Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...
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PRIMO PASSO: l'obiettivo è quello <strong>di</strong> determinare il vettore a che massimizza la<br />
varianza <strong>del</strong> sistema in analisi, con il vincolo che tale vettore abbia norma unitaria. Il<br />
problema <strong>di</strong> programmazione matematica <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong>:<br />
⎧⎪<br />
max φ= a'Ca<br />
a<br />
⎨<br />
⎩⎪ soggetta al vincolo a' a = 1<br />
Esso si risolve definendo la funzione Lagrangiana<br />
L ( a, λ) = a'Ca−λ( a'a−1<br />
)<br />
e imponendo le con<strong>di</strong>zioni necessarie: ∂L<br />
∂L<br />
= 0 e = 0.<br />
∂a<br />
∂λ<br />
Se si deriva la Lagrangiana rispetto ad a si ha:<br />
∂ L ∂[ a'Ca −λ( a'a −1)<br />
]<br />
=<br />
= 0<br />
∂a<br />
∂a<br />
= 2Ca − 2λa= 0<br />
= C− λI<br />
a = 0<br />
dove I è la matrice identità in ℜ p .<br />
( )<br />
Il sistema da risolvere risulta quin<strong>di</strong>:<br />
⎧(<br />
C− λI) a = 0<br />
⎨<br />
⎩aa<br />
' = 1<br />
Si tratta in pratica <strong>di</strong> trovare il massimo autovalore e il corrispondente autovettore <strong><strong>del</strong>la</strong><br />
matrice C, con il vincolo che l'autovettore abbia norma unitaria.<br />
Come visto, gli autovalori sono gli zeri <strong>del</strong> polinomio caratteristico<br />
det( C− λI) = 0 .<br />
Se gli autovalori che si ottengono da tale equazione sono posti in or<strong>di</strong>ne decrescente<br />
( λ1 ≥λ2 ≥... ≥λ<br />
p ) , essendo non negativi, dato che C è una matrice simmetrica semidefinita<br />
positiva, il problema è risolto prendendo λmax = λ1. Sostituendo λ1 nella relazione<br />
( C− I) a = 0 si determina l'autovettore amax = a1 ad esso corrispondente soluzione <strong>del</strong><br />
λ1 problema <strong>di</strong> massimo. La prima componente principale è data da:<br />
z1 = a'1x .<br />
λ1 rappresenta la varianza <strong><strong>del</strong>la</strong> prima componente principale, cioè la quantitá <strong>di</strong><br />
informazione <strong>del</strong> sistema iniziale che entra nel nuovo insieme dato dalla prima<br />
componente principale. Infatti dalle equazioni Ca1 = λ 1a1 e a1′ a1<br />
= 1 si ricava che<br />
λ = a 'Ca = a ' λa<br />
= Var( z ) .<br />
1 1 1 1 1 1<br />
SECONDO PASSO: per trovare la seconda componente z 2 2<br />
⎧max<br />
φ = a'Ca<br />
⎪<br />
a<br />
⎪soggetta<br />
ai vincoli<br />
⎨<br />
⎪ a'a = 1<br />
⎩⎪<br />
a'a=<br />
0<br />
1<br />
87<br />
= a' x si risolve il problema