Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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a<br />
$x = z<br />
a<br />
⎛ 11⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2) Determinare le componenti principali utilizzando la matrice <strong>del</strong>le varianze e covarianze fra i ren<strong>di</strong>menti<br />
⎛ 196 .<br />
dei titoli A e C : ⎜<br />
⎝229<br />
.<br />
229 . ⎞<br />
⎟<br />
285 . ⎠<br />
⎛196<br />
. − λ<br />
det( C− λI)<br />
= det⎜<br />
⎝ 229 .<br />
229 . ⎞<br />
⎟ = 0<br />
285 . − λ⎠<br />
2 2 2<br />
(. 1 96 −λ)( 2. 85−λ) − 2. 29 = 5. 586 −1. 96λ − 2. 85λ + λ − 5. 2441 = λ − 4. 81λ + 0. 3419 = 0<br />
Gli autovalori sono:<br />
4. 81± λ =<br />
23. 1361− 4 × 0. 3419 4. 81± 4. 666<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
λ1 4 738 = .<br />
4. 738<br />
La variabilità spiegata da λ1 è pari a<br />
= 0. 985<br />
4. 738 + 0. 072<br />
21<br />
= . e λ 2 0 072<br />
Si determina l'autovettore associato al primo autovalore risolvendo il sistema<br />
⎛196<br />
. − 4. 738<br />
⎜<br />
⎝ 229 .<br />
2. 29 ⎞ 11<br />
⎟ 0<br />
285 . − 4738 . ⎠ 21<br />
⎛a<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝a<br />
⎠<br />
2<br />
soggetto al vincolo <strong>di</strong> normalizzazione a<br />
2<br />
+ a = 1 ovvero il sistema:<br />
11<br />
21<br />
⎧−<br />
2. 778a11 + 2. 29a21 = 0<br />
⎪<br />
⎨229<br />
. a11 − 1888 . a21<br />
= 0<br />
⎪ 2 2<br />
⎩a11<br />
+ a21<br />
= 1<br />
229 .<br />
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21 = 0. 824a21<br />
⇒<br />
2. 778<br />
⎡0.<br />
824⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
;<br />
⎣ 1 ⎦<br />
imponendo il vincolo <strong>di</strong> norma unitaria si ottiene l'autovettore corrispondente al primo autovalore<br />
a = ⎡06358<br />
. ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣07716<br />
. ⎦<br />
La prima componente principale è data:<br />
z1 = 0. 6358x1+ 0. 7716x2<br />
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente<br />
z2 = − 0. 7716x1+ 0. 6361x2<br />
Se si vogliono esprimere le variabili x in funzione <strong>di</strong> z si avrà:<br />
x1 = 0. 6358z1−0. 7716z2<br />
x2 = 0. 7716z1+ 0. 6361z2<br />
Si vuole ora illustrare lo stesso esempio utilizzando però la matrice <strong>di</strong> correlazione R:<br />
R = ⎡ 1 096 . ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣096<br />
. 1 ⎦<br />
Data la funzione caratteristica si ha<br />
⎛1−λ096<br />
. ⎞<br />
det( R− λI)<br />
= det⎜<br />
⎟ = 0<br />
⎝ 096 . 1−<br />
λ⎠<br />
( )( )<br />
2<br />
1−λ 1−λ − 0. 96<br />
con i seguenti autovalori:<br />
2 2<br />
= 1+ λ −2λ− 0. 9216 = λ − 2λ+ 0. 0784 = 0<br />
1<br />
λ12<br />
, =<br />
1 0. 0784<br />
λ1<br />
196 .<br />
1 096 .<br />
1<br />
λ 2 004 .<br />
± −<br />
⎧ =<br />
196 .<br />
= ± ⇒ ⎨ dove la variabilità spiegata da l1 è pari a<br />
=<br />
098 .<br />
⎩ =<br />
196 . + 004 .<br />
92<br />
1