Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

hanno alti legami con un fattore per ottenere un sistema finale di fattori indipendenti
esplicativi di insiemi distinti di variabili. Con questa rotazione la matrice iniziale dei factor
loadings cambia mantenendo però costante la comunalità di ogni variabile.
Nel paragrafo successivo verranno mostrate applicazioni economiche dell'analisi fattoriale,
con la tecnica delle componenti principali, in cui si cercherà di interpretare la matrice dei
coefficienti di saturazione per poter dare significato ai fattori estratti.
SIMULAZIONI
1) Date due variabili, cui corrisponde la seguente matrice di varianza-covarianza
C = ⎡ 4
⎢
⎣⎢
2
si propone di trovarne le componenti principali
2⎤
⎥
3 ⎦⎥
Si devono calcolare dapprima gli autovalori di C, trovando i valori che annullano il determinante del
sistema
⎧⎪
⎡ 4
det⎨⎢ ⎩⎪ ⎣⎢
2
2⎤⎡1
⎥ − ⎢
3 ⎦⎥
⎣0
0⎤⎫⎪
4
det
1
⎥⎬
⎦⎭⎪
2
2
( 5 )( 2 ) 0
3
=
⎡ −
⎢
⎣⎢
⎤
⎥ = = − − =
− ⎦⎥
λ
λ
........ λ λ
λ
Si hanno soluzioni per λ1 = 5 e λ2 = 2.
La prima componente principale sarà quella corrispondente all'autovalore più grande, λ1 = 5. Il
corrispondente autovettore si ottiene sostituendo l1 e risolvendo il sistema
⎡4−5
2 ⎤⎡
11 ⎤ ⎡0
⎢ ⎥⎢
⎥ = ⎢
⎣⎢
2 3−5⎦⎥⎣21 ⎦ ⎣0
⎤ a
a
⎥
⎦
cioè
⎧⎪
− a11 + 2 a21
= 0
⎨
⎩⎪ 2 a11 − 2a21 = 0
l'autovettore corrispondente è: a = ⎡ 2 ⎤
⎢ ⎥k
k ∈R
⎣⎢
1 ⎦⎥
,
⎡ 2
Tenendo presente il vincolo aa 1′ 1= 1, si ottiene l'autovettore: a= ⎢
⎣⎢
1
principale
3⎤
⎥ da cui la prima componente
3 ⎦⎥
z1 = ax 1 = a11x1+ a21x2 =
2
x1+ 3
1
x2
3
'
La variabilità spiegata dalla prima componente è pari a 5/(5+2) cioè il 71,4% della variabilità totale.
Si determina il secondo autovettore in modo analogo:
z2 = ax 2 = a12x1+ a22x2 =
1
x1+ 3
2
x2
3
'
Allora si può calcolare x attraverso
x1
x = Az
x2
⎡ ⎤ ⎡ + ⎤
⎢ ⎥ = = ⎢
⎣ ⎦ ⎣ +
⎥
⎦
=
⎡ 2
⎢ z1+ a11z1 a12z2 ⎢ 3
a ⎢
21z1 a22z2 1
⎢ z1+ ⎣⎢
3
1 ⎤
z2⎥
3 ⎥
2
⎥
z ⎥ 2
3 ⎦⎥
Se si vuole approssimare x tramite l'utilizzo della sola prima componente principale si ha:
KAISER H.F., Computer Program for varimax rotation in factor analysis, in Journal of Educatiorn and
Psycological Measurement, 1959, Vol.19, Pagg 413-420
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