Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

3) limitazione dell'analisi alle componenti con autovalore uguale o superiore al valore
considerato "punto di gomito" del diagramma ottenuto dopo aver rappresentato in [i,
λ i], con i=1, 2, ...,p, gli autovalori (Fig. 31) 63.
Fig. 31: Autovalori estratti da una matrice di varianze-covarianze con specificazione del
punto di "gomito". Si consiglia di estrarre soltanto i primi tre autovalori e autovettori
associati.
Dopo aver determinato le componenti principali si desidera esprimere una stima delle
variabili casuali iniziali come combinazione lineare delle componenti principali stesse.
Infatti, da z= A′ x si ha x= Az poichè ′ = −
A A 1 . Se si desidera ora esprimere le variabili
iniziali in funzione delle sole m < p componenti principali si otterrà un nuovo sistema:
$x= Bz dove B è la matrice (p x m), ottenuta eliminando le ultime ( p− m)
colonne della
matrice A; $x esprime la stima di x mediante z. Se si considerano realmente le sole m < p
colonne della matrice dei coefficienti della PCA non si parlerà più di componenti
principali, ma di fattori.
La nuova matrice B è quindi detta matrice dei factor loadings (coefficienti di saturazione)
rappresentanti l'analisi fattoriale, che se letta per riga analizza la stima delle variabili
iniziali in funzione dei fattori, mentre se letta per colonna esprime i coefficienti della
combinazione lineare delle variabili per la determinazione delle componenti principali.
Inoltre, se si elevano al quadrato i singoli coefficienti di saturazione si ottiene la variabilità
spiegata da ogni fattore su ogni variabile, mentre la variabilità spiegata dai fattori comuni
per le singole variabili è detta comunalità.
Se si dispone della matrice di correlazione R invece della matrice di varianza-covarianza,
lo svolgimento per la determinazione delle componenti principali e quindi dei fattori si
mantiene. Unica distinzione effettiva da considerare è che in questo caso si ha:
63 KOUTSOYIANNIS A., 1993, op. cit., pag. 424.
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