Teoria della selezione del portafoglio e modelli di equilibrio del ...

PRIMO PASSO: l'obiettivo è quello di determinare il vettore a che massimizza la
varianza del sistema in analisi, con il vincolo che tale vettore abbia norma unitaria. Il
problema di programmazione matematica diventa quindi:
⎧⎪
max φ= a'Ca
a
⎨
⎩⎪ soggetta al vincolo a' a = 1
Esso si risolve definendo la funzione Lagrangiana
L ( a, λ) = a'Ca−λ( a'a−1
)
e imponendo le condizioni necessarie: ∂L
∂L
= 0 e = 0.
∂a
∂λ
Se si deriva la Lagrangiana rispetto ad a si ha:
∂ L ∂[ a'Ca −λ( a'a −1)
]
=
= 0
∂a
∂a
= 2Ca − 2λa= 0
= C− λI
a = 0
dove I è la matrice identità in ℜ p .
( )
Il sistema da risolvere risulta quindi:
⎧(
C− λI) a = 0
⎨
⎩aa
' = 1
Si tratta in pratica di trovare il massimo autovalore e il corrispondente autovettore della
matrice C, con il vincolo che l'autovettore abbia norma unitaria.
Come visto, gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico
det( C− λI) = 0 .
Se gli autovalori che si ottengono da tale equazione sono posti in ordine decrescente
( λ1 ≥λ2 ≥... ≥λ
p ) , essendo non negativi, dato che C è una matrice simmetrica semidefinita
positiva, il problema è risolto prendendo λmax = λ1. Sostituendo λ1 nella relazione
( C− I) a = 0 si determina l'autovettore amax = a1 ad esso corrispondente soluzione del
λ1 problema di massimo. La prima componente principale è data da:
z1 = a'1x .
λ1 rappresenta la varianza della prima componente principale, cioè la quantitá di
informazione del sistema iniziale che entra nel nuovo insieme dato dalla prima
componente principale. Infatti dalle equazioni Ca1 = λ 1a1 e a1′ a1
= 1 si ricava che
λ = a 'Ca = a ' λa
= Var( z ) .
1 1 1 1 1 1
SECONDO PASSO: per trovare la seconda componente z 2 2
⎧max
φ = a'Ca
⎪
a
⎪soggetta
ai vincoli
⎨
⎪ a'a = 1
⎩⎪
a'a=
0
1
87
= a' x si risolve il problema