Modelli Differenziali Lineari semplici - Cm-physmath.net

Revisione
nov. 2012
Modelli Differenziali Lineari
semplici
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series

Joseph Louis Lagrange Lagrange (1736 (1736-1813)
Modelli Differenziali Lineari semplici – 1

Modelli Differenziali Lineari semplici – 2
Il modello evoluzionistico di Malthus (T. R., 1766-1834)
Si consideri una popolazione isolata di individui identici, i cui unici fattori di evoluzione sono
fertilità e mortalità. In tal senso, siano
• N ( t ) una funzione derivabile che rappresenta il numero di individui viventi al tempo t ,
• ν il numero di nuovi individui nati per individuo vivente e per unità di tempo,
• µ il numero di nuovi individui morti per individuo vivente e per unità di tempo.
Allora, in un intervallo di tempo variabile τ , il numero di nuovi nati e il numero di nuovi morti
sono, rispettivamente, ν τ N ( t)
e µτ N ( t)
, così che, rispetto a un certo tempo t di riferimento, la
variazione del numero di individui nell’intervallo di tempo τ adiacente, nel passato immediato o
nel futuro immediato, è
∆N ( t) ≡ N ( t + τ ) − N ( t) = ( ν − µ ) τN
( t)
. (1)
Dividendo i membri dell’Eq. (1) per τ e prendendo il limite per τ → 0 , si ha
N ( t + τ ) − N ( t) dN ( t)
lim = = ( ν − µ ) N ( t)
, i.e., in notazione
τ → 0 τ
dt
Nɺ ( t) = ( ν − µ ) N ( t)
. (2)
L’equazione differenziale (2), del 1.o ordine e in forma normale, è del tipo sia a variabili
separabili sia lineare omogenea.
La costante λ : = ν − µ definisce il potenziale biologico della popolazione. L’Eq. (2), riscritta
come derivata logaritmica di N ( t ) ,
Nɺ ( t)
= λ ,
N ( t)
esprime il tasso relativo costante ( ≡ λ ) di variazione (aumento o diminuzione) temporale della
popolazione.
Se si conosce il numero N 0 ≡ N ( 0 ) di individui viventi al tempo iniziale t = 0 , il numero di
individui viventi al tempo t > 0 è data dalla soluzione particolare dell’Eq. (2)
t
N ( t) N e λ
= 0 . (3)
Per t → + ∞ , la popolazione evolverà aumentando esponenzialmente senza limite o diminuendo
verso la sua estinzione asintotica secondo che sia λ ≷ 0 .
■

Modelli Differenziali Lineari semplici – 3
Il modello evoluzionistico di Verhulst (P. F., 1804-1849)
Il modello evoluzionistico di Malthus si dimostra, chiaramente, troppo semplicistico e irrealistico
nella maggioranza dei casi. Infatti, all’aumento di una popolazione corrisponde, quanto meno, una
diminuzione della disponibilità (finita!) di risorse. Questo, a sua volta, innesca un processo di
decrescita temporale del numero N ( t ) degli individui.
Verhulst propose, al posto di quella espressa dall’Eq. (2), la legge di evoluzione differenziale
N ( t)
N ′
⎛ ⎞
( t) = λN
( t)
⎜1 − ⎟ , (4)
⎝ κ ⎠
+
con { λ, κ} ⊂ RRRR parametri empirici di evoluzione.
L’equazione differenziale (4) è del tipo di Bernoulli in forma normale. Riscritta nella forma più
convenzionale
λ 2
N ′ ( t) − λN
( t) = − N ( t)
, (5)
κ
una sua soluzione particolare è N ( t) ≡ 0 . Per N ( t) ≠ 0 , si ponga
1/( 1 − 2)
N ( t) : = ( z( t)) ≡ 1 / z( t)
.
−1
2
Da questo, si calcola N ′ = d ( z )/ dt = −z
′ / z .
2 2
Pertanto, l’Eq. (5) assume la forma −z′ / z − λ / z = λ /( κz
) , i.e., z′ + λz = λ / κ , quella di una
equazione differenziale lineare non-omogenea del 1.o ordine, il cui integrale generale è dato da
( λ κ )
−λt
− dt dt ce
z ( t; c) e ∫ λ λ
c ( / ) e ∫
+ 1
= + ∫ dt = … = .
κ
Segue che l’integrale generale dell’equazione differenziale originaria si scrive
κ κe
N ( t; c)
= ≡
ce + 1 c + e
λt
−λt
λt
. (6)
Dalla famiglia di soluzioni particolari (6), si può, ora, determinare quella soluzione corrispondente
alla condizione iniziale N ( 0 ; c) ≡
λt λt
κ e /( c + e ) = N 0 ( > 0 ). Essa è tale che
t = 0
c = κ / N 0 − 1. (7)
Introducendo il valore (7) di c nell’Eq. (6), si ottiene l’unica soluzione del problema specifico,
λt
κN
0e
N ( t)
≡
. (8)
λt
κ + N ( e − )
0 1
È interessante analizzare, per κ assegnata, l’andamento di graf N al variare di t nei tre casi
possibili N 0 κ : si trova che risulta sempre ( ) lim N t = κ .
t → +∞
La costante κ è la cosiddetta capacità dell’ambiente (irrealisticamente dotato di risorse infinite).
Le soluzioni particolari N ( t ) = 0 e N ( t) = κ sono le cosiddette soluzioni di equilibrio: la prima
è quella banale, l’altra è detta asintoticamente stabile o di equilibrio asintotico.
Il Modello di Malthus discusso in precedenza corrisponde a una condizione di capacità illimitata
dell’ambiente nella soluzione (8) del Modello di Verhulst, i.e., a quando κ → + ∞ .
■■■

1. Il caricamento di un condensatore
Il circuito in serie R -C
Modelli Differenziali Lineari semplici – 4
Quando il generatore di tensione costante ( ∴ V ) viene chiuso sul circuito (t = 0 ), il condensatore
( ∴ C ) è ancora scarico e, quindi, la d.d.p. tra le sue armature è nulla mentre la d.d.p. attraverso il
resistore ( ∴ R ) ha il valore massimo V , quello del generatore, e conduce una corrente di intensità
istantanea massima,
V dq ( t)
I ≡ i ( 0) = = ≡ qɺ
( 0)
,
R dt t = 0
essendo q ≡ q ( t)
la quantità di carica elettrica presente nel condensatore all’istante t .
All’istante t , le differenze di potenziale attraverso, rispettivamente, il resistore e il condensatore
valgono V ( t) = i ( t) R e V ( t) = q ( t)/ C . Quindi, ∀ t ≥ 0 , si ha
R
i.e., in modo equivalente, la corrente
C
V ≡ V ( t) + V ( t) = i ( t) R + q ( t)/ C , (1)
R C
dq ( t) V q ( t)
i ( t)
≡ = − . (2)
dt R RC
Rispetto alla carica elettrica, l’Eq. (2) è un’equazione differenziale del 1.o ordine sia lineare nonomogenea
che a variabili separabili. Sfruttando la prima rappresentazione,
se ne scrive immediatamente l’integrale generale,
1 V
qɺ + q = , (3)
RC R
⎛ ⎞
⎝ ∫
⎠
1 1
∫ dt − dt
RC ∫ RC
−t
/) RC )
q ( t ; k) = ⎜k + ( V / R) e dt ⎟e
= ke + VC
, (4)
dove VC ≡ Q è la carica massima (finale) nel condensatore, corrispondente a i ( t) ≡ 0 .
t → +∞
La soluzione fisica – unica! – del processo di caricamento si determina dall’Eq. (4) imponendo la
condizione iniziale 0 ≡ q ( 0 ; k) = k + VC , i.e., k = − VC . Allora, l’integrale generale (4)
restituisce la soluzione particolare richiesta,
−t /( RC ) −t
/( RC )
q ( t) = Q ( 1 − e ) ≡ VC ( 1 − e ) , (5)
che rappresenta un aumento di carica nel condensatore.
A sua volta, l’andamento della corrente di caricamento deve risultare decrescente nel tempo.
Infatti, derivando l’Eq. (5), si ottiene
dq ( t) V
i ( t) e Ie
dt R
−t /( RC ) −t
/( RC )
≡ = = . (6)
La costante temporale τ ≡ RC è detta tempo di rilassamento del circuito R -C
, i.e., quello
necessario per ridurre il valore della corrente a 1 /e di quello iniziale. Il tempo t / ≡ τ ln2
è quello
di dimezzamento della corrente ovvero quello necessario per caricare il condensatore fino a metà
della carica disponibile nel circuito, Q / 2 .
1 2
■

2. La scarica di un condensatore
Modelli Differenziali Lineari semplici – 5
Al tempo t = 0 , una carica totale Q 0 ≡ q ( t ) è contenuta nel condensatore. Non è necessario
t = 0
assumere che sia Q0 ≡ Q , la carica di saturazione definita al Punto 1 precedente.
All’apertura del circuito (t = 0 ), il generatore di tensione viene escluso e il condensatore
incomincia scaricare attraverso il resistore.
Quindi, per t ≥ 0 , l’Eq. (1) diventa
q ( t)
0 = VR ( t) + VC ( t) = i ( t) R + , da cui,
C
q ( t)
i( t)
= − , i.e.,
RC
1
qɺ + q = 0 ,
RC
(7)
un’equazione differenziale lineare omogenea (trasformabile in una a variabili separabili) il cui
integrale generale è dato da
q ( t; k) ke −
t /( RC )
= . (8)
La soluzione fisica, corrispondente alla condizione iniziale Q0 ≡ q ( 0 ; k) = k , è
q ( t) = Q e ≡ V ( ) Ce
−t / RC −t
/( RC )
0 C 0 . (9)
Derivando l’Eq. (9), si determina l’andamento temporale della corrente di scarica,
Q V ( 0)
q t i t e e
RC R
0 −t /( RC ) C −t
/( RC )
ɺ ( ) ≡ ( ) = − ≡
. (10)
Il segno − davanti a /
Q RC
0 rende conto del verso della corrente di scarica, opposto a quello
relativo al processo di caricamento.
■

Il circuito elettrico in serie R -L
1. L’aumento di conduzione attraverso un induttore
Modelli Differenziali Lineari semplici – 6
Quando il generatore di tensione costante ( ∴ V ) viene chiuso sul circuito (t = 0 ), l’intensità della
corrente non sale istantaneamente al suo valore finale ma, a causa della f.e.m. auto-indotta, cresce
a un tasso che dipende dall’auto induttanza L e dalla resistenza R del circuito. Le differenze di
potenziale attraverso l’induttore e attraverso il resistore sono, rispettivamente, V ( t) = Ldi ( t)/ dt
e V ( t) = i ( t) R , da cui, per sovrapposizione, risulta V = V ( t) + V ( t) = Ldi ( t)/ dt + Ri ( t)
.
R
Quindi, il tasso di aumento della corrente è
L R
di ( t) V R
= − i ( t)
. (11)
dt L L
Alla chiusura del circuito, è ancora i ( 0) ≡ 0 così che la corrente incomincia a crescere al tasso
i′ ( t) = V / L : quanto maggiore è l’auto-induttanza L del circuito tanto meno rapido risulta
t = 0
l’aumento iniziale della corrente.
Mentre la corrente cresce, anche il termine Ri ( t)/ L cresce e, quindi, il tasso di crescita della
corrente diminuisce progressivamente. Quando la corrente raggiunge il suo valore stazionario
finale I , il suo tasso di aumento è 0 , i.e., l’Eq. (11) si riduce alla forma 0 = V / L − RI / L , che dà
I = V / R , corrispondente alla conduzione puramente resistiva.
di R
del 1.o ordine. Sfruttando, e.g., la prima rappresentazione, − = dt , e integrandone
i −V
/ R L
completamente i membri, si trova
⎛V ⎞ R
−ln ⎜ − i ( t) ⎟ = t + k . (12)
⎝ R ⎠ L
La soluzione del problema fisico di aumento conduttivo in regime lineare R -L
corrisponde
all’introduzione della condizione iniziale i ( t ) t = ≡ 0 nell’Eq. (12). Si ottiene k = − ln ( V / R)
0
che, sostituito nell’Eq. (12), dà
⎛ Ri ( t) ⎞ R
ln⎜1
− ⎟ = − t . (13)
⎝ V ⎠ L
Quindi, esponenziando i membri dell’Eq. (13), si determina la corrente,
il cui tasso di crescita vale
V −( R/ L) t −(
R / L) t
i ( t) = ( 1 − e ) ≡ I ( 1 − e ) , (14)
R
di ( t) V −( R / L) t IR −(
R / L) t
= e ≡ e . (15)
dt L L
Il modello matematico differenziale lineare descrive le previsioni fisiche in modo accettabile: le
Eq. (14) e (15) danno, rispettivamente, i ( 0) = 0 e iɺ ( 0)
= V / L mentre, per t → + ∞ , risulta che
i( t) → V / R ≡ I e iɺ ( t) → 0 .
La costante τ : = L/ R si definisce costante temporale o di decadimento del circuito R -L
. Essa
corrisponde al tempo necessario affinché, dalla chiusura del circuito, la corrente aumenti in
intensità da 0 fino a ( 1 − 1/ e)
≈ 63 % del suo valore finale I .
L

Modelli Differenziali Lineari semplici – 7
Invece, il tempo t1/ 2 richiesto affinché la corrente raggiunga metà del suo valore finale si ottiene
ponendo
( R / L) t
e −
= 1/ 2 . Si ottiene t 1/ 2 = τ ln2,
come per il circuito R -C
.
Osservazione
−(
R/ L) t
L’Eq. (14) può essere scritta nella forma dq ( t) = I ( 1 −e
) dt e, quindi, integrata rispetto al
tempo tra 0 e t , assumendo che q ( 0 ) = q 0 :
t
−( R / L) u ⎛ L −(
R / L) t ⎞ V
q ( t) = q 0 + I ∫ ( 1 − e ) du = q 0 + I ⎜t + e ⎟ ~ It ≡ t . (16)
0 ⎝ R ⎠ R
L’andamento asintotico (t → + ∞ ) della quantità di carica che fluisce nel circuito R -L
porta alla
conclusione ovvia che essa, in assenza di un condensatore, non può essere accumulata fino a un
valore di saturazione ma aumenta (linearmente) senza limite.
■
2. La diminuzione di conduzione attraverso un induttore
Se il generatore di tensione (costante) viene aperto bruscamente (V ≡ 0) sul circuito R -L
in
regime di conduzione stazionaria, l’Eq. (11) indica che la corrente diminuisce al tasso
di ( t) R
= − i ( t)
. (17)
dt L
L’integrale generale dell’Eq. Differenziale (17), sia a variabili separabili che lineare omogenea
del 1.o ordine, è immediato,
i ( t; k) ke −
( R / L) t
= . (18)
La soluzione (particolare) fisica è ottenuta imponendo la condizione iniziale i ( 0 ; k) ≡ I , che
specifica il valore k ≡ I per la costante di integrazione. Ne risulta la corrente
infinitesima per t → + ∞ .
i ( t) I e −
( R / L) t
= , (19)
■

Modelli Differenziali Lineari semplici – 8
Il circuito elettrico (oscillante) in serie L -C
Un circuito L -C
ideale è costituito da un induttore perfettamente conduttivo ( RL ≡ 0) e da un
condensatore carico connessi in serie. Un circuito L-C sia inizialmente aperto e una carica (in
eccesso) Q ≡ VC , 0 C , con VC , 0 ≡ VC ( t)
, sia presente nel condensatore.
t = 0
All’istante t = 0 di chiusura del circuito, il condensatore incomincia scaricare attraverso
l’induttore finché, persa tutta la carica accumulata, le differenze di potenziale sia tra le sue
armature che tra i terminali dell’induttore diventano nulle.
Nel frattempo, la corrente di scarica che ha attraversato l’induttore ha generato un campo variabile
di induzione magnetica ΒΒ ΒΒ = ΒΒ
ΒΒ
( t)
, concatenato con l’induttore. ΒΒΒΒ si attenua progressivamente
(nel tempo) a causa dell’insorgenza di una f.e.m. nell’induttore polarizzata nello stesso senso della
corrente (Legge di Faraday-Neumann-Lenz-Maxwell).
Si ricordi che si definisce f.e.m. il lavoro per-unità-di-carica-positiva necessario per spostare
cariche elettriche positive. La corrente che queste costituiscono è orientata in senso opposto a
quello della f.e.m. generatrice. Pertanto, se si induce in un circuito una f.e.m. ulteriore polarizzata
nello stesso senso di una corrente pre-esistente, questa viene contrastata dalla corrente prodotta
dalla f.e.m. indotta. L’attenuazione conseguente della corrente nel circuito L -C
annulla il campo
ΒΒΒΒ mentre si completa il ricaricamento del condensatore con una polarità opposta a quella iniziale.
A questo punto, il processo si inverte e, in assenza (ideale) di perdite di energia, le cariche (dello
stesso segno) fluiscono avanti e indietro indefinitamente da un’armatura all’altra del condensatore,
generando il fenomeno delle oscillazioni elettriche (stazionarie).
L’analogia con le oscillazioni meccaniche di una molla lineare ideale (‘di Hooke’) è evidente.
A ogni istante, la differenza di potenziale tra le armature del condensatore, V ( t) = q ( t)/ C , deve
uguagliare quella tra i terminali dell’induttore, V ( t) = Ldi ( t)/ dt . Inoltre, poiché, ∀ t , il valore
della corrente attraverso l’induttore è uguale all’opposto della variazione temporale della carica
presente nel condensatore, si ha che i( t) = −d q ( t)/ dt ≡ qɺ
.
Combinando queste relazioni nell’equazione di conservazione dell’energia per tale sistema isolato
(i.e., la 2.a legge di Kirchhoff per la maglia L -C
in serie), si scrive, vs. q ( t ) nel condensatore,
L
1
qɺɺ + q = 0 . (20)
LC
L’Eq. (20) è del 2.o ordine, lineare a coefficienti costanti e omogenea. La sua forma e, quindi, il
procedimento per la sua soluzione, sono gli stessi che per il modello dell’oscillatore armonico
libero. L’integrale generale e la sua derivata 1.a sono, rispettivamente,
q( t; k1, k 2) = k1 cos
t
LC
+ k 2 sin
t
,
LC
(21)
qɺ ( t; k 1, k 2)
= −
k 1
LC
sin
t
LC
+
k 2
LC
cos
t
LC
, (22)
definendo, con ω : = 1 / LC , la frequenza ciclica naturale delle oscillazioni elettriche.
Le condizioni iniziali per la determinazione della soluzione particolare rappresentativa del
problema fisico definiscono il problema di Cauchy
⎧⎪ q ( 0;
k1, k 2) = Q ≡ VC , 0C
⎨
.
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)
= 0
C

Modelli Differenziali Lineari semplici – 9
Mediante le Eq. (21) e (22), si trovano i valori k 1 = VC , 0 C e k 2 = 0 che, sostituiti nelle stesse,
danno il comportamento temporale della carica elettrica e quello della corrente,
entrambi puramente periodici.
q ( t) = VC , 0 C cos
t
,
LC
(23)
qɺ ( t) ≡ i ( t) = −VC , 0 C / L sin
t
,
LC
(24)
■

Il circuito elettrico in serie R -L -C
Modelli Differenziali Lineari semplici – 10
Il modello del circuito L -C
in serie mostra un’idealizzazione evidente, l’assenza di resistenza.
Questa è presente sia negli avvolgimenti dell’induttore che nei collegamenti del circuito. L’effetto
della resistenza è quello di dissipare energia elettromagnetica termicamente; in tal modo, la
resistenza di un circuito elettrico ha un ruolo analogo a quello dell’attrito in un sistema meccanico.
Si supponga che un induttore di auto-induttanza L e un resistore di resistenza R siano connessi in
serie con un condensatore carico, di capacità C ≡ Q/ VC ( 0 ) ≡ Q/ VC
, 0 . Inizialmente, il sistema è
aperto e isolato.
All’istante della chiusura del circuito (t = 0 ), il condensatore incomincia a scaricare ma, a causa
2
delle perdite-Joule ( ∝ Ri ( t)
) nel resistore, l’energia dell’induttore, quando il condensatore è
completamente scarico, è minore dell’energia originaria del condensatore. A sua volta, l’energia
dell’induttore diminuisce, come conseguenza della diminuzione del campo di induzione magnetica
ΒΒΒΒ ( t)
associato alla corrente decrescente, e così via.
Se la resistenza R è relativamente piccola, il circuito (i.e., i suoi parametri circuitali variabili, la
corrente e la carica) oscilla con andamento temporale armonico sotto-smorzato.
Per valori di R crescenti, le oscillazioni si attenuano fino a svanire nel limite dello smorzamento
critico.
Per valori di R ancora più elevati, il circuito entra in regime di sovra-smorzamento, con la
corrente quasi istantaneamente evanescente.
La descrizione quantitativa dello stato di chiusura del circuito R -L -C
con il condensatore
inizialmente carico si esprime, attraverso la 2.a legge di Kirchhoff, ∀ t ≥ 0 , come
di ( t) q ( t)
0 = VR ( t) + V L ( t) + VC ( t) ≡ i ( t) R + L + . (23)
dt C
Rispetto alla carica accumulata nel condensatore, l’Eq. (23) diventa
R 1
qɺɺ + qɺ + q = 0 , (24)
L LC
che, per R ≡ 0, si riduce all’Eq. differenziale (20). Le soluzioni dell’equazione caratteristica
associata all’Eq. differenziale (24) (del 2.o ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti),
2
λ = − R/( 2L) ± ( R/( 2L)) − 1/( LC ) ≡ − R/( 2L) ± ∆ / 4 , (25)
includono i vari contributi temporali al tempo di rilassamento circuitale. Il discriminante (ridotto)
2 2 2
∆ = ( R/ L) − 4/( LC ) ≡ ( R − 4 L/ C )/ L ,
indica chiaramente che la forma dell’integrale generale dell’Eq. (24), q ( t; k1, k1
) , dipende dal
confronto tra il valore di R e quello di 2 L/ C .
Precisamente,
1. se ∆ < 0 , i.e., se R < 2 L/ C , risulta
della quale, si calcola la derivata 1.a
q t k k e k 4 t k 4 t , (26)
− ( R / 2L)
t
( ; 1, 2) = ( 1 cos − ∆ / + 2 sin − ∆ / )

ɺ
(
( )
− ( R/( 2L))
t
q ( t; k 1, k 2) e k 1R/( 2L) k 2 ∆ / 4 cos ∆ / 4 t
= − + − − −
Modelli Differenziali Lineari semplici – 11
( k 1 ∆ / 4 k 2R/(
2L) ) sin ∆ / 4 t )
− − + −
. (27)
Come per il circuito L -C
, anche le soluzioni (particolari) fisiche appropriate per il circuito
R -L -C
si ricavano dalla soluzione del problema di Cauchy
⎧⎪ q ( 0;
k 1, k 2) = Q ≡ VC , 0C
⎨
.
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)
= 0
Con le Eq. (26) e (27), si trovano i valori k1 = VC , 0 C e k 2 =
VC , 0RC
2
4L/
C − R
, i quali, sostituiti nelle
stesse equazioni, forniscono la dipendenza temporale fisica della carica elettrica e della corrente,
(
− ( R / 2L) t
2
q( t) = VC , 0Ce cos 1/ LC − ( R/ 2L)
t +
+
R
L/ C − R
2
4
2
sin 1/ LC − ( R/ 2 L) t , (28)
2V
q t i t e LC R L t
4L/
C − R
C , 0 − ( R / 2L) t
2
ɺ ( ) ≡ ( ) = − sin 1/ − ( / 2 ) . (29)
2
Si noti come, per R ≡ 0, le Eq. (28) e (29) si riducano, prevedibilmente, alle Eq. (23) e (24) per il
circuito L -C
.
L’analisi svolta quando R < 2 L/ C , implicando soluzioni di andamento periodico, modulato da
un’attenuazione esponenziale, corrisponde al regime di sovra-smorzamento;
2. se ∆ = 0 , i.e., se R = 2 L/ C ,
l’equazione caratteristica associata all’Eq. differenziale (24) ha la radice doppia λ = − R/( 2 L)
.
Pertanto, l’integrale generale e la sua derivata 1.a si scrivono
Dal problema di Cauchy
q t k k e k k t
− ( R/( 2L))
t
( ; 1, 2) = ( 1 + 2 ) , (30)
− R L t ⎛ R ⎛ R ⎞ ⎞
ɺ ⎜ 1 ⎟ . (31)
⎝ 2L ⎝ 2L
⎠ ⎠
( /( 2 ))
q ( t; k1, k 2) = −e k 1 − ⎜ − t ⎟k
2
⎧⎪ q ( 0;
k 1, k 2) = Q ≡ VC , 0C
⎨
,
⎪⎩ qɺ ( 0; k 1, k 2) ≡ i ( 0; k 1, k 2)
= 0
si determinano i valori k 1 = VC , 0 C e k 2 = VC , 0RC /( 2 L)
, appropriati per la soluzione del
problema fisico. Introducendo tali valori nelle equazioni (30) e (31), si selezionano le
rappresentazioni temporali della carica nel condensatore e della corrente di scarica,
− ⎛ R ⎞
⎜ ⎟ , (32)
⎝ 2L
⎠
( R /( 2L))
t
q( t) = VC , 0C
e 1 + t
)

Modelli Differenziali Lineari semplici – 12
2
VC , 0CR − ( R /( 2L))
t
qɺ ( t) ≡ i ( t) = − te . (33)
2
4L
Le equazioni-modello (32) e (33) corrispondono al regime di smorzamento critico, i.e., al limite tra
la sparizione e l’insorgenza di comportamenti periodici. La negatività della corrente rende conto
del processo di scarica del condensatore, i.e., del collasso energetico del sistema accumulatore;
3. se ∆ > 0 , i.e., se R > 2 L/ C ,
l’equazione caratteristica associata all’Eq. differenziale (24) possiede due radici negative e
distinte. In tale circostanza, l’integrale generale è
q ( t; k , k ) = k e + k e
( − R /( 2L) + ∆ / 2) t ( −R /( 2L) − ∆ / 2)
t
1 2 1 2
( −R /( 2L) − ∆ / 2)
t − ∆t −α t −βt
≡ e ( k + k e ) ≡ e ( k + k e )
1 2 1 2 , (34)
avendo definito, per comodità,
di calcolare più rapidamente
α : = R/( 2L) − β / 2 ∧ β : = ∆ . Tali abbreviazioni consentono
−αt − βt
qɺ ( t; k , k ) = − e ( αk + ( α + β ) k e ) , (35)
1 2 1 2
osservando che α + β ≡ R/( 2L) + β / 2 .
Come per i casi precedenti, le soluzioni fisiche rappresentative della carica e della corrente
discendono dalla soluzione del problema di Cauchy appropriato, i.e.,
⎧⎪ q ( 0;
k1, k 2) = Q ≡ VC , 0C = k 1 + k 2
⎨
⎪⎩ qɺ ( 0; k , k ) ≡ i ( 0; k , k ) = 0 = αk + ( α + β ) k
1 2 1 2 1 2
La soluzione del sistema (36) è costituita dalla coppia di valori
VC , C ⎛ R ⎞ VC , C ⎛ R ⎞
0 0
k 1 = ⎜1 + ⎟ ∧ k 2 = ⎜1 −
⎟ .
2 ⎜ 2
R − L/ C ⎟ ⎜ 2
R − L/ C ⎟
⎝ 4 2
⎠ ⎝ 4 ⎠
. (36)
Quindi, mediante le Eq. (34) e (35) e le varie sostituzioni eseguite, il comportamento temporale
della carica e quello della corrente sono rappresentabili come
R − VC , 0C −
q ( t) = e
2
⎛ 2
R − 4L / C
t ⎜ −
2L
⎜1 + e
⎜
⎝
2
⎛ R − 4L
/ C ⎞
−
t ⎞
2
R − 4L
/ C
t
L
R⎜ − e ⎟ ⎟
L +
⎝1 ⎠
⎟ ,
2
R − 4L/
C ⎟
⎠
(37)
qɺ ( t) ≡ i ( t) = −
R − VC
, 0
−
e
2
R − 4L/
C
2
R − 4L / C
t ⎛ −
2L
⎜
⎝1 − e
2
R − 4L
/ C
t ⎞
L ⎟
⎠ . (38)
Anche nell’Eq. (38), la negatività della corrente rende conto del processo di scarica del
condensatore, i.e., del collasso energetico del sistema accumulatore. Tale collasso, però, non è
contrastato dalla presenza di termini lineari temporali (cfr/c le Eq. (32) e (33)) ma è ovunque
esponenziale, caratterizzando, in tal modo, il cosiddetto regime di sotto-smorzamento.
■■■

Modelli Differenziali Lineari semplici – 13
La legge del Decadimento Radioattivo
Si osserva sperimentalmente che tutti i processi di decadimento radioattivo seguono una legge
esponenziale. Se N ≡ N(
0 ) è il numero iniziale di nuclei instabili di un singolo nuclide (o specie
0
nucleare) radioattivo, il numero di nuclei originari rimanenti dopo un tempo t è dato da
t
N ( t) N e λ −
= 0 , (1)
dove λ è una costante fenomenologica caratteristica del nuclide, detta costante di disintegrazione
o di decadimento, determinabile sperimentalmente.
Derivando rispetto al tempo i termini nei membri dell’Eq. (1), si ottiene il tasso di decadimento dei
nuclei
dN ( t)
−λt
− ≡ − Nɺ = N 0(
− λe ) ≡ λN
( t)
, (2)
dt
che risulta proporzionale al loro numero prima del decadimento.
L’Eq. (2) può essere utilizzata per calcolare il numero di nuclei di un certo nuclide radioattivo
presenti, e.g., in un reattore nucleare al tempo t . Assumendo che essi siano prodotti a un tasso
costante g ma che decadano (e, quindi, spariscano) secondo l’Eq. (2), il loro aumento netto in
funzione del tempo si scrive come
dN ( t)
= g − λN ( t) ≡ − λ ( N ( t) − g/
λ)
. (3)
dt
Separando le variabili nell’Eq. (3) e integrando a partire dal numero iniziale N i dei nuclei
radioattivi già presenti al tempo t ≡ 0 , si ha
⌠
⎮
⌡
N ( t )
N i
dν
= − λ
ν − g/
λ
t
∫ 0
dt ,
i.e.,
⎛ N ( t) − g/
λ ⎞
ln⎜
= − λt
N i − g/
λ ⎟ .
⎝ ⎠
Quindi, il numero totale N ( t ) dei nuclei radioattivi, sia già presenti al tempo t ≡ 0 che prodotti
in quell’istante, e persistenti dopo un tempo t > 0 è dato da
g −λ t −t
N ( t) = ( 1 − e ) + N ie
. (4)
λ
È evidente che il numero stabile di nuclei radioattivi prodotti in queste condizioni è ottenuto dopo
un tempo estremamente lungo (t → + ∞ ) ed è, comunque, N ( + ∞ ) ~ g / λ , i N ∀ , indipendente
dall’essere N ( t ) crescente o decrescente.
Per ogni nuclide radioattivo, c’è un tempo medio T , noto come tempo di dimezzamento (half-life),
al termine del quale, il numero dei nuclei radioattivi originari è ridotto alla metà del suo valore
iniziale. In altri termini, dall’Eq. (1), si ha
Segue che
N ( T ) 1 −λT
= = e . (5)
N 2
0
T
ln2
= . (6)
λ
Inoltre, dopo un intervallo temporale pari a n tempi di dimezzamento (t = nT ), l’Eq. (1) fornisce

la frazione di nuclei originari rimanenti,
N ( nT ) nT
e
N
0
−λ
( )
≡ =
Modelli Differenziali Lineari semplici – 14
1
. (7)
n
2
È anche possibile determinare la vita media (mean life), o aspettazione media di vita, τ , dei nuclei
di una stessa specie radioattiva. La vita media è data dalla somma dei tempi di esistenza di tutti i
nuclei divisa per il loro numero iniziale N 0 . Matematicamente, la si può ricavare come segue:
il numero di nuclei che decadono in un intervallo di tempo compreso tra t e t + dt è dN = λNdt
così che, dall’Eq. fondamentale (1), si scrive
= λ 0 .
−λt
dN N e dt
Poiché il decadimento radioattivo è un processo statistico, ogni singolo nucleo può avere una
durata di vita da 0 a + ∞ unità temporali. Allora , la vita media è data da
1 +∞
−λt
1
τ = N λte
dt =
N ∫ 0
, (8)
0
λ
0
il reciproco della costante di disintegrazione. Segue che il tempo di dimezzamento e la vita media
sono proporzionali, avendosi, dalle Eq. (8) e (6),
____________________
T = τ ln2
. (9)
Il decadimento radioattivo a cascata
Nelle famiglie radioattive naturali, un nuclide-genitore (parent) decade in un nuclide-figlia
(daughter) che, a sua volta, come nuovo genitore, decade in una sua propria figlia e così via, fino
alla generazione di una figlia stabile. Il processo può essere illustrato trattando il caso di un
nuclide radioattivo, denotato dal pedice 1 , che decade in un nuclide-figlia radioattivo, di pedice 2 ;
quest’ultimo, a sua volta, decade in un prodotto stabile finale, di pedice 3 . I numeri di nuclei delle
tre specie e le costanti di disintegrazione delle prime due sono indicati da N 1 ( t)
, N 2 ( t)
, N 3 ( t)
e
da λ 1 , λ 2 , rispettivamente ( λ ≡
3
0 ).
Il modello matematico del processo è costituito dal sistema di tre equazioni differenziali lineari del
1.o ordine
⎧ Nɺ 1( t) = − λ1N
1(
t),
⎪
⎨ Nɺ 2( t) = λ1N 1( t) − λ2N
2(
t),
. (10)
⎪
⎪⎩ Nɺ 3( t) = λ2N
2(
t).
Queste equazioni descrivono gli eventi seguenti: i nuclei-genitore di tipo 1 decadono secondo la
legge fondamentale (2); si formano nuclei-figlia di tipo 2 , al tasso λ1N 1 a causa del decadimento
dei nuclei-genitore 1 , e si disintegrano al tasso λ2N 2 ; si formano nuclei-figlia di tipo 3 , al tasso
λ2N 2 a causa del decadimento dei nuclei-genitore 2 .
Al tempo t generico, il numero di nuclei di tipo 1 è dato da
N ( t) N e λ
=
t
,
−
1 1 0 , (11)

dove , N 1 0 indica in numero di tali nuclei al tempo t = 0 .
Modelli Differenziali Lineari semplici – 15
Introducendo l’espressione di N 1 ( t)
in quella di Nɺ 2(
t)
nel sistema (10) e riordinando i termini, si
scrive l’equazione differenziale lineare non-omogenea del 1.o ordine
la cui soluzione generale è
− t
ɺ 1
2 + λ2 2 = λ1
1, 0 , (12)
N N N e λ
λ
N t N e C e
1
−λ 1t −λ
2t
2( ) = 1, 0 + 2
λ2 − λ1
, (13)
dove, l’assegnazione fisicamente significativa del valore della costante arbitraria di integrazione
C 2 , i.e., corrispondente al problema di Cauchy appropriato, può essere eseguita come segue:
al tempo t = 0 , il numero di nuclei di tipo 2 ha il valore costante 2 2, 0
2 2 0 1 0
2 1
N ( 0 ) ≡ N . Allora, dall’Eq.
λ1
(13), si determina immediatamente che C = N , − N , . Se si inserisce questo valore per
λ − λ
C 2 nell’Eq. (13), si ottiene la soluzione particolare fisicamente significativa,
λ
N t N e e N e
1
−λ 1t −λ 2t −λ
2t
2( ) = 1, 0 ( − ) + 2, 0
λ2 − λ1
. (14)
Ora, se si introduce l’espressione (14) di N 2 ( t)
in quella di dN 3 ( t)/ dt nel sistema (10) e si
riordinano i termini, si determina l’equazione differenziale del 1.o ordine a variabili separate
λ λ
Nɺ t N e e N e . (15)
1 2
−λ 1t −λ 2t −λ
2t
3( ) = 1, 0 ( − ) + λ2
2, 0
λ2 − λ1
Integrando vs. il numero di nuclei di tipo 3 da , N 3 0
trova l’integrale generale
a N ( t)
, con il tempo che evolve da 0 a t , si
N t
⎛ λ
N N
⎞
e
λ
N e C
⎝ ⎠
1 −λ 2t 2
−λ
1t
3( ) = ⎜ 1, 0 − 2, 0 ⎟ − 1, 0 + 3
λ2 − λ1 λ2 − λ1
3
. (16)
Da esso, il problema di Cauchy corrispondente alla soluzione particolare fisicamente significativa
si determina assegnando il valore iniziale N 3( 0 ) ≡ N 3, 0 .
Allora, dall’Eq. (16), si calcola che C 3 = N 3, 0 + N 2, 0 + N 1, 0 e, con questa, la soluzione particolare
fisica cercata
____________________
−λ t ⎛ λ −λ t λ −λ
t ⎞
2 1 2 2
1
N 3( t) = N 3, 0 + N 2, 0( 1 − e ) + N 1, 0 ⎜1 + e − e ⎟ . (17)
⎝ λ2 − λ1 λ2 − λ1
⎠
Il caso generale del sistema di Equazioni di Bateman
Il trattamento svolto qui sopra, Eq. (10), .., (17), è estendibile a una catena di un numero qualsiasi
di prodotti radioattivi. I calcoli sono diretti ma alquanto noiosi e, via-via, più complicati al crescere
della catena radioattiva. L’uso del computer diventa, allora, inevitabile. Il problema riguarda, e.g.,
la formazione, via nucleo composto, di nuclidi intermedi durante i processi di fissione.

Modelli Differenziali Lineari semplici – 16
Per una catena radioattiva di n decadimenti, della quale, l’ultimo prodotto è stabile, il sistema
risolvente di n equazioni differenziali lineari del 1.o ordine si scrive
⎧ Nɺ 1( t) = − λ1N
1(
t),
⎪
⎪ Nɺ 2( t) = λ1N 1( t) − λ2N
2(
t),
⎪
⎪ Nɺ 3( t) = λ2N 2( t) − λ3N
3(
t),
⎨
⎪ ⋮
⎪
Nɺ n − ( t) = λn − N n − ( t) − λn
− N n − ( t),
⎪ 1 2 2 1 1
⎪
⎩ Nɺ n ( t) = λn
− 1N n − 1(
t).
Bateman (H., 1882-1946) ha ricavato la forma della soluzione particolare fisica relativa alla catena
radioattiva parziale dei primi n − 1 nuclidi. L’intera catena di n nuclidi è soggetta alla condizione
iniziale per la quale solo il nuclide-capostipite 1 è presente al tempo t = 0 . In altri termini, il
problema di Cauchy-Bateman è specificato dalle n condizioni iniziali
N( 0) ≡ N 1, 0 ( > 0); N 2, 0 ≡ N 2, 0 ≡ … ≡ N n,
0 = 0 .
Per tale problema, il numero di nuclei radioattivi di tipo p ( 2 ≤ p ≤ n − 1 ) presenti all’istante t
si trova essere (la verifica non è difficile)
dove,
κ
κ
κ
κ
−λ t −λ t −λ t −λ
t
(18)
1 2 3
p
N p ( t) = κ 1e + κ 2e + κ 3e + … + κ pe
, (19)
λ λ …λ
1 2 p − 1
1 =
N 1, 0
( λ2 − λ1)( λ3 − λ1) …(
λ p − λ1)
λ λ …λ
1 2 p − 1
2 =
N 1, 0
( λ1 − λ2)( λ3 − λ2 ) …(
λ p − λ2)
λ λ …λ
1 2 p − 1
3 =
N 1, 0
( λ1 − λ3 )( λ2 − λ3 )( λ4 − λ3 ) …(
λ p − λ3
)
⋮ ⋮
p
λ1λ 2…λ p − 1
=
N
( λ − λ )( λ − λ )( λ − λ ) … ( λ − λ )
1 p 2 p 3 p p − 1 p
, (19.1)
, (19.2)
, (19.3)
1, 0
, (19.p)
Si osservi attentamente la forma della scrittura dei pedici nella j - esima (generica) sequenza di
prodotti di differenze,
( λ − λ )( λ − λ ) ... ( λ − λ )( λ − λ ) ... ( λ − λ )( λ − λ )
pertinente alla costante κ j .
1 j 2 j j − 1 j j + 1 j p − 1 j p j ,
■■■