Meccanica dei fluidi - Ateneonline

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458 Capitolo 1 Y. Çengel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Ma 1 = 5 Ma 1 = 2,4 Ma 1 β onda d’urto obliqua Ma 2 25° δ Ma 2 10° θ La contropressione risulta p2 = p1 1 + kMa 2 1 1 + kMa 2 2 2kMa = p1 2 1 − k + 1 k + 1 = 0,187 × 2 × 1,4 × 2,22 − 1,4 + 1 1,4 + 1 = = 1,025 MPa 12.39 Una corrente di aria a Mach 5 investe un corpo bidimensionale cuneiforme. Mediante il grafico della figura 12.35, stimare l’angolo di inclinazione minimo e l’angolo di deviazione massimo dell’onda d’urto obliqua rettilinea che si genera. Analisi Per Ma = 5, dalla figura 12.35 si legge angolo di inclinazione minimo: β min = 12 ◦ angolo di deviazione massimo: θmax = 41,5 ◦ Discussione Al crescere del numero di Mach, l’angolo di inclinazione minimo diminuisce, mentre l’angolo di deviazione massimo aumenta. 12.40 Una corrente di aria a Mach 2,4, pressione di 70 kPa e temperatura di 260 K, investe un corpo bidimensionale cuneiforme con semiangolo di apertura di 10 ◦ . Calcolare il numero di Mach a valle e la pressione e la temperatura sulla faccia superiore del corpo, quando il suo asse forma un angolo di 25 ◦ con la direzione del moto. Ipotesi 1 Il moto è permanente. 2 Lo strato limite sulla parete del corpo è molto sottile. 3 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. Proprietà Il rapporto tra i calori specifici dell’aria è k = 1,4. Analisi Per l’ipotesi 2, si può ritenere che sia θ ∼ = δ = 25◦ − 10◦ = 15◦ . Per la 12.49, si ha k + 1 ν(Ma1) = k − 1 arctan k − 1 k + 1 (Ma2 1 − 1) − arctan Ma2 1 − 1 = 2,4 0,4 = × arctan 0,4 2,4 × (2,42 − 1) − arctan 2,42 − 1 = 36,75 ◦ Per la 12.48, il valore della funzione di Prandtl-Meyer a valle è ν(Ma2) = θ + ν(Ma1) = 15 + 36,75 = 51,75 ◦ Noto il valore della funzione di Prandtl-Meyer ν(Ma2), il calcolo del valore del numero di Mach Ma2 che soddisfa la 12.49 non è immediato in quanto l’equazione è implicita in Ma2. Si deve, pertanto, fare ricorso ad un metodo iterativo. L’equazione risulta soddisfatta per Ma2 = 3,105. Considerando il moto isoentropico, si ha pT = costante e, quindi, p2 = p1 p2/pT p1/pT Copyright c○ 2011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l.
Meccanica dei fluidi - 2 a ed. - Soluzione dei problemi Moto dei fluidi comprimibili 459 e, introducendo la 12.20, p2/pT = p1 p1/pT [1 + (k − 1) Ma2 = 1 /2]−k/(k−1) 1 + 0,4 × 3,105 = 70 × 2 /2 1 + 0,4 × 2,42 −1,4/0,4 = 23,8 kPa /2 p2 = p1 [1 + (k − 1) Ma 2 2 /2]−k/(k−1) Analogamente, essendo TT = costante, introducendo la 12.19, si ha T2/TT [1 + (k − 1) Ma = T1 T1/TT 2 2 /2]−1 [1 + (k − 1) Ma2 = 1 /2]−1 1 + 0,4 × 3,105 = 260 × 2 /2 1 + 0,4 × 2,42 −1 = 191 K /2 T2 = T1 Discussione Trattandosi di un processo di espansione, i valori del numero di Mach e della pressione a valle sono entrambi inferiori a quelli di monte. 12.41 Una corrente di aria a Mach 3,6, pressione di 40 kPa e temperatura di 280 K, è costretta a subire un’espansione mediante una deviazione di 15 ◦ . Calcolare il numero di Mach, la pressione e la temperatura dell’aria a valle dell’espansione. Ipotesi 1 Il moto è permanente. 2 Lo strato limite sulla parete del corpo è molto sottile. 3 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. Proprietà Il rapporto tra i calori specifici dell’aria è k = 1,4. Analisi Per l’ipotesi 2, si può ritenere che sia θ ∼ = δ = 15◦ . Per la 12.49, si ha k + 1 ν(Ma1) = k − 1 arctan k − 1 k + 1 (Ma2 1 − 1) − arctan Ma2 1 − 1 = 2,4 0,4 = × arctan 0,4 2,4 × (3,62 − 1) − arctan 3,62 − 1 = 60,09 ◦ Per la 12.48, il valore della funzione di Prandtl-Meyer a valle è ν(Ma2) = θ + ν(Ma1) = 15 + 60,09 = 75,09 ◦ Noto il valore della funzione di Prandtl-Meyer ν(Ma2), il calcolo del valore del numero di Mach Ma2 che soddisfa la 12.49 non è immediato in quanto l’equazione è implicita in Ma2. Si deve, pertanto, fare ricorso ad un metodo iterativo. L’equazione risulta soddisfatta per Ma2 = 4,81. Considerando il moto isoentropico, si ha pT = costante e, quindi, e, introducendo la 12.20, p2 = p1 Publishing Group Italia, Milano p2 = p1 p2/pT p1/pT [1 + (k − 1) Ma 2 2 /2]−k/(k−1) p2/pT = p1 p1/pT [1 + (k − 1) Ma2 = 1 /2]−k/(k−1) 1 + 0,4 × 4,81 = 40 × 2 /2 1 + 0,4 × 3,62 −1,4/0,4 = 8,31 kPa /2 Ma 1 3,6 θ δ = 15° Ma 2
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