Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

p
∑ λi =
i=
1
poichè tale somma equivale al calcolo della traccia della matrice presa in considerazione
che nel caso della matrice di correlazione, con diagonale principale unitaria, risulta uguale
alla dimensione della matrice stessa. Si deve inoltre sottolineare che, in seguito alla
normalizzazione con cui si passa da C ad
⎧⎪
σ ij ⎫⎪
R = ⎨ρ
ij = ⎬ ,
⎩⎪ σσ i j ⎭⎪
gli autovalori e autovettori di R sono, in generale, diversi da quelli di C.
Prima di passare agli esempi sull'applicazione della PCA risulta utile determinare i
coefficienti di correlazione fra i fattori e le variabili iniziali. Si definisce coefficiente di
correlazione fra la k-esima variabile iniziale e l'i-esimo fattore il seguente rapporto:
Cov( xk, zi)
ρxz = k i Var( xk) Var( zi)
.
Si osserva che la k-esima variabile può essere indicata come:
xk = lkx con lk
= ( 0,..., 1,.... 0 ) . La covarianza Cov( xk , zi
) può ora essere scritta nel
seguente modo:
Cov( xk, zi) = E ( lkx)( ax i ) ′ = lkCa
i
valendo l'uguaglianza Cai = λi ai
Cov( xk, zi) = lkλiai = λiaik.
Se Var( xk )= σk 2 , essendo la varianza di zi uguale all'i-esimo autovalore λi, si ha:
Cov( x λ λ
k, zi)
ia a
ik ik i
ρxkz=
= =
i
2
Var ( xk) Var ( zi)
σ λ σ
k i k
Il coefficiente di correlazione ρxz descrive quanto la variabile casuale k-esima sia legata
k i
linearmente all'i-esimo fattore.
Se la matrice utilizzata è quella di correlazione R tale coefficiente risulta uguale a
ρxz= aik
λ
k i
i ,
essendo in questo caso le variabili x standardizzate e quindi con varianza unitaria.
Inoltre, se i fattori stimati sono fra loro ortogonali, i factor loadings rappresentano anche la
correlazione fra i fattori e le variabili; di conseguenza la somma per riga dei quadrati dei
factor loadings risulterà uguale a λi
2
σ k
se la matrice iniziale è C, oppure a λi se la matrice
originaria è R.
Spesso, purtroppo, da una prima analisi i fattori determinati rappresentano
significativamente più di una variabile alla volta risultando così di difficile interpretazione.
Per risolvere questo problema si può applicare una rotazione dei fattori, per esempio
utilizzando il metodo VARIMAX 64, che cerca di minimizzare il numero di variabili che
64 HARMANN H.H., Modern factor analysis, The University of Chicago Press, Chicago, 1967, 2nd Edition;
CHILD D., The essentials of Factor Analysis, Holt, Rineart and Winstone, London, 1970;
MORRISON D.F., Metodi di analisi statistica multivariata, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 1976;
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