Modelli Differenziali Lineari semplici - Cm-physmath.net

ɺ
(
( )
− ( R/( 2L))
t
q ( t; k 1, k 2) e k 1R/( 2L) k 2 ∆ / 4 cos ∆ / 4 t
= − + − − −
Modelli Differenziali Lineari semplici – 11
( k 1 ∆ / 4 k 2R/(
2L) ) sin ∆ / 4 t )
− − + −
. (27)
Come per il circuito L -C
, anche le soluzioni (particolari) fisiche appropriate per il circuito
R -L -C
si ricavano dalla soluzione del problema di Cauchy
⎧⎪ q ( 0;
k 1, k 2) = Q ≡ VC , 0C
⎨
.
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)
= 0
Con le Eq. (26) e (27), si trovano i valori k1 = VC , 0 C e k 2 =
VC , 0RC
2
4L/
C − R
, i quali, sostituiti nelle
stesse equazioni, forniscono la dipendenza temporale fisica della carica elettrica e della corrente,
(
− ( R / 2L) t
2
q( t) = VC , 0Ce cos 1/ LC − ( R/ 2L)
t +
+
R
L/ C − R
2
4
2
sin 1/ LC − ( R/ 2 L) t , (28)
2V
q t i t e LC R L t
4L/
C − R
C , 0 − ( R / 2L) t
2
ɺ ( ) ≡ ( ) = − sin 1/ − ( / 2 ) . (29)
2
Si noti come, per R ≡ 0, le Eq. (28) e (29) si riducano, prevedibilmente, alle Eq. (23) e (24) per il
circuito L -C
.
L’analisi svolta quando R < 2 L/ C , implicando soluzioni di andamento periodico, modulato da
un’attenuazione esponenziale, corrisponde al regime di sovra-smorzamento;
2. se ∆ = 0 , i.e., se R = 2 L/ C ,
l’equazione caratteristica associata all’Eq. differenziale (24) ha la radice doppia λ = − R/( 2 L)
.
Pertanto, l’integrale generale e la sua derivata 1.a si scrivono
Dal problema di Cauchy
q t k k e k k t
− ( R/( 2L))
t
( ; 1, 2) = ( 1 + 2 ) , (30)
− R L t ⎛ R ⎛ R ⎞ ⎞
ɺ ⎜ 1 ⎟ . (31)
⎝ 2L ⎝ 2L
⎠ ⎠
( /( 2 ))
q ( t; k1, k 2) = −e k 1 − ⎜ − t ⎟k
2
⎧⎪ q ( 0;
k 1, k 2) = Q ≡ VC , 0C
⎨
,
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)
= 0
si determinano i valori k 1 = VC , 0 C e k 2 = VC , 0RC /( 2 L)
, appropriati per la soluzione del
problema fisico. Introducendo tali valori nelle equazioni (30) e (31), si selezionano le
rappresentazioni temporali della carica nel condensatore e della corrente di scarica,
− ⎛ R ⎞
⎜ ⎟ , (32)
⎝ 2L
⎠
( R /( 2L))
t
q( t) = VC , 0C
e 1 + t
)