Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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3) limitazione <strong>del</strong>l'analisi alle componenti con autovalore uguale o superiore al valore<br />
considerato "punto <strong>di</strong> gomito" <strong>del</strong> <strong>di</strong>agramma ottenuto dopo aver rappresentato in [i,<br />
λ i], con i=1, 2, ...,p, gli autovalori (Fig. 31) 63.<br />
Fig. 31: Autovalori estratti da una matrice <strong>di</strong> varianze-covarianze con specificazione <strong>del</strong><br />
punto <strong>di</strong> "gomito". Si consiglia <strong>di</strong> estrarre soltanto i primi tre autovalori e autovettori<br />
associati.<br />
Dopo aver determinato le componenti principali si desidera esprimere una stima <strong>del</strong>le<br />
variabili casuali iniziali come combinazione lineare <strong>del</strong>le componenti principali stesse.<br />
Infatti, da z= A′ x si ha x= Az poichè ′ = −<br />
A A 1 . Se si desidera ora esprimere le variabili<br />
iniziali in funzione <strong>del</strong>le sole m < p componenti principali si otterrà un nuovo sistema:<br />
$x= Bz dove B è la matrice (p x m), ottenuta eliminando le ultime ( p− m)<br />
colonne <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice A; $x esprime la stima <strong>di</strong> x me<strong>di</strong>ante z. Se si considerano realmente le sole m < p<br />
colonne <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice dei coefficienti <strong><strong>del</strong>la</strong> PCA non si parlerà più <strong>di</strong> componenti<br />
principali, ma <strong>di</strong> fattori.<br />
La nuova matrice B è quin<strong>di</strong> detta matrice dei factor loa<strong>di</strong>ngs (coefficienti <strong>di</strong> saturazione)<br />
rappresentanti l'analisi fattoriale, che se letta per riga analizza la stima <strong>del</strong>le variabili<br />
iniziali in funzione dei fattori, mentre se letta per colonna esprime i coefficienti <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
combinazione lineare <strong>del</strong>le variabili per la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali.<br />
Inoltre, se si elevano al quadrato i singoli coefficienti <strong>di</strong> saturazione si ottiene la variabilità<br />
spiegata da ogni fattore su ogni variabile, mentre la variabilità spiegata dai fattori comuni<br />
per le singole variabili è detta comunalità.<br />
Se si <strong>di</strong>spone <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> correlazione R invece <strong><strong>del</strong>la</strong> matrice <strong>di</strong> varianza-covarianza,<br />
lo svolgimento per la determinazione <strong>del</strong>le componenti principali e quin<strong>di</strong> dei fattori si<br />
mantiene. Unica <strong>di</strong>stinzione effettiva da considerare è che in questo caso si ha:<br />
63 KOUTSOYIANNIS A., 1993, op. cit., pag. 424.<br />
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