Meccanica dei fluidi - Ateneonline

Meccanica dei fluidi - 2 a ed. - Soluzione dei problemi Moto dei fluidi comprimibili 471
e, per la 12.88,
λm L∗
=
Di 1
1 − Ma2 1
k Ma2 +
1
k + 1 (k + 1) Ma
ln
2k
2 1
2 + (k − 1) Ma2 =
1
= 1 − 0,1562 1,4 + 1 (1,4 + 1) × 0,1562
+ × ln = 25,6
1,4 × 0,1562 2 × 1,4 2 + 0,4 × 0,1562 Per la 12.89, l’analoga quantità nella sezione di uscita 2, vale
λm L∗
λm L
=
∗
0,023 × 15
= 25,6 −
0,04
Di
2
Di
1
− λm L
Di
= 17,0
valore in corrispondenza del quale la 12.88, risolta con un metodo iterativo,
risulta soddisfatta per Ma2 = 0,187. Nella sezione di ingresso si ha
ρ1 = p1
=
RT1
per cui la portata di massa risulta
300
= 2,09 kg/m3
0,287 × 500
Qm = ρ1 A1V1 = 2,09 × π × 0,04 2 /4 × 70 = 0,184 kg/s
Discussione La lunghezza sonica della sezione 2 è
L ∗ 2 =
λm L∗
Di
= 17,0 × 0,04
= 29,6 m
0,023
Di
2 λm
Pertanto, affinché il numero di Mach aumenti da 0,156 a 0,187 è necessaria
una lunghezza di 15 m, mentre è sufficiente una lunghezza di 29,4 m perché
il numero di Mach passi da 0,187 a 1. Ciò perché il numero di Mach, in
prossimità delle condizioni soniche, aumenta molto rapidamente.
12.61 In una stanza, l’aria a TT = 300 K e pT = 100 kPa viene aspirata
da una pompa attraverso un tubicino, del diametro di 2 cm e lungo 50 cm, il
cui imbocco è ben raccordato mediante un ugello convergente. Il moto può
essere considerato isoentropico nell’ugello e adiabatico nel tubo; l’indice di
resistenza medio è pari a 0,018. Calcolare la massima portata di massa che può
essere aspirata e il numero di Mach all’ingresso del tubo.
Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto
permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici
costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di
resistenza si mantiene costante.
Proprietà Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e
il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg·K),
cp = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.
Analisi La portata di massa massima si ha nelle condizioni di moto soffocato,
per le quali nella sezione di uscita si ha Ma2 = 1, cioè condizioni soniche.
Pertanto, la lunghezza L = 0,50 m della tubazione a monte di tale sezione
coincide con la lunghezza L ∗ , data dalla 12.88, necessaria perché il fluido, partendo
dallo stato definito dal numero di Mach Ma1 raggiunga lo stato sonico.
Si ha, pertanto,
λm L ∗
Di
Publishing Group Italia, Milano
= 0,018 × 0,50
0,02
= 0,45
p T = 100 kPa
T T = 300 K
λ = 0,018
L = 50 cm
D = 2 cm
pompa
a vuoto