ESPANSIONE COMPRESSIONE - Corsi di Laurea a Distanza ...

CAPITOLO 2 ESPANSIONE
COMPRESSIONE
Nei sistemi di conversione dell’energia le trasformazioni di espansione e compressione
hanno un ruolo rilevante perché attraverso l’espansione e la compressione del
fluido di lavoro si riesce a realizzare lo scambio energetico necessario alla produzione
e trasformazione dell’energia.
In base agli scopi che si vogliono raggiungere nelle trasformazioni energetiche si
distinguono i seguenti casi:
A. espansione e compressione con scambio di lavoro;
B. espansione e compressione senza scambio di lavoro.
Affrontiamo quindi lo studio termodinamico delle trasformazioni di espansione e
compressione facendo riferimento a un sistema termodinamico aperto in moto stazionario,
oltre che unidimensionale, in cui il fluido si comporti come un gas perfetto.
Ammetteremo trasformazioni adiabatiche (reversibili o meno) perché è ciò che si
verifica nella quasi totalità dei casi. Infatti, gli scambi termici con l’esterno sono
estremamente modesti rispetto all’ammontare delle altre forme di energia. Trattandosi
di un gas, riterremo trascurabile la variazione di energia gravitazionale.
A. Per l’espansione e la compressione, con scambio di lavoro, di un gas supporremo
inizialmente nulla la variazione di energia cinetica.
ESPANSIONE. In questo caso lo scopo della trasformazione è la produzione di
lavoro, e quindi di potenza, e si realizza in una turbina. Esaminiamo, con l’ausilio dei
diagrammi termodinamici, una espansione reale applicando il primo principio della
termodinamica
p
A
B
l i
Cambiando di segno a , per avere quantità positive
l i
∫
2
1
2 is
2
v
T
p 1
C D
= vdp + lw li = h2 – h1 1
∫
2
l i
= – vdp– lw li = h1 h2 =
1
SISTEMI ENERGETICI 39
p 2
1
2 is
A B E F
– cp T1 – T2 ( )
n < γ
2
s
h
p 1
l is
p 2
1
2 is
2
s
l i

ESPANSIONE COMPRESSIONE
∫
area A12B = – vdp = li + lw area BD1E = li Nel piano T, s è possibile mettere in evidenza lw ∫
2
1
∫
2
Nasce allora spontaneo, essendoci delle perdite di lavoro, definire un rendimento
della conversione energetica come rapporto tra il lavoro ottenuto realmente rispetto al
lavoro massimo che potrei ottenere in assenza di perdite:
η
Poiché nella realtà l’espansione è adiabatica, possiamo adottare come trasformazione
ideale di riferimento l’adiabatica reversibile che si svolge tra gli stessi limiti di pressione
1 – 2is l is
Ragionando in termini di aree sui diagrammi pv , e T, s possiamo mettere in evidenza
che
l i
da cui si deduce che per passare dal caso ideale a quello reale non basta detrarre il
lavoro delle resistenze passive lw dal lavoro ideale lis ma occorre aggiungere il
lavoro corrispondente all’area del triangolo mistilineo 12is2 , che pertanto rappresenta
un parziale ricupero delle perdite. Fisicamente il fenomeno è il seguente: le perdite,
che si convertono in calore lungo l’espansione, operano come una sorgente
interna di calore che tende ad aumentare l’energia potenziale del fluido ( – vdp e
∆h
) che può essere parzialmente convertita in lavoro. Il fenomeno prende il nome di
ricupero termico (R.T.).
Ritornando al rendimento della trasformazione, definiamo rendimento isentropico
(perché riferito alla trasformazione isentropica)
p -----------
1 ⎛ 2
---- ⎞ n –
li h1 – h2 T1 – T ⎝
2 p ⎠
1
ηis = ---- = ------------------ ------------------
(66)
lis h1 – h T 2is 1 – T γ 1
2is
1 ⎛p2 ---- ⎞
⎝p⎠ 1
Risulta pertanto che è funzione del rapporto delle pressioni: a parità di , poiché
, aumenta con ; ciò per il fenomeno del ricupero.
Allo scopo di avere un rendimento della trasformazione indipendente dal rapporto
delle pressioni, che altrimenti creerebbe difficoltà, soprattutto in sede di confronto tra
processi che si svolgono in macchine diverse o, addirittura nella stessa macchina, è
stata introdotta un’altra definizione di rendimento, alternativa alla precedente.
Poiché la dipendenza dal rapporto delle pressioni è dovuta al manifestarsi del fenomeno
del ricupero, si assume come trasformazione di riferimento quella trasformazione
in cui tale fenomeno non si manifesta. Prima, nella definizione di , il lavoro
–
= = ----------------------------
---------γ
–
ηis n
p1 n < γ ηis --p2
40
2
1
δq
= Tds = δ + δ = lw = area E12F
=
l i
1
--------------
( li) max
∫
2 is
∫
2
1
q e
∫
2
1
l w
= – vdp = area A12isB lis = h1 – h = area AC1E
2is
l w
1
+ = lis + area 12is2 lis = li + lw – area12is2 li = lis – lw + area 12is2 li = lis – lw + area 12is2 n 1 –
η is
∫
(65)

di riferimento o “limite” era lis = li + lw – RT , ora, senza considerare il ricupero,
avremo
η y
n 1 –
p ----------γ
li h1 – h
---------- RT
1 ⎛ 2
---- ⎞ n –
1 ⎝
2 γ – 1
p ⎠
1
------------------------------------------------li + l 2
w
n
n 1
– vdp -----------RT1 p2 ∫ n – 1 1 ⎛---- ⎞
1
⎝p⎠ 1
–
γ--------γ
– 1
= = = --------------------------------- = ----------n----------n
-----------
–
n – 1
p2 Espressione, come si voleva, indipendente da ---- , e che vale, ricordiamolo, nell’ipo-
p1 tesi che qe = 0 e ∆ec = 0 .
Tale rendimento prende il nome di rendimento idraulico perché è tipica delle macchine
idrauliche l’assenza, o meglio, la trascurabilità del ricupero termico, essendo
poco influenti gli effetti termici. Ma prende anche il nome di rendimento politropico
perché si assume come trasformazione di riferimento una politropica reversibile di
pari esponente medio n della politropica reale.
É interessante notare come il rendimento idraulico non sia che quello isentropico portato
al limite per p2 ⁄ p1 tendente all’unità, tanto che diversi autori così lo definiscono,
parlando di rendimento di una espansione infinitesima
lim
ηis ⁄ → 1
p 2 p 1
n 1
p2 1 ⎛---- ⎞
⎝p⎠ 1
–
----------n
–
γ 1
p2 1 ⎛---- ⎞
⎝p⎠ 1
–
d p -----------
---------------------- 1 ⎛ 2
---- ⎞ n
–
dp ( 2 ⁄ p1) ⎝p⎠ 1
lim --------------------------p2
⁄ p1 → 1 ----------
γ 1
γ –
d
---------------------- 1 ⎛
p2 ---- ⎞
dp ( 2 ⁄ p1) ⎝p⎠ 1
–
n – 1
---------n
= = lim --------------------------------------------------------- = ----------- = ηy p2 ⁄ p1 → 1
γ – 1
---------- ---------γ
–
γ
In questa prospettiva, dunque, il rendimento idraulico è da considerarsi il rendimento
isentropico di uno qualunque degli infiniti stadi infinitesimi nei quali si può pensare
di suddividere un’espansione (gli anglosassoni lo chiamano small stage efficiency).
Per quanto visto, e anche se solo per trasformazioni adiabatiche con variazione di
energia cinetica nulla, il rendimento idraulico consente di legare l’esponente della
politropica reale n a quello dell’adiabatica reversibile γ
Il legame tra il rendimento isentropico e quello idraulico è, in queste circostanze,
η is
⎛ ⎞η y
γ 1 –
---------γ
⎜ 1 ⎟
1 – ⎜---- ⎟
⎜p 1⎟
⎝---- p
⎠
2
γ 1 ⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
1 ⎜---- ⎟
⎜p1 ⎝---- ⎟
p ⎠
2
–
= ---------------------------------
---------γ
–
rappresentato nella figura a lato, in cui per ogni valore di ηy = cos t si osserva
l’aumento di ηis all’aumentare del rapporto delle pressioni. L’aumento è tanto più
forte quanto più basso è il rendimento idraulico perché, evidentemente, aumentando
le perdite con il diminuire di , aumenta pure il calore ricuperato.
η y
SISTEMI ENERGETICI 41
n 1 –
(67)
(68)
1
0.9
η is
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
ESPANSIONE
η y
0.7
0 5 p 10
1 ⁄ p2 =

ESPANSIONE COMPRESSIONE
p
B
A
2 is
2
1
v
COMPRESSIONE. Lo scopo della trasformazione è, ora, la compressione di un
fluido e si realizza in un compressore fornendo lavoro dall’esterno. Esaminiamo, con
l’ausilio dei diagrammi termodinamici, una compressione reale applicando il primo
principio della termodinamica
T
p 2
l i
B
A
∫
2
2 is
area A12B = vdp = – area AB2D = li= cp( T2 – T1) Nel piano T, s è possibile mettere in evidenza lw ∫
2
1
Essendoci delle perdite di lavoro, definiamo quale rendimento della conversione
energetica, analogamente al caso dell’espansione, il rapporto tra il lavoro minimo che
si fornirebbe al sistema in assenza di perdite e il lavoro della compressione reale:
η
Adottiamo, come trasformazione ideale di riferimento, l’adiabatica reversibile che si
svolge tra gli stessi limiti di pressione 1 – 2is Ragionando in termini di aree sui diagrammi pv , e T, s possiamo mettere in evidenza
che
Rispetto alla compressione isentropica, per la quale il lavoro è minimo per la macchina
adiabatica, nel caso reale occorre fornire in più il lavoro dovuto alle resistenze
passive, come è logico, ma anche un lavoro extra corrispondente all’area del triangolo
mistilineo 12is2 . Questo lavoro in più nasce da una causa, che è la stessa
dell’espansione, ma che qui ha conseguenze opposte. Infatti il calore generato dagli
attriti lungo la compressione tende a contrastare la compressione stessa perché tende
ad espandere il gas. Tale fenomeno prende il nome di controricupero termico (C.R.T.)
Ritornando al rendimento della trasformazione, definiamo rendimento isentropico
(perché riferito alla trasformazione isentropica)
42
2
1
C D
n > γ
p 1
= vdp + lw li = h2 – h1 1
∫
2
s
2
l ∫ i lw 1
δq
= Tds = δ + δ = lw = area C12D
l is
=
l i
1
( ) min
-------------li
∫
2 is
∫
2
1
q e
∫
2
1
l w
= vdp = area A12isB lis = h – h 2is 1 = area AB2isC 1
li – lw = lis + area 12is2 li = lis + lw + area12is2 li = lis + lw + area 12is2 h
p 2
l is
2 is
1
2
s
l i
p 1

p ----------
⎛ 2
---- ⎞ γ – 1
l h – h is 2is 1 T – T 2is 1 ⎝p⎠ 1
ηis = ---- = ------------------ ------------------
(69)
li h2 – h1 T2 – T n 1
1
⎛
p2 ---- ⎞
⎝p⎠ 1
Risulta pertanto che è funzione del rapporto delle pressioni: a parità di , poiché
, diminuisce con ; ciò per il fenomeno del controricupero.
Anche nel caso della compressione si definisce un rendimento idraulico per avere un
rendimento della trasformazione indipendente dal rapporto delle pressioni.Poichè la
dipendenza dal rapporto delle pressioni è dovuta al manifestarsi del fenomeno del
controricupero, si assume come trasformazione di riferimento quella trasformazione
in cui tale fenomeno non si manifesta. Prima, nella definizione di , il lavoro di
riferimento o “limite” era , ora, senza considerare il controricupero,
avremo
–
= = ----------------------------
----------n
– 1
ηis n
p2 n > γ ηis --p1
ηis lis = li – lw – CRT
η y
γ 1 –
n 1 –
2
p----------vdp n ⎛ 2
li – l ∫ -----------RT
---- ⎞ n – 1
1 ⎝
w 1 n – 1
p ⎠
1
--------------------------------------------li h2 – h1 γ
n 1
---------- RT1 p2 γ – 1 ⎛---- ⎞
⎝p⎠ 1
–
n---------n
– 1
= = = --------------------------------- = ----------γ----------n
----------
– 1 γ – 1
p2 Espressione, come si voleva, indipendente da ---- , e che vale, ricordiamolo, nell’ipo-
p1 tesi che qe = 0 e ∆ec = 0 .
Tale rendimento prende anche il nome di rendimento politropico perché si assume
come trasformazione di riferimento una politropica reversibile di pari esponente
medio n della compressione reale.
Analogamente al caso dell’espansione, e anche se solo per trasformazioni adiabatiche
con variazione di energia cinetica nulla, il rendimento idraulico consente di legare
l’esponente della politropica reale n a quello dell’adiabatica reversibile γ
Il legame tra il rendimento isentropico e quello idraulico è, in queste circostanze,
γ 1 –
ηis p ----------
⎛ 2
---- ⎞ γ
⎝p⎠ – 1
1
1 γ 1
p -----
⎛ 2
---- ⎞ηy
⎝p⎠ 1
(71)
rappresentato nella figura a lato, in cui per ogni valore di si osserva la
diminuzione di all’aumentare del rapporto delle pressioni. La riduzione è tanto
più forte quanto più basso è il rendimento idraulico perché, evidentemente, aumentando
le perdite con il diminuire di , aumenta pure il calore generato.
–
= ---------------------------------
---------γ
– 1
ηy = cos t
ηis η y
SISTEMI ENERGETICI 43
(70)
1
0.9
ηis 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
COMPRESSIONE
η y
cost
0 5 10
p2 ⁄ p1 =

h
h
ESPANSIONE COMPRESSIONE
p 1
c 1
p 1
c 1
c2 2is
------
2
c 2
1 – c2 2is
------------------
2
1
2 is
2 is
1
p2 < p1 c2 > c1 2
p2 > p1 c2 < c1 2
s
s
c 2
----
2
c2 1 – c2 2
---------------
2
B. ESPANSIONE E COMPRESSIONE SENZA SCAMBIO DI LAVORO. Le
trasformazioni di compressione e espansione si possono anche realizzare all’interno
di condotti, opportunamente sagomati, senza scambio di lavoro con l’esterno. Il
calore scambiato con l’esterno si può supporre trascurabile dato che il tempo di permanenza
del gas all’interno del condotto è modesto.
ESPANSIONE. L’espansione di un fluido attraverso, per esempio, un condotto convergente,
produce di solito una accelerazione del fluido che fuoriuscirà ad una velocità
maggiore di quella di ingresso. Gli ugelli (tale è il nome dato ai condotti
espansori) non scambiano lavoro con l’esterno perché nessun albero attraversa i suoi
confini e il fluido subisce una piccola o nessuna variazione di energia potenziale
( ∆eg
) nell’attraversare il condotto. Se, inoltre, la velocità di ingresso del fluido è piccola
rispetto alla velocità di uscita, l’equazione dell’energia per i sistemi aperti in
moto stazionario si riduce a
c 2
2 – 0
c2 2
0 = ( h2 – h1) + ------------- da cui ---- = ( h1 – h2) 2
2
Per un’espansione adiabatica priva di perdite, che possiamo assumere come trasformazione
reversibile di riferimento
c 2 – 0
c 2
2is
2is
0 = ( h – h da cui
2is 1)
+ ---------------
------ = ( h1 – h ) 2is
2
2
con c evidentemente maggiore di c 2is
2
Il rendimento isentropico dell’ugello viene definito come il rapporto tra l’incremento
di energia cinetica del fluido prodotto dall’ugello alla variazione di energia cinetica
subita in un ugello isentropico con le stesse condizioni di ingresso e pressione di
uscita, cioè:
η is
c2 2 – c2 1
2 c 2
1
che può essere espresso in funzione dei rispettivi salti entalpici
η is
I rendimenti isentropici degli ugelli sono tipicamente al di sopra del 90%, e spesso
oltre il 95%.
COMPRESSIONE. In assenza di lavoro scambiato con l’esterno la compressione
del gas può avvenire a spese della sua energia cinetica.
Applicando il 1º principio al volume di controllo che contiene un condotto opportunamente
sagomato, che viene chiamato diffusore, in cui il gas si presenta con velocità
c1 e pressione p1 e che lascerà ad una velocità c2 minore e pressione p2 maggiore,
si ha
Quale trasformazione ideale di riferimento, per definire il rendimento della compressione,
si assume l’adiabatica reversibile che si svolge a partire dalle stesse condizioni
iniziali della trasformazione reale e con la stessa pressione finale
Si definisce pertanto rendimento isentropico del diffusore il rapporto tra la riduzione
di energia cinetica che si ha nel diffusore ideale rispetto alla riduzione subita in
quello reale
44
c 2 2
= ------------------ ≈ -----c
– c 2
2is
2is
=
h1 – h2 -----------------h1
– h2is c 2
2 – c2 1
0 = ( h2 – h1) + ---------------
2
–
0 =
( h – h 2is 1)
+ ------------------
2
c 2 c 2
2is 1
(72)
(73)

η is
c 2
1 – c2 h – h 2is 2is 1
= ------------------ = -----------------c2
1 – c2 2 h2 – h1 DIPARTIMENTO DI ENERGETICA - POLITECNICO DI TORINO
ESERCITAZIONE N. 2 DI SISTEMI ENERGETICI
1. Un'espansore presenta un rendimento idraulico dell'86%, un rapporto delle pressioni
di 4.5 a 1 e un valore medio di γ di 1.333. Calcolare il rendimento isentropico
dell'espansione. [ = 0.88 ].
η is
2. In una turbina si espande aria (assumendo il comportamento di gas perfetto, con
γ = 1.4 , e R=287 J/kgK) dalla temperatura di 1100 K e con rapporto delle pressioni
di 6 a 1. Calcolare le temperature di scarico e il lavoro massico scambiato nei
seguenti casi:
a) espansione adiabatica reversibile;
b) espansione adiabatica irreversibile ( ηy = 0.85 ).
Valutare inoltre l'entità delle resistenze passive e del ricupero termico nel caso b).
{ T2is = 659.3 K , T2 = 711.9 K , lis = 442.7 kJ ⁄ kg , li = 389.8 ,
= 68.8 , RT = 15.9 kJ ⁄ kg }
l w
3. In una turbina si invia del vapor d'acqua a 5 MPa e 500 °C. Sapendo che la pressione
di scarico è 500 kPa e che il rendimento isentropico è pari al 75%, valutare il
lavoro di espansione.
{ = 460 kJ ⁄ kg }
l i
4. Un compressore aspira aria ( γ = 1.4 , e R=287 J/kgK) da un ambiente a 100 kPa
e 25 °C comprimendola a 300 kPa con una temperatura di 150 °C. Calcolare il rendimento
della macchina.
{ = 0.896 , ηis = 0.879 }
η y
5. Un compressore aspira aria (assumendo il comportamento di gas perfetto, con
γ = 1.4 , e R=287 J/kgK) a 100 kPa e 25°C con rapporto delle pressioni di 1 a 6.
Calcolare le temperature di mandata e il lavoro massico scambiato nei seguenti casi:
a) compressione adiabatica reversibile;
b) compressione adiabatica irreversibile ( ηy = 0.85 ).
Valutare, inoltre, l'entità delle resistenze passive e del controricupero termico nel
caso b).
{ = 200.1 kJ ⁄ kg , li = 247.3 , lw = 37.1 , CRT =
10.12 kJ ⁄ kg }
l is
SISTEMI ENERGETICI 45
(74)

ESPANSIONE COMPRESSIONE
46