Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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hanno alti legami con un fattore per ottenere un sistema finale <strong>di</strong> fattori in<strong>di</strong>pendenti<br />
esplicativi <strong>di</strong> insiemi <strong>di</strong>stinti <strong>di</strong> variabili. Con questa rotazione la matrice iniziale dei factor<br />
loa<strong>di</strong>ngs cambia mantenendo però costante la comunalità <strong>di</strong> ogni variabile.<br />
Nel paragrafo successivo verranno mostrate applicazioni economiche <strong>del</strong>l'analisi fattoriale,<br />
con la tecnica <strong>del</strong>le componenti principali, in cui si cercherà <strong>di</strong> interpretare la matrice dei<br />
coefficienti <strong>di</strong> saturazione per poter dare significato ai fattori estratti.<br />
SIMULAZIONI<br />
1) Date due variabili, cui corrisponde la seguente matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza<br />
C = ⎡ 4<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
2<br />
si propone <strong>di</strong> trovarne le componenti principali<br />
2⎤<br />
⎥<br />
3 ⎦⎥<br />
Si devono calcolare dapprima gli autovalori <strong>di</strong> C, trovando i valori che annullano il determinante <strong>del</strong><br />
sistema<br />
⎧⎪<br />
⎡ 4<br />
det⎨⎢ ⎩⎪ ⎣⎢<br />
2<br />
2⎤⎡1<br />
⎥ − ⎢<br />
3 ⎦⎥<br />
⎣0<br />
0⎤⎫⎪<br />
4<br />
det<br />
1<br />
⎥⎬<br />
⎦⎭⎪<br />
2<br />
2<br />
( 5 )( 2 ) 0<br />
3<br />
=<br />
⎡ −<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
⎤<br />
⎥ = = − − =<br />
− ⎦⎥<br />
λ<br />
λ<br />
........ λ λ<br />
λ<br />
Si hanno soluzioni per λ1 = 5 e λ2 = 2.<br />
La prima componente principale sarà quella corrispondente all'autovalore più grande, λ1 = 5. Il<br />
corrispondente autovettore si ottiene sostituendo l1 e risolvendo il sistema<br />
⎡4−5<br />
2 ⎤⎡<br />
11 ⎤ ⎡0<br />
⎢ ⎥⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎣⎢<br />
2 3−5⎦⎥⎣21 ⎦ ⎣0<br />
⎤ a<br />
a<br />
⎥<br />
⎦<br />
cioè<br />
⎧⎪<br />
− a11 + 2 a21<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎩⎪ 2 a11 − 2a21 = 0<br />
l'autovettore corrispondente è: a = ⎡ 2 ⎤<br />
⎢ ⎥k<br />
k ∈R<br />
⎣⎢<br />
1 ⎦⎥<br />
,<br />
⎡ 2<br />
Tenendo presente il vincolo aa 1′ 1= 1, si ottiene l'autovettore: a= ⎢<br />
⎣⎢<br />
1<br />
principale<br />
3⎤<br />
⎥ da cui la prima componente<br />
3 ⎦⎥<br />
z1 = ax 1 = a11x1+ a21x2 =<br />
2<br />
x1+ 3<br />
1<br />
x2<br />
3<br />
'<br />
La variabilità spiegata dalla prima componente è pari a 5/(5+2) cioè il 71,4% <strong><strong>del</strong>la</strong> variabilità totale.<br />
Si determina il secondo autovettore in modo analogo:<br />
z2 = ax 2 = a12x1+ a22x2 =<br />
1<br />
x1+ 3<br />
2<br />
x2<br />
3<br />
'<br />
Allora si può calcolare x attraverso<br />
x1<br />
x = Az<br />
x2<br />
⎡ ⎤ ⎡ + ⎤<br />
⎢ ⎥ = = ⎢<br />
⎣ ⎦ ⎣ +<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡ 2<br />
⎢ z1+ a11z1 a12z2 ⎢ 3<br />
a ⎢<br />
21z1 a22z2 1<br />
⎢ z1+ ⎣⎢<br />
3<br />
1 ⎤<br />
z2⎥<br />
3 ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
z ⎥ 2<br />
3 ⎦⎥<br />
Se si vuole approssimare x tramite l'utilizzo <strong><strong>del</strong>la</strong> sola prima componente principale si ha:<br />
KAISER H.F., Computer Program for varimax rotation in factor analysis, in Journal of Educatiorn and<br />
Psycological Measurement, 1959, Vol.19, Pagg 413-420<br />
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