Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

Si determina ora l'autovettore associato a questo primo autovalore risolvendo il seguente sistema
⎛1−196
⎜
⎝ 096
096 ⎞ 11
⎟ 0
1−196⎠ 21
⎛
.
.
. a ⎞
⎜ ⎟ =
. ⎝a
⎠
2 2
soggetto al vincolo a11 + a21
= 1,
ovvero il sistema:
⎧−
096 . a11 + 096 . a21
= 0
⎪
⎨096
. a11 − 096 . a21
= 0
⎪ 2 2
⎩a11
+ a21
= 1
⎡
⎢
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21
⇒ a = ⎢
⎢
⎢
⎣
La prima componente principale è data:
1 ⎤
2
⎥
⎥ ;
1 ⎥
2
⎥
⎦
z1 =
1
x1+ 2
1
x2
2
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente
z2 =−
1
x1+ 2
1
x2
2
3) Si ipotizzi di applicare la PCA sulla matrice delle varianze e covarianze dei rendimenti dei tre titoli A, C,
E:
⎛ 196 .
⎜
C = ⎜ 229 .
⎜
⎝−028
.
229 .
285 .
−057
.
−028
. ⎞
⎟
−057
. ⎟
114 . ⎠
da cui
⎛196
. −
⎜
det⎜
229 .
⎜
⎝ −028 .
229 .
285 . −
−057 .
−028
. ⎞
⎟
−057
. ⎟ 0
⎟
114 . − ⎠
=
λ
λ
λ
si ottengono gli autovalori l1=4.8411, l2=1.058, l3=0.0509 la cui somma è pari a 5.95.
La variabilità spiegata dai singoli autovalori è la seguente:
λ1
λ2
λ3
= 0. 81; = 0. 178; = 0. 008
λ
λ
λ
∑ ∑ ∑
i i i
Per le fasi successive si sceglie solo il primo autovalore poiché esprime l'81% della variabilità dei
rendimenti. Per il calcolo del corrispondente autovettore si deve risolvere il sistema omogeneo:
⎛196
. −4. 8411
⎜
⎜ 2. 29
⎜
⎝ −0. 28
2. 29
2. 85 −4. 8411
−0. 57
−0.
28 ⎞⎛
11⎞
⎟⎜
⎟
−0.
57 ⎟⎜
21⎟
0
⎟⎜
⎟
114 . −4.
8411⎠
⎝ 31⎠
=
2 2 2
con vincolo a11 + a21 + a31
= 1 cioè:
a
a
a
⎧−
2. 8811a11 + 2. 29a21 − 0. 28a31 = 0
⎪
⎪229
. a11 −19811 . a21 − 057 . a31
= 0
⎨
⎪
−0. 28a11 −0. 57a21 − 3. 701a31 = 0
⎪ 2 2 2
⎩a11
+ a21 + a31
= 1
L' autovettore risulta così composto: a11=0.623, a21=0.764, a31=-0.165.
La prima componente principale quindi è data da:
z1= 0623 . A+ 0764 . C−0165 .
E
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