Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

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Si determina ora l'autovettore associato a questo primo autovalore risolvendo il seguente sistema ⎛1−196 ⎜ ⎝ 096 096 ⎞ 11 ⎟ 0 1−196⎠ 21 ⎛ . . . a ⎞ ⎜ ⎟ = . ⎝a ⎠ 2 2 soggetto al vincolo a11 + a21 = 1, ovvero il sistema: ⎧− 096 . a11 + 096 . a21 = 0 ⎪ ⎨096 . a11 − 096 . a21 = 0 ⎪ 2 2 ⎩a11 + a21 = 1 ⎡ ⎢ Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21 ⇒ a = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ La prima componente principale è data: 1 ⎤ 2 ⎥ ⎥ ; 1 ⎥ 2 ⎥ ⎦ z1 = 1 x1+ 2 1 x2 2 Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente z2 =− 1 x1+ 2 1 x2 2 3) Si ipotizzi di applicare la PCA sulla matrice delle varianze e covarianze dei rendimenti dei tre titoli A, C, E: ⎛ 196 . ⎜ C = ⎜ 229 . ⎜ ⎝−028 . 229 . 285 . −057 . −028 . ⎞ ⎟ −057 . ⎟ 114 . ⎠ da cui ⎛196 . − ⎜ det⎜ 229 . ⎜ ⎝ −028 . 229 . 285 . − −057 . −028 . ⎞ ⎟ −057 . ⎟ 0 ⎟ 114 . − ⎠ = λ λ λ si ottengono gli autovalori l1=4.8411, l2=1.058, l3=0.0509 la cui somma è pari a 5.95. La variabilità spiegata dai singoli autovalori è la seguente: λ1 λ2 λ3 = 0. 81; = 0. 178; = 0. 008 λ λ λ ∑ ∑ ∑ i i i Per le fasi successive si sceglie solo il primo autovalore poiché esprime l'81% della variabilità dei rendimenti. Per il calcolo del corrispondente autovettore si deve risolvere il sistema omogeneo: ⎛196 . −4. 8411 ⎜ ⎜ 2. 29 ⎜ ⎝ −0. 28 2. 29 2. 85 −4. 8411 −0. 57 −0. 28 ⎞⎛ 11⎞ ⎟⎜ ⎟ −0. 57 ⎟⎜ 21⎟ 0 ⎟⎜ ⎟ 114 . −4. 8411⎠ ⎝ 31⎠ = 2 2 2 con vincolo a11 + a21 + a31 = 1 cioè: a a a ⎧− 2. 8811a11 + 2. 29a21 − 0. 28a31 = 0 ⎪ ⎪229 . a11 −19811 . a21 − 057 . a31 = 0 ⎨ ⎪ −0. 28a11 −0. 57a21 − 3. 701a31 = 0 ⎪ 2 2 2 ⎩a11 + a21 + a31 = 1 L' autovettore risulta così composto: a11=0.623, a21=0.764, a31=-0.165. La prima componente principale quindi è data da: z1= 0623 . A+ 0764 . C−0165 . E 93
A questo punto, pur avendo determinato una sola componente principale, si può calcolare il vettore dei coefficienti di correlazione fra la componente principale e le variabili iniziali: a11 λ1 0. 623 4. 8411 0623 . ⋅ 22 . ρ Az = = = = 0979 . 1 σ A 196 . 14 . a21 λ1 0. 764 4. 8411 0764 . ⋅ 22 . ρBz = = = = 0996 . 1 σ 285 . 1688 . ρ Cz1 B ( . ) . ( ) a31 λ1 0165 4 8411 = = σ 114 − = − ⋅ . C Si otterrà così il seguente vettore correlazione: 0165 . 22 . =−034 . 1067 . z1 A ⎡0979 . ⎤ B ⎢ 0996 . ⎥ ⎢ ⎥ C ⎣⎢ −034 . ⎦⎥ Analizzando tale vettore si vede come la componente principale sia altamente correlata positivamente con i titoli A e B. 94
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA D
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5.2.5 Alcune simulazioni della valu
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1 RENDIMENTO E RISCHIO DI UN’ATTI
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− E ha il rendimento più basso e
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2 ANALISI DI UN PORTAFOGLIO COMPOST
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Si può standardizzare la covarianz
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