Modelli Differenziali Lineari semplici - Cm-physmath.net
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ɺ<br />
(<br />
( )<br />
− ( R/( 2L))<br />
t<br />
q ( t; k 1, k 2) e k 1R/( 2L) k 2 ∆ / 4 cos ∆ / 4 t<br />
= − + − − −<br />
<br />
<strong>Modelli</strong> <strong>Differenziali</strong> <strong>Lineari</strong> <strong>semplici</strong> – 11<br />
( k 1 ∆ / 4 k 2R/(<br />
2L) ) sin ∆ / 4 t )<br />
− − + −<br />
<br />
. (27)<br />
Come per il circuito L -C<br />
, anche le soluzioni (particolari) fisiche appropriate per il circuito<br />
R -L -C<br />
si ricavano dalla soluzione del problema di Cauchy<br />
⎧⎪ q ( 0;<br />
k 1, k 2) = Q ≡ VC , 0C<br />
⎨<br />
.<br />
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)<br />
= 0<br />
Con le Eq. (26) e (27), si trovano i valori k1 = VC , 0 C e k 2 =<br />
VC , 0RC<br />
2<br />
4L/<br />
C − R<br />
, i quali, sostituiti nelle<br />
stesse equazioni, forniscono la dipendenza temporale fisica della carica elettrica e della corrente,<br />
(<br />
− ( R / 2L) t<br />
2<br />
q( t) = VC , 0Ce cos 1/ LC − ( R/ 2L)<br />
t +<br />
<br />
+<br />
<br />
R<br />
L/ C − R<br />
2<br />
4<br />
2<br />
sin 1/ LC − ( R/ 2 L) t , (28)<br />
2V<br />
q t i t e LC R L t<br />
4L/<br />
C − R<br />
C , 0 − ( R / 2L) t<br />
2<br />
ɺ ( ) ≡ ( ) = − sin 1/ − ( / 2 ) . (29)<br />
2<br />
Si noti come, per R ≡ 0, le Eq. (28) e (29) si riducano, prevedibilmente, alle Eq. (23) e (24) per il<br />
circuito L -C<br />
.<br />
L’analisi svolta quando R < 2 L/ C , implicando soluzioni di andamento periodico, modulato da<br />
un’attenuazione esponenziale, corrisponde al regime di sovra-smorzamento;<br />
2. se ∆ = 0 , i.e., se R = 2 L/ C ,<br />
l’equazione caratteristica associata all’Eq. differenziale (24) ha la radice doppia λ = − R/( 2 L)<br />
.<br />
Pertanto, l’integrale generale e la sua derivata 1.a si scrivono<br />
Dal problema di Cauchy<br />
q t k k e k k t<br />
− ( R/( 2L))<br />
t<br />
( ; 1, 2) = ( 1 + 2 ) , (30)<br />
− R L t ⎛ R ⎛ R ⎞ ⎞<br />
ɺ ⎜ 1 ⎟ . (31)<br />
⎝ 2L ⎝ 2L<br />
⎠ ⎠<br />
( /( 2 ))<br />
q ( t; k1, k 2) = −e k 1 − ⎜ − t ⎟k<br />
2<br />
⎧⎪ q ( 0;<br />
k 1, k 2) = Q ≡ VC , 0C<br />
⎨<br />
,<br />
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)<br />
= 0<br />
si determinano i valori k 1 = VC , 0 C e k 2 = VC , 0RC /( 2 L)<br />
, appropriati per la soluzione del<br />
problema fisico. Introducendo tali valori nelle equazioni (30) e (31), si selezionano le<br />
rappresentazioni temporali della carica nel condensatore e della corrente di scarica,<br />
− ⎛ R ⎞<br />
⎜ ⎟ , (32)<br />
⎝ 2L<br />
⎠<br />
( R /( 2L))<br />
t<br />
q( t) = VC , 0C<br />
e 1 + t<br />
)