4. FLUIDI AERIFORMI NEI CONDOTTI - Corsi di Laurea a Distanza ...

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Politecnico di Torino Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine dove, al solito, è stato trascurato il termine dovuto alla variazione di energia potenziale. Applicando il primo principio in forma mista, si ottiene: m−1 2 Li = 0 = ∫ vdp + Lw 1 m p m 2 Δ E c RT ⎢⎛ ⎞ + = 1 m 1 ⎢ ⎜ p ⎟ − 1 −1 ⎥ + Lw + Δ ⎥ p 2 Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 4. Moto degli Aeriformi nei Condotti - pag. 41 ⎡ ⎢ ⎝ ⎣ ⎡ ⎤ ⎢ Lw + ΔE ⎥ c = p1 ⎢1 − m ⎥ ⎢ RT ⎥ 1 ⎣ m −1 ⎦ Analogamente a quanto visto per l’effusore, il rendimento idraulico ed il rendimento isentropico di un diffusore sono definiti nel modo seguente (ΔEc < 0): ΔEc + Lw Δi is η yd = , η d = . ΔE Δi c Se il sistema non è inerziale, tutte le relazioni precedenti sono applicabili con riferimento al moto relativo. m ⎠ m−1 4.3 ANDAMENTO DELLE AREE IN UN CONDOTTO Esprimendo la variazione di portata fra due sezioni distanti dx lungo il condotto e considerando il fluido in moto permanente, si può scrivere: dm& = m& dA A + dc c . ⎤ ⎥⎦ dρ + = 0 . [1] ρ Dal primo principio della termodinamica espresso in forma euleriana con L i = 0 e L w = 0 risulta (sistema inerziale): dp = −c ⋅ dc , ρ da cui si evince che ad un aumento di velocità corrisponde una diminuzione di pressione, e viceversa. Sostituendo nella [1], si ottiene: dA dp − 2 A ρc dρ 1 dA 1 + = 0 ⇒ − 2 ρ A dp ρc 1 1 ρ dA 1 1 + = 0 ⇒ = − 2 2 ρ ⎛dp ⎞ A dp ⎜ d ⎟ c cs ⎝ ρ ⎠ . [2] Nella scrittura delle precedenti relazioni si è assunta l’ipotesi di moto isentropico, e dunque si è calcolata la derivata della pressione rispetto alla densità ad entropia costante: ⎛ dp ⎞ ⎜ d ⎟ ⎝ ρ ⎠ 2 = cs , S= cos t dove cS è la velocità del suono. La [2] può essere anche scritta come segue: E c ,
Politecnico di Torino Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine ρ dA 1 = 2 A dp c 2 ( 1 − M ) dove M è il numero di Mach. Si possono a questo punto effettuare alcune considerazioni sull’andamento delle aree delle sezioni di passaggio del fluido lungo la linea d’asse di un effusore o un diffusore, secondo quanto riassunto nella tabella seguente: Subsonico c c < M < 1 Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 4. Moto degli Aeriformi nei Condotti - pag. 42 s Supersonico c > cs M > 1 Effusore dp < 0 dA < 0 dA > 0 Diffusore dp > 0 dA > 0 dA < 0 Risulta pertanto che un effusore o ugello è un convergente se il moto all’ingresso del condotto è subsonico, è un divergente se invece è supersonico. Per un diffusore valgono le condizioni opposte. Nel caso di ugello convergentedivergente, dunque, se nella sezione minima non si è raggiunta la velocità del suono, rendendo divergente il condotto il flusso non viene più accelerato. Si parla di condizioni critiche quando in un punto viene raggiunta la velocità del suono (M=1). Tali conclusioni sono valide anche se il sistema non è inerziale, purchè si faccia riferimento al moto relativo. 4.4 PRESSIONE CRITICA IN UN CONVERGENTE Ipotizzando di avere a disposizione un condotto convergente nel quale il fluido evolva secondo una trasformazione isentropica (Qe = 0 e Lw = 0), il primo principio della termodinamica si semplifica in questo modo: 2 2 c 2, is − c1 0 = i − i + . 2, is 1 La massima pressione di valle che rende sonica la velocità di efflusso è detta pressione critica p . Se per ipotesi, inoltre, c = 0, applicando il primo principio cr 1 al condotto, risulta: 2 2 ⎛ dp ⎞ c2, is = c2s = ⎜ ⎟ = 2c p ( T1 −T2 , cr ) , ⎝ dρ ⎠S = cos t con 2 c 2s = kRT2 , cr . Si può pertanto scrivere: k ⎛ T2 , cr ⎞ 2 RT1 1 = kRT2 , cr = kRT k 1 ⎜ − T ⎟ − ⎝ 1 ⎠ da cui si ottiene: 1 T 2 2, cr T 1 2 ⎛ T2 ⇒ 1 k 1 ⎜ − − ⎝ T , cr 1 ⎞ T ⎟ = ⎠ T 2, cr 1 ,
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