Due teoremi isoperimetrici inversi - Dipartimento Ingegneria dell ...

Il problema isoperimetrico nel piano.
Due teoremi isoperimetrici inversi
Il teorema isoperimetrico è senza dubbio uno dei risultati più affascinanti e ricchi di significato di
tutta la matematica. Esistono diverse versioni e numerose varianti del teorema chiamate con questo
stesso nome. Per semplicità e chiarezza – e salvo diverso avviso – chiameremo qui teorema
isoperimetrico piano quello che risponde alla seguente domanda:
Dato un filo di lunghezza L, come lo si deve disporre nel piano in modo che delimiti una regione di
area massima?
Ed ecco la soluzione del problema isoperimetrico appena formulato:
Teorema isoperimetrico.
Tra tutte le regioni piane di perimetro L , il cerchio di raggio L 2π
è l’unica di area massima.
Lo scopo di questo articolo è quello di presentare un paio di risultati che a buon diritto possono
essere considerati come “l’altra faccia della medaglia isoperimetrica”, ovvero teoremi
isoperimetrici inversi.
Prima di esporli è opportuno preparare un po’ il terreno, richiamando qualcosa del teorema
isoperimetrico propriamente detto, che a questo punto possiamo chiamare diretto. Ci limiteremo
all’essenziale: una trattazione esauriente dell’argomento richiederebbe pagine e pagine, come
dimostra la ricchissima bibliografia sul tema presente in letteratura. A chi vuol saperne di più e più
approfonditamente consigliamo, superando l’imbarazzo della scelta, i due articoli di rassegna di
Osserman [7] e di Talenti [9] .
E’ interessante notare che il problema isoperimetrico viene anche chiamato problema di Didone.
Esule da Tiro, Didone era approdata sulle coste libiche ed aveva ottenuto dal re locale il permesso
di stabilirvisi e di appropriarsi di tanto terreno "quanto ne poteva contenere una pelle di toro”.
Didone ebbe l’idea di ridurre la pelle in tante striscioline, in modo da ottenere una sorta di filo.
Scelta una penisola, dispose poi il filo in modo che comprendesse, insieme alla costa, la massima
estensione di terra possibile. Questa leggenda, di cui ci parla anche Virgilio nel libro I dell’Eneide,
ci dice dunque che Didone si è trovata ad affrontare un problema isoperimetrico; problema che si
può classificare come “vincolato” o “relativo”, data la presenza aggiuntiva di un tratto di costa
come frontiera. Vedremo che il problema isoperimetrico si può ricondurre ad un caso particolare del
problema di Didone. Per saperne di più su Didone ed il suo problema, si veda, ad esempio, [4].
Ricco è l’elenco dei matematici che, nel corso della storia, hanno apportato contributi importanti
alla soluzione del problema isoperimetrico. Tra i più antichi, ricordiamo Archimede, Zenodoro e
Pappo, per passare, in tempi più vicini a noi, a Galileo, Eulero, Legendre, Riccati, Simpson, fino ad
arrivare a Steiner, il quale merita una menzione particolare. Già, perché fu proprio Jacob Steiner
(1796 – 1863) a fornire una mirabile dimostrazione del teorema isoperimetrico, fondata su geniali
idee geometriche, che ha però il torto … di non essere una dimostrazione!
Seguiamone la traccia, così com’è riportata da Courant-Robbins, in [3], p.548 . Tre sono i passi
principali.
(i) La soluzione del problema deve essere convessa. Se così non fosse, ne prenderei l’involucro
convesso, ottenendo una figura che ha area maggiore e perimetro minore; gonfiandola, per
ristabilire il perimetro assegnato, si migliora ancora l’area.
(ii) Presi, sul bordo della soluzione, due punti che separano archi di uguale lunghezza, la corda che
li congiunge divide la figura in due regioni che hanno la stessa area. Se così non fosse, potrei

ibaltare rispetto alla corda la parte di area maggiore, ottenendo così una figura con lo stesso
perimetro e area più grande.
(iii) Tra tutte le regioni racchiuse da una retta ed un arco di curva di lunghezza L 2 con estremi
sulla retta stessa, quella di area massima è un semicerchio. Infatti, si verifica facilmente che una
regione di questo tipo ha area massima se ogni triangolo che ha come vertici gli estremi ed un
qualunque punto appartenente all’arco è rettangolo. Il che implica che l’arco deve essere una
semicirconferenza.
Si osservi che quest’ultimo passo, unitamente al primo, fornisce anche la soluzione del problema di
Didone, nel caso in cui la costa sia rettilinea.
La dimostrazione di Steiner colpisce per la sua eleganza e sembra non fare una grinza. Invece ha un
punto debole, che la mina alla base. Essa, infatti, procede per esclusione, togliendo via via di mezzo
figure che non possono dare il valore massimo dell’area, fino a che non se ne salva che una, il
cerchio, appunto. Ma, come fu osservato da Dirichlet, per poter considerare conclusivo questo
procedimento occorre sapere che la configurazione massimante esiste! Utilizzando una metafora
letteraria, possiamo dire che Steiner agisce come Poirot nel finale di certi gialli di Agatha Christie:
gli indiziati vengono scartati uno dopo l’altro, finchè non ne resta che uno, che è necessariamente il
colpevole. Poirot, tuttavia, sarebbe un pessimo investigatore se si venisse a scoprire che la vittima
non era stata uccisa, ma si era suicidata …
Dunque, il ragionamento di Steiner assurge a dimostrazione se lo si completa con la prova
dell’esistenza del massimo. Quest’ultima si può ottenere in vari modi; ad esempio, utilizzando un
risultato di compattezza del tipo del teorema di Ascoli-Arzelà, che, in questo contesto dove la
metrica è quella di Hausdorff, prende il nome di teorema di selezione di Blaschke.
Dopo Steiner, numerosi altri matematici si sono occupati del problema isoperimetrico; omettiamo di
citarli, anche perché col tempo la questione si è andata inquadrando in un panorama più ampio,
quello del calcolo delle variazioni. Limitiamoci, doverosamente, a ricordare che la prima
dimostrazione completa del teorema isoperimetrico nel piano è quella di Edler [5] del 1882 .
Se dal piano si passa allo spazio tridimensionale, un teorema isoperimetrico può essere enunciato
sotto questa forma:
S
Tra tutti i solidi racchiusi da una superficie di area S , la palla di raggio è l’unico di
4π
volume massimo.
Schwarz [8] ha dato nel 1890 la prima dimostrazione rigorosa di questo risultato. Qui la
dimostrazione è assai più difficile rispetto al caso piano, soprattutto perché salta la possibilità di
utilizzare opportune generalizzazioni dei ragionamenti che funzionano in quel caso.
d
In , d>3 , Lyusternik [6] ha provato, nel 1935, un teorema isoperimetrico per la palla ddimensionale.
Come formulare un problema isoperimetrico inverso.
Di fronte al problema isoperimetrico ed al relativo teorema, è abbastanza naturale porsi la domanda
simmetrica a quella iniziale:
Dato un filo di lunghezza L, come si deve disporre il filo nel piano in modo che esso delimiti una
regione di area minima?

Ecco una prima risposta sbrigativa: se non si chiude il filo, esso delimita un’area nulla, dunque
minima!
Si può obiettare che così facendo non si ottiene una “figura”; d’accordo, decidiamo di escludere le
figure degeneri. Poco male; la risposta diventa: non esiste una regione di area minima; l’estremo
inferiore delle aree delle regioni di perimetro L è zero, che non è un minimo.
Per vedere questo basta prendere una successione di rettangoli di base L 2−1 n e altezza 1 n ,
con n sufficientemente grande. Il perimetro di ogni rettangolo resta sempre L , mentre l’area tende
a zero, quando n tende all’infinito.
Soluzioni degeneri o successioni che fanno tendere l’area a zero ci lasciano comunque insoddisfatti:
siamo ben lontani dal fascino della configurazione che dà il massimo. Il motivo di questo divario va
ricercato nel modo con cui si è formulato il problema inverso. Cerchiamo dunque una formulazione
non banale, che ci dia una soluzione di pari dignità del cerchio.
A questo scopo, osserviamo che il teorema isoperimetrico può essere tradotto in formula, per la
precisione in quella che si chiama disuguaglianza isoperimetrica:
Ogni figura piana di perimetro L e area A soddisfa alla seguente disuguaglianza:
2
L -4π A≥
0
e il segno = vale se e solo se la figura è il cerchio di raggio L /2π
.
2
La quantità L -4π
A prende il nome di deficit isoperimetrico; il deficit è sempre positivo ed è
nullo solo per i cerchi. Ammette massimo? No, il suo estremo superiore è infinito: presa una
qualunque figura diversa dal cerchio, se la si dilata di un fattore λ il suo deficit risulta moltiplicato
per λ 2 2
. Un passo avanti si può fare considerando il rapporto isoperimetrico 4 π A / L , che è
invariante per omotetie. Il suo valore massimo è 1 ed è dato dai cerchi; il suo estremo inferiore è
zero, come si vede considerando la successione dei rettangoli prima utilizzata. Dunque, siamo
daccapo. Riflettiamo però proprio sull’esempio dei rettangoli: non è che, presi due rettangoli
diversi, si tratta pur sempre della stessa figura? La risposta è affermativa, se si introduce il concetto
di equivalenza affine. Ed è proprio attraverso questo concetto che si arriva ad una formulazione
significativa del nostro problema.
Ricordiamo che un’affinità è una biiezione da R 2 a R 2 che porta il punto ( uv , ) nel punto (x,y)
attraverso le formule
⎧x
= au + bv + p
⎨
⎩ y = cu + dv + q
⎛a
b⎞
con la condizione che la matrice ⎜ ⎟ abbia determinante diverso da zero. Se p = q = 0 , la
⎝c d⎠
trasformazione è lineare; dunque un’affinità si compone di una applicazione lineare e di una
traslazione.
Un’affinità trasforma rette in rette e coppie di rette parallele in coppie di rette parallele.
Conseguentemente l’immagine affine di un triangolo è ancora un triangolo, quella di un
parallelogramma ancora un parallelogramma, quella di un poligono ancora un poligono, quella di
una figura convessa ancora una figura convessa. L’immagine affine di un cerchio è un’ellisse e
l’immagine affine di un’ellisse è ancora un’ellisse.

Una volta introdotta la nozione di affinità, possiamo raggruppare le figure del piano in classi di
equivalenza: due figure sono equivalenti se esiste un’affinità che porta una nell’altra. A questo
punto il confronto isoperimetrico non sarà più fatto sulla base della singola figura, ma su quella
della sua classe di equivalenza. Per attribuire un valore a ciascuna classe, prenderemo il migliore tra
tutti quelli dei suoi appartenenti. Insomma, a questo punto la competizione diventa una gara a
squadre ed il punteggio di ogni squadra sarà quello del suo elemento migliore. Poiché il campione
assoluto, come si è gia visto, è il cerchio, la squadra migliore sarà quella delle ellissi.
Quale la squadra peggiore? Esiste l’ultimo dei migliori? Se sì, di chi si tratta? Diamo la risposta
avendo prima formalizzato in modo un po’ più rigoroso la domanda.
2
Data una figura piana K , indichiamo con Γ ( K ) il massimo del rapporto isoperimetrico 4 π A / L
tra tutti i valori assunti dalle figure affinemente equivalenti a K . Se K è un’ellisse, allora
2
Γ ( K ) = 1 ; infatti questo è il valore di 4 π A / L per i cerchi, il valore più grande possibile. Il
teorema di Blaschke assicura che in ciascuna classe esiste sempre il massimo del rapporto, che è
continuo nella metrica di Hausdorff, limitato ed invariante per omotetie.
Occupiamoci ora del minimo di Γ ( K ) e, per restare in un ambito significativo, decidiamo di
limitare il confronto alle regioni convesse compatte dotate di punti interni.
Vale il seguente teorema, provato da F.Behrend [2] nel 1937:
Limitatamente agli insiemi piani convessi compatti dotati di punti interni, Γ ( K ) è minimo se e solo
se K è un triangolo.
Dunque, l’altra faccia della medaglia isoperimetrica ci mostra il triangolo. Vediamo come si
dimostra questo risultato.
Prendiamo un qualunque convesso K e consideriamo il triangolo di area massima contenuto in
K ; tracciamo poi le tre rette parallele ai lati del triangolo passanti per i vertici del triangolo stesso.
Queste rette sono di supporto a K , cioè toccano K e lo lasciano tutto da una parte: se così non
fosse si potrebbe trovare un triangolo di area ancora più grande contenuto in K . Si ottiene così un
triangolo circoscritto a K , che è simile a quello inscritto di area massima e che risulta pertanto
suddiviso in quattro triangoli uguali (vedi Fig.1).
K
Fig.1
x3
K'
T
xB2B
x
1

Conseguentemente i vertici del triangolo inscritto sono i punti medi dei lati di quello circoscritto.
Consideriamo un’affinità che trasforma il triangolo circoscritto in un triangolo equilatero, che
indichiamo con T e sia K ′ la corrispondente immagine affine di K ; è facile vedere che T è
ancora circoscritto a K ′ e che i punti di contatto dividono a metà i lati di T . Dunque in ogni
classe di equivalenza c’è un elemento inscritto in T e circoscritto al triangolo equilatero interno:
questo implica, ancora grazie al teorema di Blaschke, che il minimo di Γ ( K ) esiste ed è maggiore
di zero.
Consideriamo le tre rette di supporto a K ′ parallele ai lati di T e distinte da esse. Indichiamo con
x1,. x2, x 3 le rispettive distanze di queste rette dai lati del triangolo equilatero che ha per vertici i
punti medi dei lati di T .
Poniamo 3x = x1 + x2 + x3
e sia 0 ≤ x ≤1
; condizione non restrittiva, dal momento che possiamo
sempre supporre che l’affinità che abbiamo usato sia normalizzata in questo modo.
K ′ contiene l’esagono che ha per vertici i vertici del triangolo interno ed i punti di contatto tra K ′
stesso e le tre rette di supporto parallele ai lati di T . Pertanto
1
A( K′ ) ≥ A( T)(1+
3 x )
4
Analogamente K’ è contenuto nell’esagono compreso tra le sei rette di supporto, a due a due
parallele. Quindi
1
L( K′ ) ≤ L( T)(1
+ x)
.
2
Si osservi che il segno = vale contemporaneamente in entrambe le disuguaglianze precedenti se e
solo se K ′ è un triangolo equilatero. Si ottiene pertanto
A( K′ ) A( T) 1+ 3x
A( T)
≥ ≥ ;
2 2 2 2
L K′ L T (1 + x) L T
( )
( )
si noti che nella seconda disuguaglianza il segno = vale solo se x = 0 o x = 1 .
Per concludere la dimostrazione basta osservare che, nella classe di equivalenza affine dei triangoli,
quello equilatero rende massimo il rapporto isoperimetrico.
Dunque, se K non è un triangolo, si ha:
ed il teorema è così provato.
( ′ )
( ′ )
( )
( )
2 2
L K L T
( )
4πA K 4πA
T
Γ( K) ≥ > =Γ(
T)
Si può osservare che il cerchio ed i suoi affini sono tutti insiemi a simmetria centrale. Osserviamo
anche che un’affinità trasforma insiemi a simmetria centrale in insiemi dello stesso tipo.
Che cosa si può dire del minimo di Γ ( K ) se ci si limita agli insiemi a simmetria centrale? Ecco la
risposta.
Limitatamente agli insiemi convessi piani a simmetria centrale dotati di punti interni, Γ ( K ) è
minimo se e solo se K è un parallelogramma.
Anche questo risultato è dovuto a Behrend [2] e la dimostrazione ricalca quella già vista nel caso
delle figure non simmetriche.

Mentre, come si è detto, la letteratura è ricca di risultati che riguardano il problema isoperimetrico,
sue generalizzazioni e sue varianti, lo stesso non si può dire per quanto riguarda il problema
inverso. Tanto per fare un esempio, il risultato di Behrend per gli insiemi convessi a simmetria
centrale è stato generalizzato solo nel 1991, in un articolo di K. Ball [1], che dimostra come i
parallelotopi, cioè le immagini affini dei cubi, siano soluzione del problema isoperimetrico affine
d
inverso in , per ogni d ≥ 2 .
Problemi inversi di tipo isoperimetrico costituiscono attualmente oggetto di ricerca, anche perché la
loro risoluzione non limita la sua portata all’ambito variazionale, ma ha importanti ricadute in
diversi aspetti della matematica, quali la geometria degli spazi di Banach, la probabilità geometrica
e la struttura asintotica degli spazi euclidei.
BIBLIOGRAFIA
[1] K.Ball, Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality, J.London Math.Soc. 44 (1991),
154-159
[2] F.Behrend, Über einige Affinvarianten konvexer Bereiche, Math. An. 113 (1937), 713-747
[3] R.Courant, H.Robbins, Che cos’è la Matematica?, Bollati Boringhieri, Torino 2000
[4] P.D’Ancona, E.Montefusco, Il dubbio di Didone, in Ricordando Franco Conti, 59-79, Pubbl.
Cent. Ric. Mat. Ennio Giorgi, Scuola Norm. Sup., Pisa, 2004 (.pdf file)
[5] F.Edler, Vervollständigung der Steiner’schen elementar-geometrischen Beweise für den Satz,
dass der Kreis grösseren Flächeninhalt besitzt, als jede andere ebene Figur gleich grossen
Umfanges, Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen, Math-phys. Kl. 1882, 73-80
[6] L.A.Lyusternik, Die Brunn-Minkowskische Ungleichung für beliebige messbare Mengen, C.R.
Acad. Sci. URSS 8, 55-58 (1935)
[7] R. Osserman, The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), 1182-1238
[8] H.A. Schwarz, Beweis des Satzes, dass die Kugel kleinere Oberfläche besitzals jeder andere
Körper gleichen Volumens, Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl. 1884 1-13, Ges.
Abh. 2 327-340, Berlin 1890
[9] G. Talenti, The standard isoperimetric theorem, in: Handbook of convex geometry A , 73-123,
North-Holland, Amsterdam 1993
Stefano Campi
Dipartimento di Ingegneria
dell’Informazione
Università di Siena
campi@dii.unisi.it