Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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Si determina ora l'autovettore associato a questo primo autovalore risolvendo il seguente sistema<br />
⎛1−196<br />
⎜<br />
⎝ 096<br />
096 ⎞ 11<br />
⎟ 0<br />
1−196⎠ 21<br />
⎛<br />
.<br />
.<br />
. a ⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
. ⎝a<br />
⎠<br />
2 2<br />
soggetto al vincolo a11 + a21<br />
= 1,<br />
ovvero il sistema:<br />
⎧−<br />
096 . a11 + 096 . a21<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨096<br />
. a11 − 096 . a21<br />
= 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21<br />
= 1<br />
⎡<br />
⎢<br />
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21<br />
⇒ a = ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
La prima componente principale è data:<br />
1 ⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥ ;<br />
1 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
⎦<br />
z1 =<br />
1<br />
x1+ 2<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente<br />
z2 =−<br />
1<br />
x1+ 2<br />
1<br />
x2<br />
2<br />
3) Si ipotizzi <strong>di</strong> applicare la PCA sulla matrice <strong>del</strong>le varianze e covarianze dei ren<strong>di</strong>menti dei tre titoli A, C,<br />
E:<br />
⎛ 196 .<br />
⎜<br />
C = ⎜ 229 .<br />
⎜<br />
⎝−028<br />
.<br />
229 .<br />
285 .<br />
−057<br />
.<br />
−028<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
−057<br />
. ⎟<br />
114 . ⎠<br />
da cui<br />
⎛196<br />
. −<br />
⎜<br />
det⎜<br />
229 .<br />
⎜<br />
⎝ −028 .<br />
229 .<br />
285 . −<br />
−057 .<br />
−028<br />
. ⎞<br />
⎟<br />
−057<br />
. ⎟ 0<br />
⎟<br />
114 . − ⎠<br />
=<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
si ottengono gli autovalori l1=4.8411, l2=1.058, l3=0.0509 la cui somma è pari a 5.95.<br />
La variabilità spiegata dai singoli autovalori è la seguente:<br />
λ1<br />
λ2<br />
λ3<br />
= 0. 81; = 0. 178; = 0. 008<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
∑ ∑ ∑<br />
i i i<br />
Per le fasi successive si sceglie solo il primo autovalore poiché esprime l'81% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità dei<br />
ren<strong>di</strong>menti. Per il calcolo <strong>del</strong> corrispondente autovettore si deve risolvere il sistema omogeneo:<br />
⎛196<br />
. −4. 8411<br />
⎜<br />
⎜ 2. 29<br />
⎜<br />
⎝ −0. 28<br />
2. 29<br />
2. 85 −4. 8411<br />
−0. 57<br />
−0.<br />
28 ⎞⎛<br />
11⎞<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
−0.<br />
57 ⎟⎜<br />
21⎟<br />
0<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
114 . −4.<br />
8411⎠<br />
⎝ 31⎠<br />
=<br />
2 2 2<br />
con vincolo a11 + a21 + a31<br />
= 1 cioè:<br />
a<br />
a<br />
a<br />
⎧−<br />
2. 8811a11 + 2. 29a21 − 0. 28a31 = 0<br />
⎪<br />
⎪229<br />
. a11 −19811 . a21 − 057 . a31<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎪<br />
−0. 28a11 −0. 57a21 − 3. 701a31 = 0<br />
⎪ 2 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21 + a31<br />
= 1<br />
L' autovettore risulta così composto: a11=0.623, a21=0.764, a31=-0.165.<br />
La prima componente principale quin<strong>di</strong> è data da:<br />
z1= 0623 . A+ 0764 . C−0165 .<br />
E<br />
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