<strong>Modelli</strong> <strong>Differenziali</strong> <strong>Lineari</strong> <strong>semplici</strong> – 9 Mediante le Eq. (21) e (22), si trovano i valori k 1 = VC , 0 C e k 2 = 0 che, sostituiti nelle stesse, danno il comportamento temporale della carica elettrica e quello della corrente, entrambi puramente periodici. q ( t) = VC , 0 C cos t , LC (23) qɺ ( t) ≡ i ( t) = −VC , 0 C / L sin t , LC (24) ■
Il circuito elettrico in serie R -L -C <strong>Modelli</strong> <strong>Differenziali</strong> <strong>Lineari</strong> <strong>semplici</strong> – 10 Il modello del circuito L -C in serie mostra un’idealizzazione evidente, l’assenza di resistenza. Questa è presente sia negli avvolgimenti dell’induttore che nei collegamenti del circuito. L’effetto della resistenza è quello di dissipare energia elettromag<strong>net</strong>ica termicamente; in tal modo, la resistenza di un circuito elettrico ha un ruolo analogo a quello dell’attrito in un sistema meccanico. Si supponga che un induttore di auto-induttanza L e un resistore di resistenza R siano connessi in serie con un condensatore carico, di capacità C ≡ Q/ VC ( 0 ) ≡ Q/ VC , 0 . Inizialmente, il sistema è aperto e isolato. All’istante della chiusura del circuito (t = 0 ), il condensatore incomincia a scaricare ma, a causa 2 delle perdite-Joule ( ∝ Ri ( t) ) nel resistore, l’energia dell’induttore, quando il condensatore è completamente scarico, è minore dell’energia originaria del condensatore. A sua volta, l’energia dell’induttore diminuisce, come conseguenza della diminuzione del campo di induzione mag<strong>net</strong>ica ΒΒΒΒ ( t) associato alla corrente decrescente, e così via. Se la resistenza R è relativamente piccola, il circuito (i.e., i suoi parametri circuitali variabili, la corrente e la carica) oscilla con andamento temporale armonico sotto-smorzato. Per valori di R crescenti, le oscillazioni si attenuano fino a svanire nel limite dello smorzamento critico. Per valori di R ancora più elevati, il circuito entra in regime di sovra-smorzamento, con la corrente quasi istantaneamente evanescente. La descrizione quantitativa dello stato di chiusura del circuito R -L -C con il condensatore inizialmente carico si esprime, attraverso la 2.a legge di Kirchhoff, ∀ t ≥ 0 , come di ( t) q ( t) 0 = VR ( t) + V L ( t) + VC ( t) ≡ i ( t) R + L + . (23) dt C Rispetto alla carica accumulata nel condensatore, l’Eq. (23) diventa R 1 qɺɺ + qɺ + q = 0 , (24) L LC che, per R ≡ 0, si riduce all’Eq. differenziale (20). Le soluzioni dell’equazione caratteristica associata all’Eq. differenziale (24) (del 2.o ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti), 2 λ = − R/( 2L) ± ( R/( 2L)) − 1/( LC ) ≡ − R/( 2L) ± ∆ / 4 , (25) includono i vari contributi temporali al tempo di rilassamento circuitale. Il discriminante (ridotto) 2 2 2 ∆ = ( R/ L) − 4/( LC ) ≡ ( R − 4 L/ C )/ L , indica chiaramente che la forma dell’integrale generale dell’Eq. (24), q ( t; k1, k1 ) , dipende dal confronto tra il valore di R e quello di 2 L/ C . Precisamente, 1. se ∆ < 0 , i.e., se R < 2 L/ C , risulta della quale, si calcola la derivata 1.a q t k k e k 4 t k 4 t , (26) − ( R / 2L) t ( ; 1, 2) = ( 1 cos − ∆ / + 2 sin − ∆ / )
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