Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

a
$x = z
a
⎛ 11⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2) Determinare le componenti principali utilizzando la matrice delle varianze e covarianze fra i rendimenti
⎛ 196 .
dei titoli A e C : ⎜
⎝229
.
229 . ⎞
⎟
285 . ⎠
⎛196
. − λ
det( C− λI)
= det⎜
⎝ 229 .
229 . ⎞
⎟ = 0
285 . − λ⎠
2 2 2
(. 1 96 −λ)( 2. 85−λ) − 2. 29 = 5. 586 −1. 96λ − 2. 85λ + λ − 5. 2441 = λ − 4. 81λ + 0. 3419 = 0
Gli autovalori sono:
4. 81± λ =
23. 1361− 4 × 0. 3419 4. 81± 4. 666
=
=
2
2
λ1 4 738 = .
4. 738
La variabilità spiegata da λ1 è pari a
= 0. 985
4. 738 + 0. 072
21
= . e λ 2 0 072
Si determina l'autovettore associato al primo autovalore risolvendo il sistema
⎛196
. − 4. 738
⎜
⎝ 229 .
2. 29 ⎞ 11
⎟ 0
285 . − 4738 . ⎠ 21
⎛a
⎞
⎜ ⎟ =
⎝a
⎠
2
soggetto al vincolo di normalizzazione a
2
+ a = 1 ovvero il sistema:
11
21
⎧−
2. 778a11 + 2. 29a21 = 0
⎪
⎨229
. a11 − 1888 . a21
= 0
⎪ 2 2
⎩a11
+ a21
= 1
229 .
Dalla prima equazione ricavo la soluzione generale a11 = a21 = 0. 824a21
⇒
2. 778
⎡0.
824⎤
⎢ ⎥k
;
⎣ 1 ⎦
imponendo il vincolo di norma unitaria si ottiene l'autovettore corrispondente al primo autovalore
a = ⎡06358
. ⎤
⎢ ⎥
⎣07716
. ⎦
La prima componente principale è data:
z1 = 0. 6358x1+ 0. 7716x2
Utilizzando il secondo autovalore si ricava anche la seconda componente
z2 = − 0. 7716x1+ 0. 6361x2
Se si vogliono esprimere le variabili x in funzione di z si avrà:
x1 = 0. 6358z1−0. 7716z2
x2 = 0. 7716z1+ 0. 6361z2
Si vuole ora illustrare lo stesso esempio utilizzando però la matrice di correlazione R:
R = ⎡ 1 096 . ⎤
⎢ ⎥
⎣096
. 1 ⎦
Data la funzione caratteristica si ha
⎛1−λ096
. ⎞
det( R− λI)
= det⎜
⎟ = 0
⎝ 096 . 1−
λ⎠
( )( )
2
1−λ 1−λ − 0. 96
con i seguenti autovalori:
2 2
= 1+ λ −2λ− 0. 9216 = λ − 2λ+ 0. 0784 = 0
1
λ12
, =
1 0. 0784
λ1
196 .
1 096 .
1
λ 2 004 .
± −
⎧ =
196 .
= ± ⇒ ⎨ dove la variabilità spiegata da l1 è pari a
=
098 .
⎩ =
196 . + 004 .
92
1