ph(pk,qk,t)
che sostituendo nelle seconde dà Qh = Qh(pk,qk,t). In questo rientra, come vedremo tra poco, la
trasformazione identità Q = q e P = p: l’identità è necessariamente non libera perché Q = q implica
che Q e q non sono indipendenti. Le funzioni generatrici del secondo tipo (dove F2 è funzione delle
vecchie coordinate e dei nuovi impulsi) comprendono la trasformazione identità; infatti, a partire da
segue che
ph = ∂F2
∂qh
n
F2(q,P) = qhPh
h=1
= Ph, Qh = ∂F2
∂Ph
= qh, K = H.
3. Se, per ogni t, una data funzione F3(p,Q,t) ha det ∂2 F3
∂p∂Q = 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
qh = − ∂F3
∂ph
e Ph = − ∂F3
, h = 1,2,...,n. (6.13)
∂Qh
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Qh (essendo det ∂2F3 ∂Q∂p = 0) si ottiene Qh = Qh(pk,qk,t) che
sostituendo nelle seconde dà Ph = Ph(pk,qk,t).
4. Se, per ogni t, una data funzione F4(p,P,t) ha det ∂2F4 ∂p∂P = 0 in un aperto di R2n , allora una
trasformazione è individuata implicitamente dalle 2n equazioni
qh = − ∂F4
∂ph
e Qh = ∂F4
, h = 1,2,...,n. (6.14)
∂Ph
Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Ph (essendo det ∂2 F4
∂P∂p = 0) si ottiene Ph = Ph(pk,qk,t) che
sostituendo nelle seconde dà Qh = Qh(pk,qk,t).

110 6 Trasformazioni canoniche
Il numero di tipi di funzioni generatrici non si riduce a 4, ma è molto maggiore; tante quante
sono le collezioni di n nuove coordinate Qi1,...,Qik ,Pj1,...,Pjn−k , in modo tale che, con le vecchie
coordinate p,q si ottengano 2n coordinate indipendenti.
Questequattrotrasformazionidefiniteimplicitamentedallerelazioni(6.11)—(6.14)sidimostrano
essere canoniche. A tal fine è stata fatta la scelta del segno negativo nelle (6.11) e (6.13).
Nel seguito, per semplicità, limitiamo la nostra analisi alle trasformazioni con funzione generatrice
del tipo F1 anche se il risultato che segue, del quale ne omettiamo la dimostrazione, vale per gli altri
tipi di trasformazione.
Teorema su funzioni generatrici di tipo F1: Sia F1(q,Q,t) una funzione regolare definita in
un aperto Aq ×BQ di R 2n , ∀t ∈ R, e tale che
det
∂ 2 F1
∂q∂Q
= 0, ∀(q,Q) ∈ Aq ×BQ, ∀t ∈ R. (6.15)
Allora F1(q,Q,t) è la funzione generatrice di una trasformazione canonica. La trasformazione
canonica si ottiene per esplicitazione dalle 2n equazioni
con nuova Hamiltoniana
ph = ∂F1
, Ph = −
∂qh
∂F1
∂Qh
K(P,Q,t) = H[p(P,Q,t),q(P,Q,t),t]+ ∂F1[q(P,Q,t),Q,t]
.
∂t
(6.16)
Osserviamo che se F1 è indipendente da t allora la trasformazione è completamente canonica.
Osserviamo anche che la funzione generatrice F1 è definita a meno di un termine additivo
funzione di t (e per il resto arbitrario). Infatti, questo termine non cambia la trasformazione
generata da F1.
6.4 Esempio: trasformazione canonica per l’oscillatore armonico
Per l’oscillatore armonico uni-dimensionale, dove assumiamo la massa unitaria, di Hamiltoniana
H(p,q) = 1
2 [p2 +ω 2 q 2 ], p,q ∈ R, (6.17)
ecco una trasformazione canonica (p,q) → (P,Q) che rende Q ciclica. La trasformazione è generata
dalla funzione di primo tipo:
da cui segue
Ricavando q =
p = ∂F1
∂q
F1(q,Q) = 1
2 ωq2 cotQ
= ωqcotQ, P = −∂F1
∂Q
1 ωq
=
2
2
sin2Q 2P
ω sinQ e p = √ 2ωP cosQ, troveremo H in funzione di Q,P:
(6.18)

K(P,Q) = H[p(P,Q),q(P,Q)] = 1
2
= ωP.
6.4 Esempio: trasformazione canonica per l’oscillatore armonico 111
2ωP cos 2 Q+ω 22P
ω sin2 Q
Quindi Q è coordinata ciclica. Le equazioni canoniche di Hamilton nelle nuove coordinate prendono
la forma:
e
P ˙ = − ∂K
∂Q
Riportando alle coordinate originarie:
˙Q = ∂K
∂P
q(t) =
= 0 ⇒ P = α = cost.
= ω ⇒ Q = ωt+β.
2α
ω sin(ωt+β).
Le costanti di integrazione sono due e hanno il significato atteso: α determina l’ampiezza e β la fase
iniziale dell’oscillazione armonica.
Da questo esempio segue che è molto utile trovare una trasformazione canonica che renda una o
più coordinate cicliche. Quando si riescono a rendere cicliche tutte le coordinate, esse sono spesso
interpretabili come variabili angolari. Quando H(p,q) ammette una trasformazione canonica tale
che i nuovi momenti risultano costanti e le nuove coordinate risultano lineari rispetto al tempo
n
K = ω ·P = ωhPh, Ph = αh, Qh = ωht+βh
h=1
allora, le variabili Ph si dicono azioni e le variabili Qh si dicono angoli.

7
Equazione di Hamilton-Jacobi
7.1 Equazione di Hamilton-Jacobi
Sappiamo che la risoluzione delle equazioni di Hamilton diventa elementare se riusciamo, mediante
una opportuna trasformazione canonica, a rendere cicliche tutte le coordinate. Una situazione
speciale in cui ciò avviene si ha quando la nuova Hamiltoniana a seguito di una trasformazione
canonica è identicamente uguale a zero. Quindi, se riusciamo a trovare una trasformazione
canonica (dipendente dal tempo in generale) per effetto della quale la nuova Hamiltoniana si
annulla (o è una costante o, eventualmente, funzione della sola variabile t) allora abbiamo risolto
il problema della soluzione delle equazioni di Hamilton. Se la trasformazione canonica è, ad
esempio, generata a partire da una funzione generatrice (che nel seguito sarà denotata con S invece
che F2) del II◦ tipo dipendente da P, q e t allora cerchiamo, se esiste, una funzione S(P,q,t) tale
che
{p,q,H(p,q,t)} →
P,Q,K = H + ∂S
∂t
In tal caso nelle nuove coordinate le equazioni canoniche di Hamilton si risolvono banalmente:
P(t) ≡ P 0
e Q(t) ≡ Q 0 .
Applicando la trasformazione inversa (P,Q) → (p,q) si risolve il problema originario. Tutto ciò
sembra molto semplice; in realtà abbiamo spostato la difficoltà nella determinazione della generatrice
S che rende vera la (7.1).
Entrando in maggiore dettaglio e ricordando le prescrizioni di una funzione generatrice di secondo
tipo
ph = ∂S
∂qh
Qh = ∂S
∂Ph
la (7.1) si traduce nella seguente equazione
∂S
H
∂q ,q,t
, da cui q = q(P,Q,t),
+ ∂S
∂t
≡ 0
(7.1)
= 0. (7.2)
Questa è chiamata equazione di Hamilton-Jacobi: è un’equazione differenziale alle derivate
parziali del primo ordine (che ammette tutta una propria trattazione matematica) nell’incognita

114 7 Equazione di Hamilton-Jacobi
S. Osserviamo ancora che se una tale trasformazione esiste allora le equazioni canoniche nelle
nuove variabili si integrano immediatamente e danno
poichè
Ph = P 0 h = αh e Qh = Q 0 h = βh costanti
Ph
˙ = − ∂K
∂Qh
= 0 e ˙ Qh = ∂K
Quindi la funzione S dipenderà da S(α,q,t), cioé da n variabili qh e da n parametri αh più, eventualmente,
il tempo.
Definizione. Se S = S(α,q,t) è una funzione delle n+1 variabili q1,...,qn,t e di n parametri
(costanti) α1,...,αn soddisfacente l’equazione (7.2) e alla condizione
2 ∂ S
det = 0
∂αh∂qk
allora S si dice una soluzione completa dell’equazione di Hamilton-Jacobi La funzione
S(α,q,t) è detta funzione azione.
Essendo K(P,Q,t) ≡ 0 allora segue che anche le nuove coordinate Qh, costanti poiché ˙ Qh = 0,
sono legate alla S tramite la:
∂S(α,q,t)
= Qh = βh. (7.3)
∂αh
La condizione det ∂2
S = 0 serve precisamente a garantire che l’equazione (7.3) può essere
∂αh∂qk
risolta rispetto a q = q(α,β,t) trovando q = q(t). Quindi: trovare una soluzione completa
S dell’equazione di Hamilton-Jacobi equivale a risolvere il sistema delle equazioni di
Hamilton.
Nell’equazione di Hamilton-Jacobi le variabili indipendenti sono il tempo t e i parametri lagrangiani
qh. Conseguentemente l’integrale completo di questa equazione dipenderà da n + 1
costanti arbitrarie. D’altra parte, la funzione S è presente nell’equazione soltanto attraverso le
sue derivate e quindi una delle sue costanti arbitrarie appare nell’integrale completo come
una grandezza additiva, cioé l’integrale completo dell’equazione di Hamilton-Jacobi prende la
forma generale S(α,q,t)+c dove α = (α1,...,αn) e c sono costanti arbitrarie. Poiché la determinazione
di c è inessenziale ai fini dello studio del moto (possiamo sempre pensare di inglobarla nelle
βh attraverso le relazioni (7.3)), in generale questa costante sarà assunta nulla.
∂Ph
7.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta
Teorema.Se l’Hamiltoniana H non dipende esplicitamente dal tempo, allora il problema si riconduce
all’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi
∂W
H
∂q ,q
= α1
(7.4)
= 0.

7.3 Esempio: l’oscillatore armonico 115
dove l’incognita W(α,q) è detta azione ridotta. La funzione generatrice è allora data da S =
W −Et dove α1 ≡ E (energia, determinata dai dati iniziali). Le soluzioni q = q(α,β,t) si ricavano
in termini delle n costanti Ph = αh e di altre n costanti di integrazione βh tramite le seguenti relazioni:
t+β1 = ∂W(α,q)
, βh =
∂α1
∂W(α,q)
, h = 2,...,n, (7.5)
∂αh
supponendo sempre che sia det ∂2
W = 0. ∂αh∂qk
Dimostrazione: Se H = H(p,q) allora esiste l’integrale primo dell’energia meccanica E e, ponendo
α1 = E = H[p(t),q(t)], risulta naturale cercare S nella forma
S(P,q,t) = W(P,q)−Et.
Con tale separazione fra variabili spaziali e temporale l’equazione di Hamilton-Jacobi (7.2) prende
la forma:
∂W
H
∂q ,q
−E = 0 (7.6)
da cui risulta la (7.4). Come nel caso precedente risulta Qh = βh e Ph = αh costanti, tra cui
P1 = α1 = E. Ricordando poi che Q = ∂S si ottiene ∂P
βh = Qh = ∂W
, h = 2,...,n, e β1 = Q1 =
∂αh
∂S
∂α1
= ∂W
∂α1
da cui segue la (7.5) completando così la dimostrazione.
La risoluzione del moto consiste in due passi distinti. Nel primo passo si risolve l’equazione
caratteristica di Hamilton-Jacobi (7.4) costituita da una equazione differenziale alle derivate parziali
del I◦ ordine. Nel secondo passo, una volta determinata la W, si risolvono le n equazioni (7.5) (ora
non differenziabili) che determinano il moto del sistema.
Osserviamo che le n−1 equazioni βh = ∂W(α,q)
, h = 2,...,n, nelle n incognite qh permettono di
∂αh
determinare la ”traiettoria” del sistema nello spazio delle configurazioni, cioé definiscono gli aspetti
puramente geometrici del moto. La prima equazione t+β1 = ∂W(α,q)
è invece l’unica che contiene
∂α1
il tempo t ed è quella che caratterizza l’aspetto cinematico del moto, cioé determina la legge oraria
del punto q sulla traiettoria nello spazio delle configurazioni. Osserviamo anche che il parametro β1
è inessenziale in quanto ridefinisce solamente l’origine della scala dei tempi.
7.3 Esempio: l’oscillatore armonico
L’Hamiltoniana dell’oscillatore armonico unidimensionale è
H(p,q) = 1
p
2m
2 +m 2 ω 2 q 2
, ω 2 = k2
m
da cui segue che l’equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma
⎡
2 1 ∂S
⎣ +m
2m ∂q
2 ω 2 q 2
⎤
⎦+ ∂S
= 0.
∂t
−t

116 7 Equazione di Hamilton-Jacobi
Ponendo S = W(E,q)−Et allora l’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi (7.4) si riduce a
⎡
2 1 ∂W
⎣ +m
2m ∂q
2 ω 2 q 2
⎤
⎦ = E
che ha soluzione (definita a meno di una costante additiva che possiamo sempre assumere nulla)
W(E,q) = √
q
2mE 1−
q0
mω2x2 q√
dx = 2mE −m2ω 2x2dx 2E q0
⎡
mE
= ⎣q 1−
2
mω2q2 2E +
2E
mω2arcsin ⎛
mω
⎝
2
2E q
⎞⎤
⎠⎦
dove abbiamo assunto, per semplicità q0 = 0. Quindi
da cui troviamo
e
β = β0 +t = ∂W
∂E =
2m
E
= 1
ω arcsin
⎛
mω
⎝
2
2E q
⎞
⎠
q
q0
2E
q = sin(ωt+β0)
mω2 dx
1− mω2x2 2E
p = ∂W
∂q = √
2mE 1− mω2q2 2E = √ 2mEcos(ωt+β0).
7.4 Metodo di separazione delle variabili
Nel seguito ci limitiamo a considerare solo Hamiltoniane indipendenti dal tempo e mostreremo che
ci sono casi in cui l’equazione di Hamilton-Jacobi sia risolubile mediante quadrature. È il caso delle
variabili separabili.
Definizione. Sia H(p,q) una Hamiltoniana che non dipende esplicitamente dal tempo e sia
∂W
H ,...,
∂q1
∂W
,q1,...,qn = E
∂qn
la corrispondente equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi. Le variabili qh sono separabili se
una funzione del tipo
W(α,q) = W1(α,q1)+W2(α,q2)+...+Wn(α,qn) (7.7)
decompone l’equazione di Hamilton-Jacobi in n equazioni della forma

Hh
7.4 Metodo di separazione delle variabili 117
∂Wh
,qh,α1,...,αn = αh, h = 1,...,n. (7.8)
∂qh
In ogni equazione (7.8) figura solo una coordinata qh, con la corrispondente derivata di W rispetto
a questa qh. Quindi viene separata l’equazione alle derivate parziali in n equazioni ordinarie. Poiché
sono equazioni ordinarie del primo ordine, si possono risolvere per quadratura: basta esplicitare
rispetto a ∂Wh e poi integrare rispetto a qh.
∂qh
Osserviamo che:
Teorema. Se in una Hamiltoniana indipendente dal tempo tutte le coordinate, tranne una, sono
cicliche, allora si può applicare il metodo di separazione delle variabili, cioé le variabili sono
separabili.
Dimostrazione:Assumendochesialaprimacoordinatalagrangianalacoordinatanonciclicaallora
possiamo scrivere H = H(p1,...,pn,q1). Da ciò segue, per prima cosa, che W è una soluzione del
tipo W(α,q) = W1(α,q1)+ n h=2Wh(αh,qh). Infatti, poiché i momenti coniugati ph alle coordinate
per h > 1 possono scriversi
cicliche sono costanti, le equazioni di trasformazione ph = ∂S
∂qh
∂Wh
∂qh
da cui Wh = αhqh per h > 1 e quindi
= ∂W
∂qh
= ∂W
∂qh
= ph = αh, h > 1,
Allora l’equazione di Hamilton-Jacobi si riduce a:
∂W1
H ,α2,...,αn,q1 = α1
∂q1
n
W(α,q) = W1(α,q1)+ αhqh. (7.9)
h=2
(7.10)
con α1 = E (energia totale). Si è quindi trovata un’equazione ordinaria del primo ordine; ricavando
∂W1
∂q1 e integrando rispetto a q1 si ottiene W1(α,q1).
Osserviamo che questo non è l’unico caso risolubile mediante separazione di variabili. Consideriamo
ora il caso in cui l’Hamiltoniana H è indipendente dal tempo e si può scrivere come
Allora, ponendo
n
H(p,q) = Hh(ph,qh). (7.11)
h=1
n
W(α,q) = Wh(αh,qh)
h=1
l’equazione di Hamilton-Jacobi può essere decomposta nelle n equazioni
∂Wh
Hh ,qh = eh(αh)
∂qh
con eh funzione (regolare) arbitraria tale che n h=1eh(αh) = E. Questo è il caso, da come vedremo
poi, del problema di Keplero.

118 7 Equazione di Hamilton-Jacobi
7.5 Esempi
7.5.1 L’equazione di Hamilton-Jacobi per il moto centrale di un punto in un piano
Applichiamo il metodo di separazione delle variabili ad un caso particolare: al caso del punto mobile
nel piano e soggetto ad una forza centrale.
Teorema. Per il moto piano in coordinate polari (r,θ) di un punto sottoposto a forza centrale il
metodo di Hamilton-Jacobi fornisce direttamente r = r(t) e l’equazione della traiettoria r = r(θ).
Dimostrazione: La funzione Hamiltoniana, in coordinate polari piane, risulta essere
H = 1
2m
p 2 r + 1
r 2p2 θ
+V(r)
e quindi l’unica coordinata da cui dipende H è q1 = r, cioé q2 = θ è una coordinata ciclica. Perciò
l’azione ridotta viene ricercata nella forma (7.9)
W(r,θ,α1,αθ) = W1(r,α)+αθθ dove αθ = pθ = mr 2˙ θ
è il momento angolare Kz rispetto all’asse ortogonale al piano e passante per il centro della forza
(ovvero la velocità areale moltiplicata per 2m). L’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi (7.10)
assume la forma:
da cui
1
2m
⎡
2 ∂W1 ⎣
∂r
Da ciò l’espressione dell’azione ridotta:
W(α1,αθ,r,θ) =
+ α2 θ
r 2
⎤
⎦+V(r) = α1 ≡ E
∂W1
∂r =
2m[α1 −V(r)]−α 2 θ /r2 .
2m[α1 −V(r)]−α 2 θ /r2 dr+αθθ.
Senza risolvere tale integrale (d’altra parte non abbiamo ancora definito l’espressione di V(r)) andiamo
a determinare il moto del sistema tramite le
t+β1 = ∂W
mdr
=
∂α1 2m[α1 −V(r)]−α 2 θ /r2,
(7.12)
e
β2 = ∂W
∂αθ
= θ−
αθdr
r2
2m[α1 −V(r)]−α 2 θ /r2.
(7.13)
dove le costanti di integrazione β1,β2 sono determinate dai dati iniziali. Ebbene, la (7.12) dà la legge
r = r(t) e la (7.13) dà la traiettoria r = r(θ).
Studiamo in dettaglio la (7.13) nel caso Newtoniano (o Coulombiano) dove il potenziale è dato
da V = −k/r dove k è una costante assunta positiva. Sostituendo u = 1/r e pensando β2 come
θ = θ0 all’istante iniziale otteniamo l’equazione di una conica rispetto a uno dei suoi fuochi, infatti:

dove
Da qui segue che
dove
θ = β2 +
= θ0 +
2m
α 2 θ
a = 2mα1
α 2 θ
du
(α1 −V)−u 2
= θ0 +
du
√ a+bu−u 2 = θ0 +arccos
2m
α 2 θ
u−c
d
du
(α1 −ku)−u 2
, b = − 2mk
α2 , c =
θ
b
2 e d = √ a+c 2 .
1
r = u = c+dcos(θ−θ0) e quindi r =
p = 1
c
d
e e =
c =
1+ a
c2 p
1+ecos(θ −θ0)
7.5 Esempi 119
È immediato osservare che l’eccentricità |e| risulta minore, uguale o maggiore di 1 a seconda che
l’energia E = α1 sia minore, uguale o maggiore di 0.
7.5.2 Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al problema di Keplero
La possibilità di separare le variabili nell’equazione di Hamilton-Jacobi non si limita ovviamente al
caso di un’unica coordinata non ciclica. Ad esempio per un punto mobile nello spazio e soggetto a
forze centrali allora la funzione Hamiltoniana in coordinate polari sferiche ha la forma
H = 1
p
2m
2 r + 1
r2p2 1
θ +
r2sin2 θ p2
ϕ +V(r)
dove solo l’angolo ϕ è coordinata ciclica. Eppure l’equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi ammette
facilmente separazione delle variabili. Cerchiamo la soluzione W(r,θ,ϕ,α), α = (α1,α2,α3),
dell’equazione (caratteristica) di Hamilton-Jacobi nella forma
cioé:
1
2m
⎡
2 dW1(r)
⎣
dr
W = W1(r,α)+W2(θ,α)+W3(ϕ,α);
+ 1
r 2
dW2(θ)
dθ
2
+
1
r 2 sin 2 θ
dW3(ϕ)
dϕ
2 ⎤
⎦+
+V(r) = α1 ≡ E (7.14)
Notiamo che la (7.14) deve essere identicamente soddisfatta per ogni r, θ e ϕ e che ϕ compare solo
nella derivata di W3. Quindi la derivata di W3 è una costante α3. Sostituendo tale costante in (7.14)
abbiamo di nuovo un’identità rispetto ad r e θ, dove θ compare solo nel blocco (W ′ 2) 2 +α 2 3(sin 2 θ) −1 .
Quindi anche questo blocco è una costante (che chiameremo α 2 2). Ottenendo infine il sistema

120 7 Equazione di Hamilton-Jacobi
⎧
dW3
⎪⎨ dϕ 2 dW2
dθ
⎪⎩
2 dW1
dr
da cui si ottiene
= α3,
+ α2 3
sin2θ = α2 2,
+ α2 2
r2 = 2m[α1 −V(r)]
W3 = W3(ϕ,α3), W2 = W2(θ,α2,α3) e W1 = W1(r,α1,α2)
(7.15)
per quadrature. Si osservi che, dalle tre leggi di conservazione (7.15) si può ricavare la funzione
generatrice W = W1(r)+W2(θ)+W3(ϕ), mediante tre integrali indefiniti.
Osserviamo poi che le costanti α1, α2 e α3 hanno un significato fisico notevole:
α1 = E, α 2 2 = K 2 , α3 = Kz.
Infatti, α1, come sappiamo, è l’energia in quanto è uguale all’Hamiltoniana; α3 = ∂W è il momento
∂ϕ
pϕ = Kz (a causa della prescrizione della funzione generatrice W di secondo tipo) e, poichè ϕ è angolo
dirotazioneattornoa(O;z),alloraα3 èilmomentoangolarerispettoataleasse. Osserviamopoiche,
scegliendo in modo opportuno gli assi, abbiamo ˙ϕ0 = 0 e quindi α3 = pϕ = Kz = 0, da cui W3 = cost
e quindi ϕ = ϕ0 = cost, cioé il moto avviene in un piano e r e θ si riducono alle coordinate polari
in questo piano. Con questa posizione allora α2 2 = K2 come abbiamo visto nell’esempio precedente
e il problema, ora nel piano ed in coordinate polari, può essere risolto seguendo quanto fatto nella
sezione precedente.

8
Teoria Perturbativa
I sistemi esplicitamente solubili sono in minima parte; ad esempio l’oscillatore armonico ¨x+ω 2 x = 0 é
esplicitamente solubile, ma giá una sua semplice estensione, come l’oscillatore quartico, ¨x+ω 2 x 3 = 0
o l’equazione del pendolo semplice ¨x + ω 2 sin(x) = 0, non ammette soluzione generale (almeno in
termine di funzione elementari, in realtá sia l’oscillatore quartico che l’equazione del pendolo semplice
ammettono soluzione generale in termine delle funzioni ellittiche). Le tecniche perturbative hanno
l’obiettivo di trovare una soluzione approssimata dell’equazione non esplicitamente solubile. L’idea
di base é abbastanza semplice: supponiamo che il sistema di equazioni differenziali ordianarie
con assegnate condizioni iniziali
˙x(t) = X(x), x ∈ R n , X : R n → R n ,
x(0) = x0
sia esplicitamente solubile. Allora la soluzione xδ del sistema perturbato
˙xδ(t) = X(xδ)+δY(xδ), Y : R n → R n ,
con le medesime (o molto prossime) condizioni iniziali, é tale che per ogni 0 < ǫ ≪ 1 esiste 0 < δ1 ≪ 1
tale che per ogni |δ| < δ1 allora la soluzione del problema perturbato é tale che
|x(t)−xδ(t)| ≤ ǫ, ∀t ∈ Tδ, (8.1)
per un qualche Tδ dipendente da δ.
Nel seguito illustreremo alcune tecniche per le quali la condizione (8.1) vale.
8.1 Piccole oscillazioni
8.1.1 Teorema di Dirichlet
Ricordiamo che per un sistema meccanico a n gradi di libertà, con vincoli perfetti, bilateri, olonomi
(e nel seguito supporremo anche scleronomi) e soggetto ad un sistema di forze conservative valgono
le equazioni di Lagrange
d ∂L
dt∂˙qk
= ∂L
, k = 1,...,n (8.2)
∂qk

122 8 Teoria Perturbativa
dove L = T+U è la funzione Lagrangiana. Cioé le soluzioni qk = qk(t), k = 1,...,n, di tali equazioni
soddisfacenti ad assegnate condizioni iniziali sono le equazioni del moto del sistema, e viceversa. Le
configurazioni di equilibrio sono le soluzioni stazionarie qk(t) ≡ q ⋆ k del sistema (8.2), dove i valori q ⋆ k
sono le soluzioni del sistema
∂U
∂qk
= 0, k = 1,...,n.
In generale le equazioni (8.2) costituiscono un sistema di n equazioni differenziali del II ordine
non integrabile; con il metodo delle piccole oscillazioni si propone un approccio che, mediante
un’approssimazione, vuole determinare le caratteristiche principali del moto prossimo ad una
soluzione stazionaria qk(t) ≡ q ⋆ k corrispondente ad una configurazione C ⋆ ≡ q ⋆ = (q ⋆ 1,...,q ⋆ n) di
equilibrio stabile. Premettiamo il seguente risultato:
Teorema di Dirichlet: Sia dato un sistema meccanico a vincoli perfetti, bilateri, olonomi e
scleronomi e soggetto ad un sistema di forze conservative; sia C ⋆ = q ⋆ un punto di minimo relativo
in senso stretto per l’energia potenziale V = −U (supposta regolare a sufficienza), cioé esiste un
intorno I di q ⋆ tale che
Sotto tali ipotesi si ha che
∀q = (q1,...,qn) ∈ I,q = q ⋆ ⇒ V(q) > V(q ⋆ ). (8.3)
∀ǫ > 0∃δ > 0 : |qk(t0)−q ⋆ k|+|˙qk(t0)| ≤ δ (8.4)
allora il moto avviene in un intorno della configurazione di equilibrio:
|qk(t)−q ⋆ k|+|˙qk(t)| ≤ ǫ ∀t, (8.5)
dove t0 è l’istante iniziale e qk(t0) e ˙qk(t0) le condizioni inziali del moto qk(t).
Ricordando che un punto di minimo relativo per l’energia potenziale corrisponde ad una configurazione
di equilibrio stabile allora il significato meccanico della (8.5) è evidente: se inizialmente
prendiamo il sistema prossimo alla configurazione di equilibrio stabile e con velocità sufficientemente
piccole allora il moto del sistema a partire da tali configurazione iniziale rimane prossimo indefinitamente
alla configurazione di equilibrio stabile e con velocità che si mantegono piccole.
Una condizione sufficiente affinché l’ipotesi (8.3) sia soddisfatta è che l’energia potenziale abbia
tutte le derivate parziali ∂V
∂qk nulle in q⋆ = (q⋆ 1,...,q ⋆ n) e che la matrice Hessiana di V calcolata
in q⋆ sia definita positiva (cioé abbia tutti gli n autovalori strettamente maggiori di zero). La dimostrazione
generale di questo teorema si basa sul principio di conservazione dell’energia meccanica.
SiaE l’energia meccanica delsistemache,in virtùdelle condizioniiniziali epercontinuità,èprossima
al valore dell’energia potenziale in corrispondenza al punto di minimo relativo: E ≈ V(q⋆ ) per δ sufficientemente
piccolo. Se V ha un punto di minimo relativo in q⋆ allora V si può approssimare, almeno
localmente, con un paraboloide in n dimensioni avente vertice nella configurazione di equilibrio; se il
sistema si allontana troppo dalla configurazione di equilibrio o se le velocità diventano grandi allora
l’energia potenziale o l’energia cinetica aumentano e la somma T +V non può mantenersi uguale a
E.
Dimostrazione: Possiamo sempre assumere, senza perdere in generalità, q⋆ k = 0 e U(q⋆ ) = 0.
Poiché q⋆ = (q⋆ 1,...,q ⋆ n) è un punto di massimo effettivo per U, cioé di minimo relativo effettivo per

8.1 Piccole oscillazioni 123
V = −U, segue che esiste un δ > 0 tale che per ogni q = (q1,...,qn) = (0,...,0) e tale che |qk| ≤ δ
allora V(qk) > 0. Se consideriamo poi l’espressione dell’energia totale
E(q1,...,qn, ˙q1,...,qn) = T +V
esericordiamocheT > 0sealmenounadelle ˙qh ènonnullaalloraseguecheE(q1,...,qn, ˙q1,...,qn) >
0 se almeno una delle ˙qk e qk è non nulla (subordinatamente alla condizione |qk| ≤ δ) e che
E(0,...,0) = 0. Cioé l’energia totale E(q1,...,qn, ˙q1,...,qn) ha un minimo effettivo in M =
(0,...,0) ∈ R 2n . Fissato 0 < ǫ0 < δ sufficientemente piccolo e data la sfera B(M,ǫ0) nello spazio
delle fasu R 2n avremo, per quanto detto,
E(q, ˙q) > 0 ∀(q, ˙q) ∈ B(M,ǫ0)−{(0,...,0)}
e inoltre, essendo ∂B un insieme compatto e E(q, ˙q) una funzione continua, segue che esiste non nullo
il minimo
E ⋆ = m(ǫ0) = min E(q, ˙q) > 0.
(q,˙q)∈∂B(M,ǫ0)
Inoltre, sempre per la continuità di E(q, ˙q) esisterà 0 < δ0 < ǫ0 tale che
E ⋆ > M(δ0) = max E(q, ˙q) > 0.
(q,˙q)∈B(M,δ0)
Quindi, se all’istante iniziale (q0, ˙q0) ∈ B(M,δ0) allora E(q0, ˙q0) = E0 ≤ M(δ0) < E ⋆ e quindi il
moto (q(t), ˙q(t)) avviene sempre all’interno della sfera B(M,ǫ0) perché, dovendo conservarsi l’energia
meccanica totale, non potrà mai aversi E(q, ˙q) ≥ E ⋆ , condizione che si verifica quando il punto (q, ˙q)
è sul bordo di B(M,ǫ0).
8.1.2 Moto delle piccole oscillazioni
Nel seguito, per semplicità supporremo, senza perdere in generalità, che sia q ⋆ k = 0 (altrimenti
operiamo la traslazione qk → qk −q ⋆ k). Ricordando che
T = T2 +T1 +T0, dove T = 1
2
n
ai,k(q)˙qi˙qk
i,k=1
per sistemi scleronomi, scriviamo la funzione Lagrangiana mettendo in evidenza i termini di secondo
grado nelle qk e ˙qk:
Più precisamente poniamo
dove
L = T +U = ˜ L+R, dove ˜ L = ˜ T + Ũ.
T = 1
2
˜T = 1
2
n
ai,k(q)˙qi˙qk =
i,k=1
˜ T +RT,
n
ãi,k˙qi˙qk, ãi,k = ai,k(0)
i,k=1

124 8 Teoria Perturbativa
è ottenuto calcolando lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni ai,k attorno a q ⋆ = 0, e
n ∂U(0)
U = U(0)+ qk +
k=1 ∂qk
1
n ∂
2 i,k=1
2U(0) qkqi +RU
∂qk∂qi
= Ũ +RU, Ũ = 1
n ∂
2 i,k=1
2U(0) qkqi +RU
∂qk∂qi
è ottenuto calcolando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione U attorno a q ⋆ = 0. Ricordiamo
che, essendo l’energia potenziale sempre definita a meno di una costante additiva, possiamo assumere
U(0) = 0eche,essendoq ⋆ = 0 unaconfigurazionediequilibrio, ∂U(0)
∂qk = 0. Il termineRT èun restodi
ordine 1 nelle qk e di ordine 2 nelle ˙qk, il termine RU è un resto di ordine 3 nelle qk; complessivamente,
il resto totale R = RT +RU è di ordine 3 nelle qk e ˙qk. La funzione ˜ L(˙q,q) = ˜ T(˙q)+ Ũ(q) prende
il nome di Lagrangiana ridotta.
Definizione: Si chiama moto delle piccole oscillazione del sistema meccanico attorno alla
configurazione di equilibrio stabile q⋆ un qualunque moto associato alla Lagrangiana linearizzata ˜ L.
Si osserva immediatamente che il grande vantaggio di operare con la Lagrangiana linearizzata,
invece che con la Lagrangiana iniziale, è che le equazioni di Lagrange risultano essere lineari e a
coefficienti costanti, e quindi risolubili con metodi elementari:
e
d ∂
dt
˜ L
=
∂˙qk
d ∂
dt
˜ T
∂˙qk
∂ ˜ L
∂qk
= d
dt
= ∂Ũ
∂qk
n n
˜Ti,k˙qi = ˜Ti,k¨qi
i=1 i=1
n
= Ũi,kqi
i=1
da cui le (8.2) per la Lagrangiana ridotta assumono la forma desiderata:
n n
˜Ti,k¨qi = Ũi,kqi, k = 1,...,n. (8.6)
i=1 i=1
Si osserva anche che la validità di questa approssimazione è giustificata dal Teorema di Dirichlet, il
qualegarantisce,apriori,cheqk(t)e ˙qk(t)rimangonopiccoleindefinitamente(ricordiamocheabbiamo
preso q ⋆ k = 0 per semplicità) e quindi il contributo del resto R é trascurabile.
8.1.3 Caso unidimensionale
Nel caso unidimensionale (n=1) allora, denotando con q l’unico parametro lagrangiano e supponendo
che q ⋆ sia una configurazione di equilibrio stabile tale che U ′′ (q ⋆ ) < 0, si ha
T = 1
2 a(q)˙q2
da cui (non facciamo qui la posizione di comodo q ⋆ = 0)
˜T = 1
2 a(q⋆ )˙q 2
e U = U(q)
e Ũ = 1
2 U′′ (q ⋆ )(q −q ⋆ ) 2 .

Le (8.6) diventano semplicemente
dove si è posto z = q−q ⋆ e ω 2 = −U′′ (q ⋆ )
a(q ⋆ )
a(q ⋆ )¨q = U ′′ (q ⋆ )(q −q ⋆ ) ⇒ ¨z +ω 2 z = 0
8.1 Piccole oscillazioni 125
> 0, e questa si riconosce essere l’equazione dell’oscillatore
armonico che ha soluzione generale data da
z(t) = Acos(ωt+α) ⇒ q(t) = q ⋆ +Acos(ωt+α)
dove A e α sono costanti che si determinano mediante le condizioni iniziali. T = 2π/ω e ω rappresentano
il periodo e la pulsazione delle piccole oscillazioni. Riassumendo quanto detto possiamo
concludere che:
Teorema: Per un sistema meccanico (a vincoli perfetti, olonomi, bilateri, scleronomi e soggetto
ad un sistema di forza conservative) ad un grado di libertà il periodo delle piccole oscillazioni attorno
ad una configurazione di equilibrio stabile q⋆ , in cui si suppone sia U ′′ (q⋆ ) < 0, è dato da
T = 2π
= 2π
a(q
−
Ω ⋆ )
U ′′ (q⋆ ) .
8.1.4 Coordinate normali e frequenze proprie
Vediamo ora come determinare nella pratica l’integrale generale del sistema (8.6) nel caso in cui esso
derivi da una Lagrangiana linearizzata ˜ L = ˜ T + Ũ rispetto a un punto di equilibrio stabile q⋆ = 0.
A tal fine è utile adottare la notazione matriciale:
˜T = 1
2 ˙qt A˙q e Ũ = − 1
2 qtBq, (8.7)
dove le matrici A = ( ˜ Ti,k), B =
− ∂2
U(0)
sono entrambe simmetriche ed A è definita positiva;
∂qi∂qk
la matrice B, nel caso in cui (come supporremo) q⋆ è di equilibrio stabile, è, in generale, definita
positiva. A differenza delle notazioni adottate in precedenza qui è più comodo denotare con q
il vettore colonna di componenti qk e qt il suo trasposto, cioé qt è il vettore riga con gli stessi
componenti. Con tale notazione la Lagrangiana linearizzata si scrive
˜L(q, ˙q) = 1
˙q
2
t A˙q−q t Bq
e le equazioni di Lagrange, lineari per costruzione, si scrivono in modo sintetico come:
(8.8)
A¨q+Bq = 0. (8.9)
Come suggerisce la teoria dei sistemi di equazioni lineari ordinarie a coefficienti costanti, cerchiamo
una soluzione della (8.9) della forma
q = [Ccos(ωt+γ)]w, (8.10)
dove w è un vettore (colonna) di R n da determinarsi e ω ∈ C dipende dalle caratteristiche del sistema,
C e γ sono costanti da determinarsi in funzione delle condizioni iniziali. Sostituendo (8.10) in (8.9)
questa diventa

126 8 Teoria Perturbativa
[Ccos(ωt+γ)](−ω 2 A+B)w = 0
che risulta identicamente soddisfatta se ω e w sono tali che (B−ω 2 A)w = 0; siamo quindi indotti a
studiare il seguente problema generalizzato agli autovalori
det(B −λA) = 0. (8.11)
Richiamiamo il seguente risultato dell’algebra lineare (che per completezza dimostro):
Lemma:L’equazione (8.11) definisce gli autovalori di B rispetto ad A ed ammette esattamente
n soluzioni λi, i = 1,...,n, reali e positive.
Dimostrazione del Lemma: L’esistenza degli autovalori reali di B rispetto ad A (con i corrispondenti
autovettori w) si ottiene sfruttando il fatto che la matrice A è simmetrica e definita positiva
(è una matrice cinetica) e che la matrice B è simmetrica e definita positiva (è la matrice Hessiana
di U relativa ad un punto di massimo relativo per U). Essendo la matrice A simmetrica e positiva,
esiste un’unica matrice simmetrica e positiva il cui quadrato è uguale ad A e che pertanto può essere
a buon diritto indicata con A 1
2 (la radice quadrata di A). Infatti, poiché A è simmetrica esiste una
matrice ortogonale M (cioé Mt = M−1 ) che diagonalizza A:
MAM −1 = MAM t ⎜
= α, dove α = ⎜
⎝
⎛
α1 0 ... 0
0 α2 ... 0
0 0 . ⎞
⎟
..
⎟
0 ⎠
0 0 ... αn
(8.12)
dove appunto α1,α2,...,αn sono gli autovalori di A. La positività di A assicura che gli autovalori
α1,α2,...,αn sono tutti strettamente positivi, quindi possiamo definire
⎛√
⎞
α1 0 ... 0
A 1
2 = M −1 α 1
2M, dove α 1
2 =
⎜
⎝
0 √ α2 ... 0
... 0 0 0
0 0 ... √ ⎟
⎟.
(8.13)
⎠
αn
ed è immediato verificare che (A 1
2) 2 = A e che A 1
2 è simmetrica e positiva. Infatti
e
(A 1
2) 2 = A 1
2A 1
2 = M −1 α 1
2MM −1 α 1
2M = M −1 α 1
2α 1
2M
= M −1 αM = A
(A 1
2) t =
M −1 α 1
2M t =
M t α 1
2M t = M t (α 1
2) t (M t ) t
= M t α 1
2M = A 1
2
poiché α 1
2 è diagonale. Infine, dato un qualunque vettore q si ha che
q t A 1
2q = q t M t α 1
2Mq = (Mq) t α 1
2(Mq)
da cui segue la positività di A 1
2 come immediata conseguenza della positività di α 1
2. Mediante il
cambiamento di variabili

la (8.9) prende la forma
per cui la (8.11) equivale a
8.1 Piccole oscillazioni 127
y = A 1
2q ⇔ q = [A 1
2] −1 y (8.14)
A 1
2¨y+B[A 1
2] −1 y = 0 ⇔ ¨y+[A 1
2] −1 B[A 1
2] −1 y = 0 (8.15)
det[C −λI] = 0. (8.16)
dove si è posto C = [A 1
2] −1B[A 1
2] −1 . Essendo C simmetrica e definita positiva (la verifica di ciò è,
sostanzialmente, analoga a quell’effettuata per A 1
2) segue che i suoi autovalori λi sono reali e positivi
dimostrando così il Lemma.
In tal modo otteniamo l’esistenza di un sistema fondamentale di soluzioni Qi(t)w i , dove Qi(t) =
Cicos(ωit + γi), detti modi normali, e la soluzione generale del sistema (8.6) è data da una loro
combinazione lineare.
8.1.5 Schema riassuntivo
Per risolvere le equazioni di Lagrange linearizzate (8.9) intorno a una configurazione di equilibrio
stabile q ⋆ (non poniamo ora la condizione q ⋆ = 0), si risolve il problema agli autovalori
dove
(B −λA)w = 0
A = ( ˜ Ti,k), ˜ Ti,k = Ti,k(q ⋆ ), e B =
− ∂2 U(q ⋆ )
∂qi∂qk
Gli autovalori λi, i = 1,...,n, di B rispetto ad A sono, nel caso di configurazioni di equilibrio
stabile, numeri reali positivi; le rispettive radici ωi = √ λi prendono il nome di pulsazioni proprie
o normali del sistema e 2π/ωi prendono il nome di frequenze proprie o normali del sistema.
Per avere gli n modi normali si determinano gli autovettori w i , di componenti w i k, k = 1,...,n,
soluzioni di
(B −λiA)w i = 0, i = 1,...,n. (8.17)
Allora, ad ogni pulsazione normale ωi corrisponde una particolare oscillazione del sistema, detta
oscillazione normale data da Qi(t) = Cicos(ωit − γi). La n-upla di coordinate originarie q(t)
risulta dal sovrapporsi di tutte le oscillazioni proprie:
cioé
q(t) = q ⋆ n
+ Cicos(ωit+γi)w
i=1
i , (8.18)
qk(t) = q ⋆ n
k +
i=1
w i kCicos(ωit+γi), k = 1,...,n. (8.19)
Le 2n costanti Ci e γi vengono determinate a partire dalle condizioni iniziali q ◦ k e ˙q ◦ k.
.

128 8 Teoria Perturbativa
8.1.6 Esempi
Pendoli accoppiati: esempio di calcolo di modi normali e battimenti
Due pendoli A e B di massa m e lunghezza ℓ, in un campo di gravità g, hanno i punti di sospensione
PA e PB alla stessa quota; la distanza tra PA e PB è d. Una molla di costante elastica k 2 e lunghezza
a riposo d, collega le due masse. Come parametri lagrangiani assumiamo i due angoli θ1 e θ2 tra i
pendoli e le rispettive verticali. Studiamo i seguenti punti:
a) Trovare una configurazione di equilibrio stabile;
b) Calcolare le corrispondenti pulsazioni proprie;
c) Determinare i modi normali;
d) Nel caso k 2

8.1 Piccole oscillazioni 129
L’equazione secolare det(B −λA) = 0 assume la forma (mgℓ+k 2ℓ2 −mℓ2λ ) 2−k 4ℓ4 = 0. Da ciò si
ottengono gli autovalori e le pulsazioni proprie:
λ1 = g/ℓ, λ2 = g/ℓ+2k 2
/m ⇒ ω1 = g/ℓ, ω2 = g/ℓ+2k 2 /m.
c) Per avere i due modi normali determiniamo i due autovettori wj, j = 1,2, tali che (B−λA)w =
0. Avremo il sistema (per semplicitá poniamo ℓ = m = g = 1)
(1+k 2 −λ)w 1 −k 2 w 2 = 0
−k 2 w 1 +(1+k 2 −λ)w 2 = 0 .
Sostituendo λ1 = 1 avremo
Sostituendo λ2 = 1+2k 2 avremo
k 2 w 1 −k 2 w 2
1
= 0, cioé w1 = .
1
−k 2 w 1 −k 2 w 2 = 0, cioé w2 =
1
.
−1
Allora nel primo modo normale si ha
θ1(t) 1 1
= Q1(t) = C1cos(ω1t+γ1)
θ2(t) 1 1
ovvero
θ1(t) = θ2(t) = C1cos(ω1t+γ1)
cioè i pendoli oscillano in fase (la molla non lavora). Nel secondo modo normale:
θ1(t) 1 1
= Q2(t) = C2cos(ω2t+γ2)
θ2(t) −1 −1
ovvero
θ1(t) = −θ2(t) = C2cos(ω2t+γ2)
cioè i pendoli oscillano in opposizione di fase.
d) Supponiamo che per t = 0 sia (θ 0 1,θ 0 2) = (0,0), ˙ θ 0 2 = 0, e che ad uno dei due pendoli sia impressa
una velocità ˙ θ 0 1 = v. Proviamo che dopo qualche istante T il primo pendolo è quasi immobile
e tutta l’energia passa al secondo. Dalle relazioni precedenti i dati iniziali si traducono come:
Ora, le posizioni iniziali implicano:
dove
Q1(0) = 0, Q2(0) = 0, ˙ Q1(0) = ˙ Q2(0) = v √ 2 .
Q1(t) = c1sint, Q2(t) = c2sinωt

130 8 Teoria Perturbativa
ω = √ 1+2k 2 ∼ 1+k 2 +O(k 4 ) per k 2

A =
16
3 mℓ2 2mℓ2
2 4
2mℓ
3 mℓ2
, B =
3mgℓ 0
.
0 mgℓ
8.1 Piccole oscillazioni 131
L’equazione che fornisce gli autovalori della matrice B rispetto alla matrice A è data da
⎛
3mgℓ−
det⎝
16
3 mℓ2λ
(−2mℓ2λ) (−2mℓ2
λ) mgℓ− 4
3mℓ2λ
⎞
⎠ = 0,
ossia
che ha soluzioni
28
9 λ2 − 28
3 ω2 λ+3ω 4 = 0, ω 2 = g/ℓ
λ1,2 = ω 2
3
14 (7±2√
7)
da cui le due frequenze proprie sono dunque
ωj = λj = ω
1 1
3 ± √ , j = 1,2.
2 7
Denotate con Q1(t) e Q2(t) le coordinate normali, le oscillazioni proprie sono date da
Qj(t) = Cjcos(ωjt+γj), j = 1,2
dove le costanti Cj e γj sono da determinarsi attraverso le condizioni iniziali. Volendo infine tornare
alle coordinate iniziali θ1 e θ2 siano
√
7+2 7
w1 = 3
−35−16 √ √
7−2 7
e w2 = 3
7 −35+16 √
7
gli autovettori associati agli autovalori λ1 e λ2. Allora si ottiene
θ1(t) = C1 7+2√ 7
3 cos(ω1t+γ1)+C2 7−2√ 7
3 cos(ω2t+γ2);
θ2(t) = C1(−35−16 √ 7)cos(ω1t+γ1)+C2(−35+16 √ 7)cos(ω2t+γ2).
8.1.7 Giustificazione del metodo delle piccole oscillazioni
Per semplicitá restringiamo la nostra analisi al solo caso unidimensionale. Denotando con q l’unico
parametro lagrangiano e supponendo che q ⋆ = 0 sia una configurazione di equilibrio stabile tale che
U ′′ (0) < 0 allora la Lagrangiana prende la forma
e l’equazione di Lagrange diventa
L = 1
2 a(q)˙q2 +U(q)
a(q)¨q + 1
2 a′ (q)˙q 2 = U ′ (q). (8.20)

132 8 Teoria Perturbativa
L’equazione delle piccole oscillazioni ha la forma
¨Q+ω 2 Q = 0 dove ω 2 = −U ′′ (0)/a(0). (8.21)
Assumendo che all’istante iniziale le condizioni iniziali siano tali che |q(0)|+|˙q(0)| ≪ 1 andiamo a
stimare la differenza |q(t)−Q(t)|.
Anzitutto poniamo
x1(t) = q(t), x2(t) = ˙q(t) = ˙x1(t), y1(t) = Q(t), y2 = ˙ Q(t) = ˙y1(t)
ed in tal modo le equazioni (8.20) e (8.21) prendono la forma
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙x1 = x2
˙x2 = 1
a(x1)
U ′ (x1)− 1
2 a′ (x1)x 2 2
= ω 2 x1 +R(x1,x2)
e devono soddisfare entrambre alle stesse condizioni iniziali
Il termine R rappresenta la perturbazione
e
˙y1 = y2
˙y2 = ω 2 y1
x1(0) = y1(0) = q(0) e x2(0) = y2(0) = ˙q(0).
R(x1,x2) = 1
a(x1)
U ′ (x1)− 1
2 a′ (x1)x 2 2
−ω 2 x1 = O
x 2 1 +x 2
2 .
(8.22)
Integrandomembroefacendousodellecondizioniinizialitrasformiamoilsistema(8.22)inunsistema
di equazioni integrali:
x1(t) = x1(0)+ t 0 x2(s)ds
x2(t) = x2(0)+ω 2 t
0 x1(s)ds+ t 0 R[x1(s),x2(s)]ds
e
y1(t) = y1(0)+ t 0 y2(s)ds
y2(t) = y2(0)+ω 2 t (8.23)
0 y1(s)ds
Ponendo zj(t) = xj(t)−yj(t) per j = 1,2, osservando che zj(0) = 0, e sottraendo membro a membro
otteniamo che la funzione zj deve soddisfare al seguente sistema di equazioni integrali:
se
z1(t) =
t
0
z2(s)ds e z2(t) = ω 2
t
0
z1(s)ds+
t
0
R[x1(s),x2(s)]ds. (8.24)
Ricordando ora il Teorema di Dirichlet (formule (8.3) e (8.5)) segue che per ogni ǫ > 0 allora
|x1(t)| ≤ ǫ e |x2(t)| ≤ ǫ, ∀t ∈ R,
|x1(0)| ≤ δ e |x2(0)| ≤ δ, (8.25)
per un qualche δ > 0. Quindi possiamo affermare che esiste una costante C > 0 tale che
|R[x1(s),x2(s)]| ≤ Cǫ 2 , ∀s ∈ R,
per ogni ǫ arbitrariamente piccolo, purché le condizioni iniziali siano scelte in modo opportuno (8.25).
Ció premesso, ponendo

dalla seconda delle (8.24) segue che
|z2(t)| ≤ ω 2
≤ ω 2
Zj(t) = max
s∈[0,t] |zj(s)|,
t
0
t
0
|z1(s)|ds+
Z1(t)ds+
t
0
t
0
|R[x1(s),x2(s)]|ds
Cǫ 2 ds
≤ ω 2 Z1(t)t+Ctǫ 2 ∀t ∈ R.
Facendo ora uso della prima equazione segue infine che
|z1(t)|≤
≤
t
0
t
Da questa proprietá segue in modo ovvio che
da cui segue che
Z1(t) ≤
≤
0
t
0
t
0
|z2(s)|
ω 2 Z1(s)sds+
ω 2 Z1(s)sds+
ω 2 Z1(t)sds+
t
0
t
0
t
≤ 1
2 (ωt)2 Z1(t)+ 1
2 Ct2 ǫ 2
0
Csǫ 2 ds.
Csǫ 2 ds
Csǫ 2 ds
8.1 Piccole oscillazioni 133
Z1(t) ≤ Ct2
2−(ωt) 2ǫ2 . (8.26)
In conclusione abbiamo dimostrato il seguente risultato.
Teorema: Sia q(t) la soluzione dell’equazione di Lagrange in un ǫ-intorno della configurazione
di equilibrio stabile q ⋆ = 0; sia Q(t) la soluzione dell’equazione ottenute con l’approssimazione delle
piccole oscillazioni. Allora per ogni T < √ 2/ω si ha che
|q(t)−Q(t)| ≤ Ct2
2−(ωt) 2ǫ2 ≤ C1ǫ 2 ,∀t < T,
per una qualche costante C2 > 0.
Osserviamo che le soluzioni q(t) e Q(t) sono piccole d’ordine ǫ, mentre la loro differenza é di ordine
ǫ2 ; quindi possiamo concludere che l’errore relativo é di ordine ǫ. In figura 8.1 disegnamo la differenza
tra la soluzione del pendolo semplice e la soluzione dell’approsimazione delle piccole soluzione con
condizioni iniziali q0 = 0.1 e ˙q0 = 0.
Nota. L’approssimazione (8.26) é di fatto inutile quando t si avvicina al valore √ 2/ω; facendo
uso di alcuni risultati tecnici (come il Lemma di Gronwall che sará analizzato in seguito) la stima
(8.26) puó essere migliorata ottenendo una stima del tipo
2
Z1(t) ≤ C2ǫ e C3t
−1
per opportune costanti positive C2 e C3.

134 8 Teoria Perturbativa
0.001
0.0005
–0.0005
0
–0.001
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Fig. 8.1. Grafico della differenza q(t)−Q(t) dove q(t) é la soluzione esatta del pendolo semplice e Q(t) la soluzione approssimata,
con condizioni iniziali q0 = 0.1 e ˙q0 = 0.
8.2 Principio della media
t
Consideriamo un sistema (non necessariamente) Hamiltoniano in cui le variabili coniugate sono denotate
ϕ e I e dove la prima variabile ϕ ∈ [0,2π) = T 1 é un angolo (il problema puó essere esteno a n
variabili azione-angolo); queste variabili sono comunemente dette variabili azione-angolo. Il sistema
imperturbato ha Hamiltoniana
H0 = H0(I)
che non dipende da I ma solo dall’azione I. Le equazioni canoniche di Hamilton hanno la forma
˙ϕ = ω(I)
˙
I = 0
la cui soluzione é immediatamente data da
dove ω(I) = ∂H0
∂I ,
I(t) ≡ I0, ϕ(t) = ω(I0)t+ϕ0
essendo I(0) = I0 e ϕ(0) = ϕ0 le condizioni iniziali.
Consideriamo ora il sistema perturbato di Hamiltoniana
dove ǫ ≪ 1 e dove
H(I,ϕ) = H0(I)+ǫH1(I,ϕ)
H1(I,ϕ) = H1(I,ϕ+2π)
é una funzione (periodica rispetto alla variabile angolo ϕ) assegnata su R×T 1 . Le corrispondenti
equazioni canoniche di Hamilton prendono la forma
˙ϕ = ω(I)+ǫf(I,ϕ)
I ˙
(8.27)
= ǫg(I,ϕ)

dove f = ∂H1
∂I
8.2 Principio della media 135
e g = −∂H1 sono due funzioni perioriche rispetto alla variabile ϕ.
∂ϕ
Il principio della media per il sistema (8.27) consiste nella sostituzione con il sistema mediato
dove ¯g é la media di g rispetto alla variabile ”angolo”:
¯g(J) = 1
2π
g(J,ϕ)dϕ.
2π 0
˙
J = ǫ¯g(J), J(0) = I0, (8.28)
L’idea é che il sistema mediato ”approssima bene” il sistema (8.27); questo principio si incontra giá in
Gauss per lo studio delle perturbazioni che i pianeti esercitano tra loro, Gauss propone di distribuire
la massa di ogni pianeta sulla sua orbita proporzionalmente al tempo e di sostituire l’attrazione dei
pianeti con l’attrazione degli anelli ottenuti. Questo principio é alla base di tecniche piú evolute,
quali le teorie di campo medio.
Teorema della media. Fissiamo un dominio limitato G ⊂ R per la variabile azione I e supponiamo
che:
1. le funzioni ω(I), f(I,ϕ) e g(I,ϕ) siano definite insieme alle loro derivate fino al secondo ordine:
max
(I,ϕ)∈G×T 1 ,n=0,1,2
per una qualche costante C1 positiva;
2. ω(I) non si annulla mai, piú precisamente
|ω (n) (I)|,|f (n) (I,ϕ)|,|g (n) (I,ϕ)|
≤ C1
ω(I) > C2, ∀I ∈ G,
per una qualche costante positiva C2;
3. Sia J(t) la soluzione dell’equazione mediata (8.28); allora per ogni 0 ≤ t ≤ 1/ǫ e per d > 0
abbastanza piccolo (e indipendente da t e ǫ) deve essere che
Bd[J(t)] ⊂ G
dove Bd[J(t)] é una boccia di centro J(t) e raggio d > 0.
Sotto queste ipotesi si prova che per ogni ǫ > 0 che soddisfa la 3. segue che
|I(t)−J(t)| ≤ C3ǫ, ∀t ∈ [0,1/ǫ] (8.29)
dove la costante positiva C3 dipende da C1, C2 e d, ma non da ǫ e t.
Dimostrazione: Anzitutto introduciamo una trasformazione prossima all’identitá
P(I) = I +ǫk(I,ϕ) (8.30)
dove k é, al momento, una funzione qualunque dipendente da I e ϕ e periodica rispetto a ϕ
(k(I,ϕ + 2π) = k(I,ϕ)). Premettiamo un risultato di carattere tecnico (del quale ne omettiamo
la dimostrazione).
Lemma. Sia k limitato, insieme alle sue derivate rispetto a I, fino all’ordine secondo, su tutto
G per ogni ϕ fissato in T 1 e sia ǫ abbastanza piccolo. Allora, per ogni valore di ϕ ∈ T 1 fissato, la
restrizione dell’applicazione

136 8 Teoria Perturbativa
I → P = I +ǫk(I,ϕ)
al dominio G−α (cioé dei punti contenuti in G insieme ad un α-intorno) é un diffeomorfismo con
diffeomorfismo inverso
P → I = P +ǫh(P,ϕ,ǫ) (8.31)
nel dominio G−2α tale che h é limitata insieme alle sue derivate rispetto a P, fino all’ordine secondo,
su tutto G−2α per ogni ϕ fissato in T 1 .
Quindi in virtú del seguente lemma segue che la relazione (8.30) é invertibile con h C 2 (G−2α)
limitata per ogni ϕ.
Scegliamooralatrasformazione(8.30)inmododasemplificarel’equazionedipartenza. Derivando
ambo i membri della (8.30) segue che la funzione P = P(t) dovrá soddisfare alla seguente equazione
P ˙ = ˙ I +ǫ ∂k
∂I ˙ I +ǫ ∂k
∂ϕ ˙ϕ
= ǫ g(I,ϕ)+ ∂k
∂ϕ ω(I)
+ǫ 2∂k
g +ǫ2∂k
∂I ∂ϕ f
= ǫ g(P,ϕ)+ ∂k
∂ϕ ω(P)
+R (8.32)
dove abbiamo fatto uso della trasformazione inversa (8.31) e dove R é un termine del secondo ordine
rispetto ad ǫ che dipende dalla scelta ella funzione k, al momento non definita. La scelta
di
k é tale da semplificare l’equazione per P: piú precisamente scegliamo k in modo che il termine
g(P,ϕ)+ ∂k
∂ϕω(P) sisemplifichiilpiúpossibile;ovvero,chiedendochetaleterminesiaidenticamente
nullo, otteniamo per k l’equazione
∂k
∂ϕ
= −1
ω g(P,ϕ).
Osserviamo che tale equazione non é, in generale, risolubile nella classe di funzioni perioriche; infatti
il termine a sinistra ha sempre media nulla, mentre il termine a destra puó avere media non nulla.
Dunque non possiamo scegliere k in modo da eliminare completamente il termine in ǫ nella (8.32).
Tuttavia, ponendo
ϕ
k(P,ϕ) = −
0
˜g(P,θ)
dθ, dove ˜g(P,ϕ) = g(P,ϕ)− ¯g(P),
ω(P)
é possibile eliminare la parte periodica di g.
Con tale scelta di k e sotto le ipotesi su f, g e ω segue infine che
|R(P,ϕ)| ≤ C4ǫ 2 , ∀P ∈ G−2α, ϕ ∈ T 1 ,
per una qualche costante positiva C4.
Confrontiamo ora i sistemi di equazioni differenziali per J e per P:
˙
J = ǫ¯g(J) e ˙
P = ǫ¯g(P)+R.

8.2 Principio della media 137
Ponendo z = P −J allora, sottraendo membro a menbro le due equazioni, si trova che z(t) soddisfa
all’equazione
˙z = ǫ[¯g(P)− ¯g(J)]+R
= ǫ ∂¯g
z +R′
∂P
dove |R ′ | ≤ C4ǫ 2 +C5ǫ|z| per una qualche costante C5 positiva. Possiamo quindi affermare che
da cui segue che
|˙z| ≤ C6ǫ|z|+C4ǫ 2 , |z(0)| ≤ C3ǫ
|z(t)| ≤ (C3ǫ+C2ǫ 2 t)e C6ǫt ≤ C7ǫ, ∀t ≤ 1/ǫ,
per opportune costanti positive C6 e C7, in virtú del seguente lemma (Lemma di Gronwall o ”similare”).
Lemma. Se |˙z| ≤ a|z|+b, |z(0)| < d, per un qualche a,b,d > 0 e t ≥ 0, allora |z(t)| ≤ (d+bt)e at .
Dimostrazione del Lemma: é sufficiente osservare che |z(t)| non supera la soluzione (positiva e
monotona crescente) y(t) dell’equazione ˙y = ay +b, y(0) = d; poiché 1
y(t) = de at + b
a (eat −1) ≤ de at + b
a (ateat ) = (d+bt)e at
il Lemma risulta infine dimostrato. La dimostrazione del Teorema della media risulta cosí completa.
1 Esercizio: dimostrare che e x −1 ≤ xe x per ogni x > 0.

A
Richiami
A.1 Cinematica dei sistemi
A.1.1 Sistemi olonomi
Si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero N qualsiasi di punti Ps, s = 1,2,...,N,
i quali, anziché liberamente mobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati ad assumere istante
per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzioni di un numero
n ≤ 3N di parametri arbitari q1,q2,...,qn ed, eventualmente, del tempo:
Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,2,...,N. (A.1)
Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomenti qh ed, eventualmente, t; che noi
supporremo univalenti, finite, continue e derivabili (fino al II◦ ordine almeno) entro un determinato
campo di valori per gli argomenti.
Ad un dato istante t le (A.1), al variare di qh entro il rispettivo campo di valori, forniscono tutte
e sole le possibili configurazioni del sistema nell’istante considerato.
È manifesto che, se i vincoli
dipendono dal tempo, le configurazioni possibili del sistema in un dato istante t1 non coincidono, in
generale, con quelle relative ad un istante diverso t2.
Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righe
∂x1
∂qh
, ∂y1
∂qh
, ∂z1
, ...,
∂qh
∂xN
,
∂qh
∂yN
,
∂qh
∂zN
∂qh
, h = 1,...,n, (A.2)
ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che la configurazione del sistema varia
se, e solo se, variano le coordinate lagrangiane (assumendo t fissato) e si dice che n è il grado di
libertà del sistema. Quindi il grado di libertà di un sistema olonomo è il numero di parametri
essenziali da cui dipendono le sue configurazioni in un generico istante.
Se fra le 3N equazioni scalari, derivanti dalle (A.1), eliminiamo le n coordinate lagrangiane otteniamo,
nella ipotesi che la (A.2) abbia rango n, 3N −n equazioni indipendenti fra le xs,ys,zs ed,
eventualmente, il tempo:
fk(xs,ys,zs;t) = 0, k = 1,2,...,3N −n, (A.3)
le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante per istante, intercedono fra le posizioni
simultanee dei singoli punti del sistema. Esse si dicono vincoli o legami.

140 A Richiami
Viceversa, se un sistema di N punti è soggetto a ℓ equazioni indipendenti della forma (A.3) allora,
risolvendole(A.3)rispettoadℓdelle3N coordinatexs,ys,zs eassumendocomeparametrilagrangiani
le rimanenti 3N −ℓ, si ottiene un sistema della forma (A.1).
Definizione A.1. Un sistema soggetto a vincoli della forma (A.3) si dice olonomo. I parametri
arbitrari q1,q2,...,qn si chiamano coordinate generali o lagrangiane del sistema.
Definizione A.2. Se il tempo t non compare nelle (A.1) o, equivalentemente, nelle (A.3), il sistema
olonomo si dice a vincoli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dice a vincoli
dipendenti dal tempo o reonomi.
Vediamo alcuni esempi:
i. Una figura rigida mobile su di un piano è un sistema olonomo con 3 gradi di libertà, in quanto
occorrono e bastano 2 parametri per individuare la posizione di un suo punto M nel piano ed un
ulteriore parametro per fissare la sua orientazione attorno ad M;
ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cerniera è un sistema olonomo con 4 gradi
di libertà, perchè la posizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne occorrono e
bastano per individuare le orientazioni delle 2 aste;
iii.Una sbarra nello spazio è un sistema olonomo con 5 gradi di libertà. Per fissare infatti la
configurazione di un tale sistema basta conoscere la posizione di un suo punto P, che dipende da
tre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende da due parametri (ad esempio l’angolo di
nutazione e l’angolo di precessione).
iv.Per un sistema rigido nello spazio i gradi di libertà sono 6, cioé tanti quanti quelli di una terna
di assi (solidale con la figura): tre parametri occorrono per fissarne l’origine e tre l’orientazione.
Se il sistema ha un punto fisso allora il numero di gradi di libertà si riduce a 3. Se il
sistema ha un asse fisso invece il numero di gradi di libertà si riduce a 1.
Il moto del sistema risulterà definito quando le coordinate lagrangiane del sistema sono assegnate
in funzione del tempo. Le equazioni
qh = qh(t), h = 1,2,...,n,
cui si dà luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane. Per l’atto di
moto del sistema, cioé per le velocità vs = v(Ps) dei suoi punti Ps, si ha, derivando le (A.1):
vs = dPs ∂Ps
=
dt ∂t +
n ∂Ps
˙qh s = 1,2,...,N. (A.4)
∂qh
Coordinate lagrangiane sovrabbondanti
h=1
Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane q1,q2,...,qn si impongono uno, o più, vincoli
olonomi ulteriori allora questi si traducono in una o più equazioni nelle qh (ed eventualmente nel
tempo):
fk(q1,q2, ...,qn;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ ′ ,ℓ ′ ≤ n, (A.5)
che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle qh. Il nuovo sistema che si ottiene è ancora
olonomo e il suo grado di libertà si riduce a n−ℓ ′ . In particolare per ogni possibile sistema olonomo
di N punti si possono assumere come coordinate sovrabbondanti le 3N coordinate cartesiane xs,ys,zs
dei suoi N punti, le quali, se n è il grado di libertà del sistema, risulteranno legate fra di loro da
ℓ = 3N −n equazioni del tipo (A.3).

A.1.2 Sistemi anolonomi
A.1 Cinematica dei sistemi 141
Se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendenti qh, si impone un ulteriore vincolo
olonomo
f(q1,q2,...,qn;t) = 0; (A.6)
questo implica una limitazione, non soltanto per le configurazioni del sistema, ma anche per i suoi
spostamenti possibili. In particolare si ha il seguente vincolo di mobilità: n ∂f
h=1 ∂qh ˙qh + ∂f
= 0, ∂t
ottenuto derivando le (A.6).
Introduciamoilconcettodivincolo di mobilitàespressomedianteunaformadifferenzialelineare
del tipo:
o equivalentemente, essendo dqh = ˙qhdt,
n
ahdqh +bdt = 0, (A.7)
h=1
n
ah˙qh +b = 0,
h=1
dove le ah e b siano funzioni delle coordinate q1, q2, ..., qn ed, eventualmente di t, comunque
prefissate, anche se la (A.7) non sia deducibile per differenzazione da una relazione in termini finiti
(A.6) fra le qh ed, eventualmente, la t.
Definizione A.3. Ogni vincolo di mobilità (A.7) non deducibile per differenzazione da una relazione
in termini finiti tra le qh ed, eventualmente, t si dice anolonomo. Si dice omogeneo o no, secondo
che la funzione b è o no identicamente nulla. Diremo poi sistema anolonomo ogni sistema soggetto
ad uno o più vincoli anolonomi.
La differenza tra i vincoli olonomi e anolonomi risiede nel fatto che questi ultimi non impongono
alcuna limitazione alle configurazioni del sistema ma implicano soltanto delle
restrizioni per gli spostamenti possibili del sistema, cioé per la sua mobilità.
Interpretazione geometrica dei vincoli olonomi e anolonomi
Come si può facilmente osservare il sistema meccanico a n gradi di libertà ha vincoli olonomi
indipendenti dal tempo se l’insieme delle sue configurazioni è individuato da una sottovarietà
regolare Vn, detto spazio delle configurazioni, Vn × R prende il nome di spazio-tempo delle
configurazioni.
Esempio di vincolo di mobilità integrabile
Consideriamo un disco rigido mobile nel piano (O;x,y) che si mantenga sempre appoggiato all’asse
(O;x) e che sia vincolato a scorrere senza strisciare su quest’asse. Si possono assumere quali
parametri lagrangiani la coordinata ascissa x del centro C del disco e l’angolo θ di rotazione. La
condizione di puro rotolamento implica vτ(K) = 0 dove K è il punto di contatto tra il disco e l’asse;
vτ(K) è la velocità di trascinamento. Questa condizione si traduce nella relazione

142 A Richiami
˙x+R ˙ θ = 0
che rappresenta quindi un vincolo di mobilità omogeneo. Questo è immediatamente integrabile
e dà la relazione
x = −Rθ +x0
che rappresenta un vincolo olonomo. Osserviamo che se imponiamo al disco di rotolare senza
strisciare su un piano senza prefissare la traiettoria del punto di contatto allora il vincolo di
puro rotolamento si traduce in due vincoli di mobilità non integrabili, cioé anolonomi.
Vincoli propriamente anolonomi
È possibile poi caratterizzare ulteriormente i vincoli anolonomi.
Definizione A.4. Diremo propriamente anolonomo un sistema se i vincoli di mobilità (A.7), cui
esso è soggetto, sono tali che non esista nemmeno una relazione
F(q1,q2,...,qn;t) = Cost. (A.8)
il cui differenziale si possa porre sotto forma di una combinazione lineare delle (A.7).
Esempio di sistema propriamente anolonomo
Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciare su di un piano fisso. Si posso
scegliere come coordinate lagrangiane del nostro sistema i cinque parametri: x, y (coordinate della
proiezione del centro C della sfera sul piano) e θ, ψ, φ (angoli di Eulero); ovviamente z = R. Ad
ogni sistema di valori di questi 5 parametri corrisponde una posizione della sfera a contatto con il
piano z = 0. Se queste 5 coordinate sono funzioni del tempo si ottengono le equazioni di un moto
della sfera S a contatto con il piano. Ma questo moto non è, in generale, di puro rotolamento,
bensì implica, istante per istante, uno strisciamento della sfera sul piano. La condizione di puro
rotolamento implica che deve essere costantemente nulla la velocità di trascinamento del punto di
contatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istante tanto sul piano fisso quanto sulla sfera.
Denotando con v◦ e ω i vettori caratteristici del moto della sfera rispetto al suo centro C, si dovrà
avere, ad ogni istante, che la velocità di trascinamento di K sia nulla:
Scalarmente:
vτ(K) = v◦ +ω ×(K −C) = 0.
dove π,χ,ρ sono le componenti di ω rispetto agli assi fissi dove
da cui seguono, in particolare,
˙x−Rχ = 0, ˙y +Rπ = 0 (A.9)
π = ˙ θcosψ + ˙ φsinθsinψ, χ = ˙ θsinψ − ˙ φsinθcosψ (A.10)
∂π
∂ψ
= −χ, ∂χ
∂ψ
= π. (A.11)

A.1 Cinematica dei sistemi 143
Le equazioni (A.9) sono le equazioni del vincolo di puro rotolamento ed esse non si possono
integrare. Infatti esse si possono scrivere come
˙x−Rsinψ ˙ θ+Rsinθcosψ ˙ φ = 0
˙y +Rcosψ ˙ θ+Rsinθsinψ ˙ φ = 0
e la condizione necessaria affinchè le (A.9) siano integrabili implica che siano verificate le seguenti
identità:
∂(Rsinθcosψ)
∂θ
= ∂(−Rsinψ)
∂φ
e
∂(Rsinθsinψ)
∂θ
= ∂(Rcosψ)
∂φ
che risultano manifestamente non verificate identicamente. Inoltre, si può verificare che non
esiste nessuna relazione (A.8) in termini finiti, fra le coordinate lagrangiane x,y,θ,φ,ψ e il tempo,
la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lineare delle (A.9).
A.1.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali
Spostamenti infinitesimi reali
Durante il moto del sistema olonomo soggetto alla (A.1) si ha che la velocità del generico punto Ps
vale
v(Ps) =
n ∂Ps
h=1
∂qh
˙qh + ∂Ps
, s = 1,...,N.
∂t
Pertanto il differenziale dPs, che rappresenta lo spostamento infinitesimo reale del punto Ps, vale
dPs =
Spostamenti infinitesimi virtuali
n ∂Ps
dqh +
∂qh
∂Ps
dt, s = 1,...,N.
∂t
h=1
Definizione A.5. Diremo spostamenti virtuali di un sistema olonomo gli ipotetici spostamenti
(infinitesimi) che sono atti a far passare il sistema da una qualsiasi sua configurazione ad un’altra
(infinitamente vicina) relativa al medesimo istante.
Dato un sistema olonomo, lo spostamento subito da un suo punto Ps in uno spostamento virtuale
dell’intero sistema si indica con δPs e le sue componenti secondo gli assi si denotano con δxs,δys,δzs.
Si trova per gli spostamenti virtuali, nel caso di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane
indipendenti, l’espressione generale
n ∂Ps
δPs = δqh s = 1,2,...,N (A.12)
h=1 ∂qh
che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) δqh delle coordinate
lagrangiane (anche se i vincoli dipendono dal tempo).
Di fatto gli spostamenti (infinitesimi) sono una forma differenziale lineare rispetto alle n variabili
q1, q2, ...,qn.

144 A Richiami
Componendo, a partire dalla stessa configurazione del sistema, due o più spostamenti virtuali, si
ottiene ancora uno spostamento virtuale.
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo si ha che gli spostamenti virtuali coincidono con i possibili
spostamenti (infinitesimi) reali. In generale questo non è vero; infatti se denotiamo con dP lo
spostamento infinitesimo reale allora
dP =
che differisce da δP per il termine ∂P
∂t dt.
Spostamenti virtuali dei sistemi anolonomi
n
h=1
∂P
∂qh
dqh + ∂P
∂t dt
Se il vincolo anolonomo era definitomediante vincoli di mobilità del tipo (A.7) allora sarà considerato
come spostamento virtuale ogni spostamento ipotetico che sia atto a far passare il sistema da
una configurazione C ad un’altra infinitamente vicina C ′ , compatibile con lo stato dei vincoli al
medesimo istante; con l’ulteriore condizione che anche l’ipotetico spostamento obbedisca
a quei medesimi vincoli di mobilità che sono imposti ad ogni moto effettivo del sistema.
Cioé la variazione δqh delle coordinate lagrangiane dovrà essere tale che:
n
ahδqh = 0. (A.13)
h=1
Cioé, per un sistema anolonomo, gli spostamenti virtuali sono dati dalle (A.12) dove i termini δqh
non sono più arbitari e indipendenti, bensì devono soddisfare i vincoli di mobilità.
Spostamenti invertibili
Dalla (A.12) segue che un sistema olonomo, ad ogni istante e a partire da ogni configurazione,
ammette insieme con ogni suo spostamento virtuale δPi anche il suo opposto −δPi; cioé nei sistemi
olonomi tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili. Infatti se le δqh soddisfano le (A.12)
allora anche −δqh le soddisfano.
Spostamenti virtuali di un sistema rigido
I vincoli di rigidità sono espressi da equazioni della forma:
(xi −xj) 2 +(yi −yj) 2 +(zi −zj) 2 = cost, i,j = 1,...,N.
e sono, manifestamente, olonomi e indipendenti dal tempo; quindi in un sistema rigido gli
spostamenti (infinitesimi) virtuali non differiscono dagli spostamenti (infinitesimi) reali o effettivi.
Questi ultimi rientrano nel tipo
dP = dO ′ +âdθ×(P −O ′ ) (A.14)
dove dO ′ rappresenta lo spostamento (infinitesimo) del centro di riduzione e âdθ la rotazione (infinitesima)
attorno all’asse istantaneo passante per O ′ e, all’istante considerato t, avente verso e

A.1 Cinematica dei sistemi 145
direzione dati da â; completamente arbitrari nel caso di un sistema rigido libero. In tal caso la
(A.14) fornisce la rappresentazione di tutti gli spostamenti virtuali di un sistema rigido:
δP = δO ′ +ω ′ ×(P −O ′ ),
dove designamo âδθ con ω ′ .
Se il sistema rigido, invece che essere libero, ha un punto fisso, conviene prendere tale punto come
centro di riduzione O ′ ; quindi il vettore caratteristico δO ′ è sempre nullo. Il complesso di tutti gli
spostamenti virtuali si riduce quindi a
A.1.4 Sistemi a legami unilaterali
δP = ω ′ ×(P −O ′ ).
Definizione A.6. Un sistema ad n gradi di libertà
Ps = Ps(q1,...,qn;t), s = 1,2,...,N, (A.15)
si dice soggetto a vincoli unilateri (di posizione), se le rispettive coordinate lagrangiane debbono
soddisfare ad un certo numero di relazioni (dipendenti o no dal tempo) del tipo:
φj(q1,q2,...,qn;t) ≤ 0, j = 1,2,...,r. (A.16)
Viceversa si dicono bilateri i vincoli olonomi considerati precedentemente.
Fra le configurazioni, di cui è suscettibile un sistema (A.15) soggetto a vincoli unilateri, si dicono
ordinarie quelle in cui le relazioni (A.16) sono soddisfatte tutte come vere disuguaglianze, mentre
sidiconoconfigurazionidiconfinequelleincuialmenounadelle(A.16)èsoddisfattaperuguaglianza.
Un esempio tipico è costituita da due punti P1 e P2 collegati tra loro da un filo inestendibile di
lunghezza λ: la relazione (A.16) diventa
(x2 −x1) 2 +(y2 −y1) 2 +(z2 −z1) 2 −λ 2 ≤ 0.
Quando la distanza tra i due punti è minore di λ allora saremo nel caso di configurazioni ordinarie,
quando la distanza è invece esattamente λ allora saremo nel caso di configurazioni di confine.
Estendendo ai sistemi a vincoli unilateri la definizione di spostamento virtuale avremo che, per un
sistema (A.15), sottoposto ai vincoli (A.16), ogni spostamento virtuale, a partire dalla configurazione
di coordinate lagrangiane q1,q2,...,qn, sarà dato da δPs = n ∂Pi
h=1 ∂qh δqh, s = 1,...,N; dove le
variazioni δqh delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
φj(q1 +δq1,q2 +δq2,...,qh +δqh;t) ≤ 0, j = 1,2,...,r;
ossia, a meno di infinitesi di ordine superiore al primo, alle
n ∂φj
φj(q1,q2,...,qn;t)+δφj = φj(q1,q2,...,qn;t)+ δqh ≤ 0. (A.17)
h=1 ∂qh
Da ciò segue che, per ragioni di continuità, a partire da una configurazione ordinaria, i vincoli
unilateralinonimpongonoalcunalimitazionedimobilità. Se,invece,sipartedaunaconfigurazionedi

146 A Richiami
confine, cioé da una configurazione in cui si annulla almeno una delle φj, ad es. φj ′, la corrispondente
relazione (A.17) impone la condizione
δφj ′ =
n ∂φj
h=1
′
δqh ≤ 0. (A.18)
∂qh
Segue che: i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtuali
soltanto a partire dalle condizioni di confine. Più precisamente: purché si parta da una configurazione
ordinaria, per un sistema a vincoli unilateri tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili.
Non così se si muove da una configurazione di confine, in particolare: a partire da una configurazione
di confine, gli spostamenti virtuali sono in generale non invertibili. Sono invertibili tutti e solo
quelli che con ogni relazione (A.16) soddisfatta per uguaglianza, soddisfano anche la corrispondente
δφj ′ = 0.
Ad esempio: un punto appoggiato al piano (fisso) z = z0 deve soddisfare alla relazione φ(x,y,z) ≤
0, dove φ(x,y,z) = z0−z. La (A.18) assume la forma δφ = −δz. Se prendiamo spostamenti virtuali
che lasciano il punto nel piano (cioé con δx e δy arbitrari e con δz = 0) allora questi sono invertibili
poiché per questi si ha δφ = 0. Se invece prendiamo spostamenti virtuali che ci spostano il punto
dal piano (cioé con δz > 0) allora questi non sono invertibili.
A.2 Momento di inerzia
Definizione A.7. Sia P un punto materiale di massa m, r una retta generica, d la distanza di P
da r. Per momento di inerzia di P rispetto all’asse r, si intende il prodotto md 2 della massa di
P per il quadrato della sua distanza dall’asse. In generale, dato un sistema S, costituito da N punti
materiali Ps di massa ms, si chiamerà momento di inerzia Ir del sistema rispetto all’asse r,
la somma dei momenti di inerzia dei singoli suoi punti:
N
Ir = msd
s=1
2 s, (A.19)
dove indichiamo con ms la massa del punto generico Ps del sistema e con ds la sua distanza da r.
Nel caso di masse distribuite con continuità nel volume S il momento di inerzia è dato da:
Ir = d 2 µdS
S
dove d è la distanda dall’asse del generico elemento dS di campo intorno a un punto P e µ denota
la densità.
Nel seguito discuteremo le proprietà principali dei momenti di inerzia supponendo di operare con
una distribuzione discreta di corpi puntiformi. I risultati ottenuti valgono anche nel caso più generale
di distribuzione continua dove, nelle dimostrazioni, basta sostituire alle somme gli integrali.
Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli
Teorema A.8 (Teorema di Huyghens). Il momento di inerzia Ir di un sistema S rispetto ad un
asse r è uguale al momento di inerzia Ir0 rispetto all’asse parallelo r0, passante per il baricentro,
aumentato del prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d tra questi due assi:

Ir = Ir0 +md 2 .
A.2 Momento di inerzia 147
Segue che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quello per cui il momento di inerzia è
minimo passa per il baricentro.
Dimostrazione. Scegliamo un sistema di riferimento (O;x,y,z) in cui O coincide con il baricentro,
l’asse (O;z) con l’asse r0 e l’asse r con l’asse di equazioni y = 0 e x = d. Rispetto a questo sistema
di riferimento e assumendo che il sistema sia costituito da un numero discreto di punti avremo che
che sviluppata dà
N
Ir0 = ms(x
s=1
2 s +y 2 N
s) e Ir = ms((xs −d)
s=1
2 +y 2 s)
N
Ir = ms(x
s=1
2 s +y 2 s +d 2 −2dxs)
N
= ms(x
s=1
2 s +y 2 s)+d 2
N N
ms −2d msxs = Ir0 +md
s=1 s=1
2
essendo N s=1msxs = mxG = 0 poiché G = O.
Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti
Teorema A.9. Sia data una retta r, sia (O;x,y,z) un sistema di riferimento ortogonale destro con
O appartenente alla retta r, siano α, β, γ i coseni direttori della retta r (comunque orientata)
rispetto agli assi coordinati. Si prova che il momento di inerzia di un dato sistema S rispetto alla
retta r vale:
dove si è posto:
Ir = Aα 2 +Bβ 2 +Cγ 2 −2A ′ αβ −2B ′ αγ −2C ′ βγ (A.20)
⎧
⎪⎨ A = Ix =
⎪⎩
N s=1ms(y2 s +z2 s)
B = Iy = N s=1ms(x2 s +z2 s)
C = Iy = N s=1ms(y2 s +x2 s)
e
⎧
⎪⎨ A
⎪⎩
′ = N s=1msxsys
B ′ = N s=1msxszs
C ′ = N s=1msyszs
(A.21)
Dimostrazione. la dimostrazione si effettua con un calcolo diretto osservando che la distanza ds di
un punto Ps da un asse passante per O avente direzione individuata da un versore ˆr = αî+βˆj+γ ˆ k
è data da
⎛
î ˆj
⎜
ds = |(Ps −O)׈r| = det⎝
ˆ ⎞
k
⎟
xs ys zs⎠
α β γ
= (ysγ −zsβ) 2 +(xsγ −zsα) 2 +(xsβ −ysα) 2 .
Quindi

148 A Richiami
N
Ir = msd
s=1
2 N
s = ms (xsβ −ysα)
s=1
2 +(xsγ −zsα) 2 +(ysγ −zsβ) 2
N
= ms (x
s=1
2 s +z 2 s)β 2 +(y 2 s +z 2 s)α 2 +(x 2 s +y 2 s)γ 2 +
−2xsy2αβ −2x2z2γα−2yszsβγ]
completando così la dimostrazione.
La (A.20) determina il momento di inerzia, rispetto ad ogni direzione α,β,γ, passante per O, in
funzione delle sei costanti A, B, C, A ′ , B ′ e C ′ , che dipendono dalla natura del sistema ma
non del particolare asse r. Si noti che la (A.20) è una funzione quadratica e omogenea nelle
α,β,γ; in particolare rimane inalterata quando invertiamo α, β e γ con −α, −β e −γ.
I coefficienti A, B, C hanno un significato ovvio, sono i momenti di inerzia di S rispetto
agli assi coordinati. Gli altri tre coefficienti A ′ , B ′ , C ′ si chiamano prodotti di inerzia o anche
momenti di deviazione.
Si noti che il calcolo dei tre momenti d’inerzia si può effettuare come:
A = s2 +s3, B = s1 +s3, C = s2 +s1, (A.22)
dove s1, s2, s3 sono i momenti di inerzia del sistema S rispetto ai piani coordinati:
A.2.1 Ellissoide d’inerzia e assi principali
N
s1 = msx
s=1
2 N
s, s2 = msy
s=1
2 N
s, s3 = msz
s=1
2 s. (A.23)
Immaginiamo di portare su ciascun raggio (determinato da α, β, γ) uscente da O il segmento di
lunghezza (perdendone il significato dimensionale)
OL = 1
√ , cioé x = α/ Ir, y = β/ Ir e z = γ/ Ir,
Ir
dove Ir è la funzione quadratica di α, β, γ definita dalla (A.20). Escludendo il caso particolare
che tutti i punti appartengano ad una medesima retta passante per O, il momento di inerzia
1
Ir = Ir(α, β, γ) non può essere mai nullo. Perciò √Ir è, in corrispondenza ad ogni raggio,
un numero finito ed il luogo E dei punti L costituisce una superficie chiusa simmetrica rispetto al
punto O. Designando ora con x,y,z le coordinate di un generico punto L e essendo α = x √ Ir, β =
y √ Ir, γ = z √ Ir; la (A.20) diventa:
Ax 2 +By 2 +Cz 2 −2A ′ yz −2B ′ zx−2C ′ xy = 1; (A.24)
che è l’equazione di una quadrica E che, essendo chiusa, è un ellissoide il cui centro è O.
Definizione A.10. L’ellissoide E di equazione (A.24) si chiama ellissoide d’inerzia relativo al
punto O.

A.2 Momento di inerzia 149
Noto tale ellissoide si ha subito il momento di inerzia rispetto ad ogni retta r passante per O.
Infatti, essendo L uno dei due punti in cui r incontra l’ellissoide, sarà Ir = 1
OL2. Da qui risulta
che, tra tutti gli assi condotti per O, quello che dà il più piccolo momento di inerzia è l’asse
maggiore dell’ellissoide, quello che dà il più grande momento di inerzia è l’asse minore
dell’ellissoide. Gli assi dell’ellissoide di inerzia si chiamano assi principali di inerzia relativi al
punto considerato e, assumendoli, come assi coordinati, la (A.24) si riduce alla forma particolare
Ax 2 +By 2 +Cz 2 = 1,
in questo caso A, B, C prendono il nome di momenti di inerzia relativi agli assi principali o
momenti principali di inerzia.
Calcolo di ellissoidi d’inerzia
Premettiamo le seguenti osservazioni che facilitano il calcolo dell’ellissoide d’inerzia:
i. Se un sistema S ammette un piano di simmetria, ogni perpendicolare a questo piano è asse
principale di inerzia rispetto al suo piede, cioé rispetto all’ellissoide di inerzia avente centro dato
dalla intersezione tra l’asse ed il piano. Infatti, sia z = 0 questo piano; quindi ad ogni punto Ps di
coordinate (xs,ys,zs) e massa ms corrisponde attraverso la simmetria un punto Pj di coordinate
(xj = xs,yj = ys,zj = −zs) e massa mj = ms. Da ciò segue che i momenti di deviazione
B ′ N
= msxszs e C
s=1
′ N
= msyszs
s=1
sono nulli poiché le somme si possono organizzare come una serie di somme di due elementi aventi
stessa massa, stesse coordinate xs e ys e coordinata zs opposta. Inoltre se un sistema possiede
due piani ortogonali di simmetria, questi sono necessariamente piani principali dell’ellissoide di
inerzia relativo ad un punto qualsiasi della loro intersezione.
ii. Sia il sistema S appartenente ad un piano e sia il centro O dell’ellissoide appartenente anch’esso al
piano. Scegliamo il sistema di coordinate (O;x,y,z) con z ortogonale al piano. Il piano (O;x,y),
in quanto contenente la figura, è manifestamente un piano di simmetria materiale e quindi l’asse
z è un asse principale d’inerzia: B ′ = C ′ = 0. Inoltre vale anche la seguente proprietà, essendo
zs = 0 per ogni punto Ps allora:
C =
ms(x 2 s +y 2 s) =
ms(x 2 s +z 2 s)+
ms(y 2 s +z 2 s) = A+B.
Vediamo alcuni esempi:
Lamina rettangolare omogenea
s
s
Volendo calcolare l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con uno dei vertici
della lamina, sia (O;x,y,z) scelto in modo che la lamina sia contenuta nel piano (O;x,y) e che gli assi
(O;x) e (O;y) siano paralleli ai lati del rettangolo in modo che lamina sia tutta nel primo quadrante.
Siano i lati di lunghezza a e b. Essendo µ = m/ab si ha che:
A =
lamina
µy 2 dxdy = m
a b
dx y
ab 0 0
2 dy = 1
3 mb2 .
s

150 A Richiami
Analogamente segue che B = 1
3ma2 e quindi C = A + B = 1
momento di deviazione abbiamo che B ′ = C ′ = 0 e che
A ′
= µxydxdy =
lamina
m
a b
xdx ydy =
ab 0 0
1
4 mab.
Disco piano omogeneo
3 m(a2 + b 2 ). Per ciò che riguarda il
Calcoliamo l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con il centro del disco.
Sia (O;x,y,z) scelto in modo che il disco sia contenuto nel piano (O;x,y). L’asse z è un asse
principale d’inerzia e inoltre, poiché ogni asse passante per il centro e appartenente al piano (O;x,y)
èdisimmetria,seguecheanchegliassixey sonoprincipalidiinerzia;infinesiosservicheruotandodi
π/2ildiscoilsistemamaterialesipresentainvariatoalloraseguecheA = B echequindiA = B = 1
2C. Rimane dunque da calcolare solo C, sia R il raggio del disco e µ = m/πR2 , si ha che:
C =
A.2.2 Matrice d’inerzia
Matrice d’inerzia
disco
µ(x 2 +y 2 )dxdy = m
πR 2
2π
Fissata una terna (O;x,y,z) si definisce la matrice d’inerzia
⎛ ⎞
dove
e
⎜
I = ⎝
0
dθ
I11 I12 I13
⎟
I21 I22 I23⎠
I31 I32 I33
R
I11 = A, I22 = B, I33 = C
0
r 2 rdr = 1
2 mR2 .
I12 = I21 = −A ′ , I13 = I31 = −B ′ , I23 = I32 = −C ′ .
Quindi si ha che l’equazione dell’ellissoide di inerzia può essere anche scritta come
⎛ ⎞
x
⎜ ⎟
(x,y,z)I ⎝y
⎠ = 1 o, in modo più, sintetico v
z
T ⎛ ⎞
x
⎜ ⎟
Iv = 1, v = ⎝y
⎠.
z
Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, assegnata la base (O;x,y,z) gli
elementi della matrice d’inerzia sono Iij e cambiando il sistema di riferimento mediante una matrice
ortogonale A allora la nuova matrice d’inerzia assume la forma
I ′ = AIA T .
Gli assi principali d’inerzia sono gli autospazi della matrice d’inerzia ed i corrispondenti momenti
di inerzia ne sono gli autovalori λ1, λ2 e λ3 (supposti distinti). La ricerca delle terne principali di
inerzia equivale alla diagonalizzazione della matrice d’inerzia. Nel riferimento principale la matrice
d’inerzia ha infatti rappresentazione
⎛ ⎞
λ1 0 0
⎜ ⎟
I = ⎝0
λ2 0 ⎠
0 0 λ3

Determinazione di due assi principali d’inerzia noto il terzo
A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto 151
Scegliamo un sistema di riferimento (O;x,y,z) dove O è il centro dell’ellissoide e (O;z) coincide con
l’asse principale d’inerzia noto. La corrispondente matrice d’inerzia ha quindi la forma
⎛ ⎞
I11 I12 0
⎜ ⎟
I = ⎝I21
I22 0 ⎠
0 0 λ3
dove assumiamo I12 = 0 (poiché altrimenti il problema è già risolto). Effettuiamo una rotazione
del piano (O;x,y) su sè stesso in modo da lasciare l’asse (O;z) invariato; la matrice ortogonale che
definisce questa rotazione è data da
⎛ ⎞
cosϕ sinϕ 0
⎜ ⎟
A = ⎝−sinϕ
cosϕ 0⎠
0 0 1
dove ϕ denota l’angolo x ′ Ox. Rispetto al nuovo sistema di riferimento la matrice d’inerzia assume
la forma
⎛ ⎞
I ′ = AIA T I
⎜
= ⎝
′ 11 I ′ 12 0
I ′ 21 I ′ 22 0
0 0 λ3
⎟
⎠ dove I ′ 12 = (I22 −I11)sin2ϕ+2I12cos2ϕ.
Gli assi principali d’inerzia hanno direzione tale che I ′ 12(ϕ) = 0, cioé:
i. se I11 = I22 allora deve essere cos2ϕ = 0, ϕ = ±π/2 e gli assi principali d’inerzia coincidono con
le bisettrici del piano (O;x,y);
ii. se I11 = I22 allora deve essere tan2ϕ = 2 I12 ed i due valori che soddisfano questa equazione
I11−I22
danno i due assi principali d’inerzia.
A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto
A.3.1 Energia cinetica o forza viva
Definizione A.11. Diremo energia cinetica o forza viva di un sistema materiale S di N punti
Ps di massa ms la somma
T = 1
2
N
s=1
msv 2 s = 1
2
N
msvs ·vs. (A.25)
Si tratta di una grandezza scalare, sempre positiva, salvo che negli istanti di arresto di tutti i
punti del sistema, nei quali l’energia cinetica si riduce a zero; è manifesto che essa è di natura relativa
alriferimentoadottato(inDinamicaquandosiparladienergiacinetica,senzaulteriorespecificazione,
si sottointende che il moto sia riferito ad una terna fissa o, più generalmente, galileiana).
s=1

152 A Richiami
Teorema di König
Denotandocon(O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )unsistemadiriferimentomobileecon(O;x,y,z)ilsistemadiriferimento
fisso, la velocità di un punto Ps rispetto al sistema fisso è data da vs = vτ,s+v ′ s; dove vτ,s è la velocità
di trascinamento di Ps e v ′ s è la velocità relativa di Ps. Nel caso particolare in cui il sistema mobile
si muova di moto traslatorio allora vτ,s = v(O ′ ) = v0 e l’energia cinetica T assume la forma
T = 1
2 mv0 2 + 1
2
N
s=1
msv ′ 2
s +v0 ·
N
msv
s=1
′ s
, (A.26)
dove m denota la massa totale del sistema. La (A.26) presenta l’energia cinetica del sistema, nel suo
moto rispetto a (O;x,y,z), come somma di tre termini, cioé l’energia cinetica che competerebbe al
punto O ′ qualora fosse un punto materiale di massa m, l’energia cinetica del sistema nel suo moto
relativo ad O ′ , ed, infine, una quantità che dipende sia dal moto di O ′ che dal moto relativo. La
formula (A.26) si semplifica quando si assume come riferimento mobile O ′ il baricentro G del sistema.
In tal caso, essendo N s=1ms(Ps −G) = 0, si ha che N s=1msv ′ s = 0.
Pertanto abbiamo il seguente risultato:
Teorema A.12 (Teorema del König). L’energia cinetica di un qualsiasi sistema materiale in
moto è, istante per istante, eguale alla somma dell’energia cinetica che competerebbe in quell’istante
al baricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasse concentrata tutta la massa del
sistema, più l’energia cinetica nel moto del sistema relativo al baricentro (ovvero all’osservatore
centrato nel baricentro e traslante):
Energia cinetica di un corpo rigido
T = 1
2 mv2 G +TG, TG = 1
2
N
s=1
msv ′ 2
s , m =
N
ms. (A.27)
s=1
Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0+v ′ s, dove v0 = v(O ′ ), e v ′ s = ω×(Ps−O ′ ) con ovvio
significato di tali grandezze vettoriali. In particolare, ponendo m = N s=1ms e:
allora la (A.26) diventa:
T ′ = 1
2 mv2 0,
T ′′ = 1
N
ms{ω ×(Ps −O
2 s=1
′ )} 2 ,
T ′′′ N
= v0 · msω ×(Ps −O
s=1
′ )
T = T ′ +T ′′ +T ′′′ . (A.28)
Qui dobbiamo esprimere T ′ , T ′′ , T ′′′ in termini delle sei caratteristiche date da v0 = uî+vˆj+w ˆ k e
ω = pî ′ +qˆj ′ +rˆ k ′
(dove è più conveniente, ma non necessario, proiettare ω su una terna solidale di
versori î ′ ,ˆj ′ e ˆ k ′
)).

A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto 153
Il primo addendo T ′ , che fornirebbe l’intera energia cinetica del corpo rigido qualora il moto fosse
puramente traslatorio, è dato da
T ′ = 1
2 mv2 0 = 1
2 mu
2 +v 2 +w 2
(A.29)
dove si è denotata con m la massa totale del corpo rigido.
Per trovare l’espressione esplicita di T ′′ , che darebbe la intera energia cinetica se il punto
solidale O ′ fosse fisso, considerariamo la distanza ds del generico punto Ps del corpo rigido dall’asse
istantaneo di rotazione (O ′ ,ω). Poiché {ω ×(Ps −O ′ )} 2 = ω2d2 s allora, raccogliendo ω a fattor
comune, si trova che:
T ′′ = 1
2 Iω2 , dove I =
N
msd
s=1
2 s
rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all’asse istantaneo di rotazione passante
per O ′ . In particolare, essendo A, B, C e A ′ , B ′ , C ′ i momenti e i prodotti d’inerzia del corpo rigido
rispetto alla terna solidale al corpo rigido, si ha:
T ′′ = 1
2 Iω2
= 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr−2C ′ qr
(A.30)
dove i momenti A, B, C e A ′ , B ′ , C ′ calcolati rispetto al riferimento solidale sono costanti durante
il moto del corpo rigido. Infatti, il momento di inerzia I rispetto all’asse di istantanea rotazione
passante per O di equazioni (αx,βx,γx), x ∈ R e dove α = p/ω, β = q/ω e γ = r/ω sono i coseni
direttori della retta, è dato da
I = Aα 2 +Bβ 2 +Cγ 2 −2A ′ αβ −2B ′ αγ −2Cβγ
= 1
ω 2
Ap 2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2Cqr
.
Il terzo addendo, infine, T ′′′ si può scrivere, per una nota proprietà del prodotto misto:
T ′′′ N
= ms(Ps −O
s=1
′ )·(v0 ×ω)
= m(G−O ′ )·(v0 ×ω). (A.31)
Dalla (A.28) e dalle formule (A.29), (A.30) e (A.31) risulta che in ogni caso la energia cinetica
di un corpo rigido è una forma quadratica nelle 6 caratteristiche dell’atto di moto
(u,v,w,p,q,r).
Osserviamo che: se il centro di riduzione O ′ (che è al tempo stesso origine delle coordinate) si
sceglie nel baricentro si annulla (G−O ′ ) = 0 e quindi T ′′′ ; se poi si scelgono come assi coordinati i
rispettivi assi principali di inerzia allora si annullano i tre prodotti di inerzia A ′ = B ′ = C ′ = 0,
mentre A, B, C diventano i tre momenti principali di inerzia baricentrali. Per la energia cinetica si
ottiene l’espressione notevolmente semplice in accordo con il Teorema di König:
T = 1
2 mu
2 +v 2 +w 2
+ 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2
(A.32)

154 A Richiami
Corpo rigido con un punto fisso o un asse fisso
Quando il corpo rigido S sia fissato in un suo punto, basta scegliere questo punto O ′ come centro di
riduzione del moto rigido (e come origine della terna solidale); allora l’energia cinetica, per un corpo
rigido rotante intorno ad un asse fissato con velocità angolare ω, è data da
T = T ′′ = 1
2 Iω2 ,
dove si è scelto il centro di riduzione O ′ (origine anche della terna solidale) sull’asse e dove I denota
il momento di inerzia del corpo rigido rispetto al suo asse di rotazione. Operando come prima si ha
la seguente espressione equivalente (con ovvio significato dei termini):
T = T ′′ = 1
Ap
2
2 +Bq 2 +Cr 2 −2A ′ pq −2B ′ pr −2C ′ qr
.
Energia cinetica di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane
Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps, dotato di n gradi di libertà, dove i vincoli sono
rappresentati dalle equazioni parametriche (A.1); per cui le velocità (possibili) vs dei singoli punti
Ps, in funzione delle coordinate qs e delle velocità lagrangiane ˙qs e del tempo, sono date da
vs =
n ∂Ps
h=1
∂qh
Sostituendole nelle (A.25) si può scrivere
˙qh + ∂Ps
, s = 1, ... , N. (A.33)
∂t
T = T2 +T1 +T0, (A.34)
designando, rispettivamente, con T2, T1, T0 l’insieme dei termini di II ◦ grado nelle ˙q, dei termini di
I ◦ grado e, infine, dei termini indipendenti dalle ˙q. Più precisamente si ottiene
T2 = 1
n
N
ah,k˙qh˙qk, ah,k = ah,k(q;t) =
2 h,k=1
s=1
n
N ∂Ps
T1 = Ak˙qk, Ak = Ak(q;t) = ms ·
k=1
s=1 ∂qk
∂Ps
∂t
T0 = 1
N
2 ∂Ps
ms
2 ∂t
s=1
∂Ps
ms
∂qh
· ∂Ps
,
∂qk
dove i coefficienti ah,k, Ak e T0 dipendono dai parametri lagrangiani e dal tempo. In particolare è
immediato osservare che ah,k = ak,h.
Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, le espressioni (A.33) delle velocità si riducono alla
loro parte lineare nelle velocità lagrangiane ˙q:
In particolare T1 = T0 = 0 e l’energia cinetica assume la forma
n ∂Ps
vs = ˙qh. (A.35)
h=1 ∂qh

T = 1
2
N
N
ah,k˙qh˙qk, ah,k =
h,k=1
s=1
A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto 155
∂Ps
ms ·
∂qh
∂Ps
∂qk
(A.36)
dove i coefficienti ah,k dipendono dalle sole qh. È questa dunque l’espressione generale della energia
cinetica di un sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo e ad n gradi di libertà
(di fatto l’ipotesi di olonomia non è necessaria a questo stadio).
Vale il seguente risultato:
Teorema A.13. T2 è una forma quadratica nelle ˙qh definita positiva; cioé T2 ≥ 0 per ogni scelta
delle velocità lagrangiane ˙q1,..., ˙qn e T2 = 0 se, e solo se, ˙q1 = ... = ˙qn = 0.
Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli indipendenti dal tempo e dimostriamo prima
il teorema sotto questa ipotesi. Osserviamo che T è per sua natura stessa definita positiva e quindi,
essendo T = T2 sarà necessariamente T2 ≥ 0. Se poi T2 = 0 allora T = 0 e quindi deve essere vs = 0;
resta quindi da fare vedere che
˙qh = 0, h = 1,2,...,n ⇔ vs = 0, s = 1,2,...,N
ovvere le ˙qh sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tutte le vs. Dalla (A.33), in cui ∂Ps = 0, ∂t
è immediato che vs = 0 quando ˙qh = 0. Per dimostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vs
sono nulle allora abbiamo che deve essere
n n n
∂xs ∂ys ∂zs
˙qh = 0, ˙qh = 0, ˙qh = 0
h=1 ∂qh h=1 ∂qh h=1 ∂qh
che implica ˙qh = 0 poiché la matrice Jacobiana delle xs, ys, zs rispetto alle qh, in virtù della
ipotesi della indipendenza delle coordinate lagrangiane, è, per valori generici di esse, di caratteristica
n. Supponiamo ora i vincoli dipendenti dal tempo; T sarà ancora definita positiva ma ora T =
T2 +T1 +T0. Mostriamo per prima cosa che T2 ≥ 0. Supponiamo per assurdo che esistano ˙¯qh non
tutte nulle tali che ¯ T2 < 0, quindi sarà T2 = α2¯ T2 < 0 anche per α ˙¯qh per qualunque α ∈ R\{0} e
inoltre sarà
T = α 21
2
n
h,k=1
ah,k ˙¯qh ˙¯qk +α
n
Ah ˙¯qh +T0 = α 2¯ T2 +α ¯ T1 + ¯ T0.
h=1
Poiché abbiamo supposto per assurdo ¯ T2 < 0 allora, per α sufficientemente grande, sarà T < 0
cadendo in assurdo. Mostriamo ora che T2 = 0 implica ˙qh = 0. Supponiamo, per assurdo, che
esistano ˙¯qh non tutte nulle tali che ¯ T2 = 0, quindi sarà T2 = α 2¯ T2 = 0 anche per α ˙¯qh per qualunque
α ∈ R\{0}. Quindi
T = α
n
Ah ˙¯qh +T0 = α¯ T1 + ¯ T0.
h=1
Se ¯ T1 = 0 allora basta prendere α di segno opposto a ¯ T1 e sufficientemente grande per avere T < 0
cadendo in assurdo; quindi deve essere anche ¯ T1 = 0, ottenendo
T = ¯ N
T0 = ms
s=1
2 ∂Ps
.
∂t

156 A Richiami
Osserviamo che ¯ T0 è indipendente da ˙¯qh e quindi da α mentre T dipende da α attraverso ¯vs e la
(A.33), poiché ˙¯qh = 0 per un qualche h, cadendo ancora in assurdo. Quindi abbiamo provato che
T2 ≥ 0 e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere ˙qh = 0 per ogni h.
Notiamo, infine, che nell’uno e nell’altro caso il determinante ah,k degli n 2 coefficienti ah,k,
appunto come discriminante di una forma definita (positiva), non può annullarsi. Per dimostrare
questorisultatoindipendentementedalTeoremaprecedentesipuòprocederecomesegue:supponiamo
i vincoli indipendenti dal tempo (per semplicità) e sia, per assurdo, questo determinante fosse nullo,
per una qualche scelta dei parametri lagrangiani qh e t; allora esistono ˙¯qh non tutte nulle soddisfacenti
al sistema di n equazioni lineari
∂T
∂˙qh
=
n
ah,k ˙¯qk = 0, h = 1,2,...,n.
k=1
Moltiplicando i membri di questa equazione per ˙¯qh si ottiene che deve essere
0 =
per il teorema di Eulero, cadendo in assurdo.
n ∂T
˙¯qh = 2T
∂˙qh
h=1
A.3.2 Quantità di moto e momento della quantità di moto
Definizione A.14. Definiamo quantità di moto di un sistema di punti Ps di massa ms la somma
vettoriale
N
Q = msvs. (A.37)
s=1
Derivando l’equazione vettoriale m(G−O) = N s=1ms(Ps−O), dove G è il baricentro e vG la sua
velocità, abbiamo
Abbiamo dunque che:
mvG =
N
msvs = Q. (A.38)
s=1
Teorema A.15. La quantità di moto di un sistema qualsiasi è ad ogni istante eguale alla quantità
di moto che, in quell’istante, spetterebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui si
trovasse concentrata la massa totale del sistema.
Definizione A.16. Dato un sistema materiale S si dice momento delle quantità di moto rispetto
ad un qualsiasi punto O il momento risultante rispetto ad O delle quantità di moto dei singoli punti
Ps del sistema, cioé la grandezza vettoriale
N
N
K(O) = (Ps −O)×msvs = msvs ×(O−Ps). (A.39)
s=1
s=1

A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto 157
Il momento della quantità di moto è legato alla scelta del punto O secondo la seguente relazione:
K(O ′ ) = K(O)+(O −O ′ )×Q
dove Q è la quantità di moto del sistema. Infatti
K(O ′ N
) = msvs ×(O
s=1
′ N
−Ps) = msvs ×[(O−Ps)+(O
s=1
′ −O)]
N
N
= msvs ×(O−Ps)+ msvs ×(O
s=1
s=1
′ −O)
= K(O)+(O−O ′ )×Q.
Scegliendo come centro di riduzione dei momenti il baricentro G del sistema ed essendo v ′ s le
velocità dei punti del sistema nel loro moto relativo a G (cioé rispetto ad un osservatore baricentrico
traslante): vs = vG +v ′ s si ha che:
Pertanto si conclude che:
K(G) =
=
=
=
N
msvs ×(G−Ps)
s=1
N
s=1
N
s=1
N
s=1
msv ′ s ×(G−Ps)+
msv ′ s ×(G−Ps)+vG ×
msv ′ s ×(G−Ps) = K ′ (G).
N
msvG ×(G−Ps)
s=1
N
s=1
ms(G−Ps)
Teorema A.17. Comunque si muova un sistema, il momento delle quantità di moto (assoluto)
rispetto al baricentro coincide con l’analogo momento delle quantità di moto relativo al baricentro
stesso (cioé rispetto all’osservatore baricentrico e traslante):
K(G) = K ′ (G).
Derivata del momento della quantità di un sistema
Derivando la relazione (A.39) si ottiene
dK(O)
dt =
N
(Ps −O)×msas −v0 ×Q. (A.40)
s=1
Se il centro di riduzione O è fisso (v0 = 0), la (A.40) si semplifica nella forma
dK(O)
dt =
N
(Ps −O)×msas. (A.41)
s=1
Si noti che tale semplificazione rimane valida anche quando il centro di riduzione O (pur non essendo,
in generale, fisso) coincida, istante per istante, con il baricentro del sistema, infatti in tal
caso il termine vG × Q è identicamente nullo dalla (A.38), o oppure abbia velocità parallela a
quella del baricentro, infatti v0 ×Q = v0 ×(mvG) = 0.

158 A Richiami
A.3.3 Quantità di moto e momento delle quantità di moto di un corpo rigido
Quando il sistema S in moto è un corpo rigido, e si assume a centro di riduzione O ′ un punto solidale
con il sistema, i due vettori Q e K(O ′ ) si esprimono in modo notevolmente semplice per mezzo delle
caratteristiche u,v,w e p,q,r del moto di S rispetto ad una qualsiasi terna solidale (O ′ ;x ′ ,y ′ ,z ′ )
dove
v0 = uî ′ +vˆj ′ +wˆ k ′
, ω = pî ′ +qˆj ′ +rˆ k ′
.
Più precisamente si ha che:
Teorema A.18. Le componenti di Q e K si identificano con le derivate parziali dell’energia cinetica
T del corpo rigido rapporto alle 6 caratteristiche:
e
Q = ∇(u,v,w)T = ∂T
∂u î′ + ∂T
∂v ˆj′ + ∂T
∂w ˆ k ′
K(O ′ ) = ∇(p,q,r)T = ∂T
∂p î′ + ∂T
∂q ˆj′ + ∂T
∂r ˆ k ′
.
Dimostrazione. Infatti, partendo dalla definizione T = 1 Ns=1msv 2
2 s, dove
vs = v0 +ω ×(Ps −O ′ ) = vs,x ′î′ +vs,y ′ˆj′ +vs,z ′ˆ k ′
, v0 = v(O),
viene proiettata sulla terna solidale e dove
vs,x ′ = u+ ˜vs,x ′(p,q,r).
L’energiacineticaT saràfunzionediu,v,w,p,q,r e,derivandolarispettoadusiottienechesolamente
= 1; quindi:
vs,x ′ dipende da u e che ∂v s,x ′
∂u
∂T
∂u =
N
s=1
msvs,x ′, (A.42)
il cui secondo membro non è altro che la componente Qx ′ di Q secondo l’asse delle x′ . Analogamente
per y ′ e z ′ ottenendo:
∂T ∂T ∂T
Qx ′ = , Qy ′ = , Qz ′ = . (A.43)
∂u ∂v ∂w
Derivando ora la T rispetto a p si perviene all’identità
∂T
∂p =
N ∂vs
ms
s=1 ∂p ·vs
N
∂ω
= ms
s=1 ∂p ×(Ps
−O) ·vs
N
= msî
s=1
′ N
×(Ps −O)·vs = msî
s=1
′ ·(Ps −O)×vs = Kx ′.
Analogamente
completando così la dimostrazione.
∂T ∂T
Ky ′ = , Kz ′ =
∂q ∂r
(A.44)

A.3 Energia Cinetica e quantitá di moto 159
In particolare dalle (A.28) e (A.29)–(A.30)–(A.31) si ottengono le espressioni delle componenti di
Q e K(O ′ ). In particolare, quando il centro di riduzione O ′ coincide con il baricentro o quando O ′
sia fissato nello spazio (da ciò T ′′′ = 0), allora le (A.44) assumono la forma
⎧
⎪⎨ Kx
⎪⎩
′ = Ap−B′ r−C ′ q
Ky ′ = −C′ p+Bq −A ′ r
Kz ′ = −B′ p−A ′ (A.45)
q +Cr
e basta prendere come assi solidali i tre assi principali d’inerzia in O ′ (baricentro o punto solidale
fisso) per ridurle ulteriormente alla forma canonica
Kx ′ = Ap, Ky ′ = Bq, Kz ′ = Cr (A.46)
dove A, B, C denotano i momenti principali di inerzia.
Vale il seguente teorema:
Teorema A.19. L’energia cinetica di un corpo rigido vale
T = 1
2 v(O′ )·Q+ 1
2 ω ·K(O′ ).
Dimostrazione. Il Teorema si dimostra applicando il Teorema di Eulero all’energia cinetica T
2T = ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T
u+ v + w + p+ q +
∂u ∂v ∂w ∂p ∂q ∂r r,
considerata come forma quadrattica delle 6 caratteristiche (vedi la nota a seguito della formula
(A.31)) e tenendo conto delle (A.43), (A.44).
Se il polo O ′ dei momenti si fa coincidere con il baricentro (Q = mvG), allora si può scrivere (è
il Teorema di König) T = 1
2mv2 G + 1
2ω ·KG. Inoltre, nel caso in cui O ′ sia fisso allora abbiamo che
T = 1
2ω ·K(O′ ).
Corpo rigido ad asse fisso
Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta fissa a con velocità angolare ω allora, scegliendo
l’asse a coincidente con uno degli assi di riferimento (ad es. l’asse x ′ ) per cui p = ±ω e q = r = 0, le
(A.43) e (A.44) assumono la forma:
Qx ′ = 0, Qy ′ = −mz0p, Qz ′ = my0p;
Kx ′ = Ap, Ky ′ = −C′ p, Kz ′ = −B′ p.
Si prova così che il momento delle quantità di moto rispetto all’asse di rotazione è dato
dal prodotto di ±ω per A (momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse).

B
Complementi
B.1 Serie di Fourier
B.1.1 Serie di Fourier in forma trigonometrica
Sia data una funzione f(t) periodica di periodo T. Si definisce serie di Fourier associata a f(t) la
seguente serie (al momento formale):
f(t) ∼ 1
2 a0
∞
2nπ
+ ancos
n=1 T t
2nπ
+bnsin
T t
(B.1)
in cui i coefficienti di Fourier an e bn sono dati da
T
e
an = 2
T
bn = 2
T
0
T
0
2nπ
f(t)cos
T t
dt, n = 0,1,..., (B.2)
2nπ
f(t)sin
T t
dt, n = 1,2,... . (B.3)
La serie (B.1) associata a f(t) è, al momento, solamente formale e per questo motivo utiliziamo il
simbolo ∼; infatti non possiamo ancora dire nulla sulla sua convergenza e, nel caso in cui converga,
a cosa converge. A tal merito vale il seguente:
Teorema di Dirichlet: Sia data una funzione periodica f(t) di periodo T e continua a tratti
insieme alla sua derivata prima f ′ (t). Allora la serie (B.1) associata a f(t) con i coefficienti (B.2)
e (B.3) converge a f(t) nei punti in cui f(t) è continua, nei punti t0 in cui la funzione f(t) è
discontinua allora la serie (B.1) converge a
f(t0 +0)+f(t0 −0)
.
2
Si noti che il termine costante nella (B.1), dato da
1
2 a0 = 1
T
T
0
f(t)dt,
corrisponde al valore medio di f(t) in un periodo. Osserviamo poi che, a causa della periodicità della
funzione f(t), possiamo esprimere i valori dei coefficienti di Fourier an e bn scegliendo come estremi
di integrazione c e c+T con c qualunque. Ad esempio, per c = −T/2 segue che

162 B Complementi
e
in virtù dell’osservazione precedente.
B.1.2 Serie di Fourier in forma esponenziale
an = 1
T/2
f(t)cos(2nπt/T)dt, n = 0,1,...,
π −T/2
bn = 1
T/2
f(t)sin(2nπt/T)dt, n = 1,2,...
π −T/2
Facendo uso delle formule di Eulero si può dare una espressione diversa della serie di Fourier. Infatti,
ricordando che
e ponendo
cosα = 1
e
2
iα +e −iα
, sinα = 1
e
2i
iα −e −iα
,
a−n = an, b−n = −bn, per n ∈ N, e b0 = 0
allora la serie di Fourier assume la forma
f(t) = 1
2 a0
∞
2nπ
+ ancos
n=1 T t
2nπ
+bnsin
T t
= 1
2 a0
∞
2nπ
+ ancos
T t
2nπ
+bnsin
T t
= 1
2 a0 +
=
=
∞
n=−∞
∞
n=−∞
n=1
∞
an −ibn
n=1 2
e i2nπ
T t + an +ibn
2
an −ibn
e
2
i2nπ
T t ∞
= cne i2nπ
T t
cne i2nπ
T t
n=−∞
e −i2nπ
T t
che è detta serie di Fourier in forma esponenziale, dove i coefficienti cn sono dati da
cn = 1
2 (an −ibn) = 1
T
T
0
(B.4)
(B.5)
f(t)e −i2nπ
T t dt, n ∈ Z. (B.6)
Si osserva immediatamente che, se la funzione f(t) è a valori reali, allora cn = ¯c−n.
B.1.3 Stima dei coefficienti cn
Teorema: Sia la funzione periodica f(t) di classe C r ([0,T]) con r ≥ 1, cioé sia continua insieme
alle sue derivate fino all’ordine r. Allora si ha che
|cn| ≤ c|n| −r

dove la costante c, indipendente da n, è data da
c =
r
T
2π
max
t∈[0,T] |f(r) (t)|.
B.2 Teorema di annullamento degli integrali 163
Dimostrazione: Ricordando che la derivata di una funzione periodica (e derivabile) è ancora una
funzione periodica si ottiene, integrando per parti r volte, la seguente espressione per cn:
Quindi
cn = 1
T
= 1
T
= 1
T
T
0
f(t)e −i2nπ
T t dt
f(t) T
T
i2nπ
−i2nπ e−i2nπ T t
T
0
T
0
|cn| ≤ 1
T
− 1
T
f ′ (t)e −i2nπ
T t dt = 1
T
r
T T
2|n|π 0
≤ 1
|n| r
1 T
T 2π 0
dove c è la costante indipendente da n che vale
c =
r
T
2π
r T
B.2 Teorema di annullamento degli integrali
T
0
f ′ (t) T
T
i2nπ
−i2nπ e−i2nπ
r T
|f (r) (t)| e − i2nπ
T t dt
|f (r) (t)|dt ≤ c
|n| r
max
t∈[0,T] |f(r) (t)|.
0
T t dt
f (r) (t)e −i2nπ
T t dt.
Il teorema di annullamento degli integrali dice che se f è continua e se b a f(x)g(x)dx = 0 per ogni g
continua segue che f(x) ≡ 0. Più precisamente:
Teorema. Una funzione f ∈ C([a,b]) è identicamente nulla sull’intervallo considerato se, e solo
se,
b
f(x)g(x)dx = 0, ∀g ∈ C([a,b]). (B.7)
a
Dimostrazione: in un senso la dimostrazione è ovvia. Assumiamo soddisfatta la (B.7) e supponiamo,
per assurdo che f non sia identicamente nulla. Se f non è identicamente nulla allora esiste
x0 ∈ (a,b) tale che f(x0) = 0, in particolare supponiamo, per fissare le idee e senza perdere in
generalità, che sia f(x0) > 0. Per continuità esiste ǫ > 0 tale che
e
(x0 −2ǫ,x0 +2ǫ) ⊂ (a,b)
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (x0 −2ǫ,x0 +2ǫ)
f(x) ≥ 1
2 f(x0), ∀x ∈ (x0 −ǫ,x0 +ǫ).

164 B Complementi
Consideriamo ora una funzione continua 0 ≤ g(x) ≤ 1 tale che
1 se x ∈ (x0 −ǫ,x0 +ǫ)
g(x) =
0 se x /∈ (x0 −2ǫ,x0 +2ǫ)
Per costruzione si ha
contraddicendo la (B.7).
b
a
f(x)g(x)dx =
≥
≥
x0+2ǫ
x0−2ǫ
x0+ǫ
x0−ǫ
x0+ǫ
x0−ǫ
f(x)g(x)dx
f(x)g(x)dx
1
2 f(x0)1dx = ǫf(x0) > 0